STATISTIQUES. La taille moyenne d un jeune enfant est donnée, en fonction de son âge (en mois), dans le tableau suivant :

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Marie-Claire Thibault
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1 STATISTIQUES Cours Termale ES O observe que, das certas cas, l semble ester u le etre deu caractères statstques quattatfs (deu varables) sur ue populato ; par eemple, etre le pods et la talle d u ouveau-é, etre le chffre d affares et le motat des charges d ue socété, etre la cosommato et la vtesse d ue voture. Il est alors téressat d étuder smultaémet ces deu caractères. Nous pouvos alors préseter les résultats sous forme de tableau ou de graphques. 1. Présetato des doées Eemple 1 La talle moee d u jeue efat est doée, e focto de so âge (e mos), das le tableau suvat : Age (e mos) Talle (e cm) Eemple 2 Lors d'essas de freage d u véhcule das des codtos detques, o a mesuré, pour dfféretes vtesses du véhcule, la dstace écessare pour s arrêter : Vtesse (e km/h) Dstace d arrêt (e m) Eemple 3 Das le tableau suvat, o doe le ombre de frères et sœurs d u groupe de 10 persoes et la talle de ces persoes : Nombre de frères et sœurs Talle (e cm) Nuage de pots Sur ue populato doée, étudos deu caractères. Pour chacu des dvdus de cette populato, otos et les valeurs prses par chacu de ces caractères, et présetos les doées à l ade de la sére statstque à deu varables suvate : Valeur 1 2 Valeur C. Laé

Nous pouvos alors préseter les résultats sous forme de tableau ou de graphques. 1.

2 1) Nuage de pots Défto 1 : Das u repère orthogoal, l esemble des pots M de coordoées ; (avec 1 ) est appelé le uage de pots assocé à cette sére statstque à ( ) deu varables. Eemple : Le tableau c-dessous doe l'évoluto du ombre d'éléphats das ue réserve depus sa créato e Aée Rag de l'aée 0 Effectf Représeter le uage de pots assocé à cette sére statstque Remarques : Lorsqu'o étude ue sére chroologque, o préfère parfos cosdérer le rag de l'aée, plutôt que l'aée elle-même. Cela permet de smplfer les calculs C. Laé

Aée 1988 1990 1992 1994 1996 1998 Rag de l'aée 0 Effectf 144 164 210 238 266 316 Représeter le uage de pots assocé à cette sére statstque.

3 Lorsqu'o desse u uage de pots, o pred souvet comme orge u pot judceusemet chos, dfféret du pot de coordoées (0 ; 0) (das otre eemple, ous avos prs le pot de coordoées (0 ; 100). Cela permet de vsualser "au meu" le uage. E gééral, o chost pour ce tpe de représetato u repère orthogoal (plutôt qu'orthoormal), toujours das le but d'avor u dess clar devat les eu. Lorsque l'échelle 'est pas mposée par l'éocé, l faudra doc être capable de chosr cette derère, de maère à ce que tous les pots du uage soet présets sur le graphque. Il est prmordal d'être capable d'obter u uage de pots doé sur la calculatrce. 2) Noto d ajustemet Voc les uages de pots des eemples1, 2 et 3 du 1. : Talle d'u jeue efat Dstace de freage d'u véhcule Talle (e cm) Age (e mos) Dstace d'arrêt (e m) Vtesse (e km/h) Talle et ombre de frères et soeurs d'ue persoe Talle (e cm) Nombre de frères et soeurs Pour chaque uage, o essae de trouver ue focto f telle que la courbe d équato = f ( ) «passe le plus près possble» des pots du uage. C est la oto d ajustemet. Das l eemple 1 Das l eemple 2 Das l eemple C. Laé

Lorsque l'échelle 'est pas mposée par l'éocé, l faudra doc être capable de chosr cette derère, de maère à ce que tous les pots du uage soet présets sur le graphque.

4 3. Pot moe, varace et covarace 1) Pot moe Sot u uage de pots ( ; ) M. Défto 2 :... Eemple : Repreos l eemple avec les éléphats (eemple du 1) du 2.). Aée Rag de l'aée 0 Effectf Détermer les coordoées du pot moe du uage de pots. 2) Obteto des coordoées du pot moe grâce à la calculatrce Teas Istrumet (TI 80) STAT 1 : Edt permet d etrer les valeurs de das L1, pus celles de das L2 Caso Graph 25 Das le meu STAT, etrer les valeurs de das Lst 1, pus celles de das Lst 2. STAT CALC 2 : 2-VAR Stats ( 2 d L1, 2 d L2 ) ENTER Cec ous doe et. pus CALC SET, etrer das 2VarXLst : Lst 1 EXE pus Calc 2-Var O obtet alors 2VarYLst : Lst 2 et. Caso Algebra Vor polcopé Caso ClassPad 300 Vor polcopé 3) Varace et covarace Pour étuder la dsperso de chaque varable et, o peut calculer leurs varaces : ( ) V 2 = = et ( ) V 2 = =. = 1 = 1 = 1 = 1 Mas l est utle d trodure ue quatté qu fasse terver à la fos les valeurs de et de C. Laé

valeurs de das Lst 1, pus celles de das Lst 2. STAT CALC 2 : 2-VAR Stats ( 2 d L1, 2 d L2 ) ENTER Cec ous doe et.

5 Défto 3 :... Eemple : Repreos l eemple précédet. 1 C = ( ) = Méthode de détermato d ue drote d ajustemet Lorsque les pots du uage parasset presque algés, o peut chercher ue relato de la forme = a + b qu eprme de faço approchée e focto de, autremet dt, ue focto affe f telle que l égalté f ( ) = s ajuste au meu avec les doées. Graphquemet, cela sgfe qu o cherche ue drote qu passe au plus près de tous les pots du uage. Ue telle relato permettrat otammet de fare des prévsos. 1) La méthode de Maer Le uage de pots est séparé e deu sous uages (après avor tré les pots par ordre d abscsses crossates). O déterme esute les coordoées des pots moes G 1 du premer sous uage et G 2 du secod sous uage. O trace la drote (G 1 G 2 ), qu o appelle drote de Maer, passat par ces deu pots et o e cherche l équato. Eemple : Repreos l eemple avec les éléphats (eemple du 1) du 2.). Aée Rag de l'aée 0 Effectf a) Calculer les coordoées des pots G1 et G2. b) Placer G1 et G2 sur le graphque de la page 2 et tracer la drote passat par ces 2 pots. c) Détermer l équato de la drote (G1G2). d) À l ade de l équato de la drote (G1G2), fare ue prévso sur le ombre d éléphats e C. Laé

affe f telle que l égalté f ( ) = s ajuste au meu avec les doées. Graphquemet, cela sgfe qu o cherche ue drote qu passe au plus près de tous les pots du uage.

6 Pour mesurer la qualté d ue telle formule, o cosdère, pour chaque valeur, la dfférece etre la valeur observée, c est à dre, et la valeur calculée par la formule, c est à dre a + b. O souhate que toutes les dfféreces : a b appelées erreurs, ou résdus, ou perturbatos, soet les plus pettes possble. La méthode la plus courammet emploée, dte méthode des modres carrés, cosste à chosr a et b de faço que la somme des carrés des résdus sot la plus pette possble. 2) Ajustemet de e par la méthode des modres carrés O cosdère par la sute u uage de pots A ( ; ) (avec 1 ). Défto 4 :... 2) Drote de régresso de e Proprété 1 (admse) : C. Laé

La méthode la plus courammet emploée, dte méthode des modres carrés, cosste à chosr a et b de faço que la somme des carrés des résdus sot la plus pette possble.

7 Utlsato de la calculatrce pour la détermato de l équato de la drote de régresso : Teas Istrumet (TI 80) STAT 1 : Edt permet d etrer les valeurs de das L1, pus celles de das L2 STAT CALC 3 : LINREG(aX+b) (2 d L1, 2 d L2 ) ENTER Cec ous doe les ombres a et b Caso Algebra Vor polcopé pus Caso Graph 25 Das le meu STAT, etrer les valeurs de das Lst 1, pus celles de das Lst 2. CALC SET, etrer das 2VarXLst : Lst 1 2VarYLst : Lst 2 EXE pus Calc Reg 1-Lear Cec ous doe les ombres a et b Caso ClassPad 300 Vor polcopé 3) Applcato Cosdéros la sére : a) Placer, das u repère orthogoal, le uage de pots A ( ; ) et costater que la forme «allogée» du uage justfe u ajustemet affe. b) Placer le pot moe G de ce uage. c) Tracer la drote d de régresso de e C. Laé

CALC SET, etrer das 2VarXLst : Lst 1 2VarYLst : Lst 2 EXE pus Calc Reg 1-Lear Cec ous doe les ombres a et b Caso ClassPad 300 Vor polcopé 3) Applcato Cosdéros la sére : 10 11 13 15 17 18 105 107 110

8 c) Utlsos u tableau pour détermer les coeffcets de la drote de régresso de e. ( )( ) ( ) Total d) O peut e dédure par terpolato : - la valeur de correspodat à = 16 :... - la valeur de correspodat à = 113 : C. Laé

de e. ( )( ) ( ) 2 10 105 11 107 13 110 15 111 17 112 18 115 Total d) O peut e dédure par

9 O peut e dédure par terpolato : - la valeur de correspodat à = 20 :... - la valeur de correspodat à = 120 : Algemet de pots et le de causalté O cosdère le tableau suvat : t : Aée : Nombre d scrts das u club de belote : Nombre de hamburgers vedus das u restaurat de Moscou ) Placer das u repère orthogoal le uage de pots (t ; ) et costater que sa forme allogée justfe u ajustemet affe. 2) Placer das u autre repère orthogoal le uage de pots (t ; ) et costater que sa forme allogée justfe sa forme affe. 3) a) Placer das u trosème repère le uage de pots ( ; ) et costater que sa forme allogée justfe u ajustemet affe. b) Vérfer que la drote de régresso de e admet comme équato = et tracer cette drote C. Laé

48 53 57 62 68 73 77 7000 7450 8000 8500 9050 9550 10000 1) Placer das u repère orthogoal le uage de pots (t ; ) et costater que sa forme allogée justfe u ajustemet affe.

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