Université Internationale de Casablanca. Ecole d'ingénierie

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1 Unversté nternatonale de Casablanca Ecole d'ngénere COUS ET TAVAUX DGES D'ELECTOTECHNQUE ème année CP Année unverstare : 06-07

2 Ch : éseau alternatf monophasé - Grandeurs snusoïdales ) Grandeur pérodque - Grandeur alternatve - Grandeur snusoïdale a- Grandeur pérodque Une grandeur s est pérodque de pérode T s sa valeur à l nstant t est telle que s (t) = s (t+t). T s exprme en secondes (s). f =/T est la fréquence : c est le nombre de pérodes par seconde. Elle s exprme en Hertz (Hz). N.B : Une grandeur représente une tenson ou un courant. s 0 T t b- Grandeur alternatve Une grandeur pérodque est alternatve s sa valeur nstantanée est tantôt postve, tantôt négatve. S par pérode, elle ne s annule que deux fos, la parte postve consttue l alternance postve et la parte négatve consttue l alternance négatve. s alternance postve 0 T t alternance négatve c- Grandeur snusoïdale Une grandeur snusoïdale s est défne par : s(t) Sm cos( t ) - -

3 . S m : valeur max ou ampltude ;. : pulsaton ( = /T = f avec T la pérode et f la fréquence) ;. t + :phase à l'nstant t ouphase nstantanée ;. :phase ntale ouphase à l'nstant t = 0. s S max 0 T t. - S max N.B : Une grandeur représente une tenson ou un courant. ) Valeur moyenne et valeur effcace d une grandeur snusoïdale On caractérsé une grandeur pérodque par : sa valeur moyenne : sa valeur effcace : S eff moy s S s Pour une grandeur snusoïdale : S moy 0 et S T S T 0 eff s(t) dt ) eprésentaton et proprétés des grandeurs snusoïdales T S T 0 m s (t) dt a- eprésentaton vectorelle d une grandeur snusoïdale y M a x 0 t+ s x y - -

4 Sot a la norme d un vecteur OM tournant autour de son orgne 0 avec une vtesse angulare. Sot sa poston angulare par rapport à l axe x 0x à l nstant t = 0. Sa poston à l nstant t sera défne par l angle t +. Sa projecton sur l axe x 0x défne la grandeur snusoïdale s a cos( t ). écproquement, toute grandeur snusoïdale peut être représentée par un vecteur tournant OM dont la norme est égale à l élongaton maxmale et dont la poston angulare à l nstant t est ( Ox, OM) t s est la phase à l nstant t = 0. b- Noton de déphasage Soent grandeurs snusoïdales de même pulsaton S cos( t ) et S cos( t ). s m L angle représente le déphasage de s par rapport à s. s m S 0, s et s sont en phase. S 0, s est en avance / à s ( = / : s est en quadrature avance par rapport à s ). S 0, s est en retard / à s ( = - / : s est en quadrature retard par rapport à s ). 0 t s s emarque : Dans le cas d un récepteur almenté sous une tenson u et traversé par un courant, on adoptera la conventon suvante pour les expressons nstantanées :. u U cos t (orgne des phases). cos ( t ) est comprs entre et = 0 dans le cas d un récepteur résstf > 0 dans le cas d un récepteur nductf < 0 dans le cas d un récepteur capactf u u u récepteur résstf récepteur nductf récepteur capactf - 4 -

5 N.B : les angles sont comptés postvement dans le sens trgonométrque. c- Grandeur complexe assocée à une grandeur snusoïdale A la grandeur snusoïdale s S cos( t ) on fat correspondre la grandeur complexe assocée j S S e. - Pussances ) Pussance nstantanée S S eff arg S La pussance nstantanée d un récepteur almenté sous une tenson u et traversé par un courant est défne par : p = u ) Pussance moyenne ou pussance actve T P p udt (unté :, K, M, G) T 0 : att En régme snusoïdal : P = U cos La pussance actve correspond à la pussance électrque transportée entre les générateurs et les récepteurs. Physquement, elle est lée à une transformaton d énerge : S. mécanque électrque dans les générateurs (dynamos, alternateurs, génératrces asynchrones) ;. électrque mécanque dans les moteurs ;. électrque calorfque dans les récepteurs destnés à l éclarage ou au chauffage ;. chmque électrque dans les batteres accumulateurs ;. rayonnement électrque dans les panneaux solares. ) Pussance apparente Elle est défne par : S = U VA : Volt Ampère (unté : VA, KVA, MVA, ) On l appelle auss pussance de dmensonnement. Elle sert à détermner la secton des conducteurs d une lgne électrque ans que celle des enroulements d un transformateur ou d un alternateur. 4 ) Facteur de pussance En régme snusoïdal, l est défn par : f p P S U cos U cos

6 Pour fournr une pussance P à une nstallaton sous une tenson U donnée, on a ntérêt à lmter les pertes par effet Joule dans la lgne en dmnuant le courant, donc en augmentant le cos. En effet, s on consdère une nstallaton de facteur de pussance cos, almentée sous une tenson U donnée par une lgne de résstance, la pussance consommée par l nstallaton est P = U cos et celle dsspée dans la lgne est P J =. S cos augmente pour une même pussance P, dmnue et P J dmnue. Les fournsseurs d énerge électrque oblgent les consommateurs à avor des nstallatons dont le facteur de pussance est proche de (supéreur à 0,8), snon l y aura pénalté. Pour amélorer le cos l sufft d nstaller des condensateurs aux bornes de l nstallaton. 5 ) Pussance réactve En régme snusoïdal, elle est défne par : Q = U sn (unté : VA, KVA, ) VA : Volt Ampère éactf Pour un récepteur résstf : Q = 0 Pour un récepteur nductf : Q > 0 (la pussance réactve est consommée) Pour un récepteur capactf : Q < 0 (la pussance réactve est fourne) 6 ) elaton entre P, Q et S En régme snusoïdal : U cos Q U sn S U P S tg P Q P Q 7 ) Pussance apparente complexe On appelle pussance apparente complexe le produt S U * où * est le conjugué de. U U e j S U * Ue j Pour un récepteur d mpédance jx : S U * * ( jx) U cos ju sn P jq P jq jx P e(s) Q m(s) P Q X U Dans le cas d une résstance : P = ou P et Q = 0 U Dans le cas d une nductance L : P = 0 et Q L ou Q L Dans le cas d une capacté C : P = 0 et Q ou Q = CU C - 6 -

7 - Assocaton d mpédances - Théorème de Boucherot ) Assocaton sére U U U U U n n U U... Un... n : mpédance équvalente. U U... Un S S... Sn P jq P jq... P jq n n P Q P Q ) Assocaton parallèle n U n U... n U / U /... U / U n ou Y U... Un S S... S P jq P jq... P jq ) Théorème de Boucherot n Y n : admttance équvalente n P Q Quelle que sot l assocaton des récepteurs, les pussances actves s ajoutent et les pussances réactves s ajoutent algébrquement. P Q - 7 -

8 V- Applcaton Sot un crcut LC sére auquel on applque une tenson u snusoïdale. On suppose que L> /C. u L C. u U cos t (orgne des phases). cos( t )?? j En régme snusoïdal, on peut écrre : U jl () C On peut utlser pluseurs méthodes pour détermner et : ) Méthode vectorelle (eprésentaton de Fresnel) La relaton () peut être représentée par le dagramme vectorel suvant : /C u U L U (L / C) (L / C) tg L / C Arctg ) Méthode des grandeurs complexes assocées U (L / C) En écrture complexe, la relaton () peut s écrre complexe du crcut. U où j(l / C) est l mpédance - 8 -

9 U U j e D après la lo d Ohm : U U argu 0 arg U U U arg arg U (L / C) arg U arg arg Arctg L / C ) Méthode des pussances (Méthode de Boucherot) P P Q Q P L Q P L C Q C L / C (L / C) S P Q U Q (L / C) tg P (L / C) Arctg U L / C U (L / C) ésumé Valeur moyenne et valeur effcace d une grandeur pérodque T. Valeur moyenne : S moy s T 0 s(t) dt T. Valeur effcace : S eff S s En régme snusoïdal : S moy 0 et S eff Sm S Expressons nstantanées de la tenson et du courant T 0 s (t) dt En régme snusoïdal : u U cos t et cos ( t ) (- ) = 0 dans le cas d un récepteur résstf > 0 dans le cas d un récepteur nductf < 0 dans le cas d un récepteur capactf - 9 -

10 Expressons complexes de la tenson et du courant En régme snusoïdal : j 0 U U e U et j e avec arg Pussance actve En régme snusoïdal : P = U cos (unté :, K, M, G) ( : att) Pussance réactve En régme snusoïdal : Q = U sn (unté : VA, KVA, ) (VA : Volt Ampère éactf) Pour un récepteur résstf : Q = 0 Pour un récepteur nductf : Q > 0 (la pussance réactve est consommée) Pour un récepteur capactf : Q < 0 (la pussance réactve est fourne) Pussance apparente En régme snusoïdal : S = U (unté : VA, KVA, MVA, ) (VA : Volt Ampère) elaton entre P, Q et S En régme snusoïdal : Autres expressons de P et Q P ou U ; U cos Q U sn S U P Q X ou U X S tg P Q P Q Dans le cas d une résstance : P Dans le cas d une nductance L : P = 0 ; Dans le cas d une capacté C : P = 0 ; Théorème de Boucherot ou U ; Q = 0 U Q L ou L Q ou CU C Quelle que sot l assocaton des récepteurs, les pussances actves s ajoutent et les pussances réactves s ajoutent algébrquement : P P et Q Q (somme algébrque) - 0 -

11 Exercces d'applcaton Exercce Sot un courant (t) représenté par le sgnal suvant : (A) ,05 0, 0,5 0, 0,5 0, 0,5 0,4 0,45 0,5 t (s) ) Donner la pérode T, la fréquence f et la pulsaton du courant (t). ) Défnr et calculer sa valeur moyenne moy. ) Défnr et calculer sa valeur effcace eff. Exercce ) Une bobne de résstance = 0 et d nductance L = 0,H est almentée sous une tenson snusoïdale u de valeur effcace U = 0V et de fréquence f = 50Hz. a- Donner l expresson de l mpédance complexe de la bobne. Calculer son module et son argument. b- Calculer la valeur effcace du courant et le déphasage du courant sur la tenson. En dédure le facteur de pussance cos de la bobne. c- Calculer de deux façons dfférentes les pussances actve P et réactve Q consommées par la bobne. ) On branche en parallèle avec la bobne précédente un condensateur de capacté C = 80 F. a- En utlsant le théorème de Boucherot calculer les pussances actve P et réactve Q consommées. Conclure. b- Calculer la valeur effcace du courant et le déphasage du courant sur la tenson. En dédure le nouveau facteur de pussance cos '. Conclure. c- Donner l expresson de l mpédance complexe '. Calculer son module et son argument. etrouver les résultats de la queston précédente. d- Calculer la valeur effcace C du courant traversant le condensateur. e- Est-ce que = + C? Conclure. Exercce Une nstallaton monophasée, almentée par un réseau 0V 50Hz, comporte : un radateur de pussance P = 5K et de facteur de pussance cos = ; un moteur monophasé de pussance utle (mécanque) P u = K, de rendement = 80 % et de facteur de pussance cos = 0,75 ; un poste de soudure de pussance électrque P = 4K et de facteur de pussance cos = 0,6. - -

12 ) Calculer la pussance électrque P absorbée par le moteur. ) Calculer la pussance actve P absorbée lorsque tous les récepteurs fonctonnent. ) Calculer la pussance réactve Q absorbée lorsque tous les récepteurs fonctonnent. 4 ) En dédure la valeur effcace du courant de lgne ans que le facteur de pussance cos de l nstallaton. 5 ) Calculer la capacté C du condensateur à brancher aux bornes de cette nstallaton pour que le facteur de pussance sot cos = 0,95. 6 ) Calculer la valeur effcace du nouveau courant de lgne après améloraton du facteur de pussance. Conclure. - -

13 Ch V : éseau trphasé équlbré - Prncpe de producton des courants trphasés ) Prncpe de créaton d une f.e.m alternatve Consdérons une bobne plate de n spres placée dans un champ d nducton magnétque B tournant à la vtesse angulare. Ce champ peut être crée par la rotaton d un amant ou d un électroamant. E S B 0 t S x Le flux à travers la surface de la bobne à l nstant t est nb. S nbscos t. La bobne est traversée par un flux varable. Elle sera donc le sège d une f.e.m alternatve e d/ dt Em snt avec E m nbs. C est la lo de Lenz - Faraday ou lo de l nducton électromagnétque. Ce phénomène ntervent dans la plus part des dspostfs électrques. En électrotechnque, on peut cter comme applcaton, les générateurs à f.e.m d nducton (alternateurs, dynamos, transformateurs, ). ) Prncpe de créaton de f.e.m trphasées Consdérons mantenant bobnes dentques décalées entre elles de 0 ou / dans l espace et soumses au même champ magnétque tournant. E S B x E S E S La f.e.m ndute dans la bobne est : e E sn t. m - -

14 l est clar que la f.e.m ndute dans la bobne sera déphasée par rapport à celle ndute dans la bobne de 0 ou /, celle ndute dans la bobne de 40 ou 4 /. e e e E E E m m m snt sn( t / ) sn( t 4 / ) E m sn( t / ) E m E Ce qu donne vectorellement : E / / E / E Les f.e.m ans obtenues forment un système trphasé équlbré. ) Courant trphasés équlbrés elons les bobnes précédentes à récepteurs dentques d mpédance. E E E e e e S S S S est le déphasage ntrodut par l mpédance, l expresson des courants sera : m m m sn( t ) sn( t / ) sn( t 4 / ) avec m E m et arg - 4 -

15 V V V Les courants ans obtenus forment un système trphasé équlbré. emarque : On établt faclement, analytquement ou vectorellement, que e - Dstrbuton en courant trphasé ) Couplage étole (Y) eprenons les crcuts précédents ans : e e 0 0 E e S S S e e E E S on réunt les fls de retour, on obtent un fl unque parcouru par la somme des courants. Pour un système équlbré, + + = 0 et on peut donc supprmer ce fl. D où le montage étole équlbré : - 5 -

16 v u N N v v u u Notons que s les récepteurs ne sont dentques, l y aura un courant dans le fl commun que l on ne pourra supprmer. La dstrbuton sera fate alors avec 4 fls. Les fls prncpaux sont appelés fls de phase ou phases, le quatrème fl est appelé fl neutre ou neutre. Les tensons v, v, v entre phases et neutre sont appelées tensons smples ou tensons de phases. On défnt les tensons composées ou tensons entre phases par :. u : tenson entre la phase et la phase ;. u : tenson entre la phase et la phase ; u : tenson entre la phase et la phase.. A tout nstant, on peut écrre u v v sot vectorellement U V V. U V /6 V U est en avance de / 6 par rapport à V. En module U V cos V. 6 j / 6 D où U V e. On trouve des relatons analogues entre U et V ans qu entre entre U et V. Donc entre les valeurs effcaces des tensons smples et composées exste la relaton U V. - S V = 7 V U = 0 V - S V = 0 V U = 80 V (réseau BT actuel) - S V = 80 V U = 660 V V

17 On désgne généralement par la valeur effcace des courants dans les fls de phases ou courants de lgne. Dans le cas d un montage étole, chaque branche du récepteur est parcourue par le courant. Concluson : Dans le cas d un couplage étole, chaque branche du récepteur est soumse à la tenson smple V U / et traversée par le courant de lgne. ) Couplage trangle ( ou D) eprenons les crcuts ntaux et représentons les de la manère suvante : S E j e e E e S S E j j On remarque qu on ne modfe ren au fonctonnement de l ensemble des crcuts en relant E et S. En effet on ne crée aucune nouvelle malle. De même on peut connecter E et S. Enfn, comme e e e 0, les ponts E et S sont au même potentel. On peut donc les reler sans perturber le fonctonnement du système. D où le montage trangle équlbré : = j - j u j u u = j j j = j j j On désgne généralement par J la valeur effcace des courants dans les branches ou les phases du récepteur. On vot que chaque phase du récepteur est soumse à la tenson composée U. Quant aux courants on a : sot vectorellement J J ;. j j sot vectorellement J J ;. j j sot vectorellement J J.. j j D où le dagramme vectorel : - 7 -

18 J /6 J J est en retard de / 6 par rapport à J. En module J cos J. 6 j / 6 D où J e. On trouve des relatons analogues entre et J ans qu entre et J. Donc entre les valeurs effcaces des courants de lgne et des courants de phase ou de branche exste la relaton J. Concluson : Dans le cas d un couplage trangle, chaque branche du récepteur est soumse à la tenson composée U et traversée par le courant de branche J /. ) nstallaton trphasée Elle comprend un générateur, une lgne de dstrbuton et des récepteurs. - Le générateur comporte bornes accessbles (éventuellement 4 s le neutre est sort) entre lesquelles exstent des tensons de même fréquence. Pour un système trphasé équlbré, ces tensons ont la même valeur effcace et sont déphasées l une par rapport à l autre de /. S l une de ces deux condtons n est pas remple, le système est dt déséqulbré. - La lgne de dstrbuton est un ensemble de fls conducteurs de même secton pour un montage sans neutre. On peut adjondre un fl neutre de secton généralement plus fable s la borne neutre est sorte côté générateur et côté récepteur. - Le récepteur, lorsqu l est équlbré, est consttué par branches dentques. 4 ) Equvalence étole trangle s / s / s / s - 8 -

19 trangle étole résstances / nductances L L/ capactés C C - Pussances dans les systèmes trphasés équlbrés ) Couplage étole s U s V N La pussance actve absorbée par chaque phase du récepteur est V cos La pussance totale absorbée est P = V cos Or V U/ donc donc P U cos ) Couplage trangle U J La pussance actve absorbée par chaque phase du récepteur est UJ cos La pussance totale absorbée est P = UJ cos Or J / donc P U cos On vot donc qu en trphasé équlbré l expresson de la pussance actve est la même en Y qu en : P U cos On établt de même l expresson de la pussance réactve apparente S U Q U sn et celle de la pussance

20 Comme en monophasé, on a : ) Mesure des pussances S P Q et tg Q P a- Prncpe du wattmètre C est un apparel qu mesure la valeur moyenne du produt u(t).(t). Pour cela l faut lu fournr deux nformatons : la tenson et le courant. Le wattmètre comporte enroulements : un enroulement qu reçot le courant et qu l faut connecter en sére avec le récepteur ; un enroulement qu reçot la tenson et qu l faut brancher en parallèle avec le récepteur. u La mesure de la pussance actve absorbée par un récepteur monophasé se fat ans : P u b- Applcaton à la mesure de pussances en trphasé l exste pluseurs méthodes pour mesurer P et Q. Les plus couramment utlsées sont la méthode des «wattmètres», la méthode des «wattmètres» et la méthode de «Boucherot». Méthode des «wattmètres» : N P =

21 S le système est équlbré, les wattmètres donnent la même ndcaton ( ) et l sufft d un seul pour mesurer la pussance actve : P = Méthode des «wattmètres : Pour toute lason trphasée, la pussance nstantanée (couplage étole) s écrt : p v v v. Pusque le système est équlbré N = 0, alors =. p v v v ( ) (v v ) (v v ) u u. Donc P p u u. S on fat passer dans le crcut courant d un wattmètre et s on applque u à ses bornes tenson, l ndque P u. De même un second wattmètre parcouru par et almenté sous u ndque P u. P P P P U U cos(u cos(u ^, ^, ) ) P = P + P P Pusque les courants et les tensons sont équlbrés et snusoïdaux : P Ucos(U Ucos(U ^, ^, ) ) U V V V U - -

22 P P U cos( / 6) U cos( / 6) P P P P U cos( / 6) U cos( / 6) U cos cos / 6 U cos P U cos( / 6) U cos( / 6) U sn sn / 6 U sn Q / Donc outre P P P on obtent Q (P P ) Méthode de Boucherot : U cos(u,) S le système est équlbré en tensons et en courants : Ucos(U,) V U V V U cos( / ) U sn Q/ Q emarque : Pour un système déséqulbré, la mesure de Q sera effectuée avec wattmètres selon le schéma de montage suvant : - -

23 Q V- Améloraton du facteur de pussance d une nstallaton trphasée Pour amélorer le facteur de pussance d une nstallaton trphasée, on utlse une battere de tros condensateurs couplés en trangle. En effet, la capacté de chaque condensateur est fos plus fable qu en étole, l y a donc plus d économe et mons d encombrement. Avant améloraton, l nstallaton consomme P et Q. Son facteur de pussance est cos. Après améloraton, l nstallaton consomme P et Q. Son facteur de pussance est cos. D après le théorème de Boucherot : P' P Pc P 0 P Q' Q Qc Q CU Ptg' Ptg CU C P(tg tg') U V- éalsaton pratque des couplages étole et trangle X Y U V couplage étole couplage trangle - -

24 ésumé Couplage étole (Y) U s V N Chaque branche du récepteur est soumse à la tenson smple V U/ et traversée par le courant de lgne Couplage trangle ( ou D) U J Chaque branche du récepteur est soumse à la tenson composée U et traversée par le courant de branche J / Equvalence étole trangle / ; L L/ ; C C en trangle / en étole Expressons des pussances P U cos S P Q Q U sn Q tg S U P - 4 -

25 Autres expressons de P et Q Y : P Q X ou ou V U V U X X : P J Q XJ X ou ou U U X Méthode des «wattmètres» N P = + + S le système est équlbré Méthode des «wattmètres» et P = P P S le système est équlbré : P P P Q (P P ) avec P P U cos( / 6) U cos( / 6) Méthode de «Boucherot» - 5 -

26 Q S le système est équlbré et Q Améloraton du facteur de pussance d une nstallaton trphasée Pour amélorer le facteur de pussance d une nstallaton trphasée, on utlse une battere de tros condensateurs couplés en trangle. En effet, la capacté C de chaque condensateur est fos plus fable qu en étole, l y a donc plus d économe et mons d encombrement. C P(tg tg') U Exercces d'applcaton Exercce Sot un récepteur almenté par un système de tensons trphasé équlbré de tenson composée U=80V et de fréquence f=50hz. On donne =0 et L=0mH. U L L J L ) Donner le schéma équvalent en étole du récepteur. ) Donner l expresson de l mpédance complexe de chaque branche du récepteur. Calculer son module et son argument. ) Calculer les valeurs effcaces et J L des courants L et J L. 4 ) En utlsant deux méthodes dfférentes, calculer les pussances actve P et réactve Q consommées par le récepteur. 5 ) Calculer l ndcaton N d un wattmètre permettant de mesurer la pussance actve par la méthode des "tros wattmètres". Donner le schéma de branchement du wattmètre. 6 ) En utlsant deux méthodes dfférentes, calculer les ndcatons P = et P = des deux wattmètres lorsqu on fat la mesure par la méthode des "deux wattmètres". Donner le schéma de branchement des deux wattmètres. 7 ) Calculer l ndcaton d un wattmètre permettant de mesurer la pussance réactve par la méthode de Boucherot. Donner le schéma de branchement du wattmètre

27 Exercce On veut transporter, à une dstance de 50Km, une pussance de 50M. ) On utlse une lgne trphasée à tros câbles de tenson composée 60KV. En adoptant un facteur de pussance cos = 0,8, calculer : a- la valeur effcace du courant en lgne ; b- la secton s d un câble s on admet une densté de courant j = A/mm ; c- la résstance d un câble sachant qu l est en cuvre de résstvté,6.0-8 m ; d- la pussance totale P J perdue par effet Joule ; e- la masse m de cuvre utlsée pour la lgne sachant que la masse volumque du cuvre est = 8,85t/m. ) On utlse désormas une lgne à deux câbles de tenson 60KV (bphasée) présentant les mêmes pertes par effet Joule que la lgne précédente. En adoptant un facteur de pussance cos = 0,8, calculer : a- la valeur effcace du courant en lgne ; b- la résstance d un câble ; c- la secton s d un câble ; d- la masse m de cuvre utlsée. ) En dédure le rapport pour une même pussance transportée, avec les mêmes pertes par effet Joule. Conclure. Exercce Un récepteur trphasé équlbré est almenté par un réseau trphasé 80V - 50Hz Lors de la mesure de pussances consommées en utlsant la méthode des «deux wattmètres», on a relevé les ndcatons suvantes : P = 5K et P = 6K. ) Calculer les pussances actve P et réactve Q consommées. ) Calculer le courant de lgne et le facteur de pussance cos du récepteur. ) On suppose que le récepteur est couplé en étole. Chaque branche est consttuée d une résstance en parallèle avec une nductance L. a- Calculer et L. b- Calculer les courants et L crculant respectvement dans et L. 4 ) On branche aux bornes du récepteur précédent tros condensateurs dentques, couplés en trangle, de capacté C = 40 F chacun. a- Calculer les nouvelles pussances actve P et réactve Q consommées. Conclure. b- Calculer le nouveau courant de lgne et le nouveau facteur de pussance cos du récepteur. Conclure. Exercce V Une nstallaton almentée par un réseau trphasé équlbré (4 fls, 0/80V, 50Hz) comporte : - 50 lampes de 0V - 00 chacune ; - moteur trphasé couplé en étole, de pussance utle 0K avec un rendement = 80% et un facteur de pussance cos M = 0,75 ; - Un four nductf trphasé couplé en trangle, absorbant une pussance actve de 40K et une pussance réactve de 8KVA. ) Proposer un schéma smplfé de cette nstallaton équlbrée. ) En effectuant le blan de pussances, calculer les pussances actve P et réactve Q consommées. ) En dédure le courant de lgne et le facteur de pussance de cette nstallaton

28 4 ) Calculer le courant traversant : a- chaque lampe ; b- chaque enroulement du moteur ; c- chaque phase du four. 5 ) Afn d amélorer le facteur de pussance à cos = 0,9, on branche aux bornes de l nstallaton une battere de tros condensateurs dentques, couplés en trangle. a- Calculer la capacté C de chaque condensateur. b- Quelle serat la valeur de la capacté s les condensateurs étaent couplés en étole? Conclure

29 Ch V : Crcuts magnétques - appels et défntons ) Matéraux magnétques Ce sont des matéraux ferromagnétques susceptbles d acquérr une amantaton (magnétsaton) macroscopque mportante sous l acton d un champ magnétque, même relatvement fable. Les matéraux magnétques sont caractérsés par leur courbe d amantaton B=f(H). H : exctaton magnétque. B : champ magnétque ou nducton magnétque. Pour un matérau non magnétque (l ar en partculer) la courbe B=f(H) est une drote de pente m. Pour un matérau magnétque, cette courbe comporte une zone lnéare caractérsée par une perméablté magnétque constante et une zone de saturaton. B (T) B (T) one saturée Coude de saturaton 0 H (At/m) 0 matérau non magnétque one lnéare matérau magnétque H (At/m) Quand on parle de la perméablté magnétque d un matérau, l s agt ben sûr de sa valeur dans la zone lnéare. r où r est la perméablté relatve du matérau. En plus de la non lnéarté due à la saturaton, la caractérstque B=f(H) possède une autre non lnéarté due à l hystéréss. En effet, en fasant varer H de 0 à H max pus de H max à H max et ensute de H max à H max, on ne décrt pas la même courbe. On décrt un cycle d hystéréss symétrque par rapport à 0. B (T) courbe de premère amantaton B max - H max O H max H (At/m) - B max - 9 -

30 Les matéraux magnétques utlsés en électrotechnque se classent en famlles : les matéraux magnétques «doux» et les matéraux magnétques «durs». Les premers sont faclement amantés et présentent des pertes par hystéréss fables. On les utlse dans la constructon des transformateurs et des machnes tournantes. Les seconds nécesstent un champ très élevé pour être amantés. Mas une fos amantés, ls y restent d une façon permanente et durable. On les utlse dans la réalsaton d amants permanents. ) Théorèmes fondamentaux a- Théorème d Ampère La crculaton de l exctaton magnétque H le long d une courbe fermée quelconque (C) est égale à la somme algébrque des courants enlacés par cette courbe. (C) b- Théorème de la conservaton du flux Le flux de l nducton magnétque B sortant d une surface fermée quelconque (S) est nul. H (S). dl B. ds 0 emarque : Le flux est la grandeur conservatve des crcuts magnétques. l joue un rôle analogue à celu d un courant dans les crcuts électrques. - Etude des crcuts magnétques sans futes Ce sont des crcuts magnétques où le flux est totalement canalsé. ) Crcuts magnétques lnéares (non saturés) a- Lo d Hopknson Consdérons un crcut magnétque de perméablté relatve µ r >>, sur lequel sont enroulées n spres. n S (C) - 0 -

31 Le théorème d Ampère applqué le long de la lgne de champ (C) donne : H. dl n Hl n On néglge le phénomène d hystéréss, en supposant le matérau décrt pas sa courbe de ère amantaton. Le crcut magnétque est non saturé donc B = µ H (µ = cte). l Le flux à travers la surface (S) est : BS HS n µ S On pose l l : expresson analogue à la résstance d un conducteur ( ). µ S S s appelle la réluctance du crcut magnétque. L unté est le Henry - (H - ). (C) En posant n on aura analogue à une f.e.m, s appelle force magnétomotrce (f.m.m). L unté est l Ampère tours (At). En conséquence est analogue à un courant. L unté est le eber (b). n : s appelle la lo d Ohm des crcuts magnétques ou lo d Hopknson. emarque : l y a une parfate analoge entre les crcuts électrques et les crcuts magnétques b- Assocaton de crcuts magnétques lnéares Assocaton sére n D après le théorème d Ampère n Hl Hl Hl Le flux magnétque est conservatf BS BS BS µ HS µ HS µ l l l n ( S S S ) HS La réluctance équvalente de pluseurs crcuts en sére est égale à la somme des réluctances des dfférents crcuts. - -

32 Applcaton à un crcut comportant un entrefer : Sot un crcut magnétque consttué d un matérau de perméablté relatve r =000, de longueur l = m, de secton S constante, présentant un entrefer d épasseur e = mm. On suppose que les lgnes de champ ne débordent pas trop de la secton S. S S S l e La réluctance du crcut est fer e l.e r fer S avec e fer e fer entrefer réel : S = ks (k>) l e µ S 0 r 0 l µ r S et e e S 0 Donc mm d ar a la même réluctance qu m de fer. l faudra alors utlser une f.m.m auss grande pour fare passer le même flux dans mm d ar que dans m de fer. Concluson : Les entrefers dovent avor des fables épasseurs. De même B S B S B B H µ H c-à-d H e = 000 H fer. fer e fer e e r fer Concluson : L ntérêt de ménager des entrefers est la possblté d obtenr des valeurs élevées du champ magnétque. Assocaton parallèle A B n Le flux est conservatf La d.d.p magnétque A B S est la réluctance équvalente de la branche AB, alors - - A B

33 A B A B A B A B ou P P P est appelée perméance. L unté est le Henry (H). La perméance équvalente de pluseurs crcuts en parallèle est égale à la somme des perméances des dfférents crcuts. ) Crcuts magnétques non lnéares B µ n est plus une constante et les formules précédentes s applquent pont par pont. On étude H alors ces crcuts par la méthode des «caractérstques partelles». - Crcut magnétque traversé par un flux varable Pertes fer Un flux varable traversant un crcut magnétque y génère des pertes qu se tradusent par un échauffement. Ces pertes ont causes : l hystéréss et les courants de Foucault. ) Pertes par hystéréss On démontre qu un échantllon de matérau magnétque soums à un champ varable tel qu l décrve un cycle d hystéréss complet, absorbe une énerge égale à l are du cycle multplé par le volume de l échantllon. Donc s le cycle est décrt f fos par seconde c-à-d s le champ est alternatf de fréquence f, les pertes d énerge par second c-à-d la pussance dsspée aura pour expresson : P H = f. V. A (V : volume de l échantllon ; A : are du cycle). L are du cycle étant approxmatvement proportonnelle à B max, on aura : (k H : coeffcent dépendant de la nature du matérau). P k H H.V.f. B ) Pertes par courants de Foucault db L équaton de Maxwell rot j établt une relaton entre un phénomène d nducton dt magnétque varable dans le temps et une densté de courant dans un mleu conducteur. (j : densté de courant ; : conductvté). B max j e - -

34 l découle de ce phénomène des pertes par courants de Foucault P CF. On démontre que les pertes P CF sont proportonnelles à V, e ², f ² et B max. Donc : CF CF max P k. V.e.f. B (k CF : coeffcent dépendant de la nature du matérau). En pratque, les crcuts magnétques traversés par un flux varable sont feulletés. ls sont réalsés par emplement de tôles dsposées parallèlement aux lgnes d nducton et solées par un verns. ) Pertes fer On appelle pertes fer la somme des pertes par hystéréss et des pertes par courants de Foucault. P fer V.B max (k H.f k Pour rédure les pertes par hystéréss, on ajoute du slcum dans le fer (< 4%). Pour rédure les pertes par courant de Foucault, on feullète le fer. Donc pour rédure les pertes fer, on utlse des tôles en fer slcé. V- nductance propre d'une bobne à noyau de fer Consdérons le crcut magnétque suvant, supposé parfat et de réluctance. CF.e.f ) n Le flux ' produt par la f.m.m n traverse ntégralement le crcut magnétque et on a : n = Par défnton, l nductance propre de la bobne est : L n n V- nductance mutuelle de deux bobnes à noyau de fer Sot une ème bobne ouverte, montée sur le crcut magnétque et comportant n spres. n n On défnt l nductance mutuelle des bobnes et par : M n nn - 4 -

35 ésumé elaton entre B et H B = H avec = o r perméablté magnétque du matérau. perméablté magnétque du vde ( o = 40-7 H/m). r perméablté relatve. Théorème d Ampère La crculaton de l exctaton magnétque H le long d une courbe fermée quelconque (C) est égale à la somme algébrque des courants enlacés par cette courbe : H. dl ( C) Théorème de la conservaton du flux Le flux de l nducton magnétque B sortant d une surface fermée quelconque (S) est nul : (S) B. ds 0 Lo d Hopknson n : force magnétomotrce (f.m.m). Unté : At. : flux. Unté :b. : réluctance du crcut magnétque. = l / S. Unté : H -. Assocaton sére Assocaton parallèle Pertes par hystéréss P k H H.V.f. B max k H : coeffcent dépendant de la nature du matérau. V : volume de l échantllon. f : fréquence. B max : nducton maxmale

36 Pertes par courants de Foucault P k CF CF. V.e.f. B max k CF : coeffcent dépendant de la nature du matérau. e : épasseur de l échantllon. Pertes fer P fer P H P CF V.B max (k H.f k CF.e.f ) Pour rédure les pertes fer, on utlse des tôles en fer slcé. nductance d une bobne à noyau de fer n L où n est le nombre de spres de la bobne. nductance mutuelle de deux bobnes à noyau de fer n n M où n et n sont les nombres de spres des deux bobnes. Exercces d'applcaton Exercce Un crcut magnétque, sans futes, de secton constante et de longueur moyenne = 0cm, comporte une bobne de n =50 spres parcourues par un courant. On donne µ o = 40-7 H/m. Le crcut magnétque est réalsé par un matérau caractérsé par une perméablté relatve constante µ r = 000. ) En utlsant le théorème d Ampère, calculer l nducton magnétque B qu on obtent avec un courant = A. ) etrouver le même résultat en utlsant la lo d Hopknson

37 Exercce eprendre le même exercce dans le cas où on pratque, selon une secton drote du crcut magnétque, un entrefer d épasseur e = 0,mm. e Exercce Le crcut magnétque c-dessous est consttué d un matérau dont la courbe d amantaton passe par les ponts suvants : B(T) 0, 0,4 0,6 0,8, H(At/m) cm 0cm n = 00 0cm S =0cm S=0cm S =0cm ) En utlsant le théorème de la conservaton du flux, justfer que l nducton magnétque est la même dans les branches du crcut (B = B = B). ) En utlsant le théorème d Ampère, calculer le courant qu crcule dans la bobne s l on veut obtenr une nducton magnétque de 0,6T. ) Calculer la réluctance de la branche centrale et la réluctance de la branche de gauche. En dédure la réluctance équvalente éq. 4 ) En utlsant la lo d Hopknson, calculer le flux traversant le crcutr magnétque. etrouver le résultat de la queston