Fonction logarithme népérien. de la fonction s annule en 1.On note cette fonction «ln» ou «Log»

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Bérengère Germain
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1 Focio logarihme éérie I Défiiio e remières roriéés Défiiio O aelle focio logarihme éérie la rimiive sur ] ; [ de la focio s aule e.o oe cee focio «l» ou «Log» d Aisi o a : >,l = Premières roriéés Il résule de la défiiio que la focio l es coiue e dérivable sur ] ; [ e >,l'() = La focio l es sriceme croissae sur ] ; [ l () = Il eise e uique ] ;3[ elque l = Soie a e b deu réels sriceme osiifs o a : la < lb a < b la = lb a = b la = a = la > a > la < < a < II Eude e reréseaio grahique de la focio l Soi u eier aurel suérieur ou égal à e k u eier aurel el que k k k k k k k k d d d Alors o a : Si k k k k k k k = k d d Doc l( ) k k= k= Soi A > e = E(A) Pour ou > ;l > l( ) > = euisque > A alors >,l > A Doc la focio l es o majorée Aisi la focio l es croissae e o majorée alors liml = Soie f : l e g: l ; > La focio f es dérivable sur ] ; [ e >,f'() = La focio u: es dérivable sur ] ; [ e u (] ; [) = ] ; [ alors la focio g = (f u) es dérivable sur ] ; [ e >,g'() = u'().f'(u()) =. = = f'() Aisi >,g'() = f'() > ; g() = f() c oùc R 4 ème qui

2 Or g() = f() = alors c = doc > ;g() = f() > ; l = l Par suie liml = lim( l ) lim( l) = = O e dédui que l ae des ordoées es ue asymoe à la courbe reréseaive de la focio l d d ; ; doc ; l l, l Aisi Alors lim = lim = lim = O e dédui que la courbe reréseaive de la focio l adme ue brache arabolique de direcio celle de l ae des abscisses au voisiage de Tableau de variaios de la focio l Courbe reréseaive de la focio l l'() l La focio l réalise ue bijecio sriceme croissae de ] ; [ sur R L uique réel el que l= es oée e, aisi le=,e,788 Comlémes l La focio l es dérivable e es l'() = lim = > oose =,lorsque, l l Doc liml= lim l lim lim = = = lim l= liml = liml = l lim = l lim =

3 III- Proriéés algébriques O cosidère les focios f e g défiies sur ] [ ; ar f() = l eg() = l(a)oùa> g es dérivable sur ] ; [ e >,g'() = a. = = f'() a >,g'() = f'() >,g() = f() c,oùc R doc >,l(a) = l c e ariculier la= l c c= ladoc >,a> l(a) = l la a Pour ous réels sriceme osiifs a e b, l = l a. = la l = la lb b b b Pour ou réels sriceme osiifs a e b a l(ab) = la lb l = la lb b l = l(a) a Soi a u réel sriceme osiif Moros ar récurrece que N,l(a ) = l(a) Pour =,l(a ) = l= =.la Soi N, suosos que l(a ) = l(a) e moros que O a ar hyohèse de récurrece : l(a ) = l(a) Doc l(a ) = l(a.a) = l(a) la = ( )la Coclusio : N,l(a ) = l(a) Soi Z alors l(a ) = l = l(a ) = ( )la= la a E fi = Z,l(a ) l(a) Soi eier el que IV- Aures limies alorsa ( a) 3 l(a ) = ( )l(a) (car N ) = ( ) = = = Soi a u réel sriceme osiif Z,l(a ) = la N elque,l( a) = la la l a l( a) l( a) la Soie u eier aurel o ul e u eier aurel suérieur ou égal à l( ) l (l) ( ) l( ) l( ) >, = = = = ( ) ( ) ( ) Posos =,lorsque, (l) l( ) l Alors lim = lim lim. = = (l ) (l ) lim (l) lim l = lim ( ) lim = = = lim (l) =

4 Pour ous eiers aurels o uls e : (l) lim =, lim (l) = V Focios l(u()), l u() Soi u ue focio dérivable sur u iervalle I elle que I,u() > alors la focio u'() f : l(u()) es dérivable sur I e I,f'() = u() Démosraio O a : f = gu,où g: l ] [ uesdérivable surie u(i) ; alorsg uesdérivable suri g es dérivable sur ] ; [ u'() Ce qui imlique f es dérivable sur I e I,f'() = u'().g'(u()) = u'(). = u() u() Soi u ue focio dérivable sur u iervalle I elle que I,u() alors la u'() focio f : lu() es dérivable sur I e I,f'() = u() Démosraio O a : I,u() alors u garde u sige cosa sur I Si I,u() > alors d arès le héorème récéde f es dérivable sur I e u'() I,f'() = u() Si I,u() < alors I, f() = l( u()) e comme u es dérivable sur I alors la focio u es dérivable sur I I, u() > doc f es dérivable sur I e u'() I,f'() = u'(). = u() u() Corollaire Soi u ue focio dérivable sur u iervalle I elle que I,u() alors la u'() focio f : adme our rimiive sur I la focio F: lu() k,où k R u() O se roose de chercher ue rimiive sur ] ; [ de la focio f : l La focio F défiie sur ] ; [ arf() = f()d es la rimiive de f sur ] [ s aule e e e ; qui 4

5 >,o oseg'() = g() = e f() = l f'() = Alors d arès le héorème d iégraio ar aries : [ ] [ ] >,F() = g().f() g()f'()d l. d l e d l e = e e = = e e La focio l es ue rimiive sur ] ; [ de la focio l 5

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