DAEUB EXAMEN PREMIERE SESSION 2013/2014

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1 DAEUB EXAMEN PREMIERE SESSION 2013/2014 LE SUJET EST COMPOSE DE TROIS EXERCICES INDEPENDANTS. LE CANDIDAT DOIT TRAITER TOUS LES EXERCICES. Les calculatrices sot autorisées. Les portables doivet être éteits. Exercice 1 : 6,5 poits U joueur débute u jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. O admet que : La probabilité qu il gage la première partie est de 0,1 : S il gage ue partie, la probabilité de gager la suivate est égale à 0,8 ; S il perd ue partie, la probabilité de gager la suivate est égale à 0,6. O ote pour tout etier aturel o ul : G l évéemet «le joueur gage la -ième partie» ; P la probabilité de l évéemet G. O doe p 1 = 0,1 1) Motrer que p 2 = 0,62. O pourra s aider d u arbre podéré. 2) Le joueur a gagé la deuxième partie, calculer la probabilité qu il ait perdu la première partie. 3) Calculer la probabilité que le joueur gage au mois ue partie sur les trois premières parties. 4) Recopier sur la copie et compléter l arbre suivat : G +1 p G G +1 G G +1 G +1 Motrer que pour tout etier aturel, p +1 = 1 5 p ) O cosidère la suite (v ) défiie pour tout etier aturel o ul par : v = p 3 4 a) Démotrer que la suite (v ) est ue suite géométrique dot o précisera la raiso et le premier terme v 1. b) Démotrer que, pour tout etier aturel o ul : p = (3 4 ) 1 c) Détermier la limite de la suite (p ) quad ted vers +. d) Pour quelles valeurs de l etier aturel a-t-o : 3 4 p < 10 7.

2 Exercice 2 : 5,5 poits Le thermomètre de Galilée est composé d u cylidre e verre clos rempli d u liquide das lequel o a placé des petites boules de même volume et de masses différetes. Lorsque la température du liquide varie, les boules vot moter ou descedre, idiquat la température ambiate. Partie A : O cosidère la foctio f défiie sur [0; + [par f(t) = 13 (1 e 1 2 t ) Le pla est mui d u repère orthogoal, la courbe représetative C de la foctio f est représetée sur le graphique joit e aexe 1, à redre avec la copie. 1) Détermier la limite de f e +, Iterprétez graphiquemet ce résultat. 2) Soit f la foctio dérivée de f sur [0; + [. Calculer f (t). 3) Etudier les variatios de f et dresser so tableau de variatio. 4) Détermier ue équatio de la tagete T à la courbe C au poit d abscisse 0. Tracer T sur le graphique joit e aexe 1, à redre avec la copie. PARTIE B : O admet que la vitesse de chute de la boule à l istat t est égale à f(t). La vitesse est exprimée e mm.s -1 et le temps e secodes. 1) Détermier graphiquemet à partir de quel istat la vitesse de chute de la boule dépasse 10 mm.s -1. 2) Retrouver le résultat précédet par le calcul. 3) Calculer la vitesse moyee V m de chute de la boule etre les istats t = 2 et t = 4. O doera ue valeur exacte puis ue valeur approchée à 0,01 près. O rappelle que : V m = f(t)dt 2 Exercice 3 : 8 poits PARTIE A : O cosidère la foctio g défiie sur l itervalle ]0; + [ par g(x) = 2x lx. 1) Détermier les limites de la foctio g e 0 et e +. 2) Soit g la foctio dérivée de la foctio g, calculer g (x). 3) Etudier les variatios de la foctio g sur l itervalle ]0; + [. 4) Justifier qu il existe u uique réel α ]0; + [ tel que g(α) = 0 5) O doe le tableur suivat x 0,863 0,864 0,865 0,866 0,867 0,868 g(x) -0,009-0,002 0,004 0,011 0,018 0,025 Doer ue valeur approchée de α au cetième.

3 6) E déduire le sige de g(x) sur l itervalle ]0; + [. PARTIE B : O cosidère la foctio f défiie sur l itervalle ]0; + [ par f(x) = 2x lx x² O ote C f la courbe représetative de la foctio f das u repère orthoormé (O; i ; j ). 1) Détermier les limites de la foctio f e 0 et e +. 2) A) Etudier le sige de f(x) 2x. B) Soit D la droite d équatio y = 2x, déduire de la questio précédete la positio relative de la courbe C f et de la droite D. 3) Soit f la foctio dérivée de la foctio f, motrer que f (x) = g(x) x 3. 4) Dresser le tableau de variatio de la foctio f. 5) La courbe C f est tracée das u repère orthoormé (O; i ; j ) avec comme uités : 1 cm sur l axe des abscisses, 0,5 cm sur l axe des ordoées e aexe 2, à redre avec la copie. Tracer la droite D. PARTIE C : Soit u etier aturel o ul, O cosidère l aire du domaie E du pla compris etre la courbe C f,, la droite D et les droites d équatio x = 1 et x =. 1) Hachurer cette aire sur le graphique de l aexe 2 à redre avec la copie 2) Justifier que cette aire exprimée e cm² est doée par : 3) Soit h la foctio défiie sur ]0; + [ par a) Calculer h (x) I = 0,5 lx x² dx 1 h(x) = lx + 1 x 1 dx x² b) E déduire lx c) E déduire l expressio de I e foctio de. 4) Calculer la limite de l aire I du domaie E quad ted vers +.

4 ANNEXE 1 : à redre avec la copie C ANNEXE2 :à redre avec la copie

5 ANNEXE 2 :