* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. k n) X k (1 X) n k.

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1 Exo7 Suites et séries de foctios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice Etudier les suites de foctios suivates covergece simple, covergece uiforme, covergece localemet uiforme ** f x x ** f + x x e x 0 x! 3 ** f x x si πx Correctio [00576] Exercice *** I Pour N, o pose f x { x si x [0,] 0 si x Motrer que la suite f N coverge uiformémet sur R + vers la foctio f : x e x A l aide de la suite f N, calculer l itégrale de GAUSS + 0 e x dx Correctio [00577] Exercice 3 *** I Polyômes de BERNSTEIN Théorème de WEIERSTRASS Soit f ue applicatio cotiue sur [0,] à valeurs das R Pour etier aturel o ul, o défiit le -ème polyôme de BERNSTEIN associé à f par B f 0 f X X a Calculer B f quad f est la foctio x, quad f est la foctio x x, quad f est la foctio x xx b E déduire que 0 X X X X X E séparat les etiers tels que x > α et les etiers tels que x α α > 0 doé, motrer que la suite de polyômes B f N coverge uiformémet vers f sur [0,] 3 Motrer le théorème de WEIERSTRASS : soit f ue applicatio cotiue sur [a,b] à valeurs das R Motrer que f est limite uiforme sur [a,b] d ue suite de polyômes Correctio [00578] Exercice 4 ** I Soit P N ue suite de polyômes covergeat uiformémet sur R vers ue foctio f Motrer que f est u polyôme Correctio [00579]

2 Exercice 5 ** Soit f x + x six Motrer que f est de classe C sur ],[ Calculer f x et e déduire que f x arcta xsix xcosx Correctio [005730] Exercice 6 ** Soit f x + lx Domaie de défiitio de f O étudie esuite f sur ],+ [ Cotiuité de f et limites de f e et + 3 Motrer que f est de classe C sur ],+ [ et dresser so tableau de variatio Correctio [00573] Exercice 7 ** Etudier covergece simple, covergece absolue, covergece uiforme, covergece ormale les séries de foctios de termes gééraux : f x x e x sur R + f x + 3 x sur R + 3 f x x +x Correctio [00573] Exercice 8 ** I Motrer que pour tout réel a > 0, Correctio 0 +x dx a + 0 +a [005733] Exercice 9 ** Pour N, soit f t l + t +t Etudier la covergece simple et uiforme de la série de terme gééral f puis la cotiuité de la somme f Motrer que lim t + f t l π à l aide de la formule de STIRLING Correctio [005734] Exercice 0 ** Pour N et t R, soit f t arctat Etude complète de f + f : domaie de défiitio, parité, limites, cotiuité, dérivabilité vérifier que f est pas dérivable e 0, allure du graphe Correctio [005735] Exercice ** Pour x > 0, o pose f x + 0 e x Trouver u équivalet simple de f e 0 à droite Correctio [005736]

3 Exercice *** Pour x ],[, o pose f x + x Trouver u équivalet simple de f e Correctio [005737] Retrouver cette fiche et d autres exercices de maths sur exo7emathfr 3

4 Correctio de l exercice Pour tout etier aturel, f est défiie sur R et impaire Covergece simple sur R Soit x R Si x 0, pour tout etier aturel, f x 0 et doc lim + f x 0 Si x 0, f x x et de ouveau lim + f x 0 + La suite de foctios f N coverge simplemet sur R vers la foctio ulle Covergece uiforme sur R O peut oter tout de suite que pour tout N, f f O e déduit que f e ted pas vers 0 quad ted vers + et doc La suite de foctios f N e coverge pas uiformémet sur R vers la foctio ulle Si o a pas remarqué ce qui précède, o étudie la foctio f sur R + f état impaire das le but de détermier sup f x 0 x R Soit N La foctio f est dérivable sur R + et pour tout réel positif x, f x + x x x + x x Par suite, la foctio f + x est croissate sur [ 0, ] [ et décroissate sur,+ [ Puisque la foctio f est positive sur R +, sup f x 0 f qui e ted pas vers 0 quad x R ted vers l ifii Covergece uiforme et localemet uiforme sur ]0,+ [ La suite de foctios f N e coverge toujours pas uiformémet vers la foctio ulle sur ]0,+ [ car pour, sup f x 0 x R Soit a u réel strictemet positif fixé Soit > a O a 0 < < a et doc la foctio f est décroissate sur [a,+ [ Par suite, pour tout réel x de [a,+ [, 0 f x f a Doc sup f x 0 f a pour > a O e déduit que lim + sup f x 0 0 Doc la x [a,+ [ x [a,+ [ suite de foctios f N coverge uiformémet vers la foctio ulle sur tout itervalle de la forme [a,+ [ où a > 0 et e particulier coverge localemet uiformémet vers la foctio ulle sur ]0,+ [ mais e coverge pas uiformémet vers la foctio ulle sur ]0,+ [ Covergece simple sur R Soit x R O sait que e x lim + 0 x! et doc la suite f N coverge simplemet sur R vers la foctio costate f : x Covergece uiforme sur R et R + lim x f x f x + Par suite, pour tout etier aturel, la foctio f f est pas borée sur R La suite de foctios f N e coverge doc pas uiformémet vers f sur R lim x + f x f x et doc sup f x f x La suite de foctios f N e coverge x [0,+ [ doc pas uiformémet vers f sur R + Covergece localemet uiforme sur R Soit [a,b] u segmet de R Pour N, posos g f f La foctio g est dérivable sur R et pour x R g x e x 0 x! + 0 x! e x x! Si est pair, la foctio g est décroissate sur R et s aule e 0 Si est impair, la foctio g est croissate sur R, décroissate sur R + et s aule e 0 Das les deux cas, si x [a,b], g x Max{ g a, g b } avec égalité effectivemet obteue pour x a ou x b Doc sup gx Max{ g a, g b } g a+g b+ g a g b x [a,b] Cette derière expressio ted vers 0 quad ted vers + O e déduit que la suite de foctios f N coverge uiformémet vers f sur tout segmet [a,b] coteu das R ou ecore 4

5 la suite de foctios f N coverge localemet uiformémet vers la foctio f : x sur R 3 Pour x réel et etier aturel, o pose f x x si π x Covergece simple Soit x réel fixé si π x 0 x Z Das ce cas, lim + f x 0 Si x / Z, la suite f x N coverge la suite x N coverge x < 0 < x < Das ce cas, lim + f x 0 La suite de foctios f N coverge simplemet vers la foctio ulle sur [0,] Z Covergece uiforme sur [0,] Soit u etier aturel o ul fixé sup f x 0 f si π x [0,] Cette derière expressio est équivalete à π e e + et e particulier e ted pas vers 0 quad ted vers + La suite de foctios f N e coverge pas uiformémet vers la foctio ulle sur [0,] dt l t y x x La suite de foctios f N e coverge pas uiformémet vers la foctio ulle sur [0,] Correctio de l exercice Covergece simple sur R + Soit x u réel positif fixé Pour > x, f x x et doc f x x + exp l x + exp x + o + Doc la suite de foctios f N coverge simplemet sur R + vers la foctio f : x e x { Covergece uiforme sur R + Pour x réel positif et etier aturel o ul, posos g x f x f x e x x si x [0,] e x Détermios la bore supérieure de la foctio g si x > sur [0,+ [ La foctio g est défiie et cotiue sur R + Pour x, 0 < g x e g Etudios la foctio g sur [0,] Pour x [0,], g x e x + x g est la dérivée à gauche de la foctio g e, mais o peut motrer qu e fait la foctio g est dérivable e pour > 5

6 La foctio g est cotiue sur le segmet [0,] et admet doc sur [0,] u miimum et u maximum La foctio g a u miimum égal à 0 atteit e 0 E effet, o sait que pour tout réel u, e u + u iégalité de covexité et doc pour tout réel x de [0,], e x/ x 0 Après élévatio des deux membres de cette iégalité, par croissace de t t sur R +, o obtiet e x x ou ecore g x 0 g 0 Pour 0 < x, les iégalités précédetes sot strictes et la foctio g /[0,] admet so maximum das ]0,] De plus, g e < 0 et puisque la foctio g est de classe C sur [0,], sa dérivée g est strictemet égative sur u voisiage à gauche de La foctio g est alors strictemet décroissate sur ce voisiage et la foctio g admet écessairemet so maximum sur R + e u certai poit x de ]0,[ E u tel poit, puisque l itervalle ]0,[ est ouvert, o sait que la dérivée de la foctio g s aule L égalité g x 0 fourit x e x et doc g x e x x x e x x e x E résumé, pour tout réel positif x, 0 g x x e x où x est u certai réel de ]0,[ Pour u réel positif, posos hu ue u La foctio h est dérivable sur /mbr + et pour u 0, h u ue u Par suite, la foctio h admet u maximum e égal à e O a motré que x [0,+ [, N, 0 g x e ou ecore N, sup{ g x, x 0} e Aisi, lim + sup{ g x, x 0} 0 et o a motré que la suite de foctios f N coverge uiformémet sur R + vers la foctio x e x Existece de I + 0 e x dx La foctio x e x est cotiue sur [0,+ [ et égligeable devat e + x Doc la foctio x e x est itégrable sur [0,+ [ Par suite, I existe das R O est alors e droit d espérer que I lim f x dx La foctio x f x est cotiue sur [0,+ [ et ulle sur [,+ [ Doc la foctio x f x est itégrable sur [0,+ [ Pour N, posos I + 0 f x dx 0 x dx Motros que I ted vers I quad ted vers + I I 0 f x f x dx + + e x dx e + + e x dx e + + e x dx Puisque la foctio x e x est itégrable sur [0,+ [, cette derière expressio ted vers 0 quad ted vers + et doc lim + I I Calcul de la limite de I Soit N Les chagemets de variables x u puis u cosv fourisset I 0 x dx 0 u du π/ 0 si + v dv W + où W est la -ème itégrale de WALLIS O a déjà vu exercice classique, voir fiches de Maths Sup que W π + et doc I + π + π + Fialemet, I ted vers π quad ted vers + et doc + 0 e x dx π Vous pouvez voir différets calculs de l itégrale de GAUSS das «Grads classiques de cocours : itégratio» Correctio de l exercice 3 6

7 a Soit N Si x [0,], f x, Si x [0,], f x x, B f 0 0 X B f 0 X X X X X + X X X X Si x [0,], f x xx, alors B f 0 X X X X X X X et doc B f 0 Pour et [[, ]]!!!!! Par suite, B f ce qui reste vrai pour X X 0 b D après la questio précédete 0 X X X X X 0 0 X X X X X X X X X X X X X + X 0 0 X X X X X 0 + X X X 0 X X X 0 0 X X X + X X X X + X X + X X X Soit ε > 0 Soiet u etier aturel o ul et α u réel strictemet positif doé Soit x u réel de [0,] Notos A resp B l esemble des etiers [[0,]] tels que x < α resp x α Si A ou B sot vides, les sommes ci-dessous correspodates sot ulles f x B f x 0 A f x f f x f x x x x + B f x f x x f est cotiue sur le segmet [0,] et doc est uiformémet cotiue sur ce segmet d après le théorème de HEINE Par suite, il existe α > 0 tel que si x et y sot deux réels de [0,] tels que x y < α alors f x f y < ε α est aisi doréavat fixé Pour ce choix de α, 7

8 A f x f x x ε A x x ε 0 x x ε Esuite, la foctio f est cotiue sur le segmet [0,] et doc est borée sur ce segmet Soit M u majorat de la foctio f sur [0,] B f x f x x M B x x Mais si B, l iégalité x α fourit x et doc α B x x α B E résumé, pour tout réel x [0,] α x x α x x x α 4 x 0 4α f x B f x ε + M 4α ε + M α x x x M M Maiteat, puisque lim + 0, il existe u etier aturel o ul N tel que pour N, α α < ε Pour N, o a f x B f x < ε + ε ε O a motré que et doc que ε > 0, N N / N, x [0,], N f x B f x < ε, la suite de polyômes B f N coverge uiformémet sur [0,] vers f 3 La questio motre le théorème de WEIERSTRASS das le cas du segmet [0,] Soiet [a,b] u segmet quelcoque et f u applicatio cotiue sur [a,b] Pour x [0,], posos gx f a + b ax La foctio g est cotiue sur [0,] et doc il existe ue suite de polyômes P covergeat uiformémet vers g sur [0,] Pour N, posos Q P X a b a Soit ε > 0 N tel que N, y [0,], gy P y < ε Soiet x [a,b] et N Le réel y x a b a est das [0,] et f x Q x f a + b ay Q a + b ay gy P y < ε Ceci démotre que la suite de polyômes Q N coverge uiformémet vers la foctio f sur [a,b] Correctio de l exercice 4 Posos f lim + P Le critère de CAUCHY de covergece uiforme appliqué à ε permet d écrire N N/ N, m N, x R, P x P m x Pour N, les polyômes P N P sot borés sur R et doc costats Par suite, pour chaque N, il existe a R tel que P N P a Puisque la suite P coverge simplemet sur R, La suite a P N 0 P 0 coverge vers u réel que l o ote a O fait alors tedre ted vers + das l égalité et o obtiet O a motré que f est u polyôme f P N a Correctio de l exercice 5 8

9 Pour x ],[ et etier aturel o ul, posos f x x six Soit x ],[ Pour etier aturel o ul, f x x Or, la série géométrique de terme gééral x,, est covergete et doc la série umérique de terme gééral f x est absolumet covergete et e particulier covergete O e déduit que f x existe f est défiie sur ],[ Soit a ]0,[ Chaque f,, est de classe C sur [ a,a] et pour x [ a,a], Pour x [ a,a] et N, f x x six + x cosx f x a + a a Puisque la série umérique de terme gééral a,, coverge, la série de foctios de terme gééral f,, est ormalemet et doc uiformémet sur [ a,a] E résumé, la série de foctios de terme gééral f,, coverge simplemet vers f sur [ a,a], chaque foctio f,, est de classe C sur [ a,a], la série de foctios de terme gééral f coverge uiformémet sur [ a,a] D après u corollaire du théorème de dérivatio terme à terme, f est de classe C sur [ a,a] pour tout réel a de ]0,[ et doc sur ],[ et sa dérivée s obtiet par dérivatio terme à terme f est de classe C sur ],[ et x ],[, f x + x six + x cosx Aisi, pour x ],[ f x + x six + x cosx Im e ix Im xe ix six + xcosx x x xcosx + + xe ix + Re xe ix Im x e ix + Re e ix xe ix x xcosx Re x e ix Mais, pour x ],[, xsix xcosx six+xcosx xcosx xsix cosx+xsix six+xcosx x xcosx xcosx et doc xsix six + xcosx x arcta xcosx xcosx + xsix xcosx six + xcosx x x xcosx + f x xe ix xe ix x xcosx + six + xcosx x xcosx + x si x Fialemet, pour x ], [, f x f 0 + x 0 f t dt 0 + arcta xsix xcosx arcta0 arcta xsix xcosx x ],[, + x six arcta xsix xcosx 9

10 Correctio de l exercice 6 Pour etier aturel o ul, o ote f la foctio x lx Pour tout réel x, f x existe si et seulemet si chaque f x, N, existe et la série umérique de terme gééral f x, N, coverge Pour N et x R, f x existe si et seulemet si x > 0 et x { } Soit doc x D ]0,+ [\ p, p N Pour > x, o a lx > 0 O e déduit que la suite lx est positive et décroissate à partir N d u certai et ted vers 0 quad ted vers + Aisi, la série umérique de terme gééral f x coverge e vertu du critère spécial aux séries alterées et doc f x existe Le domaie de défiitio de f est D ]0,+ [\ {, N } Limite de f e + Soit x > Doc f x existe Pour tout etier aturel o ul, lx > 0 O e déduit que la suite lx est décroissate O sait alors que la valeur absolue de f x est majorée N par la valeur absolue du premier terme de la série Aisi x >, f x 0 et e particulier lx lim x + f x 0 lx, O peut oter de plus que pour x >, f x est du sige du premier terme de la série à savoir lx et doc x ],+ [, f x > 0 Covergece uiforme sur], + [ D après ue majoratio classique du reste à l ordre alterée d ue série alterée, pour x > et aturel o ul, R x + + lx l+x l+x + Doc, pour tout etier aturel o ul, sup R x l+ et doc lim + sup R x 0 La x ],+ [ x ],+ [ série de foctios de terme gééral f coverge uiformémet vers sa somme sur ],+ [ Cotiuité sur ],+ [ Chaque foctio f, N est cotiue sur ],+ [ et doc f est doc cotiue sur ],+ [ e tat que limite uiforme sur ],+ [ d ue suite de foctios cotiues sur ],+ [ f est cotiue sur ],+ [ Limite e à droite Soit Quad x ted vers par valeurs supérieures, f x ted vers l l Puisque la série de foctios de terme gééral f,, coverge uiformémet vers sa somme sur ], + [, le théorème d iterversio des limites permet d affirmer que la série umérique de terme gééral l, coverge et que la foctio x f x lx + f x ted vers le réel + l quad x ted vers par valeurs supérieures ou ecore f x x + lx + O et e particulier, lim f x + x x> 3 La série de foctios de terme gééral f,, coverge simplemet vers la foctio f sur ],+ [ De plus chaque foctio f est de classe C sur ],+ [ et pour N et x >, f x xl x 0

11 Il reste à vérifier la covergece uiforme de la série de foctios de terme gééral f sur ],+ [ Soit x > La série de terme gééral f x est alterée car so terme gééral est alteré e sige et sa valeur absolue à savoir ted vers zéro quad ted vers + e décroissat Doc, d après ue xl x majoratio classique du reste à l ordre d ue série alterée, R x xl x xl +x xl +x l + Par suite, sup R x et doc lim l + + sup R x 0 Aisi, la série de foctios de x ],+ [ x ],+ [ terme gééral f,, coverge uiformémet sur ],+ [ E résumé, la série de foctios de terme gééral f,, coverge simplemet vers f sur ],+ [, chaque foctio f,, est de classe C sur ],+ [, la série de foctios de terme gééral f coverge uiformémet sur ],+ [ D après u corollaire du théorème de dérivatio terme à terme, f est de classe C sur ],+ [ et sa dérivée s obtiet par dérivatio terme à terme f est de classe C sur ],+ [ et x >, f x + xl x Pour x >, puisque la série de somme f x est alterée, f x est du sige du premier terme de la somme à savoir Par suite, x ],[, f x 0 et f est doc strictemet décroissate sur xl x ],+ [ La foctio f est décroissate sur ],+ [ Correctio de l exercice 7 Covergece simple Chaque foctio f, N, est défiie sur R Soit x R Si x < 0, f x + et la série de terme gééral f x, N, diverge grossièremet + Si x 0, puisque N, f x f 0 0, la série de terme gééral f x, N, coverge Si x > 0, f x x e x +3l 0 et doc f x o + + Das ce cas aussi, la série de terme gééral f x, N, coverge La série de foctios de terme gééral f, N, coverge simplemet sur R + Covergece ormale La foctio f 0 est la foctio ulle Soit N La foctio f est dérivable sur R + et pour tout réel positif x, f x x x e x x x e x ] [ [ La foctio f est positive sur [0,+ [, croissate sur [0, et décroissate sur,+ O e déduit que f sup x [0,+ [ f t f 4e Par suite, la série umérique de terme gééral f, N, diverge grossièremet et doc La série de foctios de terme gééral f, N, e coverge pas ormalemet sur R + Soit a > 0 Pour 4 a, o a a et doc la foctio f est décroissate sur [a,+ [ Soit doc u etier supérieur ou égal à 4 Pour tout réel t supérieur ou égal à a, o a f a t f t f a et doc f t f a sup x [a,+ [ Comme la série umérique de terme gééral f a, N, coverge, la série de foctios de terme gééral f, N, coverge ormalemet et doc uiformémet sur [a,+ [

12 Pour tout a > 0, la série de foctios de terme gééral f, N, coverge ormalemet et uiformémet sur [a,+ Covergece uiforme sur [0,+ [ Pour N et t R +, R t + + f t f + t, et doc sup R t sup f + t 4e Par suite, sup R t e ted pas vers 0 quad ted t [0,+ [ t [0,+ [ t [0,+ [ vers + et doc la série de foctios de terme gééral f, N, e coverge pas uiformémet sur R + Covergece simple Chaque foctio f, N, est défiie sur ]0,+ [ Soit x ]0,+ [ Puisque f x > 0, la série umérique de terme gééral f 3 x x coverge Doc + la série de foctios de terme gééral f, N, coverge simplemet sur ]0,+ [ Covergece ormale Soit N La foctio f est décroissate et positive sur ]0,+ [ Doc f x f 0 Puisque la série umérique de terme gééral, N, diverge sup x ]0,+ la série de foctios de terme gééral f, N, e coverge pas ormalemet sur R + Soit a > 0 Pour N, la foctio f est décroissate et positive sur 5a,+ [ et doc sup f x x [a,+ f a Comme la série umérique de terme gééral f a, N, coverge, la série de foctios de terme gééral f, N, coverge ormalemet et doc uiformémet sur [a,+ [ Pour tout a > 0, la série de foctios de terme gééral f, N, coverge ormalemet et uiformémet sur [a,+ 3 Covergece simple Chaque foctio f, N, est défiie sur R et impaire Soit x R + Si x 0, pour tout etier aturel, f x f 0 0 Das ce cas, la série umérique de terme gééral f x coverge Si x > 0, la suite x est ue suite géométrique de premier x > 0 et de raiso ]0,[ O x + N x + e déduit que la suite x est positive décroissate de limite ulle Par suite, la série umérique x + N de terme gééral f x coverge e vertu du critère spécial aux séries alterées Si x < 0, puisque pour tout etier aturel, f x f x, la série umérique de terme gééral f x coverge Fialemet la série de foctios de terme gééral f, N, coverge simplemet sur R Covergece ormale La foctio f 0 est pas borée sur R et doc la série de foctios de terme gééral f, N, est pas ormalemet covergete sur R Aalysos la covergece ormale de la série de foctios de terme gééral f,, sur R Soit N La foctio g f est dérivable sur R et pour tout réel x, g x + x +x La foctio g est positive sur R +, croissate sur la foctio g est impaire, o e déduit que x x +x + +x + [ ] 0, et décroissate sur [,+ [ Puisque

13 f sup f x g x R Mais + exp + l + + exp + + o et doc f + + e > 0 Par suite, la série umérique de terme gééral f, N, diverge et doc + la série de foctios de terme gééral f, N, e coverge pas ormalemet sur R Covergece uiforme sur R Soit N Pour x R +, puisque la suite x est positive +x N décroissate et de limite ulle, d après ue majoratio classique du reste à l ordre d ue série alterée, R x + + x +x + +x + x x g +x + + x g + +, cette iégalité restat valable pour x < 0 par parité Doc sup R x g + + D après ci-dessus, x R g + + ted vers 0 quad ted vers + et il e est de même de sup R x O a motré que x R la série de foctios de terme gééral f, N, coverge uiformémet sur R Correctio de l exercice 8 Soit N avec 0 0 t+a +a 0 0 ta dt 0 0 t a dt 0 +t a dt +t dt + a 0 t+a +t dt, a 0 t+a dt ++a Par suite, lim + 0 t+a +t dt 0 O e déduit que a la série de terme gééral +a, 0, coverge et que + 0 +a 0 +t a dt Correctio de l exercice 9 Covergece simple Soit t R Pour tout etier aturel o ul, + t +t > 0 et doc f t existe Esuite, l + t > 0 et doc la suite umérique f +t t N est alterée e sige De plus, f t l + t et la suite f +t t N ted vers 0 e décroissat O e déduit que la série de terme gééral f t,, coverge e vertu du critère spécial aux séries alterées La série de foctios de terme gééral f,, coverge simplemet sur R O pose alors f + f Covergece uiforme Soit N D après ue majoratio classique du reste à l ordre d ue série alterée, pour tout réel t o a R t l + + f t f +t l, t + +t l + t + + +t l

14 et doc, N, sup R t l + + Comme lim + l + + 0, o a ecore lim + sup R t t R t R 0 et o a motré que La série de foctios de terme gééral f,, coverge uiformémet vers f sur R Cotiuité Puisque chaque foctio f,, est cotiue sur R, la foctio f est cotiue sur R e tat que limite uiforme sur R d ue suite de foctios cotiues sur R f est cotiue sur R D après le théorème d iterversio des limites, f a ue limite réelle e + et lim t + f t + lim t + f t + l + l π voir l exercice??, 5 lim t + f t l π Correctio de l exercice 0 Domaie de défiitio Soit t R Pour chaque N, f t existe et de plus f t arctat O + Doc la série umérique de terme gééral f t,, coverge absolumet et e particulier coverge O a motré que f est défiie sur R Parité Pour tout réel t, f t + arcta t + arctat f t f est impaire Covergece ormale Pour tout réel t et tout etier aturel o ul, f t π aturel o ul, et doc pour tout etier sup f t π t R Comme la série umérique de terme gééral π,, coverge, la série de foctios de terme gééral f coverge ormalemet et doc uiformémet vers f sur R Limite de f e + Puisque la série de foctios de terme gééral f,, coverge uiformémet vers f sur R et que chaque foctio f a ue limite réelle quad t ted vers + à savoir l π, le théorème d iterversio des limites permet d affirmer que f a ue limite réelle e + et que lim t + f t + l π + π3 lim t + f t π3 et lim t f t π3 Cotiuité Puisque chaque foctio f, N, est cotiue sur R et que la série de foctios de terme gééral f coverge uiformémet vers f sur R, la foctio f est cotiue sur R e tat que limite uiforme sur R d ue suite de foctios cotiues sur R f est cotiue sur R 4

15 Dérivatio Soit a > 0 Chaque foctio f,, est de classe C sur [a,+ [ et pour N et t a, Pour N, o a alors f t + t + t sup f t f a + a Puisque + a t [a,+ [ > 0, la série de terme + a 3 gééral + a coverge et par suite, la série de foctios de terme gééral f,, coverge ormalemet et doc uiformémet sur [a,+ [ E résumé, la série de foctios de terme gééral f,, coverge simplemet vers f sur [a,+ [, chaque foctio f est de classe C sur [a,+ [, la série de foctios de terme gééral f coverge uiformémet sur [a,+ [ D après u corollaire du théorème de dérivatio terme à terme, f est de classe C sur [a,+ [ et sa dérivée s obtiet par dérivatio terme à terme Ceci état vrai pour tout a > 0, f est de classe C sur ]0,+ [ et puisque f est impaire f est de classe C sur R et t R, f t + + t Dérivabilité e 0 La foctio f est décroissate sur ]0,+ [ Doc la foctio f admet ue limite e 0 + élémet de ],+ ] Pour t > 0 et N N, o a f t N et quad t ted vers 0, o obtiet lim t 0 t>0 f t N + t Cette iégalité état vraie pour tout etier aturel o ul N, quad N ted vers + o obtiet lim t 0 t>0 f t + + O a motré que lim f t + t 0 t>0 E résumé, f est de classe C 0 sur [0,+ [, de classe C sur ]0,+ [ et f t ted vers + quad t ted vers 0 par valeurs supérieures D après u corollaire du théorème des accroissemets fiis, o sait que f est pas dérivable e 0 à droite et que sa courbe représetative admet [Oy pour demi-tagete e 0,0 Puisque f est impaire, f est pas dérivable e 0 et sa courbe représetative admet Oy pour tagete e 0,0 Allure du graphe 3 π 3 /6 y fx π 3 /6 3 Correctio de l exercice 5

16 Soit x > 0 Pour N, e x e x +l o d après u théorème de croissaces comparées O + e déduit que e x o + et doc que la série de terme gééral e x coverge Aisi, f est bie défiie sur ]0,+ [ Soit x ]0,+ [ La foctio t e x t est décroissate sur [0,+ [ Doc, N, + N, e x e x t dt E sommat ces iégalités, o obtiet Soit x ]0,+ [ E posat u x t et doc t u x L ecadremet s écrit alors Comme lim +, o a motré que x x 0 x>0 x ]0,+ [, + 0 e x t dt f x e x t dt puis dt u x du, o obtiet + 0 e x t dt x + 0 ue u du x Γ x x ]0, + [, x f x + x + 0 e x x 0, x>0 x e x t dt e x et Correctio de l exercice Soit x ],[ Pour N, x x x Puisque la série umérique de terme gééral x coverge, o e déduit que la série de terme gééral x est absolumet covergete et e particulier covergete Doc, f est bie défiie sur ],[ Soit x ]0,[ La foctio t x t e t lx est décroissate sur [0,+ [ Doc, N, + x t dt x xt dt E sommat ces iégalités, o obtiet Soit x ]0,[ E posat u t lx, o obtiet x ]0,[, + x t dt f x + 0 x t dt + 0 x t dt + 0 e t lx dt + 0 e t lx dt lx + 0 e u du L ecadremet s écrit alors x ]0,[, π Comme lim +, o a motré que lx x x< π lx 0 xt dt f x + x x, x< π lx π lx π lx 6