SUITES. u n est notée u. est appelé terme général de la suite

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1 SUITES A. Défiitio O appelle site réelle tote applicatio d e partie D de das. Notatios : a) Si D, l image de par c est à dire b) O ote la site o simplemet. D c) Le terme est appelé terme gééral de la site Cas corats : Si D la site est otée o * Si D la site est otée * o 1 B. Modes de géératio d e site 1) Mode explicite : Chaqe terme de la site D est otée. D est doé explicitemet e foctio de : D f où f est e foctio mériqe à e ariable réelle défiie sr iteralle I coteat D ( I D) ) Mode récrret La site est défiie par la doée de ces q premiers termes et d e relatio de la D forme 1 f, 1,..., q 1 Das ce type de sites il y a a programme où q est etier atrel o l i) les sites de la forme f 1 ii) les sites de la forme a 1b aec a et b réels O établit por ces sites l éqatio caractéristiqe : x ax b cas peet se préseter : Si a 4b> alors l éqatio caractéristiqe admet soltios réelles distictes r 1 et r et!, tel qe D, r1 r Si a 4b= alors l éqatio caractéristiqe admet 1 sele soltio réelle 1!, tel qe D, r 1 Das les dex cas o détermie les réels et à l aide des dex premiers termes de la site Le cas est pas a programme r et 1

2 C. Sites borées, mootoes 1) Sites borées O dit qe la site est majorée s il existe réel M tel qe D D M (M est majorat) O dit qe la site est miorée s il existe réel m tel qe D D m (m est miorat) Ue site à la fois miorée et majorée est dite borée. Ue site est borée si et selemet si K, D K D ) Sites mootoes a) Défiitios O dit qe la site est croissate si D D 1 O dit qe la site est décroissate si D D 1 O dit qe la site est croissate à partir d certai rag p D si p 1 O dit qe la site p 1 D D est décroissate à partir d certai rag p D si Ue site est dite mootoe si cette site est croissate o décroissate. O dit qe la site est costate si D D 1 O dit qe la site est statioaire (o costate à partir d certai rag p D ) si D p tel qe p 1 b) Méthodes por étdier la mootoie d e site Das la pratiqe o étdie e gééral le sige de 1 por coaître la mootoie d e site : Si 1 garde sige costat à partir d certai rag, la site est mootoe. Remarqe : Tote site croissate est miorée par so premier terme Tote site décroissate est majorée par so premier terme

3 Cas particliers : i. Cas des sites à termes strictemet positifs à partir d certai rag p La site p La site p D 1 1 D 1 1 est croissate à partir d certai rag p D si et selemet si est décroissate à partir d certai rag p D si et selemet si ii. Cas des sites de la forme f réelle défiie sr iteralle I D Si f est croissate sr I alors la site Si f est décroissate sr I alors la site D D (Attetio les réciproqes sot fasses!) où f est e foctio mériqe à e ariable est croissate est décroissate 3

4 A. Sites coergetes : Limite d e site Soit e site réelle et L ombre réel. D 1) Défiitio O dit qe admet por limite L si tot iteralle oert coteat le réel L cotiet D tos les termes de la site à partir d certai rag C est à dire : Por tot iteralle oert I coteat L, il existe etier atrel tel qe si alors I OU O dit qe admet por limite L si tot iteralle oert coteat le réel L cotiet D tos les termes de la site, saf ombre fii de termes. OU O dit qe la site D admet por limite L si,,,( L ) Notatio : Lorsqe la site D admet por limite le réel L, o ote lim L ) Sites diergetes Lorsq e site admet por limite réel L (o dit alors qe la limite est fiie ) o dit q elle est coergete et q elle coerge ers L. Ue site qi e coerge pas est dite diergete : c est à dire la site ted ers l ifii o la site admet pas de limite. 3) Remarqe Tote site coergete est borée B. Sites ayat e limite ifiie admet por limite si tot iteralle d type, O dit qe D cotiet tos les termes de la site à partir d certai rag. C est à dire Por tot réel A, il existe etier atrel O ote alors lim O dit qe D termes de la site à partir d certai rag. C est à dire Por tot réel A, il existe etier atrel O ote alors lim tel qe si alors A 4 A, où A est réel, admet por limite si tot iteralle d type, A cotiet tos les tel qe si alors A

5 C. Remarqes La limite d e site est iqe Cas des sites de la forme f la forme a, où f est e foctio défiie sr iteralle de Si f a e limite (fiie o ifiie) e, alors la site a la même limite Image d e site par e foctio : Si f est e foctio défiie sr iteralle I admettat e limite L e poit x et si e site d élémets de I coergeat ers x alors la site f coerge ers L Si lim x lim f x L xx alors lim f L Utilisatio : étde des sites de la forme f D. Opératios sr les limites et 1 Soiet dex sites D D ifiis) 1) Limite de la somme \ b a a b admettat por limites respecties a et b (a et b fiis o " " " " ) Limite d prodit \ b sige a a ab sige a " " sige b " " sige b - 3) Limite d qotiet ( à partir d certai rag) \ b a a b sige a sige a sige b sige b - + 5

6 E. Théorèmes de comparaiso : Hypothèse 1 Iégalités (à partir d certai rag) Hypothèse Comportemet à l ifii Coclsio lim lim lim lim w lim lim w lim S il existe réel l tel qe l, o limite fiie o ifiie (Théorème des gedarmes) lim lim l et admettet e limite qad ted ers l'ifii lim lim (Les iégalités deieet larges par passage à la limite) F. Théorèmes de «coergece mootoe» 1) Théorèmes Tote site croissate est coergete si et selemet si elle est majorée Tote site décroissate est coergete si et selemet si elle est miorée Tote site croissate et o majorée ted ers Tote site décroissate et o miorée ted ers ) Remarqe Si e site est croissate et coergete ers réel L, alors tos les termes de la site sot ifériers o égax à L C est-à-dire tote site croissate et coergete est majorée par sa limite O a de même Si e site est décroissate et coergete ers réel L, alors tos les termes de la site sot spériers o égax à L C est-à-dire tote site décroissate et coergete est miorée par sa limite G. Sites adjacetes 1) Défiitio Dex sites et sot adjacetes si l e est croissate, l atre décroissate et lim ) Théorème Si dex sites et sot adjacetes alors elles coerget et ot même limite l. De pls si est croissate et décroissate alors o a l 6

7 H. Prépodérace et éqialece 1) Prépodérace a) Défiitio : Ue site est égligeable deat e site S il existe e site coergeat ers et s il existe etier N tel qe N O ote : o b) Remarqe : Si à partir d certai rag, La site est égligeable deat la site éqiat à lim c) Exemples à coaître : b a Por tos réels a et b strictemet positifs, l o Por tot réel et tot réel q 1, o( q ) Por tot réel x, x o! Démostratios : b l l 1, a a b b l l e l q l l q l q 1, e e q e Le troisième poit sera proé e exercice ) Eqialece a) Défiitio : Ue site est éqialete à e site s il existe e site coergeat ers 1 et s il existe etier N telle qe N O ote : b) Remarqe : Si à partir d certai rag, La site est éqialete à la site éqiat à dire qe lim 1 c) Exemples à coaître : Si la site coerge ers réel l alors d k Si P a où P est polyôme o l de degré d alors k k Si est e site coergeat ers alors l l 1 ; e 1 a d d 7

8 d) Propriétés : i. Réflexiité : ii. Symétrie : si alors iii. Trasitiité : si w alors w i. Compatibilité aec le prodit et le qotiet : Si Si w w t t alors w t alors w t (e spposat q à partir d certai rag w et t ) Si alors, por tot etier atrel p, et, ATTENTION : l éqialece est pas compatible aec la somme. p p 8