1 Intégrale de Riemann

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1 Uiversité Paris 13, Istitut Galilée Aée uiversitaire Préparatio à l agrégatio 0. Rappels de théorie de l itégratio 1 Itégrale de Riema L itégrale itroduite e L1 ou e classe prépa est l itégrale dite «de Riema», qui se défiit (sur u segmet) comme limite des sommes de Riema, à supposer que celles-ci coverget à mesure que la subdivisio se raffie. 1.1 Défiitio Soit a < b des réels et N. Ue subdivisio de [a,b] e sous-itervalles est u ( + 1)-uplet σ = (a 0,...,a ), où a = a 0 < a 1 < < a 1 < a = b ; le pas de cette subdivisio σ est le réel max 0 i< (a i+1 a i ). Ue subdivisio poitée de [a,b] e sous-itervalles est u couple (σ,τ) où σ = (a 0,a 1,...,a ) est ue subdivisio de [a,b] e sous-itervalles et τ = (t 1,...,t ) est u -uplet de poits de [a,b] tels que, pour i = 1,...,, t i [a i 1,a i ]. Soit f : [a,b] R ue foctio. Pour toute subdivisio poitée (σ,τ) = ((a 0,...,a ),(t 1,...,t )) de [a,b], o défiit la somme de Riema 1 S(f,(σ,τ)) = f(t i )(a i+1 a i ). i=0 f est itégrable au ses de Riema (sur [a,b]) s il existe u réel s tel que, pour toute suite (σ,τ ) N de subdivisios poitées dot le pas ted vers 0, S(f,(σ,τ )) coverge vers s. La limite commue s est alors appelée l itégrale de f (au ses de Riema), et o ote s = b a f(t)dt. O utilise parfois ue défiitio apparemmet plus forte mais e fait équivalete : pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que, pour toute subdivisio poitée (σ,τ) de [a,b] de pas iférieur à δ, S(f,(σ,τ)) s < ε. La défiitio équivalete suivate, due à Darboux, a l avatage d être souvet plus simple à maipuler : Notos E([a,b]) l espace vectoriel des foctios e escalier sur [a,b], c est-à-dire costates sur chaque itervalle ouvert d ue subdivisio de [a,b]. Pour ϕ E([a,b]), o défiit élémetairemet so itégrale b a ϕ : si (a 0,...,a ) est ue subdivisio de [a,b] telle que ϕ est costate, égale à c i, sur chaque itervalle ]a i,a i+1 [ pour i = 0,..., 1, alors o pose : (rigoureusemet, il faut s assurer que cette défiitio e déped pas du choix de la subdivisio) b a ϕ(t)dt = c i (a i+1 a i ). i=1 f est itégrable au ses de Riema si, pour tout ε > 0, il existe deux foctios e escalier ϕ et ψ sur [a,b] telles que ϕ f ψ et b a (ψ ϕ) < ε, où l itégrale ci-dessus est bie défiie car ψ ϕ est e escaliers sur [a,b]. O a alors b if ψ E([a,b]) a f ψ ψ(t)dt = b sup ϕ E([a,b]) a ϕ f ϕ(t)dt et cette valeur commue est appelée itégrale de f sur [a,b]. Pour l ue ou l autre de ces défiitios, o motre que les foctios cotiues par morceaux sot itégrables. Sigalos ue autre approche, u peu plus restrictive mais souvet suffisate : o peut défiir élémetairemet l itégrale sur l espace E([a,b]) des foctios e escalier sur [a,b], puis vérifier que l applicatio I : ϕ b a ϕ est uiformémet cotiue sur E([a,b]) pour la orme (cela reviet à motrer l iégalité triagulaire ϕ ϕ ), et défiir alors l itégrale sur l adhérece de E([a,b]) parmi les foctios borées sur [a,b] e cosidérat l uique prologemet (uiformémet) cotiu de l applicatio I. Comme les foctios cotiues par morceaux sot limites uiformes de foctios e escalier, cela défiit e particulier leur itégrale. L adhérece de E([a,b]) est e fait l esemble des foctios réglées, c est-à-dire qui admettet des limites à gauche et à droite e chaque poit ; c est u esemble plus grad que celui des foctios cotiues par morceaux, mais qui reste strictemet iclus das celui des foctios itégrables au ses de Riema. 1

2 Remarquos que les foctios itégrables au ses de Riema sur [a,b] sot borées sur [a,b]. O peut éamois itroduire ue itégrale gééralisée qui doe u ses à certaies itégrales de foctios o borées, ou sur u itervalle o boré : o défiit aisi pour α < b ou α =, b f = lim f a α + ]α,b] lorsque cette limite existe, et de même pour des itervalles de la forme [a,β[ ou ]α,β[ avec α β. O peut égalemet étedre la défiitio aux foctios à valeurs das C ou das R d, e itégrat séparémet chaque composate : (f + ig) = f + i g et a f 1 Efi, o peut l étedre aux foctios défiies sur R d e itroduisat ue otio de subdivisio d u domaie e pavés et e itroduisat les sommes de Riema correspodates. Sigalos ue caractérisatio des foctios itégrables au ses de Riema sur [a,b] : ce sot les foctios borées sur [a,b] dot l esemble des poits de discotiuité est égligeable. (cf. Gourdo par exemple) 1.2 Limitatios Cette défiitio de l itégrale correspod à l ituitio : o approche l aire sous la courbe par l aire d ue uio de rectagles, et l itégrale obteue à la limite peut se voir comme ue somme de quatités ifiitésimales «f(x)dx» correspodat à l aire de chacu de ces rectagles. Toutefois, cette défiitio se prête mal aux gééralisatios. Citos quelques-ues de ses limitatios : la défiitio sur les itervalles o borés est possible (itégrale gééralisée, voir ci-dessus), mais idirecte certaies foctios borées très irrégulières e sot pas itégrables (comme la foctio idicatrice 1 Q ) les théorèmes d échage etre limite simple et itégrale sot peu satisfaisats (la otio aturelle pour l itégrale de Riema est la covergece uiforme, très restrictive) la défiitio e s éted pas facilemet à d autres espaces de départ (il faut pouvoir les subdiviser e parties «simples à mesurer» comme les pavés de R d ). L itégrale de Lebesgue peut être vue comme ue faço de répodre à cette derière limitatio, et s avère répodre aux précédetes aussi. Pour l itégrale de Riema, tout part de l idée que l o peut facilemet défiir l itégrale des foctios e escalier sur [a,b], ϕ = α i 1 [ai 1,a i], par b a ϕ = i=1 α i (a i a i 1 ) = i=1. f = f1. f α i logueur(([a i 1,a i ]). Puis o dit que f : [a,b] R est itégrable si les itégrales de foctios e escalier qui ecadret f peuvet être redues arbitrairemet proches. Pour itégrer des foctios f : E R, e l absece de otio d «itervalle» sur E, il est dès lors aturel d essayer d étedre le pricipe précédet e partat de «foctios simples» qui soiet de la forme ϕ = α i 1 Ai, où A 1,...,A sot des parties de E, pour lesquelles o défiirait ϕ = α i mesure(a i ), E i=1 i=1 pour ue «mesure» à préciser (sur R, ce serait la logueur), et de là o défiirait f de même que sur R. E Si cette idée, à l origie de l itégrale de Lebesgue, est simple, il faut tout de même oter que la mise e œuvre de la otio de mesure s avère plus délicate que l o pourrait s y attedre. E effet, même sur R, défiir la logueur d ue partie quelcoque est ue tâche impossible si l o souhaite que que la logueur soit additive (pour A et B disjoits, la «logueur» de A B devrait être la somme de celles de A et B). O e va doc cosidérer comme parties a priori mesurables qu u certai sous-esemble de P(R), dot les propriétés de stabilité fourisset la défiitio de tribu (ou σ-algèbre). Ue autre faço de voir l approche par des foctios simples plutôt qu e escalier : cela reviet à cosidérer des subdivisios de l espace d arrivée (R) plutôt que de l espace de départ, soit f k k 1 f 1 ([ k, k+1 [). 2 i=1

3 2 Tribu, mesure, itégrale de Lebesgue 2.1 Espace mesurés O défiit ici les élémets qui ous servirot de cadre pour la théorie de l itégratio Tribus Défiitio Soit E u esemble. Ue tribu (ou σ-algèbre) sur E est u esemble A de parties de E telle que (i) A ; (ii) si A A, alors A c A (stabilité par passage au complémetaire) (iii) si (A ) N est ue suite de parties das A, alors N A A ; (stabilité par uio déombrable) (E,A) est u espace mesurable. Ue partie A A est dite mesurable. Les coséqueces suivates sot aussi importates que la défiitio : Propriétés a) E A ; b) si A 1,...,A A, alors A 1 A A ; c) si (A ) N est ue suite de parties das A, d) si A 1,...,A A, alors A 1 A A ; e) si A,B A et A B, alors B \ A A. A A ; (stabilité par itersectio déombrable) N Attetio. Si (A i ) i I est ue famille de parties mesurables, alors les esembles A i et A i sot mesurables i I i I à coditio que I est déombrable (car o peut écrire I = {i N} et doc i A i = A i ). Exemples. P(E) est la tribu discrète sur E. {,E} est la tribu grossière sur E. Défiitio-Propositio Soit C u esemble de parties de E. Il existe ue plus petite tribu qui cotiet C. O la ote σ(c), et o l appelle la tribu egedrée par C. sur R d, la tribu boréliee est la tribu egedrée par les ouverts. O la ote B(R d ). O peut vérifier que B(R d ) est aussi la tribu egedrée par les itervalles de R d. Ses élémets sot les borélies. Aisi, tout esemble costruit à partir d itervalles à l aide des opératios de passage au complémetaire, d uio déombrable et d itersectio déombrable, est u borélie. E pratique, tous les sous-esembles de R que l o maipule sot obteus aisi et sot doc borélies Mesures Soit (E,A) u espace mesurable. Défiitio Ue mesure sur (E,A) est ue applicatio µ : A [0, + ] telle que (i) µ( ) = 0 ( ) (ii) pour toute suite (A ) N de parties mesurables disjoites, µ A = A. N (E,A,µ) est u espace mesuré. µ(e) est la masse totale de µ. O dit que µ est fiie si µ(e) <. Les coséqueces suivates sot aussi importates que la défiitio : Propriétés a) Si A 1,...,A A sot disjoits, alors µ(a 1 A ) = µ(a 1 ) + + µ(a ). b) Si A,B A et A B, alors µ(a) µ(b) et, si µ(a) <, alors µ(b \ A) = µ(b) µ(a). c) Pour tous A,B A, et µ(a B) <, alors µ(a B) = µ(a) + µ(b) µ(a B). N 3

4 ) d) Si (A ) est ue suite croissate de parties mesurables, alors µ( A = lim µ(a ). e) Si (A ) est ue suite décroissate de parties mesurables, et µ(a 0 ) <, alors µ( ( ) f) Pour toute suite (A ) de parties mesurables, µ A µ(a ). (sous-additivité) Exemples. Soit E u esemble. Sur (E,P(E)), la mesure de comptage µ E est défiie par : { Card(A) si A est fii pour tout A E, µ E (A) = si A est ifii. ) A = lim µ(a ). Aisi, «µ E place u poids 1 e chaque poit de E» Soit (E,A) u espace mesurable, et x E. La mesure de Dirac e x est la mesure δ x défiie par : { 1 si x A pour tout A A, δ x (A) = 0 si x / A = 1 A(x). Aisi, «δ x place u poids 1 au poit x» Si (µ ) 0 est ue suite de mesures sur (E,A) et (α ) 0 ue suite de réels positifs, alors o peut défiir la mesure µ = 0 α µ par pour tout A A, µ(a) = 0 α µ (A). E particulier, si (x ) 0 est ue suite de poits de E, o peut cosidérer µ = 0 α δ x qui, pour tout, «place u poids α e x». Défiitio-Théorème Il existe ue uique mesure λ d sur (R d,b(r d )) telle que, pour tout pavé fermé [a 1,b 1 ] [a d,b d ], O l appelle mesure de Lebesgue sur R d. λ d ( [a1,b 1 ] [a d,b d ] ) = b 1 a 1 b d a d. sur R, la mesure λ = λ 1 vérifie λ([a,b]) = b a pour tout segmet [a,b] avec a b. Cette mesure correspod doc à la logueur sur R. Le théorème sigifie que l o peut défiir la logueur de importe quel borélie, et qu elle vérifie la coditio (ii). sur R 2, la mesure λ 2 vérifie λ 2 ([a,b] [c,d]) = (b a)(d c) pour tout rectagle [a,b] [c,d] avec a b et c d. Cette mesure correspod doc à l aire sur R 2. sur R 3, la mesure λ 3 correspod de même au volume. Propriétés a) λ d est ivariate par traslatio : pour tout A B(R d ) et a R d, où a + A = {a + x x A}. λ d (a + A) = λ d (A), b) λ d est homogèe de degré d : pour tout A B(R d ) et t R, où ta = {tx x A}. λ d (ta) = t d λ d (A), Pour motrer que deux mesures sot égales, il suffit de comparer leurs valeurs sur les pavés : Propositio Soit µ,ν deux mesures sur (R d,b(r d )). Si, pour tout pavé fermé P, µ(p ) = ν(p ) <, alors µ = ν. 4

5 Défiitio Soit µ ue mesure sur (E,A). Si A A est tel que µ(a) = 0, o dit que A est égligeable. O peut préciser «µ-égligeable», ou «égligeable pour la mesure µ», si la mesure µ est pas claire d après le cotexte. Si ue propriété P x est vraie pour tout x A, où A c est égligeable pour la mesure µ, o dit que P x est vraie pour presque tout x, ou ecore que P est vraie presque partout. O peut préciser «µ-presque partout», ou «presque partout pour la mesure µ», si la mesure µ est pas claire d après le cotexte. Sas précisio, sur R d, «presque tout» fait référece à la mesure de Lebesgue λ d Foctios mesurables Défiitio Soit (E,A) et (F,B) des espaces mesurables. Ue applicatio f : E F est mesurable si pour tout B B, f 1 (B) A. Propositio Les foctios cotiues f : R d R d sot mesurables (pour les tribus boréliees). Propriétés L espace des foctios mesurables de (E,A) das (R,B(R)) est stable par : a) additio (si f,g : E R sot mesurables, alors f + g aussi) b) multiplicatio (si f,g : E R sot mesurables, alors fg aussi) c) passage au sup et à l if (si, pour tout, f : E R est mesurable, alors sup f et if f sot mesurables) d) valeur absolue (si f : E R est mesurable, alors f aussi) e) passage à la lim if, lim sup et doc à la limite (si, pour tout, f : E R est mesurable, alors lim if f et lim sup f sot mesurables ; et si f (x) f(x) pour tout x E, alors f est mesurable) Aisi, toute foctio R d R obteue à partir de foctios cotiues par ces opératios est mesurable. E pratique, toutes les foctios que l o maipule sot obteues aisi et sot doc mesurables. Il e va de même pour les foctios de R d das R d par la propositio suivate : Propositio Ue foctio f : R d R d est mesurable si, et seulemet si ses composates le sot. 2.2 Itégratio par rapport à ue mesure Soit (E,A,µ) u espace mesuré Itégrale de foctios mesurables positives Défiitio Ue foctio étagée sur (E,A) est ue foctio mesurable g : (E,A) (R,B(R)) qui e pred qu u ombre fii de valeurs. Autremet dit, il existe α 1,...,α R (les valeurs) et A 1,...,A A disjoits tels que α 1 si x A 1 pour tout x R, g(x) = α i 1 Ai (x) =. i=1 α si x A 0 sio. NB. Les foctios e escalier sur R sot étagées (c est le cas où les A i sot des itervalles), mais il y a beaucoup plus de foctios étagées, par exemple g = 1 Q. Ces foctios formet u espace vectoriel. 5

6 Défiitio Si g est étagée et positive (autremet dit, α i 0 pour i = 1,...,) alors, avec l écriture de g ci-dessus, o défiit gdµ = α i µ(a i ) [0, + ]. (avec 0 = 0). i=1 O peut vérifier que cette défiitio e déped pas du choix de l écriture de g sous la forme g = i α i1 Ai. E particulier, 1 A dµ = µ(a). Propriétés Soit g,h des foctios étagées positives. a) Pour tous réels a,b 0, (ag + bh)dµ = a gdµ + b hdµ. b) Si g h, alors gdµ hdµ. Défiitio Soit f : E [0, + ] mesurable. O ote f dµ = sup h étagée, 0 h f h dµ [0, + ], et cette quatité est appelée l itégrale de f par rapport à µ. NB. O utilise aussi les otatios suivates : fdµ = f(x)dµ(x) = f(x)µ(dx) et o peut spécifier E. Das la suite, de même que das cette défiitio, ue foctio «mesurable positive» est supposée predre ses valeurs das [0, + ]. Notos que par la propriété b) ci-dessous, si f = 1 A (autremet dit, f(x) = si x A et f(x) = 0 sio) avec µ(a) = 0 alors fdµ = 0 = 0. Aisi, pour α R + {+ }, α1 A dµ = αµ(a) avec 0 = 0 = 0. Propriétés Soit f,g des foctios mesurables positives. a) Si f g, alors fdµ gdµ. b) Si f = 0 presque partout (pour la mesure µ), alors fdµ = 0. Théorème (Théorème de covergece mootoe (TCM)) Soit (f ) ue suite croissate de foctios mesurables positives. Alors lim f dµ = lim f dµ. Par le TCM, pour calculer fdµ, o peut cosidérer lim f dµ pour importe quelle suite croissate (f ) qui coverge vers f. Par exemple ue suite de foctios étagées : Lemme Si f est mesurable positive, alors il existe ue suite croissate (f ) de foctios étagées positives qui coverge vers f. Propriétés (af ) Pour f,g mesurables positives, et a,b réels positifs, + bg dµ = a fdµ + b gdµ. Le théorème de covergece mootoe admet ue réécriture e termes de séries : Corollaire (Théorème de covergece mootoe pour les séries positives) Si (f ) 0 est ue suite de foctios mesurables positives, alors ( f )dµ = f dµ. =0 =0 6

7 Propositio (Iégalité de Markov) Pour toute foctio mesurable positive f, et tout réel a > 0, ({ }) µ x E f(x) a 1 a fdµ. Corollaire Soit f,g des foctios mesurables positives. a) Si fdµ <, alors f < presque partout. b) fdµ = 0 si, et seulemet si f = 0 presque partout. c) Si f = g presque partout, alors fdµ = gdµ. Théorème (Lemme de Fatou) Soit (f ) 0 ue suite de foctio mesurables positives. O a ( ) lim if f dµ lim if f dµ. NB. Voici trois exemples de suites (f ) telles que f 0 et f dµ 0 (o a même f dµ = 1 pour tout ). O utilise E = R, mui de la mesure de Lebesgue µ = λ 1. «bosse voyageuse» : f = 1 [,+1] «cocetratio e 0» : f = 1 [ 1, 1 2 ] «écrasemet» : f = 1 1 [ 2,+ 2 ] Foctios itégrables Défiitio Soit f : E R ue foctio mesurable. f est itégrable par rapport à µ si O pose alors fdµ = f + dµ f dµ R, f dµ <. où f + = max(0,f) et f = max(0, f) sot les parties positive et égative de f. O ote L 1 (E,A,µ) l espace des foctios itégrables par rapport à µ. NB. O a f = f + + f f, ce qui justifie que f dµ < et doe u ses à la soustractio ci-dessus. De même, f + dµ < doc fdµ est bie réel. O abrège souvet L 1 (E,µ), voire L 1 (E) ou même L 1 si le cotexte précise (E,A,µ). Propriétés a) Pour toute f L 1 (E,A,µ), fdµ f dµ b) L 1 (E,A,µ) est u espace vectoriel, et f fdµ est ue applicatio liéaire de L 1 (E,A,µ) das R. c) Pour f,g L 1 (E,A,µ), si f g, alors fdµ gdµ. d) Pour f,g L 1 (E,A,µ), si f = g presque partout, alors fdµ = gdµ. Théorème (Théorème de covergece domiée (TCD)) Soit (f ) ue suite de foctios mesurables E R, et f ue foctio mesurable E R. O suppose (i) f (x) f(x) pour presque partout x E ; (ii) il existe ϕ : E R + mesurable telle que ϕdµ < et pour tout, pour presque tout x E, f (x) ϕ(x). (hypothèse de domiatio) Alors, pour tout, f L 1 (E,A,µ), f L 1 (E,A,µ), f dµ fdµ et f f dµ 0. 7

8 O peut alors doer ue formule «cocrète» de calcul de fdµ par approximatio e subdivisat l itervalle d arrivée, de même que les sommes de Riema subdiviset l itervalle de départ : Corollaire Soit f ue foctio itégrable positive. Pour toute suite de subdivisios 0 = l () 0 < l () 1 < < l () N() de R telle que max 0 i<n() l() i+1 l() i 0 et l () N() +, o a Notatio. Pour A A, o ote A N() i=1 ( l () i µ f 1( [l () i,l () i+1 [)) fdµ. fdµ = f1 A dµ l itégrale de f sur A par rapport à µ, lorsqu elle a u ses, c est-à-dire si f1 A est positive ou itégrable. Ceci a d ailleurs u ses même si f est pas défiie hors de A (car 1 A vaut alors 0). O dit que f est itégrable sur A si f dµ <. Remarque importate. Toute cette partie s éted aux foctios à valeurs das C et R d e itégrat composate par composate : par exemple, ue foctio mesurable f : E C est itégrable si f dµ < et, das ce cas, fdµ = R(f)dµ + i I(f)dµ. Les résultats précédets restet alors vrais avec cette défiitio (liéarité, TCD) Exemples pricipaux Itégrale par rapport à ue mesure atomique (O dit que x est u atome de µ si {x} A et µ({x}) > 0) Propositio Soit f : E R ue foctio. a) Soit x E. f est itégrable par rapport à δ x et fdδ x = f(x). b) Soit (x ) ue suite d élémets de E (disticts) et (α ) ue suite de réels 0. O pose µ = α δ x. Si f est positive, o a fdµ = α f(x ) [0, + ]. Pour f de sige quelcoque, f est itégrable par rapport à µ si, et seulemet si α f(x ) < et, das ce cas, fdµ = α f(x ) R. A E particulier, si µ E est la mesure de comptage sur E et f : E R +, fdµ E = x E f(x). Itégrale par rapport à la mesure de Lebesgue (lie avec l itégrale de Riema) O ote λ = λ 1. Soit a < b. Notos que toute foctio mesurable borée f : [a,b] R est itégrable sur [a,b] par rapport à la mesure de Lebesgue. E effet, si f(x) M pour tout x [a,b], alors f dλ Mdλ = M dλ = Mλ([a,b]) = M b a <. Théorème [a,b] [a,b] [a,b] Si f est itégrable au ses de Riema sur [a,b], alors f est itégrable par rapport à λ sur [a,b], et [a,b] fdλ = (l itégrale de droite état l itégrale au ses de Riema) b a f. 8

9 Par suite, si I est u itervalle, pour f : I R mesurable positive, ou itégrable par rapport à λ, o pourra oter f = f(x)dx = fdλ, I I même si f est pas itégrable au ses de Riema, sas cofusio possible. O pourra doc, pour des itégrales au ses de Riema, appliquer les théorèmes précédets (covergece mootoe, domiée, etc.) ; et pour des itégrales de Lebesgue de foctios itégrables au ses de Riema, utiliser les propriétés bie coues (itégratio par parties, lie etre itégrale et primitive, etc.). Itégrale par rapport à ue mesure à desité Soit (E,A) u espace mesurable. O vérifie facilemet que, si f est positive, A fdµ est ue mesure, d où la défiitio : A Défiitio Si f est ue foctio mesurable E [0,+ ], et µ ue mesure sur E, la mesure de desité f par rapport à µ est la mesure f µ (aussi otée f(x)dµ(x)) défiie par : pour tout A A, (f µ)(a) = fdµ = f1 A dµ. I A NB. A est égligeable pour f µ dès que A est égligeable pour µ (ou que f est ulle sur A). Ceci caractérise les mesures à desité, cf. le théorème de Rado-Nikodym. Propositio Soit f ue foctio mesurable E [0, + ], et µ ue mesure sur E. a) Pour toute foctio mesurable g : E [0, + ], o a gd(f µ) = gfdµ = g(x)f(x)dµ(x), b) Ue foctio g : E R est itégrable par rapport à f µ si, et seulemet si fg est itégrable par rapport à µ et, das ce cas, gd(f µ) = gfdµ = g(x)f(x)dµ(x). Ceci justifie la otatio f µ = f(x)dµ(x). Pour la mesure de Lebesgue, vu le lie avec l itégrale de Riema, o otera aussi f(x)dx pour f λ. Par extesio, vu que 1 µ = µ, o pourra parfois oter dµ(x) pour désiger la mesure µ, et doc dx pour désiger la mesure de Lebesgue λ (ou λ d ) Itégrales dépedat d u paramètre Les résultats suivats se déduiset rapidemet du théorème de covergece domiée. Théorème (Théorème de cotiuité sous l itégrale) Soit f : (t,x) f(t,x) ue foctio mesurable de I E das R d ou C (où I est u itervalle de R). O suppose que : (cotiuité par rapport au paramètre) pour µ-presque tout x E, t f(t,x) est cotiue sur I ; (domiatio) il existe ue foctio ϕ : E R + mesurable telle que ϕ dµ < et, pour tout t I, pour µ-presque tout x E, f(t,x) ϕ(x). Alors la foctio F : t F (t) = f(t,x) dµ(x) est bie défiie pour tout t I, et est cotiue sur I. 9

10 Théorème (Théorème de dérivatio sous l itégrale) Soit f : (t,x) f(t,x) ue foctio de I E das R d ou C. O suppose que : (existece de F ) pour tout t I, x f(t,x) est itégrable ; (dérivabilité par rapport au paramètre) pour µ-presque tout x E, t f(t,x) est dérivable sur I, de dérivée otée f t ; (domiatio de la dérivée) il existe ue foctio ϕ : E R + mesurable telle que ϕ dµ < et, pour tout t I, pour µ-presque tout x E, f t (t,x) ϕ(x). Alors la foctio est dérivable sur I et, pour tout t I, F : t F (t) = f(t,x) dµ(x) F (t) = f (t,x) dµ(x). t Remarque : Si de plus la foctio t f t (t,x) est cotiue pour presque tout x, alors le théorème de cotiuité motre que F est cotiue, et doc que F est de classe C 1 sur I. Deuxième remarque : Pour motrer que F est de classe C 2, C 3,..., o peut appliquer le théorème plusieurs fois. Pour motrer que F est de classe C, o peut motrer par récurrece que F est de classe C pour tout, ou alors, si c est le cas, motrer directemet que F est aalytique : Théorème (Théorème d holomorphie sous l itégrale) Soit f : (z,x) f(z,x) ue foctio de U E das C, où U est u ouvert de C. O suppose que : (mesurabilité) pour tout z U, x f(z,x) est mesurable ; (holomorphie) pour µ-presque tout x E, z f(z,x) est holomorphe sur U, de dérivée otée f z ; (domiatio de f!) il existe ue foctio ϕ : E R + mesurable telle que ϕ dµ < et pour tout z U, pour µ-presque tout x E, f(z,x) ϕ(x). Alors la foctio F : z F (z) = f(z,x) dµ(x) est holomorphe sur U, et, pour tout z U, la foctio x f z (z,x) est itégrable et f F (z) = (z,x) dµ(x). z 2.3 Itégratio sur u espace produit Soit (E,A,µ) et (F,B,ν) deux espaces mesurés. O suppose das cette partie que µ et ν sot σ-fiies : il existe ue suite croissate (E ) de parties de E telle que E = E et pour tout, µ(e ) <, et de même pour ν Produit d espaces mesurés O souhaite faire de E F (= {(x,y) x E, y F }) u espace mesuré, c est-à-dire le muir d ue tribu et d ue mesure, déduites de celles de E et F. Défiitio La tribu produit de A et B est la tribu A B egedrée par les pavés A B où A A et B B : A B = σ( {A B A A, B B } ). Das le cas des borélies de R d, cette opératio redoe les tribus déjà coues : 10

11 Propositio Pour tous d,d, B(R d ) B(R d ) = B(R d+d ). Par suite, B(R d ) = B(R) B(R) = B(R) d e défiissat de même ue mesure produit de d mesures. Théorème Il existe ue uique mesure m sur (E F,A B) telle que pour tous A A et B B, m(a B) = µ(a)ν(b), (avec ici 0 = 0 = 0). O la ote m = µ ν. De plus, pour tout C A B, µ ν(c) = ν(c x )dµ(x) = µ(c y )dν(y). E F La derière formule décrit ue itégratio «par traches» : la mesure de C est l itégrale des mesures de traches, horizotales ou verticales. Das le cas de la mesure de Lebesgue sur R d, cette opératio redoe les mesures déjà coues : Propositio Pour tous d,d, λ d λ d = λ d+d. Par suite, e otat λ = λ 1, o a λ d = λ λ = λ d, e défiissat par récurrece le produit de d mesures Théorèmes de Fubii Les propriétés de la mesure produit se trasfèret aisémet aux propriétés de l itégrale et permettet de résoudre la questio iitiale. Théorème (Théorème de Fubii-Toelli) Pour toute foctio mesurable f : E F [0, + ], ( ) fd(µ ν) = f(x,y)dν(y) dµ(x) = E F E coséquece de ce théorème, o pourra oter E F E F F ( E ) f(x,y)dµ(x) dν(y). f(x,y)dν(y)dµ(x) sas parethèses lorsque f est mesurable positive. E décomposat ue foctio f de sige quelcoque e f = f + f, o obtiet facilemet : Théorème (Théorème de Fubii-Lebesgue) Pour toute foctio mesurable f sur E F à valeurs das R d ou C, telle que f(x,y) d(µ ν)(x,y) <, o a E F E F f(x,y) d(µ ν)(x,y) = E ( F ) ( ) f(x,y)dν(y) dµ(x) = f(x,y)dµ(x) dν(y). F E Pour deux foctios mesurables f : E R + et g : F R +, le théorème de Fubii-Toelli motre facilemet que la mesure produit des mesures de desité f sur E et de desité g sur F est la mesure de desité f g : (x,y) f(x)g(y). 11

12 2.4 Chagemets de variables Mesure image O défiit ici ue faço de «trasporter» ue mesure d u espace à u autre, par ue foctio. Cette opératio sera otammet importate e probabilités pour défiir la loi d ue variable aléatoire. Soit ϕ : (E,A) (F,B) ue applicatio mesurable. O rappelle que µ est ue mesure sur (E,A). Défiitio La mesure image de µ par ϕ est la mesure ϕ µ sur F doée par : pour tout B B, ϕ µ(b) = µ ( ϕ 1 (B) ). Théorème (Théorème de trasfert) a) Pour toute foctio mesurable f : F [0, + ], f(y)d(ϕ µ)(y) = f(ϕ(x))dµ(x). F E b) Pour toute foctio mesurable f sur F à valeurs das R d ou C, f est itégrable par rapport à ϕ µ si, et seulemet si f ϕ est itégrable par rapport à µ et, das ce cas, f(y)d(ϕ µ)(y) = f(ϕ(x))dµ(x). F E Chagemets de variables das R d Cas liéaire Propositio Soit M ue applicatio liéaire R d R d. O a, pour B B(R d ), λ d ( M(B) ) = det M λd (B). Autremet dit, si M est iversible, M λ d = 1 det M λ d. E particulier, pour B = [0,1] d, o a l iterprétatio suivate du détermiat de M : c est le volume du parallélotope egedré par les vecteurs coloes de M. Et si f : R d R est itégrable par rapport à λ d, le théorème de trasfert doe Cas des C 1 -difféomorphismes f(m(x))dx = f(y)d ( M λ d )(y) = R d R d Théorème (Théorème de chagemet de variable das R d ) 1 det M R d f(y)dy. Soit U et D des ouverts de R d. Soit f : D R mesurable, et ϕ : U D u C 1 -difféomorphisme. a) Si f est positive, alors f(y) dy = f ( ϕ(x) ) Jϕ (x) dx D U et f ( ϕ(x) ) dx = f(y) Jϕ 1(y) dy. U b) Si f est itégrable sur D, la première égalité précédete a u ses (autremet dit, u f(ϕ(u)) J ϕ (u) est itégrable sur U) et est vraie. Si f ϕ est itégrable sur U, alors il e est de même de la deuxième. c) E particulier, la mesure image de λ d par ϕ est la mesure de desité J ϕ 1 par rapport à λ d : D ϕ (λ d ) U = J ϕ 1 (λ d ) D. (Ici, (λ d ) D est la restrictio de λ d à D, puisque ϕ est défiie que sur D) 12

13 Uiversité Paris 13, Istitut Galilée Aée uiversitaire Préparatio à l agrégatio I. Fodemets des probabilités L objectif de ce chapitre est de costater que la théorie de l itégratio développée das la première partie du cours fourit u cadre rigoureux pour les probabilités. La théorie sera doc la même, mais l iterprétatio e est différete : o cherche à fourir u modèle mathématique pour ue «expériece aléatoire». Ue première partie va doc cosister à relire les résultats de théorie de l itégratio e ayat e tête cette ituitio. Ceci va de pair avec u ouveau vocabulaire, que l o va commecer par itroduire. 1 Défiitios 1.1 Espace de probabilités Défiitio U espace de probabilité est u espace mesuré (Ω,A,P ) où la mesure P a pour masse totale 1 : P(Ω) = 1. O appelle P ue probabilité, ou ue mesure de probabilité. Ω est parfois appelé l uivers, ou l espace des évetualités. Les parties mesurables A A sot appelés des évéemets. U évéemet est presque sûr si P(A) = 1 ; o dit aussi que A est réalisé presque sûremet (e abrégé, p.s.). Ue iterprétatio e est la suivate : Ω représete l esemble de toutes les évetualités possibles, toutes les réalisatios possibles du hasard das l expériece aléatoire cosidérée. A est l esemble des «évéemets», c est-à-dire des esembles d évetualités dot o peut évaluer la probabilité. Pour A A, P(A) représete la probabilité d occurrece de l évéemet A. O peut s e faire diverses ituitios, qui pourrot être justifiées par la théorie qui va suivre : u poit de vue a priori, où des cosidératios de symétrie, par exemple, ou u calcul lié aux propriétés physiques mises e jeu par l expériece, permettet de justifier la répartitio des probabilités (par exemple, pour u dé équilibré, l occurrece de chaque face devrait avoir même probabilité, doc 1/6), u poit de vue a posteriori, où P(A) est vu comme la fréquece asymptotique de réalisatio de l évéemet A si o répète l expériece u grad ombre de fois (par exemple, si o tire le même dé u grad ombre de fois, o observe que chaque face apparaît e moyee approximativemet lors de 1/6 des tirages, et cette approximatio a tedace à s améliorer avec le ombre de tirages). NB. Malgré l importace théorique de l espace de probabilité (Ω,A,P ), o verra das la suite qu ue particularité fodametale de la théorie des probabilités est qu il e sera souvet pas écessaire de spécifier l espace de probabilités car o e le verra qu à travers les «variables aléatoires». 1.2 Variables aléatoires Soit (Ω,A,P ) u espace de probabilité. Défiitio Ue variable aléatoire (e abrégé, v.a.) est ue applicatio mesurable X : Ω E, où (E,E) est u espace mesurable. O parle de variable aléatoire réelle si l espace d arrivée est (R,B(R)). La défiitio suivate est fodametale. Défiitio La loi d ue variable aléatoire X : Ω E est la mesure image de P par X. C est doc la mesure de probabilité P X sur (E,E) doée par P X (B) = P ( X 1 (B) ) = P ( {ω Ω X(ω) B} ) pour B E. O dit que X suit la loi µ si la loi de X est µ. 13

14 Notatio foctioelle. O utilisera e gééral la otatio {X B} = X 1 (B), de sorte que la défiitio s écrit P X(B) = P(X B). De même, o écrira par exemple, pour ue variable aléatoire réelle X, {si(x) 0} = {ω Ω si(x(ω)) 0}. Variables discrètes et cotiues Deux familles de lois méritet ue attetio particulière : les lois dites discrètes et cotiues. Attetio, ce e sot que des cas particuliers, et de ombreuses lois e sot i discrètes i cotiues. Variables aléatoires discrètes. Das le cas où X pred ses valeurs das u espace E déombrable, o dit que X est ue variable aléatoire discrète, et das ce cas la loi de X est doée par les valeurs p x = P(X = x) pour x E. E effet, pour tout B E, ( ) P X (B) = P(X B) = P {X = x} = P(X = x) = p x. x B x B x B Autremet dit, P X = x E p x δ x. Doer la loi de X reviet doc à calculer les valeurs p x pour x E. Variables aléatoires cotiues (ou à desité). Das le cas où X est à valeurs das R d et la loi de X admet ue desité f par rapport à la mesure de Lebesgue, o dit que X est ue variable aléatoire cotiue, ou à desité, de desité f. Autremet dit, X a pour desité f si f est ue foctio mesurable positive qui vérifie, pour tout A B(R d ), P X (A) = P(X A) = f(x)dx = 1 A (x)f(x)dx. A Remarquos que 1 = P(X R d ) = f(x)dx. Ue foctio mesurable f : R d R est ue desité si f(x) 0 pour tout x R d et f(x)dx = 1. Toute desité f défiit ue loi de probabilité. Propriétés Si X est ue variable aléatoire de desité f, alors a) pour tout x R d, P(X = x) = 0. Autremet dit, pour tout x R d, presque sûremet, X x b) presque sûremet, X {x R d f(x) > 0}. Démostratio : a) O a λ d ({x}) = 0 et doc P(X = x) = {x} f(t)dt = λ({x})f(x) = 0. b) Si f est ulle sur B B(R d ) (autremet dit, f(x) = 0 pour tout x B), alors P(X B) = f(t)dt = 0 doc p.s., B X B c. Le résultat correspod au cas où B = {x R d f(x) = 0}, car f est évidemmet ulle sur B. Tribu egedrée Défiitio Soit X ue variable aléatoire à valeurs das (E,E). La tribu egedrée par X est σ(x) = { X 1 (B) B E } A. C est la tribu sur Ω qui cotiet tous les évéemets qui e dépedet que de X. La propositio suivate motre que, de même, les foctios mesurables par rapport à σ(x) sot celles qui e dépedet que de X : Propositio Soit X,Y des variables aléatoires à valeurs das R m et R. Y est mesurable par rapport à σ(x) si et seulemet s il existe ue foctio mesurable f : R m R telle que Y = f(x) p.s. 14

15 1.3 Espérace Défiitio Soit X ue variable aléatoire réelle. So espérace est E[X] = X(ω)dP(ω), ce qui, e tat qu itégrale d ue foctio mesurable, est bie défii das les deux cas suivats : si X 0 (et das ce cas E[X] [0, ]) si X est itégrable, c est-à-dire E[ X ] = X dp <. O iterprète E[X] comme la moyee de la variable aléatoire X. O a e particulier E[1 B ] = P(B) et, pour toute costate c R, E[c] = c P(Ω) = c. Le théorème de trasfert (du chapitre sur les chagemets de variables) s écrit comme suit : Propositio (Théorème de trasfert) Ω Soit X ue variable aléatoire à valeurs das (G,G) et ϕ ue foctio mesurable G R telle que E[ϕ(X)] est bie défiie. Alors E[ϕ(X)] = ϕ(x)dp X (x). Ceci motre que l espérace de toute foctio d ue variable aléatoire X e déped que de la loi P X de X, et o de la faço exacte doc X est défiie comme foctio sur Ω. Si X est discrète à valeurs das G, o a, par le théorème de trasfert, pour toute foctio ϕ : G R positive (ou telle que ϕ(x) est itégrable), E[ϕ(X)] = x G ϕ(x)p(x = x). G Si X est cotiue sur R d, de desité f, le théorème de trasfert doe, pour toute foctio ϕ : R d R positive (ou telle que ϕ(x) est itégrable), E[ϕ(X)] = ϕ(x)f(x)dx. R d Tous les résultats vus pour les itégrales sot toujours valables. Écrivos-e quelques-us à titre d exemple : Propositio Soit X ue variable aléatoire réelle positive. (Iégalité de Markov) Pour tout a > 0, Si E[X] <, alors X < presque sûremet. Si E[X] = 0, alors X = 0 presque sûremet. Propositio P(X a) E[X] a. Soit (X ) 0 ue suite de variables aléatoires positives. (TCM) Si la suite (X ) est croissate [ et coverge vers X, alors lim E[X ] = E[X]. ] (TCM pour les séries) O a E X = E[X ]. 0 Propositio 0 (Théorème de covergece domiée) Soit (X ) 0 ue suite de variables aléatoires réelles, et X ue variable aléatoire réelle. Si X X p.s. et s il existe Z itégrable telle que X Z p.s., alors E[X ] E[X]. O pourra utiliser les théorèmes de Fubii ou ecore les théorèmes pour les itégrales (espéraces) à paramètre. Efi, o défiit aussi les espaces L 1 (Ω,A,P ) et L 2 (Ω,A,P ), abrégés e L 1 et L 2, et o rappelle das ce cas l iclusio L 2 L 1 (e effet, pour tout v.a. réelle X, E[ X ] = E[ 1 X ] E[X 2 ] 1/2 E[1] 1/2 = E[X 2 ] 1/2 ). Autremet dit, les v.a. de carré itégrable sot itégrables. 15

16 Défiitio Soit X ue variable aléatoire de carré itégrable. La variace de X est le réel positif [( ) 2 ] Var(X) = E X E[X] = E[X 2 ] E[X] 2. L écart-type de X est le réel positif σ(x) = Var(X). La variace de X est la moyee du carré de l écart etre X et sa moyee. C est doc ue mesure de la «dispersio» de la loi de X autour de so espérace E[X], de même que l écart-type. L écart-type de X a l itérêt d être homogèe à X, c est-à-dire que σ(ax) = a σ(x) pour a 0 (tadis que Var(aX) = a 2 Var(X)), de sorte qu il pourra être pertiet de comparer les valeurs de σ(x) à celles de X E[X]. Le fait que la variace de X mesure sa dispersio se lit aussi das le résultat suivat, qui découle de l iégalité de Markov : Propositio (Iégalité de Tchebychev) Si X est ue variable aléatoire de carré itégrable, et a > 0, alors ( X ) P E[X] a Var(X) a 2. Démostratio : Soit a > 0. Pour ω Ω, o a X(ω) E[X] a si, et seulemet si X(ω) E[X] 2 a 2, doc { X E[X] a } = { X E[X] 2 a 2} et par coséquet P( X E[X] a) = P( X E[X] 2 a 2 ). Or l iégalité de Markov appliquée à la variable aléatoire positive (X E[X]) 2 doe d où la coclusio par défiitio de la variace. P( X E[X] 2 a 2 ) 1 a 2 E [ (X E[X]) 2] 1.4 Iterprétatios probabilistes Le tableau suivat résume les correspodaces etre la théorie de l itégratio et les probabilités, pour ce qui est du vocabulaire et de la otatio : Itégratio Probabilités espace mesuré (E,A,µ) espace de probabilités (Ω,A,P ) poit x E évetualité, réalisatio ω Ω espace E uivers, esemble des évetualités Ω partie mesurable A A évéemet A A foctio mesurable f : E F variable aléatoire X : Ω F A B A ou B A B A et B A et B disjoits (A B = ) A et B icompatibles complémetaire A c = E \ A égatio A c = Ω \ A (aussi oté A) A B A implique B mesure µ probabilité P A c est égligeable (µ(a c ) = 0) A est presque sûr (P(A) = 1) presque partout,... (e abrégé, p.p.) presque sûremet,... (e abrégé, p.s.) mesure image de µ par f loi de X (mesure image de P par X) itégrale E fdµ espérace (moyee) E[X] = Ω XdP 16

17 2 Idépedace 2.1 Probabilité coditioelle Défiitio Si A,B A sot deux évéemets, avec P(B) > 0, la probabilité de A sachat B est P(A B) = P(A B). P(B) C est la probabilité que A se réalise si o a l iformatio que B est réalisé. O ote que A P(A B) est ue probabilité sur (Ω,A) : c est la mesure de desité par rapport à P. O peut doc cosidérer l espérace par rapport à cette probabilité et elle est doée, pour toute variable aléatoire X positive (ou itégrable), par Propositio E[X B] = Ω XdP( B) = 1 P(B) X1 B dp = E[X1 B] P(B). Soit (B ) 1 N ue suite (avec N N ou N = ) d évéemets qui partitioe Ω, c est-à-dire que Ω = 1 N B. 1 B P(B) Pour tout évéemet A, et toute variable aléatoire X positive ou itégrable, N N a) (Formule des probabilités totales) P(A) = P(A B ) = P(A B )P(B ) et E[X] = N E[X1 B ] = =1 N E[X B ]P(B ) =1 =1 b) (Formule de Bayes) pour tout 1 N, P(B A) = =1 P(A B )P(B ) N k=1 P(A B k)p(b k ). Démostratio : a) La première formule se déduit du fait que A = (A B ), et la deuxième viet de X = X1B. La formule de Bayes se déduit directemet de P(B A) = P(B A) P(A) = P(A B)P(B) P(A) et de a). 2.2 Évéemets idépedats Défiitio Deux évéemets A,B sot idépedats si P(A B) = P(A)P(B). Si P(B) > 0, ceci reviet doc à P(A B) = P(A) : savoir que B est réalisé affecte pas la probabilité que A soit réalisé ou o. Cela correspod bie au ses courat d «idépedace». O gééralise la défiitio : Défiitio Les évéemets A 1,...,A sot idépedats si, pour tous i 1 < < i k, P(A i1 A ik ) = P(A i1 ) P(A ik ). Autremet dit, par exemple, A,B,C sot idépedats si P(A B C) = P(A)P(B)P(C), P(A B) = P(A)P(B), P(A C) = P(A)P(C) et P(B C) = P(B)P(C). Attetio, il e suffit pas de vérifier la première égalité, ou les trois suivates. 17

18 2.3 Variables aléatoires, tribus idépedates Défiitio Les variables aléatoires X 1,...,X, à valeurs das (E 1,E 1 ),...,(E,E ) sot idépedates si pour tous B 1 E 1,...,B E, P({X 1 B 1 } {X B }) = P(X 1 B 1 ) P(X B ). Ituitivemet, X 1,...,X sot idépedates si la coaissace de certaies d etre elles apporte aucue iformatio sur les autres : cela correspod ecore à la otio ituitive d «idépedace». La défiitio d idépedace rappelle la mesure produit : o peut la réécrire sous la forme P (X1,...,X )(B 1 B ) = P X1 (B 1 ) P X (B ) = P X1 P X (B 1 B ). O a ici oté P (X1,...,X ) la loi du vecteur (X 1,...,X ). Ceci ous doe le résultat suivat : Théorème Les variables aléatoires X 1,...,X sot idépedates si, et seulemet si la loi du vecteur (X 1,...,X ) est le produit des lois de X 1,...,X : P (X1,...,X ) = P X1 P X. O a alors, pour toutes foctios f 1,...,f mesurables positives, ou itégrables, E[f 1 (X 1 ) f (X )] = E[f 1 (X 1 )] E[f (X )]. Et iversemet, si, pour toutes foctios f 1,...,f mesurables positives, ou borées, alors X 1,...,X sot idépedates. E[f 1 (X 1 ) f (X )] = E[f 1 (X 1 )] E[f (X )], Le secod poit est la traductio du théorème de Fubii. E particulier, si X et Y sot idépedates et positives (ou itégrables), E[XY ] = E[X]E[Y ]. Défiitio Si X et Y sot des variables aléatoires de carré itégrable, leur covariace est et leur corrélatio est Cov(X,Y ) = E [ (X E[X])(Y E[Y ]) ] = E[XY ] E[X]E[Y ] R, Corr(X,Y ) = Cov(X,Y ) σ(x)σ(y ) [ 1,1], (où les bores sot coséqueces de l iégalité de Cauchy-Schwarz). Corollaire Si X et Y sot des variables aléatoires de carré itégrables idépedates, alors elles sot o corrélées : Cov(X,Y ) = 0. Si X 1,...,X sot des variables aléatoires de carré itégrables et idépedates, alors Var(X X ) = Var(X 1 ) + + Var(X ). Démostratio : Le premier poit viet directemet de ce qui précède, et le deuxième e résulte puisque qu u développemet doe de faço géérale [ ( ) 2] Var( X i) = E (X i E[X i]) = i=1 i=1 Var(X i) + i=1 1 i j Cov(X i,x j) 18

19 Remarque. La défiitio d idépedace de variables aléatoires peut aussi s itroduire e défiissat l idépedace d ue famille de tribus : Défiitio Les tribus A 1,...,A A sot idépedates si, pour tous A 1 A 1,..., A A, ces évéemets sot idépedats. Les variables aléatoires X 1,...,X sot idépedates si les tribus egedrées σ(x 1 ),...,σ(x ) le sot. O doe deux faços géérales d obteir de ouvelles variables aléatoires idépedates à partir d ue première famille de variables idépedates : Propriétés Soit X 1,...,X des variables aléatoires idépedates. a) Pour toutes foctios mesurables f 1,...,f, les variables aléatoires f 1 (X 1 ),...,f (X ) sot idépedates. b) («Idépedace par paquets») Si (I 1,...,I k ) est ue partitio de {1,...,}, alors les variables aléatoires (X i ) i I1,...,(X i ) i Ik sot idépedates. E combiat a) et b), ceci motre que si o regroupe X 1,...,X e paquets disjoits, ces paquets sot idépedats, et doc toutes les familles de v.a. défiies comme foctios qui dépedet de paquets disjoits sot idépedates : si X,Y,Z,T sot idépedates et à valeurs réelles, alors X + Z et Y T sot idépedates, de même que X T, Y 2 et Z, par exemple. L idépedace par paquets s éted au cas des tribus : si G 1,...,G sot des tribus idépedates, et (I 1,...,I k ) est ue partitio de {1,...,}, alors les tribus σ(g i ; i I 1 ),...,σ(g i ; i I k ) sot idépedates, où σ(g i ; i I 1 ) est la tribu egedrée par les tribus G i pour i I 1, etc. Idépedace d ue famille ifiie. O dit qu ue famille ifiie d évéemets, de variables aléatoires ou de tribus, est idépedate si toute sous-famille fiie est idépedate. 2.4 Cas des variables à desité das R d Ue variable aléatoire X à valeurs das R d est parfois appelée vecteur aléatoire. Si o ote X = (X 1,...,X d ) ses composates, alors X 1,...,X d sot des variables aléatoires réelles appelées les margiales de X. Leurs lois sot les lois margiales de la loi de X. Iversemet, la loi de X est la loi joite de X 1,...,X d. Attetio, il e suffit pas de coaître les lois margiales pour coaître la loi de X. O s itéresse au cas des variables à desité. Propositio Soit X = (X 1,...,X d ) ue variable aléatoires à valeurs das R d de desité la foctio f : R d R +. Alors X 1,...,X d ot aussi des desités f 1,...,f d doées, pour i = 1,...,d, par f i : x i f i (x i ) = f(x 1,...,x d )dx 1 dx i 1 dx i+1 dx d. R d 1 Démostratio : Soit 1 i d. Pour toute foctio mesurable g : R R +, o a E[g(X i)] = g(x i)dp (X1,...,X d )(x 1,...,x d ) = g(x i)f(x 1,...,x d )dx 1 dx d = g(x i)f i(x i)dx i R d R d R où la derière égalité viet du théorème de Fubii-Toelli. Ceci motre que X i a pour desité f i. Par exemple, si (X,Y ) das R 2 a pour desité f (X,Y ), alors X et Y ot pour desités f X : x f X (x) = f (X,Y ) (x,y)dy et f Y : y f Y (y) = f (X,Y ) (x,y)dx. R Par la propriété sur les mesures produits de mesures à desité, l idépedace etre les margiales se traduit par le fait que la desité du vecteur aléatoire est à variables séparées, c est-à-dire u produit de foctios e dépedat que d ue variable : R 19

20 Propositio Soit X 1,...,X d des variables aléatoires réelles. a) Si, pour i = 1,...,d, X i a pour desité f i, et X 1,...,X d sot idépedates, alors la loi de (X 1,...,X d ) a pour desité la foctio f : (x 1,...,x d ) f 1 (x 1 ) f d (x d ). b) Iversemet si la loi de (X 1,...,X d ) a ue desité qui s écrit sous la forme f(x 1,...,x ) = g 1 (x 1 ) g d (x d ), alors X 1,...,X d sot idépedates, et pour i = 1,...,d, la desité de X i est proportioelle à g i, c est doc 1 f i : x f i (x) = g i (x). g i (y)dy R Image par u C 1 -difféomorphisme. Soit X = (X 1,...,X d ) u vecteur aléatoire ayat pour desité f. O suppose que, presque sûremet, X U, où U est u ouvert de R d. Ceci équivaut à dire que f est ulle hors de U. Soit ϕ : U V u C 1 -difféomorphisme (où V est u ouvert de R d ). Alors la variable aléatoire (Y 1,...,Y d ) = ϕ(x 1,...,X d ) admet ue desité. C est ue coséquece du théorème de chagemet de variable, qui permet aussi de calculer cette desité : pour toute foctio mesurable positive g : R d R, o a E[g(Y 1,...,Y d )] = E[g(ϕ(X 1,...,X d ))] = g(ϕ(x 1,...,x d ))dp (X1,...,X d )(x 1,...,x d ) = g(ϕ(x 1,...,x d ))f(x 1,...,x d )dx 1 dx d U = g(y 1,...,y d )f(ϕ 1 (y 1,...,y d )) J ϕ 1(y 1,...,y d ) dy 1 dy d V La derière expressio est E[g(Z 1,...,Z d )] où (Z 1,...,Z d ) est u vecteur aléatoire (quelcoque) ayat pour desité (y 1,...,y d ) f(ϕ 1 (y 1,...,y d )) J ϕ 1(y 1,...,y d ) Comme l égalité E[g(Y 1,...,Y d )] = E[g(Z 1,...,Z d )] vaut pour toute foctio mesurable positive g, o e déduit que (Y 1,...,Y d ) et (Z 1,...,Z d ) ot même loi, doc la foctio ci-dessus est aussi la desité de (Y 1,...,Y d ) : f (Y1,...,Y d ) : (y 1,...,y d ) f(ϕ 1 (y 1,...,y d )) J ϕ 1(y 1,...,y d ). Loi de la somme de 2 variables aléatoires idépedates à desité. Soit X,Y deux variables aléatoires réelles idépedates ayat des desités f X et f Y. O défiit Z = X +Y. Pour toute foctio mesurable positive g : R R, o a E[g(Z)] = E[g(X + Y )] = g(x + y)dp (X,Y ) (x,y) = g(x + y)f X (x)f Y (y)dx dy R 2 R ( ) ( 2 ) = g(x + y)f Y (y)dy f X (x)dx = g(z)f Y (z x)dz f X (x)dx R R R R ( ) = g(z) f X (x)f Y (z x)dx dz, R R e utilisat le chagemet de variable y z = x + y, et le théorème de Fubii-Toelli. Ceci motre que Z a pour desité la foctio f Z : z f X (x)f Y (z x)dx, R autremet dit le produit de covolutio de f X et f Y : si X et Y sot idépedates, f X+Y = f X f Y. 20

21 3 Lois classiques Lois discrètes Si E est u esemble, et x E, la loi de Dirac e x est la loi d ue variable aléatoire X à valeurs das E telle que P(X = x) = 1. O dit que X est costate (p.s.). Ce est doc pas ue variable «aléatoire» mais plutôt «détermiiste». Si E est u esemble fii, de cardial, la loi uiforme sur E est la loi d ue variable aléatoire X à valeurs das E telle que pour tout x E, P(X = x) = 1. La loi de Beroulli de paramètre p [0,1] est la loi (otée B(p)) d ue variable aléatoire X à valeurs das {0,1} telle que P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p. O iterprète X comme le résultat du lacer d ue pièce biaisée ayat probabilité p de tomber sur pile. La loi biomiale de paramètres N et p [0,1] est la loi (otée B(,p)) d ue variable aléatoire X à valeurs das {0,1,...,} telle que ( ) pour k = 0,...,, P(X = k) = p k (1 p) k. k O iterprète X comme le ombre de piles obteus e lacers idépedats de la pièce précédete. Ceci résulte de la propositio suivate. Propositio Soit N et p [0,1]. Si X 1,...,X sot des variables aléatoires idépedates, de loi B(p), alors leur somme S = X X suit la loi biomiale de paramètres et p. La loi géométrique de paramètre p ]0,1[ est la loi (otée G(p)) d ue variable aléatoire X à valeurs das N telle que pour tout k N, P(X = k) = (1 p) k 1 p. O iterprète X comme l istat où l o obtiet pile pour la première fois das ue suite de lacers idépedats de la pièce précédete. Ceci résulte de la propositio suivate. Propositio Soit p ]0,1[. Si X 1,X 2,... est ue suite de variables aléatoires idépedates, de loi B(p), alors la variable aléatoire N = mi{ 1 X = 1} suit la loi géométrique de paramètre p. La loi de Poisso de paramètre λ ]0, + [ est la loi (otée P(λ)) d ue variable aléatoire X à valeurs das N telle que λ λk pour tout k N, P(X = k) = e k!. O iterprète X comme u ombre d évéemets «rares» qui se produiset parmi ue «logue» suite de tirages idépedats. U éocé plus précis est le suivat. Propositio Soit (p ) 1 ue suite de réels das [0,1] telle que p de paramètres et p, alors P(S = k) λ > 0. Si, pour tout, S suit la loi biomiale λ λk e k!. 21

22 Lois cotiues La loi uiforme sur [a,b] (où a < b) est la loi (otée U([a,b])) de desité x 1 b a 1 [a,b](x). E gééral, si A B(R d ) avec λ d (A) > 0, la loi uiforme sur A est la loi sur R d (otée U(A)) de desité x 1 λ d (A) 1 A(x). La loi expoetielle de paramètre sur λ ]0, + [ est la loi (otée E(λ)) de desité x λe λx 1 R+ (x). Cette loi peut se voir comme ue extesio de la loi géométrique au cas cotiu (quad o aura la défiitio appropriée, o pourra dire que c est la limite de la loi de 1 N( λ ) quad, où N(p) suit la loi G(p)), et s utilise de même pour modéliser des temps d attete, pour des phéomèes «sas vieillissemet» : Propositio Soit X ue variable aléatoire à valeurs das ]0, + [. Les propriétés suivates sot équivaletes : (i) il existe λ > 0 tel que X suit la loi E(λ) ; (ii) la loi de X est «sas mémoire» : pour tous s,t > 0, P(X > s + t) = P(X > s)p(x > t). La propriété (ii) s écrit aussi P(X > s + t X > s) = P(X > t), ce qui s iterprète aisi : avoir déjà attedu u temps s e reseige pas sur le temps qu il reste à attedre. La loi ormale (ou gaussiee) de moyee m R et de variace σ 2 ]0, + [ est la loi (otée N (m,σ 2 )) de desité x : 1 (x m)2 e 2σ 2. 2πσ 2 L appellatio est justifiée e vérifiat que m est la moyee et σ 2 la variace de cette loi. La loi N (0,1), appelée loi ormale stadard, a doc pour desité x 1 2π e x2 2. Cette loi peut se voir comme ue limite de la loi biomiale : ce sera la limite de la loi de 1 (2S ) quad, si S suit la loi B(, 1 2 ). Elle apparaît doc comme la loi approximative de la différece (ormalisée) etre le ombre de piles et de faces sur u grad ombre de tirages d ue pièce équilibrée. De faço beaucoup plus géérale, le rôle fodametal de la loi ormale viedra du Théorème Cetral Limite. Complémet d itégratio : Support d ue mesure sur R d Défiitio Soit µ ue mesure sur (R d,b(r d )). Le support de µ est l esemble Supp(µ) = {x R d ε > 0, µ ( B(x,ε) ) > 0}. O vérifie facilemet que l o a aussi ( Supp(µ) ) c = O ouvert, µ(o)=0 ce qui motre que le support de µ est u fermé. Par desité des ratioels, o peut aussi restreidre la réuio précédete à l esemble déombrable des boules B(x,r) où x Q d, r Q ]0, + [ et telles que µ(b(x,r)) = 0, d où il résulte par sous-additivité que Supp(µ) est µ-égligeable. Le support de µ est doc le plus petit fermé dot le complémetaire est µ-égligeable : c est le plus petit fermé qui «porte toute la masse» de µ. Si X est ue variable aléatoire, le support de X, oté Supp(X), est le support de sa loi. C est doc le plus petit fermé F tel que X F p.s.. Ituitivemet, c est le plus petit fermé où «vit» la variable X. O, 22