FONCTION TRANSMETTRE L ÉNERGIE Aspect Physique DYNAMIQUE

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1 FONCTION TRNSMETTRE L ÉNERIE Eercces ème STM I- DÉFINITION : La dnamque est le chaptre de la mécanque qu étude les mouvements des soldes en relaton avec les forces qu les produsent. L étude et la compréhenson de ce chaptre suppose l acquston des connassances abordées en statque et en cnématque ( er STM. Sur un plan hstorque, les découvertes des prncpes de la dnamque sont plus récentes que celles relatves à la statque. allée (564-64, le premer, effectua une approche scentfque des phénomènes. Ses travau, détermnants, sont à l orgne des résultats de Hugens et Newton. Newton fut le premer à formuler correctement le prncpe fondamental de la dnamque et la lo de la gravtaton unverselle. Par la sute, Euler, d lembert, Lagrange, Laplace, Ponsot, Corols, Ensten et d autres apportèrent une contrbuton mportante au développement de cette scence essentelle. En ce qu concerne la technologe et ses applcatons, la dnamque est plus récente et se développe avec l ère ndustrelle et la constructon des machnes travallant au vtesses élevées avec ou sans chocs. Remarque : Il a tros méthodes possbles pour trater un même problème de dnamque, chacune aant ses avantages et ses nconvénents : - par applcaton drecte de la lo de Newton ou du prncpe fondamental ; - par utlsaton des théorèmes relatfs au traval et à l énerge (vor le chaptre énergétque ; - à partr des théorèmes portant sur les quanttés de mouvement et le moment cnétque. II- RPPELS : Il est ndspensable de matrser la cnématque et la statque afn d acquérr ce nouvel outl de la mécanque..- cton mécanque (Statque: Torseur statque eprmant le PFS Torseur statque eprmé au même pont n n Fet R ss / Fet ss / n ss / n n / Fet M M / ( / / Fet ss Fet M,, z,, z.- Cnématque : Équatons du mouvement de translaton : Équatons du mouvement de rotaton autour d un ae fe : rectlgne unforme unforme ccélératon : a m s ( / ccélératon : rad s '' ( / Vtesse : V constante ( m / s Vtesse : ' constante ( rad / s Déplacement : V t ( m Déplacement : t ( rad rectlgne unformément varé ccélératon : a constante ( m / s unformément varé ccélératon : '' ' constante ( rad / s Vtesse : V a t V ( m / s Vtesse : ' '' t ' ( rad / s Déplacement : Formule utle : ( Déplacement : a t V t m V V a( Formule utle : '' t ' t ( rad ' ( Remarque : Relaton vectorelle entre les vtesses d un solde en mouvement plan (Translaton + Rotaton: V V 94

2 FONCTION TRNSMETTRE L ÉNERIE Eercces ème STM.- Relaton vectorelle entre les accélératons (tangentelle et normale d un solde : Quelle que sot la nature des mouvements, on a : a a a / R t n ; avec et en cas de : Translaton : ccélératon tangentelle ccélératon normale dv at at V an an n n dt R Rotaton : ccélératon tangentelle ccélératon normale at at an an n d a at R ' R n ' R n R n dt III- PRINCIPE FONDMENTL DE L :.- Cas d un solde en translaton rectlgne : a- Énoncé : L énoncé proposé s applque ndfféremment à un pont matérel de masse m ou à un solde en translaton rectlgne de masse m et de centre de gravté. er lo : La premère lo correspond au prncpe fondamental de la statque (vor parte statque. Elle s applque auss ben à un solde en équlbre qu à un solde évoluant à vtesse constante. ème lo : L accélératon a du centre de gravté d un solde en translaton rectlgne par rapport à un repère (ou solde absolu est proportonnelle à la résultante F et des forces ou actons etéreures agssant sur le solde et a même drecton et même sens que celle-c. Le PFD se tradut par les relatons : m a avec F et F et M F et : résultante des forces etéreure en (N m : Masse du solde en (kg a : ccélératon du solde en (m/s Remarque : Le PFD n est applcable que dans un repère alléen (e : le mouvement d une tête d usnage sera étudé sur un repère alléen, lé au bât de la machne. La résultante F et m a dot passer par snon l a mouvement plan. - ma : est appelée force d nerte, cette force est opposée à l accélératon a. (Prncpe de d lembert ème lo : En statque et en dnamque, les actons mutuelles entre deu soldes sont égales et opposées. 95

3 FONCTION TRNSMETTRE L ÉNERIE Eercces ème STM b- Repère absolu ou galléen : Pour que l applcaton du prncpe fondamental sot correcte, l accélératon a dot être une accélératon absolue. Par commodté, l accélératon a est généralement repérée ou détermnée par rapport à un repère lé à la terre prse comme référence absolue. Cependant, la terre n est pas un référentel absolu ou galléen rgoureu mas approché. Pour la plupart des problèmes de mécanque usuels, cette appromaton sufft et amène des erreurs néglgeables. Pour un certan nombre de problèmes fasant ntervenr des avons, fusées, mssles et autres, l est parfos nécessare de fare ntervenr les accélératons engendrées par le mouvement de la terre. Eemple : pour un corps en chute lbre, la rotaton de la terre engendre une légère accélératon drgée vers l est (accélératon de Corols créant une perturbaton du mouvement de chute lbre. Le solde ne tombe pas eactement vertcalement mas subt une légère dévaton vers l est égale à : h d cos g c- Temps relatf et temps absolu : Dans l équaton de Newton, le temps est consdéré comme une grandeur absolue, s écoulant neorablement d arrère en avant au rthme réguler ndqué par les pendules et les calendrers. D après Ensten, le temps n est pas absolu mas relatf et dépend de la vtesse propre de l observateur et de la poston fnale de celu-c. Cependant, la noton de temps relatf n est vrament sensble que pour des partcules se déplaçant à de très hautes vtesses (proches de celle de la lumère : km/s. Eemple : Une Sphère de,5 kg en chute lbre, résstance de l ar néglgé. Calculer la force etéreure. (vec g = m/s F et P vecteur pods a g accélératon de la pesanteur PFD : F et m a ce qu donne P m a En projecton sur l ae vertcale z P m g donc : P,5 5N.- Cas d un solde en rotaton par rapport un ae fe : a- Cas où le centre de gravté est stué sur l ae de rotaton : Le solde de masse m tourne à la vtesse angulare ω autour de l ae de rotaton (, z, le centre de gravté est sur cet ae et a est l accélératon angulare du mouvement. et sont les actons eercées par la lason pvot sur le solde. J est le moment d nerte du solde par rapport à l ae (, z qu est auss l ae de rotaton. Le PFD se tradut par les relatons : F et F F... M F : Moment résultante par rapport à l ae et des z et M Fet M F M F... M F M F J J '' J z : Moment d nerte du solde par rapport à l ae (kg.m z et et z z avec : ω =, rad/s (vtesse rotaton terre g = m/s h : hauteur de chute en m θ : lattude nord ou sud F (N.m '' : ccélératon angulare du solde autour de l ae (rad/s z 96

4 FONCTION TRNSMETTRE L ÉNERIE Eercces.- Quelques moments d nerte usuelle : Le moment d nerte est un scalare qu dépend de la géométre, de la masse et de l ae de rotaton autour duquel se fat le mouvement. Clndre plen Clndre creu Sphère ème STM Masse Moment d nerte J J J z 4 m R L m ( R r L m R m R m( R r J J mr 5 mr m L m( R r m L J J mr mr ml m( R r m L Jz Jz m R Paralléléppède Cône plen Tore Masse m ab L Moment d nerte m J ( a b m J ( a L m Jz ( b L Eemple : Dans un laboratore d essa, pour tester les accélératons d un véhcule, on utlse un dspostf avec tambour. Les roues motrces sont posées en sur la parte haute du tambour (raon R = m, longueur,5 m, moment d nerte J varable ou ajustable lbre de tourner m m J r m m J r h 5 m m Jz r h 5 autour de son ae de rotaton(,z. La masse totale du véhcule en charge est de kg. La charge supportée par les roues avant, au repos, est de dan. Quelle dot être la valeur du moment d nerte J pour que le tambour se comporte comme le véhcule au démarrage ou au frenage? (accélératon tangentelle tambour R h a t = accélératon du véhculea m r R m J R r 4 (4 97

5 FONCTION TRNSMETTRE L ÉNERIE Eercces ème STM Rep : a- Isolons le véhcule : Supposons que l automoble démarre sur une route horzontale avec une accélératon a. P est le pods du véhcule, et les actons / sur les roues. ( ma est la force d nerte au démarrage. PFD : Fet P / m a Proj/ : ma b- Isolons le tambour : Fet P O O M Fet M P M O M O M M M J ' Proj/z : M R J at a or ' donc : J m R R R m R ω Remarque : S, au cours de l étude, un élève repère ce qu lu semble être une erreur ou fautes de frappe, l le sgnale au professeur de la matère!!! 98

6 h FONCTION TRNSMETTRE L ÉNERIE Eercces Eercce tpe : Mouvement de translaton rectlgne unformément varé Un homme de 8 kg se trouve debout dans une plate-forme en phase de démarrage (accélératon Homme/sol = m/s. Chaque ped de cet homme repose sur une balance. La plate-forme accélère jusqu à la vtesse V / 6 m / s, Homme sol pus contnue en vtesse unforme (régme établ, pus décélère. On prendra g = m/s pour l accélératon de la pesanteur.. On se place lors de la phase d accélératon. On cherche à connaître les valeurs ndquées par les balances et avec les hpothèses suvantes : les soldes sont ndéformables et géométrquement parfats ; les lasons dans l ascenseur sont sans jeu n frottements. - Isolez l homme et fates le blan des actons mécanques. - pplquez le prncpe fondamental de la dnamque (applquer les théorèmes de la résultante et du moment dnamque en écrvant les moments au pont. - Détermnez la valeur des actons alance / Homme et alance / ème STM, c est-à-dre comben Homme les balances et ndquent-elles?. On se place lors de la phase d accélératon. 4- Détermnez l énerge que la plate-forme donne à l homme pour pouvor le monter pendant 5 secondes en régme établ. 5- Détermnez le traval que la plate-forme donne à l homme pour pouvor le monter sur sur l = m en régme établ. 6- Qu en concluez-vous par rapport au questons 4 et 5? 7- Détermnez l énerge cnétque emmagasnée par l homme seul lorsque la plate-forme est en régme établ. Eercce tpe : Mouvement de rotaton unformément varé Un touret à meuler sert notamment pour l affûtage des outls à l ateler. La meule est entraînée par un motoréducteur fournssant le couple nécessare pour le fonctonnement. Une lason pvot entre motoréducteur et meule gude l ae de la meule (fgure c-dessus. Le sstème étudé est un touret à meuler en phase de rotaton unformément accélérée (accélératon notée θ meule/bât = rad/s pus en régme établ à ω meule/bât = 56 rad/s. On cherche à détermner le couple du moteur sur la meule et les actons dans la lason pvot. Les données sont : masse volumque ρ = 78 kg/m ; raon = R = 4 mm ; épasseur e = 5 mm ; acton de l outl sur la meule F / 5 outl meule N, suvant l ae ( ; a = 5 mm ; b = mm On fat les hpothèses suvantes : les soldes sont ndéformables et géométrquement parfats ; les lasons sont sans jeu n frottement. 99 C a b et D

7 FONCTION TRNSMETTRE L ÉNERIE. On se place dans la phase d accélératon. - Écrvez le vecteur moment résultant de l acton / Eercces ème STM F outl meule sur le bras de lever R de manère graphque (échelle cm = Nm. On le nommera M F( outl / meule /. - Isolez la meule et fates le blan des actons mécanques pour détermner le moment dnamque. - pplquez le théorème du moment dnamque en projecton sur l ae ( à la meule solée. 4- Résolvez l équaton en détermnant la valeur de C moteur / meule. 5- Donnez la valeur des caractérstques que devra posséder l arbre du motoréducteur.. On se place en régme établ, lorsque la meule tourne à vtesse constante. 6- Détermnez l énerge que le moteur absorbe pendant 5 secondes en régme établ. 7- Détermnez le traval que l homme fournt pour affûter son outl sur tours de meule. 8- Détermnez l énerge cnétque emmagasnée par la meule solée lorsqu elle tourne à vtesse constante. EX - Une navette spatale est supposée à l arrêt dans l espace. Les tros moteurs sont allumés, la poussée de chaque moteur est de kn, les tros poussées sont parallèles et leur acton résultante F passe par. et Détermnons l accélératon supportée par les astronautes s la masse de la navette est de tonnes. EX 4- Eprmer T en foncton de m.g et a avec: m = 5 kg, g = m/s, a = pus a = m/s EX 5- CINE D SCENSEUR : Un homme de 8 kg se tent debout sur une balance dans une cabne d ascenseur à l arrêt. Le moteur est ms en marche et la tenson T du câble de levage attent la valeur de 9 dan pendant les tros premères secondes. S l accélératon est supposée constante, quelle lecture peut-on lre sur la balance? Les frottements sont néglgés, la masse de l ensemble (cabne + balance est de 7 kg. (g = 9,8 m/s. EX6- Un monte-charge de masse m = 5 kg avec son chargement est soulevé par un câble de damètre d = mm. Ce câble a une lmte élastque Re = MPa et une masse volumque v = 7, kg/dm. Pour la poston basse du monte-charge, le câble a une longueur déroulée de L = m (masse non néglgeable. Détermner : - Le coeffcent de sécurté du câble lorsqu'l soutent le monte-charge à l'arrêt. - À partr de quelle accélératon du monte-charge, le câble rsque-t-l de se rompre?

8 FONCTION TRNSMETTRE L ÉNERIE Eercces EX7- ÉQUILIRE SUR UN TPIS MOILE Un transporteur déplace des pèces clndrques de damètre D, hauteur h, masse M, reposant par leur base sur le taps moble. Eprmer l'accélératon mamale pour que : - ucun clndre ne glsse (facteur de frottement f entre clndre et taps. - ucun clndre ne bascule. pplcaton numérque : M=,kg, D= 75mm, h = mm, f =,5. ème STM EX 8- / Un corps S de masse m = kg, glsse sans frottement sur un plan nclné d un angle α =, par rapport à l horzontale. On l abandonne sans vtesse ntale du pont. Il attent le pont avec une vtesse V = m/s. - En utlsant le prncpe fondamental de la dnamque, établr l epresson de l accélératon a de S sur le plan nclné. (On donne g = m/s. - Donner l équaton du mouvement de S (précser les orgnes choses. - Calculer la dstance. 4- Quel est le temps ms par le corps S pour parcourr cette dstance. / Le corps S aborde un plan horzontal avec la vtesse V = m/s. Il heurte alors un autre corps S mmoble de même masse que S, ce qu donne les vtesses V = du corps S et V = m/s de S après le choc (le choc est supposé parfatement élastque. Le deuème corps S est ensute frené pour arrver au pont C avec une vtesse V C =,4 m/s. vec cette vtesse l tombe alors sur un deuème nveau en chute lbre. - Trouver les équatons suvant O et O du mouvement du corps S. - La hauteur entre les nveau horzontau est h = m. Calculer le temps de la chute. - Calculer la dstance OD, D étant le pont de chute du corps S sur le deuème nveau. EX 9- On consdère l arbre d un réducteur c contre. Il est monté en lason pvot par deu roulements tpe C en et en. Données : P = N ; J = 8. - kg.m /S cton en C de l engrènement : C ut de l étude : C (,,z On se propose d étuder le mouvement de rotaton de l ensemble S. On cherchera à détermner les actons mécanques des lasons et la durée de la phase de démarrage. a- Écrre les dfférents torseurs des actons mécanques etéreures à S. (lan des Fet / S b- Écrre ces torseurs en c- pplquer le prncpe fondamental de la dnamque et détermner les composantes de ces torseurs d- Détermner l accélératon angulare du mouvement de S et en dédure la nature de ce mouvement e- On consdère que à t = alors =. Détermner le temps nécessare pour attendre la vtesse de N = 5 tr/mn EX - Un moteur eerce au démarrage un couple Cm = 5 N. m. L'ensemble de la chaîne cnématque peut être modélsé par un volant plen de raon R = 5 mm et de masse m = 5 kg, relé drectement au moteur. Calculer la durée de démarrage pour que le moteur attegne la fréquence de rotaton N = 5 tr/mn : - En néglgeant les frottements, - En consdérant que tous les frottements rapportés à l'ae du moteur se rédusent à C r =, N.m.

9 FONCTION TRNSMETTRE L ÉNERIE Eercces EX - Sur un tambour plen de masse m = 6 kg, de raon R = mm, s'enroule un câble supposé sans radeur et de masse néglgeable. Le tambour pvote avec frottement (f =, dans des palers Ød =mm. À l'etrémté du câble, on accroche une charge de masse m = kg qu'on abandonne sans vtesse ntale. Calculer la durée mse par la charge pour descendre h =m. EX- Cas de deu arbres tournants. L'arbre a une nerte J =, kg.m par rapport à son ae. Il entraîne, par l'ntermédare d'une courroe, un arbre dont l'nerte par rapport à son ae est J = kg.m. L'arbre est soums à un couple de démarrage C m = N.m ; alors que l'arbre supporte un couple résstant global égal à C r = N.m. Pour un certan réglage des poules, le rapport de réducton obtenu est R = r / r, (r =5 mm ; r = 6 mm. - Eprmer l'accélératon angulare pendant le démarrage (applcaton numérque. - Calculer la durée mse pour que l'arbre tourne à5 tr/mn (C m constant. - On supprme C m. Calculer la durée de l'arrêt? EX- Une remorque bagagère de pods P = dan applqué en, centre de gravté, est tractée en (lason rotule par une automoble. L ensemble voture plus remorque attent la vtesse de 7 km/h en m, départ arrêté. (g = m/s a- Détermner l accélératon du mouvement s celle-c est constante. b- Détermner les actons eercées en et. ème STM EX4- Pour le sstème belle manvelle proposé, N / = 5 tr/mn, détermner la force d nerte sur le pston s sa masse est de, kg ; valeur à 5 tr/mn. (vec : O = 4 ; = Rep : a = - m/s ; F I = 6 N ;

10 FONCTION TRNSMETTRE L ÉNERIE EX 5- - Mse en stuaton : Un charot de pont roulant est équpé d'un moteur-fren électrque qu frene à la mse hors tenson. La chaîne cnématque relatve à la foncton levage de la charga est représentée (fg.. Le fren permet d'arrêter dans un ntervalle de temps très court le moteur et les éléments mobles de la chaîne cnématque relatve à la foncton levage de la charge et de les mantenr mmobles. Eercces ème STM - fonctonnement : Le dspostf de frenage comporte (fg. : - un électro-amant consttué prncpalement par une bobne et un crcut magnétque composé d'une armature fe 5 et d'une armature moble 6 en lason encastrement avec le flasque lu-même en lason encastrement avec le plateau presseur 4 ; - l'ensemble {, 6, 4} est en lason glssère avec tros gudes 4 qu sont eu-mêmes en lason encastrement avec le carter ; - deu dsques de frenage en lason glssère avec le moeu 7. Le moeu 7 est en lason encastrement avec l'arbre du moteur ; - tros ressorts 9 qu agssent sur l'ensemble moble {, 6, 4} et permettent de presser les dsques sur le carter et les plateau 8 et 4 ; - le plateau 8 est en lason glssère avec les tros gudes 4. Lorsque la bobne est sous tenson, l'armature moble 6 vent se plaquer sur l armature fe 5 et comprme les ressorts 9 dont la varaton de flèche est égale à l'entrefer e de l'électro-amant. Les dsques sont alors desserrés et lbres en rotaton. L'arbre moteur peut tourner. Lorsque la bobne est hors tenson, Fg. les ressorts 9 permettent le serrage des dsques entre le carter et les plateau presseurs 8 et 4. Les dsques sont alors en lason encastrement par adhérence avec le carter fe. L'arbre ne peut pas tourner et la charge est mmoblsée. Nous nous proposons d'étuder le frenage de la charge dans le mouvement de descente de celle-c. - Hpothèses et étude : La descente de la charge se fat (fren desserré à une vtesse de, m/s. S pour une rason quelconque le moteur cesse d'être almenté le fren dot être capable d'arrêter une charge de masse M = kg en,s. On suppose que dans la phase de frenage le mouvement de la charge est rectlgne et unformément décéléré. Dans une premère approche on néglger l'nerte des pèces en rotaton et le frottement dans les palers du tambour du treul. On prendra g = rn/s. - Dans la phase de frenage. Étuder le mouvement de la charge (fg. et détermner la valeur du vecteur accélératon de son centre de masse ans que la dstance de frenage. - On consdère la charge pendant la phase de frenage. Détermner les actons mécanques etéreures qu lu sont applquées. - Détermner la somme algébrque des travau des actons mécanques etéreures applquées à la charge pendant la phase de frenage. Fg.

11 FONCTION TRNSMETTRE L ÉNERIE Eercces ème STM 4- Détermner la varaton d énerge cnématque de la charge pendant la phase de frenage et en dédure le traval des actons mécanques etéreures applquées à la charge pendant la phase de frenage. 5- On consdère l ensemble S = {,} consttué par le tambour du treul et le câble pendant la phase de frenage. Détermner l acton mécanque eercée par le réducteur sur le tambour du treul (fg. 6- Dans la phase de frenage détermner l'angle de rotaton du tambour et compte tenu du réducteur en dédure l'angle de rotaton des dsques du fren. Le rapport de réducton du tran d'engrenage du réducteur est k =,. Le damètre du tambour d =, m 7- Le rendement du réducteur est =,8. Dans la phase de frenage détermner le moment supposé constant, eercé par le réducteur sur l'arbre lé au dsques et en dédure le moment du couple de frenage sur les dsques. 8- Détermner l'énerge dsspée dans le fren pendant la phase de frenage. EX6- ENTRÎNEMENT D UN CUE : Le référentel terrestre (R est supposé galléen. On consdère le sstème consttué par un cube de masse M (solde S et par un clndre homogène de masse m, de centre C et de raon a (solde S. Un fl netensble et sans masse est attaché à une face du cube et enroulé autour du clndre. On note T T la force eercée par le fl sur le clndre en. Le cube glsse sans frottement sur le plan nclné et on consdère que la poule a une masse néglgeable et tourne sans frottement autour de son ae de rotaton. Le sstème est abandonné sans vtesse ntal, le fl n étant n lâché, n tendu, le brn entre la poule et le clndre étant parfatement vertcal et celu entre la poule et le cube parallèle au plan nclné. On note. ( S / R - pplquer le théorème de la résultante dnamque au clndre. En dédure que le mouvement de C est vertcal. - pplquer le théorème du moment dnamque au clndre par rapport à C. - Sachant que la poule roule sans glsser sur le fl en, trouver une relaton entre l ntensté du vtesse V C du centre C, l ntensté de la vtesse de translaton V du cube, a et θ. 4- pplquer le théorème de la résultante dnamque au cube. 5- En dédure les accélératons de et C. Dscuter suvant les valeurs de α. EX7- DÉPLCEMENT D UN CMION : Dans le référentel terrestre supposé galléen, le chauffeur d un camon (tracteur+ benne mmoble sur une route horzontale a coupé le moteur, mas oublé de serrer ses fens. Il fat alors basculer la benne d un angle α à un angle α. La masse du tracteur est notée M, celle de la benne est notée m. On note le centre de masse du tracteur, celu de la benne et celu du camon. Le camon est posé sur ses 4 roues, chacune de centre C k et de masse néglgeable, tournant sans frottement autour de leur ae respectf. On note Rk Nk Tk les réactons du sol sur la roue au nveau de chacun des ponts de contact camon/sol. - pplquer le théorème du moment dnamque à une roue et en dédure la drecton des forces de contact entre le camon et le sol. - pplquer le théorème de la résultante dnamque au camon enter. Qu en dédusez vous pour le centre de masse du camon. - En dédure le déplacement horzontal d du centre de masse du tracteur. 4

12 FONCTION TRNSMETTRE L ÉNERIE 5 Eercces Rep E : Mouvement de translaton rectlgne unformément varé - Vor fgures c-contre. - On peut applquer drectement le théorème du moment dnamque : P R alance / Homme alance / Homme Homme Dnamque Projecton sur l ae ( : m g m a alance / Homme alance / Homme 8 8 alance / Homme alance / Homme Homme / sol alance / Homme alance / Homme 4 On peut applquer drectement le théorème du moment dnamque applqué à l homme solé. Il faut écrre tous les moments résultants au même pont. L énoncé demande de les écrre au pont. ( M / alance / Homme M / alance / Homme M / PHomme M / m adnamque P m a alance / Homme alance / Homme Homme Dnamque L L h alance / Homme h alance / Homme PHomme RDnamque L alance / Homme L alance / Homme Projecton sur l ae (z : L / L / ( alance Homme alance Homme - De l équaton (, on en dédut que : / / ème STM alance Homme alance Homme Et donc en remplaçant dans ( : alance / Homme 4 lors : / / 5N ; Donc : / / 5kg alance Homme alance Homme alance Homme alance Homme 4- L énerge que la plate-forme donne à l homme pour pouvor le monter pendant 5 secondes en régme établ : E P t PHomme V Homme / sol t 865 4J 5- Le traval que la plate-forme donne à l homme pour pouvor le monter sur l = m en régme établ : W P 8 4 J Homme 6- Concluson : le traval fourn par le plate-forme sur m est égale à l énerge à fournr pour déplacer l homme en 5 secondes. 7- L énerge cnétque emmagasnée par l homme seul lorsque la plate-forme est en régme établ : Ec m V Homme / sol, J

13 FONCTION TRNSMETTRE L ÉNERIE Eercces Rep E : Mouvement de rotaton unformément varé - Vor fgure c-dessous. Le moment résultant de l acton de l outl sur la meule : M F( outl / meule R Foutl / meule,45 Nm (postf autour de l ae ( ; / ème STM - En phase de démarrage, la meule est soumse à tros moments sur l ae ( : le couple du moteur sur la meule : moteur / meule le moment résultant de l acton de l outl sur la meule : M F( outl / meule R Foutl / meule,45 Nm (postf autour de l ae ( ; / C ; le moment dnamque : M dnamque J meule / bât J meule / bât et avec : J m R v R 78,5,4,4 47, kg m M dnamque J meule / bât 47, 6,6 Nm c est-à-dre sur l ae (-. Donc : M 6,6Nm sur l ae (. dnamque 6 est drgé dans le sens du couple moteur, - On applque le prncpe fondamental de la dnamque (théorème du moment dnamque C M F M moteur meule outl meule dnamque / ( / / en projecton sur l ae ( et en un pont quelconque pusque nous prenons en compte unquement des moments : C moteur / meule 6, 6 4- C / 6,6Nm sur l ae (. moteur meule 5- L arbre devra résster à une torson sous un couple de 6,6 Nm. Il devra être capable de transmettre 6 Nm à la meule pour pouvor l entraîner. 6- L énerge que le moteur absorbe pendant 5 secondes en régme établ : E P t Cmoteur / meule meule / bât t J 7- Le traval que l homme fournt pour affûter son outl sur tours de meule : W Cmoteur / meule meule / bât 56 J 8- L énerge cnétque emmagasnée par la meule solée lorsqu elle tourne à vtesse constante : Ec J meule / bât, J

14 FONCTION TRNSMETTRE L ÉNERIE Eercces Rep E : F et m a a donc : L accélératon supportée est 7 fos supéreure à l accélératon de la pesanteur g. a 69 m / s 6, 7 g Rep E4 : Isoler (S = {cabne + charge} ; (S est en équlbre relatf sous : Les charges : T T z ; P Pz L'effet d'nerte: e m g z ; Les efforts dus à la presson atmosphérque, se compensent Par conséquent : T - m.g - m.a = D'où T = m.(g + a pplcaton numérque : s a = : T = 5N s a = m/s : T = 6 N Rep E5 : a- Isolons l ensemble cabne + homme + balance : fn de smplfer l étude, supposons que le centre de gravté de l ensemble est stué sur la vertcale commune à T et P. L acton des rals, perpendculares au autres forces, n est pas prse en compte. ème STM Le prncpe de d lembert s écrt T + P - m. a =. En projecton sur la vertcale z : - P +T - m.a = ; - ( , (7 + 8 a = d où a =,44 m/s. b- Isolons l homme seul : L homme est soums à actons : son pods P h, l acton eercée par la balance et la force d nerte ( mha. d où : Ph + + ( mha = en projecton sur z, on obtent : Ph mh a P ( 8 (9,8, 44 9 ; h mh a mh g a N ' Masse fctve mesurée par la balance : mh 9 / 9,8 9,74kg Remarque : pour le mouvement nverse (a = -,44 m/s, avec frenage, la masse fctve de l ndvdu serat : 8 -,74 = 68,6 kg. Rep EX6 : - La contrante mamale dans le câble se stue à sa parte supéreure lorsqu'l est complètement déroulé. d, 4, Masse du câble déroulé : m v L 7 6, 956 kg 4 4 Masse totale soutenue : m m m 56, 956 kg T Calculer le coeffcent de sécurté à l'arrêt : Il s'agt d'un calcul de résstance des matérau pour un câble soums à la tracton smple : F Re Re S Re S 5 s 6, S s F ( mm g 56, Calculer l'accélératon entraînant le dépassement de la lmte élastque du câble : Il faut soler {câble déroulé + monte-charge} (vor c-contre, proj F m m T m m m m a / z et lors : T m m g a Sot : a l faut que : T Re S sot Tma SRe m m a g Donc : D où : a ma ma S Re 5 g 5, 98 m / s m m 56, 956 S Re 7

15 FONCTION TRNSMETTRE L ÉNERIE Eercces ème STM Rep E7- - Isoler et chosr un repère : On sole le clndre et l on chost R g lé au sol. Modélser les actons mécanques : Condton de non glssement ০ Pods représenté par (, M Prncpe fondamental Méthode de d lembert g. F et Ma F et e ০ ppu-plan représenté En projecton sur g et g par R, dans le plan ( O,, de smétre g g nclnée de α de façon à s opposer au mouvement éventuel. à la lmte de glssement α = φ (angle de frottement tel que f = tg φ - On dédut de ( et ( que Rsn M ( Rcos Mg ( tg g Rsn M ( 8 Rcos Mg ( d où la condton de non glssement : tg sot f g 5 m / s g d où la condton de non basculement (autour de s : D D sot g,57 m / s g h h Rep E8- / - Sstème étudé : le corps S lan des efforts : R ; P Théorème utlsé : F et m a pplcaton du théorème : R + P = ma En projetant sur le plan nclné l vent : m g sn m a Donc : a g sn sn 5 m / s - Orgne des espaces : Orgne des temps : départ de S (V = à t = L équaton du mouvement est : a t V t ; a t ; V 5 t ; V - La dstance est donnée par la trosème équaton : 4- Le temps ms par S pour parcourr est : V t,6s 5 5 V,9 m Condton de non basculement / - La relaton fondamentale de la dnamque applquée à S sur lequel ne s eerce qu une seule force, son pods, permet d écrre : P m a la projecton de cette relaton donne : Sur O : ma donc a ; le mouvement est rectlgne est unforme d équaton : V t or V V,4 m / s et ; alors :,4 t Sur O : m g m a donc a a t V t or V et ; alors : 5 t - Le temps de chute : h m ; c g ; le mouvement est unformément accéléré d équaton : t s Dstance OD : t s donc,4 t,4 4,48 m

16 FONCTION TRNSMETTRE L ÉNERIE 9 Eercces Rep E9: X a- lan des actons mécanques etéreures : / S Y - En l a roulement tpe C ce qu donne une lason rotule, d où le torseur statque en est de la forme suvant : Z - En l a roulement tpe RU ce qu donne une lason lnéare / S Y annulare, d où le torseur statque en est de la forme suvant : Z - L acton de pesanteur est modélsable en par : T / S b- L epresson de ces torseurs en : (c.à.d, applquer la relaton de transport en, / S F / S Y, Z M / ; donc / S Y, Z Z, Y Z, Y, 5 M T / S F T / S / ; donc T / S (,,z, 4 / S C F /S M / ; donc /S C 4 4 c- pplquer PFD à S : ème STM (,,z (,,z (,,z (,,z (,,z / S / S T / S / S C J " (,,z X J " Y Y, Z Z Z, Y 4 (,,z (,,z (,,z X ;Y, 5;Z et X ;Y, 5 N;Z (,,z d- L accélératon angulare du mouvement de S et la nature de ce mouvement : " 5 rad / s ; Mouvement de rotaton unformément accéléré. J 8. N 5 t e- Le temps nécessare pour attendre 5 tr/mn : t lors :, 68 s 6 65 Rep E : Isoler l'ensemble tournant (fgure c-dessous et écrre le prncpe CmCr fondamental en projecton sur l'ae de rotaton : CmCr J. ω' ω' z J z CmCr 5 - Frottement néglgé : ω' 8, 88 rad / s, 5m R, 55, 5 ω 5 et ω tω' alors : t 7, 68 s ω' 68, 88 - Cas du frottement : ω' C C 5, m r 8, 5 rad / s et ω tω', 5m R, 55, 5 alors : ω 5 t 8, 4 s ω' 68, 5 (,,z

17 FONCTION TRNSMETTRE L ÉNERIE Rep E : Isolement du tambour : F P RT et Eercces ème STM Proj/o : m g n T M z Fet T Rn f r Jz ω' Isolement de la charge : Fet T m g m a T m g m a spect cnématque : L'accélératon de la charge est égale à l'accélératon tangentelle du tambour dv d( ω R a at ω' R dt dt Il faut donc résoudre : m g n T n T m g m g T m R ω' T m ( g ω' R T Rn f r m R ω' m ( g ω' R Rm ( g ω' R m g f r m R ω' g m Rm m f r Donc : ω' R 5, m R mr f r g m Rm m f r, 6,, lors : a 4, 85 m / s, 5m R m R f r, 56,,,, Mouvement de rectlgne unformément accéléré :V Rep E : '' - Isolons l'arbre : Cm F r J a t et '' '' J C Isolons l'arbre : F r Cr J F r r '' r Relaton cnématque : '' '' '' r r r lors : r '' r J J Cm Cr r r r C 5 mcr Donc : '' r 6 8, 6 rad / s r 5 J, J r 6 - Duré du démarrage (aspect cnétque : ' ' '' 5 t t 8, 69 s '' 68, 6 - Duré de l arrêt : r Cr '' r 6, 9 rad / s 5 r 5 J, 6 ' '' J r 5 t, 6 s 6, 9 h a t d où h t, s a 4, 85

18 FONCTION TRNSMETTRE L ÉNERIE Rep E : a- L accélératon du mouvement s celle-c est constante : Eercces ème STM V V V a( avec : V ; V m / s ; m ; donc : a m / s b- Les actons eercées en et : F P m a et En projecton sur l ae ( : m a Donc : 6 N En projecton sur l ae ( : P N M O Fet M O M O M O P O O O P 6,9, 4, 75 z / / / / Donc : 97, 4 z,4 6,9 N et N, Rep E 5 - Le mouvement de la charge étant rectlgne et unformément décéléré on peut, sur la fgure c-contre, représenter les vecteurs vtesse V et accélératon du pont. z On chost (O, orenté dans le sens du mouvement. L'orgne O correspond à la poston du pont au début du frenage. On note : O.. On chost l'orgne des temps t = au début du frenage. Les équatons du mouvement du pont s'écrvent : t vt v t ( ; t t v ( u début du frenage à t = : donc v, m / s La relaton ( permet de détermner : et La relaton ( permet de détermner : v, à la fn du frenage à t =, : v La relaton ( permet de détermner alors : t m/ s d où : ; la relaton ( s écrt alors : t,. t La dstance de frenage correspond à la valeur de pour t =, sot =,m - Les actons mécanques etéreurs applquées à la charge sont : - l acton de la pesanteur : P M g d où 4 P - l acton du câble sur. Cette acton est modélsable en C par un glsseur : C/ C/ l applcaton du prncpe fondamental de la dnamque au pont permet d écrre : P C/ M 4 En projeton sur (, on obtent : C/ ( C/ 4 N d où C/ 4

19 FONCTION TRNSMETTRE L ÉNERIE Eercces ème STM - Pour un déplacement élémentare, le traval élémentare des actons mécanques etéreures applquées à la charge s écrt : dw C/ d Pd C/ d P d N : dw ( 4 d 4 d pour un déplacement =, m ; on obtent : W 4, 4 J 4- La charge et anmée d'un mouvement de translaton, On peut donc écrre que : (, Ec Ec M ( V V 4 J. En applquant le théorème sur la varaton d'énerge cnétque d'un solde on obtent : W Ec Ec 4 J 5- Les actons mécanques etéreures applquées à S sont : - l acton de sur modélsable en par le torseur glsseur : / 4 / (,, z - l acton de lason pvot sans frottement entre le bât et le tambour. Cette acton est modélsable en par le torseur : X / / / / Y/ M/ M / / Z/ (,, z - l acton du réducteur sur modélsable en le torseur couple : r / M r // N r/ (,, z L'nerte de S étant néglgée. le prncpe fondamental de la dnamque applqué en permet d'écrre que : M M/ M / / M / / / / r ss avec M M / / / / / / 4 r proj/z : 4 r N r / r / ; alors : Nr/ 4, 4 Nm ; donc : 4 (,, z 6- S es t le déplacement vertcal de la charge lors du frenage et l'angle de rotaton du tambour du treul, on peut écrre que : d d où :,, rad d, S est l'angle de rotaton des dsques pendant le frenage et s k est le rapport de réducton du réducteur, on peut écrre que : k d où :, rad k, 7- Le rendement du réducteur a pour epresson : énerge fourne à l ' arbre énerge reçue du tamboure ( L'énerge fourne à l'arbre a pour epresson W M L'énerge reçue du tambour a pour epresson W N/ r La relaton ( s'écrt alors : M d où N/ r M ( N/ r L'arbre et les dsques sont lés en rotaton, donc : rad (queston 6 La relaton ( permet d'écrre,84, M 9 N. m Le PFD applqué à l'ensemble en rotaton S lé à l'arbre et au dsques au pont D par rapport '' à l ae z, permet d'écrre M I ; Par hpothèse on néglge l'nerte des masses tournantes, d'où : ss / / D ss / / D ( Dz, M. Sot M f le moment de frenage applqué sur les dsques. On néglge le frottement dans les palers de gudage de l ensemble S, l s'ensut que : M M M ;D où M M 9 N m L ss / f / D 8- En admettant que M f est constant pendant le frenage l'énerge dsspée dans le fren a pour epresson : Wf M f 9 9 J f

20 FONCTION TRNSMETTRE L ÉNERIE Eercces ème STM Rep : E6 dv - m C m g T ( T m g et le mouvement de C est vertcal dt dv (C est ntalement mmoble et cette porton de fl vertcale m C T mg ( dt - Pour le clndre, C est son centre de masse : cl, C m a CC m g C T at ( ma T - Il a roulement sans glssement en : V, fl V V, Cl VC C ( VC a V VC a ( Le fl est netensble, le cube en translaton : s V V Vf alors Vf V sot V V f VC a dv 4- Le fl est sans masse, la tenson dans le fl est unforme. Sot M f dt T Mg sn (4 dvf dvc M 5- M T Mg sn M Ma ( T mg dt dt m Mm T g( sn sot dvf m M sn g et dvc M sn M m g M m dt M m dt M m L accélératon de C est toujours négatve : le mouvement du clndre est toujours descendant. S m > M.snα, le cube remonte, l descend s m < M.snα et mmoble s m = M.snα. Rep E7 - Ck C kck Ck C kik Rk RT k z donc T k 4 - dv dv dv dv M m ( M m ( M m Nk dt dt dt alors k dt Le camon étant ntalement mmoble, le basculement de la benne ne provoque pas de mouvement du centre de masse du camon suvant la drecton horzontale. - dv dv M m d où MV mv Cte alors Md md Cte dt dt d (cos cos donc : m d (cos cos M Remarque : S, au cours de l étude, un élève repère ce qu lu semble être une erreur ou fautes de frappe, l le sgnale au professeur de la matère!!!