7. Soient A et B les points d affixes respectives 4 et 3 i. L affixe du point C tel que le triangle ABC soit isocèle avec. a. 1 4 i b. 3 i c.

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1 NOUVELLE CALEDONIE NOVEMBRE 2007 Exercice 4 poits Commu à tous les cadidats Pour chaque questio, ue seule des trois propositios est exacte. Le cadidat idiquera sur la copie le uméro de la questio et la lettre correspodat à la répose choisie. Aucue justificatio 'est demadée. Ue répose exacte rapporte 0,5 poit ; ue répose iexacte elève 0,25 poit ; l'absece de répose est comptée 0 poit. Si le total est égatif, la ote est rameée à zéro. Le pla complexe est mui d'u repère orthoormé direct d'origie O.. Ue solutio de l'équatio 2 z + z = 9 + i est : a. 3 b. i c. 3 + i 2. Soit z u ombre complexe, z + i est égal à : a. z + b. z i c. i z + + i 3 3. Soit z u ombre complexe o ul d'argumet θ. U argumet de est : z π 2 π 2 π a. + θ b. + θ c. θ Soit u etier aturel. Le complexe ( 3 + i) est u imagiaire pur si et seulemet si : a. = 3 b. = 6 k + 3 c. = 6 k avec k etier relatif. 5. Soit A et B deux poits d'affixes respectives i et. L'esemble des poits M d'affixe z vérifiat z i = z + est : a. La droite (AB) b. Le cercle de diamètre [AB] c. La droite perpediculaire à (AB) passat par O. 6. Soit Ω le poit d'affixe i. L'esemble des poit M d'affixes z = x + i y vérifiat z + i = 3 4 i a pour équatio : a. y = x + b. (x ) 2 + (y + ) 2 = 5 c. z = i + 5 e i θ avec θ réel 7. Soiet A et B les poits d affixes respectives 4 et 3 i. L affixe du poit C tel que le triagle ABC soit isocèle avec π (AB, AC ) = est : 2 a. 4 i b. 3 i c i 8. L esemble des solutios das C de l équatio z 2 z = z est : a. { i } b. L esemble vide c. { i ; + i } Exercice 2 5 poits Commu à tous les cadidats U resposable de magasi achète des composats électroiques auprès de deux fourisseurs das les proportios suivates : 25 % au premier fourisseur et 75 % au secod. La proportio de composats défectueux est de 3% chez le premier fourisseur et de 2 % chez le secod. O ote : D l évèemet «le composat est défectueux» ; F l évèemet «le composat proviet du premier fourisseur» ; F 2 l évèemet «le composat proviet du secod fourisseur».. a. Dessier u arbre podéré. b. Calculer p (D F ), puis démotrer que p(d) = 0,0225. c. Sachat qu u composat est défectueux, quelle est la probabilité qu il proviee du premier fourisseur? Das toute la suite de l exercice, o doera ue valeur approchée des résultats à 0 3 près. 2. Le resposable commade 20 composats. Quelle est la probabilité qu au mois deux d etre eux soiet défectueux? 3. La durée de vie de l u de ces composats est ue variable aléatoire otée X qui suit ue loi de durée de vie sas vieillissemet ou loi expoetielle de paramètre λ, avec λ réel strictemet positif. a. Sachat que p(x > 5) = 0,325, détermier λ. Pour les questios suivates, o predra λ = 0,225. b. Quelle est la probabilité qu u composat dure mois de 8 as? plus de 8 as? c. Quelle est la probabilité qu u composat dure plus de 8 as sachat qu il a déjà duré plus de 3 as? Nouvelle Calédoie Novembre 2007

2 Exercice 3 6 poits Commu à tous les cadidats Partie A : questio de cours. Soit f ue foctio réelle défiie sur [α ; + [. Compléter la phrase suivate : O dit que f admet ue limite fiie l e + si 2. Démotrer le théorème des gedarmes. Soiet f, g h trois foctios défiies sur [α ; + [. et L u ombre réel. Si g et h ot pour limite commue L quad x ted vers +, et si pour tout x assez grad, g(x) f (x) h(x), alors la limite quad x ted vers + de f (x) est égale à L. Partie B Soit f la foctio défiie sur IR par : f (x) = e x x et soit (C) sa courbe représetative das u repère orthoormal du pla.. La droite (D) d'équatio y = x est asymptote à (C).. Soit a u ombre réel. Ecrire e foctio de a, ue équatio de la tagete (T ) à (C) au poit M d'abscisse a. 2. Cette tagete (T) coupe la droite (D) e u poit N d'abscisse b. Vérifier que b a =. 3. E déduire ue costructio à effectuer sur la feuille aexe de la tagete (T) à (C) au poit M d'abscisse,5. O fera apparaître le poit N correspodat. Partie C. Détermier graphiquemet le sige de f. 2. E déduire que pour tout etier aturel o ul, les iégalités suivates : () e + 3. E utilisat l'iégalité (), démotrer que pour tout etier o ul : (2) e + e 4. E utilisat l'iégalité (2), démotrer que pour tout etier o ul : e 5. E déduire des questio précédetes u ecadremet de puis sa limite e +. Exercice 4 5 poits Cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité Soit OABC u tétraèdre trirectagle (les triagles OAB, OBC, OCA sot rectagles e O). O ote H le projeté orthogoal de O sur le pla (ABC). Le but de l exercice est d étudier quelques propriétés de ce tétraèdre.. a. Pourquoi la droite (OH) est-elle orthogoale à la droite (BC)? Pourquoi la droite (OA) est-elle orthogoale à la droite (BC)? b. Démotrer que les droites (AH) et (BC) sot orthogoales. O démotrera de faço aalogue que les droites (BH) et (AC) sot orthogoales. Ce résultat est ici admis. c. Que représete le poit H pour le triagle ABC? 2. L espace est maiteat mui d u repère orthoormé ( O, i, j, k ). O cosidère les poits A( ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0) et C(0 ; 0 ; 3). a. Détermier ue équatio cartésiee du pla (ABC). b. Détermier ue représetatio paramétrique de la droite (D) passat par O et orthogoale au pla (ABC). c Démotrer que le pla (ABC) et la droite (D) se coupet e u poit H de coordoées ; ; a. Calculer la distace du poit O au pla (ABC). b. Calculer le volume du tétraèdre OABC. E déduire l aire du triagle ABC. c. Vérifier que le carré de l aire du triagle ABC est égal à la somme des carrés des aires des autres faces de ce tétraèdre. + Exercice 4 5 poits Cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité. a. Quel est le reste de la divisio euclidiee de 6 0 par? Justifier. b. Quel est le reste de la divisio euclidiee de 6 4 par 5? Justifier. c. E déduire que 6 40 [] et que 6 40 [5]. d. Démotrer que 6 40 est divisible par Das cette questio x et y désiget des etiers relatifs. a. Motrer que l équatio (E) 65 x 40 y = a pas de solutio. b. Motrer que l équatio (E ) 7 x 40 y = admet au mois ue solutio. c. Détermier à l aide de l algorithme d Euclide u couple d etiers relatifs solutio de l équatio (E ). d. Résoudre l équatio (E ). E déduire qu il existe u uique aturel x 0 iférieur à 40 tel que 7 x 0 [40]. 3. Pour tout etier aturel a, démotrer que si a 7 b [55] et si a 40 [55], alors b 33 a [55]. + Nouvelle Calédoie Novembre

3 CORRECTION Exercice = 9 doc ue solutio de l équatio 2 z + z = 9 + i est i z + = i z ( ) = i z i 2 = i ( z i) or le cojugué de z + i est z i doc z + i = z i = i ( z i) = i z + i = cos π + i si π doc u argumet de + i 3 est 2, u argumet de z est θ π arg + i 3 = arg + i 3 arg z soit arg + i 3 = arg + i 3 + arg z doc arg + i 3 = 2 + θ z z z 3π 4. arg( 3 + i) = 6 π doc arg( 3 + i) = 6 π. Le complexe ( 3 + i) est u imagiaire pur arg( 3 + i) = 2 π + k π avec k etier relatif 6 π = 2 π + k π avec k etier relatif = k avec k etier relatif. 5. z i = z + MA = MB doc L'esemble des poits M d affixe z vérifiat z i = z + est la médiatrice de [AB], OA = OB = doc O appartiet à la la médiatrice de [AB], l esemble cherché est doc la droite perpediculaire à (AB) passat par O. 6. z + i = 3 4 i z ( i) = 3 4 i = 5 ΩM = 5 L'esemble des poit M d affixes z = x + i y vérifiat z + i = 3 4 i est le cercle de cetre i de rayo 5 doc est l esemble des poit M d affixes z tel que z = i + 5 e i θ avec θ réel. π π 7. le triagle ABC soit isocèle avec ( AB, AC ) = doc C est l image de B das la rotatio de cetre A d agle doc 2 2 e i π 2 c a = (b a) soit c = i (b a) + a doc c = 3 4 i + 4 = 4 i π L affixe du poit C tel que le triagle ABC soit isocèle avec ( AB, AC ) = est 4 i 2 8. z 2 z = z z 2 = z (z ) et z z 2 2 z + 2 = 0 et z (z ) 2 = i 2 et z z = i ou z = + i L esemble des solutios das C de l équatio z 2 z = z est { i ; + i } Nouvelle Calédoie Novembre

4 Exercice 2 0,25 F 0,03 0,97 0,75 D 0,02 D. b. p (D F ) = 0,25 0,03 = 0,0075 D p (D F 2 ) = 0,75 0,02 = 0,050 doc p(d) = p (D F ) + p (D F 2 ) p(d) = 0, ,050 = 0,0225. c. p D (F ) = p ( D F ) 0,0075 = = p ( D ) 0, F 2 0,98 D 2. O a ue successio de 20 tirages idetiques et idépedats, chaque tirage a deux issues : le composat est défectueux (p = 0,0225) le composat est pas défectueux (q = 0,9775) doc la variable aléatoire comptat le ombre de composats est défectueux suit ue loi biomiale de paramètres (20 ; 0 ;0225). 20 p(x = k) = k 0,0225 k 0,9775 k. p(x 2) = [p(x = 0) + p(x = )] 0, La durée de vie de l u de ces composats est ue variable aléatoire otée X qui suit ue loi de durée de vie sas vieillissemet ou loi expoetielle de paramètre λ, avec λ réel strictemet positif doc p(x > k) = e λ k a. p(x > 5) = 0,325 e 5 λ = 0,325 5 λ = l 0,325 λ = l 0,325 soit λ 0, b. p(x 8) = e λ k = e,8 soit p(x 8) 0,835. p(x > 8) = p(x 8) = 0,835 = 0,65. c. O a ue loi de durée de vie sas vieillissemet doc la probabilité qu u composat dure plus de 8 as sachat qu il a déjà duré plus de 3 as est aussi la probabilité qu u composat dure plus de 5 as soit 0,325. Nouvelle Calédoie Novembre

5 Exercice 3 Partie A : questio de cours. f admet ue limite fiie l e + si pour tout itervalle ouvert I de cetre l > 0, il existe u réel α tel que si x > α alors f (x) I. 2. Soit I u itervalle ouvert quelcoque de cetre l (I est de la forme ] l h ; l + h [). lim x + g(x) = l doc il existe u réel α tel que si x > α alors g(x) I lim x + h(x) = l doc il existe u réel α 2 tel que si x > α 2 alors h(x) I Soit α le plus grad des deux ombres α et α 2. x > α doc x > α doc g(x) I x > α doc x > α 2 doc h(x) I g(x) f (x) h(x) doc comme g(x) I et h(x) I alors f (x) I doc lim x + f (x) = l Partie B. La tagete (T) à (C) au poit d abscisse a est ue droite de coefficiet directeur f '(a) = e a doc d équatio y = (e a ) x + p Cette droite passe par le poit de (C) d abscisse a doc de coordoées (a ; e a a ) doc e a a = a (e a ) + p doc p = e a a a e a + a soit p = e a a e a La tagete (T) à (C) au poit d abscisse a est la droite d équatio y = (e a ) x + e a a e a 2. Cette tagete (T ) coupe la droite (D) au poit N d abscisse b. N appartiet à (T) doc y N = (e a ) b + e a a e a de plus N appartiet à (D) doc y N = b doc (e a ) b + e a a e a = b doc e isolat b : b ( e a ) + b = a e a e a soit b e a = (a ) e a or la foctio expoetielle est strictemet positive doc e a 0 doc b = a soit b a = doc N a pour coordoées (a ; a) doc N est le poit de D d abscisse a 3. Pour tracer la tagete (T ) à (C ) au poit M d abscisse,5, il suffit de placer le poit M sur (C) et de placer le poit N d abscisse,5 soit 0,5 sur (D) puis de tracer la droite (MN) Partie C. Graphiquemet f (x) 0 2. Pour tout réel x, f (x) 0 doc e particulier pour tout etier aturel, f Pour tout etier aturel, f 0 doc e + 0 soit e a. e e + doc doc pour tout etier aturel o ul : e + + or + = + = doc e > 0 soit e passat aux iverses 0 < doc e e Pour tout etier aturel o ul : lim + = doc lim + e + + doc pour tout etier aturel o ul : e e + + doc e + = e doc d après le théorème des gedarmes : lim + e 0 soit e + e e = e Nouvelle Calédoie Novembre

6 M o N Nouvelle Calédoie Novembre

7 Exercice 4 5 poits Cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité. a. La droite (OH) est orthogoale au pla (ABC) doc à toute droite de ce pla e particulier à (BC). Les triagles OAB et OCA sot rectagles e O doc la droite (OA) est orthogoale aux droites (OB) et (OC). Ces droites sot sécates e O doc la droite (OA) est orthogoale au pla (OBC) à toute droite de ce pla e particulier à (BC). b. La droite (BC) est orthogoale aux droites sécates (OH) et (OA) doc au pla (OAH) à toute droite de ce pla e particulier à (AH). les droites (BH) et (AC) sot orthogoales. c. Que représete le poit H pour le triagle ABC? Les droites (AH) et (BC) sot orthogoales doc la droite (AH) est la hauteur issue de A du triagle ABC. Les droites (BH) et (AC) sot orthogoales doc la droite (BH) est la hauteur issue de B du triagle ABC. H est l itersectio de deux hauteurs (AH) et (BH) doc est l orthocetre du triagle ABC. 2. L espace est maiteat mui d u repère orthoormé ( O, i, j, k ). O cosidère les poits A( ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0) et C(0 ; 0 ; 3). a. Ue équatio cartésiee du pla (ABC) est a x + b y + c z = d A (ABC) doc a = d B (ABC) doc 2 b = d C (ABC) doc 3 c = d, e choissat d = 6 alors a = 6, b = 3 et c = 2 Ue équatio cartésiee du pla (ABC) est 6 x + 3 y + 2 z = 6 b. Détermier ue représetatio paramétrique de la droite (D) passat par O et orthogoale au pla (ABC). U vecteur ormal du pla (ABC) est le vecteur de coordoées (6 ; 3 ; 2) qui est aussi u vecteur directeur de (D) doc ue x = 6 t représetatio paramétrique de la droite (D) passat par O et orthogoale au pla (ABC) est y = 3 t avec t R. z = t c. H appartiet à (D) doc a des coordoées de la forme (6 t ; 3 t ; 2 t) 6 H (ABC) doc 36 t + 9 t + 4 t = 6 soit t = doc le pla (ABC) et la droite (D) se coupet e u poit H de coordoées ; ; x O + 3 y O + 2 z O a. La distace du poit O au pla (ABC) est égale à = doc OH = b. L aire du triagle OAB est 2 2 soit Le volume du tétraèdre OABC est égal à OC Aire de OAB 3 = 3 doc V = uités de volume 3 V = OH Aire de ABC 3 = 6 Aire de ABC doc 2 Aire de ABC = soit l aire du triagle ABC est égale à 7 2. c. L aire du triagle OAB est u.a. L aire du triagle OAC est 3 2 u.a. L aire du triagle OBC est 3 u.a = = 49 4 = faces de ce tétraèdre doc le carré de l aire du triagle ABC est égal à la somme des carrés des aires des autres Nouvelle Calédoie Novembre

8 Exercice 4 5 poits Cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité. a. 6 2 = 36 = doc [ ] [ ] doc [ ] [ ] doc [ ] [ ] doc 6 5 [ ] 6 0 = (6 5 ) 2 doc 6 0 ( ) 2 [ ] doc 6 0 [ ] Le reste de la divisio euclidiee de 6 0 par est.. b. 6 2 = 36 = doc 6 2 [ 5 ] or 6 4 = (6 2 ) 2 doc 6 4 [ 5 ] Le reste de la divisio euclidiee de 6 4 par 5 est.. c. 6 0 [ ] or (6 0 ) 4 = 6 40 doc 6 40 [ ] de même 6 4 [ 5 ] or (6 4 ) 0 = 6 40 doc 6 40 [ 5 ]. d. et 5 diviset 6 40 or et 5 sot premiers etre eux doc 5 divise est divisible par a. 5 divise 65 et 40 doc 65 et 40 e sot pas premiers etre eux doc l équatio (E) 65 x 40 y = a pas de solutio d après le théorème de Bézout. 2. b. 7 et 40 sot premiers etre eux doc, d après le théorème de Bézout, l équatio (E ) 7 x 40 y = admet au mois ue solutio. 2. c. u v 7 u 40 v Quotiet L 3 = L + 3 L 2 3 L 4 = L 2 L L 5 = L 3 L L 6 = L 4 L L 7 = L 5 5 L doc 7 ( 7) = doc le couple ( 7 ; 3) est solutio de 7 x 40 y = 7 x 40 y = 2. d. doc par différece membre à membre : 7 ( 7) 40 ( 3) = 7 (x + 7) 40 (y + 3) = 0 soit 7 (x + 7) = 40 (y + 3) doc 7 divise 40 (y + 3) or 7 et 40 sot premiers etre eux doc d après le théorème de Gauss, 7 divise y + 3. Il existe u etier relatif k tel que y + 3 = 7 k doc e remplaçat das 7 (x + 7) = 40 (y + 3), x + 7 = 40 k doc y = 7 k 3 et x = 40 k 7 Vérificatio : s il existe u etier relatif k tel que y = 7 k 3 et x = 40 k 7 alors 7 x 40 y = 7 40 k k = doc les solutios de (E ) sot les couples (40 k 7 ; 7 k 3) avec k Z. Si 7 x [40], il existe u etier relatif y tel que 7 x = + 40 y doc x est solutio de (E ) doc il existe u etier relatif k tel que : x = 40 k 7 0 x k k k = Il existe u uique aturel x 0 iférieur à 40 tel que 7 x 0 [40] : x 0 = 40 7 = Si a 7 b [55] alors 55 divise a 7 b et si a 40 [55] alors 55 divise a 40 or = doc a 7 33 = b 33 [ 55 ] doc a b 33 [ 55 ] or a = a a 40 4 = a (a 40 ) 4 et a 40 [55], doc a [55] doc a a [ 55 ] doc b 33 a [55]. Nouvelle Calédoie Novembre

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