Algèbres de Hall, groupes quantiques et bases canoniques

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1 Algèbres de Hall, groupes quantques et bases canonques Résumé Ce texte est la verson écrte d un cours d envron quatre à cnq heures donné dans le cadre du DEA résdent «Carquos et représentatons géométrques», qu s est tenu au CIRM à Lumny du 24 au 28 ma Le but poursuv dans ce cours état de présenter deux résultats datant des années : d une part la découverte par Rngel d un len profond entre les représentatons d un carquos de type Dynkn et les groupes quantques, len qu passe par les algèbres de Hall; d autre part la constructon par Lusztg de bases canonques dans les représentatons des algèbres de Le smples. Les contrantes de temps ont condut l auteur à ne pas chercher à prouver complètement les résultats énoncés, mas à essayer au mons d explquer un certan nombre de lens qu unssent les objets consdérés. Des changements dans l ordre de présentaton seraent nécessares pour aboutr à des démonstratons parfatement satsfasantes du pont de vue logque. Table des matères 1 L ntérêt des bases canonques pour la théore des représentatons Présentaton Bonnes bases Rappels de théore des carquos Foncteurs de réflexon Algèbres de Hall Contexte général L algèbre de Hall de C Algèbre de Hall générque pour les représentatons des carquos de t.r.f Une verson géométrque de l algèbre de Hall Le théorème de Rngel La bgèbre tordue f La spécalsaton à v = Le théorème de Rngel Constructons dans f L ant-automorphsme σ Les sous-algèbres f[] Les somorphsmes T et la base Poncaré-Brkhoff-Wtt de f Interprétatons dans l algèbre de Hall H (Q-mod)

2 6 La base canonque de f Le réseau L et la base B Énoncé du théorème de Lusztg Preuve : parte algébrque Preuve : parte géométrque Autres résultats lés aux bases canonques Extenson au cas des algèbres de Kac-Moody symétrsables Changement d orentaton et transformée de Fourer Compatblté avec les modules de Demazure Paramétrsaton des bases canonques Interprétaton des bases canonques en termes de fasceaux pervers Références bblographques 38 1 L ntérêt des bases canonques pour la théore des représentatons 1.1 Présentaton Sot g une algèbre de Le smple complexe. On chost une sous-algèbre de Cartan h de g et on appelle R h le système de racnes de g dans h. On fat le chox d un système de racnes postves R + R, et on note l ensemble des racnes smples. L ensemble est une base de h, et on note Z (respectvement N ) l ensemble des combnasons lnéares à coeffcents enters (respectvement enters et postfs) des racnes smples. Sot enfn h R le sous-r-espace vectorel de h engendré par R. Sur cet espace h R, qu est une forme réelle de h, exste un produt scalare nvarant sous l acton du groupe de Weyl. Ce produt scalare est unque à normalsaton près ; on le chost de sorte que les racnes courtes aent 2 pour norme. Au système de racnes R est assocé un graphe de Dynkn. L ensemble I de ses sommets est en bjecton avec ; autrement dt, on ndexe par I l ensemble des racnes smples : = {α I}. Les arêtes du graphe de Dynkn codfent quant à elles les angles que font entre elles les racnes smples. Cette donnée est équvalente à celle de la matrce de Cartan (a j ),j I, que l on peut défnr par a j = 1 d (α α j ), où les coeffcents d = α α 2 sont des nombres enters. On note α h la forme lnéare x 1 d (α x) sur h, de sorte que a j = α, α j. L algèbre de Le g se décompose en somme de sous-espaces de pods par rapport à l acton adjonte de h : g = h g α = n h n +, où n ± = g α. α R α ±R + Dans chaque espace g α, on chost un vecteur e non-nul. Alors l algèbre de Le n + est engendrée par les e (pour I), lesquels satsfont aux relatons (ad e ) 1 a j (e j ) = 0 (pour, j I avec j) ; 2

3 un théorème de Serre affrme que l on obtent ans une présentaton de n +. On en dédut faclement que l algèbre enveloppante U(n + ) peut être défne par la présentaton suvante : générateurs : e (pour I) ; relatons : 1 a j r=0 ( ) 1 ( 1) r aj e r r e j e 1 a j r = 0 (pour, j I avec j). On munt enfn l algèbre U(n + ) d une graduaton par le groupe Z en décdant que le degré du générateur e est α. Les facteurs drects apparassant dans la décomposton U(n + ) = µ Z U(n + ) µ sont appelés sous-espaces de pods. Le chox d une base dans un espace vectorel prvlége une famlle de sous-espaces vectorels, à savor ceux qu sont engendrés par une parte de la base. Une termnologe logque pour de tels sous-espaces serat de les appeler «sous-espaces de coordonnées», de façon à généralser les notons de «drotes de coordonnées» ou de «plans de coordonnées» de la géométre élémentare. Il est mmédat de vérfer que la somme ou l ntersecton de sous-espaces de coordonnées est encore un sous-espace de coordonnées. En 1990, Lusztg a construt une base B du C-espace vectorel U(n + ), pour laquelle les sousespaces de pods U(n + ) µ, ans que les déaux de la forme U(n + )e n ou en U(n + ) sont des sous-espaces de coordonnées. Nous explquerons au paragraphe 6 la constructon de Lusztg. Pour l heure, nous allons présenter les conséquences de l exstence de B pour l étude des représentatons de g. 1.2 Bonnes bases Sot V un g-module smple de dmenson fne. L acton de h permet de décomposer V en sousespaces de pods V = µ P(V ) V µ. L ensemble P(V ) h des pods de V content un unque élément λ tel que P(V ) λ+n. On sat de plus que λ est un pods domnant, c est-à-dre que α, λ N pour tout I. L espace V λ est de dmenson 1, et s l on chost dedans un vecteur non-nul v λ, alors l applcaton ϕ : ( U(n + ) V, X X v λ ) est un épmorphsme de U(n + )-modules, dont le noyau est l déal à gauche U(n + )e α,λ +1. On vot ans que ker ϕ est un sous-espace de coordonnées par rapport à la base B, d où l on dédut faclement que ϕ(b) \ {0} = ϕ ( B \ (B ker ϕ) ) est une base de V. Il y a plus ntéressant encore. Prenons λ et µ deux pods domnants, et appelons V ( λ) le g-module smple de plus bas pods λ, engendré par un vecteur de plus bas pods v λ, et V (µ) le g-module smple de plus haut pods µ, engendré par un vecteur de plus haut pods v µ. Il est ben connu que le vecteur v λ v µ engendre le g-module V ( λ) V (µ). De plus, s l on chost un système de générateurs de Chevalley (e, f, h ) de g, alors l annulateur de v λ v µ dans U(g) est l déal à gauche engendré par les éléments e α,λ +1, f α,µ +1 et h α, µ λ, avec I. Ans pour tout g-module W, l espace Hom g (V ( λ) V (µ), W) est en bjecton naturelle avec {w W e α,λ +1 w = f α,µ +1 w = 0 et h w = α, µ λ pour tout }, 3

4 donc avec {w W µ λ e α,λ +1 w = 0 pour tout } = W µ λ ( ker I (e ) α,λ +1 W ), où W µ λ est l espace de pods µ λ dans W et où (e ) W est l endomorphsme de W par lequel agt l élément e de g. Cette analyse montre l ntérêt de la noton suvante : Une base B d un g-module W est dte bonne s elle est consttuée de vecteurs de pods et s, pour tous I et n N, le sous-espace vectorel ker((e ) n W ) de W est un sous-espace de coordonnées par rapport à B. Ans quand l on connaît une bonne base B d un g-module W, alors pour tous pods domnants λ et µ, on peut faclement construre une base de l espace Hom g (V ( λ) V (µ), W) à partr de ceux des vecteurs b B qu sont de pods µ λ et qu sont annulés par les (e ) α,λ +1 W. Cette possblté d applcaton justfe la recherche des bonnes bases dans les g-modules. La base canonque B montre c encore son utlté. En effet, la défnton duale de la défnton d une bonne base d un g-module s énonce ans : Une base B d un g-module W est dte duale-bonne 1 s elle est consttuée de vecteurs de pods et s, pour tous I et n N, le sous-espace vectorel m ((e ) n W ) de W est un sous-espace de coordonnées par rapport à B. On vérfe alors mmédatement que B est une bonne base de W s et seulement s la base duale B est une base duale-bonne de W. Or la base canonque B de U(n + ) permet de construre asément des bases duales-bonnes dans les g-modules smples de dmenson fne, comme le montre l énoncé suvant. Proposton 1 Sot λ un pods domnant, v λ un vecteur de plus bas pods de V ( λ), ϕ : ( U(n + ) V, X X v λ ) l épmorphsme de U(n+ )-modules. Alors ϕ(b) \ {0} est une base duale-bonne de V ( λ). Preuve. On sat déjà que ϕ(b)\{0} est une base de V ( λ). Elle est consttuée de vecteurs de pods, car déjà B est consttuée de vecteurs de pods, et ϕ ne fat que translater le pods de λ. Il reste à vérfer que par rapport à cette base, l mage de (e ) n V ( λ) est un sous-espace de coordonnées de V ( λ), pour tout I et tout n N. Or cette dernère asserton découle mmédatement du fat que ( ϕ 1 m ( (e ) n ) ) V ( λ) = e n U(n + ) + kerϕ = e n U(n + ) + U(n + )e α,λ +1 est un sous-espace de coordonnées de U(n + ) par rapport à la base B. 2 Rappels de théore des carquos 2.1 Foncteurs de réflexon Sot un puts de Q, c est-à-dre un sommet dont aucune flèche ne part. Alors le module smple S est projectf, de sorte que pour tout kq-module M, l est équvalent de dre que le module ndécomposable S n est pas un facteur drect de M ou que Hom(M, S ) = 0. (Plus concrètement, 1 Je concède que cette termnologe est très lade. I 4

5 cela sgnfe que s l on décrt M par la donnée de la collecton {V j ; f jk : V j V k } des espaces vectorels et des flèches, alors l applcaton jt.q. f j : j t.q. V j V est surjectve.) On note j j kq-mod + la sous-catégore plene de kq-mod formée par de tels modules M. N mporte quel objet de kq-mod est lq somme drecte d un objet de kq-mod + et d un module de la forme S n. Dans une sute exacte courte 0 M M M 0 de kq-modules, s M et M appartennent à kq-mod +, alors l en est de même pour M. De même, sot une source de Q, c est-à-dre un sommet où aucune flèche n arrve. Alors le module smple S est njectf, de sorte que pour tout kq-module M, l est équvalent de dre que le module ndécomposable S n est pas un facteur drect de M ou que Hom(S, M) = 0. (Plus concrètement, cela sgnfe que s l on décrt M par la donnée de la collecton {V j ; f jk : V j V k } f j : V jt.q. j V j est njectve.) On des espaces vectorels et des flèches, alors l applcaton j t.q. j note kq-mod la sous-catégore plene de kq-mod formée par de tels modules M. N mporte quel objet de kq-mod est lq somme drecte d un objet de kq-mod et d un module de la forme S n. Dans une sute exacte courte 0 M M M 0 de kq-modules, s M et M appartennent à kq-mod, alors l en est de même pour M. On suppose désormas que est un puts de Q et on note s Q le carquos obtenu en renversant les flèches arrvant en. Ans est une source de s Q. On défnt deux foncteurs Φ + : kq-mod ks Q-mod et Φ : ks Q-mod kq-mod + de la façon suvante sur les objets : À un kq-module M décrt par la donnée de la collecton {V j ; f jk : V j V k }, on assoce le ks Q-module Φ + (M) = M décrt par la collecton {V j ; f jk : V j V k } avec V j = V j s j, f jk = f jk s j, V est le noyau de jt.q. f j : j t.q. j j j = V j pour une flèche de j vers dans Q. V j V, et f j est l applcaton naturelle de V dans V À un ks Q-module M décrt par la donnée de la collecton {V j ; f jk : V j V k }, on assoce le kq-module Φ (M) = M décrt par la collecton {V j ; f jk : V j V k } avec V j = V j s j, f jk = f jk s k, V V j, et f j est l applcaton naturelle de V j = V j dans V est le conoyau de j t.q. f j : V jt.q. j j pour une flèche de vers j dans s Q. La défnton des foncteurs Φ ± au nveau des flèches est analogue. Ces notatons permettent d énoncer le théorème de Bernsten, Gelfand et Ponomarev : Théorème 2 Les foncteurs Φ + et Φ défnssent des équvalences de k-catégores addtves récproques l une de l autre kq-mod + Φ + ks Q-mod. S M est un objet de ks Q-mod, alors dm(φ s : Z I Z I,v v (v α )α. M) est l mage de dm M par la réflexon smple Enfn, s l on applque le foncteur Φ à une sute exacte courte 0 N P M 0 dans ks Q-mod formée d objets de ks Q-mod, on obtent une sute exacte courte 0 Φ N Φ P Φ M 0 5

6 formée d objets de kq-mod + ; applquée à tous les kq-modules P possbles, cette constructon défnt un somorphsme Ext 1 kq (M, N) = Ext 1 kq (Φ M, Φ N) pour tout couple (M, N) d objets de ks Q-mod. 3 Algèbres de Hall 3.1 Contexte général Nous partons c de la donnée d un corps k et d une catégore k-lnéare et abélenne C, ce qu sgnfe que les groupes Hom C sont des k-espaces vectorels et que la composton des homomorphsmes est une opératon k-blnéare. Dans ce cas, les groupes d extenson Ext C sont auss des k-espaces vectorels. Les lecteurs que ce langage abstrat ncommoderat peuvent sans réelle perte se contenter de penser au cas où C est la catégore des représentatons de dmenson fne d une k-algèbre. On supposera que les hypothèses suvantes sont satsfates : (H1) Les classes d somorphsme d objets de C forment un ensemble, qu sera noté Iso(C ). (H2) Pour tous objets V, W de C, les espaces vectorels Hom C (V, W) et Ext 1 C (V, W) sont de dmenson fne sur k. (H3) Pour tous objets V, W de C, Ext 2 C (V, W) = 0. (H4) Tout objet dans C possède une sute de Jordan-Hölder (c est-à-dre une fltraton fne dont les sous-quotents successfs sont smples). La condton dans l hypothèse (H2) stpulant que les k-espaces vectorels Hom C (V, W) sont tous de dmenson fne entraîne que la catégore C est multloculare, c est-à-dre que le théorème de Krull-Schmdt y est vra : tout objet V de C s écrt comme une somme drecte fne W 1 W l d objets ndécomposables, les classes d somorphsme des termes (lstées avec multplcté) étant ndépendants du chox de la décomposton. La preuve de cette ndépendance repose sur le lemme de Fttng : s W est un objet ndécomposable de C, alors un endomorphsme de W est sot nlpotent, sot bjectf. Une conséquence de ce lemme de Fttng est que s W est un objet ndécomposable de C, alors End C (W) est un anneau local, c est-à-dre que son radcal de Jacobson est formé de tous les éléments non-nversbles et est le plus grand déal de End C (W); le quotent de End C (W) par son radcal de Jacobson est un corps gauche. Nous aurons beson de quelques notatons complémentares. S V est un objet de C, nous noterons [V ] Iso(C ) sa classe d somorphsme. Inversement, dans chaque classe d somorphsme α Iso(C ), nous chosssons un objet M(α). La classe d somorphsme des objets nuls sera notée [0]. On défnt enfn une opératon nterne sur Iso(C ) en posant α β égal à la classe d somorphsme de M(α) M(β). Le groupe de Grothendeck de la catégore C est le groupe abélen K(C ) engendré par les symboles d(α) (pour α Iso(C )) soums aux relatons d(β) = d(α) + d(γ) chaque fos qu l exste une sute exacte courte 0 M(γ) M(β) M(α) 0. Compte tenu de l hypothèse (H4), le groupe K(C ) est somorphe au groupe abélen lbre sur les symboles d(α), où α décrt l ensemble des classes de conjugason d objets smples. Pour smplfer les notatons, nous noterons d(v ) plutôt que d([v ]) l mage dans le groupe de Grothendeck de la classe d somorphsme d un objet V de C. 6

7 L hypothèse (H3) entraîne l exstence, pour toute sute exacte courte dans C, de sutes exactes longues à sx termes et 0 V V V 0 0 Hom C (V, W) Hom C (V, W) Hom C (V, W) 0 Hom C (W, V ) Hom C (W, V ) Hom C (W, V ) Ext 1 C (V, W) Ext 1 C (V, W) Ext1 C (V, W) 0 Ext 1 C (W, V ) Ext 1 C (W, V ) Ext1 C (W, V ) 0. De cela, on dédut l exstence d une forme baddtve, sur le groupe K(C ), appelée «forme d Euler», telle que pour tous objets V, W de C, d(v ), d(w) = dm Hom C (V, W) dm Ext 1 C (V, W). On suppose à présent que k est un corps fn, dsons k = F q. Dans ce cas, les espaces vectorels Hom C (V, W) et Ext 1 C (V, W), qu sont de dmenson fne sur k, sont des ensembles fns. Une conséquence de cela est que s l on se donne tros classes d somorphsme α, β, γ Iso(C ), alors le nombre de sous-objets X M(β) tels que X γ et M(β)/X α est fn 2 ; on l appelle «nombre de Hall» et on le note φ β αγ. Enfn, on note g α l ordre du groupe Aut C (M(α)), pour toute classe d somorphsme α Iso(C ). La proposton suvante donne les prncpales proprétés de ces nombres. Proposton 3 S α, β, γ, δ Iso(A) sont des classes d somorphsme, alors () les ensembles {λ Iso(C) φ λ αγ 0} et {(ρ, σ) Iso(A) 2 φ β ρσ 0} sont fns; () φ β α[0] = δ αβ et φ β [0]γ = δ βγ (symboles de Kronecker), et g [0] = 1; () φ λ αβ φδ λγ = φ δ αλ φλ βγ ; λ Iso(A) λ Iso(A) (v) le nombre q dm HomA(M(α),M(γ)) φ β αγ g α g γ /g β est un enter; (v) φ λ αγ g α g γ /g λ = q d(α),d(γ) ; λ Iso(A) (v) s M(α) and M(γ) sont des objets ndécomposables et s M(β) est un objet décomposable, alors q 1 dvse φ β αγ φ β γα ; (v) la formule suvante est valable : g α g β g γ g δ φ λ αβ φλ γδ /g λ = λ Iso(A) ρ,σ,τ,υ Iso(A) q d(ρ),d(υ) φ α ρσ φ β τυ φ γ ρτ φ δ συ g ρ g σ g τ g υ. 2 Ce nombre peut être vu comme le nombre d orbtes du groupe Aut C (M(α)) Aut C (M(γ)) agssant sur l ensemble des couples tels que sot une sute exacte courte. (f, g) Hom C (M(γ), M(β)) Hom C (M(β), M(α)) 0 M(γ) f M(β) g M(α) 0 7

8 Preuve. L asserton () provent des hypothèses de fntude mposées à C ; par exemple, la fntude du groupe d extenson Ext 1 A (M(α), M(γ)) entraîne la fntude de l ensemble {λ Iso(C) φλ αγ 0}. L asserton () est banale. Pour se persuader de la valdté de l asserton (), l sufft d observer que les deux membres de la formule proposée comptent le nombre de fltratons 0 X Y M(δ) telles que X γ, Y/X β, M(δ)/Y α. Pour montrer (v), on commence par observer que φ β αγ g α g γ compte le nombre de sutes exactes courtes 0 M(γ) M(β) f M(α) g 0. On fat agr le groupe Aut C (M(β)) sur l ensemble de ces sutes en posant a (f, g) = (af, ga 1 ), pour tout a Aut C (M(β)). Le stablsateur d un couple (f, g) dans cette acton est {d M(β) + fhg h Hom C (M(α), M(γ))}, un groupe somorphe à Hom C (M(α), M(γ)). Chaque Aut C (M(β))-orbte dans l ensemble des sutes exactes courtes est donc de cardnal g β /q dm HomA(M(α),M(γ)). Le nombre dans l énoncé est donc égal au nombre d orbtes. Pour montrer (v), on écrt M(β) = X Y et l on regarde le sous-groupe Γ = {d X t d Y t F q } de Aut(M(β)). On fat alors agr Aut C (M(α)) Aut C (M(γ)) Γ sur l ensemble des sutes exactes courtes 0 M(γ) M(β) f M(α) g 0. Les sous-groupes d sotrope sont tous trvaux, sauf celu des sutes de la forme h f10 [ 0 g 2 ] 0 M(γ) M(γ) M(α) M(α) 0 avec f 1 Aut C M(γ) et g 2 Aut C M(α). Nous voyons ans que q 1 dvse φ β αγ 1 s M(β) = M(γ) M(α), et qu l dvse φ β αγ dans le cas contrare. Nous lassons la recherche d une preuve de l asserton (v) comme exercce pour le lecteur. En ce qu concerne l asserton (v), nous ne saurons meux fare que de renvoyer le lecteur à l artcle de J. A. Green cté dans la bblographe. La preuve de Green est très astuceuse, quoque entèrement élémentare ; c est c que l hypothèse (H3) est réellement nécessare. 3.2 L algèbre de Hall de C Nous allons à présent utlser les données et les notatons du paragraphe précédent pour construre une algèbre H (C ). L anneau de base sera l algèbre A = Z[v, v 1 ]/(v 2 q), un quotent de l anneau Z[v, v 1 ] des polynômes de Laurent à une ndétermnée v sur l anneau des enters. Nous noterons H (C ) le A -module lbre de base Iso(C ); une classe d somorphsme α Iso(C ) peut donc être vue comme un vecteur de base de H (C ). Les assertons (), () et () de la proposton 3 et la baddtvté de la forme d Euler montrent que la multplcaton α γ = v d(α),d(γ) φ β αγ β β Iso(C) munt H (C ) d une structure de A -algèbre assocatve, avec une unté donnée par [0]. Cette algèbre est graduée par le groupe K(C ), le symbole α étant homogène de degré d(α). Cette algèbre est appelée «l algèbre de Hall» de la catégore C. 8

9 On peut également munr H (C ) d un coprodut : H (C ) H (C ) Ce H (C ) et d une coünté ε : H (C ) A par (β) = α,γ Iso(C) v d(α),d(γ) g αg γ g β φ β αγ (α γ) et ε(β) = δ β[0], pour tout β Iso(C ). Les assertons () (v) de la proposton 3 montrent que H (C ) devent une cogèbre quand on le munt de ces deux opératons, c est-à-dre que les dagrammes H (C ) H (C ) e A H (C ) H (C ) e A H (C ) d d H (C ) e A H (C ) e A H (C ) et A e A H (C ) can. ε d H (C ) H (C ) e A H (C ) can. d ε H (C ) e A A sont commutatfs. Par alleurs, les structures d algèbre et de cogèbre sur H (C ) sont adjontes l une de l autre par rapport à la forme blnéare non dégénérée (, ) défne par c est-à-dre que pour tous x, y, z H (C ), on a (α, β) = δ α,β /g α, (x y, z) = (x y, (z)) et (x,1) = ε(x), conventon étant fate de munr H (C ) A e H (C ) de la forme blnéare (x y, z t) = (x, z)(y, t). Nous pouvons résumer ces constructons dans le résultat suvant : Proposton 4 Mun du produt, de l unté 1 = [0], du coprodut, de la coünté ε et de la forme blnéare non-dégénérée (, ), l espace H (C ) est une algèbre assocatve avec unté et une cogèbre coassocatve avec coünté. Ces deux structures sont adjontes l une de l autre par rapport à (, ). De plus, ε est un homomorphsme d algèbres, et en est auss un s l on munt H (C ) A e H (C ) du produt tordu suvant : où α, β, γ, δ Iso(A ). (α β) (γ δ) = v d(β),d(γ) + d(γ),d(β) (α γ) (β δ), Preuve. Tous les résultats mentonnés dans la proposton ont été prouvés dans les lgnes qu la précédaent, à l excepton du caractère multplcatf de ε et de. Le premer est banal, le second découle faclement de l asserton (v) dans la proposton 3. 9

10 Pour rendre cette constructon plus concrète, l nous faut explquer comment on peut fare des calculs dans l algèbre de Hall. Nous présenterons dans le paragraphe suvant 3.3 un exemple concret, mas nous pouvons dès à présent présenter deux règles générales. Pour cela, l nous faut renormalser les éléments de la base naturelle de H (C ) en posant α = v dm End C(M(α)) α pour tout α Iso(C ). Pour tous enters postfs n et d, nous ntrodusons également l élément de A. Avec cette notaton : [n]! d = vd v d v 2d v 2d v d v d v d v d vnd v nd v d v d Proposton 5 () S α, γ Iso(C ) sont tels que Hom C (M(γ), M(α)) = Ext 1 C (M(α), M(γ)) = 0, alors α γ = α γ. () S α Iso(C ) est la classe d somorphsme d un module ndécomposable et sans auto-extenson (c est-à-dre Ext 1 C (M(α), M(α)) = 0), alors α n = [n]! d α n, où d est la dmenson sur k du corps gauche obtenu en quotentant l algèbre locale End C (M(α)) par son déal maxmal. Preuve. Pour montrer l asserton (), on dot d abord calculer les nombres de Hall φ β αγ. Toute sute exacte 0 M(γ) M(β) f g M(α) 0 est scndable, pusque Ext 1 C (M(α), M(γ)) = 0, de sorte qu on peut supposer β = α γ. Pusqu en outre Hom C (M(γ), M(α)) = 0, notre sute exacte est de la forme h f10 [0 g 2 ] 0 M(γ) M(γ) M(α) M(α) 0, avec f 1 Aut C (M(γ)) et g 2 Aut C (M(α)). Ans φ β αγ vaut 1 pour β = α γ et vaut 0 snon. D un autre côté, l nous faut calculer dm End C (M(α) M(γ)) = dm End C M(α) + dm End C M(γ) + dm Hom C (M(α), M(γ)) En combnant ces deux résultats : = dm End C M(α) + dm End C M(γ) + d(α), d(γ). α γ = v dm End C M(α)+dm End C M(γ)+ d(α),d(γ) β v dm End M(β) φ β αγ β = α γ. Pour donner une preuve complète de l asserton (), l nous faudrat ntrodure une notaton assez lourde. Pour smplfer un peu la présentaton, nous allons donc nous contenter du cas où l algèbre locale End C (M(α)) est sans radcal, c est-à-dre est une extenson fne de degré d du corps de base k = F q. La preuve procède par récurrence sur n, et on comprend déjà ben l dée de base dans le cas n = 2. Comme Ext 1 C (M(α), M(α)) = 0, la sute exacte à examner est nécessarement scndable : 0 M(α) f M(α) M(α) M(α) 0 10

11 [ et l on peut vor f = f 1 f 2 ] comme une matrce non-nulle de talle 2 1 à coeffcents dans le corps End C M(α) = F q d. L mage de f ne détermne f qu à multplcaton à drote par un automorphsme de M(α) près, donc le nombre de Hall cherché est φ α α αα = (End C M(α)) 2 \ {0} / Aut C M(α) = (q 2d 1)/(q d 1) = q d + 1 = v d [2]! d. On termne alors les calculs de la même manère que pour l asserton (). Pour les cas n > 2, l argument est analogue, mas l s agt alors de calculer le nombre de drapeaux complets du End C M(α)- espace vectorel (End C M(α)) n ; c est ans qu apparaît le coeffcent [n]! d. 3.3 Algèbre de Hall générque pour les représentatons des carquos de t.r.f. Dans le paragraphe 3.1, nous étons parts d une catégore k-lnéare et abélenne C satsfasant à quatre hypothèses (H1) (H4). Un exemple pour une telle C est la catégore des représentatons de dmenson fne d une k-algèbre, l hypothèse (H3) exgeant en outre que cette k-algèbre sot «quas-hérédtare», c est-à-dre de dmenson cohomologque au plus 1. C est le cas de l algèbre des chemns d un carquos sans cycle orenté. Nous consdérons donc un graphe de Dynkn de type A, D ou E, dont on note I l ensemble des sommets. En orentant chaque arête, on obtent un carquos Q. On se donne un corps k et on s ntéresse à la catégore kq-mod des représentatons de dmenson fne de la k-algèbre des chemns de Q. Cette catégore kq-mod satsfat à toutes les hypothèses du paragraphe 3.1. À somorphsme près, les objets smples de kq-mod sont les modules S, concentrés en un seul degré. Le groupe de Grothendeck K(kQ-mod) est somorphe au groupe abélen lbre sur les symboles d(s ) et peut donc être décrt de façon ndépendante de k, à savor par le groupe abélen lbre Z I. À travers cet somorphsme, le symbole d(v ) donnant l mage dans le groupe de Grothendeck d une représentaton V de Q s dentfe au vecteur-dmenson dm V dans N I Z I. La forme d Euler se calcule asément dans cette descrpton, pusque s V et W sont deux kqmodules de vecteurs-dmensons (v ) et (w ) N, alors d(v ), d(w) = dm Hom Q (V, W) dm Ext 1 Q(V, W) = v w j v w j. En fat, la forme quadratque q : d d, d sur Z I n est autre que la forme de Tts du paragraphe 2. Le théorème de Gabrel affrme que les classes d somorphsme des kq-modules ndécomposables sont en bjecton avec l ensemble R + = {d N I q(d) = 1} des racnes postves de la forme de Tts. Combné au théorème de Krull-Schmdt, cec nous condut à une descrpton de l ensemble des classes d somorphsme des représentatons de Q, à savor Iso(kQ-mod) = N R +. Cette descrpton étant ndépendante de k, nous posons Iso(Q-mod) = N R +. La théore d Auslander-Reten de la catégore kq-mod, qu permet de calculer entre autres les espaces d homomorphsmes et d extensons de cette catégore, est extrêmement ben comprse. Grâce à elle, Rngel a pu montrer le résultat que voc. Proposton 6 Pour toutes classes α, β, γ Iso(Q-mod), l exste des polynômes g α et φ β α,γ Z[q] tels que pour tout corps fn k, les nombres g α et φ β α,γ défns au paragraphe 3.1 soent les évaluatons de g α et φ β α,γ en q = k. Les polynômes g α et φ β α,γ vérfent les denttés de la proposton 3, pusque ces denttés sont satsfates par leurs évaluatons g α et φ β α,γ en tout q cardnal d un corps fn. 11

12 Nous pouvons à présent défnr l algèbre de Hall générque des représentatons du carquos Q. L anneau de base est l anneau A = Z[v, v 1 ] des polynômes de Laurent à coeffcents enters. On appelle H (Q-mod) le A -module lbre de base Iso(Q-mod), et on le munt de la multplcaton, de l unté [0], du coprodut : H (Q-mod) H (Q-mod) A H (Q-mod), de la coünté ε : H (Q-mod) A et de la forme blnéare non-dégénérée (, ) défns par dm α,dm γ α γ = v (β) = α,γ Iso(Q-mod) β Iso(Q-mod) φ β α,γ(v 2 )β v d(α),d(γ) g α g γ g β φβ αγ (α γ) ε(β) = δ β[0], (α, β) = δ αβ / g α. Un énoncé analogue à celu du la proposton 4 est valable pour cette algèbre de Hall générque H (Q-mod). On sat que l anneau des endomorphsmes d un kq-module ndécomposable V est trval, et qu un tel module est sans extenson : End kq (V ) = k et Ext 1 kq (V, V ) = 0. Par alleurs, la connassance du carquos d Auslander-Reten de kq-mod permet d énumérer les classes d somorphsme de représentatons ndécomposables β 1,...,β ν de sorte que ( HomkQ (M(β a ), M(β b )) 0 ) ( a b ) ( et Ext 1 kq (M(β a ), M(β b )) 0 ) ( a > b ). (De manère plus précse, l sufft de chosr la numérotaton de sorte que a b dès qu l exste un chemn allant de β a vers β b dans le carquos d Aulslander-Reten.) Prenant alors une sute fne c = (c 1,...,c ν ) N ν, on peut écrre (en utlsant une verson générque de la proposton 5) β c 1 1 β cν ν = β c 1 1 β cν ν où les coeffcents [n]! sont les éléments de A défns par = β 1 c 1 [c 1 ]! β ν cν [c ν ]!, [n]! = v v 1 v v 1 v 2 v 2 v v 1 vn v n v v 1. Ces éléments, dont le membre de drote donne une écrture comme produt de «pussances dvsées», forment une base du A -module H (Q-mod), pusque le terme entre crochets dans le membre de gauche parcourt Iso(Q-mod) quand c décrt N ν. Le derner résultat de ce paragraphe est un lemme dont nous nous servrons pluseurs fos dans la sute. Le contexte est le suvant. On numerote les sommets du carquos I = { 1,..., n } de sorte qu l ne pusse y avor une flèche dans Q de a vers b que s a > b, ou, ce qu est équvalent, de sorte que Ext 1 kq (S a, S b ) 0 a > b. Pour parvenr à cela, l sufft par exemple de prendre les éléments de I selon l ordre dans lequel apparassent les classes de représentatons smples dans la sute β 1,...,β ν. Cec fat, le chox d un n- uplet d = (d 1,...,d n ) N n est équvalent au chox d un vecteur-dmenson, à savor a d a dm S a. 12

13 Proposton 7 Pour tout n-uplet d = (d 1,...,d n ) N n, [S n ] dn [d n ]! [S 1 ] d1 [d 1 ]! = β v dm Ext1 kq (M(β),M(β)) β, où la somme dans le membre de drote porte sur toutes les classes d somorphsme β Iso(Q-mod) dont le vecteur-dmenson est dm β = 1 a n d a dm S a. Preuve. On montre par récurrence sur 1 a n que [S a ] da [d a ]! [S 1 ] d1 [d n ]! = β v dm Ext1 kq (M(β),M(β)) β, où la somme dans le membre de drote porte sur toutes les classes d somorphsme β Iso(Q-mod) dont le vecteur-dmenson est dm β = 1 b a d b dm S b. L asserton est banale pour a = 1 ; supposons-la vrae au cran a 1 et montrons-la au cran a. L hypothèse de récurrence s écrt [S a 1 ] d a 1 [d a 1 ]! [S 1 ] d1 [d n ]! = dm γ= Pγ 1 b a 1 dm Ext v 1 kq (M(γ),M(γ)) γ. d b dm S b N mporte quelle représentaton V de Q de vecteur-dmenson dm V = 1 b a d b dm S b admet un unque sous-module W somorphe à S da a, et le quotent V/W est de vecteur-dmenson dm(v/w) = 1 b a 1 d b dm S b. S l on appelle β et γ les classes d somorphsme de V et V/W respectvement, alors dm End kq M(β) dm Ext 1 kq (M(β), M(β)) = dm β,dm β = dm S da a = dm S da a = dm End kq (S da a + dm γ,dm S da a + dm γ,dm S da a + dm S da a,dm γ + dm γ,dm γ ) + dm(s da a ),dm γ + dm EndkQM(γ) dm Ext 1 kq (M(γ), M(γ)), pusque dm S b,dm S a = dm Hom kq (S b, S a ) dm Ext 1 kq (S b, S a ) = 0 s b < a. 13

14 On calcule alors faclement : dm β= Pβ d b dm S b 1 b a = v dm Ext1 kq (M(β),M(β)) β v dm γ= Pγ d b dm S b 1 b a 1 = [S a ] da dm γ= Pγ 1 b a 1 = [S a ] da [d a ]! [S 1 ] d1 [d n ]!, dm End kq (S da a )+dm End kqm(γ) dm Ext 1 kq (M(γ),M(γ)) [S da a ] γ dm Ext v 1 kq (M(γ),M(γ)) γ d b dm S b ce qu montre l hypothèse de récurrence au cran a. S l on fat abstracton des complcatons dans l écrture de la preuve causées par la mse en place de la récurrence et le calcul des pussances de v, on s aperçot que le pont crucal est l observaton que toute représentaton V de Q de vecteur-dmenson dm V = 1 b a d b dm S b possède une unque fltraton 0 = V 0 V 1 V n = M pour laquelle V a /V a 1 = S d a a. 3.4 Une verson géométrque de l algèbre de Hall Le but de ce paragraphe est de reformuler en langage géométrque la défnton de l algèbre de Hall H (Q-mod) énoncée dans le paragraphe 3.3. Cette reformulaton est une étape crucale dans la preuve de Lusztg de l exstence de la base canonque (vor le lemme 27). On consdère donc un carquos Q de type de représentaton fne et on appelle I l ensemble de ses sommets. On se donne un nombre prmare q et on note k une clôture algébrque du corps fn F q. Toutes les varétés algébrques consdérées dans ce paragraphes seront défnes sur k. Pour tout vecteur-dmenson α N I, les classes d somorphsme de représentatons de Q sur k en dmenson α sont en correspondance bjectve avec les GL(α, k)-orbtes dans l espace Rep ( Q, α, k) : à une classe d somorphsme λ de dmenson α correspond l orbte O λ des représentatons de Q sur k α appartenant à λ. On note F(Rep(Q, α, k), A ) GL(α,k) l ensemble des fonctons GL(α, k)-nvarantes sur Rep(Q, α, k), à valeurs dans A. Les fonctons ndcatrces 1 Oλ des dfférentes orbtes O λ forment une base du A -module F(Rep(Q, α, k), A ) GL(α,k), lequel est donc lbre. On prend à présent tros vecteurs-dmensons α, β et γ avec β = α+γ. On consdère le dagramme suvant, dans lequel les flèches sont des morphsmes de varétés algébrques : Rep(Q, α, k) Rep(Q, γ, k) f E g F h Rep(Q, β, k). Ic, E est l ensemble des quadruplets (x, U, a, c) formés d un pont x de Rep(Q, β, k), d un sousespace U gradué de k β stable par x et de dmenson graduée γ, et de deux somorphsmes d espaces vectorels gradués a : k β /U k α et c : U k γ. L espace F est l ensemble des couples (x, U) formés d un pont x de Rep(Q, β, k) et d un sous-espace U gradué de k β stable par x et de dmenson graduée γ. L applcaton g est la projecton qu consste à oubler les composantes a et c. L applcaton h est 14

15 la projecton qu consste à oubler U. L applcaton f envoe (x, U, a, c) sur le couple (y, z), où y et z sont les représentatons de Q sur les espaces vectorels gradués k α et k γ respectvement, obtenues en transportant par les somorphsmes a et c les représentatons ndutes par x sur k β /U et sur U, respectvement. Le groupe GL(α, k) agt sur E et Rep(Q, α, k); le groupe GL(γ, k) agt sur E et Rep(Q, γ, k); le groupe GL(β, k) agt sur E, F et Rep(Q, β, k). Les applcatons f, g et h sont équvarantes par rapport à ces actons. Nous avons alors l nterprétaton géométrque suvante des coeffcents de Hall. S λ, µ et ν sont tros classes d somorphsme de représentatons de Q de vecteurs-dmensons respectfs α, β et γ, alors pour tout enter n 1, le coeffcent de Hall Φµ λν (qn ) est égal au nombre de ponts F q n-ratonnels de h 1 (x) g ( f 1 (O λ O ν ) ), où x est un pont quelconque de O µ (le résultat ne dépend pas du chox de x). Nous défnssons alors une applcaton blnéare en posant F(Rep(Q, α, k), A ) GL(α,k) F(Rep(Q, γ, k), A ) GL(γ,k) F(Rep(Q, β, k), A ) GL(β,k) ϕ ψ = v dm f+dm g h! g f (ϕ ψ) pour tout ϕ F(Rep(Q, α, k), A ) GL(α,k) et tout ψ F(Rep(Q, γ, k), A ) GL(α,k). Il faut c explquer les conventons d écrture utlsées. f et g sont des fbratons localement trvales; dm f et dm g désgnent la dmenson des fbres de f et g respectvement. On peut faclement vérfer que dmf dmg = dm GL(β, k) dm GL(α, k) dm GL(γ, k) α, γ. ϕ ψ désgne la foncton (x, y) ϕ(x)ψ(y) sur Rep(Q, α, k) Rep(Q, γ, k); cette foncton est nvarante sous l acton du groupe GL(α, k) GL(γ, k). Pour toute foncton χ sur une varété Y et tout morphsme de varétés t : X Y, la notaton t (χ) désgne la foncton χ t. Dans notre cas, f (ϕ ψ) est une foncton défne sur E et qu est nvarante sous l acton des groupes GL(α, k), GL(β, k) et GL(γ, k). Pour tout fbré prncpal t : X Y sous un groupe G 3 et toute foncton χ sur X nvarante sous l acton de G, l exste une unque foncton η sur Y telle que χ = t (η); on pose t (χ) = η. Dans notre cas, le morphsme g : E F est un fbré prncpal de groupe GL(α, k) GL(γ, k), et la constructon fournt la foncton g f (ϕ ψ) sur F, laquelle est nvarante sous l acton du groupe GL(β, k). Enfn pour tout morphsme propre u : X Y et toute foncton χ sur X, on souhate défnr u! (χ) comme étant la foncton sur Y qu, en un pont y, prend la valeur x u 1 (y) χ(x) (autrement dt, u! (χ) est l ntégrale de χ le long des fbres de u). Le sens à donner à cette somme est que s y est un pont F q n-ratonnel de Y, alors l évaluaton en v = q n/2 de l élément u! (χ)(y) de A = Z[v, v 1 ] est u! (χ)(y) v=q n/2 = χ(x) v=q n/2. x X(F q n) t.q. u(x)=y L exstence d une telle foncton u! (χ) (c est-à-dre la légalté de l expresson x u 1 (y) χ(x)) n est pas garante dans la cas général d un morphsme propre u : X Y et d une foncton 3 Cela sgnfe que le groupe G agt lbrement sur X, que Y = /G, et que t est l applcaton quotent. 15

16 χ quelconques. 4 Toutefos cela marche dans notre cas : l exstence des polynômes de Hall (proposton 6) rend lcte l écrture h! ( g f (ϕ ψ) ). Cette dernère désgne une foncton sur Rep(Q, β, k) à valeurs dans A nvarante sous l acton du groupe GL(β, k). En recollant ces applcatons, on défnt un produt sur l espace somme H (Q-mod) = α N I F(Rep(Q, α, k), A ) GL(α,k), ce qu munt ce derner d une structure d algèbre. Par alleurs pour chaque vecteur-dmenson α, l y a un somorphsme de A -modules de F(Rep(Q, α, k), A ) GL(α,k) sur la composante de degré α de l algèbre de Hall H (Q-mod) qu envoe la foncton ndcatrce 1 Oλ sur v dm GL(α,k) λ, où le symbole λ est vu comme un élément de la base naturelle de H (Q-mod). Ces somorphsmes se combnent pour donner un somorphsme de A -modules de H (Q-mod) sur H (Q-mod). Cet somorphsme est en fat un somorphsme de A -algèbres. Les éléments λ et v dm Ext1 kq (M(λ),M(λ)) λ de H (Q-mod), qu apparassent par exemple dans les énoncés des propostons 5 et 7, correspondent respectvement dans la réalsaton géométrque aux fonctons v dm O λ1 Oλ et v dm Rep(Q,α,k) 1 Oλ. Nous termnons ce paragraphe en mentonnant que le coprodut de l algèbre de Hall peut être décrt par une constructon géométrque du même genre que celle explquée c pour le produt. 4 Le théorème de Rngel 4.1 La bgèbre tordue f Pour la constructon que nous présentons dans cette secton, nous partons d un système de racnes fn R dans un espace vectorel h R, comme dans le paragraphe 1.1. On note par un pont l unque produt scalare sur h R qu est nvarant sous le groupe de Weyl et pour lequel les racnes courtes ont pour norme 2. On chost un ensemble de racnes smples = {α I}, ce qu permet de défnr les enters d = 1 2 α α et la matrce de Cartan dont les coeffcents sont a j = 1 d α α j. On appelle Z le sous-groupe de h R engendré par R. Enfn, on fat chox d une ndétermnée v, ce qu permet de consdérer l anneau de base A = Z[v, v 1 ] et son corps des fractons K = Q(v). Nous commençons par quelques conventons d écrture. Pour tout P K, on note P d l élément de K obtenu en substtuant v d à la place de v dans P. On défnt par alleurs les éléments suvants de A : [n] = vn v n v v 1 = vn 1 + v n v 1 n pour tout n Z, [n]! = [1][2] [n] pour tout n N, [ ] m [m][m 1] [m n + 1] = pour m Z et n N. n [1][2] [n] (Le fat que les expressons [ m n] soent des polynômes de Laurent en v à coeffcents enters n est n dffcle, n complètement évdent.) S l on substtue v = 1 dans ces polynômes, on trouve comme valeurs n, n! et ( m n), respectvement. 4 Le remède est de sortr du cadre des fonctons à valeurs dans A pour se placer dans celu des fasceaux pervers de Belnson, Bernsten et Delgne. Le len est le suvant : à un fasceau pervers L sur une k-varété X, on assoce la foncton à valeurs dans A qu prend en un pont x X ratonnel sur F q la valeur P Z ( 1) v tr(ϕ, Hx (L)), où ϕ : L Fr XL est un somorphsme de L sur son tré en arrère par le morphsme de Frobenus Fr X de X. 16

17 Cec posé, nous défnssons l algèbre f comme la K-algèbre engendrée par les symboles θ, pour I, soums aux relatons suvantes, appelées «q-relatons de Serre» 1 a j r=0 [ ] 1 ( 1) r aj θ r θ j θ 1 a j r = 0. r d On munt l algèbre f d une Z -graduaton en déclarant que le générateur θ est de degré α. De façon générale, le degré d un élément homogène x sera noté x. La proposton suvante montre que l on peut munr f d un coprodut, d une coünté ε, et d une forme blnéare non-dégénérée (, ). Proposton 8 () S f K f est mune de la multplcaton (x y)(z t) = v y z (xz yt) (pour y et z homogènes), alors l exste des morphsmes d algèbres : f f K f et ε : f K tels que (θ ) = θ θ et ε(θ ) = 0. Les morphsmes et ε sont unquement détermnés par ces condtons. Mun de ces deux opératons, le K-espace vectorel f est une K-cogèbre, c est-à-dre que les dagrammes commutatfs de la page 9 restent commutatfs s l on remplace H (C ) et A par f et K. () Il exste une unque forme blnéare symétrque (, ) sur le K-espace vectorel f telle que (x,1) = ε(x) pour tout x f, (x, yz) = ( (x), y z) pour tous x, y, z f, (θ, θ j ) = δ j /(1 v 2d ). (Pour donner sens aux condtons fgurant sur la deuxème lgne, on étend (, ) en une forme blnéare sur f K f en convenant que (x y, z t) = (x, z)(y, t).) Deux éléments de f homogènes (pour la Z -graduaton) de degrés dfférents sont orthogonaux pour (, ). () La forme blnéare (, ) est non-dégénérée. Preuve. On appelle f la K-algèbre lbre sur un ensemble de générateurs {θ I}. À l nstar de f, cette algèbre peut être mune d une graduaton par le groupe Z, ce qu permet de défnr un produt tordu sur f K f par (x y)(z t) = v y z (xz yt) (pour y et z homogènes). La proprété unverselle de l algèbre lbre entraîne l exstence de deux homomorphsmes d algèbres : f f K f et ε : f K, unquement détermnés par (θ ) = θ θ et ε(θ ) = 0. Posons f,j,1 a j = 1 [1 a j ]! d 1 a j r=0 [ ] 1 ( 1) r aj θ r θ r jθ 1 a j r pour, j I avec j, d 17

18 de sorte que les q-relatons de Serre s écrvent f,j,1 a j = 0. Un calcul facle montre que (f,j,1 a j ) = f,j,1 a j f,j,1 a j et ε (f,j,1 a j ) = 0. On en dédut qu l est lcte de défnr et ε en factorsant et ε à travers l épmorphsme canonque f f : f f f K f f K f f ε K ε f Nous avons ans montré l asserton (). Concernant l asserton (), on défnt d abord une forme K-blnéare (, ) sur f. Pour cela, on munt le dual (f ) d une structure d algèbre en décrétant que son produt est (f ) K (f ) (f K f ) ( ) (f ) et que son élément unté est (ε ) (d K ). Il exste alors un unque morphsme d algèbres Ψ : f (f ) tel que Ψ(θ ) sot la forme lnéare sur f qu envoe θ sur 1/(1 v 2d ) et qu envoe x sur 0 s x est homogène de degré dfférent de θ. On pose alors (x, y) = Ψ(x)(y) pour x, y f et on vérfe mmédatement que (x, y) = 0 dès que x et y sont homogènes et de degrés dfférents. Le fat que Ψ sot un morphsme d algèbres entraîne que avec la conventon que (xy, z) = (x y, (z)) et (1, x) = ε (x) pour tous x, y, z f, (x y, z t) = (x, z) (y, t). De plus, on vérfe asément que l ensemble des x f vérfant (x,1) = ε (x) et (y, z) f 2, (x, yz) = ( (x), y z) est une sous-algèbre de f qu content les générateurs θ, donc est f toute entère. Il s ensut que l applcaton Φ : f (f ) défne par Φ(x)(y) = Ψ(y)(x) pour x, y f est également un morphsme d algèbre ; comme Φ coïncde avec Ψ sur les générateurs θ de f, l vent Φ = Ψ, ce qu montre que la forme blnéare (, ) est symétrque. Il nous reste à montrer que cette forme blnéare descend en une forme blnéare (, ) sur f, de façon à rendre commutatf le dagramme f f (, ) (, ) f f K. Il sufft pour cela de montrer que les q-relatons de Serre f,j,1 a j sont dans le radcal de (, ). Or s x et y sont deux éléments homogènes de degré non-nul de f, alors (xy, f,j,1 a j ) = (x y, (f,j,1 a j )) = (x, f,j,1 a j ) (y, 1) + (x,1) (y, f,j,1 a j ) = 0, 18

19 pusque (x,1) = ε (x) = 0 et (y, 1) = ε (y) = 0. Le fat que tout élément de f homogène de degré f,j,1 a j pusse s écrre comme combnason lnéare de tels produts xy entraîne alors que (f, f,j,1 a j ) = 0, ce qu achève la démonstraton de l asserton (). Démontrer la non-dégénrescence de la forme blnéare (, ) est un traval assez délcat. Une stratége possble est de montrer que l algèbre U(n + ), dont nous allons bentôt vor qu elle est la spécalsaton de f à v = 1, satsfat un résultat analogue. Cette spécalsaton ne peut en revanche pas être condute brutalement pour la forme blnéare (, ), ne serat-ce qu à cause de la condton (θ, θ j ) = δ j /(1 v 2d ). Il est par conséquent plus sage d admettre l asserton (). 4.2 La spécalsaton à v = 1 On appelle «pussances dvsées» des générateurs θ les expressons θ (r) la sous-algèbre engendrée sur A par les θ (r) pour I et r N. = θ r /[r]! d. On note f A Proposton 9 () f A est une A -forme de f, c est-à-dre une sous-a -algèbre, lbre en tant que A -module, telle que l applcaton naturelle f A A K f sot un somorphsme de K-algèbres. () En envoyant v sur 1, on peut vor C comme une A -algèbre, ce qu permet de consdérer f A A C, la «spécalsaton de f A à v = 1». Cec étant, l exste un unque homomorphsme d algèbres Ξ : U(n + ) f A A C tel que Ξ(e r /r!) = θ (r) 1 pour I et r N, et Ξ est un somorphsme. Preuve. La preuve la plus smple de l asserton () consste à utlser une réalsaton concrète de f. (Cette phrase pour le moment obscure devrat s éclarcr à la fn du paragraphe 4.3.) Pour montrer l exstence de l homomorphsme Ξ dans l asserton (), l sufft d utlser la présentaton par générateurs et relatons de U(n + ) donnée au paragraphe 1.1. Montrer la bjectvté de Ξ est un traval plus délcat ; une soluton assez satsfasante consste à construre des bases de type Poncaré-Brkhoff- Wtt de U(n + ) et de f et à vérfer que Ξ envoe une base PBW de la premère algèbre sur la spécalsaton à v = 1 d une base PBW de la seconde. 4.3 Le théorème de Rngel On consdère c un graphe de Dynkn de type A, D ou E. À ce graphe, on fat correspondre une algèbre de Le smple complexe g et sa sous-algèbre n +, comme dans le paragraphe 1.1. En munssant ce graphe d une orentaton, on obtent par alleurs un carquos Q de type de représentaton fn. Le théorème de Gabrel est la premère entrée d un dctonnare qu rele la théore des représentatons de Q avec n + : les représentatons ndécomposables du premer sont en bjecton avec une base de la seconde. Lorsque Rngel a rems à la mode les algèbres de Hall à la fn des années 1980, sa motvaton état de prolonger ce dctonnare, en retrouvant les constantes de structures de n + à partr de la théore des représentatons de Q. À partr du système de racnes de g, on construt une algèbre f comme dans le paragraphe 4.1. Dans le paragraphe 4.2, nous avons établ le len entre l algèbre f A et l algèbre U(n + ). Le théorème de Rngel que voc, qu montre que f A est somorphe à l algèbre de Hall H (Q-mod), permet donc de reler cette dernère à U(n + ). Théorème 10 Il exste un unque homomorphsme de K-algèbres Γ Q : f H (Q-mod) A K tel que Γ Q (θ ) = [S ] 1. Cet homomorphsme est bjectf, préserve le coprodut, la coünté ε, et la forme blnéare (, ), et envoe f A sur H (Q-mod). 19

20 Preuve. Reprenons les notatons de la preuve de la proposton 8. La proprété unverselle des algèbres lbres entraîne qu l exste un unque homomorphsme de K-algèbres Γ Q : f H (Q-mod) A K tel que Γ Q(θ ) = [S ] 1. L algèbre f est graduée par le groupe Z et l algèbre H (Q-mod) est graduée par le groupe Z I ; ces deux groupes peuvent être dentfés de façon évdente, et alors Γ Q respecte la graduaton. Les produts scalares sur Z et sur Z I se correspondent également, de sorte que Γ Q Γ Q est un morphsme d algèbres de f K f vers (H (Q-mod) A K) K (H (Q-mod) A K). Les coproduts : f f K f et : H (Q-mod) H (Q-mod) A H (Q-mod) étant des homomorphsmes d algèbres, l ensemble {x f (Γ Q Γ Q ) = Γ Q } est une sous-algèbre de f ; comme elle content les générateurs θ de f, c est f toute entère. On vérfe de même que ε Γ Q = ε. Tout cec montre que Γ Q est un morphsme de cogèbres. Ensute, on observe que la forme blnéare sur f donnée par (x, y) f 2 (Γ Q(x), Γ Q(y)) K coïncde avec la forme (, ). En effet, l applcaton x f (Γ Q (x), Γ Q (?)) (f ) est un morphsme de K-algèbres, dont on vérfe asément qu l coïncde avec Ψ. Comme la forme blnéare (, ) sur H (Q-mod) A K est non-dégénérée, cela montre que le noyau de Γ Q est égal au radcal de la forme (, ). La preuve de la proposton 8 montre que ce noyau est donc égal au noyau de l épmorphsme canonque de f sur f. Cela montre que Γ Q se factorse à travers f et que l homomorphsme Γ Q qu on obtent ans est njectf : On calcule ensute Γ Q f H (Q-mod) A K. Γ Q f Γ Q (θ (r) ) = Γ Q(θ ) r [r]! = [S ] r [r]! = [S r ], ce qu montre que Γ Q (f A ) H (Q-mod). Il nous reste à montrer qu l y a en fat égalté ; cela établra en effet en même temps que Γ Q est surjectve. Il nous sufft pour cela de montrer que pour tout γ Iso(Q-mod), l élément γ de H (Q-mod) appartent à Γ Q (f A ). Nous suvons c une méthode nventée par Rngel. Nous adoptons les notatons du paragraphe 3.3 et procédons par récurrence sur la dmenson du k-espace vectorel M(γ). Nous dstnguons deux cas selon la forme de la décomposton de γ en somme d ndécomposables : γ = β c 1 1 β cν ν. Le premer cas est quand au mons deux des coeffcents c a sont non-nuls. Alors tous les modules M(βa ca ) sont de dmenson sur k plus pette que celle, de sorte que l hypothèse de récurrence entraîne que tous les éléments βa ca sont dans Γ Q (f A ). Il en est alors de même du produt 1 βν cν = γ. β c 1 La deuxème possblté est qu l n y at qu un seul coeffcent c a non-nul, c est-à-dre que γ est un multple βa ca d un ndécomposable. On utlse alors la proposton 7. On numérote donc les 20

21 sommets du carquos I = { 1,..., n } comme dans l énoncé de cette proposton et on chost le vecteur d = (d 1,...,d n ) N n de sorte que dm γ = 1 a n d a dm S a. Alors [S n ] dn [d n ]! [S 1 ] d1 [d 1 ]! = ρ v dm Ext1 kq (M(ρ),M(ρ)) ρ, où la somme dans le membre de drote porte sur toutes les classes d somorphsme ρ Iso(Q-mod) de même vecteur-dmenson que γ. Les vecteurs-dmensons de deux ndécomposables n étant jamas proportonnels (dans un système de racnes rédut, deux racnes ne sont jamas colnéares), aucun ρ dans la somme autre que γ n est multple d un ndécomposable. La premère alternatve s applque donc à ces ρ, de sorte que chaque élément ρ appartenne à Γ Q (f A ). Par alleurs, le produt [S n ] dn [d n]! [S 1 ] d 1 [d 1 ]! appartent également à Γ Q (f A ). La dfférence appartent donc à Γ Q (f A ). [S n ] dn [d n ]! [S 1 ] d1 [d 1 ]! v dm Ext1 kq (M(ρ),M(ρ)) ρ = γ ρ ρ γ On peut nterpréter ce théorème en dsant que l algèbre de Hall H (Q-mod) est une réalsaton concrète de l algèbre f A. On peut auss dre que l algèbre f A est un modèle pour les algèbres H (Q-mod) qu est ndépendant du chox de l orentaton de Q. Remarque 11. Il est possble de spécalser la A -algèbre H (Q-mod) à v = 1. En tant que A - module, H (Q-mod) est lbre, les éléments β de Iso(Q-mod) formant une base de H (Q-mod). Par sute, les éléments β 1, que nous désgnerons par u β, forment une base de l algèbre spécalsée H (Q-mod) A C. Dans cette base, la multplcaton est donnée par la formule u α u γ = φ β α,γ(1)u β. β Iso(Q-mod) La proprété (v) de la proposton 3, étendue au cas des polynômes φ β α,γ, entraîne que l espace vectorel engendré sur C par les éléments u α, pour α ndécomposable, est une sous-algèbre de Le k de H (Q-mod) A C. La dmenson de k est égale au cardnal de R +. Par alleurs, en composant Γ Q avec Ξ, nous obtenons un somorphsme d algèbres de U(n + ) sur H (Q-mod) A C, qu envoe e sur l élément u [S ]. La prémage de k par cet somorphsme est une sous-algèbre de Le de U(n + ) qu content les éléments e et qu est de dmenson R +. La sous-algèbre de Le n + de U(n + ) est quant à elle engendrée par les e et est de même dmenson ; elle coïncde donc avec cette prémage. Pour résumer : dans l dentfcaton de l algèbre enveloppante U(n + ) avec l algèbre de Hall spécalsée H (Q-mod) A C, l algèbre de Le n + s dentfe avec la sous-algèbre k défne c-dessus. La théore des représentatons des carquos permet donc de retrouver non seulement une base de n +, mas auss le crochet de Le de n +, va cette constructon d algèbre de Hall spécalsée à v = 1. 5 Constructons dans f Nous allons à présent défnr pluseurs opératons dans f. Nous Nous examnerons notamment les opérateurs de Kashwara ẽ et f et l acton du groupe des tresses donnée par les opérateurs T, cette dernère permettant de construre une base appelée «base de Poncaré-Brkhoff-Wtt» ou «base PBW» de f. 21