Cours d Electrostatique-Electrocinétique

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1 Uversté Joseph Fourer DEUG SMa Cours d Electrostatque-Electrocétque Joatha Ferrera Aée uverstare -

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3 Pla du cours I- Le champ électrostatque. Notos géérales a. Phéomèes électrostatques b. Structure de la matère c. Les dvers états de la matère d. Matéraux solats et coducteurs. Force et champ électrostatques a. La force de Coulomb b. Champ électrostatque créé par ue charge poctuelle c. Champ créé par u esemble de charges d. Proprétés de symétre du champ électrostatque II- Los fodametales de l électrostatque. Flux du champ électrostatque a. Noto d agle solde b. Le Théorème de Gauss c. Exemples d applcato d. Lges de champ. Crculato du champ électrostatque a. Noto de potetel électrostatque b. Potetel créé par ue charge poctuelle c. Potetel créé par u esemble de charges 3. Le dpôle électrostatque a. Potetel créé par deux charges électrques b. Champ électrostatque créé à grade dstace c. Complémet : développemets multpolares III- Coducteurs e équlbre. Coducteurs solés a. Noto d équlbre électrostatque b. Quelques proprétés des coducteurs e équlbre c. Capacté d u coducteur solé d. Superposto d états d équlbre. Systèmes de coducteurs e équlbre a. Théorème des élémets correspodats b. Phéomèe d fluece électrostatque c. Coeffcets d fluece électrostatque 3. Le codesateur a. Codesato de l électrcté b. Capactés de quelques codesateurs smples c. Assocato de codesateurs IV- Eerge et actos électrostatques. Eerge potetelle électrostatque a. Eerge électrostatque d ue charge poctuelle b. Eerge électrostatque d u esemble de charges poctuelles c. Eerge électrostatque de coducteurs e équlbre d. Quelques exemples. Actos électrostatques sur u coducteur e équlbre a. Notos de mécaque du solde b. Calcul drect des actos électrostatques sur u coducteur chargé c. Calcul des actos électrostatques à partr de l éerge d. Exemple du codesateur e. Exemple du dpôle

4 V- Electrocétque. Courat et résstace électrques a. Le courat électrque b. La desté de courat électrque c. Lo d Ohm mcroscopque d. Lo d Ohm macroscopque. Elémets d u crcut électrque a. Noto de crcut électrque b. Pussace électrque dspoble c. Nécessté d ue force électromotrce 3. Los régssat les crcuts électrques a. Lo d Ohm gééralsée b. Los de coservato (los de Krchhoff) c. Résoluto pratque des équatos e électrocétque d. Le théorème de Thève

5 Formulare d'électrostatque Champ électrostatque Créé par ue partcule: q EM ( )= 4 r u πε Créé par charges poctuelles: q EM ( )= u = 4πε r Créé par ue dstrbuto cotue: EM ( ) = dem ( ) avec dem ( ) = Dstrbutos de charges : léque : dq = λ dl surfacque : dq = σ d S 3 volumque : dq = ρ d V Potetel électrostatque Créé par ue charge poctuelle q VM ( )= + V 4πε r Créé par charges poctuelles q VM ( )= + V = 4πε r Créé par ue dstrbuto cotue dq VM ( )= + V πε r 4 πε 4 Coducteurs e équlbre Champ à proxmté (Th de Coulomb) : E = σ ε Capacté d'u coducteur solé : C = Q où Q = V σ d S Surface Coeffcets d fluece ( coducteurs) : Q = C V avec C = C j j j= Capacté d u codesateur C = Q U = V V U où j j dq u r Proprétés fodametales Flux (Th. de Gauss) : Φ= E ds Qt = Crculato : B S ε V( A) V( B) = E dl E = grad V A ( ) Eerge potetelle électrostatque D'ue charge poctuelle : W = e qv D'u coducteur solé : We = QV = CV D'u système de coducteurs : W e = QV = Force électrostatque Sur ue partcule chargée (Coulomb) F = qe Sur u coducteur e équlbre F = d F = σ E d S = Pd S ext S S S Expresso va l'éerge (codesateur) F = W U grad e = grad C Dpôle électrostatque Momet dpolare électrque : p= qd Potetel à grade dstace : p uρ VM ( )= 4πε ρ Eerge électrostatque We = p Eext Force et momet électrostatques F = grad p E et Γ p E ( ext ) = ext

6 Electrocétque Desté de courat j = αqαvα Courat dq I = = j d S dt α Secto Lo d 'Ohm locale j = γ E ( γcoductvté, η= / γ résstvté) Résstace d'u coducteur R V = V I = B A B A S E dl γ E d S Force électromotrce (fém) etre A et B B B F e = dl = Em dl q A A Bla de pussace d'ue porto de crcut A R B e I U = VA VB = RI e P = UI, pussace dspoble etre A et B P=RI J, pussace dsspée par effet Joule P=eI, pussace foure (géérateur s e > ) ou cosommée (récepteur s e < ) Los de coservato Lo des œuds I etrats Lo des malles = I sortats ( RI k k ek)= k =

7 Chaptre I- Le champ électrostatque I.- Notos géérales I..- Phéomèes électrostatques : oto de charge électrque Qucoque a déjà vécu l expérece désagréable d ue «décharge électrque» lors d u cotact avec u corps étrager coaît u effet électrostatque. Ue autre mafestato de l électrcté statque cosste e l attracto de petts corps légers (bouts de paper par ex.) avec des corps frottés (règles, pour cotuer sur le même ex.). Ce type de phéomèe est même rapporté par Thalès de Mlet, aux aletours de 6 av. J.-C. : l avat observé l attracto de brdlles de palle par de l ambre jaue frotté Le mot électrcté, qu désge l esemble de ces mafestatos, provet de «elektro», qu sgfe ambre e grec. L étude des phéomèes électrques s est cotuée jusqu au XIXème sècle, où s est élaborée la théore ufée des phéomèes électrques et magétques, appelée électromagétsme. C est à cette époque que le mot «statque» est apparu pour désger les phéomèes fasat l objet de ce cours. Nous verros plus lo, lors du cours sur le champ magétque, pourquo l e est as. O se cotetera pour l stat de predre l habtude de parler de phéomèes électrostatques. Pour les mettre e évdece et pour apporter ue terprétato cohérete, regardos deux expéreces smples. Expérece : Preos ue boule (fate de sureau ou de polystyrèe, par ex.) et suspedos-la par u fl. Esute o approche ue tge, de verre ou d ambre, après l avor frottée préalablemet : les deux tges attret la boule. Par cotre, s l o approche smultaémet les deux tges côte à côte, re e se passe. Verre Verre ou Ambre Ambre Tout se passe doc comme s chacue des tges état, depus so frottemet, porteuse d électrcté, mas que celle-c pouvat se mafester e deux états cotrares (car capables d auler les effets de l autre). O a as qualfé arbtraremet de postve l électrcté coteue das le verre (frotté avec de la soe), et de égatve celle portée par l ambre (dem, ou ecore du plastque frotté avec de la fourrure).

8 Expérece : Preos mateat deux boules A et B, préalablemet mses e cotact avec ue tge frottée (elles sot «électrsées»), et suspedos-les côte à côte. S elles ot été mses e cotact toutes deux avec ue tge de même matérau, elles se repousset Par cotre, s elles ot été mses e cotact avec des tges de matérau dfféret (ex. A avec du verre frotté et B avec de l ambre frotté), alors elles s attret. S, du fat de leur attracto, elles veet à se toucher, o observe qu elles perdet alors toute électrsato : elles preet ue posto d équlbre vs-à-vs du leur pods. Cette expérece est assez rche. O peut tout d abord e coclure que deux corps portat ue électrcté de même ature (sot postve, sot égatve) se repousset, tads qu ls s attret s ls portet des électrctés cotrares. Mas cette expérece ous motre égalemet que cette électrcté est capable, o seulemet d agr à dstace (répulso ou attracto), mas égalemet de se déplacer d u corps à u autre. Mas alors qu est-ce qu se déplace? S l o susped les boules à ue balace, même très précse, ous sommes capables de détecter la modre varato de pods etre le début de l expérece et le momet où elles sot électrsées. Pourtat, le fat qu l sot écessare qu l y at u cotact etre deux matéraux pour que l électrcté pusse passer de l u à l autre, semble dquer que cette électrcté est portée par de la matère. O explque l esemble des effets d électrcté statque par l exstece, au se de la matère, de partcules portat ue charge électrque q, postve ou égatve, et lbres de se déplacer. C est Robert A. Mllka qu a vérfé pour la premère fos e 99, grâce à ue expérece mettat e jeu des gouttes d hule, le fat que toute charge électrque Q est quatfée, c est à dre qu elle exste seulemet sous forme de multples d ue charge élémetare e, dvsble (Q=Ne). La partcule portat cette charge élémetare est appelée l électro. Das le système d utés teratoal, l uté de la charge électrque est le Coulomb (symbole C). Des phéomèes d électrcté statque mettet e jeu des aocoulombs (C) vore des mcrocoulombs (µc), tads que l o peut recotrer des charges de l ordre du Coulomb e électrocétque.

9 3 L esemble des expéreces de la physque (et e partculer celles décrtes plus haut) e peuvet s explquer que s la charge électrque élémetare est u varat : o e peut la détrure l egedrer, et cec est valable quel que sot le référetel. C est ce que l o décrt par la oto d varace relatvste de la charge électrque. I..- Structure de la matère La vso modere de la matère décrt celle-c comme état costtuée d atomes. Ceux-c sot eux-mêmes costtués d u oyau (découvert e 9 par Rutherford) autour duquel «gravte» ue sorte de uage composé d électros et portat l essetel de la masse. Ces électros se repousset les us les autres mas restet cofés autour du oyau car celu-c possède ue charge électrque postve qu les attre. O attrbue cette charge postve à des partcules appelées protos. Cepedat, le oyau atomque e pourrat rester stable s l état composé que de protos : ceux-c ot e effet tedace à se repousser mutuellemet. Il exste doc ue autre sorte de partcules, les eutros (découverts e 93 par Chadwck) portat ue charge électrque ulle. Les partcules costtuat le oyau atomque sot appelées les ucléos. Das le tableau de Medeleev tout élémet chmque X est représeté par la otato A Z X. Le ombre A est appelé le ombre de masse : c est le ombre total de ucléos (protos et eutros). Le ombre Z est appelé le ombre atomque et est le ombre total de protos costtuat le oyau. La charge électrque ucléare totale est doc Q=+Ze, le cortège électroque possédat alors ue charge totale Q=-Ze, assurat as la eutralté électrque d u atome. Exemple : le Carboe 6 C possède ucléos, dot 6 protos (doc 6 électros) et 6 eutros, le Cuvre 63 9 Cu 63 ucléos dot 9 protos (doc 9 électros) et 34 eutros. L atome de cuvre exste auss sous la forme 64 9 Cu, c est à dre avec 35 eutros au leu de 34 : c est ce qu o appelle u sotope. Valeurs des charges électrques et des masses des costtuats atomques das le Système Iteratoal : Electro : -9-3 q e = -e = -.6 C m e = 9.9 kg Proto : -9-7 q p = +e =.6 C m p =.67 kg Neutro : q = C -7 m =.674 kg Comme o peut le remarquer, même ue charge de l ordre du Coulomb (ce qu est éorme), correspodat à evro 8 électros, e produt qu u accrossemet de pods de l ordre de kg : c est effectvemet mperceptble. S les électros sot be des partcules quas-poctuelles, les eutros et les protos e revache ot ue talle o ulle (féreure à 5 m). Il s avère qu ls sot eux-mêmes costtués de quarks, qu sot aujourd hu, avec les électros, les vraes brques élémetares de la matère. Les protos as que les eutros formet as ue classe de partcules appelée les baryos. A l heure actuelle, l uvers (ou plutôt l esemble recou de ses mafestatos) est descrptble à l ade de quatre forces fodametales :

10 4 ) La force ucléare fable, resposable de la cohéso des baryos (quarks-quarks); ) La force ucléare forte, resposable de la cohéso du oyau (protos-eutros) ; 3) La force électromagétque, resposable de la cohéso de l atome (électros-ucléos) ; 4) La force gravtatoelle, resposable de la structure à grade échelle de l uvers (cohéso des corps astrophysques, cohéso des systèmes plaétares, des galaxes, des amas galactques, moteur de la cosmologe). I..3- Les dvers états de la matère La cohéso de la matère est due à l teracto etre ses costtuats, teracto mettat e jeu ue éerge de laso. Or, chaque costtuat (atome ou molécule) possède lu-même de l éerge cétque lée à sa température (éerge d agtato thermque). La rgdté d u état partculer de la matère déped doc de l mportace relatve de ces deux éerges (cétque et laso). S l o pred u gaz costtué d atomes (ou de molécules) eutres, alors l teracto etre deux costtuats est assez fable : elle e se produt que lorsqu ls sot assez proches pour qu l y at répulso etre les électros pérphérques. As, chaque atome est relatvemet lbre de se déplacer das l espace, au gré des «collsos» avec d autres atomes. S l o refrodt ce gaz, certaes lasos électrostatques qu étaet églgeables auparavat peuvet dever opérates et l o obtet alors u lqude. S l o chauffe ce gaz, de l éerge est foure à ses costtuats, les molécules se brset et, s l o cotue à chauffer, o peut même lbérer u ou pluseurs électros pérphérques des atomes, produsat as u gaz d os ou plasma. Das u solde au cotrare, les lasos etre chaque atome sot beaucoup plus fortes et les atomes e bouget quasmet pas, format u crstal. La force de cette cohéso déped beaucoup d u solde à l autre. As, elle est très pussate s les atomes mettet e commu leur cortège électroque (laso covalete comme pour le damat et laso métallque, comme pour le Cuvre) et beaucoup plus fable s les cortèges électroques de chaque atome restet touchés (laso oque, comme pour le sel). Ef, la matère molle (caoutchouc, plastques, textles, mousses) possède ue hérarche du pot de vue de sa cohéso : elle est costtuée d élémets «soldes» (macromolécules lées par des lasos covaletes) teragssat etre eux par des lasos oques (électrostatques). I..4- Matéraux solats et matéraux coducteurs U matérau est as costtué d u grad ombre de charges électrques, mas celles-c sot toutes compesées (même ombre d électros et de protos). Aux températures usuelles, la matère est électrquemet eutre. E coséquece, lorsque des effets d électrcté statque se produset, cela sgfe qu l y a eu u déplacemet de charges, d u matérau vers u autre : c est ce que l o appelle l électrsato d u corps. Ce sot ces charges, e excès ou e maque, e tout cas o compesées, qu sot resposables des effets électrques sur ce corps (ex : baguette frottée).

11 5 U matérau est dt coducteur parfat s, lorsqu l devet électrsé, les porteurs de charge o compesés peuvet se déplacer lbremet das tout le volume occupé par le matérau. Ce sera u solat (ou délectrque) parfat s les porteurs de charge o compesés e peuvet se déplacer lbremet et restet localsés à l edrot où ls ot été déposés. U matérau quelcoque se stue évdemmet quelque part etre ces deux états extrêmes. Cette proprété de coducto de l électrcté sera abordée plus lo, das le Chaptre sur l électrocétque. Refasos ue expérece d électrcté statque : preos ue baguette métallque par la ma et frottos-la avec u chffo. Cela e marchera pas, la baguette e sera pas électrsée. Pourquo? Etat ous-mêmes d assez bos coducteurs, les charges électrques arrachées au chffo et trasférées à la baguette sot esute trasférées sur ous et l o e verra plus d effet électrque partculer au veau de la baguette. Pour que cette expérece marche, l est écessare d soler électrquemet la baguette (e la teat avec u matérau délectrque). I.- Force et champ électrostatques I..- La force de Coulomb Charles Auguste de Coulomb (736-86) a effectué ue sére de mesures (à l ade d ue balace de torso) qu lu ot perms de détermer avec u certa degré de précso les proprétés de la force électrostatque exercée par ue charge poctuelle q sur ue autre charge poctuelle q : ) La force est radale, c est à dre drgée selo la drote qu jot les deux charges ; ) Elle est proportoelle au produt des charges : attractve s elles sot de sge opposé, répulsve so ; 3) Ef, elle vare comme l verse du carré de la dstace etre les deux charges. L expresso mathématque modere de la force de Coulomb et tradusat les proprétés cdessus est la suvate qq F / = u 4 πε r 9 où la costate multplcatve vaut K = 9 SI (N m C ). La costateε joue u 4πε rôle partculer et est appelée la permttvté électrque du vde (utés : Farad/m). q u r=m M q

12 6 Remarques : ) Cette expresso est valable que pour des charges mmobles (approxmato de l électrostatque) et das le vde. Cette lo est la base même de toute l électrostatque. ) Cette force obét au prcpe d Acto et de Réacto de la mécaque classque. 3) A part la valeur umérque de la costate K, cette lo a exactemet les mêmes proprétés vectorelles que la force de la gravtato (lo de Newto). Il e sera doc pas étoat de trouver des smltudes etre ces deux los. Ordres de gradeur Quel est le rapport etre la force d attracto gravtatoelle et la répulso coulombee etre deux électros? Fe e 4 = 4 Fg 4πε Gme La force électrostatque apparaît doc domate vs-à-vs de l attracto gravtatoelle. Cela mplque doc que tous les corps célestes sot exactemet électrquemet eutres. Quelle est la force de répulso coulombee etre deux charges de C stuées à km? Fe g = 3 kg 4 3 πε ( ) C est ue force équvalete au pods exercé par ue toe! I..- Champ électrostatque créé par ue charge poctuelle Sot ue charge q stuée e u pot O de l espace, exerçat ue force électrostatque sur ue autre charge q stuée e u pot M. L expresso de cette force est doée par la lo de Coulomb c-dessus. Mas comme pour l attracto gravtatoelle, o peut la mettre sous ue forme plus téressate, F/ = qe( M) où q E = u 4 πε r L térêt de cette séparato vet du fat que l o dstgue claremet ce qu déped uquemet de la partcule qu subt la force (c, c est sa charge q, pour la gravté c est sa masse), de ce qu e déped que d ue source extéreure, c le vecteur E ( M). M O u r=om q Défto : Ue partcule de charge q stuée e O crée e tout pot M de l espace dstct de O u champ vectorel q EM ( )= r u πε 4 appelé champ électrostatque. L uté est le Volt/mètre (symbole V/m).

13 7 Cette faço de procéder découle de (ou mplque) ue ouvelle vso de l espace : les partcules chargées se déplacet mateat das u espace où exste (se trouve déf) u champ vectorel. Elles subsset alors ue force e focto de la valeur du champ au leu où elle se trouve. I..3- Champ créé par u esemble de charges O cosdère mateat partcules de charges électrques q, stuées e des pots P : quel est le champ électrostatque créé par cet esemble de charges e u pot M? P (q ) P (q ) P 4 (q 4 ) E (M) M E 3 (M) E 4 (M) E (M) P 3 (q 3 ) La répose est absolumet pas évdete car l o pourrat peser que la présece du champ créé par des partcules voses modfe celu créé par ue partcule. E fat, l e est re et l expérece motre que la force totale sube par ue charge q stuée e M est smplemet la superposto des forces élémetares, q q q F = F = u = q u = qe( M) = = 4πε r = 4πε r où r = PM, PM = PMu et l e résulte doc q EM ( )= u = πε r 4 est doc le champ électrostatque créé par u esemble dscret de charges. Cette proprété de superposto des effets électrostatques est u fat d expérece et éocé comme le prcpe de superposto (comme tout prcpe, l est pas démotré). E pratque, cette expresso est raremet utlsable pusque ous sommes la plupart du temps ameés à cosdérer des matéraux comportat u ombre ggatesque de partcules. C est smplemet dû au fat que l o e cosdère que des échelles spatales tres grades devat les dstaces ter-partculares, perdat as toute possblté de dstguer ue partcule de l autre. Il est das ce cas plus hable d utlser des dstrbutos cotues de charges. Sot P u pot quelcoque d u coducteur et dq(p) la charge élémetare coteue e ce pot. Le champ électrostatque total créé e u pot M par cette dstrbuto de charges est E( M) = de( M) avec de( M) = dstrbuto dq u πε r 4

14 8 Mathématquemet, tout se passe doc comme ue charge poctuelle dq état stuée e u pot P de la dstrbuto, créat au pot M u champ électrostatque de( M), avec r= PM et PM = PM u. Il s agt évdemmet d ue approxmato, permettat de remplacer ue somme presque fe par ue tégrale. O déft ρ = dq comme état la desté volumque de charges (utés : Cm 3 ). Le champ dυ électrostatque créé par ue telle dstrbuto est doc E ( M )= ρ r ud υ πε Volume4 Lorsque l ue des dmesos de la dstrbuto de charges est beaucoup plus pette que les deux autres (ex : u pla ou ue sphère creuse), o peut gééralemet fare ue tégrato sur cette dmeso. O déft alors la desté surfacque de charges σ = dq (utés : Cm ), ds produsat u champ total σ E( M)= r uds πε Surface 4 Ef, s deux des dmesos de la dstrbuto sot églgeables devat la trosème (ex : u fl), o peut défr ue desté léque de charges λ = dq (utés : Cm ), assocé au dl champ E ( M )= λ r udl Logueur πε L utlsato de l ue ou l autre de ces tros expressos déped de la géométre de la dstrbuto de charges cosdérée. L expresso géérale à reter est celle qu est ecadrée. 4 I..4- Proprétés de symétre du champ électrostatque Prcpe de Cure : «Lorsque certaes causes produset certas effets, les élémets de symétre des causes dovet se retrouver das les effets produts.» Du fat que le champ sot u effet créé par ue dstrbuto de charges, l cotet des formatos sur les causes qu lu ot doé orge. As, s l o coaît les proprétés de symétre d ue dstrbuto de charges, o pourra coaître celles du champ électrostatque

15 9 assocé. Ces proprétés sot fodametales car elles permettet de smplfer cosdérablemet le calcul du champ électrostatque. Das ue espace homogèe et sotrope, s l o fat subr ue trasformato géométrque à u système physque (ex : esemble de partcules, dstrbuto de charges) susceptble de créer certas effets (forces, champs), alors ces effets subsset les mêmes trasformatos. S u système physque S possède u certa degré de symétre, o pourra alors dédure les effets créés par ce système e u pot à partr des effets e u autre pot. Trasformatos géométrques d u vecteur Lors d ue trasformato géométrque d u vecteur quelcoque, celu-c est trasformé e so symétrque. E E E E E E Trasformato d u vecteur par symétre par rapport à u pla Exemple d u pla d atsymétre Sot A ( M ) le vecteur obteu par symétre par rapport à u pla S à partr de AM ( ). D après la fgure c-dessus, o vot que. A ( M ) = A( M) s AM ( ) est egedré par les mêmes vecteurs de base que S ;. A ( M ) = A( M) s AM ( ) est perpedculare à S. Ces deux règles de trasformato vot ous permettre de détermer des règles de symétre utles. Règles de symétre Ivarace par traslato : s S est varat das toute traslato parallèle à u axe Oz, les effets e dépedet pas de z. Symétre axale : s S est varat das toute rotato θ autour d u axe Oz, alors ses effets exprmés e coordoées cyldrques ( ρθ,,z) e dépedet pas de θ. Symétre cyldrque : s S est varat par traslato le log de l axe Oz et rotato autour de ce même axe, alors ses effets exprmés e coordoées cyldrques ( ρθ,,z) e dépedet que de la dstace à l axe ρ. Symétre sphérque : s S est varat das toute rotato autour d u pot fxe O, alors ses effets exprmés e coordoées sphérques ( r, θϕ, ) e dépedet que de la dstace au cetre r. Pla de symétre : s S admet u pla de symétre, alors e tout pot de ce pla, le champ électrostatque est coteu das ce pla. Pla d atsymétre : s, par symétre par rapport à u pla, S est trasformé e S, alors e tout pot de ce pla, le champ électrostatque lu est perpedculare.

16 Remarque mportate Nous verros e magétostatque qu l covet de fare la dstcto etre vras vecteurs (ou vecteurs axaux) et pseudo-vecteurs (ou vecteurs polares), ces derers état défs à partr du produt vectorel de deux vecteurs vras. As, le champ électrostatque est u vra vecteur tads que le champ magétque est u pseudo-vecteur. Tout ce qu a été dt c-dessus est valable que pour les vras vecteurs. Quelques Complémets : ) Pourquo u vra vecteur Ax (, x, x3 ) est dépedat de la varable x s le système S e déped pas? Sot u pot Mx (, x, x3 ) dot les coordoées sot exprmées das u système quelcoque. Sot u pot M ( x+ dx, x, x3 ) lu état fmet proche. O a alors A A M A x dx x x A x x x x dx ( ) = ( +,, 3) (,, 3) + A AM ( ) = A ( M ) = A ( x + dx, x, x ) A ( x, x, x ) + x dx 3 3 A3 A3( M ) = A3( x+ dx, x, x3) A x x x x dx 3(,, 3)+ c est à dre, de faço plus compacte AM ( ) = A AM ( ) + x dx. S le système physque S reste varat lors d u chagemet de M e M, alors (Prcpe de Cure) A ( M ) = A( M). O a doc A = e tout pot M, ce qu sgfe que Ax (, x) x e déped pas de x 3. O peut suvre le même rasoemet pour chacue des autres coordoées. ) Pourquo u vra vecteur appartet écessaremet à u pla de symétre? Quel que sot M de S, sot M so symétrque par rapport à. Ce pla état u pla de symétre, cela sgfe que f(m)=f(m ) pour toute focto de M. Cec est e partculer vra pour chaque composate A( M) = A( M ) du vecteur AM ( ). O a doc A ( M ) = A( M) ce qu mplque que AM ( ) est egedré par les mêmes vecteurs de base que. 3) Pourquo u vra vecteur est écessaremet perpedculare à u pla d atsymétre? Ce pla état u pla d atsymétre, o a f(m )=-f(m) pour toute focto de M. Cec état vra pour chaque composate du vecteur AM ( ), o a doc A( M ) = A( M), ce qu mplque que AM ( ) est perpedculare à.

17 Chaptre II- Los fodametales de l électrostatque II.- Flux du champ électrostatque II..- Noto d agle solde La oto d agle solde est l exteso aturelle das l espace de l agle déf das u pla. Par exemple, le côe de lumère costrut par l esemble des rayos lumeux ssus d ue lampe torche est etèremet décrt par la doée de deux gradeurs : la drecto (ue drote) et l agle maxmal d ouverture des rayos autour de cette drote. O appelle cette drote la géératrce du côe et l agle e questo, l agle au sommet. dω O α r ds O Défto : l agle solde élémetare dω, délmté par u côe coupat u élémet de surface élémetare ds stuée à ue dstace r de so sommet O vaut ds dω= r Cet agle solde est toujours postf et dépedat de la dstace r. So uté est le «stérada» (symbole sr). E coordoées sphérques, la surface élémetare à r costat vaut ds = r sθdθdϕ. L agle solde élémetare s écrt alors dω=sθdθdϕ. As, l agle solde délmté par u côe de révoluto, d agle au sommet α vaut π α ( ) Ω= dω= dϕ sθdθ = π cosα Le dem-espace, egedré avec α=π/ (radas), correspod doc à u agle solde de π stéradas, tads que l espace eter correspod à u agle solde de 4π (α=π). O ds ds θ D ue faço géérale, le côe (ou le fasceau lumeux de l exemple c-dessus) peut tercepter ue surface quelcoque, dot la ormale fat u agle θ avec la géératrce de vecteur drecteur u. L agle solde élémetare est alors déf par ds u ds u ds cosθ ds dω= = = = r r r r où ds est la surface effectve (qu, par exemple, serat «vue» par u observateur stué e O).

18 II..- Théorème de Gauss O cosdère mateat ue charge poctuelle q stuée e u pot O de l espace. Le flux du champ électrostatque E, créé par cette charge, à travers ue surface élémetare quelcoque oretée est par défto dφ= E ds = E ds Par coveto, o orete le vecteur utare, ormal à la surface ds, vers l extéreur, c est à dre das la drecto qu s éloge de la charge q. As, pour q>, le champ E est drgé das le même ses que et l o obtet u flux postf. A partr de l expresso du champ créé par ue charge poctuelle, o obtet alors q u q d Φ = ds = dω 4πε r 4πε c est à dre u flux dépedat drectemet de l agle solde sous lequel est vue la surface et o de sa dstace r (otez be que dω>, q pouvat être postf ou égatf). Ce résultat est ue smple coséquece de la décrossace du champ électrostatque e / r : o aurat le même gere de résultat avec le champ gravtatoel. 3 dω q ds ds ds 3 ds dω Que se passe-t-l lorsqu o s téresse au flux total à travers ue surface (quelcoque) fermée? Preos le cas llustré das la fgure c-dessous. O a ue charge q stuée à l téreur de la surface S (efermat as u volume V), surface oretée (e chaque pot de S, le vecteur est drgé vers l extéreur). Pour le rayo, o a smplemet q d Φ = dω 4 πε mas le rayo traverse pluseurs fos la surface, avec des drectos dfféretes. O aura alors ue cotrbuto au flux

19 3 dφ q u = ds 4πε r u u 3 + ds ds + 3 r r q = dω dω + dω 4πε q = d Ω 4πε ( ) 3 Ce résultat est gééral pusque, la charge se trouvat à l téreur de S, u rayo das ue drecto doée va toujours traverser S u ombre mpar de fos. E tégrat alors sur toutes les drectos (c est à dre sur les 4π stéradas), o obtet u flux total Φ= E ds q = S ε E vertu du prcpe de superposto, ce résultat se gééralse asémet à u esemble quelcoque de charges. Théorème de Gauss : le flux du champ électrque à travers ue surface fermée oretée quelcoque est égal, das le vde, à / ε fos la charge électrque coteue à l téreur de cette surface Φ= E ds Qt = S Remarques :. Du pot de vue physque, le théorème de Gauss fourt le le etre le flux du champ électrostatque et les sources du champ, à savor les charges électrques.. La démostrato précédete utlse la lo de Coulomb qu, elle, est u fat expérmetal et est pas démotrée. Iversemet, o peut retrouver la lo de Coulomb à partr du théorème de Gauss : c est ce qu est fat das l électromagétsme, das lequel le théorème de Gauss costtue e fat ue lo fodametale, o démotrable (l ue des quatre équatos de Maxwell). ε II..3- Exemples d applcatos Le théorème de Gauss fourt ue méthode très utle pour calculer le champ E lorsque celuc possède des proprétés de symétre partculères. Celles-c dovet e effet permettre de calculer faclemet le flux Φ. Comme le théorème de Gauss est valable pour ue surface quelcoque, l ous sufft de trouver ue surface S adaptée, c est à dre respectat les proprétés de symétre du champ, appelée «surface de Gauss». Champ électrostatque créé par u pla f uformémet chargé O cosdère u pla f portat ue charge électrque σ uforme par uté de surface. Pour utlser Gauss, l ous faut d abord coaître les proprétés de symétre du champ E. Tous les plas perpedculares au pla f sot des plas de symétre de celu-c : E appartet aux plas de symétre, l est doc perpedculare à. S ce pla est egedré par

20 4 ( ) alors E E x y z k les vecteurs, j = z(,, ). Par alleurs, l varace par traslato selo x et y ous fourt E = Ez() z k. Le pla est lu-même pla de symétre, doc E(z) est mpare. z S S Etat doé ces proprétés de symétre, la surface de Gauss la plus adaptée est u cyldre de sectos perpedculares au pla et stuées à des hauteurs symétrques. Φ= E ds = E ds + E ds + E ds S S S SL = EzS () E( zs ) + = ES Qt σs = = σds = ε ε ε S Il s esut que le champ électrostatque créé par u pla f uformémet chargé vaut E = σ ε Remarques :. Le champ e vare pas avec la dstace, ce qu est aturel car le pla est supposé f.. O peut ecore applquer ce résultat pour ue surface quelcoque chargée uformémet. Il sufft alors d terpréter E comme le champ au vosage mmédat de la surface : suffsammet près, celle-c peut être assmlée à u pla f. Champ créé par ue boule uformémet chargée O cosdère ue boule (sphère plee) de cetre O et rayo R, chargée avec ue dstrbuto volumque de charges ρ. Cette dstrbuto possédat ue symétre sphérque, le champ électrostatque qu e résulte aura la même symétre, doc E = E() r u r. La surface de Gauss adaptée est smplemet ue sphère de rayo r et le théorème de Gauss ous fourt Φ= E ds= E() r ds= E() r 4π r S Qt = = ε ε V S ρ dv Lorsque r<r, o obtet u champ

21 5 4 3 πr ρ E = 3 ρ = r 4πr ε 3ε Lorsque r>r, la sphère de Gauss eferme u volume V supéreur à celu de la boule. Mas la dstrbuto de charges est o ulle que jusqu e r=r, ce qu fourt doc u champ 4 3 π R ρ 3 R Q E = 3 ρ = = 4πr ε 3ε r 4πε r où Q est la charge totale portée par la boule. O vet as de démotrer, sur u cas smple, qu ue dstrbuto de charges à symétre sphérque produt à l extéreur le même champ qu ue charge poctuelle égale, stuée e O. II..4- Lges de champ Le cocept de lges de champ (égalemet appelées lges de force) est très utle pour se fare ue représetato spatale d u champ de vecteurs. Défto : Ue lge de champ d u champ de vecteur quelcoque est ue courbe C défe das l espace telle qu e chacu de ses pots le vecteur y sot taget. E E C E Cosdéros u déplacemet élémetare dl le log d ue lge de champ électrostatque C. Le fat que le champ E sot e tout pot de C parallèle à dl s écrt : E dl = E coordoées cartésees, dl = dx + dy j + dz k et les lges de champ sot calculées e résolvat dx dy dz = = Ex Ey Ez E coordoées cyldrques dl = dρ uρ + ρdθ uθ + dz u z et l équato des lges de champ devet dρ ρdθ dz = = E E E coordoées sphérques, dl = dr ur + rdθ uθ + rs θdϕ uϕ et o a dr rdθ rsθdϕ = = E E E r ρ θ θ E z ϕ

22 6 Sot u cotour fermé C tel que le champ électrostatque y sot taget, c est à dre tel que E dl où dl est u vecteur élémetare de C. E chaque pot de C passe doc ue lge de champ partculère. L esemble de toutes les lges de champ desse alors ue surface das l espace, ue sorte de tube. Par costructo, le flux du champ électrostatque est ul à travers la surface latérale du tube, de telle sorte que le flux est coservé : ce qu retre à la base du tube ressort de l autre coté. O appelle u tel «rassemblemet» de lges de champ u tube de flux. II.- Crculato du champ électrostatque II..- Noto de potetel électrostatque O va démotrer c-dessous qu l exste u scalare V, appelé potetel électrostatque, déft das tout l espace et qu permet de recostrure le champ électrostatque E. Outre ue commodté de calcul (l est plus facle d addtoer deux scalares que deux vecteurs), l exstece d u tel scalare tradut des proprétés mportates du champ électrostatque. Mas tout d abord, est-l possble d obter u champ de vecteurs à partr d u champ scalare? Preos u scalare V(M) déf e tout pot M de l espace (o dt u champ scalare). Ue varato dv de ce champ lorsqu o passe d u pot M à u pot M fmet proche est alors four par la dfféretelle totale 3 V dv( M)= x dx = = grad V dom où le vecteur grad V, est le gradet du champ scalare V et costtue u champ de vecteurs déf partout. Ses composates das u système de coordoées doé sot obteues très smplemet. Par exemple, e coordoées cartésees, o a dom = dx + dy j + dz k et V dv x dx V y dy V z dz d où l expresso suvate pour le gradet e coordoées cartésees V x V grad V = y V z E fasat de même e coordoées cyldrques et sphérques o trouve respectvemet V V ρ r V grad V = V et grad V = ρ θ r θ V V z rsθ ϕ

23 7 U déplacemet dom = MM le log d ue courbe (ou surface) défe par V=Costate correspod à dv=, ce qu sgfe que grad V est u vecteur qu est perpedculare e tout pot à cette courbe (ou surface). Par alleurs, plus les composates du gradet sot élevées et plus l y a ue varato rapde de V. Or, c est be ce qu semble se produre, par exemple, au vosage d ue charge électrque q: les lges de champ électrostatque sot des drotes qu coverget (q<) ou dverget (q>) toutes vers la charge. Il est doc tetat d assocer le champ E (vecteur) au gradet d ue focto scalare V. E fat, depus Newto (687) et sa lo de gravtato uverselle, de ombreux physces et mathématces s étaet peché sur les proprétés de cette force radale e /r. E partculer Lagrage avat as trodut e 777 ue focto scalare appelée potetel, plus «fodametale» pusque la force e dérve. C est Posso qu a trodut le potetel électrostatque e 83, par aaloge avec la lo de Newto. Défto : le potetel électrostatque V est relé au champ électrostatque E par E = grad V Remarques :. Le sge mos est ue coveto lée à celle adoptée pour l éerge électrostatque (cf chaptre IV).. La coséquece de cette défto du potetel est dv( M)= E dom pour u déplacemet ftésmal quelcoque. 3. Les lges de champ électrostatque sot perpedculares aux courbes équpotetelles. Défto : la crculato du champ électrostatque le log d ue courbe allat de A vers B est B E dl = dv = V( A) V( B) A B A E V V < V Remarques :. Cette crculato est coservatve : elle e déped pas du chem suv.. La crculato du champ électrostatque sur ue courbe fermée (o retoure e A) est ulle. O verra plus lo que cec est d ue grade mportace e électrocétque. 3. D après la relato c-dessus, le log d ue lge de champ, c est à dre pour E dl > o a V(A)>V(B). Les lges de champ électrostatques vot das le ses des potetels décrossats.

24 8 II..- Potetel créé par ue charge poctuelle Nous veos de vor l terprétato géométrque du gradet d ue focto scalare et le le avec la oto de crculato. Mas ous avos pas ecore prouvé que le champ électrostatque pouvat effectvemet se dédure d u potetel V! z θ r M M E(M) MM =dom O y ϕ x Cosdéros doc ue charge poctuelle q stuée e u pot O. E u pot M de l espace, cette charge crée u champ électrostatque E. Le potetel électrostatque est alors doé par q u dr q dr dv( M)= E dom = = 4πε r 4πε r c est à dre, après tégrato suvat r, q VM ( )= + V 4πε r Remarques :. La costate d tégrato est e gééral chose ulle (le potetel s aule à l f). L uté du potetel est le Volt. E utés du système teratoal (SI) le Volt vaut 3 [ V]= [ E L]= M L T I 3. S l o veut se former ue représetato du potetel, o peut remarquer qu l mesure le degré d électrfcato d u coducteur (vor Chaptre III). Il y a e fat ue aaloge formelle etre d u coté, potetel V et température T d u corps, et de l autre, etre charge Q et chaleur déposée das ce corps. II..3- Potetel créé par u esemble de charges Cosdéros mateat u esemble de charges poctuelles q dstrbuées das tout l espace. E vertu du prcpe de superposto, le champ électrostatque total E = E = est la somme vectorelle des champs E créés par chaque charge q. O peut doc défr u potetel électrostatque total V( M) = VM ( ) tel que E = grad V sot ecore vérfé. E utlsat l expresso du potetel créé par ue charge uque, o obtet = q VM ( )= + πε r = 4 V où r est la dstace etre la charge q et le pot M.

25 9 Lorsqu o s téresse à des échelles spatales qu sot très grades par rapport aux dstaces etre les charges q, o peut fare u passage à la lmte cotue et remplacer la somme dscrète par ue tégrale q ( P) dq( P) où P est u pot courat autour duquel se trouve ue charge «élémetare» dq. Le potetel électrostatque créé par ue dstrbuto de charges cotue est alors dq VM ( )= + V πε r 4 où r=pm est la dstace etre le pot M et u pot P quelcoque de la dstrbuto de charges. Remarques :. Pour des dstrbutos de charges léque λ, surfacque σ et volumque ρ, o obtet respectvemet λ dl V( M) = + V 4πε r σ ds V( M) = + V 4πε r ρ dv V( M) = + V 4πε r. Noter que l o e peut pas évaluer le potetel ( le champ d alleurs) sur ue partcule e utlsat l expresso dscrète (c est à dre pour r = ). Par cotre, o peut le fare avec ue dstrbuto cotue : c est dû au fat que dq/r coverge lorsque r ted vers zéro. II.3- Le dpôle électrostatque II.3.- Potetel électrostatque créé par deux charges électrques Il exste das la ature des systèmes globalemet électrquemet eutres mas dot le cetre de gravté des charges égatves est pas cofodu avec celu des charges postves. U tel système peut souvet être décrt (o dt modélsé) e premère approxmato par deux charges électrques poctuelles, +q et q stuées à ue dstace d=a l ue de l autre. O appelle u tel système de charges u dpôle électrostatque. Défto : o appelle momet dpolare électrque la gradeur p= qd = aq z (-q) (+q) -a a p x p H + Cl - C + O - O - p= C + O - H + O - p Les molécules telles que HCL,CO,H,CO costtuet des exemples de dpôles électrostatques. H +

26 Coaître l effet (la force) électrostatque que ces deux charges créet autour d elles écesste de calculer le champ électrostatque. Habtuellemet, ous auros applqué le prcpe de superposto et calculé as la somme vectorelle des deux champs. L avatage du potetel est de permettre d arrver au même résultat sas se fatguer. M y ρ ρ ρ+ θ -a a x p D après la secto précédete, le potetel créé e u pot M repéré par ses coordoées polares ( ρθ, ) est smplemet VM ( ) = V ( M) + V ( M) + q q q q = = 4πε ρ ρ 4πε + ρ ρ+ ρρ où l o a chos arbtraremet V= à l f. Or, ρ± = ρm a. Lorsqu o e s téresse qu à l acto électrostatque à grade dstace, c est à dre à des dstaces ρ>>a, o peut fare u développemet lmté de V. Au premer ordre e a /ρ o obtet ( ) / + / a ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ θ ± = ± ± m m acos c est à dre ρ ρ+ acos θ et ρρ + ρ. Le potetel créé à grade dstace par u dpôle électrostatque vaut doc aq cosθ p uρ VM ( ) = = 4πε ρ 4πε ρ II.3.- Champ créé à grade dstace Pour calculer le champ électrostatque, l ous sufft mateat d utlser E = grad V e coordoées cyldrques. O obtet as

27 V pcosθ Eρ = = 3 ρ 4πε ρ V p E = sθ E = = θ 3 ρ θ 4πε ρ V Ez = = z Par costructo, le dpôle possède ue symétre de révoluto autour de l axe qu le porte (c l axe Ox) : le potetel as que le champ électrostatques possèdet doc égalemet cette symétre. Cela va ous ader à vsualser les lges de champ as que les équpotetelles. Par exemple, le pla médateur déf par θ = π/ (x=) est ue surface équpotetelle V=. Les équpotetelles sot des surfaces (das l espace ; das le pla ce sot des courbes) défes par V = Costate = V, c est à dre ρ = pcosθ πε V 4 L équato des lges de champ est obteue e résolvat dρ ρdθ dρ cosθ dθ = = Eρ Eθ ρ sθ ρ = K s θ où K est ue costate d tégrato dot la valeur (arbtrare) défe la lge de champ. II.3.3- Complémet : développemets multpolares Lorsqu o a affare à ue dstrbuto de charges électrques et qu o e s téresse qu au champ créé à ue dstace grade devat les dmesos de cette dstrbuto, o peut égalemet utlser ue méthode de calcul approché du potetel. Le degré de valdté de ce calcul déped drectemet de l ordre du développemet lmté utlsé : plus o va à u ordre élevé et melleure sera otre approxmato. Par exemple, l expresso du dpôle c-dessus est valable que pour ρ>>a, mas lorsque ρ ted vers a, l faut predre e compte les ordres supéreurs, les termes dts multpolares. Preos le cas d ue dstrbuto de charges poctuelles q stuées e r = OP. Le potetel créé e u pot M repéré par le vecteur posto r = OM (coordoées sphérques) est Vr ()= = πε 4 q r r E supposat r >> r, o peut motrer faclemet que ce potetel admet le développemet suvat q qr cosθ qr Vr () + + ( 3cos θ ) πε r r r =

28 où θ est l agle etre r et r. Fare u développemet multpolare d ue dstrbuto quelcoque de charges cosste à arrêter le développemet lmté à u ordre doé, dépedat du degré de précso souhaté. Das le développemet c-dessus, le premer terme (ordre zéro ou moopolare) correspod à assmler la dstrbuto à ue charge totale placée e O. Cela peut être suffsat vu de très lo, s cette charge totale est o ulle. Das le cas cotrare (ou s l o souhate plus de précso) o obtet le deuxème terme qu peut se mettre sous la forme p ur πε r 4 où le vecteur p= q r est le momet dpolare assocé à la dstrbuto de charges, gééralsato à pluseurs charges du momet dpolare précédet. Lorsqu o souhate ecore plus de précso (ou s p = ) l faut predre e compte les termes d ordre supéreur. Le terme suvat est la cotrbuto quadrupolare, décrvat la faço dot les charges postves et égatves se dstrbuet autour de leurs barycetres respectfs.

29 3 Chaptre III- Coducteurs e équlbre III.- Coducteurs solés III..- Noto d équlbre électrostatque Jusqu à préset, ous ous sommes téressés uquemet aux charges électrques et à leurs effets. Que se passe-t-l pour u corps coducteur das lequel les charges sot lbres de se déplacer? Preos ue baguette e plastque et frottos-la. O sat qu elle devet électrsée parce qu elle devet alors capable d attrer de petts bouts de paper. S o la met e cotact avec ue autre baguette, alors cette deuxème devet égalemet électrsée, c est à dre attet u certa degré d électrsato. Au momet du cotact des deux baguettes, des charges électrques passet de l ue à l autre, modfat as le ombre de charges coteues das chacue des baguettes, jusqu à ce qu u équlbre sot attet. Commet défr u tel équlbre? Défto : l équlbre électrostatque d u coducteur est attet lorsque aucue charge électrque e se déplace plus à l téreur du coducteur. Du pot de vue de chaque charge élémetare, cela sgfe que le champ électrostatque total auquel elle est soumse est ul. Comme le champ dérve d u potetel, cela mplque qu u coducteur à l équlbre électrostatque est équpotetel. Remarques :. S le coducteur est chargé, le champ électrostatque total est (prcpe de superposto) la somme du champ extéreur et du champ créé par la dstrbuto de charges coteues das le coducteur. Cela sgfe que les charges s arraget (se déplacet) de telle sorte que le champ qu elles créet compese exactemet, e tout pot du coducteur, le champ extéreur.. Nous voyos apparaître c ue aaloge possble avec la thermodyamque : Equlbre électrostatque Equlbre thermodyamque Potetel électrostatque Température Charges électrques Chaleur E effet, à l équlbre thermodyamque, deux corps de températures talemet dfféretes ms e cotact, acquèret la même température fale e échageat de la chaleur (du plus chaud vers le plus frod). Das ce cours, tous les coducteurs serot cosdérés à l équlbre électrostatque.

30 4 III..- Quelques proprétés des coducteurs e équlbre (a) Lges de champ Nous avos vu que, à l téreur d u coducteur (chargé ou o) le champ électrostatque total est ul. Mas ce est pas forcémet le cas à l extéreur, e partculer s le coducteur est chargé. Pusqu u coducteur à l équlbre est équpotetel, cela etraîe alors que, sa surface état au même potetel, le champ électrostatque est ormal à la surface d u coducteur. Par alleurs, aucue lge de champ e peut «rever» vers le coducteur. E effet, la crculato du champ le log de cette lge mpose V( A) V( B) = E dl S les pots A et B apparteet au même coducteur, alors la crculato dot être ulle, ce qu est mpossble le log d ue lge de champ (où, par défto E est parallèle à dl ). B A Impossble E= V=Cst (b) Dstrbuto des charges S u coducteur est chargé, où se trouvet les charges o compesées? Supposos qu elles soet dstrbuées avec ue dstrbuto volumque ρ. Preos u volume quelcoque V stué à l téreur d u coducteur à l équlbre électrostatque. E vertu du théorème de Gauss, o a E ds= ρ dv = ε S pusque le champ E est ul partout. Cela sgfe que ρ = (autat de charges + que de charges -) et doc, qu à l équlbre, aucue charge o compesée e peut se trouver das le volume occupé par le coducteur. Toutes les charges o compesées se trouvet doc écessaremet localsées à la surface du coducteur. Ce résultat peut se compredre par l effet de répulso que celles-c exercet les ues sur les autres. A l équlbre, les charges tedet doc à se trouver auss élogées les ues des autres qu l est possble de le fare. V (c) Théorème de Coulomb E u pot M fmet vos de la surface S d u coducteur, le champ électrostatque E est ormal à S. Cosdéros ue pette surface S ext parallèle à la surface S du coducteur. O peut esute costrure ue surface fermée e y adjogat ue surface retrat à l téreur du coducteur S t as qu ue surface latérale S L. E applquat le théorème de Gauss sur cette surface fermée, o obtet

31 5 Φ = E ds = E ds+ E ds+ E ds = E ds = ES Σ Qt σs = = σds = ε ε ε SL Sext St Sext S M M ext où S M est la surface dessée par le tube de flux passat par S ext, doc SM = Sext (o peut chosr ces surfaces auss pettes que l o veut). Théorème : le champ électrostatque à proxmté mmédate d u coducteur de desté surfacque σ vaut E = σ ε où est u vecteur utare ormal au coducteur et drgé vers l extéreur. Lorsque le champ au vosage d u coducteur dépasse ue certae lmte, ue étcelle est observée : le mleu etourat le coducteur devet alors coducteur. Ce champ maxmal, de l ordre de 3 Méga V/m das l ar, est appelé champ dsruptf. Il correspod à l osato des partcules du mleu (molécules das le cas de l ar). (d) Presso électrostatque Soet deux pots M et M fmet proches de la surface d u coducteur de desté surfacque σ, M stué à l extéreur tads que M est stué à l téreur. Cosdéros mateat ue surface élémetare ds stuée etre ces deux pots. Sot E le champ créé e M par les charges stuées sur ds et E le champ créé e M par toutes les autres charges stuées à la surface du coducteur. Soet E et E les champs respectfs e M. E E Extéreur Itéreur ds M M E E O a alors les tros proprétés suvates. E( M) = E( M ) car M et M sot fmet proches.. E = E car le champ électrostatque à l téreur du coducteur est ul. 3. E( M) = E( M ) car E est symétrque par rapport à ds, cosdérée comme u pla pusque M et M peuvet être fmet rapprochés. Grâce à ces tros proprétés, o e dédut que E = E, c est à dre que la cotrbuto de l esemble du coducteur est égale à celle de la charge stuée à proxmté mmédate. Comme

32 R R 6 σ le champ total vaut E = E + E = (théorème de Coulomb), o e dédut que le champ ε créé par l esemble du coducteur (à l excluso des charges stuées e ds) au vosage du pot M est E = σ. ε Autremet dt, la force électrostatque df sube par cette charge dq = σ ds de la part de l esemble des autres charges du coducteur vaut σ σ df = dq E = σ ds = ds ε ε Quel que sot le sge de σ, la force est ormale et toujours drgée vers l extéreur du coducteur. Cette proprété est caractérstque d ue presso, force par uté de surface. As, la presso électrostatque sube e tout pot d u coducteur vaut P = σ ε Cette presso est e gééral trop fable pour arracher les charges de la surface du coducteur. Mas elle peut déformer ou déplacer celu-c, les charges commuquat au solde la force électrostatque qu elles subsset. (e) Pouvor des potes Cette expresso décrt le fat expérmetal que, à proxmté d ue pote, le champ électrostatque est toujours très tese. E vertu du théorème de Coulomb, cela sgfe que la desté surfacque de charges est, au vosage d ue pote, très élevée. σ σ O peut aborder ce phéomèe avec deux sphères chargées de rayos dfférets, relées par u fl coducteur et placées lo l ue de l autre. O peut doc cosdérer que chaque sphère est solée mas qu elle partage le même potetel V. Cela mplque alors σds σ ds V= V = 4πε R 4πε R S S σr σ R = ε ε σ R = σ R Doc, plus l ue des sphères aura u rayo pett et plus sa desté de charges sera élevée. Tout se passe comme s les charges «préféraet» les zoes à forte courbure. A pror, cela semble e cotradcto avec l dée aïve que les charges o compesées ot tedace à se repousser mutuellemet. Le résultat c-dessus ous motre l effet d ue pote (accumulato

33 7 de charges), mas e ous offre aucue explcato de ce phéomèe. Qu est ce qu, physquemet, a perms ue «accumulato» de charges sur ue pote? Preos ue sphère chargée placée seule das l espace. Se repoussat mutuellemet, les charges vot produre ue dstrbuto surfacque uforme. Mateat, s l o fat u creux (zoe cocave), les charges stuées au fod du creux «voet» o seulemet le champ électrostatque créé par les charges mmédatemet voses, mas égalemet celu créé par les charges stuées sur les bords du creux. As, au fod du creux, le champ total est plus fort et repousse les charges vers l extéreur, vdat as le creux de charges. Fasos mateat ue pote (zoe covexe). Là, le phéomèe cotrare se produt. Quad ue charge se retrouve, sous l effet répulsf des autres charges, repoussée vers la pote, le champ qu elle-même crée devet mos mportat (pusqu elle est élogée des autres charges) vs-à-vs des charges restées sur la parte uforme de la sphère. Cela permet as à ue autre charge de predre sa place : cette ouvelle charge se déplace doc et se retrouve elle-même repoussée sur la pote. Le coducteur attet l équlbre électrostatque lorsque le champ répulsf créé par toutes les charges accumulées au veau de la pote compese celu créé par le charges restées sur le «corps» du coducteur. III..3- Capacté d u coducteur solé Nous avos vu qu l état possble de fare ue aaloge etre la température d u corps et le potetel électrostatque. Or, pour ue quatté de chaleur doée, la température d u corps déped e fat de sa capacté calorfque. Il e va de même pour le potetel électrostatque : l déped de la capacté du corps à «absorber» les charges électrques qu l reçot. O peut doc suvre cette aaloge et défr ue ouvelle oto, la capacté électrostatque : Capacté électrostatque Capacté calorfque Sot u coducteur à l équlbre électrostatque solé das l espace, chargé avec ue dstrbuto surfacque σ et porté au potetel V. Celu-c s écrt σ( P) ds VM ( ) = πε PM 4 surface e tout pot M du coducteur, le pot P état u pot quelcoque de sa surface. Par alleurs, la charge électrque totale portée par ce coducteur s écrt σ Q= ds Surface S o multple la desté surfacque par u coeffcet costat a, o obtet ue ouvelle charge totale Q =aq et u ouveau potetel V =av. O a as u ouvel état d équlbre électrostatque, parfatemet déf. O vot doc que, quo qu o fasse, tout état d équlbre d u coducteur solé (caractérsé par Q et V) est tel que le rapport Q/V reste costat (cela résulte de la léarté de Q et V e focto de σ). Défto : La capacté électrostatque d u coducteur à l équlbre est défe par C = Q V où Q est la charge électrque totale du coducteur porté au potetel V. L uté de la capacté est le Farad (symbole F).