PRO 1 EXPRO010 EXPRO019

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1 Exercces résolus de mathématques. PRO 1 EXPRO010 EXPRO019 Jacques ollot 1 avrl PRO 1-1 -

2 EXPRO010W Ue ure cotet boules blaches ( 4) et 10 boules ores. O tre au hasard et smultaémet 10 boules de l ure. O admet que tous les trages sot équprobables. 1) alculer la probablté P de trer 5 boules ores et 5 seulemet. 2) Etuder le ses des varatos de P lorsque croît (alculer le rapport P+1/P) a) Type de Nbre de Nbre de boule boule cas Nores 10 (O pred 5 boules ores) Blaches Total 10 P (O pred 5 boules blaches) b) De même : P 1 P P 1 P P ! 10! 5!5! 1!10! 15!5! 10 10!10!! 11! 1² ² ² 7 44 est féreur à 1 quad : ² 2 1 ² Doc dès que 9; P devet plus pett que qu cotue à décrotre avec Résolu le 27 févrer 2004 P - PRO 1-2 -

3 EXPRO011W Le claver d ue mache comporte 42 touches, dot 8 chffres et 26 lettres. O frappe au hasard. Sachat que les touches sot équprobables, calculer les probabltés suvates : a) De taper ue lettre. b) De taper ue sute de 5 lettres. c) De taper le mot espor. 26 a) P b) O admet que l'o peut frapper pluseurs fos la même touche : 26 P c) Probablté de taper ue lettre détermée : P 42 1 Doc la probablté de taper le mot espor est : P 42 'est très peu probable Résolu le 27 févrer PRO 1-3 -

4 EXPRO012W U céma bruxellos prévot, pour l aée 2000, 365 spectacles dfférets dot 73 flms polcers. A) Quelles serot respectvemet les probabltés p et q pour qu ue persoe etrat u jour, au hasard, das ce céma assste à a. u flm polcer b. u autre flm B) M Dupot va à ce céma ue fos par mos, sas coaître à l avace le programme. Quelles serot respectvemet les probabltés p1, p2, p3, et p4 pour qu l voe durat ue aée. a. u flm polcer et u seul? b. douze flms o polcers? c. au mos deux flms polcers? d. quatre flms o polcers et quatre seulemet? O a deux évèemets cotrares, c'est doc ue lo bomale. A) a) 73 p b) q 1 p 0.8 x x B) f x P( X x ) p 1 p a) p pq x b p q 12 ) c) Il est plus smple de calculer la probablté de l'évèemet cotrare : 1 p p p p 1 p p d) p p q ' est doc très peu probable. Résolu le 27 févrer PRO 1-4 -

5 EXPRO013W O jette u dé. S o obtet u 6, o gage 5 Euro S o obtet u 5 ou u 4, o gage 1 Euro S o obtet u 3 ou u 2, o gage 0 Euro S o obtet u 1, o perd 0.5 Euro alculer a) L espérace mathématque b) La varace c) L écart type a) Etablssos le tableau : X p E x b) V x ² ² ² ² c) V x Résolu le 27 févrer PRO 1-5 -

6 EXPRO014W O tre au hasard u échatllo de tros artcles das ue boîte de 12 artcles dot tros sot défectueux. alculer l espérace mathématque d obter des artcles bos, as que la varace et l écart type. Sot ombre d'artcles bos comme varable aléatore. 3 1 'est ue lo bomale de degré 3 avec p et q p E x Mas comme l s'agt d'ue lo bomale ce résulat pouvat être drectemet obteu par E x p ² V x ² ² ² O vérfe : V x p 1 p x 0.75 x Note : pour les artcles défectueux, o a : E x p V x (La même) 0.75 (Le même) Résolu le 27 févrer PRO 1-6 -

7 EXPRO015W a) Das u jeu de ple ou face, o gage 1 Euro s o fat ple, et o perd 2 Euro s o fat face. alculer l espérace mathématque d obter des artcles bos, as que la varace et l écart type. b) Mêmes questos pour u jeu de dé où o gage 5 Euro s o fat u 5 et s das les autres cas o perd 2 Euro. a) Varable aléatore : x le ga x 2 1 p 1/ 2 1/ 2 E x x x p V x p x E x V x 1.5 b) Varable aléatore : x le ga x 2 5 p 5/ 6 1/ 6 E x 5 1 x p V x p x E x x V x Résolu le 27 févrer PRO 1-7 -

8 EXPRO016W Das ue ure se trouvet 12 boules ores et 8 blaches. S o tre ue ore, o perd 3 Euro et s o tre ue blache, o gage 5 Euro. alculer l espérace mathématque, la varace et l écart type. Varable aléatore : x le ga N B X 3 5 p 12 / 20 8/ 20 E x x x p V x p x E x V x Résolu le 27 févrer PRO 1-8 -

9 EXPRO017W U exame propose 20 questos. L élève a le chox parm 5 réposes dot ue seule est juste. Sot u élève qu chost ces réposes au hasard. alculer le résultat le plus probable et la probablté de fare la moté des pots. 'est ue lo bomale avec les probabltés 1 4 p (vra) et q(faux) 5 5 Le résultat le plus probable, l sufft de calculer l'espérace mathématque E x 1 p 'est-à-dre 4 réposes justes. 5 O peut le vérfer e effectuat u calcul plus détallé Développos les premers termes de : p O vot be que le maxmum correspod à 4 La probablté de fare 10/20 est de : Il est doc préférable d'étuder plutôt que de compter sur sa chace. Résolu le 27 févrer PRO 1-9 -

10 EXPRO018 FAS, ULB, Bruxelles, septembre 2001 q ombres eters sot des termes cosécutfs d ue progresso arthmétque. Leur somme vaut 20 et la somme de leurs verses vaut 29/20. Soluto proposée par Ja Fras Broeckx - PRO

11 Résolu le 27 févrer Modfé le 4 févrer 2012 (Ja Fras Broeckx) - PRO

12 EXPRO019 Bruxelles, septembre 2002 Trouver les 10 termes d ue progresso arthmétque sachat que la somme des termes vaut 245 et la dfférece des extrêmes 45 t t 9r t t 9r 45 r t t 9 r S t1 t1 Les 10 termes sot doc : t Résolu le 27 févrer PRO