Petit essai sur les tirages dans une urne

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1 74 Das os classes o 443 Pei essai sur les irages das ue ure Yves-Noël Haubry (*) E Premières e Termiales STI e S, je doe oujours des exercices de probabiliés cocera les irages de boules das des ures coea u mélage bicolore du gere : Das ue ure o place boules blaches e 5 oires. O effecue 2 (ou 3) irages successifs d ue boule avec remise. O suppose l équiprobabilié de sorie des boules. O e ie pas compe de l ordre de sorie des couleurs. À l aide d u arbre, déermier les évéemes e calculer leurs probabiliés. Esuie o joue au jeu suiva : chaque blache sorie doe u gai de e chaque oire doe ue pere de 2. Déermier les gais e leurs probabiliés e calculer le gai moye. Puis je fais repredre l exercice avec cee fois des irages sas remise, le coeu iiial de l ure e les valeurs aribuées aux couleurs éa ideiques. Or, j ai cosaé qu à chaque fois o obeai le même gai moye (ou espérace mahémaique de gai) que les irages soie fais avec ou sas remise alors que je pesais avoir des résulas différes. Je me suis posé la quesio de savoir si cee paricularié éai géérale, c es à dire : quels que soie le ombre de irages avec ou sas remise, le ombre de blaches e de oires e les valeurs qui leur so aribuées, a--o oujours la même espérace mahémaique de gai? Après quelques vérificaios pour 3 e 4 (e plus) irages à l aide d EXEL où j ai oujours cosaé l égalié, je me suis aaqué au problème sur le pla gééral e je l ai résolu pour des irages bicolores (j efoce peu-êre des pores ouveres, mais je ai jamais vu cee propriéé évoquée das les mauels de Termiale). La démosraio de cee propriéé es évidemme pas au programme des classes ermiales STI ou S, mais o peu ameer les élèves à cojecurer ce résula par des expérieces successives. L éocé du problème éa doé, je fouris aux élèves des ableaux phoocopiés (j ai remarqué qu e gééral les élèves mee beaucoup de emps à racer u ableau sur leur cahier e o a iérê à fourir des phoocopies de ableaux ou préparés, le gai de emps es appréciable). (*) Lycée «Les Lombards», Troyes.

2 o 443 Pei essai sur les irages das ue ure 75 Nb B Nb N 5 To b 5 P(B) Gai B Gai N -2 3 irages avec remises 3 irages sas remises Évé b B proba gai P G proba gai P G 3 2 somme Ils le remplisse e uilisa u arbre pour déermier les évéemes e calculer leurs probabiliés, puis les espéraces mahémaiques do o cosae l égalié. Das u deuxième emps o repred l exercice e e modifia que les valeurs aribuées aux couleurs e o refai calculer l espérace mahémaique das les deux cas de irages. eci peu êre fai assez rapideme e fourissa aux élèves des ableaux de calculs préparés où ils o plus qu à calculer les gais, les g i p i e leurs sommes, ableaux créés par u ableur comme celui-ci : Nb B Nb N 5 To b 5 P(B) Gai B Gai N 3 irages avec remises 3 irages sas remises Évé b B proba gai P G proba gai P G 3B B N B 2N N somme Das u roisième emps o modifie la composiio de l ure e les valeurs des gais e, oujours avec l aide de ableaux préparés, o refai cosaer que le mode de irage e modifie pas l espérace mahémaique (o peu doer les ableaux à faire e exercices à la maiso e corôler les résulas au cours suiva). Il es pas quesio de faire e classe la démosraio de cee propriéé. J idique aux élèves que cee démosraio exise e que la propriéé es vérifiée. O peu aussi poser la quesio des valeurs à doer aux gais pour que le jeu soi équiable, c es à dire à espérace ulle, pour ue composiio doée de l ure. Reveos à ore préoccupaio : l espérace mahémaique e déped pas du mode de irage.

3 76 Das os classes o 443 PROBLÈME Das ue ure o place boules blaches e oires. O effecue irages successifs d ue boule soi avec remise, soi sas remise. O suppose l équiprobabilié de sorie des boules e que e so supérieurs à. O e ie pas compe de l ordre de sorie des couleurs. haque blache doe u gai x e chaque oire doe u gai y. Moros que l espérace mahémaique du gai es la même das les deux cas de irage e que l o a : où p = es la proporio de blaches das l ure. + ) Les irages avec remise Le ombre X de boules blaches sories sur les irages sui ue loi biomiale de paramères, le ombre de irages, e p =, la proporio de blaches das + l ure. La proporio de oires es doc p =. + O a doc P( X = i) = p ( p) avec i varia de à. Pour i blaches sories, il y a ( i) oires e le gai d u el irage es doc G = ix + ( i)y. L espérace mahémaique de gai es alors : EG = ( ix + ( i) y) i p i ( p) i, i i i EG = x i p ( p ) + y ( i ) p ( E ea compe que pour i = le premier erme de la somme du coefficie de x es ul e que pour i = c es le derier de la somme du coefficie de y qui es ul, o peu réécrire : i i i EG = x i p ( p ) + y ( i ) p ( E remarqua que i e ( i) = (remarque ), o a alors : i i i EG = x p ( p ) + y p ( i i i i i = EG = ( px+ ( p) y) i i i i i i i i i i i

4 o 443 Pei essai sur les irages das ue ure 77 O peu alors facoriser p das la première somme e ( p) das la secode : i i i EG = px p ( p ) + ( p ) y p ( O effecue le chageme d idice suiva : j = i das la somme faceur de x. Quad i varie de à, j varie de à. ee somme se récri alors : O recoaî que les deux sommes so le développeme de (( p) + p) selo la formule du biôme de Newo e comme ( p) + p = ces sommes vale doc (ou la somme des probabiliés pour la loi biomiale de paramères ( ) e p). O a alors : EG = ( px+ ( p) y), ce qui es bie le résula escompé. 2 ) Tirages sas remise Pour irages successifs d ue boule sas remise (o e reie que le ombre de blaches e de oires obeues sas eir compe de l ordre des sories), appelos i le ombre de blaches irées parmi les e ( i) celui de oires parmi les. Il y a ( + ) boules au oal. O peu aussi cosidérer que l o effecue u irage de boules simulaéme parmi les ( + ) boules, ce irage doa i boules blaches e ( i) oires. La probabilié d u el irage es : i i P(X = i) = P(Y = i) = e le gai pour i blaches e ( i) oires es, comme au o, G = ix + ( i)y. L espérace mahémaique du gai es doée par : EG ( ( ) ) = i i ix + i y. Avec la remarque du o, ous pouvos écrire : EG = +. i i i i x y + j ( ) j j= pj( p). osidéra que = e p e p =, o obie = alors : + + i i ( ) i

5 78 Das os classes o 443 EG = + ( ). px p y i i i i + Posos : A = e B =. O effecue le i i + chageme d idice suiva : j = i das la somme A. Quad i varie de à, j varie de à. La somme se récri alors : j ( ) j A =. ( ) + j= i i + Le produi a j = j ( ) représee le ombre de faços de choisir j boules blaches parmi ( ) e ( ) j boules oires parmi. Le erme b = ( ) + représee le ombre de faços de choisir ( ) boules parmi ( ) +. Le quoie a/b des deux ermes es doc la probabilié de sorir j boules blaches e ( ) j oires e effecua ( ) irages successifs d ue boule sas remises (ou das u irage de ( ) boules simulaéme) das u esemble de ( ) + boules. La somme A es doc la somme des probabiliés de ous les irages pour j varia de à ( ). ee somme vau doc. De même, la somme B s ierprèe comme la somme des probabiliés de sorir i boules blaches parmi e ( ) i oires parmi ( ) das u esemble de ( ) + boules pour i varia de à ( ). Elle vau égaleme. Nous obeos ecore : EG = ( px+ ( p) y) ou e reprea le ombre de blaches e de oires : x + y EG =. + EG es doc la moyee des gais de l esemble des boules mulipliée par le ombre de irages. L espérace mahémaique du gai e déped doc pas du mode de irage employé. Jeu équiable. Pour que le jeu soi équiable il fau que EG soi ulle. e qui ous doe : px + ( p)y =, soi : i

6 o 443 Pei essai sur les irages das ue ure 79 x y = p p = =. Il fau doc choisir les gais x e y iverseme proporioels au rappor blaches/oires e cela e déped pas du ombre de irages. ee démosraio es assez lourde du fai de l uilisaio des coefficies du biôme. Paul-Louis Heequi (que je remercie pour ses coseils) m e a idiqué ue aure, plus simple, que voici : Au dépar l ure coie boules blaches e oires. O peu effecuer das cee ure : soi irages avec remise ( eier quelcoque), soir irages sas remise ( + ). O appelle A i l évéeme «au i-ème irage la boule es blache». Pour ou i compris ere e o a : P(A ) = i + das les deux cas. a) Si le irage es avec remise, ous les irages so fais das ue ure où il y a oujours la même composiio de blaches e oires e P(A i ) e déped pas de i e vau. + b ) Si les irages so fais sas remise, o a P(A ) =. + Au lieu d effecuer irages sas remise, o peu cosidérer que l o fai u irage de boules simulaéme e qu o les uméroe, 2,,. U irage de boules uméroées es u arrageme de boules parmi ( + ). Il y a alors ( + ) ( + ) ( + + ) irages possibles (ombre d arragemes) e il y a ( + ) ( + + ) irages où la i-ème boule es blache ( choix de la i-ème boule chacu éa associé à u arrageme de boules parmi les ( + ) resaes. La probabilié de A i es bie + e e déped pas du rag i. Doc das les deux cas o a oujours P(A ) = i. + Si o oe X le ombre de blaches obeues e irages, ce ombre peu s écrire :

7 7 Das os classes o 443 avec X = A e, par liéarié de l espérace mahémaique : avec A = si A es réalisé sio E(X ) = E( A ) = P( Ai ) = + = p p = +. Si chaque blache rappore x, l espérace sera alors px. De même la probabilié de sorie d ue oire éa p e so gai y, l espérace des gais des oires sera ( p)y e, par liéarié, l espérace oale es bie : EG = ( px+ ( p) y), ee propriéé peu se gééraliser à u ombre quelcoque de couleurs e de irages. Pour ue couleur c doée parmi les couleurs c, c,, c o éabli que la probabilié que la i-ème boule irée soi de cee couleur es égale à b b + b + K+ b 2 où b es le ombre de boules de la couleur c e cosidéra ue pariio de l esemble des boules e deux sous-esembles : celles de la couleur c d ue par e oues les aures d aure par, o es aisi rameé au problème de deux couleurs. L espérace se calcule par liéarié e e déped pas du mode de irage. Pour coclure, j ai eu l idée de ce essai pour doer ue base de ravaux praiques de probabiliés, abordables avec des moyes élémeaires : u arbre des choix. O peu arriver à ameer les élèves à ue coclusio e deux séaces de TD d ue heure, e prépara les ableaux de calculs e e se limia à deux e rois irages. J ai eé de le faire avec rois couleurs, mais les calculs deviee logs pour plus de deux irages.