2 Propriétés élémentaires des probabilités

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1 Uiversité de Reims Champage Ardee UFR Scieces Exactes et Naturelles Aée uiversitaire MA Master 1 CM1 Espaces probabilisés 1 Déitio Pour déir u espace probabilisé, o a besoi d'u esemble Ω appelé uivers, qui peut représeter l'esemble des résultats possibles de l'expériece cosidérée. Pour le jet d'ue pièce de moaie, Ω = {0, 1} coviet, où 0 représete pile et 1 représete face. Pour le lacé d'ue échette sur ue cible, Ω = u disque du pla euclidie coviet. Pour la durée de vie d'ue ampoule électrique, Ω = R +. Pour le lacé d'u dé, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Avat de déir les probabilités, ous avos besoi d'itroduire la otio de tribu, écessaire à ue déitio rigoureuse de la probabilité. Déitio 1 Ue famille S de parties d'u esemble Ω est appelée tribu ou σ-algèbre si elle vérie les propriétés suivates : Ω S. Si (A ) est ue suite (évetuellemet ie) d'élémets de S, alors A S. Si A est u élémet de S, alors A S. Ue tribu S est toujours icluse das l'esemble des parties de Ω, oté P (Ω). Les élémets de S sot appelés évéemets, et Ω est l'évéemet certai. Si S est ue tribu, alors S. Si (A ) est ue suite d'élémets de S, alors A S. L'esemble des sous-parties de Ω, P (Ω), est ue tribu. Si Ω est i ou déombrable, c'est e gééral celle sur laquelle o travaille. Si Ω est R (ou u itervalle de R), la tribu utilisée sera le plus souvet la tribu boréliee B(R), c'est-à-dire la plus petite tribu (au ses de l'iclusio des tribus) coteat (au choix) : les itervalles, les ouverts ou les fermés. Déitio 2 Soit Ω u esemble mui d'ue tribu S. O appelle probabilité toute applicatio P de S das [0, 1], vériat les propriétés : P(Ω) = 1. Si (A ) est ue suite (évetuellemet ie) d'élémets de S deux à deux icompatibles (i.e. A i A j = si i j), alors : P( A ) = P(A ). Le triplet (Ω, S, P) est appelé espace de probabilité ou espace probabilisé. 2 Propriétés élémetaires des probabilités Propositio 3 Soit A et B deux évéemets quelcoques (i.e. A, B S). Alors 1. P(A) = 1 P(A), 2. P( ) = 0, 3. = P(A B) + P(A B), 4. P(A B) = P(A) + P(A B). 1

2 Preuve. 1. Les évéemets A et A sot icompatibles, doc d'après la déitio d'ue probabilité, P(A) + P(A) = P(A A) = P(Ω) = C'est ue applicatio directe du résultat précédet e preat A = Ω. P(Ω) + P(Ω) = 1 = P( ) Les évéemets B A et B A sot icompatibles et de plus B = B Ω = B (A A) = (B A) (B A). Grâce à cela, o obtiet : = P((B A) (B A)) = P(B A) + P(B A). 4. O remarque que les évéemets A et B A sot disjoits. O a doc : P(A B) = P(A (B A)) = P(A) + P(B A). Grâce au résultat du 3., o a P(B A) = P(A B) et doc o a bie : P(A B) = P(A) + P(A B). O motre facilemet par récurrece le résultat suivat appelé formule de Poicaré ou formule du crible : Propositio 4 Soit (A i ) 1 i évèemets quelcoques de Ω, o a ( ) P A i = P(A i ) ( ) P(A i A j ) + P(A i A j A k ) + + ( 1) P A i i=1 i=1 1 i<j 3 Probabilités discrètes 1 i<j<k La probabilité P est dite discrète dès que l'espace Ω est i ou déombrable. La tribu associée est alors gééralemet P (Ω), l'esemble des parties de Ω. Ue probabilité sur u esemble déombrable est complètemet détermiée par les P({ω}) pour tout ω Ω. E eet, pour A Ω, o a P(A) = ω A P(ω). i=1 E particulier, 1 = P(Ω) = ω Ω P(ω). Lacer d'ue pièce équilibrée : o souhaite modéliser le résultat du lacer d'ue pièce sas tricherie. Pour cela, o choisit Ω 1 = {pile, face}. L'esemble des parties de Ω 1 comporte quatre élémets et o déit la mesure de probabilité P par P(pile) = P(face) = 1/2 puisque les deux évéemets sot équiprobables (i.e. de même probabilité). Lacer de k pièces, k 2 : o pred cette fois-ci Ω k = Ω k 1, c'est-à-dire l'esemble des k-uplets de pile ou face. O a Card(Ω k ) = 2 k. Les diérets k-uplets sot tous équiprobables doc P(ω) = 2 k, pour tout ω Ω k. O aboutit aisi aturellemet à la Déitio 5 Supposos que Ω soit u esemble i. O dit qu'o se trouve das u cas équiprobable si tous les évéemets élémetaires ot même valeur de probablité. O dit aussi que la probabilité est uiforme discrète. Das le cas équiprobable, o a doc P(ω) = p pour tout ω Ω, où p = 1/Card(Ω). O peut alors écrire : soit ecore : P(A) = ω A P(ω) = ω A 1 Card(Ω) = Card(A) Card(Ω), P(A) = ombre de cas favorables ombre de cas possibles. 2

3 ATTENTION, cette formule 'est valable que pour les cas équiprobables. Elle foctioe das l'exemple du dé ormal, mais pas das celui du dé truqué. Il e peut bie sûr pas y avoir de probabilité uiforme sur N. Mesure de probabilité sur N. O lace u dé de faço répétée jusqu'à obteir u 6, et o ote le uméro du tirage du premier 6. O a évidemmet P(1) = 1/6. O a égalemet P(2) = P(au premier tirage, o 'a pas eu de 6 ; au deuxième tirage, o a eu u 6) = 5 36 car sur les 36 tirages possibles équiprobables, seuls 5 permettet d'obteir le premier 6 au deuxième tirage. De même, pour tout k 2, P(k) = P(k 1 echecs, puis ue réussite) = ( ) k Cela costitue bie ue mesure de probabilité discrète sur N puisque k 1 P(k) = 1. 4 Probabilités à desité Soit f : R R ue foctio positive, cotiue par morceaux (ou plus gééralemet mesurable, i.e. {x, f(x) y} B(R) pour tout y R) et d'itégrale sur R égale à 1. Il est facile de vérier que l'o déit ue probabilité e posat, pour tout A R : P(A) = f(x)dx. Ue telle probabilité est dite à desité. O dit égalemet que c'est ue probabilité cotiue. La mesure uiforme sur l'itervalle [a, b], où a < b : O déit 1 P(A) = b a dx. A A [a,b] La probabilité de Gauss sur R. O utilise ici la foctio f(x) = 1 ( ) (x m) 2 exp 2πσ 2σ 2 où m R et σ R + sot deux paramètres xés. 5 Probabilités coditioelles Repreos l'exemple du dé. Notos A l'évéemet o obtiet u 2 et B l'évéemet o 'obtiet pas 1. L'évéemet A B est égal à A car si o obtiet 2 et pas 1, c'est qu'o a obteu 2 tout court. Doc P(A B) = 1/6. De plus, = 5/6 car il y a 5 résultats favorables sur 6 si o 'obtiet pas 1. Supposos maiteat qu'o sache que B est vérié, c'est-à-dire qu'o 'a pas obteu 1. Das ce cas, la probabilité d'obteir 2 est de 1/5, car il 'y a plus que 5 résultats possibles (et o est toujours das u cas équiprobable). O remarque que cette probabilité vaut exactemet P(A B)/. C'est ce qu'o appelle ue probabilité coditioelle. Déitio 6 Soit A et B deux évéemets tels que 0. O appelle probabilité coditioelle de A sachat B (c'est-à-dire sachat que B est réalisé), otée P(A/B) le quotiet : P(A/B) = P(A B). Propositio 7 Soit B u évéemet de probabilité o ulle. Alors Q(A) = P(A/B) est ue probabilité sur S. 3

4 Preuve. Il sut de motrer que Q vérie bie les propriétés de la déitio d'ue probabilité. Soit A S ; o a alors 0 Q(A) = P(A/B) 1 car = P(A B) + P(A B) P(A B). O a Q(Ω) = P(Ω/B) = P(Ω B) Soit (A ) ue famille d'évéemets deux à deux icompatibles. = = 1. Q( A ) = P(( P(( A ) B) P( (A B)) A )/B) = = = P(A B) = P(A /B) O a bie vérié toutes les propriétés, doc Q est ue probabilité sur S. Déitio 8 Soit (A i ) ue famille (ie) d'évéemets (e gééral o impossibles, i.e. P(A i ) > 0 pour tout i). O dira que c'est u système complet d'évéemets si : A i = Ω et A i A j =, i j. Propositio 9 Soit (A i ) u système complet d'évéemets et soit B u évéemet quelcoque. Alors : = P(B A i ). Preuve. Puisque (A i ) est u système complet d'évéemets, A i = Ω. O peut écrire : = P(B Ω) = P(B ( A i )) = P( (B A i )) Or, par déitio d'u système complet, les A i sot deux à deux icompatibles. Les B A i le sot doc aussi, et o a bie alemet : = P(B A i ). Propositio 10 Soit (A i ) P(A i ) 0 i I. Alors, 1. u système complet d'évéemets et B u évéemet vériat 0 et = P(B/A i )P(A i ). 2. Formule de Bayes : O a u corollaire immédiat : P(A k /B) = P(A k)p(b/a k ) P(A i )P(B/A i ) k I. Corollaire 11 Soit A et B deux évéemets vériat 0 et 0 < P(A) < 1. Alors : Démotros la propositio précédete. P(A/B) = P(B/A)P(A) P(A)P(B/A) + P(A)P(B/A). 4

5 Preuve. 1. O a vu (prop 1.3.2) que : = P(B A i ). Puisque P(B/A i ) = P(B A i), o a bie : P(A i ) = P(B/A i )P(A i ). 2. Par déitio des probabilités coditioelles, P(A k /B) = P(A k B). O peut doc écrire, e utilisat le même raisoemet que ci-dessus : P(A k /B) = P(B/A k)p(a k ). E utilisat le résultat du 1. et e remplaçat, o obtiet bie : P(A k /B) = P(A k)p(b/a k ) P(A i )P(B/A i ). 6 Evéemets idépedats Preos ue ure coteat des jetos umérotés de 1 à N. Cosidéros les évéemets A = obteir le jeto 1 au premier tirage et B = obteir le jeto 1 au deuxième tirage. Si les tirages se fot sas remise et que l'évéemet A est réalisé, l'évéemet B e peut pas être réalisé. Par cotre, si les tirages se fot avec remise, le fait que l'évéemet A soit réalisé ou o 'iue pas sur la probabilité que B soit réalisé et vice-versa. C'est ce qu'o appelle des évéemets idépedats. Propositio 12 Soit A et B deux évéemets de probabilité o ulle. Alors les trois éocés suivats sot équivalets : 1. P(A/B) = P(A) 2. P(B/A) = 3. P(A B) = P(A). Preuve. Elle se fait facilemet par successio d'équivalece : P(A/B) = P(A) P(A B) = P(A) P(A B) = P(A) P(B A) = P(A) P(B/A) = Déitio 13 Deux évéemets A et B sot dits idépedats (oté A B) si et seulemet si : P(A B) = P(A). Propositio 14 Soit A et B deux évéemets. Alors o a : 1. A A P(A) = 0 ou P(A) = A B A B A B A B. Preuve. 1. A A P(A A) = P 2 (A) P(A)(1 P(A)) = 0 P(A) = 0 ou P(A) = 1. 5

6 2. Il sut de motrer la première équivalece, les autres sot alors automatiques. A B P(A B) = P(A) P(A B) = P(A)(1 P(A) = P(A) P(A B) P(A) = P(A B) + P(A B) P(A B) P(A) = P(A B) A B. O peut étedre cette otio d'évéemets idépedats à ue famille : Déitio 15 Ue famille d'évéemets (A i ) (A i1, A i2,..., A i ) de cette famille, o a : est dite idépedate si pour toute sous-famille ie P( A ij ) = j=1 P(A ij ). O retrouve les mêmes propriétés que pour deux évéemets idépedats. ATTENTION, le fait que les évéemets (A i ) sot idépedats etraîe qu'ils sot idépedats deux à deux, mais la réciproque est fausse. Exercice O lace ue pièce deux fois de suite. Soit A l'évéemet obteir face au premier jet, B l'évéemet obteir face au deuxième jet, et C l'évéemet obteir deux résultats diérets. Motrer que les évéemets A, B, C sot deux à deux idépedats, mais que la famille (A, B, C) 'est pas idépedate. j=1 6