PARTIE II : COMPRENDRE. Chapitre 6

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1 PAIE II : COPEDE Etie et eploite des infomtions elties à l mesue du temps pou justifie l éolution de l définition de l seconde. Démonte que, dns l ppoimtion des tjectoies ciculies, le mouement d un stellite, d une plnète, est unifome. Étbli l epession de s itesse et de s péiode. Connîte les tois lois de Keple ; eploite l toisième dns le cs d un mouement ciculie. Chpite 6 Appliction des lois de ewton et des lois de Keple A note : L seconde, unité I de temps, été étblie selon les connissnces et les possibilités techniques de chque époque. Elle d bod été définie comme l fction du jou solie teeste moyen. En 1956, pou teni compte des impefections de l ottion de l ee qui lentit notmment à cuse des foces de mées, elle été bsée su l éolution de l ee utou du oleil et définie comme l fction ,9747 de l nnée topique 19. Depuis l 1e Conféence énéle des poids et mesues de 1967, l seconde n est plus définie p ppot à l nnée, mis p ppot à une popiété de l mtièe : Définition de l seconde tomique : L seconde est l duée de péiodes de l dition coespondnt à une cetine tnsition dns l tome de césium 1. L seconde, étlon de mesue du temps, est insi un multiple de l péiode de l onde émise p un tome de césium 1 losqu un de ses électons chne de nieu d éneie. Los de s session de 1997, le Comité Intentionl pécise que cette définition se éfèe à un tome de césium u epos, c'est-à-die à une tempétue de K. Cette denièe pécision souline le fit qu à K, l tnsition en question subit, p ppot à s leu théoique, un lée déplcement en féquence dû u effets de yonnement du cops noi. Cette coection été ppotée en 1997 c ce lée décle dns l féquence cessé d ête nélieble p ppot u utes souces d incetitude. On dispose ujoud hui d une ectitude llnt jusqu à l 14 e décimle (1-14 s). L échelle dite du emps Atomique Intentionl (AI) obtenue est l unité du I l plus pécisément connue. iue 1 Holoe à Césium 1 du C 1/ 9 Ptie II Chp. 6 : Lois de ewton et lois de Keple

2 I. ouement dns un chmp de pesnteu unifome I.1 Chmp unifome L ee céé en son oisine un chmp de pesnteu noté. De ce fit toute msse plonée dns ce chmp oit ppîte une foce qui l ttie es le cente de l ee et d intensité : P m P en m en k en /k Les cctéistiques du chmp de pesnteu teeste sont : - diection : dile - sens : es le cente de l ee - intensité : 9,8 k -1 iue 1 : Chmp non unifome Donc, à l échelle de l ee, le chmp de pesnteu n est ps unifome. iue : Chmp unifome énmoins, à l échelle humine, ce chmp peut isonnblement ête considéé comme unifome. I. ouement dns le chmp de pesnteu ppels : Comme et d OG d d OG d OG donc d d y d z && && y && z Considéons un boulet de cnon tié u point B de coodonnées ( ; d) à l dte t. Le éféentiel teeste est supposé liléen. L position du boulet est epéé à chque instnt p son cente de ité G dns le epèe (O,, y) B y θ O iue : i d un boulet B d D pès l deuième loi de ewton, on peut écie : Σ Σ d p d m d ( m) + m O l msse m étnt constnte, on u : Σ + m Σ m m / 9 Ptie II Chp. 6 : Lois de ewton et lois de Keple

3 En supposnt que le boulet est en chute libe, on u los : Donc : Σ P m m m Comme le ecteu ccélétion est l déiée du ecteu itesse p ppot u temps, le ecteu itesse est une pimitie du ecteu ccélétion. Ainsi, on intèe le ecteu ccélétion pou toue le ecteu itesse : Déition Déition cste t + cste' Position Vitesse Accélétion O à t, on cste sinθ + cste' Intétion Intétion donc cste cos θ et cste sin θ. t + sinθ Comme le ecteu itesse est l déiée du ecteu position p ppot u temps, le ecteu position est une pimitie du ecteu itesse. Ainsi, on intèe le ecteu itesse pou toue le ecteu position : OG 1 t t + cste + sin + ' θ t cste O à t, le boulet G est en B ( ; d ) donc cste et cste d OG 1 t + t + sinθ t + d Ainsi les équtions hoies définissnt le mouement de ce boulet sont : Pou l ccélétion : Pou l itesse : Pou l position : (t) t y - y t + sinθ y(t) ½ t + sinθ t + d z z z(t) / 9 Ptie II Chp. 6 : Lois de ewton et lois de Keple

4 A note : Ce mouement est pln c l une des coodonnées du ecteu position OG ne dépend ps du temps. Losque l msse du mobile est constnte on los : d p Σ Σ m En epimnt y en fonction de on obtient l éqution de l tjectoie y() : t) t ( t En emplçnt dns y(t), on obtient : 1 y ( ) + + d sinθ oit, en simplifint : y ( ) + tnθ + d cos θ Eqution de l tjectoie flèche A note : Cette tjectoie est une pbole c son éqution est du type : y ( ) + b + c iue 4 jectoie pbolique O θ Potée m II. ouement dns un chmp électique unifome oit une pticule ponctuelle G de che q et de msse m plcée dns un chmp électique unifome E. ystème étudié : pticule G éféentiel d étude : teeste supposé liléen Inentie des foces etéieues : le poids P m l foce électique q E les foces de fottement de l i f k l poussée d Achimède V e Π ρ Aec V le olume de l pticule, s itesse, k une constnte et ρ l msse olumique de l i. i i y O iue 5 : E E E Pticule chée dns un chmp électique 4/ 9 Ptie II Chp. 6 : Lois de ewton et lois de Keple

5 Questions : ) En supposnt que cette pticule soit un électon de msse m 9,1 1 1 k et de che électique q - 1, C, détemine les cctéistiques du poids de l électon et celles de l foce électique qu il subit schnt que E 1 V m 1 b) Que pense de l influence du poids de l électon su son mouement dns le chmp électique? c) Que pense de l poussée d Achimède que subit l électon? ême question pou les foces de fottements. d) ie l inentie des foces dns le cs où l pticule est un neuton. D pès l deuième loi de ewton : e m Σ qe y m m qe qe m y En intént le ecteu ccélétion, on toue le ecteu itesse : qe cste t + cste' m O à t, le ecteu itesse s écit : D ute pt, d pès l énoncé, le ecteu itesse initil s écit ussi cste et cste Donc qe t m cste qe cste + cste' cste' m En intént le ecteu itesse, on toue le ecteu position : + 1 t cste OG qe t + cste' m O à t, le ecteu position s écit : 1 t + cste cste OG qe + cste ' cste' m OG Et d pès l énoncé l pticule est en O à l oiine du temps, donc D où cste cste Donc : OG 1 t qe t m 5/ 9 Ptie II Chp. 6 : Lois de ewton et lois de Keple

6 Ainsi, les équtions hoies de l position sont : ( t) t qe y ( t) t m Et l éqution de l tjectoie est : qe y ( ) Cette tjectoie est ussi une pbole c son éqution est du type : m y ( ) + b + c III. Les lois de Keple ppels : Le ecteu ccélétion s écit dns l bse de enet : ec l ccélétion nomle et l ccélétion tnentielle. + i est nulle, le mouement est ectiline. i est nulle, le mouement est unifome. Définition : L ccélétion dns l bse de enet s écit : + Aec et III.1 tue du mouement Le mouement d un objet en obite utou d un ste est toujous une ellipse. Dns cetins cs cette ellipse est un cecle ou s en ppoche fotement, comme p eemple pou l obite de l ee dns le éféentiel héliocentique. Considéons le mouement ciculie de l ee utou du oleil : ystème étudié : ee de msse éféentiel d étude : héliocentique supposé liléen Inentie des foces etéieues : oce de ité eecée p le oleil su l ee. iue 6 : Obite de l ee oleil ee Comme l msse de l ee est constnte, d pès l deuième loi de ewton : Σ 6/ 9 Ptie II Chp. 6 : Lois de ewton et lois de Keple

7 O l foce de ité eecée p le oleil de msse su l ee pou epession : G G constnte de ittion unieselle en en k en m G 6, I. m G ( + ) G + Donc, p identifiction : G G los O si Et si c p définition cel implique que cste. Ainsi, si l tjectoie d un objet en obite ittionnelle est ciculie los son mouement est unifome. Eemples : - L ee ynt une obite qusi-ciculie, s itesse este toujous oisine de km/s - L comète de Hlley ynt une obite tès elliptique, s itesse ie énomément (de 1 à 55 km/s) Question : echeche les unités de l constnte de ittion unieselle. III. Détemintion de l itesse D pès l ptie pécédente on : G O, p définition : G G en m/s en k en m G 6, I. 7/ 9 Ptie II Chp. 6 : Lois de ewton et lois de Keple

8 III. Péiode de éolution L péiode de éolution est le temps nécessie à l objet (ici l ee) pou fie un tou su son obite. L lonueu L d une obite est éle u péimète du cecle, soit : L π d t L π En utilisnt l epession du III. : G π π G Question : echeche l ltitude h à lquelle sont plcés les stellites éosttionnies. iue 7 : obite éosttionnie III.4 Les lois de Keple Pemièe loi : loi des obites (169) Plnète Dns le éféentiel héliocentique, l tjectoie des plnètes est une ellipse dont l un des foyes est le cente du oleil. A note : Le péicente est le point de l obite le plus poche de l ste centl. i l ste centl est le oleil on ple de péihélie Pou l ee, c est le péiée. b phélie oleil péihélie L pocente est le point de l obite le plus éloiné de l ste centl. i l ste centl est le oleil on ple d phélie Pou l ee, c est l poée. est le demi-nd e et b est le demi-petit e. iue 8 : Obite elliptique P Deuième loi : loi des ies (169) t Le sement [P] (ou yon ecteu) qui elie le cente du oleil u cente de l plnète blie des ies éles pendnt des duées éles. A note : Cette loi implique que plus l plnète s ppoche du oleil plus s itesse umente. De même, plus elle s en éloine, plus s itesse diminue. t A A 1 iue 9 : Loi des ies : A 1 A 8/ 9 Ptie II Chp. 6 : Lois de ewton et lois de Keple

9 oisième loi : loi des péiodes (1618) Le cé de l péiode de éolution d une plnète est popotionnel u cube du demi-nd e de son obite. k k D pès l ptie III. on : π G 4π G 4π G iue 1 : Johnnes Keple ( ) Ainsi, quelque soit l plnète P de péiode de éolution en obite utou du oleil à une distnce, le ppot du cé de s péiode su le cube du yon de son obite ne dépend que de l msse du oleil. Ainsi : ee ee s s Hlley Hlley 4π... G A note : Les lois de Keple, bien qu écites pou les plnètes de note système solie, s ppliquent pou tout cops en obite elliptique utou d un ste. Ainsi : Lune Lune tellite tellite 4π G ee iue 11 Position de 18 stellites en obite utou de l ee. On oit nettement ppîte l obite éosttionnie. 9/ 9 Ptie II Chp. 6 : Lois de ewton et lois de Keple