LA MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES

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1 LA MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES Sommaire Détaillé 1. GENERALITES SUR LA MAITRISE STATISTIQUE DES PROCEDES Défiitio d'u processus Causes des défauts du produit La Maitrise Statistique des Processus ( MSP ) Efficacité de la MSP Le cotrôle du Procédé Le Procédé Reseigemets sur la performace Variabilité du procédé L'Auto-Cotrôle Itérêt de l'outil statistique 5 2. BUT DU CONTROLE EN COURS DE FABRICATION 5 3. PRINCIPE DU CONTROLE EN COURS DE FABRICATION Différets types de cotrôle e cours de fabricatio Cotrôle par Attributs Cotrôle par Mesures 7 4. COMPARAISON DE L'I.T. A LA DISPERSION DU PROCESSUS L'IT est iférieur à la dispersio du Processus L'IT est égal à la dispersio du Processus L'IT est supérieur à la dispersio du Processus Coclusio CARTES DE CONTROLE Risques liés à l'emploi de la carte de Cotrôle 11 14/6/25 Page 1 MSP1.doc

2 5.2. Courbe d'efficacité Actio sur l'efficacité du cotrôle Carte de Cotrôle de la Moyee Observatios Cartes de Cotrôle Provisoires Elaboratio de la carte de cotrôle aux limites élargies Utilisatio de la carte de cotrôle de la moyee Applicatio à u système de surveillace (KOMEG) Carte de Cotrôle de l'écart-type Cas des Petits Echatillos EXERCICE D'APPLICATION 2 1. Gééralités sur la Maîtrise Statistique des Procédés 1.1. Défiitio d'u processus C'est la combiaiso des élémets suivats : - Equipemets de productio et de tests - Hommes et orgaisatios - Matière première à trasformer - Méthodes et istructios - Procédures - le tout das u eviroemet social et écoomique doé Il est égalemet caractérisé par : - ue etrée mesurable - ue valeur ajoutée - ue sortie mesurable - et ue répétabilité 14/6/25 Page 2 MSP1.doc

3 1.2. Causes des défauts du produit Les causes des défauts d'u produit sot à rechercher à l'aide de la méthode des 5M défiis par Ishikawa.( Milieu, Méthode, Machies, Mai d'oeuvre, Matières ) Mai d Oeuvre Persoel Méthodes Orgaisatio Machies Milieu Eviroemet de travail CAUSES DES DEFAUTS D UN PRODUIT Matières Premières IL FAUT COMPRENDRE ET CONTROLER, c est-à-dire MAITRISER LE PROCESSUS REDUCTION DES COUTS 1.3. La Maitrise Statistique des Processus ( MSP ) a) L'idée Le processus est la cause des défauts du produit. C'est le processus qu'il faut maitriser puisqu'il est istable et a aturellemet tedace à se dérégler. b) La démarche L'objectif est de cotrôler les paramètres ifluat du processus. Les différetes étapes vot de la sesibilisatio du persoel à la mise e place des cartes de cotrôle. c) L'outil C'est la carte de cotrôle, outil simple et efficace, qui est à la base de la MSP. d) Le cocept Il faut rechercher sas cesse l'amélioratio des performaces. e) Ce qu'est la MSP - U élémet de l'assurace Qualité et u outil d'amélioratio cotiue - Il faut impérativemet maîtriser le Processus afi de dimiuer les coûts de o-qualité qui sot géérés par le processus lui-même. - La resposabilité de la maîtrise des processus icombe d'abord et avat tout au Maagemet. - Les procédés sot coduits par des opérateurs. Le seul outil proposé par la MSP est la carte de cotrôle, qui est simple d'utilisatio et à la portée de tout le persoel d'ue etreprise. f) Ce que 'est pas la MSP - Les différetes théories des Statistiques. - Ce 'est pas la Qualité Totale et e garatit pas le ZERO DEFAUT Efficacité de la MSP Les chiffres avacés ci-dessous ot été obteus chez MICHELIN après applicatio de la MSP. - La vérificatio passe du tri à 1% au sodage - Les toléraces passet de.2 à.5 mm - Les o-coformes passet de 9 à 1% Les icideces idirectes sot les suivates : - Productivité e hausse de 5% - Maiteace allégée 14/6/25 Page 3 MSP1.doc

4 1.5. Le cotrôle du Procédé Le Procédé C'est u système qui combie plusieurs élémets agissat e même temps pour l'obtetio d'ue productio de bies ou de services e particulier les 5 M défiis par Ishikawa (Mai d'oeuvre, Matière, Milieu, Méthodes et Machies ) Reseigemets sur la performace L'étude des paramètres décrivat l'état du foctioemet du procédé et l'iterprétatio des résultats permettet d'iterveir pour corriger le procédé ou la productio, ce qui etraie deux types d'itervetios : - Sur le procédé ( à log terme ou à court terme ) - Sur la productio passée par tris, rebuts et retouches. Il est à oter que ce type d'itervetio doit deveir exceptioel voire être supprimé si le procédé est Mis sous Cotrôle Variabilité du procédé De multiples phéomèes vieet ifluecer la qualité du produit, résultat de la combiaiso des facteurs des 5 M. La Norme NF X5-2 regroupe e 2 catégories ces causes de variabilité. Causes Commues ou aléatoires : Ce sot des causes ihéretes au processus lui-même. Ex : - Jeux das les différets élémets de la machie - Elasticité des orgaes - Hétérogééité de la matière travaillée - Température de l'atelier - Erreurs das le processus de mesure Les causes aléatoires se caractériset par : - leur ombre très importat - leurs variatios faibles e règle géérale - leur idépedace les ues des autres - par le fait qu'elles sot toujours présetes - elles se retrouvet das toutes les pièces fabriquées; c'est d'ailleurs pour ces raisos que la distributio est le plus souvet ormale. Les causes commues e sot pas idetifiables et sot icotrôlables. Elles sot resposables des variatios aléatoires. Lorsque le PROCESSUS EST STABLE o dit qu'il est SOUS CONTROLE ou qu'il est MAITRISE. Il 'y a que des causes commues et pas de causes spéciales. Causes Spéciales ou assigables : Elles e sot pas ihéretes au processus et il e résulte ue dispersio variable das le temps. Ex : - Cassure d'u outil - Coupure du courat das u cycle de chauffe - Défaillace humaie - Fuite das u tuyau sous pressio - Grippage d'u palier - Dégel, chaleur ou froid exceptioel - Chagemet d'opérateur - Lot de matière première défectueux Ce sot des causes que l'o peut souvet idetifier et que l'o peut cotrôler. Les causes spéciales e coceret que certaies pièces; elles sot peu ombreuses, mais avec des effets importats. E pricipe, les causes spéciales e duret pas logtemps puisqu'o les élimie au fur et à mesure qu'elles se présetet. Quad u outil casse, o le remplacera. 14/6/25 Page 4 MSP1.doc

5 Les causes spéciales se traduiset par des variatios o aléatoires qui correspodet à des valeurs situées e dehors de l'itervalle x 3σ ; x + 3σ. Il faut doc empêcher le processus de faire des fautes pour que les variatios o-aléatoires e se produiset pas L'Auto-Cotrôle Il cosiste à resposabiliser l'opérateur e lui doat les moyes d'obteir u iveau de qualité souhaité. La démarche Qualité s'appuie largemet sur la mise e oeuvre du S.P.C. ( Statistical Process Cotrol = Surveillace des Procédés e Cotiu ). Das ce cadre o estime que l'opérateur 'est resposable que de 15 % de la o-qualité, les 85 % restat ayat pour origie le reste du procédé Itérêt de l'outil statistique Critère écoomique: Le cotrôle est ue opératio qui coûte cher et 'apporte pas de valeur ajoutée. O a doc itérêt à dimiuer le ombre de pièces à cotrôler sas trop dimiuer la fiabilité. C'est ce que permettet les statistiques e doat la possibilité d'estimer la populatio totale à partir d' échatillos. Critère techique: Les statistiques permettet de réduire le ombre de doées à maipuler. Trois paramètres suffiset pour caractériser ue populatio de plusieurs milliers d'idividus ( Forme de la répartitio, positio, dispersio ) 2. But du Cotrôle e cours de Fabricatio Le cotrôle e cours de fabricatio s'applique à des produits de toute ature : pièces, sousesembles, esembles termiés. Ce cotrôle a pour but de surveiller la fabricatio, e détectat rapidemet l'apparitio de ocoformes et e s'assurat que les caractères cotrôlés restet STABLES. Il idique le momet où u réglage deviedra écessaire. Il s'effectue sur des échatillos de FAIBLE QUANTITE d'idividus prélevés les us à la suite des autres. Les résultats obteus, sur u même prélèvemet, doet lieu au calcul d'ue "statistique" telle que moyee puis étedue ou écart-type Soit la taille du prélèvemet c'est-à-dire par exemple 5 pièces moyee : x xi i = = 1 avec x i = valeur de chaque idividu étedue :W = x max - x mi W toujours écart type : σ = ( xi x) 2 σ toujours 14/6/25 Page 5 MSP1.doc

6 Remarque sur le calcul de l'écart-type des calculatrices H.P. : ( Rappels 1ère Aée ) σ HP = ( xi x) 2 1 La calculatrice calcule directemet l'estimatio de l'écart-type de la populatio σ. Doc pour calculer l'écart-type de l'échatillo σ, il faut appliquer la relatio suivate : σ = σ 1 A l'iverse, o peut égalemet estimer l'écart-type de la populatio σ à partir d'u échatillo d'écart-type σ : σ = σ 1 Les valeurs obteues x, W, σ sot reportées das l'ordre chroologique, sur ue carte dite i i i "carte de cotrôle" et iterprétées d'après leur positio par rapport à des limites tracées à l'avace. Numéro etc d'échatillo Moyee x 1 x 2 x 3 x 4 Etedue W 1 W 2 W 3 W 4 Ecart-type σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 x x 1 x 3 W W 2 W 1 σ σ 2 σ 1 14/6/25 Page 6 MSP1.doc

7 3. Pricipe du Cotrôle e Cours de Fabricatio 3.1. Différets types de cotrôle e cours de fabricatio Cotrôle par Attributs Les idividus sot qualifiés de "bos" ou "défectueux". La décisio cocerat le réglage est prise d'après le ombre de défectueux trouvés das les idividus cotrôlés. Exemple : Soit u prélèvemet de =5 pièces ( échatillo ) Rejeter le lot s'il y a plus de 2 pièces défectueuses. Ceci correspod au pla de cotrôle ou pla d'échatilloage simple suivat : ( =5 ; critère d'acceptatio A=2 ; Critère de rejet R=3 ) Cotrôle par Mesures Se fait lorsque le caractère cotrôlé, désigé par x das l'expressio ci-dessous est ue gradeur mesurable ( Ex: diamètre d'u arbre mesuré au palmer ). La décisio de réglage se fait suivat la moyee x et la dispersio W ou σ calculées sur les idividus cotrôlés. Pour mettre e oeuvre le cotrôle par mesures il faut : - coaître la loi que suivet les caractères cotrôlés (gééralemet la loi ormale) Caractéristiques de la loi ormale et de la loi ormale réduite : Défiitio de la loi ormale : ( Rappels 1ère Aée ) Pour tout idividu pris au hasard das u lot, la probabilité pour que la gradeur x ait ue valeur comprise das l'itervalle [ x, x + dx ] est doée par l'expressio suivate. 1 y = f ( x) = e σ 2π 2 1 x m 2 σ E pratique, la probabilité y est la fréquece ou proportio des idividus du lot pour lesquels le caractère a ue valeur comprise das l'itervalle dx. avec m = moyee de la populatio σ = écart-type de la populatio (grad ombre d'idividus étudiés) Courbe de Gauss : y m -σ m +σ m -1,96σ m +1,96σ m -3,9σ m m +3,9σ 68,3% x 95% 99,8% 14/6/25 Page 7 MSP1.doc

8 Défiitio de la loi ormale réduite: ( Rappels 1ère Aée ) Pour des raisos de simplificatio o utilise gééralemet les propriétés de la LOI NORMALE REDUITE. Cette loi est telle que so origie se situe sur la moyee et que l'uité de la variable est égale à σ. Cette uité s'appelle u. x m u = avec m = σ σ = 1 La foctio d'ue loi ormale réduite est : u y = f ( u) = e 2π Par coséquet il 'y a plus qu'ue seule courbe représetative quelque soit m et σ. y être assuré que la variabilité de la fabricatio surveillée 'est due qu'à des causes aléatoires (soumises au hasard) Coditios d'obtetio d'ue distributio ormale 95,44% 99,73% - La gradeur étudiée doit être sous l'ifluece de ombreux facteurs de variatios ou de perturbatios. Ex. : pour les dimesios d'ue pièce mécaique - épaisseur de copeau variable sur des pièces brutes - variatios de T (atmosphère - lubrifiat) - défauts d'homogééité de la matière - défauts de mise e place des pièces et outils - déformatios machies, pièces, porte-pièces, etc... - Chaque cause de perturbatio doit avoir u effet idépedat - Pas d'effet prépodérat d'ue cause par rapport aux autres. u 14/6/25 Page 8 MSP1.doc

9 4. Comparaiso de l'i.t. à la Dispersio du Processus E ayat u risque de rebut de,2 %, la dispersio du processus sera de ± 3,9 σ soit 6,18 σ 4.1. L'IT est iférieur à la dispersio du Processus TI TS REBUT REBUT m 6,18 σ Das ce cas, le procédé de fabricatio e coviet pas. So utilisatio coduit à u rebut systématique. Il faudra doc : - soit chager de processus de productio (machie) - soit l'utiliser e sachat qu'il y aura u certai pourcetage de rebut L'IT est égal à la dispersio du Processus TI m TS 6,18 σ Il 'y a aucu rebut (,2 %) tat qu'il 'y a pas déréglage de la moyee. Tout déréglage etraie u rebut qui est foctio du décalage de la moyee. 14/6/25 Page 9 MSP1.doc

10 4.3. L'IT est supérieur à la dispersio du Processus ( IT > 6, 18 σ ) Des rebuts apparaitrot lorsque: TS m < 3, 9σ vers la tolérace supérieure m TI < 3, 9σ vers la tolérace iférieure O peut cosidérer que le processus est trop précis si la différece IT 6 18, σ est trop élevée, d'où icidece o égligeable sur les coûts de fabricatio. 14/6/25 Page 1 MSP1.doc

11 4.4. Coclusio O peut défiir le coefficiet d'adaptatio du procédé appelé e gééral Cp. TS TI I. T. Cp = = 6,18σ 6, 18σ si IT = 6, 18σ alors Cp = 1 si IT > 6, 18σ alors Cp > 1 si IT < 6, 18σ alors Cp < 1 Pour avoir u processus bie adapté à u usiage, o cosidère que 1,33 < Cp < 2. Si 1 < Cp < 1,33 il est préférable de faire u cotrôle à 1 %. 5. Cartes de Cotrôle 5.1. Risques liés à l'emploi de la carte de Cotrôle Coclure à u déréglage alors qu'il 'e est rie C'est le risque α c'est-à-dire le "risque écoomique" puisqu'il coduit à déclecher ue itervetio iutile. O défiit les limites de cotrôle avec u risque α =,2 ( 2 chaces sur 1 ) Poursuivre ue fabricatio alors qu'u déréglage s'est produit. C'est le risque ß, c'est-à-dire le "risque Qualité", de poursuivre la fabricatio pedat u temps plus ou mois log ( jusqu'à ce qu'ue prochaie statistique calculée viee se situer e dehors des limites de cotrôle ) Courbe d'efficacité Elle doe la probabilité d accepter la fabricatio e cours e foctio du déréglage d α =,2 - La probabilité décroit si d augmete - Pour u déréglage ul d= o a P=,998 puisque le risque α =,2 (,2%) - Pour u certai déréglage d 1 le risque de poursuivre la fabricatio vaut par exemple ß=,1 14/6/25 Page 11 MSP1.doc

12 5.3. Actio sur l'efficacité du cotrôle L'efficacité du cotrôle est foctio : - du choix du type de cotrôle (par mesures ou par attributs) A efficacité égale le cotrôle par mesures demade des échatillos d'effectif beaucoup plus faible ( 5<<12 ). La moyee permet u cotrôle plus efficace que la médiae et l'écart-type que l'étedue. Le cotrôle par attributs fait appel à des istrumets plus simples (calibres, tampos...) et est plus rapide ( 1<<5 ) - du choix de la statistique cotrôlée ( moyee ou médiae - écart-type ou étedue ) - du choix de l'effectif de l'échatillo et de la périodicité des prélèvemets. Probabilité P de e pas déceler le déréglage = Probabilité d'accepter la fabricatio e cours α =,2 N=2 N=1 β (=1) β (=2) < β (=1) β (=2) d Déréglage d Pour u déréglage d doé le risque qualité β augmete si la taille de l'échatillo dimiue Pour u échatillo d'effectif élevé avec de fréquets prélèvemets : - Avatages : - Boe efficacité - Déréglages rapidemets sigalés - Dimiutio des coûts dûs à la écessité de trier la fabricatio - Icovéiets : - Augmetatio du coût direct du cotrôle 5.4. Carte de Cotrôle de la Moyee Observatios A partir d'ue populatio iitiale de moyee m et d'écart-type σ, e prélevat des échatillos d'effectif = 5, o obtiet des moyees x toutes différetes avec u écart-type égal à σ x = σ Puisque x m o peut écrire : σ σ m t < x < m + t ( lorsque la distributio suit ue loi ormale ) Cette relatio est valable pour les grads échatillos quad > 3 Si t = 1,96 o a das l'itervalle Si t = 3,9 o a das l'itervalle m m σ σ 1, 96 ; m + 1, 96 σ σ 3, 9 ; m + 3, 9 95 % des moyees x 99,8 % des moyees x 14/6/25 Page 12 MSP1.doc

13 Taille N Distributio de la populatio ( m, σ ) TI TS m Distributio d u petit échatillo extrait de la populatio ( x, σ ) σ x σ = x Distributio des moyees d échatillos extraits de la populatio ( x, σ ) x ± 1, 96σ x 95% des x ± 3, 9 99, 8% σ x des x Pour k échatillos prélevés : x = x x 1 + x m k + x k 14/6/25 Page 13 MSP1.doc

14 Cartes de Cotrôle Provisoires Leur but est de voir d'abord si le procédé à surveiller est STABLE. Le mode opératoire sera le suivat : Préléver k échatillos ( k=25 ) il faut 1 à 2 valeurs idividuelles Détermier les caractéristiques suivates : - Moyee de chaque échatillo =x i - Etedue de chaque échatillo =W i - Moyee des moyees =x - Moyee des étedues = W Détermier les limites d'ue carte de cotrôle provisoire et représeter les k échatillos sur les cartes x et W. C'est grâce à W qu'o estime la valeur de σ avec σ = W d où d est foctio de Le procédé sera stable si aucu échatillo e dépasse les limites que l'o calculera cidessous. Carte Provisoire de la moyee : LSC = x + A c. W Ex : A c =,594 pour =5 ( voir Aexe A-3 ) LIC = x - A c. W Carte Provisoire de l'étedue : LSC = D c2. W Ex : D c2 = 2,36 D c1 =,16 pour = 5 LIC = D c1. W Si tous les poits sot situés etre les limites ci dessus o peut passer aux limites élargies qui sot détermiées d'après les limites de tolérace Elaboratio de la carte de cotrôle aux limites élargies σ O a vu que la dispersio des moyees a u écart type σ x = CALCUL DES LIMITES DE CONTROLE σ O calcule d abord C c = 3,9σ 3, 9 et l o arrodi cette valeur Limite Supérieure de Cotrôle (LSC) avec risque de rebut de,1 % LSC = TS - C c Limite Iférieure de Cotrôle (LIC) avec risque de rebut de,1 % LIC = TI + C c CALCUL DES LIMITES DE SURVEILLANCE σ O calcule d abord C s = 3,9σ 1, 96 et l o arrodi cette valeur Limite Supérieure de Surveillace (LSS) avec risque de 2,5 % d'avoir des valeurs supérieures à cette limite : LSS = TS C s Limite Iférieure de Surveillace (LIS) avec risque de 2,5 % d'avoir des valeurs iférieures à cette limite : LIS = TI + C s 14/6/25 Page 14 MSP1.doc

15 Si σ 'est pas cou, o peut l'estimer de différetes maières ; o devra cepedat faire attetio à ce que les 5M itervieet: a) à partir d'u prélèvemet de taille > 3. où σ sera l'écart type de l'échatillo. Estimatio de σ = σ 1 b) Si l o a déjà fait les cartes de cotrôle provisoires, o coaît W c) Si l o a k échatillos dot o coaît les écarts-type σ i, o calcule la moyee des écartstype Estimatio de σ = σ i k Utilisatio de la carte de cotrôle de la moyee E cours de productio, o prélève périodiquemet (Ex. : toutes les heures ) u échatillo de taille. O calcule x et o reporte cette valeur sur la carte. Différets cas peuvet se préseter : 1 ) Poit etre LIS et LSS Le processus est correctemet réglé. 2 ) Poit etre LIS et LIC ou etre LSS et LSC. Cela veut dire qu'il y a 97,5% de chace de déréglage puisque les limites de surveillace ot été calculées à partir d'u risque de 2,5%. O prélève alors immédiatemet u autre échatillo. Si celui-ci cofirme le précédet, o procède à u règlage immédiat. Si le ouveau poit se trouve etre LIS et LSS, o cosidère que le processus est bie réglé. E appelat respectivemet a et b les deux évéemets coduisat au dépassemet des limites de surveillace, la probabilité résultate de déréglage peut être exprimée par l'expressio suivate : P( a+ b) = Pa + Pb P( a. b) = Il y a doc mois de 1 chace sur 1 de procéder à u réglage par erreur. 3 ) Poit au-delà de LIC ou de LSC. Cela veut dire qu'il y a 99,9% de chace de déréglage puisque les limites de cotrôle ot été calculées à partir d'u risque de,1%. O arrête la fabricatio et o procède au réglage. Il y a doc 1 chace sur 1 de procéder à u réglage par erreur. CARTE x LSS (2a) (2b) (3) LSC LIS (1) LIC 14/6/25 Page 15 MSP1.doc

16 Applicatio à u système de surveillace (KOMEG) Ce gere de système calcule automatiquemet les statistiques x, σ et dresse les cartes de cotrôle. Il calcule automatiquemet la valeur Cp = IT / 6, 18σ et peut doer différets types d'alerte Alerte Middle Third ou Tiers Média L'avertissemet "Middle Third" est décleché lorsque mois de 4 % ou plus de 9 % des 25 derières moyees se situet das le tiers média de la plage de cotrôle. Le dépassemet vers le bas de la valeur 4 % reflète ue distributio trop large. Le dépassemet de 9 % pourrait idiquer u mauvais foctioemet ou ue mauvaise etrée des limites de cotrôle Valeur Cpk La valeur Cpk défiit la positio du processus par rapport à la limite de tolérace.o l'appelle aussi idicateur de décetrage. Elle se calcule à partir des 25 derières moyees et doit être supérieure à 1. Le calcul s'effectue toujours par rapport à la limite de tolérace supérieure et iférieure. Le résultat le plus faible est affiché. Des toléraces limitées à u seul côté (par exemple des battemets) sot prises e compte e coséquece. 14/6/25 Page 16 MSP1.doc

17 Cpk par rapport à la limite de tolérace supérieure : TS x Cpk = si x > Cote moyee avec x = 3, 9σ moyee des 25 derières moyees. Cpk par rapport à la limite de tolérace iférieure : x TI Cpk = si x < Cote moyee 3, 9σ TS + TI Pour qu'u procédé soit cetré il faut : x = 2 = Cote moyee Calculos alors Cpk à partir de l ue ou l autre des relatios: TS + TI TS TS x 2 2TS TS TI TS TI IT Cpk = = = = = 3,9σ 3,9σ 6,18σ 6,18σ 6, 18σ O costate que Cpk doit être égal à Cp pour que le processus soit cetré Alerte Tred ou Tedace O parle d'ue "tedace" lorsque 7 moyees successives de la carte de cotrôle de la qualité présetet ue tedace iiterrompue vers le plus ou vers le mois Alerte Ru ou Suite O parle d'ue "suite" lorsque 7 moyees successives de la carte de la carte de cotrôle de la qualité se situet toutes d'u côté de la plage de cotrôle. 14/6/25 Page 17 MSP1.doc

18 Exemple de carte de cotrôle 14/6/25 Page 18 MSP1.doc

19 5.5. Carte de Cotrôle de l'écart-type Cas des Petits Echatillos Das u cotrôle e cours de fabricatio, o prélève gééralemet de petits échatillos. Par coséquet, o e traitera pas le cas des grads échatillos. La distributio des écarts-types 'obéit plus à ue loi ormale mais à la loi du Khi deux ( χ 2 ) à ν = 1 degrés de liberté. p 2 σσ O forme le rapport χ = 2 σ 2 χ² Pour u échatillo de taille, la table du χ 2 doe les valeurs du χ 2 ayat la probabilité p d'être dépassées. O peut aisi calculer la limite supérieure de cotrôle avec p =,1 (seuil de,1 %) et la limite supérieure de surveillace avec p =,25 (seuil de 2,5 %). 2 χ σσ = σ 1. Ex: Das ue populatio où σ a été estimé à,2 mm, o prélève des échatillos de taille = ν = -1 =9 Détermiatio de LSS : Table χ 2 s = 19,2 pour p =,25 d'où σ σ = 19,2. σ = 1, 379σ 1 d'où LSS = 1,379 x,2 =,28 mm Détermiatio de LSC : Table χ 2 c = 27,88 pour p =,1 d'où σ σ = 27,88. σ = 1, 67σ 1 d'où LSC = 1,67 x,2 =,33 mm 14/6/25 Page 19 MSP1.doc

20 6. Exercice d'applicatio Soit 3 pièces qui ot été usiées sur u tour et qui ot les diamètres suivats : pour N 1 à pour N 6 à pour N 11 à pour N 16 à pour N 21 à pour N 26 à 3 a) O vous demade de détermier la moyee et l'écart-type de cet échatillo. Estimer l'écarttype de la populatio et calculer esuite les limites de surveillace et de cotrôle des cartes de cotrôle de la moyee et de l'écart-type e vue de fabriquer des arbres de diamètre 2 h7 (2. 21 ). O cosidèrera que la taille des prélèvemets sera de 5 pièces. Calculer Cp et Cpk. Tracer la distributio puis placer TS et TI. Calculer le pourcetage de rebut théorique et le comparer au pourcetage réel. b) Tracer l'évolutio de la dimesio e foctio du uméro d'ordre d'usiage. E supposat ue évolutio liéaire de la dimesio e foctio du uméro d'ordre d'usiage, o a détermié la droite des moidres carrés : y = x avec le coefficiet de corrélatio r 2 =.764 Représetez cette droite sur u graphe et calculer : la variatio de dimesio d'ue pièce due à l'usure de l'outil. la variatio totale de dimesio des pièces due à l'usure de l'outil. c) Représetez l'écart etre la dimesio et le modèle liéaire. Ceci motre l'évolutio de la partie aléatoire de la dimesio e foctio du uméro d'ordre d'usiage. L'écart e i sera calculé par : e i = y i - ax i - b Doer l'étedue des écarts e i d) Répartir les écarts e i das 6 classes différetes et tracer l'histogramme. Calculer les fréqueces et fréqueces cumulées et tracer la droite de Hery. e) E supposat que l'o puisse chager l'i.t. de la pièce qui serait ameé à 2. 21, recalculez les limites supérieures aisi que le coefficiet d'adaptatio machie. E cosidérat les 3 pièces de l'échatillo comme les premières d'ue série, quel serait le ombre de pièces N réalisées, e cosidérat u risque de.1 %, avat que la limite supérieure de cotrôle e soit dépassée sas aucu réglage. f) E supposat pour les N pièces ue durée effective d'usiage de 5 m, combie de pièces peut-o réaliser avec la même arête e supposat ue durée de vie d'arête de 15 m La solutio de l exercice se trouve das le fichier MSP2.pdf 14/6/25 Page 2 MSP1.doc