Mathématiques financières

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1 Uiversité Paris 7 Maîtrise MIM/MASS 2003/ MIM052 E.TEMAM Mathématiques fiacières [email protected]

2 I. Les marchés fiaciers... 3 A. Les produits fiaciers Les actios Les Obligatios Autres produits échagés... 7 B. Le marché Boursier Les sociétés de Bourse Le marché des Obligatios Le marché des Actios...9 II. Notios de taux d itérêt A. Itroductio B. Itérêts simples et composés Itérêts simples Opératios à court terme Itérêts composés La otio de capitalisatio Les types de taux : Pricipe d équivalece des taux C. Les taux sur les marchés Les différets taux Commet se formet les taux? Le taux de base bacaire (TBB) ou prime rate III. Actualisatio et actuariat A. Pricipe d actualisatio Défiitios Valeurs acquises et valeurs actuelles d ue suite de flux fiacier B. Les choix d ivestissemet Taux actuariel Comparaiso VAN/TRI C. Les empruts Les empruts idivis Les empruts obligataires IV. Les produits dérivés A. Présetatio des produits dérivés Défiitio Les cotrats à terme Les optios B. Les marchés des produits dérivés Le MATIF Le MONEP C. Stratégies complexes Stratégie sur la volatilité : le Straddle Stratégie sur la volatilité : le Stragle Stratégie sur le prix : le Collar Strip et Strap Page 2 sur 53

3 I. Les marchés fiaciers Le Marché Fiacier est le marché sur lequel s échaget les valeurs mobilières : actios, obligatios et titres dérivés (certificats d ivestissemet, titres participatifs, warrats...etc.). A. Les produits fiaciers Quatre grads types de produits fiaciers sot échagés à la bourse : Produits coditioels : Warrats, Bos, Optios Actios Obligatios Cotrats à terme 1. Les actios Défiitio : Ue actio est u Titre de propriété représetat ue fractio du capital d ue etreprise et doat à so porteur le droit de vote aux assemblées, le droit à l iformatio et aux bééfices (ommé dividede). Il existe e réalité ue très grade diversité d'actios dot ous présetos ici quelques exemples. a) L actio classique C'est la forme la plus répadue. Ce titre de propriété s'acquière cotre de l'arget soit au momet de la créatio de l'etreprise ou d'augmetatios de capital soit directemet sur le marché boursier. Elle est source de trois droits : u droit au pouvoir -via u droit de vote lors des assemblées géérales- ; u droit à l'iformatio ; u droit au résultat -sous forme de dividedes-. E effet, si la société réalise des bééfices, l'actioaire e recevra ue partie au prorata du ombre d'actios qu'il possède. Le reveu de l'actioaire s'appelle doc le dividede. Il déped des résultats fiaciers de l'etreprise. Page 3 sur 53

4 Depuis ovembre 1984, les actios sot dématérialisées. Le papier a laissé place au code Sicovam stocké das u éorme ordiateur. U des grads avatages de cette dématérialisatio est le reforcemet de la sécurité. Impossible e effet pour u actioaire de se faire voler ses titres. b) L'actio privilégiée Elle offre u privilège qui peut être ue priorité lors des votes das les assemblées géérales ou ue priorité lors de la distributio du dividede. c) L'actio à dividede prioritaire - ADP Les ADP ot été créées e Elles cofèret à leur déteteur u accès privilégié aux dividedes. Mais elles e bééficiet pas de droit de vote. Elles présetet u redemet plus élevé que l'actio ordiaire sas offrir le droit de vote. Dès lors que le profit est positif, le dividede versé doit égaler au mois 7.5% de la valeur omiale de l actio. Sio, lorsque le profit est égatif ou isuffisat, le versemet du dividede doit être reporté sur les deux exercices suivats. d) Les certificats d'ivestissemet Les certificats d'ivestissemet sot des titres sas droit de vote qui sot apparus après les atioalisatios de L objectif était de permettre des prises de participatio par le public das les etreprises atioalisées sas pour autat modifier l actioariat et faire perdre des voix à l actioaire pricipal, à savoir l Etat. Ces titres, de mois e mois répadus sur le marché fraçais, peuvet aussi bie être émis par des etreprises publiques que privées. O a doc : Certificat d'ivestissemet + Droit de vote = Actio e) Les ABSA ou Actios à Bos de souscriptio d'actios Ce sot des actios qui doet droit à leur déteteur de souscrire à de ouvelles actios à ue date doée. Elles sot e gééral, plus chères qu ue actio classique. Résumé Actio Titre de propriété Droit de l'actioaire Droit à l'iformatio Droit de vote Droit à la rémuératio Rémuératio de l'actio Sous forme de dividede Sous forme d'augmetatio du prix de l'actio plus value Risque maximum de l'actioaire : limité à la valeur de ses actios Page 4 sur 53

5 Exemple d iformatio sur l actio Frace Telecom Page 5 sur 53

6 2. Les Obligatios Défiitio : les obligatios sot des titres de créaces représetatifs de dettes. Ue obligatio doe droit au paiemet d u itérêt e gééral auel et au remboursemet du capital. Le déteteur d ue obligatio perçoit u reveu cou à l avace ou dot la révisio se réalise das les coditios prévues au momet de l émissio. E cas de faillite de l émetteur, le déteteur d ue créace est prioritaire sur l actioaire. Les obligatios peuvet être émises par les etreprises privées ou publiques, aisi que par l Etat, les admiistratios publiques et les collectivités locales. a) Vocabulaire La valeur omiale d ue obligatio est celle qui sert de base au calcul de l itérêt e gééral auel versé (le coupo). Le coupo est alors égal au taux facial (fixé à l émissio) multiplié par le omial. Le prix d émissio est le motat du versemet demadé au souscripteur lors de l émissio de l obligatio. Lorsque le prix d émissio est égal à la valeur omiale de l obligatio, l émissio est dite au pair. Mais l obligatio peut être émise soit e dessous (cas le plus fréquet), soit au-dessus de la valeur omiale. La différece etre la valeur omiale et le prix d'émissio costitue alors la prime d'émissio. La valeur de remboursemet est le motat perçu par l obligataire e remboursemet de so prêt. Lorsque la valeur de remboursemet est égale à la valeur omiale, le remboursemet est dit au pair. Mais la valeur de remboursemet peut différer de la valeur omiale. La différece costitue alors la prime de remboursemet. La possibilité de verser des primes d émissio et/ou de remboursemet permet otammet à l émetteur de predre e compte ue évolutio des taux du marché etre le motage du placemet et l émissio effective. L auité est le flux total versé chaque aée par l émetteur à l esemble des obligataires, c est-à-dire la somme des itérêts et des flux évetuels de remboursemet du pricipal. Le remboursemet de l obligatio peut être réalisé selo trois modalités pricipales différetes. Le remboursemet i fie : le remboursemet est réalisé e ue seule fois, le derier jour de la durée de vie de l obligatio. A l exceptio de la derière aée de vie de l obligatio, l auité est doc composée que des seuls itérêts versés chaque aée par l émetteur. Le remboursemet par séries ou par traches auelles égales : chaque aée, ue partie de l emprut est remboursée. U même ombre de titres, tirés au sort, est remboursé chaque aée. Le motat de l auité dimiue avec le temps, puisque l itérêt sur le capital restat dû dimiue. Le remboursemet par auités costates : l auité est costate. Aussi, puisque le motat de l itérêt sur le capital restat dû dimiue, l émetteur rembourse chaque aée (par tirage au sort), ue part croissate du pricipal. O distigue plusieurs catégories d obligatios qui répodet à des attetes différetes. Les obligatios ordiaires sot des obligatios à taux fixe dot le coupo versé e gééral ue fois par a est idetique sur toute la durée de vie du titre. Il est importat de oter que ces titres sot particulièremet vulérables au risque d iflatio e cas de variatio des taux d itérêt. Preos u exemple. Ue obligatio à 10 as d ue valeur omiale de 1000 euros, remboursée au pair i fie, et ayat u taux facial de 10% rapporte chaque aée 100 euros auxquels il faut rajouter le remboursemet du pricipal (1000 euros) à l issue de la 10 ème aée. Imagios que le déteteur de cette obligatio souhaite la revedre sur le marché avat l échéace, à u momet où le taux facial pratiqué sur les ouvelles émissios d obligatios est de 15%. Au taux du marché, ue obligatio de valeur omiale égale à 1000 euros rapporte chaque aée 150 euros ; par coséquet, persoe acceptera d acheter 1000 euros u titre e rapportat que 100 euros d itérêt auels. Pour revedre so titre, le déteteur de l obligatio doit cosetir ue baisse du prix de faço à ce que, pour Page 6 sur 53

7 l acheteur, la rémuératio soit idetique à celle du marché, ici 15%. Le déteteur revedra so obligatio à 667 euros eviro. Nous avos aisi mis e évidece ue relatio décroissate etre le prix d ue obligatio et le iveau des taux d itérêt. Il e résulte pour l acquéreur d ue obligatio u risque de taux d itérêt, c est-àdire ue risque de mois-value à la revete e cas de hausse des taux. Ce risque est particulièremet sesible aux tesios iflatioistes, lesquelles peuvet être à l origie d ue hausse des taux par les autorités moétaires. Pour pallier les défauts des obligatios à taux fixe, plusieurs iovatios ot vu le jour. Les obligatios à taux flottat sot composées des obligatios à taux variable et à taux révisable. Leur particularité est d offrir ue rémuératio (taux d itérêt) qui varie das le temps e référece à ue moyee de taux costatés sur le marché. Les titres à taux révisable verset u itérêt périodique qui est calqué sur l évolutio récete des marchés alors que ceux à taux variables procuret ue rémuératio calculée comme ue moyee des coditios offertes par le marché jusqu au jour de détachemet du coupo. Les obligatios idexées sot des titres dot la valeur de remboursemet et/ou les itérêts sot liés à l évolutio d u idice de référece. E particulier, le redemet de certais empruts est calqué sur l iflatio. Aisi, le Trésor fraçais a procédé, pour la première fois e septembre 1998, à l émissio d ue OAT (Obligatio Assimilable du Trésor) idexée sur l iflatio : l OATi. Ce titre est ue obligatio à taux fixe dot tous les flux sot payés e appliquat u coefficiet d idexatio égal à l évolutio de l iflatio etre la date iitiale et la date de paiemet du flux. L OATi est dès lors sesible qu à l évolutio des taux d itérêt réels (taux d itérêt omiaux mois taux d iflatio), historiquemet plus stables que les taux d itérêt omiaux. Ce produit fiacier offre doc ue protectio cotre les risques d iflatio o aticipée et représete, de ce fait, l actif actuellemet le mois risqué sur le marché. Comme pour les actios, existet das la catégorie des obligatios des titres hybrides, se situat e réalité à mi-chemi etre les obligatios et les actios. Il s agit par exemple des obligatios à bo de souscriptio d obligatio (OBSO), des obligatios covertibles e actios (OCA) ou des titres participatifs. Ces deriers sot assimilés à des quasi-fods propres ; ils sot e pricipe o remboursables et procuret à leurs déteteurs ue rémuératio qui est pour partie fixe et pour partie variable idexée à u idicateur de performace de la société (chiffre d affaires, résultat et ). 3. Autres produits échagés Il existe d autres produits échagés sur les marchés. Tout d abord les matières premières comme l or, le pétrole, les produits agro-alimetaires, etc. D autre part, il y les devises : euro, dollar, ye, etc. Deux grads types de produits dot ous parleros ultérieuremet : Les produits de taux Les produits dérivés Page 7 sur 53

8 B. Le marché Boursier Nous l'avos vu das la fiche sur le rôle de la bourse, ce sot les sociétés de bourse qui sot le passage obligé de l'ivestissemet e bourse car elles détieet le moopole des trasactios boursières. Jusqu'e 1988 c'étaiet des officiers miistériels (les agets de chage) qui déteaiet ce moopole, cepedat le crack de 1987 est veu modifier cette orgaisatio et les agets de chage se sot trasformés e sociétés de bourse. 1. Les sociétés de Bourse a) Euroext Cette société a pour missio de veiller au bo déroulemet de la cotatio des valeurs, elle peut iterveir pour iterrompre la cotatio, otammet das le cas d'irrégularités ou d'évéemets propres à egedrer ue spéculatio ijustifiée (OPA, OPE,...). Ue autre de ses missios et d'assurer le calcul et la cotatio des idices (ex: CAC 40) aisi que d'assurer la promotio de la place parisiee e Frace et à l'étrager. Euroext est issu de la fusio de plusieurs bourses européees (Amsterdam, Paris et Bruxelles), auparavat l'orgaisme se ommait, Parisbourse SBF SA. b) Le Coseil des Bourses de Valeurs (CBV) Le CBV tiet u rôle d'orgaisatio et de réglemetatio du marché par le biais de règlemets tels que: les coditios d'agrémet des sociétés de bourses, les dispositios déotologiques, les modes d'admissio ou de radiatio à la côte... c) La Société de Compesatio des Marchés Coditioels Cette filiale de la SBF orgaise le marché des optios égociables de Paris (MONEP). d) MATIF S.A. Cette société réalise toutes les opératios de compesatio du MATIF (Marché à Terme Iteratioal de Frace). e) La Commissio des Opératios de Bourse (COB) La COB a été créée e 1967 pour surveiller le marché, o eted d'ailleurs courammet dire qu'il s'agit du "gedarme de la bourse", c'est ue autorité admiistrative idépedate dirigée par six membres. Ses trois pricipaux rôles sot la protectio de l'éparge, l'iformatio des ivestisseurs et la garatie du bo foctioemet des égociatios. La COB dispose e outre d'u droit d'oppositio à l'admissio d'u titre ou d'u istrumet fiacier sur u marché réglemeté. Efi elle dispose d'u pouvoir de sactio e cas d'ifractio à ses règles. f) Le Coseil des marchés fiaciers (CMF) Le CMF est ue orgaisatio professioelle dirigée par u collège de seize membres. Le CMF est l'autorité des marchés fraçais et sa compétece s'éted à toutes les opératios qu'elles soiet effectuées sur u marché réglemeté ou de gré à gré. Ses pricipales attributios sot: la tutelle des marchés réglemetés, la recevabilité et la gestio des offres publiques et efi l'agrémet des itermédiaires pour la prestatio de services d'ivestissemet Page 8 sur 53

9 Le marché boursier est composé de deux compartimets : le compartimet actio -ou marché des actios- et le compartimet obligatios -ou marché des obligatios. 2. Le marché des Obligatios Sur ce marché, o va distiguer le marché primaire et le marché secodaire. Le marché primaire est celui qui cocere les ouveaux empruts émis par l'état, les collectivités locales et les etreprises, auxquels peuvet souscrire les particuliers. Le marché secodaire est le marché de l'occasio. C'est le marché sur lequel s'échaget les valeurs déjà émises. Il est tout autat accessible aux particuliers. 3. Le marché des Actios Le marché Fraçais des actios peut lui-même être subdivisé e plusieurs e sous élémets. O distigue : le marché officiel -ou cote officielle- compreat le marché à Règlemet mesuel -ou RM- et le marché au comptat ou à règlemet immédiat -ou RI ; le secod marché ; le ouveau marché ; le marché hors cote. a) Le marché officiel Les etreprises souhaitat s'itroduire sur le marché officiel doivet satisfaire à diverses coditios. Elles doivet etres autres : mettre à la dispositio du public 25% au mois de leur capital; avoir versé u dividede au cours des trois deriers exercices, lesquels doivet avoir été bééficiaires; avoir u chiffre d affaires supérieur à 500 millios de fracs; s egager à publier régulièremet des iformatios. b) Le marché à règlemet mesuel C'est sur ce marché que sot cotées les actios des etreprises les plus importates. Il s agit d u marché à terme. Il existe doc u délai etre la coclusio du cotrat (achat et vete) et so exécutio (livraiso des titres et paiemet). E effet, toutes les opératios effectuées au cours du mois sot déouées le jour de liquidatio (6ème jour de bourse). Le plaig est le suivat : 1 er jour de liquidatio : liquidatio géérale de toutes les opératios réalisées pedat le mois boursier. Il marque la fi du mois boursier. 2 eme jour de liquidatio : il est procédé aux opératios de report. Il marque le début du mois boursier suivat. 3 eme au 6 eme jour de liquidatio : livraisos des titres et règlemets selo u caledrier fixé par la SBF. Page 9 sur 53

10 Vous pouvez aisi acheter ue actio de la société Alpha 100 Euros le 10 Mars et la revedre 110 le 15 Mars sas costater de sortie d'arget sur votre compte e baque. Vous ecaissez les 10 de plusvalue à la liquidatio boursière. E d'autres termes, il y a pas de cocordace etre le mois boursier et le mois caledaire et il est possible de vedre des actios que l o e possède pas. Les opératios peuvet être déouées de trois maières différetes: attedre la liquidatio et procéder au règlemet, e titres et e capitaux; effectuer, avat la date de liquidatio, ue opératio e ses iverse (les spéculateurs à la hausse achète pour revedre). se faire reporter, c est à dire demader à ce que le règlemet et la livraiso des titres s effectue à la liquidatio suivate (estimat que os prévisios se réaliserot le mois suivat). Le marché au comptat (RI) Sur ce marché, toutes les opératios sot réalisées au comptat. c) Le secod marché Ouvert e 1983, il est destié à recevoir des etreprises de taille modeste mais dot les perspectives sot attrayates. Les coditios d admissio sot mois restrictives que sur le Marché Officiel. Les etreprises souhaitat s'itroduire au secod Marché doivet satisfaire les critères suivats: mettre à la dispositio du public 10% au mois du capital; préseter 2 aées de comptes certifiés. Les obligatios d iformatio sot e revache réduites. d) Le Nouveau Marché Le Nouveau Marché, ouvert e février 1996, est u marché autoome, régie par ue société propre : la société du Nouveau Marché (filiale de la SBF). Il s adresse à des sociétés européees, jeues, iovatrices, à fort potetiel de croissace, qui ot u besoi de capitaux importat pour se développer. Les coditios d admissios sot peu cotraigates, mais les sociétés cadidates doivet respecter des règles strictes d iformatio. Le foctioemet du Nouveau Marché est assuré par des itermédiaires fiaciers agrées par la société du Nouveau Marché : les itroducteurs teeurs de marché assuret l itroductio des sociétés et la teue du marché de leurs titres (cotatio permaete des divers titres) les égociateurs courtiers : ils exécutet les ordres de leurs cliets ou les leurs propres. les compesateurs : déouet les opératios effectués. e) Le Marché Hors Cote C est u marché de moidre importace, réservé aux petites etreprises, ou à celles qui ot été rétrogradées du comptat ou du RM... Il s agit d u marché étroit, c est à dire que le volume des trasactios y est faible. Les coditios d admissio sur ce marché y sot simples puisque importe quelle société peut y être admise à coditio de préseter les trois deriers bilas. Page 10 sur 53

11 f) Les Marchés Dérivés Il s'agit des marchés de produits dérivés dot fot partie etre autre les cotrat à terme et les optios. De plus amples explicatios sot dispoibles das la descriptio des produits traités sur les marchés. Page 11 sur 53

12 II. Notios de taux d itérêt A. Itroductio Pour ous guider das otre choix d allocatio, ous allos utiliser des modèles théoriques, reposat sur les pricipes de l actualisatio. Défiitio : l itérêt est le loyer de l arget. Pour u cosommateur, l itérêt est le prix à payer pour la jouissace immédiate d u bie de cosommatio (ex : automobile, appartemet). Pour u épargat, l itérêt est la récompese pour la remise à plus tard de cette jouissace. Défiitio : Le taux d itérêt est la mesure du loyer. So motat est le résultat d offres et de demades. Ce taux est ue foctio du temps (croissate) du risque (il y a u risque de cotrepartie : l empruteur peut faire défaut. Le taux d itérêt sera ue foctio croissate du risque ; plus l empruteur fait predre de risque, plus le taux est élevé) des coditios écoomiques e gééral (si le prêteur a possibilité de placer so arget à 4.5%, il acceptera pas de prêter à mois). La demade : les demadeurs sot soit les particuliers pour des bies de cosommatio, soit des etreprises pour de l ivestissemet. L offre : les acteurs de l offre sot les baques (et doc les idividus!), les fods de pesio, etc. B. Itérêts simples et composés L itérêt simple est essetiellemet utilisé pour des opératios à court terme (mois d u a). 1. Itérêts simples a) Défiitio Notatios : VI : le capital iitial (somme prêtée ou emprutée), Vf : le capital fial r : taux d itérêt simple pour ue période : ombre de périodes (horizo du placemet) I t : motat d itérêt accumulé sur t périodes i t : motat d itérêt pour la période t. Défiitio : l itérêt est dit simple lorsqu il est calculé à chaque période seulemet sur la base de la somme prêtée ou emprutée à l origie. Si les itérêts sot payés à la fi, le capital est Vf = VI(1 + r) De plus I = t r VI; i = r VI t t Page 12 sur 53

13 Itérêt et capital VI i 1 =VI.r I 3 =3VI.r i 5 =VI.r ; I 5 =VI5r Périodes de temps Exercice : o réalise u ivestissemet de 350. Le taux d itérêt est fixé à 7%. La rémuératio doit se faire sur 14 as. Quel est l itérêt versé sur la période 1? Quel est l itérêt total à la période 12? Quel est le capital fial? Solutio : l itérêt versé sur la période 1 est celui versé sur importe quelle période : i1 = rvi doc i 1 = 0,07*350 = 24,5 L itérêt total à la période 12 : I = 12 i = Le capital fial : Vf ( r) VI ( ) = 1+ = , = 693 A vous : Ivestissemet = 12'435 ; taux d itérêt = 4,5% ; horizo = 29 as Exercice : A quel taux auel a été placé u capital de ayat gééré u itérêt de 2500 après deux as? Solutio : le placemet a rapporté 2500 sur deux périodes doc, 1250 sur ue période. Aisi, r = 1250 r = 6, 25% D ue maière géérale, lorsque l o coaît trois des variables VF, VI,, r, o peut détermier la derière. et r doivet être exprimés das la même uité de temps. Gééralemet o parle de taux auel. Pour les opératios à court terme, l aée est divisée e 360 jours, 24 quizaies ou 12 mois. Exemple : Taux auel Taux semestriel Taux mesuel Taux jouralier r r/2 r/12 r/ % 6% 1% 1/30% Page 13 sur 53

14 A vous : Quel est le motat de l itérêt relatif à u placemet d u motat de sur 162 jours? b) Versemet des itérêts à la fi ou au début Quad les itérêts sot versés e début de période o parle de taux précomptés ou terme à échoir. Quad ils sot versés e fi de période, o parle de taux post-comptés ou terme échu. Le préteur préfère recevoir les itérêts e début de période et iversemet pour l empruteur. Empruter ue somme VI pedat périodes au taux précompté r implique le versemet immédiat d u itérêt qui vaut VI r. La somme réellemet à dispositio de l empruteur est doc égale au capital empruté VI mois les itérêts exigibles immédiatemet. Les flux fiaciers e début et e fi de période sot Début de période Capital +VI -VI Itérêt - VI r Total VI(1 r) -VI Fi de période Cosidéros u autre empruteur qui souhaite réaliser ue opératio à u taux d itérêt post-compté r, taux lui permettat d ecaisser et de décaisser les mêmes flux que le premier cliet. La somme emprutée est otée VI et les itérêts versés e fi de la période se motet à VI r. Début de période Capital +VI -VI Fi de période Itérêt - VI r Total VI -VI (1+ r ) L égalité des deux séqueces de flux doe : VI ' = VI(1 r) 1 (1 r)(1 + r ') = 1 r ' = 1 VI = VI '(1 + r ') 1 r 2. Opératios à court terme a) L escompte L escompte permet de trasformer ue créace, matérialisée par u effet de commerce, e liquidités : la baque accorde u crédit à court terme sur la base de l effet e créditat le compte de l etreprise du motat de l effet escompté dimiué des agios précomptés; o parle das ce cas d escompte commercial. Il est de beaucoup le plus employé e Frace. Ue autre techique de calcul est appelée escompte ratioel : l itérêt s applique das ce cas o plus à la valeur omiale de l effet mais à sa valeur actuelle, après déductio des itérêts post-comptés d escompte. Soiet V la valeur omiale de l effet r le taux d itérêt pour ue période le ombre de périodes W la valeur de l effet après déductio des itérêts d escompte : W=V-E L escompte commercial est : E c =V*r* Vr L escompte ratioel est : E r =W*r*=(V-E r )*r* et doc Er = 1 + r Page 14 sur 53

15 Exemple : U effet de est escompté sur ue durée de 60 jours au taux de 7%. Quelles sot les valeurs de l escompte commercial et de l escompte ratioel? Quel est le taux d itérêt effectif das les deux cas? 60 L escompte commercial est , 07 = 233, ,07 L escompte ratioel est 360 = 230, , Le taux de l escompte ratioel est bie de 7% car il s agit d itérêts post-comptés. E revache le 0,07 taux de l escompte commercial est r = = 7,08% , b) Le découvert Le recours au découvert ou avace e compte courat se traduit par u compte débiteur. La baque accorde u plafod de découvert, égocié habituellemet avec l etreprise ou le particulier. Le grad avatage du découvert est sa souplesse d utilisatio. Le coût du découvert est affecté par : La commissio de plus fort découvert, au taux de 0,05% par exemple, qui s applique au plus fort solde débiteur mesuel Ue commissio de cofirmatio, parfois appliquée lorsque le découvert est cofirmé par écrit par la baque. Das ce cas, cette commissio est de l ordre de 1% du plafod autorisé. Les itérêts résultat de l applicatio du taux de découvert. Ils calculet sur la base des ombres débiteurs : il s agit du produit du solde débiteur avec le ombre de jours pedat lesquels ce solde a été maiteu à u même iveau. Exemple : U particulier souffre d u découvert de 100 pedat 10 jours et de 30 pedat 20 jours. Le taux de découvert est de 12% auel. La commissio de cofirmatio est de 1% du plafod (ici 200 ) et la commissio de plus fort découvert de 0,07%. Calculer les agios payés par ce particulier et le taux effectif. La commissio de plus fort découvert sera de 0,07% 100 = 0,07 La commissio de cofirmatio est de 0, = Les itérêts 100 0, ,12 = 0, , 6033 Le taux effectif sur u mois sera doc de = 4,88% aocé. O voit que la commissio de cofirmatio alourdie cosidérablemet la charge. cotre 12% 1% 12 = 3. Itérêts composés Défiitio : le taux d itérêt est dit composé lorsqu à la fi de chaque période l itérêt s ajoute au capital de début de période pour former la base de calcul de l itérêt pour la période suivate. Le motat d'itérêt et le capital chaget à chaque période Page 15 sur 53

16 Ue somme d arget VI placée sur périodes au taux d itérêt composé r, géère la première aée u itérêt égale à VI r qui, s il est pas immédiatemet retiré, sera ajouté au capital ivesti la secode période. Aisi, au début de la deuxième période, le capital ivesti est de V1 = VI + VI r = VI(1 + r) A l issu de cette période les itérêts se moterot doc à VI(1 + r) r. Plus gééralemet : Itérêt et capital VI i 1 =VI.r I 3 =VI(1+r) 3 i 5 =rvi(1+r) 4 ; I 5 =VI(1+r) Périodes de temps La valeur fiale du capital est doc Vf = (1 + r) VI. Cotrairemet à l itérêt simple ou l accroissemet des motats est liéaire, l itérêt composé a u accroissemet expoetiel. Exercice : quel est le capital au bout de 4 as si o place aujourd hui au taux composé de 3.6%? Solutio : O sait que Vf = VI(1 + r), doc ici 5 Vf = 10000*( ) = Exercice : quel est le taux d itérêt composé d u placemet ayat porté à e trois as? Solutio : O sait que Vf = VI(1 + r), 1+ r = Vf = = 1, 217 et doc r = 21.7% VI Page 16 sur 53

17 Evolutio du Capital , , ,00 Capital , , ,00 0, Nombre d'aées Simples 5% Simples 1% Composés 5% Composés 1% Exemple de simulatio d éparge : taux simple cotre taux composé. 4. La otio de capitalisatio L itérêt composé est la règle : Défiitio : la capitalisatio idique la fréquece avec laquelle l itérêt s ajoute au capital e cas d itérêts composés. Questio : avec quelle fréquece l itérêt va s ajouter au capital? tous les as : capitalisatio auelle tous les mois : capitalisatio mesuelle tous les trimestres : capitalisatio trimestrielle à chaque istat : capitalisatio cotiue 5. Les types de taux : a) Taux périodique : r p Défiitio : le taux périodique est le taux correspodat à la période de capitalisatio. Par exemple vous placez 2000 et das 6 mois, vous avez accumulé 2200, sachat que la capitalisatio est semestrielle. Votre taux de redemet périodique est de : = 0.10% 2000 Exercice : vous placez 3600 au taux périodique de 2,3% par trimestre durat 6 as, combie allez vous accumuler? 24 Solutio : das 6 as il y 24 trimestres, doc Vf = VI(1 + r) = 3600( ) = b) Taux omial auel : r i Défiitio : le taux omial est le taux périodique multiplié par le ombre de capitalisatios par aée : r i =r p *k (k ombre de capitalisatios). Page 17 sur 53

18 Exercice : votre coseiller e placemet vous recommade u ivestissemet qui rapporterait u redemet de 4% capitalisé par mois. Quel est le taux périodique? Si vous placez 1000 à ces coditios, combie aurez vous accumulé e 3 as? Solutio : le taux périodique est le taux omial auel divisé par le ombre de capitalisatios. Ici, r p = 0.04 /12 = k 36 Aisi, le capital fial sera Vf = VI(1 + r p ) = 1000( ) = c) Taux effectif auel : r Défiitio : il s agit du taux de redemet effectivemet réalisé sur ue aée. Il est égal au taux périodique si la capitalisatio est auelle Ne pas cofodre taux effectif, qui correspod à la retabilité effectivemet réalisée, et taux réel, qui correspod au taux d'itérêt e termes réels, ce qui exclut les effets de l'iflatio. Les valeurs fiales e peuvet être calculées que sur la base de taux effectifs. Les taux omiaux e sot qu ue covetio. 6. Pricipe d équivalece des taux Les caractéristiques des produits fiaciers état souvet très différetes, il est impossible de comparer des taux omiaux et effectifs. Base commue Equivalece des taux : l objectif est de les rameer à ue même base. Eocé : deux taux sot équivalets si, pour u placemet iitial idetique, ils permettet d obteir la même valeur fiale. Exemple : quel est le taux auel effectif correspodat à 2% périodique trimestriel? Taux auel effectif Taux périodique, capitalisatio trimestrielle Taux r r p Capital iitial VI VI Capital fial au bout d u a O voit doc que la relatio etre les deux taux est VI (1 + r) VI ( 1 + r p ) 4 r = (1 + r ) k p 1, où k est le ombre de capitalisatios par a. Plus gééralemet, les relatios etre r p, r i, et r sot Page 18 sur 53

19 C. Les taux sur les marchés 1. Les différets taux k ri r = ( 1 + r ) ; r = 1 + ; r = kr k p i p k TAUX COURTS EONIA (Euro Overight Idex Average = taux moye podéré e euros (TEMPÉ)). C'est u taux calculé par la BCE (baque cetrale européee) qui résulte de la moyee podérée de toutes les trasactios, au jour le jour des prêts o garatis réalisés par les baques commerciales, reteues pour le calcul de toutes les trasactios de l'euribor. C'est doc le taux effectif moye auquel les baques du pael Euribor effectuet leurs trasactios. Septembre 2003 TAUX LONGS EURIBOR (Europea iterbak offered rate) : taux d'itérêt moye offert etre baques du système bacaire europée. TME (taux moye des empruts d'état) TMO (taux du marché obligataire) est le taux moye de redemet des empruts obligataires à taux fixe garatis par l'état. TAM (Taux auel moétaire) : Pour u mois doé le TAM est le taux de redemet d u placemet mesuel à itérêts composés, reouvelé chaque fi de mois, pedat les douze mois écoulés, à chacu des TMM Le TMM ou T4M est l acêtre de l EONIA. Taux directeurs : ce sot les taux d'itérêt pratiqués par les baques cetrales pour leurs opératios sur le marché moétaire. E Europe, ils sot au ombre de deux : Le taux des appels d'offres (bihebdomadaire), la baque cetrale lace u appel d'offre auprès des baques commerciales et accorde les liquidités à l'établissemet qui a fait l'offre la plus itéressate, c'est-à-dire le taux le plus élevé. Le taux des prises e pesio de 5 à 10 jours qui permet aux baques cetrales de se refiacer auprès de l'istitut d'émissio e logeat du papier commercial à court terme. Taux de base bacaire (TBB) ou prime rate : Il est défii par chaque baque commerciale e foctio du coût moye de ses ressources. Il faut toutefois remarquer que les pricipales baques s'aliget sur le même taux e raiso de la cocurrece. Théoriquemet, c'est le taux que les baques commerciales appliquet à leurs meilleurs cliets, c'est doc le tarif miimum proposé aux meilleurs cliets. Il sert de référece pour le calcul des crédits accordés aux PME et, das ue moidre mesure, de certais prêts à la cosommatio. Il déped doc du taux auquel les baques commerciales peuvet Page 19 sur 53

20 se refiacer sur le marché moétaire, taux auquel elles doivet ajouter ue marge représetative de leurs coûts de gestio. Aisi, la baque cetrale européee, la «Federal reserve board» ou ecore la «bak of Japa», accordet des prêts aux baques e appliquat leurs taux directeurs. Taux réel : il s'obtiet e déduisat du taux omial (celui qui est affiché) le taux d'iflatio. TEG (taux effectif global) : c'est le coût total d'u crédit pour l'empruteur (taux d'itérêt plus frais de dossier, frais divers et assurace. Depuis 1966, ce taux doit obligatoiremet figurer sur les cotrats de crédit. Taux de l'usure : il est détermié chaque trimestre, à partir d'equêtes statistiques effectuées par la baque de Frace. Le TEG est usuraire s'il dépasse 133 % du taux effectif moye pratiqué au cours du trimestre précédet pour ue catégorie de prêt doée. Il existe u taux de l'usure à compter du 01 juillet 2002 pour les prêts aux particuliers Prêts immobiliers Prêts à la cosommatio Taux fixe 5,30 % Motat < ,9% Taux variable 5 % Découvert, prêt permaet, achat ou vete à tempéramet > 18 % Prêts relais 6,30 % Prêts persoels ou assimilés > ,55% Taux boifié : Ce taux est iférieur à celui du marché grâce à ue subvetio accordée par les pouvoirs publics. Cette pratique était très répadue pedat les aées 70, elle bééficiait à l'agriculture, au logemet et à certais secteurs idustriels. Elle a été e très grade partie abadoée à la fi des aées 80. O peut cepedat rager das cette catégorie le prêt à taux zéro qui bééficie à certaies familles, sous coditios de ressources, pour favoriser leur accessio à la propriété. 2. Commet se formet les taux? Il importe de distiguer les taux d'itérêt à log terme (a) et les taux d'itérêt à court terme (b). Partat de là, il faudra défiir puis compredre le rôle du taux de base bacaire (TBB) (c). a) Les taux logs Ils exprimet l'offre et la demade de capitaux e teat compte des perspectives d'iflatio. Quelqu'u qui prête de l'arget sur 5, 10 voire 30 as veut voir so capital garati cotre l'érosio moétaire. La rémuératio (le taux d'itérêt) doit rester positive. O dit que les taux logs sot "le juge de paix". D'ue part, ils reflètet la saté écoomique d'u pays et d'autre part, ils sot ifluecés par les aticipatios des agets écoomique, aticipatios sur l'iflatio certes, mais aussi sur la politique écoomique, voire sur la politique ; e bref, sur tout ce qui peut modifier les doées de l'écoomie. Évidemmet, la ature de l'empruteur ifluece aussi les taux. L'État, les etreprises publiques fot courir mois de risques aux prêteurs qu'ue etreprise ou qu'u particulier. C'est la raiso pour laquelle les taux à log terme qui servet de référece sot, pour chaque pays, les taux des empruts d'état (OAT). Normalemet tous les autres taux sot plus élevés. C'est sur ce costat que se base l'"effet d'évictio", l'état emprute à taux plus faibles, d'ue part, et il draie l'éparge dispoible, d'autre part, asséchat le marché fiacier et privat les etreprises du recours à ce type d'emprut. Les taux d'itérêt à log terme sot détermiés par le marché fiacier Page 20 sur 53

21 b) Les taux courts Ils se formet de maière différete. Certes, sur le marché moétaire, l'offre et la demade de capitaux se cofrotet, mais les acteurs e sot pas les mêmes. Ce sot essetiellemet des baques commerciales, des ivestisseurs istitutioels (assuraces ou fods de pesio) et des grades etreprises sous le cotrôle de la baque cetrale. La baque cetrale iterviet sur le marché moétaire e ijectat plus ou mois de moaie cetrale pour refiacer les baques commerciales qui, e foctio de leur activité de crédit bacaire, peuvet, temporairemet maquer de moaie cetrale pour faire face aux retraits e liquide de leurs cliets ou aux fuites de so propre réseau. Logiquemet, les taux courts doivet être iférieurs aux taux logs (de l'ordre de 2 à 3 poits) puisque l'arget est egagé pour mois logtemps. Mais quad les baques cetrales itervieet beaucoup, il peut se produire ue "iversio des taux" (États-Uis d'amérique e 2000), phéomèe pervers qui cosiste à mieux rémuérer l'arget placé à court terme que l'arget ivesti à log terme. Il faut cepedat oter que les placemets à log terme preet de plus e plus souvet la forme d'istrumets fiaciers égociables, à court terme. Il s'agit de parts d'opcvm (orgaismes de placemet collectif de valeurs mobilières), c'est-à-dire de parts de sicav ou de fods commus de placemet. Les taux d'itérêt à court terme sot détermiés par la baque cetrale (e Europe, la BCE). Celle-ci agit das le cadre de sa politique moétaire, e foctio de cosidératios iteres et exteres. Au iveau itere, elle doit : e priorité (cf. ses statuts) : veiller à lutter cotre l'iflatio optimiser la croissace écoomique favoriser l'emploi 3. Le taux de base bacaire (TBB) ou prime rate Au iveau extere, elle cherche à maiteir u taux de chage acceptable vis-à-vis du $ et du ye. Comme ous l'avos vu ci-dessus, les particuliers 'ot pas accès aux marchés fiaciers. Pour placer leur arget ou pour empruter, ils passet, gééralemet, par l'itermédiaire d'ue baque. Le taux de base bacaire correspod alors au meilleur taux que chaque baque peut accorder à ses meilleurs cliets. Les taux pratiqués vers les TPE, voire les PME-PMI et les particuliers sas garatie réelle ou persoelle sot plus élevés que le TBB. Les crédits les mois chers sot les crédits immobiliers à log terme parce que la baque peut predre ue sûreté réelle e hypothéquat le bie acheté. Les crédits les plus coûteux sot ceux ayat trait aux découverts bacaires et à certais crédits à la cosommatio, otammet les crédits reouvelables. Le taux de base bacaire s'applique à 4 % des crédits aux particuliers et à 15 % des prêts aux etreprises, pricipalemet les crédits de trésorerie et d'équipemet. Mais commet la baque calcule-t-elle le taux d'itérêt? Cela déped avat tout du coût de reviet de ses propres ressources. Jusqu'au milieu des aées 80, la plus grade part de ces ressources était costituée par les dépôts à vue des cliets (comptes-chèques) que la loi iterdit de rémuérer. Aux frais de gestio près, il s'agissait d'ue ressource bo marché. Mais les etreprises et le particuliers laisset de mois e mois d'arget "dormir sur leurs comptes-chèques", ils préfèret les trasférer sur des comptes qui rapportet des itérêts (livrets, PEL, PEA, sicav, FCP, etc.). Près des deux tiers des ressources des baques sot aujourd'hui rémuérées. Pour le reste, elles se refiacet sur le marché moétaire. Au coût de ce fiacemet, la baque doit ajouter ses frais de foctioemet et de gestio pour détermier so taux de base. Page 21 sur 53

22 III. Actualisatio et actuariat A l iverse de la capitalisatio, otio qui permet de calculer des valeurs futurs à partir de valeurs présetes, o peut vouloir détermier quelle somme doit être prêtée aujourd hui pour obteir u motat fixé à l avace : c est le pricipe de l actualisatio. A. Pricipe d actualisatio 1. Défiitios Défiitio : Ue suite d auité est ue suite de règlemets réalisés à itervalles de temps égaux. Le terme d auités bie que parfois utilisé quelle que soit la périodicité des versemets, est habituellemet réservé à des périodicités auelles. O parle sio de semestrialités, mesualités, etc. Cette suite d auité correspod à ue rete pour celui qui la reçoit. O dit que la rete est temporaire, lorsqu elle se compose d u ombre fii d auités, perpétuelle sio. La rete est à terme échu si le premier versemet iterviet ue période après l origie. C est le cas habituel. Elle est immédiate sio. Exemples : U emprut remboursé sur 10 as par des mesualités costates La costitutio d u capital par des versemets réguliers L acquisitio d ue obligatio d ue durée de vie de 6 as qui verse des coupos auels. 2. Valeurs acquises et valeurs actuelles d ue suite de flux fiacier. Les mécaismes de calcul des valeurs acquises et des valeurs actuelles e sot guère différetes : das u cas c est la valeur de la suite d auités à la fi des versemets das l autre c est sa valeur à l origie. dates 0 1 Valeur actuelle Valeur acquise a) Valeur actuelle d ue suite de flux fiaciers (1) Cas gééral Défiitio : la valeur actuelle d u flux Fp (flux das p périodes) est F 0, où F 0 = F ( 1+ r) Défiitio : la valeur actuelle d ue suite de versemets (flux de trésorerie) est la somme des valeurs actuelles par chacu des termes à l origie de la suite Page 22 sur 53

23 Défiitio : la valeur acquise par ue suite de versemets (flux de trésorerie) est la somme des valeurs acquises par chacu des termes à la fi de la derière période Soiet V : la valeur acquise V 0 : la valeur actuelle A p : l auité (ou le flux de trésorerie) à la date p : le ombre total de flux r : le taux d itérêt (itérêt composé) dates Flux A 1 A 2 A -1 A A Valeurs actuelles A -1 (1+r) A 2 (1+r) -2 A 1 (1+r) -1 La valeur actuelle de cette suite est : V = A (1 + r) + A (1 + r) A (1 + r) + A (1 + r) De même, sa valeur acquise est V = A (1 + r) + A (1 + r) A (1 + r) + A Propriété : Les valeurs actuelles et acquises d ue suite de flux de trésorerie Ap au taux d itérêt r sot p p p p p= 1 p= 1 (1) V = A (1 + r) et V0 = A (1 + r) Page 23 sur 53

24 dates Flux A 1 A 2 A -1 A A 1 (1+r) -1 A 2 (1+r) -2 A -1 (1+r) Valeurs actuelles A O parlera de Valeur Actuelle Nette e présece d u flux égatif à l origie de la suite, e date 0 : p 0 p 0 p= 1 V = A + A (1 + r) où A < 0 Coséquece : il existe ue relatio etre les valeurs acquises et actuelles : V (2) V0 = (1 + r) (2) Cas d auités costates Lorsque les flux sot tous égaux, l expressio (1) se simplifie facilemet. Propriété : Les valeurs actuelles et acquises d ue suite de flux de trésorerie costats A au taux d itérêt r sot (1 + r) 1 1 (1 + r) (3) V = A et V0 = A r r Exercice : quelle somme doit-o placer aujourd hui au taux de 12% pour obteir das trois as ? Solutio : V 0 = = 71178, 02 3 (1.12) Page 24 sur 53

25 Exercice : ue baque accorde à ue etreprise u prêt de au taux de 10% remboursable e 8 as. Le remboursemet se fait par auités costates. Calculer le motat de cette auité. Solutio : la relatio de base est fodée sur ue égalité etre ce que la baque prête à la fi de l aée 0 et ce qu elle reçoit e remboursemet de la fi de la première aée à la fi de la derière aée. Si o appelle A l auité costate, o a : = V = A A p = = 8 p= B. Les choix d ivestissemet 1. Taux actuariel Défiitio : o appelle taux d actualisatio, le taux d itérêt utilisé pour calculer ue valeur actuelle. Telle qu o l a défiie, la valeur actuelle ou présete d ue séquece de flux déped du taux r. Il y a autat de valeurs actuelles que de taux d actualisatio. Défiitio : le taux actuariel est le taux d actualisatio qui aule la valeur actuelle de l esemble des flux présets et futurs. Mathématiquemet, A r / V r = A + + = 0 ( ) * * 0 0 * ( 1+ r ) Das le cas où A0 est de sige opposé à celui de {A1,,A}, l équatio a ue uique solutio. Das le cas où les flux fiaciers sot relatifs à ue opératio de prêt ou d emprut, ce taux est appelé taux de redemet actuariel ou (taux effectif global TEG). 2. Comparaiso VAN/TRI L ivestissemet est u egagemet durable de capital réalisé par ue etreprise. D u poit de vue fiacier, l ivestissemet se traduit par ue suite de flux : la dépese iitiale les flux ets de trésorerie, différeces etre les recettes et les dépeses géérées durat chaque période par le projet évetuellemet e fi de période ue valeur résiduelle qui pourra être ajoutée au flux de la trésorerie de la derière période. Commet évaluer u ivestissemet? La répose à cette questio peut se faire e utilisat les techiques d actualisatio. Ue méthode d évaluatio doit répodre à deux questios fodametales : le projet d ivestissemet peut-il être accepté? si deux projets sot e cocurrece, lequel choisir? O ote {A0,A} les flux liés à l ivestissemet et r le taux d actualisatio et o suppose que A 0 < 0 et Ap 0, pour tous p. a) La VAN : valeur ette actualisée Rappel : la VAN(r) s écrit Page 25 sur 53

26 VAN() r = A + 0 p= 1 A p ( 1+ r) La VAN représete la valeur aujourd hui des flux du projet doc si VAN>0 le projet est reteu car il permet d augmeter la richesse iitiale si VAN 1 (r) < VAN 2 (r), o retiet le projet 2. Toutefois, l icovéiet est qu il faut coaître le taux d actualisatio. b) Le TRI : taux de retabilité itere Le TRI est le taux pour lequel la VAN (r) est ulle. E fait, il correspod au taux actuariel. La décisio de reteir ou o u projet va dépedre de la positio du taux d actualisatio reteu et du taux de retabilité itere. : TRI < Taux d actualisatio : projet rejeté. TRI > Taux d actualisatio : projet accepté car il permet de couvrir le coût des ressources. Vu otre hypothèse sur les siges des A, la VAN est ue foctio strictemet décroissate du taux. O voit doc que les deux critères coduirot au même résultat das le cas de projet uique (voir cidessous). Das le cas de deux projets, o choisit celui qui a le taux le plus élevé (plus il sera élevé, plus le taux d actualisatio a des chaces d être iférieur). c) U exemple U ivestissemet iitial est de 400K. Les flux de trésoreries sot doés ci-dessous. Le taux d actualisatio reteu est de 10%. Aées Flux Facteur d actualisatio : 1.1 -p où p est le rag de l aée Flux actualisés 154,54 115,70 97,67 81,96 La VAN est alors VAN = = p VAN Projet X 200,00 150,00 VAN > 0 projet accepté VAN < 0 projet rejeté 100,00 50,00 0,00 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20% 21% 22% 23% 24% -50,00 TRI Projet X -100,00 Taux d'actualisatio Projet X Graphique motrat l évolutio de la VAN e foctio du taux. Le TRI est l itersectio de cette courbe avec l axe des abscisses. Pour ce projet, les zoes de rejet sot idetiques. La VAN est positive, doc le projet est accepté. Mais, si le taux augmete, la VAN peut deveir égative. Par exemple, si o cosidère u taux de 20% la VAN tombe à -28, ce qui etraîe u rejet du projet. Par ailleurs, le TRI est de 16,02% Page 26 sur 53

27 d) Coflits etre les critères Les cas de coflits etre les critères itervieet deux projets et que l o cherche à choisir le meilleur. Pour le critère VAN, celui qui aura la VAN la plus élevée sera privilégié. Pour le critère du TRI, c est celui qui aura le taux de retabilité itere qui sera choisit. Repreos l exemple ci-dessus : Aées Flux projet X Flux projet Y Si o calcule les deux paramètres, o s aperçoit que Projet X VAN 49,8 60,8 TRI 16% 14,94% Projet Y Aisi, le critère VAN ted à privilégier Y et le TRI favorise X. E fait o est das ue situatio de ce type : VAN 250,00 200,00 150,00 100,00 50,00 0,00-50,00-100,00 1% 2% 3% 4% Préférece pour Y 5% 6% 7% 8% 9% TRI Projet Y 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% Taux d'actualisatio Préférece pour X 17% 18% 19% 20% 21% 22% 23% TRI Projet X 24% Le graphique ci-cotre illustre les coflits etre les critères. O appelle taux d idifférece le taux pour lequel les VAN sot égales. Ici, il vaut 12,66%. Pour u taux d actualisatio supérieur, la VAN privilégie X et iversemet. Or les taux iteres sot supérieurs à 12,66%, c est pourquoi le TRI favorise X. Projet X Projet Y C. Les empruts 1. Les empruts idivis Ce sot des empruts o divisibles et cotractés auprès d u seul créacier. Ils s opposet doc aux obligatios où le ombre de créaciers est grad. E gééral, il s agit d emprut effectué par des particuliers auprès des baques (bie de cosommatio, appartemet, automobile) ou par des etreprises à la recherche de fiacemet pour des ivestissemets. Pour chacu de ces empruts, les clauses du cotrat etre prêteur (créacier) et empruteur (débiteur) préciset, etre autres, la durée de mise à dispositio des fods, le taux d'itérêt, les coditios de remboursemet du capital empruté. Il existe différets modes de remboursemet : I fie : l empruteur rembourse les itérêts à la fi de chaque auité, et le capital à la fi de la derière auité. Amortissemet costat : l empruteur rembourse ue part costate du capital à chaque auité plus les itérêts. Ceux-ci dimiuet doc d ue auité à l autre. Page 27 sur 53

28 Auité costate : le capital et les itérêts sot remboursés de faço à ce que les auités (ou autre périodicité : mesualités, trimestrialités, ) soiet costates. a) Notatios et covetios O ote V 0 : le capital empruté : la durée de l emprut r : le taux d itérêt périodique (= taux omial auel si les périodes sot des auités) I k : le motat des itérêts remboursé à la fi de la période k D k : la part de capital (o parle d amortissemet) remboursé durat la période k A k =D k +I k : le motat des versemets périodiques (auités si la période est l aée) V k : le capital dû e fi de période k O coaît certaies relatios etre ces différetes variables : les itérêts pour la période k sot dus par rapport au reste de capital à rembourser (4) Ik = rvk 1 le capital du e fi de période k est celui du e fi de période k-1 mois l amortissemet e période k (5) V = V 1 D k k k le capital est complètemet remboursé à la fi du prêt (6) V = 0 le motat du prêt est la somme des amortissemets V = D + D + + D (7) le motat du capital restat est la valeur actualisée des traites restat dues après la fi de la période k (8) V k A A 1+ r 1+ k+ 1 = + + ( r) k Défiitio : o appelle coût global du crédit, la somme des itérêts : (9) Cout= k = 1 I k b) Illustratio des trois méthodes de remboursemet (1) Remboursemet I fie L'empruteur e paie, à la fi de chaque période, que l'itérêt du capital empruté. Il rembourse e ue seule fois, à l'échéace de l'emprut, l'itégralité du capital empruté. Page 28 sur 53

29 Le tableau d amortissemet va alors ressembler à ceci : k Vk Ik Dk Ak 1 V 0 rv 0 0 rv 0-1 V 0 rv 0 0 rv 0 0 rv 0 V 0 V 0 (1+r) Total rv 0 V 0 V 0 (1+r) Cette méthode est essetiellemet utilisée par les etreprises. E effet, elle a pour itérêt de laisser le capital dispoible avec des charges costates rv0 de la période 1 à la période -1. Le coût d u tel crédit est rv0. Exemple : Ue etreprise a u besoi de fiacemet de sur 4 as. Le taux d itérêt est de 4%. Dresser le tableau d amortissemet k Vk Ik Dk Ak Total c) Amortissemet costat V Le capital empruté V 0 est remboursé e périodes par amortissemets égaux chacu à : 0 relatio(7)). Décomposos deux périodes cosécutives quelcoques A k-1 et A k : Comme l amortissemet est costat, o sait que (voir k k V0 k Vk = V0 Dk = V0 = V0 1 p= 1 p= 1 L itérêt I k porte sur le capital du, doc k 1 Ik = rvk 1 = rv0 1 La traite est doc (o peut remarquer qu elle dimiue) k 1 V V Ak = Ik + Dk = rv0 + = + r k+ Le coût total du crédit est ( ( )) Cout = I = rv k = rv = rv k k= 1 k= Page 29 sur 53

30 + 1 Si o compare le coût d u crédit de ce type avec celui d u crédit I fie, o doit comparer rv et rv 0. Or > dès que >1. Doc u crédit i fie est plus cher. 2 Le tableau d amortissemet est alors k Vk Ik Dk Ak 1 V0 V 1 V0 1 rv 0 0 ( 1 + r) 2 1 V 2 V0 1 rv0 1 V ( ( ) r) -1 1 V V rv 0 ( + 2r ) 0 1 rv0 1 V 0 V 0 ( 1 + r) Total rv V 0 0 V0 1+ r 2 2 d) Auités costates Ici, o coaît A k et il faut trouver les itérêts et l amortissemet. L'empruteur paie, à la fi de chaque période, ue auité costate (A k =A). Ce système, pratiqué par les établissemets de crédit pour les prêts aux particuliers, présete l'avatage, pour l'empruteur, d'u remboursemet par sommes égales à u rythme régulier (la période pouvat être l'aée, le semestre, le trimestre ou le plus souvet le mois). A1 A La relatio géérale V0 = + + permet avec A costat de trouver 1+ r 1+ r ( ) (10) A= V = V 1+ r = V = V k ( 1+ r) 1+ r ( 1+ r) r( 1+ r) r ( + r) ( + r) k = Aisi, o peut trouver les valeurs restates : O sait que le capital restat s exprime e foctio des auités par la relatio (8) : V k 1 1 A A A = + + = = A k 1+ r ( 1+ r) 1+ r 1 1 r 1+ r k ( 1 ) 1 ( 1 ) ( k + r + r ) E remplaçat A par sa valeur o obtiet Page 30 sur 53

31 V k 1 1+ = V0 1 1 ( ) ( k r ) ( + r) L amortissemet se calcule comme la différece de capital du (voir (5)) A A A A D = V V = r 1+ A rv = = 1 1 ( 1+ r) ( 1+ r) 1 ( 1+ r) ( 1+ r) r ( 1+ r) k k 1 k k+ 1 k 0 ( ) k+ k+ Les itérêts s obtieet à partir du capital restat ( r) ( + r) 1 1+ I = rv = rv 1 1 ( k+ 1) k k 1 0 Le tableau d amortissemet est doc k Vk Ik Dk Ak ( 1) 1 ( 1+ r) rv0 r 1 V0 rv V r ( 1+ r) 1 1 ( 1+r) ( ) ( ) ( k 1 1 ) ( k+ 1) + r 1 ( 1+ r) rv0 r k Vk = V0 rv 0 k+ 1 V r 1 1+ r ( 1+ r) 1 ( 1+ r) 1 ( 1+r) ( ) ( ) ( ) 0 Total Le coût total du crédit est doc ( r) V0 r V 2 rv 0 ( ) + r ( + r) ( 1+ r) 1 ( 1+ r) 0 1 ( 1 ) r r ( r) ( ) + rv0 + 1 rv0 ( ) ( k ) Cout = Ik = r r + = + k= k= k= 1 V 0 ( ) ( k ) ( r) 1 1 ( 1+ r) r 1 ( 1+ r) rv r = = V Pour comparer au crédit à amortissemet costat, il faut comparer cela à rv0. 2 V r +r ( ) r V0 1 1+r Page 31 sur 53

32 Si o repred l exemple de crédit I fie, o a le tableau k Vk Ik Dk Ak Total Les empruts obligataires U emprut obligataire se différecie d'u emprut idivis par la présece de plusieurs prêteurs. Tout au log de cette partie, ous détailleros e italique les caractéristiques d u emprut obligataire de BNP Paribas à titre d exemple. a) Caractéristiques d'u emprut obligataire (1) Défiitio L'emprut obligataire est u emprut qui fait appel à de ombreux prêteurs (appelés obligataires ou souscripteurs), qui reçoivet, e échage des sommes prêtées, des titres (appelés obligatios). Chaque titre est doc représetatif d'ue quote-part d'emprut et fait l'objet d'ue cotatio e bourse. L'émissio de tels empruts est évidemet réservée aux plus grades des sociétés et permet de réuir des fods importats. Ue obligatio est u titre de créace égociable représetat ue fractio d'u emprut à log terme émis par ue collectivité (état, orgaisme public ou privé) et doat à so possesseur le droit de percevoir u itérêt le plus souvet auel et d'être remboursé de so titre à l'échéace. Toute émissio d'u emprut obligataire fait l'objet d'ue ote d'iformatio portat le visa de la Commissio des Opératios de Bourse (COB) et publiée au Bulleti des Aoces Légales Obligatoires. Y sot metioés, etre autres : le ombre d'obligatios émises la valeur omiale des obligatios le taux omial d'itérêt le prix d'émissio la date de règlemet des souscriptios la durée de l'emprut la date de jouissace le prix de remboursemet des obligatios le système d'amortissemet le taux de redemet actuariel brut au jour du règlemet. (a) Valeur omiale (N) C'est la valeur qui sert de base au calcul des itérêts. N=1000 (b) Taux omial d'itérêt (z) Iscrit das le cotrat d'émissio, il sert à désiger l'emprut et à calculer le motat du coupo. Il peut être fixe ou variable (le taux est alors détermié à partir d'u taux de référece moétaire : TME - taux moye mesuel des empruts à log terme de l'état-, TMM -taux du marché moétaire-, TAM - taux auel moétaire-, TIOP -taux iterbacaire offert à Paris). Das le cas de BNP z=4,25%. Page 32 sur 53

33 (c) Prix d'émissio (E) C'est la somme effectivemet prêtée par l'obligataire. L'obligatio peut-être émise au pair (E=N), audessous (E<N), ou au-dessus du pair (E>N). Pour chaque exemple, idiquez : Valeur omiale N=1 000 Prix d'émissio : 99,5% E=995 Valeur omiale N=1 000 Prix d'émissio / 100% E=1 000 Valeur omiale N=1 000 Prix d'émissio : 101% E=1 010 si l'obligatio est émise au pair, au-dessus ou au-dessous du pair : Obligatio émise au dessous du pair (E<N). Obligatio émise au pair (E=N). Obligatio émise au dessus du pair (E>N). Remarque : Pourquoi le prix d'émissio 'est-il pas toujours égal à la valeur omiale? Pour que le lacemet d'u emprut obligataire soit u succès, il faut réussir à cocilier 2 objectifs opposés. E effet, l'empruteur souhaite empruter au taux le plus bas et le prêteur atted le redemet le plus élevé possible. L'équilibre etre ces 2 attitudes défiit le iveau du marché, mesuré par u taux de redemet qui déped de 2 variables : le taux d'itérêt et le prix d'émissio. Pour obteir le taux de redemet le plus proche du marché, il faut : Soit offrir u taux d'itérêt omial légèremet supérieur à celui du marché et augmeter le prix d'émissio (qui est alors au-dessus du pair) ; Soit offrir u taux d'itérêt omial plus faible à celui du marché et baisser le prix d'émissio (qui est alors au-dessous du pair). Cette solutio décourage l'ivestisseur et est peu adoptée. Das le cas de BNP, le prix d émissio est de 101,291% soit 1000*101,291%=1012,91 (d) La date de règlemet C est le momet de départ de l obligatio. (e) La durée de l emprut () Elle correspod au délai etre la date d émissio et la date de remboursemet. Pour BNP la date d émissio est le 27 jui 2003 et la date de remboursemet le 27 jui La durée est doc de 12 as. (f) La date de jouissace C est la date à partir de laquelle le titre porte itérêt. Das la plupart des cas elle idetique à la date de règlemet. Das l exemple BNP la date de jouissace est le 27 jui 2003, soit la date de règlemet ou d émissio. (g) Prix de remboursemet (R) C'est la somme payée versée par l'empruteur lors du remboursemet de l'obligatio. Les obligatios sot amorties par remboursemet : soit au pair (R=N), soit au-dessus du pair (R>N). Das ce derier cas o parle de prime de remboursemet. Cette prime est rare pour les obligatios simples mais très fréquetes pour les obligatios covertibles. Page 33 sur 53

34 Das le cas de BNP, le remboursemet est effectué au pair doc R=1000. (h) Le système d amortissemet Nous retrouvos les mêmes relatios que pour les empruts idivis : (R1): Le motat de l'emprut est égal à la somme des amortissemets. (R2) : La derière auité est égale au derier amortissemet augmeté de so propre itérêt. (R3) : Le capital empruté est égal à la somme des valeurs actuelles des auités assurat le service de l'emprut. (R4) : Le capital restat dû à la fi d'ue période quelcoque est égal à la valeur actuelle des auités o échues. Il existe trois modalités d'amortissemet des empruts obligataires. Remboursemet par amortissemet global "i fie" : c'est le cas le plus courat. Réductio des frais de gestio. Toutes les obligatios sot amorties e bloc à la fi de l'emprut. Chaque aée, seuls les coupos sot payés pedat toute la durée de l'emprut. Remboursemet par auités costates : Acie système classique fraçais, e désuétude. La société émettrice verse à chaque période ue somme costate (composée des coupos des obligatios ecore vivates et du remboursemet d'u certai ombre d'obligatios tirées au sort). Au fur et à mesure du remboursemet des obligatios, les coupos à payer dimiuet et le ombre d'obligatios amorties est doc croissat (i) Le coupo (c) Le coupo (itérêt) est calculé e appliquat le taux d'itérêt omial à la valeur omiale : c=n z. Das le cas de BNP, c=n*z=1000*0,0425=42,5. Défiitio : ue obligatio qui e verse pas de coupo est appelée zero coupo. Seul le omial est reversé à échéace. (j) Maturité ou durée de vie résiduelle La maturité est la moyee podérée des différetes durées de vie possibles. (2) Le taux de redemet brut actuariel au jour du règlemet C'est le taux réel de l'opératio fiacière evisagée. Pour le calcul de ces taux effectifs, o pred e compte les dates exactes des versemets et leur motat réel (e teat compte des frais ). Cela reviet à résoudre ue équatio équivalece etre la somme prêtée et les sommes ecaissées par le prêteur ou etre la somme emprutée (motat et) et les sommes payées pour l'empruteur. Le taux effectif de redemet (ou taux de redemet actuariel) Le taux effectif de reviet (ou taux de reviet actuariel) est le taux réel de l'opératio fiacière evisagée du poit de vue : du prêteur. de l'empruteur. Il se calcul e égalisat le prix d émissio E et ce que va recevoir l empruteur (les coupos + le omial e fi d obligatios) Page 34 sur 53

35 c x/ E = + k = 1 N k ( 1+ x) ( 1+ x) Exemple : e 1994, l Auxiliaire du Crédit Focier de Frace a émis u emprut obligataire le 14 mars. D u motat de 2 Milliard de Fracs, il avait les caractéristiques suivates : Nomial : 5000F Prix d émissio : 99,8% soit 4990 par titres Jouissace et règlemet : 28 mars 1994 Itérêt : 6,25% du omial, soit 312,5F par obligatio payable le 28 Mars de chaque aée. Durée : 9 aées. Le taux de redemet actuariel se calcule ici : 9 312, x/ 4990 = + x= 6,28% k = 1 k ( 1+ x) ( 1+ x) O parle de taux et lorsque l o égalise les flux ets perçus et de taux brut s il est calculé avat impôt. (3) Valeur d ue obligatio Il s agit de la valeur actuelle au taux du marché obligataire des flux fiaciers qu elle géère. Notos r le taux du marché obligataire. Ue obligatio va géérer Les coupos restats Le remboursemet du omial La valeur etre k-1 et k est doc : 9 (11) V k c = N ( + r) ( + r) k 1 p k p= Cette valeur est décroissate par rapport à r doc si les taux augmetet les valeurs des obligatios dimiuet et iversemet. Repreos l exemple du CCF. Si le taux est passé de 6,28% à 9%, le 28 mars 1995, la valeur de l obligatio est 8 312, V = + = 4239F k ( 1+ r) ( 1+ r) 1 8 k = 1 A l iverse si à la même date le taux est de 5%, V=5404F. Le placemet obligataire est pas sas risque, il est lié aux risques sur les taux. (4) Cotatio e bourse Les obligatios sot cotées e pourcetage de leur valeur omiale au pied du coupo (c'est à dire coupo couru o compris). Le coupo couru (motat des itérêts courus de la derière échéace au jour de la cotatio) est égalemet exprimé e pourcetage de la valeur omiale et varie chaque jour de 1/365 ème du coupo auel. Pour détermier le prix que paie l'acheteur d'ue obligatio e bourse, il faut ajouter au cours de l'obligatio le motat du coupo couru. Page 35 sur 53

36 Exemple: Combie doit payer l'acheteur d'ue actio SNCF 8%? Séace du 28 septembre 1995 Libellé Valeur omiale Coupo couru e % Cours du jour e % SNCF 8% F 2, ,50 L'acheteur devra payer (prix de l'obligatio + coupo couru) : (5 000*1,015) + (5 000* )=5 214,90F Page 36 sur 53

37 IV. Les produits dérivés A. Présetatio des produits dérivés 1. Défiitio U produit dérivé est u produit fiacier, qui s achète et se ved, et qui est toujours bâti sur la base d u autre produit fiacier. Ce derier est appelé «sous-jacet» du produit dérivé. Ceux-ci peuvet être : Des actios Des obligatios Des devises Des matières premières : or, pétrole, blé, etc. Des produits dérivés! L utilisatio des produits dérivés est réservée aux professioels iterveat sur les marchés fiaciers. Par professioels, o eted Les opérateurs des baques et société de courtage Les trésoriers d etreprise Les gestioaires de fod de pesio, SICAV Les gestioaires de collectivités locales dot le budget dépasse quelques millios d euros Les produits dérivés sot utilisés pour la gestio des risques fiaciers : Ils permettet de predre des risques (spéculateur) Ou de se couvrir cotre les risques (hedgeur : se prémuir ou «se couvrir» cotre les risques existat). a) Historique des produits dérivés Les produits dérivés e datet pas du XX ème siècle. L exemple historique majeure est la hollade du XVII ème qui proposait u marché d optios sur la tulipe. E effet, u hiver rigoureux impliquait ue récolte moyee et ue hausse des cours et iversemet. Voulat se prémuir cotre ue baisse des cours et voulat stabiliser leurs reveus les producteurs ot cherché ue solutio fiacière. A l iverse les égociats désireux de s erichir, proposèret aux producteurs des optios qui leur coféraiet le droit de vedre leurs productios de bulbes à des prix prédétermiés. Cette expériece iovate allait cepedat pas durer Après u hiver particulièremet doux, le cours du bulbe s effodra. Les producteurs usèret massivemet de leurs optios, et les égociats e puret pas faire face. Ue aalyse postérieure a motré que la faillite de ce marché s explique par la sous-estimatio de la prime de l optio. E fait, il fallu attedre 1973, pour que deux américais, Black et Scholes proposet u modèle mathématiques pour l évaluatio des optios. Page 37 sur 53

38 b) Les marchés des produits dérivés Nature des marchés Marchés dérivés Réglemetés De gré à gré ou OTC Négociatio de cotrats à terme Fermes : Obligatio d acheter, de vedre ou d échager à l échéace. Futures Forwards FRA (forward rate agreemet) Cotrats d échage Swaps Coditioels : Droit d acheter, de vedre ou d échager à (ou jusqu à) l échéace. Optios Bos de souscriptio Optios Sur actio et sur obligatio Caps et Floors Nature des actifs sous-jacets : Portat sur des actifs sous-jacets Fiaciers : taux d itérêt (taux, obligatios, prêts), devises, idices Corporels : marchadises, matières premières Il existe deux grades catégories de produits dérivés : 2. Les cotrats à terme Ce type de cotrat est symétrique, c'est-à-dire que chaque cotrepartie a autat de chace de gager ou de perdre de l arget. Défiitio : u cotrat à terme est u cotrat d achat ou de vete d u produit fiacier, passé etre deux cotreparties, dot toutes les caractéristiques sot fixées à l avace : date de règlemet, prix à terme, etc. Le prix coclu est appelé cours à terme, et l échage se fera à ce prix quelque soit le cours du marché à la date de livraiso. Deux types d exécutio peuvet se produire : «Physical settlemet» le sous-jacet est effectivemet échagé. «cash settlemet» : si le cours du sous-jacet est e dessous du prix fixé, l acheteur se fourit sur le marché et verse la différece au vedeur et iversemet. Exemple : futurs, forward, swap Page 38 sur 53

39 a) Le FRA Le FRA est u cotrat u terme qui permet de garatir immédiatemet u taux d itérêt futur. Le FRA comporte 2 périodes : Ue période d'attete : pedat cette période, il e se passe rie. L'ue ou l'autre des cotreparties a toute latitude pour déboucler ou o so opératio par quelque arbitrage que ce soit. Ue période garatie : c'est sur cette période que porte la garatie de taux. Au départ de cette période, o comparera le taux garati avec so équivalet (e terme de période) sur le marché. La différece sera réglée d'avace (doc actualisée) par l'ue des cotreparties. Le taux d'u FRA est doc bie u taux I Fie, ce qui simplifie les comparaisos et calculs par rapport au taux de dépôt classiques. J J J Coclusio du FRA. Négociatios des termes du cotrat Début du FRA. O observe le différetiel de taux Fi du FRA règlemet du différetiel Exemple : ue etreprise sait qu elle doit empruter das 5 mois 10 millios d euros pour 3 mois. Elle sait qu elle pourra empruter au taux EURIBOR 3 mois +0,3% (actuellemet à 2,159%) mais costaté 5 mois plus tard. So risque est doc de voir le taux moté pedat les 5 mois à veir. Elle couvre so risque e achetat u FRA (forward rate agreemet) qui lui assure u taux de 2,2% par exemple. Ce FRA a ue durée de 3 mois et u départ das 5 mois. 5mois plus tard Cas 1 : le taux est iférieur à 2,2%, par exemple à 2%. L etreprise doit alors payer à la baque vedeuse du FRA 90 jours 1 10 millios 0,022 0,02 = ,02 90 exécutiodu FRA achat sur lemarché taux d ' actualisatiosur la duréedu FRA De plus, elle doit payer des itérêts à la baque qui lui fait le prêt : 90 jours 2 + 0,3 10millios = Soit u total de =62475 Cas 2 : le taux est supérieur à 2,2%, par exemple à 3%. La baque vedeuse du FRA verse à l etreprise 90 jours 1 10 millios 0,03 0,02 = ,03 90 achat sur lemarché exécutiodu FRA taux d ' actualisatiosur la duréedu FRA L etreprise doit payer des itérêts à la baque qui lui fait le prêt : 90 jours 3+ 0,3 10millios = Soit u total de =57687 Résumé : e achetat le FRA l etreprise a gelé le coût de so crédit. La légère différece viet Page 39 sur 53

40 du fait que les itérêts de l emprut sot payés à la fi des trois mois alors que le différetiel du FRA est payé au début. L icovéiet est que le vedeur ou l acheteur reoce au gai dû à ue variatio de taux e leur faveur. b) Les futures et les forward Les cotrats futures sot des cotrats à terme stadardisés que l o traite e bourse, tadis que les forward sot des cotrats à terme traités de gré à gré. U cotrat doit faire référece à : Le rôle de chaque iterveat (acheteur ou vedeur) Ue référece officielle de marché (actios, idices, obligatios, marché de chages, taux d itérêt, etc.) La date future de relevé de cette référece Le prix du cotrat à terme Le motat otioel sur lequel porte la trasactio du cotrat à terme : c est la quatité de sous-jacet échagée. Les istructios de paiemet (cash settlemet, physical settlemet) c) Les swaps (1) Défiitio Défiitio : le swap de taux d itérêt est u cotrat de gré à gré par lequel deux parties covieet de s échager, à date fixe, des flux d itérêts d u capital, itérêts calculés sur des référeces de taux. Accord de Swap taux variable TAM cotre taux fixe A verse à B des itérêts calculés au TAM A B verse à A des itérêts calculés à taux fixe B Seul le différetiel d itérêt est payé, le capital est jamais versé. E réalité, les etreprises A et B ot jamais de relatio directe. Deux baques servet d itermédiaire : Adossés à des empruts ou prêts, les swaps de taux trasformet : U edettemet ou placemet à taux fixe e u edettemet ou placemet à taux variable et iversemet U edettemet ou placemet à taux variable e u edettemet ou placemet à u autre taux variable et iversemet (2) Utilisatio des swaps Les swaps permettet D améliorer les coditios de taux d u emprut ou d u placemet, e cours de égociatio Page 40 sur 53

41 De gérer le risque de taux d itérêt sur u emprut ou u placemet existat, voire de modifier la structure de taux du bila. Exemple : ue etreprise A souhaite lacer u emprut obligataire de 500M remboursable i fie das 5 as. Compte teu de sa otatio, le taux de l emprut pourrait être de 6,5% à taux fixe ou TAM+0,8% à taux variable. L etreprise préfère s edetter à taux fixe Parallèlemet, ue etreprise B cherche 500M de ressources à même échéace. Elle peut s edetter à 5,5% à taux fixe ou TAM+0,7% à taux variable. Elle préfère à taux variable. Sur le marché de gré à gré o côte Swap à ciq as cotre TAM: 5,2 ; 5,3%. Cela sigifie qu ue etreprise qui désire payer le TAM recevra 5,2%, recevoir le TAM paiera 5,3% La différece etre les deux taux correspod à la marge bacaire. L etreprise A va : S edetter au taux variable de TAM+0,8% Selo l accord de swap, verser des itérêts à 5,3% et recevoir des itérêts à TAM L etreprise B va : S edetter à taux fixe de 5,5% Selo l accord de swap, verser des itérêts à TAM et recevoir des itérêts à 5,2% Sas swap de taux A s edette à taux fixe, B à taux variable Avec swap de taux A s edette à taux variable, B s edette à taux fixe (2) L accord de swap prévoit que chaque aée pedat 5 as, sur u capital de 500 M A Baques B 6,5% TAM +0,8% A versera les itérêts à taux fixe, (3) 5,3% -5,3% TAM + 0,7% 5,5% B les recevra, amputés de la marge bacaire (3) 5,2% -5,2% B versera les itérêts à taux variable (4) -TAM TAM A les recevra (4) -TAM TAM Coût global résultat du swap 6,1% -0,1% TAM 0,3% Gai de l opératio 0,4% 0,1% 0,4% Le swap de taux d itérêt peut égalemet permettre d aticiper des variatios de taux : Aticipatio Positio iitiale Swap à réaliser Positio fiale Edettemet à taux variable Verse le taux fixe Edettemet taux fixe Hausse des taux et reçoit le taux Placemet taux fixe variable Placemet taux variable Baisse des taux Edettemet taux fixe Placemet taux variable Verse le taux variable et reçoit le taux fixe Edettemet à taux variable Placemet taux fixe (3) Lie swap/fra Page 41 sur 53

42 U exemple : soit u swap de 2 as sur l EURIBOR 3mois cotre taux fixe aux mêmes dates. Le swap va cosister e l échage de 8 flux fiaciers (2as / 3 mois = 8 échéaces) qui correspodet chacu à u cotrat à terme sur l EURIBOR 3 mois. 3. Les optios a) Défiitio Défiitio : ue optio est u cotrat qui cofère à so acheteur le droit et o l obligatio d acheter ou de vedre jusqu à ue certaie date appelée date d échéace u actif sous jacet, à u prix fixé dès la coclusio du cotrat appelé prix d exercice, e cotrepartie du versemet immédiat d ue prime au vedeur. O distigue les optios d achat (call) et les optios de vete (put). Trasactio iitiale Optio d achat ou call Droits et Obligatios és du cotrat Trasactio iitiale Optio de vete ou Put Droits et Obligatios és du cotrat Acheteur Droit d acheter Acheteur Droit de vedre Vedeur Egagemet de vedre à la demade de l acheteur du call b) Catégories d optios Vedeur Egagemet d acheter à la demade de l acheteur du put Les optios classiques sot de deux types : Européees : l acheteur e peut exercer so droit qu à l échéace. Américaies : l acheteur peut exercer so droit à tout momet etre la date de créatio de l optio et la date d échéace. Optio plus souple mais aussi plus coûteuse que l optio européee. Parallèlemet aux optios classiques, apparaisset depuis les aées 90, sur les marchés de gré à gré, des optios dites «exotiques» : Les optios asiatiques, dot le prix d exercice à l échéace est foctio de la moyee des cours du sous-jacet eregistrés durat la durée de vie de l optio. Les optios lookbacks, dot le prix d exercice à l échéace est foctio du maximum ou du miimum des cours du sous-jacet eregistrés durat la durée de vie de l optio. Les optios barrières qui peuvet être aulées si le cours frachit u certai seuil. Les optios parisiees qui peuvet être aulées ou activées si le cours reste das ue certaie zoe plus d u temps doé. Les optios d échage qui permettet d échager ue actio X cotre ue actio Y à ue date future Etc. c) Le bo d optio ou warrat Le bo d optio est u titre itermédiaire etre le bo de souscriptio et l optio classique. Emis par u établissemet fiacier, les valeurs sous-jacetes sot des actios obligatios, devises, idices boursiers, paiers d actios Ils se distiguet des optios par leur échéace gééralemet plus logue et par l impossibilité de vedre à découvert le cotrat. Page 42 sur 53

43 Optio Bo d optio ou warrat Bo de souscriptio Emetteur Naît de la recotre d u acheteur et d u vedeur Idépedat de l émetteur du titre sous-jacet Emetteur du titre sousjacet Exemple Optio d achat Air Face côtée e Bourse Call warrat sur Reault émis par la BNP Bo de souscriptio d actio Reault émis par Reault Ouverture de positio (trasactio itiale) Achat d optio d achat Vete d optio d achat Achat d optio de vete Vete d optio de vete Achat de call warrat Achat de put warrat Achat de bo de souscriptio d) L optio d achat (call) (1) L achat d ue optio d achat L achat d ue optio d achat cofère le droit d acheter, à (ou jusqu à) l échéace, u actif à u prix détermié, appelé prix d exercice, e cotrepartie du versemet immédiat d ue prime au vedeur de l optio. Soiet : K, S0, S, P, le prix d exercice de l optio, le cours de l actif sous-jacet sur le marché comptat à la date d achat, le cours de l actif sous-jacet à maturité de l optio, la prime versée lors de l achat de l optio, Le résultat R à l échéace est Résultat à l échéace L acheteur d ue optio d achat spécule sur la hausse ou se couvre cotre la hausse du prix de l actif Zoe de retabilité K+P 0 K Gai potetiellemet illimité S -P prime de l optio Risque limité à la prime Abado de l optio R=-P Exercice de l optio R=S-K-P Optio à parité R=-P Page 43 sur 53

44 Ue optio d achat est dite e dehors de la moaie si so prix d exercice K > S0, das la moaie si S0>K et à la moaie si S0=K. Exemple : l acheteur de l optio spécule sur la hausse du prix de l actif sous-jacet. U spéculateur spécule sur la hausse d ue actio. 1) Il achète ue optio d achat au prix d exercice de 100 avec u cours du sous-jacet de 100, moyeat ue prime de 3. Cas 1 : le spéculateur avait raiso et le cours est de 130 : so gai est de =27 et so rapport gai/ivestissemet=27/3=900%! Cas 2 : le spéculateur avait tort et le cours est de 70 : so gai (sa perte das ce cas) est de -3 et so rapport gai/ivestissemet=-100% 2) Il achète ue actio Cas 1 il la reved à 130 et a gagé 30 : gai/ivestissemet=30/100=30% Cas 2 il la reved à 70 et a perdu 30 gai/ivestissemet=-30/100=-30% A travers cet exemple o peut voir que les optios permettet u effet de levier cosidérable. Exemple : l acheteur de l optio se couvre cotre la hausse du prix de l actif sous-jacet. Ue etreprise souhaite acheter actios X das 6 mois. Le cours de X est aujourd hui de 52. 1) Elle achète optios d achat au prix d exercice de 52 moyeat ue prime de 2,5 par optio. Cas 1 : 6 mois plus tard le cours est de 68 : l etreprise exerce ses optios et achète actios au prix de 10000*52-2,5*10000= = Cas 2 : le cours est de 48 : l etreprise exerce pas ses optios et achète les actios sur le marché pour 48* ,5*10000= ) Elle atted et agit 6 mois plus tard sur le marché : Cas 1 elle doit payer soit ue perte par rapport à l optio de Cas 2 elle doit payer soit u gai de O voit que devat ue icertitude, les optios restet ue stratégie plus prudete. (2) Vete d ue optio d achat Le vedeur de l optio d achat est das la positio symétrique de celle de l acheteur. Il reçoit immédiatemet la prime e cotrepartie de laquelle il s egage sur la durée du cotrat à vedre l actif sous-jacet à la demade de l acheteur. S agissat d u jeu à somme ulle, so résultat à l échéace est l opposé de celui de l acheteur : Résultat à l échéace Le vedeur d ue optio d achat spécule sur la baisse du prix du sous-jacet P prime de l optio Gai limité à la prime 0 K Zoe de retabilité K+P Risque de perte potetiellemet illimité Page 44 sur 53

45 Espoir de gai limité, risque illimité de pertes, la vete d optio d achat seule est à éviter. Elle est gééralemet associée à ue autre positio : détetio de l actif, achat d optio d achat e) Optio de vete (put) (1) Achat d ue optio de vete L achat d ue optio de vete cofère le droit de vedre, à (ou jusqu à) l échéace, u actif à u prix détermié, appelé prix d exercice, e cotrepartie du versemet immédiat d ue prime au vedeur de l optio. Soiet : K, S0, S, P, le prix d exercice de l optio, le cours de l actif sous-jacet sur le marché comptat à la date d achat, le cours de l actif sous-jacet à maturité de l optio, la prime versée lors de l achat de l optio, Le résultat R à l échéace est Résultat à l échéace L acheteur d ue optio de vete spécule sur la baisse ou se couvre cotre la baisse du prix de l actif Zoe de retabilité K-P Gai potetiellemet importat 0 K S -P prime de l optio Risque de perte limité à la prime Exercice de l optio R=K-S-P Optio à parité R=-P Abado de l optio R=-P Exemple : l acheteur de l optio se couvre cotre la baisse du prix de l actif sous-jacet. Ue etreprise souhaite vedre actios X das 6 mois. Le cours de X est aujourd hui de 50. 1) Elle achète optios de vete au prix d exercice de 50 moyeat ue prime de 2,5 par optio. Cas 1 : 6 mois plus tard le cours est de 40 : l etreprise exerce ses optios et ved actios au prix de 10000*50-2,5*10000= = Cas 2 : le cours est de 60 : l etreprise exerce pas ses optios et ved les actios sur le marché pour 60* ,5*10000= ) Elle atted et agit 6 mois plus tard sur le marché : Cas 1 elle reçoit soit ue perte par rapport à l optio de Cas 2 elle reçoit soit u gai de (2) Vete d ue optio de vete Page 45 sur 53

46 Le vedeur de l optio d achat est das la positio symétrique de celle de l acheteur. Il reçoit immédiatemet la prime e cotrepartie de laquelle il s egage sur la durée du cotrat à vedre l actif sous-jacet à la demade de l acheteur. S agissat d u jeu à somme ulle, so résultat à l échéace est l opposé de celui de l acheteur : Résultat à l échéace Le vedeur d ue optio d achat spécule sur la baisse du prix du sous-jacet P prime de l optio 0 Zoe de retabilité K-P K Gai limité à la prime Risque de perte potetiellemet importat f) Evaluatio des optios Lorsque l optio est égociable, elle est évaluée e permaece etre sa date de créatio et so échéace. La valeur de l optio se décompose e deux élémets : Valeur de l optio (Prime) Valeur itrisèque Valeur de l optio si l échéace est immédiate VI=maximum (S-K,0) = Valeur spéculative Espoir de voir le cours de l actif moter (call) ou descedre (put) avat l échéace. + VS>0 A l échéace VS=0 Le graphique des valeurs est e gééral proche de : (pour ue optio d achat) Page 46 sur 53

47 Valeur spéculative Valeur itrisèque K L évaluatio des optios déped des paramètres Optio d achat : OA Optio de vete : OV Cours de l actif S Hausse de S Hausse de l OA Hausse de S Baisse de l OV Prix d exercice K Hausse de K Baisse de l OA Hausse de K Hausse de l OV Durée de vie de l optio Volatilité Taux d itérêt Reveu distribué Réductio de la durée de vie etraîe ue baisse de l OA et l OV car la probabilité de pouvoir exercer dimiue Ue hausse de la volatilité des cours etraîe ue hausse de l OA et l OV car la probabilité de pouvoir exercer augmete Hausse des taux d itérêt hausse de l OA. E effet, celle-ci peut s iterpréter comme u achat différé. E attedat, l acquéreur peut placer le motat actualisé du prix d exercice et bééficier des itérêts Distributio de reveu (dividede pour ue actio) baisse de S baisse de l OA Hausse des taux d itérêt baisse de l OV. E effet, celle-ci peut s iterpréter comme ue vete différée. E attedat, l acquéreur doit empruter le motat actualisé du prix d exercice et payer des itérêts Distributio de reveu (dividede pour ue actio) baisse de S hausse de l OV B. Les marchés des produits dérivés 1. Le MATIF Le Matif (Marché à terme iteratioal de Frace) a été créé le 20 février 1986, la même aée que le marché des valeurs du Trésor. Proposat ue large gamme de produits de couverture des risques fiaciers (taux d'itérêt, idices boursiers, marchadises), le Matif s'iscrit aujourd'hui parmi les plus grads marchés à terme iteratioaux. So rôle est de proposer aux acteurs écoomiques et fiaciers, des istrumets égociables de gestio des risques liés aux fluctuatios des itérêts à log, moye et court terme, aux variatios du cours de certaies matières premières. Page 47 sur 53

48 a) Orgaisatio et foctioemet Objectif Techique et orgaisatio Chambre de compesatio : Euroext Paris SA s iterpose etre acheteurs et vedeurs et garatit la boe fi des opératios. Itermédiatio : Les trasactios sot réalisées exclusivemet par les «adhérets» et leurs «égociateurs». Sécurité des trasactios Trasparece des égociatios Liquidité du marché Dépôt de garatie : avat de predre positio sur le marché, le doeur d ordre est teu de costituer, auprès de l itermédiaire, u dépôt devat couvrir la perte maximale susceptible d être eregistrée lors d ue séace de égociatio Appel de marge : Toute positio fait l objet quotidieemet d ue liquidatio fictive. La marge est portée sur le compte de l opérateur. Si le dépôt de garatie est amputé, o procède à u appel de marge auprès de l opérateur pour qu il recostitue so dépôt avat le ledemai. Si l appel est pas couvert la positio est liquidée par l itermédiaire. Négociatio électroique de 8h à 22h e cotiu. Cotrats stadardisés e terme d échéaces de coditios de livraiso, d uité de égociatio, de qualité de l objectif égocié La fogibilité des cotrats : possibilité de déouer ue positio avec ue cotrepartie différete de l iitiale b) Les deux pricipaux cotrats Matif e euros (1) Pricipales caractéristiques du cotrat à terme Euro Notioel Ce sot des cotrats de gestio du risque de taux d itérêt à log terme. Sous-jacet Nomial Mode de cotatio Dépôt de garatie Échéaces Titres livrables Emprut fictif d État, libellé e euro, remboursable i fie, de maturité résiduelle comprise etre 8,5 et 10,5 as, coupo 3,50 % euros Pourcetage du omial exprimé avec deux décimales au pied du coupo 1500 euros Trois échéaces trimestrielles successives parmi mars, jui, septembre, décembre Livraiso de titres choisis par le vedeur das ue liste d empruts fraçais et allemads, de maturité résiduelle 8,5 à 10,5 as amortis i fie, d ecours miimal de 6 milliards d euros, réglés u mois avat la date de règlemet/livraiso de l échéace. Le cours du cotrat varie e foctio du taux du marché comme ue obligatio à taux fixe : Lorsque le taux du marché obligataire est de 3,5%, le cotrat otioel vaut 100. Si le taux mote le cours du cotrat baisse et iversemet. La valeur temps du cotrat otioel euro se calcule comme ue obligatio à savoir (voir(11)) Page 48 sur 53

49 VT durée 1 (1 + t) = 3, t ( t) duree Où t est le taux d itérêt des empruts d états à l émissio. Exemple : Le 25 avril, u spéculateur aticipat ue baisse des taux de marché fiacier, achète 10 cotrats Euro Notioel, échéace jui. So ordre est exécuté à 87,48. L adhérat traitat pour le compte du spéculateur lui demade u dépôt de garatie de 1500x10=15000 Le 25 avril au soir, le cours est de 87,58 So compte est crédité de 10x (87,58-87,48) %x100000=+1000 Les jours suivats dégaget les marges ci-dessous 25 avril : Cours 87,58 ; Restitutio de marge ; Solde avril : Cours 87,52 ; Appel de marge -600 ; Solde avril : Cours 87,50 ; Appel de marge -200 ; Solde avril : Cours 87,62 ; Restitutio de marge ; Solde A cette derière date, il déboucle sa positio et touche 1400 plus restitutio de so dépôt de garatie. Le résultat global peut être calculé directemet : 10x (87,62-87,48) %x100000=+1400 Sous-jacet Type (2) Caractéristiques des optios sur Euro Notioel Echelle des prix d exercice Echéaces 1 cotrat à terme ferme Euro Notioel Optio américaie exerçable à tout istat Ouverture d optios à, e dehors et das la moaie 2 mois rapprochés et 3 échéaces trimestrielles parmi mars, jui, septembre, décembre. L échéace mesuelle porte sur l échéace trimestrielle du cotrat ferme immédiatemet ultérieur Liquidatio L exercice de l optio se traduit par : L achat ou la vete d u cotrat ferme sur la même échéace ou sur l échéace trimestrielle suivate. L assigatio par tirage au sort d u vedeur. Cotatio Prime exprimée e % du omial (3) Pricipales caractéristiques du cotrat à terme Euribor 3 mois Sous-jacet Nomial Mode de cotatio Dépôt de garatie 500 Échéaces Dépôt d ue valeur de d euros pour ue durée de 90 jours. Les taux d itérêts sot calculés e reteat u prorata de 90/ euros Idice à trois décimales correspodat à : 100 taux Euribor 3 mois. Comme pour l Euro Notioel ue hausse des taux provoque ue baisse des cours. Deux échéaces mesuelles et 20 trimestrielles successives parmi mars, jui, septembre, décembre Page 49 sur 53

50 Liquidatio Cash settlemet : le cours de liquidatio correspod à : 100 Euribor 3 mois, établi le jour de clôture et arrodi à l échelo de cotatio Exemple : Le 9 javier, u spéculateur aticipat ue hausse des taux das les 9 prochais mois ved 5 cotrats Euribor 3 mois sur l échéace septembre. So ordre est exécuté à 96,42 (taux implicite 3,58%). Le dépôt de garatie est de 5x500 =2500. La positio est pas soldée avat l échéace. Cas 1 : à l échéace le cours de liquidatio s établit à 95,98 So compte est crédité du solde des appels et restitutios de marge : 90 ( 96, 42 95,98 )% = Cas 1 : à l échéace le cours de liquidatio s établit à 96,88 Sa perte est de : 90 ( 96, 42 96,88 )% = Ce qui correspod aux appels de marge. 2. Le MONEP Ouvert e septembre 1987, le MONEP (Marché des Optios Négociables de Paris) est u marché réglemeté de cotrat fermes et optioels portat sur des actios cotées sur u marché réglemeté de l espace écoomique europée et sur des idices sur actios. a) Orgaisatio et foctioemet Objectif Techique et orgaisatio Chambre de compesatio : Euroext Paris SA s iterpose etre acheteurs et vedeurs et garatit la boe fi des opératios. Itermédiatio : Les trasactios sot réalisées exclusivemet par les «adhérets» et leurs «égociateurs». Sécurité des trasactios Trasparece des égociatios Liquidité du marché Couverture : Ue couverture (dépôt de garatie), ajustée quotidieemet est demadée aux opérateurs déteat ue positio ouverte sur les cotrats fermes et ue positio globale ette vedeur sur les optios. La couverture doit faire face à la liquidatio évetuelle de leur positio, das l hypothèse de l évolutio la plus défavorable des cours de l actif lors de la séace suivate. Exemples : Achats d optios : pas de couverture, risque limité à la prime Vetes d optios : couverture exigée Achats/Vetes d optios : calcul d ue positio ette ; couverture exigée su positio ette vedeur Négociatio électroique de 8h à 22h pour les cotrats fermes De 9h à 17h pour les optios. Cotrats stadardisés e terme d échéaces de coditios de livraiso, d uité de égociatio, de qualité de l objectif égocié La fogibilité des cotrats : possibilité de déouer ue positio avec ue cotrepartie différete de l iitiale Page 50 sur 53

51 Sous-jacet Nomial Echéaces Liquidatio b) Cotrats à terme ferme sur le CAC 40 Idice CAC 40 costitué des 40 valeurs fraçaises du Premier Marché, idice base 1000le 31/12/1987 Valeur de l idicex10 euros Dépôt de garatie 350 poits d idice soit 3500 Cotatio 8 échéaces glissates, 3 moi rapprochés et 3 échéaces trimestrielles et 2 échéaces semestrielles. A chaque échéace correspod u cotrat différet Pas de livraiso possible. Toute positio o déouée avat l échéace doe lieu à u ultime appel de marge sur la base du CAC40. De l idice Exemple : Le 12 ovembre, u spéculateur aticipat ue hausse du CAC 40 achète 5 cotrats sur l échéace ovembre. So ordre est exécuté à Le dépôt de garatie est de 3500x5= Le spéculateur reved des ses cotrats le 19 ovembre à So compte est crédité de ( )x10x5=4350. C. Stratégies complexes Sauf idicatio cotraire, les stratégies détaillées ci-dessous peuvet s'appliquer aussi bie aux optios de chage qu'aux optios de taux. 1. Stratégie sur la volatilité : le Straddle Le straddle correspod à l'achat simultaé d'u call et d'u put au même prix d'exercice. L'acheteur de straddle aticipe ue forte variatio de cours idépedammet du ses de celle-ci. Cette variatio doit être suffisammet importate pour lui permettre le paiemet des 2 primes et si possible exercice d'ue des optios. Page 51 sur 53

52 A cotrario, le vedeur de straddle table sur ue stabilité des cours par rapport aux 2 prix d'exercice afi de lui permettre de coserver au mois ue partie des primes touchées iitialemet. Das ce cas, les figures ci-dessus sot iversées. 2. Stratégie sur la volatilité : le Stragle Le stragle correspod égalemet à l'achat simultaé d'u call et d'u put mais à des prix d'exercice différets. De plus ces prix serot out of the moey afi de miimiser le motat des primes à payer. Par cotre l'écart de volatilité devra être plus importat pour permettre le remboursemet des primes. Iversemet, le vedeur de stragle espère ue baisse de volatilité permettat de rester das la fourchette de gai. 3. Stratégie sur le prix : le Collar Le collar correspod à l'achat d'ue optio (call ou put) associé à la vete d'ue optio de ses cotraire (put ou call). Ce type d'optio est égalemet appelé terme sythétique. Bie etedu u Collar du type Achat de Put + Vete de Call est tout à fait possible. Ce type de stratégie est isesible aux variatios de volatilité. Page 52 sur 53

53 4. Strip et Strap Stratégie cosistat à acheter u plus grad ombre de call que de put (prévisio de hausse) ou u plus grad ombre de put que de call (prévisio de baisse). Page 53 sur 53