Correction partielle du TD n 19

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1 Correctio partielle du TD Correctio L uivers des possibles de X est [,5 ]. O a X = lorsqu o obtiet pile à au mois deux lacers. O a cas favorables le cas où l o obtiet pile aux trois lacers et cas où l o obtiet pile à deux des trois lacers). Il y a cas possibles. La probabilité pour avoir X = est doc : PX = ) = =. O a X = 5 lorsqu o obtiet pile au premiers lacers. La pièce état équilibrée, o a ue chace sur deux à chaque lacer d obteir pile. O a doc : ) PX = 5) =. O e déduit que : PX = ) = PX = ) PX = 5) =. La loi de probabilité de X est doc : k 5 PX = k) O applique la formule pour calculer l espérace : O utilise la formule du trasfert pour calculer EX ): O a doc, d après la formule de Huyges : EX) = = 5.5. EX ) = VX) = EX ) EX)) = 5.. Correctio O ote X la variable aléatoire égale au gai total à l issue des trois tours. L uivers des possibles pour X est { 5,, 5,,5,,5,,}. À chaque tour, o a ue probabilité de de perdre, de de gager et de de faire u tour ul. 5 O a X = 5 lorsqu o a perdu aux trois tours ce qui arrive avec ue probabilité de =. O a X = lorsqu o a perdu deux fois et fait u tour ul. Le tour ul peut être au premier, au deuxième ou au troisième tour. O a doc PX = ) = 5 =. O a X = 5 lorsqu o a perdu ue fois et fait deux tours uls. O a choix possible pour la place du tour perdat doc : PX = 5) = 5 = 5. O a X = lorsqu o a fait trois tours uls ce qui arrive avec ue probabilité de ou lorsqu o a perdu deux 5 fois et gagé ue fois. O a trois choix possibles pour la place du tour gagat doc ue probabilité de d obteir X = aisi. O a doc : PX = ) = 5 + =.

2 O obtiet X = 5 lorsqu o gage ue fois, qu o perd ue fois et qu o fait u tour ul. O a choix pour le tour gagat et fois pour le tour perdat ue fois le tour gagat choisi) doc : PX = 5) = 5 =. O obtiet X = lorsqu o gage ue fois et qu o fait deux tours uls. O a trois choix possibles pour la place du tour gagat doc : PX = ) = 5 = 5. O a X = 5 lorsqu o gage deux fois et qu o perd ue fois. Il y a trois choix possibles pour la place du tour perdat doc : PX = 5) = =. O obtiet X = lorsqu o gage deux fois et qu o fait u tour ul. Il y a trois choix possibles pour la place du tour ul doc : PX = 5) = 5 = 5. Efi, o obtiet X = lorsqu o gage trois fois : ) PX = ) = =. La probabilité pour qu o gage de l arget à l issue des trois tours est la somme des probabilités : PX = 5)+PX = )+PX = 5) +PX = )+PX = ) =.. O peut vérifier que : PX = ω) =. ω Ω Remarque : aurait pu aussi e pas calculer ue des probabilités et la calculer au moye des autres mais, das ce cas, o e peut faire la vérificatio précédete. Correctio. O ote A i l évèemet " la bille est sous le i-ème verre retouré". O apx = ) = PA ) =. E revache, o a : PX = ) = PA )P A A ). E effet, o e retoure le deuxième verre que si la bille est pas sous le premier verre choisi et o e retoure pas le troisième verre si la bille est effectivemet sous le deuxième verre. O a doc : PX = ) = =. Remarque : peut aussi remarquer, comme A A, o a : PX = ) = PA A ) = PA ) =. O e déduit : PX = ) = PX = ) PX = ) = d où la loi de probabilité uiforme.. O calcule l espérace de X: Par la formule du trasfert, o a : Par la formule de Huyges, o a doc : EX) = + + =. EX ) = + + =. VX) = EX ) EX)) =. 5

3 Correctio. L uivers des possibles de X est [, ]. Il y a classes das le lycée doc classes autre que celle que le professeur va rejoidre et, parmi celles-ci, classes e coteat aucu acie élève à lui classes de sup et classes de spé). Le ombre de cas possibles e tout est ). Notos A l esemble des classes coteat des acies élèves et B l esemble des classes e coteat aucu acie i actuel) élève. Il y a autat de cas favorables pour que X = que de faços de choisir classes das l esemble B, c est-à-dire ) doc : ) PX = ) = ) =.. Il y a autat de cas favorables pour que X = que de faços de choisir ue classe das A et classes das B, c est-à-dire ) doc : PX = ) = ) ) =.. Il y a autat de cas favorables pour que X = que de faços de choisir classes das A et classes das B c est-à-dire ) ) doc : PX = ) = ) ) ) = 55.. Il y a autat de cas favorables pour que X = que de faços de choisir classes das A et classes das B c est-à-dire ) doc : PX = ) = ) = 5.5. Il y a u seul cas favorable pour que X = doc : La loi de probabilité de X est doc : PX = ) = ) =.. k PX = k) O peut vérifier que la somme des probabilités vaut bie. O e déduit la loi de probabilité de Y : 55 5 k 5 PY = k) O cherche PY ). O a : PY ) Correctio 5 = PY = )+PY = )+PY = ) =.. O a X = et X ) lorsqu o a tiré à chaque fois le jeto uméro. À chaque tirage, o a ue probabilité de tirer le jeto uméro. O a doc : PX = ) = ) m = m. O a X lorsqu o a tiré à chaque fois le jeto uméro ou le jeto uméro. À chaque tirage, la probabilité de tirer le jeto ou est. O a doc : PX ) = ) m.

4 De la même faço, pour tout k, o a PX k) lorsqu o a tiré des jetos parmi ceux umérotés de à k. O a ue probabilité de k à chaque tirage doc : O e déduit que, pour tout k [,], o a : PX k) = PX = k) ) m k. = PX k) PX k ) ) m ) m k k =, avec PX ) = PX = ). O remarque que cette formule est aussi valable pour k = état doé que le deuxième terme est alors ul. O applique la formule : O écrit, pour tout k [,] : EX) = = = kpx = k) k= k k= k k= ) m k ) m k k ) m ) k ) m k. ) m k k ) m k = k +) ) m k )m+ k = m +.

5 O a doc : EX) ) m k k )m+ k = k m k= = m k= k m+ k ) m+) = m+ m k= k ) m k k= ) m car o recoaît ue somme télescopique = j= ) m j e posat j = k. La variable j état ue variable muette, o obtiet la formule demadée. D après la questio précédete, o a : O recoaît ue somme de Riema : EX) = k= ) m k. ) m O a doc : lim + k= ) m k = t m dt [ t m+ = m+ = m+. ] EX) lim = + m+ = m m+. Correctio. L uivers des possibles est [,]. O compte le ombre de succès das la réalisatio de épreuves idetiques et idépedates. À chaque lacer, la probabilité de succès est. O recoaît ue loi biomiale de paramètres et. La loi de probabilité de X est doc : où o a oté p k = PX = k). k... p k. O calcule l espérace : EX) = k PX = k) k= = 5..

6 Remarque : retrouve la valeur de doée par formule du cours pour l espérace d ue loi biomiale. O utilise la formule du trasfert : EX ) = k PX = k) La formule de Huyges ous doe la variace : k= =. VX) = EX ) EX)) =.. Remarque : retrouve la valeur doée par la formule du cours pour la variace d ue loi biomiale. Correctio garço est de, o a. O a X = lorsqu o a eu u garço a chaque aissace. Comme la probabilité d avoir u PX = ) =. De même, o a X = lorsqu o a eu ue fille à chaque aissace doc : PX = ) =. Il y a trois cofiguratios pour avoir ue fille et garços selo le rag de aissace de la fille. Pour chacue de ces cofiguratios, o a ue probabilité doc et, de même: PX = ) =, PX = ) =. O a doc : k PX = k) O vérifie que la somme des probabilités est bie égale à.. O a X = lorsqu o a eu u garço a chaque aissace. Comme la probabilité d avoir u garço est de 5 = 5, o a : PX = ) = ) 5 = 5 5. De même, o a X = lorsqu o a eu ue fille à chaque aissace, chaque fois avec ue probabilité 5 doc : PX = ) = ) = 5 5. Il y a trois cofiguratios pour avoir ue fille et garços selo le rag de aissace de la fille. O a ue probabilité 5 d avoir ue fille et 5) d avoir deux garços doc, pour chacue de ces cofiguratios, o a ue probabilité de doc : 5 ) = 5 5 PX = ) = 5 = 5,

7 et, de même: O a doc : PX = ) = ) 5 5 = 5 5. k 5 PX = k) O peut vérifier que la somme des probabilités est bie égale à. Correctio O commece par détermier la loi de X. L uivers des possibles est [,,]. Il y a ) cas possibles. O compte, pour chaque situatio, le ombre de cas favorables. Le ombre de cas favorables pour obteir as est ). Le ombre de cas favorables pour obteir exactemet as est ). Le ombre de cas favorables pour obteir exactemet as est ) ). Le ombre de cas favorables pour obteir as est ). O e déduit que la loi de probabilité de X est : k 55 PX = k) ) O détermie maiteat la loi de Y. L uivers des possibles est à ouveau [, ]. Il y a cas possibles. Le ombre de cas favorables pour obteir carte rouge est. Le ombre de cas favorables pour obteir exactemet ) carte de couleur rouge est. Le ombre de cas favorables pour obteir exactemet cartes rouges est. ) ) Le ombre de cas favorables pour obteir cartes de couleur rouge est. ) O e déduit que la loi de probabilité de Y est : k PY = k) 5 5 Correctio. L uivers des possibles de X est [,], celui de Y est [,]. Il y a boules, o a doc : ) = choix possibles. Comptos les cas favorables pour détermier chaque probabilité. O va oter : p ij = PX = i Y = j). O e peut obteir la somme des uméros égale à zéro avec deux boules de même couleur. O a doc p = p =. Il y a qu ue faço d obteir ue somme égale à avec ue boule oire et ue boule rouge: e tirat la boule rouge umérotée et la boule oire umérotée. O a doc : p =. O a : p = P =, car l uique faço d obteir avec deux boules de même couleur est d avoir tiré les boules uméros et. E revache, si o a deux boules de couleurs différetes, o peut avoir la boule rouge uméro et la boule oire uméro et vice-versa. O a doc : p =.

8 Das toute la suite, o otera,m) le couple des valeurs de la boule rouge et de la boule oire, das cet ordre, lorsque X =. Lorsqu o a deux boules de même couleur, o e peut obteir qu e ayat la boule et la boule doc : p = p =. Lorsqu o a deux boules de couleurs différetes, o peut obteir aisi : Il y a trois cas favorables doc :,),,) ou,). p = = 5. Lorsqu o a deux boules de même couleur, o peut obteir 5 e ayat les boules et ou bie les boules et. O a doc : p 5 = P 5 =. Si o a deux boules de couleurs différetes, o peut obteir 5 aisi : O a doc :,),,),,) ou,). p 5 =. Lorsqu o a deux boules oires, o peut obteir avec les boules et ou avec les boules et 5. O a doc : p =. E revache, lorsqu o a deux boules rouges, o e peut obteir qu avec les boules et puisqu il y a que boules rouges). O a doc : p =. Lorsqu o a ue boule de chaque couleur, o peut obteir aisi : O a doc :,5),,),,) et,). p =. Lorsqu o a deux boules oires, o peut obteir avec les boules et, et 5 ou et. O a doc : p = = 5. E revache, lorsqu o a deux boules rouges, o e peut obteir qu avec les boules et. O a doc : p =. Lorsqu o a ue boule de chaque couleur, o peut obteir aisi : O a doc :,),,5),,) et,). p =. Lorsqu o a deux boules oires, o peut obteir avec les boules et, et 5. O a doc : p =.

9 Lorsqu o a deux boules rouges, o e peut pas obteir. O a doc : p =. Lorsqu o a ue boule de chaque couleur, o peut obteir aisi : O a doc :,),,5) et,). p = = 5. Lorsqu o a deux boules oires, o peut obteir avec les boules et, et 5. O a doc : p =. Lorsqu o a deux boules rouges, o e peut pas obteir. O a doc : p =. Lorsqu o a ue boule de chaque couleur, o peut obteir aisi : O a doc :,) et,5). p =. Lorsqu o a deux boules oires, o peut obteir avec les boules et. O a doc : p, =. Lorsqu o a deux boules rouges, o e peut pas obteir. O a doc : p, =. Lorsqu o a ue boule de chaque couleur, o peut obteir aisi : O a doc :,). p, =. Efi, o e peut obteir qu avec deux boules oires valat 5 et. O a doc p, =, et les deux autres probabilités sot ulles. Le tableau suivat résume les résultats précédets: YX

10 O vérifie que la somme des probabilités est bie égale à.. Pour détermier la loi de Y, il suffit d additioer les coloes du tableau précédet. O a : k PY = k) 5 Correctio. Il y a ) cas possibles de tirer trois craies parmi les. Il y a u seul cas possible pour avoir trois craies rouges doc la probabilité d avoir ue ote égale à est : ) =. Il y a faços d attraper ue craie blache et faços de choisir craies rouges parmi les. La probabilité ) d avoir est doc : ) ) =. O e déduit que la probabilité d avoir est : = 5.. La probabilité d avoir est la même que das la questio précédete:. Il y a faços de tirer trois craies blaches parmi les craies blaches, la probabilité d avoir ue ote égale ) à est : ) = ) 5. O e déduit que la probabilité d avoir zéro est : 5 =. Les élèves ot ue probabilité légèremet plus petite d avoir zéro avec ces ouvelles règles.

11 . La moyee de ces 5 otes sera strictemet iférieure à si les 5 élèves ot zéros ou a et les autres ot zéros. La probabilité avec la première règle est doc : ) 5 ) ) 5 5 +, tadis qu elle vaut avec la secode règle. O a 5 ) 5 ) ) 5 +, ) 5 ) ) ) 5 + ) 5 ) ) ) 5 +. doc la probabilité d avoir ue moyee supérieure ou égale à est plus grade avec la secode règle. Correctio Notos X le ombre de fois où l o obtiet pile au cours de lacers. La probabilité d obteir " pile " est. Le pourcetage de fois où l o obtiet " pile " après lacers est doé par X ). X O a E = ) et V X =. D après l iégalité de Bieaymé-Tchébychev, o a : X P ).5.5), doc : Il faut doc u etier tel que : O trouve =. X P ) <.5.5)....5) Correctio O ote X le ombre de six obteus au cours des lacers. À chaque lacer, la probabilité d obteir u six est, X suit doc la loi biomiale de paramètres et. O a doc : et O a : EX) = =. VX) = 5 = 5. P 5 < X < ) P X EX) < ). D autre part, d après l iégalité de Bieaymé-Tchébychev, o a : d où O a : P X EX) ) 5, P X EX) < ) Ue mioratio de la probabilité d obteir u six etre 5 et fois est doc.. Correctio Correctio