Cours de calcul stochastique Master M2 IRFA

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1 1 Cours de calcul stochastique Master M2 IRFA Christophe Chorro Septembre 26 $!!!$!!&!!(!!*!!#!!!#$!!#&!!"!!"#!"$!"%!"&!"'!"(!")!"*!"+ #"! #"# Les évetuelles fautes d orthographe, coquilles ou erreurs sot de mo etière resposabilité, merci de me les sigaler. Vous pouvez me cotacter à l adresse [email protected] pour toute remarque sur le coteu et l orgaisatio de ce cours.

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3 Table des matières.1 Gééralités Défiitio Notio d idépedace Evéemets Tribu Variables aléatoires Covergece des variables aléatoires Vecteurs gaussies Notio d espérace coditioelle Coditioemet par rapport à u évéemet Coditioemet par rapport à ue variable aléatoire discrète Coditioemet par rapport à ue tribu Coditioemet par rapport à ue variable aléatoire Loi coditioelle Propriétés de l espérace coditioelle Espérace coditioelle et vecteurs gaussies Processus stochastiques Gééralités Filtratios, processus adaptés Processus gaussies Martigales e temps cotiu Théorème de Rado Nikodym Bibliographie Le mouvemet Browie U peu d histoire Défiitio, existece, simulatio Défiitio Existece, costructio, simulatio Propriétes Propriétés de martigale Trasformatios Propriétés trajectorielles

4 4 TABLE DES MATIÈRES Variatio et variatio quadratique Caractère Markovie Le mouvemet browie géométrique Itégrale de Wieer Formule d Itô pour le M.B Applicatios de l itégrale de Wieer L itégrale stochastique, les processus d Itô Itégrale stochastique sur E([, T ] Ω) Défiitio Propriétés Extesio à L 2 prog(ω [, T ]) Processus d Itô Calcul d Itô étedu Equatios différetielles stochastiques (EDS) Le cas du Browie géométrique Le cas gééral Propriété de Markov des solutios Commet simuler ue EDS (u premier pas) Deux résultats importats Théorème de Girsaov Théorème de représetatio des martigales Browiees Applicatios à la fiace (cadre gééral) Petite itroductio U peu d histoire De l itégrale stochastique? Le calcul stochastique : ue ouvelle mai ivisible? Modélisatio d u marché fiacier e temps cotiu Les actifs présets sur le marché Stratégies fiacières Autofiacemet Arbitrages Mesures martigales équivaletes (MME) Les actifs cotigets Pla d attaque et objectifs Modèle de Black et Scholes Le modèle Dyamique de l actif risqué Existece d ue MME

5 TABLE DES MATIÈRES Les stratégies fiacières P admissibles Défiitio P -complétude du marché A.O.A parmi les stratégies P admissibles Uicité de la probabilité risque eutre Proposer u prix, se couvrir Evaluatio et couverture das le cas où h = f(s T ) Formule de Black et Scholes Les Grecques Défiitio Cas où le payoff est le la forme h = f(s T ) Itérêt pratique du et du Γ Black et Scholes e pratique Spécificatio de σ Prix et couverture Calcul du prix, du et du Γ Spledeurs et misères du modèle de Black et Scholes Avatages Limites

6 6 TABLE DES MATIÈRES

7 Rappels de probabilités Ce chapitre e costitue pas u cours élémetaire de probabilité mais cherche à regrouper modestemet certaies otios essetielles qui ous serot idispesables pour la suite. Nous revoyos, par exemple, le lecteur à [1] et [2] pour u exposé bie plus complet. d N, o ote B(R d ) la tribu boréliee sur R d, <, > le produit scalaire aturel sur R d et dx la mesure de Lebesgue sur R d..1 Gééralités.1.1 Défiitio Soit (Ω, A, P ) u espace de probabilité. Défiitio.1.1 Ue variable aléatoire est ue applicatio X : (Ω, A, P ) R d vérifiat E B(R d ), X 1 (E) A. Remarque.1.1 a) Il existe ue tribu aturelle sur Ω redat X mesurable. Cette tribu est otée σ(x) = {X 1 (E); E B(R d )} et est miimale au ses de l iclusio. O peut motrer (exercice) que toute variable aléatoire σ(x) mesurable est de la forme h(x) où h est boréliee. b) La otio de mesurabilité est stable par les opératios élémetaires et par passage à la limite. Lorsque Ω est u espace topologique équipé de sa tribu boréliee, la cotiuité implique la mesurabilité. Défiitio.1.2 Pour A Ω, o ote 1 A la foctio vérifiat 1 A (x) = 1 si x A et 1 A (x) = si x A c. Si A A, 1 A est mesurable et das ce cas σ(a) = {Ω,, A, A c }. Ue variable aléatoire peut trasporter la structure probabiliste : Propositio.1.1 Si X : (Ω, A, P ) R d est ue variable aléatoire, l applicatio P X : B(R d ) R + défiie, E B(R d ), par P X (E) = P (X 1 (E)) est ue probabilité sur (R d, B(R d )) appelée la loi de X. 7

8 8 TABLE DES MATIÈRES Défiitio.1.3 O dit qu ue variable aléatoire possède u momet d ordre p N ssi la quatité E[ X p ] = x p dp X (x) R d est fiie. Pour p N, o ote L p = {X; E[ X p ] < } et si X L p, X p = E[ X p ] 1 p. Notos que (L p, X p ) est complet (car toute série absolumet covergete est covergete). Exemple.1.1 Lorsque d = 1, o dit qu ue variable aléatoire suit ue loi ormale de moyee m et de variace σ 2 (otée N (m, σ 2 )) si P X est absolumet cotiue par rapport à dx et si dp X (x) = 1 e (x m)2 2σ 2 dx. 2πσ 2 Das ce cas, X possède des momets de tout ordre, e particulier, E[X] = m et V ar(x) = E[(X E[X]) 2 ] = σ 2. Exercice.1.1 Soit X ue variable aléatoire suivat ue N (, σ 2 ). Motrer que k N, E[X 2k ] = (2k)! 2 k k! σ2k. O a le théorème de caractérisatio suivat : Théorème.1.1 a) La foctio caractéristique Φ X : t R d E[e i<t,x> ] C caractérise la loi de X. b) Si d = 1, la loi de X est caractérisée par la foctio de répartitio F X : t R P (X t) R +. Exemple.1.2 Si X suit ue N (m, σ 2 ), alors Φ X (t) = e itm e σ2 t Notio d idépedace.2.1 Evéemets Défiitio.2.1 Deux évéemets A et B (das A) sot dits idépedats si P (A B) = P (A)P (B). O ote alors A B (cette otatio géérique sera utilisée égalemet pour les tribus et les variables aléatoires). Défiitio.2.2 Des évéemets (A i ) 1 i sot idépedats si P ( i I A i ) = P (A i ), I {1,..., }. i I

9 .2. NOTION D INDÉPENDANCE 9 Remarque.2.1 Attetio, des évéemets 2 à 2 idépedats e sot pas forcémet idépedats. E effet si o jette deux pièces équilibrées o peut motrer que le évéemets A= la première pièce tombe sur pile B= la deuxième pièce tombe sur face C= les deux pièces tombet du même coté sot idépedats 2 à 2 mais o idépedats..2.2 Tribu Défiitio.2.3 Des sous tribus (A i ) 1 i de A, sot idépedates si P ( 1 i A i ) = P (A i ), A i A i. 1 i.2.3 Variables aléatoires Défiitio.2.4 Les variables aléatoires (X i ) 1 i sot idépedates si les tribus associées (σ(x i )) 1 i sot idépedates. O a alors le théorème de caractérisatio suivat, éocé pour simplifier les choses das le cas d = 1. Théorème.2.1 Les propositios suivates sot équivaletes : a) X 1 X 2 b) P (X1,X 2 ) = P X1 P X2 c) f, g C b (R, R), E[f(X 1 )g(x 2 )] = E[f(X 1 )]E[g(X 2 )] d) Φ (X1,X 2 ) = Φ X1 Φ X2 Propositio.2.1 Si X 1 et X 2 sot deux variables aléatoires réelles idépedates alors V ar(x 1 +X 2 ) = V ar(x 1 )+V ar(x 2 ) et E[X 1 X 2 ] = E[X 1 ]E[X 2 ]. La derière relatio sigifie que deux variables idépedates sot décoréllées, la réciproque est cepedat fausse e gééral ( predre X 1 = X, X 2 = X 2 avec X symétrique). Le lecteur pourra se reporter au paragraphe sur les vecteurs gaussies pour plus de détails. Propositio.2.2 Si X 1 et X 2 sot deux variables aléatoires dot la loi cojoite possède ue desité, alors, X 1 et X 2 sot idépedates ssi la desité de la loi cojoite est égale au produit des desités margiales. Exercice.2.1 (Méthode de Box-Muller) O cosidère deux variables aléatoires U 1 et U 2 idépedates suivat ue loi uiforme sur [, 1]. Motrer que les variables G 1 = 2log(U 1 )cos(2πu 2 ) et G 2 = 2log(U 1 )si(2πu 2 )

10 1 TABLE DES MATIÈRES sot deux N (, 1) idépedates. Correctio de l exercice : Soit Φ : (x, y) ], 1[ 2 (u = 2log(x)cos(2πy), v = 2log(x)si(2πy)) R 2 (R + {}). O motre que Φ est u C 1 -difféomorphisme et so détermiat jacobie vérifie 2π e u 2 +v 2 J(Φ)(x, y) = 2π. Or x u2 +v 2 = 2log(x) aisi J(Φ 1 )(u, v) = 1 2. D après la formule de chagemet de variables, pour F C b (R 2, R 2 ), F (Φ(x, y))dxdy = F (u, v) 1 u 2 +v 2 ],1[ 2 R 2 (R + {}) 2π e 2 dudv. Simulatio.2.4 Covergece des variables aléatoires Modes et critères de covergece Pour simplifier les choses o se place das le cas d = 1. Lemme.2.1 (Borel-Catelli) Soit (A ) N ue suite d élémets de A. a) Si + P (A ) <, alors =1 P ({ω Ω; ω A pour ue ifiité de }) =. b) Si les A sot idépedats avec + P (A ) = +, alors, =1 P ({ω Ω; ω A pour ue ifiité de }) = 1. Défiitio.2.5 O dit qu ue suite (X ) de variables aléatoires coverge presque sûremet vers X (X p.s X) si P ({w ω; X (ω) X(ω)}) = 1 Propositio.2.3 E utilisat B.C, o motre que X p.s X si ε >, + =1 P ( X X > ε) <.

11 .2. NOTION D INDÉPENDANCE 11 Lemme.2.2 Iégalités classiques : a) (Tchebychev) Si X L p, λ >, P ( X > λ) 1 λ p E[ X p ]. b) (Holder) Si X L p, Y L q avec p q ab ap + bq...), p q = 1, alors (par cocavité du log E[ XY ] X p Y q. Coséquece, les espaces L p sot emboîtés. c) (Mikowsky) Si X L p, Y L p (par covexité de x p + ruse...) X + Y p X p Y p. Défiitio.2.6 O dit qu ue suite (X ) de variables aléatoires das L p coverge vers X das L p (X X) si L p X X p. Défiitio.2.7 O dit qu ue suite (X ) de variables aléatoires coverge vers X e probabilité (X p X) si ε > P ( X X > ε). Défiitio.2.8 O dit qu ue suite (X ) de variables aléatoires coverge vers X e loi (X X) si f C b (R, R), L E[f(X ] E[f(X)]. Propositio.2.4 Les propositios suivates sot équivaletes. a) X L X b) F X coverge simplemet vers F X e tout poit où F X est cotiue (d = 1) c) Φ X coverge simplemet vers Φ X Exercice.2.2 Soit (G ) ue suite de variables aléatoires gaussiees qui coverge vers G das L 2. Motrer que G est gaussiee.

12 12 TABLE DES MATIÈRES Comparaiso des modes de covergece Propositio.2.5 a) X X X p.s p b) X X X X L 1 p c) X X X X p L d) Si q p, X L q X X L p X X Preuve a) Se déduit de la propositio.2.3. b) Se déduit de l iégalité de Tchebychev. c) Soit f C b (R, R) et ε >, E[f(X )] E[f(X)] E[ f(x ) f(x) 1 X X >ε]+e[ f(x ) f(x) 1 X X ε]. Or E[ f(x ) f(x) 1 X X >ε] cstep ( X X > ε). Soit g C K (R, R) telle que f g ε, E[ f(x ) f(x) 1 X X ε] 2ε + E[ g(x ) g(x) 1 X X ε]. La foctio g état uiformémet cotiue, η > tel que aisi, x y η g(x) g(y) ε, E[ g(x ) g(x) 1 X X ε] ε + cstep ( X X η) avec P ( X X η). d) Se déduit de l iégalité de Holder. Remarque.2.2 a) Toutes les autres implicatios sot fausses e gééral. b) Seule la covergece p.s autorise l habituelle stabilité algébrique des covergeces. Aisi, le seul moye de e pas se tromper est de reveir aux défiitios. (cotre-exemple X = X où X est symétrique X coverge e loi vers X et X X coverge e loi vers 2X). Les résultats suivats sot des réciproques partielles de la propositio.2.5. Défiitio.2.9 Ue famille {X i ; i I} de variables aléatoires das L 1 est dite uiformémet itégrable (U.I) si supe[ X i 1 Xi >]. i I

13 .3. VECTEURS GAUSSIENS 13 Exemple.2.1 a) Si I est fii alors {X i ; i I} est U.I. b) Si Y L 1 telle que i I X i Y, {X i ; i I} est U.I. Théorème.2.2 Si X p X et si la suite (X ) est U.I, alors, X L 1 et X L 1 X. Le résultat suivat est ue coséquece immédiate du critère.2.3. Théorème.2.3 Si X p X. X, alors il existe ue extractio φ telle que X φ() p.s Théorème.2.4 Si X L c, où c est ue costate alors X p c. Deux résultats importats Théorème.2.5 (LFGN) Soit (X ) ue suite de variables aléatoires i.i.d. a) O suppose X L 1. E otat S = X X, o a S E[X 1 ]. p.s et L 1 b) Si E[ X 1 ] = + la suite S diverge presque sûremet. Théorème.2.6 (TCL) Soit (X ) ue suite de variables aléatoires i.i.d. O suppose X L 2 et l o ote m = E[X] et σ 2 = V ar(x). E posat S = X X, o a S m σ L N (, 1). Simulatio.3 Vecteurs gaussies Les variables aléatoires réelles gaussiees (N (m, σ 2 )) ot été itroduites das l exemple.1.1. E dimesio supérieure, la gééralisatio de cette otio coduit au cocept de vecteurs gaussies. Défiitio.3.1 Soit X = (X 1,..., X ) u vecteur aléatoire de R. O dit que X est u vecteur gaussie, si pour tout élémet x = (x 1,..., x ) de R, la variable aléatoire réelle < x, X > est ue variable gaussiee.

14 14 TABLE DES MATIÈRES Exemple.3.1 Si (X 1,..., X ) sot des variables aléatoires gaussiees idépedates, alors, X = (X 1,..., X ) est u vecteur gaussie. Comme e dimesio 1, la loi d u vecteur gaussie est caractérisée par deux paramètres : Propositio.3.1 Si X est u vecteur gaussie de R alors, x R, Φ X (x) = e i<x,m> e xt Σx 2 où et m = (E[X 1 ],..., E[X ]) Σ = [cov(x i, X j )] 1 i,j. Das ce cas o dira que X suit ue N (m, Σ). Corollaire.3.1 (cf. prop.2.1 ) Si X = (X 1, X 2 ) est u vecteur gaussie de R 2 alors X 1 X 2 cov(x 1, X 2 ) =. Exercice.3.1 Soit (Z, X 1,..., X ) u vecteur gaussie tel que 1 i, Z X i. Motrer que Z (X 1,..., X ). Exercice.3.2 Soiet G = (G 1,..., G ) u -échatillo de la loi N (, 1), m R et A ue matrice carré de taille. Motrer que m + AG suit ue N (m, AA t ). Proposer esuite u algorithme de simulatio d u vecteur gaussie quelcoque (cf. exercice.2.1). Propositio.3.2 Si X suit ue N (m, Σ) et si Σ est iversible, alors, X est absolumet cotiue par rapport à la mesure de Lebesgue sur R de desité 1 e 1 (2π) 2 (det(σ)) 1 2 (x m)t Σ 1 (x m). 2 Si Σ est pas iversible, la loi de X est portée par u hyperpla et est doc étragère à la mesure de Lebesgue.

15 .4. NOTION D ESPÉRANCE CONDITIONNELLE 15.4 Notio d espérace coditioelle.4.1 Coditioemet par rapport à u évéemet Soiet A et B das A avec P (B) >. O défiit De même si X L 1, o défiit P (A B) =: P (A B). P (B) E[X B] =: E[X1 B]. P [B].4.2 Coditioemet par rapport à ue variable aléatoire discrète Soit Y ue variable aléatoire discrète (de support D au plus déombrable). O suppose que y D, P (Y = y) >. Soit A das A, o défiit P (A Y ) =: φ(y ) où y D, φ(y) = P (A {Y = y}). De même si X L 1, o défiit E[X Y ] =: ψ(y ) où y D, ψ(y) = E[X Y = y]. Il est importat de oter que P (A Y ) et E[X Y ] sot des variables aléatoires. Remarque.4.1 : O voit immédiatemet que la défiitio ci-dessus est propre au cas discret, e effet, lorsque Y est ue variable aléatoire de loi absolumet cotiue par rapport à la mesure de Lebesgue P (Y = y) =. Il vaut mieux alors gééraliser, la otio de coditioemet par rapport à u évéemet au cas des tribus..4.3 Coditioemet par rapport à ue tribu Soit (Ω, A, P ) u espace de probabilité, X ue variable aléatoire das L 1 et G ue sous tribu de A. Défiitio.4.1 (Théorème) Il existe ue variable aléatoire Z L 1 telle que i) Z est G-mesurable ii) E[XU] = E[ZU] U G-mesurable et borée. Z est otée E[X G] et est appelée l espérace coditioelle de X sachat G. De plus, Z est uique au ses où si Z vérifie égalemet i) et ii) alors Z = Z P p.s.

16 16 TABLE DES MATIÈRES Remarque.4.2 : Le résultat d existece précédet est basé sur le puissat théorème de Rado-Nikodym (paragraphe.6). Das le cas où X L 2, l existece de Z peut se démotrer simplemet à l aide de techiques hilbertiees. E effet, e cosidérat la projectio orthogoale Π de L 2 ((Ω, A, P )) sur le covexe fermé L 2 ((Ω, G, P )) o motre facilemet que Π(X) = E[X G]. E[X G] est doc la variable aléatoire G-mesurable la plus proche de X..4.4 Coditioemet par rapport à ue variable aléatoire Soit Y ue variable aléatoire. Défiitio.4.2 Si X L 1 o défiit E[X Y ] par E[X σ(y )]. Aisi d après la remarque.1.1, E[X Y ] est de la forme ψ(y ) où ψ est boréliee. O motre de plus que cette défiitio coïcide avec celle proposée das le paragraphe.4.2 pour le cas discret. Remarque.4.3 Toujours d après la remarque.1.1, la défiitio précédete pred la forme suivate : i) E[X Y ] est σ(y )-mesurable ii) E[Xg(Y )] = E[E[X Y ]g(y )] g boréliee et borée..4.5 Loi coditioelle O cosidère u couple (X, Y ) de variables aléatoires réelles das L 1. O suppose que la loi du couple possède ue desité f (X,Y ) par rapport à la mesure de Lebesgue sur R 2. Les desités margiales de X et Y sot doées par f X (x) = f (X,Y ) (x, y)dy et f Y (y) = f (X,Y ) (x, y)dx. R Lorsque X Y, o a f (X,Y ) = f X f Y. Si l hypothèse d idépedace est relaxée o a la formule de désitégratio suivate : f (X,Y ) (x, y) = f X Y (x, y)f Y (y) où f X Y (x, y) = f (X,Y )(x, y) f Y (y) si f Y (y) et f X Y (x, y) = sio. La foctio f X Y est alors appelée desité coditioelle de X sachat Y. O peut voir, e effet, que si φ vérifie φ(x) L 1, E[φ(X) Y ] = Φ(Y ) avec Φ(y) = φ(x)f X Y (x, y)dx. R R

17 .4. NOTION D ESPÉRANCE CONDITIONNELLE Propriétés de l espérace coditioelle Propriétés aalogues à l espérace Propositio.4.1 Soiet X et Y deux variables aléatoires itégrables et G ue sous tribu de A. a) (positivité) Si X P -p.s, E[X G] P -p.s. b) (liéarité) Si (α, β) R 2, E[αX + βy G] = αe[x G] + βe[y G] P -p.s. c) (croissace) Si X Y P -p.s, E[X G] E[Y G] P -p.s. (Cosidérer {E[Y G] E[X G] ε}.) d) (Beppo-lévy) Si X est ue suite de variables aléatoires das L 1 positives avec X X P -p.s, alors E[X G] E[X G] P -p.s. e) (Fatou) Si X est ue suite de variables aléatoires das L 1 positives, alors E[lim if X G] lim ife[x G] P -p.s. f) (Covergece domiée) Si X est ue suite de variables aléatoires das L 1 telle que X X et N, X Y, alors, E[X G] E[X G]. p.s p.s et L 1 g) (Jese) Si ψ : R R est covexe positive, alors, lorsque ψ(x) L 1, ψ(e[x G]) E[ψ(X) G] P -p.s. Remarque.4.4 O déduit de g) que l espérace coditioelle est u opérateur cotractat sur les espaces L p Propriétés spécifiques à l espérace coditioelle Propositio.4.2 Soiet X et Y deux variables aléatoires itégrables et G ue sous tribu de A. a) E[E[X G]] = E[X] b) Si X est G-mesurable, E[X G] = X P -p.s. c) Si Y est G-mesurable borée, E[XY G] = Y E[X G] P -p.s. d) Si σ(x) G, E[X G] = E[X] P -p.s.

18 18 TABLE DES MATIÈRES e) Si G est ue sous tribu de A telle que G G, alors, E[E[X G] G ] = E[X G ] P -p.s. f) Si (G i ) i I est ue famille de sous tribus de A, la famille (E[X G i ]) i I est U.I. Preuve : O se cotete de f), les autres assertios état laissées e exercice. D après l iégalité de Jese pour l espérace coditioelle, E[ E[X G i ] 1 E[X Gi ] >] E[E[ X G i ]1 E[X Gi ] >] = E[ X 1 E[X Gi ] >]. Or, d après l iégalité de Tchebychev, P ( E[X G i ] > ) E[ E[X G i] ] O coclut e utilisat le lemme suivat : E[E[ X G i]] = E[ X ]. Lemme.4.1 Si X L 1, ε >, δ >, P (A) < δ E[ X 1 A ] < ε. Les propriétés ci-dessus sot souvet essetielles et suffisates pour le calcul d espéraces coditioelles. Le recours à la défiitio est utile que pour les cas les plus délicats, par exemple, la propositio ci-dessous. Le résultat suivat sera utile das otre étude du modèle de Black-Scholes et plus gééralemet pour démotrer le caractère Markovie de certais processus. Propositio.4.3 Si σ(x) G et si Y est G-mesurable, alors, pour toute foctio boréliee Φ : R 2 R telle que E[ Φ(X, Y ) ] <, o a E[Φ(X, Y ) G] = ψ(y ) où ψ(y) = E[Φ(X, y)]. Preuve : O a ψ(y) = Φ(x, y)dp R X(x) et la mesurabilité de ψ est ue coséquece classique du théorème de Fubii. Soit G G, o ote Z = 1 G. O déduit des hypothèses que P (X,Y,Z) = P X P (Y,Z), aisi, E[Φ(X, Y )1 G ] = Φ(x, y)zdp (Y,Z) (y, z)dp X (x). R R 2 D après Fubii, doc E[Φ(X, Y )1 G ] = ψ(y)zdp (Y,Z) (y, z) R 2 E[Φ(X, Y )1 G ] = E[ψ(Y )1 G ].

19 .5. PROCESSUS STOCHASTIQUES Espérace coditioelle et vecteurs gaussies Propositio.4.4 Soit (Z, X 1,..., X ) u vecteur gaussie. Alors, il existe des costates réelles (a, b 1,..., b ) telles que E[Z X 1,..., X ] = a + X i b i. Preuve : Cosidéros le sous espace vectoriel fermé (car de dimesio fii) de L 2 egedré par (1, X 1,..., X ). O ote Π la projectio orthogoale sur ce covexe fermé. Il existe doc des costates (a, b 1,..., b ) telles que Π(Z) = a + X i b i. E otat Y = Z Π(Z), o a classiquemet E[Y ] = et E[Y X i ] =. i=1 Aisi, cov(y, X i ) =. Le vecteur (Y, X i ) état gaussie, d après le corollaire.3.1, Y X i. D après l exercice.3.1, Y (X 1,..., X ) doc E[Y X 1,..., X ] = E[Y ] =, aisi, E[Z X 1,..., X ] = Π(Z) = a + X i b i. i=1.5 Processus stochastiques.5.1 Gééralités Pour représeter l état d u système dépedat du temps et du hasard, le modèle mathématique se présete aturellemet sous la forme d u espace de probabilité (Ω, A, P ) et d ue foctio (t, ω) X t (ω) représetat l état du système. Pour t fixé, l état du système est ue variable aléatoire X t (ω), e revache, pour ue évolutio particulière du système (i.e à ω fixé) les états successifs sot représetés par la foctio t X t (ω) que l o omme par abus de lagage ue trajectoire. Défiitio.5.1 U processus aléatoire sur (Ω, A, P ), idicé par u esemble de temps T R +, est ue famille (X t ) t T de variables aléatoires sur (Ω, A, P ) à valeurs das u certai espace E (pour ous E = R). Plusieurs otios permettat de comparer les processus existet et étedet les otios d égalité e loi et p.s des variables aléatoires e preat e compte l évolutio temporelle. Défiitio.5.2 Deux processus (X t ) t T et (Y t ) t T sot dits équivalets ssi, N, (t 1,..., t ) T i=1 (X t1,..., X t ) = L (Y t1,..., Y t ). O dit égalemet que les processus ot même margiales fii-dimesioelles.

20 2 TABLE DES MATIÈRES Défiitio.5.3 U processus (X t ) t T est ue modificatio d u processus (Y t ) t T ssi, t T, X t = Y t P p.s. Défiitio.5.4 Deux processus (X t ) t T et (Y t ) t T sot dits idistiguables ssi P ({ω t T, X t (ω) = Y t (ω)}) = 1 Remarque.5.1 Les défiitios précédetes sot de plus e plus restrictives (exercices). Défiitio.5.5 O dit que les trajectoires d u processus sot cotiues (ou mootoes, ou cadlag) ssi, pour P presque tout ω, t T X t (ω) est cotiue (ou mootoe, ou cadlag). O dira par abus de lagage que le processus est cotiu (ou mootoe, ou cadlag). Exercice.5.1 Soiet (X t ) t T et (Y t ) t T deux processus stochastiques. 1) E supposat que les deux processus sot cotius à droite, motrer que si (X t ) t T est ue modificatio de (Y t ) t T, les processus sot idistiguables. 2) Sur l espace de probabilités ([, 1], B([, 1]), dx), soit (X t ) t R+ le processus défii par X t (ω) = ω + at et (Y t ) t R+ le processus défii par Y t (ω) = ω + at si t ω et Y t (ω) = sio. Motrer que (X t ) t R+ est ue modificatio de (Y t ) t R+ mais que ces deux processus e sot pas idistiguables. Pour simplifier les choses ous supposeros désormais que T = R +. Soit (X t ) t T u processus. Fixos u ombre fii d istats t 1... t. O ote P t1,...,t la loi du vecteur (X t1,..., X t ). Remarquos très simplemet que pour toute famille (A 1,..., A ) de Borélies, pour t +1 t, o a P t1,...,t (A 1... A ) = P t1,...,t,t +1 (A 1... A R). (1) Le théorème suivat dû à Kolmogorov assure l existece d u processus stochastique associé à ue famille de margiales fii-dimesioelles pourvu qu ue coditio de compatibilité aturelle de type (1) soit vérifiée. Ce théorème se révèle utile pour démotrer de maière abstraite l existece d u processus e particulier. Théorème.5.1 Soit ue famille de probabilités telle que : {P t1,...,t ; 1, t 1... t }

21 .5. PROCESSUS STOCHASTIQUES 21 a) P t1,...,t est ue probabilité sur R b) Si { s 1... s m } { t 1... t } alors π P t1,...,t = P s1,...,s m où π est la projectio aturelle de R sur R m. Il existe alors u processus (X t ) t R+ sot exactemet les {P t1,...,t }. dot les margiales fii-dimesioelles U processus état ue foctio de deux variables, o a ue défiitio aturelle de la mesurabilité. Défiitio.5.6 U processus (X t ) t R+ est dit mesurable si la foctio (t, ω) (R +, B(R + )) (Ω, A) X t (ω) (R, B(R)) est mesurable i.e T R +, A A, {(t, ω); t T, X t (ω) A} B([, T ]) B(R). Remarque.5.2 Notos que si (X t ) t R+ est mesurable, si f C b (R, R), la variable aléatoire Y t = f(x s)ds est bie défiie. Exercice.5.2 Motrer qu u processus à trajectoire C à droite (ou C à gauche) est mesurable. (Cosidérer X t = X +lim X avec X = 2 1 X 1 k+1 2 ] k 2, k+1 2 ].) Défiitio.5.7 O ote classiquemet { [ T L 2 (Ω [, T ]) = (X t ) t [,T ] mesurable; E k= ] } Xs 2 ds < qui équipé de la orme aturelle associée est u espace de Hilbert..5.2 Filtratios, processus adaptés Soit (Ω, A, P ) u espace de probabilité. Défiitio.5.8 Ue famille croissate (F t ) t R+ de sous-tribus de A s appelle ue filtratio. Cette tribu est dite complète si t R +, F t cotiet les esembles égligeables N de A où N = {N Ω; A A, N A, P (A) = }.

22 22 TABLE DES MATIÈRES Remarque.5.3 Du poit de vue de la modélisatio, F t représete l iformatio dispoible à la date t. O peut de plus toujours se rameer au cas d ue tribu complète e chageat F t e σ(n F t ). Doréavat, au vue de la remarque précédete, les tribus que ous cosidéreros serot supposées complètes. Défiitio.5.9 U processus (X t ) t R+ est dit adapté à la filtratio (F t ) t R+ si X t est F t mesurable. est toujours adapté à sa filtratio a- Remarque.5.4 U processus (X t ) t R+ turelle Ft X = σ(x s ; s t). Remarque.5.5 L itérêt de travailler avec des tribus complètes est que a) si X t = P p.p Y t et si X t est F t mesurable Y t est F t mesurable (aisi ue modificatio d u processus adapté est adaptée). b) si X t p.p X t et si, X t est F t mesurable X t est F t mesurable. La otio dyamique (liée à ue filtratio) de mesurabilité itroduite ci-dessus est restrictive. Elle omet le fait qu u processus est ue foctio de deux variables. Défiitio.5.1 U processus (X t ) t R+ T > la foctio est dit progressivemet mesurable si, est mesurable. (t, ω) ([, T ], B([, T ])) (Ω, F T ) X t (ω) (R, B(R)) Exercice.5.3 Pour tout t 1... t = T, soiet F ti des variables aléatoires F ti mesurables. O ote 1 X t = F ti 1 [ti,t i+1 [(t). (2) i=1 Motrer que (X t ) t [,T ] est progressivemet mesurable. O otera E([, T ] Ω) les élémets de la forme (2) avec F ti L 2 (F ti ). Remarque.5.6 U processus progressivemet mesurable est mesurable et adapté. Exercice.5.4 Motrer que lorsque (X t ) t R+ est progressivemet mesurable le processus (Y t ) t R+ défii das la remarque.5.2 est adapté (Utiliser Fubii).

23 .5. PROCESSUS STOCHASTIQUES 23 Propositio.5.1 Si u processus (X t ) t R+ est C à droite (ou C à gauche) et adapté alors il est progressivemet mesurable. Preuve : Das le cas C à gauche o pose X (t) = X [ t T ] T. O a t, Xt X t. p.p Or B B(R), {(t, ω); t T, X t B} = [, T [ {X B}... B([, T ]) F T d où le résultat. O procède de la même maière das le cas C à droite e posat X (t) = X if(t,([ t T ]+1) T ). Défiitio.5.11 O ote { [ T L 2 prog(ω [, T ]) = (X t ) t [,T ] prog mes; E ] } Xs 2 ds <. Théorème.5.2 L espace L 2 prog(ω [, T ]) muit de sa orme aturelle est u espace de Hilbert. De plus, E([, T ] Ω) est dese das L 2 prog(ω [, T ]). Preuve : Nous démotreros seulemet la deuxième partie du théorème, la première état u résultat classique de théorie des probabilités. O itroduit tout d abord ue procédure d approximatio das le cas détermiiste. Soit f L 2 ([, T ], dx), o ote N, t [, T ], P (f)(t) = i= i i 1 f(s)ds1 ] i, i+1 O peut voir que l opérateur liéaire P est cotractat e effet, si t ] i, i+1 et doc T i [P (f)(t)] 2 f 2 (s)ds i 1 [P (f)(t)] 2 dt T [f(t)] 2 dt. O peut motrer égalemet que, f C K ([, T ], R), P (f) ](t). ] f (3) L 2 ([,T ]) et étedre ce résultat à toute f L 2 ([, T ]) par desité. O éted maiteat cette procédure à L 2 prog(ω [, T ]). O pose X L 2 prog(ω [, T ]), t [, T ], pour presque tout ω, P (X t (w)) = P (X. (ω))(t).

24 24 TABLE DES MATIÈRES Comme X L 2 prog(ω [, T ]), P (X) E([, T ] Ω) car otammet (exercice.5.4) i i 1 X s ds est F i mesurable. Il est alors très simple e utilisat (3) et le théorème de covergece domiée de démotrer la covergece de P (X) vers X das L 2 prog(ω [, T ]) : X apparteat à L 2 prog(ω [, T ]), pour presque tout ω, X. (ω) L 2 ([, T ]) et doc d après (3), T (P (X s ) X s ) 2 ds p.p e restat majoré (iégalité de Mikowski) par 4 X. (ω) 2 L 2 ([,T ]) L2 (P )..5.3 Processus gaussies Défiitio.5.12 U processus stochastique (X t ) t R+ est gaussie ssi, N, t 1,..., t R +, le vecteur (X t1,..., X t ) est gaussie. La loi d u processus gaussie est caractérisée par deux foctios, sa foctio d espérace m : t E[X t ] et sa foctio de covariace Γ : (s, t) E[(X t m(t))(x s m(s))] qui est ue foctio symétrique de type positif au ses où N, t 1,..., t R +, la matrice carrée [Γ(t i, t j )] 1 i,j est symétrique positive. Nous avos e effet le résultat suivat, simple coséquece du théorème de Kolmogorov. Propositio.5.2 Soiet m : R + R ue foctio quelcoque et Γ : (R + ) 2 R ue foctio de type positif. Alors, il existe u processus gaussie de foctio d espérace m et de foctio de covariace Γ. Exemple.5.1 Motrer que la foctio (s, t) (R + ) 2 if(s, t) est de type positif. (O pourra procéder par récurrece).5.4 Martigales e temps cotiu Nous revoyos le lecteur à? pour ue présetatio cosistate de la théorie des martigales. Soit (Ω, A, P ) u espace de probabilité et (F t ) t R+ ue filtratio de cet espace. Défiitio.5.13 Ue famille adaptée (M t ) t R+ de variables aléatoires das L 1 est :

25 .5. PROCESSUS STOCHASTIQUES 25 - ue martigale si, t s, E[M t F s ] = M s. (jeu équitable) - ue surmartigale si, t s, E[M t F s ] M s. (jeu perdat) - ue sous-martigale si, t s, E[M t F s ] M s. (jeu gagat) Remarque.5.7 Ue martigale (M t ) vérifie t E[M t ] = E[M ]. Exemple.5.2 Si X L 1, M t = E[X F t ] est, d après la propositio.4.2, ue martigale. Les résultats suivats ous serot utiles par la suite. Propositio.5.3 Soit (M t ) t R+ ue martigale de carré itégrable, alors, s t, o a E[(M t M s ) 2 F s ] = E[M 2 t M 2 s F s ]. Preuve : O a E[(M t M s ) 2 F s ] = E[Mt 2 F s ] 2E[M t M s F s ] + E[Ms 2 F s ]. } {{ } Ms 2 Le résultat découle alors de l égalité E[M t M s F s ] = M 2 s. est à accroisse- Propositio.5.4 Ue martigale de carré itégrable (M t ) t R+ mets orthogoaux. Preuve : Il suffit de prouver que pour t 4 > t 3 t 2 > t 1 E[(M t4 M t3 )(M t2 M t1 )] =. Ce qui s obtiet e coditioat par rapport à F t3. Propositio.5.5 Soit (M t ) t R+ ue martigale cotiue de carré itégrable telle qu il existe (Φ t ) t [,T ] L 2 (Ω [, T ]) vérifiat, t T, M t = Φ sds. Alors P ({ω; t T, M t = }) = 1.

26 26 TABLE DES MATIÈRES Preuve : O a d après la propositio précédete, ( E[Mt 2 ] = E i=1 M it M (i 1)t Aisi d après l iégalité de Schwartz, ( it E[Mt 2 ] = E i=1 (i 1)t ) 2 Φ s ds = E ) 2 [ i=1 ( M it t E [ M (i 1)t ] Φ 2 sds. Le résultat s obtiet par passage à la limite et e utilisat la cotiuité des trajectoires de (M t ) t R+. Nous aborderos pas ici (par maque de temps) la otio de temps d arrêt et sa relatio fructueuse avec la théorie des martigales. Cepedat, ous éoços le résultat fodametal suivat qui ous assure que pour cotrôler l évolutio d ue martigale sur u segmet il suffit de cotrôler sa valeur termiale. ) 2 ]. Théorème.5.3 (Iégalité de Doob) Soit (M t ) t R+ itégrable et à trajectoires cotiues, alors, T R +, ue martigale de carré E[ sup M t 2 ] 4E[ M T 2 ]. t T O otera doréavat M 2 ([, T ]) l espace des martigales sur [, T ] de carré itégrable et à trajectoires cotiues (quotieté par la relatio d équivalece M M ssi M et M sot idistiguables). Si (M t ) t [,T ] M 2 ([, T ]) o ote M 2 l applicatio défiie par M M 2 = E[ M T 2 ]. O a alors la propositio suivate : Propositio.5.6 L applicatio M 2 défiie sur M 2 ([, T ]) est ue orme. L espace M 2 ([, T ]) mui de M 2 est u espace de Hilbert. Preuve : O admet le secod poit, le premier est ue coséquece immédiate de l iégalité de Doob. Remarque.5.8 Pour la complétude de M 2 ([, T ]), la complétude de la filtratio est idispesable.

27 .6. THÉORÈME DE RADON NIKODYM 27.6 Théorème de Rado Nikodym Défiitio.6.1 Soiet P et Q deux probabilités défiies sur le même espace de probabilité (Ω, A). a) O dit que P est absolumet cotiue par rapport à Q (ot : P Q) si A A, Q(A) = P (A) =. b) O dit que P et Q sot équivaletes (ot : P Q) si A A, P (A) = Q(A) =. c) O dit que P et Q sot étragères (ot : P Q) si A A, tel que P (A) = et Q(A) = 1. Le théorème suivat ous sera utile pour ue boe compréhesio des chagemets de probabilités das les modèles fiaciers. Théorème.6.1 (Rado-Nikodym) Soiet P et Q deux probabilités défiies sur le même espace de probabilité (Ω, A). Alors P Q si et seulemet si il existe ue variable aléatoire Z Q itégrable (uique à égalité Q p.s près) vérifiat E Q [Z] = 1 telle que, A A, P (A) = E Q [Z1 A ]. O appelle Z la desité de Rado-Nikodym de P par rapport à Q. Elle est gééralemet otée Z =: dp dq. Remarque.6.1 ce cas, dp = 1 dq dq. dp Si P Q o voit facilemet que Z > Q (ou P ) p.s, das Exercice.6.1 le but est ici de démotrer le théorème-défiitio.4.1. Soit X L 1 (Ω, A, P ), o veut démotrer l existece de E[X G]. a) Motrer que l o peut supposer X. b) Motrer que la foctio défiie sur (Ω, A) par Q(A) = XdP est ue mesure positive borée telle que Q P. c) Motrer qu il e est de même pour la restrictio de Q à (Ω, G). d) E utilisat le théorème de Rado-Nikodym, proposer u cadidat aturel pour E[X G]. A

28 28 TABLE DES MATIÈRES Exemple.6.1 (U premier pas vers Girsaov) O cosidère ue variable aléatoire X suivat, sous ue probabilité P, ue N (m, σ 2 ). Le but est de trouver ue probabilité Q équivalete à P telle que, sous Q, X suit ue N (, σ 2 ). Cosidéros la variable L = e mx σ 2 e + m2 2σ 2. D après l exemple.1.2, o voit facilemet que E P [Z] = 1, o défiit alors la probabilité Q par L = dq dp. Comme o a le résultat. E Q [e itx ] = E P [Le itx ] = e σ2 t 2 2

29 Bibliographie [1] N. Bouleau : Probabilité de l igéieur, Herma, [2] J. Jacod, P. Protter : Probability essetials, Spriger, 24. [3] D. Williams, Probability with martigales, Cambridge Uiv. Press, Cambridge,

30 3 BIBLIOGRAPHIE

31 Chapitre 1 Le mouvemet Browie Ce chapitre a été rédigé (trop???) rapidemet, merci à vous de me sigaler les coquilles ou erreurs évetuelles. 1.1 U peu d histoire Nous revoyos le lecteur à [9] pour u riche exposé historique couvrat la période Le mouvemet Browie est le plus célèbre et le plus importat processus stochastique. Il est u exemple frappat des relatios fructueuses qui uisset par momet les mathématiques et la physique. Avat d être u objet mathématique rigoureux, il a pu être observé sous diverses formes. O peut raisoablemet peser que tout commece aux aletours de 183, lorsque le botaiste Brow observe le mouvemet des particules de polle e suspesio das l eau. Ce mouvemet est e partie expliqué, quelques aées plus tard (1877) par Delsaux, e mettat e lumière l iteractio des particules de polle avec les molécules d eau qui provoque u chagemet icessat de directio de trajectoire via de multiples chocs thermiques (o trouvera ue superbe simulatio de ce phéomèe à l adresse http ://chaos.us.edu.sg/simulatios/ ). E 19, Bachelier, das des travaux pioiers qui serot à la base de la fiace mathématique modere, repred ces idées essetielles pour modéliser le cours d u actif fiacier, souligat par ailleurs so caractère Markovie (voir [2]). C est Eistei qui e 195 ([6])e doe ue défiitio raisoable. O ote X t la positio à l istat t d ue petite particule évoluat das u liquide. O suppose que a) X t+h X t est idépedat de σ(x s ; s t). b) La loi de X t+h X t e déped pas de t. c) Les trajectoires sot cotiues. 31

32 32 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN La première hypothèse sigifie que l évolutio de la trajectoire sur [t, t + h] est uiquemet due aux chocs que subit la particule durat cette période, le phéomèe d iertie (et doc das u ses la masse de la particule) est égligé. La secode que la situatio est idetique à elle même au cours du temps (pas de variatios de température). La troisième que la particule e saute pas. Notos efi qu aucue précisio sur le caractère gaussie est faite a priori, celle ci état ue coséquece (cf. ifra) des autres hypothèses. Eistei parviet à calculer la desité de trasitio de ce processus P (X t+h dy X h = x) = q(t, x, y) et à relier ses résultats à l équatio de la chaleur (l équatio u(t,x) u(t,x) = de t 2 x 2 coditio iitiale u(,.) = f admet pour solutio u(t, x) = E[f(X t+h ) X h = x]). U pot sas précédet etre l aalyse et les probabilités viet d être amorcé, riche de coséqueces... D u poit de vue mathématique, la preuve rigoureuse de l existece d u tel processus apparaîtra que bie plus tard (1923) das les travaux de N.Wieer [16]. So étude fie, iitiée par P. Lévy [12], occupe ecore aujourd hui de ombreux mathématicies de part le mode. Das le domaie de l igéierie, il s est imposé au cours de ces derières aées comme u outil essetiel voir idispesable. Notos efi, que Wedeli Werer a obteu e 26 la médaille Fields pour ses découvertes cocerat les objets plas aléatoires e liaiso avec la physique statistique (o peut voir à l adresse suivate http :// /chaiev2/utls/programme/ /sequece id/ /format id/33/ so itervetio à l uiversité de tous les savoirs). Avat de retrer das le vif du sujet et pour justifier la défiitio du mouvemet Browie que ous adopteros das le prochai paragraphe ous démotros le résultat suivat. Lemme Soit X t vérifiat les hypothèses a), b) et c) ci-dessus. O suppose X =, alors, il existe m et σ 2 tels que X t suive ue N (mt, σ 2 t). Preuve : Nous allos supposer (c est e fait ue coséquece u peu techique des hypothèses, voir par exemple [8]) pour simplifier les choses que supe[xt 2 ] < +. t 1 Das ce cas, les trajectoires du processus sot cotiues das L 1. E effet, soit ε >, o tire de E[ X t X s ] = E[ X t X s 1 Xt X s >ε] + E[ X t X s 1 Xt X s ε] et de l iégalité de Holder que E[ X t X s ] E[ X t X s 2 ] 1 2 P ( Xt X s > ε) ε.

33 1.2. DÉFINITION, EXISTENCE, SIMULATION 33 Le résultat est alors prouvé car la cotiuité des trajectoires etraîe leur cotiuité e probabilité. Pour N, o a X t = X t + (X 2t X t ) (X t X ( 1)t ), doc d après b), N, E[X t ] = E[X t ]. Soit (p, q) N N, d après le relatio précédete pe[x 1 ] = E[X p ] = E[X ( p q )q ] = qe[x p q ], doc, s Q, E[X s ] = se[x 1 ]. Et par cotiuité des trajectoires das L 1, o a, t R, E[X t ] = te[x 1 ] = tm. Par u raisoemet aalogue au précédet, o motre que E[(X s ms) 2 ] = se[(x 1 m) 2 ], s Q, cette relatio s étedat à R tout etier car la foctio t E[(X t mt) 2 ] est croissate. E effet d après b), E[(X t+h m(t + h)) 2 ] = E[(X t mt) 2 ] + E[(X h mh) 2 ] E[(X t mt) 2 ]. E écrivat alors, N, où les variables (X kt X t = (X t X ) +...(X t X ) ( 1)t X (k 1)t ) sot i.i.d de moyee tm et de variace tσ2, u argumet aalogue à celui utilisé das la preuve du T.C.L (D.L de la foctio caractéristique) ous doe le résultat (voir [5]). 1.2 Défiitio, existece, simulatio Défiitio Soit (Ω, A, P ) u espace de probabilité. Pour simplifier les choses, o suppose que otre itervalle d étude est boré (o predra [, T ] avec souvet T = 1 mais cela e chage rie). Le mouvemet Browie est u processus (B t ) t [,1] cotiu dot les accroissemets sot idépedats, statioaires et gaussies. Plus précisémet,

34 34 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN Défiitio U mouvemet Browie (stadard) (M.B) est u processus (B t ) t [,1] vérifiat : F B s a) B = P -p.s. b) B est cotiu i.e t B t (w) est cotiue pour P presque tout w. c) B est à accroissemets idépedats : Si t > s, B t B s est idépedat de = σ(b u, u s). d) Les accroissemets de B sot statioaires, gaussies : Si t s, B t B s suit ue N (, t s). Remarque a) Coformémet à ce qui a été précisé das le paragraphe.5, o suppose que la tribu (F B t ) t [,1] est complète. b) Par u raisoemet aalogue à celui formulé das la démostratio du lemme 1.1.1, l assertio d) peut être remplacée par Les accroissemets de B sot statioaires, cetrés, de carré itégrable avec V ar(b 1 ) = 1. c) Par u raisoemet classique de classe mootoe o motre que l assertio c) est équivalete à Pour tout t 1... t s < t, B t B s (B t1,..., B t ) (voir [4]). O peut proposer ue défiitio équivalete e liaiso avec la théorie des processus gaussies. Propositio U processus (B t ) t [,1] est u M.B ssi c est u processus gaussie, cotiu, cetré, de foctio de covariace Γ[s, t] = if(s, t). Preuve : Pour t 1... t le vecteur (B t1, B t2 B t1,..., B t B t 1 ) costitué de gaussiees idépedates est u vecteur gaussie. Aisi par combiaisos liéaires (B t1,..., B t ) l est égalemet. Le M.B est u processus gaussie cotiu. Il est de plus cetré et si t s cov(b t, B s ) = E[B t B s ] = E[(B t B s )B s ] + E[(B s ) 2 ] = s. O vérifie la défiitio poit par poit. a) E[(B ) 2 ] = doc B = P -p.s. b) B est cotiu par hypothèse. c) Pour t 1... t s < t le vecteur (B t1,...b t, B t B s ) est gaussie avec cov(b t B s, B ti ) =. Aisi (corollaire et exercice.3.1) B t B s (B t1,..., B t ) et doc d après la remarque ci dessus, B t B s est idépedat de Fs B = σ(b u, u s). d) Efi, pour s t, B t B s est gaussiee, cetrée de variace V ar(b t B s ) = t + s 2if(s, t) = t s.

35 1.2. DÉFINITION, EXISTENCE, SIMULATION Existece, costructio, simulatio Plusieurs méthodes, plus ou mois abstraites, permettet de costruire le M.B. Ces méthodes reposet gééralemet sur des résultats o triviaux. Radomisatio d u espace de Hilbert Soit (g ) N ue famille de variables aléatoires i.i.d suivat la loi ormale cetrée réduite. O cosidère l espace de Hilbert H = L 2 ([, 1], dx) et l o ote (χ ) N ue base orthoormée de H. O ote, t [, 1], B t = = χ (s)ds g (la série covergeat das L 2 ). D après l exercice.2.2, la variable B t est gaussiee, cetrée, de variace V ar(b t ) = ( = χ (s)ds) 2 = t. De la même maière, o motre facilemet que (B t ) t [,1] est u processus gaussie, cetré et de foctio de covariace égale à Γ[s, t] = if(s, t). E vertu de la propositio 1.2.1, reste à démotrer la cotiuité. L étude précise de la série aléatoire peut ous permettre de coclure (e étudiat sa covergece uiforme presque sûre) mais se révèle u peu techique ([13]). U tour de passe-passe est d utiliser le puissat (trop puissat das ce cas???) théorème de Kolmogorov (voir [1]) : Théorème (Critère de cotiuité) Soit (X t ) t R u processus stochastique vérifiat la relatio suivate, T >, C T, s < t T, E[ X t X s p ] C T t s α (1.1) où p > et α > 1. Alors, il existe ue modificatio de ce processus qui possède des trajectoires cotiues. Das le cas de (B t ), si s < t 1, B t B s suit ue N (, t s) et doc d après l exercice.1.1, E[ B t B s 2k ] = (2k)! 2 k k! (t s)k. D où le résultat e preat par exemple k = 2. Les deux exemples qui suivet sot u cas particulier de la méthode ci-dessus avec u choix explicite pour la base hilbertiee.

36 36 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN Représetatio de Wieer (1923) ([16]) E cosidérat la base trigoométrique, o obtiet ue représetatio explicite du mouvemet Browie à l aide d ue série de Fourier aléatoire qui a été démotré par Wieer. Ce résultat est le premier résultat d existece cocerat le mouvemet Browie. O a B t = 8 π =1 si(t) g (1.2) où la série coverge uiformémet presque sûremet sur [, 1]. Notos que E[B t ] = et qu u résultat classique doe E[(B t ) 2 ] = 8 π 2 =1 si 2 (t) 2 = t. Méthode du poit milieu (costructio de Paul Lévy) E 1939, Paul Lévy propose ue costructio simple du mouvemet Browie. Cette approche ouvelle lui permettra de découvrir des propriétés importates de la trajectoire Browiee. Nous proposos ici ue approche puremet algorithmique de cette costructio, le lecteur état revoyé à [14] pour les détails plus techiques. Le but est ici d obteir à moidre frais ue approche de simulatio. Pour s t o sait (propositio 1.2.1) que le vecteur est gaussie. O pose alors (B t+s, B t, B s ) 2 Z = B t+s (B t + B s ) qui est ue variable aléatoire gaussiee telle que E[Z] = et V ar(z) = 1 (t s). 4 E utilisat le corollaire.3.1, o motre que Z (B t, B s ) car cov(z, B t ) = et cov(z, B s ) =. O peut doc mettre Z sous la forme Z = t s G 2 s,t où G s,t est ue gaussiee stadard idépedate de (B t, B s ). Remarque O peut motrer très simplemet qu e fait G s,t B u lorsque u s ou u t. E coclusio B t+s = 1 t s 2 2 (B t + B s ) + G s,t 2 G s,t B u lorsque u s ou u t.

37 1.2. DÉFINITION, EXISTENCE, SIMULATION 37 O simule alors ue trajectoire browiee de la maière suivate : 1) O simule ue famille (G i ) i N de gaussiees stadards idépedates (exercice.2.1). 2) O pose B 1 = G 1 3) O pose B 1 2 4) O pose B 1 4 5) O poseb 3 4 6) Etc... = 1 2 (B 1 + G 2 ) = 1 2 (B G 3 ) = 1 2 (B B G 4 ) O obtiet le résultat suivat sous scilab!"$!"!!!"$!!"&!!"(!!"*!#"!!#"$!"!!"#!"$!"%!"&!"'!"(!")!"*!"+ #"! Pricipe d ivariace de Dosker Le pricipe d ivariace de Dosker est ue gééralisatio foctioelle du T.C.L. O se doe ue famille (U k ) k N de variables aléatoires idépedates, cetrées et réduites. Pour tout N, o ote S = U U la -ième somme partielle. D après le T.C.L, S N (, 1) et plus gééralemet, t [, 1], L S [t] L N (, t) (la loi de B t ).

38 38 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN Cosidéros alors l iterpolatio polygoale de rag de la série des sommes partielles : t [, 1], o pose X (t) = 1 [t] U k + (t [t])u [t]+1. (1.3) k=1 Le résultat suivat (voir par exemple [1]) est dû à Dosker et fourit u outil de simulatio des trajectoires Browiees. Théorème La suite de processus cotius (X ) coverge e loi das C = C([, 1], R) vers la loi du M.B i.e f C b (C, R), E[f(X )] E[f(B)]. La simulatio suivate a été réalisée sous scilab e choisissat les U i de sorte que P (U i = 1) = P (U i = 1) = 1 et e preat = 1. 2 $!!!$!!&!!(!!*!!#!!!#$!!#&!!"!!"#!"$!"%!"&!"'!"(!")!"*!"+ #"! #"# 1.3 Propriétes Les propriétés que ous voyos das ce paragraphe sot assez rudimetaires. Pour des résultats plus fis o peut cosulter par exemple ([15]) O cosidérera das cette partie que (B t ) t est u M.B sur R +.

39 1.3. PROPRIÉTES Propriétés de martigale Propositio Les processus (B t ), ((B t ) 2 t) et (e θbt θ2 t 2 ) (θ R) sot des (F B t ) t R+ martigales. O a la célèbre propositio suivate qui est dû à Paul Lévy. Propositio Soit (X t ) t ue martigale (par rapport à ue certaie tribu (F t ) t ) cotiue issue de. Alors X est u M.B si l ue des deux coditios suivates est vérifiée : a) Le processus t (X t ) 2 t est ue martigale. b) Le processus t e θxt θ2 t 2 est ue martigale pour tout θ R. Preuve : Nous allos seulemet motrer que a) implique que X t est u M.B (le b) se fait e utilisat la formule d Itô que ous verros ultérieuremet). Pour t > s, o a θ R, et e preat l espérace E[e iθ(xt Xs) t s θ2 F s ] = e 2 E[e iθ(xt Xs) t s θ2 ] = e 2. Ceci motre à la fois que X t X s F s car si Y est F s mesurable, u R E[e iθ(xt Xs)+iuY ] = E[E[e iθ(xt Xs)+iuY F s ]] = E[e iuy t s θ2 ]e 2 = E[e iuy ]E[e iθ(xt Xs) ], et que X t X s suit ue N (, t s) Trasformatios Propositio O pose B (s) t = B t+s B s, s fixé, Y t = cb t, c >, Z c 2 t = tb 1, t t >, Z =. Alors, les processus B t, B (s) t, Y t et Z t sot des mouvemets browies stadards. Le fait que Y t soit u M.B est ue propriété fodametale. E effet, le M.B est u processus auto-similaire (ou u fractal aléatoire) i.e u processus dot le comportemet reste le même à différetes échelles. (illustrer par ue simulatio!!!) Preuve de la propositio : Pour B t, B (s) t, Y t la vérificatio est immédiate, reste Z t. Il est facile de voir que Z t est u processus gaussie cetré de foctio de covariace Γ(s, t) = if(s, t). Reste à démotrer la cotiuité de Z (i.e sa

40 4 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN cotiuité e ). Ce résultat est u peu techique ([14]) et ous allos ous coteter de motrer que B. Comme B = (B B 1 ) (B 1 B ) où les (B i+1 B i ) formet u -échatillo de la loi ormale cetrée réduite, le résultat est ue coséquece de la L.F.G.N Propriétés trajectorielles Les trajectoires du mouvemet browie sot caractérisées par ue remarquable irrégularité. Nous ous proposos de mettre e évidece ici quelques ues de ces pathologies. Propositio Soit (B t ) u mouvemet Browie. Alors P -p.s, B a) lim sup t t + t B = lim sup t t + t = + B b) lim if t t + t B = lim if t t + t = Preuve : Pour a) o cosidère la variable aléatoire R = lim sup t + B t t = lim sup t + B t B s t ( s ). Par idépedace des accroissemets Browies R σ(b u, u s) pour tout s et doc R σ(b u, u ). Aisi R R et doc R est ue costate (fiie ou ifiie). Supposos que R est fiie, aisi par défiitio de la lim sup, P ( Bt t R + 1) quad t +. Or P ( Bt t R + 1) = P (B 1 R + 1) > d où le résultat. La deuxième partie de a) se traîte de la même maière. Le poit b) est ue coséquece immédiate de a) et de la symétrie du Browie. Corollaire i) P -p.s, (B t ) passe ue ifiité de fois par tout poit. ii) (B t ) est P -p.s dérivable i à droite, i à gauche e tout poit. Preuve : i) est ue coséquece directe de la cotiuité des trajectoires (qui vérifiet doc le T.V.I) et de la propositio précédete. B ii) O peut voir que B t est P -p.s pas dérivable à droite e car lim sup t B t + + P -p.s. E cosidérat esuite (avec les otatios de la propositio 1.3.3) les Browies trasformés Bt s et Z t o motre la o dérivabilité à droite et à gauche e tout poit. t =

41 1.3. PROPRIÉTES 41 Remarque Les trajectoires du M.B sot doc des exemples explicites de foctios cotiues ulle part dérivables. Notos que sas faire appel aux probabilités, la costructio explicite d u tel objet est loi d être évidete (cf. foctio de Weierstrass). Du poit de vue de la modélisatio ( 1.1), la o dérivabilité sigifie qu o e peut défiir la vitesse de la particule, ceci est doc physiquemet très imparfait. Le fait d avoir égligé la masse de la particule (pas d iertie) est ue explicatio de ce phéomèe. Propositio P ({ω; t B t (w) est mootoe sur u itervalle}) = Preuve : O ote F = {ω; il existe u itervalle où t B t (w) est mootoe}. O a F = {ω; t B t (w) est mootoe sur [s, t]}. (s,t) Q 2, s<t Pour s < t fixés das Q, o étudie par exemple Alors A = > et statioarité, A = {ω; t B t (w) est croissate sur [s, t]}. 1 i= A i où A i = {ω; B s+(t s) i+1 1 P ( A i ) = 1 2. i= B s+(t s) i Aisi, >, P (A) 1 2, doc P (A) et P (F ) sot ulles Variatio et variatio quadratique La propositio suivate sera fodametale pour le reste du cours. }. Par idépedace Propositio Soit t >. O pose N, j {,..., 2 }, t j = tj 2. Alors, Z t = 2 j=1 B t j B t j 1 2 p.s et L 2 t. Preuve : O a E[Z t ] = t. Aisi pour la covergece das L 2 il faut motrer que V ar(z t ). Or, V ar(z t ) = 2 j=1 V ar( B t j B t j 1 2 ) = 2 j=1 ( t 2 )2 = 2 t 2,

42 42 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN Covergece de Z(1) la derière égalité proveat du fait que X N (, σ 2 ) vérifie E[X 4 ] = 2σ 4. O a de plus que [ ] E Zt t 2 <. =1 Aisi d après l iégalité de Tchebychev et la propositio.2.3 la covergece p.s est démotrée. Corollaire j=1 B t j B t j 1 p.s +. Le mouvemet browie est doc pas à variatios borées. 2 Preuve : Supposos par l absurde que P (lim B t j B t j 1 < ) >. Das ce cas t = lim 2 j=1 j=1 B t j B t j 1 2 lim max 1 j 2 B t j B t j 1 lim 2 j=1 B t j B t j 1. La trajectoire browiee état cotiue sur [, 1], elle est uiformémet cotiue, aisi lim max 1 j 2 B t B j t = P p.s. j 1

43 1.3. PROPRIÉTES 43 2 Comme P (lim B t j B t j 1 < ) >, ceci est e cotradictio avec t >. j= Caractère Markovie La propriété suivate assure que le M.B est u processus de Markov c est à dire u processus dot l aveir e déped pas de tout le passé mais seulemet du préset. Propositio Pour toute foctio f : R R mesurable borée, pour tout s < t, E[f(B t ) F B s ] = E[f(B t ) B s ] = 1 2π(t s) R f(x)e (y Bs) 2 2(t s) dy. Preuve : O écrit f(b t ) = f(b t B s + B s ) et o utilise la propositio.4.3 et le fait que B t B s N (, t s) Le mouvemet browie géométrique Défiitio Soit (b, σ) R 2. Le processus est appellé u Browie géométrique. X t = X e (b 1 2 σ2 )t+σb t Ce processus est aussi appellé processus log-ormal car lorsque X = x >, suit ue loi ormale. l(x t ) = (b 1 2 σ2 )t + σb t + l(x) Remarque Comme ous savos simuler le M.B, il est très simple de simuler le Browie géométrique. La simulatio ci-dessous est réalisée pour b =, σ = 1, X = 1 et t [, 1] (Le browie état simulé par la méthode de Dosker avec = 1). Notos que ce processus est toujours strictemet positif.

44 44 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN Exercice a) Motrer que le processus X t e bt est ue martigale. b) Motrer que E[X t X ] = X e bt et que V ar(x t X ) = Xe 2 2bt (e σ2t 1). c) Soit f C b (R, R), motrer que pour t > s E[f(X t ) F B s ] = + (C est e particulier u processus de Markov) Itégrale de Wieer f(x s e (b 1 2 σ2 )(t s+σy t s) 1 ) e y2 2 dy. 2π Le but de cette partie est de frachir u premier pas das la costructio de l itégrale stochastique i.e l itégrale par rapport au M.B. Nous ous limiteros au cas des itégrads détermiistes (et d itégrads stochastiques particulier) ce qui permet déjà de mettre e évidece les premières difficultés. Rappels d itégratio O pourra se référer à [14] pour u exposé plus complet sur le sujet. Si g : [, 1] R est ue foctio croissate cotiue (e fait cotiue à droite est suffisat) ulle e, u résultat classique ous assure l existece d ue mesure

45 1.3. PROPRIÉTES 45 borée m sur ([, 1], B([, 1])) telle que g(t) = m([, t]) (si g est positive, la mesure m est positive et g est e fait la foctio de répartitio associée). O défiit alors très simplemet l itégrale par rapport à g e posat f L 1 (m), f(s)dg(s) = 1 [,t] fdm. Cette costructio va pouvoir s étedre à ue plus large classe de foctios. Défiitio Ue foctio g [, 1] R + est dite à variatios borées si sup f(t j ) f(t j 1 ) <, j=1 le sup état pris sur toutes les subdivisios t = t 1... t = 1 de [, 1]. Remarque Si g est dérivable, g est à variatios borées et das ce cas t f(s)dg(s) = f(s)g (s)ds. Propositio Si g est ue foctio à variatios borées, ulle e et cotiue, il existe deux foctios g 1 et g 2 croissates, cotiues, ulles e telles que g = g 1 g 2. Aisi o costruit aisémet l itégrale par rapport à g à partir des itégrales par rapport à g 1 et g 2. E vertu du corollaire 1.3.2, o peut voir que pour P presque tout ω, la trajectoire Browiee est pas à variatios borées. Il est alors impossible de costruire ue itégrale par rapport à cette trajectoire e raisoat ω par ω. Nous allos cepedat pouvoir proposer ue défiitio probabiliste satisfaisate d u tel objet. Costructio de l itégrale de Wieer Ue approche possible est de gééraliser la techique de costructio du M.B par radomisatio d u espace de Hilbert. Soit (g ) N ue famille de variables aléatoires i.i.d suivat la loi ormale cetrée réduite. O cosidère l espace de Hilbert H = L 2 ([, 1], dx) et l o ote (χ ) N ue base orthoormée de H. O ote, f H, I(f) t = = f(s)χ (s)ds g (1.4)

46 46 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN (la série covergeat das L 2 ). E rappelat que B t = = χ (s)ds g, I(f) t sera désormais otée f(s)db s. D après l exercice.2.2, la variable f(s)db s est gaussiee, cetrée, de variace f 2 (s)ds. Sa cotiuité e t peut se démotrer à la mai (u peu techique) ou se déduire du théorème Les propriétés suivates sot laissées e exercice au lecteur. Propositio Propriétés de l itégrale de Wieer a) L applicatio f H f(s)db s est liéaire. b) Le processus ( f(s)db s) t [,1] est u processus gaussie cotiu, cetré, de foctio de covariace Γ(s, t) = if(s,t) f 2 (u)du. c) Le processus ( f(s)db s) t [,1] est u processus (Ft B ) t [,1] mesurable à accroissemets idépedats (mais o statioaires). d) Si (f, g) H 2, E e) Les processus [ f(s)db u s g(s)db s ) ( f(s)db s des (F B t ) t [,1] martigales. t [,1] et ] = if(t,u) f(s)g(s)ds. ( ( f(s)db s) 2 ) t f 2 (s)ds t [,1] sot f) Le processus ( f(s)db s) t [,1] est u processus vérifiat la propriété de Markov. Lorsque f est régulière le résultat suivat ous assure que l itégrale de Wieer est défiie ω par ω. Propositio Si f C 1 ([, 1], R), alors, 1 t, f(s)db s = f(t)b t f (s)b s ds. Preuve : O utilise la relatio (1.4) et l idetité suivate f(s)χ (s)ds = ( s ) f (u)du χ (s)ds + f(t) e justifiat la covergece de chaque terme (exercice). χ (s)ds

47 1.3. PROPRIÉTES 47 Remarque Cette costructio élégate de l itégrale de Wieer possède u défaut pricipal. E effet, o e voit pas apparaître clairemet quelles sot les propriétés du M.B qui la rede possible. Nous verros das les chapitres suivats que l orthogoalité des accroissemets joue u rôle essetiel qui est passé sous silece ici (o peut e effet costruire l itégrale de Wieer par rapport à tout processus du secod ordre à accroissemets orthogoaux cf [3]). De plus l idépedace des accroissemets Browies va ous permettre (cf le chapitre cocerat la costructio de l itégrale stochastique) d itégrer o seulemet des foctios mais ue large famille de processus. Exercice Ue versio élémetaire de Fubii-stochastique Soit f : [, 1] 2 R ue foctio cotiue, le but de l exercice est de justifier l égalité suivate 1 1 f(s, t)db s dt = 1 1 f(s, t)dt db s. a) Justifier que les itégrales ci-dessus ot bie u ses b) E remarquat que ( 1 N ) 1 N 1 ( 1 ) f(s, t)χ (s)ds g dt = f(s, t)dt χ (s)ds g = = et e justifiat le passage à la limite, coclure. Cas où l itégrad est de la forme f(b t ) La propositio suivate propose ue défiitio de l itégrale stochastique pour des itégrads particuliers. Notos que l esprit de cette costructio est très proche de la costructio de l itégrale de Lebesgue par somme de Riema. Propositio Soit f : R R ue foctio dérivable à dérivée borée. Alors, la série 1 Z = f(b ti )(B t(i+1) B ti ) (1.5) i= coverge das L 2 et o ote f(b s)db s sa limite (qui e suit pas e gééral ue loi ormale). Preuve : La preuve de cette propositio sera doée das la suite du cours. Remarque Lorsque f est ue foctio régulière, le théorème de Riema ous assure que 1 f(x i )( t(i+1) ti) coverge vers f(s)ds si xi [ ti, t(i+1) ]. i=

48 48 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN O a doc le choix de la positio du poit x i das l itervalle [ ti ]. E ce qui cocere l itégrale stochastique défiie ci-dessus, cette propriété est plus vérifiée. Le choix de f(b ti ) est pas aodi (cette variable est otammet idépedate de l icrémet (B t(i+1) B ti ) ). D autres choix coduiset à d autres ( B ) t(i+1) itégrales. Par exemple e preat f o costruit l itégrale dite de +B ti 2, t(i+1) Stratoovitch dot le comportemet est très différet. Attardos ous u istat sur ce derier poit. Lorsque f = Id l itégrale de Stratoovitch défiie comme état la limite de 1 1(B t(i+1) + B ti )(B t(i+1) B ti ) vaut B2 t. D après l exercice 2 i= 2 ci-dessous, celle ci est différete de B sdb s. Il s agit là d ue différece fodametale etre l itégrale de Riema et l itégrale stochastique. Commetaires Cosidéros u processus stochastique (G t ) dot les trajectoires sot de classe C 1 et F : R R ue foctio de classe C 1, les règles du calcul différetiel classique ous assure que F (G t ) = F (G ) + F (G s )G sds. Ce résultat peut de plus s étedre sas peie aux cas d u processus cotiu dot les trajectoires sot à variatios fiies. Le Browie état pas à variatios fiies (corollaire 1.3.2) la formule précédete e s applique pas a priori. C est ce que ous voyos sur l exemple suivat : Exemple O se propose de calculer B sdb s. Nous devos aisi évaluer la limite das L 2 de 1 B ti (B t(i+1) B ti ). Or i= 1 2 i= B ti (B t(i+1) 1 B ti ) = i= (B 2 t(i+1) 1 B 2 ti ) i= (B t(i+1) B ti ) 2 doc 1 2 i= B ti (B t(i+1) 1 B ti ) = Bt 2 i= (B t(i+1) B ti ) 2. D après la propositio 1.3.6, le derier terme coverge vers t das L 2, aisi 2 B s db s = B 2 t t.

49 1.3. PROPRIÉTES Formule d Itô pour le M.B Propositio Soit f C 2 (R, R) à dérivée secode borée, alors, t [, 1], f(b t ) = f(b ) + f (B s )db s La otatio différetielle de cette égalité est df(b s ) = f (B s )db s + f (B s )ds. f (B s )ds P ps. Preuve : D après la défiitio proposée das la propositio , Par ailleurs, f (B s )db s = lim L 2 f(b t ) f(b ) = Z = lim L 2 1 i= 1 i= (f(bt(i+1) f (B ti )(B t(i+1) ) f(b ti )) et, d après le théorème cocerat les sommes de Riema, f (B s )ds = 1 lim ps et L 2 i= f t(i + 1) (B ti )( B ti ). ti ). (1.6) E utilisat la formule de Taylor à l ordre 2 et la cotiuité de la trajectoire avec f(b t ) f(b ) = 1 i= (f(bt(i+1) ) f(b ti )) f(b t(i+1) ) f(b ti ) = f (B ti )(B t(i+1) B ti ) f (B αi )(B t(i+1) où α i est ue variable aléatoire à valeurs das ] ti, t(i+1) [. Il suffit doc de motrer que lim L 1 1 f (B αi )(B t(i+1) i= B ti ) 2 = f (B s )ds B ti ) 2 pour coclure par uicité des limites das L 1 (o rappelle que la covergece das L 2 implique celle das L 1 ). Ceci se motre e deux temps.

50 5 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN avec et Tout d abord d après l iégalité de Schwartz [ 1 ( E i= f (B αi ) f (B ti ) ) (B t(i+1) [ f U = E sup i (B αi ) f (B ti ) 2] 1 2 V = E 1 i= (B t(i+1) B ti ] B ti ) 2 U V 2 ) 2 D après la propositio 1.3.6, V t. De plus, U par covergece domiée car la foctio s f (B s ) est presque sûremet uiformémet cotiue sur [, 1] avec f borée. Efi e utilisat les propriétés des accroissemets du M.B et e posat o a Aisi W = E 1 i= [ 1 W = E i= W f 2 ( ( f (B ti ) B t(i+1) B ti f (B ti i= ) ( ( B t(i+1) 1 V ar((b t(i+1) D après (1.6) le résultat e découle. B ti 1 2 ) 2 ( t(i + 1) ) 2 ( t(i + 1). ti )) 2 ti )) ] 2. B ti ) 2 ) = 2 f 2 t 2. Exercice (difficile...) Soit f C 2 (R)telle que [ T ] E (f (B s )) 2 ds < +. ( ) Motrer que t [, T ], f(b t ) = f(b ) + f (B s )db s + 1 f (B s )ds P ps. 2 (O pourra admettre que sous la coditio ( ) la propositio reste valide mais avec de la covergece e probabilité et o L 2.) O pourra oter que cette ouvelle coditio est beaucoup souple et permet otammet d appliquer la formule d Itô avec pour foctio f l expoetielle.

51 1.3. PROPRIÉTES 51 Le graphique suivat illustre de maière umérique, la écessité d u calcul différetiel spécifique pour le M.B. E oir est représeté ue trajectoire de Bt 2 (simulé à l aide de la méthode issue du théorème de Dosker), e oir ue trajectoire de 2 B sdb s (simulée e reveat à la défiitio de la propositio ) et e rouge ue trajectoire de 2 B sdb s + t. O observe doc la écessité du terme correctif. #"( #"& #"$ #"!!"*!"(!"&!"$!"!!!"$!!"&!"!!"#!"$!"%!"&!"'!"(!")!"*!"+ #"! Applicatios de l itégrale de Wieer Le processus d Orstei-Uhlebeck Nous avos itroduit au début de ce chapitre le M.B comme u modèle du mouvemet d ue particule soumise à des chocs aléatoires dus à l agitatio thermique d u fluide. Nous avos vu égalemet que le fait de égliger la masse de la particule (pas d iertie) etraîe la o dérivabilité des trajectoires ce qui est pas très satisfaisat. Le modèle suivat, plus proche de la réalité a été proposé par Lagevi ([1]). Ue particule de masse m, aimée d ue vitesse V (t) est soumise à deux forces : a) Ue force de frottemet due à la viscosité du fluide f = kv (où k est ue costate positive liée au rayo de la particule),

52 52 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN b) Ue force complémetaire η sythétisat la résultate des chocs aléatoires des molécules de fluide eviroates et décrite par Lagevi : «elle est idifféremmet positive et égative, et sa gradeur est telle qu elle maitiet l agitatio de la particule que, sas elle, la résistace visqueuse fiirait par arrêter». Das ce cas le pricipe fodametal de la dyamique assure que mdv (t) = kv (t)dt + η(t)dt. (1.7) Le terme η(t)dt représete doc la variatio de quatité de mouvemet dm(t) etre t et t + dt. E supposat que a) dm(t) = M(t + dt) M(t) est idépedat de σ(m s ; s t). b) La loi de dm(t) e déped pas de t. c) t M(t) est cotiue. De plus, e supposat (cf citatio) que E[M(t)] =, o peut poser M(t) = σb t. L equatio (1.7) deveat O a alors la défiitio suivate : mdv (t) = kv (t)dt + σdb t. (1.8) Défiitio Le processus d Orstei-Uhlebeck est la solutio de l équatio suivate X t = X a X s ds + σb t (1.9) où (a, σ) R 2 et X est ue variable aléatoire idépedate du M.B. Propositio L équatio (1.9) a pour uique solutio le processus cotiu ) X t = e (X ta + σ e as db s. (1.1) La figure suivate représete ue simulatio sous scilab d ue trajectoire du processus X t avec a = σ = 1 et X =.

53 1.3. PROPRIÉTES 53!"&!"$!"!!!"$!!"&!!"(!!"*!"!!"#!"$!"%!"&!"'!"(!")!"*!"+ #"! Preuve de la propositio : D après la propositio 1.3.1, ) X t = e (X ta + σe at B t σa e as B s ds. E employat ue versio stochastique de Fubii (exercice 1.3.1) o a a X s ds = ax e as ds + aσ U rapide calcul doe alors a B s ds a 2 σ X s ds = X X t + σb t, e as ( s ) e au B u du ds. ce qui prouve l existece. Pour ce qui est de l uicité, si X 1 et X 2 sot toutes deux solutios de (1.9), alors le processus Z = X 1 X 2 vérifie l équatio itégrale suivate Z t = a Z s ds dot l uique solutio est d après le lemme suivat la solutio ulle. Lemme (Growall) Soiet T R +, K R +, φ : R + R +, ψ : R + R + tels que t [, T ] φ(t) K + φ(s)ψ(s)ds <

54 54 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN et Alors, T ψ(s)ds <. φ(t) Ke R t ψ(s)ds. La figure suivate est ue simulatio scilab du flot du processus d O.U c est à dire de l applicatio x [, 1] (X x t (ω)) t [,1] où ω est fixé et où X x est le processus d O.U de coditio iitiale x [, 1]. &"$ &"# %"$ %"#!"$ '!"# #"$ #"#!#"$!!"# #"# #"% #"(. #") #"+!"#!"# #", #"+ #"* #") #"$ - #"( #"& #"% #"! #"# Das le cas où la coditio iitiale est gaussiee, ous avos la propositio suivate qui est ue coséquece immédiate de la propositio Propositio Supposos X N (m, σ) 2 idépedate du M.B, alors, (X t ) est u processus gaussie de foctio d espérace et de foctio de covariace E[X t ] = me at ( cov(x s, X t ) = e a(t+s) σ + σ2 ( e 2a if(s,t) 1 )). 2a

55 1.3. PROPRIÉTES 55 Le processus de Vasicek Le procesus de Vasicek est ue variate du processus d O.U où u coefficiet de dérive costat à été ajouté. Il iterviet de maière pratique das la modélisatio des courbes de taux courts e fiace (cf. [11]). Le but est pas ici de préseter les pricipes de base de cette modélisatio mais de familiariser le lecteur aux calculs sous-jacets. Soit Y t le processus vérifiat dy t = a(b Y t )dt + σdb t. O remarque aisémet que le processus X t = Y t b vérifie l équatio (1.9) Aisi, Y t = e ta (Y b) + b + σ e (at s) db s. Nous avos alors l aalogue de la propositio : si Y N (m, σ) 2 est idépedate du M.B, Y est u processus gaussie de foctio d espérace et de foctio de covariace E[X t ] = me at + b(1 e at ) ( cov(y s, Y t ) = e a(t+s) σ + σ2 ( e 2a if(s,t) 1 )). 2a Exercice Calcul du prix d u zéro coupo Le But de l exercice est de calculer t T, P (t, T ) = E [e R T t Y udu F B t ]. O cosidère que Y N (m, σ 2 ) et est idépedate du M.B. a) E utilisat l exercice 1.3.1, motrer que Z t := Y u du = 1 a ( b(at 1 e at ) + Y (1 e at ) + σ ) (1 e a(t u) )db u. b) E utilisat la propositio.4.3, calculer E[e iu(zt Zs) ] pour s t T et u R.

56 56 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN et c) E déduire que coditioellemet à F B t, Z t Z s N (M(s, t), V (s, t)) avec V (s, t) = σ2 a (1 2 e a(t s) ) 2 + σ2 a 2 M(s, t) = b(t s) + a 1 (Y s b)(1 e a(t s) ) ( (t s) + (1 e 2a(t s) ) 2(1 ) e a(t s) ). 2a a d) Motrer que P (t, T ) = e M(t,T )+ 1 2 V (t,t ).

57 Bibliographie [1] P. Billigsley : Covergece of probability measures, Wiley, [2] L. Bachelier : Théorie de la spéculatio (Thèse), Aales scietifiques de l Ecole Normale Supérieure, 3e série, tome 17, pp 21-86, Paris, Gauthier- Villars, 19. Réédité par Jacques Gabay, 1984, ISBN [3] N. Bouleau : Processus stochastiques et applicatios, Herma, [4] M. Briae, G. Pagès : Théorie de l itégratio, Vuibert, 26. [5] D. Dacuha-Castelle, M. Duflo : Probabilités et statistiques 2, Masso, [6] A. Eistei : Mouvemet des particules e suspesio das u fluide au repos, comme coséquese de la théorie ciétique moléculaire de la chaleur, Oeuvres choisies : tome 1, Quata, textes choisis par F. Balibar, O. Darrigol et B. Jech, Éditios du Seuil/Éditios du CNRS, [7] X. Ferique : Cotiuité des processus gaussies, Sémiaire Fortet, 1965, o publié. [8] A. M. Garsia, E. Rodemich, H. Rumsey,Jr : A real variable lemma ad the cotiuity of paths of some gaussia processes, Idiaa Uiv. Math. J., vol 2, , 197. [9] J. P. Kahae : Le mouvemet Bowie : u essai sur les origies de la théorie mathématique, (dispoible e lige à l adresse http :// sem-cog pdf ). [1] P. Lagevi : Sur la théorie du mouvemet browie, Comptes-Redus de l Académie des Scieces 146 (198), [11] D. Lamberto, B. Lapeyre : Itroductio au calcul stochastique appliqué à la fiace, Secod editio, Ellipses, Paris, [12] P. Lévy : Processus stochastiques et mouvemet Browie, Gauthier- Villars, Paris, 1948, 2 e me éditio, [13] R.E.A.C. Paley, N. Wieer : Fourier trasforms i the complex domai, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 17, New-York,

58 58 BIBLIOGRAPHIE [14] P. Priouret : Itroductio aux processus de diffusio, Cours DEA Paris 6 dispoible e lige à l adresse http :// [15] D. Revuz, M. Yor : Cotiuous martigales ad Browia motio, Spriger, 3ème editio, [16] N. Wieer : Differetial space, J. Math. Phys., 2, , 1923.

59 Chapitre 2 L itégrale stochastique, les processus d Itô. Das toute cette partie (B t ) t [,T ] est u M.B stadard défii sur u espace de probabilité (Ω, A, P ). Cette espace de probabilité est de plus équipé de la filtratio aturelle du M.B (F B t ) t [,T ]. Le but est ici de gééraliser la costructio de l itégrale de Wieer lorsque l itégrad est u processus stochastique de carré itégrable régulier. Les remarquables propriétés du mouvemet Browie vot ous permettre très simplemet de costruire cette itégrale stochastique sur E([, T ] Ω) et de l étedre, grâce à ue propriété d isométrie, à L 2 prog(ω [, T ]). Notos que le prix à payer pour cette costructio est de pouvoir uiquemet itégrer des processus aticipat pas sur le Browie ce qui est suffisat pour les applicatios fiacières élémetaires. 2.1 Itégrale stochastique sur E([, T ] Ω) O se doe 1 X t = F ti 1 [ti,t i+1 [(t) (2.1) i=1 das E([, T ] Ω) (otos qu alors t 1... t T et F ti L 2 (F ti )) Défiitio Défiitio O pose T 1 X s db s = F ti (B ti+1 B ti ). i=1 59

60 6CHAPITRE 2. L INTÉGRALE STOCHASTIQUE, LES PROCESSUS D ITÔ. Remarque Lorsque t T o défiit aturellemet X s db s = T 1 X s 1 [,t] (s)db s = F ti (B (ti+1 t) B (ti t)). (2.2) Bie etedu, lorsque X est ue foctio e escalier (F ti est alors costate) cette défiitio coïcide avec celle de l itégrale de Wieer (cf. (1.4)). Cepedat, il est importat de oter qu e gééral le processus X sdb s a aucue raiso d être gaussie. i= Propriétés Propositio Sur l esemble E([, T ] Ω) l itégrale stochastique satisfait les propriétés suivates : a) X X sdb s est liéaire. b) Le processus ( X sdb s ) t [,T ] est à trajectoires cotiues. c) Le processus ( X sdb s ) t [,T ] est adapté à (Ft B ) t [,T ]. [ ] ( t ) [ d) E X t ] sdb s = et V ar X t sdb s = E X2 s ds. e) O a pour s t T, [ ] [ ( ) 2 ] [ E X u db u Fs B = et E X u db u Fs B = E Xudu F 2 s B s s (2.3) f) Le processus ( X sdb s ) t [,T ] est ue (Ft B ) t [,T ] martigale cotiue de carré itégrable, de plus, [ E sup t T ] [ T X s db s 2 4E s ]. ] Xudu 2. (2.4) Preuve de la propositio : le poit a) est évidet, les poits b) et c) se déduiset immédiatemet de (2.2) et le poit d) du poit e) (e preat s = ). Démotros e) : Nous supposos sas perte de gééralités (quitte à rajouter deux poits à la subdivisio) que s = t j et t = t k. Aisi,

61 2.1. INTÉGRALE STOCHASTIQUE SUR E([, T ] Ω) 61 E E [ X udb u F B s ] = E = j 1 i=1 = j 1 i=1 [ k 1 ] F ti (B ti+1 B ti ) Ft B j i=1 ] E [F ti (B ti+1 B ti ) F Btj + k 1 ] E [F ti (B ti+1 B ti ) F Btj F ti (B ti+1 B ti ) + k 1 = s X udb u +. Pour la deuxième partie le calcul se fait das le même esprit. [ ( t s X udb u ) 2 F B s ] = E = k 1 i=j E i=j i=j ( 2 k 1 F ti (B ti+1 B ti )) F B i=j [ ] Ft 2 i (B ti+1 B ti ) 2 Ft B j + 2 j i<l k 1 E [F ti E [ ] ] (B ti+1 B ti ) F Bti F Btj t j ] E [F tl F ti (B ti+1 B ti )(B tl+1 B tl ) F Btj E utilisat pour la première somme le fait que E[. Ft B j ] = E[E[. Ft B i ] Ft B j ] et pour la secode que E[. Ft B j ] = E[E[. Ft B l ] Ft B j ], o obtiet [ ( ) ] 2 t E X s udb u F B s = k 1 [ ] E Ft 2 i (t i+1 t i ) Ft B j + i=j = E [ s X2 udu F B s Le poit f) est ue coséquece de e) et du théorème.5.3. Exercice a) Motrer que pour X et Y das E([, T ] Ω) et v, t s o a [( ) ( v ) ] [ v ] E X u db u Y u db u Fs B = E X u Y u du Fs B. ( X udb u ) 2 X2 udu est ue (F B t ) t [,T ] marti- b) Motrer que le processus gale. s s s ]. Remarque La propriété d) dot o tire ( T ) [ ( T ) 2 ] [ T V ar X s db s = E X u db u = E ] Xs 2 ds (2.5) est fodametale. Elle traduit le fait que l applicatio X T X sdb s est ue isométrie de E([, T ] Ω) sur l espace des martigales sur [, T ], cotiues et de carré itégrable (espace que l o otera doréavat M 2 ([, T ])), ces espaces état muis de leur orme aturelle (voir chapitre ).

62 62CHAPITRE 2. L INTÉGRALE STOCHASTIQUE, LES PROCESSUS D ITÔ. 2.2 Extesio à L 2 prog(ω [, T ]) Par u argumet classique que ous allos éamois détailler (prologemet des applicatios uiformémet cotiues à valeurs das u espace complet) il est possible de prologer l itégrale défiie das le paragraphe précédet au cas des itégrads das L 2 prog(ω [, T ]). Nous rappelos que le théorème.5.2 ous assure la desité de E([, T ] Ω) das L 2 prog(ω [, T ]). Propositio Soit X L 2 prog(ω [, T ]). Si Φ et Φ sot deux suites das E([, T ] Ω) qui coverget vers X das L 2 prog(ω [, T ]) alors lim. Φ (., s)db s = lim M 2 ([,T ]). Φ (., s)db s. Preuve : Deux choses sot à démotrer. Tout d abord si Φ coverge das L 2 prog(ω [, T ]) o veut la covergece de. Φ (., s)db s das M 2 ([, T ]). Comme M 2 ([, T ]) est complet (propositio.5.6), il suffit de démotrer que. Φ (., s)db s est de cauchy das M 2 ([, T ]) ce qui est ue simple coséquece de (2.5). Pour motrer que la limite est idépedate de la suite approximate o utilise ue ouvelle fois (2.5). O a comme coséquece de la propositio précédete ue défiitio o ambigüe de l itégrale stochastique pour X L 2 prog(ω [, T ]). Défiitio Si X L 2 prog(ω [, T ]) et si Φ est ue suite das E([, T ] Ω) qui coverge vers X das L 2 prog(ω [, T ]), o ote (. X sdb s ) la limite de (. Φ (., s)db s ) das M 2 ([, T ]) Remarque Le fait d avoir défii (. X sdb s ) globalemet ( plutôt que t par t) permet d obteir directemet la cotiuité et le caractère martigale du processus limite. Notos au passage que cette itégrale est défiie à modificatio près. U bo etraîemet est de démotrer que ous avos l aalogue de la propositio Propositio Sur l esemble L 2 prog(ω [, T ]) l itégrale stochastique satisfait les propriétés suivates : a) X X sdb s est liéaire.

63 2.2. EXTENSION À L2 P ROG (Ω [, T ]) 63 b) Le processus ( X sdb s ) t [,T ] est à trajectoires cotiues. c) Le processus ( X sdb s ) t [,T ] est adapté à (Ft B ) t [,T ]. [ ] ( t ) [ d) E X t ] sdb s = et V ar X t sdb s = E X2 s ds. e) O a pour s t T, [ ] [ ( ) 2 ] [ E X u db u Fs B = et E X u db u Fs B = E Xudu F 2 s B s s (2.6) f) Le processus ( X sdb s ) t [,T ] est ue (Ft B ) t [,T ] martigale cotiu de carré itégrable, de plus, [ E sup t T ] [ T X s db s 2 4E s ]. ] Xudu 2. (2.7) Remarque L itégrale stochastique coïcide avec l itégrale de Wieer et avec l itégrale défiie à la propositio ( ou à l exercice mais c est plus dur...). E effet, das le cadre de la propositio , il suffit de motrer que le processus Z = 1 Or i= f(b T i )1 coverge vers f(b) das ] T i, T (i+1) ] L2 prog(ω [, T ]). E [ ] 1 T (f(b s) Z (s)) 2 2 ds = E [ 1 i= T (i+1) T i i= ( f(b s ) f(b T i ( 1 ) 1 f T (i+1) T i (s T i)ds 2 T f 2. ) ] ) ds Aisi, lim. Z (., s)db s = M 2 ([,T ]) 1 lim i= f(b T i )(B B T (i+1). T i.) = M 2 ([,T ]). Φ (., s)db s.

64 64CHAPITRE 2. L INTÉGRALE STOCHASTIQUE, LES PROCESSUS D ITÔ. 2.3 Processus d Itô Défiitio U processus d Itô est u processus adapté et cotiu sur [, T ] de la forme X t = X + ψ s ds + φ s db s (2.8) où φ et ψ appartieet à L 2 prog(ω [, T ]) et X L 2 (F ). O adoptera souvet la otatio différetielle suivate dx s = ψ s ds + φ s db s. Propositio L écriture (2.8) est uique (à modificatio près). Preuve : Il s agit d ue applicatio directe de la propositio.5.5. Corollaire D après la propositio.5.5, u processus d Itô est ue martigale ssi sa partie e ds (ψ) est ulle. Défiitio De maière très aturelle, o peut étedre la otio d itégrale stochastique au cas des processus d Itô. Si X est de la forme (2.8), alors, pour θ L 2 prog(ω [, T ]) vérifiat θψ L 2 prog(ω [, T ]) et θφ L 2 prog(ω [, T ]). O défiit θ sdx s par θ s dx s = θ s ψ s ds + θ s φ s db s. (2.9) Nous avos ue formule de chagemet de variables pour les processus d Itô das l esprit de la propositio La démostratio est laissée au lecteur car les grades liges sot idetiques à celles de la preuve effectuée das le cas du Browie. Propositio Soit X u processus d Itô de la forme (2.8), si f C 2 (R, R) est à dérivées borées alors, f(x t ) = f(x ) + f (X s )dx s f (X s )φ 2 sds. (2.1) Remarque Le caractère boré des dérivées est très cotraigat, il est imposé pour que les itégrales cosidérées aiet u ses. Nous diros quelques mots das le prochai paragraphe cocerat les extesios possibles de la formules d Itô qui écessitet ue extesio de la otio même d itégrale d Itô. Notos cepedat que les coditios (das l esprit de l exercice 1.3.3) f (X)ψ L 2 prog(ω [, T ]), f (X)φ L 2 prog(ω [, T ]) et f (X s )φ 2 L 2 prog(ω [, T ]) assure la validité de (2.1) sas hypothèses de boritude sur f et ses dérivées.

65 2.4. CALCUL D ITÔ ÉTENDU 65 La formule d Itô se gééralise très simplemet pour les foctios dépedat du temps. Das ce cas ous avos égalemet l aalogue de la remarque précédete. Propositio Soit X u processus d Itô de la forme (2.8), si f C (1,2) ([, T ] R, R) est à dérivées borées alors, f(t, X t ) = f(, X ) + f x(s, X s )dx s f xx(s, X s )φ 2 sds + f t(s, X s )ds. (2.11) 2.4 Calcul d Itô étedu La partie de ce cours cocerat les martigales état réduite à la portio cogrue (absece de la otio de temps d arrêt), les résultats présetés das cette sectio vot être admis et serot au besoi utilisés (lorsque que les coditios d itégrabilité des processus ferot défaut). Nous revoyos le lecteur à [3] pour les démostratios correspodates qui par leur caractère techique e sot pas exactemet das l esprit de ce cours. Les résultats suivats ayat des applicatios fiacières itéressates sot à méditer. La coditio X L 2 prog(ω [, T ]) imposée pour la costructio de l itégrale stochastique sera par momet trop cotraigate. Elle peut cepedat être relaxée de maière substatielle. O défiit les esembles suivats H 2 loc(ω [, T ]) = { (X t ) t [,T ] prog mes; T } Xs 2 ds < P p.s et H 1 loc(ω [, T ]) = Notos que de maière évidete { T } (X t ) t [,T ] prog mes; X s ds < P p.s. L 2 prog(ω [, T ]) Hloc(Ω 2 [, T ]) Hloc(Ω 1 [, T ]). Propositio O peut étedre l itégrale stochastique aux élémets de Hloc 2 (Ω [, T ]). Das ce cas, le processus X sdb s est plus écessairemet ue martigale (e particulier E[ X sdb s ] peut être o ulle). Les propriétés a), b) et c) de la propositio sot cepedat coservées.

66 66CHAPITRE 2. L INTÉGRALE STOCHASTIQUE, LES PROCESSUS D ITÔ. Remarque Le maque d itégrabilité de l itégrad va se traduire pour ous par u maque de régularité de l itégrale stochastique correspodate. Le processus X sdb s est cepedat cou das la littérature sous le om de martigale locale (ce est certes pas ue martigale mais o e est pas très loi). O va défiir égalemet les processus d Itô gééralisés. Défiitio U processus d Itô (gééralisé) est u processus adapté et cotiu sur [, T ] de la forme X t = X + ψ s ds + φ s db s (2.12) où φ Hloc 2 (Ω [, T ]), ψ H1 loc (Ω [, T ]) et X est F B souvet la otatio différetielle suivate mesurable. O adoptera dx s = ψ s ds + φ s db s. Propositio L écriture (2.12) est uique au ses où implique X t = X + ψ s ds + φ s db s = X + ψ sds + X = X P p.s, ψ = ψ dx P p.s, φ = φ dx P p.s. Nous avos égalemet l aalogue du corollaire 2.3.1, φ sdb s (2.13) Propositio Si (X t ) est ue martigale de la forme 2.12 alors ψ = dx P p.s. La formule d Itô possède elle aussi ue extesio das ce ouveau cadre. Le fait d avoir affaiblit les coditios d itégrabilité ous permet d obteir l aalogue de 2.1 pour des foctios beaucoup mois régulières. Propositio Soit X u processus d Itô de la forme (2.12), si f C 2 (R, R), alors, où f(x t ) = f(x ) + f (X s )dx s = f (X s )dx s f (X s )ψ s ds + f (X s )φ 2 sds. (2.14) f (X s )φ s db s. Si la foctio f déped du temps, ous avos la propositio suivate :

67 2.5. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES STOCHASTIQUES (EDS) 67 Propositio Soit X u processus d Itô de la forme (2.12), si f C (1,2) ([, T ] R, R), alors, f(t, X t ) = f(, X ) + f x(s, X s )dx s f xx(s, X s )φ 2 sds + f t(s, X s )ds. (2.15) Efi, lorsque la foctio est défiie que sur u ouvert Θ de R (par exemple la foctio log) la formule d Itô possède l extesio suivate : Propositio Soit X u processus d Itô de la forme (2.12) vérifiat t [, T ], X t Θ P p.s. S f C 2 (Θ, R), alors, f(x t ) = f(x ) + f (X s )dx s f (X s )φ 2 sds. (2.16) où f (X s )dx s = f (X s )ψ s ds + f (X s )φ s db s. Exercice Soiet X et Y deux processus d Itô sur [, T ] de la forme X t = X + ψ s ds + φ s db s et Motrer que Y t = Y + ψ sds + φ sdb s. X t Y t = X Y + Y s dx s + X s dy s + φ s φ sds. (2.17) (Hit : o pourra appliquer la formule d Itô à (X t + Y t ) 2, X 2 t et Y 2 t.) 2.5 Equatios différetielles stochastiques (EDS) Le cas du Browie géométrique O rappelle (def 1.3.1) qu u mouvemet Browie géométrique de drift b et de volatilité σ 2 ((b, σ) R 2 ) est le processus cotiu (S t ) t [,T ] défii par S t = x e (b 1 2 σ2 )t+σb t. (2.18)

68 68CHAPITRE 2. L INTÉGRALE STOCHASTIQUE, LES PROCESSUS D ITÔ. O predra ici x > de sorte que t [, T ], X t >. E appliquat la formule 2.15 avec f(t, x) = x e (b 1 2 σ2 )t+σx et X t = B t = db s, o obtiet t [, T ] S t = f(t, B t ) = f(, B ) + et doc S t = f(t, B t ) = x + (b 1 2 σ2 ) f s(s, B s )ds + S s ds + σ f x(s, B s )db s f x (s, B s )ds S s db s σ2 S s ds. E utilisat la otatio différetielle le processus (S t ) vérifie l équatio de coditio iitiale S = x. ds t = bs t dt + σs t db t (2.19) Cette équatio, très célèbre e fiace, est coue sous le om d équatio de Black et Scholes Remarque D après la propositio 1.3.1, lorsque b =, le processus S t est ue martigale. Ce type de processus porte alors le om de martigale expoetielle. Cocerat l équatio 2.19, la propositio suivate assure l uicité de la solutio. Propositio Pour (b, σ) R 2, il existe u uique (au ses de l idistiguabilité) processus d Itô (S t ) vérifiat ds t = bs t dt + σs t db t (avec S = x ). Ce processus est doé par Preuve : Soit (X t ) vérifiat X = x et dx t = bx t dt + σx t db t. O pose Z t = S = e ( b+ 1 2 σ2 )t σb t = e (b 1 2 σ 2 )t+σ B t S t où σ = σ et b = b+σ 2. Aisi, par aalogie avec le calcul effectué précédemmet, Z t = 1 + Z s (b ds + σ db s ) = 1 + Z s (( b + σ 2 )ds σdb s ). D après l exercice 2.4.1, o déduit facilemet que d(x t Z t ) =. Aisi, t [, T ], X t = S t P p.p. Le processus X t est doc ue modificatio de S t. Les deux processus état cotius ils sot idistiguables.

69 2.5. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES STOCHASTIQUES (EDS) Le cas gééral Nous revoyos le lecteur à (par ordre croissat de difficulté) [6], [8] et [9] pour de plus amples détails cocerat ce sujet. O cosidère les équatios de la forme géérale suivate : de coditio iitiale (C.I) X = Z. dx t = b(t, X t )dt + σ(t, X t )db t (2.2) O défiit e premier lieu la otio de solutio d ue telle équatio : Défiitio O se doe b : R + R R, σ : R + R R et Z F B mesurable. Trouver ue solutio à l équatio 2.2, reviet à trouver u processus (X t ) t [,T ] cotiu et adapté vérifiat : a) t [, T ], les itégrales b(s, X s)ds et σ(s, X s)db s ot u ses i.e (σ(t, X t )) t [,T ] Hloc 2 (Ω [, T ]) et (b(t, X t)) t [,T ] Hloc 1 (Ω [, T ]). b) (X t ) t [,T ] vérifie 2.2. Le résultat suivat doe des coditios suffisates de type lipschitz sur les foctios b et σ pour obteir l existece et l uicité d ue solutio pour l équatio 2.2. Comme pour les équatios différetielles ordiaires (EDO) elles e sot pas écessaires (voir [9]). Théorème Soiet b et σ deux foctios cotiues vérifiat K > avec a) b(t, x) b(t, y) + σ(t, x) σ(t, y) K x y b) b(t, x) + σ(t, x) K(1 + x ). Si E[Z 2 ] <, l équatio 2.2 admet ue uique solutio (X t ) t [,T ] (au ses de l idistiguabilité). Cette solutio vérifie de plus la coditio d itégrabilité suivate : E[ sup X t 2 ] <. t T Idée de la preuve : Comme souvet lorsque ous avos affaire à des équatios différetielles (ordiaires ou stochastiques) la preuve de l existece fait iterveir u argumet de poit fixe et celle de l uicité u argumet de type lemme de

70 7CHAPITRE 2. L INTÉGRALE STOCHASTIQUE, LES PROCESSUS D ITÔ. Growall. Etape 1 : O travaille sur le bo espace : S O défiit l espace complet suivat : S = {(X t ) t [,T ] ; (X t ) t [,T ] processus C et adapté tel que E[ sup X t 2 ] < } t T équipé de la orme défiie par X S = E[ sup X t 2 ] 1 2 t T Etape 2 : O applique le théorème de poit fixe de Picard pour T petit Soit F l applicatio qui à u processus (X t ) t [,T ] associe le processus (F (X) t ) t [,T ] défii par F (X) t = Z + A) F est bie défiie b(s, X s )ds + σ(s, X s )db s. D après la coditio b), lorsque (X t ) t [,T ] S, les processus σ(t, X t )) t [,T ] et (b(t, X t )) t [,T ] sot das L 2 prog(ω [, T ]). (Notos qu alors le processus σ(s, X s)db s est ue martigale de carré itégrable). B) F (S) S Comme (u + v) 2 2(u 2 + v 2 ), F (X) t F () t 2 2( sup t T or d après a) E[ sup t T et d après 2.4 et a) E[ sup t T (b(s, X s ) b(s, ))ds 2 + sup t T (b(s, X s ) b(s, ))ds 2 ] K 2 T 2 E[ sup X t 2 ] t T (σ(s, X s ) σ(s, ))db s 2 ] 4K 2 T E[ sup X t 2 ]. t T (σ(s, X s ) σ(s, ))db s 2 )

71 2.5. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES STOCHASTIQUES (EDS) 71 Aisi F (X). S 2(K 2 T 2 + 4K 2 T ) X. S + F (). S. De plus, e remarquat que (a + b + c) 2 3(a 2 + b 2 + c 2 ), F () t 2 3(Z 2 + sup t T et doc d après b) et 2.4 b(s, )ds 2 + sup t T F (). S 3(E[Z 2 ] + K 2 T 2 + 4K 2 T ) < ce qui etraîe le résultat car F (X) S < doc X S. C) Par u calcul e tout poit aalogue à celui meé au B), σ(s, )db s 2 ) F (X) F (Y ) S 2(K 2 T 2 + 4K 2 T ) X Y S, l applicatio F est doc lipschitziee de rapport 2(K 2 T 2 + 4K 2 T ). Pour T suffisammet petit c est même ue cotractio stricte!!! D) Pour T = T petit, F admet doc u uique poit fixe das S, ce poit fixe est ue solutio de 2.2 sur [, T ]. La solutio de 2.2 sur [, T ] est doc uique si o se restreit à S. Etape 3 : Uicité de la solutio de 2.2 sur [, T ] O passe de l uicité sur S à l uicité e gééral (sur [, T ]) e utilisat u argumet que ous admettros (cf [5] pour ue preuve de cette étape utilisat la otio de temps d arrêt et le lemme de Growall). Etape 4 : Passage du local au global O passe de l existece et de l uicité sur [, T ] à celles sur [, T ] e travaillat successivemet sur [, T ], [T, 2T ],... et e recollat les résultats Propriété de Markov des solutios O ote das ce paragraphe (Xs t,x ) s t la solutio de l équatio (2.2) qui part de x à l istat t soit X t,x s = x + s t b(u, X t,x u )du + s t σ(u, X t,x u )db u.

72 72CHAPITRE 2. L INTÉGRALE STOCHASTIQUE, LES PROCESSUS D ITÔ. Les résultats suivats bie que doés sas démostratio (voir par exemple???) sot extrémemet importats et permettet das certais cas u calcul relativemet simple des espéraces coditioelles associées aux solutios d ue EDS. Propositio Sous les coditios du théorème si s t, X,x s = X t,x,x t s P.p.p. (2.21) Propositio Sous les coditios du théorème 2.5.1, la solutio de (2.2) est u processus de Markov au ses où pour toute foctio boréliee borée f : R R,si t s, E[f(X t ) F B s ] = Φ(X s ) P.p.p. (2.22) où Φ(x) = E[f(X s,x t )]. De plus, si les coefficiets b et σ e dépedet pas de t (o dit alors que l équatio est homogèe) où Ψ(x) = E[f(X,x t s)]. E[f(X t ) F B s ] = Ψ(X s ) P.p.p. (2.23) Commet simuler ue EDS (u premier pas) De ombreuses EDS e peuvet se résoudre explicitemet. C est pourquoi il est parfois commode de disposer de méthodes umériques d approximatio. Nous présetos ici brièvemet la méthode la plus simple qui est u schéma d approximatio à l ordre 1. Notos que les méthodes pour les EDS sot directemet issues de celles utilisées pour les EDO (voir [1], [4] et [2]). Schéma d Euler aléatoire O se limite ici au cas homogèe e cosidérat la solutio (X t ) t [,T ] de l équatio dx t = b(x t )dt + σ(x t )db t avec (C.I) X = x. O cosidère la subdivisio d ordre N N de l itervalle [, T ] et o pose i {,..., N}, t N i = it. La méthode d Euler cosiste à cosidérer le schéma N réccursif suivat, i {1,..., N}, X N (t N i ) = X N (t N i 1) + b(x N (t N i 1)) T N + σ(xn (t N i 1))(B t N i B t N i 1 ) (2.24) avec X N () = x, défii aux poits de la forme t N i. O ote X N le processus sur [, T ] qui est l iterpolatio liéaire par morceaux des poits de la forme (t N i, X N (t N i )). O peut motrer (cf [2]) le résultat suivat :

73 2.5. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES STOCHASTIQUES (EDS) 73 Propositio Das les coditios du théorème 2.5.2, où K e déped que de T. E[ sup t [,T ](X N t X t ) 2 ] K T N D u poit de vue algorithmique, la formule (2.24) est très pratique car elle écessite uiquemet de simuler u échatillo (g i ) de la loi N (, 1) et de subsituer g N i à B t N T i B t N i 1.

74 74CHAPITRE 2. L INTÉGRALE STOCHASTIQUE, LES PROCESSUS D ITÔ.

75 Bibliographie [1] N. Bouleau, D. Talay : Probabilités umériques, INRIA, [2] T. Gard : Itroductio to Stochastic Differetial equatios, Marcel Dekker, [3] I. Karatzas, S. Shreve : Browia Motio ad Stochastic Calculus, Spriger Verlag, New York, 1988 [4] H.J Kusher : Probability Methods for Approximatios i Stochastic Cotrol ad for Elliptic Equatios, Academic Press, New York, [5] D. Lamberto, B. Lapeyre : Itroductio au calcul stochastique appliqué à la fiace, Secod editio, Ellipses, Paris, [6] B. Oksedal : Stochastic Differetial Equatios, Spriger Verlag, Berli, [7] P. Priouret : Itroductio aux processus de diffusio, Cours DEA Paris 6 dispoible e lige à l adresse http :// [8] D. Revuz, M. Yor : Cotiuous martigales ad Browia motio, Spriger, 3ème editio, [9] L.C.G Rogers, D. Williams : Diffusios, Marvov processes ad Martigales, Vol 1. Foudatios, Spriger, Cambridge Uiversity Press, Cambridge, secod editio, 2. 75

76 76 BIBLIOGRAPHIE

77 Chapitre 3 Deux résultats importats Das toute cette partie (B t ) t [,T ] est u M.B stadard défii sur u espace de probabilité (Ω, A, P ). Cette espace de probabilité est de plus équipé de la filtratio aturelle du M.B (F B t ) t [,T ]. O otera E l espérace sous P. 3.1 Théorème de Girsaov Rappel : Nous avos démotré (ex.6.1) que si ue variable aléatoire X suit, sous ue probabilité P, ue N (m, σ 2 ) alors, sous la probabilité Q (équivalete à P ) ayat pour desité par rapport à P X suit ue N (, σ 2 ). L = e mx σ 2 e + m2 2σ 2, (3.1) Le but est de proposer ue versio dyamique de ce résultat das le cas de certais processus gaussies, otammet le mouvemet Browie. Nous allos examier das u premier temps u cas élémetaire. Soit m R, o cosidère le processus ( B t ) t [,T ] défii par B t = B t + mt. (3.2) O peut motrer très simplemet que ( B t ) t [,T ] est u mouvemet Browie sous la probabilité P si et seulemet si m =. Le but est de trouver ue probabilité Q sous laquelle ( B t ) t [,T ] est u mouvemet Browie stadard. Comme B t suit ue N (mt, t), par aalogie avec (3.1) o pose L t = e m B t e m2 t 2 = e mbt e m2 t 2. (3.3) 77

78 78 CHAPITRE 3. DEUX RÉSULTATS IMPORTANTS O a alors a) à t fixé, Bt suit sous la probabilité Q t de desité L t par rapport à P ue N (, t), b) le processus (L t ) t [,T ] est ue martigale sous P. O e déduit la propositio suivate. Propositio Soit m R. Sous la probabilité Q défiie par dq dp = L T, ( B t ) t [,T ] est u mouvemet Browie stadard. Nous auros besoi du petit lemme suivat das la démostratio. Lemme U processus (M t ) t [,T ] est ue martigale sous Q ssi le processus (L t M t ) t [,T ] est ue martigale sous P. Preuve du lemme : Remarquos tout d abord que si Z est Fs B borée, E Q [Z] = E[L s Z]. Si t s et si Y est Fs B mesurable et borée, mesurable et aisi E Q [M t Y ] = E[L T M t Y ] = E[E[L T M t F B s ]Y ] = E[E[E[L T M t F B t ] F B s ]Y ] E Q [M t Y ] = E[E[L t M t F B s ]Y ] = E[ L s L s E[L t M t F B s ]Y ] = E Q [ 1 L s E[L t M t F B s ]Y ]. Doc E Q [M t F B s ] = 1 L s E[L t M t F B s ]. Preuve de la propositio : Tout d abord o motre (exo) que L t Bt est ue P martigale cotiue de carré itégrable ulle e zéro. Esuite, d après la propositio 1.3.2, il suffit de motrer, θ R, que le processus e θ B t θ2 t 2 est ue Q martigale i.e d après le lemme que L t e θ B t θ2 t 2 = e (m+θ)bt 1 2 (m+θ)2t est ue P martigale ce qui est cou.

79 3.2. THÉORÈME DE REPRÉSENTATION DES MARTINGALES BROWNIENNES79 Nous voyos que le processus (L t ) t [,T ] joue ici u rôle fodametal. Il est appellé das la littérature ue martigale expoetielle. Plus gééralemet, si (θ t ) t [,T ] Hloc 2 (Ω [, T ]), o ote L t = e R t θsdbs 1 R t 2 θ2 sds (3.4) et o voit d après la formule d Itô que dl t = L t θ t db t. Exercice ) Motrer que (L t ) t [,T ] est ue surmartigale positive. 2) Motrer que (L t ) t [,T ] est ue martigale ssi E[L T ] = 1. O a alors la gééralisatio suivate de la propositio (cf [1]) Théorème (Girsaov) Soit (θ t ) t [,T ] Hloc 2 (Ω [, T ]) tel que le processus (L t ) t [,T ] défii par L t = e R t θsdbs 1 R t 2 θ2 sds (3.5) soit ue martigale sous P. Sous la probabilité Q défiie par dq dp = R T e θsdbs 1 R T 2 θ2 sds, le processus ( B t ) t [,T ] vérifiat B t = B t + θ sds est u mouvemet Browie stadard. La propositio suivate (cf [1]) ous doe ue coditio d itégrabilité pour l emploi du théorème précédet. Elle doe e effet u critère permettat de vérifier que (L t θ t ) t [,T ] L 2 prog(ω [, T ]) ce qui est suffisat car dl t = L t θ t db t. Propositio Le processus (L t ) t [,T ] défii par (3.5) est ue martigale si E[e 1 2 R T θ2 sds ] <. 3.2 Théorème de représetatio des martigales Browiees Nous savos que lorsque (θ t ) t [,T ] L 2 prog(ω [, T ]) l itégrale stochastique ( θ sdb s ) t [,T ] est ue martigale (par rapport à la tribu Browiee) cotiue et de carré itégrable. Le but de cette partie est de motrer qu e fait toutes les martigales (par rapport à la tribu Browiee) cotiues et de carré itégrable sot de la forme précédete.

80 8 CHAPITRE 3. DEUX RÉSULTATS IMPORTANTS Exemple Nous savos que les processus ((B t ) 2 t) t [,T ] et (e θbt θ2 t 2 ) t [,T ] (θ R) sot des (F B t ) t [,T ] martigales. O a de plus (exemple 1.3.1) et d après la Formule d Itô, B 2 t t = 2 B s db s e θbt θ2 t 2 = θ e θbs θ2 s 2 dbs. Nous auros besoi du lemme techique suivat : Lemme L espace vectoriel V des variables aléatoires de la forme e R T h(s)dbs 1 R T 2 h(s)2 ds (3.6) où h L 2 ([, T ], dx) est dese das L 2 (Ω, F B T, P ). Preuve : Soit Y V, il faut motrer que Y =. Pour (λ 1,..., λ p ) R p et t 1... t p T, (3.6) etraîe Aisi, la mesure défiie A B(R p ) par E[Y e λ 1B t λ pb tp ] =. µ(a) = E[Y 1 A (B t1,..., B tp )] a ue trasformée de Laplace qui est ulle : elle est doc ulle. Doc, G σ(b t1,..., B tp ), E[Y 1 G ] =. Par u argumet classique de classe mootoe (voir???), o motre que G F B T E[Y 1 G ] =. Aisi, Y =. Théorème (Théorème de représetatio d Itô) Soit F L 2 (Ω, F B T, P ), alors il existe u uique (θ t ) t [,T ] L 2 prog(ω [, T ]) tel que F = E[F ] + T θ s db s. (3.7)

81 3.2. THÉORÈME DE REPRÉSENTATION DES MARTINGALES BROWNIENNES81 Preuve : Etape 1 : Cas où F V Si F est de la forme (3.6) o a E[F ] = 1 et la formule d Itô ous assure que F = 1 + T De plus (h(t)l h t ) t [,T ] L 2 prog(ω [, T ]) car R u h(s)2 ds h(u) e R u h(s)dbs 1 2 } {{ } db u. [ T ] T E (h(u)l h u) 2 du = e R u h2 (t)dt h 2 (u)dt e R T T h2 (t)dt h 2 (t)dt < aisi par isométrie, [ ( T ) 2 ] [ T ] E h(u)l h udb u = E (h(u)l h u) 2 du. La propriété (3.7) est doc vrai pour toutes les variables de la forme (3.6) et même (par liéarité) pour toutes les combiaisos liéaires de variables de la forme (3.6). Etape 2 : Cas gééral Das le cas gééral, si F L 2 (Ω, FT B, P ), il existe (lemme 3.2.1) ue suite (F ) N de combiaisos liéaires de variables aléatoires de la forme (3.6) qui coverge vers F das L 2 (Ω, FT B, P ). D après l étape précédete il existe ue suite (θ ) L 2 prog(ω [, T ]) telle que F = E[F ] + T L h u θ s db s. O veut alors légitimer le passage à la limite das la formule précédete. E utilisat les propriétés d isométrie de l itégrale stochastique o motre successivemet que a) La suite (θ ) N est de Cauchy das L 2 prog(ω [, T ]) et doc (théorème.5.2) coverge vers θ L 2 prog(ω [, T ]). b) F = lim L 2 ( F = lim E[F ] + ) T L 2 θ s db s = E[F ] + T θ sdb s. c) La représetatio ci-dessus est uique das L 2 prog(ω [, T ]).

82 82 CHAPITRE 3. DEUX RÉSULTATS IMPORTANTS Théorème (Théorème de représetatio des martigales Browiees) Soit (M t ) t [,T ] ue martigale (par rapport à la tribu Browiee) cotiue et de carré itégrable, alors, il existe u uique (θ t ) t [,T ] L 2 prog(ω [, T ]) tel que M t = E[M ] + θ s db s. (3.8) Preuve : M T L 2 (Ω, FT B, P ), doc il existe u uique (θ t) t [,T ] L 2 prog(ω [, T ]) tel que T M T = E[M T ] + θ } {{ } s db s. E[M ] De plus, d après (2.6) T M t = E[M T Ft B ] = E[M ] + E[ θ s db s Ft B ] = E[M ] + θ s db s. Remarque La preuve ci-dessus est u résultat d existece théorique. Néamois, e utilisat les techiques du Calcul de Malliavi (voir [2]), o peut das certais cas trouver la forme explicite du processus qui iterviet das la représetatio.

83 Bibliographie [1] I. Karatzas, S. Shreve : Browia Motio ad Stochastic Calculus, Spriger Verlag, New York, [2] D. Nualart : The Malliavi Calculus ad related Topics, Spriger Verlag, New York,

84 84 BIBLIOGRAPHIE

85 Chapitre 4 Applicatios à la fiace (cadre gééral) 4.1 Petite itroductio U peu d histoire Jusque das les aées 7, la pratique cocrète et quotidiee des opérateurs e bourse et des agets de chage écessitait très peu de mathématiques. Il s agissait pricipalemet des techiques traditioelles d actuariat. Au vue des moyes techiques relativemet lourds que ous avos exposés das les chapitres précédets et que ous allos appliquer à des problématiques fiacières, ue questio aturelle se pose : Commet e est o arrivé là? Pourquoi ce besoi si coséquet (et si récet) de mathématiques? L explicatio fodametale est l explosio des marchés fiaciers dérivés (otammet des marchés d optio). Ces marchés répodet historiquemet à ue problématique très cocrète de gestio des risques. U exemple majeur est la créatio e Hollade au XVII ème siècle d u marché de la tulipe d u type ouveau. Traditioellemet, ce qu o appelle u marché fiacier est u lieu physique où se joue la loi de l offre et de la demade : cocilier de maière pacifique, les itérêts apparemmet cotradictoires etre vedeurs et acheteurs e proposat u juste prix. E Hollade, de ouvelles techiques d appréhesio de l icertitude vot être mises e place : voulat se prémuir cotre les aléas climatiques qui impliquaiet des variatios de productio et doc de reveu, les producteurs et les acheteurs de bulbes de tulipe euret l idée iovate de mettre e place des istrumets fiaciers (les optios) qui doaiet le droit de fixer à l avace le prix des trasactios futures e échage du versemet d ue prime de départ. L expériece fût de courte durée, lors d u hiver très clémet, le cours du bulbe s effodra, les producteurs exercèret e masse leurs optios et 85

86 86 CHAPITRE 4. APPLICATIONS À LA FINANCE (CADRE GÉNÉRAL) les égociats e puret faire face. Questio : Commet fixer le motat de la prime d u tel produit fiacier (PRICING) et commet utiliser cette prime de maière ratioelle pour pouvoir meer le cotrat à terme idépedammet des scéari possibles (HEDGING)? L explosio récete de ce type de marchés, das les aées 7 aux Etats-Uis (Chicago Board of Optios Exchage e 1973) et das les aées 8 e Europe (Marché d Optios Négociables de Paris e 1987) peut être attribuée à plusieurs causes. Il est cepedat icotestable que cette pratique ait pu se développer e raiso de la créatio de ouveaux outils de gestio des risques liés à certaies propriétés de l itégrale stochastique. Ceci valut à Black, Scholes et Merto (voir [2] et [7]) leur prix Nobel (obteu e 1997 pour leurs travaux datat de 1973) et provoqua u profod bouleversemet coceptuel De l itégrale stochastique? O se place ici volotairemet das u cadre très simple qui se veut éclairat sur le rôle aturel joué par l itégrale stochastique. O omet otammet les problèmes d actualisatio. O se place sur u itervalle de temps [, T ] et o se doe ue subdivisio = t 1 <...t = T de cet itervalle. O cosidère (c est e fait le modèle de Bachelier voir [1]) que le cours (c est à dire le prix) d u actif fiacier à t {t 1,..., t } est doé par B t. O cosidère u trader (u iterveat spécifique du marché qui a le droit de vedre et d acheter cet actif) qui met e place la stratégie suivate : pour f L 2 ([, T ], dx), i {1,..., 1} a) Il achète f(t i ) actifs à t i (au prix B ti ) b) Il les reved à t i+1 (au prix B ti+1 ) c) Il réalise sur la période [t i, t i+1 ] le bééfice f(t i )(B ti+1 B ti ). Sur [, T ] le bééfice est doc doé par 1 f(t i )(B ti+1 B ti ). i=1 Si le tradig s opère e temps cotiu, le bééfice deviet T f(s)db s.

87 4.1. PETITE INTRODUCTION 87 Ceci se gééralise (sas mal et par le même raisoemet) au cas où le cours de l actif est doé par u processus d Itô régulièr (S t ) t [,T ] et au cas où la foctio f est ue foctio aléatoire (u processus) o aticipate (c est à dire prog-mes par rapport à la tribu Browiee) symbolisat ue prise de décisio. Cotiuos l ivestigatio : cosidéros u produit fiacier quelcoque dot la valeur à T otée P (T ) est de la forme P (T ) = k + T f(t)ds t. (4.1) O peut motrer que si le marché vérifie ue hypothèse aturelle (l hypothèse d absece d opportuité d arbitrage, cf ifra) le prix à payer à t = pour disposer de ce produit fiacier est k. De la même maière, si je suis vedeur de ce produit fiacier, e disposat à t = du motat k et e mettat e place la stratégie de positioemet doée par f, je suis capable de livrer le produit à T idépedammet des aléas du cours. Das le cas bie précis où P(T) est de la forme 4.1, o répod aux problèmes du Pricig et du Hedgig. Das le cas où cette hypothèse est vérifiée pour tous les produits fiaciers (o dit alors que le marché est complet), la questio iitiale est etièremet résolue!!! Notos pour coclure que le théorème de représetatio des martigales Browiees vu au chapitre précédet est le résultat théorique fodametal qui assurera la complétude des marchés que ous cosidéreros. C est u des secrets des mathématiques qui se cachet derrière les produit dérivés Le calcul stochastique : ue ouvelle mai ivisible? Au vue des quelques cosidératios évoquées ci-dessus (lie profod etre des mathématiques puissates, belles et certaies problématiques fiacières très cocrètes) la célèbre mai ivisible d Adam Smith (machie parfaite à fabriquer u juste prix) semble avoir perdu u peu de so mystère. Pour fiir cette partie ue aecdote à méditer, propice à la modestie : E 1997 Black, Scholes et Merto reçoivet le prix Nobel d écoomie pour leur approche ovatrice des produits dérivés, u a plus tard leur fod d ivestissemet Log Term Capital Maagemet fait faillite...([3])

88 88 CHAPITRE 4. APPLICATIONS À LA FINANCE (CADRE GÉNÉRAL) 4.2 Modélisatio d u marché fiacier e temps cotiu O se place sur ue période de temps [, T ] (T est appelée l échéace) et sur u espace Ω qui représete toutes les cofiguratios macro-écoomiques possibles durat cet itervalle. L espace Ω est équipé d ue tribu A qui est la structure d iformatio totale et d ue probabilité P appelée probabilité historique. Notos que l iformatio écessaire à la coaissace parfaite de A et P est e pratique iaccessible Les actifs présets sur le marché O se place das le cadre le plus élémetaire d u marché costitué d u actif sas risque et d u actif risqué. L actif sas risque : O suppose qu est dispoible sur la période [, T ] u taux d itérêt cotiu r > (supposé, pour simplifier, costat) correspodat par exemple au taux proposé par la baque de Frace sur cette période. Aisi, si S t représete la valeur capitalisé d u euro (placé à t = ), o a, t [, T ], S t = e rt. Cet actif est dit sas risque car sa valeur est idépedate de tout aléa. Lorsque (X t ) t [,T ] est u processus, o ote ( X t ) t [,T ] le processus actualisé i.e X t = Xt e rt L actif risqué : Il s agira essetiellemet pour ous d ue actio (part du capital d ue etreprise) cotée sur u marché orgaisé. Cet actif est dit risqué car, cotrairemet au précédet, sa dyamique déped des aléas macro-écoomiques. O otera t [, T ], S t la valeur (aléatoire) de cette actio à t. Aisi (S t ) t [,T ] est u processus stochastique qui est adapté à sa filtratio aturelle (F t ) t [,T ] (F t = σ(s u ; u T )) et que ous supposeros cotiu. La tribu F t représete l iformatio dispoible sur le marché à la date t. HYP : Le cours de l actif risqué est doé par u processus d Itô (gééralisé o o) dot la valeur e est ue costate! Remarque Sous l hypothèse précédete, ue V.A F mesurable est ue costate Stratégies fiacières HYP : o suppose le marché sas frictios

89 4.2. MODÉLISATION D UN MARCHÉ FINANCIER EN TEMPS CONTINU89 i) Pas de coûts de trasactio pour la vete ou l achat d actifs ii) Vete à découvert et emprut à la baque illimités iii) Actifs idéfiimet divisibles : o peut acheter ou vedre des fractios d actifs iv) Tradig e temps cotiu : o peut acheter ou vedre à tout istat. v) L actif risqué e reverse pas de dividedes. Défiitio Ue stratégie fiacière est u processus stochastique (H t = (θt, θ t ) t [,T ] ) progressivemet mesurable, à valeurs das R 2 et tel que les itégrales T θ t ds t et T θ t ds t aiet u ses. O associe à toute stratégie fiacière u portefeuille fiacier coteat à t [, T ] θt uités d actif sas risque et θ t uités d actif risqué. La valeur à t [, T ] du portefeuille associé à ue stratégie H est doée par V H t = θ t S t + θ t S t. (4.2) Remarque a) Le fait que le processus (H t ) t [,T ] soit progressivemet mesurable est très aturel : la prise de décisio e t e peut se faire qu avec la coaissace de l iformatio dispoible à t i.e F t. b) Le faite que (H t ) t [,T ] soit idexé par [, T ] et à valeur R 2 est ue coséquece de ii), iii) et iv). c) L expressio (4.2) est ue coséquece de i) et v) Autofiacemet Défiitio Ue stratégie (H t ) t [,T ] est dite autofiacée si la valeur du portefeuille associé vérifie l EDS suivate : dv H t = θ t ds t + θ t ds t. (4.3) Remarque Sur u itervalle de temps [t, t + dt], (4.3) implique que V H t+dt V H t = +dt t θ uds u + +dt t θ u ds u : les chagemets de valeur du portefeuille provieet uiquemet des chagemet de valeur des actifs. Il y a i retrait i ijectio de cash etre et T. Ue stratégie autofiacée est doc ue stratégie où la seule marge de maoeuvre est de pouvoir réagecer les actifs e permaece.

90 9 CHAPITRE 4. APPLICATIONS À LA FINANCE (CADRE GÉNÉRAL) Lemme Soiet (H t ) t [,T ] et (H t) t [,T ] deux stratégies autofiacées telles que t [, T ], Vt H = Vt H P.pp alors H et H sot égales (au ses de l idistiguabilité). Preuve : C est ue coséquece immédiate de la coditio d autofiacemet (4.3) et de la propositio Propositio Ue stratégie est autofiacée ssi dṽ H t = θ t d S t (4.4) Preuve : O suppose que (H t ) t [,T ] est autofiacée i.e dvt H = θt dst +θ t ds t. Comme Ṽ t H = V t H avec d(e rt ) = re rt dt, e appliquat la formule d IPP (2.17) e rt dṽ H t aisi, = e rt dv H t Vt H re rt dt = e rt θt dst + e rt θ t ds t θt St re rt dt θ t S t re rt dt dṽ H t = e rt θ t ds t θ t S t re rt dt = θ t (e rt ds t S t re rt dt) = θ t d S t. La réciproque se fait par u raisoemet e tout poit aalogue. Remarque La propositio précédete ous assure que la valeur d ue stratégie autofiacée e déped que de sa valeur iitiale et de la quatité d actif risqué. La quatité d actif sas risque se déduisat de la relatio d autofiacemet Ṽt H = θt + θ t St. (4.5) O otera désormais V x,θ (x état le capital iitial) pour V H Arbitrages Défiitio Ue stratégie autofiacée (H t ) t [,T ] est appelée ue opportuité d arbitrage (O.A) si les coditios suivates sot vérifiées V H =, VT H P p.p et P (VT H > ) >. (4.6) E d autres termes, il y a ue possibilité de gai certai e T e ayat ivesti aucu capital e t =. Remarque La otio d O.A déped du choix de la probabilité historique P. Cepedat si P est ue probabilité équivalete à P, o peut remplacer P par P das la défiitio précédete.

91 4.2. MODÉLISATION D UN MARCHÉ FINANCIER EN TEMPS CONTINU91 Exemple Si l actif risqué est coté à deux prix différets das deux bourses différetes, ue opportuité d arbitrage triviale existe (les coûts de trasactio sot exclus). De telles aomalies e devraiet pas exister sur u marché fiacier qui foctioe bie. Il existe sur le marché des opérateurs, les arbitragistes, chargés de détecter et de profiter des O.A. Par la loi de l offre et de la demade, leur simple présece fait que les O.A sot éphémères. E modélisatio fiacière classique o supposera toujours l absece d opportuités d arbitrage (A.O.A) tout du mois pour ue large famille (à préciser) de stratégies autofiacées (appelées les stratégies admissibles) Mesures martigales équivaletes (MME) Défiitio Ue MME est ue probabilité P équivalete à P sous laquelle le prix actualisé ( S t ) t [,T ] de l actif risqué est ue martigale. Il existe u lie profod etre l existece de MME et l hypothèse d AOA. Nous e retreros pas das le détail de cet problématique das ce cours (voir [4]), cepedat, ous avos le résultat suivat. Supposos l existece d ue MME P. Défiitio Ue stratégie (H t ) t [,T ] est dite P admissible si elle est autofiacée et si sa valeur actualisée (Ṽ H t ) est ue martigale sous P. Propositio Il y a AOA parmi les stratégies P admissibles. Preuve : D après la remarque 4.2.5, o cosidère P = P das la défiitio Soit H ue stratégie P admissibles telle que VT H P p.p et P (VT H > ) >. Comme V H = E[Ṽ T H F ] = E[Ṽ T H], V H > et H e peut être ue OA. Exercice Motrer que si les valeurs des portefeuilles associés à deux stratégies P admissibles coicidet (P -p.p) à T, elles coicidet (P -p.p) pour tout t [, T ] Les actifs cotigets Défiitio U actif cotiget est u actif fiacier dépedat d ue variable plus fodametale (pour ous l actif risqué). Il s agira das le cadre de ce cours d ue V.A F T mesurable (vérifiat certaies coditios techiques d itégrabilité).

92 92 CHAPITRE 4. APPLICATIONS À LA FINANCE (CADRE GÉNÉRAL) Exemple Il existe de ombreux actifs cotigets. Ue famille importate est costituée de ce que l o appelle les optios (de vete où d achat). Le but de ce cours est pas de détailler ce type d actifs et ous revoyos le lecteur à [5] pour plus de précisios. Nous doeros 2 défiitios : a) U Call europeé d échéace T, de strike K sur l actif risqué est u produit fiacier doat le droit (et o l obligatio) à so déteteur d acheter e T ue (ou plusieurs) uité d actif risqué au prix K qui a été fixé e t =. La valeur e T de ce produit (i.e à l échéace lorsqu il y a plus d aléas) est égale à Max(S T K, ) := (S T K) + (c est le flux fiacier egedré par ce produit à l échéace, flux qui est aussi appelé payoff). a) U Put europeé d échéace T, de strike K sur l actif risqué est u produit fiacier doat le droit (et o l obligatio) à so déteteur de vedre e T ue (ou plusieurs) uité d actif risqué au prix K qui a été fixé e t =. Le payoff est das ce cas égal à Max(K S T, ) := (K S T ) +. Ces deux types de produit doat des droits à leur déteteur, ils ot u prix (appelé la prime) qui doit être versé à t =. 4.3 Pla d attaque et objectifs Etape 1 : Défiir la dyamique de l actif risqué. O a affaire ici à ue double cotraite : 1) Le modèle doit être suffisammet fi pour redre compte de la réalité. 2) Le modèle doit être suffisammet simple pour être opératioel (cf ifra). Etape 2 : Etudier les propriétés du modèle. Vérifie t-il otammet la coditio d AOA? Etape 3 : Proposer u prix pour ue large famille d actifs fiacier (PRICING). Ce prix doit de plus être calculable e pratique : a) Soit e obteat ue formule fermée dot o coaît tous les paramètres (au mois de maière statistique).

93 4.3. PLAN D ATTAQUE ET OBJECTIFS 93 b) Soit e obteat des formules théoriques qui peuvet être approchées par des méthodes umériques efficaces (discrétisatio, méthodes de type Mote Carlo). Etape 4 : Proposer des stratégies fiacières permettat de se couvrir (au mois e partie) cotre le risque (HEDGING). Ue fois que le prix d u cotrat fiacier a été fixé, que faire de la prime pour assurer la livraiso de ce produit idépedammet de l aléa des cours? Etape 5 : (Efi et surtout...) Cofroter le modèle à la réalité. 1) Réalité des marchés De ombreux produits fiaciers élémetaires sot cotés sur des marchés particuliers : Les marchés dérivés. C est le cas otammet de certais Call et Put Europées. Il coviet alors de a) Cofroter les prix déduits du modèle aux prix du marché e calibrat si possible les paramètres icous grâce aux doées réelles. b) Proposer esuite des méthodes pour les produits o cotés qui s échaget otammet sur les marchés de gré à gré. 2) Réalité des modèles Il coviet efi de soumettre so modèle à la comparaiso des autres modèles, quelques critères peuvet être : a) La précisio b) Le temps de calcul c) Le champs d applicatio Il est bo de garder e tête que les baques ot sous la mai des modèles qui foctioet depuis logtemps et qui ot fait leurs preuves. Le basculemet vers d autres techiques de modélisatio a u coût fiacier (appretissage, implémetatio) qui doit être largemet compesé par la pertiece du ouvel outil proposé...

94 94 CHAPITRE 4. APPLICATIONS À LA FINANCE (CADRE GÉNÉRAL)

95 Bibliographie [1] L. Bachelier : Théorie de la spéculatio, Aales scietifiques de l école ormale supérieure, 17, 21-86, 19. [2] F. Black, M. Scholes : The pricig of optios ad corporate liabilities, Joural of Political Ecoomy, 81, 3, , [3] N. Dubar : Ivetig Moey : The story of Log-Term Capital Maagemet ad the legeds behid it, Joh Wiley ad Sos, 21. [4] J.M. Harriso, S. Pliska : Martigales ad stochastic itegrals i the theory of cotiuous tradig, Stochastic Processes ad their applicatios, 11, , [5] J.C. Hull : Optios, Futures ad other derivatives, Pretice Hall, 23. [6] D. Lamberto, B. Lapeyre : Itroductio au calcul stochastique appliqué à la fiace, Secod editio, Ellipses, Paris, [7] R. Merto : Theory of Ratioal Optio Pricig, Bell Joural of Ecoomics ad Maagemet Sciece, 4, ,

96 96 BIBLIOGRAPHIE

97 Chapitre 5 Modèle de Black et Scholes 5.1 Le modèle Dyamique de l actif risqué Das le modèle de Black et Scholes ([2]), la dyamique de l actif risqué est doée par l EDS suivate ds t = bs t dt + σs t db t (5.1) de coditio iitiale S = x >. Nous avos vu (prop 2.5.1) que cette EDS a ue uique solutio doée par le Browie géométrique S t = x e (b 1 2 σ2 )t+σb t. (5.2) Remarque Il est très facile de déduire de la formulatio précédete que la filtratio d iformatio associée das ce cas est autre que la filtratio Browiee. Notos de plus que ce processus est positif et déped a priori de deux paramètres b et σ respectivemet appelés la tedace et la volatilite (plus gééralemet coefficiet de diffusio la volatilité est le rapport ). La termiologie s explique par cours de l actif le fait que σ mesure la sesibilité à l aléa i.e au risque, alors que la relatio E[S t ] = x e bt ous idique, qu e moyee, l actif croît comme u actif sas risque associé au taux costat b. Remarque Il est tout à fait aturel de se poser la questio du choix de (5.2) pour modéliser le cours d u actif. Pour aboutir à cette dyamique, Black et Scholes ot fait les hypothèses fiacières suivates : 1) Cotiuité des trajectoires. 2) Statioarité des redemets : la loi de S t+h S t S t e déped que de h. 97

98 98 CHAPITRE 5. MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES 3) Idépedace des redemets : S t+h S t S t F S t. O sait (lemme e posat X t = log(s t )) que ces hypothèses coduiset à ue dyamique de type (5.2). De plus, o peut motrer que cette dyamique est celle que l o obtiet aturellemet e passat à la limite das u célèbre modèle e temps discret : Le modèle de Cox, Ross et Rubistei ([4]). Nous verros cepedat u peu plus loi les limites de ce choix Existece d ue MME Propositio Das le modèle de Black ad Scholes il existe ue MME (def 4.2.4). Preuve : Comme ds t = bs t dt + σs t db t, o obtiet e appliquat la formule d I.P.P (exercice 2.4.1) que et e posat W t = B t + b r σ t, d S t = S t (b r)dt + σ S t db t (5.3) d S t = σ S t dw t. (5.4) D après le théorème de Girsaov (prop 3.1.1), (W t ) t [,T ] est sous la probabilité P défiie par dp = e ( b r σ )B T e + ( b r σ )2 T u mouvemet Browie stadard. Aisi (prop 2.5.1), comme S t = S e σwt σ2 t 2, 2 dp (5.5) le processus ( S t ) t [,T ] est ue martigale sous P (prop 1.3.1). Remarque La probabilité P est ue MME aussi appelée parfois ue probabilité risque eutre. L explicatio de cette termiologie est le suivate, sous P, ds t = rs t dt + σs t dw t où W est u M.B stadard. Aisi, sous la probabilité P, S t croît e moyee comme l actif sas risque. Notos de plus que F B t = F W t, t [, T ].

99 5.2. LES STRATÉGIES FINANCIÈRES P ADMISSIBLES Les stratégies fiacières P admissibles O se fixe ici ue MME P. O otera E [.] l espérace sous P par oppositio avec E[.] qui est l espérace sous la probabilité historique P Défiitio Pour des raisos techiques ous travailleros désormais avec des stratégies autofiacées bie particulières (et suffisammet géérales) : les stratégies P admissibles. Défiitio Das le cas du modèle de Black Scholes, ue stratégie H est dite P admissible si elle est autofiacée et si le processus de valeur actualisée (Ṽ x,θ t ) t [,T ] est ue martigale positive de carré itégrable (sous P ). Remarque Das la défiitio d ue stratégie fiacière (def 4.2.1) est imposée l existece des itégrales T θ t ds t = T Si o impose la coditio θ t re rt dt et T θ t ds t = T θ t S t bdt + T σθ t S t db t. θ H 1 loc(ω [, T ]) (5.6) la première itégrale existe P -p.p (ou P -p.p) et si o impose θ H 2 loc(ω [, T ]), (5.7) comme le processus (S t ) t [,T ] est cotiu doc boré, alors θ t S t b Hloc 1 (Ω [, T ]) et σθ t S t Hloc 2 (Ω [, T ]). Ceci assure l existece de la deuxième itégrale. Notos au passage que la défiitio de Hloc 1 (Ω [, T ]) et H2 loc (Ω [, T ]) est idépedate du choix de P ou P P -complétude du marché Défiitio U actif cotiget sera das ce paragraphe ue variable aléatoire h positive et das L 2 (Ω, F B T, P ). Exemple Les put et les call sot des actifs cotigets. Défiitio U actif cotiget est dit P simulable si il est égal à la valeur fiale du portefeuille associé à ue stratégie P admissible.

100 1 CHAPITRE 5. MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES Défiitio Le marché est P complet si tout actif cotiget est P simulable. O a alors le résultat fodametal suivat : Théorème Le modèle de Black et Scholes est P complet. De plus, la valeur à l istat t de tout portefeuille simulat est doée par V t = E [he r(t t) Ft B ]. (5.8) E particulier, d après la propositio 2.5.3, V t est ue foctio de t et de S t. Preuve : Comme (Ṽ x,θ t ) t [,T ] est ue martigale sous P, le deuxième poit est évidet. Pour ce qui est du premier poit ous faisos la preuve das la cas où P = P (le cas gééral se traitat à peu de choses près de la même maière). Nous repredros par ailleurs les otatios de la preuve du théorème Soit h u actif cotiget (pour P ). Sous la probabilité P, le processus défii par M t = E [e rt h Ft B ] est ue martigale de carré itégrable par rapport à la filtratio Browiee (Ft W ) (remarque 5.1.3) et doc, d après le théorème 3.2.2, il existe u processus (K t ) t [,T ] L 2 prog(ω [, T ], P ) tel que t [, T ], D après (5.4), e posat M t = M + M t = M + K s dw s P p.p. (5.9) K s σ S s d S s P p.p, (5.1) θ t = K t σ S t et θ t = M t θ t St, (5.11) le processus H = (θ, θ) est ue stratégie fiacière (au ses de la défiitio 4.2.1) telle que par costructio t [, T ], Ṽ H t = M t. Le processus (Ṽ t H ) t [,T ] est doc (sous P ) ue martigale positive et de carré itégrable. D après (5.1) et la propositio 4.2.1, la stratégie H est autofiacée. Au fial, H est P admissible avec VT H = h, le résultat est doc prouvé.

101 5.3. UNICITÉ DE LA PROBABILITÉ RISQUE NEUTRE A.O.A parmi les stratégies P admissibles Le résultat suivat est l aalogue de la propositio Propositio Il y a AOA parmi les stratégies P admissibles. Remarque Notos qu e gééral o a pas AOA parmi toutes les stratégies autofiacées, cette difficulté qui apparaît pas e temps discret est propre à la modélisatio des marché e temps cotiu. 5.3 Uicité de la probabilité risque eutre Le résultat suivat (que ous admettros) est ue coséquece de la P complétude du modèle de Black et Scholes et de l AOA parmi les stratégies P admissibles. Propositio Das le modèle de Black et Scholes il existe ue uique MME (égale à P ). Remarque O otera doréavat P l uique probabilité risque eutre (ou MME) doée par (5.5). O parlera alors de stratégies admissibles, d actifs cotigets et de complétude e se référat implicitemet à P. 5.4 Proposer u prix, se couvrir L idée iovate de Black et Scholes a été de proposer la défiitio suivate du prix d u actif fiacier. Défiitio Le prix à l istat t [, T ] d u actif cotiget h est la valeur à l istat t d u portefeuille fiacier associé à ue stratégie admissible qui réplique h (u tel portefeuille existe d après le théorème 5.2.1). Le processus de prix sera oté (Pt h ) t [,T ], c est ue martigale sous P. Remarque a) Cette otio de prix est idépedate du choix d ue MME (qui est ici uique) et du choix de la stratégie admissible de réplicatio (théo 5.2.1). Le prix à l istat t est de plus doé par (5.8). La MME (qui a aucue sigifie macro-écoomique cotrairemet à la probabilité historique) est u outil pour calculer le prix des actifs b) Das certais modèles fiaciers, l uicité de la MME est pas vérifiée. Pour u actif cotiget doé, il peut exister plusieurs prix. O obtiet doc das ce cadre ue fourchette de prix. O peut motrer éamois que le bore supérieure de cette fourchette est la plus petite valeur iitiale d u portefeuille de sur-réplicatio.

102 12 CHAPITRE 5. MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES Pour ce qui est du problème de la couverture d u actif cotiget, plaços ous du poit de vue du vedeur. Ce vedeur propose à la vete à t = u produit fiacier dot le payoff est doé par h (à T ). Le prix de cet actif à t = est doé par E [he rt ]. Se pose alors la questio aturelle suivate : Que doit o faire de cette somme pour assurer à coup sûr la livraiso de l actif à T? La répose est très simple (tout du mois e théorie), il suffit de costituer le portefeuille de réplicatio doé par le théorème de représetatio des martigales Browiees (formule (5.11)). Notos que cette stratégie de réplicatio est uique e vertu de l uicité das l écriture des processus d Itô (propo 2.4.2). Cette stratégie de gestio e temps cotiu aule complètemet (e théorie) le risque. D u poit de vue pratique u premier problème se pose. Le théorème de représetatio des martigales Browiees (das la versio présetée ici) est u résultat d existece o costructif. Nous allos voir cepedat que das certais cas importats la stratégie à mettre e oeuvre est explicite. Notos par ailleurs qu ue répose géérale à ce problème peut être apportée e utilisat les techiques du Calcul de Malliavi (voir [16]). 5.5 Evaluatio et couverture das le cas où h = f(s T ) O parle das ce cas d actifs fiaciers path-idepedet. O se doe f : R R mesurable et telle que E [f 2 (S T )] < +. La valeur à t de l actif cotiget h = f(s T ) est doée par avec sous P, doc P h t = E [e r(t t) f(s T ) F B t ] ds t = rs t dt + σs t dw t S t = e (r 1 2 σ2 )t+σw t. D après l exercice (ou la propositio 2.5.3), o a Aisi P h t P h t = e r(t t) + = F (t, S t ) où f(s t e (r 1 2 σ2 )(T t)+σy T t) 1 2π e y2 2 dy. (5.12) + F (t, x) = e r(t t) f(xe (r 1 2 σ2 )(T t)+σy T t 1 ) e y2 2 dy. (5.13) 2π

103 5.5. EVALUATION ET COUVERTURE DANS LE CAS OÙ H = F (S T ) 13 Notos au passage que cette formule est idépedate du drift b. Nous avos le résultat suivat qui précise la régularité de F. Notos qu e pratique cette régularité est ue simple coséquece de chagemets de variables judicieux et d applicatios du théorème de dérivatio sous le sige somme. Lemme Sous des hypothèses très faibles (valides otammet das le cas du Call et du Put), la foctio F défiie ci-dessus est de classe C 1,2 ([, T [ R, R). O a alors le résultat fodametal suivat Propositio Lorsque h = f(s T ), la quatité d actif risqué que doit coteir à l istat t le portefeuille admissible de couverture est doée par De plus, la foctio F vérifie l EDP suivate F (t, x) + rx F t x (t, x) + σ2 x 2 2 de coditio termiale F (T, x) = h(x). θ t = F x (t, S t). (5.14) 2 F (t, x) = rf (t, x) (5.15) x2 Preuve : O pose F (t, x) = e rt F (t, xe rt h ). Aisi P t = F (t, S t ). D après la formule d Itô (prop 2.4.5) que l o apllique de bo droit (lemme 5.5.1), o a F (t, S t ) = F (, S ) + + F x (u, S u ) d S u }{{} σ S udw u F (u, S t u )du + 1 t 2 F (u, S 2 x 2 u )σ 2 S2 u du. De la même maière, o sait par autofiacemet que F (t, S t ) = F (, S ) + D après la propositio 2.4.2, o obtiet θ u d S u. et Comme θ t = F x (u, S u ) = F x (t, S t) F t (u, S u ) F 2 x (u, S 2 u )σ 2 S2 u =.

104 14 CHAPITRE 5. MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES et alors, F t (u, S u ) = re ru ru F F (u, S u ) + e t (u, S u) + re ru F S u x (u, S u) 2 F x (u, S 2 u ) = e ru 2 F x (u, S u) 2 re ru ru F F (u, S u )+e t (u, S u)+re ru F S u x (u, S u)+ 1 2 e ru σ 2 Su 2 2 F x (u, S u) =. 2 Puisque lorsque x varie, S u pred toutes les valeurs de ], + [ o obtiet F (t, x) + rx F t x (t, x) + σ2 x 2 2 avec F (T, x) = h(x). 2 F (t, x) = rf (t, x) x2 Remarque Il est itéressat de remarquer que das otre modèle le prix de l actif peut être vu comme ue espérace (5.12) ou comme la solutio d ue EDP explicite (5.15). D u poit de vue umérique ce fait est remarquable car il permet d utiliser des méthodes de type Mote Carlo ou des méthodes proveat de l aalyse umérique pour évaluer et couvrir les actifs. Ceci peut se gééraliser à des modèles fiaciers plus gééraux et das ce cas, le choix de l ue ou l autre techique peut s avérer plus ou mois judicieux suivat le problème cosidéré. 5.6 Formule de Black et Scholes Il s agit de la célèbre formule doat le prix d u Call das otre cotexte. Propositio Le prix C t d u call europée sur l actif risqué (de strike K et d échéace T ) est doé par où C t = S t N(d 1 (t, S t )) Ke r(t t) N(d 2 (t, S t )) (5.16) d 1 (t, x) = log( x K σ2 ) + (r + )(T t) 2 σ T t et d 2 (t, x) = log( x K σ2 ) + (r )(T t) 2 σ T t (5.17) et où N est la foctio de répartitio d ue N (, 1). Das ce cas, la compositio du portefeuille de couverture est doée par θ t = N(d 1 (t, S t )) > et θ t = Ke rt N(d 2 (t, S t )) <. (5.18)

105 5.6. FORMULE DE BLACK ET SCHOLES 15 Preuve : D après (5.12), F (t, x) = + Or o motre facilemet que C t = F (t, S t ) (xe 1 2 σ2 (T t)+σy T t Ke r(t t) ) xe 1 2 σ2 (T t)+σy T t Ke r(t t) y d 2 (t, x) π e y2 2 dy. (5.19) Aisi F (t, x) = ( + d 2 xe 1 2 σ2 (T t)+σy ) T t Ke r(t t) 1 2π e y2 2 dy = d 2 (xe 12 σ2 (T t) σy ) T t Ke r(t t) 1 2π e y2 2 dy. E séparat les deux itégrales et e faisat das la première le chagemet de variables z = y + σ T t o obtiet F (t, x) = xn(d 1 (t, x)) Ke r(t t) N(d 2 (t, x)). O e déduit (5.16) dot (5.18) découle immédiatemet. Exercice O cosidère u call et u put sur l actif risqué de même échéace T et de même strike K. O ote C t et P t leurs prix à t [, T ]. E utilisat l exercice 4.2.1, motrer que la relatio suivate (appelée relatio de parité call-put) est vérifiée : C t + Ke r(t t) = P t + S t. (5.2) E déduire de la propositio précédete que le prix du put à t est doé par P t = Ke r(t t) N( d 2 (t, S t )) S t N( d 1 (t, S t )) (5.21) et que la compositio du portefeuille de couverture associé est θ t = N( d 1 (t, S t )) < et θ t = Ke rt N( d 2 (t, S t )) >. (5.22) Remarque O remarque que les prix du put et du call sot des foctios des paramètres (σ, S t, r, K, T t) qui sot de maière aturelle homogèes e S t. Le paramètre T t est appelé time to maturity. Le graphique suivat représete la surface de prix F (t, x) e foctio de x et 1(T t). Les paramètres choisis sot r = 9%, σ = 3%, T =.6, K = 4.

106 16 CHAPITRE 5. MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES %" $"!" & #" "!#"!!" (" '' '" %' %" $' $"!' +!" " #"!" $" * %" '" (" )" 5.7 Les Grecques Défiitio Les Grecs sot des idicateurs qui mesuret la sesibilité de la prime (i.e du prix) d ue optio par rapport à u paramètre doé (le cours du sous-jacet, le temps, la volatilité). Leur importace pratique est très grade (cf ifra). Si h est u actif cotiget, ous savos que so prix à t est de la forme F (t, S t ). Défiitio O appelle grecques les quatités suivates : mesure la sesibilité du prix par rapport au sous jacet t (S t ) = F x (t, S t) (5.23) Γ mesure la sesibilité du delta par rapport au sous jacet Γ t (S t ) = 2 F x 2 (t, S t) (5.24) Θ mesure la sesibilité du prix par rapport au temps Θ t (S t ) = F t (t, S t) (5.25)

107 5.7. LES GRECQUES 17 ρ mesure la sesibilité du prix par rapport au taux d itérêt ρ t (S t ) = F r (t, S t) (5.26) vega (qui est pas ue lettre grecque!!!) mesure la sesibilité du prix par rapport à la volatilité vega t (S t ) = F σ (t, S t). (5.27) O remarque au passage que l EDP de Black et Scholes peut se réécrire (das le cadre du paragraphe 5.5) sous la forme Θ t (x) + rx t (x) + σ2 x 2 2 Γ t(x) = rf (t, x) Exercice Das le cas du call et du put, motrer que les valeurs des grecques à t = sot doées par le tableau suivat : Call Put N(d 1 ) > N( d 1 ) < Γ 1 xσ T N (d 1 ) > 1 xσ T N (d 1 ) > Θ xσ 2 T N (d 1 ) Kre rt N(d 2 ) < xσ 2 T N (d 1 ) + Kre rt (N(d 2 ) 1)?? ρ T Ke rt N(d 2 ) > T Ke rt (N(d 2 ) 1) < vega x T N (d 1 ) > x T N (d 1 ) > Notos que das ce cas particulier, ue fois que les paramètres du modèle sot calés, pour calculer explicitemet les grecques il suffit de pouvoir calculer la foctio de répartitio d ue gaussiee N. Ceci e peut se faire de maière exacte, il existe des approximatios umériques bie coues pour ce problème (voir [11]). O peut, par ailleurs, utiliser la foctio cdfor de scilab Cas où le payoff est le la forme h = f(s T ) O se borera ici aux cas du delta et du gamma. O a vu précédemmet que das le cas où h = f(s T ), P h t = F (t, S t ) avec + F (t, x) = e r(t t) f(xe (r 1 2 σ2 )(T t)+σy T t 1 ) e y2 2 dy. 2π

108 18 CHAPITRE 5. MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES Propositio O a [ t (x) = e r(t t) E W T t xσ(t t) f(sx T t) ] (5.28) et [( Γ t (x) = e r(t t) E WT t x 2 σ(t t) + W ) ] T 2 t (T t) f(s x (σ(t t)x) 2 T t) (5.29) où (S x t ) est (sous P ) le MB géométrique tel que S x = x. Preuve : O se limite à la démostratio de (5.28), la méthode état idetique pour (5.29). Nous allos supposer que f CK 1 (R, R), le cas gééral se traitat par approximatio. D après le théorème de dérivatio sous le sige somme, o a + t (x) = e r(t t) 1 x f(xe(r 2 σ2 )(T t)+σy T t 1 ) e y2 2 dy. } {{ } 2π g(x,y) Or Aisi par IPP, t (x) = t) e r(t xσ T t g x (x, y) = 1 xσ T t + g (x, y). y f(xe (r 1 2 σ2 )(T t)+σy T t y ) e y2 2 dy. 2π Sous P, ds x t = rs x t dt + σs x t dw t doc S x t = xe (r 1 2 σ2 )t+σw t, aisi, [ ] t (x) = e r(t t) E W T t xσ(t t) f(sx T t). Exercice Motrer que vega t (x) = x 2 T σγ t (x).

109 5.8. BLACK ET SCHOLES EN PRATIQUE Itérêt pratique du et du Γ Nous avos vu das le cadre du paragraphe 5.5 que t (S t ) a u itérêt fiacier très importat : Il s agit de la part d actif risqué que doit coteir le portefeuille de couverture à l istat t. Le Γ quad à lui est ue mesure de la sesibilité de cette quatité d actif risqué aux variatios du cours. Aisi, plus le Γ est élevé (e valeur absolue) plus il faut modifier souvet et de maière sigificative la compositio du portefeuille. Quad o pese que das u marché réel (et cotrairemet à os hypothèses) il y a des coûts de trasactio parfois élevés à chaque opératio, le Γ revet ue importace capitale pour ce qui est de la retabilité de la stratégie de couverture., Sa coaissace est primordiale. 5.8 Black et Scholes e pratique Spécificatio de σ Les formules de prix et de couverture e dépedet que d u paramètre o directemet observable : la volatilité (b disparaît das l uivers risque eutre). Se pose alors la questio de la valeur de ce paramètre. Ue maière simple de procéder et l utilisatio de doées historiques. Soit T R +. A partir des valeurs du cours de l actif das le passé [ T, ], o peut estimer σ par des voies satistiques. O suppose, pour cela, que la dyamique de l actif risqué sur [ T, ] est la même que sur [, T ]. Soit N N représetat le ombre d observatios (effectuées à itervalles de temps réguliers) du cours passé de l actif, les variables aléatoires Y N 1 = Log ( S S T N ),..., Y N N = Log sot, sous la probabilité historique, i.i.d de loi N ((b σ2 2 ) T T, σ2 N N ). ( S T S (N 1) T N Ue maière de trouver σ est d utiliser l estimateur de variace empirique doé par la formule ˆσ = N T (N 1) N i=1 (Y N i Y ) 2 )

110 11 CHAPITRE 5. MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES où Y = 1 N N i=1 Y N i. E pratique, o pred souvet T = T pour e pas predre e compte des doées trop aciees. Le choix de N (qu o voudrait pouvoir predre le plus grad possible) est limité par la fréquece des quotatios sur le marché. Notos efi que des modèles statistiques (modèles GARCH) plus raffiés peuvet permettre d avoir ue approche plus complète de ce problème.

111 5.8. BLACK ET SCHOLES EN PRATIQUE Prix et couverture Pour fixer le prix d u produit fiacier, le praticie utilise la formule P h = E [e r(t ) f(s T )]. Il doit esuite mettre e place la stratégie de couverture qui e théorie aule complètemet so risque. Pour cela il devrait das l absolu ajuster so portefeuille e temps cotiu et doc calculer pour tout t [, T ], t (S t ) (quatité d actif risqué) et e déduire la quatité d actif o risqué. E réalité, la couverture est réajustée e temps discret car : a) les trasactios physiques sot forcémet discrètes b) la présece de coûts de trasactio limite le ombre de trasactios. Cotrairemet au modèle théorique, la couverture va être imparfaite et la positio du praticie risqué. O touche là à u des problèmes majeurs de la modélisatio e temps cotiu. E pratique sur u itervalle de temps [t, t + h], le vedeur calcule le e t. La questio est de savoir s il peut coserver cette positio jusqu e t + h sas commettre ue erreur trop grade. Pour cela il calcule le Γ e t. Si ce Γ est grad e valeur absolue, le vedeur a itérêt à réajuster sa positio etre t et t + h (ou à se surcouvrir). Si le Γ est petit, il peut raisoablemet coserver sa positio. Notos qu il y a ue dualité forte etre la multiplicatio des réajustemets et le coût supplémetaire que cela etraîe (présece de coûts de trasactio). C est pourquoi le prix d u actif se décompose de la maière suivate : Prix effectif = Prix théorique (coût de la couverture théorique) + coût de la couverture effective + marge. Notos, que le vega a aussi ue grade importace, car il idique l attetio que ous devos porter à l approximatio de σ (partie précédete) Calcul du prix, du et du Γ Das le cas du Call et du Put, les formules du prix, du et du Γ sot explicites (o parle de formules fermées). D u poit de vue umérique elle écessite de savoir calculer la foctio de répartitio d ue N (, 1) ce qui est classique (commade cdfor de scilab par exemple). Lorsque le payoff est plus compliqué, o e peut espérer obteir de telles formules. O doit mettre e place des procédures umériques. Ue possibilité est d utiliser la méthode de Mote Carlo (voir [3]).

112 112 CHAPITRE 5. MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES Rappels : La méthode de Mote Carlo (das sa versio basique) repose sur la LFGN : Soit (X ) ue suite de variables aléatoires i.i.d, o suppose X L 1. E otat S = X X, o a S E[X 1 ]. p.s et L 1 C est u outil pour calculer de maière approchée des espéraces, outil dot la vitesse est précisée par le TCL. O doit doc évaluer de maière umérique F (t, x) = e r(t t) E [ f(st x t) ], t (x) = F x (t, x) et Γ t(x) = 2 F (t, x) x2 où (S x t ) est le MB géométrique vérifiat S x = x. Pour F (t, x), o utilise ue méthode de Mote Carlo classique car o sait simuler très simplemet u échatillo de (ST x t ). Pour les deux autres quatités qui sot les dérivés de la première, ue méthode classique et d utiliser u schéma de différece fiie i.e d utiliser les approximatios suivates t (x) F (t, x + h) F (t, x h) 2h Γ t (x) F (t, x + h) + F (t, x h) 2F (t, x) h 2 où h est suffisammet petit et où F (t, x + h), F (t, x h) et F (t, x) sot calculés par méthode de Mote Carlo. Problème pour les grecques : Deux facteurs d approximatio (MC + différece fiie (choix de h)) et doc d erreur E pratique peu efficace lorsque le payoff est irrégulier Ue idée est d utiliser la propositio 5.7.1, e effet, o a démotré que t (x) = e r(t t) E [ W T t xσ(t t) f(sx T t) ]

113 5.8. BLACK ET SCHOLES EN PRATIQUE 113 et [( Γ t (x) = e r(t t) E WT t x 2 σ(t t) + W ) ] T 2 t (T t) f(s x (σ(t t)x) 2 T t). Aisi, das Black et Scholes ces quatités peuvet être calculées sas recours au schéma de différece fiie. Avatages : U seul facteur d approximatio (MC) et doc d erreur Techique qui e déped pas du Payoff Plus efficace pour le Γ (double dérivatio) que pour le (simple dérivatio). Illustratios umériques "(% "(# "(!!()!('!(%!(#!(! *+,-./123+/14.5/ ::.2.,5./:7, ;2/-<.+27=;.!!(#! "!!! #!!! $!!! %!!! &!!! '!!! Fig. 5.1 d u call europée de strike K = 1 (x = 1, σ =.2, r =.1, T = 1)

114 114 CHAPITRE 5. MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES!($&!($!!(#& )*+,-./12*.3-4.5* :1.,;-*16<:-!(#!!("&!("!!(!&!(!!!!(!&! "!!! #!!! $!!! %!!! &!!! '!!! Fig. 5.2 Γ d u call europée de strike K = 1 (x = 1, σ =.2, r =.1, T = 1) Exercice O cosidère ue optio digitale caractérisée par le payoff I ST K à T. a) Motrer que das ce cas F (, x) = e rt KN(d), (x) = e rt xσ (d) et T Γ (x) = (d e rt (d) + σ ) T où est la desité d ue N (, 1) et où d = x 2 σ 2 T log( x σ2 )+(r K 2 )(T ) σ T. b) E utilisat scilab, effectuer u calcul approché de (x) et Γ (x) e utilisat MC avec poids et le schéma aux différeces fiies. Comparer les résultats. c) Repredre les questios précédetes das le cas d ue optio corridor caractérisée par so payoff I K2 S T K 1 à T. d) Quelles coclusios tirez vous cocerat l emploi de ces deux méthodes umériques. 5.9 Spledeurs et misères du modèle de Black et Scholes E dépit de certaies icosistaces que ous passeros e revue ultérieuremet, le modèle de Black-Scholes reste u outil de référece pour les praticies. Il peut être vu comme ue approximatio de première itetio qui peut et doit être

115 5.9. SPLENDEURS ET MISÈRES DU MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES115 affiée par diverses techiques de tradig. Le but de cette partie est d iviter le lecteur à pousser la réflexio au delà de ce cours (élémetaire) e faisat allusio à quelques problématiques fodametales Avatages Raremet la publicatio d u modèle théorique a eu u impact cocret aussi importat das u délai aussi court ([13]). L adoptio par les milieux fiaciers fut quasi istataée, la recoaissace académique (plus tardive) s est traduite par l obtetio du prix Nobel d écoomie e Commet expliquer u tel egouemet? Simplicité et efficacité théorique Le modèle de Black et Scholes e déped e pratique que d u paramètre o directemet observable : la volatilité qui est ue mesure de l agitatio des cours (l hypothèse de statioarité des redemets assurat ue évaluatio statistique simple de ce paramètre). De plus, les formules de prix et les stratégies de couverture associées sot, das le cas des actifs les plus simples (call et put), parfaitemet spécifiées, calculables et d ue grade simplicité souligat le coté opératioel de cet outil. Efi, ce modèle a le bo goût d auler (e théorie cf [18]) le risque lié aux opératios de couverture. Richesse des poits de vue Pour les optios plus complexes qui e peuvet être traitées que par voie umérique (absece de formules fermées) le modèle de Black et Scholes a l avatage de proposer deux approches complémetaires dot l efficacité est liée au problème traité : Ue approche puremet détermiiste liée à la résolutio de certaies équatios aux dérivés partielles par discrétisatio et ue approche probabiliste basée sur le calcul d espéraces par méthode de Mote Carlo. O reverra le lecteur à [7] et [19] pour le cas des optios barrières et à [12] et [2] pour les optios de type asiatique. Auto-prédictio L utilisatio massive du modèle de Black Scholes par les praticies a pour effet d ifluecer (par so existece même) le cours des actifs. Fisher Black lui même iroisait sur le sujet : Les opérateurs savet maiteat utiliser la formule et les variates. Ils l utiliset tellemet bie que les prix de marché sot gééralemet proches de ceux doés par la formule, même lorsqu il devrait exister u écart importat...

116 116 CHAPITRE 5. MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES Limites L hypothèse de log-ormalité Nous revoyos le lecteur à [17] (dot ce petit paragraphe s ispire grademet) pour des cosidératios plus précises sur le sujet. L hypothèse de log-ormalité du modèle de Black et Scholes dérive de maière plus ou mois idirecte des travaux pioiers de Bachelier : E 19, Bachelier part du costat fructueux et visioaire qu il est possible de représeter l évolutio du cours d u actif fiacier par ue loi de probabilité bie choisie. Cette loi sythétise le caractère imprévisible et parfois irratioel des décisios humaies idividuelles liées à toute activité fiacière. De ce fait, il choisit de représeter le cours de l actif par u processus ayat les caractéristiques du mouvemet Browie. Cette quatité pouvat être égative sur u esemble de probabilité o ulle, Samuelso suggérera quelques 65 as plus tard d utiliser u Browie géométrique plutôt que le Browie lui même. Ces hypothèses (caractère gaussie des hypothèses) qui se révèlet techiquemet fructueuses (travaux de Markovitz, Sharpe et Liter) pour l étude théorique de l équilibre des marchés fiaciers sot reprises avec succès par Black et Scholes das le cadre de l évaluatio des produits dérivés. Cepedat, dès le milieux des aées 6, Madelbrot motre de maière empirique que les cours des actifs fiaciers sot loi de suivre ue loi ormale (ou log-ormale) car les queues de distributio associées à ces lois de probabilité sot beaucoup trop plates. L occurrece des évéemets extrêmes (krach) est grademet sous évaluée. Cette problématique majeure fait l objet d ue recherche statistique très active icluat l étude des modèles ARCH, des modèles à volatilité stochastique et des processus multifractals. σ costate? O pourra se référer au site pour obteir des doées umériques sur la volatilité de certais titres américais et à [8] pour plus de précisios. Das le modèle de Black et Scholes, la volatilité est le seul paramètre qui est pas directemet observable. Comme certaies optios simples (les calls europées otammet) sot égalemet cotées sur des marchés orgaisés (marchés dérivés), il est possible e se servat des doées de marché d obteir des reseigemets sur ce paramètre. E effet, o rappelle que le prix du call est doé par C t = S t N(d 1 (t, S t )) Ke r(t t) N(d 2 (t, S t ))

117 5.9. SPLENDEURS ET MISÈRES DU MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES117 où d 1 (t, x) = log( x K σ2 ) + (r + )(T t) 2 σ T t et d 2 (t, x) = log( x σ2 ) + (r )(T t) K 2 σ. T t Aisi, le prix du call est ue foctio strictemet croissate de la volatilité historique car C σ (t, x) = x T tn (d 1 ) >. Doc si o observe sur le marché le prix à t d u call de maturité T et de strike K sur l actif risqué (prix qui est oté Ct Obs (x, T, K)), il existe u uique réel σ impl tel que C Obs t (x, T, K) = C t (x, T, K, σ impl ). Remarque Le calcul effectif de la volatilité implicite est obteue classiquemet e utilisat des méthodes de type Newto ou bissectio. Das le cas de Black et Scholes, la volatilité implicite devrait e toute rigueur être égale (pour toutes les optios cosidérées) à la volatilité historique (écart type des redemets du sous jacet). E pratique, le phéomèe est très différet, les observatios assuret que La volatilité implicite est plus grade que la volatilité historique La volatilité implicite déped de la maturité et du strike de l optio. Cette dépedace état d autat plus forte que la maturité de l optio est courte. Pour ce qui est du secod poit le graphique ci dessous ous idique la dépedace au strike de la volatilité d ue optio d achat européee dot le sous jacet est u actif coté sur le marché américai S&P 5. La forme de la courbe est tout à fait sigificative, o parle d u smile (sourire) de volatilité. E effet, o voit que que pour 5 K 14, la courbe est décroissate (péomèe de skew) alors que pour les très grad strike elle croît (phéomèe de smile).

118 118 CHAPITRE 5. MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES.8.7 vol implicite du call (sur ue actio du S&P 5) e foctio du strike Fig. 5.3 U exemple de smile de volatilité Sas trop retrer das les détails, plusieurs cosidératios empiriques peuvet teter d éclairer ce phéomèe : La volatilité implicite est plus grade pour les optios qui e sot pas à la moaie (K S ). Cela idique que le marché accorde ue probabilité plus forte à des valeurs éloigées de la tedace cetrale que celle d ue distributio log-ormale (lie avec le paragraphe précédet). Le smile peut s expliquer par la prime d illiquidité (mois d offre et de demade pour les prix d exercices extrêmes). Remarque Aujourd hui les opérateurs de marché raisoet plus e termes de volatilité implicite qu e termes de prix. La formule de Black et Scholes est toujours u traducteur privilégié etre prix et volatilité implicite. Pour coclure, otos qu e dépit des remarques précédetes, de ombreux produits dot la volatilité est maifestemet o costate sot quad même évalués avec la formule de Black et Scholes. O peut motrer e effet (cf [1]) que lorsque le gamma d ue optio est positif (payoff covexe comme par exemple le call) et lorsque le trader choisit ue volatilité plus grade que la volatilité réelle, le résultat fial lui est favorable. Cette propriété fodametale du modèle de Black et Scholes est coue sous le om de robustesse. Elle tempère e u ses les critiques ci-dessus.

119 Bibliographie [1] L. Bachelier : Théorie de la spéculatio, Aales scietifiques de l école ormale supérieure, 17, 21-86, 19. [2] F. Black, M. Scholes : The pricig of optios ad corporate liabilities, Joural of Political Ecoomy, 81, 3, , [3] N. Bouleau, D. Talay : Probabilités umériques, INRIA, [4] J.C. Cox, S.A. Ross, M. Rubistei : Optios pricig : a simplified approach, Joural of Fiacial Ecoomics, 7, , [5] J.-P. Fouque, G. Papaicolaou ad K. R. Sircar : Derivatives i Fiacial Markets with Stochastic volatility, Cambridge Uiversity Press, 2. [6] E. Fourier ad al : Applicatios of Malliavi calculus to Mote-Carlo methods i fiace, Fiace ad Stochastics, 3, , [7] H. Gemam, M. Yor : Pricig ad Hedgig Double-Barrier Optios : A Probabilistic Approach, Mathematical Fiace, vol. 6, Issue 4, [8] M.H. Grouard, S. Lévy, C. Lubochisky : La volatilité boursière : des costats empiriques aux difficultés d iterprétatio, Baque de Frace, RSF, 23. [9] J.C. Hull : Optios, Futures ad other derivatives, Pretice Hall, 23. [1] N. El Karoui, M. Jeablac-Picqué, S. Shreve : Robustess of the Black ad Scholes Formula, Mathematical Fiace, vol. 8, Issue 2, , [11] D. Lamberto, B. Lapeyre : Itroductio au calcul stochastique appliqué à la fiace, Secod editio, Ellipses, Paris, [12] B. Lapeyre, E Temam : Competitive Mote Carlo Method for the pricig of asia optios, Joural of computatioal fiace, 22. [13] D. MacKezie, : A Equatio ad its Worlds : Bricolage, Exemplars, Disuity ad Performativity i Fiacial Ecoomics, Social Studies of Sciece 33 (6) : , 23. [14] R. Merto : Theory of Ratioal Optio Pricig, Bell Joural of Ecoomics ad Maagemet Sciece, 4, ,

120 12 BIBLIOGRAPHIE [15] D. Nualart : The Malliavi Calculus ad related Topics, Spriger Verlag, New York, [16] B. Oksedal : A Itroductio to Malliavi Calculus with Applicatios to Ecoomics, [17] B. Pochart : Processus multifractals e fiace et valorisatio d optios par miimisatio de risques extrêmes, Thèse de Doctorat, 23. [18] F.E. Racicot, R. Théoret : Simulatios de la couverture delta et de la couverture delta-gamma d u portefeuille das le cadre du modèle de Black et Scholes, RePAd Workig Paper Series UQO-DSA-wp1226, Départemet des scieces admiistratives, UQO. [19] R. Zva, K. R. Vetzal, ad P. A. Forsyth. : PDE Methods for Pricig Barrier Optios, Joural of Ecoomic Dyamics ad Cotrol, [2] R. Zva, K. R. Vetzal, ad P. A. Forsyth. : Robust umerical methods for PDE models of asia optios, J. Computatioal Fiace, 1, 39-78, 1998.