Séquence 8. Suites arithmétiques et géométriques. Sommaire

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1 Séquece 8 Suites arithmétiques et géométriques Sommaire Pré-requis Suites arithmétiques Suites géométriques Sythèse du cours Exercices d approfodissemet Séquece 8 MA Ced - Académie e lige

2 Pré-requis A Exemple Suites Suite défiie explicitemet Soit (u ) la suite défiie pour tout etier aturel par u = 2 7. Calculer u ; u. Compléter le tableau suivat : u Représeter les poits de coordoées ( ; u ) associés aux ciq premiers termes de la suite (u ) das u repère. Cojecturer le ses de variatio de cette suite. Prouver cette cojecture. Solutio 2 u = 7= 7 2 u = 7= u Séquece 8 MA 3 Ced - Académie e lige

3 Cojecture : la suite (u ) est ue suite croissate. Calculos u+ u : 2 u+ = ( + ) 7 doc u+ u = ( ) = = 2 + > Aisi, pour tout etier aturel, u+ > u et la suite (u ) est bie ue suite croissate. Exemple 2 Suite défiie par récurrece Soit (u ) la suite défiie par Calculer u ; u 2. u = 5. u + = 2u 8pour E utilisat u tableur, détermier la valeur des 3 premiers termes de la suite (u ) puis e doer ue représetatio graphique. 4 Séquece 8 MA Ced - Académie e lige

4 Solutio La suite (u ) est défiie par ue relatio de récurrece. u= 2u 8 u2= 2u 8 = et = = 2 = 4 Das la cellule B3, retros la formule : =2*B2 8 B Puissaces Propriété Soiet a et b deux réels o uls, et p deux etiers aturels. a = a = a a = a... a pour 2 fois a = = a a... a fois p + p a a = a a p = a p a ( ab) = a b a a b = b Exemple 3 Simplifier le plus possible a) c) Séquece 8 MA 5 Ced - Académie e lige

5 b) ( 8 27 ) d) ( 3 5) Solutio a) = = c) 5 = b) ( 8 ) = 8 4 = d) ( 3 5) 3 5 = = = 3 5 Exemple 4 Soiet a u réel o ul et u etier aturel Ecrire sous la forme d ue puissace de a : a) a 3 a c) a a 3 a b) ( a 2 ) Solutio a) a a = a b) ( a ) = a c) a 3 a= a a 3 a 3+ = a = a 2 6 Séquece 8 MA Ced - Académie e lige

6 2 Suites arithmétiques A Activité Activités La due Etude d u exemple Ue due mesurait mètres de large e 2. Ue équipe de scietifique costate que chaque aée la largeur de cette due dimiue de,5 m sous l effet de l érosio (due au vet, aux vagues et à l homme). O ote (u ) la largeur de la due e (2+). Aisi, u représete la largeur de la due e 2 et vaut. a) Que représete u? Calculer la valeur de u. b) Que représete u 2? Calculer la valeur de u 2. Que représete u 5? Détermier u 5. La due joue u rôle importat : elle protège les polders des risques d iodatio et iterviet das la gestio de la qualité des eaux. Les scietifiques estimet qu e dessous de 3 m de large, la due e peut plus assurer ce rôle e cas de phéomèes exceptioels (tempête otammet). Les autorités prévoiet de raletir l érosio par des platatios d oyats (plates) et la mise e place de (barrières) dès que la due atteidra 45 m de large. E quelle aée, au plus tard, devra-t-o iterveir? Gééralisatio La suite défiie précédemmet est ue suite arithmétique. Nous allos dégager quelques propriétés de ce type de suite. a) Compléter le schéma ci-dessous : 5, 98, 5 ( u) ( u ) ( ) ( ) b) Compléter : u= u+... u2= u+... u = u Séquece 8 MA 7 Ced - Académie e lige

7 c) Compléter : u 5, u + u u u Gééralisatio : u+ = u +... ce ombre est appelé la raiso de la suite (u ) a) Compléter le schéma ci-dessous : u u u u 5, 2 3 b) Compléter : u = u c) Compléter : u u u u 5, 2 3 u u Gééralisatio : u = u Activité 2 Représetatio graphique et ses de variatio Soiet les suites (u ) et (v ) défiies par récurrece par : u = 2 et u + = u + 3 v = 2 v + = v 5, Compléter le tableau suivat : u v Effectuer les calculs suivats : u u =... u u =... u u u u 2 u = u = u4 =... + u =... v v =... v v v v v v =... 2 v = v = v4 =... + v =... 8 Séquece 8 MA Ced - Académie e lige

8 Que costatez-vous? O dit que la variatio absolue etre deux termes cosécutifs de la suite est costate. Das u repère, représeter graphiquemet les poits M de coordoées ( ; u ) associés à la suite u et les poits P de coordoées ( ; v ) associés à la suite v. Que costatez-vous? B Cours Défiitio Défiitio Ue suite est arithmétique si l o passe d u terme au suivat e ajoutat toujours le même ombre r, appelé raiso de la suite : pour tout etier aturel, u+ = u + r où r est la raiso de la suite. Remarque Ue suite arithmétique est défiie par ue formule de récurrece. La variatio absolue etre deux termes cosécutifs d ue suite arithmétique est costate égale à r : u+ u = r Schéma r r r r u u u u u u Exemple 5 Soit u ue suite arithmétique de premier terme u = 5 et telle que u+ = u 2 Calculer u et u 2. Quelle est la raiso de cette suite? Solutio D après la formule de récurrece, u = u 2 = 5 2 et u2= u 2 = 3 2 = 3 = Comme u+ u = 2, cette suite arithmétique a pour raiso 2. Séquece 8 MA 9 Ced - Académie e lige

9 Formule explicite Propriété Soit u ue suite arithmétique de raiso r. Pour tous etiers aturels et p, u = up + ( p) r E particulier, u = u + r et u = u + ( ) r Exemple 6 Solutio Soit u ue suite arithmétique de premier terme u = 5 et de raiso 2,5. Calculer u 2. Comme u est ue suite arithmétique, o a u = u + r avec u = 5 et r = 2,5. Doc : u 2 = , 5 = 5+ 5 = 55 Représetatio graphique et ses de variatio Propriété 2 Soit u ue suite arithmétique de raiso r. Das u repère du pla, les poits de coordoées ( u ; ) associés à cette suite sot aligés. Remarque Pour ue suite arithmétique, o parle alors d évolutio liéaire. Propriété 3 Soit ue suite arithmétique de raiso r. Si r >, la suite arithmétique est strictemet croissate. Si r <, la suite arithmétique est strictemet décroissate. Si r =, la suite arithmétique est costate. Démostratio Soit u ue suite arithmétique de raiso r. Pour tout etier aturel, o a u+ u = r. Séquece 8 MA Ced - Académie e lige

10 er cas : r > u+ u = r > doc, pour tout etier aturel, u+ > u et aisi la suite u est ue suite strictemet croissate. 2 ème cas : r < u+ u = r < doc, pour tout etier aturel, u+ < u et aisi la suite u est ue suite strictemet décroissate. 3 ème cas : r = u+ u = r = doc, pour tout etier aturel, u+ = u et aisi la suite u est ue suite costate. Exemple 7 Soit u ue suite arithmétique de premier terme u = 5 et r = 2. a) Calculer u ; u 2 ; u 3 et u 4. b) Représeter graphiquemet les 5 premiers termes de cette suite das u repère. c) Quel est le ses de variatio de cette suite? Mêmes questios avec la suite arithmétique v de premier terme v = 5 et r =,5. Solutio a) Comme u est ue suite arithmétique de premier terme u = 5 et r = 2, o a : u = u + r = 5 2 = 3. De même, u 2 = 3 2 = ; u 3 = 2 = et u 4 = 2. = 3 b) 6 5 (,5) 4 3 (,3) 2 (2,) (3, ) 2 3 (4, 3) c) Comme r = 2, la suite u est ue suite strictemet décroissate. Séquece 8 MA Ced - Académie e lige

11 a) Comme v est ue suite arithmétique de premier terme v = 5 et r =,5, o a : v= v+ r = 5+, 5. = 55, b) De même, v 2 = 55, + 5, ; v 3 = 6+, 5 et v 4 = 65, + 5,. = 6 = 65, = 7 c) (3,65) (2,6) (,55) (,5) (4,7) d) Comme r =,5, la suite v est ue suite strictemet croissate. C Tice Tableur Exemple 8 Soit u ue suite arithmétique de premier terme u = 23 et r = - 3. Recopier la page de calculs suivate : Das la cellule B3, retrer ue formule de récurrece qui permet d obteir les termes de la suite u par u «copier-glisser» das la coloe B. «Copier-glisser» cette formule jusqu à la cellule B32. Das la cellule C3, retrer ue formule explicite qui permet d obteir les termes de la suite u par u «copier-glisser» das la coloe C. «Copier-glisser» cette formule jusqu à la cellule C32. 2 Séquece 8 MA Ced - Académie e lige

12 Représeter graphiquemet les termes de la suite. (Utiliser les coloes A et B). Solutio Comme u+ = u + r, o retre : B3=B2+E$2 Comme u = u + r, o retre : C3=C$2+A3*E$2 Remarque O obtiet bie sûr les mêmes résultats das les coloes B et C. Calculatrice Pour obteir les termes d ue suite arithmétique à l aide de la calculatrice, o peut utiliser la formule explicite d ue suite arithmétique et la table de valeurs de la calculatrice. Exemple 9 Solutio Soit u ue suite arithmétique de premier terme u = 7 et de raiso r =,75. Afficher sur ue calculatrice les vigt premiers termes de cette suite. La suite u est défiie explicitemet par u = 7 +, 75. Séquece 8 MA 3 Ced - Académie e lige

13 Texas Istrumet Casio Reseiger «f(x) =» Reseiger «Table Fuc» Reseiger DefTable Reseiger «Table Tabl» et afficher la Table (la faire défiler) Afficher la Table 4 Séquece 8 MA Ced - Académie e lige

14 D Exercices d appretissage Exercice Parmi les suites suivates, recoaître celles qui sot des suites arithmétiques. Pour les suites arithmétiques, préciser la raiso. u = 2 et, pour tout etier aturel, u+ = u 5. Pour tout etier aturel, u = 3 +. Pour tout etier aturel, u = + 8. u = 5 et, pour tout etier aturel, u+ = 2u 3. Exercice 2 Parmi les suites suivates, recoaître celles qui sot des suites arithmétiques. Pour les suites arithmétiques, préciser la raiso. u = 5 et, pour tout etier aturel, u+ = u + 6. Pour tout etier aturel, u = 3 5. Pour tout etier aturel, u = u = 5 et, pour tout etier aturel, u+ = 2 u. Exercice 3 Soit u ue suite arithmétique de premier terme u = et de raiso 7. Exprimer u e foctio de. Calculer u. Exercice 4 Soit u ue suite arithmétique de premier terme u 6 = 7 et de raiso 2,5. Exprimer u e foctio de. Calculer u 5. Exercice 5 u est ue suite arithmétique de raiso r. Das chacu des cas suivats, calculer u 2 : u = 2 et r =,5. u 7 = 35, et r = 2. Séquece 8 MA 5 Ced - Académie e lige

15 u = 5 et r = -3. u 36 = 72 et r =,2. Exercice 6 u est ue suite arithmétique de raiso r. Das chacu des cas suivats, calculer r : u 3 = 25 et u 5 = 2. u 2 = 28 et u 37 = 3 u 7 = 2, 5 et u 6 = 3, 5 u 36 = 5 et u 98 = 5. Exercice 7 Soit u ue suite arithmétique de premier terme u = 5 et de raiso 3. Exprimer u e foctio de. Quel est le ses de variatio de cette suite? Das u repère, représeter les poits associés aux huit premiers termes de cette suite. Par le calcul, détermier le rag à partir duquel u < 2. Exercice 8 Das chacu des cas suivats, u désige ue suite arithmétique. Détermier le ses de variatio de ces suites. u = 2 et, pour tout etier aturel, u+ = u + 8. Pour tout etier aturel, u = 7 6. u = 7 et, pour tout etier aturel, u+ = u. Exercice 9 Itérêts simples U capital de 5 est placé au taux auel de 4 % à itérêts simples. Cela sigifie que, chaque aée, les itérêts sot fixes égaux à 4 % du capital iitial. O ote C le capital iitial et C celui dispoible au bout de aées. Calculer C et C 2. a) Quelle est la ature de la suite (C )? b) Exprimer C e foctio de. A partir de quelle aée le capital dispoible aura-t-il doublé? 6 Séquece 8 MA Ced - Académie e lige

16 Exercice Parmi les graphique suivats, idiquer ceux qui représetet les poits associés aux premiers termes d ue suite arithmétique. Das le cas d ue suite arithmétique, idiquer le premier terme et la raiso de la suite Exercice U particulier effectue u devis auprès d ue etreprise de forage. Le coût du forage d u puits est calculé de la maière suivate : le premier mètre coûte 2 chaque mètre supplémetaire coûte 7 de plus que le précédet. O ote u le prix du ième mètre foré. Aisi u = 2. Calculer u 2 et u 3. Quelle est la ature de la suite (u )? Doer l expressio de u e foctio de. Détermier le prix à payer pour forer u puits de 9 mètres de profodeur. Séquece 8 MA 7 Ced - Académie e lige

17 3 Suites géométriques A Activité 3 Activités Placemet à itérêts composés Etude d u exemple U capital de 2 est placé au taux auel de 5 % à itérêts composés. Cela sigifie que, chaque aée, les itérêts sot calculés sur le capital acquis. O ote C le capital iitial et C dispoible au bout de aées. Quel est le coefficiet multiplicateur associé à ue augmetatio de 5 %? a) Que représete C? Calculer la valeur de C. b) Que représete C 2? Calculer la valeur de C 2. c) Que représete C? Détermier C. Gééralisatio La suite défiie précédemmet est ue suite géométrique. Nous allos dégager quelques propriétés de ce type de suite. a) Compléter le schéma ci-dessous : 5, 2 2 ( u ) ( u ) ( ) ( ) b) Compléter : C= C... C2= C... C3 = C2... c) Compléter : u 5, u u u u+ Gééralisatio : u+ = u... a) Compléter le schéma ci-dessous : 5, 2 3 u u u u ce ombre est appelé la raiso de la suite (u ) 8 Séquece 8 MA Ced - Académie e lige

18 b) Compléter : C = C... 3 c) Compléter : u u u u 5, 2 3 Gééralisatio : C = C... u u Activité 4 Représetatio graphique et ses de variatio E utilisat u tableur, représeter les sept premiers poits associés aux suites (u ) ; (v ) et (w ) défiies par récurrece par : u = 5 u + = u 2, ; v = 5 v + = v 9, et w = 5 w+ = w Cojecturer le ses de variatio de chacue des suites précédetes. Effectuer les calculs suivats : u v =... =... u v u2 v =... 2 =... u v u3 v =... 3 =... u2 v2 u+ v =... + =... u v v v v v v v =... 2 =... 3 =... 2 v+ v =... Que costatez-vous? O dit que la variatio relative etre deux termes cosécutifs de la suite est costate. B Cours Défiitio Défiitio Ue suite est géométrique si l o passe d u terme au suivat e multipliat toujours par le même ombre q, appelé raiso de la suite : pour tout etier aturel, u+ = u q où q est la raiso de la suite. Séquece 8 MA 9 Ced - Académie e lige

19 Remarque Ue suite géométrique est défiie par ue formule de récurrece. La variatio relative etre deux termes cosécutifs d ue suite géométrique est costate égale à q : u + = q u Schéma u u u2 u u u + Exemple Soit u ue suite géométrique de premier terme u = 5, et telle que u+ = u 2. Calculer u et u 2. Quelle est la raiso de cette suite? Solutio D après la formule de récurrece, u= u 2 u2= u 2 = 5, 2 et = 3 2 = 3 = 6 Comme u+ = u 2, cette suite géométrique a pour raiso 2. Formule explicite Propriété Soit u ue suite géométrique de raiso q. p Pour tous etiers aturels et p, u = up q. E particulier, u = u q et u = u q. Exemple Solutio Soit u ue suite géométrique de premier terme u = 5 et de raiso 3. Calculer u. Comme u est ue suite géométrique, o a u = u q avec u = 5 et q = 3. Doc : u = 5 3 = Séquece 8 MA Ced - Académie e lige

20 Représetatio graphique et ses de variatio Propriété 2 Soit q u réel strictemet positif. Soit la suite géométrique défiie pour tout N par u q =. Si < q <, la suite géométrique u = q est strictemet décroissate. Si q =, la suite géométrique u = q est costate égale à. Si < q, la suite géométrique u = q est strictemet croissate. Démostratio Soit la suite géométrique défiie pour tout N par u = q avec q >. + Alors, u+ u = q q = q ( q ). Comme q >, le sige de u+ u déped du sige de (q-) er cas : < q < (q ) < doc u+ u < doc, pour tout etier aturel, u+ < u et aisi la suite u est ue suite strictemet décroissate. 2 ème cas : q = (q ) = doc u+ u = doc, pour tout etier aturel, u+ = u et aisi la suite u est ue suite costate. 3 ème cas : < q (q ) > doc u+ u > doc, pour tout etier aturel, u+ > u et aisi la suite u est ue suite strictemet croissate. Exemple 2 Solutio Soit u ue suite géométrique de premier terme u = 5 et q=,3. a) Quel est le ses de variatio de cette suite? b) Représeter graphiquemet les 5 premiers termes de cette suite das u repère. Mêmes questios avec la suite géométrique v de premier terme v = 2 et q =,2. a) Comme u est ue suite géométrique de premier terme u = 5 et q =,3, o a : u = u q. = 5, 3 Comme <,3 <, la suite défiie par a = 3, est ue suite strictemet décroissate. Comme u = 5 a et 5 >, la suite u a les mêmes variatios que la suite a : u est ue suite strictemet croissate. Séquece 8 MA 2 Ced - Académie e lige

21 b) u 5,5,45,35, a) Comme v est ue suite géométrique de premier terme v = 2 et q =,2, o a : v = v q. = 2 2, Comme,2 >, la suite défiie par b = 2, est ue suite strictemet croissate. Comme v = 2 b et 2 <, la suite v a u ses de variatio cotraire à celui de la suite b : u est ue suite strictemet décroissate. 2 b) v 2 2,4 2,88 3,456 4, Remarque Pour ue suite géométrique, o parle d évolutio expoetielle. C Tice Tableur Exemple 3 Soit u ue suite arithmétique de premier terme u = 5, et q =,. 22 Séquece 8 MA Ced - Académie e lige

22 Recopier la page de calculs suivate : Das la cellule B3, retrer ue formule de récurrece qui permet d obteir les termes de la suite u par u «copier-glisser» das la coloe B. «Copier-glisser» cette formule jusqu à la cellule B42. Das la cellule C3, retrer ue formule explicite qui permet d obteir les termes de la suite u par u «copier-glisser» das la coloe C. «Copier-glisser» cette formule jusqu à la cellule C42. Représeter graphiquemet les termes de la suite. (Utiliser les coloes A et B). Solutio Comme u+ = u q, o retre : B3=B2*E$2 Comme u = u q, o retre : C3=C$2*E$2^A2 Remarque O obtiet bie sûr les mêmes résultats das les coloes B et C. Calculatrice Pour obteir les termes d ue suite géométrique à l aide de la calculatrice, o peut utiliser la formule explicite d ue suite géométrique et la table de valeurs de la calculatrice. Séquece 8 MA 23 Ced - Académie e lige

23 Exemple 2 Solutio Soit u ue suite géométrique de premier terme u = 248 et de raiso q =,5. Afficher sur ue calculatrice les vigt premiers termes de cette suite. La suite u est défiie explicitemet par u = 248, 5. Texas Istrumet Casio Reseiger «f(x) =» Reseiger «Table Fuc» Reseiger DefTable Reseiger «Table Tabl» et afficher la Table (la faire défiler) Afficher la Table 24 Séquece 8 MA Ced - Académie e lige

24 D Exercices d appretissage Exercice 2 Parmi les suites suivates, recoaître celles qui sot des suites géométriques. Pour les suites géométriques, préciser la raiso. u = 5 et, pour tout etier aturel, u+ = 2 u. Pour tout etier aturel, u = 3. Pour tout etier aturel, u =, 2. u = 5 et, pour tout etier aturel, u+ = u. Exercice 3 Parmi les suites suivates, recoaître celles qui sot des suites géométriques. Pour les suites géométriques, préciser la raiso. u = 5 et, pour tout etier aturel, u+ = u + 6. Pour tout etier aturel, u = 2. Pour tout etier aturel, u = u = 5 et, pour tout etier aturel, u+ = 3 u. Exercice 4 Soit u ue suite géométrique de premier terme u = 2 et de raiso,3. Exprimer u e foctio de. Calculer u. (Arrodir à, près). Exercice 5 Soit u ue suite géométrique de premier terme u 7 = 2 et de raiso 3. Exprimer u e foctio de. Calculer u 7. Exercice 6 u est ue suite géométrique de raiso q. Das chacu des cas suivats, calculer u 2. (Arrodir à 2 près si écessaire). u = 2 et q =,5. u 7 = 35, et q = 2. u = 5 et q =,4. u 36 = 6384 et q = 2. Exercice 7 u est ue suite géométrique de raiso q >. Das chacu des cas suivats, calculer q : u 3 = 9 et u 5 = 8. Séquece 8 MA 25 Ced - Académie e lige

25 u 2 =, et u 8 = u 7 = 2 et u 6 = 2 Exercice 8 Soit u ue suite géométrique de premier terme u = 4 et de raiso,25. Exprimer u e foctio de. Quel est le ses de variatio de cette suite? Das u repère, représeter les poits associés aux huit premiers termes de cette suite. A l aide de la calculatrice ou du tableur, détermier le rag à partir duquel u >. Exercice 9 Exercice 2 Exercice 2 Das chacu des cas suivats, u désige ue suite géométrique. Détermier le ses de variatio de ces suites. Pour tout etier aturel, u = 32,. Pour tout etier aturel, u = 5. Pour tout etier aturel, u =. Pour tout etier aturel, u = 2 6. Pour tout etier aturel, u = Pour tout etier aturel, u = 2, 6. Pour tout etier aturel, u =, 3. Das chacu des cas suivat, u désige ue suite géométrique. Détermier le ses de variatio de ces suites. u = 2 et, pour tout etier aturel, u+ = 5, u. u = 3, et, pour tout etier aturel, u+ = 5 u. u = 7 et, pour tout etier aturel, u+ = u. u = 65, et, pour tout etier aturel, u+ = 3 u 2. u = 4, et, pour tout etier aturel, u+ =, u. Itérêts composés U capital de 5 est placé au taux auel de 3,5 % à itérêts composés. O ote C le capital iitial et C celui dispoible au bout de aées. Calculer C et C Séquece 8 MA Ced - Académie e lige

26 a) Quelle est la ature de la suite (C )? b) Exprimer C e foctio de. A l aide de la calculatrice ou d u tableur, détermier à partir de quelle aée le capital dispoible aura doublé? Exercice 22 Augmetatio U patro propose à ses employés deux modes d augmetatio de leur salaire mesuel. Optio A : ue augmetatio fixe du salaire mesuel de 5 au premier javier de chaque aée. Marie est embauchée das l etreprise avec u salaire de 5 par mois. Elle choisit d être augmetée suivat l optio A. O ote M so salaire après aées passées das l etreprise. O a M = 5. a) Calculer M et M 2. b) Exprimer M + e foctio de M. E déduire la ature de la suite (M ). c) Exprimer M e foctio de. d) Calculer M 2. e) A partir de combie d aées so salaire mesuel sera-t-il d au mois 8? Optio B : ue augmetatio de 3 % du salaire mesuel de l aée précédete au premier javier de chaque aée. Jea est embauché la même aée que Marie avec u salaire de 5 par mois. Il choisit d être augmeté suivat l optio B. O ote J so salaire après aées passées das l etreprise. O a J = 5. a) Calculer J et J 2. b) Exprimer J + e foctio de J. E déduire la ature de la suite ( J ). c) Exprimer J e foctio de. d) Calculer J 2. (Arrodir au cetime près). e) A l aide de la calculatrice, détermier à partir de combie d aées so salaire mesuel sera d au mois 8? A partir de combie d aées passées das l etreprise, le salaire mesuel de Jea sera-t-il supérieur à celui de Marie? Séquece 8 MA 27 Ced - Académie e lige

27 4 Sythèse du cours Suite arithmétique Défiitio Ue suite est arithmétique si l o passe d u terme au suivat e ajoutat toujours le même ombre r, appelé raiso de la suite : pour tout etier aturel, u+ = u + r où r est la raiso de la suite. La variatio absolue etre deux termes cosécutifs d ue suite arithmétique est costate égale à r : u+ u = r Propriété (Formule explicite) Soit u ue suite arithmétique de raiso r. Pour tous etiers aturels et p, u = up + ( p) r. E particulier, u = u + r et u = u + ( ) r. Propriété 2 (Représetatio graphique) Soit u ue suite arithmétique de raiso r. Das u repère du pla, les poits de coordoées ( u ; ) associés à cette suite sot aligés. Pour ue suite arithmétique, o parle alors d évolutio liéaire. Propriété 3 (Ses de variatio) Soit ue suite arithmétique de raiso r. Si r >, la suite arithmétique est strictemet croissate. Si r <, la suite arithmétique est strictemet décroissate. Si r =, la suite arithmétique est costate. 28 Séquece 8 MA Ced - Académie e lige

28 Suite géométrique Défiitio Ue suite est géométrique si l o passe d u terme au suivat e multipliat toujours par le même ombre q, appelé raiso de la suite : pour tout etier aturel, u+ = u q où q est la raiso de la suite. La variatio relative etre deux termes cosécutifs d ue suite géométrique est costate égale à q : u u + = q Propriété (Formule explicite) Soit u ue suite géométrique de raiso q. p Pour tous etiers aturels et p, u = up q E particulier, u = u q et u u q =. Propriété 2 (Ses de variatio) Soit q u réel strictemet positif. Soit la suite géométrique défiie pour tout N par u = q. Si < q <, la suite géométrique u = q est strictemet décroissate. Si q =, la suite géométrique u = q est costate égale à. Si < q, la suite géométrique u = q est strictemet croissate. Séquece 8 MA 29 Ced - Académie e lige

29 5 Exercices d approfodissemet Exercice I L hypothèse de MALTHUS ( ) L écoomiste britaique Thomas Robert MALTHUS est cou pour ses travaux sur le rapport etre l accroissemet de la populatio et celui de la ourriture. E 798, il publie Essai sur le pricipe de populatio d où sot extraites les phrases suivates : «Nous pouvos doc teir pour certai que, lorsque la populatio est arrêtée par aucu obstacle, elle va doublat tous les vigt-ciq as, et croit de période e période selo ue progressio géométrique. [ ] Nous sommes doc e état de proocer, e partat de l état actuel de la terre habitée, que les moyes de subsistace, das les circostaces les plus favorables à l idustrie, e peuvet jamais augmeter plus rapidemet que selo ue progressio arithmétique.» E 8, l Agleterre comptait 8 millios d habitats. Faisos les hypothèses suivates : H : La populatio de l Agleterre suit ue progressio géométrique e augmetatio de 2,8 % par a. H2 : E 8, l agriculture aglaise permet de ourrir millios d habitats et so amélioratio permet de ourrir 4 habitats supplémetaires par a, suivat ue progressio arithmétique. Notos ( p ) la populatio de l Agleterre e (8 + ). Aisi, p = 8 Notos (q ) la populatio qui peut être ourrie par l agriculture aglaise e (8 + ). Aisi, q =. Vérifier que l hypothèse H est e accord avec l affirmatio de Malthus «elle va doublat tous les vigt-ciq as». a) Calculer p et p 2. b) Exprimer p + e foctio de p. c) E déduire la ature de la suite ( p ). d) Exprimer p e foctio de. a) Calculer q et q 2. b) Exprimer q + e foctio de q. c) E déduire la ature de la suite (q ). d) Exprimer q e foctio de. Calculer p 25 et q Séquece 8 MA Ced - Académie e lige

30 Détermier, selo l hypothèse de Malthus, l aée à partir de laquelle l agriculture aglaise e permet plus de ourrir la populatio aglaise. Exercice II Le ombre d arbres d ue forêt, e milliers d uités, est modélisé par la suite (u ) où u désige le ombre d arbres, e milliers, au cours de l aée (2+ ). E 2, la forêt possède 5 arbres. Afi d etreteir cette forêt vieillissate, u orgaisme régioal d etretie des forêts décide d abattre chaque aée 5 % des arbres existats et de replater 3 arbres. a) Motrer que la situatio peut être modélisée par :u = 5 et pour tout etier aturel par la relatio : u+ = 95, u + 3 b) La suite (u ) est-elle arithmétique? géométrique? O cosidère la suite ( v ) défiie pour tout etier aturel par v = 6 u. a) Motrer que la suite ( v ) est ue suite géométrique de raiso,95. b) Calculer v. Détermier l expressio de v e foctio de. c) Démotrer que pour tout etier aturel, u = 6 (, 95) Détermier le ombre d arbres de la forêt e 25. O doera ue valeur approchée arrodie à l uité. a) Vérifier que pour tout etier aturel, o a l égalité : u+ u = 5, 95, b) E déduire la mootoie de la suite. E utilisat u tableur ou ue calculatrice, détermier l aée à partir de laquelle le ombre d arbres de la forêt aura dépassé de % le ombre d arbres de la forêt e 2. E utilisat u tableur ou ue calculatrice, cojecturer vers quel ombre d arbres va tedre la forêt si la politique d etretie reste la même. (D après Baccalauréat, Cetres étragers, jui 2) Exercice III Modèle de Harrod (9 978) L écoomiste britaique Roy Forbes Harrod est cou pour ses travaux sur la croissace écoomique. Pour l aée (2 + ), o ote S l éparge, Y le reveu et I l ivestissemet. Supposos que Y soit égal à 5 (milliards d euros). Chaque aée, l éparge est égale à 2 % du reveu. Détermier ue relatio liat S et Y. O admet que, pour tout etier aturel, I = 22,( Y Y ). L équilibre est réalisé lorsque l éparge est égale à l ivestissemet. Détermier ue égalité liat Y et Y à l équilibre. Quelle est la ature de la suite (Y )? E déduire l expressio de Y e foctio de. Séquece 8 MA 3 Ced - Académie e lige

31 O suppose ce modèle ecore valable e 22. Quel sera alors le reveu e 22? Exercice IV Exercice V Das ue zoe de marais, o s itéresse à la populatio des libellules. O ote p la populatio iitiale et p la populatio au bout de aées. Des études ot permis de modéliser l évolutio de p par la relatio : (R) pour tout etier aturel, o a : p+ 2 p+ = p+ p 2 ( ). O suppose que p = 4 et p = 6. O défiit l accroissemet de la populatio pedat la ième aée par la différece p p. Calculer l accroissemet de la populatio pedat la première aée, la deuxième aée, la troisième aée, puis e déduire p 2 et p 3. O cosidère les suites (u ) et ( v ) défiies pour tout etier aturel par : u = p+ p et v = p+ p 2 a) Prouver que la suite (u ) est géométrique. Préciser sa raiso et so premier terme. Exprimer u e foctio de. b) E utilisat la relatio (R), calculer v+ v. E déduire que, pour tout, o a : v = p p 2.Calculer v. c) Démotrer que, pour tout etier aturel, o a p = 2( v u) E déduire ue expressio de p e foctio de. d) A l aide du tableur ou de la calculatrice, cojecturer l évolutio de cette populatio au bout d u ombre d aées suffisammet grad? (D après Baccalauréat, Atilles-Guyae, jui 25) Julie joue avec des allumettes. Elle costruit ue figure de la faço suivate : Première étape Deuxième étape Troisième étape Elle voudrait réaliser ue «pyramide» de 2 étages. Combie doit-elle prévoir d allumettes? 32 Séquece 8 MA Ced - Académie e lige