Les engagements d assurance vie. CEA 1 ère année 02/02/17

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1 Les egagemets d assurace ie

2 Itroductio - Les différets types de cotrat de l assurace ie (/3) Le cotrat d assurace e cas de ie : est souscrit idiiduellemet ou collectiemet par l itermédiaire d ue etreprise ou d ue associatio permet l acquisitio de droits immédiats ou différés eprimés sous forme de capital ou de rete, si la persoe assurée est e ie au terme du cotrat repose sur la capitalisatio iagère et fiacière des cotisatios ersées peut être assorti d ue cotre-assurace e cas de décès.

3 Itroductio - Les différets types de cotrat de l assurace ie (2/3) Le cotrat d assurace e cas de décès : cotrat d assurace, souscrit idiiduellemet ou collectiemet par l itermédiaire d ue etreprise, d ue associatio, ou à l occasio d u emprut il garatit le ersemet d u capital ou d ue rete à u bééficiaire désigé, e cas de décès aat le terme du cotrat peut comporter des garaties complémetaires d assurace de dommages corporels : prestatios e cas d ialidité ou d icapacité cosécutie à ue maladie ou à u accidet, ou majoratio de la garatie e cas de décès accidetel

4 Itroductio - Les différets types de cotrat de l assurace ie (3/3) Différets supports possibles : Cotrats e euros : le motat des garaties et des cotisatios est eprimé e euros Cotrats e uités de compte (UC) : le motat des garaties est eprimé par référece à ue ou des uités de compte telles que des actios de SICAV ou des parts de SCI. Les garaties du cotrat sot directemet liées à la ariatio, à la hausse ou à la baisse, de ces parts ou actios. Cotrats multi-supports : les garaties fot référece à u ou plusieurs supports e uités de compte et à u support e euros

5 Sommaire. Probabilités iagères 2. Tables de mortalité 3. Rappels de mathématiques fiacières 4. Egagemets élémetaires

6 Quelques défiitios Variable aléatoire T, durée de ie restate d u idiidu d âge L ifluece des facteurs géérau : l âge, le see, la professio, le pays L ifluece de facteurs spécifiques à l assurace : atisélectio des assurés ou des retiers, tat pour les garaties e cas de ie que pour les garaties e cas de décès.

7 Probabilités de surie et de décès Probabilité de surie au delà d ue période de durée t : [ T > t] tp P Probabilité de décès au cours d ue période comprise etre t et tt : P [ t < T < t t' ] q t t' Relatio etre ces probabilités : t q p t ' t t t ' p E particulier : t q t p

8 Nombre probable de iats (/2) O défiit la ariable idicatrice X(t), dot la aleur est si l idiidu est e ie à l istat t, et 0 sio. Espérace de la ariable idicatrice : [ X ( t) ] t p 0 t q t p E Variace de la ariable idicatrice : V [ X ( t) ] t p t q

9 Nombre probable de iats (2/2) O cosidère l (ombre certai) idiidus idépedats de même âge Au bout de t aées, le ombre de suriats est : L t X( t)... X l ( t) E espérace : E [ L ] t l t p Et doc : t l t p l

10 Quelques applicatios - Ue première propriété : t t' p tp t' p t lecture : la probabilité de surie d ue persoe au bout de tt aées est le produit de la probabilité de surie au bout de t aées par la probabilité de surie de cette persoe plus ieille de t aées au bout de t aées. - Deuième applicatio, l espérace de ie : e& l l... l 2 ω l 2

11 Le tau de mortalité istataé - Le tau de mortalité istataé est défii de la maière suiate (lorsqu il est eprimé sous la forme d u tau aualisé) : µ l - Soit ecore : dl d µ d d (l( l )) - Réciproquemet, si le tau de mortalité istataé est cou, o a : t t p ep µ ydy

12 Epressios aalytiques de l Plusieurs formules aalytiques représetat la mortalité e foctio de l âge ot été proposées. Formule de Maeham, le tau istataé de mortalité est doé par la relatio suiate, aec A, B > 0 et c > µ La foctio de surie correspodate est doée par : A B c t p Bc t ep At ( c ) l c La formule de Gomperz, qui date de 824, correspod au cas particulier où A 0.

13 Sommaire. Probabilités iagères 2. Tables de mortalité 3. Rappels de mathématiques fiacières 4. Egagemets élémetaires

14 Les tables de mortalité - gééralités Ue table de mortalité met e regard, pour tous les âges, le ombre de suriats das u groupe fermé Elle est le fruit d ue étude statistique Elle permet e particulier de détermier pour chaque âge le tau auel de mortalité et l espérace de ie La coaissace de la table de mortalité d ue populatio permet de modéliser de maière fie so éolutio démographique probable. C est sur cette base que sot calculés les egagemets liés à la durée de la ie : préoyace, retraite, etc.

15 Table de mortalité TF Présetatio d ue table de mortalité l l l l Lecture de la table : Sur aissaces, seules : persoes surirot jusqu à 20 as persoes jusqu à 40 as La table suppose qu aucue persoe e surira au-delà de 2 as. C est l «âge limite» de la table.

16 Le ombre de suriats par âge Notatio : l Nombre de suriats par âge, à tout âge, au sei d ue géératio, pour aissaces (table TF 00-02) Nombre de suriats Âge

17 Le ombre de décès par âge Notatio : d l l (TF 00-02) Nombre de décès par âge Âge NB : «pics» de décès post-atals et au âges éleés

18 Le tau auel de décès par âge (/2) Notatio : (TF 00-02) d l q 00% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 0% 0% Âge Tau auel de mortalité

19 Le tau auel de décès par âge (2/2) 0,05% 0,04% 0,04% Tau auel de mortalité 0,03% 0,03% 0,02% 0,02% 0,0% 0,0% 0,00% Âge

20 Les tables de mortalité réglemetaires e Frace Date d'applicatio Table Origie Applicatio Aat le 0/07/06 TV 88/90 TD 88/90 Mortalité de la populatio géérale fémiie fraçaise pour la période d'obseratio Mortalité de la populatio géérale masculie fraçaise pour la période d'obseratio Tarificatio et proisioemet des garaties "ie" (autres que les retes iagères) Tarificatio et proisioemet des garaties "décès" (autres que les retes iagères) TF (d) Mortalité de la populatio géérale fémiie fraçaise pour la période d'obseratio Tarificatio et proisioemet des garaties "ie" et "décès" autres que les retes iagères A partir du 0/07/06 TH (d) Mortalité de la populatio géérale masculie fraçaise pour la période d'obseratio Tarificatio et proisioemet des garaties "ie" et "décès" autres que les retes iagères A partir du 0/0/07 TGH-TGF 05 Mortalité prospectie de la populatio fraçaise. Itégratio des effets de l'ati-sélectio pour les retes iagères Basées sur la populatio des assurés Tarificatio et proisioemet des retes iagères Réf. : A.335- du code des assuraces Cours sur les modes de tarificatio

21 Comparaiso des tables de mortalité l Âge l TD l TV l TV l TD pf pm l TF 00 02

22 Applicatio Probabilité de surie etre âge et âge : p l / l Probabilité de décès etre l âge et l âge : q p Eemple : probabilité pour ue persoe de 60 as d être e ie à 75 as 5p60 l75/l / ,8%

23 Sommaire. Probabilités iagères 2. Tables de mortalité 3. Rappels de mathématiques fiacières 4. Egagemets élémetaires

24 Notatios et rappels de mathématiques fiacières Toute opératio fiacière emprut auprès d u établissemet fiacier, dépôt sur u compte rémuéré, etc. repose sur deu élémets : le temps : la durée de l opératio le coût de l arget : le tau auquel sera prêté l arget, pour la durée cosidérée Défiitio : la aleur acquise d u capital correspod au motat dot disposera ue persoe iestissat u capital iitial pour ue certaie durée et à u certai tau, au terme de l opératio.

25 Valeur acquise d u capital au terme de périodes Les itérêts simples : Les itérêts fiaciers sot directemet proportioels au capital iesti, à la durée de placemet et au tau de rémuératio. Capital dispoible au terme de périodes : Les itérêts composés : S ( i) Les itérêts fiaciers issus de l iestissemet egedret à leur tour des itérêts fiaciers. Capital dispoible au terme de périodes : S ( i)

26 Passage d u tau auel à u tau périodique - Calcul à itérêts simples : Tau périodique Nombre Tau auel de périodes das l' aée - Calcul à itérêts composés (ou proportioels) : Tau périodique ( Tau auel) Nombre de périodes das l ' aée Soit ecore : ( i ) i Remarque : sauf précisio cotraire, capitalisatio et actualisatio serot toujours effectuées par la suite à l aide des tau d itérêts composés

27 Actualisatio d u capital L actualisatio fiacière costitue «l opératio ierse» de la capitalisatio. Valeur actuelle d u capital S ersé de maière certaie au terme de périodes : C 0 S i S i est appelé facteur d escompte fiacier

28 Applicatio - Les auités fiacières Objet : calcul de la cotre-aleur (ou capital costitutif) d ue série de flu futurs certais, les auités fiacières. Pricipe de base : Capital costitutif Valeur actuelle des flu futurs Eemple : l emprut immobilier

29 Eemple : l emprut immobilier (/2) Ue persoe souhaite souscrire u emprut immobilier d u motat de La baque lui propose u emprut à auités costates (ersées e fi d aée, à terme échu), remboursable sur 20 as, au tau auel de 4%. Quel est le motat de l auité? C a 20 as

30 Calcul de l auité Eemple : l emprut immobilier (2/2) Auité / (4%) Auité / (4%)^2 Auité / (4%)^20 > Auité 4 76 Décompositio etre le remboursemet du pricipal et des itérêts CRD début Itérêt Amortissemet Auité CRD fi Répartitio amortissemet / itérêts Aées Itérêt Amortissemet

31 Auités à terme échu costates Auité temporaire de aées immédiate Auité illimitée immédiate Auité temporaire de aées, différée de d aées i a... 2 i a i a d d d d d d d

32 Auités d aace costates Auité temporaire de aées immédiate Auité illimitée immédiate a... 2 && i a &&

33 Auités fractioées à terme échu - Aec etier, ersemets de / effectués au terme de chaque e fractio d aée : - O défiit e coséquece : - Le tau périodique équialet érifie la relatio suiate: - Soit doc : Remarque : - O peut égalemet motrer : i i ) ( > g a ) ( )... ( a g i i i a ) ( ) ( 2 ) ( a a

34 Auités fractioées d aace - Aec etier, ersemets de / effectués au début de chaque e fractio d aée : a&& ( ) ( ) a - O peut égalemet motrer : a&& & ( 2 ( ) a )

35 Sommaire. Probabilités iagères 2. Tables de mortalité 3. Rappels de mathématiques fiacières 4. Egagemets élémetaires

36 Les mathématiques actuarielles Repreet les deu élémets à la base des mathématiques fiacières : le temps le coût de l arget Ajoutet la dimesio du hasard (à traers la mortalité das le cas préset) Eemple de capitalisatio iagère : les toties

37 Eemple de capitalisatio iagère : la totie () 00 persoes âgées de 40 as placet euros pour ue période de 20 as. Quel sera le motat reçu par chaque suriat au terme de la période, sous les hypothèses suiates? Tau auel de 3% Décès des persoes au rythme de la table de mortalité TF 00-02

38 Eemple de capitalisatio iagère : la totie (2) Motat (e ) atteit par le fods au bout de 20 as : , Nombre probable de suriats au terme des 20 as : l 00 l ,0 Motat probable perçu par chaque suriat , Comparaiso : motat perçu e l absece de l effet iager 0 000*,

39 L actualisatio iagère Quelle est la Valeur C à payer aujourd hui par persoe de 59 as pour receoir das u a, sur la base d u tau de placemet de 3%, e preat comme table de référece la table de mortalité TF 00-02? persoe iestit C à 3% : Au bout d u a, C est deeu C (3%) o doit erser à l 60 /l 59 suriats C (3%) l 60 /l soit C l 60 /l / (3%) C C est appelée : aleur actuelle probable à 59 as de ersés u a plus tard (sur la base d u tau d actualisatio de 3% et de la table TF 00-02)

40 Les pricipales garaties e assurace ie : Les egagemets e cas de ie : Le capital différé Le capital costitutif de rete Les egagemets e cas de décès : La garatie temporaire décès La garatie ie etière

41 Les egagemets e cas de ie Le capital différé sas cotre assurace La rete : successio de capitau différés Versemet à terme échu s ersemet à terme aticipé Cas de la rete iagère serie à terme aticipé Cas de la rete différée Cas de la rete fractioée

42 Le capital différé sas cotre assurace U assuré d âge à t 0 souhaite receoir u capital S, aées plus tard s il est ecore e ie à cette époque. Afi de faire face à cet egagemet, l assureur doit demader : l S l Mise sous forme stadard : l l D E l l D D est le premier ombre de commutatio ie est la aleur actuelle probable d u capital de différé de aées, sas cotre assurace E

43 er type de rete : la rete temporaire (/3) L assureur pred l egagemet de erser u motat R, à t, t 2,, t Pour faire face à l esemble des egagemets, l assureur doit préoir : D D 2 R R... D D D D R O ote ecore, pour des ersemets de : a E : t t

44 er type de rete : la rete temporaire (2/3) O défiit le deuième ombre de commutatio ie N D D... D ω La aleur actuelle probable d ue rete d temporaire de aées, ersée à terme échu, s écrit sous la forme stadard : D D 2... D N N D D a :

45 er type de rete : la rete temporaire (3/3) Si la rete est ersée à terme aticipé (à t 0, t,, t -), l assureur doit préoir : a&& t E : t 0 a : E La aleur actuelle probable d ue rete temporaire de aées à ersemets de, effectués d aace s écrit égalemet sous la forme stadard : N N a&& : D

46 2 e type de rete : la rete iagère Elle est serie tat que le bééficiaire est e ie. Valeur actuelle probable d ue rete iagère ersée à terme échu : a E t Soit ecore, sous forme stadard : t a N D Valeur actuelle probable d ue rete iagère serie à terme aticipé : N a&& t E t 0 D

47 Cas de la rete différée Rete iagère différée de m aées, temporaire de aées, serie à terme échu : Rete iagère différée de m aées, temporaire de aées, serie d aace : m m t m m t m a E E a : : m m m m t t m a E E a : : && &&

48 Cas de la rete fractioée La plupart du temps, ue rete est pas ersée par arrérage auel, mais par arrérage trimestriel Plus gééralemet, o cosidère des ersemets de / effectués chaque e d aée Rete fractioée à terme échu : Rete fractioée à terme aticipé : a a&& D t ( ) ( : a : E t D 2 D t ( ) ( : a&& : E t 0 D 2 ) )

49 Les egagemets e cas de décès Garatie temporaire décès d u a Temporaire décès, gééralisatio Garatie ie etière Egagemets e cas de décès aec différé

50 La garatie temporaire décès d u a (/2) U assuré d âge à t 0 souhaite que soit ersé à u bééficiaire u capital S s il décède etre t et t Hypothèse reteue pour la coduite des calculs : o suppose qu e cas de décès, celui-ci iteriet à t /2 Probabilité que le décès iteriee etre et : [ < T < ] d P l

51 La garatie temporaire décès d u a (2/2) Valeur actuelle probable (VAP) de l egagemet : Mise sous forme stadard : est le premier ombre de commutatio décès. est la aleur actuelle probable d ue temporaire décès d u a de capital, pour l aée S l d 2 D C l d l d d C D C

52 Temporaire décès : gééralisatio L assureur pred l egagemet de erser u capital S quelle que soit la date du décès etre t 0 et t Motat écessaire à l assureur pour hoorer cet egagemet : C M C... C M M S D D C C... C ω est le deuième ombre de commutatio décès S Valeur actuelle probable d ue garatie temporaire décès de, d ue durée de aées : A : t 0 d l t t M 2 M D

53 La garatie ie etière Cotrat par lequel l assureur s egage à erser u capital (ici égal à ) quelle que soit l époque du décès Lorsque «ted ers l ifii», M ted par costructio ers 0 (ul e pratique au-delà de l âge limite de la table) VAP de la garatie ie etière de capital : A M D

54 Egagemet e cas de décès aec différé La garatie e joue que m aées après la souscriptio, effectuée à t 0. L objectif est aisi d éiter l ati-sélectio Eemple : aleur actuelle probable d ue temporaire décès de aées, au capital de, différée de m aées Eemple 2 : aleur actuelle probable d u garatie ie etière de, différée de m aées : 2 : m m t m m t t m D M M l d A m m D M A

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