Calcul de l unité astronomique Lors du transit de Vénus

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1 TP 8 Calcul de l unté astronomque Lors du transt de Vénus Nveau A partr du CM Evaluaton de l Unté Astronomque à partr de l observaton du transt de Vénus. -Propostons pédagogques Les propostons exposées c-dessous concernent les clubs, les Travaux Personnels Encadrés (TPE), les Itnérares de Découverte (IDD) et autres structures nterdscplnares : en effet, n le passage de Vénus, n l astronome, n la mesure des dstances dans le système solare ne fgurent aux programmes des classes. Le passage de Vénus du 8 un 2004 offre la possblté d anmer la fn de l année scolare en donnant une belle occason de vster un observatore. (Attenton : les canddats seront nombreux!) Meux encore : l peut être prétexte à créer un club d astronome dans le cadre d un proet d établssement en vue de réalser la proecton de l événement dans la cour, en utlsant par exemple le solarscope qu permet d observer le transt et les taches solares sans danger, même avec des eunes enfants. Cependant, le plus ntéressant serat que les élèves mesurent à partr de leurs propres observatons la dstance Terre-Solel : le eu étant alors de comparer leur résultat avec cette grandeur connue déà avec la melleure précson. Même les élèves des pettes classes peuvent partcper : une telle réusste déclencherat à n en pas douter chez certans un vértable engouement pour les études scentfques et hstorques. - Le passage de Vénus Le Mard 8 Jun 2004, entre envron 5 h 30 et 11h 15 (en temps unversel), la planète Vénus traversera le dsque solare. Un tel phénomène ne se produt que tous les 120 ans envron, par pare de deux passages séparés de 8 ans. Le derner passage eut leu le 6 Décembre Le vngtème sècle ne vt amas ce phénomène. Le vngt et unème en verra deux : celu de 2004 vsble du Japon aux Açores et de l Antarctque aux Kerguelen, donc de toute l Eurase, et un second et derner en 2012 vsble prncpalement autour du Pacfque. Auss, la rareté de l évènement entraînera une forte médatsaton, équvalente à celle qu entraîne une éclpse totale de Solel, s on se fonde sur le succès obtenu par l éclpse de Solel du 11 Août Que va-t-on observer? Les passages ou transts devant le Solel sont de même nature que les éclpses, mas on n observe pas la dsparton totale de l astre passant dans l ombre de l autre. Ils sont provoqués par une planète stuée entre l orbte de la Terre et du Solel, c est à dre Mercure ou Vénus, et vues de la Terre sous un angle beaucoup plus pett que la Lune ou le Solel. En effet, quand on regarde le cel nocturne, les planètes (nous avons observé Mars cet été!) nous apparassent de talle peu dfférentes de celle des étoles. Lorsque Vénus ou Mercure s nterposent entre le Solel et nous, cela forme sur le dsque solare une pette tache ben ronde, à contraro des taches solares aux contours rrégulers. Sans nstrument, le phénomène passe naperçu car la basse de lumnosté est nfme. Ces passages sont donc restés nconnus usqu à leur découverte par Johannes Képler ( ) au XVII e sècle, découverte qu l ft d alleurs par les calculs et non pas par l observaton. Au nveau du Solarscope, on observera donc le Solel formant une mage de 122 mm de damètre, sur laquelle une tache nore de 3,7 mm se déplacera pendant près de 6 heures suvant une traectore qu sera foncton du leu d observaton. Il se trouve que le 7 Ma derner, la planète Mercure est auss passée devant le Solel, phénomène mons spectaculare et plus fréquent que le passage de

2 Vénus. Mercure a fat une toute pette tache ben vsble sur le dsque solare (à l ade d un nstrument) : 13 secondes d arc*, à comparer aux 1900 secondes du damètre solare sot 1/50 ème du damètre solare c est tout pett! Vénus représente 58 secondes d arc, sot envron 1/30 ème du damètre solare Lors de son passage, Mercure format une mage ben vsble de 0.8 mm sur l écran du Solarscope. * 1 degré d angle représente 60 mnutes d arc et 3600 secondes d arc Photographe (rare) du passage de Aspect attendu du dsque solare pendant le passage de Vénus. Aucune personne vvante n a l expérence d une telle observaton pusque les passages de Vénus ne se reprodusent que tous les 120 ans par couple de deux séparés de 8 ans. - Pourquo l est mportant d observer ce transt? La dstance moyenne de la Terre au Solel, ou dem grand axe de l orbte terrestre, revêt une telle mportance qu on lu a donné le nom «d Unté Astronomque» (ou UA) car elle est l unté d arpentage du système solare et de l unvers enter. 1 U.A. = km. Pendant longtemps, la valeur de l UA fut nconnue. Les observatons de Tycho Brahé ( ), explotées par Johannnes Kepler dans le cadre de l hélocentrsme de Copernc, ont perms de raccorder entre elles les dmensons des orbtes à partr des pérodes de révoluton observées (trosème lo de Kepler : les cubes des grands axes des ellpses sont dans le rapport des carrés des pérodes). Mas toutes ces observatons ne portant que sur des mesures angulares, c est à dre sur le repérage des drectons mas sans échelle en profondeur, ne permettaent pas de connaître la valeur de l UA, donc la dstance Terre- Solel. Celle-c est désormas ben connue (mesures radar), mas le prochan passage de Vénus (8 un 2004) est l occason de revvre un des grands et premers moments de la coopératon scentfque nternatonale en nvtant les dfférents observateurs à échanger leurs résultats pour accéder par eux mêmes à la valeur de l Unté Astronomque. Ans : «seul observe sans plus un phénomène rare, s échange avec d autres, e mesure l Unvers». - Pourquo le phénomène est-l s rare? S le plan de l orbte de la Terre état le même que ceux des planètes Vénus ou Mercure, l y aurat un transt à chacune de leurs cononctons nféreures (vor fgure c-après). Or, l n en est ren, leurs plans étant nclnés par rapport à l éclptque : l algnement n a donc leu que

3 lorsque la Terre et l une de ces planètes se trouvent smultanément sur la lgne des nœuds, cas llustré c-après pour Vénus 1. - Que va-t-on mesurer? Il est mportant de savor que la dstance Terre-Solel obtenue à l ssue des observatons ne sera pas d une extrême précson (lassons cela aux astronomes!). Mas, le fat d avor su calculer cette dstance à partr d échanges entre dvers observateurs, en ayant appréhendé la méthode et ses approxmatons est essentel. Le problème est fort complexe s on souhate le trater dans toute sa rgueur. Il exste une soluton exacte, sur le ste de l IMCCE et rédgée par M. Rocher, sur laquelle les férus d astronome peuvent se pencher. Le mouvement étudé n est autre que celu d un effet de perspectve avec mouvement : Je sus, avec un(e) am(e), en TGV en plene vtesse et nous regardons par la fenêtre une voture qu va dans le même sens que nous (mons vte, on espère). Mas volà, ça se complque, car l s agt d un effet de perspectve dans un TGV à deux étages et les passagers (l am(e) et mo-même)sommes asss sur des sèges pvotants à un étage et dans un wagon dfférents Mas revenons à nos planètes. Quand Vénus, passant entre la Terre et le Solel, se proette sur le dsque solare, elle se trouve assez proche de la Terre pour que deux observateurs ne voent pas la même dsposton. Cet effet de perspectve, dt auss de «parallaxe» dans le langage des astronomes, fut proposé en 1716 par l astronome anglas Edmund Halley pour mesurer la dstance de la Terre au Solel. Edmund Halley ( ) est célèbre pour avor annoncé le retour de la comète qu porte désormas son nom. 1 La pérode synodque de Mercure est envron 116 ours et celle de Vénus 584 ours. Mas les passages sont plus rares : en un sècle, l y a au maxmum treze de Mercure et deux de Vénus.

4 Fgure 1-Les observateurs O1 et O2 ne voent pas la planète Vénus se proeter au même endrot sur le dsque solare. Cet effet de perspectve va permettre la mesure de la dstance de la Terre au Solel pour peu que les observateurs, connassant leur poston sur la Terre (de rayon ben connu) échangent les résultats de leurs observatons. (Sur ce schéma de prncpe, les dmensons respectves des obets ont étés modfées pour explcter le phénomène.) Il s agt de relever avec la précson de quelques secondes de temps les nstants des contacts ntéreurs, c'est-à-dre les nstants 2 et 3 sur la fgure c-dessous. Ans, chaque observateur notera ces nstants avec la précson de la seconde, ben que la percepton de l nstant réel sot ncertane en rason du phénomène de la goutte nore découvert par les observateurs au cours des passages de 1761 et 1769, confrmé par les observatons de 1874 et Au beson, l décrra les aspects successfs qu l observera en notant ses commentares. Une prse de vue photographque datée amélorera sûrement la fablté d une telle observaton, mas les commentares écrts ou enregstrés peuvent être d un grand ntérêt pour l nterprétaton ultéreure des résultats. Fgure 2-1 et 4 sont les contactes extéreurs ; ls ne sont pas datables avec précson 2. On pourra peut être les dater s on utlse une sére d mages datées enregstrées au vosnage de ces transtons. 2 et 3 sont les contactes nternes, observables, mas de dataton précse délcate en rason du phénomène de la «goutte nore». L mage apparente de Vénus est légèrement déformée uste au moment où celle-c est en contact avec le dsque solare. - Calcul de l U.A. 2 Pour l entrée, dès qu on perçot que Vénus empète sur le dsque solare, le contact est déà dépassé. Pour la sorte, on pourrat fare peut-être meux car on sut l évoluton de la dsparton alors que pour l entrée, on ne sat pas forcément où observer exactement pour percevor mmédatement le début du phénomène.

5 Il exste deux méthodes pour calculer l U.A. Méthode de Joseph-Ncolas Delsle ( ) Sot t la date de l un des contactes que vous avez observé et sot t celle donnée, pour ce même contact, par un autre observateur élogné. t et t seront dfférentes, ce qu n est pas un prétexte pour s nurer! Ben au contrare. L effet de perspectve qu entraîne cette dfférence va vous permettre de calculer la dstance a de la Terre au Solel au moment du passage, à condton que vous connassez votre poston et celle de votre correspondant (lattude λ et longtude φ, λ ' et φ ' pour votre correspondant). L effet de perspectve qu serat assez smple à exprmer pour des observateurs qu seraent sur une Terre sans rotaton durne, se complque en rason de cette rotaton. Le détal du calcul qu établt les formules qu vont suvre n est pas nécessare à l applcaton de la méthode. On en trouvera la ustfcaton en annexe pour ceux qu désreraent aller plus lon dans la compréhenson géométrco-cnématque du passage. Il se trouve que, moyennant quelques approxmatons qu n altèrent pas la précson du résultat plus gravement que les ncerttudes nhérentes à la mesure de t et de t, on peut séparer la contrbuton du déplacement apparent du centre de Vénus vu du centre de la Terre (ou géocentrque) de l effet de poston sur le globe terrestre. Pour deux observateurs notés et, la dfférence des dates pour un même passage condut à la valeur de l UA selon la formule : RT UA = t t 1 a / b 1 { A[ cosφ cos λ cosφ cos λ ] + B[ cosφ sn λ cosφ sn λ ] + C[ snφ snφ ]} t et t sont les dates notées par chaque observateur et les coordonnées de chacun sont affectées de l ndce correspondant. On ne connaît n a n b, mas le rapport a/b =1,382 résulte de la trosème lo de Kepler dans l approxmaton des orbtes crculares (a/b=1,398 s on tent compte des ellptctés des orbtes et de l orentaton des grands axes par rapport à la lgne des nœuds). Enfn R T = 6364km est le rayon moyen de la Terre. Les constantes A, B et C sont données par la poston relatve des planètes au moment du contact consdéré. Le calcul en est assez lourd, mas ne requert pas la connassance de a ; seulement du rapport des rayons des orbtes et des vtesses angulares des planètes sur leur orbte dont l nclnason relatve est connue. On donne pour A, B et C les valeurs suvantes (en mllons de secondes de temps) pour le passage du 8 Jun 2004 : Contact 1 contact 2 contact 3 contact 4 A 3,624 3,699 1,810 1,544 B 0,062-0,343-1,926-2,155 C 1,635 1,901-3,230-2,964