1 Intégrale de Riemann

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1 Uiversité Paris 13, Istitut Galilée Aée uiversitaire Préparatio à l agrégatio 0. Rappels de théorie de l itégratio 1 Itégrale de Riema L itégrale itroduite e L1 ou e classe prépa est l itégrale dite «de Riema», qui se défiit (sur u segmet) comme limite des sommes de Riema, à supposer que celles-ci coverget à mesure que la subdivisio se raffie. 1.1 Défiitio Soit a < b des réels et N. Ue subdivisio de [a,b] e sous-itervalles est u ( + 1)-uplet σ = (a 0,...,a ), où a = a 0 < a 1 < < a 1 < a = b ; le pas de cette subdivisio σ est le réel max 0 i< (a i+1 a i ). Ue subdivisio poitée de [a,b] e sous-itervalles est u couple (σ,τ) où σ = (a 0,a 1,...,a ) est ue subdivisio de [a,b] e sous-itervalles et τ = (t 1,...,t ) est u -uplet de poits de [a,b] tels que, pour i = 1,...,, t i [a i 1,a i ]. Soit f : [a,b] R ue foctio. Pour toute subdivisio poitée (σ,τ) = ((a 0,...,a ),(t 1,...,t )) de [a,b], o défiit la somme de Riema 1 S(f,(σ,τ)) = f(t i )(a i+1 a i ). i=0 f est itégrable au ses de Riema (sur [a,b]) s il existe u réel s tel que, pour toute suite (σ,τ ) N de subdivisios poitées dot le pas ted vers 0, S(f,(σ,τ )) coverge vers s. La limite commue s est alors appelée l itégrale de f (au ses de Riema), et o ote s = b a f(t)dt. O utilise parfois ue défiitio apparemmet plus forte mais e fait équivalete : pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que, pour toute subdivisio poitée (σ,τ) de [a,b] de pas iférieur à δ, S(f,(σ,τ)) s < ε. La défiitio équivalete suivate, due à Darboux, a l avatage d être souvet plus simple à maipuler : Notos E([a,b]) l espace vectoriel des foctios e escalier sur [a,b], c est-à-dire costates sur chaque itervalle ouvert d ue subdivisio de [a,b]. Pour ϕ E([a,b]), o défiit élémetairemet so itégrale b a ϕ : si (a 0,...,a ) est ue subdivisio de [a,b] telle que ϕ est costate, égale à c i, sur chaque itervalle ]a i,a i+1 [ pour i = 0,..., 1, alors o pose : (rigoureusemet, il faut s assurer que cette défiitio e déped pas du choix de la subdivisio) b a ϕ(t)dt = c i (a i+1 a i ). i=1 f est itégrable au ses de Riema si, pour tout ε > 0, il existe deux foctios e escalier ϕ et ψ sur [a,b] telles que ϕ f ψ et b a (ψ ϕ) < ε, où l itégrale ci-dessus est bie défiie car ψ ϕ est e escaliers sur [a,b]. O a alors b if ψ E([a,b]) a f ψ ψ(t)dt = b sup ϕ E([a,b]) a ϕ f ϕ(t)dt et cette valeur commue est appelée itégrale de f sur [a,b]. Pour l ue ou l autre de ces défiitios, o motre que les foctios cotiues par morceaux sot itégrables. Sigalos ue autre approche, u peu plus restrictive mais souvet suffisate : o peut défiir élémetairemet l itégrale sur l espace E([a,b]) des foctios e escalier sur [a,b], puis vérifier que l applicatio I : ϕ b a ϕ est uiformémet cotiue sur E([a,b]) pour la orme (cela reviet à motrer l iégalité triagulaire ϕ ϕ ), et défiir alors l itégrale sur l adhérece de E([a,b]) parmi les foctios borées sur [a,b] e cosidérat l uique prologemet (uiformémet) cotiu de l applicatio I. Comme les foctios cotiues par morceaux sot limites uiformes de foctios e escalier, cela défiit e particulier leur itégrale. L adhérece de E([a,b]) est e fait l esemble des foctios réglées, c est-à-dire qui admettet des limites à gauche et à droite e chaque poit ; c est u esemble plus grad que celui des foctios cotiues par morceaux, mais qui reste strictemet iclus das celui des foctios itégrables au ses de Riema. 1

2 Remarquos que les foctios itégrables au ses de Riema sur [a,b] sot borées sur [a,b]. O peut éamois itroduire ue itégrale gééralisée qui doe u ses à certaies itégrales de foctios o borées, ou sur u itervalle o boré : o défiit aisi pour α < b ou α =, b f = lim f a α + ]α,b] lorsque cette limite existe, et de même pour des itervalles de la forme [a,β[ ou ]α,β[ avec α β. O peut égalemet étedre la défiitio aux foctios à valeurs das C ou das R d, e itégrat séparémet chaque composate : (f + ig) = f + i g et a f 1 Efi, o peut l étedre aux foctios défiies sur R d e itroduisat ue otio de subdivisio d u domaie e pavés et e itroduisat les sommes de Riema correspodates. Sigalos ue caractérisatio des foctios itégrables au ses de Riema sur [a,b] : ce sot les foctios borées sur [a,b] dot l esemble des poits de discotiuité est égligeable. (cf. Gourdo par exemple) 1.2 Limitatios Cette défiitio de l itégrale correspod à l ituitio : o approche l aire sous la courbe par l aire d ue uio de rectagles, et l itégrale obteue à la limite peut se voir comme ue somme de quatités ifiitésimales «f(x)dx» correspodat à l aire de chacu de ces rectagles. Toutefois, cette défiitio se prête mal aux gééralisatios. Citos quelques-ues de ses limitatios : la défiitio sur les itervalles o borés est possible (itégrale gééralisée, voir ci-dessus), mais idirecte certaies foctios borées très irrégulières e sot pas itégrables (comme la foctio idicatrice 1 Q ) les théorèmes d échage etre limite simple et itégrale sot peu satisfaisats (la otio aturelle pour l itégrale de Riema est la covergece uiforme, très restrictive) la défiitio e s éted pas facilemet à d autres espaces de départ (il faut pouvoir les subdiviser e parties «simples à mesurer» comme les pavés de R d ). L itégrale de Lebesgue peut être vue comme ue faço de répodre à cette derière limitatio, et s avère répodre aux précédetes aussi. Pour l itégrale de Riema, tout part de l idée que l o peut facilemet défiir l itégrale des foctios e escalier sur [a,b], ϕ = α i 1 [ai 1,a i], par b a ϕ = i=1 α i (a i a i 1 ) = i=1. f = f1. f α i logueur(([a i 1,a i ]). Puis o dit que f : [a,b] R est itégrable si les itégrales de foctios e escalier qui ecadret f peuvet être redues arbitrairemet proches. Pour itégrer des foctios f : E R, e l absece de otio d «itervalle» sur E, il est dès lors aturel d essayer d étedre le pricipe précédet e partat de «foctios simples» qui soiet de la forme ϕ = α i 1 Ai, où A 1,...,A sot des parties de E, pour lesquelles o défiirait ϕ = α i mesure(a i ), E i=1 i=1 pour ue «mesure» à préciser (sur R, ce serait la logueur), et de là o défiirait f de même que sur R. E Si cette idée, à l origie de l itégrale de Lebesgue, est simple, il faut tout de même oter que la mise e œuvre de la otio de mesure s avère plus délicate que l o pourrait s y attedre. E effet, même sur R, défiir la logueur d ue partie quelcoque est ue tâche impossible si l o souhaite que que la logueur soit additive (pour A et B disjoits, la «logueur» de A B devrait être la somme de celles de A et B). O e va doc cosidérer comme parties a priori mesurables qu u certai sous-esemble de P(R), dot les propriétés de stabilité fourisset la défiitio de tribu (ou σ-algèbre). Ue autre faço de voir l approche par des foctios simples plutôt qu e escalier : cela reviet à cosidérer des subdivisios de l espace d arrivée (R) plutôt que de l espace de départ, soit f k k 1 f 1 ([ k, k+1 [). 2 i=1

3 2 Tribu, mesure, itégrale de Lebesgue 2.1 Espace mesurés O défiit ici les élémets qui ous servirot de cadre pour la théorie de l itégratio Tribus Défiitio Soit E u esemble. Ue tribu (ou σ-algèbre) sur E est u esemble A de parties de E telle que (i) A ; (ii) si A A, alors A c A (stabilité par passage au complémetaire) (iii) si (A ) N est ue suite de parties das A, alors N A A ; (stabilité par uio déombrable) (E,A) est u espace mesurable. Ue partie A A est dite mesurable. Les coséqueces suivates sot aussi importates que la défiitio : Propriétés a) E A ; b) si A 1,...,A A, alors A 1 A A ; c) si (A ) N est ue suite de parties das A, d) si A 1,...,A A, alors A 1 A A ; e) si A,B A et A B, alors B \ A A. A A ; (stabilité par itersectio déombrable) N Attetio. Si (A i ) i I est ue famille de parties mesurables, alors les esembles A i et A i sot mesurables i I i I à coditio que I est déombrable (car o peut écrire I = {i N} et doc i A i = A i ). Exemples. P(E) est la tribu discrète sur E. {,E} est la tribu grossière sur E. Défiitio-Propositio Soit C u esemble de parties de E. Il existe ue plus petite tribu qui cotiet C. O la ote σ(c), et o l appelle la tribu egedrée par C. sur R d, la tribu boréliee est la tribu egedrée par les ouverts. O la ote B(R d ). O peut vérifier que B(R d ) est aussi la tribu egedrée par les itervalles de R d. Ses élémets sot les borélies. Aisi, tout esemble costruit à partir d itervalles à l aide des opératios de passage au complémetaire, d uio déombrable et d itersectio déombrable, est u borélie. E pratique, tous les sous-esembles de R que l o maipule sot obteus aisi et sot doc borélies Mesures Soit (E,A) u espace mesurable. Défiitio Ue mesure sur (E,A) est ue applicatio µ : A [0, + ] telle que (i) µ( ) = 0 ( ) (ii) pour toute suite (A ) N de parties mesurables disjoites, µ A = A. N (E,A,µ) est u espace mesuré. µ(e) est la masse totale de µ. O dit que µ est fiie si µ(e) <. Les coséqueces suivates sot aussi importates que la défiitio : Propriétés a) Si A 1,...,A A sot disjoits, alors µ(a 1 A ) = µ(a 1 ) + + µ(a ). b) Si A,B A et A B, alors µ(a) µ(b) et, si µ(a) <, alors µ(b \ A) = µ(b) µ(a). c) Pour tous A,B A, et µ(a B) <, alors µ(a B) = µ(a) + µ(b) µ(a B). N 3

4 ) d) Si (A ) est ue suite croissate de parties mesurables, alors µ( A = lim µ(a ). e) Si (A ) est ue suite décroissate de parties mesurables, et µ(a 0 ) <, alors µ( ( ) f) Pour toute suite (A ) de parties mesurables, µ A µ(a ). (sous-additivité) Exemples. Soit E u esemble. Sur (E,P(E)), la mesure de comptage µ E est défiie par : { Card(A) si A est fii pour tout A E, µ E (A) = si A est ifii. ) A = lim µ(a ). Aisi, «µ E place u poids 1 e chaque poit de E» Soit (E,A) u espace mesurable, et x E. La mesure de Dirac e x est la mesure δ x défiie par : { 1 si x A pour tout A A, δ x (A) = 0 si x / A = 1 A(x). Aisi, «δ x place u poids 1 au poit x» Si (µ ) 0 est ue suite de mesures sur (E,A) et (α ) 0 ue suite de réels positifs, alors o peut défiir la mesure µ = 0 α µ par pour tout A A, µ(a) = 0 α µ (A). E particulier, si (x ) 0 est ue suite de poits de E, o peut cosidérer µ = 0 α δ x qui, pour tout, «place u poids α e x». Défiitio-Théorème Il existe ue uique mesure λ d sur (R d,b(r d )) telle que, pour tout pavé fermé [a 1,b 1 ] [a d,b d ], O l appelle mesure de Lebesgue sur R d. λ d ( [a1,b 1 ] [a d,b d ] ) = b 1 a 1 b d a d. sur R, la mesure λ = λ 1 vérifie λ([a,b]) = b a pour tout segmet [a,b] avec a b. Cette mesure correspod doc à la logueur sur R. Le théorème sigifie que l o peut défiir la logueur de importe quel borélie, et qu elle vérifie la coditio (ii). sur R 2, la mesure λ 2 vérifie λ 2 ([a,b] [c,d]) = (b a)(d c) pour tout rectagle [a,b] [c,d] avec a b et c d. Cette mesure correspod doc à l aire sur R 2. sur R 3, la mesure λ 3 correspod de même au volume. Propriétés a) λ d est ivariate par traslatio : pour tout A B(R d ) et a R d, où a + A = {a + x x A}. λ d (a + A) = λ d (A), b) λ d est homogèe de degré d : pour tout A B(R d ) et t R, où ta = {tx x A}. λ d (ta) = t d λ d (A), Pour motrer que deux mesures sot égales, il suffit de comparer leurs valeurs sur les pavés : Propositio Soit µ,ν deux mesures sur (R d,b(r d )). Si, pour tout pavé fermé P, µ(p ) = ν(p ) <, alors µ = ν. 4

5 Défiitio Soit µ ue mesure sur (E,A). Si A A est tel que µ(a) = 0, o dit que A est égligeable. O peut préciser «µ-égligeable», ou «égligeable pour la mesure µ», si la mesure µ est pas claire d après le cotexte. Si ue propriété P x est vraie pour tout x A, où A c est égligeable pour la mesure µ, o dit que P x est vraie pour presque tout x, ou ecore que P est vraie presque partout. O peut préciser «µ-presque partout», ou «presque partout pour la mesure µ», si la mesure µ est pas claire d après le cotexte. Sas précisio, sur R d, «presque tout» fait référece à la mesure de Lebesgue λ d Foctios mesurables Défiitio Soit (E,A) et (F,B) des espaces mesurables. Ue applicatio f : E F est mesurable si pour tout B B, f 1 (B) A. Propositio Les foctios cotiues f : R d R d sot mesurables (pour les tribus boréliees). Propriétés L espace des foctios mesurables de (E,A) das (R,B(R)) est stable par : a) additio (si f,g : E R sot mesurables, alors f + g aussi) b) multiplicatio (si f,g : E R sot mesurables, alors fg aussi) c) passage au sup et à l if (si, pour tout, f : E R est mesurable, alors sup f et if f sot mesurables) d) valeur absolue (si f : E R est mesurable, alors f aussi) e) passage à la lim if, lim sup et doc à la limite (si, pour tout, f : E R est mesurable, alors lim if f et lim sup f sot mesurables ; et si f (x) f(x) pour tout x E, alors f est mesurable) Aisi, toute foctio R d R obteue à partir de foctios cotiues par ces opératios est mesurable. E pratique, toutes les foctios que l o maipule sot obteues aisi et sot doc mesurables. Il e va de même pour les foctios de R d das R d par la propositio suivate : Propositio Ue foctio f : R d R d est mesurable si, et seulemet si ses composates le sot. 2.2 Itégratio par rapport à ue mesure Soit (E,A,µ) u espace mesuré Itégrale de foctios mesurables positives Défiitio Ue foctio étagée sur (E,A) est ue foctio mesurable g : (E,A) (R,B(R)) qui e pred qu u ombre fii de valeurs. Autremet dit, il existe α 1,...,α R (les valeurs) et A 1,...,A A disjoits tels que α 1 si x A 1 pour tout x R, g(x) = α i 1 Ai (x) =. i=1 α si x A 0 sio. NB. Les foctios e escalier sur R sot étagées (c est le cas où les A i sot des itervalles), mais il y a beaucoup plus de foctios étagées, par exemple g = 1 Q. Ces foctios formet u espace vectoriel. 5

6 Défiitio Si g est étagée et positive (autremet dit, α i 0 pour i = 1,...,) alors, avec l écriture de g ci-dessus, o défiit gdµ = α i µ(a i ) [0, + ]. (avec 0 = 0). i=1 O peut vérifier que cette défiitio e déped pas du choix de l écriture de g sous la forme g = i α i1 Ai. E particulier, 1 A dµ = µ(a). Propriétés Soit g,h des foctios étagées positives. a) Pour tous réels a,b 0, (ag + bh)dµ = a gdµ + b hdµ. b) Si g h, alors gdµ hdµ. Défiitio Soit f : E [0, + ] mesurable. O ote f dµ = sup h étagée, 0 h f h dµ [0, + ], et cette quatité est appelée l itégrale de f par rapport à µ. NB. O utilise aussi les otatios suivates : fdµ = f(x)dµ(x) = f(x)µ(dx) et o peut spécifier E. Das la suite, de même que das cette défiitio, ue foctio «mesurable positive» est supposée predre ses valeurs das [0, + ]. Notos que par la propriété b) ci-dessous, si f = 1 A (autremet dit, f(x) = si x A et f(x) = 0 sio) avec µ(a) = 0 alors fdµ = 0 = 0. Aisi, pour α R + {+ }, α1 A dµ = αµ(a) avec 0 = 0 = 0. Propriétés Soit f,g des foctios mesurables positives. a) Si f g, alors fdµ gdµ. b) Si f = 0 presque partout (pour la mesure µ), alors fdµ = 0. Théorème (Théorème de covergece mootoe (TCM)) Soit (f ) ue suite croissate de foctios mesurables positives. Alors lim f dµ = lim f dµ. Par le TCM, pour calculer fdµ, o peut cosidérer lim f dµ pour importe quelle suite croissate (f ) qui coverge vers f. Par exemple ue suite de foctios étagées : Lemme Si f est mesurable positive, alors il existe ue suite croissate (f ) de foctios étagées positives qui coverge vers f. Propriétés (af ) Pour f,g mesurables positives, et a,b réels positifs, + bg dµ = a fdµ + b gdµ. Le théorème de covergece mootoe admet ue réécriture e termes de séries : Corollaire (Théorème de covergece mootoe pour les séries positives) Si (f ) 0 est ue suite de foctios mesurables positives, alors ( f )dµ = f dµ. =0 =0 6

7 Propositio (Iégalité de Markov) Pour toute foctio mesurable positive f, et tout réel a > 0, ({ }) µ x E f(x) a 1 a fdµ. Corollaire Soit f,g des foctios mesurables positives. a) Si fdµ <, alors f < presque partout. b) fdµ = 0 si, et seulemet si f = 0 presque partout. c) Si f = g presque partout, alors fdµ = gdµ. Théorème (Lemme de Fatou) Soit (f ) 0 ue suite de foctio mesurables positives. O a ( ) lim if f dµ lim if f dµ. NB. Voici trois exemples de suites (f ) telles que f 0 et f dµ 0 (o a même f dµ = 1 pour tout ). O utilise E = R, mui de la mesure de Lebesgue µ = λ 1. «bosse voyageuse» : f = 1 [,+1] «cocetratio e 0» : f = 1 [ 1, 1 2 ] «écrasemet» : f = 1 1 [ 2,+ 2 ] Foctios itégrables Défiitio Soit f : E R ue foctio mesurable. f est itégrable par rapport à µ si O pose alors fdµ = f + dµ f dµ R, f dµ <. où f + = max(0,f) et f = max(0, f) sot les parties positive et égative de f. O ote L 1 (E,A,µ) l espace des foctios itégrables par rapport à µ. NB. O a f = f + + f f, ce qui justifie que f dµ < et doe u ses à la soustractio ci-dessus. De même, f + dµ < doc fdµ est bie réel. O abrège souvet L 1 (E,µ), voire L 1 (E) ou même L 1 si le cotexte précise (E,A,µ). Propriétés a) Pour toute f L 1 (E,A,µ), fdµ f dµ b) L 1 (E,A,µ) est u espace vectoriel, et f fdµ est ue applicatio liéaire de L 1 (E,A,µ) das R. c) Pour f,g L 1 (E,A,µ), si f g, alors fdµ gdµ. d) Pour f,g L 1 (E,A,µ), si f = g presque partout, alors fdµ = gdµ. Théorème (Théorème de covergece domiée (TCD)) Soit (f ) ue suite de foctios mesurables E R, et f ue foctio mesurable E R. O suppose (i) f (x) f(x) pour presque partout x E ; (ii) il existe ϕ : E R + mesurable telle que ϕdµ < et pour tout, pour presque tout x E, f (x) ϕ(x). (hypothèse de domiatio) Alors, pour tout, f L 1 (E,A,µ), f L 1 (E,A,µ), f dµ fdµ et f f dµ 0. 7

8 O peut alors doer ue formule «cocrète» de calcul de fdµ par approximatio e subdivisat l itervalle d arrivée, de même que les sommes de Riema subdiviset l itervalle de départ : Corollaire Soit f ue foctio itégrable positive. Pour toute suite de subdivisios 0 = l () 0 < l () 1 < < l () N() de R telle que max 0 i<n() l() i+1 l() i 0 et l () N() +, o a Notatio. Pour A A, o ote A N() i=1 ( l () i µ f 1( [l () i,l () i+1 [)) fdµ. fdµ = f1 A dµ l itégrale de f sur A par rapport à µ, lorsqu elle a u ses, c est-à-dire si f1 A est positive ou itégrable. Ceci a d ailleurs u ses même si f est pas défiie hors de A (car 1 A vaut alors 0). O dit que f est itégrable sur A si f dµ <. Remarque importate. Toute cette partie s éted aux foctios à valeurs das C et R d e itégrat composate par composate : par exemple, ue foctio mesurable f : E C est itégrable si f dµ < et, das ce cas, fdµ = R(f)dµ + i I(f)dµ. Les résultats précédets restet alors vrais avec cette défiitio (liéarité, TCD) Exemples pricipaux Itégrale par rapport à ue mesure atomique (O dit que x est u atome de µ si {x} A et µ({x}) > 0) Propositio Soit f : E R ue foctio. a) Soit x E. f est itégrable par rapport à δ x et fdδ x = f(x). b) Soit (x ) ue suite d élémets de E (disticts) et (α ) ue suite de réels 0. O pose µ = α δ x. Si f est positive, o a fdµ = α f(x ) [0, + ]. Pour f de sige quelcoque, f est itégrable par rapport à µ si, et seulemet si α f(x ) < et, das ce cas, fdµ = α f(x ) R. A E particulier, si µ E est la mesure de comptage sur E et f : E R +, fdµ E = x E f(x). Itégrale par rapport à la mesure de Lebesgue (lie avec l itégrale de Riema) O ote λ = λ 1. Soit a < b. Notos que toute foctio mesurable borée f : [a,b] R est itégrable sur [a,b] par rapport à la mesure de Lebesgue. E effet, si f(x) M pour tout x [a,b], alors f dλ Mdλ = M dλ = Mλ([a,b]) = M b a <. Théorème [a,b] [a,b] [a,b] Si f est itégrable au ses de Riema sur [a,b], alors f est itégrable par rapport à λ sur [a,b], et [a,b] fdλ = (l itégrale de droite état l itégrale au ses de Riema) b a f. 8

9 Par suite, si I est u itervalle, pour f : I R mesurable positive, ou itégrable par rapport à λ, o pourra oter f = f(x)dx = fdλ, I I même si f est pas itégrable au ses de Riema, sas cofusio possible. O pourra doc, pour des itégrales au ses de Riema, appliquer les théorèmes précédets (covergece mootoe, domiée, etc.) ; et pour des itégrales de Lebesgue de foctios itégrables au ses de Riema, utiliser les propriétés bie coues (itégratio par parties, lie etre itégrale et primitive, etc.). Itégrale par rapport à ue mesure à desité Soit (E,A) u espace mesurable. O vérifie facilemet que, si f est positive, A fdµ est ue mesure, d où la défiitio : A Défiitio Si f est ue foctio mesurable E [0,+ ], et µ ue mesure sur E, la mesure de desité f par rapport à µ est la mesure f µ (aussi otée f(x)dµ(x)) défiie par : pour tout A A, (f µ)(a) = fdµ = f1 A dµ. I A NB. A est égligeable pour f µ dès que A est égligeable pour µ (ou que f est ulle sur A). Ceci caractérise les mesures à desité, cf. le théorème de Rado-Nikodym. Propositio Soit f ue foctio mesurable E [0, + ], et µ ue mesure sur E. a) Pour toute foctio mesurable g : E [0, + ], o a gd(f µ) = gfdµ = g(x)f(x)dµ(x), b) Ue foctio g : E R est itégrable par rapport à f µ si, et seulemet si fg est itégrable par rapport à µ et, das ce cas, gd(f µ) = gfdµ = g(x)f(x)dµ(x). Ceci justifie la otatio f µ = f(x)dµ(x). Pour la mesure de Lebesgue, vu le lie avec l itégrale de Riema, o otera aussi f(x)dx pour f λ. Par extesio, vu que 1 µ = µ, o pourra parfois oter dµ(x) pour désiger la mesure µ, et doc dx pour désiger la mesure de Lebesgue λ (ou λ d ) Itégrales dépedat d u paramètre Les résultats suivats se déduiset rapidemet du théorème de covergece domiée. Théorème (Théorème de cotiuité sous l itégrale) Soit f : (t,x) f(t,x) ue foctio mesurable de I E das R d ou C (où I est u itervalle de R). O suppose que : (cotiuité par rapport au paramètre) pour µ-presque tout x E, t f(t,x) est cotiue sur I ; (domiatio) il existe ue foctio ϕ : E R + mesurable telle que ϕ dµ < et, pour tout t I, pour µ-presque tout x E, f(t,x) ϕ(x). Alors la foctio F : t F (t) = f(t,x) dµ(x) est bie défiie pour tout t I, et est cotiue sur I. 9

10 Théorème (Théorème de dérivatio sous l itégrale) Soit f : (t,x) f(t,x) ue foctio de I E das R d ou C. O suppose que : (existece de F ) pour tout t I, x f(t,x) est itégrable ; (dérivabilité par rapport au paramètre) pour µ-presque tout x E, t f(t,x) est dérivable sur I, de dérivée otée f t ; (domiatio de la dérivée) il existe ue foctio ϕ : E R + mesurable telle que ϕ dµ < et, pour tout t I, pour µ-presque tout x E, f t (t,x) ϕ(x). Alors la foctio est dérivable sur I et, pour tout t I, F : t F (t) = f(t,x) dµ(x) F (t) = f (t,x) dµ(x). t Remarque : Si de plus la foctio t f t (t,x) est cotiue pour presque tout x, alors le théorème de cotiuité motre que F est cotiue, et doc que F est de classe C 1 sur I. Deuxième remarque : Pour motrer que F est de classe C 2, C 3,..., o peut appliquer le théorème plusieurs fois. Pour motrer que F est de classe C, o peut motrer par récurrece que F est de classe C pour tout, ou alors, si c est le cas, motrer directemet que F est aalytique : Théorème (Théorème d holomorphie sous l itégrale) Soit f : (z,x) f(z,x) ue foctio de U E das C, où U est u ouvert de C. O suppose que : (mesurabilité) pour tout z U, x f(z,x) est mesurable ; (holomorphie) pour µ-presque tout x E, z f(z,x) est holomorphe sur U, de dérivée otée f z ; (domiatio de f!) il existe ue foctio ϕ : E R + mesurable telle que ϕ dµ < et pour tout z U, pour µ-presque tout x E, f(z,x) ϕ(x). Alors la foctio F : z F (z) = f(z,x) dµ(x) est holomorphe sur U, et, pour tout z U, la foctio x f z (z,x) est itégrable et f F (z) = (z,x) dµ(x). z 2.3 Itégratio sur u espace produit Soit (E,A,µ) et (F,B,ν) deux espaces mesurés. O suppose das cette partie que µ et ν sot σ-fiies : il existe ue suite croissate (E ) de parties de E telle que E = E et pour tout, µ(e ) <, et de même pour ν Produit d espaces mesurés O souhaite faire de E F (= {(x,y) x E, y F }) u espace mesuré, c est-à-dire le muir d ue tribu et d ue mesure, déduites de celles de E et F. Défiitio La tribu produit de A et B est la tribu A B egedrée par les pavés A B où A A et B B : A B = σ( {A B A A, B B } ). Das le cas des borélies de R d, cette opératio redoe les tribus déjà coues : 10

11 Propositio Pour tous d,d, B(R d ) B(R d ) = B(R d+d ). Par suite, B(R d ) = B(R) B(R) = B(R) d e défiissat de même ue mesure produit de d mesures. Théorème Il existe ue uique mesure m sur (E F,A B) telle que pour tous A A et B B, m(a B) = µ(a)ν(b), (avec ici 0 = 0 = 0). O la ote m = µ ν. De plus, pour tout C A B, µ ν(c) = ν(c x )dµ(x) = µ(c y )dν(y). E F La derière formule décrit ue itégratio «par traches» : la mesure de C est l itégrale des mesures de traches, horizotales ou verticales. Das le cas de la mesure de Lebesgue sur R d, cette opératio redoe les mesures déjà coues : Propositio Pour tous d,d, λ d λ d = λ d+d. Par suite, e otat λ = λ 1, o a λ d = λ λ = λ d, e défiissat par récurrece le produit de d mesures Théorèmes de Fubii Les propriétés de la mesure produit se trasfèret aisémet aux propriétés de l itégrale et permettet de résoudre la questio iitiale. Théorème (Théorème de Fubii-Toelli) Pour toute foctio mesurable f : E F [0, + ], ( ) fd(µ ν) = f(x,y)dν(y) dµ(x) = E F E coséquece de ce théorème, o pourra oter E F E F F ( E ) f(x,y)dµ(x) dν(y). f(x,y)dν(y)dµ(x) sas parethèses lorsque f est mesurable positive. E décomposat ue foctio f de sige quelcoque e f = f + f, o obtiet facilemet : Théorème (Théorème de Fubii-Lebesgue) Pour toute foctio mesurable f sur E F à valeurs das R d ou C, telle que f(x,y) d(µ ν)(x,y) <, o a E F E F f(x,y) d(µ ν)(x,y) = E ( F ) ( ) f(x,y)dν(y) dµ(x) = f(x,y)dµ(x) dν(y). F E Pour deux foctios mesurables f : E R + et g : F R +, le théorème de Fubii-Toelli motre facilemet que la mesure produit des mesures de desité f sur E et de desité g sur F est la mesure de desité f g : (x,y) f(x)g(y). 11

12 2.4 Chagemets de variables Mesure image O défiit ici ue faço de «trasporter» ue mesure d u espace à u autre, par ue foctio. Cette opératio sera otammet importate e probabilités pour défiir la loi d ue variable aléatoire. Soit ϕ : (E,A) (F,B) ue applicatio mesurable. O rappelle que µ est ue mesure sur (E,A). Défiitio La mesure image de µ par ϕ est la mesure ϕ µ sur F doée par : pour tout B B, ϕ µ(b) = µ ( ϕ 1 (B) ). Théorème (Théorème de trasfert) a) Pour toute foctio mesurable f : F [0, + ], f(y)d(ϕ µ)(y) = f(ϕ(x))dµ(x). F E b) Pour toute foctio mesurable f sur F à valeurs das R d ou C, f est itégrable par rapport à ϕ µ si, et seulemet si f ϕ est itégrable par rapport à µ et, das ce cas, f(y)d(ϕ µ)(y) = f(ϕ(x))dµ(x). F E Chagemets de variables das R d Cas liéaire Propositio Soit M ue applicatio liéaire R d R d. O a, pour B B(R d ), λ d ( M(B) ) = det M λd (B). Autremet dit, si M est iversible, M λ d = 1 det M λ d. E particulier, pour B = [0,1] d, o a l iterprétatio suivate du détermiat de M : c est le volume du parallélotope egedré par les vecteurs coloes de M. Et si f : R d R est itégrable par rapport à λ d, le théorème de trasfert doe Cas des C 1 -difféomorphismes f(m(x))dx = f(y)d ( M λ d )(y) = R d R d Théorème (Théorème de chagemet de variable das R d ) 1 det M R d f(y)dy. Soit U et D des ouverts de R d. Soit f : D R mesurable, et ϕ : U D u C 1 -difféomorphisme. a) Si f est positive, alors f(y) dy = f ( ϕ(x) ) Jϕ (x) dx D U et f ( ϕ(x) ) dx = f(y) Jϕ 1(y) dy. U b) Si f est itégrable sur D, la première égalité précédete a u ses (autremet dit, u f(ϕ(u)) J ϕ (u) est itégrable sur U) et est vraie. Si f ϕ est itégrable sur U, alors il e est de même de la deuxième. c) E particulier, la mesure image de λ d par ϕ est la mesure de desité J ϕ 1 par rapport à λ d : D ϕ (λ d ) U = J ϕ 1 (λ d ) D. (Ici, (λ d ) D est la restrictio de λ d à D, puisque ϕ est défiie que sur D) 12

13 Uiversité Paris 13, Istitut Galilée Aée uiversitaire Préparatio à l agrégatio I. Fodemets des probabilités L objectif de ce chapitre est de costater que la théorie de l itégratio développée das la première partie du cours fourit u cadre rigoureux pour les probabilités. La théorie sera doc la même, mais l iterprétatio e est différete : o cherche à fourir u modèle mathématique pour ue «expériece aléatoire». Ue première partie va doc cosister à relire les résultats de théorie de l itégratio e ayat e tête cette ituitio. Ceci va de pair avec u ouveau vocabulaire, que l o va commecer par itroduire. 1 Défiitios 1.1 Espace de probabilités Défiitio U espace de probabilité est u espace mesuré (Ω,A,P ) où la mesure P a pour masse totale 1 : P(Ω) = 1. O appelle P ue probabilité, ou ue mesure de probabilité. Ω est parfois appelé l uivers, ou l espace des évetualités. Les parties mesurables A A sot appelés des évéemets. U évéemet est presque sûr si P(A) = 1 ; o dit aussi que A est réalisé presque sûremet (e abrégé, p.s.). Ue iterprétatio e est la suivate : Ω représete l esemble de toutes les évetualités possibles, toutes les réalisatios possibles du hasard das l expériece aléatoire cosidérée. A est l esemble des «évéemets», c est-à-dire des esembles d évetualités dot o peut évaluer la probabilité. Pour A A, P(A) représete la probabilité d occurrece de l évéemet A. O peut s e faire diverses ituitios, qui pourrot être justifiées par la théorie qui va suivre : u poit de vue a priori, où des cosidératios de symétrie, par exemple, ou u calcul lié aux propriétés physiques mises e jeu par l expériece, permettet de justifier la répartitio des probabilités (par exemple, pour u dé équilibré, l occurrece de chaque face devrait avoir même probabilité, doc 1/6), u poit de vue a posteriori, où P(A) est vu comme la fréquece asymptotique de réalisatio de l évéemet A si o répète l expériece u grad ombre de fois (par exemple, si o tire le même dé u grad ombre de fois, o observe que chaque face apparaît e moyee approximativemet lors de 1/6 des tirages, et cette approximatio a tedace à s améliorer avec le ombre de tirages). NB. Malgré l importace théorique de l espace de probabilité (Ω,A,P ), o verra das la suite qu ue particularité fodametale de la théorie des probabilités est qu il e sera souvet pas écessaire de spécifier l espace de probabilités car o e le verra qu à travers les «variables aléatoires». 1.2 Variables aléatoires Soit (Ω,A,P ) u espace de probabilité. Défiitio Ue variable aléatoire (e abrégé, v.a.) est ue applicatio mesurable X : Ω E, où (E,E) est u espace mesurable. O parle de variable aléatoire réelle si l espace d arrivée est (R,B(R)). La défiitio suivate est fodametale. Défiitio La loi d ue variable aléatoire X : Ω E est la mesure image de P par X. C est doc la mesure de probabilité P X sur (E,E) doée par P X (B) = P ( X 1 (B) ) = P ( {ω Ω X(ω) B} ) pour B E. O dit que X suit la loi µ si la loi de X est µ. 13

14 Notatio foctioelle. O utilisera e gééral la otatio {X B} = X 1 (B), de sorte que la défiitio s écrit P X(B) = P(X B). De même, o écrira par exemple, pour ue variable aléatoire réelle X, {si(x) 0} = {ω Ω si(x(ω)) 0}. Variables discrètes et cotiues Deux familles de lois méritet ue attetio particulière : les lois dites discrètes et cotiues. Attetio, ce e sot que des cas particuliers, et de ombreuses lois e sot i discrètes i cotiues. Variables aléatoires discrètes. Das le cas où X pred ses valeurs das u espace E déombrable, o dit que X est ue variable aléatoire discrète, et das ce cas la loi de X est doée par les valeurs p x = P(X = x) pour x E. E effet, pour tout B E, ( ) P X (B) = P(X B) = P {X = x} = P(X = x) = p x. x B x B x B Autremet dit, P X = x E p x δ x. Doer la loi de X reviet doc à calculer les valeurs p x pour x E. Variables aléatoires cotiues (ou à desité). Das le cas où X est à valeurs das R d et la loi de X admet ue desité f par rapport à la mesure de Lebesgue, o dit que X est ue variable aléatoire cotiue, ou à desité, de desité f. Autremet dit, X a pour desité f si f est ue foctio mesurable positive qui vérifie, pour tout A B(R d ), P X (A) = P(X A) = f(x)dx = 1 A (x)f(x)dx. A Remarquos que 1 = P(X R d ) = f(x)dx. Ue foctio mesurable f : R d R est ue desité si f(x) 0 pour tout x R d et f(x)dx = 1. Toute desité f défiit ue loi de probabilité. Propriétés Si X est ue variable aléatoire de desité f, alors a) pour tout x R d, P(X = x) = 0. Autremet dit, pour tout x R d, presque sûremet, X x b) presque sûremet, X {x R d f(x) > 0}. Démostratio : a) O a λ d ({x}) = 0 et doc P(X = x) = {x} f(t)dt = λ({x})f(x) = 0. b) Si f est ulle sur B B(R d ) (autremet dit, f(x) = 0 pour tout x B), alors P(X B) = f(t)dt = 0 doc p.s., B X B c. Le résultat correspod au cas où B = {x R d f(x) = 0}, car f est évidemmet ulle sur B. Tribu egedrée Défiitio Soit X ue variable aléatoire à valeurs das (E,E). La tribu egedrée par X est σ(x) = { X 1 (B) B E } A. C est la tribu sur Ω qui cotiet tous les évéemets qui e dépedet que de X. La propositio suivate motre que, de même, les foctios mesurables par rapport à σ(x) sot celles qui e dépedet que de X : Propositio Soit X,Y des variables aléatoires à valeurs das R m et R. Y est mesurable par rapport à σ(x) si et seulemet s il existe ue foctio mesurable f : R m R telle que Y = f(x) p.s. 14

15 1.3 Espérace Défiitio Soit X ue variable aléatoire réelle. So espérace est E[X] = X(ω)dP(ω), ce qui, e tat qu itégrale d ue foctio mesurable, est bie défii das les deux cas suivats : si X 0 (et das ce cas E[X] [0, ]) si X est itégrable, c est-à-dire E[ X ] = X dp <. O iterprète E[X] comme la moyee de la variable aléatoire X. O a e particulier E[1 B ] = P(B) et, pour toute costate c R, E[c] = c P(Ω) = c. Le théorème de trasfert (du chapitre sur les chagemets de variables) s écrit comme suit : Propositio (Théorème de trasfert) Ω Soit X ue variable aléatoire à valeurs das (G,G) et ϕ ue foctio mesurable G R telle que E[ϕ(X)] est bie défiie. Alors E[ϕ(X)] = ϕ(x)dp X (x). Ceci motre que l espérace de toute foctio d ue variable aléatoire X e déped que de la loi P X de X, et o de la faço exacte doc X est défiie comme foctio sur Ω. Si X est discrète à valeurs das G, o a, par le théorème de trasfert, pour toute foctio ϕ : G R positive (ou telle que ϕ(x) est itégrable), E[ϕ(X)] = x G ϕ(x)p(x = x). G Si X est cotiue sur R d, de desité f, le théorème de trasfert doe, pour toute foctio ϕ : R d R positive (ou telle que ϕ(x) est itégrable), E[ϕ(X)] = ϕ(x)f(x)dx. R d Tous les résultats vus pour les itégrales sot toujours valables. Écrivos-e quelques-us à titre d exemple : Propositio Soit X ue variable aléatoire réelle positive. (Iégalité de Markov) Pour tout a > 0, Si E[X] <, alors X < presque sûremet. Si E[X] = 0, alors X = 0 presque sûremet. Propositio P(X a) E[X] a. Soit (X ) 0 ue suite de variables aléatoires positives. (TCM) Si la suite (X ) est croissate [ et coverge vers X, alors lim E[X ] = E[X]. ] (TCM pour les séries) O a E X = E[X ]. 0 Propositio 0 (Théorème de covergece domiée) Soit (X ) 0 ue suite de variables aléatoires réelles, et X ue variable aléatoire réelle. Si X X p.s. et s il existe Z itégrable telle que X Z p.s., alors E[X ] E[X]. O pourra utiliser les théorèmes de Fubii ou ecore les théorèmes pour les itégrales (espéraces) à paramètre. Efi, o défiit aussi les espaces L 1 (Ω,A,P ) et L 2 (Ω,A,P ), abrégés e L 1 et L 2, et o rappelle das ce cas l iclusio L 2 L 1 (e effet, pour tout v.a. réelle X, E[ X ] = E[ 1 X ] E[X 2 ] 1/2 E[1] 1/2 = E[X 2 ] 1/2 ). Autremet dit, les v.a. de carré itégrable sot itégrables. 15

16 Défiitio Soit X ue variable aléatoire de carré itégrable. La variace de X est le réel positif [( ) 2 ] Var(X) = E X E[X] = E[X 2 ] E[X] 2. L écart-type de X est le réel positif σ(x) = Var(X). La variace de X est la moyee du carré de l écart etre X et sa moyee. C est doc ue mesure de la «dispersio» de la loi de X autour de so espérace E[X], de même que l écart-type. L écart-type de X a l itérêt d être homogèe à X, c est-à-dire que σ(ax) = a σ(x) pour a 0 (tadis que Var(aX) = a 2 Var(X)), de sorte qu il pourra être pertiet de comparer les valeurs de σ(x) à celles de X E[X]. Le fait que la variace de X mesure sa dispersio se lit aussi das le résultat suivat, qui découle de l iégalité de Markov : Propositio (Iégalité de Tchebychev) Si X est ue variable aléatoire de carré itégrable, et a > 0, alors ( X ) P E[X] a Var(X) a 2. Démostratio : Soit a > 0. Pour ω Ω, o a X(ω) E[X] a si, et seulemet si X(ω) E[X] 2 a 2, doc { X E[X] a } = { X E[X] 2 a 2} et par coséquet P( X E[X] a) = P( X E[X] 2 a 2 ). Or l iégalité de Markov appliquée à la variable aléatoire positive (X E[X]) 2 doe d où la coclusio par défiitio de la variace. P( X E[X] 2 a 2 ) 1 a 2 E [ (X E[X]) 2] 1.4 Iterprétatios probabilistes Le tableau suivat résume les correspodaces etre la théorie de l itégratio et les probabilités, pour ce qui est du vocabulaire et de la otatio : Itégratio Probabilités espace mesuré (E,A,µ) espace de probabilités (Ω,A,P ) poit x E évetualité, réalisatio ω Ω espace E uivers, esemble des évetualités Ω partie mesurable A A évéemet A A foctio mesurable f : E F variable aléatoire X : Ω F A B A ou B A B A et B A et B disjoits (A B = ) A et B icompatibles complémetaire A c = E \ A égatio A c = Ω \ A (aussi oté A) A B A implique B mesure µ probabilité P A c est égligeable (µ(a c ) = 0) A est presque sûr (P(A) = 1) presque partout,... (e abrégé, p.p.) presque sûremet,... (e abrégé, p.s.) mesure image de µ par f loi de X (mesure image de P par X) itégrale E fdµ espérace (moyee) E[X] = Ω XdP 16

17 2 Idépedace 2.1 Probabilité coditioelle Défiitio Si A,B A sot deux évéemets, avec P(B) > 0, la probabilité de A sachat B est P(A B) = P(A B). P(B) C est la probabilité que A se réalise si o a l iformatio que B est réalisé. O ote que A P(A B) est ue probabilité sur (Ω,A) : c est la mesure de desité par rapport à P. O peut doc cosidérer l espérace par rapport à cette probabilité et elle est doée, pour toute variable aléatoire X positive (ou itégrable), par Propositio E[X B] = Ω XdP( B) = 1 P(B) X1 B dp = E[X1 B] P(B). Soit (B ) 1 N ue suite (avec N N ou N = ) d évéemets qui partitioe Ω, c est-à-dire que Ω = 1 N B. 1 B P(B) Pour tout évéemet A, et toute variable aléatoire X positive ou itégrable, N N a) (Formule des probabilités totales) P(A) = P(A B ) = P(A B )P(B ) et E[X] = N E[X1 B ] = =1 N E[X B ]P(B ) =1 =1 b) (Formule de Bayes) pour tout 1 N, P(B A) = =1 P(A B )P(B ) N k=1 P(A B k)p(b k ). Démostratio : a) La première formule se déduit du fait que A = (A B ), et la deuxième viet de X = X1B. La formule de Bayes se déduit directemet de P(B A) = P(B A) P(A) = P(A B)P(B) P(A) et de a). 2.2 Évéemets idépedats Défiitio Deux évéemets A,B sot idépedats si P(A B) = P(A)P(B). Si P(B) > 0, ceci reviet doc à P(A B) = P(A) : savoir que B est réalisé affecte pas la probabilité que A soit réalisé ou o. Cela correspod bie au ses courat d «idépedace». O gééralise la défiitio : Défiitio Les évéemets A 1,...,A sot idépedats si, pour tous i 1 < < i k, P(A i1 A ik ) = P(A i1 ) P(A ik ). Autremet dit, par exemple, A,B,C sot idépedats si P(A B C) = P(A)P(B)P(C), P(A B) = P(A)P(B), P(A C) = P(A)P(C) et P(B C) = P(B)P(C). Attetio, il e suffit pas de vérifier la première égalité, ou les trois suivates. 17

18 2.3 Variables aléatoires, tribus idépedates Défiitio Les variables aléatoires X 1,...,X, à valeurs das (E 1,E 1 ),...,(E,E ) sot idépedates si pour tous B 1 E 1,...,B E, P({X 1 B 1 } {X B }) = P(X 1 B 1 ) P(X B ). Ituitivemet, X 1,...,X sot idépedates si la coaissace de certaies d etre elles apporte aucue iformatio sur les autres : cela correspod ecore à la otio ituitive d «idépedace». La défiitio d idépedace rappelle la mesure produit : o peut la réécrire sous la forme P (X1,...,X )(B 1 B ) = P X1 (B 1 ) P X (B ) = P X1 P X (B 1 B ). O a ici oté P (X1,...,X ) la loi du vecteur (X 1,...,X ). Ceci ous doe le résultat suivat : Théorème Les variables aléatoires X 1,...,X sot idépedates si, et seulemet si la loi du vecteur (X 1,...,X ) est le produit des lois de X 1,...,X : P (X1,...,X ) = P X1 P X. O a alors, pour toutes foctios f 1,...,f mesurables positives, ou itégrables, E[f 1 (X 1 ) f (X )] = E[f 1 (X 1 )] E[f (X )]. Et iversemet, si, pour toutes foctios f 1,...,f mesurables positives, ou borées, alors X 1,...,X sot idépedates. E[f 1 (X 1 ) f (X )] = E[f 1 (X 1 )] E[f (X )], Le secod poit est la traductio du théorème de Fubii. E particulier, si X et Y sot idépedates et positives (ou itégrables), E[XY ] = E[X]E[Y ]. Défiitio Si X et Y sot des variables aléatoires de carré itégrable, leur covariace est et leur corrélatio est Cov(X,Y ) = E [ (X E[X])(Y E[Y ]) ] = E[XY ] E[X]E[Y ] R, Corr(X,Y ) = Cov(X,Y ) σ(x)σ(y ) [ 1,1], (où les bores sot coséqueces de l iégalité de Cauchy-Schwarz). Corollaire Si X et Y sot des variables aléatoires de carré itégrables idépedates, alors elles sot o corrélées : Cov(X,Y ) = 0. Si X 1,...,X sot des variables aléatoires de carré itégrables et idépedates, alors Var(X X ) = Var(X 1 ) + + Var(X ). Démostratio : Le premier poit viet directemet de ce qui précède, et le deuxième e résulte puisque qu u développemet doe de faço géérale [ ( ) 2] Var( X i) = E (X i E[X i]) = i=1 i=1 Var(X i) + i=1 1 i j Cov(X i,x j) 18

19 Remarque. La défiitio d idépedace de variables aléatoires peut aussi s itroduire e défiissat l idépedace d ue famille de tribus : Défiitio Les tribus A 1,...,A A sot idépedates si, pour tous A 1 A 1,..., A A, ces évéemets sot idépedats. Les variables aléatoires X 1,...,X sot idépedates si les tribus egedrées σ(x 1 ),...,σ(x ) le sot. O doe deux faços géérales d obteir de ouvelles variables aléatoires idépedates à partir d ue première famille de variables idépedates : Propriétés Soit X 1,...,X des variables aléatoires idépedates. a) Pour toutes foctios mesurables f 1,...,f, les variables aléatoires f 1 (X 1 ),...,f (X ) sot idépedates. b) («Idépedace par paquets») Si (I 1,...,I k ) est ue partitio de {1,...,}, alors les variables aléatoires (X i ) i I1,...,(X i ) i Ik sot idépedates. E combiat a) et b), ceci motre que si o regroupe X 1,...,X e paquets disjoits, ces paquets sot idépedats, et doc toutes les familles de v.a. défiies comme foctios qui dépedet de paquets disjoits sot idépedates : si X,Y,Z,T sot idépedates et à valeurs réelles, alors X + Z et Y T sot idépedates, de même que X T, Y 2 et Z, par exemple. L idépedace par paquets s éted au cas des tribus : si G 1,...,G sot des tribus idépedates, et (I 1,...,I k ) est ue partitio de {1,...,}, alors les tribus σ(g i ; i I 1 ),...,σ(g i ; i I k ) sot idépedates, où σ(g i ; i I 1 ) est la tribu egedrée par les tribus G i pour i I 1, etc. Idépedace d ue famille ifiie. O dit qu ue famille ifiie d évéemets, de variables aléatoires ou de tribus, est idépedate si toute sous-famille fiie est idépedate. 2.4 Cas des variables à desité das R d Ue variable aléatoire X à valeurs das R d est parfois appelée vecteur aléatoire. Si o ote X = (X 1,...,X d ) ses composates, alors X 1,...,X d sot des variables aléatoires réelles appelées les margiales de X. Leurs lois sot les lois margiales de la loi de X. Iversemet, la loi de X est la loi joite de X 1,...,X d. Attetio, il e suffit pas de coaître les lois margiales pour coaître la loi de X. O s itéresse au cas des variables à desité. Propositio Soit X = (X 1,...,X d ) ue variable aléatoires à valeurs das R d de desité la foctio f : R d R +. Alors X 1,...,X d ot aussi des desités f 1,...,f d doées, pour i = 1,...,d, par f i : x i f i (x i ) = f(x 1,...,x d )dx 1 dx i 1 dx i+1 dx d. R d 1 Démostratio : Soit 1 i d. Pour toute foctio mesurable g : R R +, o a E[g(X i)] = g(x i)dp (X1,...,X d )(x 1,...,x d ) = g(x i)f(x 1,...,x d )dx 1 dx d = g(x i)f i(x i)dx i R d R d R où la derière égalité viet du théorème de Fubii-Toelli. Ceci motre que X i a pour desité f i. Par exemple, si (X,Y ) das R 2 a pour desité f (X,Y ), alors X et Y ot pour desités f X : x f X (x) = f (X,Y ) (x,y)dy et f Y : y f Y (y) = f (X,Y ) (x,y)dx. R Par la propriété sur les mesures produits de mesures à desité, l idépedace etre les margiales se traduit par le fait que la desité du vecteur aléatoire est à variables séparées, c est-à-dire u produit de foctios e dépedat que d ue variable : R 19

20 Propositio Soit X 1,...,X d des variables aléatoires réelles. a) Si, pour i = 1,...,d, X i a pour desité f i, et X 1,...,X d sot idépedates, alors la loi de (X 1,...,X d ) a pour desité la foctio f : (x 1,...,x d ) f 1 (x 1 ) f d (x d ). b) Iversemet si la loi de (X 1,...,X d ) a ue desité qui s écrit sous la forme f(x 1,...,x ) = g 1 (x 1 ) g d (x d ), alors X 1,...,X d sot idépedates, et pour i = 1,...,d, la desité de X i est proportioelle à g i, c est doc 1 f i : x f i (x) = g i (x). g i (y)dy R Image par u C 1 -difféomorphisme. Soit X = (X 1,...,X d ) u vecteur aléatoire ayat pour desité f. O suppose que, presque sûremet, X U, où U est u ouvert de R d. Ceci équivaut à dire que f est ulle hors de U. Soit ϕ : U V u C 1 -difféomorphisme (où V est u ouvert de R d ). Alors la variable aléatoire (Y 1,...,Y d ) = ϕ(x 1,...,X d ) admet ue desité. C est ue coséquece du théorème de chagemet de variable, qui permet aussi de calculer cette desité : pour toute foctio mesurable positive g : R d R, o a E[g(Y 1,...,Y d )] = E[g(ϕ(X 1,...,X d ))] = g(ϕ(x 1,...,x d ))dp (X1,...,X d )(x 1,...,x d ) = g(ϕ(x 1,...,x d ))f(x 1,...,x d )dx 1 dx d U = g(y 1,...,y d )f(ϕ 1 (y 1,...,y d )) J ϕ 1(y 1,...,y d ) dy 1 dy d V La derière expressio est E[g(Z 1,...,Z d )] où (Z 1,...,Z d ) est u vecteur aléatoire (quelcoque) ayat pour desité (y 1,...,y d ) f(ϕ 1 (y 1,...,y d )) J ϕ 1(y 1,...,y d ) Comme l égalité E[g(Y 1,...,Y d )] = E[g(Z 1,...,Z d )] vaut pour toute foctio mesurable positive g, o e déduit que (Y 1,...,Y d ) et (Z 1,...,Z d ) ot même loi, doc la foctio ci-dessus est aussi la desité de (Y 1,...,Y d ) : f (Y1,...,Y d ) : (y 1,...,y d ) f(ϕ 1 (y 1,...,y d )) J ϕ 1(y 1,...,y d ). Loi de la somme de 2 variables aléatoires idépedates à desité. Soit X,Y deux variables aléatoires réelles idépedates ayat des desités f X et f Y. O défiit Z = X +Y. Pour toute foctio mesurable positive g : R R, o a E[g(Z)] = E[g(X + Y )] = g(x + y)dp (X,Y ) (x,y) = g(x + y)f X (x)f Y (y)dx dy R 2 R ( ) ( 2 ) = g(x + y)f Y (y)dy f X (x)dx = g(z)f Y (z x)dz f X (x)dx R R R R ( ) = g(z) f X (x)f Y (z x)dx dz, R R e utilisat le chagemet de variable y z = x + y, et le théorème de Fubii-Toelli. Ceci motre que Z a pour desité la foctio f Z : z f X (x)f Y (z x)dx, R autremet dit le produit de covolutio de f X et f Y : si X et Y sot idépedates, f X+Y = f X f Y. 20

21 3 Lois classiques Lois discrètes Si E est u esemble, et x E, la loi de Dirac e x est la loi d ue variable aléatoire X à valeurs das E telle que P(X = x) = 1. O dit que X est costate (p.s.). Ce est doc pas ue variable «aléatoire» mais plutôt «détermiiste». Si E est u esemble fii, de cardial, la loi uiforme sur E est la loi d ue variable aléatoire X à valeurs das E telle que pour tout x E, P(X = x) = 1. La loi de Beroulli de paramètre p [0,1] est la loi (otée B(p)) d ue variable aléatoire X à valeurs das {0,1} telle que P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p. O iterprète X comme le résultat du lacer d ue pièce biaisée ayat probabilité p de tomber sur pile. La loi biomiale de paramètres N et p [0,1] est la loi (otée B(,p)) d ue variable aléatoire X à valeurs das {0,1,...,} telle que ( ) pour k = 0,...,, P(X = k) = p k (1 p) k. k O iterprète X comme le ombre de piles obteus e lacers idépedats de la pièce précédete. Ceci résulte de la propositio suivate. Propositio Soit N et p [0,1]. Si X 1,...,X sot des variables aléatoires idépedates, de loi B(p), alors leur somme S = X X suit la loi biomiale de paramètres et p. La loi géométrique de paramètre p ]0,1[ est la loi (otée G(p)) d ue variable aléatoire X à valeurs das N telle que pour tout k N, P(X = k) = (1 p) k 1 p. O iterprète X comme l istat où l o obtiet pile pour la première fois das ue suite de lacers idépedats de la pièce précédete. Ceci résulte de la propositio suivate. Propositio Soit p ]0,1[. Si X 1,X 2,... est ue suite de variables aléatoires idépedates, de loi B(p), alors la variable aléatoire N = mi{ 1 X = 1} suit la loi géométrique de paramètre p. La loi de Poisso de paramètre λ ]0, + [ est la loi (otée P(λ)) d ue variable aléatoire X à valeurs das N telle que λ λk pour tout k N, P(X = k) = e k!. O iterprète X comme u ombre d évéemets «rares» qui se produiset parmi ue «logue» suite de tirages idépedats. U éocé plus précis est le suivat. Propositio Soit (p ) 1 ue suite de réels das [0,1] telle que p de paramètres et p, alors P(S = k) λ > 0. Si, pour tout, S suit la loi biomiale λ λk e k!. 21

22 Lois cotiues La loi uiforme sur [a,b] (où a < b) est la loi (otée U([a,b])) de desité x 1 b a 1 [a,b](x). E gééral, si A B(R d ) avec λ d (A) > 0, la loi uiforme sur A est la loi sur R d (otée U(A)) de desité x 1 λ d (A) 1 A(x). La loi expoetielle de paramètre sur λ ]0, + [ est la loi (otée E(λ)) de desité x λe λx 1 R+ (x). Cette loi peut se voir comme ue extesio de la loi géométrique au cas cotiu (quad o aura la défiitio appropriée, o pourra dire que c est la limite de la loi de 1 N( λ ) quad, où N(p) suit la loi G(p)), et s utilise de même pour modéliser des temps d attete, pour des phéomèes «sas vieillissemet» : Propositio Soit X ue variable aléatoire à valeurs das ]0, + [. Les propriétés suivates sot équivaletes : (i) il existe λ > 0 tel que X suit la loi E(λ) ; (ii) la loi de X est «sas mémoire» : pour tous s,t > 0, P(X > s + t) = P(X > s)p(x > t). La propriété (ii) s écrit aussi P(X > s + t X > s) = P(X > t), ce qui s iterprète aisi : avoir déjà attedu u temps s e reseige pas sur le temps qu il reste à attedre. La loi ormale (ou gaussiee) de moyee m R et de variace σ 2 ]0, + [ est la loi (otée N (m,σ 2 )) de desité x : 1 (x m)2 e 2σ 2. 2πσ 2 L appellatio est justifiée e vérifiat que m est la moyee et σ 2 la variace de cette loi. La loi N (0,1), appelée loi ormale stadard, a doc pour desité x 1 2π e x2 2. Cette loi peut se voir comme ue limite de la loi biomiale : ce sera la limite de la loi de 1 (2S ) quad, si S suit la loi B(, 1 2 ). Elle apparaît doc comme la loi approximative de la différece (ormalisée) etre le ombre de piles et de faces sur u grad ombre de tirages d ue pièce équilibrée. De faço beaucoup plus géérale, le rôle fodametal de la loi ormale viedra du Théorème Cetral Limite. Complémet d itégratio : Support d ue mesure sur R d Défiitio Soit µ ue mesure sur (R d,b(r d )). Le support de µ est l esemble Supp(µ) = {x R d ε > 0, µ ( B(x,ε) ) > 0}. O vérifie facilemet que l o a aussi ( Supp(µ) ) c = O ouvert, µ(o)=0 ce qui motre que le support de µ est u fermé. Par desité des ratioels, o peut aussi restreidre la réuio précédete à l esemble déombrable des boules B(x,r) où x Q d, r Q ]0, + [ et telles que µ(b(x,r)) = 0, d où il résulte par sous-additivité que Supp(µ) est µ-égligeable. Le support de µ est doc le plus petit fermé dot le complémetaire est µ-égligeable : c est le plus petit fermé qui «porte toute la masse» de µ. Si X est ue variable aléatoire, le support de X, oté Supp(X), est le support de sa loi. C est doc le plus petit fermé F tel que X F p.s.. Ituitivemet, c est le plus petit fermé où «vit» la variable X. O, 22

23 Uiversité Paris 13, Istitut Galilée Aée uiversitaire Préparatio à l agrégatio II. Représetatios foctioelles des lois de probabilité O souhaite disposer d ue représetatio des lois de variables aléatoires sur R d par des objets plus «simples» et qui soit adaptée à certais calculs. Précisos cela. O rappelle la propositio suivate : Propositio Soit X et Y des variables aléatoires à valeurs das le même espace (E,B). Les propriétés suivates sot équivaletes : (i) X et Y ot même loi (autremet dit, P X = P Y ) ; (ii) pour tout B B, P(X B) = P(Y B) ; (iii) pour toute foctio mesurable positive f : E R, E[f(X)] = E[f(Y )] ; (iv) pour toute foctio mesurable borée f : E R, E[f(X)] = E[f(Y )]. Démostratio : L équivalece etre (i) et (ii) relève de la simple défiitio de P X. O voit immédiatemet que (iii) et (iv) impliquet (ii) e cosidérat f = 1 B. O déduit (iv) de (iii) e appliquat (iii) à f + et f, qui sot positives et telles que f = f + f. Il reste à motrer que (ii) implique (iii). Supposos (ii) vrai. Alors (iii) est vérifié pour les foctios idicatrices f = 1 B où B B. Par liéarité, (iii) est doc vérifié pour les foctios étagées positives. Efi, toute foctio mesurable positive est limite d ue suite croissate de foctios étagées positives, ce qui permet d obteir (iii) à l aide du théorème de covergece mootoe. Comme (ii) est ue spécialisatio de (iii) ou (iv) au cas f = 1 B, les éocés (iii) et (iv) ot pas d utilité pour motrer que X et Y ot même loi. Cepedat, das le cas où E = R d, o va voir qu il suffit de vérifier (iii) ou (iv) seulemet pour les foctios f apparteat à ue classe beaucoup plus restreite. Voici u premier exemple de tel raffiemet de la propositio précédete : Propositio Soit X et Y des variables aléatoires à valeurs das u même espace (R d,b(r d )). Les propriétés suivates sot équivaletes : (i) X et Y ot même loi (autremet dit, P X = P Y ) ; (ii ) pour tout pavé ouvert P =]a 1, b 1 [ ]a d, b d [ B, P(X P ) = P(Y P ) ; (iii ) pour toute foctio f : R d R positive, de classe C et à support compact, E[f(X)] = E[f(Y )]. Démostratio : Par la propositio précédete, (i) implique directemet (ii ) et (iii ). Supposos (ii ). Notos d abord que l égalité P(X P ) = P(Y P ) s éted aux pavés semi-ouverts P = [a 1,b 1[ [a d,b d [. E effet, o a d où, e utilisat (ii ), P = P, où P =]a 1 1, b1[ ]a d 1, b d[, P(X P ) = P X(P ) = lim P X(P ) = lim P Y (P ) = P Y (P ) = P(Y P ). Or tout ouvert de R d est réuio disjoite d ue famille déombrable de pavés semi-ouverts, par exemple les pavés dyadiques semi-ouverts maximaux qu il cotiet. O e déduit que l égalité de P X et P Y sur les pavés semi-ouverts implique leur égalité sur les ouverts. Pour e déduire leur égalité sur tous les borélies, il reste alors à appliquer à P X et P Y le résultat suivat (partie if ) : Lemme Toute mesure fiie µ sur (R d, B(R d )) est régulière : pour tout B B(R d ), µ(b) = sup F fermé F B µ(f ) = if G ouvert B G Ce lemme s obtiet e vérifiat que l esemble E des borélies pour lesquels le lemme est vrai est stable par passage au complémetaire (c est direct), cotiet les fermés (le sup est évidet, et pour l if o écrit B comme itersectio décroissate des ouverts G = B+B(0, 1 )), et est stable par uio déombrable (si B E et B = B, alors pour tout ε > 0 il existe F B G où F fermé, G ouvert et µ(g ) µ(f ) < ε2 et N tel que µ( N F) µ( F) ε, alors le fermé F = <N F et l ouvert G = G sot tels que F B G et µ(g) µ(f ) 2ε, d où B E). De sorte que E est ue tribu icluse das la tribu boréliee et coteat les fermés, doc c est exactemet la tribu boréliee. Supposos (iii ). Il suffit de motrer (ii ). Or, pour tout pavé ouvert P, la foctio idicatrice 1 P est limite croissate d ue suite de foctios positives, de classe C et à support compact, de sorte que (ii ) s obtiet par le théorème de covergece mootoe. µ(g). 23

24 1 Foctio de répartitio (v.a. à valeurs das R) Pour les variables aléatoires à valeurs das R, il suffit de cosidérer les foctios 1 ],t], pour t R. Défiitio La foctio de répartitio d ue variable aléatoire X à valeurs das R est la foctio F X : R [0,1] t F X (t) = P(X t). Propositio a) La loi de X est détermiée par sa foctio de répartitio : si F X (t) = F Y (t) pour tout t R, alors X et Y ot même loi. b) La foctio F X est croissate, cotiue à droite, et admet pour limites 0 e et 1 e +. c) Pour tout t R, la limite de F X e t à gauche est F X (t ) = P(X < t), doc F X est cotiue e t si et seulemet si P(X = t) = 0. d) Toute foctio qui vérifie les propriétés de b) est la foctio de répartitio d ue loi de probabilité sur R. Démostratio : a) O suppose que F X = F Y. Pour tous a < b, car {X < b} = {X a} {X ]a,b[} et P(X ]a,b[) = P(X < b) P(X a) = lim P(X b 1 ) P(X a) {X < b} = 1 { X b 1 }. Aisi, les probabilités d apparteace aux pavés (itervalles) ouverts sot doées par F X doc coïcidet pour X et Y. O coclut à l égalité etre les lois de X et de Y par la propositio précédete. b) Pour tous s < t, o a {X s} {X t} doc F X(s) = P(X s) P(X t) = F X(t), ce qui motre que F X est croissate. Soit t R. Comme F X est croissate, elle admet ue limite à droite e t, que l o peut obteir comme limite le log de la suite ( ) t + 1 : lim (t FX(s) = lim s t + FX + 1 ). Or F X(t + 1 ) = P(X t + 1 ) et les évéemets {X t + 1 } formet ue suite décroissate dot l itersectio est l évéemet {X t}, doc ( lim F X t + 1 ) ( = lim P X t + 1 ) = P(X t) = F X(t). Ceci motre la cotiuité de F X à droite e t. De même, la limite e existe par croissace de F X, et o a par exemple lim FX(t) = lim FX( ) t or F X( ) = P(X ) et les évéemets {X } formet ue suite décroissate dot l itersectio est {X = } =, d où lim F X( ) = lim P(X ) = P( ) = 0. ceci motre que la limite de F X e est 0. c) La preuve est très similaire à la précédete : pour tout t R, ( F X(t ) = lim P X t 1 ) ( 1 ) = P {t } = P(X < t). d) La preuve résulte de l exercice 11 : soit F est ue foctio vérifiat b), alors o défiit F 1 : u if{t F (t) u} (iverse cotiue à gauche) et o vérifie que, si U suit la loi uiforme sur [0,1], alors X = F 1 (U) a pour foctio de répartitio F. La foctio de répartitio a u lie simple avec la desité : 24

25 Propositio a) Si X a pour desité f X alors, pour tout t R, F X (t) = t f X(u)du. E particulier, F X est cotiue. Si f X est cotiue, F X est sa primitive «ulle e» b) Si F X est de classe C 1, alors X a pour desité f X = (F X ). Démostratio : a) La formule est coséquece directe de la défiitio d ue desité. La cotiuité résulte e fait du poit c) de la propositio précédete : si X a ue desité, alors P(X = t) = 0 pour tout t R. b) La foctio f X = (F X) est bie ue desité : elle est positive (F X est croissate) et so itégrale sur R vaut lim + F X lim F X = 1 0 = 1. De plus, pour tout t R, Comme F X est C 1, elle est égale à l itégrale de sa dérivée : pour u < t, F X(t) F X(u) = t f X u d où, pour u, F X(t) = t fx, ce qui motre, e comparat avec a), que X a même foctio de répartitio qu ue variable aléatoire qui suit la loi de desité f X. Il e résulte que c est la loi de X : X a pour desité f X. NB. Souvet, F X est cotiue sur R, mais est pas dérivable e quelques poits a 1 < < a, et F X (prologée par ue valeur quelcoque e a 1,...,a ) est cotiue par morceaux (c est-à-dire que F X est cotiue sur les itervalles ouverts délimités par les a i, et avec limites à gauche et droite e a i ). La propriété s éted alors. Et iversemet, si X admet ue desité f X cotiue par morceaux, alors F X est cotiue sur R, et est dérivable sur chacu des morceaux, de dérivée f X. Utilisatios classiques Loi image par ue foctio croissate. Si X est à valeurs das I R, et ϕ : I J est ue bijectio strictemet croissate, alors la foctio de répartitio de Y = ϕ(x) est doée par : pour tout y R, F Y (y) = P(Y y) = P(ϕ(X) y) = P(X ϕ 1 (y)) = F X (ϕ 1 (y)). E particulier, si X a ue desité f X cotiue par morceaux, et si ϕ est dérivable, de dérivée o ulle, alors F Y est cotiue, et dérivable (sauf aux images par ϕ des poits de discotiuité de f X ), doc Y admet ue desité f Y doée par : pour tout y R, f Y (y) = (F Y ) (y) = 1 ϕ (ϕ 1 (y)) f X(ϕ 1 (y)). (U chagemet de variable fourirait le même résultat, mais l utilisatio de la foctio de répartitio est parfois plus rapide) Loi du maximum ou du miimum d ue famille de variables aléatoires idépedates. X 1,...,X des variables aléatoires réelles idépedates. O ote Soit m = mi(x 1,...,X ) et M = max(x 1,...,X ). La foctio de répartitio de M a ue expressio simple : pour tout t R, F M (t) = P(M t) = P(max(X 1,...,X ) t) = P(X 1 t,...,x t) = F X1 (t) F X (t). Si les X i ot des desités cotiues par morceaux, o voit que F M aussi, et o l obtiet e dérivat. Pour m, o se ramèe à cette même méthode : F m (t) = P(m t) = 1 P(m t) = 1 P(mi(X 1,...,X t) = 1 P(X 1 t,...,x t) d où la même coclusio das le cas à desité. Méthode de simulatio par iversio. Voir exercice 11. = 1 (1 F X1 (t)) (1 F X (t)), Estimatio d ue loi. Pour estimer la loi de X à partir de doées, o utilisera la foctio de répartitio empirique (cf. théorème de Gliveko-Catelli). Elle iterviedra aussi das les tests statistiques de comparaiso à ue loi doée. Covergece e loi. Voir plus loi. 25

26 2 Foctio géératrice (v.a. à valeurs das N) Pour les variables aléatoires à valeurs das N, il suffit de cosidérer les foctios x s x, pour s [ 1,1]. Défiitio Soit X ue variable aléatoire à valeurs das N. La foctio géératrice de X est la foctio G X : s G X (s) = E[s X ] = s P(X = ). =0 Notos tout de suite que G X est au mois défiie sur [ 1,1], e effet c est ue série etière et comme =0 P(X = ) = 1 coverge, G X (1) et G X ( 1) coverget absolumet. Aisi le rayo de covergece est supérieur ou égal à 1. Comme la loi de X est caractérisée par les valeurs P(X = ) pour N, qui sot les coefficiets de la série géératrice G X, et que le rayo de covergece est strictemet positif, o a : Propositio G X caractérise la loi de X : si pour deux variables X et Y à valeurs das N o a G X (s) = G Y (s) pour tout s ] 1,1[, alors X et Y ot même loi. NB. Il suffirait d avoir égalité sur u itervalle ouvert quelcoque, par uicité du prologemet aalytique. Les momets de X se déduiset de G X par dérivatio : Propositio Pour tout k 0, E[X(X 1) (X k + 1)] = lim G (k) X s 1 (s) [0, + ]. Démostratio : Ue série etière se dérive terme à terme das so disque de covergece, doc pour tout s ] 1,1[, G (k) X (s) = ( 1) ( k + 1)s k P(X = k) = E[X(X 1) (X k + 1)s X k ] =0 ce qui coverge vers E[X(X 1) (X k + 1)] quad s 1 par théorème de covergece mootoe. Esuite, o obtiet par exemple E[X 2 ] = E[X(X 1)] + E[X] = G X (1 ) + G X (1 ). La propriété essetielle des foctios géératrice est la suivate : Propositio Si X et Y sot des variables aléatoires idépedates, à valeurs das N alors, pour tout s [ 1,1], G X+Y (s) = G X (s)g Y (s). Démostratio : Il suffit d écrire, pour s [ 1,1], grâce à l idépedace etre X et Y, G X+Y (s) = E[s X+Y ] = E[s X s Y ] = E[s X ]E[s Y ] = G X(s)G Y (s). Utilisatios classiques Loi de la somme de v.a. idépedates. Si X et Y sot à valeurs etières, et idépedates, la propositio précédete permet de calculer G X+Y à partir de G X et G Y. O peut alors recoaître la foctio de répartitio d ue loi coue, ou déduire de G X+Y diverses propriétés de cette loi. Exemple : X P(λ) et Y P(µ) (exercice). Décompositio de loi. Iversemet, o peut vouloir détermier la loi de variables X et Y idépedates, à valeurs etières, dot la somme suit ue loi doée, et vérifiat certaies hypothèses. Exemple : Motrer qu il existe pas de faço de lester deux dés à 6 faces de sorte que, quad o additioe leurs résultats, les valeurs de 2 à 12 devieet équiprobables. Motrer que l o peut (et de faço uique) uméroter les faces de deux dés différemmet (par des etiers 1) de telle sorte que la loi de la somme des résultats soit la même que pour deux dés usuels. 26

27 3 Trasformée de Laplace (v.a. à valeurs das R, ou R d ) Défiitio Soit X ue variable aléatoire à valeurs das R. La trasformée de Laplace de X est la foctio L X : R [0, + ] t L X (t) = E[e tx ], Pour X à valeurs das R d, o peut aussi défiir ue foctio L X sur R d par : pour t R d, L(t) = E[e t,x ], où, est le produit scalaire usuel. (Das la suite, o cosidère seulemet le cas réel) Attetio, L X est défiie sur R (l espérace d ue variable aléatoire positive est toujours défiie) mais peut predre la valeur +. Il peut arriver que, pour tout t 0, L X (t) =. C est pourquoi o e peut pas toujours utiliser L X pour caractériser ue loi. Notos Propositio I X = {t R L X (t) < }. a) La foctio L X est covexe sur R, et L X (0) = 1. b) L esemble I X est u itervalle coteat 0. c) Si X est à valeurs égatives, R + I X. d) Pour tout c > 0, [ c,c] I X si, et seulemet si E[e c X ] <. Démostratio : a) Pour tout x R, t e tx est covexe. Or L X est ue itégrale de telles foctios (par rapport à x), doc L X est covexe : pour tous s,t R et λ [0,1], L X(λs + (1 λ)t) = E[e (λs+(1 λ)t)x ] = e (λs+(1 λ)t)x dp X(x) (λe sx + (1 λ)e tx) dp X(x) = λl X(s) + (1 λ)l X(t). b) Notos que ceci vaut même si L X pred la valeur +. E particulier, o ote que si L X(s) < et L X(t) <, alors L X(λs + (1 λ)t) <. Ceci sigifie que I X est covexe. C est doc u itervalle. c) Si X 0 et t 0, alors e tx 1 doc L X(t) < 1 <. d) O a évidemmet, pour tout c > 0, e c X e cx + e cx, doc E[e c X ] L X(c) + L X( c). De plus, e cx e c X et e cx e c X d où fialemet max(l X(c),L X( c)) E[e c X ] L X(c) + L X( c). Ceci doe d). NB. O défiit parfois L X (t) = E[e tx ], par aalogie avec la trasformée de Laplace des foctios, et de sorte que (par c) ) la trasformée de Laplace s applique otammet aux variables aléatoires positives. Propositio Soit X et Y deux variables aléatoires réelles. O suppose qu il existe u itervalle ouvert o vide I tel que, pour tout t I, L X (t) = L Y (t) <. Alors X et Y ot même loi. Démostratio : Pour u cas particulier plus simple, voir exercice 13. Pour la preuve géérale, si [a,b] I, o motre d abord que L X et L Y s étedet e des foctios holomorphes sur la bade [a,b] + ir C (par la même formule) : utiliser le théorème d holomorphie sous l itégrale, avec la domiatio e zx = e R(z)X 1 + e bx. Elles s étedet même sur ]0,b]+iR, vu que [0,b] I X par covexité de I X. Comme elles coïcidet sur [a,b], l uicité du prologemet aalytique motre qu elles coïcidet sur toute cette bade. Par ailleurs, le théorème de cotiuité sous l itégrale motre que L X et L Y sot cotiues sur la bade fermée [0,b] + ir (même domiatio). E particulier, elles coïcidet doc aussi sur l axe ir : pour tout t R, E[e itx ] = E[e ity ]. Ceci ous ramèe au cas des foctios caractéristiques : voir partie suivate. La preuve ci-dessus motre e particulier que L X est développable e série etière sur I X (si I X {0}). Autour de 0, ce développemet peut s expliciter : Propositio O suppose qu il existe t > 0 tel que [ t,t] I X (autremet dit, E[e t X ] <.) Alors L X est développable e série etière sur [ t,t], E[ X k ] < pour tout k N, et L X (t) = E[X k ] tk k!. k=0 27

28 Démostratio : O a, par le théorème de covergece mootoe (pour les séries à termes positifs), [ E[e t X ] = E X k t k ] = k! k=0 k=0 E[ X k ] tk k! et le terme de gauche est supposé fii, d où E[ X k ] < pour tout k, et la justificatio de l utilisatio du théorème de covergece domiée ici : [ L X(t) = E[e tx ] = E X k t k ] [ = E lim k! k=0 k=0 X k t k ] = lim E k! [ k=0 X k t k t k ] (la domiatio est doée, par iégalité triagulaire, par la série précédete). = lim E[X k ] tk k! = k=0 k=0 E[X k ] tk k! E particulier, si 0 est u poit itérieur de I X, o peut calculer les momets E[X k ] de X e dérivat L X et e évaluat les dérivées e 0. Iversemet, si o coaît les momets et si o sait que 0 est à l itérieur de I X, o peut retrouver L X et doc la loi de X (si I X {0}...) : Corollaire (Cas particulier du «Problème des momets») Soit X, Y des variables aléatoires réelles telles qu il existe t > 0 pour lequel E[e t X ] < et E[e t Y ] < (par exemple X,Y borées). O suppose que, pour tout k N, E[X k ] = E[Y k ]. Alors X et Y ot même loi. Démostratio : Cela résulte directemet des deux propositios précédetes. Si e revache 0 est u poit du bord de I X, alors L X peut e pas être C e 0 : Propositio O suppose I X {0}. a) L X est cotiue sur I X. b) La foctio L X est fois dérivable e 0 si, et seulemet si E[ X ] <. Et alors L () X (0) = E[X ]. Démostratio : Sas perdre de gééralité, o peut supposer que I X ]0, + [. E effet la preuve s adapte immédiatemet au cas symétrique (ou o peut cosidérer X). a) Soit t I X. O a la domiatio suivate : pour 0 s t, e sx 1 {X<0} + e tx 1 {X 0} 1 + e tx, et E[1 + e tx ] < car t I X. Vu que, pour tout x, t e tx est cotiue, le théorème de cotiuité sous l itégrale permet de coclure que L X est cotiue sur [0,t]. Ce qui implique a). b) O motre par récurrece que, si E[ X ] <, alors la dérivée -ième de L X sur I X existe et vaut L () X (t) = E[X e tx ], d où e particulier L () X (0) = E[X ], et qu iversemet si E[ X ] = alors L X est pas fois dérivable e 0. C est évidet si = 0. O suppose que c est vrai pour. Supposos E[ X +1 ] <. Soit t I X avec t > 0 : E[e tx ] <. Soit ε > 0. Il existe C,t,ε > 0 telle que, pour 0 s t(1 ε), pour tout x 0 o a x +1 e sx C,t,εe tx, d où la domiatio X +1 e sx X +1 1 {X 0} + C,t,εe tx 1 {X>0} X +1 + C,t,εe tx qui motre que L () X est dérivable sur [0,t(1 ε)], et sa dérivée L(+1) X est doée par la formule aocée (théorème de dérivatio sous l itégrale). Aisi L X est dérivable sur tout I X [0, [ (e 0 c est ue dérivée à droite). Pour le cas t < 0 (si I X ],0[ ), o applique la preuve à X, et les dérivées e 0 à droite et à gauche coïcidet, elles valet E[X ]. Supposos iversemet E[ X +1 ] =. O peut supposer E[ X ] < (sas quoi L X est même pas fois dérivable). Pour t I X avec t > 0, il existe C > 0 tel que, pour tout x 0, x +1 Ce tx, doc E[ X +1 1 {X 0} ] CE[e tx ] <, de sorte que, plus précisémet, l hypothèse s écrit E[ X +1 1 {X<0} ] =. Or, L () X (t) L() X (0) t [ = E X e tx 1 t ] [ = E X e tx 1 t 1 {X<0} ] + E[X e tx 1 1 {X>0} ], t et quad t 0 +, par théorème de covergece mootoe ( x, t etx 1 est croissate), les espéraces de droites t coverget vers E[X +1 1 {X<0} ] et E[X +1 1 {X>0} ]. Or la secode limite est fiie, et la première vaut ± (selo la parité de ), doc L X est pas + 1 fois dérivable e 0. 28

29 E particulier, par la formule de Taylor-Youg, si E[ X ] < alors, quad t 0 das I X, L X (t) = 1 + te[x] + t 2 E[X2 ] t E[X ]! Ue propriété essetielle de la trasformée de Laplace est la suivate : Propositio + o(t ). Si X et Y sot des variables aléatoires idépedates, alors, pour tout t R, E particulier, I X+Y = I X I Y. L X+Y (t) = L X (t)l Y (t). Démostratio : Il suffit d écrire, grâce à l idépedace de X et Y, L X+Y (t) = E[e t(x+y ) ] = E[e tx e ty ] = E[e tx ]E[e ty ] = L X(t)L Y (t). Utilisatios classiques Loi de la somme de variables idépedates. Par la propositio précédete, o peut déduire L X+Y de L X et L Y, et idetifier la trasformée de Laplace d ue loi coue, ou e déduire diverses propriétés de X + Y. Exemples : loi ormale, loi gamma(, loi de Poisso,...). Iégalités de cocetratio. L iégalité de Markov doe, pour tout λ > 0 et t R, P(X > t) = P(e λx > e λt ) E[e λx ]e λt = exp( λt + l L X (λ)). C est l iégalité de Cheroff. O ote qu elle déped d u paramètre λ, que l o peut choisir pour miimiser le terme de droite. O l utilise e gééral das le cas où X est ue somme de variables idépedates : cf. iégalité d Hoeffdig. C est u outil importat de la théorie des grades déviatios. Calcul de foctios caractéristiques. Das certais cas, la trasformée de Laplace est plus simple à calculer que la foctio caractéristique (défiie ci-après). O peut éamois e déduire la foctio caractéristique directemet par prologemet aalytique et cotiuité (voir preuve de l ijectivité plus haut). Formellemet, cela se ramèe à remplacer «t» par «it». Exemples : loi ormale, loi gamma. 29

30 4 Foctio caractéristique (v.a. à valeurs das R d ) Défiitio Soit X ue variable aléatoire à valeurs das R. La foctio caractéristique de X est la foctio Φ X : R C t Φ X (t) = E[e itx ], Pour X à valeurs das R d, o défiit aussi la foctio caractéristique Φ X sur R d par : pour t R d, où, est le produit scalaire usuel. Φ X (t) = E[e i t,x ], Il est importat de oter que l espérace E[e itx ] est bie défiie, quel que soit t : o a E[ e itx ] = E[1] = 1 <. D ailleurs, par l iégalité triagulaire ceci motre aussi que Φ X (t) 1. Si X a pour desité f X sur R d, o a, pour tout t R d, Φ X (t) = e i t,x f X (x)dx, doc Φ X est la trasformée de Fourier de f X (à chagemet de variable t t près). Propositio a) La foctio Φ X est cotiue sur R d, et Φ X (0) = 1. b) O suppose X à valeurs réelles. Pour tout N, si E[ X ] <, alors Φ X est fois dérivable sur R, et das ce cas Φ () (0) = i E[X ]. Iversemet, pour tout N pair, si E[X ] =, alors Φ X est pas fois dérivable e 0. Remarques. Par cotre, o peut avoir E[ X ] = et Φ X dérivable : l équivalece a lieu que pour pair. À la différece de la trasformée de Fourier d ue foctio L 1, Φ X e ted pas écessairemet vers 0 l ifii : par exemple, si X = 0 p.s., alors Φ X (t) = 1 pour tout t. Démostratio : La cotiuité et la dérivabilité se déduiset facilemet des théorèmes de cotiuité et dérivatio sous l itégrale, grâce aux domiatios (qui sot même des égalités) du type : pour tout t R, (ix) e itx = X. O obtiet doc, si E[ X ] < : pour tout t R, Φ () X (t) = i E[X e itx ]. Derier poit) Soit pair, 2, et tel que E[ X 2 ] < et E[ X ] =. Si Φ X était fois dérivable, alors e particulier o aurait Φ ( 2) X (t) 2Φ ( 2) (0) + Φ ( 2) X ( t) Φ () t 0 X (0). Or, o a ue expressio de la partie réelle X t 2 ( ( 2) Φ X (t) 2Φ ( 2) X (0) + Φ ( 2) ) X ( t) R i 2 t 2 et le lemme de Fatou (o a pair doc X 2 (1 cos(tx)) 0) doe [ 2E lim if X 2 1 cos(tx) ] t 0 t 2 [ = 2E X 2 1 cos(tx) ] t 2 [ lim if 2E X 2 1 cos(tx) ], t 0 t 2 c est-à-dire ( + = E[X ] R 1 ) Φ() i 2 X (0) < +, ce qui est cotradictoire, et motre doc que Φ X est pas fois dérivable e 0. E particulier, par la formule de Taylor-Youg, si E[ X ] < alors, quad t 0, Φ X (t) = 1 + ite[x] t 2 E[X2 ] i t E[X ]! Comme so om l idique, la foctio caractéristique caractérise la loi : + o(t ). 30

31 Propositio a) Soit X et Y deux variables aléatoires à valeurs das R d. O suppose que, pour tout t R d, Φ X (t) = Φ Y (t). Alors X et Y ot même loi. b) De plus, si la foctio Φ X est itégrable sur R, alors la loi de X admet ue desité f X cotiue borée, doée par la formule d iversio de Fourier : pour x R, f X (x) = 1 (2π) d e i t,x Φ X (t)dt. R d Démostratio : a) Voir exercice 12 pour ue preuve utilisat le théorème de Weierstrass (desité des polyômes trigoométriques das les foctios cotiues sur u segmet). b) Voir ue preuve de la formule d iversio de Fourier : das Rudi, Queffelec-Zuily (à adapter),... ou u livre de probabilités. Ue propriété essetielle de la foctio caractéristique est la suivate : Propositio Si X et Y sot des variables aléatoires idépedates, alors, pour tout t R d, Φ X+Y (t) = Φ X (t)φ Y (t). Démostratio : Il suffit d écrire, grâce à l idépedace de X et Y, Φ X+Y (t) = E[e it(x+y ) ] = E[e itx e ity ] = E[e itx ]E[e ity ] = Φ X(t)Φ Y (t). Sigalos ue autre propriété, à e pas cofodre avec la précédete. Celle-ci cocere la loi du couple. Propositio Soit X et Y sot des variables aléatoires réelles. X et Y sot idépedates si, et seulemet si, pour tout (s,t) R 2, Φ (X,Y ) (s,t) = Φ X (s)φ Y (t). Démostratio : O suppose X,Y idépedates. Il suffit alors d écrire Φ (X,Y ) (s,t) = E[e i(sx+ty ) ] = E[e isx e ity ] = E[e isx ]E[e ity ] = Φ X(s)Φ Y (t). Iversemet, supposos que, pour tous s,t R, Φ (X,Y ) (s,t) = Φ X(s)Φ Y (t). Par la première implicatio, cette égalité exprime le fait que la foctio caractéristique de (X,Y ) est la même que celle d u couple de deux variables aléatoires idépedates dot les lois sot les mêmes que celles de X et de Y. Comme la foctio caractéristique caractérise la loi (sur R 2, du couple (X,Y )), et que l idépedace est ue propriété de la loi du couple, o e déduit que X et Y sot idépedates. Utilisatios classiques Loi de la somme de variables idépedates. Par ue propositio précédete, o peut déduire Φ X+Y de Φ X et Φ Y, et idetifier la foctio caractéristique d ue loi coue, ou e déduire diverses propriétés de X + Y. Exemples : loi ormale, loi gamma, loi de Cauchy. Iversemet, o peut aussi chercher à «diviser» ue variable aléatoire X e somme de variables aléatoires idépedates (et de même loi), et écrivat Φ X comme produit de foctios caractéristiques ; c est à la fois u outil pratique (décompositio d ue loi doée) et théorique (détermiatio de toutes les lois vérifiat tel ou tel type de décompositio). Loi d u couple de variables aléatoires. Das certais cas, o peut calculer Φ (X,Y ) et, grâce à la propositio précédete, coclure à l idépedace (ou o) de X et Y. Exemple : pour X,Y idépedates et de loi N (0,1), motrer que U = X + Y et V = X Y sot idépedates. Covergece e loi. O verra que la covergece e loi équivaut à la covergece des foctios caractéristiques (théorème de Lévy). Cela e fait u outil particulièremet utile. Voir par exemple la preuve du théorème cetral limite. 31

32 Uiversité Paris 13, Istitut Galilée Aée uiversitaire Préparatio à l agrégatio III. Suites de variables aléatoires Au terme du chapitre précédet, o dispose de toutes les otios fodametales pour défiir et étudier des questios de probabilités. L objectif de ce chapitre est maiteat d e faire usage pour aboutir aux deux pricipaux théorèmes de la théorie des probabilités : la loi des grads ombres et le théorème cetral limite. Cosidéros ue expériece qui cosiste e des tirages successifs d ue pièce de moaie équilibrée. O observe e pratique que, si o effectue u grad ombre de tirages, la proportio de fois où o obtiet «pile» s approche de 0,5. La loi des grads ombres justifie cette observatio das otre modèle mathématique. La proportio de «piles» est raremet exactemet égale à 0,5. Si o effectue 1000 tirages, o peut obteir des proportios telles que 0,521 ou 0,485, voire 0,001 das des cas exceptioels... Commet se comportet ces déviatios par rapport à la valeur limite 0,5? Représetées sur u histogramme (où o ote par exemple combie de fois o obtiet ue proportio etre 0 et 0,01, puis etre 0,01 et 0,02, etc. quad o répète les 1000 tirages u certai ombre de fois), o observe qu elles se distribuet selo ue «courbe e cloche» cetrée e 0,5. Le théorème cetral limite précise et justifie cette observatio das otre modèle. Ces deux questios portet sur le comportemet asymptotique de suites de variables aléatoires. O commece doc par itroduire divers outils et défiitios, otammet des otios de covergece pour les suites de variables aléatoires, dot l itérêt va bie au-delà des deux théorèmes qui sot le but pricipal de ce chapitre. Das tout ce chapitre, (Ω,A,P) est u espace de probabilités. 1 Suites d évéemets : deux outils 1.1 Itersectio déombrable d évéemets presque sûrs O commece par rappeler ue propriété simple qui servira à plusieurs reprises : Lemme «Ue itersectio déombrable d évéemets presque sûrs est presque sûre» : Si (A i ) i I est ue famille ) d évéemets telle que P(A i ) = 1 pour tout i I, et si I est déombrable, alors P( i I A i = 1. Démostratio : E effet, so complémetaire est i I (Ai)c et, comme I est déombrable, ( ) P (A i) c i I i I P(A c i ) = 0. Ce lemme peut se voir comme u échage de quatificateurs : à coditio que I soit déombrable, si : pour tout i I, p.s. A i est réalisé, alors : p.s., pour tout i I, A i est réalisé. 1.2 Lemme de Borel-Catelli Cosidéros ue suite (A ) 0 d évéemets. Défiitio O défiit deux ouveaux évéemets : la limite supérieure de la suite (A ) 0 est lim sup A = 0 A k = {il existe ue ifiité d idices tels que A se réalise} k et (mois utile) la limite iférieure de la suite (A ) 0 est lim if A = 0 A k = {à partir d u certai rag, A se réalise}. k 32

33 NB. O aurait pu souliger la décroissace ou croissace de certaies suites d évéemets : lim sup A = A k et lim if A = A k. 0 k 0 k O peut oter que (lim sup A ) c = lim if (A ) c et, pour faire le lie avec les otios de limites supérieure et iférieure pour les suites de réels, que 1 lim sup A = lim sup 1 A et 1 lim if A = lim if 1 A. Le résultat suivat est d usage très fréquet pour obteir des propriété presque sûres cocerat des suites de variables aléatoires. Théorème (Lemme de Borel-Catelli) a) O suppose que 0 P(A ) <. Alors P(lim sup A ) = 0. b) O suppose que 0 P(A ) = et que les évéemets (A ) sot idépedats. Alors P(lim sup A ) = 1. Démostratio : a) O ote N le ombre (aléatoire) d évéemets de la suite (A ) 0 qui se réaliset. O a bie sûr N = 0 1 A. C est ue série de foctios mesurables positives doc, par le TCM, [ ] E[N] = E 1 A = E[1 A ] = P(A ) Aisi, si P(A ) <, alors E[N] <, doc N < p.s., ce que l o voulait démotrer, vu la défiitio de lim sup A. b) O suppose P(A) =, et que la famille (A) est idépedate. O a P(lim sup A ) = P( ( ) ( A k ) = lim P A k = 1 lim P (A k ) ). c 0 k O souhaite doc motrer que, pour tout, la derière probabilité vaut 0. Si les évéemets (A k ) k sot idépedats, alors leurs complémetaires aussi. O a doc, pour tout N, ( ) P (A k ) c = P ( (A k ) c) = (1 P(A k )) ( e P(Ak) = exp ) P(A k ), k N k N k N k k N k k N e utilisat l iégalité 1 x e x, valable pour tout x R. Quad N, le terme de droite ted vers 0 vu l hypothèse, et le terme de gauche coverge vers P( k A k) car k A k est l itersectio de la suite décroissate d évéemets B N = k N A k. O obtiet aisi le résultat aocé. Applicatios classiques Siges dactylographes. Soit N 2. Supposos que (X ) 1 est ue suite de variables aléatoires idépedates, chacue de loi uiforme das {1,2,...,N}. Soit ue suite fiie (k 1,...,k q ) d élémets de {1,2,...,N}. La suite d évéemets (A ) 0 défiie par A = {X q+1 = k 1,X q+2 = k 2,...,X q+q = k q } sot idépedats par la propriété d idépedace par paquets (A 0 déped de X 1,...,X q puis A 1 de X q+1,...,x 2q, etc.), et ot tous pour probabilité 1 N, d où q P(A ) =. Par le poit b) du lemme de Borel-Catelli, presque sûremet, l évéemet A se produit pour ue ifiité de. E particulier, p.s., la séquece (k 1,...,k q ) apparaît ifiimet souvet das la suite (X ) 0. Ceci est vrai pour toute séquece fiie (k 1,...,k q ). Or l esemble de ces séqueces est déombrable (uio déombrable d esembles fiis), doc par le premier lemme o a fialemet démotré : Presque sûremet, toute séquece fiie apparaît ifiimet souvet das la suite (X ) 0. 33

34 Plus grade séquece de piles cosécutifs. Soit (X ) 1 ue suite de variables aléatoires idépedates, de loi B(1/2). O les iterprète comme des tirages à pile (1) ou face (0). O cosidère l évéemet A = { parmi les premiers tirages, il y a eu au mois 3 log 2 piles cosécutifs.} O ote l = 3 log 2 (où log 2 est le logarithme e base 2 et la partie etière). Remarquos que les évéemets A e sot pas du tout idépedats. O a (par sous-additivité, puis idépedace à la fi) ( ) P(A ) = P {X k = 1,...,X k+l 1 = 1} P(X k = 1,...,X k+l 1 = 1) = 2 l 1 k< l 1 k et 2 l 2 3 log 2 +1 = 2 3 = 2 2, d où P(A ) <. Aisi, par le poit a) du lemme de Borel- Catelli, presque sûremet, u ombre fii d évéemets A se réaliset. Autremet dit, o a motré : Presque sûremet, pour tout assez grad, il y a au plus 3 log 2 piles cosécutifs parmi les premiers tirages. NB. O pourrait remplacer 3 par 2 + ε pour tout ε > 0. O pourrait aussi utiliser le poit b), e découpat les tirages e blocs disjoits de logueur l, pour obteir ue mioratio par (1 ε) log 2 quel que soit ε > 0. Momets et majoratio presque sûre. Soit (X ) 1 ue suite de variables aléatoires idépedates et de même loi, réelles positives. Soit α > 0. O s itéresse aux évéemets O a A = {X α }. P(A ) = P(X α ) = P((X ) 1/α ) = P( (X ) 1/α ), doc (cf. exercice 3.1), comme N = (X ) 1/α est à valeurs das N, [ (X P(N ) = E[N] = E ) 1/α ] 1 P(A ) = 1 ce qui doe l ecadremet (vu que x x < x + 1 pour tout x R) E[(X ) 1/α ] 1 P(A ) E[(X ) 1/α ] + 1. Par les poits a) et b) du lemme de Borel-Catelli, o obtiet : E [ (X ) 1/α] < si, et seulemet si, presque sûremet, pour tout assez grad, X < α. 2 Loi d ue suite de variables aléatoires réelles Si X 1, X 2,... sot des variables aléatoires réelles alors, o l a vu, pour tout d 1, (X 1,X 2,...,X d ) est ue variable aléatoire à valeurs das R d (dot la loi décrit otammet les corrélatios possibles etre X 1,...,X d ). Pour voir (X ) 0 comme ue «suite aléatoire», il faut muir l espace E = R N des suites réelles d ue tribu adaptée. Défiitio La tribu produit ifii, aussi appelée tribu cylidrique, sur E = R N est la tribu B = B(R) N = σ(c) où C est l esemble des «cylidres», c est-à-dire des évéemets qui e dépedet que d u ombre fii de coordoées : C = 0{B 0 B R N B 0,...,B B(R)}. O peut vérifier alors que (X ) 0 est ue variable aléatoire à valeurs das (E,B) si et seulemet si, pour tout 0, X est ue variable aléatoire réelle. E coséquece de la défiitio de B, pour décrire la loi de la suite (X ) 0, il suffit de se doer la loi de (X 0,...,X ) pour tout 0. 34

35 E particulier, si la suite (X ) 0 est idépedate, alors (par défiitio) pour tout, les variables aléatoires X 0,...,X sot idépedates doc la loi de (X 0,...,X ) est la loi produit P X0 P X. La loi de (X ) 0 e déped alors que des lois de chacu des X ; c est la loi «produit ifii» de ces lois. Notos que l o a pas justifié rigoureusemet l existece de cette loi produit ifii, et doc de suites de variables aléatoires idépedates ayat des lois prescrites. Faisos-le das le cas particulier importat évoqué e itroductio : celui d ue suite de tirages à pile ou face équilibrés. Ce cas permet esuite d obteir u cas plus gééral (voir plus bas). Propositio Soit U ue variable aléatoire de loi uiforme sur [0,1]. O ote X 1,X 2,... les chiffres (bits) de so développemet e base 2 : X i {0,1} et X U = 0,X 1 X 2 = 2 ( ) (Autremet dit, X = 2 U U ). Alors les variables aléatoires X, 1, sot idépedates et suivet toutes la loi B(1/2). Iversemet, pour ue telle suite (X ) 1, la variable aléatoire U défiie par ( ) suit la loi uiforme sur [0,1]. Démostratio : Soit N N. Pour tous ε 1,...,ε N {0,1}, o a =1 P(X 1 = ε 1,...,X N = ε N ) = P(U [x,x + 2 N [), où x = N =1 ε2. Cette probabilité vaut doc [x,x+2 N [ 1 [0,1](t)dt = 2 N. E sommat sur les 2 N 1 choix possibles de ε 1,...,ε N 1, o obtiet, pour ε N {0,1}, P(X N = ε N ) = 2 N 1 2 N = 1 2, ce qui motre que X N suit la loi de Beroulli de paramètre 1/2. Par le même argumet, il e va de même de X 1,...,X N 1. O a doc, pour tous ε 1,...,ε N {0,1}, P(X 1 = ε 1,...,X N = ε N ) = 2 N = P(X 1 = ε 1) P(X N = ε N ), ce qui motre que X 1,...,X N sot idépedates. Ceci est vrai pour tout N, d où la coclusio. La secode partie résulte de la première vu que U s exprime e foctio de la suite (X ) dot o a décrit la loi. NB. Si o dispose d ue variable aléatoire U de loi uiforme sur [0,1], alors avec ue bijectio ϕ : (N ) 2 N, o peut défiir, avec les otatios ci-dessus, pour tous k, N, X (k) = X ϕ(,k), puis pour tout k, U k = =1 X (k) 2. Par la propositio (2 fois) et l idépedace par paquets, o obtiet que (U k ) k 1 est ue suite de variables aléatoires idépedates, de loi uiforme sur [0,1]. Ayat costruit cette suite (U k ) k, si o se doe maiteat ue suite de lois (µ k ) k 1 sur R, ayat pour foctios de répartitios respectives (F k ) k 1, alors par l exercice 14.2 la suite (Y k ) k 1 = (F 1 k (U k)) k 1 est ue suite de variables aléatoires idépedates, telle que Y k suit la loi µ k. Comme o sait défiir U (cela reviet à l existece de la mesure de Lebesgue sur R), o sait aisi défiir, doc motrer l existece, d ue suite de variables aléatoires réelles idépedates suivat des lois prescrites. Notatio. Sigalos l abréviatio courate suivate : «(X ) 0 est ue suite de v.a. i.i.d.» sigifie que (X ) 0 est ue suite de variables aléatoires idépedates et idetiquemet distribuées (c est-à-dire qu elles suivet toutes la même loi). 35

36 3 Covergece d ue suite de variables aléatoires Soit (X ) 0 ue suite de variables aléatoires à valeurs das R d (ou das u espace métrique quelcoque), et X ue variable aléatoire à valeurs das le même espace. 3.1 Covergece e probabilité Défiitio La suite (X ) 0 coverge vers X e probabilité, ce que l o ote aussi X (p) X, si pour tout δ > 0, P( X X > δ) 0. Propriété La limite est uique (à égalité presque sûre près) : si X (p) (p) X et X X, alors X = X p.s.. (p) (p) Démostratio : O suppose X X et X X. Soit N N. O a X X X X + X X doc, si X X > 2, alors X X + N X X > 2 et l u des termes (au mois) doit alors être plus grad que 1, d où N N P ( X X > 2 ) ( { X P X > 1 } { X X > 1 } ) P ( X X > 1 ) ( + P X X > 1 ). N N N N N Par les hypothèses, le membre de droite ted vers 0 quad. O a doc : N N, p.s. X X 2 N. Comme N est déombrable, le premier lemme de ce chapitre doe : p.s., N N, X X 2 N, c est-à-dire p.s., X = X. Doos u exemple fodametal, qui illustre égalemet l utilisatio de l iégalité de Tchébychev. Propositio (Loi faible des grads ombres L 2 ) Soit (X ) 1 ue suite de variables aléatoires réelles, idépedates et de même loi, de carré itégrable (c est-à-dire que E[(X 1 ) 2 ] < ). O a X X (p) E[X 1 ]. NB. Comme les variables aléatoires X 1,X 2,..., ot même loi, elles ot même espérace : E[X 1 ] = E[X 2 ] =, et de même E[(X 1 ) 2 ] = E[(X 2 ) 2 ] =. Démostratio : Notos X = 1 (X1 + + X). Cette variable aléatoire vérifie et E[X ] = 1 (E[X1] + + E[X]) = 1 (E[X1] + + E[X1]) = E[X1] Var(X ) = 1 2 Var(X1 + + X) = 1 2 ( Var(X1) + + Var(X ) ) = Var(X1) car X 1,...,X sot idépedates (avat-derière égalité), et de même loi (derière égalité). Soit δ > 0. L iégalité de Tchebychev doe doc ici P( X E[X ) 1] > δ = P( X E[X ) ] > δ Var(X) = Var(X1) 0. δ 2 δ 2 C est le résultat aocé. Supposos que (X ) 0 est ue suite de v.a. i.i.d. de loi B(1/2) (c est-à-dire ue suite de tirages à pile ou face idépedats, équilibrés). Alors X 1 est borée, doc de carré itégrable, et la propositio doe X X (p) E[X 1 ] = 1 2. Notos que les X i valet 0 ou 1, doc X X est aussi le ombre d idices etre 1 et pour lesquels X i = 1, de sorte que X1+ +X est la proportio de tirages parmi X 1,...,X qui valet 1 (ou ecore le ombre de «piles»). O a doc obteu le fait que quad le ombre de tirages ted vers +, la probabilité que la proportio de piles s écarte de 1/2 de plus que δ coverge vers 0. C est ue première forme de la loi des grads ombres, dite faible car la covergece a lieu e probabilité. Elle assure cepedat pas que, pour chaque suite de tirages, o observe ue covergece des proportios vers 1/2 ; ce serait ue covergece presque sûre. 36

37 3.2 Covergece presque sûre Ce qui suit est pas ue défiitio à propremet parler mais plutôt ue redite ; o l écrit aisi pour la mettre e parallèle avec les autres modes de covergece. Défiitio La suite (X ) 0 coverge vers X presque sûremet, oté X (X ) 0 coverge vers X das R d, c est-à-dire si P ( X X ) = 1. X p.s., si, presque sûremet, la suite Autremet dit (X ) 0 coverge vers X p.s. s il existe u évéemet Ω Ω tel que P(Ω ) = 1 et, pour toute réalisatio ω Ω, la suite de terme gééral X (ω)( R d ) coverge vers X(ω). Propositio a) Si X X p.s., alors X (p) X. b) X X p.s. si, et seulemet si, pour tout δ > 0, P(lim sup { X X > δ}) = 0. E particulier, si pour tout δ > 0, P ( X X > δ ) < 0 alors X (p) c) Si X X p.s. X, alors il existe ue sous-suite (X ϕ(k) ) k qui coverge vers X p.s.. Démostratio : a) O suppose X X p.s.. Par le lemme de Fatou, o a 0 = P(lim sup { X X > δ}) = E[lim sup 1 { X X >δ}] lim sup E[1 { X X >δ}] = lim sup P( X X > δ) d où P( X X > δ) 0. b) O a X X si, et seulemet si, il existe N N tel que, pour ue ifiité de, X X > 1. Autremet dit, N 1 P(X X) = P( N lim sup { X X > 1 N } ) = lim N P(lim sup{ X X > 1 N }). L équivalece b) e résulte rapidemet. Le cas particulier est ue coséquece des lemmes de la sectio 1. c) Si X X e probabilité, o peut costruire la suite ϕ(k) par récurrece de telle sorte que, pour tout k, ϕ(k+1) > ϕ(k) et ( P X ϕ(k+1) X > 1 ) 2 (k+1). k + 1 Alors, pour tout δ > 0, P( X ϕ(k) X > δ) δ 1 + P( X ϕ(k) X > δ) δ 1 + P( X ϕ(k) X > 1 k ) δ k <, k k δ 1 k k doc le b) s applique à la suite (X ϕ(k) ) k, qui coverge doc p.s. vers X. Théorème (Loi forte des grads ombres) Soit (X ) 1 ue suite de variables aléatoires réelles idépedates et de même loi, itégrables (c est-à-dire que E[ X 1 ] < ). O a X X E[X 1 ] p.s. Démostratio : Das le cas où les variables sot das L 4 (c est-à-dire E[(X 1) 4 ] < ), qui couvre e particulier le cas boré (tirages à pile-ou-face, sodages...), o peut doer ue preuve très courte. Notos S = X X. Quitte à remplacer X par X E[X ], o peut supposer E[X ] = 0. E développat puis e regroupat les termes, avec X = X 1, E[(S ) 4 ] = E[ X ix jx k X l ] = E[X ix jx k X l ] 1 i,j,k,l 1 i,j,k,l = E[X 4 ] + 4( 1)E[X]E[X 3 ] + 6( 1)( 2)E[X] 2 E[X 2 ] + 3( 1)E[X 2 ] 2 + ( 1)( 2)( 3)E[X] 4 = E[X 4 ] + 3( 1)E[X 2 ] E[X 2 ] 2, 37

38 d où (par le TCM), [ ( S ) ] 4 E = E[(S ) 4 ] < et par coséquet ( ) 4 S < p.s., doc le terme gééral (S ) 4 ted vers 0 p.s., et e particulier S 4 que l o voulait démotrer. 0 p.s., ce NB. Le théorème s éted immédiatemet au cas de v.a. à valeurs das R d, e l appliquat à chaque composate. Notos que ce résultat (difficile das le cas gééral L 1 ) implique la loi faible des grads ombres doée plus haut. De plus, das le cas de tirages à pile ou face, il traduit tout à fait l observatio : pour (presque) toute suite de tirages, la proportio de piles coverge vers 1/2. De même, si la probabilité de pile est p (e preat X i de loi B(p)), la proportio de piles coverge vers p. Ceci justifie l iterprétatio de la probabilité P(A) a posteriori comme fréquece d occurrece de l évéemet A si o répète l expériece de faço idépedate u grad ombre de fois. 3.3 Covergece L p E tat que foctios mesurables à valeurs das R d, o peut défiir pour les variables aléatoires les ormes L p, où 1 p <, et doc les espaces L p = L p (Ω,A,P) et les covergeces associées (e probabilités, o utilise peu la covergece L ) : Défiitio La suite (X ) 0 de variables aléatoires L p coverge vers X das L p si X X p E [ X X p] 0. 0, c est-à-dire si La propositio suivate doe quelques comparaisos etre modes de covergece : Propositio a) Si X L p X, alors X (p) X. b) Si X X p.s., et si X Z pour tout, où Z L p, alors X L p X. c) Si 1 p < q, X L q X, implique X L p X. Démostratio : a) résulte de l iégalité de Markov. b) résulte du théorème de covergece domiée. c) se déduit par exemple de l iégalité de Jese : ϕ : x x q/p est covexe, doc d où X X p X X q. E[ X X p ] q/p = ϕ(e[ X X ]) E[ϕ( X X )] = E[ X X q ], E revache, e gééral, la covergece p.s. implique pas la covergece das L p. NB. O peut démotrer que, das la loi des grads ombres, la covergece a lieu das L 1, et même das L 2 si o ajoute l hypothèse que les variables aléatoires sot das L 2. Cette derière assertio est élémetaire : si E[(X 1 ) 2 ] <, alors e otat X = 1 (X X ), o a, vu que E[X ] = E[X 1 ], X E[ E[X 1 ] 2] = E [(X E [ ] ) 2] X = Var ( ) 1 X = Var(X 1) 0 (voir la preuve de la loi faible des grads ombres L 2 L ), ce qui motre que X 2 E[X 1 ]. O retrouve d ailleurs la loi faible des grads ombres L 2, vu que la covergece L 2 implique la covergece e probabilité. 38

39 4 Covergece e loi Soit (X ) 0 ue suite de variables aléatoires, à valeurs das R d (ou das u espace topologique quelcoque), et X ue variable aléatoire à valeurs das le même espace. 4.1 Défiitio et propriétés Défiitio (loi) La suite (X ) 0 coverge vers X e loi, oté X ϕ : R d R, E[ϕ(X )] E[ϕ(X)]. X, si, pour toute foctio cotiue borée Ue remarque essetielle est que la variable aléatoire X pourrait être remplacée par importe quelle variable aléatoire ayat la même loi. Pour cette raiso, o peut aussi dire que X coverge e loi vers la loi µ, oté X (loi) µ si X (loi) X où X suit la loi µ. De plus, o ote que cette covergece e déped que de la loi de X pour chaque, et o pas de la loi joite de (X ) 0 : il s agit e fait de la covergece de la loi de X vers la loi de X. E cela, cette covergece est relativemet différete des précédetes. O dispose de diverses maières équivaletes et souvet plus pratiques de démotrer ue covergece e loi. Théorème Les assertios suivates sot équivaletes : (i) (X ) coverge vers X e loi. (ii) pour toute foctio ϕ : R d R cotiue borée, E[ϕ(X )] E[ϕ(X)]. (iii) pour toute foctio ϕ : R d R de classe C à support compact, E[ϕ(X )] E[ϕ(X)]. (iv) si d = 1 : e tout t R où la foctio de répartitio F X est cotiue (c est-à-dire que P(X = t) = 0), F X (t) F X (t). (v) pour tout t R d, Φ X (t) Φ X (t). (L équivalece de (v) avec (i) est appelée le théorème de Lévy) Le poit (iv) s avère otammet utile quad X est défiie comme mi ou max de v.a. idépedates. Le poit (v) s avère otammet utile quad X est défiie comme somme de v.a. idépedates. La covergece e loi est plus faible que toutes les autres. E effet : Propositio a) Si X (p) X, alors X (loi) X. b) Das le cas où X est costate égale à c R d, X (p) c équivaut à X (loi) c. O peut sigaler deux cas particuliers utiles et simples : (le deuxième est cou comme le Lemme de Scheffé) Propositio a) Si les v.a. X sot discrètes, à valeurs das u même sous-esemble discret fermé E R d (c est-à-dire (loi) sas poit d accumulatio), alors X X si, et seulemet si, pour tout x E, P(X = x) P(X = x). b) Si les v.a. X ot chacue ue desité f, et si (f ) coverge p.p. vers ue foctio f qui est ue desité, alors (loi) X X. NB. Des variables discrètes peuvet coverger vers ue loi à desité et vice-versa : X de loi uiforme sur { 1, 2,..., } coverge vers la loi uiforme sur [0,1], et X de loi uiforme sur [0, 1 ] coverge vers la loi δ 0. 39

40 (loi) Exemple («loi des évéemets rares»). Si X suit la loi B(,p ) où p λ > 0, alors X P(λ). Le schéma suivat résume les implicatios etre les modes de covergece : si 1 p < q, X X p.s. X (p) X X (loi) X X L q X X L p X si X est costate 4.2 Théorème cetral limite O rappelle que la loi ormale N (m,σ 2 ), de moyee m et de variace σ 2, a pour foctio caractéristique Φ : t e itm t2 σ 2 /2. E particulier, la loi N (0,1) a pour foctio caractéristique t e t2 /2. Et la formule précédete reste vraie avec la covetio N (m,0) = δ m (ue variable aléatoire de variace ulle est p.s. égale à so espérace). Théorème (Théorème cetral limite) Soit (X ) 1 ue suite de variables aléatoires idépedates et de même loi, de carré itégrable. O ote m = E[X 1 ] et σ 2 = Var(X 1 ). O a X X m (loi) N (0,σ 2 ). Sigalos ue autre écriture de cet éocé : ( X1 + + X ) (loi) m N (0,σ 2 ). Ceci motre que l erreur das la loi des grads ombres est de l ordre de 1 et qu elle est approximativemet distribuée selo ue loi ormale. Das la suite o suppose σ 0 (sio, les v.a. sot costates). De plus, si Z suit la loi N (0,1) alors σz suit la loi N (0,σ 2 ), de sorte que l o peut aussi écrire ces éocés sous la forme. X X m σ 2 (loi) N (0,1) et ( ) X1 + + X (loi) m N (0,1). σ O peut aussi e doer ue expressio plus élémetaire, à l aide de l équivalece (iv) précédete : pour tous a < b, ( P a X ) X m b b σ 2 a (NB. O peut appliquer (iv) e tout t R car la loi limite est cotiue). e t2 /2 Démostratio : O utilise l équivalece (v) du théorème. Remarquos d abord que, quitte à remplacer X par X E[X ], o peut supposer que m = E[X ] = 0. O a, pour tout, [ ] [ ] Φ X 1 + +X (t) = E e it X 1 + +X = E e it X 1 X it e [ ] [ ] [ ] = E e it X 1 X it E e = E e it X 1 car X 1,...,X sot idépedates et de même loi, d où ( ) t Φ X 1 + +X (t) = Φ X1. dt 2π Rappelos-ous maiteat que, si E[(X 1) 2 ] <, alors Φ X1 a u développemet limité à l ordre 2 e 0 doé par Φ X1 (t) = 1 + ite[x 1] t2 2 E[(X1)2 ] + o(t 2 ) = 1 t2 σ 2 + o(t 2 ) 2 40

41 (vu que E[X 1] = 0). Comme et par suite Φ X 1 + +X (t) = t 0, o a doc, pour tout réel t, (1 t2 σ o ( ) t Φ X1 = 1 t2 σ o ( ) 1, ( )) ( 1 = exp L (1 t2 σ o ( ))) ) 1 = exp ( t2 σ 2 + o (1), 2 (attetio, il s agit d u logarithme complexe, mais il vérifie bie les propriétés voulues au voisiage de 1 das C) autremet dit ) Φ X 1 + +X (t) exp ( t2 σ 2 = Φ Z(t), 2 où Z suit la loi N (0,σ 2 ). Vu l équivalece (v), il e résulte que X 1+ +X démotrer. coverge e loi vers Z, ce que l o voulait Repreos otre exemple classique : Soit (X ) 1 ue suite de variables aléatoires idépedates, de loi B(1/2). O a E[X 1 ] = 1/2 et Var(X 1 ) = 1/4. Par le théorème cetral limite, 2 ( X1 + + X 1 ) (loi) Z 2 où Z suit la loi N (0,1). Aisi, pour tous a < b réels, ( a P 2 < X X 1 2 < b ) ( 2 = P a < 2 ( X1 + + X 1 ) 2 P(a < Z < b) = b e t2 /2 a dt. 2π Par exemple pour = 1000, la probabilité que la proportio de piles s écarte de mois de 3% de 50% est (approximativemet) P( 2 0, < Z < 2 0, ) = 1,9 e t2 /2 1,9 dt 0,94. 2π ) < b Autremet dit, das 94% des cas, après 1000 tirages, la proportio de piles s écarte de mois de 3% de la moitié. 41