collection Programme me 2011 livre du professeur

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1 collectio Programme me 0 livre du professeur re S

2 collectio Programme 0 Première S Sous la directio de Marie-Hélèe Le Yaouaq Yves Alvez Élisabeth Beauvoit Daiel Guillemet Georges Saliba Lucie Tadeusz livre du professeur

3 Couverture : Cotours Mise e pages, schémas et photogravure : STDI Suivi éditorial : Malik Agia «Le photocopillage, c est l usage abusif et collectif de la photocopie sas autorisatio des auteurs et des éditeurs. Largemet répadu das les établissemets d eseigemet, le photocopillage meace l aveir du livre, car il met e dager so équilibre écoomique. Il prive les auteurs d ue juste rémuératio. E dehors de l usage privé du copiste, toute reproductio totale ou partielle de cet ouvrage est iterdite.» «La loi du mars 97 autorisat, au terme des aliéas et de l article, d ue part, que les copies ou reproductios strictemet réservées à l usage privé du copiste et o destiées à ue utilisatio collective» et, d autre part, que les aalyses et les courtes citatios das u but d exemple et d illustratio, «toute représetatio ou reproductio itégrale, ou partielle, faite sas le cosetemet de l auteur ou de ses ayats droit ou ayats cause, est illicite.» (aliéa er de l article 0) «Cette représetatio ou reproductio, par quelque procédé que ce soit, costituerait doc ue cotrefaço sactioée par les articles et suivats du Code péal.». Les Éditios Didier, Paris 0 ISBN Imprimé e Frace

4 Sommaire Programme Partie I. Aalyse Chapitre. Secod degré Chapitre. Étude de foctios Chapitre. Dérivatio Chapitre. Ses de variatio d ue foctio Chapitre. Notio de suite umérique Chapitre. Comportemet d ue suite Partie II. Statistiques et probabilités Chapitre 7. Statistique descriptive Chapitre 8. Probabilités Chapitre 9. Loi biomale. Échatilloage Partie III. Géométrie Chapitre 0. Vecteurs et droites du pla Chapitre. Trigoométrie Chapitre. Produit scalaire

5 Bulleti officiel spécial 9 Programme du 0 septembre 00 Mathématiques Classe de première Cycle termial de la série scietifique L eseigemet des mathématiques au collège et au lycée a pour but de doer à chaque élève la culture mathématique idispesable pour sa vie de citoye et les bases écessaires à so projet de poursuite d études. Le cycle termial de la série S procure u bagage mathématique solide aux élèves désireux de s egager das des études supérieures scietifiques, e les format à la pratique d ue démarche scietifique et e reforçat leur goût pour des activités de recherche. L appretissage des mathématiques cultive des compéteces qui facilitet ue formatio tout au log de la vie et aidet à mieux appréheder ue société e évolutio. Au-delà du cadre scolaire, il s iscrit das ue perspective de formatio de l idividu. Objectif gééral Outre l apport de ouvelles coaissaces, le programme vise le développemet des compéteces suivates : mettre e œuvre ue recherche de faço autoome ; meer des raisoemets ; avoir ue attitude critique vis-à-vis des résultats obteus ; commuiquer à l écrit et à l oral. Raisoemet et lagage mathématiques Comme e classe de secode, les capacités d argumetatio, de rédactio d ue démostratio et de logique fot partie itégrate des exigeces du cycle termial. Les cocepts et méthodes relevat de la logique mathématique e fot pas l objet de cours spécifiques mais preet aturellemet leur place das tous les champs du programme. Il importe toutefois de prévoir des momets d istitutioalisatio de certais cocepts ou types de raisoemet, après que ceux-ci ot été recotrés plusieurs fois e situatio. De même, le vocabulaire et les otatios mathématiques e sot pas fixés d emblée, mais sot itroduits au cours du traitemet d ue questio e foctio de leur utilité. Il coviet de prévoir des temps de sythèse, l objectif état que ces élémets soiet maîtrisés e fi de cycle termial. Utilisatio d outils logiciels L utilisatio de logiciels, d outils de visualisatio et de simulatio, de calcul (formel ou scietifique) et de programmatio chage profodémet la ature de l eseigemet e favorisat ue démarche d ivestigatio. E particulier, lors de la résolutio de problèmes, l utilisatio de logiciels de calcul formel peut limiter le temps cosacré à des calculs très techiques afi de se cocetrer sur la mise e place de raisoemets. L utilisatio de ces outils iterviet selo trois modalités : par le professeur, e classe, avec u dispositif de visualisatio collective ; par les élèves, sous forme de travaux pratiques de mathématiques ; das le cadre du travail persoel des élèves hors de la classe.

6 Diversité de l activité de l élève Les activités proposées e classe et hors du temps scolaire preet appui sur la résolutio de problèmes puremet mathématiques ou issus d autres disciplies. De ature diverse, elles doivet etraîer les élèves à : chercher, expérimeter, modéliser, e particulier à l aide d outils logiciels ; choisir et appliquer des techiques de calcul ; mettre e œuvre des algorithmes ; raisoer, démotrer, trouver des résultats partiels et les mettre e perspective ; expliquer oralemet ue démarche, commuiquer u résultat par oral ou par écrit. Des élémets d épistémologie et d histoire des mathématiques s isèret aturellemet das la mise e œuvre du programme. Coaître le om de quelques mathématicies célèbres, la période à laquelle ils ot vécu et leur cotributio fait partie itégrate du bagage culturel de tout élève ayat ue formatio scietifique. La présetatio de textes historiques aide à compredre la geèse et l évolutio de certais cocepts. Fréquets, de logueur raisoable et de ature variée, les travaux hors du temps scolaire cotribuet à la formatio des élèves et sot absolumet essetiels à leur progressio. Ils sot coçus de faço à predre e compte la diversité et l hétérogééité de leurs aptitudes. Les modes d évaluatio preet égalemet des formes variées, e phase avec les objectifs poursuivis. E particulier, l aptitude à mobiliser l outil iformatique das le cadre de la résolutio de problèmes est à évaluer. Orgaisatio du programme Le programme fixe les objectifs à atteidre e termes de capacités. Il est coçu pour favoriser ue acquisitio progressive des otios et leur péreisatio. So pla idique pas la progressio à suivre. Les capacités attedues das le domaie de l algorithmique, d ue part, et du raisoemet, d autre part, sot rappelées e fi de programme. Elles doivet être exercées à l itérieur de chaque champ du programme. Plusieurs démostratios, ayat valeur de modèle, sot repérées par le symbole. Certaies sot exigibles et correspodet à des capacités attedues. De même, les activités de type algorithmique sot sigalées par le symbole.. Aalyse Le programme s iscrit, comme celui de la classe de secode, das le cadre de la résolutio de problèmes. Les situatios proposées répodet à des problématiques clairemet idetifiées d origie puremet mathématique ou e lie avec d autres disciplies. U des objectifs de ce programme est de doter les élèves d outils mathématiques permettat de traiter des problèmes relevat de la modélisatio de phéomèes cotius ou discrets. Aisi, o cosolide l esemble des foctios mobilisables, erichi de deux ouvelles foctios de référece, les foctios racie carrée et valeur absolue. O itroduit u ouvel outil : la dérivatio. L acquisitio du cocept de dérivée est u poit fodametal du programme de première. Les foctios étudiées sot toutes régulières et o se cotete d ue approche ituitive de la otio de limite fiie e u poit. Le calcul de dérivées das des cas simples est u attedu du programme ; das le cas de situatios plus complexes, o sollicite les logiciels de calcul formel. L étude de phéomèes discrets fourit u moye d itroduire les suites et leur géératio e s appuyat sur des registres différets (algébrique, graphique, umérique, géométrique) et e faisat largemet appel à des logiciels. Les iterrogatios sur leur comportemet amèet à ue première approche de la otio de limite qui sera développée e classe de termiale. L étude des suites se prête tout particulièremet à la mise e place d activités algorithmiques. Mathématiques. Classe de première S

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8 . Géométrie L objectif est de reforcer la capacité des élèves à étudier des problèmes dot la résolutio repose sur des calculs de distaces et d agles, la démostratio d aligemet, de parallélisme ou d orthogoalité. L outil ouveau est le produit scalaire, dot il importe que les élèves sachet choisir la forme la mieux adaptée au problème evisagé. L itroductio de cette otio implique u travail sur le calcul vectoriel o repéré et la trigoométrie. La géométrie das l espace est source de situatios permettat de mettre e œuvre de ouveaux outils de l aalyse ou de la géométrie plae, otammet das des problèmes d optimisatio. Mathématiques. Classe de première S 7

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10 . Statistiques et probabilités L étude et la comparaiso de séries statistiques meées e classe de secode se poursuivet avec la mise e place de ouveaux outils das l aalyse de doées. L objectif est de faire réfléchir les élèves sur des doées réelles, riches et variées (issues, par exemple, de fichiers mis à dispositio par l INSEE). La otio de loi de probabilité d ue variable aléatoire permet de modéliser des situatios aléatoires, d e proposer u traitemet probabiliste et de justifier certais faits observés expérimetalemet e classe de secode. L utilisatio des arbres podérés est développée pour modéliser la répétitio d expérieces idetiques et idépedates. Elle est restreite à ce cadre afi d éviter toute cofusio avec des situatios relevat des probabilités coditioelles. Das le cas particulier d expérieces idetiques et idépedates à deux issues, o itroduit la loi biomiale. E s appuyat sur cette loi, o poursuit la formatio des élèves das le domaie de l échatilloage. Mathématiques. Classe de première S 9

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12 Algorithmique E secode, les élèves ot coçu et mis e œuvre quelques algorithmes. Cette formatio se poursuit tout au log du cycle termial. Das le cadre de cette activité algorithmique, les élèves sot etraîés à : décrire certais algorithmes e lagage aturel ou das u lagage symbolique ; e réaliser quelques-us à l aide d u tableur ou d u programme sur calculatrice ou avec u logiciel adapté ; iterpréter des algorithmes plus complexes. Aucu lagage, aucu logiciel est imposé. L algorithmique a ue place aturelle das tous les champs des mathématiques et les problèmes posés doivet être e relatio avec les autres parties du programme (aalyse, géométrie, statistiques et probabilités, logique), mais aussi avec les autres disciplies ou le traitemet de problèmes cocrets. À l occasio de l écriture d algorithmes et programmes, il coviet de doer aux élèves de boes habitudes de rigueur et de les etraîer aux pratiques systématiques de vérificatio et de cotrôle. Notatios et raisoemet mathématiques Cette rubrique, cosacrée à l appretissage des otatios mathématiques et à la logique, e doit pas faire l objet de séaces de cours spécifiques, mais doit être répartie sur toute l aée scolaire. E complémet des objectifs rappelés ci-dessous, u travail sur la otio d équivalece doit aturellemet être meé e série scietifique (propriété caractéristique, raisoemet par équivalece). Mathématiques. Classe de première S

13 Secod degré Pour repredre cotact Les réposes exactes sot : Foctio du secod degré. a. Parabole b. ( ; ) c. Solutios de f(x) = : et. Esemble des solutios de f(x) : ] ; ] [ ; + [. d. f(x) est strictemet positive sur ] ; 0[, ulle e et 0 ; strictemet égative sur ] ; [ ]0 ; + [.. x + f(x) Développer, factoriser a. (x + ) = 9x + x + b. x + x + 9 = (x + ) c. x 8x + = (x ) d. x + x + 9 = (x ) Choisir la boe forme. Forme : g admet 8 pour miimum ; il est atteit e.. Forme : les solutios sot 7 et.. Forme : g(x) = x (x + 8) = 0. Les solutios sot 0 et 8.. Forme : g(x) = (x + ) =. Les solutios sot et 0. Avec les tableaux de siges x + sige de x sige de x sige du produit (x )( x) 0 + 0

14 Activité. Où se trouve le sommet?. Les solutios sot 0 et.. Axe de symétrie : x =,. Le sommet S a pour abscisse, et pour ordoée f(,) =,.. O résout f(x) = c. Les solutios sot 0 et b a. b 0 - Le sommet a pour abscisse x S = a - ba. Pour aller plus loi f(x S ) + b a b b b c a ˆ a - c soit f(0). a a Si a > 0, f(0) > f(x S ) doc c est u miimum que f admet e x S Si a < 0, f(0) < f(x s ) doc c est u maximum que f admet e x S. Activité. Forme caoique et équatio f(x) = 0 A.. a. g() = et pour tout x, g(x). Doc g admet u miimum e. b. S ( ; ) b. a. x S = - a et y S = f -. b. O cojecture que a, b -. O prouve cette cojecture par u développemet : x - - x 9 - x - x - x f( x). c. f(x) = 0 x - x ou x. B.. a. h(x) = (x x) + 7 b. x x + 9 = (x ) d où x x = (x ) 9. c. h(x) = [(x ) 9] + 7 = (x ) 9 9 d. h(x) = 0 x -. Les solutios sot 9 et.. a. k(x) = 0 x - 0 x - ou x. ˆ b. k(x) = 0 x x ou - -. c. k(x) = 0 x - 0 x. Activité. Le discrimiat. x S = - b a doc y S = a b b b ˆ c c a - -. a a. y S = - b ac D - a a. Cas : y S < 0 et a > 0 doc Δ > 0. Cas : y S > 0 et a > 0 doc Δ < 0. Cas : y S = 0 et a > 0 doc Δ = 0. Cas : y S < 0 et a < 0 doc Δ < 0. Cas : y S = 0 et a < 0 doc Δ = 0. Cas : y S > 0 et a < 0 doc Δ > 0. Chapitre. Secod degré

15 . Cojecture : Si Δ > 0, l équatio a deux solutios ; si Δ = 0, l équatio a ue uique solutio ; si Δ < 0, l équatio a pas de solutio. Discrimier : distiguer, différecier (du lati discrimiare : séparer, diviser). Le sige de Δ permet doc de distiguer les différets cas pour la résolutio de l équatio f(x) = 0 d où le om de discrimiat. Activité. Le sige du triôme de degré. a. À l aide de la représetatio graphique par exemple, o peut cojecturer que : f(x) > 0 pour x < ou pour x > ; f(x) = 0 pour x = ou pour x = ; f(x) < 0 pour x apparteat à ] ; [. b. f(x) = (x ) = (x )(x ) c. Tableau de siges : x + sige de x 0 + sige de x sige du produit (x )(x ) a. Cas : a > 0 et f(x) est d abord positive, esuite égative, puis positive. Cas : a > 0 et f(x) est strictemet positive pour tout x réel Cas : a > 0 et f(x) est positive ou ulle pour tout x réel. Cas : a < 0 et f(x) est strictemet égative pour tout réel x. Cas : a < 0 et f(x) est égative ou ulle pour tout réel x. Cas : a > 0 et f(x) est d abord égative, puis positive, puis égative. b. Si D0, c est-à-dire das les cas et, o remarque que f(x) a même sige que a pour tout réel x. Si Δ > 0, f(x) est d abord du sige de a, puis du sige cotraire à celui de a, puis à ouveau du sige de a. TP. Algorithmes. Par les deux programmes, o obtiet : pour ; pour ; 7 pour 7.. Le programme A appliqué à x doe (x + )x. Le programme B appliqué à x doe x -. Des argumets umériques, algébriques ou graphiques sot mobilisables par les élèves et pourrot être cofrotés. L affirmatio de Jea-Paul est fausse : (x + )x = x + x. Le miimum est atteit e - - ; ce miimum est L affirmatio de Louis est juste. Pour aller plus loi : ces deux programmes sot-ils équivalets? La répose est oui car, pour tout réel x, x 0 - x x x x TP. Tout est mélagé! O repère déjà la courbe représetat chaque foctio. Plusieurs raisoemets pourrot être cofrotés. Par exemple : Figure b pour (seule courbe pour a > 0). Figure a pour : l abscisse de so sommet est positive. Figure c pour par élimiatio. O détermie les poits d itersectio de chaque courbe : avec l axe des abscisses, A et B, et avec l axe des ordoées, C. O détermie aisi les graduatios (o pourra utiliser le milieu de [AB] pour les figures a et c).

16 A B C Abscisse du sommet Figure a ( ; 0) ( + ; 0) (0 ; ) Figure b ( ; 0) ( ; 0) (0 ; 8) 0, Figure c ( ; 0) ( + ; 0) (0 ; ) TP. U acie algorithme. La solutio obteue est. Vérificatio : + 0 = 9.. x 0 x x x x x x x x La partie colorée e vert (ici grisée) a pour aire x + x + x = x + 0x soit 9. Le grad carré a doc pour aire 9 + =. So côté est doc 8, et par suite x = 8 =.. De même avec ue figure o obtiet u grad carré d aire x + 8x + soit 8 + = 00. O obtiet doc x = 0 =.. a. O obtiet comme aire du grad carré x + ax + a a b a b. b a Doc so côté est b a a d où x = -. b. x + ax = b x + ax b = 0. Da a a b b 0 doc l équatio a deux solutios : x - et x = - a - a b. c. O remarque que la méthode d Al-Khwārizmī doe celle des deux solutios qui est positive. Les problèmes à résoudre étaiet des problèmes cocrets dot les solutios étaiet par ature des ombres positifs (logueur, aire, somme d arget par exemple). Les ombres égatifs e furet utilisés que plus tard, comme itermédiaires de calculs et miret très logtemps à être cosidérés comme des ombres à part etière. TP. Problème d aire x x. x [0 ; ] et (x) = x - x.. x 0 (x) 0 8. a. Il semble y avoir ue solutio de (x) = 9 etre,7 et,8 mais o e trouve pas de valeur exacte à la calculatrice. b. (x) = pour x =.. Par le calcul : x a. - x = 9 a pour solutios - et. La seule solutio das [0 ; ] est - ª, 77 à 0 près. x b. - x = a pour solutios et 8. Seule est solutio de (x) =.. (x) > (x) > 9 - x ( ). La foctio état strictemet croissate sur [0 ; ], o e déduit que l aire du triagle CMM est supérieur au quart de l aire du carré pour - < x. Chapitre. Secod degré

17 TP. Cordes de paraboles Partie A : voir fichier sur le site Partie B. a. (SC) : y x ; (AB) : y x. b. B appartiet à (AB) et à doc so abscisse est solutio de x x ou ecore x x = 0. Les solutios sot et. O retrouve le poit A d abscisse et doc B a pour abscisse. c. Le milieu de [AB] a pour abscisse =. Le milieu de [SC] a pour abscisse 0. Doc le milieu de [AB] a même abscisse que celui de [SC] et appartiet à la droite d équatio x =.. a. (AB) : y = a x - a. Doc l abscisse de B est solutio de x = a x - a ou ecore x x + a a = 0. b. x x +a a = 0 x - - a- a 0 x - a-. Les solutios sot doc a et a +. Doc B a pour abscisse a +. Le milieu de [AB] a pour abscisse a a. Il appartiet doc à la droite d équatio x =. Pour aller plus loi (AB) : y = mx ma + a. L abscisse de B est solutio de x mx + ma a = 0 soit (x m) = (a m). L abscisse de B est a + m doc celle du milieu de [AB] est m. Le milieu de [AB] appartiet à la droite d équatio x = m. TP. Costructio à la règle Ue équatio de (PB) est y = ax + b + c. Doc Q a pour coordoées (a ; aa b c) et R (; aa b c). Ue équatio de (CR) est alors y = (aa b) x c. Doc M [a; aa ba c] soit M a ; aa ba c. Quad a décrit R, M décrit la parabole d équatio y = ax + bx + c. TP7. Étudier l évolutio d ue populatio.. f(x) x 0 0, 0,7 f(x) 0 0. O lit graphiquemet : Le ombre de coccielles e 0 est f(0,) soit eviro 0, cetaies, c est-à-dire coccielles. E 0, il y aurait f(0,) soit eviro 0, cetaies, c est-à-dire coccielles. Par le calcul : f(0,) = 0, et f(0,) = 0, O cherche x tel que f(x) = x, soit x ª 0,. Par le calcul : f(x) = x x(,8x +,8) = La populatio reste stable si elle est soit de 0 coccielles soit de 8, 0, 87 cetaies de 8, coccielles soit coccielles. f(x) x + 0,,8x +,8 x 0, 0.,8x +,8x 0, a pour discrimiat Δ = et pour racies 0, et 0, eviro. O doit doc avoir etre et 0 coccielles pour e avoir au mois 0 de plus l aée suivate. x

18 Exercices SANS CRAYON, SANS CALCULATRICE Oui 7-7ˆ No Figure b 7 Figure a 8 D7 9 Pas de solutio. 0 Oui (x ) 9 (x )(x + ) = x + x ENTRAÎNEMENT a. Oui b. No c. Oui d. Oui a. Oui b. Oui c. Oui d. No a. S ( ; ) b. S ( ; 9) c. S (0 ; ) d. S ; a. x = 0 b. x =, c. x = 0 7 a. Sommet S ( ; ) b. Sommet S ; y 0 x c. Sommet S ; y y 0 x d. Sommet S 0 x y ; 0 x 8 a. Sommet S( ; ) b. Sommet S ; 9 y 0 x y 0 x c. Sommet S ( ; ) d. Sommet S ; 9 y 0 x 0 x 9 a. P est «tourée vers le bas» et S a pour coordoées ( ; ). b. P est tourée vers le haut et S a pour coordoées ( ; ). y 0. Sommet S de 0 coordoées ( ; 0).. Deux solutios g(x) = x + x 9. Parabole «tourée vers le haut», de sommet S ( ; ).. P (0 ; g(0)) soit P (0 ; 9).. g(x) = 0 x = ou x =. y 0 x 7 Chapitre. Secod degré 7

19 Les poits d itersectio avec l axe des abscisses sot A ( ; 0) et B ( ; 0). y 0 x a. O trouve deux solutios : et. C a pour abscisse 9 f - 8. a. f admet u miimum e 0. b. f admet u maximum e c. f admet u maximum e. a. x + f(x) b. 0 x + f(x) c ; so ordoée est x + f(x) 9 b. f(x) = g(x) x - x - 0 soit x x = 0. Or (x + )(x ) = x x. Doc f(x) = g(x) x x - 0. c. Les solutios sot et.. P 0 : y = x. P : y = x x + et P : y = x x +. d. x 0 + f(x) 7. x f(x) +. f() =. Les solutios sot et so symétrique par rapport à, soit.. y. Soit A ( ; 8). Pour tout réel m, x A m x A + m = 8 m + m = 8 = y A Doc A appartiet à P m pour tout m.. Figure c.. A ( ; 0); B 0 ; ; D ; 0. 0 x. L esemble des solutios est [ ; ]. 8

20 8. Sur o a le tableau : x + f(x) 0. f( ) = 8 et f() = 8. D après les variatios, le miimum de f sur I est 0 et le maximum 8.. a. x = d après la questio. b. O cojecture graphiquemet que : f() = 7 et f( ) = 7. O le vérifie par le calcul. D après le ses de variatio de f, il y a pas d autres solutios. c. D après le ses de variatio de f, l esemble des solutios est ] ; [. d. L esemble des solutios est I puisque : f(x) 0 > 0 pour tout réel x. 9 O détermie le sige du coefficiet de x aisi que l abscisse du sommet (soit par la formule b a soit comme milieu des racies). Il est possible que f(x) = (x )(x ) ; g(x) = (7 x)( x) ; h(x) = x + x. b 0 c = f(0) = ; a < 0 ; b > 0 (car 0). a - a. (x + ) 0 b. x c. (x ) 9 + d. x -. a. (x + ) + b. (t + ) c. 9(x + ) 7 8 d. x 8 7. f(x) = x - 7. f(x) = 0 x - c est-à-dire x Les solutios sot 7 et ou. f(x) = x -. f(x) = x - - x - soit f(x) = (x )(x ).. À l aide d u tableau de siges, o obtiet l esemble des solutios de l iéquatio f(x) > 0 : ] ; [ ] ; + [. a. et. b. et. c. - et. d. et. 7 a. ( ; 0) et ( ; 0). b. Pas d itersectio. c. (- ; 0 ) et ( ; 0 ). d. (0 ; 0) et ( ; 0). 8. Les équatios doées e a., c., d., e., f., g.. a. x(x + ) = 0 ; les solutios sot 0 et. b. D0 ; pas de solutio. c. x = - ; pas de solutio. d. (x + ) = 0 ; seule solutio :. e. x = ; deux solutios : et. f. Deux solutios : et. g. x(x ) = 0 ; deux solutios : 0 et. h. D d où D 8 Il y a deux solutios : et a. Solutios : 0 et. b. Solutios : et. c. Solutios : et. d. Solutios : et x + x + = x + (x + ) = 0 Ue seule solutio :.. Sur ue feêtre stadard, o e peut voir qu ue seule solutio, proche de 0,. Le meu de recherche d itersectio de la calculatrice fourit deux solutios : a. D0 ; x =, solutio uique. b. D ; pas de solutio. c. D8 ; x = et x -. d. D 7 ; pas de solutio. Chapitre. Secod degré 9

21 . x x = x + x a pour solutios : x = -- ª, et x = - ª 0,.. Le triôme est ax + bx + c. E lagage aturel : Demader a, b, c Calculer d = b ac Afficher d. E lagage formalisé : VARIABLES : a, b, c, d ombres ENTRÉES : Saisir a, b, c TRAITEMENT : d pred la valeur b ac SORTIE : Afficher d. E lagage aturel : Demader a, b, c Calculer d = b ac Si d < 0, afficher «pas de racies» Si d = 0, afficher «ue racie : - b a Si d > 0, afficher «deux racies : - b - a E lagage formalisé : d et - b- a VARIABLES : a, b, c, d, r, r ombres ENTRÉES : Saisir a, b, c TRAITEMENT : d pred la valeur b ac Si d = 0 Alors r pred la valeur b a FiSi Si d > 0 Alors r pred la valeur b - d a r pred la valeur b d a FiSi SORTIE : Si d < 0 Alors Afficher «pas de racie» FiSi Si d = 0 Alors Afficher «ue racie :», r FiSi Si d > 0 Alors Afficher «deux racies :», r, «et», r FiSi Voir sur le site a. (x )(x + ) b. (x )(x + ) c. et d. Pas de factorisatio. - a. x - - ( x ) b. (x )(x + ) c. (x + )(x + ) d. x. P(x) = x(x + ) (x - 9 ) d. Solutios : 0 ; ; La courbe semble être ue droite.. x + x + = (x )(x + ). f(x) = x + mais ceci est valable que pour les réels x différets de. La courbe représetat la foctio f est doc la droite d équatio y = x +, privée de so poit d abscisse. 8 a. x + Sige de x + x + 7 b. Soit x = - et x = +. x x x + sige de x x + 9 c. x sige de x x d. x + sige de x + x a. x > 0 sur ] ; [ ] ; + [ et x 0 sur [ ; ]. b. x 8 > 0 sur ] ; [ ] ; + [ et x 8 0 sur [ ; ]. c. (x )(x + ) > 0 sur ] ; [ ] ; + [ et (x )(x + ) 0 sur [ ; ]. d. x + x + 0 < 0 sur ] ; [ ] ; + [ et x + x sur [ ; ]. 0 a. x < 0 x < x Œ] ; [. b. x < 0 < x x Œ] ; [ ] ; [. c. x + x 0 x Œ[- ; 0]. 0

22 d. O peut résoudre cette iéquatio à l aide des courbes de référece d équatio y = x et y = ou par le x calcul : x x x x < 0 x - 0. x x 0 + sige de x sige de x sige de x x L esemble des solutios est ] ; [ ]0 ; [. Les esembles de solutios sot : a. ] ; 8[ ] ; + [ b. ]-- 0 ;- 0[ c. ] ; - [ ]0 ; + [ x - x d. x - x x Par u tableau de sige o trouve comme esemble de solutios : ] ; 0[ È ; ÎÍ.. b. Il suffit de trouver a, b, c tels que : a Ô b- a Ì Ôc - b - ÓÔ - c soit a =, b = et c =. c. g(x) = (x )(x + x ). x + x a pour racies x = et x = - ª 0, 87. Par u tableau de siges : x x x + Sige de x 0 + Sige de x + x Sige de g( x) x - 8x x -. f x 8 x x Pour x >0, f(x) 8 0 doc f(x) 8.. De plus, f() = 8, doc 8 est le miimum de f sur ]0 ; + [. 7 O peut predre par exemple les poits suivats : Soit (x) l aire de DNEMG, e cm. EMB est rectagle isocèle e M doc BM = EM = NC = x. D où : (x) = - x- x- x (x) = x 8x + 0 (x) > x - 8 x 0. L esemble des solutios est [0 ; ].. Esemble des solutios : 7 ; - È Î - ; È». ÎÍ. f est au-dessus de g sur 7 ; - È et sur - È ÎÍ ; ÎÍ ; f est e dessous de g sur 7 - ;- È. ÎÍ. x + x+ 0 pour tout x réel (D ).. Pour tout réel x, x + x+ > 0 doc f(x) < x < (x + x + ) f(x) < -x -x Le triôme x x 0 a pas de racies (D - ) doc est égatif pour tout réel x. Par coséquet f(x) < pour tout réel x. f(x) > x x x f(x) > 0 x x 0 ce qui est vrai pour tout réel x.. O peut predre ymi = et ymax =. O cherche la parabole passat par A, B et C : O pourra predre comme équatio de courbe : y =,9x + 9,x pour 0 x 9, ª 9,. 9, O etrera doc das GeoGebra : O détermie de même l arc suivat : Chapitre. Secod degré

23 . Voir fichiers sur le site 8 Soit B(q) le bééfice pour ue quatité q produite, e euros. B(q) = q C(q) = 0,0 q + q 000 B(q) a pour racies q ª 8, 7 et q ª 88,7. B(q) 0 si et seulemet si q Œ [87 ; 88]. 9 a. Pour x =,88 o a y ª 9, doc la balle passe au-dessus du filet. O cherche à quelle distace du filet elle touche le sol. L équatio y = 0 a ue seule solutio positive : x ª 9,8. Or S B =,88 +, = 8,8 m. Comme x > S B, la balle sort du carré de service. b. Pour x =,8 o a y ª 0,97 doc la balle passe audessus du filet. L équatio y = 0 a ue seule solutio positive : x ª 7,9. La balle arrive bie das le carré de service. 0. ta a = ED EC. gpnd = a doc DP = PN et PN = (AD h) = h.. (h) = h + h pour h Œ ; 7.. (h) h + h 0 h Œ ;.. h, 7 (h), L aire maximale est, m. O doit avoir x 0 et x 0. Doc x Œ È 0 ; 0. ÎÍ L aire C(x) colorée est alors C(x) = x + 0x. O cherche à avoir C(x) iférieure à la moitié de l aire du carré c est-à-dire C(x) 0. x È x 0 0 x ŒÍ ; Î 0-0 ª, et ª, 9. Doc C(x) 0 Œ È Î Í x ;.. T =. Voir sur le site a. f() = ; f() = ; f() =. a, b, c doivet doc vérifier les équatios suivates : a b c Ô Ìa b c Ó Ô9a b c b. f x x x c. Voir sur le site d. O cojecture T = mais ce est qu ue cojecture.. E assemblat deux ombres triagulaires T o obtiet u rectagle de dimesios et +. Doc T = ( + ) et T =. Soit le ombre de persoes, > soit, e simplifiat, - = -. - O résout doc 9 = 0 dot les solutios sot 8 et. O a doc =.. a. MN OM x AB OA d où MN = AB x x b. Das le pla (AOC), MQ AM - x OC AO d où MQ = x.. (x) = x( - x). x 0 (x) 0 L aire maximale est cm.. (a, b, c) = (,, ). O obtiet esuite (,, ) puis (, 7, ) ; (, 9, ) ; (,, ) ; (,, 8).. a. O recopie esuite vers le bas les formules etrées e lige. b. Voir sur le site c. Ils semblet apparteir à ue parabole.. a. Des essais sur le tableau motret que les poits placés semblet apparteir à la parabole C d équatio y = x. b. U triplet (, b, b ) a pour successeur (, + b, + b + b ) soit (, + b, ( + b) ) doc il est aussi de la même forme (, b, b ). c. Le premier triplet doe le poit P (b, b ) qui appartiet bie à C. Le secod triplet est ecore de la 0.

24 même forme doc le poit P associé appartiet à C, et aisi de suite jusqu au 0 e poit. Pour aller plus loi a. Il suffit de poser k = c b. b. Le triplet suivat (, b, b + k) est (, + b, + b + b + k) = (, + b, ( + b) + k) doc il est de la même forme. De faço géérale, les 0 poits placés appartieet doc à la courbe d équatio y = x + k soit y = x + c b.. Vrai car b ac 0. Faux. Cotre exemple : x x + a deux racies et a et c sot de même sige. 7 a. Vrai. Sio le triôme s aulerait ou même chagerait de sige. Faux ; le triôme e chage pas de sige mais il peut être toujours positif comme x a + b + c = 0. De multiples solutios avec somme ou produit des racies. O peut aussi utiliser la questio : ax + bx + c = ax + bx a b = a(x ) + b(x ) = (x )[a(x + ) + b]. b c Doc l autre racie est x = - - a a. 9 Das le triagle ABC, rectagle e B, l hypotéuse [AC] est le plus grad côté doc AC > AB et A est extérieur au cercle de cetre C et de rayo CB. Aisi u des poits d itersectio appartiet bie à [AC] et l autre pas. Doc AD = AC p = q p p - et AE = AC + p = q p p. Or l équatio x px q = 0 a pour solutio p p q p p q et p p q. Les solutios de l équatio sot doc AE et AD. Ue autre solutio, géométrique est étudiée au chapitre,tp, page. 70 est effectivemet ue solutio. Travail persoel Pour les exercices 7 à 9 : voir corrigés e fi du mauel. APPROFONDISSEMENT 9 a. x + x + > 0 pour tout réel x. x x < 0 x Œ] - ; [. L esemble des solutios est ] ; [. b. O utilise u tableau de siges x, + Sige de x x Sige de x Sige de -x - x 0 x L esemble des solutios est ] ; ] ] ;,] 97 a. X X + 7 = 0 a pour solutios X = et X = 9. Les solutios de l équatio x x + 7 = 0 sot doc, -, et. b. X +X = 0 a pour solutios X = et X =. Les solutios de l équatio x + x = 0 sot et. 98. Les solutios sot et.. O pose X = pour x. x - O a doc X = ou d où x = ou. 99. idivis() revoie la liste des diviseurs positifs de.. a. Voir sur le site x + x + = xx 0. Les solutios sot 0 et. x x + = xx- 0. Les solutios sot 0 et = ( + )( + + ) avec + et + + etiers différets de si >. Doc aucu + + est premier pour tout >. Pour =, + + = qui est bie u ombre premier. 00. La distace du poit A à la droite d est : la plus petite distace etre A et u poit de d ; la distace AH où H est le poit d itersectio de d et de la perpediculaire à d passat par A.. Voir sur le site b. MF = x y - a et la distace de M à d est MH = y. c. MF = MH MF MH x y - ay a y. P a pour équatio x ay + a = 0 ou ecore y = a x a puisque a 0 du fait que F œ d. d. Par exemple pour a = : Chapitre. Secod degré

25 y F J O H x 0. Voir sur le site a. gpma = gqmb = doc gpmq = 90. b. PQ = PM + MQ avec AM = PM soit PM = x et MQ = MB - x. D où PQ = x x a. x PQ b. O e déduit que pour x Œ [0 ; ], PQ 8 d où PQ 8 car PQ est positive et la foctio carré est strictemet croissate sur [0 ; + [. c. 8. Doc, pour tout x de [0 ; ], PQ Œ È Î ;. Par suite, si l œè Î ;, il existe pas de valeur de x doc de poit M tel que l = PQ.. a. I est tel que qbai = qabi = doc I est le poit (fixe) tel que ABI est rectagle isocèle e I, situé du même côté que P et Q par rapport à [AB]. b. PMQI a quatre agles droits doc c est u rectagle et de ce fait IM = PQ = l.. a. Soit l ŒÈ Î ;. O trace le cercle de cetre I et de rayo l. La distace de I à la droite (AB) est la médiae du triagle rectagle isocèle AIB, doc est égale à AB, soit. De plus IA = IB = AB. Comme l ŒÈ Î ;, le cercle de cetre I et de rayo l coupe le segmet [AB ] e deux poits M et M (évetuellemet cofodus si l ). Les poits M et M sot tels que IM = IM = l doc les poits P, Q, P, Q associés sot tels que P Q = P Q = l. b. Pour l, : A P M I Q I M M B 0. Voir sur le site a. (BM) : y = - t x. t N(0 ; t) doc (AN) : y = - x t. t t b. L abscisse de P est solutio de - - x x t d où P a pour coordoées (t ; t ). c. t = x P doc y P x 8 P. Le poit P appartiet à la parabole d équatio y = - x. 8 d. Quad t décrit ]0 ; + [, l abscisse de P décrit ] 0 ; + [ doc P décrit ue demi-parabole. e. Pour obteir l autre demi-parabole, o trace le symétrique de la partie obteue par rapport à la droite (BJ). O obtiet aisi toute la parabole privée de so sommet B. 0 La droite d m passat par R et de coefficiet directeur m a pour équatio y = mx +. O cherche à résoudre x + x + = mx + soit x + ( m)x + 9 = 0. Le discrimiat est D-m - m - m - 7. Δ 0 m ou m 9. La droite coupe la parabole si et seulemet m ou m O peut choisir au maximum u rayo r égal à 0 cm.. a. Soit v ce volume : v = b. V(r) = 00 r - r r( 00 - r). a. r 00 r 00 - ou ecore r(00 r ) = 00 soit r + 00r 00 = 0. b. O cherche a, b, c tels que a =, b a = 0, c b = 00 et c = 00. Les ombres a =, b = 0, c = 00 covieet (o peut aussi utiliser u logiciel de calcul formel). c. O résout (r )( r 0r + 00) = 0. r = correspod à la boule de la première expériece. O l élimie doc. r 0r + 00 = 0 a pour solutios - ª-, 9 et ª 89,. Ue seule solutio coviet doc : r = -. 0 O ajoute ue logueur x > 0 à chaque côté. Le plus grad côté est alors + x. Le triagle est rectagle si et seulemet si ( + x) + ( + x) = ( + x)

26 soit x + x = 0. Il ya ue seule solutio positive -. 0 a. Faux. Exemple (x + x) + ( x ) = x. b. Vrai. 07 O cherche le miimum de x + sur ]0 ; + [. x À l aide de la courbe d équatio y = x o peut x cojecturer qu il s agit de. O étudie doc le sige de x - x x - x - pour x > 0. x x x Doc x pour tout x > 0. x De plus, pour x =, x. Doc la somme miimale x est. 08 O peut expérimeter avec GeoGebra e créat u curseur x. O doit avoir x > 0, x > 0 et x > 0 doc x >. O résout x > x, x > x, x > x pour savoir quel est le plus grad côté selo les valeurs de x. Pour x <, o a x < x < x. Le triagle est rectagle si et seulemet si (x ) = (x ) + (x ) soit x x + = 0 dot les solutios sot et 7. Or, das ce cas, x doc la seule solutio est x 7. Le triagle a pour dimesios, et Pour x =, le triagle est équilatéral de côté doc est pas rectagle. Pour x >, o a x > x > x. Le triagle est rectagle si et seulemet si (x ) = (x ) + (x ) soit x 8x + = 0 dot les solutios sot et. La seule solutio est doc. Das ce cas, le triagle a pour dimesios : ; ;. 09 O peut expérimeter avec GeoGebra. Voir site. Soit x le côté du triagle équilatéral. O doit avoir 0 < x 0. Le périmètre du triagle est plus petit que celui du carré si et seulemet si x < 0 x x. L aire du triagle est x x x et celle du carré, 0 - x. O cherche doc x tel que 0 - x x soit x x 9 x. L iéquatio (9 )x - 00 x 00 0 a pour esemble de solutios [x ; x ] où x ª 887, et x = ª, Le triagle aura jamais u périmètre plus petit que celui du carré et ue aire plus grade que celle du carré. 0 Soit x le ombre total de siges. O doit avoir ( x ) + = x avec x soit x. ( x ) + = x x x + 0 = 0. Les solutios de cette équatio sot et 0. Ils étaiet doc 0. O peut expérimeter avec GeoGebra. Soit H le milieu de [BC]. Alors (AH) est perpediculaire à (BC) car ABC est équilatéral. Comme (MN) est parallèle à (PQ), (MN) est perpediculaire à (AH). Le symétrique de M par rapport à (AH) appartiet au symétrique de [AB] soit [AC] et à la droite perpediculaire à (AH) passat par M c est-à-dire (MN). C est doc le poit N. De même, P et Q sot symétriques par rapport à (AH). Soit x = HQ. a ˆ Alors PQ = x, et NQ = CQ ta gqcn - x. L aire du rectagle est doc x a ˆ - x qui est maximale pour x = a c est-à-dire quad P et Q sot les milieux de [BH] et [CH].. P(x) = x x coviet.. = = P() P() = = P() P() = = P() P() etc. = P( + ) P() E ajoutat membre à membre et e simplifiat : = P( + ) P() = ( + ) ( + ) = est la moitié de la somme précédete doc =. Chapitre. Secod degré

27 Étude de foctios Pour repredre cotact Les réposes exactes sot : Avec les racies carrées O peut calculer 8 ; ; 0 0 ; 9. a. b. c. + d.. a a a existe pas 9 9 Avec les foctios affies a. x + f(x) 9. b. f(x) = 0 x c. E résolvat l iéquatio ou à l aide du ses de variatio, o obtiet : f(x) > 0 pour x < ; f(x) < 0 pour x >. d. x + g(x) g(x) = 0 x - ; g(x) < 0 pour x < - ; g(x) > 0 pour x > -. Avec les distaces AB = 0 0. Avec les lectures graphiques a. Esemble de solutios : [ ; ] b. Esemble de solutios : ] ; [» ] ; + [

28 Avec les foctios homographiques. a. Pour tout x 0 b. Pour tout x. Vrai Activité. À la recherche d ue formule O peut etrer e D la formule : =SI(C>0;C; C) O pourra comparer avec la formule =ABS(C) Pour aller plus loi Voir fichier sur le site Activité. Ue ouvelle foctio. a. ABT est rectagle e T. b. AB = (x + ) ; AT = + y ; TB = x + y. De AB = AT + TB o déduit que y = x d où y = x car y 0 par costructio de T.. a. Voir fichier sur le site b. O obtiet la courbe représetat la foctio racie carrée. Activité. Des comparaisos (A) est fausse. Cotre-exemple pour x = 0,. (B) est fausse. Cotre-exemple pour x = 0,. Activité. Des foctios u + k et ku. a. Voir fichier sur le site b. x 0 + u(x). Il semble que f ait même ses de variatio que u.. Il semble que g ait même ses de variatio que u si k > 0 et le ses de variatio cotraire à celui de u si k < 0. Activité. Ses de variatio u et u A. Foctio u. a. ombre 0 0, résultat O peut appliquer ce programme de calcul à tout ombre supérieur ou égal à - soit,. b. Si, a < b alors 0 u(a) < u(b) car u est strictemet croissate sur. D où 0 ua ub car la foctio racie carrée est strictemet croissate sur [0 ; + [. O e déduit que : si, a < b alors f(a) < f(b). C est dire que f est strictemet croissate sur [, ; + [. c. f(x) = x. O a ici g(x) = vx avec v(x) = x +. O peut calculer g(x) pour tout x. Si a < b alors v(a) > v(b) > 0 car v est strictemet décroissate sur. Chapitre. Étude de foctios 7

29 Doc va > vb 0 car la foctio racie carrée est strictemet croissate sur [0 ; + [. O a doc motré que si a < b alors g(a) > g(b). g est strictemet décroissate sur ] ; ]. B. Foctio u. ] ; [» ] ; + [. Si < a < b alors 0 < u(a) < u(b) car u est strictemet croissate sur puis ua ub car la foctio iverse est strictemet décroissate sur ]0 ; + [, c est-à-dire h(a) > h(b). h est doc strictemet décroissate sur ] ; + [.. a. O trouve de même que h est strictemet décroissate sur ] ; [. b. O pourra esuite les echaîer das u seul tableau : x + u(x) 0 h(x) TP. U problème de programmatio A. U algorithme. a. Avec a =, b = et x =, o obtiet l affichage «pas solutio». Avec a =, b = et x =, o obtiet l affichage «solutio». b. L algorithme demade les valeurs de a, b, et x et teste si la valeur de x etrée est solutio de l équatio ax + b - x = ax + b - - doc y = - 0. Le message affiché doit doc être «solutio». x - B. U programme Le calcul est effectué avec des valeurs décimales approchées. O peut modifier le test pour savoir si y est proche de 0, à 0 9 près par exemple si le logiciel calcule avec cette précisio, c est-à-dire si 0 y < 0 9 ou 0 9 < y 0 autremet dit si y < 0 9. Il faut alors modifier la fi du programme aisi : Si y < 0 9 Alors Afficher «peut être solutio» Sio «pas solutio» FiSi TP. U algorithme O peut modifier l algorithme e ajoutat ue boucle pour l appliquer à tous les etiers etre et 99 et vérifier qu il s arrête bie à chaque fois e doat u résultat. Ou «à la mai», réduire le ombre de cas : a est le chiffre des dizaies et b celui des uités de. Doc = 0a + b et par suite : y = 0a + b 0b a = 9 a b. y pred doc les valeurs 0 ; 9 ; 8 ; 7 ; ; ; ; 8 ; 7 ou 8. O peut calculer les résultats possibles et otat les résultats pour arriver à

30 TP. Foctioemet de l œil A. Résultat prélimiaire Par le théorème de Thalès das les triagles AOB et A OB, o a OA AB. OA AB Par le théorème de Thalès das les triagles DOF et B A F, o a AB AF. OD OF De OD = AB, o déduit que OA AB AF. OA AB OF OA AB fi OA A 0 - OF = OA -. OA AB OA OF OF O a doc OA OA d où OF OA OF OA OA. B. Foctioemet de l œil. C = x où OA est fixée. OA x 0 + C. OF = C x 0 + C + OF 00, OA 00, OA 0, 000. a. d où OF = 0, 0-. OF OA 00, 00, OA OA 00, OA 00, b. Comme OA > 0, o a toujours OF < 0,0 (e mètres) soit OF < 0 mm. 0, 000 Pour OA m, OF 00, - 0, 998 d après le ses de variatio de la foctio qui à OA associe OF. 0, 0 D où 9,98 mm OF 0 mm. c. Quad OA m, le foyer est à mois de cetièmes de mm de la rétie das le modèle géométrique utilisé. Et quad OA augmete, cette distace dimiue ecore. Das la réalité, cette distace a plus aucue sigificatio et o peut cosidérer que le foyer est sur la rétie. TP. Étude d ue distace Voir fichier sur le site pour l expérimetatio. Soit x la mesure de AM e cm. O peut se placer das le repère orthoormé (A ; ur u uru AB, BE : 0 0 CF = 0 - x - x d où CF = 0 x ou bie calculer MC, MF puis CF e distiguat deux cas de figures : si 0 x, CF = MF MC = 0 x ; si x 0, CF = MC MF = x 0. CF si et seulemet si x Œ0 ;» [ ; 0]. y 0 8 f(x) = abs (0 x) A (, ) B (, ) x Chapitre. Étude de foctios 9

31 TP. Ue foctio homographique A.. Voir fichier sur le site O cojecture que f est défiie sur \{}, que f est strictemet décroissate sur ] ; [ et sur ] ; + [. ur u B. P existe si et seulemet si (MA) est pas parallèle à (OJ) soit m. AP et AM sot coliéaires si et seulemet si (y P ) (m ) = 0 d où P0; pour m. m -. N (x M ; y P ) soit m ; pour m. m - Doc f(m) = + pour m. m -. f est strictemet décroissate sur ] ; [ et sur ] ; + [. TP7. U dessous-de-plat articulé A.. À la distace maximale égale à.. Voir fichier sur le site AGCF et CKBH sot deux losages superposables avec A, C et B aligés. Doc C est le milieu de [AB], (GF) est la médiatrice de [AC] et (KH) celle de [CB]. B.. b Œ0 ;.. G semble décrire u quart de cercle. O sait que AG = doc G appartiet au cercle de cetre A et de rayo. Par costructio, G reste das le premier quadrat du pla doc appartiet au quart de cercle de cetre A et de rayo situé das ce premier quadrat. L abscisse de G : x G = b par les propriétés de symétrie de la figure. Doc quad b décrit [0 ; ], x G décrit [0 ; ], doc G décrit tout le quart de cercle e questio.. a. Elle a ue ressemblace avec ue portio de la courbe représetat la foctio racie carrée à laquelle o aurait appliqué ue symétrie par rapport à u axe parallèle à (OJ). car C est le milieu de [AB]. K b ; y K est tel que CK = ou ecore CK = c est-à-dire b y k b. C b ; 0 Comme y K > 0, o obtiet y K = - b d où K b ˆ b ; -. c. b 0 b - - b. 0. d. b x K doc y xk K - 9 K appartiet doc à la courbe. La courbe G est pas cofodue avec (o peut le costater e traçat sur le logiciel) car les poits de G ot ue x abscisse positive ou ulle alors que possède aussi des poits d abscisses égatives : - 0 x 9 - x. 9 0

32 Exercices SANS CRAYON, SANS CALCULATRICE a. b. c. 9 d. 9 e. 8 ; ; 00 0 ;. 00 < 08 < doc 0 < 08 doc. 0 < < 0 doc 00 < < 000. s écrit avec chiffres. Figure de gauche : a > 0, D0, b 0 Figure de droite : a < 0, D 7 Aucue solutio 8 No 9 ( ; ) 0 Oui y = - x y = x + 0, b 0 x 0 + f(x) x 0 + g(x) 7 Oui, sur [0 000 ; + [. 8 a. ] ; + [ b. [0 ; 9] c. [00 ; + [ d. [0 ; + [ e. [ ; 8[ f. ] ; 0] 9 a. ] ; + [ b. [ 9 ; + [ c. [ ; + [» {0}. 0, L, et, l, doc, par étapes, o motre que,, L l,, d où, L l,9. a. x 7 b. 0 x c. x 9 d x 8 e. 8 x 8 f. 0 - x pour x Œ[ 0 ; ] seulemet. doc 7 8 d où doc 7 d où etc. Le ombre doé est compris etre et.. 0 h 7 doc, e m.s, 0 V g, d où, e km.h, 0 V 0,.. V max ª 97,8 km.h. La vitesse de 00 km.h est pas atteite, ecore mois pedat secodes. a. b. - 9 x - a. b. - x x - x - x - 9 d. x x c. + d. c. x x x 0 + h(x) ENTRAÎNEMENT. BC = BD = BC CA = - EA = AB BE =. AB EB - et EB EA - - ˆ -. a. 0 x b. 0 < x 0, c. x 0 7. a. - b. doc - > =. - Chapitre. Étude de foctios

33 Pour tout etier positif ou ul, f(x) = x x - f(x) = x x - x x x f(x) = x x x x x x x. Pour tout x réel, x + x + > 0, car x + x + = (x + ) +, doc x x 0. De plus (x + ) 0 doc f(x) 0. Par suite f(x) pour tout x réel.. f( ) = 0 doc f( ) =. Doc f a pour miimum, atteit e. 9 g() =. O calcule g(x) : g(x) = -x x x x x x - 8 g(x) = -x x - 8 x - g(x) - -x x - 8 Pour tout x de [ ; ], -x x et (x ) 0 doc g(x) 0 et g(x). O e déduit que g admet pour maximum et qu il l atteit e. 0. a. Soit a < b. Alors f(b) f(a) = b - a b - a f(b) f(a) = b a. Doc f(b) f(a) > 0 soit f(a) < f(b). f est strictemet croissate sur [ ; + [.. b. Soit a < b <. a - b g(b) g(a) = doc g(a) g(b) < 0 - b - a soit g(a) > g(b). La foctio g est strictemet décrois sate sur ] ; [.. O développe le membre de droite.. Soit 0 a < b. Alors a + ab + b > 0 et a b < 0 doc f(a) f(b) < 0 soit f(a) < f(b). f est strictemet croissate sur [0 ; + [.. Soit a < b 0. Alors 0 b < a doc f( b) < f( a) c est-à-dire 0 f(b) < f(a), d où f(a) < f(b) 0. Doc f est strictemet croissate sur ] ; 0]. a. 0, 0, b., >, c., >, >, d. 0, < 0, < 0,. O coaît déjà la positio relative des courbes d équatios y = x et y = x. x x = x (x ). x 0 + x x 0 + x x G : y x coupe les courbes d équatios y = x et y = x aux poits de coordoées (0 ; 0) et ( ; ). G est e dessous des deux autres courbes sur ] ; 0[ et sur ]0 ; [ mais au-dessus sur ] ; + [.. y y = x y = x y = x 0 x O étudie le sige de (x x + ) ( x + ). Soit x x, dot les racies sot - et. et d se coupet aux poits d abscisse - et, de coordoées (- 9 ; et ( ; ). est au-dessus de d sur ] ; - [ et sur ] ; + [. est e dessous de d sur ] ; [.. Il est difficile d émettre ue cojecture au voisiage de.

34 . O étudie le sige de 9ˆ 9 - x x - - x - x x - soit - x -. et d se coupet au poit de coordoées ;. est e dessous de d ailleurs. O étudie le sige de D(x) = x x x - x - x x + + x x x Dx La courbe : y coupe la droite x d : y = x + aux poits de coordoées ( ; - et ( + ;. est au-dessus de d sur ] ; [ et sur ] ; + [. est e dessous de d sur ] ;- [ et sur ] + ; [. 7. Sur [ ; 7[, C f est au-dessus de C g. Sur ]7 ; + [, C f est e dessous de C g. 8 a. b., c. - d. e. f. 0 g. 0 h. 0 p 9 VARIABLES : x ombre ENTRÉES : saisir x TRAITEMENT : Si x < 0 Alors x pred la valeur x FiSi SORTIE : Afficher x 0 a. Les solutios sot et. b. Pas de solutio. c. Les solutios sot - et - d. Esemble des solutios : ] ; [ e. Esemble des solutios : [ 00 ; 00] f. Esemble des solutios : ] ; 0,0[» ]0,0 ; + [.. et et -. max(x ; x) = x.. f( ) = ; f(0) = ; f( ) = 0.. y 7. Si x alors x 0 soit 0 g(x). Si x alors 0 x + doc 0 f(x) par stricte croissace de la foctio racie carrée sur [0 ; + [. Doc pour x, g(x) 0 f(x).. f(x) g(x) = x -x - f(x) g(x) = x - x - = - x 9 x - x x - D avec D = x x -. Pour x >, x 0 et x > 0 doc D > 0.. Sur ] ; + [, f(x) g(x) a même sige que x + 9x, triôme de degré de racies et 7, égatif sauf etre ses racies. Doc : sur ] ; 7[, f(x) g(x) > 0 sur ]7 ; + [, f(x) g(x) < 0. Fialemet : C f et C g se coupet au poit de coordoées (7 ; ). 7 x f(x) = x + pour tout réel x car : pour tout x <, x + < 0 doc x + = x qui est bie f(x) das ce cas ; pour tout x, x + 0 doc x + = x + qui est égal à f(x) das ce cas.. Si x, d(x) = x ; si x, d(x) = x. Ou ecore d(x) = x. Chapitre. Étude de foctios

35 . y x Le coût total pour jouraux est doc, e euros, ,0. Le coût moye par joural pour jouraux vedus est doc 80 00, e euros.. Le coût moye par joural dimiue quad le ombre de jouraux imprimés augmete.. Œ * doc , 07, 0, 7. La productio miimale assurat u coût iférieur à 0,70 est de 7 jouraux imprimés.. Si a 0 et b 0 : a b = a b. De plus ab 0 doc ab = ab. Doc ab = a b. Si a et b 0 : a b = ( a) ( b) = ab De plus ab 0 doc ab = ab. O a aussi ab = a b. Si a 0 et b 0 : a b = a ( b) = ab. Or ab 0 doc ab = (ab). O a ecore ab = a b. Quitte à échager a et b o a traité le cas où a et b sot de siges opposés. Doc pour tous a et b réels, ab = a b.. Même pricipe. a. Strictemet croissate sur [0 ; + [. b. et c. Strictemet décroissate sur ] ; 0] et strictemet croissate sur [0 ; + [. d. Strictemet décroissate sur] ; 0[ et sur ]0 ; + [. 7 a. Strictemet croissate sur [0 ; + [. b. et c. Strictemet croissate sur ] ; 0] et strictemet décroissate sur [0 ; + [. d. Strictemet décroissate sur ] ; 0[ et sur ]0 ; + [. 8 a. Strictemet décroissate sur [0 ; + [. b. Strictemet décroissate sur ] ; 0] et strictemet croissate sur [0 ; + [. c. Strictemet croissate sur ] ; 0] et strictemet décrois sate sur [0 ; + [. d. Strictemet croissate sur ] ; 0[ et sur ]0 ; + [. 9 Pour u et v défiies sur par u(x) = x et v(x) = x, toutes deux strictemet croissates sur ] ; 0] et sur [0 ; + [, le produit uv est strictemet décroissat sur ] ; 0] mais strictemet croissat sur [0 ; + [. 0. Pour 0 jouraux imprimés, les frais ot été de 0 dot 80 de frais fixes. La part variable proportioelle aux ombre de jouraux imprimés est doc de 0 pour 0 jouraux doc de 0 euros pour 0 jouraux.. Par le théorème de Thalès das les triagles MOP et MAB, AB MA d où OP = x OP MO x x.. f est strictemet décroissate sur ]0 ; + [.. a. Voir fichier sur le site b. Il semble que f soit strictemet décroissate sur ]0 ; + [.. a. ABD est rectagle e D doc AB = AD + DB et CE = CD + DE par le théorème de Pythagore. b. AB + CE = (AD + DE ) + (CD + DB ) doc AB + CE = AE + BC par le théorème de Pythagore. c. AE = y ; BC = x ; CE = + (y x) (o peut tracer le projeté orthogoal H de C sur (AE) et raisoer das le triagle CHE ou itroduire u repère orthoormé). Doc + + (y x) = y + x soit xy = 0 ou y = pour x > 0. x. O a doc f(x) = pour x > 0. La foctio f est x strictemet décroissate sur ]0 ; + [.. MN = (x y) ; AN = y + 9 ; AM = x Par le théorème de Pythagore, MN = AM + AN doc xy = 9.. f(x) = - 9 pour x > 0. x x 0 + x f(x) a. x b. x c. x d. x Œ] - ;- ]»[ ; [ e. x 0 f. x > 0

36 a. x ux 0 b. ux x - + ux 0 c. ux x + ux 0 0 ux a. Strictemet croissate sur [ ; + [. b. Strictemet décroissate sur ] ; ]. c. Strictemet décroissate sur ] ; 0] et strictemet croissate sur [ 0 ; + [. d. Strictemet décroissate sur ]0 ; + [. 7. a. x Œ] 0 ; 8 [ (ou [0 ; 8] si o admet u triagle rectagle aplati). b. p(x) = AB + AC + BC = 8 + x 8 - x p(x) = 8 + x -x p a doc même ses de variatio que u(x) = x x +. x 0 8 ux ux p(x) u où. Doc le miimum de p sur ] 0 ; 8[ est p() = 8 +. Il est atteit quad AB = AC = cm c est-à-dire quad le triagle rectagle ABC est isocèle e A O étudierait le ses de variatio de la foctio v qui à t associe v(t) = 0 7 t.. La foctio v est strictemet croissate sur [ 7 ; + [. La vitesse dimiue quad la température dimiue. 9. MM = CM CM MM = CB BM - CM MM = BM - La foctio f est doc défiie par f(x) = x - pour 0 x.. f est strictemet croissate sur [0 ; ].. O costate (par exemple à l aide de la calculatrice) que f() = ; o le vérifie par le calcul. De la stricte croissace de f, o déduit que f(x) x.. Pour que MM, il faut et il suffit que BM. 0 Soit u(x) = x + x + x ux ux 0 0. O trouve eviro, cm.. a. f(x) = x y x - x f(x) = x - 0x. b. f est strictemet décroissate sur ] ; ] et strictemet croissate sur [ ; + [. c. f atteit doc so miimum e. La distace de O à la droite d est f() = ª,. a. x + ux ux 0 0 Chapitre. Étude de foctios