STATISTIQUES - ESTIMATION

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1 STATISTIQUES - ESTIMATION I Echatilloage et estimatio : itroductio O se situe ici das 2 domaies des statistiques qui sot ceux de l «échatilloage» et de l «estimatio». Ces 2 domaies ot des cotextes d applicatio différets qu il faut savoir coaître. (Ces domaies appartieet au champ des statistiques «iféretielles») 1. Idetificatio de la situatio O cosidère deux ures U 1 et U 2 coteat chacue u très grad ombre de boules rouges et bleues. Das l ure U 1, o coaît la proportio p de boules rouges. O procède à des tirages avec remise de boules, et o observe la fréquece d apparitio d ue boule rouge. Cette fréquece observée appartiet «e gééral» à u «itervalle de fluctuatio» de cetre p dot la logueur dimiue avec. Cet itervalle u «itervalle de fluctuatio». O est ici das le domaie de l échatilloage, et de l itervalle de fluctuatio. Das l ure U 2, o igore la proportio de boules rouges. E procédat à des tirages avec remise de boules, o va essayer d estimer la proportio p de boules rouges das l ure, proportio dot o a aucue idée a priori. Cette estimatio se fait au moye d u «itervalle de cofiace». Cet itervalle déped d u coefficiet, le «iveau de cofiace», que l o attribue à l estimatio. O est ici das le domaie de l estimatio, et de l itervalle de cofiace. 2. Quel itervalle utiliser? O s itéresse à ue populatio, dot o étudie u caractère particulier. Echatilloage O utilise u itervalle de fluctuatio quad : - O coaît la proportio p de présece du caractère das la populatio OU - O fait ue hypothèse sur la valeur de cette proportio (o est alors das le cas de la «prise de décisio») Estimatio O utilise u itervalle de cofiace quad : O igore la valeur de la proportio p de présece du caractère das la populatio, et o e formule pas d hypothèse sur cette valeur. Exemples : 1) O dispose d ue pièce de moaie. Commet décider qu elle est «équilibrée» ou pas? O va ici faire l hypothèse que la fréquece d apparitio de «Pile», par exemple, est égale à 0,5, et o va tester cette hypothèse. O est das ue situatio d échatilloage. 2) Ue usie fabrique des fusées de feux d artifice. Sur 100 fusées choisies au hasard à l issue du processus de fabricatio et mises à feu, o trouve 12 fusées qui e foctioet pas. Commet se faire ue idée de la proportio des fusées défectueuses das la productio? O est das ue situatio d estimatio : o a, au départ, aucue idée de la valeur de la proportio étudiée das la populatio. Statistiques - Estimatio 1 Termiale S

2 II Rappels de 2 de et 1 ère Statistiques - Estimatio 2 Termiale S

3 III Itervalle de fluctuatio asymptotique 1. Itervalle est ue variable aléatoire qui suit la loi biomiale B (, p). Elle idique le ombre de succès das u schéma de Berouilli d ordre et de paramètre p. La variable aléatoire F idique la fréquece de succès lors des épreuves. Théorème : Soit ue variable aléatoire suivat la loi B (, p) et F Pour tout réel 0;1, o a : lim P F I 1 où u état le réel tel que P u Z u 1. p(1 p) p(1 p) I p u ; p u où Z suit la loi N (0 ;1). L itervalle I est u itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil 1. ROC Démostratio : D après le théorème de Moivre-Laplace, sous certaies coditios ( 30, p 5 et (1 p) 5), p o peut approcher la loi de la variable aléatoire par la loi N (0 ;1). p(1 p) Aisi, la loi de cette variable aléatoire associée à la fréquece de succès F peut être approchée par la loi ormale N (0 ;1). p O pose Z. p(1 p) Propriété D après le théorème de Moivre-Laplace, lim Pu Z u Pu Z u où 0;1 Or Doc p u Z u u u p(1 p) u p(1 p) p u p(1 p) p u p(1 p) p u p(1 p) p(1 p) p(1 p) p u p u p(1 p) p(1 p) lim P p u p u 1 Comme u 0,05 1,96, u itervalle de fluctuatio asymptotique de F au seuil de 95 % est : p(1 p) p(1 p) I p 1,96 ; p 1,96 Z N. Statistiques - Estimatio 3 Termiale S

4 2. Prise de décisio O cosidère ue populatio das laquelle o suppose que la proportio d u certai caractère est p. O observe f obs comme fréquece de ce caractère das u échatillo de taille. Soit l hypothèse : «la proportio de ce caractère das la populatio est p». Si les coditios d approximatio 30, p 5 et (1 p) 5 sot remplies, alors u itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % est la règle de décisio est la suivate : - Si fobs - Si fobs p(1 p) p(1 p) I p 1,96 ; p 1,96 et I, alors o accepte l hypothèse que la proportio est p. I, alors o rejette cette hypothèse au seuil cosidéré. Exercice : Statistiques - Estimatio 4 Termiale S

5 III Estimatio par itervalles de cofiace 1. Présetatio Pour des raisos de coût et de faisabilité, o e peut étudier u certai caractère sur l esemble d ue populatio. La proportio p de ce caractère est doc icoue. O cherche alors à estimer p à partir d u échatillo de taille. O calcule alors la fréquece f obs des idividus de cet échatillo ayat ce caractère. Estimatio : O estime la proportio p par u itervalle de cofiace détermié à partir de f obs et de selo u iveau de cofiace1. Remarque : La fréquece f obs calculée varie d u échatillo à l autre du fait de la fluctuatio d échatilloage. Il est doc écessaire d apprécier l icertitude e fourissat ue estimatio par u itervalle. Statistiques - Estimatio 5 Termiale S

6 2. Itervalle de cofiace O suppose que les 3 coditios sot remplies : 30, p 5 et (1 p) 5. La variable F pred ses valeurs das l itervalle icoue p est telle que Démostratio : p 1 1 PF p F 0, ; p d où le résultat : la proportio Défiitio : O observe ue fréquece f obs sur u échatillo de taille. O appelle itervalle de cofiace de p au 1 1 iveau de cofiace de 95 % l itervalle fobs ; fobs. Remarques : O utilise cet itervalle dès que : 30, f 5 et (1 f ) 5 Cet itervalle de cofiace a pour amplitude itervalle de logueur a, o doit avoir : 2. Aisi si l o souhaite ecadrer p das u 2 4 a a 2 (1 ) (1 ) O admet que l itervalle 1,96 f f f ; f 1,96 f f est aussi u itervalle de cofiace p au iveau de cofiace de 95 %. Exercice : Deux cadidats se présetet à ue électio. U sodage portat sur u échatillo de persoes doe 53 % des suffrages au cadidat A. 1. Détermier, au iveau de cofiace 95 %, u itervalle de cofiace de la proportio p des votats pour le cadidat A. 2. Au seuil de cofiace 95 %, le cadidat A peut-il croire e sa victoire? 3. Quelle devrait être la taille miimale de l échatillo afi que l amplitude de l itervalle de cofiace de cette proportio soit iférieure à 4 %. 1. O a = et f = 0,53 doc f 636 et (1 f) 564 et les coditios sot remplies. U itervalle de cofiace de p au iveau de cofiace de 95 % est 1 1 0,53 ;0,53 0,501;0, ,501 > 0,5 doc au seuil de 95 %, le cadidat A peut croire e sa victoire. 3. O doit avoir 2 0, , La taille de l échatillo doit être au miimum de Statistiques - Estimatio 6 Termiale S