Divisibilité, division euclidienne, congruences

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1 Divisibilité, divisio euclidiee, cogrueces Résolutio de problèmes Des multiples et des diviseurs. Le code sigifie «allumée» et le code «éteite». lampe étape étape étape étape étape 5 étape 6 suivates 5 6. Lampe : = = 6 = doc 5 chagemets d état ; état fial : «éteite» Lampe 5 : 5 = 5 = 5 5 doc chagemets d état ; état fial : «allumée» Lampe 68 : 68 = 68 = = 7 doc 5 chagemets d état ; état fial «éteite» Lampe 8 : 8 = 8 = 7 = 9 9 doc chagemets d état ; état fial «allumée». Les lampes allumées à la e étape sot celles dot les uméros sot des carrés parfaits compris etre et. E effet, il faut u ombre pair de chagemets d état doc u ombre pair de diviseurs positifs autres que, c estàdire u ombre impair de diviseurs. Toute décompositio d u etier e produit m procure deux diviseurs disticts sauf das le cas où m =. Les seuls etiers strictemet positifs ayat u ombre impair de diviseurs sot doc les carrés parfaits. Le roi de la divisibilité! Voir programmes sur le site Math x. Le ombre maximal de diviseurs est, atteit la première fois pour 6. Codebarres : le code EAN. a. Le code est le code ISBN qui se trouve sur la page du mauel. b. S = =5 ; S = =5 ; S = ; r =. c. So chiffre des uités.. a. Oui car i S i S e sot modifiés. b. No car pour avoir la même clé, il faut que S + S soit idetique, ce qui est impossible si u seul chiffre a chagé, ou que S + S ait augmeté ou dimiué d u multiple de ce qui est égalemet impossible. Chapitre. Divisibilité, divisio euclidiee, cogrueces

2 c. Oui e compesat ue augmetatio d u des chiffres par la dimiutio d u autre. Exemple : et ot la même clé. Et s il e reste qu u A.. EGYPTE deviet HJBSWH.. b. La cellule B cotiet le codage de à 5 de la lettre etrée e A. O ajoute à so rag ; si le résultat obteu est supérieur ou égal à 6, o doit lui elever 6 et obteir aisi u ombre etre et 5. Ceci reviet à predre le reste das la divisio par 6 du résultat obteu soit MOD(B+ ; 6). e.. Formules Résultats obteus Pour le déchiffremet de la lettre B, dot le rag est, o calcule le reste de = das la divisio par 6. Le logiciel affiche comme reste. O remarque que = 6 ( ) + avec < 6 ce qui permet d étedre la relatio de divisio euclidiee à. B.. Voir la feuille de calcul sur le site Math x.. Pour tout etier, + et ot le même reste das la divisio par 6 car + = ( ) + 6. Doc il reviet au même de chiffrer ou de déchiffrer e ROT. C. Voir fichiers sur le site Math x. Ue lettre est pas toujours chiffrée de la même faço, o e peut pas evisager ue foctio simple de déchiffremet comme das les parties A et B. Sas la clé, le déchiffremet semble beaucoup plus difficile. U problème pratique cepedat : commet trasmettre la clé au receveur du message pour qu il puisse le déchiffrer? 5 Le chiffremet affie. Voir fichiers sur le site Math x.. a. Oui pour a = 5, b =. Pour a = et b =, pour a = 65 et b = 7, o a le même codage que pour a = 5 et b =. b. Soit r (x) le reste de a x + b das la divisio par 6. O a a a = k 6 et b b = h 6 avec k et h etiers. Doc ax + b = a x + b + 6 (kx + h).

3 Or a x + b = 6q + r (x) avec q et r (x) etiers et r (x) < 6 doc ax + b = 6(q + kx + h) + r (x) avec q + kx + h etier et r (x) < 6. O e déduit que r(x) = r (x). Les chiffrages sot doc idetiques. c. O dispose a priori de 5 = 65 clés.. a. Des lettres différetes sot chiffrées par la même lettre (le codage semble même se faire sur deux lettres seulemet). b. Or x + b = 6q + r(x) et x + b = 6q + r(x ) avec q, q, r(x), r(x ) etiers, r(x), r(x ) < 6 doc (x x ) = 6(q q ) + r(x) r(x ) d où r(x) r(x ) = (x x q + q ) avec x x q + q etier. Comme r(x), r(x ) < 6 o a 6 < r(x) r(x ) < 6 doc r(x) r(x ) e peut predre que les valeurs, ou. Or et ot le même reste das la divisio par 6, doc il y a que deux lettres possibles das le chiffremet. c. Pour a =, autre diviseur de 6, deux lettres différetes sot aussi codées par la même lettre. TP. Le ombre et la somme des diviseurs A.. a. = = = 8 = 6 : égalités et 8 diviseurs positifs. b. 5 = 5 = 5 : deux égalités et diviseurs positifs ; 6 = 6 = 8 = : égalités et 5 diviseurs positifs.. a. < a < b doc a < ab < b soit a < < b. Doc a < < b. b. Toute décompositio = ab avec a < procure deux diviseurs disticts de. Le ombre de diviseurs positifs de est doc impair si et seulemet si ue décompositio e produit de deux facteurs e procure qu u diviseur c estàdire si et seulemet si est u carré parfait. B.. Pour = 5, E 5 et D pred successivemet les valeurs ; ;. La variable D compte le ombre de diviseurs de 5. D est iitialisée à. Pour a =, D est augmetée de (ce qui correspod aux deux diviseurs doés par 5 = 5) puis pour a =, D est à ouveau augmetée de (ce qui correspod aux deux diviseurs doés par 5 = 5).. Pour = 6, E 5 et D pred successivemet les valeurs ; (pour a = ) ; (pour a = ) ; 6 (pour a = ). 6 a que 5 diviseurs. Le cas a = correspodat à 6 = e devrait pas egedrer ue augmetatio de du ombre de diviseurs mais de seulemet.. Algorithme Lire D pred la valeur Pour a allat de à E Si a divise D alors D pred la valeur D + Fi Pour Si E alors D pred la valeur D //o teste si E est u etier Afficher D Pour aller plus loi Sur Xcasfr par exemple Chapitre. Divisibilité, divisio euclidiee, cogrueces

4 TP. Ue suite de restes. a. O peut cojecturer que pour 8, u = 8 et pour < 8, b. O calcule les valeurs pour 7. Pour 8, a ( 8) = + 9 = b doc a = b + ( 8) avec 8 < +. Doc pour 8, r = 8.. a. Pour, il semble que r = + et pour, o a : E effet, pour, 6 + ( + ) = 6 = ( + )( ) doc a = b ( ) + + avec + < b doc r = +. b. Pour les premières valeurs : Il semble qu esuite : la suite (r + ) est arithmétique de raiso et de premier terme u = la suite (r ) est arithmétique de raiso et de premier terme u 6 = O aurait doc r + = + = + pour et r = + ( ) = + pour. E effet : pour : a + ( + ) = ( + ) ( + ) + = + + = ( + )( + ) doc a + = b + ( + ) + ( + ) avec + < b +. pour : a ( + ) = + = 5 = ( + )( ) doc a = b ( ) + ( + ) avec + < b. TP. La recette de Kaprekar A. Pour N = 97 : = 69 puis = 59 puis = 95 et o recommece idéfiimet = 95. Pour N = 88 : = 79 puis = 69 puis 59 et 95 idéfiimet. Pour N = 667 : = 99 puis = et o reste à idéfiimet. B.. a. U etier s écrit avec d dizaies et u uités si et seulemet si = d + u avec u 9 et d. Doc u est le reste das la divisio de par. O etre e B la formule =MOD(B;)

5 b. et c.. et. Voir fichier sur le site Math x. Il semble que l o obtiee soit soit 95 à partir d u certai rag. C.. N p = pour p.. a. Si a, b, c sot les chiffres de N ordoés e ordre croissat, N = c + b + a (a + b + c) = (c a) + (a c) = (c a) 99 qui est u multiple de 99. De plus N et N 999 doc les valeurs possibles sot 99 k avec k < soit : 99 ; 98 ; 97 ; 96 ; 95 ; 59 ; 69 ; 79 ; 89 ; 99. b. N N O complète par N N N N N N N O obtiet doc soit soit 95 das tous les cas. Pour aller plus loi O peut démotrer simplemet que : si N est u palidrome, o obtiet idéfiimet ; que tous les N p, p, sot des multiples de 9 compris etre et 999. Il semble par des essais que l o arrive toujours à ou 67, sachat que pour 67, o a = 6 7 doc qu à partir de ou de 67, la suite est costate. O peut faire afficher les listes obteues jusqu à ou 6 7 pour tous les multiples de 9 possibles à l aide d u programme. Par exemple sur Xcasfr : Chapitre. Divisibilité, divisio euclidiee, cogrueces 5

6 TP. Des sauts de puce A.. Le e saut de la puce l amèe sur la case 5.. Le e saut de la puce l amèe sur la case pour la deuxième fois (la première fois état au e saut).. No. B.. u u. O e déduit que, durat le premier tour, u.. Quad o dépasse la case, la positio de la puce s obtiet «au tour près» ; c est le reste de la divisio de par, c estàdire les deux deriers chiffres de.. Le uméro u s obtiet avec les deux deriers chiffres de qui sot les mêmes que ceux de. Doc les deux puces sot sur la même case. 99 De même, si 99, le uméro u99 s obtiet avec les deux deriers chiffres de. 99 Or Les deux etiers et ot les mêmes deux deriers chiffres. Les deux puces sot sur la même case. C.. D après la questio B.., ue puce ayat effectué + sauts est sur la même case que la puce qui e a effectué. Doc toutes les cases atteites le sot pour les premiers etiers, de à 99. Durat ces sauts, la puce ayat effectué 99 sauts est sur la même case que la puce qui e a effectué. Les cases atteites durat les sauts de à 99 sot les mêmes que celles atteites durat les sauts 99 à O met e lige les uités et e coloes les dizaies. La répartitio est pas du tout régulière. Aucue case atteite a pour chiffre des uités,, 7 et 9. Il y a quatre «curiosités» : les cases, 5, 8 et 78. TP5. Numéro INSEE. a. Il existe plusieurs solutios possibles! Ue solutio est de predre pour b le reste das la divisio de N par 6 et pour a le quotiet das cette même divisio. b. Le reste de das la divisio par 97 est ; celui de 6 = ( ) est doc 7. c. r N a 7 + b (mod 97) doc K 97 7a b (mod 97). d. Das ce cas, a = (97), b = (97) d où 97 7a b 67 (97) doc r = 55.. a. E iversat les deux deriers chiffres, la clé est, doc l erreur est détectée. b. E remplaçat 8 par 5, o retrouve la même clé 55 doc l erreur est pas détectée. 6

7 TP6. Critère de divisibilité. a. Pour, le reste est, pour aussi. Pour tout k de, k k (mod 9) avec < 9 doc k a pour reste das la divisio par 9. b. Soit u etier N d écriture décimale : aa º aa. Alors N = a + a + + a + a doc N a + a + + a + a (mod 9). c. N est multiple de 9 si et seulemet si N (mod 9) si et seulemet si a + a + + a + a (mod 9) si et seulemet si la somme de ses chiffres est u multiple de 9. d (mod 9) doc (mod 9) 7 < 9 doc le reste das la divisio de 5 58 par 9 est 7.. a. (mod ) doc pour tout k de, k ( ) k (mod ). b. Soit u etier N d écriture décimale : aa º aa. Alors N = a + a + + a + a doc N ( ) a + ( ) a + + ( ) a + a (mod ). O e déduit que N est multiple de si et seulemet si la somme alterée de ses chiffres est multiple de. c. Pour 5 6, la somme alterée des chiffres est = doc 5 6 est multiple de. Pour 5 78, la somme alterée des chiffres est = 8 doc 5 78 est pas multiple de.. Soit u etier N d écriture décimale : aa º aa. Par 8 : (mod 8), (mod 8) et (mod 8). Alors N = a + a + + a + a doc N a + a + a a + a + a (mod 8). Doc N est multiple de 8 si et seulemet si a + a + a est multiple de 8. ou plutôt : N a + a + a (mod 8) doc N est multiple de 8 si et seulemet si le ombre aaa formé de ces trois deriers chiffres est multiple de 8, ce qui est u critère plus simple à reteir. Par 6 : (mod 6), (mod 6) et par ue récurrece immédiate, k (mod 6) pour tout k. Doc N (a + + a ) + a (mod 6). Doc N est multiple de 8 si et seulemet si (a + + a ) + a est multiple de 8. Par : (mod ), (mod ) d où k (mod ) pour tout k. Doc N a + a (mod ) a + a (mod ). Doc N est multiple de si et seulemet si a + a est multiple de ou plutôt : N a + a (mod ), doc N est multiple de si et seulemet si le ombre a a formé par ses deux deriers chiffres est multiple de. TP7. U géérateur de ombres aléatoires A.. La suite semble périodique. Chapitre. Divisibilité, divisio euclidiee, cogrueces 7

8 . r peut predre m valeurs etières de à m.. r +m est le reste das la divisio de a( + m) + b par m. Comme a( + m) + b a + b (mod m), r +m = r. La suite (r ) est doc périodique. B.. O sait que u < m pour tout de doc v < pour tout. De plus, u est u etier compris etre et m doc il e peut predre que m valeurs distictes. Doc v e peut pedre que m valeurs distictes. Il existe doc deux etiers p et q tels que p < q et v p = v q. O a alors par récurrece v vqp pour tout p. La suite est doc périodique à partir d u certai rag.. a. Voir fichier sur le site Math x. Les ombres représetés semblet être tirés tout à fait aléatoiremet. b. Il y a plus d aspect aléatoire das ce graphique qui met e évidece des relatios etre v + et v.. a. u + 65 u + (mod 8) doc u + 95 u + (mod 8). Or 95 = 8 doc u + u + (mod 8). b. Il existe u etier k tel que u + = u k soit u + + u = + 8k. De plus, u < 8 pour tout doc u + + u < 8k. Par suite + 8k < 8. Doc k. c. Erratum : modifier «couples (v ; v + )» e «poits M (v ; v +)». O a v + + v = 8 k doc v + = v k avec k etier, k. 8 k Le poit de coordoées (v ; v + ) appartiet doc à l ue des droites d équatios y x pour k =,, 8 ou. d. Erratum : modifier la questio e remplaçat par «Chercher à l aide du tableur u couple (v, v +) associé à u poit de la droite obteue pour k =». Il existe pas de couples solutios, raiso pour laquelle o idetifie que trois droites sur le graphique. Exercices ENTRANEMENT Pas de difficulté.. Idicatio : chercher les diviseurs de. Neuf solutios existet.. l et L 5.. a. U multiple de s écrit k (k Œ ). k fi k 76. b. La somme de multiples k et k de est (k + k) qui est multiple de.. a.. b. Oui. U poit M(x ; y) de H est à coordoées etières si x est etier et diviseur de. D où ( ; ), ( ; 6), ( ; ) et ( ; ), ( ; 6), ( ; ) aisi que ( ; ) etc. 5. Pas de difficulté.. O applique le tableau de la multiplicatio. 6 Voir corrigé e fi de mauel. 7 Sous Xcasfr, la foctio idivis ou divisors doe la liste des diviseurs d u ombre, y compris luimême, et la foctio somme calcule la somme de cette liste. O obtiet successivemet : 88, 5 7, 56, 6, Nombre iférieur à la somme de ses diviseurs propres >. 9 Voir les programmes sur le site Math x. O peut pour améliorer l affichage, rager les ombres abodats das ue liste comme ciaprès. 8

9 . ENTRÉE : ue liste vide. TRAITEMENT : pour k etier de à, o calcule la somme S des diviseurs de k. Si S < k, o rajoute k à la liste L. SORTIE : Afficher L.. Avec Xcas (la liste est ommée L) : Avec Scilab (la liste est ommée «abodats») :. Etre et pas de ombre abodat impair. O modifie le programme pour tester les etiers k de à. Le seul etier impair abodat est 95.. O modifie la boucle pour e cosidérer que les etiers k impairs. O part de k = avec u pas de.. La somme des diviseurs stricts de est 8 et la somme des diviseurs stricts de 8 est.. Immédiat.. L algorithme cherche les couples de ombres amicaux etre et et les affiche. O trouve les couples (6 ; 6), (8 ; 8), ( ; 8), (8 ; ), (96 ; 96), ( 8 ; ) et ( ; 8).. Avec u tableur : o calcule le reste de la divisio par avec MOD(ombre ; diviseur). Cojecture : a est impair si a est divisible par.. U ombre impair s écrit k + (k Œ ). D où a = k + k = (k + k). U ombre pair s écrit k (k Œ ). D où a = k.. À l aide d u tableur, o trouve que les ombres p pour lesquels p divise p + sot,,, 5, 7,.. Idicatio : p + = p +. S = { ; ; ; 5 ; 7 ; }.. 8 a diviseurs positifs et il existe 6 maières d écrire 8 = a b (a < b) car ils sot tous disticts.. 8 p p p 8 avec p et + p et de même parité. 8 = = 6 doc = ou =. Idicatio : utiliser ue suite arithmétique. p S º p p. Si p impair : p k et S pp. Si p pair : p k et S k k o divisible par p car k est impair. 5. E partat de 6, o obtiet successivemet 8, 9, 7. Comme 7 = 9, le ombre est = 6. E partat de 5, o obtiet 5, 8,. Comme = 9 + 6, le ombre est + = 5.. Cidessous, E(x) désige la partie etière de x. ENTRÉE : u ombre «pesé» (etier aturel). TRAITEMENT : p Si p est pair, r (p/), q E(r/9) sio r ((p+)/), q E(r/9) + FiSi SORTIE : Afficher q.. Si est pair, = k : o obtiet successivemet 6k, k, 9k = 9 k. D où le ombre «pesé» k =. Si est impair, = k + : o obtiet 6k +, k +, 9k + 6 = 9 k + 6 d où le ombre «pesé» k + =. 6. Si est pair, = k et = k = k est pair. Si est impair, = k +, = k + k + = (k + k) + est impair.. Si p q =, alors p = q. Doc p est pair et p aussi.. Doc p = p et p = p d où q = p. Doc q est pair et q aussi (même raisoemet).. Les etiers p = p et q = q sot pairs ce qui cotredit l irréductibilité de p q. 7 Idicatio : º doc Chapitre. Divisibilité, divisio euclidiee, cogrueces 9

10 8 O veut ab c et abc 6. a b c a + b + c Il y a passagers, car est la seule somme ambiguë. Pour de à d reste (,) c reste(( d)/,) b reste(( c d)/,) a ( b c d)/ Si (b+d)+(d+c) +(a+b)+c+a= Alors Afficher FiSi FiPour E programmat avec u logiciel, o trouve pour uique solutio 7 6. Avec Algobox : 9 abc d dcba 9a 9d b c. = 7. Idicatio : développer d 5. Idicatio : étudier le chiffre de dizaies de d et de d 6. xyz yzx zxy x y z. Cojecture : les ombres palidromes de chiffres sot divisibles par. E effet, a et b état deux chiffres (a ), u tel ombre s écrit : abba ab ba ab 9ab qui est multiple de. 5 Comme abc a b c, la relatio se traduit par : (a + b + c + d) = a + b + c + d soit 889a b c d 998 doc a ou a. L égalité modulo : 9a c est pas possible pour a et pour a, la seule possibilité est c 9. Il reste 79 bd d où d 7 et b 9. Le ombre cherché est Soit le ombre abcd. Pour tout de à o extrait ses chiffres a, b, c, d et o teste l additio proposée. Celleci s écrit : ( b + d + a + c) + ( d + c + b + a) = ou ecore (b + d) + (a + c) + (d + b) + c + a =. O fait afficher les etiers pour lesquels cette égalité est vérifiée. 7 a. No : ils dot divisibles par 5. b. Deux ombres cosécutifs sot premiers etre eux. 8 a. =, 7, 5,,,,, 5. b. = 7,, 5, 5. c. =,. d. Si + 5 divise ( + ) alors + 5 divise ( + 5) ( + ) = 7. D où peut predre les valeurs 6,, ou et ces valeurs covieet. 9 Immédiat. a. d P et d P 5 fi d P5 5fi d P b. d P 6 et d P 9 5 fi d P959 6fi d P a. Le PGCD d de et + est tel que d divise + =. b. Le PGCD d de + et + est tel que d divise ( + ) ( + ) =. Exercice corrigé e fi de mauel.

11 a. impair s écrit k + d où k k. d divise (k + ) et (k + ) implique d divise k k. b. multiple de s écrit k d où k k. d divise (k + ) et (k + ) implique d divise k k.. d P et d P fi d P fi d P. d P k et d P k fi d Pk k kk fi d P. multiples de :,, et. = a diviseurs :, et.. Le programme affiche le ombre de diviseurs des multiples de compris etre 5 et.. 99, 9, 79 et 66 ot diviseurs. O calcule das u tableur les ombres + et + 8 aisi que le reste (=MOD(ombre ;diviseur)) pour quelques valeurs de : 5. Predre x et y et appliquer les résultats des questios. et. 6 a. 7 = b. = c. 6 = 6 ( ) +. d. = ( ) Idicatio : chercher le quotiet. =. 8. L algorithme revoie le reste das la divisio de par.. O obtiedra, qui correspod au reste das la divisio par de a bq r et a68 qb r fi q. Exercice corrigé e fi de mauel.. billets de 5, billet de et billet de.. O demade la somme S. Das la divisio de S par 5, c est le quotiet et r le reste. Das la divisio de r par, v est le quotiet et d le reste. Das la divisio de d par, le quotiet est e. Le distributeur doe c billets de 5, v billets de et e billets de. Programme sur AlgoBox, e déclarat les variables c, r, v, d, e comme ombres : Cojecture : le reste est 6 pour. Démostratio : + 8 = ( + ) est le reste dès que 6 < + soit. a. Si >, c est la divisio euclidiee de + + par. b. Si >, c est la divisio euclidiee de ( ) par et, pour > 8, la divisio euclidiee de ( ) par. c. C est la divisio euclidiee de ( + ) par et, pour >, la divisio euclidiee de ( + ) par Immédiat.. Il faut > + soit >. 6. O calcule le reste de das la divisio par pour quelques valeurs de. Cojecture : est divisible par sauf si est multiple de.. Das la divisio par, les restes possibles sot, ou.. Si = k, 9k est premier avec. Si = k +, = 9k + 6k est divisible par. Si = k +, = 9k + k + est divisible par. 7 Il faut extraire les chiffres x, y et z de l etier = xyz. ENTRÉE : u ombre à chiffres TRAITEMENT : z reste(, ) ; y reste(( z)/, ) ; x ( y z)/. S (x+y+z) SORTIE : Afficher S Chapitre. Divisibilité, divisio euclidiee, cogrueces

12 8. = = + 7 = = = ENTRÉE : N. INITIALISATION : k =. L est ue liste vide. TRAITEMENT : Tat que N > Faire Tat que k N Faire k k+ Fitatque a ^(k ) ; L L + a ; k ; N N a ; Fitatque SORTIE : Afficher L L algorithme s arrête car N pred des valeurs positives strictemet décroissates.. a. O a bie = De plus = (somme de termes d ue suite géométrique) qui est iférieur à. b. Si l écriture sous la forme d ue somme de puissaces de était pas uique, le quotiet et le reste e seraiet pas uiques.. = = 7 = 8 = 5 = 5 a. 8 9 b. 6 c Exercice corrigé e fi de mauel. 5 O cosidère les restes modulo 6 (à l aide d u tableur) : Das tous les cas, le produit est cogru à modulo ab = a + b avec b <.. O programme la coloe E à l aide du résultat démotré au. Cojecture : le chiffre des uités est sauf das le cas 5 où il est égal à. Pour aller plus loi Avec Xcasfr Démostratio : il y a 5 restes possibles modulo 5. O utilise ecore u tableur pour calculer les restes das tous les cas. Avec Scilab Modulo 5, le produit est ul sauf si 5. Das ce cas, il est égal à. 9 a b d a b divisible par d. a. No b. No c. No d. Oui 5. Les chiffres des uités des puissaces de sot,, 9, 7,,, Cojecture : les chiffres des uités sot,, 9 et 7 quad la puissace est,,, modulo.

13 Démostratio : = 8. Doc. Doc p k k pour k =,, ou et doc p k a le même chiffre des uités que k.. doc a même chiffre des uités que. Or doc le chiffre des uités est. 55. Se termiet par :, 5, 9.. Cojecture : se termiet par, les puissaces de cogrues à modulo. Démostratio : = 6 doc p se termie toujours par 6. p k p k où k =,,, a même chiffre des uités que 6 k, c estàdire : 6,,, est divisible par 6. Il suffit de vérifier que + est luimême divisible par 6. Calculos les restes modulo 6 das u tableur : 6. Il a duré jours soit 88 jours.. Le 5 vedémiaire a I était le mardi 6 octobre u = 7, u = 7, u = 97, u = Cojecture : le chiffre des uités est 7 pour >.. L hypothèse est vérifiée pour =,, et. Si elle est vérifiée pour l etier k, u k 7. Alors, u k et elle est vérifiée pour k +. Fialemet pour, le chiffre des uités est O remplit le tableau pour tous les restes possibles modulo pour a et b. O costate que les deriers chiffres de a et ceux de b sot tous différets. La somme est toujours divisible par Vrai. Le chiffre des uités d u ombre est le reste modulo de ce ombre. O vérifie avec u tableur, pour de à 9, o a bie a. Il y a 8 jours etre le er javier et le 9 javier. Comme 8, 7 o est ecore u dimache. b. Il y a = 7 jours etre les dates. Comme 7 7, o est u ludi. c. Il y a 66 jours etre les deux dates. Or 66, 7 o est u mardi. d. O est u jeudi. 59 Du // au //, il y a 9 aées dot 7 bissextiles. Esuite il y a = 5 jours jusqu au /6/. Soit au total : = 7 jours. jours etre les deux dates. Or Le er javier état u ludi, ous seros u samedi. 6. Durat le XXI e siècle, il y aura aées dot bissextiles soit = 6 5 jours.. Or doc le er javier sera u samedi et le // u vedredi. 6 Le juillet 789 était u mardi. 6. Il y e aura de jusqu e 96.. Quatre dimaches e,, 6 et 88.. O e peut avoir a = b car les deriers chiffres e coïcidet jamais.. No. 66. a. 6. b. 8 = + doc 8 = ( ). D où u = est divisible par. Supposos que u soit divisible par ( ). 5 O a u, u et u. Doc u est divisible par. 67 Exame des cas où i a i b e sot multiples de : a º b º ab º ab º Chapitre. Divisibilité, divisio euclidiee, cogrueces

14 68. Si est pas multiple de 5, 5.. p et p ot la même parité et p est divisible par x º 5 x º 5 O veut x y z doc x y z 5. Or les seules additios vraies modulo 5 avec ; et comportet forcémet le. L u au mois des ombres est divisible par 5. 7 Exercice corrigé e fi de mauel doc ; 7 ; 7.. p p 7A. 7. Cotraposée : a pair implique a pair. Évidet.. Pas de difficulté. Pas de difficulté 7 La démarche est correcte et la coclusio aussi mais il faut partir de b = k +. 8 à 99 Exercices corrigés e fi de mauel.. Le produit est et la somme s.. = = 6 = 5. La somme s peut predre les valeurs, 8 et 57. x º x º x y est cogru à, ou modulo. Comme 5 7, il y a pas de poit répodat à la questio.. ; ; ; 5 ; 6 ; ; 5 ; 5 ; ; 5 ; 75 ; 5.., ou 5 car doit diviser 5. m a a a a ; p 7 8. Sas difficulté. ; a m p ; 5. Aucu des huit diviseurs de est racie de x x x. 6 Notos k le ombre de villes desservies actuellemet et le ombre de villes supplémetaires. O a k k kk 76 soit k 76. Comme et k sot de parité différetes,, k et que 76 = 9 ceci est possible que pour et k 9 c estàdire et k a. Les etiers pairs sot bleus et les impairs rouges. b. est de couleur rouge comme. 5 a même couleur que. De plus doc la couleur est celle de, et doc celle de 5, soit rouge. 5 a même couleur que 9 doc rouge. 9 9 aisi que est doc bleu, doc. 9 9 est bleu égalemet. Erratum : à la re lige, lire r au lieu de c. À la e lige : lire (b ) au lieu de (a b). Puis lire «Démotrer que si r, a b et b r Si a bq r avec b alors a r q. r b b b a même couleur que b r. Doc les ratioels a b et b sot de même couleur si q r est pair, de couleur différete si q est impair.. a. Détermier la couleur de a reviet à écrire b l algorithme d Euclide pour les etiers a et b jusqu à avoir u reste ul puis à calculer la somme des quotiets. a est de la couleur de celleci. b D où l algorithme : ENTRÉE : deux etiers aturels a et b (b ). INITIALISATION : S, r. TRAITEMENT : Tat que r > faire q quotiet(a, b), r a bq S S+q, a b, b r Fi de Tat que. SORTIE : Si S est pair afficher «a estbleu» sio b afficher «a est rouge». b b. La programmatio est aisée sur u tableur : La somme des quotiets est doc / est bleu.

15 . D après la règle, est de la couleur opposée à celle de qui est bleu (couleur de ). Mais il est aussi de la couleur de qui est de la couleur de car. Cotradictio. 8. Soit. º º 5 º 5 º et 57 5 doc Si est impair, est divisible par 5.. O programme les restes das la divisio par à l aide de la foctio MOD. Cojecture(s) : la suite des restes de das la divisio par est périodique de période. La suite des restes de das la divisio par est périodique de période 5. Le reste de la divisio par de + est ul quad se termie par 5. Démostratio : 9 doc d où, si r,,, : k r r. Idem avec d où, si r,,, : k r r. Il suffit doc d examier les cas r de à. Le reste est ul pour r 5 soit 5.. et sot cogrus à modulo doc la suite des restes de + modulo est périodique de période. Puis o examie les restes pour,,. Aucu est ul. 9 Erratum : XX à la place de XX Questio : à la place de : La clé est 8.. Le premier chiffre est u. Camille est u garço. p p 7 : les restes des divisios de p par 7 sot, ou. 7 : les restes des divisios de 7 par sot, 5, 9, ou.. 5, 6, 7, 8, 9 sot ciq etiers tels que les différeces de deux d etre eux e sot jamais multiples de 6. O e peut trouver six etiers ayat cette propriété.. a. Ciq restes sot possibles. b. Il y a six restes et ciq valeurs possibles. Deux des restes sot forcémet idetiques. c. La différece des deux etiers correspodat aux deux restes idetiques est u multiple de 5. Il y a puissaces de d exposat iférieur ou égal à et restes. C est évidet pour les etiers de à. Parmi dix etiers cosécutifs supérieurs à, ciq sot impairs ; parmi ces ciq etiers impairs, u seul est multiple de 5, u au maximum est multiple de 7 et deux au maximum sot multiples de. Il existe au mois u etier impair p parmi les ciq, divisible seulemet par des ombres premiers supérieurs ou égaux à. Aucu des euf autres ombres parmi les dix e peut être divisible par ces ombres premiers. Cet etier p est premier avec les autres. Le pricipe est basé sur la décompositio d u des facteurs e base. e base doc a. p est impair car p est impair. b. p = p + doc p = p + p +. d est impair car d.. a. q et r sot pairs car 5d et d sot pairs. b. r q = 8d doc r q = d. Si q et r étaiet de parité différetes, la différece q r e pourrait être paire. La différece est u multiple de doc d est pair.. Cotradictio etre le. et le. : d existe pas. 6. a. La e lige sera. b. À partir de, la e lige est. À partir de 5, c est 7. x y x x + y () y x + y () x + y () x + y () x + y () x + y () 5x + y () x + 5y () 5x + y () 9x + 9y () x + 5y () x + y () x + y () x + y () 7x + 7y () x + y () x () y () Chapitre. Divisibilité, divisio euclidiee, cogrueces 5

16 La e lige est idetique à la e : par période d ordre 8, la e est idetique à la e.. a. Les périodes possibles sot les diviseurs pairs de 8 soit ; ou 8. b. Il faut x y ou x y. c. Il faut x y ou x y 5 ou x y ou x y 5. d. La période est si x y ou x y, elle est si x y 5 ou x y 5. Sio la période est 8. d. Ue lige est ulle si la secode est ulle, doc si x y. k. p p doc p pk.. pk pk p doc rk rk p U terme de la suite est ue puissace k si il existe p et k tel que p k. L extrait du tableur demadé permet de cojecturer que la puissace est jamais présete das la suite. Il est évidemmet itéressat de justifier que, modulo, p k est toujours cogru à ou. 7. a. a b. a est impair doc a est impair. b. Il existe k Œ tel que a k alors a k k k. a k k kk doc divise a. c. d P a et d Pb fi d Pa b fi d P.. a. Solutio évidete (, ). b. a b ab a b. c. L applicatio de la formule doe (, ), (7, ), (99, 7).. a. Algorithme ENTRÉE : a 99, b 7 TRAITEMENT : Tat que (a < ) ou (b < ) Faire c a, a a + b, b c + b, Fitatque SORTIE : Afficher a, b Le premier couple affiché est ( 6, 78). 8. a. 9 est impair doc a puis a aussi. b. O étudie les restes des carrés modulo. a a Pour, et a 9 ; impossible.. a. doc k et k. b. 9 est pair doc a puis a aussi. 9 doc a 9 ou. Seul est possible et das ce cas est pair. c. 9 a p a p a p a. La seule solutio est a et p d où.. a. O a a 5 or modulo, u carré est cogru à ou et 5k 5 5k. b. 9 5 p a 5p a 5p a5 p a a pour solutio uique p et a. 9. a. u =, u =, u 7 = 5. b. u k k fi : impossible.. a. Modulo 9, u etier est cogru à la somme de ses chiffres doc chacu des ciq ombres est cogru à S et 5S b. 6 S. Etre 6 et, seuls et 9 vérifiet 5 5 9S.. a. La somme des 6 etiers comporte a b c cetaies et autat de dizaies et d uités. Cette somme vaut doc abc soit abc S. b. 67 N S et N 987 doc 7 S 59. Ceci est pas vérifié pour S 9, et pour S, o a 67 N soit N 6 et o vérifie que 6 est bie solutio du problème.. E utilisat les mêmes otatios o a : S Ici S. Etre et, seuls 5 et vérifiet S 9. La somme des etiers vaut 6 666S N 6 666S et N doc S 6 9. Ceci est pas vérifié pour S 5, et pour S, o a N 5 98 et o vérifie que 598 est bie solutio du problème. 6

17 A.. a. Affiche b. Affiche 6 c. Affiche. Quad b divise a car alors r est ul dès l iitialisatio.. a. Affiche b. Affiche c. Affiche 5 5. Le ombre obteu semble être u multiple commu de a et b. B. Voir B de l activité du chapitre. A.. Le triagle AB C est rectagle e B car la symétrie axiale coserve l orthogoalité. CB ^ CB implique CB ^ CB. Comme l agle e A a pour mesure 5, l agle e C aussi et le triagle est isocèle.. AB AC BC d où a d a ; AC AB CB d où d aa a d. B.. 5 a d a d a 9 5 d a 5 d 7 7 C. Si p, e preat a q q, o a d p. Les mesures de la diagoale et du côté du carré iitial sot des etiers, et il e est de même pour chaque carré itéré. Or a a d et d d a motret que les suites doivet être strictemet décroissates. Ceci est impossible : les mesures iitiales e peuvet être simultaémet des etiers et il est doc pas possible d écrire comme quotiet de deux etiers e chiffre = er chiffre de e chiffre = er chiffre de 7. Soit a, aq et aq les trois termes. O veut a qq 9 avec a et q etiers aturels. C est le cas pour a et q 9 ou a 7 et q ou a et q. 5 a a 7 7 doc a est divisible par 7 et 7. 6 x b x b xxbx bx b b bb. E base b, les chiffres du résultat sot ; b et b. E base, c est u 7, u 7, u 97 et u Cojecture : le derier chiffre de u est 7.. La propriété est vraie pour. Si elle est vraie pour k alors 8u k se termie par 6 et 8u k par 7.. a. u, u 56, u 8 et u 6. Cojecture : u k se termie par 6 et u k par. b. La propriété est vraie pour. Si elle est vraie pour k, alors 5u k se termie par 5 et u k par 6. Puis 5u k se termie par et u k par. 8 Faux : = 9 (mais vrai si les etiers sot o uls). 9 Tableau de cogrueces modulo. x x x Comme 7x est jamais cogru à modulo, 7x y a pas de solutio etière.. Si u a r p, alors u pr p pr r p r.. Les carrés des multiples de e sot pas présets das la suite. E effet r 6k fi. a. x yx y car x y et x y ot la même parité d où x et y. b. Idicatio : xx y 6 6. ( ; 9) ; ( ; ) ; (6 ; 7) ; ( ; ) ; ( ; ) ; ( ; 7) ; ( ; ) ; (6 ; 9) et les couples d opposés peuvet satisfaire l équatio. c. Idicatio : x yx xy y E étudiat les cogrueces des cubes modulo 9, o a x y. x; yœ ; 9; 9; ; ; ; ;. d. Idicatio : écrire x y. S ; ; ; 5; ; ; ;. Chapitre. Divisibilité, divisio euclidiee, cogrueces 7

18 . à. a ; b ; c ; d.. ENTRÉE : p, q et tels que la fractio soit p q TRAITEMENT : Pour k de à faire a reste(p, q) ; afficher a, p quotiet(p, q) ; FiPour O part de la droite et o complète la multiplicatio : x Le ombre est Pour qu u ombre soit divisible par, il doit se termier par. Pour être divisible par, ses deux deriers chiffres doivet être divisible par.. coviet aisi que tout ombre dot l écriture décimale se termie par.. Soit a u ombre de chiffres ou divisible par. Si a est pair, a a est divisible par. Si a est impair, a a est divisible par. Par récurrece, ue telle écriture est possible pour quelcoque A B doc C < (9 doat la somme maximale ). Or 7 9 doc 7 9. Or 7 9 et 8. Doc Doc 7 9. Par suite, A puis B puis C sot cogrus à 7 modulo 9. Comme C <, la seule valeur qui coviee est C = 7. 8

19 Nombres premiers Résolutio de problèmes Le ombre de diviseurs positifs d u etier. No : a diviseurs et 5 e a que. a u seul diviseur. 6, 7, 8, 9 et 96 ot diviseurs.. a. Ils sot impairs à part. b. Les paires de ombres premiers jumeaux sot : (, 5), (5, 7), (, ), (7, 9), (9, ), (, ), (59, 6), (7, 7). c. Oui. Exemple : 8 = d. k est premier pour k, sio, il admet plus de diviseurs (,, k au mois). Pour k, k admet plus de diviseurs (,, au mois). Tout etier s écrit k ou k + ou k + ou k + (il y a restes possibles das la divisio euclidiee par ). Pour >, i k i k + e sot possibles. La réciproque est fausse : + est pas premier, i +.. a. Les etiers dot le ombre de diviseurs est impair sot,, 9, 6, 5, 6, 9, 6, 8 et. Cojecture : ce sot des carrés. E effet, soit = p. Pour trouver les diviseurs de, o écrit sous la forme d u produit de = a b. Chaque écriture doe diviseurs disticts sauf das le cas = p p. Le ombre de diviseurs est doc impair. Das les autres cas, il est pair. b. Les etiers qui ot trois diviseurs sot :, 9, 5 et 9. Cojecture : ce sot les carrés d u ombre premier. E effet si = p avec p premier, les seuls diviseurs de sot, p et p et c est le seul cas où cela se produit. Les etiers qui ot ciq diviseurs sot : 6 et 8. Cojecture : ce sot les puissaces quatrièmes d u ombre premier. E effet, si = p avec p premier, les seuls diviseurs de sot, p, p, p et p et c est le seul cas où cela se produit. Le crible d Ératosthèe. Avec 5, le premier ombre à barrer est 5 et avec 7, le premier ombre à barrer est 7.. a. Si u ombre o barré était pas premier, so plus petit facteur premier serait. Il serait au mois égal à qui est pas das le tableau.. b. Il faut barrer les multiples jusqu à. E effet si u ombre o barré était pas premier, so plus petit facteur premier serait 7. Il serait au mois égal à 7 qui est supérieur à. est l etier p positif tel que : p p soit p p. C est la partie etière de. Chapitre. Nombres premiers

20 Combie de ombres premiers?. a. 5 + = qui est premier. b = qui est premier = 7. Les diviseurs premiers sot 7 et 5. Das les trois cas, les ombres premiers trouvés e fot pas partie de la liste iitiale.. Remplacer l éocé de la questio a. par «Étudier et compléter la démostratio e termes moderes cidessous.» a. er cas : N est strictemet supérieur à chacu des p i (pour i Œ {,, r}). b. e cas : si p est l u des p i, p divise le produit p p..p r doc aussi la différece N p p p r c estàdire p divise ce qui est absurde car p est premier. La répartitio des ombres premiers. a. Etre et, il y a ombres premiers, égalemet etre et, aucu etre et. b. 7 Œ ]5 ; [, Œ ] ; [, 77 Œ ]5 ; [.. a.! = ;! + = 6, multiple de ;! + = 7, multiple de ;! + = 8, multiple de. b. 5! est multiple de,,, 5. Pour k =,,, 5, o peut doc mettre k e facteur das la somme 5! k. c. 6! +, 6! +,, 6! + 6 sot respectivemet multiples de,,, 6. d. Les ombres cosécutifs ( + )! +, ( + )! +,, ( + )! + + sot tous composés. TP. Des algorithmes pour trouver les facteurs premiers A.. = Fact = [,,, 5, 5, 7].. Il est clair que les valeurs de Div ajoutées à la liste Fact sot des diviseurs de. Si la décompositio de compred p a avec p premier, l algorithme ajoute a fois la valeur p e procédat aisi : Div Fact p [p] p a p [p, p] p a p [p, p,, p] p + B.. O commece par traiter le cas de Div = puis, à partir de, Div pred la valeur Div +. Saisir Fact pred la valeur [ ] Tat que est u diviseur de, Faire ajouter à la liste Fact ; pred la valeur / FiTatque Div pred la valeur. Tat que >, Faire Si Div est u diviseur de, ajouter Div à la liste Fact ; pred la valeur /Div ; Sio Div pred la valeur Div + ; FiSi FiTatque Affichier la liste Fact.. O teste comme cidessus les cas de et.

21 Saisir Fact pred la valeur [ ] Tat que est u diviseur de, Faire ajouter à la liste Fact ; pred la valeur / FiTatque Tat que est u diviseur de, Faire ajouter à la liste Fact ; pred la valeur / FiTatque k pred la valeur Tat que >, Faire Div pred la valeur 6k Tat que Div est u diviseur de, Faire ajouter Div à la liste Fact ; pred la valeur /Div FiTatque Div pred la valeur 6k + Tat que Div est u diviseur de, Faire ajouter Div à la liste Fract ; pred la valeur /Div FiTatque k pred la valeur k + FiTatque Afficher la liste Fact TP. Les sommes d etiers cosécutifs A Mais est pas la somme de quatre etiers cosécutifs. 6 e peut s écrire comme somme de deux, trois ou quatre etiers cosécutifs.. a. Les cases B5, C et F cotieet 7. La case F correspod à = et m = 5. Doc 7 est la somme de 5 + = 6 etiers cosécutifs e partat de : 7 = De même 7 = (pour la case C) et 7 = + (pour la case B5). b. Das la coloe B figuret tous les ombres impairs supérieurs ou égaux à. E effet u ombre impair s écrit + = + ( + ). Il est doc bie la somme de deux ombres cosécutifs. c. Das le tableau figuret tous les ombres iférieurs à 5 sauf,,, 6 et. Il semble que seules les puissaces de e puisset s écrire comme sommes d etiers cosécutifs. B.. x = + ( + ) + + ( +m) est la somme de (m + ) termes d ue suite arithmétique de premier terme et de m raiso. O a doc : x m soit x = (m +)(m + ).. Si x est ue puissace de, il e est de même de x. Or, si m est pair, alors m + est impair. Iversemet, si m est impair, m + est impair. Das les deux cas, u des facteurs de x est impair. Ce qui est impossible si x est ue puissace de.. a. Si x =, alors x = 68 qui s écrit 7. Par idetificatio avec l écriture (m + )(m + ), o e déduit m = et = 7. Doc x est la somme de + = etiers cosécutifs e partat de 7 : x = b. Soit x pair o puissace de. La décompositio de x e facteurs premiers comporte (puisque x est pair) et au mois u autre facteur impair sio x serait ue puissace de. O a bie, si a est l exposat de das la décompositio, x = a N avec N impair. Par suite, x = a+ N. D autre part, x = (m + )(m + ). Chapitre. Nombres premiers

22 Distiguos deux cas. a+ N : das ce cas, o idetifie m + = a+ et m + = N. O e tire m = a+ qui est impair. m N m est pair et o e déduit l etier N. a+ > N : das ce cas, o idetifie m + = N et m + = a+. O e tire m = N qui est pair. a+ a m m est pair et o e déduit l etier. Das les deux cas, o a bie pu trouver deux etiers m et tels que x = + ( + ) + + ( + m). C. D après ce qui précède, tous les etiers supérieurs ou égaux à, à l exceptio des puissaces de, peuvet s écrire comme sommes d etiers cosécutifs. TP. Le test de Fermat et les ombres de Carmichaël A = (), = 5 6 (6), = 9 6 (8).. Das le tableau, les liges sot composées de quad est premier. Cojecture : si est premier et a etier aturel, alors a a (). B.. a. = 8 = 6 +. b. = + 9 doc = ( ) 9. Par suite 9 () soit () et efi (). Par ailleurs = ( ). Doc () d où (). c. No. est pas premier.. a. et b. O vérifie à l aide d u logiciel de calcul formel. c. m sert à garder e mémoire la valeur iitiale de r. Pour chaque valeur de a comprise etre et 56, r pred successivemet les valeurs du reste de a k modulo 56, avec k =,, 56. La derière valeur de r est le reste de a 56 modulo 56. Si a 56 est pas cogru à a modulo 56, t pred la valeur. Si o obtiet l affichage «pseudopremier», c est que, pour tout a etier de à 56, o a a 56 a (56). d. Voir le Poit Ifo. TP. De Mersee à Lucas Lehmer A.. M est premier pour : Œ ; ; 5 ; 7 ; ; 7 ; 9. Si est composé, M est composé. Si M est premier, est premier.. Idicatio : utiliser ue suite géométrique. Si est composé, ab, ab a a b ab º avec a doc a. est composé.. O a d doc d. B.. d d doc d ŒI, I est pas vide. Toute partie de o vide est miorée par et admet u plus petit élémet p avec p car (d). p q r. Soit élémet de I ; o a qp r avec r p et. Comme p d, p q d et r d doc r par défiitio de p et de r. O a doc qp.. E particulier p qp avec p premier doc p p. Comme d appartiet à I, d est u multiple de p. Si d divise M p p avec premier, d kp doc d kp. Or d et p sot impairs doc k est pair et d k p. C.. a. Il y a 9 etiers d de la forme 8k avec d 77 et k. b. Si k m, d 8 m. Si k 5m, d 58 m. Si k 7m, d 78 m.

23 c. Les valeurs de k possibles sot : 5 ; 6 ; ; ; ; 5 et 7. Celle de d sot :9 ; 9 ; 9 ; 57 ; 5 ; 57 ; 67. M 9 est divisible par aucu de ces sept ombres : il est premier.. D après la questio B., le premier diviseur possible de M est soit 7 et 7 divise M. M est pas premier. D.. Récurrece immédiate.. a. Ri Si Mp doc R i S i Mp et R i S i Mp d où Ri R i Mp. b. c. C est p et M = 7 = 89 est pas premier. d. Quad u des restes est ul c est au rag p. O vérifie que ces M p sot alors premiers. e. Les restes sot égaux à. f. Si S p r alors Sr S p r, puis o fait ue récurrece.. a. Si s = alors Afficher «M est premier». Sio Afficher «M est composé». b. c. Voir fichiers sur le site Math x. Exercices ENTRANEMENT 8 9 est premier. ou ou il existe u etier p strictemet supérieur à tel que le quotiet soit etier strictemet supérieur à p.. Si le premier chiffre d u des termes d ue paire est pair, le deuxième terme de la paire sera pair.. {, }, {7, 7}, {7, 7} et {79, 97}. 6. ENTRÉE : etier aturel iférieur à 5. TRAITEMENT : + Tat que o premier faire + ; FiTatque Programme Xcas a. No b. Oui. 5 Exercice corrigé e fi de mauel. Pour, l algorithme s arrête au bout de étapes. Chapitre. Nombres premiers 5

24 7. L algorithme affiche,, 7,.. L affichage suivat est 87 = 9 o premier. 8 Exercice corrigé e fi de mauel. 9. F = ; F = 5 ; F = 7 ; F = 57.. F = premier.. F 5 divisible par 6. Si a b = (a b)(a + b) est égale au ombre premier p, c est que a b = et a + b = p. p Il faut p impair et o a : a, b p.. a = ( )( 5). b. Pour 7, les deux termes et 5 sot supérieurs à = ( )( 9) est composé dès que 6 aisi que pour = ou ou 5. (a a + ) (a + a + ) = a a + qui est pas premier sauf pour a =. = + + = ( + )( + + ) = 9.. Les restes sot égaux à dès que >.. U ombre premier impair s écrit = p + d où = p + p +.. La réciproque est fausse car la propriété est vraie pour tout ombre impair. Exercice corrigé e fi de mauel. 5 Cotraposée : si a et b e sot pas premiers etre eux, la somme est divisible par u etier supérieur à (diviseur commu de a et b). p p 6 Si p, Si 9 k, k, Si, f. 9. a. Si k, N 5 k b. O étudie avec u tableur tous les cas possibles. c. Si = 5, N = 69 = 7 7 Si = 5, N = Si = 5, N = () o e sait pas ; () faux ; () vrai ; () faux a. O développe. b. O pose = 5, 5 ou 5 et m =. c. Fialemet, N est jamais premier. Pas de difficulté (calcul metal). Exercice corrigé e fi de mauel. a. ; et 5. c. et. b.. d = 5 7. Il faut multiplier 6 par = 57. Il faut multiplier 56 par 57 = 5. Exercice corrigé e fi de mauel = 5 : 6 a 5 diviseurs soit.. Le carré du PGCD divise 6 et le PGCD a six diviseurs doc PGCD = 8 d où a = 8 et b = 9. 6.! a u diviseur,! e a deux,! e a quatre et! huit. O peut cojecturer que! a diviseurs.. Vrai pour = 5 mais faux pour = 6. 7! = ! a doc 9 5 diviseurs soit 7. 8 a. Faux. Elle se termie par zéros. b. Vrai.! a diviseurs soit 5 9 qui est u diviseur de! c. Vrai. Les cubes possibles avec sot,, 6, 9,, 5, 8. De même ceux comportat sot,, 6. Efi, avec 5 : 5, 5. Il y a doc 7 = cubes. 9,,, 5, 8, et 6. 6 fim Les carrés des ombres pairs sot pairs. Les carrés des ombres impairs sot impairs.. (k) = k et (k + ) = (k + k) +.. Vraie.. Les exposats des facteurs premiers sot tous pairs. 6

25 . Das la décompositio de a et b, o cosidère le facteur premier. Das celle de a, so exposat est pair, das celle de b, il est impair, ce qui est impossible. Si était ratioel, il existerait a et b etiers aturels tels que a = b. O raisoe comme à l exercice e cosidérat cette fois le facteur premier.. U réel x s écrit après simplificatio sous la forme a b, avec a et b etiers aturels supérieurs ou égaux à si et seulemet si les exposats des facteurs premiers de x e sot pas tous pairs, i tous impairs. 5 Exercice corrigé e fi de mauel. 6 7; a 76 ou a : ; 5 : ; 5 : 5 ; 5 :.. a Il y a diviseurs. b. O résout. Vrai pour. 8. N est impair.. C est démotrable par l absurde. 9. et. 6 et 8.. Pour de jusqu à, calculer la somme S des diviseurs de. Si S =, afficher.. 6 ; 8 ; 96 5 et Les diviseurs de a ot les a i, i, de somme a a.. sn r a i p i. s p. i i 5 = 5. = 5. 6 Il y a 5 diviseurs. 7 à 6. Exercices corrigés e fi de mauel. APPROFONDISSEMENT 6. et.. p º p º p º p ; p + ou p + sot toujours divisibles par. Pour p =, + est divisible par 7. C est impossible.., 5 et sot premiers. 65. Exemple : = et. xx yy xy yx x x y y x y y x x yx y. 66. ; 7 ; ; 9 et.. c. Tous les diviseurs q, q,, q de N sot de la forme k + car ils sot impairs et disticts des p i. q i doc N qq º q ( ). N serait de la forme k +, or N ce qui est impossible. La liste des etiers premiers de la forme k + est ifiie. 67. a. = 5 5. b. Les cubes de,, 5,, 5, 5 et 5 diviset.. a. O étudie tous les cas. Pour x =,, 5 et, y est pas etier. Pour x = 5 et, y est égatif. b. Seule solutio : x = 6 et y =. 68. est le plus grad diviseur premier de 96. La somme cherchée est doc : S = = ( )/ = 96.. Le plus grad diviseur premier de N est doc. La somme cherchée est doc S = = (( ) )/ = ( ) = N.. Voir l exercice A. Erratum : remplacer l algorithme du mauel par celuici. ENTRÉE : etier aturel supérieur à INITIALISATION : u + ; S u/ TRAITEMENTETSORTIE : pour k de à Faire u u + ; S S*u/ FiPour Si S est etier Alors afficher Sio afficher FiSi Chapitre. Nombres premiers 7

26 . O obtiet tout le temps. 7. a. 7 7 = 9. b. La propriété est vraie pour 7 + k 9.. a. 7 = 6. O peut bie sûr utiliser u algorithme º. S. Cojecture : S est etier. B.. O sépare les pairs et les impairs das ()! : ()! = ( ) () puis o met e facteur das chacu des termes pairs. O trouve a!.. ()! =! ( + )( + ) (), d où a = ( + )( + ) (). 7. a. Pour =, l algorithme affiche,,, 8. b. Cojecture : les etiers k pour lesquels k + est premier sot des puissaces de. c. Pour = 8 o obtiet : O affie la cojecture : pour k égal à l ue des 5 premières puissaces de, k + est premier mais + e l est pas. 7 Erratum : questio, remplacer x + x + () p x p par x + x + ( ) p x p.. possède au mois u facteur premier p différet de doc = pq avec q etier aturel.. Somme des termes d ue suite géométrique : x x º px p x p. x. a aq p avec p impair. E remplaçat x par a q das la formule précédete o obtiet : a aq aq aq ºaqp a est divisible par a q avec aq a.. Cotraposée : «si est pas de la forme k alors est pas premier» implique «si est premier alors est de la forme k». POUR ALLER PLUS LOIN Voir l exercice 7. La coditio est écessaire mais pas suffisate puisque est pas premier : il est divisible par 6. b. La propriété est vraie pour 7 + k. 7. La décompositio e facteurs premiers de compred au mois u facteur avec u exposat impair.. Si a = b, avec a et b etiers aturels, il existe au mois u facteur premier p tel que l exposat de p das soit impair. L exposat de p das a est pair et impair das b, ce qui est impossible. 7. Défis impossibles.. La décompositio e facteurs premiers d u etier est le produit de a (a etier évetuellemet ul) avec u produit de puissaces d etiers premiers différets de doc impairs.. a. Il y a ombres impairs etre et. b. + etiers b i e peuvet predre que valeurs. Au mois deux sot égaux : b k = b i.. qk ak bk et ql al bl. Si par exemple ak ai, alors qk akal ql puisque b k = b l. Au mois u des etiers e divise u autre. 75. a. Seul 5 est régulier e base. b. C est la défiitio d u ombre décimal. c est régulier car 5 8 qui est 7 55 etier. d.,, 5 et 8 sot réguliers e base, car ils sot de la forme a 5b. a a a. a. régulier º k 6 6 6k 6k a 6k 6 a k º ak 6k etier. b., 5 et 5 sot réguliers e base 6. c. Les etiers réguliers e base 6 sot ceux qui peuvet s écrire a b 5c. d. Etre et 59, il y a etiers réguliers : ; ; ; 5 ; 6 ; 8 ; ; ; 5 ; 6 ; 8 ; ; ; 5 ; 7 ; ; ; 6 ; ; 5 ; 8 ; 5 ; a. 5,, 7,, 9 et. b. 5, 65, 77, 95, 9 et 5. 8

27 . U ombre s écrit 6k, 6k +, 6k + = (k + ), 6k + = (k + ), 6k + = (k + ) ou 6k + 5. Seuls 6k + et 6k + 5 peuvet être premiers.. b. N e peut être premier car il est de la forme 6k + 5 et est supérieur à tous les p i. c. Si p divise N, il divise 6p p N =. Ne pouvat être de la forme 6k + 5, les diviseurs premiers q i de N sot de la forme 6k +. Pour tout i, q i 6, doc le produit de puissaces de q i est aussi cogru à modulo 6. d. Cotradictio : N e peut être cogru à et modulo 6. Il y a ue ifiité d etiers premiers de la forme 6k A.. Voir fichier sur le site Math x.. a. Les ombres de la lige L sot tous multiples de, ceux de la lige L sot tous multiples de 5, ceux de la lige L sot multiples de 7 et ceux de la lige L sot multiples de 9. b. Aucu ombre premier apparaît das le tableau. c. Tous les ombres impairs composés de 9 à 99 sot das le tableau. d. No, est premier et e figure pas das le tableau. No, par exemple 9 est pas premier. B.. a. La suite C est arithmétique de premier terme 9 et de raiso 6 doc uk 9 6 k. La raiso r k de la suite L k est ellemême ue suite arithmétique de premier terme 6 et de raiso. Doc rk 6 k. b. Doc uk j 96k 6 k j 9 6 k 6 j kj k j. L etier uk, j situé à l itersectio de la coloe C j et de la lige L k, est u produit de deux etiers différets de. Il est pas premier.. a. L etier = 7 9 = ( + )( 8 + ) est das le tableau à l itersectio de la lige L et de la coloe C 8. b. Si l etier N + (N ) est pas premier, il s écrit N + = P + Q, où P et Q sot deux etiers supérieurs ou égaux à. P et Q sot impairs car si l u des deux était pair, N + serait pair lui aussi. État impairs supérieurs à, P et Q sot supérieurs ou égaux à. Doc P est u ombre pair positif ou ul. Il s écrit k avec k Œ d où P = k +. De même, il existe j Œ tel que Q = j +. c. Fialemet, u etier impair composé apparaît forcémet das le tableau. Ce qui sigifie qu iversemet, u etier impair supérieur ou égal à est premier si et seulemet si il y est pas. 78 Erratum : à la questio. a. remplacer «=, et» par : «=, et 5».. a. f() = 8, f() = 5, f() = 5, f() = 5 9, f() = 6 5 et f(5) = 5. b. Cojecture : f() est multiple de 5 si e l est pas. Modulo 5,,,, ou doc,,, ou et,,, ou. Doc + 6 (5) quad est divisible par 5 et + 6 (5) das les autres cas. c. Si est pair, et doc f() le sot aussi.. a. f() = 5, f() = 5 9 et f(5) = 5. b. O a f() = ( + 8)( + + 8). c. Pour tout aturel, et + 8 = ( ) + doc f() est le produit de deux etiers aturels strictemet supérieurs à doc f() est composé. POUR ALLER PLUS LOIN Si a = k où k est u etier supérieur ou égal à, + a = + (k) = ( k + k )( + k + k ). + k + k = ( + k) + k et o démotre que k + k e prouvat que le triôme k + k a pas de racie réelle doc a fortiori pas de racie etière. 79. a. p p et p p. U tableau à double etrée motre qu u et u seul est multiple de. b., et. est le seul multiple premier de.. a. Modulo, uv w v w. Doc, si uv w, alors v w. b. uv w u9k r 69k r d où u k k r. c. Les trois coordoées sot comprises strictemet etre 5 et 5. Pour r =, 5 k 5coduit à k =,,. De même pour k, et il faut 5 k k 5 soit 7 k k 7. Seule possibilité : k =, k =. D où le poit ( ; ; ). Le cas r = coduit au poit O et r = à ( ; ; ). 8 A.. 6 et 8.. a. Les diviseurs propres de p sot i avec i et k p avec k (utiliser des suites géométriques). Leur somme est p p. b. et c. Si p, la somme vaut a, qui est parfait.. Si est premier, a est parfait : pour =, a = 96 ; pour = 6, a = 8 8. B.. a. Les diviseurs de a sot i d k avec i et k p. i d  k d k doc s a sb ( ). i Chapitre. Nombres premiers 9

28 b. a est parfait si et seulemet si s a a.. a. s a a s b bb b sb b b. Si b est premier, o a s b b.. D après la questio. a, b. Tout ombre pair parfait est de la forme avec premier. 8. 7, 7, 67, 97, 7, 57.. a. Si u =, u = + r est divisible par. b. up p pr est divisible par p doc aucue suite e peut être composée de ombres premiers. c. Si le premier terme est p, il y a au plus p termes cosécutifs premiers. d. Si le premier terme est iférieur ou égal à N, il y aura au plus (N ) termes.. a. Le premier terme doit être pair, u =, et la raiso impaire. Il y a alors que deux termes. b. S il y a trois termes, ils sot impairs doc leur différece est paire. c. u a u u u u u u u est supérieur ou égal à 5. Pour que u et u soiet premiers, il faut a. De plus a est pair doc a est multiple de 6.. a. r est multiple de 5 7 =. b. Pour m = 9, o trouve : 99, 9, 69, 89, 9, 9, 59, 669, 879, C est le théorème de Pythagore.. Le volume est abc mais aussi p.. m et état de parités différetes, m est pair. Comme k m(m )(m + ) = p, p est divisible par doc p =.. dô k doc d Ô 5 7 d où d = ; o a k = ou k =. Si k =, m ou est divisible par 5 doc m 5 et mm m m a. dô met dôm fi dô m et dô par combiaiso fi dô m et dô car de impair. E effet, m et état de parités différetes, m est impair. Même chose pour m + et m +. c. L u des facteurs est divisible par et premier avec les autres facteurs. Ce facteur est doc divisible par 9. De même, u facteur divisible par 5 est divisible par 5 car premier avec les autres facteurs. 7. a. m = et = est pas solutio. Si =, m doc m ; m + et m +. Si, m + 5, m +, m, seul m peut être égal à. b. Comme < m, < m doc m + <. O a ou m supérieur ou égal à doc : (m ) et m + m doc m(m ) (m + ) m. O a aussi : (m + ) m(m ) (m + ) (m + ). c. O a m m 59 doc 59, m 59 et m m 8. Le facteur premier 7 e peut diviser que m a. Comme o a m 9 5 7, k 9. D après la questio 6. c, k =,, 7 ou 9. b. m et état de parités différetes, m est pair. c. Si m, m Si m ou, mm m. Si m et, m. Si m et, m. Par disjoctio des cas, o a : mm m 9. d. O a doc k et k 9, car les ciq facteurs sot deux à deux premiers etre eux d où k = ou k = 7. Soit q u etier ; si q pair alors q et si q impair alors q doc m. 7 7 doc m 7. e. m 7 doc m 9 et m 7 ; m. O trouve m = 8, = 7. La stèle mesure 756 dm, 85 dm et 9 dm. 8 Nombres premiers à chiffres : impossible car les 6 chiffres,,, 5, 6, 8 e peuvet être u chiffre des uités. 5, 9, 67, 8 et ou,, 5, 89 et 67 sot premiers. 8 Le poit d itersectio a pour ordoée m. Les poits de l axe des ordoées qui appartieet à aucu segmet [MN] ot pour ordoée u ombre premier. 85 et = ( 7)( ) est composé à partir de 5 puisque 7 et. Pour =,,,, 5, il est égalemet composé et pour =, il vaut.

29 = ( )( + ) est o premier dès qu aucu des deux facteurs est égal à ou, ce qui est le cas sauf pour = ou = (il vaut alors 5) ou = ou = (il vaut alors ). 88 Vrai. Le produit (a + )(b + ) est impair si et seulemet si a, b, sot pairs. 89. Quelques essais coduiset à N multiple de.. Si a premier supérieur à, il est cogru à ou modulo doc so carré et cogru à. La somme de trois d etre eux est divisible par. 9 La propriété est vraie pour tout etier impair. (p + ) + = (p + p + ) Etre et :,, 5, 7, sot premiers mis à part ce cas, das etiers cosécutifs, 5 sot pairs et u impair est multiple de 5. Il reste au mieux ombres premiers, comme,, 7 et 9 etre et.. Parmi etiers cosécutifs, il y a au maximum etiers impairs dot multiples de 5. Il y a au maximum 9 ombres premiers. Ce maximum est atteit pour les etiers de à. 9 c ( c ) + = ( c + ). Chapitre. Nombres premiers

30 PGCD, théorème de Bézout, théorème de Gauss Résolutio de problèmes Etiers premiers etre eux. a. et b. PGCD(9 ; ) =, PGCD( ; ) = 8, PGCD(8 ; 6) = 8, PGCD(8 ; 6) = 6, PGCD( ; 5) =, PGCD(5 ; ) =. c. PGCD(a ; b) = b si et seulemet si a est multiple de b et b. d. PGCD(a ; b) = si et seulemet si a et b sot premiers etre eux.. Voir fichier tableur sur le site Math x. U décompte avec la foctio NB.SI fait apparaître 6 87 couples premiers etre eux parmi les couples possibles. Paver des rectagles par des carrés A.. Le plus grad côté est.. a. À l étape, il maque u rectagle de dimesios 8. À l étape, de dimesios 8 6. À l étape, de dimesios 6. b. Le plus petit carré est de dimesios. O peut paver le rectagle iitial avec 8 7 carrés.. a = 9, b = : le plus petit carré obteu est de côté. a = 75, b = 8 : le plus petit carré obteu est de côté. B.. a. O ote r le reste de la divisio euclidiee de a par b. À l étape, le rectagle est de dimesios a = b et b = r. Si u etier d divise a et b, il divise le reste r. Il divise doc égalemet a et b. c. Le plus grad diviseur de a et b divise a et b et, par récurrece immédiate, tous les couples a k et b k pour k. d. O doit avoir PGCD(a ; b ) = b.. O peut automatiser le calcul avec u tableur. PGCD( ; 5) = Chapitre. PGCD, théorème de Bézout, théorème de Gauss

31 Bobos et chocolats x y. a. 5x 5y 6 Les solutios x 9 et y e sot pas etières. O e peut pas dépeser,6 pour cofiseries. b. Das ce cas, y x et la somme dépesée est doc 5x 5y x. O a doc x 6. La plus grade valeur de x est x et par suite y 6. Ils ot 8 cofiseries au total. 5. a. Das tous les cas, x et y sot deux etiers positifs tels que 5x 5y 6 qui équivaut bie à y x b. Soit D : y x. La zoe défiie par les iéquatios x, y et y x est costituée de l itérieur 7 et des bords du triagle OAB, où A et B sot les poits d itersectio de D avec les axes. c. Ce sot les poits à coordoées etière. Il y e a 8 pour x et x ; 7 pour x et x ; 6 pour x et x 5 ; 5 pour x 6, x 7 et x 8 ; pour x 9 et x ; pour x et x ; pour x, x et x 5 ; pour x 6 et x 7. Soit au total 79 possibilités distictes d achat. d. Trois poits situés sur la droite D représete des achats pour lesquels les,6 sot dépesés. Ce sot les poits de coordoées ( ; 7), (8 ; ) et (5 ; ). U théorème de Bachet de Mériziac A. Quad il y aura l observatio simultaée, se serot écoulés u ombre etier u de périodes pour le corps A et u ombre etier v de périodes le corps B à partir de leurs observatios actuelles. Il se sera doc écoulé 8u jours depuis que A aura été observé et 86v jours depuis aujourd hui. La différece est égale au ombre de jours qui sépare les deux observatios actuelles. O a doc 8u 86 v =. B.. Les valeurs correspodat à (u ; v) et ( u ; v) sot opposées. Les plus petits etiers positifs sot 6,, 8 et. Cojecture : ce sot des multiples de 6.. 8x 86y = 6(x y). L observatio des corps à 7 jours d itervalle est impossible puisque 7 est pas multiple de 6.. Si = 6, le tableau idique x = y =. Ce qui sigifie que l observatio simultaée a eu lieu das le passé. O coaît le poit de coordoées ( ; ). U vecteur directeur est V ur uru (86 ; 8) ou, mieux ecore V ( ; ). O e déduit que les poits de coordoées ( ; 9), (6 ; 59), et plus gééralemet ( + k ; + k) où k Œ, appartieet à la droite. Il y a doc ue ifiité de dates d observatios simultaées possibles. C.. E + cotiet par exemple a, puisque a b = a. Il s agit d u esemble d etiers o vide et mioré. Il admet u plus petit élémet d.. Pour tout etier relatif k, kd = a(kx ) b(ky ) car ax by = d, avec kx et ky etiers, doc kd appartiet à E.. Si NŒ E, il existe x et y tels que ax by = N. Supposos que N = qd + r avec r < d. O a alors r = N qd = ax by (ax by ) = a(x x ) b(y y ) avec x x et y y etiers. Doc r ŒE. Mais r est u etier positif plus petit que d. S il était strictemet positif, il y aurait ue cotradictio. Doc r = ce qui sigifie que N est u multiple de d.. Coséquece de. et. 5. a = a b et b = a b ( ). Doc a et b appartieet à E. Ils sot doc multiples de d. 6. Comme ax by = d, tout diviseur de a et b divise d (combiaiso liéaire). 7. d est doc le plus grad diviseur commu à a et b. D. Das le cas du problème, PGCD(8 ; 86) = 6. Les observatios simultaées de A et B serot possibles si et seulemet si est multiple de 6.

32 TP. Clé du RIB. a. R = B 8 + G + C + K. b. O a (97) et o e déduit 5 (97) et 8 89 (97). R doit être divisible par 97 implique B 8 + G + C + K (97). Soit 89B + 5G + C + K (97) et K 89B 5G C (97) ou K 97 89B 5G C (97). Deux etiers cogrus modulo 97 diffèret d u multiple de 97 doc il existe u seul etier cogru à (97 89B 5G C) modulo 97 et compris etre et 97. c. Ici B = 7 55, G = 9, C = 659. O e déduit à la calculatrice : 89B 5 (97), 5G 5 (97), C (97). Par suite K (97) soit K = 87.. a. R est égal à la somme Âr i i. Das la différece R R, tous les termes s aulet sauf ceux correspodat à l idice pour lequel r r. Doc R R = (r r ) = m. b. Si les clés étaiet les mêmes, m serait u multiple de 97 ce qui est impossible. c. L erreur est pas détectée si la différece R R est u multiple de 97. Par exemple, si o remplace les trois deriers chiffres 59 de C das l exemple par = 66, la clé est la même. TP. Chiffremet affie et déchiffremet (). La lettre M est codée par. Doc y = 8 (6) qui correspod à E.. a. 7x y (6) y + (6). b. 7 et 6 sot premiers etre eux. Doc, d après le théorème de Bézout, il existe etiers u et v tels que 7u 6v =. c. 7( ) 6( ) =. d. 7u 6v = implique 7u = 6v doc 7u (6). Au.a., o a vu que 7x y + (6) doc x 7u yu + u (6). Comme 7u (6) et u = 9 (6), il reste x y + 9 (6). Efi, y et c(x) sot cogrus module 6 d où le résultat. e. Le texte décodé est APPRENDRE.. Si a est premier avec 6, la méthode cidessus assure l existece de u et v et doc le décodage. TP. Chiffremet affie et déchiffremet (). a. Au coup d œil, le V ou le X. b. Le X (fréquece,) puis le V (fréquece,).. Das le codage affie, V est codé par et X par. a. O soustrait membre à membre les égalités d où a (6). u et v doivet vérifier u 6v = soit 7u v =. O peut predre par exemple u = et v = 6. D où a = et, comme a + b (6), b = 5. Attetio : d autres valeurs de a sot possibles mais il faut a premier avec 6. Par exemple, le couple (u ; v) = ( ; ) qui est bie solutio de u 6v = e permet pas de predre a =. O peut repredre la méthode vue au TP avec la clé ( ; 5). Avec les mêmes otatios, o a : x + 5 y (6) d où x y + (6). Comme ( 7) 6 ( ) =, o e déduit x 7y + 9 (6) ou x 9y + 9 (6). Ce qui permet de décoder avec la clé (9 ; 9). WXVX est décodé par LESE. b. O repred le même raisoemet avec le système (S ). Il implique par différece des deux égalités membre à membre : a (6). u et v doivet vérifier u 6v = soit 7u v =. Chapitre. PGCD, théorème de Bézout, théorème de Gauss

33 O peut predre par exemple u = et v = 6. D où a = et, comme a + b (6), b =. O repred la même méthode avec la clé ( ; ). Avec les mêmes otatios, o a : x + y (6) d où x y + (6). Comme (7) 6 ( ) =, o e déduit x 7y + (6). Ce qui permet de décoder avec la clé (7 ; ). WXVX est décodé par LSES. Le deuxième cas coduit à ue suite de lettres qui existet pas e fraçais. O retiet doc l hypothèse du système (S). À l aide d u tableur o obtiet pour texte origial : LESETRESHUMAINSNAISSENTLIBRESETEGAUXENDIGNITEETENDROITS C est la première phrase de l article premier de la déclaratio uiverselle des droits de l homme. TP. Chiffremet de Hill A.. a. E est codé par x = et T par y = 9. Doc x = et y = 9. Or (6) et 9 (6) doc ET est chiffré par CX. b. De même UD est codé par CV, IE par SW et RA par TS. Fialemet, le chiffremet du mot ETUDIER est CXCVSWT c. Le premier E est chiffré par C et le deuxième par W. L aalyse fréquetielle (voir TP ) est doc redue beaucoup plus délicate. O costate que le couple de lettres (U ; D) est codé par (L ; L). x x B.. a. La relatio s écrit y 5 7 y. b. La matrice A est iversible car deta = est différet de. O sait que A det A c. Doc x = 7x 5y et y = x + y. O pred d abord les deux premières lettres KT : x = et y = 9 d où x = 5 (6) et y = 7. Doc KT est le chiffremet de BR. O trouve esuite pour CE : UE, pour MA : GE et pour HS : LA D où le om du peitre : BRUEGEL Attetio : ici la derière lettre S du chiffremet correspod à la lettre A, rajoutée au om pour avoir u ombre pair de lettres. Mais il faut la garder! E effet le chiffremet de Hill porte sur des couples de lettres. Si o supprimait le S, ou si o remplaçait cette lettre par ue autre, o e retrouverait pas la termiaiso L du om.. a. La matrice de codage est A. Elle est iversible puisque deta =. 57 La matrice iverse est A 7 5. x Si o calcule y e foctio de x y à l aide de A, x et y peuvet e pas être etiers.

34 b. 6 = + ; = + ; = +. O e déduit aisémet ( 7) 6 ( ) = d où u = 7 et v =. c. De u 6 v =, o déduit u = 6v doc u (6). 7 d. B 5 doc u u u u B A u. Si o raisoe maiteat modulo 6, o a doc bie ub A x x e. O multiplie les deux membres de y x x A y par ub à gauche : ub ub A y y soit, modulo 6, x x u y B y. x D où y = 7 x 9 7 x 5 y 5 y ou ecore x x y y 9 5. O e déduit : x = x + y et y = 9x + 5y. I. f. Pour la syllabe JP : x = 9 et y = 5 doc x = 7 et y = 56. D où c(x) = et c(y) =. Le om commece par DA. Le peitre est DALI.. u et v existet dès que d est premier avec Das le cas du A.., la matrice de codage est et d = 86 qui est pas premier avec TP5. Ue ouvelle ère avec l asymétrie : le système RSA A.. = 8 = 7 et c = 6. Les deux ombres sot premiers etre eux.. À la calculatrice ou avec u logiciel de calcul formel, b = 78.. a. O résout 6x 7y =. Ue solutio particulière est x = et y =. L esemble des solutios est : x = + 7k et y = + 6k avec k Œ. b. d =. c. 78 (95). Si o e dispose pas de logiciel de calcul, o détaille : 78 = (78 ) 78. B.. a. c et sot premiers etre eux. La résolutio classique de l équatio diophatiee coduit à l esemble solutio idiqué. b. d est la valeur de la solutio x telle que d <.. p est premier et a vérifie a p (p) doc (a p ) q q (p) soit a (p )(q ) (p). Même démarche avec q : a (p )(q ) (q). Les relatios a (p )(q ) (p) et a (p )(q ) (q) impliquet l existece des etiers k et k tels que : a (p )(q ) = + kp et a (p )(q ) = + k q. Doc kp = k q. Comme p et q sot premiers, p/k q implique p/k d après le théorème de Gauss. Doc k q est u multiple k pq de pq. Par suite a (p )(q ) = + k pq implique a (p )(q ) (pq). b. a k = a + m(p )(q ) = a (a (p )(q ) ) m doc a k a m (pq) a (pq).. b a c (pq) fi b d (a c ) d (pq) fi b d a cd (pq) fi b d a +m(p )(q ) (pq) d après le.b. fi b d a (pq) d après le.b. TP6. La méthode des empilemets (ou du sac à dos) A.. No, elle dépasse la hauteur H. Il faut predre la boîte de hauteur 5, sio la hauteur totale maximale serait =. Chapitre. PGCD, théorème de Bézout, théorème de Gauss 5

35 . La boîte de hauteur 5 état gardée, il reste à former la hauteur 5 5 = 96. O garde la hauteur 8 (sio, la hauteur totale maximale serait ). Il reste 96 8 =. Fialemet, 5 = Il y a pas d autre solutio car à chaque étape u seul choix était possible. O sélectioe les boîtes e partat de la plus grade. Si la hauteur de la boîte cosidérée dépasse la hauteur qu o désire atteidre, o e la garde pas, sio o la garde.. x, x, x, x, x5,,,,. Les boîtes sot ragées das l ordre de hauteur croissate et la hauteur cumulée de la première boîte jusqu à ue boîte doée est iférieure à la hauteur de la boîte suivate. C est ce qui explique qu il faut predre ue boîte dot la hauteur est iférieure à celle qu o cherche, et doc l uicité. Remarque : o e peut visiblemet pas atteidre toutes les hauteurs. Commet faire pour les autres? B. Par exemple, T a pour rag : = D où m, m, m, m, m5,,,,. M T = = 5. C. L algorithme d Euclide doe u = 95 et v =. Mv = 5 ( ) = 68 6 = O applique l algorithme de la partie A. O trouve 96 = 8 +. Doc x, x, x, x, x5,,,,. La lettre correspodat à la liste a pour rag =. C est T. D.. Les etiers p = 8 et q = 9 sot premiers etre eux car u etier d qui divise p et q divise p q = 7. Doc d = ou 7. O vérifie que 7 e divise i p i q. Doc d =. Autre méthode : les décompositios e facteurs premiers de 8 = 5 et 9 = 7 7 ot aucu facteur premier commu.. a b q = 87 9 = = 5 8 = 8. La différece est multiple de p = 8. Doc a b q (p). O vérifie de même que pour i 5, a i b i q (p). Doc M am a m am a m a5m5 mbq mb qºm5b5 q p. v est tel que : pu qv qv pu qv p Mv mbq mb qº m5b5qvp mbqv mb qv º m5b5qv p mb mb º m5b5 p.. b b b b b p. Pour tout i 5, o a m i doc mi bi bi. D où mb mb ºm5b5 b b b b b5 p. 5. D après la questio., Mv mb mb º m5b5p et d après la questio. mb mb ºm5b5 p. Doc le reste H de la divisio de Mv par p est bie mb mb º m5b5. mb mb ºm5b5. D après la partie A, la liste x, x, x, x, x5 telle que xb xb xb x b x5b5 H est uique. Doc x, x, x, x, x5 m, m, m, m, m5. La liste x, x, x, x, x5 redoe exactemet la lettre de départ. Remarque : o coaît doc la répose à la remarque de la partie A. Bie sûr, toutes les hauteurs H e peuvet être atteites, mais celles qu o aura à traiter sot exactemet celles qui correspodet aux lettres de l alphabet. 6. Les coditios pour que ce cryptage foctioe sot doc : la liste b, b, b, b, b5 est telle que tout terme soit strictemet plus grad que la somme des termes précédets (voir la questio A..) ; p et q sot premiers etre eux avec p b b b b b5 (voir la questio D..) ; pour tout i, a i b i q (p) (voir questio D..). 6

36 Exercices ENTRANEMENT a. PGCD = 8 b. PGCD = PGCD( ; 88) = a. 69 = q + 5 et 67 = q + 5 d où divise 5 et 5. b. Le plus grad diviseur commu est. 57 = q + 5 et 68 = q + doc doit diviser 558 et 68. La plus grade valeur de est PGCD(558 ; 68) = 6 avec 57 = et 68 = 6 +. doit diviser = mais être strictemet supérieur à 5. La plus petite valeur de est avec 57 = 8 +5 et 68 = +. Il y a pas d autre solutio. 5 = 8k avec k etier, k. Les solutios qui covieet sot : ; 8 ; 6 ; ; ; 56 ; 6 ; 8 ; Posos a = a d et b = b d. Alors a + b = (a + b )d doc d divise a + b. 5a + b = (5a + b )d doc d divise 5a + b.. (a + b) (5a + b) = a ; 5(a + b) + (5a + b) = b. 7 Exercice corrigé e fi de mauel. 8. a. b. c. Les valeurs du PGCD sot et 7. d. Le PGCD(a ; b) est égal à 7 pour = 5 + 7k et à sio.. a. Si d divise + et 5 +, alors d divise (5 + ) 5( + ) = 7. b. O examie successivemet les restes modulo 7. Si r (7), alors a r + (7) et b 5r + (7). O vérifie que r + et 5r + sot multiples de 7 pour r = 5 et e le sot pas pour r =,,,, et 6. 9 a. C est car ( + ) =. b. C est car (m + ) m =. c. C est car (m + ) (m + ) = et e les divise pas. Si =, A = B =, il y a pas de PGCD. O supposera. a. PGCD( + ; ) = PGCD( ; ) =. b. + ( + ) = + doc PGCD( + ; + ) = PGCD( + ; + ). ( + ) ( + ) = doc PGCD( + ; + ) = PGCD( + ; ). + = doc PGCD( + ; + ) = PGCD( ; ) =. Exercice corrigé e fi de mauel. Vrai. Motros que les diviseurs commus à et m sot les diviseurs commus à et m. Si d divise et m alors d divise et m. Si d divise = k et m = h + (k et h etiers), alors divise km h = k doc d divise et m.. a. Pour a = 5, b = 7. a b c ENTRÉES 5 7 TRAITEMENT Le ombre affiché est.. b. Pour a = 8, b = 8. a b c ENTRÉES 8 8 TRAITEMENT Le ombre affiché est. Chapitre. PGCD, théorème de Bézout, théorème de Gauss 7

37 . Il s agit de l algorithme du calcul du PGCD par les différeces, qui s arrête bie (la liste des valeurs coteues das la variable a est ue liste strictemet décroissate d etiers positifs, doc elle est fiie). Si d divise a et b, il divise aussi b et c et réciproquemet, doc à chaque étape le PGCD des deux ombres coteus das les variables a et b est le même. b. a. PGCD (79 ; ) =. = ; 79 = 6 + ; 6 = +. b. PGCD(6 57 ; 65) = = 65 + ; 65 = + ; = + 76 ; = ; 76 = c. PGCD(8 ; 7) =. 7 =8 5 + ; 8 = + 59 ; = 59 + ; 59 = + ; = + ; = +. d. PGCD( ; 5) =. 5 = + ; = 5 +. e. PGCD(77 ; ) =. 77 = + 7 ; = ; 7 = ; 56 = 5 + ; 5 = + ; = + ; = + ; = +. f. PGCD(7 ; 7) =. 7 = ; 7 = 6 + ; 6 = +. 5 a = 66 et b = 5 avec 66 = = = 6 a. 7 Le PGCD est 7 =. 8 Voir fichier sur le site Math x. 9 a. Les diviseurs commus à et sot :,,, 5, 8,, 6,,, 8. b. Pour 55 et 85 :, 5, 7,, 5, 55, 77, 85. Le PGCD(a ; b) est : a. b. c. ; (6! = 5 et = 8 ). a. PGCD(5 ; 8 ) = PGCD(5 ; 8) =. b. PGCD( ; 8) = 6PGCD( ; ) = 6 c. PGCD( 5 ; 9 ) = PGCD( 5 ; 9) = d. PGCD(7 5 ; 7 ) = 7 e. PGCD(7 5 ; 5) = 5PGCD( ; ) = 5 f. PGCD( 5 ; 7) = Exercice corrigé e fi de mauel. a = 9a et b = 9b avec a et b premiers etre eux. a + b = 9(a + b ) = 7 d où a + b = 8. Il y a quatre solutios : a =, b = 7 doe (a, b) = (9, 6) ; a =, b = 5 doe (a, b) = (7, 5). Il y a égalemet (6, 9) et (5, 7). p = p et q = q avec PGCD(p ; q ) =. pq = 9 fi p q = : les valeurs de p et q sot et 6 ; et 85 ; 6 et ; 65 et Exercice corrigé e fi de mauel. 8

38 6 (x ; y) est solutio si et seulemet si ( x ; y), (x ; y) et ( x ; y) sot solutios. Supposos doc x et y positifs ou uls. Alors x = 8x et y = 8y avec x et y etiers aturels premiers etre eux doc x y = 6(x y ). D où x y = 5 (x y )(x + y ) = 85 = 5 7. Il y a possibilités (car x y x + y ) : ) x y y 5 x y 85 x y 7 De ), o déduit : x = et y = qui sot premiers etre eux. D où x = et y = 6. De ), o déduit x = et y = 6 qui sot ecore premiers etre eux. D où x = 88 et y = 8. Les couples d etiers relatifs solutios sot doc ; 6et 88 ; Si d divise a et b, d divise a + b et 5a + 7b. Si a a b est réductible alors est réductible, doc si b 5a 7b a b est irréductible alors a est irréductible. 5a 7b b. Soit d u diviseur commu à a + b et à 5a + 7b. d divise 5(a + b) + (5a + 7b) soit b, et d divise 7(a + b) (5a + 7b) soit a. Si a b est simplifiable par d, alors a est simplifiable 5a 7b b par d. 8. La propositio est vraie (démostratio par exemple à l aide de la propriété 7).. La réciproque aussi (démostratio par exemple à l aide de la décompositio e facteurs premiers de a et de b). 9. a. a doit diviser l et L : les valeurs possibles sot,, 7, 9, et 6. b. v l L l L. O a l L 5 doc l et L 5 ou l et L 5. Les boîtes mesuret cm de côté sur 5 de haut ou 6 de côté sur 6 de haut.. a. Les arêtes c possibles sot des multiples commus à 88 et 95. O e dresse la liste. Le plus petit d etre eux est = 5 88 = 95. b. Le volume de la caisse C est 5 = Il y a doc = 75 boîtes B. Or 75 = Le côté de la caisse C état de 5, les dimesios de la boîte B sot doc 5. (5 + ) 5( + ) = doc 5 + et + sot premiers etre eux. a. u + v = b. u v = c. 7u v = Si les équatios s écrivet ax + by = c, o vérifie si PGCD(a ; b) est u diviseur de c. a. Oui b. Oui c. No d. Oui Exercice corrigé e fi de mauel. a. (x ; y) = ( 5 ; ) b. (x ; y) = (58 ; 5) 5 O peut utiliser u tableur pour automatiser l écriture des variables de l algorithme. Mais il faut décomposer chaque étape sur liges à cause des doubles calculs sur a, s et t. O vérifie que 9 + ( 7) =. Les variables s et t stocket le calcul des coefficiets de a et b comme das l exercice résolu 9 page 89. Les variables x et y sot des variables auxiliaires qui permettet de garder e mémoire s et t sur étapes. 6 a. PGCD( 7 ; 7 ) = et (x ; y) = (7 ; 76). b. PGCD(5 ; ) = et (x ; y) = ( 8 ; 75 ). 6 7 x et 5 y avec x et y etiers, soit x et 5 y d où = y 5x. C est impossible car le PGCD de et de 5 est. a b 8 ap bq. pq p q D après le théorème de Bézout, p et q sot premiers etre eux équivaut à a et b existet. 9 a. 9m = ; (m ; ) = (9k ; k), k etier. b. 8m = 5 ; (m ; ) = (5k ; 8k), k etier. Exercice corrigé e fi de mauel. 6x 5 56y 5 fi 5x y : x k. 78k 5, k etier. a a et b b avec PGCD(a ; b ) =. O veut 99a 65b fia 5b, a 5 et b. a = 5 et b = 6. p = 7 = 8 et q = 9 = 8. Chapitre. PGCD, théorème de Bézout, théorème de Gauss 9

39 q = p k avec q et p premiers etre eux. q est premier avec p d après le théorème de Gauss, q divise k soit k = q. O a = p doc p =. pp p 5 k ou p p p k k Œ. q q Das le premier cas, o e déduit : p = q( + k). Doc p = p (Gauss) et p = q( + k). Mais + k et sot premiers etre eux doc p = ( + k) et = q. Doc (p, q) = ( ( + k) ; ) pour et k etiers relatifs, et o vérifie que ces couples sot bie solutios. Les couples solutios sot doc ( ( + k) ; ) pour et k etiers relatifs. De même das le deuxième cas, o trouve (( ( + k) ; ). 6. O trouve =, 6,, 56 et 7. Cojecture : les solutios sot de la forme = + 5k (k Œ).. De () et () o déduit (). O trouve de même (5). O e déduit que = k = 5k. Doc k = 5q et = + 5q. O vérifie que ces etiers sot bie solutios du système (S). 7 A. Voir cidessous. O programme sous Xcasfr par exemple et o fait afficher simultaémet suivi des restes modulo,, 7 et. Cojectures U est pair pour pair, impair pour impair U est pas divisible par U est divisible par 7 quad est multiple de 6 U est divisible par quad est multiple de Quad est multiple de 6, U est divisible par 7. B.. Si 7 divise U = + + +, 7 divise U = Doc 7 divise la différece. Réciproquemet, U est la somme des premiers termes de la suite géométrique de premier terme et de raiso. Doc U. Cette écriture implique que est multiple de ; = k. Si 7 divise, alors 7 divise k (Gauss) c estàdire U.. L exame des puissaces successives de modulo 7 motre que (7) si et seulemet si est multiple de 6. ( 6 (7) doc 6 (7), 6+ (7), 6+ (7), etc.) Doc 7 divise U si et seulemet si est multiple de 6. 6q. Si = 6q, o a U. O a = 7 () doc 6q = ( ) q () doc est u multiple de et, par le même raisoemet qu au B., o démotre que divise U. O a doc U = 7s = t doc s = u (Gauss) et par suite U = 7 u. De même, o a = 9 () doc 6q = ( ) q (). Par suite, U est divisible par. État divisible par et par 7 = 9, il est divisible par 7 toujours par le même raisoemet est le reste de modulo 7, et 5 le reste modulo.. a. 7 et 5 sot premiers etre eux. b. Comme 5v (7), o a bie 9 (7). De même, 7u (5), o a bie (5). c. O peut predre =.. a. De 9 (7) et 9 (7) o déduit (7). O trouve de même (5). O e déduit que = 7k = 5k. Doc k = 5q et = + 85q avec q etier. b. Si ŒE, o a démotré que peut s écrire et = + 85q avec q etier. Réciproquemet, o vérifie que ces etiers sot solutios de E. E effet, 9 (7) et 85 (7). (5) et 85 (5).. Pour que Zoé ait etre et jetos, il faut k =. Elle a 8 jetos.

40 9. a. 98 = 7 6. b. 5. 5x y + 8 =.. U couple solutio est (6 ; 9). L esemble des poits à coordoées etières est (6 + k ; 9 + 5k) avec k etier. 6 5 est pas divisible par O a x = + 5k, y = 8k, k etier.. b. N = 8( + 5k) + = k + 7 : le reste est 7.. a. x = 5k, y = 8k, k etier. b. Il pouvait y avoir hommes et femmes, ou 5 hommes et femmes ou ecore hommes et femmes est divisible par 7 (à la calculatrice : ).. a. L implicatio est évidete. La réciproque : si (d + u) = 7k, 7 divise d + u et doc d + u (7). b. (d + u) ( d + u) = d qui est multiple de 7. Doc si u des termes (d + u) ou ( d + u) est multiple de 7, l autre aussi. c. = d + u doc divisible par 7 d u divisible par 7. 5 (A) : vrai. Si a est multiple de pq, il est multiple de p et de q. (B) : faux. Cotreexemple : est multiple de et de 6 mais pas de et 5 sot premiers etre eux.. x = et y =.. a. O a 8x 5 y = et 8x 5 y =. Par différece membre à membre, o e déduit 8(x x ) = 5(y y ). Réciproquemet, si 8(x x ) = 5(y y ), alors 8x 5 y = 8x 5 y =. b. 8 et 5 sot premiers etre eux doc, d après le théorème de Gauss il existe etiers k et k tels que x x = 5k et y y = 8k. c. O remplace das l équatio et o e déduit k = k. 5 Exercice corrigé e fi de mauel. 55. est pas multiple du PGCD 5 de 65 et.. 7 et sot premiers etre eux.. a. 7 ( 7) ( ) =. b. ( 7 + k ; + 7k) avec k etier. c. x < implique k =. D où x =.. Si a 7 b (55) alors (a 7 ) x b x (55) ou a 7x b x (55) Or 7x = y + où y est la valeur de y obteue pour k = doc : a +y b x (55) ; a (a ) y b x (55) soit a b (55). 56. O veut 5u = 6 + 8v soit 5u 7v =.. a. x = et y =. b. u = et v = 6. c. u = + 7k, v = 6 + 5k, k etier. d. (7 ; 9) permet d avoir J.. a. Il s écoulera 7 5 jours, soit 75 jours, etre J et J. b. 75 = : la date est le mardi décembre. c. PPCM (5 ; 8) = 85 : cela se reproduit esuite 85 jours après J. 57. a. D après le théorème de Bézout. b. (E) : x = et y = 9. c. (E ) : x = + k et y = 78 9k, k etier.. (8) doc (8) : A est divisible par 8.. a. (E ) : 78x + 8y = 96 soit 9x + y =. Les solutios de (E ) sot celles de (E ). b. x fi k et y fi k. O a (x ; y) = ( ; ). 8. Si a e divise pas b, a premier implique a premier avec b doc a divise c.. m = 5.. m et sot solutios de (m 5)(m + ) = 7( ).. m = 7k + 5 et = k(7k + 8) + ou m = 7k et = k(7k 8) m, Œ ; ; 5 ; ; ; 5; ; 8; 8; ; 9; 7. Chapitre. PGCD, théorème de Bézout, théorème de Gauss

41 8 Il y a poires, melos et 7 pommes. Si est le ombre de paiers, est u diviseur commu à, et 7. Le plus grad d etre eux est 8. Il y aura alors 5 poires, melos et 5 pommes das chaque colis.. a. Avec u tableur 85. ( m ) m + m m [ m ] Avec m <. Par descete, o a r [ m ] et r < m.. qmr doe q m r. m qrr doe m q r r. r q r doe r q r avec r PGCD ; m et r PGCD ; m. 86. Si d divise a + b et ab, alors d divise (a + b)a ab et (a + b)b ab doc d divise a et b. Si d premier, d divise a et b. Or il existe aucu diviseur premier de a et de b doc a b est irréductible. ab. d divise a + ab + b et a + b fi d divise (a + b) (a + ab + b ) fi d divise ab et a + b fi d =. Avec AlgoBox a. Par récurrece : la propriété est vraie pour =. Si elle est vraie pour u etier, a b alors a b a b a b. L écriture existe et les etiers a + = a + b et b + = a + b sot défiis de faço uique b. Par récurrece, la propriété est vraie pour =. Si elle est vraie pour u etier, soit d le PGCD de a + et b +. Par combiaisos liéaires, d divise a + b + = b et a + + b + = a. Doc d =. 88. O a r k = r k q k + r k+. O remplace les r par leur expressio e foctio de a et b. au k + bv k = (au k + bv k )q k + au k+ + bv k+. Doc u k+ = u k q k + u k et v k+ = v k q k + v k

42 . a. M = uk b. P k M k = q k u v k uk vk u = = u q u v qv u k k k k k k k v k k v v k k k Pour aller plus loi : par exemple sur Xcasfr. 89. = x + = y + 7 d où x y =.. x et y sot solutios de x y =. Ue solutio particulière est ( ; ) et (x ; y) = ( + k ; + k) avec k etier. D où = ( + k) + = 7 + k.. = 9 O e déduit successivemet : P = 6 d où M = 6 P = d où M = 6 P = d où M = 9 5. Algorithme ENTRÉES : Saisir a ; Saisir b // avec < b < a INITIALISATION : M r le reste das la divisio de a par b TRAITEMENT : Tat que r est différet de Faire q le quotiet de a par b P q M PM a b b r r le reste das la divisio de a par b FiTatque SORTIE : Afficher M // Les valeurs de u et v cherchées sot les coefficiets de la deuxième lige de M. 9. u et v sot premiers etre eux.. () u(x y) + y(u + v) = ux + yv = : u et u + v sot premiers etre eux.. () élevé au carré doe u(ux + vxy) + v y = doc u et v sot premiers etre eux.. [x + y xy(u + v)](u + v) (x y) uv = xu + yv + xv + yu xyuv xyu xyv x uv y uv + xyuv = xu + yv + ( xu yv)(xv + yu) = car xu + yv =. u + v et uv sot premiers etre eux. 9. O a p = q doc divise p et divise p.. Avec p = p o a p = q doc divise q.. O aurait alors q = q et p = q soit p q.. D après le pricipe de descete ifiie, p et q existet pas. p 9 Supposos qu o ait avec p et q etiers q premiers etre eux. O e déduit q = p. Le théorème de Gauss implique q = et doc p. p 9 Supposos r avec p et q etiers premiers q etre eux. O a doc p = q. Le théorème de Gauss implique q = et doc p = ce qui est pas possible. 9. x 6 9 d où x 6 9 et (x 6) = 9 soit x x + =. p p. a. q q d où p p q + q =. Chapitre. PGCD, théorème de Bézout, théorème de Gauss

43 b. p = q(p q + q ) ; p et q sot premiers etre eux doc q =. c. Doc x doit être etier.. Or x est pas etier doc x est pas ratioel. 95. cos(x) = (cos(x + x)) = cos(x)cos(x) si(x)si(x). Or cos(x) = cos (x) et si(x) = si(x)cos(x) d où cos(x) = (cos (x) )cos(x) si(x)cos(x)si(x) = (cos (x) )cos(x) cos(x)( cos (x)). O développe : cos(x) = cos (x) cos(x) p p. X X fi 8X 6X. 9. X > doc o supposera p >, q >. p p a p 6pq q q q fi. b. 8p = q(6pq q ). q divise 8p mais p et q sot premiers etre eux doc q divise 8. Doc q =,, ou 8. c. De même p( 8p + 6q ) = q doc p divise q e état premier avec q, doc p =. Les seules valeurs possibles pour X sot doc,, et. O vérifie qu aucue de ces valeurs est solutio de 8 l équatio 8X 6X + =, doc X est pas ratioel. 96. a. = 7 ; = b. D après les critères de divisibilité, aucu répètu est multiple de i de 5.. a. Erratum : N est u etier i multiple de i multiple de 5. Ni i 5 e sot des facteurs premiers de N doc PGCD (N ; ) =. b. Les N ombres R, R,, R N état pas multiples de N, les restes das la divisio par N sot N etiers o uls. Or, das la divisio par N, il y a que N restes possibles, de à N. Deux restes au mois sot égaux. c. Soit R i et R j deux répètus tels que les restes soiet égaux avec i > j. R i R j s écrit avec i j chiffres suivis de j chiffres. d. Il y a deux cas : soit des etiers R, R,, R N, qui e s écrivet qu avec des chiffres, est multiple de N, soit aucu d etre eux e l est. Das ce deuxième cas, comme à la questio.b., il existe deux etiers i et j compris etre et N, i > j, tels que les répètus R i et R j aiet même reste das la divisio par N. Ils sot cogrus modulo N et leur différece est multiple de N. Ce ombre s écrit avec (i j) chiffres suivis de j chiffres.. N est premier avec car les diviseurs premiers et 5 de e sot pas des diviseurs de N. Tout etier N admet u multiple s écrivat avec chiffres suivis évetuellemet de p chiffres. Doc N divise R p. Comme N Ÿ, o a N Ÿp ; doc N divise R d après le théorème de Gauss. Tous les etiers o multiples de et de 5 admettet u répètu pour multiple.. a. Algorithme ENTRÉE : Saisir (N) INITIALISATION : ; r TRAITEMENT : Tatque r > Faire r le reste das la divisio de r+ par N + Fi Tatque SORTIE : Afficher b. Sur Xcasfr O vérifie : R 6 = a. Pour a =, b = : L = { ; }. Pour a = 7, b = 5 : L = {5}. Pour a =, b = 5 : L = {5 ; ; 5}. b. Il semble y avoir PGCD(a ; b) multiples de b das la liste a, a,, ba. c. Soit d = PGCD(a ; b), a = da et b = db avec PGCD(a ; b ) =. ka = kda est multiple de b si et seulemet si b divise k. Avec k b, o peut avoir seulemet k =, b, b, db = b soit d multiples de b das la liste a, a,, ba.. a(b + k) est divisible par b ak divisible par b k multiple de b avec d = PGCD(a ; b). d. Le ombre de multiples de b est E d 98. Le PGCD état supérieur à, il s écrit comme produit de ombres premiers ; chacu de ses ombres premiers divise le PGCD doc aussi a et b.. Si p divise le PGCD, p divise a et p divise b car a et b sot des multiples du PGCD. ai. Si a i a i, p i e divise pas a. ai p i divise a et b doc aussi le PGCD fi ai mi a, b. a i i i a i et a i b i.

44 mi ai, bi De plus, p i divise a et b et doc PGCD. a i mi a i, b i. Fialemet a i mi a i, b i. 99 Supposos qu il existe u ombre premier p iterveat das ue écriture de la décompositio de l etier e facteurs premiers mais pas das ue autre. D après le théorème de Gauss, p =, ce qui est impossible. Doc la décompositio est uique. Si m divise, alors z = z qm = (z m ) q. Doc si m U m, z = () q = doc m U. De même d divise m et doc U d U m et U d U doc U d U m «U. Réciproquemet, si p Œ U m «U, p divise m et p divise doc p divise d et U m «U U d. A.. a. Aucu reste est ul. b. Soit a et b etiers avec a < b < p et ax bx (p). O aurait (b a)x (p), ce qui est impossible. Les restes sot deux à deux disticts. c. Il y a p restes disticts parmi p valeurs. L u des restes est doc et il est uique. Pour x compris etre et p, il existe y uique etre et p tel que xy (p).. a. (p) et (p )(p ) ( ) (p) ( ) (p) b. Soit x tel que x (p). Il existe k tel que x = kp soit (x + )(x ) = kp. Comme x, k et p divise (x + )(x ). p est premier et x < p : c est impossible. Si x et x p, alors x y.. Si p =, o a bie! () Si p premier et p >, p est impair, il y a (p ) facteurs de (p )! compris etre et (p ) exclus et dot les produits deux à deux sot cogrus à modulo p. p O a i p et p! p. i B..! + = (). A.. a. Les premiers multiples strictemet positifs de ( 9) sot : 9, 8, 7, 6, 5, 5, 6, 7, 8, 9 Ceux de sot :,, 6, 8, 6, 7, 8, 96, 8,. b. Le plus petit multiple commu à 7 et 5 est 5. Celui commu à et 5 est 5. Celui commu à 5 et 8 est 5 8 =.. a. a b est u multiple de a et u multiple de b. b. Tous les multiples de a b sot multiples de a et de b.. a divise m et M doc a divise m qm = r. Idem pour b. r est u multiple commu à a et b iférieur à M. Doc r =.. D après le., Si m est u multiple commu à a et b, o a m = qm doc m est multiple de M. Réciproquemet, M état multiple de a et b, il e est de même de tout multiple de M. B.. a. Si m est u multiple commu à a et b, il existe u et v etiers tels que m = ua = vb soit uda = vdb et doc ua = vb. Comme a et b sot premiers etre eux, le théorème de Gauss implique que a divise v doc v = ka et par suite m = vb = ka db = k(da b ). da b est u multiple commu à a et b (da b = ab = a b) et o viet de démotrer que tout multiple commu à a et b est multiple de da b qui est doc le plus petit. Par suite M d = (da b ) d = (da ) (db ) = a b. C.. a. a = et b = 5. re étape : k = et r =. e étape : k = + =. Le reste de la divisio de a + r = + = par b = 5 est doc la ouvelle valeur de r est. e étape : r doc o recommece k = + =. a + r = + =. La ouvelle valeur de r est. e étape : r doc o recommece k = + =. a + r = + = 6. La ouvelle valeur de r est. 5 e étape : r doc o recommece k = + =. a + r = + =. La ouvelle valeur de r est. 6 e étape : r doc o recommece k = + = 5. a + r = + = 5. Le derier reste obteu est doc la valeur fiale de r est k a = 5 = 6. b., c. et d. a = b = 8 a = 5 b = k r 6 k r a = 8 k 5 b = r 8 6 Il semble que la valeur fiale de r soit PPCM(a ; b).. a + r = q b + r a + r = q b + r a + r = q b + r a + r p = q p b + r p L additio membre à membre de ces p égalités doe, après simplificatios : p a = b (q + q + q + + q p ) + r p avec r p < b.. r p apparaît comme le reste de la divisio de pa par b doc le reste rb est ul. Les restes rk pour k sot tous positifs ou uls. L esemble des etiers k tels que rk soit ul est u esemble o vide car il cotiet b, doc il admet u Chapitre. PGCD, théorème de Bézout, théorème de Gauss 5

45 plus petit élémet iférieur ou égal à b. Soit m ce plus petit élémet. Il vérifie bie rm = avec m b.. m a = b(q + q + q + + q m ) est u multiple de a et b. m a est toujours multiple de a mais c est le plus petit multiple commu à a et b car m est le premier etier tel que le reste r m soit ul. L algorithme calcule PPCM(a ; b). A.. Les liges cocerées sot obteues pour p =,, 6, 8, 9, et 6. Ce sot les etiers dot la décompositio e facteurs premiers e comporte que et, c estàdire les facteurs premiers de 6. E effet, 6 est multiple de p = a b dès que est égal au plus grad des deux ombres a et b.. Les liges comportat des sot obteues pour p = 5, 7,, et 7 et les valeurs de correspodates sot : pour p = 5 : tout etier p = 7 : les etiers pairs p = : = p = : = p = 7 : = 6 Ce e sot que des p premiers. Quad o remplace par 9 puis par, la remarque sur les liges comportat des est idetique. Celle sur les liges comportat des est cofortée pour les etiers premiers.. Sur les valeurs testées, o déduit : Quad p est premier, a p (p). (A) : faux (9 ()) (B) : faux (9 9 ()) (C) vrai. B. Soit p u ombre premier et a u etier aturel o multiple de p. Les etiers a et p sot doc premiers etre eux. Cosidéros l esemble des multiples de a suivats : A = {a, a,, (p )a} Ce sot p multiples o uls de a. L etier p e divise aucu d etre eux. E effet, si p divisait ka (avec k etier, k p ), puisque p est premier avec a, il diviserait k d après le théorème de Gauss, ce qui est impossible puisque k < p. Doc leurs restes das la divisio euclidiee par p sot o uls et sot par coséquet des élémets de {,, (p )}. Ces restes sot tous disticts : e effet, si deux etiers k et k apparteat à {,, (p )}, avec k > k, étaiet tels que ka k a (p) alors p diviserait (k k )a. Or k k p doc (k k )a est élémet de A et aucu élémet de A est divisible par p. O a doc p multiples de a dot les restes das la divisio euclidiee par p sot exactemet, à l ordre près, les etiers,, p. Cosidéros maiteat le produit P de ces multiples de a. O a doc P (p ) (modulo p), c estàdire P (p )! (modulo p). O a doc p (P (p )!). Or, e réordoat les facteurs de P, o obtiet P = (p )! a p Doc P (p )! = ( + p)! a p (p )! = (p )! [a p ]. P divise doc (p )! [a p ]. Or p est premier et e divise aucu des facteurs de (p )! Il est doc premier avec (p )! Doc, d après le théorème de Gauss, p divise a p. Corollaire O remarque que a p a = a (a p ), doc a p a p a et si a est o ul, a a p a. Si a o multiple de p alors p a p et a p a p a doc par trasitivité p a p a. Si a multiple o ul de p alors p a et a a p a doc par trasitivité p a p a. Si a est ul, le résultat est clairemet vrai.. a. 9 = b. = = 9 + c. 9 = +9 = ( ) 9 9 () Or 9 6 () doc () ().. a. A + = + + p. d divise A et A + doc divise la différece A + A = + =. b. Pour >, est pair doc A a même parité que p. c. Si p est impair, A et A + ot même parité que p et sot impairs. Doc d est impair (si d était pair, ses multiples A et A + le seraiet aussi). Or d divise. O e déduit que d =. Das ce cas, A et A + sot doc premiers etre eux. Si p est pair, A et A + ot même parité que p et sot pairs. Doc d est pair. Efi, 9 état impair, le PGCD d 9 de A 9 et A est impair. Or il divise 9 doc d 9 =. 5. x = 7 + 5k ; y = 7 8k ; k etier.. a. (Π) est le pla passat par A de vecteur ormal u r. Ue équatio de (Π) est 8x + 5y + z 85 =. b. O veut 8x + 5y =. O a les poits de coordoées : (6 ; 85 ; 6) ; (7 ; 7 ; 6) ; ( 8 ; ; 6) ; ( ; 59 ; 6). Le plus proche de O est A( 8 ; ; 6). 6

46 6 A.. a. O remplace x, o développe, o multiplie par 5 et o divise par. b. 9 = + ; = + ; = +. = + d où x = et y = 5. c. u = 9 = 5 86 et v = 5 9 = De = 9 et u 9v = 9 o déduit (u 5 86) = 9(v 5 65) puis u = 9k et v = k. d. La plus petite solutio etière de 9k > est 5 d où u = et v = 5.. a. 78 =. p b. 78 u p v p deviet : q q q 78p + vpq + up q = q. p divise le membre de gauche doc puisqu il est premier avec q ; 78p = vpq up q + q. q divise le membre de droite doc 78 puisqu il est premier avec p. c. Si p divisible par : p =, alors q =,, 9. Si p = 7, q =,,, 6, 6, 9. Au total : ratioels solutios possibles dot ratioels positifs. B.. p solutio de P(x) = implique q a p + a p q + + a pq + a q = soit p(a p + a p q + + a q ) = a q. Comme p est premier avec q, p divise a. De même q(a p + + a pq + a q ) = a p. Doc q divise a.. D après le., p divise et q divise doc p =,, 5 ou et q = ou. Il y a doc 8 solutios positives possibles :,, 5,,,, 5 et leurs opposés et. b. P est dérivable sur et P (x) = 9x + x s aule pour valeurs distictes. Comme P( ) > et P() <, elle s aule pour valeurs de valeurs approchées, ;, et,. Parmi les solutios ratioelles possibles, seul est evisageable et o vérifie que P =. 7. a. IV b. NN c. QD d. KX. a. O a r ax + b (6) et r ay + b (6) d où r r a(x y) (6). a est multiple de et x y multiple de doc r r (6). b. Comme cidessus, si x y (), o aura x et y chiffrés par le même etier. c. x et y chiffrés par la même lettre implique r r a(x y) (6) (6) soit a(x y) multiple de 6. a premier avec 6 implique x y multiple de 6 (Gauss). Ils correspodet à la même lettre. Il y a etiers aturels a possibles etre et 5 :,, 5, 7, 9,, 5,, 9,, et 5.. a. V est codé par doc 7x + 7 (6). 7x est u multiple de 6 soit 7x 6k =. b. 7 et 6 sot premiers etre eux. c =. x = 8 + 6m et k = + 7m, avec m etier. d. Pour m =, o trouve x = 8 qui correspod à la lettre I. 8 A.. Das ce cas, o peut payer toute somme de la forme ax + by où x et y sot le ombre de billets (évetuellemet égatifs car o peut redre la moaie) respectivemet de a et b euros. L esemble des valeurs de ax + by est costitué des multiples du PGCD(a ; b) = das ce cas.. O e peut payer que les multiples du PGCD. B.. Évidet.. a. = 8 +, 5 = 5, 6 = 8. Toutes les sommes supérieures peuvet être payées e rajoutat des billets de euros. O e peut pas payer euros. b. O trouve de même que la plus grade somme e pouvat être payée est 9 euros si b = et si b =. c. Les poits sot aligés sur la droite d équatio y = x Si c est exact, pour b =, o aurait M = 5. C est le cas car o peut payer 6 = +, 7 = 9, et 8 =. d. Pour a = 5, o obtiet M = 7 pour b = 8, 9 pour b = et 7 pour b = Chapitre. PGCD, théorème de Bézout, théorème de Gauss 7

47 Les poits sot aligés sur la droite d équatio y = x 5. Pour a =, le coefficiet directeur de la droite d aligemet est = a et l ordoée à l origie = a. Même remarque avec a = 5. D où la cojecture : M = ab a b.. a. ax + by = ab a b implique a(x + ) = b(a y). Comme a et b sot premiers etre eux, b divise x + d où x + = kb avec k >. b. O a doc akb = b(a y) soit y = a( k). Ce qui implique k. c. No. b. Avec Xcas Avec Algobox 9 A.. Il y a 5 = 65 blocs de lettres. Le plus grad ombre est 55.. p est divisible par aucu des ombres premiers iférieurs à 85 5,. est premier avec 85.. Les etiers m tels que m ( 85) diffèret d u multiple de 85. b. E cotiuat le calcul, o trouve : c. = 7 6 d où (modulo 85). O trouve m = 5, au besoi e morcelat le produit. Il aura fallu 7 multiplicatios pour le calcul des restes des puissaces de puis 5 pour le calcul fial.. a. Algorithme Saisir R Reste( ; 85) P R L = [ ; ; ; 6 ; 7] Pour k de à 7 faire R Reste(R^ ; 85) Si k est das la liste L alors P Reste(P R ; 85) FiSi FiPour B.. a. et 85 sot premiers etre eux. Ue solutio particulière est u = 69 et v = 8. L esemble solutio est u = k et v = 8 k avec k etier. b. Les etiers u diffèret tous de 85. Il e existe u seul etre et 85. D = =. La valeur correspodate de v est 7. O a doc D 7 85 =.. a. De m C (p), o déduit : m D CD (p), Or D vérifie : CD = d où : m D (p), m D 7 85 (p), m D ( 85 ) 7 (p). b. La propriété rappelée implique 85 (p). il viet doc m D (p). PGCD( 5, 5 ) = doc, pour, le plus grad diviseur commu à tous ces etiers est. Pour =, PGCD( 5 ; 5 ) = 5 =. O part des deux derières liges de l algorithme d Euclide puis o remote. Par exemple : 5 = = = = = + = + doc = PGCD(5 ; 56). 8

48 O peut faire ue recherche grâce à u programme : O remarque que les etiers obteus s écrivet 9, 9 + 7, 9 + 7, 9 + 7, O cojecture doc qu il s agit des 9 + k 7 pour k etier. Démostratio O doit avoir = 5a + 9 = b + 9 = 6c + 9 = 8d + 9 avec a, b, c, d etiers. Doc a = b, 5b = 9c, c = d. Par le théorème de Gauss, a = m d où b = m, 5m = c et d = 5m, m etier. Puis m = h et m = l d où m = k (h, l, ketiers. O a doc a = 8m, b = 6m, c = m et d = 5m, soit = 7k + 9, k etier, dot o vérifie qu il est bie solutio.. = 67 et 6 = = et 6 = 8 7. Leur PGCD est 6. O veut 9x + y = avec x > y, x etier et y etier. L équatio 9x + y = a pour solutios x = + k et y = 9k. 9x + y = a pour solutios x = + k et y = 9k, avec x >, y > et x > y. Seul k = 57 coviet. Il y a hommes et 7 femmes. 5 Soit le ombre d élémets du bataillo : 5 < <. O peut faire ue recherche exhaustive à l aide d u programme, par exemple sur AlgoBox : Démostratio = 8a +5 = 5b + 5 = 5c + 5, a, b et c etiers d où par le théorème de Gauss a = 5k, b = 8k, et b = 5c soit k = 5c. D où k = 5h et doc a = 75h, b = h, c = h. O a doc = 6h + 5 avec h etier. O vérifie que tout 6h + 5, h etier, vérifie bie les coditios imposées sur les restes. La seule solutio au problème est doc u etier 6h + 5 iférieur à et supérieur à 5, soit = 55 doc par coloes de, les rags seraiet complets. 6 6 = 5. U etier est multiple de 6 si et seulemet s il est multiple de, de et de 5. Parmi trois etiers cosécutifs, l u au mois est multiple de. Ue coditio écessaire et suffisate est doc que le produit soit multiple de 5 et de, ou ecore de. Cherchos à détermier toutes les solutios. L u des etiers doit être multiple de 5. Doc les etiers serot de l ue des formes suivates : () 5k, 5k +, 5k + : si k est pair, 5k et 5k + sot pairs doc le produit est multiple de. O a doc les etiers m, + m, + m pour m etier. si k est impair, 5k et 5k + sot impairs, doc il faut que 5k + soit multiple de, doc qu il existe h tel que 5k + = h soit h 5k = (E). (h ; k ) = ( ; ) est ue solutio de (E), les autres sot ( + 5m ; + m) pour m etier. Doc 5k + = 6 + m et les etiers sot 5 + m, 6 + m, 7 + m. () 5k, 5k, 5k + : si k est impair, 5k et 5k + sot pairs doc le produit est multiple de. O a doc, avec k = m +, les etiers + m, 5 + m, 6 + m pour m etier. si k est pair, il faut que 5k soit multiple de doc que k = m, d où les etiers m, m, m +. () 5k, 5k, 5k : si k est pair, le produit est multiple de. Les etiers sot de la forme m, m, m. si k est impair, il faut que 5k soit multiple de doc 5k = h soit 5k h =. (k ; h ) = ( ; ) est ue solutio et les autres sot ( + m ; + 5m) pour m etier. Doc 5k = + m et les etiers sot + m, + m, 5 + m. E coclusio, pour que trois etiers cosécutifs aiet u produit multiple de 6 il faut que le plus petit des trois etiers soit de l ue des formes suivates : m, m, m +, m, m +, m + 5. Chapitre. PGCD, théorème de Bézout, théorème de Gauss 9

49 Réciproquemet, o vérifie que toutes ces formes covieet. Expérimetatio avec Xcasfr 8 Vrai. 9. c = k 7 avec k =, ou.. O suppose a et b supérieurs ou égaux à. c est le produit des facteurs premiers iterveat das la décompositio de a ou de b. L exposat de chaque facteur est u etier compris (au ses large) etre la différece (positive) et la somme des exposats de ce facteur das la décompositio de a et de b. 7 O cherche etier tel que = 7a, + = 9b, + = c avec a, b, c etiers. Doc 9b 7a = et c 9b =. O e déduit que (b ; a) = ( + 7m ; 5 + 9m) avec m etier doc = m. Alors + = c m = c doc 6 m c = 7 d où (m ; c) = (5 + k ; + 6k) k Œ. O e déduit que = k = k, k etier. Les trois plus petits etiers qui covieet sot doc 5 = 7 5, 5 = 9 9, 5 =. Recherche à l aide d u programme. O doit résoudre l équatio 7x y = 5, x et y etiers aturels. Ue solutio particulière est (x ; y ) = ( 5 ; 57). Les couples solutios sot ( 5 + k ; k) pour k etier et k.. À la maière de Bézout : x 8x de x y = o déduit y x doc 8 x doit être u etier. 8x Soit u. Alors x u 5u u 8 8. Doc 5 u doit être u etier que l o ote v. 8 De 5 u 8 v v v, o déduit que u v Il faut doc que v soit u etier w, doc que 5 5w w v w. Il faut doc que w soit u etier z, c estàdire que z z w z doc z est u etier t d où z = t +. Remotos aux valeurs de x et y : z = t + doc w = t + puis v = 5t +, u = 8t +, x = t + 5 et y = t + 8. D où (x ; y) = (5 + t ; 8 + t) avec t etier tel que 5 + t et 8 + t doc t. O vérifie que tous ces couples sot solutios.

50 Calcul matriciel Résolutio de problèmes Problème. D ue situatio à des tableaux de ombres A. Questio (ou ) a. Usie Usie Article A 6 Article B 8 Article C 6 8 Article D b. T 8 : c. T a liges et coloes. d. Le ombre d articles B produit par l usie quotidieemet. B. O choisira das la suite u tableau à liges. Questio (ou ) a. Article A Article B Article C Article D Usie Usie b. T : c. T a liges et coloes.. a. Article A Article B Article C Article D Usie Usie b. T : c. T est obteu e multipliat chaque coefficiet de T par,5. O otera T =,5 T.. Productio auelle : a. Article A Article B Article C Article D Usie Usie d. Le ombre d articles A produits par l usie quotidieemet. b. T : Chapitre. Calcul matriciel

51 c. Chaque coefficiet de T est obteu e ajoutat les coefficiets de T et T situés à la même place. O otera T + T = T.. a. Prix de reviet auel pour l usie, e euros :, Pour l usie :, b. e J : =B GC GD GE G e J : =B GC GD GE G Problème. Le prix de la retrée des classes A.. Distributeur : 5, 5 +, 6 + 8,55 +, 6 +,. Distributeur :,85 5 +, ,6 +,5 6 +,85.. a. E cellule I : =A GB GC GD GE G5 E cellule I : =A GB GC GD GE G5 d. O obtiet la matrice des prix à payer pour les différets distributeurs. Le coefficiet de la lige i s obtiet e multipliat u par u les coefficiets de la lige i du tableau jaue par ceux du tableau vert. B. a. P, est le prix de l article chez le distributeur. i 5 ; j 5 ; k 5 ; m 5 b. Matrice jaue : Verte Bleue P P P P P P M P P P,,,,,, 5, 5, 5, L P, L P, M L P , M 5 L L L L L c. L = P, + P, + P, + + P,5 5 L = P, + P, + P, + + P,5 5 L m = P m, + P m, + P m, + + P m,5 5 5 Problème. Poits à coordoées etières sur ue courbe A. Les poits de coordoées ( ; ), ( ; ) ; ( 7 ; ) appartieet à E. Il est équivalet de dire que (x ; y) vérifie x y = et que ( x ; y) vérifie la même relatio. O peut se coteter de chercher x, y positifs. B.. P( ; ), P ( ; ), P (7 ; ). Ce sot des poits de E.. x y = (x + y) (x + y) = x y. Si M appartiet à E, M aussi.. P associé à P avec P (6 ; 5). P 5 associé à P avec P 5 (97 ; 56).. x x = x + y > ; y y = x + y >. La suite de poits (P ) que l o peut costruire à part partir de P cotiet doc ue ifiité de poits disticts. E cotiet ue ifiité de poits. x xy x yx y 7x y C.. a. Ì Óy xy x yx y x 7y x 7 x b. y y 7 x x c. y x x avec y y y d où x x y y. Doc d. et 7.

52 Chaque coloe de A A s obtiet e multipliat A par ue coloe de A. x x. a. y y x A A A et de même A y. b. A O remarque qu o obtiet bie le même résultat e effectuat A A 7 7. A doc P (97 ; 56). A d où P 5 (6 ; 9). A d où P 6 ( 5 ; 78). c. A d où P (6 87 ; 5 6). Problème. Ue marche aléatoire A. est la probabilité que l Idécis aille e B à ue étape sachat qu il est e A. Il s agit de P A (B).. A B C B L Idécis part de A.. La probabilité qu e étapes l Idécis soit : e A : 7 e B : e C : A B C. A / / 7 B C re étape e étape e étape / B A / / C / / / C A B / / / / / / A B B C A C. La probabilité qu e étapes l Idécis soit : e A : 7 e B : e C : A A B C C. a. T 7 6. b. La somme des coefficiets de chaque lige est égale à car P E (A) + P E (B) + P E (C) = P E (A» B» C) = pour E = A, B ou C. 7. a. T b. La re lige est formée des probabilités, partat de A, d arriver e étapes e A, B, C. Par aalogie, le coefficiet situé e e lige e coloe est la probabilité, partat de C, d arriver e étapes, e B. c. La probabilité d aller e étapes : de B e A : 8 (e lige, re coloe). de C e C : (e lige, e coloe). Chapitre. Calcul matriciel

53 a. T b. E re lige, o retrouve les probabilités que l Idécis, partat de A arrive e étapes e A, B, C. C. de A à B : 7 7 de C à B : 7 8 de B à B : 7 d. E C e partat de A. E A e partat de B. E A ou B e partat de C. 9,, 7, T ª 5,, 9 8, 5,, 5 9, 5 Problème 5. Gestio d ue flotte de caddies A.. ludi mardi mercredi, (), () (), (),, La probabilité que le mercredi le caddie soit : e () est :,, +,, +,,5 =, e () est :,, +,, +,, =, e () est :,, +,, +,, =,6,,,,,5,,. a. y = P, x + P, x + P, x =,x +,x +,5x y =,x +,x +,x y =,x +,x +,x.,,, T,,, 5,,, c. Les coefficiets sur la lige i sot les probabilités coditioelles que le caddie soit e (), (), () le ledemai sachat qu il est e (i). Leur somme est doc égale à. () () () () () () () () (). a. O peut obteir par T les probabilités d attache le mardi soir : (y, y, y ) = (,, ) T = (,,,) puis le mercredi soir, e otat ces probabilités z, z, z (z, z, z ) = (y, y, y ) T = (,,,) T.. b. Il s agit de z =,, +,, +,,5 =,. O retrouve le calcul précédet ().,, 6,. a. T 8,, 8, 7,,, b. O retrouve le même ombre. c. Le coefficiet de T situé à la lige i et la coloe j est la probabilité qu u caddie attaché au poit (i) soit deux jours plus tard au poit (j). 5. Z doe l état probabiliste deux jours plus tard. p p p,,, E effet z z z x x x p,, p p, où,, p p p, p ij, désige la probabilité qu état e i u soir, u caddie soir e j deux jours après. z x p x p x p (formule des probabilités,,, totales) et de même pour z et z. B. a. O a doc (x x x ) = (,,7,). b. V = X T.. (,,7,) T = (,886,7,78). Il s agit de l état probabiliste de la flotte de vedredi soir. O a pas avec certitude le ombre de caddies e chaque poit le vedredi soir. 6 Problème 6. Ue histoire de labyrithe A.. / / / / 5 /. T

54 9 7 B.. avec Xcasfr : T À la calculatrice :, 9,,, 6, 89 T ª,89,, 89, 58, 7, 9,,. a. La souris est lâchée das le compartimet. Les probabilités qu elle soit au bout de étapes : das le : ª, das le : das le : ª,9 das le : das le 5 : ª, b. das le : das le : ª,58 das le : das le : ª,7 das le 5 : c. C est impossible si elle part du ou du. C est possible si elle part du (par exemple : 5 5) et si elle part du (par exemple : 5 5). C.. V T = V.. Soit V la matricelige doat les probabilités d être das les différets compartimets après étapes ( ). V = V T = V (par ue récurrece immédiate). E particulier V = V. La probabilité d être das le compartimet k ( < k < 5) est P(X = k), quel que soit le ombre d étapes. V s appelle u état probabiliste stable. 7 Problème 7. Résoudre des systèmes liéaires à l aide de matrices x y z 6 Ô. a. Ì x y b. A Ô Ó y z 5. BA 6 x x x x B B A y y y doc y soit x =, y =, z =. 5 z z z z 8 Problème 8. Étude des systèmes de deux équatios à deux icoues. a. L itersectio des droites d équatios x y = et x + y = est le poit de coordoées ( ; ). La solutio est le couple ( ; ). b. (S ) : ue uique solutio (droites o parallèles). (S ) : aucue solutio (droites strictemet parallèles). (S ) : ue ifiité de solutios (droites cofodues). b. a. Il faut et il suffit que les droites d : ax + by a = et d : cx + dy b = e soiet pas parallèles doc que a et d c e soiet pas coliéaires, soit ad bc. b. A ab cd. d b ab c. BA ad bc ad bc c a cd ad bc ad bc. x x x A BA B y a fi y a fi b y B b a b. Chapitre. Calcul matriciel 5

55 x ad bc d a b b Ô. Ì Ô y caab ÓÔ ad bc Pour S : ad bc = 5 o ul ad bc d a b b 5 6 caab 8 ad bc 5 O retrouve (x ; y) = ( ; ). Résolutio de problèmes Problème p.. Le modèle des ures d Ehrefest à deux boules A.. A B A B A B. a. X k = ou ou. b. X suit la loi : x P(X = x) B. Voir le site Math x.. c. p est u ombre tiré au hasard etre et. Il correspod au uméro de la boule à tirer, représetée par M ou P. Si p =, o chage la boule d ure. Doc si elle est das A, o la place das B e augmetat so abscisse de. Si elle est das B, o la place das A e dimiuat so abscisse de. De même si p = sur la boule. C.. a. X k = X k = X k = A B A B A B b. La probabilité, sachat qu il y a ue boule das chaque ure d avoir les boules das A à l étape suivate est la probabilité de tirer de uméro de la boule figurat das B pour la chager d ure, soit PX X k k. c. = = = = = X = X = X = X = / X = / / X = / X = X = X = X = d. Si k est impair, o a (X = ). O passe à l étape suivate comme e. b. Si k est pair, les deux boules sot das la même ure doc à l étape suivate, il y a ue boule das chaque ure.. Ceci e déped pas de l étape cosidérée. X = X = X = 6

56 b. T c. Rk T PX k PX k PX k PX k PX k PX k Or R k+ = (P(X k+ = ) P(X k+ = ) P(X k+ = )) avec PX PX k PX k PX Xk PX k P X Xk PXk PX Xk k PX k PXk PXk PX k De même pour P(X k+ = ) et P(X k+ = ). O a doc R k+ = R k T. d. Par ue récurrece immédiate. e. T et T f. O remarque que T = T, doc T = T, T 5 = T, etc. par ue récurrece immédiate : T k = T et T k+ = T (k Œ), doc R k+ = R T = ( )T = ( ) R R T T k g. La probabilité qu après étapes il y ait : boule das A est : si impair si est pair boule das A est : si impair si pair boules das A est : si impair si pair. Autremet dit, après étapes : si est impair, il y a boule das A et boule das B, si est pair, il y a boules das A ou boules das B, de faço équiprobable. D.. a. E u ombre impair d étapes c est impossible (voir C.. g.) e u ombre pair d étapes c est possible (probabilité = ) k k k b. c. O peut s aider de l arbre réalisé e C.. c. pour détermier la probabilité de la brache correspodate. = = = = = (X = ) Æ (X = ) (X = ) Æ (X = ) Æ (X = ) soit ue probabilité égale à. ææ Chapitre. Calcul matriciel 7

57 d. Il s agit de la probabilité de (X =) «(X = ) «(X = ) «(X = ) soit º.. a. E(T ) = x P(T = ) + P(T = ) + + P(T = ) +. facteurs 6 º º 57 b. ET 5 ª 56,. 6 Il s agit du ombre moye d étapes pour reveir à l état iitial quad o exécute étapes e tout. c. Par exemple avec u tableur, ou u programme, o cojecture que E(T ) ted vers. Pour aller plus loi x x x x x x fx º º. x x x x Or º q q q x pour q doc si x, fx. q x x x x x x x Alors f est dérivable sur avec f x º x x x et pour x, f x x. Doc pour x =, f º ET et f doc ET et lim ET. Æ Problème p. 6. Mise e place d u miiréseau itraet. E u clic : pages () et () E deux clics : page () par Æ Æ page () par Æ Æ page () par Æ Æ.. b. c. T t =. Il s agit de la probabilité, état sur la page () d aller à la page () e u clic. 8. a. T T T

58 b. de () à () e clics : de () à () e clics : de () à () e 8 clics : a. t i,j est la probabilité, état sur la page (i), d aller sur la page (j) e u clic. Par la formule des probabilités totales : P(Y + = ) = P(Y = ) t + P(Y = ) t + P(Y = )t + P(Y = )t de même P(Y + = ) = P(Y = ) t + P(Y = ) t + P(Y = )t + P(Y = )t P(Y + = ) = P(Y = ) t + P(Y = ) t + P(Y = )t + P(Y = )t P(Y + = ) = P(Y = ) t + P(Y = ) t + P(Y = )t + P(Y = )t o a doc bie t t t t t t t t (P(Y + = ) P(Y + = ) P(Y + = ) P(Y + = )) PY PY PY PY t t t t t t t t soit X + = X T. b. Par ue récurrece immédiate, X = X T. c. Si X = ( ) alors X ª,,, Si X = ( ) alors X ª,,, Si X = ( ) alors X ª,,,6 Si X = ( ) alors X ª,,, O remarque que les probabilités d atteidre les pages e 8 clics e dépedet pas de X, c estàdire de la page d etrée sur le réseau.,,, 5. a. À près, T 5, T et T 5,,, sot à peu près égales à,,,,,, b. Pour X = ( ), X 5 ª X ª X 5 ª (,,, ) de même pour X = ( ) ou ( ) ou ( ). X semble se stabiliser autour de X 9 9. c. Classemet : pages,,,. Nombre de lies aboutissat à la page : à la page : à la page : à la page : Les pages et ot le même ombre de lies poitat sur elles mais pas le même idice de pertiece. Les lies ot e effet pas tous le même «poids» e terme de pertiece. Par exemple le lie de la page à la page à mois de poids que le lie de la page à la page puisque la page a ue probabilité d être atteite mois forte que la page (pour u grad ombre de clics). Problème p. 7. Trasformatios et matrices A..,. a., b., c., d. : voir le site Math x. Chapitre. Calcul matriciel 9

59 x x. e. Ì. B est le symétrique de B par rapport à l axe des ordoées : le milieu de [BB ] a pour coordoées Ó y y ur uu x ( ; y) doc appartiet à l axe des ordoées) et BB est orthogoal à l axe des ordoées (repère orthogoal).. A associée à la symétrie par rapport à l origie du repère. A associée à la symétrie par rapport à l axe des abscisses. B.. a. Le poit B semble avoir touré autour de O et s être rapproché de O. b. Il semble rectagle et isocèle e B. x 5, x 5, y c. B (x ; y ) avec Ì Óy 5, x 5, y ur uu 5, x 5, y BB 5, x 5, y et uuu r5, x 5, y BO 5, x 5, y ur uu uuur BB B O 5, [ x y][ x y] 5, [ x y][ x y] 5, [ x y x y ] (Le repère par défaut de GeoGebra est orthoormé) Doc OBB est rectagle e B. De plus BB 5, x y x y 5, x y BO 5, x y x y BB. Doc OBB est bie rectagle isocèle e B. d. Par coséquet BOB p et OB OB cos p OB Par la trasformatio liée à A, le poit B est trasformé e B tel que BOB p et OB = OB. L image toure doc autour de O et est réduite et rapprochée de O. x. x A y y uuuur BB doc B est le traslaté de B par la traslatio de vecteur vr.. a. Algorithme Variables : x, y ombre // ombrealéatoire est u ombre tiré au hasard etre et. A matrice carrée V matrice coloe Iitialisatio : x ; y Traitemet et sortie : Pour i allat de à Créer le poit de coordoées (x ; y). Si ombrealéatoire < alors x 5, 5, x y y 5 5,, sio x x y 5, 5, y 5, 5, FiSi FiPour

60 b. Voir le site Math x. C. et D. Voir le site Math x. Problème p.. Collectio de figuries d ue équipe de football. a. Pour, X peut predre les valeurs etières de à. Pour, X peut predre les valeurs etières de à.. b. P(X = ) = ; PX X est la probabilité, sachat qu il a obteu ue image das le premier paquet, qu il retrouve le même das le secod paquet, doc PX X. PX X PX X. Arbre : X = X = X = X = X = X = X = Doc PX.. c. PX X pour.. a. M M est ue matrice très «creuse» (c estàdire avec plei de zéros). La diagoale pricipale est remplie de, celle située audessus de. b. Chapitre. Calcul matriciel

61 À près, M, M 5, M sot égales à la matrice ulle. c.,65 : il s agit de la probabilité, sachat que l o a déjà figurie, d avoir figuries ; boîtes de céréales supplémetaires ayat été ouvertes. P(X = ) =, doc P(X = ) =,65 =,65.. a. (coefficiet e lige 9 e coloe de M ) b. Après 5 boîtes supplémetaires, la probabilité qu il ait, 5,, figuries est ulle (à près). La probabilité qu il ait figuries est égale à, à près. B.. a. Y k peut predre les valeurs etières supérieures ou égales à. b. PY k j k k k k k k Pour j : PYk j º. k représetat la probabilité d avoir l ue des k figuries déjà obteues à la boîte supplémetaire,,, j et k la probabilité d avoir ue ouvelle figurie, la (k + )ième, à la jième boîte supplémetaire.. a. Pour avoir figuries, il faut : acheter Y boîtes pour avoir (la re fois) figurie acheter Y boîte supplémetaires pour avoir (la re fois) figuries acheter Y boîte supplémetaires pour avoir (la re fois) figuries acheter Y boîte supplémetaires pour avoir (la re fois) figuries Doc le ombre miimal de boîtes à acheter est Y + + Y soit Y, pour avoir figuries. k b. EY Â 87 º k k 9 5 E(Y) ª, à près. O doit e moyee acheter boîtes pour avoir ue collectio complète.

62 Problème 5 p.. Par quels chemis traverser ue motage? EABCGDFS E A B C. M G D F S. a. m, b. Pour l obteir o somme les produits m,j m j, ( j 8), chaque produit valat ou. U tel produit vaut si et seulemet si il existe u chemi partat de E, arrivat à u poit (le jième) et le chemi repartat de ce poit pour aller e B. Le ombre de correspod doc au ombre de chemis de E à B e deux étapes (c est le chemi E C B). c. De même m 56, est le ombre de chemis allat de G à D e deux étapes. Il faut, doc u seul chemi mèe de G à D e étapes (c est le chemi G F D). M. M O gééralise le raisoemet fait à la questio. Le ombre de chemis de E à S e étapes est m 8. Ce sot les chemis : E A D S et E C F S.. M, Chapitre. Calcul matriciel

63 M 5 M Le ombre de traversées (de E à S) e : étapes est m 8 5 étapes est m 8 5,, 5 8 étapes est m Pour aller plus loi Les traversées e 8 étapes sot : E A D G F D G F S E A G F D G F D S E B A G F D G F S E C B A D G F D S E C G F D G F D S Exercices, Tableau 9,, 95,,, 8,, 8,, 7, Tableau Formules etrées ue par ue : e F6 : =B FC F e F7 : =B FC F e F8 : =B FC F 9, 95,, 8, 8,,,, 7,, Formule matricielle : das la plage F6:F8, o etre =PRODUITMATB:C;F:F Format de A :, de B :, de C :, de D :, de E :, de F :. i peut predre les valeurs et ; j aussi.. m =.. m = ; m = ; m =. 5. Format de A :.. a = ; a = ; a existe pas ; a =. 6. Format de B : B A Il s agit de =. Â., j 5 8. Il s agit du ombre d articles j dispoibles das le modèle M (tailles,,, ). Â. i i, 9. Il s agit du ombre d articles dispoibles das la taille (modèles,, ou ).

64 9. M = ( ). Les matrices M possibles sot toutes les matrices de format comportat u seul et dix. Les matrices M possibles sot toutes les matrices recesées e M (cas où les deux premières figuries tirées sot les mêmes) et les matrices de format comportat deux coefficiets et euf.. a. O tire aléatoiremet u ombre etier etre et qui représete le uméro de la figurie trouvée das la boîte achetée. Le coefficiet de la coloe correspodate pred la valeur puisque le collectioeur possède la figurie. O obtiet doc bie l état de la collectio après l achat de la boîte. b. L algorithme s arrête quad la coditio «cotiet au mois u zéro» est plus réalisée c estàdire quad M e cotiet que des, ce qui sigifie que l algorithme s arrête quad la collectio est complète. O peut remarquer que l o est pas sûr que cet algorithme s arrête bie La variable, iitialisée à, est icrémetée de à chaque tour de boucle. À l arrêt évetuel de l algorithme, elle cotiet le ombre de boîtes achetées pour obteir (pour la re fois) les figuries si ceci arrive.. a. lige : o affecte à M la matrice de format remplie uiquemet de. O affecte à. lige : o affiche le coteu de M, qui est la matrice M représetat l état de la collectio avat l achat de la première boîte. lige : o débute la boucle «Tat que» ; la coditio prod(m) < est réalisée tat qu il y a des coefficiets uls das M et e l est plus dès que M e comporte plus de. lige : est icrémeté de. lige 5 : o affecte à la variable fig u ombre etier aléatoire pris etre et. E effet rad() < rad() < rad() + < doc la partie etière (floor) de rad() + est u etier etre et ( et état compris). lige 6 : le coefficiet de M situé à la lige et coloe fig pred la valeur. liges 7, 8 : o affiche la valeur de et M. lige 9 : fi de la boucle Tatque Fitatque. b. Voir fichier sur le site. 5. a. Il suffit d elever la lige 8. b. Algorithme b = // b ombre de boîtes achetées pour avoir ue collectio complète. Pour k de à 5 ( ) Tat que M cotiet au mois u Faire fig etier aléatoiremet pris de à Le coefficiet de M de la coloe fig pred la valeur + Fitatque b b + FiPour Afficher b/5 c. voir le fichier sur le site.. AB 5 5 AB 7 A A B 5 9. AB AB A 6 AB A + B : impossible 6 D A D B C = ( 9 ) B + D : impossible. A. A Chapitre. Calcul matriciel 5

65 . a. G G G G G G G G G G G G G G G G G G G b. N N G G N G N G N N G N G N N N N G N G N N N N G N N a. b. 8 c. d a. b. 9 c. d. 6 a. 6 6 b c a. b. 8 a b a. x, y etiers aturels vérifiet x 7y = si et seulemet si x et y sot des etiers aturels tels que x = + 7y soit x 7y b. Algorithme Pour y de à Faire x 7y Si x est etier Alors Afficher (x ; y) FiSi FiPour c. Voir fichier sur le site. O obtiet comme solutios les couples (x ; y) : ( ; ) ; (8 ; ) ; (7 ; 8) ; ( ; 765).. x = 8x + y et y = x + 8y. Si x et y sot des etiers aturels, x et y le sot aussi. De plus x 7y = 6x + 8 xy + y 7(9x + 8xy + 6y ) = x 7y Doc si (x ; y) vérifie (E), (x ; y ) aussi. Coclusio : si (x ; y) est u couple d etiers aturels solutios de (E), (x ; y ) est aussi u couple d etiers aturels solutios de (E). b. Algorithme x ; y Pour de à Faire x x y 8 y 8 x Afficher y FiPour c. Voir fichier sur le site. Le derier couple obteu est ( ; ) a. (5 ) b. (7 8) c. (6 ) d. ( 6 ) a. ( 9 6 ) b. ( 7 9) a. 9 b. 8 6 a. b. 9 6 c. d. AB et BA 5 O remarque que : AB BA Le produit AB peut être la matrice ulle sas que A ou B soit la matrice ulle A et B sot des diviseurs de A. 5. AB 6 9 et BA b. AB et BA 6 c. La multiplicatio est pas commutative.. Cas a. 9 ABI et 6

66 9 AABI 5 Cas b. ABI 7 et 5 AABI 6 a. 5 9 c b d a. A B format, A C format, C A format. Les autres calculs sot impossibles.. b. (A B) C format, A (B C) format Les autres calculs sot impossibles.. c. B format. Les autres calculs sot impossibles. 8. A B = (8 ) A C = C A = A B C 8 A B C 5. O remarque que (A B) C = A (B C). B A B 6 8. a. O peut effectuer XA, BY. b. 6 8 XA a b a 9b 6a b 8a b 9 élève A élève B élève C Il s agit de la somme des otes coefficietées obteue respectivemet par l élève A, l élève B et l élève C. 9 a 9b élèvea BY a 6 6a b élèveb b 8 8a b élèvec Il s agit à ouveau de la somme des otes coefficietées obteue respectivemet par l élève A, l élève B et l élève C.. M tissu bouto 8, giletg 5, vestev 8, patalo P P 5 tissu bouto 8, 5 6 prix pour G. MP 5, 5 9,5 prix pour V 8, 5 prix pour P PM représete la matrice des prix (du tissu et des boutos), das l ordre d u gilet, d ue veste et d u patalo. 85,, 9. MA ,, MA est formé des masses de cuivre, étai, zic (das cet ordre) présets das l objet. 9 8 marque A. S 8 8 marqueb marque C T T T T. a. T : le prix est 9 + 7, = 58 T : le prix est 9 ; T : le prix est 5 T : le prix est b. PS 75 9, P S = ( ) Ø 9 + 7, est le prix des verres de taille e stock. De même pour les autres coefficiets. P S est la matrice formée des prix des verres e stock, e euros, das l ordre de taille T, T, T, T P et SP , 65 Aisi 8 = ,5 est le prix des verres de la marque A e stock. SP doe doc les prix des verres e stock, de la marque A, de la marque B et de la marque C, das cet ordre.. O obtiet la valeur totale du stock : e multipliat P S par la matrice U de format formée du ombre de verres e stock par taille : U Alors P SU = e multipliat SP par la matrice V formée du ombre de verres e stock par marque, matrice de format : V = ( ) V = (8 5 ) Alors VSP = Chapitre. Calcul matriciel 7

67 Le choix de fixer le prix des verres e foctio de leur taille et o de leur marque rapporte plus si o écoule le stock : 55 7 au lieu de K S SK A 7 A 5 7 A 7 5. a. M M M b. O cojecture que pour tout, M. Iitialisatio : o a bie M doc l égalité est vraie pour =. Hérédité : Soit Œ*. O suppose que M. Motros que M M M M par hypothèse de récurrece doc M e effectuat le produit. Coclusio : pour tout, M. 6. a. A 6 9 A A A 5 5 b. O cojecture pour que, A. a. I B A b. B A = (I + B) = (I + B)(I + B) = (I ) + I B + BI + B or (I ) = I, I B = BI = B, B = O doc A = I + B A = A A = (I + B)(I + B) = (I ) + I B + BI + B = I + B.. a. Iitialisatio : l égalité est vraie pour = par la questio. a. Hérédité : soit. Supposos que A = I + B et motros que A + = I + ( + )B. A + = A A = (I + B)(I + B) par hypothèse de récurrece A + = (I ) + I B + BI + B = I + ( + )B. Coclusio : pour tout, A = I + B. b. A 7. Tous les coefficiets hors de sa diagoale pricipale sot uls. O dit que c est ue matrice diagoale.. Des essais permettet de cojecturer que A 5 O le démotre par récurrece. Iitialisatio : l égalité est vraie pour =. Hérédité : Soit. Supposos A alors 5 A A A 5 5 A. 5 Coclusio : pour tout de *, A Les coefficiets sous sa diagoale pricipale sot tous uls. 6. A ; A ; A. a. O cojecture que A où a est u etier. Motrosle par récurrece. Iitialisatio : l égalité est vraie pour = si o pose a =. a Hérédité : Soit. Supposos que A où a est u etier. 8

68 a Alors A A A a A doc A a avec a + = a + + qui est u etier. a Coclusio : pour tout de *, A où a est u etier. Pour aller plus loi De a =, et a + = a + + pour tout, o déduit que a a a a a M a a. D où par sommatio, a º. Doc pour tout, A A. Tous les coefficiets situés sur 7 la diagoale pricipale ou sous cette diagoale sot uls a. A 5 A 5 A b. Pour, A = A A est la matrice ulle d ordre. Pour, A a été calculé cidessus. A B A. T B La probabilité d être e B e deux étapes est soit a. A / / b. T 9 5 A B / / / / La probabilité, partat de A, d être e B e étapes est le coefficiet de la re lige e coloe de T soit 5 9. E effet 5 9 est le résultat du calcul qui correspod au calcul fait sur l arbre e. a.. T La probabilité, état parti de B, d être : e A e étapes est 7, e B e étapes est 7.. T. T Partat de C, la probabilité d être e deux étapes : a. e A est 9, b. e B est 9. A B A B Chapitre. Calcul matriciel 9

69 a. b. 5 A A 5 5 C B B. La probabilité pour ue voiture état e M e début de mois : d être e M au début du mois suivat est,6, d être e L au début du mois suivat est,, d être e T au début du mois suivat est,. 8,,,. A, 6,,,, 7,. a. RA = (6 ) 6 = 6,8 + 5, +, représete le ombre de véhicules au début de mois à L que l o peut prévoir. RA doe doc la répartitio probabiliste des véhicules, das l ordre L, M, T, au début du mois. b. RA = (68 58) Au bout de deux mois o prévoit 68 véhicules à L, à M et 58 à T. RA = (6,8 66,). O peut prévoir au bout de mois, 6 véhicules e L, e M et 66 e T. Voir corrigé e fi de mauel. 5.,,55 Miibus Marche,5,5,,5,5, Vélo, 55, 5,,. M,,, 5,, 5, 5. P = (,5,,5) car il y avait 5 % des touristes e miibus le er jour, 5 % à pied doc % e vélo.. a. P = P M = (,75,85,5) Il s agit de l état probabiliste relatif au e jour : 7,5 % des vacaciers predraiet le miibus, 8,5 % le vélo,,5 % marcheraiet. b. P 7 = P M 6 c. P 7 ª (,,,5) e arrodissat à, près. La répartitio que l o prévoit pour le 7 e jour est de : % de vacaciers preat le miibus, % de vacaciers preat le vélo, 5 % de vacaciers choisissat la marche. 6.,8,9 I M,, S,5 9,,. A 8,,, 5, 5,5 85,,,. A 88,, 8,, 5,, 5 a.,5 b.,8. O calcule A, A 5 et A avec u logiciel ou ue calculatrice. mois 5 mois mois a.,95,95,9 à près b.,5,9755,9 à près c.,76,879,9 à près A B,, A 7. M 95 5, 8, B. L état iitial est représeté par la matrice P = (5 75 ) puisqu u quart du millio d habitats est e A et les autres e B. La populatio de A et B au bout : d u a est doé par P M = ( ) o peut prévoir 87 5 habitats e A et 6 5 habitats e B. de deux as est doé par P M = ( ) de ciq as est doé par P M 5 ª ( ) de dix as est doé par P M ª ( ). a. Si 99 % des habitats sot e B l aée, P = ( 99 ).

70 Au bout de as, la répartitio de populatio que l o peut prévoir est doé par P M ª ( ) soit eviro habitats e A et 88 e B. Si 99 % des habitats sot e A l aée, P = (99 ). Au bout de as, P M ª ( ) soit 8 7 habitats prévus e A et 89 e B. Le déséquilibre etre A et B est mois fort das les deux cas après as. b. Si P = (5 5 ), P M ª ( ). L équilibre iitial a été rompu au bout de as. La répartitio est même proche de celle obteue au bout de as das le er cas de la questio a. 8. AB et BA. AB et BA 9 A ; A ; A. O a doc A A A A. La matrice A est doc iversible et so iverse est A. Doc A. 5. ABB A = A(BB )A = AI A = AA = I. B A AB = B (A A)B = B I B = B B = I.. La matrice AB est iversible et so iverse est B A doc (AB) = B A. 5. A et AI. A(A I ) = A AI = (A + I ) A = I. (A I )A = A I A = (A + I ) A = I.. A est doc iversible avec A = A I. A. 5 a. Le détermiat de A est 5 = o ul doc A est iversible et A 5, 5, 5. b. Le détermiat de B est 6 ( ) = doc B est pas iversible. c. Le détermiat de C est = 6 o ul. Doc C est iversible et C 6. d. Le détermiat de D est = o ul. D est iversible et D 5, 5,. 5 Voir corrigé e fi de mauel. 5. Y x y z A. A De Y = AX o déduit que A Y = A AX = X doc 7 X AY 6. 5 Le système admet doc pour uique solutio le triplet (x ; y ; z) = (7 ; 6 ; 5). 55 Voir corrigé e fi de mauel. 56. m A m x y X 5 Y. Le détermiat de A est m m = m. A est iversible si et seulemet si m soit m m. Si m et m, A m m m d où X A m Y m m 5 5m X m m 5m m soit x ; y ; m m. Pour m : Ô (S m ) s écrit x y Ì ÓÔ x y 5 E multipliat la secode équatio par x y 5. X et o obtiet Or 5. Ce système a doc pas de solutio. Pour m : Ô (S m ) s écrit x y Ì ÓÔ x y 5 De même, e multipliat la 5 e lige par o obtiet x y 5, icompatible avec la re lige. (S m ) a pas de solutio. Chapitre. Calcul matriciel

71 57 O cherche a, b, g tel que a b g ab g Ô soit Ìab g Ô Óa b g ce qui s écrit sous la forme matricielle a b g A X Y 5 U logiciel doe A (avec Xcasfr) 6 O peut vérifier que AA = A A = I. 5 Alors X A Doc a r 5 u r v r (les vecteurs ar, u r, v r sot coplaaires). 58 Les coordoées des poits A, B, C doivet vérifier le système, doc : 5 5ab c 5a b c 9 Ô Ô Ì6 9 ab c Ìab c 5 Ô Ó a c Ô Ó a c 5 a 9 qui s écrit b 5 c A X Avec u logiciel ou ue calculatrice, o trouve A iversible 6 et A Y 5 6 (A 6 avec Xcasfr) 7 6 Doc a pour équatio x + y 6x y + 5 = Remarque : o peut vérifier avec GeoGebra. Y 59 Les coordoées des poits A, B, C doivet vérifier l équatio de la parabole doc : 9ab c 9 a Ô Ì ab c soit b Ô Ó 6a6bc 6 6 c A X Y Avec u logiciel ou ue calculatrice, o trouve A iversible 5 et A Y (avec Xcasfr). 6 Doc la parabole a pour équatio y 5 x x 6. Remarque : avec ue calculatrice, o peut calculer A Y pour pouvoir exprimer A Y de faço exacte compte teu des résultats observés e écriture décimale. 6 E cosidérat le degré de f, sachat qu e dérivat, o dimiue le degré de, o s oriete vers ue foctio de degré doée par f(x) = ax + bx + cx + d, (a, b, c, d réels) O a alors f (x) = ax + bx + c f (x) = 6ax + b doc (x )f (x) + ( x)f (x) + f(x) = (x )(6ax + b) + ( x)(ax + bx + c) + ax + bx + cx + d = (6a 9a + a)x + (b + a 6b + b)x + ( a + b c + c)x b + c + d Cherchos a, b, c, d tels que : a a Ôa b 6 b 6 Ì Ô a b c c ÓÔ b c d d A X Y

72 Avec u logiciel, o trouve A iversible et 5 A Y A Doc fx x 5 x 5 x coviet. 6. Pour le secteur de la costructio, e milliards de dollars, l offre est x et la demade est,x +,x +,x Pour avoir équilibre, o doit avoir x =,x +,x +,x + 75 x, x, x, x 75 Ô. a. Ìx, x, x, x 5 Ô Óx 5, x, x, x 8 x,,, x 75 s écrit x,,, x 5 x 5,,, x 8,,, 75 soit X = AX + B avec A,,, et B 5. 5,,, 8 b. X = AX + B X AX = B (I A)X = B. 9,,, O a doc LX avec L I A, 7,,. 5,, 9, Avec ue calculatrice ou u logiciel, L est iversible et 9, 7 L B ª 7, 5 e arrodissat à, près. 68, 9, 7 Doc X ª 7, 5 soit x ª 9,7 ; x ª 7,5 ; x ª 68, 68, e milliards de dollars. 79. a. M ; M ; M ; M5 5 ; M6 6. a b. Il semble que M 6 avec a =, a =, a =, a = 6, a 5 =, a 6 = 5. O remarque que a = a = + a = a + = + + a = a + = a 5 = a + = a 6 = a = O cojecture que a = =.. Iitialisatio : M = M = et pour M =. L égalité est vérifiée pour =. Hérédité : soit. O suppose M AlorsM M M Coclusio : pour tout, M. Remarque : si o e cojecture pas l expressio de a, o peut adopter la même démarche que celle développée das le corrigé de l exercice A ; A ; A ; A 5 ; A Chapitre. Calcul matriciel

73 Il semble que si est pair, A est de la forme a a a a a a a a a et si est impair, A est de la forme a a a a a a a a a doc A semble être de la forme a a a a a a a a a. a. A B I B A I Soit B b. B B. c. A = (B I )(B I ) = B BI I B + (I ) A = [B] B + I = 8B + I A = A A = (8B + I )(B I ) = 6B 8B + B I avec B = B A = 6(B) 6B I = B I.. Iitialisatio Pour =, A = A = = B I par la questio. a. Pour =, 5 I B I 6B BI. L égalité est doc vraie pour =. Hérédité : Soit. Supposos que A I B 5. Alors A A A I B B I 5 5 B I B 5 B. Or, B = B, doc A B I B 5 B 5 5 B I 5 B I 5 B I 5 Bcar. L hérédité est doc prouvée à partir du rag. Coclusio : pour tout, A I B 5.. A 5 A Remarque : o peut valider les observatios faites e questio e distiguat les cas pair et impair. 8. B ; B ; B.. Motros par récurrece que pour tout : A I B B. Iitialisatio : pour =, A = A A avec A d où A 6. D autre part, pour =, I B B I BB 6. L égalité est doc vraie pour =. Hérédité : Soit. Supposos que A I B B. Alors A A A I B B B I car B = A I A = B + I. Doc A BI B B B B BI B car B est la matrice ulle. D où A I B B L hérédité est doc établie à partir du rag. Coclusio : pour tout, A I B B.. A

74 A 8. Ô x a x a Ô Ô Ìx y b Ìy a b Ô 6 Ó x y z c Ô Ô z a a b c 6 Ó Ô Ô x a Ô Ìy a b Ô 6 Ô Ó Ôz a b c 6 x a. (S) AX = Y avec X y et Y b. z c O a trouvé X Y comme solutio, soit 6 6 B. 6 6 O vérifie qua AB = BA = I. Doc A est iversible et A = B.. Le système est simple à résoudre car triagulaire ce qui permet de trouver x, puis y, puis z. C est doc le fait que A ait que des audessus de sa diagoale pricipale qui permet d utiliser facilemet cette démarche. x a. Soit X y et Y b. z c 5 Ô x a b c c x y z a Ô Ô 5 AX Y Ìy 5z b Ìy b c Ô Ó6 z c Ô Ô z c Ó Ô 6 Ô x a b c Ô 5 Ìy b c X CY Ô Ô Ó Ôz c 6 avec C 5 6 O calcule BC et CB et o vérifie que BC = CB = I. Doc B est iversible et B = C. 8. AB. Si A état iversible de AB o déduirait que A AB A doc que B ce qui est faux. Doc A est pas iversible. 8. Ce carré est magique de costate magique Ce carré est magique de costate magique Le déplacemet de (i ; j) à (i + ; j + ) est aalogue au déplacemet du cavalier aux échecs.. Voir fichier dispoible sur le site.. Utiliser le fichier sur le site. Chapitre. Calcul matriciel 5

75 85. O costruit les poits M, N, P tels que : ur uu ur u ur uu ur u uru uur MA CB, AN CB, BP AC. Alors ur MABC, uu ur u ANBC, ur u u ABPC ur ur u sot uur des parallélogrammes doc MC AB, CP AB, NB AC. ur uu ur uu ur uu ur u ur u uur O a doc MA AN, MC CP, NB AC ce qui prouve que A, B, C sot les milieux respectifs de [MN], [NP] et [MP]. m p. a. a, b, c p m a doc b m. c p b. Sur u logiciel, A doc T est m a m ab c iversible et A b Ô. O a doc Ì ab c p c Ô Óp abc m a b c Ô c. De même Ì a b c Ô Óp a b c. b. Le calcul A + B C reviet au calcul de (aa ) + (bb ) (cc ) = (a + b c a + b c ) et doe la lige de coordoés ( ) de N. c. O peut doc etrer das la barre de saisie M = A B + C N = A + B C P = A + B + C pour costruire les poits M, N, P. d. B.. Soit A, B, C, D les milieux respectifs de [AN], [NP], [PQ] et [QM]. Par les théorèmes des milieux : ur u uuur AB ur u uuur MP et DC ur u uur MP doc AB DC et ABCD est u parallélogramme.. Si ABCD est pas u parallélogramme, ce sera impossible par la questio (cotraposée). m p p q. De même : a ; b ; c ; q m d. a b m Doc c d p q Quad o cherche l iverse de A sur u logiciel o obtiet u message d erreur : sur Scilab : "Le problème est sigulier" sur Xcasfr : iv(a).ivalid dimesio sur TI 8 Plus : ERR: MAT SINGUL sur CasioGraph 5+ : Ma Error. AB Si A était iversible, o aurait AB = fi B = A =. Doc A est pas iversible. 5. Si ABCD est u parallélogramme, o place u poit M das le pla, N tel que A soit le milieu de [MN], P tel que B soit le milieu de [NP], Q tel que C soit le milieu de [PQ] et M tel que D soit ur le uu milieu ur u de [QM ]. uuur Alors ur uu par les théorèmes des milieux, MP AB et PM CD doc ur uu uuur ur u uuur ur MP PM AB CD O car ABCD est u parallélogramme. uuuur ur Doc MM O c estàdire M = M. Le quadrilatère MNPQ coviet doc, sas coditio sur M. (o peut imposer M A, N B, pour avoir u «vrai» quadrilatère MNPQ). m x 86 Le système s écrit aussi S : y 5. m Soit A ; so détermiat est 6m. Si m, A est iversible doc x y A 5 soit x y 6m m 5 6

76 x x Ô 6m y 6m 9m soit Ì Ô 9 m y ÓÔ 6m Si m, le système deviet x y x y Ô Ì Ì 5 Óx y 5 Ó Ô x y Il est icompatible doc a pas de solutio. Coclusio : Si m,(s) a ue uique solutio 9 m ; 6m 6m. Si m, (S) a pas de solutio. Graphiquemet : Si m les droites d équatios mx + x = et x y 5 = sot sécates. Si m, ces droites sot strictemet parallèles. mx my m m x 87 S : Ì Ó y 5 m y 5 m. m m Soit A de détermiat m. x m Si m, y m A 5 m m 5 m x m y m m m 5m m 5 m m6m m m soit x 5 m 5 ; y. m m Si m =, S : Ì Ó y doc (S) a pas de solutio Cosidéros u graphe orieté :. a. Ce sot les liaisos correspodates aux de M (sauf ceux de la diagoale) : A C et C A ; A E et E A ; B C et C B ; B E et E B ; D E et E D. E b. M Le coefficiet m, s obtiet e faisat le produit de la lige de M par la coloe de M : Le seul terme de cette somme égal à est obteu e multipliat le correspodat au trajet de B à D par le correspodat au trajet D à A. Il correspod au trajet de B à A e étape D. Les autres termes égaux à idiquet l absece d autre trajet de B à A e étape. c. Les zéros de M idiquet l absece d u trajet à étape de : A à E, B à E, C à D, C à E, D à C, E à A à A, B, C. Les liaisos i directs i à étape sot doc : etre A et E, B et E, ce que l o retrouve aisémet sur le graphe.. a. M Seules D et E e sot pas reliées e arrêts, mais elles l étaiet e arrêt. Doc toutes les villes sot reliées e au plus arrêts. C A D B Problèmes 9 A..,8 A. O peut faire afficher la matrice obteue et vérifier le résultat aocé par le programme, mais la vérificatio est logue. O peut aussi réduire le ombre de lacers et le ombre de tirages successifs idetiques, par exemple tirages successifs idetiques pour lacers pour tester le programme das ce cas.. et. Voir fichier sur le site. A,, B,5 A,68 B,75 B. P(B «B ) =,68,75 =,5. Chapitre. Calcul matriciel 7

77 . P(B) = P(A «B ) + P(B «B ) =,, +,5 =,57. PB «B. PB B ª, 889 à près. PB 5. a. O recoait u schéma de Berouilli avec S = «a utilisé Aurora la e aée» doc P(S) = P(B) =,6 et =. La probabilité qu au mois u iformaticie utilise Aurora la e aée est P(X ) = P(X = ) où X suit la loi ( ;,6) P(X ) PS, 57 ª, 8 à près. b. De même la probabilité cherchée est P(X = ) où X suit la loi ( ;,6). À la calculatrice, o obtiet, à près. B.. a.,,8 Aurora Bestmath,75,5. b. M 8,,. 5,, 75. a. P = (,,68). b. P PM,, 68 c. P = P M ª (,8,56) à près. 8,,, 6, 57. 5,, 75 La probabilité qu u iformaticie pris au hasard utilise, le e semestre, le logiciel Aurora est,8 à près, le logiciel Bestmath,56 à près. 9. O peut tirer des ombres aléatoires etre et sur ue calculatrice et assimiler u chiffre pair à Face, u chiffre impair à Pile et observer si o obtiet au mois 6 chiffres cosécutifs de même parité (e pas oublier d ajouter le fial s il a été elevé pour avoir le bo ombre de chiffres das le ombre aléatoire tiré).. O s itéresse à l évolutio au cours des tirages. Expliquos les flèches partat de. Si o a lacers cosécutifs égaux, o a au lacer suivat possibilités : avoir u ouveau lacer égal aux déjà obteus. O obtiet lacers cosécutifs égaux. avoir u lacer différet : ce lacer forme seul «lacer cosécutif égal». Les deux issues sot équiprobables d où les flèches partat de vers et vers, avec chacue la probabilité. Remarque : Si o est à 6 lacers cosécutifs égaux, o est sûr que l évéemet est réalisé d où l uique flèche de 6 à 6. b. T. a. Au premier lacer, o a seul «lacer cosécutif égal» doc X = ( ). b. X = X T = (,9,5,,,,8) e arrodissat à près. c. La probabilité d obteir 6 lacers cosécutifs au mois lors de tirages est,8 à près doc supérieure à. 5. a. Il suffit de calculer X T. O obtiet ue probabilité égale à,97 à près. b. Il faut remplacer par ue matrice 8 8 costruite de faço aalogue à T et predre X = ( ). O trouve alors X T dot le derier coefficiet est, à près,,. La probabilité d obteir 8 lacers cosécutifs égaux, au mois e lacers est d eviro,. 9. c = et t m mm m º.. = c = t et 6 = c 6 = t 8 sot à la fois carrés et triagulaires.. 66 = et mm 66 m m 8. Les solutios de l équatio m + m 8 sot 88 et 89. Comme m >, la seule solutio à reteir est 88. Doc 66 = c = t 88 ; c est u ombre carré et triagulaire. mm B. c tm m m. Or (m + ) 8 = m + m + 8 = m + m 8 = m + m =. Doc c = t m si et seulemet si (m + ) 8 =.. a. Soit x, y deux etiers tels que x 8y =. x = x + 8y et y = x + y sot des etiers et x 8y = (x + 8y) 8(x + y) = x 8y =. b. Si x est impair, x est la somme de x, impair, et de 8y, pair, doc x est impair. 8

78 . a. Si x est u etier impair et y u etier, les etiers x x, y tels que 8 x y sot aussi des etiers et y x est impair. La liste que l o peut costituer à partir de (x ; y ) = ( ; ) correspod à c = t est doc ue liste d etiers de la forme (m + ; ) vérifiat (m + ) 8 =. Le ombre triagulaire correspodat est, c estàdire y. Algorithme X ; A 8 Pour k de à Faire X AX Afficher X(, ) // X(, ) désige le coefficiet de la e lige et e coloe de X FiPour b. O obtiet les ombres suivats : par exemple avec le programme Scilab cidessous 9. Le temps mis par le sigal de so émissio à sa réceptio est t t,. Sa vitesse état,7, il parcourt la distace d =,7 (t t, ). Cette distace est celle séparat les poits de coordoées (x, ; y, ; z, ) et (x ; y ; z) doc d x x, y y, z z, das le repère orthoormé choisi.. (E ) s obtiet e égalat les deux expressios de d obteues grâce à la questio.. Pour i, o aura de même : (x x,i ) + (y y,i ) + (z z,i ) =,7 (t t,i ).. O obtiet doc : (E ) : x,88x +,9 + y,y +,5 + z =,7 (t 8,8t + 9,9 ) soit x,88x + y,y + z +, =,7 (t 9,8t) () e arrodissat à près pour les logueurs. De même pour (E ), (E ) et (E ) : (E ) : x,9x + y + z,z + 8, =,7 (t,8t) () (E ) : x,x + y,76y + z,8z +,77 =,7 (t 65,t) () (E ) : x,6x + y,9y + z +,9 =,7 (t 9,8t) () Par () () o obtiet :,x +,y,z +,8 =,77t Par () () o obtiet :,6x +,y,8z, =,56t Par () () o obtiet :,8x +,6y, = D où le système proposé.,,, x, 77t 8, B. O a 6,, 8, y, 56t, 8, 6, z, A Avec u logiciel, A est iversible et 5,, 97, A 5,, 98, e arrodissat à près. 5,, 5, x, 77t 8,, 96t 5, 99 D où y A, 56t,, 96t 5,. z,, 68t, 75. O obtiet ue équatio de degré à l icoue t que l o peut résoudre avec u logiciel (voir copie d écra cidessous). Doc t ª 8,6 ou t ª,7 (e ms).. La distace du cetre de la Terre est eviro rayo Terrestre. Pour t =,7 ms, x y z ª 8,. Pour t = 8,6 ms, x y z ª,. Doc le chalutier a pour coordoées (,7 ;,78 ;,) eviro. 9. Pour coaître le ombre A a,+ d alevis au pritemps +, il faut coaître le ombre de poissos adultes femelles. Chapitre. Calcul matriciel 9

79 Tous les poissos de as l aée sot adultes : N, La moitié des poissos de as l aée sot adultes :,5N,. Doc l aée, o a,5n, + N, poissos adultes. Or % d etre eux meuret pedat l aée, doc (,5N, + N, ),6 arrivet au pritemps de l aée +. La moitié d etre eux sot des femelles car le sexratio est, soit,5(,5n, + N, ),6. Chacue doe alevis, d où N a,+ =,5(,5N, + N, ),6.. O a doc N a,+ = N, + 6N,. De plus N,+ =,N a, puisque 9 % des alevis meuret la première aée. O a aussi N,+ =,5N, car la moitié des jeues de a meuret avat l âge de as. Efi N,+ =,6(N, + N, ) car % des poissos de deux as au mois meuret par a. Na, N, 6N, Ô ÔN,, Na, D où Ì ÔN, 5, N, Ô ÓN, 6, N, 6, N, soit P + = AP. 8. a. P et P AP 8 b. O calcule P pour et o peut représeter graphiquemet l évolutio de chaque trache d âge, par exemple, grâce à u programme, ou sur u tableur :

80 Puissace ième 5 d ue matrice. Limite Résolutio de problèmes Mouvemets de populatio A.. Évidet. Pour tout das, r + c = 6, d où c 9, c 6, c Ì soit c Ì Ór 6, r 8, r Ór. a. a =. Pour tout das, c + = (,7c +) (,7 +) =,7(c ). 7, c 7, r 6 Doc (c ) est ue suite géométrique de raiso,7 et, pour tout das, c =,7 +. De même b =, 7b + 6 b =. D où r + =,7r + 6 (,7 + ) =,7(r ). D où (r ) est suite géométrique de raiso,7 et, pour tout de, r =,7 +. b. 7, < doc,7 a pour limite, et (c ) et (r ) ot alors pour limites respectives c = et r = c, soit / et / de la populatio totale. B.. a. c 9,, = r, 7, c. r b. Par récurrece : H = A H avec H = et, pour tout das *, si H = A H, alors H + = A H = A (A H ) = (A A ) H = A + H. Coclusio : pour tout de * H = A H.. a. Das A ous avos des valeurs approchées de / et / à 6 près, das A 5 à 7 près et das A à près. Nous pouvos cojecturer que A ted vers. 7,, b. Par récurrece : A 9,, = = 7,,, 8, et, pour tout das *, si 7, 7, A = 7, 7, alors A + 7, 7, = 7, 7, 9,,, 8, = 7, 7, 7,, 7 Chapitre 5. Puissace ième d ue matrice. Limite

81 Coclusio : pour tout das *, A 7, 7, =. 7, 7, c.,7 a pour limite doc L =. 7, 7, 6 7,. a. H = 7, 7, = 6 6 7, 7, 7, b. De. a. c =,7 et r = +,7 doc, comme e A.. b, c = et r =. c. H = ; LH = LH = = soit LH 6 = H, = = 6 = H. Des poussis et des bejamis. a. p p 5, p car chaque aée la moitié des poussis part e bejamis, doc il e reste la moitié et 5 car chaque aée il y a 5 ouveaux adhérets. Pour b +, b car chaque aée la moitié des bejamis part e miimes, doc il e reste la moitié, p car chaque aée la moitié des poussis arrive e bejamis, car chaque aée il y a ouveaux adhérets e bejamis. b. A = et B = 5.. a. T =, T =. b. A = I T ; A I T I T I 6T. 8 c. Par récurrece : A A I T I T, pour tout das *, si A I T alors A I T I T I T T T I T car T est la matrice ulle. Coclusio : pour tout de *, A I T Il e résulte A =..

82 x 5 x Ô. a. X = AX + B Ì x ; soit X = Ô y 5 5. x y y Ó b. V + = U + X = (AU + B) (AX + B) = A (U X) = AV. c. Pour pour tout de *, V = A 5 V avec V = U X =, d où U X = A (U X) U = A (U X) + X. 5 p Ô d. Par c. pour tout de *, Ì qui se vérifie aussi pour =. Ô 5 b 5 Ó Remarque : lorsque p ou b e sot pas etiers, o a évidemet E(p ) et E(b ), mais o cotiue à garder pour la commodité des calculs p et b, l effet de la différece est égligeable sur l évolutio du ombre de poussis et de bejamis. e. a pour limite et a pour limite (pour, car ). Doc (p ) et (b ) ot pour limites respectives et 5.. a. U = AU + B, U = A U + AB + B, U = A U + A B + AB + B. b. U = AU + B = A U + A B et pour tout de *, si U = A U +  A k B alors U + = AU + B = A + U + A k  k B + A B = A + U + k A k  k Coclusio : pour tout de *, U = A U + A k  k B. k k c. Par.c. A k k = k doc A k k  k  = k k k k  k Â. k k k k k d.  A k =. k 5 p Ô e. Par b. et d. Ì Ô b 5 5. Doc (p ) et (b ) ot pour limites respectives et 5. Ó Éviter les bouchos? B. A.. A / / / B M =. /. O obtiet P + = P M, d où P = P M. B.. MV = V et MW W d où l = et m. Chapitre 5. Puissace ième d ue matrice. Limite

83 . a. dét (P) = doc P est iversible et P = ; PDP = M. b. M = (PDP ) (PDP ) par associativité de la multiplicatio des matrices. M = (PD) (P P) (DP ) = PD P ; M = M M = PD P. c. M = M = PDP = PD P et pour tout de *, si M = PD P alors M + = M M = (PD P ) ( PDP ) = PD + P. Coclusio : pour tout de *, M = PD P.. a. D =, 5 et D =, 5. b. Cojecture : pour tout de *, D =, 5. Démostratio par récurrece : D = D =, 5, et pour tout de *, si D =, 5 alors D + = D D =, 5, 5 =, 5. Coclusio : pour tout de *, D =, 5.. Par.c. et. M =. C. a. P = et pour tout de *, P P M 6 6. b. 5, doc,5 a pour limite et L ; LM = L. c. Pour tout état iitial P = [a b] avec a + b = et a, b réels positifs, P M b a b a b a b a. Comme a + b =, P b a b a. Doc P a pour limite L. L reste ichagé si l o modifie l état iitial. Marches aléatoires sur u carré A.. C / / / / D O / / B / / A

84 M =. M = et M = M. O motre par récurrece que pour tout de *, si est impair M = M et si est pair M = M.. a. P = [ ] ; P = P M = P M = ; P + = P M + = P M =. b. L état probabiliste quad ted vers + est doc : soit, soit. B.. N =. Les résultats sot doés à 5 près, 5 5,, 5 5, 5,, 5 5,, 5 N 5,, 5 5,, 5 = ; N = 5,, 5 5,, 5 ; 5,,5, 5 5, 5,, 5 5,, 5 5,, 5 5,, 5 5,, 5 5,, 5 5,, 5 5,, 5 N =,,,,. 5,, 5 5,, 5 5,, 5 5,, 5 N semble tedre vers la matrice. a. PQ = QP = I. b. De a., il e résulte P = Q.. Chapitre 5. Puissace ième d ue matrice. Limite 5

85 c. N = N = PD P et pour tout de *, si N = PD P alors N + = (PD P )(PDP )et par associativité (PD P ) (PDP ) = (PD )[(P P)(DP ] = (PD )(I (DP )) = (PD )(DP ) = PD + P. Coclusio : pour tout de *, N = PD P. 9 7 d. D = 9, D = O motre par récurrece que pour tout de *, D =. e. N = PD P. doc a pour limite et D a pour limite D =. Doc N a pour limite P D P =, la matrice cojecturée e.. P = [a b c d] avec a, b, c, d positifs et a + b + c + d =. P = P N. Désigos par R la matrice limite de la suite de matrices (N ) obteue e.e., alors la matrice lige P a pour limite P R pour tedat vers +. PR abc d abc d abc d abc d a b c d. Comme a + b + c + d =, P a doc pour limite, quel que soit le poit de départ, o ted à être de maière équiprobable sur l u des quatre sommets du carré.. Das la partie A quel que soit le poit de départ o ted à arriver de maière équiprobable sur seulemet deux sommets du carré soit A ou C, soit B ou D. TP. Le modèle des ures d Ehrefest A. Simulatio Voir exercice 9 page 8. B. Étude d u cas particulier N = Pour N = 5 voir exercice page 8.. a.,,,,. 6

86 b. = = = = = = 5 / / / / / / / / / / / / / / / / Pour établir les probabilités, il faut se rapporter au processus : le tirage d u uméro i de boule compris etre et a ue probabilité égale à /, puis o chage d ure la boule dot le uméro est tiré. Par exemple, lorsqu à ue étape doée il y a boules das l ure A et doc ue boule das l ure B, pour qu il y ait boules das l ure A à l étape suivate, cela reviet à tirer le uméro de la boule de l ure B dot la probabilité est égale à / et pour passer à boules das l ure A, cela reviet à tirer u des trois uméros des boules qui sot das A, doc la probabilité est /. k c. Lorsqu elles existet, PX k X k k et PX X k k e dépedet pas de. PX X PX k k k k PX E revache, P X X k k k. PX k PX k Doc P X k X k déped de.. a. / / / / / / b. 5, 75, T =, 5 5,. 75,, 5. a. L = [ ] L = [ ] L = [,75,5] L = [,75,65 ]. b. L = L T pour. La positio des das L semble dépedre de la parité de c. A = T = Chapitre 5. Puissace ième d ue matrice. Limite 7

87 d. et e. L + = L A pour pair et L 5 doc o a bie b = et d =. Si L = [a c e ] alors L + = [a c e ] A d où a c a c e c e L 8 8 a c avec a 8 ; b a c e ; c c e ; d et e 8. Coclusio : pour et pair b = d =. Doc, au bout d u ombre pair d étapes (supérieur ou égal à ), il y a ou ou boules das l ure A, c estàdire u ombre pair de boules. pour impair et L doc o a bie a 5 =, c 5 = et d 5 =. Si L = [ b d ] alors L + = L A et b d b d L A b d avec a ; b 5 b d ; c 8 ; d 5 et e 8. Coclusio : pour impair et, a = c = e =. Doc au bout d u ombre impair (supérieur ou égal à ) d étapes il y a ou boules das l ure A, c estàdire u ombre impair de boules. Si la suite (L ) avait ue limite, cette limite e pourrait être que [ ] or c est impossible car pour tout Œ, a + b + c + d + e = Physiquemet, il est impossible que la probabilité qu il y ait u ombre doé de particules das l ue des eceites tede vers ue limite puisqu o passe d u ombre pair de particules à u ombre impair et réciproquemet, ue particule etrat ou sortat de chaque eceite à chaque istat. Ce qui fait que si à ue étape o a u ombre pair de particules la probabilité d avoir ecore u ombre pair de particules à l étape suivate est ulle et la somme des probabilités d avoir u ombre impair de particules est égale à. O a le même raisoemet si à ue étape o a u ombre impair de particules. Remarque : à chaque étape le ombre de boules das l ure A augmete ou dimiue de, doc : si à ue étape il y a u ombre pair de boules das l ure A à l étape + il y a ecore u ombre pair de boules das l ure A et doc la probabilité d avoir u ombre impair de boules das A à l étape + est ulle ; de même, si à ue étape, o a u ombre impair de boules das l ure A, à l étape + o aura ecore u ombre impair de boules et doc la probabilité d avoir u ombre pair de boules das A à l étape + est ulle.. a. pair et L 8 8 impair L b. doc a pour limite. D où L a pour limite 8 8 et L + a pour limite. c. pair EX 8 8 d où EX. 8

88 impair EX D où, pour tout de *, EX. Coclusio : il y a e moyee boules das l ure A à l étape. Pour Æ +, Æ ; Æ car, doc E(X ) a pour limite. 5. a. P(X = ) =, u retour à l état iitial est doc possible. b., 5. C.. a. Matrice carrée (N + ) (N + ). b. t i, i =, t i, i = i N, t i, i+ = N i, j i > tij =. N Allure géérale de la matrice T º N º N N N N N N º N N M N º N N N º N N º. N < doc pour Æ +, a pour limite et E(X N ) a pour limite N. Pour assez grad le ombre moye de boules à l étape das l ure A est proche de N. (O ted vers le même ombre moye de boules das les ures.). Das ce modèle le retour à l état iitial est possible mais avec u temps de retour moye très log lorsque N est très grad. 6, x > et = ( suivi de ^ ). Les logiciels de calcul formel tels que Xcas ou Scilab doe pour résultat :. Si par exemple l état de l ure A chage toutes les aosecodes, (c estàdire qu ue particule etre das l ure A ou e sort à chaque aosecode ( 9 s)). Le temps moye de retour à l état iitial sera supérieur à 8 milliards d aées, 8 état égligeable devat, o peut cosidérer que ce temps de retour sera de l ordre de milliards d aées voilà pourquoi o peut parler d irréversibilité. TP. Pertiece d ue page web A.. Aucue page e revoyat vers la page, et les lies etre les autres pages état réciproques, o peut cojecturer que l employé e s arrêtera pas sur la page sauf évetuellemet s il commece par la page et que la probabilité de fréqueter chacue des pages, et tede vers /. Chapitre 5. Puissace ième d ue matrice. Limite 9

89 . / / / / / / / / / T =. Par récurrece : e posat T = I, l égalité est vraie pour = et pour de si X = X T alors X + =X T, d où X + = (X T ) T = (X (T T) par associativité, c estàdire X + = X T +. Coclusio : pour tout de, X = X T.. P 9 = 9I. D = 5. PD = P(P TP) = (PP )(TP) = I TP = TP. D où PDP = (TP) P = T(PP ) = TI = T. Par récurrece : T = T = PDP = PD P et pour de * si T = PD P alors T + = T T = (PD P )(PDP ) d où par associativité T + = (PD )(P (PDP ) = (PD )((P P)(DP )) = (PD )(I (DP )) = (PD )(DP ) = (P(D (DP ))=P((D D)P )) = PD + P. Coclusio : pour tout de *, T = PD P. 6. D = < doc a pour limite et D a pour limite D = et T = PD P a doc pour limite P D P, c estàdire.

90 7. La probabilité de s arrêter sur chacue des pages,, ted vers / et celle de s arrêter sur la page ted vers. Cela correspod à la cojecture. B.. E foctio de la partie A, o cojecture que la probabilité de s arrêter sur la page tedra vers p, et celle de p s arrêter sur l ue des pages, ou tedra à être la même et égale à.. a. / p Saut / / / p Sas Saut / / / / Saut / p / / p Sas / Saut / L arbre podéré est le même si l o part des pages, ou, seuls chaget les deux uméros de pages e bouts de braches pour la partie «sas saut». b. À l étape +, o arrive sur la page soit e ayat fait «u saut», et alors la probabilité est égale à p /, soit sas saut avec la probabilité p et e veat soit des pages ou avec ue probabilité / soit de la page avec ue probabilité /. D où le résultat. c. E reproduisat le raisoemet de a. pour être sur les pages ou à l étape +, et sachat que P(Y + = ) = p car o e peut arriver sur la page que par u saut, o vérifie e posat a = P(Y = ), b = P(Y = ), c = P(Y = ) et d = P(Y = ) que ( p) X T + p [ ] = ( p) [( b + c + d ), ( a + c + d ), ( b + a + d ), ] + p p p p = [P(Y + = ), P(Y + = ), P(Y + = ), P(Y + = )] = X +.. a. X = X A + C X (I A) = C. Si I A est iversible alors la matrice L = C (I A) est l uique matrice solutio. b. X + L = (X A + C) (L A + C) = (X L) A et par récurrece o motre que pour tout de, (X L) = (X L) A e posat A = I a. I A = et (I A) =. 8 8 b. L peut être obteue e calculat C (I A) soit e vérifiat que L = L A + C avec C =,,, et L = 5 5 5,,, Chapitre 5. Puissace ième d ue matrice. Limite

91 5. p = doc par récurrece o motre que pour tout de * A = T (ou pour tout de si l o pose T = I = A ). T a pour limite et a pour limite, doc A a pour limite la matrice ulle. 6. Par 5. A a pour limite doc comme d après.b. X L = (X L)A, o e déduit que X L a pour limite et que X ted vers L. La cojecture émise e B.. est e accord avec ce résultat et la pertiece de la page est plus ulle das ce modèle, elle est égale à p. 7. Au bout d u grad ombre de clics et au dixième près, il y a très peu de chagemet selo que l o surfe aléatoiremet avec ou sas saut, lorsqu o pred p =. TP. Le modèle «proiesprédateurs» A.. S il y avait pas de prédateurs a priori la populatio des proies devrait croître idéfiimet et s il y avait pas de proies la populatio de prédateurs devrait s éteidre. Si le ombre de prédateurs augmete, le ombre de proies doit dimiuer et si le ombre de proies augmete le ombre de prédateurs doit augmeter.. S il y a pas de prédateurs s + = ( + a)s avec + a >, doc (s ) est ue suite géométrique de raiso strictemet supérieure à. Elle serait doc strictemet croissate et ted vers +. S il y avait pas de proies r + = ( d)r avec < d < doc, (r ) suite géométrique de raiso d serait strictemet décroissate et de limite. s + s = s (a br ) si r augmete alors à partir d u certai rag r > a b et s + s < doc la populatio des proies dimiue. r + r = r (cs d), si s augmete alors à partir d u certai rag s > d c et r + r >, doc la populatio des prédateurs augmete aussi.. a. s() r() s() r() s(), r() ,,,,, s()

92 b. O remarque que les populatios des prédateurs et des proies ot des phases motrat des variatios importates de croissace et de décroissace simultaées. Le uage de poits de coordoées (s, r ) motre que (s, r ) ted à évoluer selo ue forme spiralée et sur les graphiques o e voit pas apparaître de situatio d équilibre. c. Si s = et r = alors s + et r + =, et o motre par récurrece que si s = r = alors pour tout das s = et r =. s s Pour r > ou s >, Ì d abr s s Ì Ór r Ócs dr Ô c Ì Ô a r Ó b Si s = d c = et r = a b = 5 alors o peut vérifier sur le tableur que pour 6 les deux populatios s et r sot costates et égales respectivemet à et 5. d. Si l o pred des valeurs proches de et 5, par exemple et 7, les résultats obteus au tableur pour 6 sot tels que 88 s 57 et r 9, o reste doc das des valeurs proches de l état d équilibre.. a. Pour a, b, c, d das ] ; [ et pour tout de, s > ou r > alors s + = s et r + = r si et seulemet si s = d c et r = a b, puis o motre par récurrece que si s = d c et r = a b, alors pour tout das, s = s et r = r. d d s as bs r b. Pour tout de, (S) Ô c c Ì Ô a a r dr cs r Ó b b d bd as bs r u Ô c c v buv Comme Ì Ô a ac dr csr Ó b b u v cu v bd d et s u c et r + a u u b = v + o déduit (S) c v Ô buv Ì Ô ac v b u v Ó cu v c. Si l o reste proche de l état d équilibre tel qu il existe u etier k de * tel que pour tout de, u < k et v < k alors uv < k et u v est alors égligeable devat u et v. d. (S ) u v = A u avec A = v ac b bd c. d d e. E posat A = I, il e résulte pour tout de, u u = A v v. D où s s = A c c +. r a a r b b Remplacer (S) par (S ) permet d obteir ue expressio simplifiée de s et r e foctio de, A, s et r. Remarque : pour tout réel l dét(a l I ) = ( l) + ad, a, d état das ] ;[ ( l) + ad >, doc la matrice A est i diagoalisable, i triagularisable. B. Voir fichiers sur le site Math x. Exercices ENTRANEMENT A = O, A = O, pour tout, A = O. b. A = 9, A = 7, pour tout de * A =. c. A =, A = O, pour tout, A = O. Chapitre 5. Puissace ième d ue matrice. Limite

93 d. A = 9, A = Pour tout das *, A =. M = et M = M M = I.. E posat M = I, pour tout de, M = (M ) = ( ) I ; M + = M M = M ; M + = M M + = M. a. A =, A =, A =, il semble que, pour tout de *, A =. Motrosle par récurrece, A = et, pour de *, si A = alors A + = A A =. Coclusio : pour tout de *, A =. b. A = I doc, pour tout de *, A = I et A + = A. c. A =, par récurrece, c est vrai pour = et pour de *, si A =, alors A + = A =. Coclusio : pour tout de *, A =. d. Il semble que pour tout de *, A =. C est vrai pour =, et pour de *, si A =, alors A + = A A = = 6 6. Coclusio : pour tout de *, A =. Corrigé e fi de mauel. 5 Voir fichier sur le site Math x. O peut vérifier les résultats obteus das les exercices et à l aide d u logiciel comme Xcasfr. Après avoir défii la matrice A la commade matpow(a, ) permet de calculer la matrice A. Par exemple pour la matrice A = de b. das l exercice, matpow(a, ) sur Xcasfr doe pour résultat, d où pour pair A = I et pour impair A = A. 6 Voir fichier sur le site Math x.. X + = AX avec A =.. Sur Xcasfr, après avoir défii A, matpow(a, ) permet d obteir A =.. X = A X avec X = u v = et X = u. v u Ô D où Ì Ô v Ó Ô 6. doc a pour limite +. Il e résulte que les suites (u ) et (v ) diverget vers. aa ab bc 7 MM = cc doc MM est ecore ue matrice carrée d ordre triagulaire supérieure. b. Iitialisatio : M = M doc la propriété est vraie pour =. Hérédité : pour das * si M est ue matrice triagulaire supérieure d ordre alors M + = M M produit de deux matrices triagulaires supérieures d ordre est par.a. ecore ue matrice triagulaire supérieure d ordre. Coclusio : si M est ue matrice triagulaire supérieure d ordre alors, pour tout das *, M est ue matrice triagulaire supérieure d ordre. a b c a b c. M = d e et M = d e alors f f

94 aa ab bd ac be cf MM = dd de ef est ecore ue ff matrice triagulaire supérieure d ordre. Puis o motre comme das.b. que si M est ue matrice triagulaire supérieure d ordre alors, pour tout das *, M est ecore ue matrice triagulaire supérieure d ordre. 8. M = a ; M = = O d où, pour tout etier, M = O. a b ac. M = c ; M = et M = O. Doc, pour tout etier, M = O. 9. X + = AX avec A =.. A = D + T avec D = et T =.. T = et T = O.. Iitialisatio : I + T + T = I + T = D + T = A, la propriété est doc vraie pour =. Hérédité : pour de *, si A I T T alors A I T T I T avec D = I. D où A I T T T T T. Comme T = O, o obtiet A I T T I T T. Coclusio : pour tout de *, A I T T 5. Pour tout de *, X = A X a avec X = et X = b d où, pour tout de *, c a Ô b Ì quiest ecore vrai pour. Ô c Ó Remarque : l écriture du système de départ permet d exhiber immédiatemet D et T.. M est ue matrice carrée d ordre.. M = 5. M 5 5 = a. M A BC ABBD = CABC CBD b. A = ; BC = ; AB = ; BD = ; CA = 5 5 ; DC = ; CB = ; D = ; A + BC = 5 5 ; AB + BD = 5 ; CA + DC = 6 8 ; CB + D = 5. M = A O avec A = C D, O =, C =, D =. Motros par récurrece que M = A O C D. Iitialisatio : M = A O = A O C D C D. La propriété est doc vraie pour =. Hérédité : pour tout de *, si M = A O C D alors M + = A O C D A O = C D A O C AO O D A O = CA DC CO D CA DC D CA + DC = C + O = C et D = D. D où M + = A O. C D. Coclusio : pour tout de *, M = A O C D, Comme A = est ue matrice diagoale, Chapitre 5. Puissace ième d ue matrice. Limite 5

95 A = =, il e résulte que, pour tout de *, M =.. PQ = I d où P Q.. P MP = = D.. PDP = P(P MP)P et par associativité P(P MP)P = (P(P MP))P = ((PP )MP))P = (I MP)P = (MP)P = (MP)P = M(PP ) = MI = M. Iitialisatio : pour =, PD P = PDP = M, la propriété est doc vraie pour =. Hérédité : pour de *, si M = PD P alors M + = M M = (PDP ) (PD P ) et par associativité M + = (PD)(I (D P )) = PD + P. Coclusio : pour tout de *, M = PD P.. D état ue matrice diagoale, D = doc pour tout de *, M = P P = x Posos V = y a. AV = ( ) V y x c estàdire x = y x y V =, V =, V = covieet. b. AV = ( ) V x 5y x x = 5y x y y V = 5, V = 5, V = covieet., c. AV = V x y y = x 6x y V =, V =, V = 6. Ô x y x d. AV = ( ) V Ì ÓÔ x y y y = ( + ) x. V =, V =, V = covieet. Remarque : das chaque cas la matrice coloe coviet et si ue matrice coloe V coviet toute matrice coloe kv, où k est u réel, coviet.. a. AV = 5 5 et AW = 68, d où AV = 5V et AW = ( )W. A admet pour valeurs propres 5 et. b. P = et 7 7 P = 7 7. Iitialisatio : A = A = PDP = PD P, doc la propriété est vraie pour =. Hérédité : si A = PD P alors A + = A A = (PDP ) (PD P ) = ((PD) (I (D P )) = (PD)(D P ) = P((DD )P ) = P(D + P ) = PD + P. Coclusio : pour tout de *, A = PD P.. D état ue matrice diagoale pour tout de *, D = 5 d où 5 5 A 7 7 = a. AV = xv AV = xi V AV xi V = (A xi ) V =. b. Si dét(a xi ) alors (A xi ) est iversible et il existe ue seule matrice coloe V, V = (A xi ) =. Doc si l o veut V solutio de AV = xv, il est écessaire que dét(a xi ) =. 6

96 c. dét(a xi ) = x + x 8 =, et 6 sot solutios l et m 6 ou l 6 et m.. Pour l et m 6, 5 AV = V a 5b = doc V = coviet, AW = 6W c + d = d = c doc W = coviet. V et W e sot pas proportioelles car 5 ( ).. D = P = ; 9 9 P = et A = PDP O motre par récurrece que pour tout de *, A = PD P, d où A 9 9 = Voir fichiers sur le site Math x.., 5 sot les valeurs propres de A. A = et A = 5. E posat P =, P AP = 5., 897, E posat P =,, 76, 7556 o a, comme e., PAP = 5 = D. Les coloes de P sot proportioelles aux coloes de P, o retrouve ecore, 897 A, 76 =, 897, 76 et A, 7556, 7556 = 5, 7556., Pour tout de *, a. D =,, A = PD P 5 avec P = 5 et 9 9 P =, A , 9 9, = , 9 9, b. D =, P =, P =. A = PD P =. c. D =, P = 5 5, P = 5 5 A = PD P = d. D =, P =, P = A = PD P =. 9, 5,, 5 8. M = 7,,. 8,,. L = [ ], L = L M = [,9,5,5]. L = L M = [,885,5,7]. La probabilité que miutes plus tard Doudou dorme ecore est égale à,885, la probabilité qu il mage est égale à,5 et la probabilité qu il court est égale à,7.. a., , , 7899 M =, , , 7899, , , 7899 O retrouve ce même résultat pour M, M et M doc o peut cojecturer à près que M ted vers cette matrice. b. Le temps de sommeil probable à log terme de Doudou chaque jour sera de,88 heures, soit eviro h mi à ue miute près. 9.,8,9 I M,, S,5,5 Chapitre 5. Puissace ième d ue matrice. Limite 7

97 9,, M =, 5, 5 8,, 8,, 5,. a. M =, 5,, 5 888,,,, 796, 5 8, M = 6, 65,, 95, 8, 8, 8 b.,5 ;,95.. a. Quad ted vers +, les termes de M se stabiliset et M ted vers ue matrice limite M égale à M 5 à près. b. E = [ ] ou E = [ ] ou E = [ ] ; E M 5 = [,755,5,9] doc à près, das les trois cas la probabilité d être immuisé au bout d u temps assez log est égale à,755. Cette probabilité e déped doc pas de l état iitial. O voit cela sur la matrice M car les trois termes de la re coloe sot égaux à,755 à près. c. La suite (E ) est telle que pour tout de *, E = E M, lorsque ted vers +, E ted vers L = E M = [,755,5,9] à près et L e déped pas de E, comme déjà vu das b. 9, a 8, c a a a Ô Ô. a. L = ML Ì, a5, b b Ìb, a Ó Ô5, b, c c Ó Ôc, 5a comme a + b + c = cela reviet à L = b. O retrouve E M de.c. e preat pour valeur approchée de M à près la matrice M 5 doée par le logiciel. Corrigé e fi de mauel.. P = [,,8].,,9 A B,85,5 9,,. a. M = 5,, 85 b. P = P M = [,,7]. c. Par récurrece, o motre que pour tout de, P = P M e posat M = I.. a. MV = lv (M li )V =, si (M li ) est iversible alors V = (M li ) = est la seule matrice coloe V solutio de MV = lv, doc si l o veut V o ulle solutio de MV = lv, (M li ) e doit pas être iversible. b. (M li ) o iversible dét(m li ) =. dét(m li ) = l,75l +,75 = l = ou l =,75. c. Posos l = et l =,75. MV = V y = x et MV =, 75V y =,5x. O peut predre V = et V =. d. P = et D = alors M = PDP. e. O motre par récurrece que, pour tout de *, D = et que M = MD P et o e déduit M = f. doc 5 5 a pour limite et M =. 5 5 g. L = P M = 5 5. LM = 9,, 5 5 5,, 85 = 5 5 = L. h. O peut doc détermier u ombre N de semaies à partir duquel la probabilité qu ue persoe préfère le parfum Aurore sera voisie de /5 à, près et la probabilité qu elle préfère le parfum boréale sera voisie de /5 à, près, doc le parfum aurore fiira par être préféré au parfum boréale.. M est la matrice de trasitio doc pour tout k de, R k+ = MR k.. E utilisat. o motre par récurrece que pour tout k de *, R k = R M k.. a. N = N = I. b. D =. c. NDN = N(N MN)N par associativité N(N MN)N = I MI = M. 8

98 Par récurrece, o motre que pour tout etier aturel, M = ND N e posat M = I et D = I.. a. O motre par récurrece que, pour tout etier aturel k, D k =. k D où M k = k k k. R R Mk p q r Mk k k k p q q r q Lorsque k ted vers +, q q vers p r. k k. ted vers doc R k ted. b. La populatio ted à deveir homozygote.. / A /6 / B C / /6. a. O peut cojecturer que le jeto au bout d u grad ombre d étapes e devrait se retrouver qu e A, car A revoie sur A avec ue probabilité égale à et B et C revoiet aussi vers A. b. O motre par récurrece que pour tout de, P = P M e posat M = I.. P = et PTP = = M T = +. b. H = O HD = DH = H. c. E posat D = I. 6 Iitialisatio : H H I H D H, la propriété est doc vraie pour =. Hérédité : pour tout de *, si DH H alors D H D H DH H H. Coclusio : pour tout de, DH H. d. Iitialisatio : D I T Hérédité : pour tout de *, si T D H alors T D H T D H DH. D D HD H D H Comme H O, ous obteos T D DH Coclusio : pour tout de, T D H. d. T = + = e. O motre par récurrece que M = PT P d où M = 6 6 doc ted vers et l e l aussi car l ted vers l et xe x ted vers lorsque x ted vers. Chapitre 5. Puissace ième d ue matrice. Limite 9

99 Doc M ted vers doc P ted vers P = [a + b + c ] = [ ]. O peut doc cofirmer la cojecture de la questio. 5. Si le jeto est iitialemet e B, P = [ ]. Comme P P M, la probabilité que le jeto soit e A au bout de étapes est égale à et 95, si et seulemet si 5, ce qui est le cas pour 8. Voir fichiers sur le site Math x a. M = b. La commade jorda(m) sur Xcasfr doe : P = et D = La commade P^( ) doe P 6 6 = c. E posat D = I 6. O motre par récurrece que pour tout de *, 5 D = d. Par récurrece, o motre que PD P = M et faire le calcul sur Xcasfr.. L = [ ]. L = L M = [a b c d e f ] avec a b c d e f a. 5 et 5 doc et 5 limite de même 5 et 5. Doc L a pour limite et L ot pour L et L + ayat des limites distictes L a pas de limite. b. C =. Le ombre moye de boules das l ure A 5 à l étape est doc égal à L C = a + b + c + d + e + f 5, soit 5 5.

100 N N (À recouper avec EX EX N du TP C.., ici N = 5 doc E(X ) = 5.) Lorsque ted vers +, le ombre moye de boules ted vers 5 puisque 5 ted vers. 5. u = 6, u = 7, u = 7,5.. (u ) semble avoir pour limite 8.. a. Pour tout de, u = u u u = u soit u u AV = V + et o déduit par récurrece que pour tout de, V = A V (avec A = I ). b. Pour x réel, dét(a xi ) = x x + = x Soit X = y, x, y réels. x = ou x. AX = X y = x doc X = est u vecteur propre de A associé à la valeur propre. AX = X y = x doc X = est u vecteur propre associé à la valeur propre et o proportioel à X. P = et D = sot telles que A = PDP avec P = et o e déduit par récurrece que, pour tout de, A = PD P =. c. De a. et b. o tire V = (PD P ) V avec V =, soit V = d où u.. doc et a pour limite et u a pour limite 8, quad ted vers À la miute +, il est parti de la cuve A vers la cuve B % de la masse de sucre présete à la miute, il e reste doc 7 % et il est arrivé das la cuve A % de la masse de sucre présete das la cuve B à la miute, doc a + =,7 a +, b. Par u raisoemet semblable b + =, a +,9 b. a. a. X = MX avec X =, et o motre par b récurrece que pour tout de, X = M X e posat M = I. b. D =, P = et M = PDP avec 5 P =, o motre par récurrece que, pour tout de, M = PD P. Comme D =, M 5 5 = c. X = a a = M d où b b a a ( 5,, 75 6, ) ( 5,, 5 6, ) b Ì Ó b ( 7, 5, 75 6, ) a ( 75,, 5 6, ) b. 6, doc quad ted vers +,,6 ted vers et a et b tedet alors respectivemet vers a b et a b. 7. AX + B = X B = (I A)X (I A) B = X. (I A) = 8 doc X =.. Par récurrece Iitialisatio : A (U X) + X = I (U X) + X = (U X) + X = X. La propriété est doc vraie pour =. Hérédité : pour tout de, si U = A (U X) + X. Alors U + = A (A (U X) + X) + B = A + (U X) + AX + B = A + (U X) + X. Coclusio : pour tout de, U = A (U X) + X.. U X = 8. Quad ted vers +, A ted vers O car (,5) et (,5) ot pour limite Puisque 5, et 5,, il e résulte que A 8 (U X) + X ted vers X, doc (U ) ted vers X =. Chapitre 5. Puissace ième d ue matrice. Limite

101 8 Cherchos X tel que AX + = X. 9 C estàdire X = (I A) = 8 8 et o motre par récurrece que, pour tout de, 5 U = A 8 (U X) + X avec U X =, d où U = I A = et dét (I A ) =, elle est doc pas iversible, et il existe pas X telle que AX + B = X.. Par récurrece Iitialisatio : A U +  A k k B = AU + A B = AU + I B = AU + B = U, l égalité est doc vraie pour =. Hérédité : pour tout de *, si U = A U +  A k k B, alors U + = A (A U +  A k B) + B. Soit U + = A + U + A A + U + A + U + A + U +. 6 A k  k A k  k A k  k k A k  k B + A B = B + A B = B. B + B = doc quad ted vers +, ted vers et A 7 7 ted vers a.  A k = k D où U = = b. Quad ted vers +, vers +, doc (U ) diverge. 6 ted vers et ted. a. Iitialisatio : M = M et a =, b = et c =, la propriété est vraie pour =. ak Hérédité : pour tout k de *, si M k = bk ck ck b k alors M k+ = M M k, ak soit M k+ = bk ck ck bk b c c b k k k k ak qui est de la forme bk ck ck c k avec a k+ = a k, b k+ = b k c k et c k+ = b k + c k. ak Coclusio : pour tout k de *, M k = bk ck ak ak ck b Ô k avec Ìbk bk ck. Ô Óc b c k k k b. (a k ) est ue suite géométrique de raiso, doc a k = ( ) k a = ( ) k. c. Pour k, z k+ = b k+ + ic k+ = (b k c k ) + i(b k + c k ) = ( + i) (b k + ic k ) = ( + i)z k. (z k ) est doc ue suite géométrique de ombres complexes de raiso (+ i). Il e résulte z k = ( + i) k z = (+ i) k, d où b k = Re[(+ i) k ]. d. i e ip, doc, pour tout k, k k i e i k p k p et bk cos k.

102 8. a. M = = M I. b. Pour tout k, M k+ = M M k = (M I ) M k = M k+ M k e posat M = I. c. De b. a k+ = a k+ a k, b k+ = b k+ b k. a. v a b, v a b cos p v a b cos p 8. b. Par récurrece Iitialisatio : u = = v, u = = v, u = = v. Hérédité : pour das *, si pour k, u k = v k alors u + = u u = v v = (a + b ) (a + b ) = (a a ) + (b b ), par.c. : (a a ) + (b b ) = a + + b + = v +. Coclusio : pour tout de *, u = v. Il e résulte : pour tout de *, p u a b cos, p comme cos u, l égalité est vraie pour tout de. APPROFONDISSEMENT 8. a a A B b b. Pour tout réel x, det(m xi ) = ( a x)( b x) ab. Il s aule pour x = ou x = a b. Les deux valeurs propres de M sot doc et (a + b), distictes car a + b >.. D = ab P = a b car X = et X = a b sot tels que M X = X et M X = ( a b)x, b a P a b a b = a b a b. O motre par récurrece que pour tout das M = PD P ( e posat M = I = D ). b a a b a a a b Doc M a b a b = bb a b a bab a b a b < a + b < doc, d où quad ted vers + ( a b) b a ted vers et M ab ab ted vers M = a b a b O motre par récurrece que P = P M avec P = [ ] ou P = [ ] doc la limite L de P est égale à b a P M = ab ab. b E posat, a, L = [a a] a b L M = [a a] a a = [a a] = L. b b 9 Voir fichiers sur le site Math x. 5. a. = = = / / / / k p (k) p (k),5,5 p (k),75,5 b. + / / / / Chapitre 5. Puissace ième d ue matrice. Limite

103 c. p + () =,5p (), p + () = p () +,5p (), p + () =,5p (), p + () =,5 p ()+ p (). a. X = b. A = c. O motre par récurrece que pour tout das, X = A X, e posat A = I.. a. a. b. Par récurrece Iitialisatio : B = B = a B, l égalité est doc vraie pour =. Hérédité : pour tout das, si B + = a B alors B (+)+ = B + = B B + = B (a B) = a B = a (ab) = a + B. Coclusio : pour tout das, B + = a B. c. Pour tout das, B + = a B et B + = B (a B) = a B, doc pour pair et, B pour impair, B a B. a B ; B O d. A = C [ ] avec C = et O =. Par récurrece Iitialisatio : e posat A = I B = I, a = b = c =, I O l égalité est vraie car I = [ ] []. Hérédité : tout das, si A = B O C [] avec C = [a b c ] alors B O A + = C [ B O ] C [] et e effectuat u produit par blocs A + = B O C B O O C B C C O [], soit A + B O = avec C [] [a + b + c + ] = C + = C B + C. Coclusio : pour tout das, A B O = C []. e. pair et, A = a B O et B = C [ ]. impair A = a B O a C [ ] Pour pair, X = A X = b Pour impair X =. b ou b Comme b p p k car X = p et  pk =, quad ted vers +, k p X ted vers, c estàdire que le joueur ted à avoir trois jetos après u grad ombre de lacers. 5 A.. q() r()

104 . a. a = bq + r doc a r q q b b b r b = r q + r doc b r q q r r r r d où a q q b b q r r r r = r q + r doc, r q r r r d où a q b q q r r b. a q b q q q r r c. O ira aisi jusqu au derier reste o ul r 5, doc o aura e fi de la derière égalité q5, o pourra r doc écrire aisi 6 égalités. r5 59 d. q = 9 ; q 9 9, 5 ; q 7 q 9 9 9, ; q 5 5 q 6 q 9 9 q 7 7 q q (approximatio de Huyges). O obtiet des approximatios tatôt par défaut, tatôt par excès, la première approximatio q est par défaut, la deuxième q est par excès car q. q q r r La troisième est par défaut car q q q q r r doc q q, q q q q r r la quatrième 6 est par excès. 7 x y k qk. x y k x x y y O obtiet l approximatio de Huyges par : k q x y k k = x y q q q = 6 7 q 7 5, d où x 6 (approximatio de Huyges). y 7 B.. j 5, l autre solutio est j. j j = + j doc, j j j j, j doc j j puis. j j j. Comme 5 est pas ratioel, o e déduit que j est pas ratioel, car si j était u ratioel q, alors 5 q serait ratioel. O peut doc cotiuer le processus idéfiimet.. a. E repreat A.., ous avos pour tout das, q =, x =, y =, x = et y = doc x y k qk x y k x y x y x y k x y k x y x y x y = x y x y x y b. A = PDP avec D = j j, P = j j et j P = j c. Par récurrece que pour tout das, A = PD P d où A j j j 5 j j j jj jjj j 5 j j j j j j x y Comme = A x y x 5 j j j j j j y j j 5 Chapitre 5. Puissace ième d ue matrice. Limite 5

105 Avec u tableur, e gardat 6 décimales : x() y() x()/y(),,,5 5, ,6 5 8,65 6,6585 7, , ,688 Les approximatios sot alterativemet par défaut et par excès, la première x état par défaut. Das les y trois premières approximatios, il y a pas de décimale exacte. Das les quatrième, ciquième et sixième approximatios il y a ue décimale exacte, das les septième, huitième et euvième approximatios il y a deux décimales exactes, das la dixième approximatio il y a trois décimales exactes. C. O a q = pour tout das *, et q =. x y x y Pour tout das, = A x y x y avec A = x = y =, x = et y =. A = PDP avec D = P =,, o e déduit A = PD P d où x y Avec u tableur, e gardat 9 décimales : x() y() x()/y(),,5 7 5, 7, , , , , , ,65 La dixième approximatio de est avec 6 décimales exactes. 5 Partie A.. PA A PA B PA C PA D,,, ; PB A PB B PB C PB D,,, ; PC A PC B PC C PC D,,, 6 6 ; P A, P B, P C, P D. D D D D. a. T = reviet lors de la première épreuve à A est élimié ou B est élimié. PT. b. I C k k sigifie qu aucu des deux compétiteurs est élimié lors des premières épreuves, ce qui reviet à dire qu à l issue de la ième épreuve aucu des deux compétiteurs est élimié. P( I C k ) = P(C / I C k ) P (C / I C k ) P(C /C ) k k P(C ) k c. I Ck C T k doc PT PC d. PT> PT PT k PT k = P(T = ),  k  k les évéemets (T = l) et (T = k) état icompatibles pour k et deux etiers disticts. D où PT. Cela est vérifié pour = puisque PT e. ÂPT k =  k =. k k Comme pour Æ +, Æ, lim Æ k ÂPT K=. E effet, o pouvait prévoir que sur u très grad ombre de tirs la probabilité qu au mois ue élimiatio se produise soit voisie de. B.. A, B, C et D formet u système complet d évéemets, c estàdire qu ils sot icompatibles deux à deux et que leur réuio est l évéemet certai. D où PA PA A PA PB A PB P A PC P A PD C D. O procède même pour P(B + ), P(C + ) et P(D + ). 6 Il e résulte M = 6 6

106 . Par récurrece o motre que X = M X. Avec X =.. a. P D P = I. b. D 6 6 c. P = I et o e déduit par récurrece que M = PD P.. a. Avec X = doc das le produit de M par X seuls les produits des troisièmes termes de chaque lige de M par le terme de la troisième lige de X à savoir, serot o uls. Il e résulte que X est égal à la troisième coloe de M. b. X = PA PB, PC PD,, Quad Æ +, P(A ), P(B ), P(C ) ot pour limite et P(D ) a pour limite. Ces résultats étaiet prévisibles car au bout d u grad ombre d épreuves il est fort probable que les deux compétiteurs soiet élimiés. E effet, la probabilité que A soit élimié à la ième épreuve est égale et pour que B le soit ; et ot pour limite, les probabilités des autres évéemets sot alors voisies de., 5. a. M = A B CD B A D C b. M = avec A = B = CDA B D C B A C =, D = c. Par récurrece Iitialisatio : pour = par b. u = = 8 v, w 8 8 et t ; 8 et et comme M = M, la propriété est vraie. Hérédité : pour tout das *, A B C D B A D C si M = C D A B avec A = u v D C B A B = w v v w t w C v w = D w v = où w t u = 8, v = 8, w = 8, t = 8 Alors comme M + = M M, e effectuat u produit par blocs : A + = A A + B B + C C + D D. v u v w A A =, B u v B = w v v u Chapitre 5. Puissace ième d ue matrice. Limite 7

107 v w C C =, D w v D = u w v d où A + = u w v qui est bie égal à u v v u. B + = A B + B A + C D + D C. v u v w A B =, B u v A = w v t w C D =, D C = w t v t u w d où B + = u w v t qui est bie égal à w v v w. C + = A C + B D + C A + D B. u v A C =, B v u D =, w v w t C A =, D v w B = t w u w v t C + = qui est bie égal, v t u w v d après B +, à w w v. D + = A D + B C + C B + D A. w v A D =, B C = v w w v w t C B =, D v w A = t w v t w d où D + = v t w t w qui est bie égal à. w t A B C D A B C D B A D C B A D C D autre part C D A B C D A B = D C B A D C B A A B C D B A D C C D A B D C B A Coclusio : pour tout das *, A B C D B A D C M = C D A B avec A, B, C, D D C B A (ou A, B, C, D) tels qu ils ot été défiis. k d. uk vk,, k wk tk,, doc quad k Æ +, uk Æ, vk Æ, wk Æ. Alors M k Æ Quad k Æ +, ukæ, vkæ, wkæ, t k Æ. 8

108 d où M k+ Æ M k et M k+ ot des limites différetes, doc M a pas de limite. Au bout d u grad ombre pair de déplacemets, la fourmi ted à arriver de faço équiprobable sur sommets du cube, qui sot celui de so poit de départ et les trois autres qui sot diagoalemet opposé au sommet de départ sur les faces du cube qui cotieet le sommet de départ. Lors d u grad ombre impair de déplacemet la fourmi ted à arriver de faço équiprobable sur les quatre autres sommets.. a. N = La commade jorda(n) sur Xcasfr permet de diagoaliser N D = P = P = N = PDP et o motre par récurrece que N = PD P. Chapitre 5. Puissace ième d ue matrice. Limite 9

109 5 5 5 D = Doc lorsque Æ +, D Æ D = et N Æ P D P = Quel que soit le sommet dot part la fourmi, elle ted à arriver de maière équiprobable sur chacu des huit sommets du cube. PROBLMES d, d 65, l, 65, 5. Ì d où A = Ó l 6, d 5, l, 6, 5, et o motre par récurrece que pour tout das, U = A U, e posat A = I., 65,. U = 6, 5, =,. 6, 55, U = AU =, 5, U = AU =, 55, 875 das le mélage au bout de h o a % de dextrose et 6 % de lévulose, au bout de h o a 55 % de dextrose et 5 % de lévulose, au bout de h o a 5,5 % de dextrose et 8,75 % de lévulose.. A, 55, =, , 85 résultats à 7 près. A 5,, 5 = 88,, = A à près. O cojecture que les proportios de dextrose et de lévulose tedet à se stabiliser respectivemet à 5 % et 8 % das le mélage.,,. a. B A =,,, C = 8,, 5 8,,. 5 b. B C = C B = O, B = B = B doc par récurrece o motre que pour tout das *, B = B, de même C = C = C et C = C. c. A = B,5C, A = (B,5C) (B,5C) = B,5CB,5BC + (,5) C Par b. ous obteos : A = B,5O,5O + (,5) C = B + (,5) C ; A = B (,5) C. Et o motre par récurrece que, pour tout das *, A = B + (,5) C. D où, pour tout das *, A 5,, 5 8,, 5, 5 = 8, 5,, 8 5,, 5 Si o pose A = I, la formule est valable pour tout das. U = d = A l 5,, 5 8, = 8, 5, Quad Æ +, (,5) Æ car 5,. D où d et l ot pour limites respectives,5 et,8. 55 Prélimiaire : o e peut pas trouver des triagles rectagles isocèles à côtés etiers, car si c était le cas, serait ratioel. E effet, o aurait c a c a (a etier désigat la logueur de chacu des côtés de l agle droit et c etier désigat la logueur de l hypotéuse).

110 A.. a =, b = et c = 5.. a + b = c a + (a + ) = c c = a + a +.. a. b. Voir fichiers sur le site Math x. c. O obtiet quatre TPRI correspodat à : (,, 5), (,, 9), (9,,69) et (696, 697, 985). B.. Par récurrece Iitialisatio : ^ + ( + ) ^ = 5, doc pour = la propriété est vraie. Hérédité : pour tout das, si (a, a +, c ) correspod à u TPRI, alors e remplaçat c + et a + par leurs expressios respectives e foctio de a et c. c a a c a a Coclusio : pour tout das, (a, a +, c ) correspod à u TPRI.. a. A = et B =. b. Pour tout réel x dét(a xi ) = ( x) 8, d où dét(a xi ) = x ou x. A = PDP avec P = et P =. O motre par récurrece que pour tout das, A = P D P. D où A = c. AX + B = X B = I X AX B = (I A)X. Dét(I A) doc (I A) est iversible et X = (I A) B =. d. Pour tout das, V + = U + X = (AU + B) (AX + B) = A(U X) = AV. O motre par récurrece que pour tout das, V = A V avec V = U X = 5 = 5, 5. e. Doc pour tout das, V = V. D où U = A V + X = a. c 7 Doc a 5. 7 c 5 O a motré qu à tout triplet (a, a +, c ) correspod u TRPI. Il aurait fallu démotrer la réciproque pour être sûr d obteir aisi tous les TRPI. Cette réciproque se démotre das l eseigemet supérieur. O peut e trouver par exemple ue démostratio das u TIPE (Travaux d iitiative persoelle ecadrés) sur math.uivlyo.fr/~germoi/memoires/pell. pdf et o peut dire que la suite de triplets (a, a +, c ) pour tout das, permet d obteir tous les TRPI. f. a b c T 5 T 9 T 9 69 T T T T T T T T 9 56 A.. Suite fiboacci F() Elle semble diverger vers + de faço expoetielle.. F semble coverger vers,68989 qui est ue F valeur approchée à 9 près de 5 qui est le ombre d or j. Chapitre 5. Puissace ième d ue matrice. Limite

111 B.. Pour tout das, F F = F F F = F F = U +. Puis o motre par récurrece que, pour tout das, U = A U e posat A = I.. a. Pour tout réel x, AV = xv AV xi V =. C estàdire (A xi )V =. Si (A xi ) est iversible alors V = (A xi ) =, serait la seule matrice coloe à vérifier AV = xv. Or o cherche u réel x et ue matrice coloe V o ulle, doc (A xi ) e doit pas être iversible. b. (A xi ) o iversible dét(a xi ) =. dét(a xi ) = x x = x 5 l ou ou x 5 m. c. V o ul et AV = lv V = k 5, k réel o ul, V o ul et AV = mv V = k 5, k réel o ul. Doc par exemple, les matrices coloes V = 5 et W = 5 qui sot o proportioelles et qui vérifiet respectivemet AV = lv et AW = mw covieet. d. D = 5 5 et P = 5 5 vérifiet PDP = A. e. O motre par récurrece que, pour tout das, A = PD P e posat D = I et sachat que P P = P P = I. f. P = , d où a b 5 5 et A = P a b P = a b a b a b a 5 b. Par. F F = A = D où F C.. 5 doc pour Æ +, 5 Æ. 5 doc pour Æ +, 5 Æ. Il e résulte que (F ) ted vers + et elle se comporte comme 5 5 au voisiage de +, doc elle diverge vers + de faço expoetielle.. F F D où F F , quad Æ +, 5 5 ayat pour limite, il e résulte que F F Æ 5. Ce qui recoupe la cojecture émise e A.. Pour aller plus loi Das ce cas, A = a b pour tout réel x,

112 dét(a xi ) = x ax b et l équatio x ax b = admet deux racies distictes si et seulemet si a + b >. Exposés Quelques pistes : ) Exercice 5.B. les termes de la suite de Fiboacci sot les réduites du développemet du ombre d or e fractios cotiues. ) Spirale de Fiboacci : à partir d u carré cetral de côté, o costruit u ouveau carré de côté qui s appuie sur le précédet, puis u ouveau carré de côté qui appuie so côté sur l esemble des carrés déjà costruits, puis u carré de côté, puis u carré de côté 5, etc. O répète aisi la costructio, chaque ouveau carré appuyat so côté sur l esemble des carrés déjà costruits, et les carrés ot successivemet pour côté les ombres de Fiboacci. Das chaque carré, o trace u quart de cercle joigat u sommet au sommet opposé, de sorte que les quarts de cercle soiet cosécutifs. ) Primalité des ombres de Fiboacci. ) Le ombre de faços de paver u rectagle N au moye de domios est F N+. a 6b c Ô 57. Ìb 5, a d où P + = AP Ô Óc, b. a. a 5 = 7 96 ; b 5 = 5 ; c 5 = 9 ; f 5 = a = 6 7 ; b = ; c = 58 ; f = 8 5 ; a = 69 ; b = ; c = 8 9 ; f = ; a = ; b = ; c = 5 5 ; f = ; a = ; b = ; c = 78 8 ; f = b. À près f 7, ; f6 f, ; 5 f f ; f f ; f f ; la suite (f f ) pour se comporte comme ue suite géométrique de raiso, de l aée à l aée +, la populatio formée des idividus femelles double.. a. Le calcul sur Xcasfr ou GeoGebra doe PTP = A. 8 b. T =, T =. O cojecture que T =. c. D est ue matrice diagoale et J ue matrice triagulaire supérieure stricte. D =. d. E effectuat le calcul, obtiet J = O et JD = J = DJ. Iitialisatio : pour =, D J = DJ = J = ( ) J. L égalité est doc vraie pour =. Hérédité : pour tout das *, si D J = ( ) J, alors D + J = D (DJ) = D ( J) = (D J) = ( ) J = ( ) + J. Coclusio : pour tout das *, D J = ( ) J. Remarque : e calculat directemet D J avec l expressio de D obteue e c. o obtiet = ( ) = ( ) J. e. Iitialisatio : D ( ) J = D + J = T. Hérédité : pour tout das *, si T = D ( ) J alors T + = (D ( ) J) T = (D ( ) J) (D + J) = D + ( ) JD + D J ( ) J. Comme J = O, JD = J et D J = ( ) J, ous obteos T + = D + ( ) ( J) + ( ) J = D + + ( + )( ) J = D + ( ) + ( + )J. Coclusio : pour tout das *, T = T = D ( ) J. f. D ( ) J = + soit T = a 9 6 b 95 8 c 8 Chapitre 5. Puissace ième d ue matrice. Limite

113 8 D où f 8 b. f f 8 Quad Æ +, Æ et Æ doc f f. La populatio de femelles fiit par coaître ue croissace expoetielle c. a 9 f 8 6 doc quad Æ +, a Æ f 8, 6 de même b Æ 5 f 8 6 et c Æ f a. P(q + q ) q C(q ) = [a b(q + q )] q b q = bq + (a bq b)q. b. La foctio polyôme du secod degré q a bq + (a bq b)q atteit so maximum a bq pour q b q b b a b.. a. D après.b. q, q, b a b et q, q, b a b d où q, q, = A q, q, + B b. A = A 8 = A 6 = 8 6 c. Ak A k k I I I k d. Ak A k A I A A k e. Iitialisatio : k A P +  A k B = AP + A B = AP + I B = AP + B = P k doc l égalité est vraie pour =. Hérédité : pour tout das *, k si P = A P +  A k B alors k k k P + = AP + B = A [A P + A + P + k A k  k k A k  k B + B = A + P + Coclusio : pour tout das *, P = A P + k A k  k B. B] + B = k  A k k f. pair alors il existe p das tel que = p, D où P = A p P + ( p I )P + = p k P + = p k P + kp A k  k kp A  k k p  k p  k B = kp + A k  k B k kp I +  k A B k k I A B = p P + p (I + A) B. impair : il existe p das tel que = p +. P = A p+ P + kp  A k k kp k B = B. p kp AP +  A + A k  k k B = p kp kp AP + A k  + A k  k k B = p kp AP +  k kp I + k k  A B = k p AP + p (I + A) B.. Au log terme : das les deux cas : Æ p Æ et quad p Æ. a b p Æ, doc P Æ I AB b = L, a b b cette limite L qui vérifie AL + B = L est doc la productio d équilibre, elle est idépedate de la productio iitiale P. Les deux etreprises optimisat le coût et la quatité de productio fiisset par se retrouver das des situatios de productio et de retabilité très voisies qui e dépedet plus que des paramètres a, b, b commus aux deux etreprises.

114 Pour aller plus loi Le profit d ue etreprise correspodat à sa productio d équilibre est égal d après.b. à : b a b a b a b a b b b b b a b, 9b doc la somme des profits des deux etreprises correspodat à leur productio d équilibre est égale à a b. 9b Si les deux etreprises fusioaiet, chacue des deux etreprises produirait la même quatité x, le profit de chaque etreprise serait alors égal à : (a bx) x b x = bx + (a b) x, qui est maximum a b pour x et égal à a b, la somme des profits b 8b serait alors égal à a b, et a b a b. b b 9b Das l etreprise résultat de la fusio, e produisat mois, le profit réalisé serait alors supérieur à la somme des profits obteus par les deux etreprises lorsqu elles étaiet e situatio de cocurrece et voisies de la situatio d équilibre. Chapitre 5. Puissace ième d ue matrice. Limite 5