Compression d images par SVD et surapproximation

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1 Sgnal, mage et multméda Compresson d mages par SVD et surapproxmaton des composantes de chromnance Henr Bruno Razafndradna, Ncolas Raft Razafndraoto L.I.I.S..A. (Laboratore d Informatque applquée, d Images, de Sgnal, de élécommuncatons et d Automatque) Ecole Supéreure Polytechnque d Antananarvo, Unversté d Antananarvo, Madagascar hbazafndradna@gmal.com, raft@nc.mg RÉSUMÉ. Dans cet artcle, nous présentons un nouveau schéma de compresson d mage en couleurs qu effectue une approxmaton de la matrce des valeurs sngulères. L mage dot être converte dans l espace lumnance / chromnance avant d être tratée comme dans le cas de la norme JPEG 4 : 2 : 0. Notre algorthme repose sur un sous-échantllonnage de la chromnance, pus une sur-approxmaton des valeurs sngulères de cette dernère. Au leu de ne retenr que les premères valeurs sngulères pour les 3 composantes R, V et B de l mage, on retent les premers coeffcents pour la composante Y et seulement ' (' ) coeffcents pour les 2 composantes C b et C r. Les résultats ont montré que pour des mages de pxels, à partr de = 40 correspondant à une dstorson moyenne de 30 db et un rato de 15 : 1, l mage resttuée est de bonne qualté. L algorthme permet auss un gan de vtesse consdérable grâce au sous échantllonnage. ABSRAC. hs paper gves a new scheme of colour mage compresson related to sngular values matrx approxmaton. he mage has to be converted n lumnance / chromnance space before beng processed le JPEG standard 4 : 2 : 0. Our approach s frst based on a chromnance sub-samplng, then an over estmaton of ts sngular values. Instead of eepng only the frst sngular values for the 3 components R, G and B, we hold frst coeffcents for the Y component and only ' (' ) coeffcents for 2 components C b and C r. Results show that for pxels that, from = 40 correspondng n an average dstorton of 30 db and a rato of 15 : 1, the restored mage has good qualty. he algorthm allows a sgnfcant speed gan by sub-samplng too. MOS-CLÉS : compresson, valeurs sngulères, sur-approxmaton, sous-échantllonnage. KEYWORDS : compresson, SVD, approxmaton, sub-samplng. Volume , pages 1 à 8

2 2 Volume Introducton La compresson d mages numérques a connu une évoluton ncessante, parallèlement à celle des télécommuncatons et du multméda, depus les années 60. Elle permet de rédure la talle d une mage dans le but d augmenter la capacté des supports de stocages (lmtés en capacté) et d optmser l utlsaton de la bande passante d un réseau. Depus la normalsaton de l algorthme JPEG basé sur la transformée en cosnus dscrète [13], le volume des données multmédas (son, mage, vdéo, etc.) n a cessé d augmenter. La norme JPEG2000 basée sur la transformée par ondelettes [9][5] a perms d augmenter le taux de compresson des mages avec une qualté supéreure à celle de JPEG. L objet de cet artcle est la compresson d mages en couleur par Décomposton en Valeurs Sngulères ou SVD. La SVD consste à décomposer une matrce en un produt de 3 matrces U, S et V (S est appelée matrce des valeurs sngulères). Chen [7] ans qu Abrahamsen [1] ont déjà proposé une méthode smple de compresson d mages à nveaux de grs ne retenant que les premères valeurs sngulères. Des améloratons ont été proposées en utlsant l algorthme SVD standard [2]. D autres applcatons de la décomposton en valeurs sngulères comme la compresson facale [6] ou la reconnassance facale [12] ont montré que la SVD est utlsée dans pluseurs domanes de l magere. En ce qu concerne les mages en couleurs, Adams [3] et Cooper [8] ont proposé une méthode qu applque la compresson SVD ctée plus haut à chaque composante R, V et B. Dans cet artcle, nous présentons une nouvelle méthode de compresson par décomposton en valeurs sngulères qu, avant le codage SVD par sur-approxmaton, sous-échantllonne les composantes chromatques de l mage. Les bases de la décomposton sont d abord décrtes, nous détallerons ensute l algorthme proposé et les résultats seront dscutés. 2. La décomposton en valeurs sngulères 2.1. Prncpe oute matrce I de talle m n de rang r peut être décomposée en une somme pondérée de matrces untares m n par Décomposton en Valeurs Sngulères. Les matrces U et V sont untares et I peut donc s écrre : I = U S V = n ( u v ) = 1 σ (1)

3 Compresson d mages par SVD et sur-approxmaton des composantes de chromnance 3 Où S est une matrce dont les r premers termes dagonaux sont postfs, tous les autres étant nuls. Les r termes σ non nuls sont appelés valeurs sngulères de I. σ L 0 S = M O M 0 L σ n avec σ 1 σ 2 σ r et σ r+1 σ r+2 σ n = Applcaton de la SVD en compresson d mages Les valeurs sngulères représentent l énerge [11] de l mage. En effet, l énerge totale de l mage I est représentée dans la formule suvante : I = trace m n n 2 [ I I ] = I ( j) = = 1 j = 1 = 1 2 (2), σ (3) La compresson d une mage à nveaux de grs vent donc ntutvement en forçant les valeurs sngulères les plus fables à zéro. En ne sélectonnant que les ( n) premères valeurs sngulères, on peut approxmer la matrce I par la formule : I = U S V = = 1 σ u v (4) S représente la matrce des valeurs sngulères compressée. Le produt U S représente la composante prncpale [4] de l mage. L énerge correspondante est : I = trace [ I I ] = = 1 2 σ (5) Notons SVD- le codage d une mage à l ade de valeurs sngulères. Fgure 1. Codage SVD pour un nombre de valeurs sngulères 2.3. Rato Le rato G du codage est exprmé par la formule suvante : ( m n) /[ ( m + +1) ] G = n (6) Comme G dot être supéreur à 1, l faut donc chosr tel que :

4 4 Volume ( m n) /( m + n + ) seul < 1 = Pour la compresson d mages couleurs, Copper [8] a proposé d applquer la même approxmaton aux 3 composantes R, V et B. Dans ce cas, le rato est égal à G de l équaton (6) Schéma de compresson proposé Sachant que pour une mage couleur, l œl est beaucoup plus sensble aux varatons de lumnance qu à celles de couleur, nous proposons une méthode de compresson qu agt dans l espace Lumnance / Chromnance (Y / C b C r ou Y / UV). Au leu de ne retenr que valeurs sngulères pour les 3 plans RVB [8], notre méthode trate ndfféremment le plan Y et les 2 autres plans. Le codage nécesste dans ce cas un prétratement qu est le passage de RVB à YC b C r. Les 2 plans C b et C r sont ensute sous-échantllonnés suvant le plan horzontal pus vertcal. Image orgnale Dans l espace YCbCr Sous-échantllonnage Codage SVD Fgure 2. Schéma du codage SVD proposé La fgure 2 représente le schéma de compresson proposé : le plan Y est codé avec un nombre de valeurs sngulères alors que les 2 autres sont codés avec un nombre '. Dans ce cas, l expresson du rato devent : G = 3 m n / m + n m + n + 2 (7) ( ) {[ ( )] [ ( )]} 3. Résultats ous les tests ont été effectués sur les mages «lena, mandrll et plane» de dmenson pxels pour pluseurs valeurs de. Et ' = / ν, où ν est un multple de 2.

5 Compresson d mages par SVD et sur-approxmaton des composantes de chromnance 5 Le PSNR (Pea Sgnal to Nose Rato) a été chos pour mesurer la dstorson correspondant à un rato donné. Sot I l mage orgnale et I l mage compressée. PSNR = log 10 [ I(, j) ] Max EQM 2 10 (8) où EQM est l erreur quadratque moyenne : 1 m n = 1 j = 1 [ ( ) ( )] 2 I, j I, j EQM = m n (9) Les fgures suvantes montrent respectvement, pour = 20 et = 40, l mage orgnale, celle compressée à ' =, pus ' = / 2 et fnalement pour ' = / 4. Pour = 20 : Image orgnale ' = ' = / 2 ' = / 4 Fgure 3. Résultat obtenu pour = 20 Pour = 40 : Image orgnale ' = ' = / 2 ' = / 4 Fgure 4. Résultat obtenu pour = 40 Nous avons fat varer ν jusqu à 16 et les courbes 5 et 6 suvantes présentent respectvement les varatons du PSNR et du rato G en foncton de.

6 6 Volume Fgure 5. Varaton du PSNR en foncton de Fgure 6. Varaton du Rato en foncton de Le rapport entre la vtesse de codage dans le système de Cooper et celle de notre approche est résumé dans le tableau suvant : Images de test Mandrll Lena Plane Rapport de vtesse ableau 1. Rapport de vtesse de codage par rapport au schéma de Cooper Enfn, nous avons comparé l énerge de l mage codée avec celle de l mage orgnale. La courbe suvante montre la varaton de ce rapport en foncton de.

7 Compresson d mages par SVD et sur-approxmaton des composantes de chromnance 7 Fgure 7. Varaton du Rapport énergétque (%) en foncton de Le cas ' = correspond à la méthode de Cooper [8]. 4. Dscusson Les extrats d mages compressées nous montrent qu à partr de = 40, l énerge de l mage est presque reconstrute. En effet, sur la courbe de varaton du PSNR, nous pouvons constater qu à cette valeur de, la dstorson moyenne obtenue est 30 db. La courbe de la fgure 7 montre qu à partr de = 40, l mage codée content 98 % de l énerge de l mage orgnale pour toutes les valeurs de '. Le fat de sur-approxmer les composantes de chromnance amélore grandement le rato et la vtesse de compresson. En effet, pour = 40, le rato (fgure 6) fluctue autour de 15 : 1 au leu de 6 : 1 dans le schéma de Cooper et le tableau 1 donne un rapport de vtesse moyen de 3. Plus la talle des composantes de chromnance dmnue, plus le gan en vtesse augmente ; la vtesse de codage est donc nversement proportonnelle à '. Vu la capacté de calcul demandée par la SVD, cette vtesse dmnue quand on augmente la talle des mages à coder. En plus, pour tous les et ' la courbe du rapport énergétque reste très proche de celle obtenue avec l algorthme de Cooper [8]. Malgré ces avantages, la méthode possède des lmtes : le chox de ' est lmté car s on dépasse la valeur 16 pour ν, le PSNR descendrat à un nveau nféreur à 30. Le processus de compresson est assez lent car le cœur du codage est la décomposton en valeurs sngulères qu nécesste un temps de calcul très mportant mas le décodage est tout auss rapde que les autres algorthmes tels que JPEG, JPEG2000, etc.

8 8 Volume Concluson et perspectves Cet artcle nous a montré l effcacté de la décomposton en valeurs sngulères en compresson d mages couleurs. Avec la pussance de calcul des ordnateurs qu ne cessent d augmenter, l approche par SVD a encore un bel avenr. Notre méthode pourrat être amélorée en assocant la SVD avec l Analyse en Composantes Prncpales. 6. Bblographe [1] Abrahamsen A., Rchards D., «Image Compresson usng Sngular Value Decomposton», Lnear algebra applcatons, 2001, [2] Abrham R. et al, «A Varaton on SVD Based Image Compresson», hrd Worshop on Computer Vson, Graphcs, and Image Processng, 2006, 1-6. [3] Adams B., Manual N., «Usng the Sngular Value Decomposton Partcularly for the Compresson of Color Images», College of the Redwoods, 2005, [4] Agarwal R., Santhnam M.S., «Dgtal Watermarng n the Sngular Vector Doman», arxv:cs/ v1, [5] Al Abud B. K., George L. A., «Color Image Compresson Usng Wavelet ransform», GVIP 05 Conference, Caro, Egypt, 2005, 1-7. [6] Bryt O., Elat M., «Compresson of Facal Images Usng the K-SVD Algorthm», he IEEE 25-th Conventon of Electrcal and Electroncs Engneers n Israel, Elat Israel, 2008, [7] Chen J., (2000), «Image compresson wth SVD», ECS 289K Scentfc Computaton, 13. [8] Cooper I., Lorenc C., «Image Compresson Usng Sngular Value Decomposton», College of the Redwoods, 2006, [9] Meadows S. C., «Color mage compresson usng wavelet transform», hess n Electrcal Engneerng, 1997, [10] Press W., euolsy, Vetterlng W., Flannery B., «Numercal recpes : the art of scentfc computng», Cambrdge Unversty Press, 1992, [11] Roue B., Bas P., Le Bhan N., «Décomposton et codage hypercomplexes des mages couleurs», Mémore de DEA laboratore, Grenoble, Laboratore LIS, [12] haahrah S. M. Rased, Othman O. K., Yuslna B. K., «Human Face Recognton Based on Sngular value Decomposton and Neural Networ», GVIP 05 Conference, Caro, Egypt, 2005, 1-6. [13] Watson A. B., «Image Compresson Usng the Dscrete Cosne ransform», Mathematca Journal, 1994,