Espérance et variance d une variable aléatoire. x Total p(x=x) 1/4 2/4 1/4 1

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1 Espérace et variace d ue variable aléatoire Variable aléatoire Ue variable aléatoire X est ue correspodace etre u esemble de valeurs xi (e.g., le ombre de garços das des familles de efats) et la probabilité pi d apparitio de chaque valeur. Par exemple, das ue famille de efats, 4 cas sot possibles : avoir filles, 1 fille puis u garço, u garço puis ue fille, ou garços. Par coséquet, 3 valeurs sot possibles : x = 0, 1 ou garços. Das cet exemple, la variable aléatoire se représete par la distributio théorique suivate : x 0 1 Total p(x=x) 1/4 /4 1/4 1 Défiitio de l espérace mathématique L espérace E 1 d ue variable aléatoire est ue moyee théorique des résultats attedus pour cette variable aléatoire (c est simplemet ue multiplicatio des valeurs possibles de la variable par leur probabilité). Par exemple, si la variable aléatoire représete le ombre de garços à aître das des familles compreat efats, l espérace est de 1 garço car (0 1/4) + (1 /4) + ( 1/4) = 1. L'espérace compte sur la loi des grads ombres pour se vérifier : Sur 400 familles, il devrait y avoir approximativemet u total de 400 garços sur 800 efats, car 00 familles aurot 1 garços et 100 familles garços, doc 1 garço e moyee par famille. L espérace a été mathématisée à l origie pour les situatios de jeux, afi de comparer la mise et l espérace de gai. Exemple : Imagios u jeu qui rapporte 1 fois sur 00 la somme de L espérace des gais est de 5 par partie, si la mise est ulle (i.e, 1000 gagés ue fois pour 00 parties fait ue moyee de 5 par partie). Par coséquet, si la mise est iférieure à 5, il est fortemet coseillé de jouer à l ifii, car le jeu rapportera plus au log terme au joueur que ce qu il e mise. Si la mise est égale à 5, l espérace E est ituitivemet : E = ( 5) (1000 5) 00 = 0. La variables aléatoire pour les gais du joueur peut se représeter comme suit : Joueur x -Mise 1000-Mise p(x=x) 199/00 1/00 1 E proviet de Expected, sigifiat attedu 1

2 Noter qu'il 'y a pas qu'ue seule variable aléatoire possible à associer à des évéemets. L'exemple précédet permettait de comptabiliser les gais du joueur, mais il est égalemet possible de comptabiliser les gais du casio comme suit : Casio x Mise Mise-1000 p(x=x) 199/00 1/00 Pour que l orgaisateur du jeu soit bééficiaire, il faut au cotraire qu il fixe la mise à plus de 5, vérifiat E > 0, soit : (mise) ( 199 / 00) + ( mise) ( 1 / 00) > 0 mise > 5 Variables aléatoires simples ou composées Il est possible de former ue variable aléatoire X à partir d ue trasformatio liéaire de X de la faço suivate : X = ax + b. Il est possible de s itéresser égalemet à Xs, ue variable aléatoire représetat la somme des résultats du tirage de variables idépedates de type X (Xs = X1, X,, X). Das ce derier cas, par exemple, Xs pourrait représeter le ombre de garços pour ue famille de efats, qu o obtiet e additioat les Xi (le ombre de garços lors de la aissace de l efat uméro i). Efi, o peut s itéresser au cas d ue variable aléatoire composée de deux variables aléatoires différetes (Z = X + Y). Propriétés des espéraces Notatio: E[X] ou µ X ou µ (1) µ (X = x i )x i x i () E(µ) = µ (3) Si X = ax + b, E(X ) = E(aX + b) = E(aX) + E(b) = ae(x) + b (4) E(Xs) = E(ΣXi) = ΣE(Xi) = E(X) = µ Cela permet de calculer l espérace d ue variable biomiale Xs e se basat sur l espérace de chacu des essais de Beroulli X. sur laquelle la variable biomiale repose. Puisque µ = p pour u essai de Beroulli - démotré e cours-, E(Xs) = p). E revache, e preat la moyee de variables X, o obtiet : E Xs = 1 E(Xs) = 1 µ = µ (5) Si Z = X + Y, E(Z) = E(X) + E(Y) car E(Z) = (Σzi)/ = Σ(xi + yi)/ = Σ(xi)/ +Σ(yi)/

3 Propriétés des variaces Notatio: VAR[X] ou σ X ou σ (1) σ X = E[(X E(X)) ] = E[(X µ) ] (x i ) ou σ X = E(X ) [E(X)] () Si X = ax + b, ' σ X ' (x i ' ) = a (x i ) = a σ X doc, σ X ' = a σ X p i (ax i + b (ax X + b)) (a(x i )) (3) σ X +Y = (X + Y (E(X) + E(Y )) = ((X E(X)) + (Y E(Y )) ((X E(X)) + (Y E(Y )) + (X E(X)) + (Y E(Y ) = (X E(X)) (Y E(Y )) = (X E(X)) + (Y E(Y ) + + = σ X + σ Y + COV XY = σ X + σ Y, si les deux variables sot idépedates (la covariace est ulle). Cela permet de calculer la variace d ue variable biomiale Xs e se basat sur la variace de chacu des essais de Beroulli X, idépedats, sur laquelle la variable biomiale repose. Puisque σ = p(1-p) -démotré e cours- pour u essai de Beroulli, la variace de l additio de essais de Beroulli idépedats doe σ =p(1-p). De maière plus géérale : σ Xs = σ X e cas d idépedace. E revache, e preat la moyee de variables X, o obtiet e utilisat la propriété ci-dessus : σ Xs = 1 σ Xs = 1 σ X = σ X Cela permet de calculer la variace d ue proportio. Si Xs représete le ombre de garços das ue famille de efats, la proportio de garços est : σ Xs = 1 σ Xs = 1 p(1 p) = p(1 p) 3

4 (4) σ X Y = σ X + σ X COV XY (calculs idetiques au cas précédet) = σ X + σ Y, si les deux variables sot idépedates (la covariace est ulle). Cela permet de motrer que les variaces s additioet au déomiateur, lorsqu o étudie la différece de deux moyees par u t de studet ou u z. Exercices 1) L'objectif de cet exercice est d'associer ue variable aléatoire à des évéemets probabilistes. O orgaise ue compétitio etre A et B. Le premier à gager deux parties remporte le prix. Sachat que A a deux fois plus de chaces de remporter ue partie, quelle est l'espérace du ombre de parties qui vot être jouées (sous-etedu, avat que l'u des deux joueurs gage)? ) E utilisat les propriétés démotrées ci-dessus, démotrer que la moyee d'u score cetré réduit z est égale à 0. 3) Démotrer que la variace d'u score cetré réduit z est égale à 1. 4) Faites-vous la différece etre σ (X) = 4σ (X) et σ (X 1 + X ) = σ (X)? Les solutios sot doées sur la page suivate. 4

5 Solutios 1) L'esemble des évéemets possibles est {AA, ABA, ABB, BB, BAB, BAA}. L'éocé idique égalemet que p(a) = / 3et p(b) = 1 / 3 (o peut trouver ces probabilités par l ituitio ou e résolvat : p(a) = p(b) et p(a) + p(b) = 1). X état la variable aléatoire représetat le ombre de parties jouées, o a : p(x = 0) = 0, p(x = 1) = 0 p(x = ) = p(aa) + p(bb) = = 5 9 p(x = 3) = p(aba) + p(abb) + p(bab) + p(baa) = = 4 9 Par coséquet : x 3 p(x=x) 5/9 4/9 Calcul de l'espérace du ombre de parties qui vot être jouées : E(X) = ()(5 / 9) + (3)(4 / 9) = / 9 =.44 ) E(Z) = E x µ σ = E x σ µ σ = (o utilise : E(aX + b) = ae(x) + b) 1 σ E ( x) µ σ = µ σ µ σ = 0 3) VAR(Z) = VAR X µ σ = 1 1 VAR(X µ) = σ σ VAR(X) = 1 σ σ = 1 (o utilise : VAR(aX + b) = a VAR(X)) 4) Oui, car lorsque les tirages sot idépedats, o a : σ (X 1 + X ) = σ (X 1 ) + σ (X ) = σ (X), alors que σ (X) est simplemet la variace d'u seul tirage dot o multiplie la valeur par. 5

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