3. Potentiel et énergie

Transcription

1 3. Poenel e énerge élecrosques ercce Poenel élecrque créé r une dsrbuon cubque de chrges oncuelles On consdère hu chrges oncuelles lcées u sommes d'un cube d'rêe (vor l fgure ).. Déermner le oenel élecrosque u cenre O du cube. On rendr le oenel nul à l'nfn (( ) = ).. Déermner le oenel élecrosque créé à chque somme du cube r les se ures chrges élecrques. O Fg.

2 3 ercces d'élecrosque Soluon :. Chosssons l'orgne des oenels à l'nfn. On lque le rnce de sueroson our déermner le oenel créé u cenre O r les chrges oncuelles lcées u hu sommes du cube (Fg..). = 8 = = = 8 = vec = = = 8 = =, le oenel créé r chcune des chrges u π ε 3 on O. Fnlemen, on rouve: 6 = 8 = π ε 3 π ε 3 F G 6 7 H 5 8 O 3 B C A D Fg.. On monre r eemle que l dgonle FD vu : FD = OD + OF e OD = OA + AD = + = Pr conséquen, FD = OD + OF = + = 3

3 3. Poenel e énerge élecrosques 3. On lque le rnce de sueroson our déermner le oenel créé u somme A r les chrges oncuelles lcées u se ures sommes du cube (Fg..). = 8 ' ' ' ' ' ' ' ' ' = = = ' vec = π ε BA = π ε ; ' = 3 π ε CA = π ε ; ' = π ε DA = π ε ; ' = 5 π ε A = π ε ; ' = 6 π ε FA = π ε ; ' = 7 π ε GA = ; π ε 3 ' = 8 π ε HA = π ε. Pr conséquen, on oben: ' = π ε π ε π ε 3 Fnlemen, on rouve : ' 3 3 = 3+ + π ε 3 ercce Clcul du chm à rr du oenel On consdère ros chrges oncuelles dsosées comme le monre l fgure. 3 C r C r A M(,) r B A O B Fg.

4 3 ercces d'élecrosque. Déermner le oenel élecrosque créé en un on M(,) sué dns le ln des chrges.. n dédure le chm élecrosque créé r les ros chrges u on M(,). Soluon :. Chosssons l'orgne des oenels à l'nfn. Les oenels créés r les chrges A, B e C u on M son resecvemen : A A A ( M ) = = = ; π ε ra π ε AM π ε + + B C ( M ) ( M ) ( ) B B = = = π ε rb π ε BM π ε 3 = = = π ε π ε π ε ; ( ) + C C rc CM + b ( ) où, ( ) r A = AM = + + ; ( ) r B = BM = - + ; ( ) C ; r = CM = + - b. On lque le rnce de sueroson our déermner le oenel élecrosque créé r les ros chrges oncuelles u on M. On oben: q M M M M M ( ) = ( ) = = ( ) + ( ) + ( ) ( M ) A B C π ε r 3 = + π ε. Le chm élecrosque ( ) vec, ( + ) + ( ) + + ( b ) M dérve d'un oenel, el que: ( M ) = ( M ) = j = + j ( M ) ( + ) ( ) 3 = = + π ε ( ) ( ) ( b + ) ( M ) 3( b ) = = + π ε ( ) ( ) ( b ) Ben que ce clcul semble sse long, le leceur vérfer que le clcul drec du chm élecrosque es lus dffcle.

5 3. Poenel e énerge élecrosques 33 ercce Poenel élecrque créé r deu rcs de cercle concenrques chrgés Deu ges mnces en forme d'rcs de cercle de rons R e R son resecvemen chrgées unformémen vec les densés lnéques de chrges + e. Ces rcs formen un ngle ol θ smérque r ror à l'e des (Fg. ).. Déermner le oenel élecrosque à l'orgne O.. uder les cs suvns: π. θ = (dem-cercle) b. θ = π (cercle ener) 3. uel ser le oenel élecrosque à l'orgne O s les dsrbuons lnéques de chrges son:. ± = ± cos θ b. ± = ± sn θ. Déermner le oenel élecrosque en un on M sué sur l'e O, dsn de de l'orgne O, dns le cs où θ = π (cercle ener) e = ( én une consne osve). mner le cs où le on M es rès élogné de O. - + θ θ O θ Soluon : Fg.. Le clcul du oenel élecrosque créé r cee dsrbuon de chrges u cenre O s'oben sémen en fsn l sueroson des oenels créés r: un rc de cercle de cenre O e de ron R, chrgé vec l densé lnéque +; un rc de cercle de cenre O e de ron R, chrgé vec l densé lnéque.

6 3 ercces d'élecrosque Consdérons l'rc de cercle de cenre O e de ron R, chrgé vec l densé lnéque +. Ce eercce re le cs d une dsrbuon lnéque de chrges. On dvse l'rc de cercle en élémens de chrges de longueur dl (Fg..). Chque élémen de chrges eu êre consdéré comme une chrge oncuelle de grndeur dl qu crée en O un oenel d donné r: dq d = R vec : dq = dl = R dθ θ R O θ dθ dl Fg.. n lqun le rnce de sueroson, e en renn l'orgne des oenels à l'nfn, le oenel élecrosque résuln obenu r négron, s'erme: + θ = d = dθ fl θ So : = π ε θ De l même fçon, on monre que l'rc de cercle de cenre O e de ron R, chrgé vec l densé lnéque, crée u cenre O un oenel : θ ' = π ε On lque le rnce de sueroson our déermner le oenel élecrosque ol u on O: = = + ' θ θ π ε π ε = =. mnons les cs suvns : π. θ = (dem cercle) On rouve : = ; ' ε = e =. ε

7 3. Poenel e énerge élecrosques 35 b. θ = π (cercle ener) On rouve : = ; ε ' = e =. ε 3. mnons mnenn les cs suvns :. = cos θ n lqun le rnce de sueroson, e en renn l'orgne des oenels à l'nfn, le oenel élecrosque résuln obenu r négron, s'erme: + θ = d = cos θ dθ [ sn θ ] = ge θ Le oenel créé en O r l ge es donc: sn θ = π ε De l même fçon, on monre que l'rc de cercle de cenre O e de ron R, chrgé vec l densé lnéque cosθ, crée u cenre O un oenel : sn θ ' = π ε On lque le rnce de sueroson our déermner le oenel élecrosque ol u on O: = = + ' b. = sn θ sn θ sn θ π ε π ε = = n lqun le rnce de sueroson, e en renn l'orgne des oenels à l'nfn, le oenel élecrosque résuln obenu r négron, s'erme: + θ = d = sn θ dθ [ cos θ ] = ge θ Le oenel créé en O r l ge es donc: = De l même fçon, on monre que l'rc de cercle de cenre O e de ron R, chrgé vec l densé lnéque snθ, crée u cenre O un oenel : ' = On lque le rnce de sueroson our déermner le oenel élecrosque ol u on O: = = = + ' + θ θ + θ θ

8 36 ercces d'élecrosque. Consdérons deu ges mnces en forme de cercles de rons R e R, resecvemen chrgées unformémen vec les densés lnéques de chrges + e. Commençons d'bord r déermner le oenel créé r le cercle de cenre R en un on M de l'e O. De l même fçon que récédemmen, on dvse le cercle en élémens de chrges de longueur dl (Fg..). Chque élémen de chrges eu êre consdéré comme une chrge oncuelle de grndeur dl qu crée en O un oenel d donné r : dq d = R vec dq = dl = R dθ n lqun le rnce de sueroson, e en renn l'orgne des oenels à l'nfn, le oenel élecrosque résuln obenu r négron, s'erme: π R = d = dϕ R + cercle M θ r O ϕ dq = dl Fg.. Le oenel créé en O r l ge es donc: R = ε R + De l même fçon, on monre que le cercle de cenre O e de ron R, chrgé vec l densé lnéque, crée u on M un oenel : R ' = ε R + On lque le rnce de sueroson our déermner le oenel élecrosque ol u on O: R R = = + ' = ε R + R + S le on M es rès élogné du cenre O, >> R e >> R, l'eresson du oenel deven : R R + s > = ± ε { s <

9 3. Poenel e énerge élecrosques 37 ercce 3 Poenel u cenre d'une couche crrée chrgée unformémen Une couche crrée de cenre O e de côé ore une chrge osve rére unformémen vec l densé surfcque de chrges σ (Fg. 3). D C O P P' σ d A Fg. 3. Déermner le oenel créé r un segmen de longueur L, orn une chrge unformémen rére vec l densé lnéque de chrges, en un on M de l médrce, à une dsnce du mleu de ce segmen.. Déermner l conrbuon u oenel en O due à l bnde éroe PP' de lrgeur d. 3. Déermner l conrbuon u oenel en O due u qur du crré.. Déermner le oenel en C créé r l couche crrée chrgée unformémen. On rendr l'orgne des oenels à l'nfn. On donne : Soluon : d = ln + Ce. Clculons le oenel élecrosque créé u on M r le segmen chrgé (Fg. 3.). Pour cel, on dvse le segmen de longueur L en élémens de longueur dl e de chrge dq = dl (Fg. 3.). B

10 38 ercces d'élecrosque L chrge élémenre dq crée u on M un oenel élecrosque élémenre d(m), el que: d ( M ) dq = r L dsnce r de l chrge élémenre dq u on M es oenel élémenre d(m) deven: d ( M ) = dl + l r = + l. L'eresson du n lqun le rnce de sueroson, e en renn l'orgne des oenels à l'nfn, le oenel élecrosque résuln obenu r négron, s'écr: l =+ L ( ) = ( ) = M d M fl l = Fnlemen, on oben l'eresson de sur O : dl + l ( M ) = ln πε + L + L L dq l dl r O M Fg. 3.. L bnde éroe PP' eu êre consdérée comme un segmen unformémen chrgé vec l densé lnéque (Fg. 3.). Ce segmen ore une chrge élémenre: So: dq = PP' = σ PP' d = σ d Pr conséquen, l conrbuon u oenel en O due à l bnde éroe PP' de lrgeur d s'écr (en enn come que = L) : ( ) σ d d = ln + πε

11 3. Poenel e énerge élecrosques 39 D C P σ O P' d A Fg. 3. B 3. L conrbuon u oenel en O due u qur du crré, c'es-à-dre du rngle BOC), s'erme lors: = σ ( ) ( )[ ] σ = ln + d ln πε = + πε = σ So: = ln ( + ). Le oenel en C crée r l couche crrée chrgée unformémen es donc: ( ) σ couche = = ln + πε = = ercce nerge oenelle élecrosque d'un ssème de chrges qudrque Au qure sommes d'un crré de cenre O e de côé, sué dns le ln O, son fés qure ons osfs (Fg. ). Chque on es ssmlble à une chrge oncuelle +e.. Ulser les sméres our déermner le chm élecrosque u cenre O(,,) du crré. uelle es son orenon u on M(,,)?

12 ercces d'élecrosque. Déermner le oenel élecrque u cenre O du crré. 3. Déermner le oenel élecrque en un on M de l'e O.. n dédure l'eresson du chm élecrosque u on M(,,). 5. Un roon de chrge +e es moble le long de l'e 'O. rmer l force F que sub le roon lorsqu'l se rouve u on M(,,). M e P e P 3 O e P e P Fg. 6. n dédure r deu méhodes dfférenes l'eresson de l'énerge oenelle du roon lorsqu'l se rouve en un on quelconque M(,,). 7. Ce roon ur--l une oson d'équlbre? S ou, ce équlbre es-l sble ou nsble? Jusfer vore réonse. 8. Déermner l'énerge oenelle élecrosque du ssème formé r les qure ons. 9. n dédure r deu méhodes dfférenes l'énerge oenelle élecrosque ' d'un ssème comosé de ces qure ons e du roon lorsqu'l se rouve u cenre O du crré.. Trcer l'llure du grhe du oenel en foncon de.. Trcer l'llure du grhe de F en foncon de. Soluon :. Les lns (O) e (O) son des lns de smére; de même ou ln conenn l'e O es un ln de smére; le ln (O) es églemen un ln de smére. Le on O ren à des lns de smére orhogonu: c'es un cenre de smére. Le chm élecrosque es nul u on O.

13 3. Poenel e énerge élecrosques L'e O ren à des lns de smére orhogonu (les lns (O) e (O)): c'es un e de smére. Le chm élecrosque = k es oré r l'e O.. On lque le rnce de sueroson our le oenel élecrosque (Fg. ). e ( O) = ( O) = e = = M 3. De l même fçon, le oenel élecrosque u on M s'écr: ( M ) = ( M ) = e = M e = + So : ( ) e On rerouve ben ( O) = our =.. Le chm élecrque dérve d'un oenel, el que: = crésennes, les comosns du grden son:. n coordonnées grd = L relon = s'écr: = j k = k, cr (M) ne déend que de = = = =. n ulsn l'eresson du oenel (M) obenue en (3), on rouve: M e = + ( ) 3 + O = On vérfe ben que ( ) k our =. 5. Au on M, le roon de chrge +e es soums à une force élecrosque: e F M = e M = k 3 ( + ) 6. Premère méhode: L force élecrosque dérve de l'énerge oenelle, elle que F =. Pr conséquen,

14 ercces d'élecrosque F = k d = F d Pr négron, on oben en renn l'orgne de l'énerge oenelle à l'nfn: ( ) Clcul de l'négrle On ose D'où : d d = F d = e ( ) 3 = + I = d ( ) 3 + u = +, lors du = d e I = u Fnlemen, on oben : ( ) Deuème méhode: du u I = 3 = = u u e = + + L'énerge oenelle du roon +e lcé u on M, s'écr, r défnon: u u ( M ) = ( M ) = e = e = + D où : ( ) e ( M ) On rerouve ben le résul. e = = Le roon ur une oson d'équlbre s: 3 ( + ) e = = = L oson = es sble s elle corresond à un mnmum de l'énerge oenelle, nsble, s elle corresond à un mmum de l'énerge oenelle. Les mnm de l'énerge oenelle son crcérsés r une dérvée seconde osve. Les mm de l'énerge oenelle son crcérsés r une dérvée seconde négve:

15 3. Poenel e énerge élecrosques 3 < e 3 ( + ) < 3 ( + ) So : e ( ) 3 3 ( + ) ( + ) L oson = corresond donc à un équlbre nsble du roon. 8. L'énerge oenelle du ssème de qure chrges oncuelles, s'écr: = q P ( ) = où P,P,P3 e P son les osons des qure roons de chrge +e, = j. j= j e ( P ) ( P ) n rson de l smére du ssème, on rouve: ( P ) = ( P ) = ( P3 ) = ( P ) = e e + = e e + = = Fnlemen, l'énerge oenelle élecrosque du ssème es donnée r: + e = q ( P ) = = So, = ( + ) e e = = ( ) e ( M ), n =, c'es-à-dre u cenre du crré, ( ) e = + ;

16 ercces d'élecrosque On rerouve ben ( ) e ( ) e = = + (vor l réonse 3). d. mmum = = = d Donc: Pour d d m e = q ( ) 5 ( + ) = = = q = ±, = 3 q q e = ± = ± πε + πε So q = ± 3 3πε Les courbes rerésenves de () e de ( ). e.. θ = π son données resecvemen r les fgures q π ε () q π ε 3 O + Fg..

17 3. Poenel e énerge élecrosques 5 () q 3 3πε O + Fg.. q 3 3πε