Divisibilité, division euclidienne, congruences

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1 Divisibilité, divisio euclidiee, cogrueces Résolutio de problèmes Des multiples et des diviseurs. Le code sigifie «allumée» et le code «éteite». lampe étape étape étape étape étape 5 étape 6 suivates 5 6. Lampe : = = 6 = doc 5 chagemets d état ; état fial : «éteite» Lampe 5 : 5 = 5 = 5 5 doc chagemets d état ; état fial : «allumée» Lampe 68 : 68 = 68 = = 7 doc 5 chagemets d état ; état fial «éteite» Lampe 8 : 8 = 8 = 7 = 9 9 doc chagemets d état ; état fial «allumée». Les lampes allumées à la e étape sot celles dot les uméros sot des carrés parfaits compris etre et. E effet, il faut u ombre pair de chagemets d état doc u ombre pair de diviseurs positifs autres que, c estàdire u ombre impair de diviseurs. Toute décompositio d u etier e produit m procure deux diviseurs disticts sauf das le cas où m =. Les seuls etiers strictemet positifs ayat u ombre impair de diviseurs sot doc les carrés parfaits. Le roi de la divisibilité! Voir programmes sur le site Math x. Le ombre maximal de diviseurs est, atteit la première fois pour 6. Codebarres : le code EAN. a. Le code est le code ISBN qui se trouve sur la page du mauel. b. S = =5 ; S = =5 ; S = ; r =. c. So chiffre des uités.. a. Oui car i S i S e sot modifiés. b. No car pour avoir la même clé, il faut que S + S soit idetique, ce qui est impossible si u seul chiffre a chagé, ou que S + S ait augmeté ou dimiué d u multiple de ce qui est égalemet impossible. Chapitre. Divisibilité, divisio euclidiee, cogrueces

2 c. Oui e compesat ue augmetatio d u des chiffres par la dimiutio d u autre. Exemple : et ot la même clé. Et s il e reste qu u A.. EGYPTE deviet HJBSWH.. b. La cellule B cotiet le codage de à 5 de la lettre etrée e A. O ajoute à so rag ; si le résultat obteu est supérieur ou égal à 6, o doit lui elever 6 et obteir aisi u ombre etre et 5. Ceci reviet à predre le reste das la divisio par 6 du résultat obteu soit MOD(B+ ; 6). e.. Formules Résultats obteus Pour le déchiffremet de la lettre B, dot le rag est, o calcule le reste de = das la divisio par 6. Le logiciel affiche comme reste. O remarque que = 6 ( ) + avec < 6 ce qui permet d étedre la relatio de divisio euclidiee à. B.. Voir la feuille de calcul sur le site Math x.. Pour tout etier, + et ot le même reste das la divisio par 6 car + = ( ) + 6. Doc il reviet au même de chiffrer ou de déchiffrer e ROT. C. Voir fichiers sur le site Math x. Ue lettre est pas toujours chiffrée de la même faço, o e peut pas evisager ue foctio simple de déchiffremet comme das les parties A et B. Sas la clé, le déchiffremet semble beaucoup plus difficile. U problème pratique cepedat : commet trasmettre la clé au receveur du message pour qu il puisse le déchiffrer? 5 Le chiffremet affie. Voir fichiers sur le site Math x.. a. Oui pour a = 5, b =. Pour a = et b =, pour a = 65 et b = 7, o a le même codage que pour a = 5 et b =. b. Soit r (x) le reste de a x + b das la divisio par 6. O a a a = k 6 et b b = h 6 avec k et h etiers. Doc ax + b = a x + b + 6 (kx + h).

3 Or a x + b = 6q + r (x) avec q et r (x) etiers et r (x) < 6 doc ax + b = 6(q + kx + h) + r (x) avec q + kx + h etier et r (x) < 6. O e déduit que r(x) = r (x). Les chiffrages sot doc idetiques. c. O dispose a priori de 5 = 65 clés.. a. Des lettres différetes sot chiffrées par la même lettre (le codage semble même se faire sur deux lettres seulemet). b. Or x + b = 6q + r(x) et x + b = 6q + r(x ) avec q, q, r(x), r(x ) etiers, r(x), r(x ) < 6 doc (x x ) = 6(q q ) + r(x) r(x ) d où r(x) r(x ) = (x x q + q ) avec x x q + q etier. Comme r(x), r(x ) < 6 o a 6 < r(x) r(x ) < 6 doc r(x) r(x ) e peut predre que les valeurs, ou. Or et ot le même reste das la divisio par 6, doc il y a que deux lettres possibles das le chiffremet. c. Pour a =, autre diviseur de 6, deux lettres différetes sot aussi codées par la même lettre. TP. Le ombre et la somme des diviseurs A.. a. = = = 8 = 6 : égalités et 8 diviseurs positifs. b. 5 = 5 = 5 : deux égalités et diviseurs positifs ; 6 = 6 = 8 = : égalités et 5 diviseurs positifs.. a. < a < b doc a < ab < b soit a < < b. Doc a < < b. b. Toute décompositio = ab avec a < procure deux diviseurs disticts de. Le ombre de diviseurs positifs de est doc impair si et seulemet si ue décompositio e produit de deux facteurs e procure qu u diviseur c estàdire si et seulemet si est u carré parfait. B.. Pour = 5, E 5 et D pred successivemet les valeurs ; ;. La variable D compte le ombre de diviseurs de 5. D est iitialisée à. Pour a =, D est augmetée de (ce qui correspod aux deux diviseurs doés par 5 = 5) puis pour a =, D est à ouveau augmetée de (ce qui correspod aux deux diviseurs doés par 5 = 5).. Pour = 6, E 5 et D pred successivemet les valeurs ; (pour a = ) ; (pour a = ) ; 6 (pour a = ). 6 a que 5 diviseurs. Le cas a = correspodat à 6 = e devrait pas egedrer ue augmetatio de du ombre de diviseurs mais de seulemet.. Algorithme Lire D pred la valeur Pour a allat de à E Si a divise D alors D pred la valeur D + Fi Pour Si E alors D pred la valeur D //o teste si E est u etier Afficher D Pour aller plus loi Sur Xcasfr par exemple Chapitre. Divisibilité, divisio euclidiee, cogrueces

4 TP. Ue suite de restes. a. O peut cojecturer que pour 8, u = 8 et pour < 8, b. O calcule les valeurs pour 7. Pour 8, a ( 8) = + 9 = b doc a = b + ( 8) avec 8 < +. Doc pour 8, r = 8.. a. Pour, il semble que r = + et pour, o a : E effet, pour, 6 + ( + ) = 6 = ( + )( ) doc a = b ( ) + + avec + < b doc r = +. b. Pour les premières valeurs : Il semble qu esuite : la suite (r + ) est arithmétique de raiso et de premier terme u = la suite (r ) est arithmétique de raiso et de premier terme u 6 = O aurait doc r + = + = + pour et r = + ( ) = + pour. E effet : pour : a + ( + ) = ( + ) ( + ) + = + + = ( + )( + ) doc a + = b + ( + ) + ( + ) avec + < b +. pour : a ( + ) = + = 5 = ( + )( ) doc a = b ( ) + ( + ) avec + < b. TP. La recette de Kaprekar A. Pour N = 97 : = 69 puis = 59 puis = 95 et o recommece idéfiimet = 95. Pour N = 88 : = 79 puis = 69 puis 59 et 95 idéfiimet. Pour N = 667 : = 99 puis = et o reste à idéfiimet. B.. a. U etier s écrit avec d dizaies et u uités si et seulemet si = d + u avec u 9 et d. Doc u est le reste das la divisio de par. O etre e B la formule =MOD(B;)

5 b. et c.. et. Voir fichier sur le site Math x. Il semble que l o obtiee soit soit 95 à partir d u certai rag. C.. N p = pour p.. a. Si a, b, c sot les chiffres de N ordoés e ordre croissat, N = c + b + a (a + b + c) = (c a) + (a c) = (c a) 99 qui est u multiple de 99. De plus N et N 999 doc les valeurs possibles sot 99 k avec k < soit : 99 ; 98 ; 97 ; 96 ; 95 ; 59 ; 69 ; 79 ; 89 ; 99. b. N N O complète par N N N N N N N O obtiet doc soit soit 95 das tous les cas. Pour aller plus loi O peut démotrer simplemet que : si N est u palidrome, o obtiet idéfiimet ; que tous les N p, p, sot des multiples de 9 compris etre et 999. Il semble par des essais que l o arrive toujours à ou 67, sachat que pour 67, o a = 6 7 doc qu à partir de ou de 67, la suite est costate. O peut faire afficher les listes obteues jusqu à ou 6 7 pour tous les multiples de 9 possibles à l aide d u programme. Par exemple sur Xcasfr : Chapitre. Divisibilité, divisio euclidiee, cogrueces 5

6 TP. Des sauts de puce A.. Le e saut de la puce l amèe sur la case 5.. Le e saut de la puce l amèe sur la case pour la deuxième fois (la première fois état au e saut).. No. B.. u u. O e déduit que, durat le premier tour, u.. Quad o dépasse la case, la positio de la puce s obtiet «au tour près» ; c est le reste de la divisio de par, c estàdire les deux deriers chiffres de.. Le uméro u s obtiet avec les deux deriers chiffres de qui sot les mêmes que ceux de. Doc les deux puces sot sur la même case. 99 De même, si 99, le uméro u99 s obtiet avec les deux deriers chiffres de. 99 Or Les deux etiers et ot les mêmes deux deriers chiffres. Les deux puces sot sur la même case. C.. D après la questio B.., ue puce ayat effectué + sauts est sur la même case que la puce qui e a effectué. Doc toutes les cases atteites le sot pour les premiers etiers, de à 99. Durat ces sauts, la puce ayat effectué 99 sauts est sur la même case que la puce qui e a effectué. Les cases atteites durat les sauts de à 99 sot les mêmes que celles atteites durat les sauts 99 à O met e lige les uités et e coloes les dizaies. La répartitio est pas du tout régulière. Aucue case atteite a pour chiffre des uités,, 7 et 9. Il y a quatre «curiosités» : les cases, 5, 8 et 78. TP5. Numéro INSEE. a. Il existe plusieurs solutios possibles! Ue solutio est de predre pour b le reste das la divisio de N par 6 et pour a le quotiet das cette même divisio. b. Le reste de das la divisio par 97 est ; celui de 6 = ( ) est doc 7. c. r N a 7 + b (mod 97) doc K 97 7a b (mod 97). d. Das ce cas, a = (97), b = (97) d où 97 7a b 67 (97) doc r = 55.. a. E iversat les deux deriers chiffres, la clé est, doc l erreur est détectée. b. E remplaçat 8 par 5, o retrouve la même clé 55 doc l erreur est pas détectée. 6

7 TP6. Critère de divisibilité. a. Pour, le reste est, pour aussi. Pour tout k de, k k (mod 9) avec < 9 doc k a pour reste das la divisio par 9. b. Soit u etier N d écriture décimale : aa º aa. Alors N = a + a + + a + a doc N a + a + + a + a (mod 9). c. N est multiple de 9 si et seulemet si N (mod 9) si et seulemet si a + a + + a + a (mod 9) si et seulemet si la somme de ses chiffres est u multiple de 9. d (mod 9) doc (mod 9) 7 < 9 doc le reste das la divisio de 5 58 par 9 est 7.. a. (mod ) doc pour tout k de, k ( ) k (mod ). b. Soit u etier N d écriture décimale : aa º aa. Alors N = a + a + + a + a doc N ( ) a + ( ) a + + ( ) a + a (mod ). O e déduit que N est multiple de si et seulemet si la somme alterée de ses chiffres est multiple de. c. Pour 5 6, la somme alterée des chiffres est = doc 5 6 est multiple de. Pour 5 78, la somme alterée des chiffres est = 8 doc 5 78 est pas multiple de.. Soit u etier N d écriture décimale : aa º aa. Par 8 : (mod 8), (mod 8) et (mod 8). Alors N = a + a + + a + a doc N a + a + a a + a + a (mod 8). Doc N est multiple de 8 si et seulemet si a + a + a est multiple de 8. ou plutôt : N a + a + a (mod 8) doc N est multiple de 8 si et seulemet si le ombre aaa formé de ces trois deriers chiffres est multiple de 8, ce qui est u critère plus simple à reteir. Par 6 : (mod 6), (mod 6) et par ue récurrece immédiate, k (mod 6) pour tout k. Doc N (a + + a ) + a (mod 6). Doc N est multiple de 8 si et seulemet si (a + + a ) + a est multiple de 8. Par : (mod ), (mod ) d où k (mod ) pour tout k. Doc N a + a (mod ) a + a (mod ). Doc N est multiple de si et seulemet si a + a est multiple de ou plutôt : N a + a (mod ), doc N est multiple de si et seulemet si le ombre a a formé par ses deux deriers chiffres est multiple de. TP7. U géérateur de ombres aléatoires A.. La suite semble périodique. Chapitre. Divisibilité, divisio euclidiee, cogrueces 7

8 . r peut predre m valeurs etières de à m.. r +m est le reste das la divisio de a( + m) + b par m. Comme a( + m) + b a + b (mod m), r +m = r. La suite (r ) est doc périodique. B.. O sait que u < m pour tout de doc v < pour tout. De plus, u est u etier compris etre et m doc il e peut predre que m valeurs distictes. Doc v e peut pedre que m valeurs distictes. Il existe doc deux etiers p et q tels que p < q et v p = v q. O a alors par récurrece v vqp pour tout p. La suite est doc périodique à partir d u certai rag.. a. Voir fichier sur le site Math x. Les ombres représetés semblet être tirés tout à fait aléatoiremet. b. Il y a plus d aspect aléatoire das ce graphique qui met e évidece des relatios etre v + et v.. a. u + 65 u + (mod 8) doc u + 95 u + (mod 8). Or 95 = 8 doc u + u + (mod 8). b. Il existe u etier k tel que u + = u k soit u + + u = + 8k. De plus, u < 8 pour tout doc u + + u < 8k. Par suite + 8k < 8. Doc k. c. Erratum : modifier «couples (v ; v + )» e «poits M (v ; v +)». O a v + + v = 8 k doc v + = v k avec k etier, k. 8 k Le poit de coordoées (v ; v + ) appartiet doc à l ue des droites d équatios y x pour k =,, 8 ou. d. Erratum : modifier la questio e remplaçat par «Chercher à l aide du tableur u couple (v, v +) associé à u poit de la droite obteue pour k =». Il existe pas de couples solutios, raiso pour laquelle o idetifie que trois droites sur le graphique. Exercices ENTRANEMENT Pas de difficulté.. Idicatio : chercher les diviseurs de. Neuf solutios existet.. l et L 5.. a. U multiple de s écrit k (k Œ ). k fi k 76. b. La somme de multiples k et k de est (k + k) qui est multiple de.. a.. b. Oui. U poit M(x ; y) de H est à coordoées etières si x est etier et diviseur de. D où ( ; ), ( ; 6), ( ; ) et ( ; ), ( ; 6), ( ; ) aisi que ( ; ) etc. 5. Pas de difficulté.. O applique le tableau de la multiplicatio. 6 Voir corrigé e fi de mauel. 7 Sous Xcasfr, la foctio idivis ou divisors doe la liste des diviseurs d u ombre, y compris luimême, et la foctio somme calcule la somme de cette liste. O obtiet successivemet : 88, 5 7, 56, 6, Nombre iférieur à la somme de ses diviseurs propres >. 9 Voir les programmes sur le site Math x. O peut pour améliorer l affichage, rager les ombres abodats das ue liste comme ciaprès. 8

9 . ENTRÉE : ue liste vide. TRAITEMENT : pour k etier de à, o calcule la somme S des diviseurs de k. Si S < k, o rajoute k à la liste L. SORTIE : Afficher L.. Avec Xcas (la liste est ommée L) : Avec Scilab (la liste est ommée «abodats») :. Etre et pas de ombre abodat impair. O modifie le programme pour tester les etiers k de à. Le seul etier impair abodat est 95.. O modifie la boucle pour e cosidérer que les etiers k impairs. O part de k = avec u pas de.. La somme des diviseurs stricts de est 8 et la somme des diviseurs stricts de 8 est.. Immédiat.. L algorithme cherche les couples de ombres amicaux etre et et les affiche. O trouve les couples (6 ; 6), (8 ; 8), ( ; 8), (8 ; ), (96 ; 96), ( 8 ; ) et ( ; 8).. Avec u tableur : o calcule le reste de la divisio par avec MOD(ombre ; diviseur). Cojecture : a est impair si a est divisible par.. U ombre impair s écrit k + (k Œ ). D où a = k + k = (k + k). U ombre pair s écrit k (k Œ ). D où a = k.. À l aide d u tableur, o trouve que les ombres p pour lesquels p divise p + sot,,, 5, 7,.. Idicatio : p + = p +. S = { ; ; ; 5 ; 7 ; }.. 8 a diviseurs positifs et il existe 6 maières d écrire 8 = a b (a < b) car ils sot tous disticts.. 8 p p p 8 avec p et + p et de même parité. 8 = = 6 doc = ou =. Idicatio : utiliser ue suite arithmétique. p S º p p. Si p impair : p k et S pp. Si p pair : p k et S k k o divisible par p car k est impair. 5. E partat de 6, o obtiet successivemet 8, 9, 7. Comme 7 = 9, le ombre est = 6. E partat de 5, o obtiet 5, 8,. Comme = 9 + 6, le ombre est + = 5.. Cidessous, E(x) désige la partie etière de x. ENTRÉE : u ombre «pesé» (etier aturel). TRAITEMENT : p Si p est pair, r (p/), q E(r/9) sio r ((p+)/), q E(r/9) + FiSi SORTIE : Afficher q.. Si est pair, = k : o obtiet successivemet 6k, k, 9k = 9 k. D où le ombre «pesé» k =. Si est impair, = k + : o obtiet 6k +, k +, 9k + 6 = 9 k + 6 d où le ombre «pesé» k + =. 6. Si est pair, = k et = k = k est pair. Si est impair, = k +, = k + k + = (k + k) + est impair.. Si p q =, alors p = q. Doc p est pair et p aussi.. Doc p = p et p = p d où q = p. Doc q est pair et q aussi (même raisoemet).. Les etiers p = p et q = q sot pairs ce qui cotredit l irréductibilité de p q. 7 Idicatio : º doc Chapitre. Divisibilité, divisio euclidiee, cogrueces 9

10 8 O veut ab c et abc 6. a b c a + b + c Il y a passagers, car est la seule somme ambiguë. Pour de à d reste (,) c reste(( d)/,) b reste(( c d)/,) a ( b c d)/ Si (b+d)+(d+c) +(a+b)+c+a= Alors Afficher FiSi FiPour E programmat avec u logiciel, o trouve pour uique solutio 7 6. Avec Algobox : 9 abc d dcba 9a 9d b c. = 7. Idicatio : développer d 5. Idicatio : étudier le chiffre de dizaies de d et de d 6. xyz yzx zxy x y z. Cojecture : les ombres palidromes de chiffres sot divisibles par. E effet, a et b état deux chiffres (a ), u tel ombre s écrit : abba ab ba ab 9ab qui est multiple de. 5 Comme abc a b c, la relatio se traduit par : (a + b + c + d) = a + b + c + d soit 889a b c d 998 doc a ou a. L égalité modulo : 9a c est pas possible pour a et pour a, la seule possibilité est c 9. Il reste 79 bd d où d 7 et b 9. Le ombre cherché est Soit le ombre abcd. Pour tout de à o extrait ses chiffres a, b, c, d et o teste l additio proposée. Celleci s écrit : ( b + d + a + c) + ( d + c + b + a) = ou ecore (b + d) + (a + c) + (d + b) + c + a =. O fait afficher les etiers pour lesquels cette égalité est vérifiée. 7 a. No : ils dot divisibles par 5. b. Deux ombres cosécutifs sot premiers etre eux. 8 a. =, 7, 5,,,,, 5. b. = 7,, 5, 5. c. =,. d. Si + 5 divise ( + ) alors + 5 divise ( + 5) ( + ) = 7. D où peut predre les valeurs 6,, ou et ces valeurs covieet. 9 Immédiat. a. d P et d P 5 fi d P5 5fi d P b. d P 6 et d P 9 5 fi d P959 6fi d P a. Le PGCD d de et + est tel que d divise + =. b. Le PGCD d de + et + est tel que d divise ( + ) ( + ) =. Exercice corrigé e fi de mauel.

11 a. impair s écrit k + d où k k. d divise (k + ) et (k + ) implique d divise k k. b. multiple de s écrit k d où k k. d divise (k + ) et (k + ) implique d divise k k.. d P et d P fi d P fi d P. d P k et d P k fi d Pk k kk fi d P. multiples de :,, et. = a diviseurs :, et.. Le programme affiche le ombre de diviseurs des multiples de compris etre 5 et.. 99, 9, 79 et 66 ot diviseurs. O calcule das u tableur les ombres + et + 8 aisi que le reste (=MOD(ombre ;diviseur)) pour quelques valeurs de : 5. Predre x et y et appliquer les résultats des questios. et. 6 a. 7 = b. = c. 6 = 6 ( ) +. d. = ( ) Idicatio : chercher le quotiet. =. 8. L algorithme revoie le reste das la divisio de par.. O obtiedra, qui correspod au reste das la divisio par de a bq r et a68 qb r fi q. Exercice corrigé e fi de mauel.. billets de 5, billet de et billet de.. O demade la somme S. Das la divisio de S par 5, c est le quotiet et r le reste. Das la divisio de r par, v est le quotiet et d le reste. Das la divisio de d par, le quotiet est e. Le distributeur doe c billets de 5, v billets de et e billets de. Programme sur AlgoBox, e déclarat les variables c, r, v, d, e comme ombres : Cojecture : le reste est 6 pour. Démostratio : + 8 = ( + ) est le reste dès que 6 < + soit. a. Si >, c est la divisio euclidiee de + + par. b. Si >, c est la divisio euclidiee de ( ) par et, pour > 8, la divisio euclidiee de ( ) par. c. C est la divisio euclidiee de ( + ) par et, pour >, la divisio euclidiee de ( + ) par Immédiat.. Il faut > + soit >. 6. O calcule le reste de das la divisio par pour quelques valeurs de. Cojecture : est divisible par sauf si est multiple de.. Das la divisio par, les restes possibles sot, ou.. Si = k, 9k est premier avec. Si = k +, = 9k + 6k est divisible par. Si = k +, = 9k + k + est divisible par. 7 Il faut extraire les chiffres x, y et z de l etier = xyz. ENTRÉE : u ombre à chiffres TRAITEMENT : z reste(, ) ; y reste(( z)/, ) ; x ( y z)/. S (x+y+z) SORTIE : Afficher S Chapitre. Divisibilité, divisio euclidiee, cogrueces

12 8. = = + 7 = = = ENTRÉE : N. INITIALISATION : k =. L est ue liste vide. TRAITEMENT : Tat que N > Faire Tat que k N Faire k k+ Fitatque a ^(k ) ; L L + a ; k ; N N a ; Fitatque SORTIE : Afficher L L algorithme s arrête car N pred des valeurs positives strictemet décroissates.. a. O a bie = De plus = (somme de termes d ue suite géométrique) qui est iférieur à. b. Si l écriture sous la forme d ue somme de puissaces de était pas uique, le quotiet et le reste e seraiet pas uiques.. = = 7 = 8 = 5 = 5 a. 8 9 b. 6 c Exercice corrigé e fi de mauel. 5 O cosidère les restes modulo 6 (à l aide d u tableur) : Das tous les cas, le produit est cogru à modulo ab = a + b avec b <.. O programme la coloe E à l aide du résultat démotré au. Cojecture : le chiffre des uités est sauf das le cas 5 où il est égal à. Pour aller plus loi Avec Xcasfr Démostratio : il y a 5 restes possibles modulo 5. O utilise ecore u tableur pour calculer les restes das tous les cas. Avec Scilab Modulo 5, le produit est ul sauf si 5. Das ce cas, il est égal à. 9 a b d a b divisible par d. a. No b. No c. No d. Oui 5. Les chiffres des uités des puissaces de sot,, 9, 7,,, Cojecture : les chiffres des uités sot,, 9 et 7 quad la puissace est,,, modulo.

13 Démostratio : = 8. Doc. Doc p k k pour k =,, ou et doc p k a le même chiffre des uités que k.. doc a même chiffre des uités que. Or doc le chiffre des uités est. 55. Se termiet par :, 5, 9.. Cojecture : se termiet par, les puissaces de cogrues à modulo. Démostratio : = 6 doc p se termie toujours par 6. p k p k où k =,,, a même chiffre des uités que 6 k, c estàdire : 6,,, est divisible par 6. Il suffit de vérifier que + est luimême divisible par 6. Calculos les restes modulo 6 das u tableur : 6. Il a duré jours soit 88 jours.. Le 5 vedémiaire a I était le mardi 6 octobre u = 7, u = 7, u = 97, u = Cojecture : le chiffre des uités est 7 pour >.. L hypothèse est vérifiée pour =,, et. Si elle est vérifiée pour l etier k, u k 7. Alors, u k et elle est vérifiée pour k +. Fialemet pour, le chiffre des uités est O remplit le tableau pour tous les restes possibles modulo pour a et b. O costate que les deriers chiffres de a et ceux de b sot tous différets. La somme est toujours divisible par Vrai. Le chiffre des uités d u ombre est le reste modulo de ce ombre. O vérifie avec u tableur, pour de à 9, o a bie a. Il y a 8 jours etre le er javier et le 9 javier. Comme 8, 7 o est ecore u dimache. b. Il y a = 7 jours etre les dates. Comme 7 7, o est u ludi. c. Il y a 66 jours etre les deux dates. Or 66, 7 o est u mardi. d. O est u jeudi. 59 Du // au //, il y a 9 aées dot 7 bissextiles. Esuite il y a = 5 jours jusqu au /6/. Soit au total : = 7 jours. jours etre les deux dates. Or Le er javier état u ludi, ous seros u samedi. 6. Durat le XXI e siècle, il y aura aées dot bissextiles soit = 6 5 jours.. Or doc le er javier sera u samedi et le // u vedredi. 6 Le juillet 789 était u mardi. 6. Il y e aura de jusqu e 96.. Quatre dimaches e,, 6 et 88.. O e peut avoir a = b car les deriers chiffres e coïcidet jamais.. No. 66. a. 6. b. 8 = + doc 8 = ( ). D où u = est divisible par. Supposos que u soit divisible par ( ). 5 O a u, u et u. Doc u est divisible par. 67 Exame des cas où i a i b e sot multiples de : a º b º ab º ab º Chapitre. Divisibilité, divisio euclidiee, cogrueces

14 68. Si est pas multiple de 5, 5.. p et p ot la même parité et p est divisible par x º 5 x º 5 O veut x y z doc x y z 5. Or les seules additios vraies modulo 5 avec ; et comportet forcémet le. L u au mois des ombres est divisible par 5. 7 Exercice corrigé e fi de mauel doc ; 7 ; 7.. p p 7A. 7. Cotraposée : a pair implique a pair. Évidet.. Pas de difficulté. Pas de difficulté 7 La démarche est correcte et la coclusio aussi mais il faut partir de b = k +. 8 à 99 Exercices corrigés e fi de mauel.. Le produit est et la somme s.. = = 6 = 5. La somme s peut predre les valeurs, 8 et 57. x º x º x y est cogru à, ou modulo. Comme 5 7, il y a pas de poit répodat à la questio.. ; ; ; 5 ; 6 ; ; 5 ; 5 ; ; 5 ; 75 ; 5.., ou 5 car doit diviser 5. m a a a a ; p 7 8. Sas difficulté. ; a m p ; 5. Aucu des huit diviseurs de est racie de x x x. 6 Notos k le ombre de villes desservies actuellemet et le ombre de villes supplémetaires. O a k k kk 76 soit k 76. Comme et k sot de parité différetes,, k et que 76 = 9 ceci est possible que pour et k 9 c estàdire et k a. Les etiers pairs sot bleus et les impairs rouges. b. est de couleur rouge comme. 5 a même couleur que. De plus doc la couleur est celle de, et doc celle de 5, soit rouge. 5 a même couleur que 9 doc rouge. 9 9 aisi que est doc bleu, doc. 9 9 est bleu égalemet. Erratum : à la re lige, lire r au lieu de c. À la e lige : lire (b ) au lieu de (a b). Puis lire «Démotrer que si r, a b et b r Si a bq r avec b alors a r q. r b b b a même couleur que b r. Doc les ratioels a b et b sot de même couleur si q r est pair, de couleur différete si q est impair.. a. Détermier la couleur de a reviet à écrire b l algorithme d Euclide pour les etiers a et b jusqu à avoir u reste ul puis à calculer la somme des quotiets. a est de la couleur de celleci. b D où l algorithme : ENTRÉE : deux etiers aturels a et b (b ). INITIALISATION : S, r. TRAITEMENT : Tat que r > faire q quotiet(a, b), r a bq S S+q, a b, b r Fi de Tat que. SORTIE : Si S est pair afficher «a estbleu» sio b afficher «a est rouge». b b. La programmatio est aisée sur u tableur : La somme des quotiets est doc / est bleu.

15 . D après la règle, est de la couleur opposée à celle de qui est bleu (couleur de ). Mais il est aussi de la couleur de qui est de la couleur de car. Cotradictio. 8. Soit. º º 5 º 5 º et 57 5 doc Si est impair, est divisible par 5.. O programme les restes das la divisio par à l aide de la foctio MOD. Cojecture(s) : la suite des restes de das la divisio par est périodique de période. La suite des restes de das la divisio par est périodique de période 5. Le reste de la divisio par de + est ul quad se termie par 5. Démostratio : 9 doc d où, si r,,, : k r r. Idem avec d où, si r,,, : k r r. Il suffit doc d examier les cas r de à. Le reste est ul pour r 5 soit 5.. et sot cogrus à modulo doc la suite des restes de + modulo est périodique de période. Puis o examie les restes pour,,. Aucu est ul. 9 Erratum : XX à la place de XX Questio : à la place de : La clé est 8.. Le premier chiffre est u. Camille est u garço. p p 7 : les restes des divisios de p par 7 sot, ou. 7 : les restes des divisios de 7 par sot, 5, 9, ou.. 5, 6, 7, 8, 9 sot ciq etiers tels que les différeces de deux d etre eux e sot jamais multiples de 6. O e peut trouver six etiers ayat cette propriété.. a. Ciq restes sot possibles. b. Il y a six restes et ciq valeurs possibles. Deux des restes sot forcémet idetiques. c. La différece des deux etiers correspodat aux deux restes idetiques est u multiple de 5. Il y a puissaces de d exposat iférieur ou égal à et restes. C est évidet pour les etiers de à. Parmi dix etiers cosécutifs supérieurs à, ciq sot impairs ; parmi ces ciq etiers impairs, u seul est multiple de 5, u au maximum est multiple de 7 et deux au maximum sot multiples de. Il existe au mois u etier impair p parmi les ciq, divisible seulemet par des ombres premiers supérieurs ou égaux à. Aucu des euf autres ombres parmi les dix e peut être divisible par ces ombres premiers. Cet etier p est premier avec les autres. Le pricipe est basé sur la décompositio d u des facteurs e base. e base doc a. p est impair car p est impair. b. p = p + doc p = p + p +. d est impair car d.. a. q et r sot pairs car 5d et d sot pairs. b. r q = 8d doc r q = d. Si q et r étaiet de parité différetes, la différece q r e pourrait être paire. La différece est u multiple de doc d est pair.. Cotradictio etre le. et le. : d existe pas. 6. a. La e lige sera. b. À partir de, la e lige est. À partir de 5, c est 7. x y x x + y () y x + y () x + y () x + y () x + y () x + y () 5x + y () x + 5y () 5x + y () 9x + 9y () x + 5y () x + y () x + y () x + y () 7x + 7y () x + y () x () y () Chapitre. Divisibilité, divisio euclidiee, cogrueces 5

16 La e lige est idetique à la e : par période d ordre 8, la e est idetique à la e.. a. Les périodes possibles sot les diviseurs pairs de 8 soit ; ou 8. b. Il faut x y ou x y. c. Il faut x y ou x y 5 ou x y ou x y 5. d. La période est si x y ou x y, elle est si x y 5 ou x y 5. Sio la période est 8. d. Ue lige est ulle si la secode est ulle, doc si x y. k. p p doc p pk.. pk pk p doc rk rk p U terme de la suite est ue puissace k si il existe p et k tel que p k. L extrait du tableur demadé permet de cojecturer que la puissace est jamais présete das la suite. Il est évidemmet itéressat de justifier que, modulo, p k est toujours cogru à ou. 7. a. a b. a est impair doc a est impair. b. Il existe k Œ tel que a k alors a k k k. a k k kk doc divise a. c. d P a et d Pb fi d Pa b fi d P.. a. Solutio évidete (, ). b. a b ab a b. c. L applicatio de la formule doe (, ), (7, ), (99, 7).. a. Algorithme ENTRÉE : a 99, b 7 TRAITEMENT : Tat que (a < ) ou (b < ) Faire c a, a a + b, b c + b, Fitatque SORTIE : Afficher a, b Le premier couple affiché est ( 6, 78). 8. a. 9 est impair doc a puis a aussi. b. O étudie les restes des carrés modulo. a a Pour, et a 9 ; impossible.. a. doc k et k. b. 9 est pair doc a puis a aussi. 9 doc a 9 ou. Seul est possible et das ce cas est pair. c. 9 a p a p a p a. La seule solutio est a et p d où.. a. O a a 5 or modulo, u carré est cogru à ou et 5k 5 5k. b. 9 5 p a 5p a 5p a5 p a a pour solutio uique p et a. 9. a. u =, u =, u 7 = 5. b. u k k fi : impossible.. a. Modulo 9, u etier est cogru à la somme de ses chiffres doc chacu des ciq ombres est cogru à S et 5S b. 6 S. Etre 6 et, seuls et 9 vérifiet 5 5 9S.. a. La somme des 6 etiers comporte a b c cetaies et autat de dizaies et d uités. Cette somme vaut doc abc soit abc S. b. 67 N S et N 987 doc 7 S 59. Ceci est pas vérifié pour S 9, et pour S, o a 67 N soit N 6 et o vérifie que 6 est bie solutio du problème.. E utilisat les mêmes otatios o a : S Ici S. Etre et, seuls 5 et vérifiet S 9. La somme des etiers vaut 6 666S N 6 666S et N doc S 6 9. Ceci est pas vérifié pour S 5, et pour S, o a N 5 98 et o vérifie que 598 est bie solutio du problème. 6

17 A.. a. Affiche b. Affiche 6 c. Affiche. Quad b divise a car alors r est ul dès l iitialisatio.. a. Affiche b. Affiche c. Affiche 5 5. Le ombre obteu semble être u multiple commu de a et b. B. Voir B de l activité du chapitre. A.. Le triagle AB C est rectagle e B car la symétrie axiale coserve l orthogoalité. CB ^ CB implique CB ^ CB. Comme l agle e A a pour mesure 5, l agle e C aussi et le triagle est isocèle.. AB AC BC d où a d a ; AC AB CB d où d aa a d. B.. 5 a d a d a 9 5 d a 5 d 7 7 C. Si p, e preat a q q, o a d p. Les mesures de la diagoale et du côté du carré iitial sot des etiers, et il e est de même pour chaque carré itéré. Or a a d et d d a motret que les suites doivet être strictemet décroissates. Ceci est impossible : les mesures iitiales e peuvet être simultaémet des etiers et il est doc pas possible d écrire comme quotiet de deux etiers e chiffre = er chiffre de e chiffre = er chiffre de 7. Soit a, aq et aq les trois termes. O veut a qq 9 avec a et q etiers aturels. C est le cas pour a et q 9 ou a 7 et q ou a et q. 5 a a 7 7 doc a est divisible par 7 et 7. 6 x b x b xxbx bx b b bb. E base b, les chiffres du résultat sot ; b et b. E base, c est u 7, u 7, u 97 et u Cojecture : le derier chiffre de u est 7.. La propriété est vraie pour. Si elle est vraie pour k alors 8u k se termie par 6 et 8u k par 7.. a. u, u 56, u 8 et u 6. Cojecture : u k se termie par 6 et u k par. b. La propriété est vraie pour. Si elle est vraie pour k, alors 5u k se termie par 5 et u k par 6. Puis 5u k se termie par et u k par. 8 Faux : = 9 (mais vrai si les etiers sot o uls). 9 Tableau de cogrueces modulo. x x x Comme 7x est jamais cogru à modulo, 7x y a pas de solutio etière.. Si u a r p, alors u pr p pr r p r.. Les carrés des multiples de e sot pas présets das la suite. E effet r 6k fi. a. x yx y car x y et x y ot la même parité d où x et y. b. Idicatio : xx y 6 6. ( ; 9) ; ( ; ) ; (6 ; 7) ; ( ; ) ; ( ; ) ; ( ; 7) ; ( ; ) ; (6 ; 9) et les couples d opposés peuvet satisfaire l équatio. c. Idicatio : x yx xy y E étudiat les cogrueces des cubes modulo 9, o a x y. x; yœ ; 9; 9; ; ; ; ;. d. Idicatio : écrire x y. S ; ; ; 5; ; ; ;. Chapitre. Divisibilité, divisio euclidiee, cogrueces 7

18 . à. a ; b ; c ; d.. ENTRÉE : p, q et tels que la fractio soit p q TRAITEMENT : Pour k de à faire a reste(p, q) ; afficher a, p quotiet(p, q) ; FiPour O part de la droite et o complète la multiplicatio : x Le ombre est Pour qu u ombre soit divisible par, il doit se termier par. Pour être divisible par, ses deux deriers chiffres doivet être divisible par.. coviet aisi que tout ombre dot l écriture décimale se termie par.. Soit a u ombre de chiffres ou divisible par. Si a est pair, a a est divisible par. Si a est impair, a a est divisible par. Par récurrece, ue telle écriture est possible pour quelcoque A B doc C < (9 doat la somme maximale ). Or 7 9 doc 7 9. Or 7 9 et 8. Doc Doc 7 9. Par suite, A puis B puis C sot cogrus à 7 modulo 9. Comme C <, la seule valeur qui coviee est C = 7. 8

19 Nombres premiers Résolutio de problèmes Le ombre de diviseurs positifs d u etier. No : a diviseurs et 5 e a que. a u seul diviseur. 6, 7, 8, 9 et 96 ot diviseurs.. a. Ils sot impairs à part. b. Les paires de ombres premiers jumeaux sot : (, 5), (5, 7), (, ), (7, 9), (9, ), (, ), (59, 6), (7, 7). c. Oui. Exemple : 8 = d. k est premier pour k, sio, il admet plus de diviseurs (,, k au mois). Pour k, k admet plus de diviseurs (,, au mois). Tout etier s écrit k ou k + ou k + ou k + (il y a restes possibles das la divisio euclidiee par ). Pour >, i k i k + e sot possibles. La réciproque est fausse : + est pas premier, i +.. a. Les etiers dot le ombre de diviseurs est impair sot,, 9, 6, 5, 6, 9, 6, 8 et. Cojecture : ce sot des carrés. E effet, soit = p. Pour trouver les diviseurs de, o écrit sous la forme d u produit de = a b. Chaque écriture doe diviseurs disticts sauf das le cas = p p. Le ombre de diviseurs est doc impair. Das les autres cas, il est pair. b. Les etiers qui ot trois diviseurs sot :, 9, 5 et 9. Cojecture : ce sot les carrés d u ombre premier. E effet si = p avec p premier, les seuls diviseurs de sot, p et p et c est le seul cas où cela se produit. Les etiers qui ot ciq diviseurs sot : 6 et 8. Cojecture : ce sot les puissaces quatrièmes d u ombre premier. E effet, si = p avec p premier, les seuls diviseurs de sot, p, p, p et p et c est le seul cas où cela se produit. Le crible d Ératosthèe. Avec 5, le premier ombre à barrer est 5 et avec 7, le premier ombre à barrer est 7.. a. Si u ombre o barré était pas premier, so plus petit facteur premier serait. Il serait au mois égal à qui est pas das le tableau.. b. Il faut barrer les multiples jusqu à. E effet si u ombre o barré était pas premier, so plus petit facteur premier serait 7. Il serait au mois égal à 7 qui est supérieur à. est l etier p positif tel que : p p soit p p. C est la partie etière de. Chapitre. Nombres premiers

20 Combie de ombres premiers?. a. 5 + = qui est premier. b = qui est premier = 7. Les diviseurs premiers sot 7 et 5. Das les trois cas, les ombres premiers trouvés e fot pas partie de la liste iitiale.. Remplacer l éocé de la questio a. par «Étudier et compléter la démostratio e termes moderes cidessous.» a. er cas : N est strictemet supérieur à chacu des p i (pour i Œ {,, r}). b. e cas : si p est l u des p i, p divise le produit p p..p r doc aussi la différece N p p p r c estàdire p divise ce qui est absurde car p est premier. La répartitio des ombres premiers. a. Etre et, il y a ombres premiers, égalemet etre et, aucu etre et. b. 7 Œ ]5 ; [, Œ ] ; [, 77 Œ ]5 ; [.. a.! = ;! + = 6, multiple de ;! + = 7, multiple de ;! + = 8, multiple de. b. 5! est multiple de,,, 5. Pour k =,,, 5, o peut doc mettre k e facteur das la somme 5! k. c. 6! +, 6! +,, 6! + 6 sot respectivemet multiples de,,, 6. d. Les ombres cosécutifs ( + )! +, ( + )! +,, ( + )! + + sot tous composés. TP. Des algorithmes pour trouver les facteurs premiers A.. = Fact = [,,, 5, 5, 7].. Il est clair que les valeurs de Div ajoutées à la liste Fact sot des diviseurs de. Si la décompositio de compred p a avec p premier, l algorithme ajoute a fois la valeur p e procédat aisi : Div Fact p [p] p a p [p, p] p a p [p, p,, p] p + B.. O commece par traiter le cas de Div = puis, à partir de, Div pred la valeur Div +. Saisir Fact pred la valeur [ ] Tat que est u diviseur de, Faire ajouter à la liste Fact ; pred la valeur / FiTatque Div pred la valeur. Tat que >, Faire Si Div est u diviseur de, ajouter Div à la liste Fact ; pred la valeur /Div ; Sio Div pred la valeur Div + ; FiSi FiTatque Affichier la liste Fact.. O teste comme cidessus les cas de et.

21 Saisir Fact pred la valeur [ ] Tat que est u diviseur de, Faire ajouter à la liste Fact ; pred la valeur / FiTatque Tat que est u diviseur de, Faire ajouter à la liste Fact ; pred la valeur / FiTatque k pred la valeur Tat que >, Faire Div pred la valeur 6k Tat que Div est u diviseur de, Faire ajouter Div à la liste Fact ; pred la valeur /Div FiTatque Div pred la valeur 6k + Tat que Div est u diviseur de, Faire ajouter Div à la liste Fract ; pred la valeur /Div FiTatque k pred la valeur k + FiTatque Afficher la liste Fact TP. Les sommes d etiers cosécutifs A Mais est pas la somme de quatre etiers cosécutifs. 6 e peut s écrire comme somme de deux, trois ou quatre etiers cosécutifs.. a. Les cases B5, C et F cotieet 7. La case F correspod à = et m = 5. Doc 7 est la somme de 5 + = 6 etiers cosécutifs e partat de : 7 = De même 7 = (pour la case C) et 7 = + (pour la case B5). b. Das la coloe B figuret tous les ombres impairs supérieurs ou égaux à. E effet u ombre impair s écrit + = + ( + ). Il est doc bie la somme de deux ombres cosécutifs. c. Das le tableau figuret tous les ombres iférieurs à 5 sauf,,, 6 et. Il semble que seules les puissaces de e puisset s écrire comme sommes d etiers cosécutifs. B.. x = + ( + ) + + ( +m) est la somme de (m + ) termes d ue suite arithmétique de premier terme et de m raiso. O a doc : x m soit x = (m +)(m + ).. Si x est ue puissace de, il e est de même de x. Or, si m est pair, alors m + est impair. Iversemet, si m est impair, m + est impair. Das les deux cas, u des facteurs de x est impair. Ce qui est impossible si x est ue puissace de.. a. Si x =, alors x = 68 qui s écrit 7. Par idetificatio avec l écriture (m + )(m + ), o e déduit m = et = 7. Doc x est la somme de + = etiers cosécutifs e partat de 7 : x = b. Soit x pair o puissace de. La décompositio de x e facteurs premiers comporte (puisque x est pair) et au mois u autre facteur impair sio x serait ue puissace de. O a bie, si a est l exposat de das la décompositio, x = a N avec N impair. Par suite, x = a+ N. D autre part, x = (m + )(m + ). Chapitre. Nombres premiers

22 Distiguos deux cas. a+ N : das ce cas, o idetifie m + = a+ et m + = N. O e tire m = a+ qui est impair. m N m est pair et o e déduit l etier N. a+ > N : das ce cas, o idetifie m + = N et m + = a+. O e tire m = N qui est pair. a+ a m m est pair et o e déduit l etier. Das les deux cas, o a bie pu trouver deux etiers m et tels que x = + ( + ) + + ( + m). C. D après ce qui précède, tous les etiers supérieurs ou égaux à, à l exceptio des puissaces de, peuvet s écrire comme sommes d etiers cosécutifs. TP. Le test de Fermat et les ombres de Carmichaël A = (), = 5 6 (6), = 9 6 (8).. Das le tableau, les liges sot composées de quad est premier. Cojecture : si est premier et a etier aturel, alors a a (). B.. a. = 8 = 6 +. b. = + 9 doc = ( ) 9. Par suite 9 () soit () et efi (). Par ailleurs = ( ). Doc () d où (). c. No. est pas premier.. a. et b. O vérifie à l aide d u logiciel de calcul formel. c. m sert à garder e mémoire la valeur iitiale de r. Pour chaque valeur de a comprise etre et 56, r pred successivemet les valeurs du reste de a k modulo 56, avec k =,, 56. La derière valeur de r est le reste de a 56 modulo 56. Si a 56 est pas cogru à a modulo 56, t pred la valeur. Si o obtiet l affichage «pseudopremier», c est que, pour tout a etier de à 56, o a a 56 a (56). d. Voir le Poit Ifo. TP. De Mersee à Lucas Lehmer A.. M est premier pour : Œ ; ; 5 ; 7 ; ; 7 ; 9. Si est composé, M est composé. Si M est premier, est premier.. Idicatio : utiliser ue suite géométrique. Si est composé, ab, ab a a b ab º avec a doc a. est composé.. O a d doc d. B.. d d doc d ŒI, I est pas vide. Toute partie de o vide est miorée par et admet u plus petit élémet p avec p car (d). p q r. Soit élémet de I ; o a qp r avec r p et. Comme p d, p q d et r d doc r par défiitio de p et de r. O a doc qp.. E particulier p qp avec p premier doc p p. Comme d appartiet à I, d est u multiple de p. Si d divise M p p avec premier, d kp doc d kp. Or d et p sot impairs doc k est pair et d k p. C.. a. Il y a 9 etiers d de la forme 8k avec d 77 et k. b. Si k m, d 8 m. Si k 5m, d 58 m. Si k 7m, d 78 m.

23 c. Les valeurs de k possibles sot : 5 ; 6 ; ; ; ; 5 et 7. Celle de d sot :9 ; 9 ; 9 ; 57 ; 5 ; 57 ; 67. M 9 est divisible par aucu de ces sept ombres : il est premier.. D après la questio B., le premier diviseur possible de M est soit 7 et 7 divise M. M est pas premier. D.. Récurrece immédiate.. a. Ri Si Mp doc R i S i Mp et R i S i Mp d où Ri R i Mp. b. c. C est p et M = 7 = 89 est pas premier. d. Quad u des restes est ul c est au rag p. O vérifie que ces M p sot alors premiers. e. Les restes sot égaux à. f. Si S p r alors Sr S p r, puis o fait ue récurrece.. a. Si s = alors Afficher «M est premier». Sio Afficher «M est composé». b. c. Voir fichiers sur le site Math x. Exercices ENTRANEMENT 8 9 est premier. ou ou il existe u etier p strictemet supérieur à tel que le quotiet soit etier strictemet supérieur à p.. Si le premier chiffre d u des termes d ue paire est pair, le deuxième terme de la paire sera pair.. {, }, {7, 7}, {7, 7} et {79, 97}. 6. ENTRÉE : etier aturel iférieur à 5. TRAITEMENT : + Tat que o premier faire + ; FiTatque Programme Xcas a. No b. Oui. 5 Exercice corrigé e fi de mauel. Pour, l algorithme s arrête au bout de étapes. Chapitre. Nombres premiers 5

24 7. L algorithme affiche,, 7,.. L affichage suivat est 87 = 9 o premier. 8 Exercice corrigé e fi de mauel. 9. F = ; F = 5 ; F = 7 ; F = 57.. F = premier.. F 5 divisible par 6. Si a b = (a b)(a + b) est égale au ombre premier p, c est que a b = et a + b = p. p Il faut p impair et o a : a, b p.. a = ( )( 5). b. Pour 7, les deux termes et 5 sot supérieurs à = ( )( 9) est composé dès que 6 aisi que pour = ou ou 5. (a a + ) (a + a + ) = a a + qui est pas premier sauf pour a =. = + + = ( + )( + + ) = 9.. Les restes sot égaux à dès que >.. U ombre premier impair s écrit = p + d où = p + p +.. La réciproque est fausse car la propriété est vraie pour tout ombre impair. Exercice corrigé e fi de mauel. 5 Cotraposée : si a et b e sot pas premiers etre eux, la somme est divisible par u etier supérieur à (diviseur commu de a et b). p p 6 Si p, Si 9 k, k, Si, f. 9. a. Si k, N 5 k b. O étudie avec u tableur tous les cas possibles. c. Si = 5, N = 69 = 7 7 Si = 5, N = Si = 5, N = () o e sait pas ; () faux ; () vrai ; () faux a. O développe. b. O pose = 5, 5 ou 5 et m =. c. Fialemet, N est jamais premier. Pas de difficulté (calcul metal). Exercice corrigé e fi de mauel. a. ; et 5. c. et. b.. d = 5 7. Il faut multiplier 6 par = 57. Il faut multiplier 56 par 57 = 5. Exercice corrigé e fi de mauel = 5 : 6 a 5 diviseurs soit.. Le carré du PGCD divise 6 et le PGCD a six diviseurs doc PGCD = 8 d où a = 8 et b = 9. 6.! a u diviseur,! e a deux,! e a quatre et! huit. O peut cojecturer que! a diviseurs.. Vrai pour = 5 mais faux pour = 6. 7! = ! a doc 9 5 diviseurs soit 7. 8 a. Faux. Elle se termie par zéros. b. Vrai.! a diviseurs soit 5 9 qui est u diviseur de! c. Vrai. Les cubes possibles avec sot,, 6, 9,, 5, 8. De même ceux comportat sot,, 6. Efi, avec 5 : 5, 5. Il y a doc 7 = cubes. 9,,, 5, 8, et 6. 6 fim Les carrés des ombres pairs sot pairs. Les carrés des ombres impairs sot impairs.. (k) = k et (k + ) = (k + k) +.. Vraie.. Les exposats des facteurs premiers sot tous pairs. 6

25 . Das la décompositio de a et b, o cosidère le facteur premier. Das celle de a, so exposat est pair, das celle de b, il est impair, ce qui est impossible. Si était ratioel, il existerait a et b etiers aturels tels que a = b. O raisoe comme à l exercice e cosidérat cette fois le facteur premier.. U réel x s écrit après simplificatio sous la forme a b, avec a et b etiers aturels supérieurs ou égaux à si et seulemet si les exposats des facteurs premiers de x e sot pas tous pairs, i tous impairs. 5 Exercice corrigé e fi de mauel. 6 7; a 76 ou a : ; 5 : ; 5 : 5 ; 5 :.. a Il y a diviseurs. b. O résout. Vrai pour. 8. N est impair.. C est démotrable par l absurde. 9. et. 6 et 8.. Pour de jusqu à, calculer la somme S des diviseurs de. Si S =, afficher.. 6 ; 8 ; 96 5 et Les diviseurs de a ot les a i, i, de somme a a.. sn r a i p i. s p. i i 5 = 5. = 5. 6 Il y a 5 diviseurs. 7 à 6. Exercices corrigés e fi de mauel. APPROFONDISSEMENT 6. et.. p º p º p º p ; p + ou p + sot toujours divisibles par. Pour p =, + est divisible par 7. C est impossible.., 5 et sot premiers. 65. Exemple : = et. xx yy xy yx x x y y x y y x x yx y. 66. ; 7 ; ; 9 et.. c. Tous les diviseurs q, q,, q de N sot de la forme k + car ils sot impairs et disticts des p i. q i doc N qq º q ( ). N serait de la forme k +, or N ce qui est impossible. La liste des etiers premiers de la forme k + est ifiie. 67. a. = 5 5. b. Les cubes de,, 5,, 5, 5 et 5 diviset.. a. O étudie tous les cas. Pour x =,, 5 et, y est pas etier. Pour x = 5 et, y est égatif. b. Seule solutio : x = 6 et y =. 68. est le plus grad diviseur premier de 96. La somme cherchée est doc : S = = ( )/ = 96.. Le plus grad diviseur premier de N est doc. La somme cherchée est doc S = = (( ) )/ = ( ) = N.. Voir l exercice A. Erratum : remplacer l algorithme du mauel par celuici. ENTRÉE : etier aturel supérieur à INITIALISATION : u + ; S u/ TRAITEMENTETSORTIE : pour k de à Faire u u + ; S S*u/ FiPour Si S est etier Alors afficher Sio afficher FiSi Chapitre. Nombres premiers 7

26 . O obtiet tout le temps. 7. a. 7 7 = 9. b. La propriété est vraie pour 7 + k 9.. a. 7 = 6. O peut bie sûr utiliser u algorithme º. S. Cojecture : S est etier. B.. O sépare les pairs et les impairs das ()! : ()! = ( ) () puis o met e facteur das chacu des termes pairs. O trouve a!.. ()! =! ( + )( + ) (), d où a = ( + )( + ) (). 7. a. Pour =, l algorithme affiche,,, 8. b. Cojecture : les etiers k pour lesquels k + est premier sot des puissaces de. c. Pour = 8 o obtiet : O affie la cojecture : pour k égal à l ue des 5 premières puissaces de, k + est premier mais + e l est pas. 7 Erratum : questio, remplacer x + x + () p x p par x + x + ( ) p x p.. possède au mois u facteur premier p différet de doc = pq avec q etier aturel.. Somme des termes d ue suite géométrique : x x º px p x p. x. a aq p avec p impair. E remplaçat x par a q das la formule précédete o obtiet : a aq aq aq ºaqp a est divisible par a q avec aq a.. Cotraposée : «si est pas de la forme k alors est pas premier» implique «si est premier alors est de la forme k». POUR ALLER PLUS LOIN Voir l exercice 7. La coditio est écessaire mais pas suffisate puisque est pas premier : il est divisible par 6. b. La propriété est vraie pour 7 + k. 7. La décompositio e facteurs premiers de compred au mois u facteur avec u exposat impair.. Si a = b, avec a et b etiers aturels, il existe au mois u facteur premier p tel que l exposat de p das soit impair. L exposat de p das a est pair et impair das b, ce qui est impossible. 7. Défis impossibles.. La décompositio e facteurs premiers d u etier est le produit de a (a etier évetuellemet ul) avec u produit de puissaces d etiers premiers différets de doc impairs.. a. Il y a ombres impairs etre et. b. + etiers b i e peuvet predre que valeurs. Au mois deux sot égaux : b k = b i.. qk ak bk et ql al bl. Si par exemple ak ai, alors qk akal ql puisque b k = b l. Au mois u des etiers e divise u autre. 75. a. Seul 5 est régulier e base. b. C est la défiitio d u ombre décimal. c est régulier car 5 8 qui est 7 55 etier. d.,, 5 et 8 sot réguliers e base, car ils sot de la forme a 5b. a a a. a. régulier º k 6 6 6k 6k a 6k 6 a k º ak 6k etier. b., 5 et 5 sot réguliers e base 6. c. Les etiers réguliers e base 6 sot ceux qui peuvet s écrire a b 5c. d. Etre et 59, il y a etiers réguliers : ; ; ; 5 ; 6 ; 8 ; ; ; 5 ; 6 ; 8 ; ; ; 5 ; 7 ; ; ; 6 ; ; 5 ; 8 ; 5 ; a. 5,, 7,, 9 et. b. 5, 65, 77, 95, 9 et 5. 8

27 . U ombre s écrit 6k, 6k +, 6k + = (k + ), 6k + = (k + ), 6k + = (k + ) ou 6k + 5. Seuls 6k + et 6k + 5 peuvet être premiers.. b. N e peut être premier car il est de la forme 6k + 5 et est supérieur à tous les p i. c. Si p divise N, il divise 6p p N =. Ne pouvat être de la forme 6k + 5, les diviseurs premiers q i de N sot de la forme 6k +. Pour tout i, q i 6, doc le produit de puissaces de q i est aussi cogru à modulo 6. d. Cotradictio : N e peut être cogru à et modulo 6. Il y a ue ifiité d etiers premiers de la forme 6k A.. Voir fichier sur le site Math x.. a. Les ombres de la lige L sot tous multiples de, ceux de la lige L sot tous multiples de 5, ceux de la lige L sot multiples de 7 et ceux de la lige L sot multiples de 9. b. Aucu ombre premier apparaît das le tableau. c. Tous les ombres impairs composés de 9 à 99 sot das le tableau. d. No, est premier et e figure pas das le tableau. No, par exemple 9 est pas premier. B.. a. La suite C est arithmétique de premier terme 9 et de raiso 6 doc uk 9 6 k. La raiso r k de la suite L k est ellemême ue suite arithmétique de premier terme 6 et de raiso. Doc rk 6 k. b. Doc uk j 96k 6 k j 9 6 k 6 j kj k j. L etier uk, j situé à l itersectio de la coloe C j et de la lige L k, est u produit de deux etiers différets de. Il est pas premier.. a. L etier = 7 9 = ( + )( 8 + ) est das le tableau à l itersectio de la lige L et de la coloe C 8. b. Si l etier N + (N ) est pas premier, il s écrit N + = P + Q, où P et Q sot deux etiers supérieurs ou égaux à. P et Q sot impairs car si l u des deux était pair, N + serait pair lui aussi. État impairs supérieurs à, P et Q sot supérieurs ou égaux à. Doc P est u ombre pair positif ou ul. Il s écrit k avec k Œ d où P = k +. De même, il existe j Œ tel que Q = j +. c. Fialemet, u etier impair composé apparaît forcémet das le tableau. Ce qui sigifie qu iversemet, u etier impair supérieur ou égal à est premier si et seulemet si il y est pas. 78 Erratum : à la questio. a. remplacer «=, et» par : «=, et 5».. a. f() = 8, f() = 5, f() = 5, f() = 5 9, f() = 6 5 et f(5) = 5. b. Cojecture : f() est multiple de 5 si e l est pas. Modulo 5,,,, ou doc,,, ou et,,, ou. Doc + 6 (5) quad est divisible par 5 et + 6 (5) das les autres cas. c. Si est pair, et doc f() le sot aussi.. a. f() = 5, f() = 5 9 et f(5) = 5. b. O a f() = ( + 8)( + + 8). c. Pour tout aturel, et + 8 = ( ) + doc f() est le produit de deux etiers aturels strictemet supérieurs à doc f() est composé. POUR ALLER PLUS LOIN Si a = k où k est u etier supérieur ou égal à, + a = + (k) = ( k + k )( + k + k ). + k + k = ( + k) + k et o démotre que k + k e prouvat que le triôme k + k a pas de racie réelle doc a fortiori pas de racie etière. 79. a. p p et p p. U tableau à double etrée motre qu u et u seul est multiple de. b., et. est le seul multiple premier de.. a. Modulo, uv w v w. Doc, si uv w, alors v w. b. uv w u9k r 69k r d où u k k r. c. Les trois coordoées sot comprises strictemet etre 5 et 5. Pour r =, 5 k 5coduit à k =,,. De même pour k, et il faut 5 k k 5 soit 7 k k 7. Seule possibilité : k =, k =. D où le poit ( ; ; ). Le cas r = coduit au poit O et r = à ( ; ; ). 8 A.. 6 et 8.. a. Les diviseurs propres de p sot i avec i et k p avec k (utiliser des suites géométriques). Leur somme est p p. b. et c. Si p, la somme vaut a, qui est parfait.. Si est premier, a est parfait : pour =, a = 96 ; pour = 6, a = 8 8. B.. a. Les diviseurs de a sot i d k avec i et k p. i d  k d k doc s a sb ( ). i Chapitre. Nombres premiers 9