collection Programme me 2011 livre du professeur

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1 collectio Programme me 0 livre du professeur re S

2 collectio Programme 0 Première S Sous la directio de Marie-Hélèe Le Yaouaq Yves Alvez Élisabeth Beauvoit Daiel Guillemet Georges Saliba Lucie Tadeusz livre du professeur

3 Couverture : Cotours Mise e pages, schémas et photogravure : STDI Suivi éditorial : Malik Agia «Le photocopillage, c est l usage abusif et collectif de la photocopie sas autorisatio des auteurs et des éditeurs. Largemet répadu das les établissemets d eseigemet, le photocopillage meace l aveir du livre, car il met e dager so équilibre écoomique. Il prive les auteurs d ue juste rémuératio. E dehors de l usage privé du copiste, toute reproductio totale ou partielle de cet ouvrage est iterdite.» «La loi du mars 97 autorisat, au terme des aliéas et de l article, d ue part, que les copies ou reproductios strictemet réservées à l usage privé du copiste et o destiées à ue utilisatio collective» et, d autre part, que les aalyses et les courtes citatios das u but d exemple et d illustratio, «toute représetatio ou reproductio itégrale, ou partielle, faite sas le cosetemet de l auteur ou de ses ayats droit ou ayats cause, est illicite.» (aliéa er de l article 0) «Cette représetatio ou reproductio, par quelque procédé que ce soit, costituerait doc ue cotrefaço sactioée par les articles et suivats du Code péal.». Les Éditios Didier, Paris 0 ISBN Imprimé e Frace

4 Sommaire Programme Partie I. Aalyse Chapitre. Secod degré Chapitre. Étude de foctios Chapitre. Dérivatio Chapitre. Ses de variatio d ue foctio Chapitre. Notio de suite umérique Chapitre. Comportemet d ue suite Partie II. Statistiques et probabilités Chapitre 7. Statistique descriptive Chapitre 8. Probabilités Chapitre 9. Loi biomale. Échatilloage Partie III. Géométrie Chapitre 0. Vecteurs et droites du pla Chapitre. Trigoométrie Chapitre. Produit scalaire

5 Bulleti officiel spécial 9 Programme du 0 septembre 00 Mathématiques Classe de première Cycle termial de la série scietifique L eseigemet des mathématiques au collège et au lycée a pour but de doer à chaque élève la culture mathématique idispesable pour sa vie de citoye et les bases écessaires à so projet de poursuite d études. Le cycle termial de la série S procure u bagage mathématique solide aux élèves désireux de s egager das des études supérieures scietifiques, e les format à la pratique d ue démarche scietifique et e reforçat leur goût pour des activités de recherche. L appretissage des mathématiques cultive des compéteces qui facilitet ue formatio tout au log de la vie et aidet à mieux appréheder ue société e évolutio. Au-delà du cadre scolaire, il s iscrit das ue perspective de formatio de l idividu. Objectif gééral Outre l apport de ouvelles coaissaces, le programme vise le développemet des compéteces suivates : mettre e œuvre ue recherche de faço autoome ; meer des raisoemets ; avoir ue attitude critique vis-à-vis des résultats obteus ; commuiquer à l écrit et à l oral. Raisoemet et lagage mathématiques Comme e classe de secode, les capacités d argumetatio, de rédactio d ue démostratio et de logique fot partie itégrate des exigeces du cycle termial. Les cocepts et méthodes relevat de la logique mathématique e fot pas l objet de cours spécifiques mais preet aturellemet leur place das tous les champs du programme. Il importe toutefois de prévoir des momets d istitutioalisatio de certais cocepts ou types de raisoemet, après que ceux-ci ot été recotrés plusieurs fois e situatio. De même, le vocabulaire et les otatios mathématiques e sot pas fixés d emblée, mais sot itroduits au cours du traitemet d ue questio e foctio de leur utilité. Il coviet de prévoir des temps de sythèse, l objectif état que ces élémets soiet maîtrisés e fi de cycle termial. Utilisatio d outils logiciels L utilisatio de logiciels, d outils de visualisatio et de simulatio, de calcul (formel ou scietifique) et de programmatio chage profodémet la ature de l eseigemet e favorisat ue démarche d ivestigatio. E particulier, lors de la résolutio de problèmes, l utilisatio de logiciels de calcul formel peut limiter le temps cosacré à des calculs très techiques afi de se cocetrer sur la mise e place de raisoemets. L utilisatio de ces outils iterviet selo trois modalités : par le professeur, e classe, avec u dispositif de visualisatio collective ; par les élèves, sous forme de travaux pratiques de mathématiques ; das le cadre du travail persoel des élèves hors de la classe.

6 Diversité de l activité de l élève Les activités proposées e classe et hors du temps scolaire preet appui sur la résolutio de problèmes puremet mathématiques ou issus d autres disciplies. De ature diverse, elles doivet etraîer les élèves à : chercher, expérimeter, modéliser, e particulier à l aide d outils logiciels ; choisir et appliquer des techiques de calcul ; mettre e œuvre des algorithmes ; raisoer, démotrer, trouver des résultats partiels et les mettre e perspective ; expliquer oralemet ue démarche, commuiquer u résultat par oral ou par écrit. Des élémets d épistémologie et d histoire des mathématiques s isèret aturellemet das la mise e œuvre du programme. Coaître le om de quelques mathématicies célèbres, la période à laquelle ils ot vécu et leur cotributio fait partie itégrate du bagage culturel de tout élève ayat ue formatio scietifique. La présetatio de textes historiques aide à compredre la geèse et l évolutio de certais cocepts. Fréquets, de logueur raisoable et de ature variée, les travaux hors du temps scolaire cotribuet à la formatio des élèves et sot absolumet essetiels à leur progressio. Ils sot coçus de faço à predre e compte la diversité et l hétérogééité de leurs aptitudes. Les modes d évaluatio preet égalemet des formes variées, e phase avec les objectifs poursuivis. E particulier, l aptitude à mobiliser l outil iformatique das le cadre de la résolutio de problèmes est à évaluer. Orgaisatio du programme Le programme fixe les objectifs à atteidre e termes de capacités. Il est coçu pour favoriser ue acquisitio progressive des otios et leur péreisatio. So pla idique pas la progressio à suivre. Les capacités attedues das le domaie de l algorithmique, d ue part, et du raisoemet, d autre part, sot rappelées e fi de programme. Elles doivet être exercées à l itérieur de chaque champ du programme. Plusieurs démostratios, ayat valeur de modèle, sot repérées par le symbole. Certaies sot exigibles et correspodet à des capacités attedues. De même, les activités de type algorithmique sot sigalées par le symbole.. Aalyse Le programme s iscrit, comme celui de la classe de secode, das le cadre de la résolutio de problèmes. Les situatios proposées répodet à des problématiques clairemet idetifiées d origie puremet mathématique ou e lie avec d autres disciplies. U des objectifs de ce programme est de doter les élèves d outils mathématiques permettat de traiter des problèmes relevat de la modélisatio de phéomèes cotius ou discrets. Aisi, o cosolide l esemble des foctios mobilisables, erichi de deux ouvelles foctios de référece, les foctios racie carrée et valeur absolue. O itroduit u ouvel outil : la dérivatio. L acquisitio du cocept de dérivée est u poit fodametal du programme de première. Les foctios étudiées sot toutes régulières et o se cotete d ue approche ituitive de la otio de limite fiie e u poit. Le calcul de dérivées das des cas simples est u attedu du programme ; das le cas de situatios plus complexes, o sollicite les logiciels de calcul formel. L étude de phéomèes discrets fourit u moye d itroduire les suites et leur géératio e s appuyat sur des registres différets (algébrique, graphique, umérique, géométrique) et e faisat largemet appel à des logiciels. Les iterrogatios sur leur comportemet amèet à ue première approche de la otio de limite qui sera développée e classe de termiale. L étude des suites se prête tout particulièremet à la mise e place d activités algorithmiques. Mathématiques. Classe de première S

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8 . Géométrie L objectif est de reforcer la capacité des élèves à étudier des problèmes dot la résolutio repose sur des calculs de distaces et d agles, la démostratio d aligemet, de parallélisme ou d orthogoalité. L outil ouveau est le produit scalaire, dot il importe que les élèves sachet choisir la forme la mieux adaptée au problème evisagé. L itroductio de cette otio implique u travail sur le calcul vectoriel o repéré et la trigoométrie. La géométrie das l espace est source de situatios permettat de mettre e œuvre de ouveaux outils de l aalyse ou de la géométrie plae, otammet das des problèmes d optimisatio. Mathématiques. Classe de première S 7

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10 . Statistiques et probabilités L étude et la comparaiso de séries statistiques meées e classe de secode se poursuivet avec la mise e place de ouveaux outils das l aalyse de doées. L objectif est de faire réfléchir les élèves sur des doées réelles, riches et variées (issues, par exemple, de fichiers mis à dispositio par l INSEE). La otio de loi de probabilité d ue variable aléatoire permet de modéliser des situatios aléatoires, d e proposer u traitemet probabiliste et de justifier certais faits observés expérimetalemet e classe de secode. L utilisatio des arbres podérés est développée pour modéliser la répétitio d expérieces idetiques et idépedates. Elle est restreite à ce cadre afi d éviter toute cofusio avec des situatios relevat des probabilités coditioelles. Das le cas particulier d expérieces idetiques et idépedates à deux issues, o itroduit la loi biomiale. E s appuyat sur cette loi, o poursuit la formatio des élèves das le domaie de l échatilloage. Mathématiques. Classe de première S 9

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12 Algorithmique E secode, les élèves ot coçu et mis e œuvre quelques algorithmes. Cette formatio se poursuit tout au log du cycle termial. Das le cadre de cette activité algorithmique, les élèves sot etraîés à : décrire certais algorithmes e lagage aturel ou das u lagage symbolique ; e réaliser quelques-us à l aide d u tableur ou d u programme sur calculatrice ou avec u logiciel adapté ; iterpréter des algorithmes plus complexes. Aucu lagage, aucu logiciel est imposé. L algorithmique a ue place aturelle das tous les champs des mathématiques et les problèmes posés doivet être e relatio avec les autres parties du programme (aalyse, géométrie, statistiques et probabilités, logique), mais aussi avec les autres disciplies ou le traitemet de problèmes cocrets. À l occasio de l écriture d algorithmes et programmes, il coviet de doer aux élèves de boes habitudes de rigueur et de les etraîer aux pratiques systématiques de vérificatio et de cotrôle. Notatios et raisoemet mathématiques Cette rubrique, cosacrée à l appretissage des otatios mathématiques et à la logique, e doit pas faire l objet de séaces de cours spécifiques, mais doit être répartie sur toute l aée scolaire. E complémet des objectifs rappelés ci-dessous, u travail sur la otio d équivalece doit aturellemet être meé e série scietifique (propriété caractéristique, raisoemet par équivalece). Mathématiques. Classe de première S

13 Secod degré Pour repredre cotact Les réposes exactes sot : Foctio du secod degré. a. Parabole b. ( ; ) c. Solutios de f(x) = : et. Esemble des solutios de f(x) : ] ; ] [ ; + [. d. f(x) est strictemet positive sur ] ; 0[, ulle e et 0 ; strictemet égative sur ] ; [ ]0 ; + [.. x + f(x) Développer, factoriser a. (x + ) = 9x + x + b. x + x + 9 = (x + ) c. x 8x + = (x ) d. x + x + 9 = (x ) Choisir la boe forme. Forme : g admet 8 pour miimum ; il est atteit e.. Forme : les solutios sot 7 et.. Forme : g(x) = x (x + 8) = 0. Les solutios sot 0 et 8.. Forme : g(x) = (x + ) =. Les solutios sot et 0. Avec les tableaux de siges x + sige de x sige de x sige du produit (x )( x) 0 + 0

14 Activité. Où se trouve le sommet?. Les solutios sot 0 et.. Axe de symétrie : x =,. Le sommet S a pour abscisse, et pour ordoée f(,) =,.. O résout f(x) = c. Les solutios sot 0 et b a. b 0 - Le sommet a pour abscisse x S = a - ba. Pour aller plus loi f(x S ) + b a b b b c a ˆ a - c soit f(0). a a Si a > 0, f(0) > f(x S ) doc c est u miimum que f admet e x S Si a < 0, f(0) < f(x s ) doc c est u maximum que f admet e x S. Activité. Forme caoique et équatio f(x) = 0 A.. a. g() = et pour tout x, g(x). Doc g admet u miimum e. b. S ( ; ) b. a. x S = - a et y S = f -. b. O cojecture que a, b -. O prouve cette cojecture par u développemet : x - - x 9 - x - x - x f( x). c. f(x) = 0 x - x ou x. B.. a. h(x) = (x x) + 7 b. x x + 9 = (x ) d où x x = (x ) 9. c. h(x) = [(x ) 9] + 7 = (x ) 9 9 d. h(x) = 0 x -. Les solutios sot 9 et.. a. k(x) = 0 x - 0 x - ou x. ˆ b. k(x) = 0 x x ou - -. c. k(x) = 0 x - 0 x. Activité. Le discrimiat. x S = - b a doc y S = a b b b ˆ c c a - -. a a. y S = - b ac D - a a. Cas : y S < 0 et a > 0 doc Δ > 0. Cas : y S > 0 et a > 0 doc Δ < 0. Cas : y S = 0 et a > 0 doc Δ = 0. Cas : y S < 0 et a < 0 doc Δ < 0. Cas : y S = 0 et a < 0 doc Δ = 0. Cas : y S > 0 et a < 0 doc Δ > 0. Chapitre. Secod degré

15 . Cojecture : Si Δ > 0, l équatio a deux solutios ; si Δ = 0, l équatio a ue uique solutio ; si Δ < 0, l équatio a pas de solutio. Discrimier : distiguer, différecier (du lati discrimiare : séparer, diviser). Le sige de Δ permet doc de distiguer les différets cas pour la résolutio de l équatio f(x) = 0 d où le om de discrimiat. Activité. Le sige du triôme de degré. a. À l aide de la représetatio graphique par exemple, o peut cojecturer que : f(x) > 0 pour x < ou pour x > ; f(x) = 0 pour x = ou pour x = ; f(x) < 0 pour x apparteat à ] ; [. b. f(x) = (x ) = (x )(x ) c. Tableau de siges : x + sige de x 0 + sige de x sige du produit (x )(x ) a. Cas : a > 0 et f(x) est d abord positive, esuite égative, puis positive. Cas : a > 0 et f(x) est strictemet positive pour tout x réel Cas : a > 0 et f(x) est positive ou ulle pour tout x réel. Cas : a < 0 et f(x) est strictemet égative pour tout réel x. Cas : a < 0 et f(x) est égative ou ulle pour tout réel x. Cas : a > 0 et f(x) est d abord égative, puis positive, puis égative. b. Si D0, c est-à-dire das les cas et, o remarque que f(x) a même sige que a pour tout réel x. Si Δ > 0, f(x) est d abord du sige de a, puis du sige cotraire à celui de a, puis à ouveau du sige de a. TP. Algorithmes. Par les deux programmes, o obtiet : pour ; pour ; 7 pour 7.. Le programme A appliqué à x doe (x + )x. Le programme B appliqué à x doe x -. Des argumets umériques, algébriques ou graphiques sot mobilisables par les élèves et pourrot être cofrotés. L affirmatio de Jea-Paul est fausse : (x + )x = x + x. Le miimum est atteit e - - ; ce miimum est L affirmatio de Louis est juste. Pour aller plus loi : ces deux programmes sot-ils équivalets? La répose est oui car, pour tout réel x, x 0 - x x x x TP. Tout est mélagé! O repère déjà la courbe représetat chaque foctio. Plusieurs raisoemets pourrot être cofrotés. Par exemple : Figure b pour (seule courbe pour a > 0). Figure a pour : l abscisse de so sommet est positive. Figure c pour par élimiatio. O détermie les poits d itersectio de chaque courbe : avec l axe des abscisses, A et B, et avec l axe des ordoées, C. O détermie aisi les graduatios (o pourra utiliser le milieu de [AB] pour les figures a et c).

16 A B C Abscisse du sommet Figure a ( ; 0) ( + ; 0) (0 ; ) Figure b ( ; 0) ( ; 0) (0 ; 8) 0, Figure c ( ; 0) ( + ; 0) (0 ; ) TP. U acie algorithme. La solutio obteue est. Vérificatio : + 0 = 9.. x 0 x x x x x x x x La partie colorée e vert (ici grisée) a pour aire x + x + x = x + 0x soit 9. Le grad carré a doc pour aire 9 + =. So côté est doc 8, et par suite x = 8 =.. De même avec ue figure o obtiet u grad carré d aire x + 8x + soit 8 + = 00. O obtiet doc x = 0 =.. a. O obtiet comme aire du grad carré x + ax + a a b a b. b a Doc so côté est b a a d où x = -. b. x + ax = b x + ax b = 0. Da a a b b 0 doc l équatio a deux solutios : x - et x = - a - a b. c. O remarque que la méthode d Al-Khwārizmī doe celle des deux solutios qui est positive. Les problèmes à résoudre étaiet des problèmes cocrets dot les solutios étaiet par ature des ombres positifs (logueur, aire, somme d arget par exemple). Les ombres égatifs e furet utilisés que plus tard, comme itermédiaires de calculs et miret très logtemps à être cosidérés comme des ombres à part etière. TP. Problème d aire x x. x [0 ; ] et (x) = x - x.. x 0 (x) 0 8. a. Il semble y avoir ue solutio de (x) = 9 etre,7 et,8 mais o e trouve pas de valeur exacte à la calculatrice. b. (x) = pour x =.. Par le calcul : x a. - x = 9 a pour solutios - et. La seule solutio das [0 ; ] est - ª, 77 à 0 près. x b. - x = a pour solutios et 8. Seule est solutio de (x) =.. (x) > (x) > 9 - x ( ). La foctio état strictemet croissate sur [0 ; ], o e déduit que l aire du triagle CMM est supérieur au quart de l aire du carré pour - < x. Chapitre. Secod degré

17 TP. Cordes de paraboles Partie A : voir fichier sur le site Partie B. a. (SC) : y x ; (AB) : y x. b. B appartiet à (AB) et à doc so abscisse est solutio de x x ou ecore x x = 0. Les solutios sot et. O retrouve le poit A d abscisse et doc B a pour abscisse. c. Le milieu de [AB] a pour abscisse =. Le milieu de [SC] a pour abscisse 0. Doc le milieu de [AB] a même abscisse que celui de [SC] et appartiet à la droite d équatio x =.. a. (AB) : y = a x - a. Doc l abscisse de B est solutio de x = a x - a ou ecore x x + a a = 0. b. x x +a a = 0 x - - a- a 0 x - a-. Les solutios sot doc a et a +. Doc B a pour abscisse a +. Le milieu de [AB] a pour abscisse a a. Il appartiet doc à la droite d équatio x =. Pour aller plus loi (AB) : y = mx ma + a. L abscisse de B est solutio de x mx + ma a = 0 soit (x m) = (a m). L abscisse de B est a + m doc celle du milieu de [AB] est m. Le milieu de [AB] appartiet à la droite d équatio x = m. TP. Costructio à la règle Ue équatio de (PB) est y = ax + b + c. Doc Q a pour coordoées (a ; aa b c) et R (; aa b c). Ue équatio de (CR) est alors y = (aa b) x c. Doc M [a; aa ba c] soit M a ; aa ba c. Quad a décrit R, M décrit la parabole d équatio y = ax + bx + c. TP7. Étudier l évolutio d ue populatio.. f(x) x 0 0, 0,7 f(x) 0 0. O lit graphiquemet : Le ombre de coccielles e 0 est f(0,) soit eviro 0, cetaies, c est-à-dire coccielles. E 0, il y aurait f(0,) soit eviro 0, cetaies, c est-à-dire coccielles. Par le calcul : f(0,) = 0, et f(0,) = 0, O cherche x tel que f(x) = x, soit x ª 0,. Par le calcul : f(x) = x x(,8x +,8) = La populatio reste stable si elle est soit de 0 coccielles soit de 8, 0, 87 cetaies de 8, coccielles soit coccielles. f(x) x + 0,,8x +,8 x 0, 0.,8x +,8x 0, a pour discrimiat Δ = et pour racies 0, et 0, eviro. O doit doc avoir etre et 0 coccielles pour e avoir au mois 0 de plus l aée suivate. x

18 Exercices SANS CRAYON, SANS CALCULATRICE Oui 7-7ˆ No Figure b 7 Figure a 8 D7 9 Pas de solutio. 0 Oui (x ) 9 (x )(x + ) = x + x ENTRAÎNEMENT a. Oui b. No c. Oui d. Oui a. Oui b. Oui c. Oui d. No a. S ( ; ) b. S ( ; 9) c. S (0 ; ) d. S ; a. x = 0 b. x =, c. x = 0 7 a. Sommet S ( ; ) b. Sommet S ; y 0 x c. Sommet S ; y y 0 x d. Sommet S 0 x y ; 0 x 8 a. Sommet S( ; ) b. Sommet S ; 9 y 0 x y 0 x c. Sommet S ( ; ) d. Sommet S ; 9 y 0 x 0 x 9 a. P est «tourée vers le bas» et S a pour coordoées ( ; ). b. P est tourée vers le haut et S a pour coordoées ( ; ). y 0. Sommet S de 0 coordoées ( ; 0).. Deux solutios g(x) = x + x 9. Parabole «tourée vers le haut», de sommet S ( ; ).. P (0 ; g(0)) soit P (0 ; 9).. g(x) = 0 x = ou x =. y 0 x 7 Chapitre. Secod degré 7

19 Les poits d itersectio avec l axe des abscisses sot A ( ; 0) et B ( ; 0). y 0 x a. O trouve deux solutios : et. C a pour abscisse 9 f - 8. a. f admet u miimum e 0. b. f admet u maximum e c. f admet u maximum e. a. x + f(x) b. 0 x + f(x) c ; so ordoée est x + f(x) 9 b. f(x) = g(x) x - x - 0 soit x x = 0. Or (x + )(x ) = x x. Doc f(x) = g(x) x x - 0. c. Les solutios sot et.. P 0 : y = x. P : y = x x + et P : y = x x +. d. x 0 + f(x) 7. x f(x) +. f() =. Les solutios sot et so symétrique par rapport à, soit.. y. Soit A ( ; 8). Pour tout réel m, x A m x A + m = 8 m + m = 8 = y A Doc A appartiet à P m pour tout m.. Figure c.. A ( ; 0); B 0 ; ; D ; 0. 0 x. L esemble des solutios est [ ; ]. 8

20 8. Sur o a le tableau : x + f(x) 0. f( ) = 8 et f() = 8. D après les variatios, le miimum de f sur I est 0 et le maximum 8.. a. x = d après la questio. b. O cojecture graphiquemet que : f() = 7 et f( ) = 7. O le vérifie par le calcul. D après le ses de variatio de f, il y a pas d autres solutios. c. D après le ses de variatio de f, l esemble des solutios est ] ; [. d. L esemble des solutios est I puisque : f(x) 0 > 0 pour tout réel x. 9 O détermie le sige du coefficiet de x aisi que l abscisse du sommet (soit par la formule b a soit comme milieu des racies). Il est possible que f(x) = (x )(x ) ; g(x) = (7 x)( x) ; h(x) = x + x. b 0 c = f(0) = ; a < 0 ; b > 0 (car 0). a - a. (x + ) 0 b. x c. (x ) 9 + d. x -. a. (x + ) + b. (t + ) c. 9(x + ) 7 8 d. x 8 7. f(x) = x - 7. f(x) = 0 x - c est-à-dire x Les solutios sot 7 et ou. f(x) = x -. f(x) = x - - x - soit f(x) = (x )(x ).. À l aide d u tableau de siges, o obtiet l esemble des solutios de l iéquatio f(x) > 0 : ] ; [ ] ; + [. a. et. b. et. c. - et. d. et. 7 a. ( ; 0) et ( ; 0). b. Pas d itersectio. c. (- ; 0 ) et ( ; 0 ). d. (0 ; 0) et ( ; 0). 8. Les équatios doées e a., c., d., e., f., g.. a. x(x + ) = 0 ; les solutios sot 0 et. b. D0 ; pas de solutio. c. x = - ; pas de solutio. d. (x + ) = 0 ; seule solutio :. e. x = ; deux solutios : et. f. Deux solutios : et. g. x(x ) = 0 ; deux solutios : 0 et. h. D d où D 8 Il y a deux solutios : et a. Solutios : 0 et. b. Solutios : et. c. Solutios : et. d. Solutios : et x + x + = x + (x + ) = 0 Ue seule solutio :.. Sur ue feêtre stadard, o e peut voir qu ue seule solutio, proche de 0,. Le meu de recherche d itersectio de la calculatrice fourit deux solutios : a. D0 ; x =, solutio uique. b. D ; pas de solutio. c. D8 ; x = et x -. d. D 7 ; pas de solutio. Chapitre. Secod degré 9

21 . x x = x + x a pour solutios : x = -- ª, et x = - ª 0,.. Le triôme est ax + bx + c. E lagage aturel : Demader a, b, c Calculer d = b ac Afficher d. E lagage formalisé : VARIABLES : a, b, c, d ombres ENTRÉES : Saisir a, b, c TRAITEMENT : d pred la valeur b ac SORTIE : Afficher d. E lagage aturel : Demader a, b, c Calculer d = b ac Si d < 0, afficher «pas de racies» Si d = 0, afficher «ue racie : - b a Si d > 0, afficher «deux racies : - b - a E lagage formalisé : d et - b- a VARIABLES : a, b, c, d, r, r ombres ENTRÉES : Saisir a, b, c TRAITEMENT : d pred la valeur b ac Si d = 0 Alors r pred la valeur b a FiSi Si d > 0 Alors r pred la valeur b - d a r pred la valeur b d a FiSi SORTIE : Si d < 0 Alors Afficher «pas de racie» FiSi Si d = 0 Alors Afficher «ue racie :», r FiSi Si d > 0 Alors Afficher «deux racies :», r, «et», r FiSi Voir sur le site a. (x )(x + ) b. (x )(x + ) c. et d. Pas de factorisatio. - a. x - - ( x ) b. (x )(x + ) c. (x + )(x + ) d. x. P(x) = x(x + ) (x - 9 ) d. Solutios : 0 ; ; La courbe semble être ue droite.. x + x + = (x )(x + ). f(x) = x + mais ceci est valable que pour les réels x différets de. La courbe représetat la foctio f est doc la droite d équatio y = x +, privée de so poit d abscisse. 8 a. x + Sige de x + x + 7 b. Soit x = - et x = +. x x x + sige de x x + 9 c. x sige de x x d. x + sige de x + x a. x > 0 sur ] ; [ ] ; + [ et x 0 sur [ ; ]. b. x 8 > 0 sur ] ; [ ] ; + [ et x 8 0 sur [ ; ]. c. (x )(x + ) > 0 sur ] ; [ ] ; + [ et (x )(x + ) 0 sur [ ; ]. d. x + x + 0 < 0 sur ] ; [ ] ; + [ et x + x sur [ ; ]. 0 a. x < 0 x < x Œ] ; [. b. x < 0 < x x Œ] ; [ ] ; [. c. x + x 0 x Œ[- ; 0]. 0

22 d. O peut résoudre cette iéquatio à l aide des courbes de référece d équatio y = x et y = ou par le x calcul : x x x x < 0 x - 0. x x 0 + sige de x sige de x sige de x x L esemble des solutios est ] ; [ ]0 ; [. Les esembles de solutios sot : a. ] ; 8[ ] ; + [ b. ]-- 0 ;- 0[ c. ] ; - [ ]0 ; + [ x - x d. x - x x Par u tableau de sige o trouve comme esemble de solutios : ] ; 0[ È ; ÎÍ.. b. Il suffit de trouver a, b, c tels que : a Ô b- a Ì Ôc - b - ÓÔ - c soit a =, b = et c =. c. g(x) = (x )(x + x ). x + x a pour racies x = et x = - ª 0, 87. Par u tableau de siges : x x x + Sige de x 0 + Sige de x + x Sige de g( x) x - 8x x -. f x 8 x x Pour x >0, f(x) 8 0 doc f(x) 8.. De plus, f() = 8, doc 8 est le miimum de f sur ]0 ; + [. 7 O peut predre par exemple les poits suivats : Soit (x) l aire de DNEMG, e cm. EMB est rectagle isocèle e M doc BM = EM = NC = x. D où : (x) = - x- x- x (x) = x 8x + 0 (x) > x - 8 x 0. L esemble des solutios est [0 ; ].. Esemble des solutios : 7 ; - È Î - ; È». ÎÍ. f est au-dessus de g sur 7 ; - È et sur - È ÎÍ ; ÎÍ ; f est e dessous de g sur 7 - ;- È. ÎÍ. x + x+ 0 pour tout x réel (D ).. Pour tout réel x, x + x+ > 0 doc f(x) < x < (x + x + ) f(x) < -x -x Le triôme x x 0 a pas de racies (D - ) doc est égatif pour tout réel x. Par coséquet f(x) < pour tout réel x. f(x) > x x x f(x) > 0 x x 0 ce qui est vrai pour tout réel x.. O peut predre ymi = et ymax =. O cherche la parabole passat par A, B et C : O pourra predre comme équatio de courbe : y =,9x + 9,x pour 0 x 9, ª 9,. 9, O etrera doc das GeoGebra : O détermie de même l arc suivat : Chapitre. Secod degré

23 . Voir fichiers sur le site 8 Soit B(q) le bééfice pour ue quatité q produite, e euros. B(q) = q C(q) = 0,0 q + q 000 B(q) a pour racies q ª 8, 7 et q ª 88,7. B(q) 0 si et seulemet si q Œ [87 ; 88]. 9 a. Pour x =,88 o a y ª 9, doc la balle passe au-dessus du filet. O cherche à quelle distace du filet elle touche le sol. L équatio y = 0 a ue seule solutio positive : x ª 9,8. Or S B =,88 +, = 8,8 m. Comme x > S B, la balle sort du carré de service. b. Pour x =,8 o a y ª 0,97 doc la balle passe audessus du filet. L équatio y = 0 a ue seule solutio positive : x ª 7,9. La balle arrive bie das le carré de service. 0. ta a = ED EC. gpnd = a doc DP = PN et PN = (AD h) = h.. (h) = h + h pour h Œ ; 7.. (h) h + h 0 h Œ ;.. h, 7 (h), L aire maximale est, m. O doit avoir x 0 et x 0. Doc x Œ È 0 ; 0. ÎÍ L aire C(x) colorée est alors C(x) = x + 0x. O cherche à avoir C(x) iférieure à la moitié de l aire du carré c est-à-dire C(x) 0. x È x 0 0 x ŒÍ ; Î 0-0 ª, et ª, 9. Doc C(x) 0 Œ È Î Í x ;.. T =. Voir sur le site a. f() = ; f() = ; f() =. a, b, c doivet doc vérifier les équatios suivates : a b c Ô Ìa b c Ó Ô9a b c b. f x x x c. Voir sur le site d. O cojecture T = mais ce est qu ue cojecture.. E assemblat deux ombres triagulaires T o obtiet u rectagle de dimesios et +. Doc T = ( + ) et T =. Soit le ombre de persoes, > soit, e simplifiat, - = -. - O résout doc 9 = 0 dot les solutios sot 8 et. O a doc =.. a. MN OM x AB OA d où MN = AB x x b. Das le pla (AOC), MQ AM - x OC AO d où MQ = x.. (x) = x( - x). x 0 (x) 0 L aire maximale est cm.. (a, b, c) = (,, ). O obtiet esuite (,, ) puis (, 7, ) ; (, 9, ) ; (,, ) ; (,, 8).. a. O recopie esuite vers le bas les formules etrées e lige. b. Voir sur le site c. Ils semblet apparteir à ue parabole.. a. Des essais sur le tableau motret que les poits placés semblet apparteir à la parabole C d équatio y = x. b. U triplet (, b, b ) a pour successeur (, + b, + b + b ) soit (, + b, ( + b) ) doc il est aussi de la même forme (, b, b ). c. Le premier triplet doe le poit P (b, b ) qui appartiet bie à C. Le secod triplet est ecore de la 0.

24 même forme doc le poit P associé appartiet à C, et aisi de suite jusqu au 0 e poit. Pour aller plus loi a. Il suffit de poser k = c b. b. Le triplet suivat (, b, b + k) est (, + b, + b + b + k) = (, + b, ( + b) + k) doc il est de la même forme. De faço géérale, les 0 poits placés appartieet doc à la courbe d équatio y = x + k soit y = x + c b.. Vrai car b ac 0. Faux. Cotre exemple : x x + a deux racies et a et c sot de même sige. 7 a. Vrai. Sio le triôme s aulerait ou même chagerait de sige. Faux ; le triôme e chage pas de sige mais il peut être toujours positif comme x a + b + c = 0. De multiples solutios avec somme ou produit des racies. O peut aussi utiliser la questio : ax + bx + c = ax + bx a b = a(x ) + b(x ) = (x )[a(x + ) + b]. b c Doc l autre racie est x = - - a a. 9 Das le triagle ABC, rectagle e B, l hypotéuse [AC] est le plus grad côté doc AC > AB et A est extérieur au cercle de cetre C et de rayo CB. Aisi u des poits d itersectio appartiet bie à [AC] et l autre pas. Doc AD = AC p = q p p - et AE = AC + p = q p p. Or l équatio x px q = 0 a pour solutio p p q p p q et p p q. Les solutios de l équatio sot doc AE et AD. Ue autre solutio, géométrique est étudiée au chapitre,tp, page. 70 est effectivemet ue solutio. Travail persoel Pour les exercices 7 à 9 : voir corrigés e fi du mauel. APPROFONDISSEMENT 9 a. x + x + > 0 pour tout réel x. x x < 0 x Œ] - ; [. L esemble des solutios est ] ; [. b. O utilise u tableau de siges x, + Sige de x x Sige de x Sige de -x - x 0 x L esemble des solutios est ] ; ] ] ;,] 97 a. X X + 7 = 0 a pour solutios X = et X = 9. Les solutios de l équatio x x + 7 = 0 sot doc, -, et. b. X +X = 0 a pour solutios X = et X =. Les solutios de l équatio x + x = 0 sot et. 98. Les solutios sot et.. O pose X = pour x. x - O a doc X = ou d où x = ou. 99. idivis() revoie la liste des diviseurs positifs de.. a. Voir sur le site x + x + = xx 0. Les solutios sot 0 et. x x + = xx- 0. Les solutios sot 0 et = ( + )( + + ) avec + et + + etiers différets de si >. Doc aucu + + est premier pour tout >. Pour =, + + = qui est bie u ombre premier. 00. La distace du poit A à la droite d est : la plus petite distace etre A et u poit de d ; la distace AH où H est le poit d itersectio de d et de la perpediculaire à d passat par A.. Voir sur le site b. MF = x y - a et la distace de M à d est MH = y. c. MF = MH MF MH x y - ay a y. P a pour équatio x ay + a = 0 ou ecore y = a x a puisque a 0 du fait que F œ d. d. Par exemple pour a = : Chapitre. Secod degré

25 y F J O H x 0. Voir sur le site a. gpma = gqmb = doc gpmq = 90. b. PQ = PM + MQ avec AM = PM soit PM = x et MQ = MB - x. D où PQ = x x a. x PQ b. O e déduit que pour x Œ [0 ; ], PQ 8 d où PQ 8 car PQ est positive et la foctio carré est strictemet croissate sur [0 ; + [. c. 8. Doc, pour tout x de [0 ; ], PQ Œ È Î ;. Par suite, si l œè Î ;, il existe pas de valeur de x doc de poit M tel que l = PQ.. a. I est tel que qbai = qabi = doc I est le poit (fixe) tel que ABI est rectagle isocèle e I, situé du même côté que P et Q par rapport à [AB]. b. PMQI a quatre agles droits doc c est u rectagle et de ce fait IM = PQ = l.. a. Soit l ŒÈ Î ;. O trace le cercle de cetre I et de rayo l. La distace de I à la droite (AB) est la médiae du triagle rectagle isocèle AIB, doc est égale à AB, soit. De plus IA = IB = AB. Comme l ŒÈ Î ;, le cercle de cetre I et de rayo l coupe le segmet [AB ] e deux poits M et M (évetuellemet cofodus si l ). Les poits M et M sot tels que IM = IM = l doc les poits P, Q, P, Q associés sot tels que P Q = P Q = l. b. Pour l, : A P M I Q I M M B 0. Voir sur le site a. (BM) : y = - t x. t N(0 ; t) doc (AN) : y = - x t. t t b. L abscisse de P est solutio de - - x x t d où P a pour coordoées (t ; t ). c. t = x P doc y P x 8 P. Le poit P appartiet à la parabole d équatio y = - x. 8 d. Quad t décrit ]0 ; + [, l abscisse de P décrit ] 0 ; + [ doc P décrit ue demi-parabole. e. Pour obteir l autre demi-parabole, o trace le symétrique de la partie obteue par rapport à la droite (BJ). O obtiet aisi toute la parabole privée de so sommet B. 0 La droite d m passat par R et de coefficiet directeur m a pour équatio y = mx +. O cherche à résoudre x + x + = mx + soit x + ( m)x + 9 = 0. Le discrimiat est D-m - m - m - 7. Δ 0 m ou m 9. La droite coupe la parabole si et seulemet m ou m O peut choisir au maximum u rayo r égal à 0 cm.. a. Soit v ce volume : v = b. V(r) = 00 r - r r( 00 - r). a. r 00 r 00 - ou ecore r(00 r ) = 00 soit r + 00r 00 = 0. b. O cherche a, b, c tels que a =, b a = 0, c b = 00 et c = 00. Les ombres a =, b = 0, c = 00 covieet (o peut aussi utiliser u logiciel de calcul formel). c. O résout (r )( r 0r + 00) = 0. r = correspod à la boule de la première expériece. O l élimie doc. r 0r + 00 = 0 a pour solutios - ª-, 9 et ª 89,. Ue seule solutio coviet doc : r = -. 0 O ajoute ue logueur x > 0 à chaque côté. Le plus grad côté est alors + x. Le triagle est rectagle si et seulemet si ( + x) + ( + x) = ( + x)

26 soit x + x = 0. Il ya ue seule solutio positive -. 0 a. Faux. Exemple (x + x) + ( x ) = x. b. Vrai. 07 O cherche le miimum de x + sur ]0 ; + [. x À l aide de la courbe d équatio y = x o peut x cojecturer qu il s agit de. O étudie doc le sige de x - x x - x - pour x > 0. x x x Doc x pour tout x > 0. x De plus, pour x =, x. Doc la somme miimale x est. 08 O peut expérimeter avec GeoGebra e créat u curseur x. O doit avoir x > 0, x > 0 et x > 0 doc x >. O résout x > x, x > x, x > x pour savoir quel est le plus grad côté selo les valeurs de x. Pour x <, o a x < x < x. Le triagle est rectagle si et seulemet si (x ) = (x ) + (x ) soit x x + = 0 dot les solutios sot et 7. Or, das ce cas, x doc la seule solutio est x 7. Le triagle a pour dimesios, et Pour x =, le triagle est équilatéral de côté doc est pas rectagle. Pour x >, o a x > x > x. Le triagle est rectagle si et seulemet si (x ) = (x ) + (x ) soit x 8x + = 0 dot les solutios sot et. La seule solutio est doc. Das ce cas, le triagle a pour dimesios : ; ;. 09 O peut expérimeter avec GeoGebra. Voir site. Soit x le côté du triagle équilatéral. O doit avoir 0 < x 0. Le périmètre du triagle est plus petit que celui du carré si et seulemet si x < 0 x x. L aire du triagle est x x x et celle du carré, 0 - x. O cherche doc x tel que 0 - x x soit x x 9 x. L iéquatio (9 )x - 00 x 00 0 a pour esemble de solutios [x ; x ] où x ª 887, et x = ª, Le triagle aura jamais u périmètre plus petit que celui du carré et ue aire plus grade que celle du carré. 0 Soit x le ombre total de siges. O doit avoir ( x ) + = x avec x soit x. ( x ) + = x x x + 0 = 0. Les solutios de cette équatio sot et 0. Ils étaiet doc 0. O peut expérimeter avec GeoGebra. Soit H le milieu de [BC]. Alors (AH) est perpediculaire à (BC) car ABC est équilatéral. Comme (MN) est parallèle à (PQ), (MN) est perpediculaire à (AH). Le symétrique de M par rapport à (AH) appartiet au symétrique de [AB] soit [AC] et à la droite perpediculaire à (AH) passat par M c est-à-dire (MN). C est doc le poit N. De même, P et Q sot symétriques par rapport à (AH). Soit x = HQ. a ˆ Alors PQ = x, et NQ = CQ ta gqcn - x. L aire du rectagle est doc x a ˆ - x qui est maximale pour x = a c est-à-dire quad P et Q sot les milieux de [BH] et [CH].. P(x) = x x coviet.. = = P() P() = = P() P() = = P() P() etc. = P( + ) P() E ajoutat membre à membre et e simplifiat : = P( + ) P() = ( + ) ( + ) = est la moitié de la somme précédete doc =. Chapitre. Secod degré

27 Étude de foctios Pour repredre cotact Les réposes exactes sot : Avec les racies carrées O peut calculer 8 ; ; 0 0 ; 9. a. b. c. + d.. a a a existe pas 9 9 Avec les foctios affies a. x + f(x) 9. b. f(x) = 0 x c. E résolvat l iéquatio ou à l aide du ses de variatio, o obtiet : f(x) > 0 pour x < ; f(x) < 0 pour x >. d. x + g(x) g(x) = 0 x - ; g(x) < 0 pour x < - ; g(x) > 0 pour x > -. Avec les distaces AB = 0 0. Avec les lectures graphiques a. Esemble de solutios : [ ; ] b. Esemble de solutios : ] ; [» ] ; + [

28 Avec les foctios homographiques. a. Pour tout x 0 b. Pour tout x. Vrai Activité. À la recherche d ue formule O peut etrer e D la formule : =SI(C>0;C; C) O pourra comparer avec la formule =ABS(C) Pour aller plus loi Voir fichier sur le site Activité. Ue ouvelle foctio. a. ABT est rectagle e T. b. AB = (x + ) ; AT = + y ; TB = x + y. De AB = AT + TB o déduit que y = x d où y = x car y 0 par costructio de T.. a. Voir fichier sur le site b. O obtiet la courbe représetat la foctio racie carrée. Activité. Des comparaisos (A) est fausse. Cotre-exemple pour x = 0,. (B) est fausse. Cotre-exemple pour x = 0,. Activité. Des foctios u + k et ku. a. Voir fichier sur le site b. x 0 + u(x). Il semble que f ait même ses de variatio que u.. Il semble que g ait même ses de variatio que u si k > 0 et le ses de variatio cotraire à celui de u si k < 0. Activité. Ses de variatio u et u A. Foctio u. a. ombre 0 0, résultat O peut appliquer ce programme de calcul à tout ombre supérieur ou égal à - soit,. b. Si, a < b alors 0 u(a) < u(b) car u est strictemet croissate sur. D où 0 ua ub car la foctio racie carrée est strictemet croissate sur [0 ; + [. O e déduit que : si, a v(b) > 0 car v est strictemet décroissate sur. Chapitre. Étude de foctios 7

29 Doc va > vb 0 car la foctio racie carrée est strictemet croissate sur [0 ; + [. O a doc motré que si a g(b). g est strictemet décroissate sur ] ; ]. B. Foctio u. ] ; [» ] ; + [. Si < a h(b). h est doc strictemet décroissate sur ] ; + [.. a. O trouve de même que h est strictemet décroissate sur ] ; [. b. O pourra esuite les echaîer das u seul tableau : x + u(x) 0 h(x) TP. U problème de programmatio A. U algorithme. a. Avec a =, b = et x =, o obtiet l affichage «pas solutio». Avec a =, b = et x =, o obtiet l affichage «solutio». b. L algorithme demade les valeurs de a, b, et x et teste si la valeur de x etrée est solutio de l équatio ax + b - x = ax + b - - doc y = - 0. Le message affiché doit doc être «solutio». x - B. U programme Le calcul est effectué avec des valeurs décimales approchées. O peut modifier le test pour savoir si y est proche de 0, à 0 9 près par exemple si le logiciel calcule avec cette précisio, c est-à-dire si 0 y < 0 9 ou 0 9 < y 0 autremet dit si y < 0 9. Il faut alors modifier la fi du programme aisi : Si y < 0 9 Alors Afficher «peut être solutio» Sio «pas solutio» FiSi TP. U algorithme O peut modifier l algorithme e ajoutat ue boucle pour l appliquer à tous les etiers etre et 99 et vérifier qu il s arrête bie à chaque fois e doat u résultat. Ou «à la mai», réduire le ombre de cas : a est le chiffre des dizaies et b celui des uités de. Doc = 0a + b et par suite : y = 0a + b 0b a = 9 a b. y pred doc les valeurs 0 ; 9 ; 8 ; 7 ; ; ; ; 8 ; 7 ou 8. O peut calculer les résultats possibles et otat les résultats pour arriver à

30 TP. Foctioemet de l œil A. Résultat prélimiaire Par le théorème de Thalès das les triagles AOB et A OB, o a OA AB. OA AB Par le théorème de Thalès das les triagles DOF et B A F, o a AB AF. OD OF De OD = AB, o déduit que OA AB AF. OA AB OF OA AB fi OA A 0 - OF = OA -. OA AB OA OF OF O a doc OA OA d où OF OA OF OA OA. B. Foctioemet de l œil. C = x où OA est fixée. OA x 0 + C. OF = C x 0 + C + OF 00, OA 00, OA 0, 000. a. d où OF = 0, 0-. OF OA 00, 00, OA OA 00, OA 00, b. Comme OA > 0, o a toujours OF < 0,0 (e mètres) soit OF < 0 mm. 0, 000 Pour OA m, OF 00, - 0, 998 d après le ses de variatio de la foctio qui à OA associe OF. 0, 0 D où 9,98 mm OF 0 mm. c. Quad OA m, le foyer est à mois de cetièmes de mm de la rétie das le modèle géométrique utilisé. Et quad OA augmete, cette distace dimiue ecore. Das la réalité, cette distace a plus aucue sigificatio et o peut cosidérer que le foyer est sur la rétie. TP. Étude d ue distace Voir fichier sur le site pour l expérimetatio. Soit x la mesure de AM e cm. O peut se placer das le repère orthoormé (A ; ur u uru AB, BE : 0 0 CF = 0 - x - x d où CF = 0 x ou bie calculer MC, MF puis CF e distiguat deux cas de figures : si 0 x, CF = MF MC = 0 x ; si x 0, CF = MC MF = x 0. CF si et seulemet si x Œ0 ;» [ ; 0]. y 0 8 f(x) = abs (0 x) A (, ) B (, ) x Chapitre. Étude de foctios 9

31 TP. Ue foctio homographique A.. Voir fichier sur le site O cojecture que f est défiie sur \{}, que f est strictemet décroissate sur ] ; [ et sur ] ; + [. ur u B. P existe si et seulemet si (MA) est pas parallèle à (OJ) soit m. AP et AM sot coliéaires si et seulemet si (y P ) (m ) = 0 d où P0; pour m. m -. N (x M ; y P ) soit m ; pour m. m - Doc f(m) = + pour m. m -. f est strictemet décroissate sur ] ; [ et sur ] ; + [. TP7. U dessous-de-plat articulé A.. À la distace maximale égale à.. Voir fichier sur le site AGCF et CKBH sot deux losages superposables avec A, C et B aligés. Doc C est le milieu de [AB], (GF) est la médiatrice de [AC] et (KH) celle de [CB]. B.. b Œ0 ;.. G semble décrire u quart de cercle. O sait que AG = doc G appartiet au cercle de cetre A et de rayo. Par costructio, G reste das le premier quadrat du pla doc appartiet au quart de cercle de cetre A et de rayo situé das ce premier quadrat. L abscisse de G : x G = b par les propriétés de symétrie de la figure. Doc quad b décrit [0 ; ], x G décrit [0 ; ], doc G décrit tout le quart de cercle e questio.. a. Elle a ue ressemblace avec ue portio de la courbe représetat la foctio racie carrée à laquelle o aurait appliqué ue symétrie par rapport à u axe parallèle à (OJ). car C est le milieu de [AB]. K b ; y K est tel que CK = ou ecore CK = c est-à-dire b y k b. C b ; 0 Comme y K > 0, o obtiet y K = - b d où K b ˆ b ; -. c. b 0 b - - b. 0. d. b x K doc y xk K - 9 K appartiet doc à la courbe. La courbe G est pas cofodue avec (o peut le costater e traçat sur le logiciel) car les poits de G ot ue x abscisse positive ou ulle alors que possède aussi des poits d abscisses égatives : - 0 x 9 - x. 9 0

32 Exercices SANS CRAYON, SANS CALCULATRICE a. b. c. 9 d. 9 e. 8 ; ; 00 0 ;. 00 < 08 < doc 0 < 08 doc. 0 < < 0 doc 00 < < 000. s écrit avec chiffres. Figure de gauche : a > 0, D0, b 0 Figure de droite : a < 0, D 7 Aucue solutio 8 No 9 ( ; ) 0 Oui y = - x y = x + 0, b 0 x 0 + f(x) x 0 + g(x) 7 Oui, sur [0 000 ; + [. 8 a. ] ; + [ b. [0 ; 9] c. [00 ; + [ d. [0 ; + [ e. [ ; 8[ f. ] ; 0] 9 a. ] ; + [ b. [ 9 ; + [ c. [ ; + [» {0}. 0, L, et, l, doc, par étapes, o motre que,, L l,, d où, L l,9. a. x 7 b. 0 x c. x 9 d x 8 e. 8 x 8 f. 0 - x pour x Œ[ 0 ; ] seulemet. doc 7 8 d où doc 7 d où etc. Le ombre doé est compris etre et.. 0 h 7 doc, e m.s, 0 V g, d où, e km.h, 0 V 0,.. V max ª 97,8 km.h. La vitesse de 00 km.h est pas atteite, ecore mois pedat secodes. a. b. - 9 x - a. b. - x x - x - x - 9 d. x x c. + d. c. x x x 0 + h(x) ENTRAÎNEMENT. BC = BD = BC CA = - EA = AB BE =. AB EB - et EB EA - - ˆ -. a. 0 x b. 0 < x 0, c. x 0 7. a. - b. doc - > =. - Chapitre. Étude de foctios

33 Pour tout etier positif ou ul, f(x) = x x - f(x) = x x - x x x f(x) = x x x x x x x. Pour tout x réel, x + x + > 0, car x + x + = (x + ) +, doc x x 0. De plus (x + ) 0 doc f(x) 0. Par suite f(x) pour tout x réel.. f( ) = 0 doc f( ) =. Doc f a pour miimum, atteit e. 9 g() =. O calcule g(x) : g(x) = -x x x x x x - 8 g(x) = -x x - 8 x - g(x) - -x x - 8 Pour tout x de [ ; ], -x x et (x ) 0 doc g(x) 0 et g(x). O e déduit que g admet pour maximum et qu il l atteit e. 0. a. Soit a < b. Alors f(b) f(a) = b - a b - a f(b) f(a) = b a. Doc f(b) f(a) > 0 soit f(a) < f(b). f est strictemet croissate sur [ ; + [.. b. Soit a g(b). La foctio g est strictemet décrois sate sur ] ; [.. O développe le membre de droite.. Soit 0 a < b. Alors a + ab + b > 0 et a b < 0 doc f(a) f(b) < 0 soit f(a) < f(b). f est strictemet croissate sur [0 ; + [.. Soit a , c., >, >, d. 0, < 0, < 0,. O coaît déjà la positio relative des courbes d équatios y = x et y = x. x x = x (x ). x 0 + x x 0 + x x G : y x coupe les courbes d équatios y = x et y = x aux poits de coordoées (0 ; 0) et ( ; ). G est e dessous des deux autres courbes sur ] ; 0[ et sur ]0 ; [ mais au-dessus sur ] ; + [.. y y = x y = x y = x 0 x O étudie le sige de (x x + ) ( x + ). Soit x x, dot les racies sot - et. et d se coupet aux poits d abscisse - et, de coordoées (- 9 ; et ( ; ). est au-dessus de d sur ] ; - [ et sur ] ; + [. est e dessous de d sur ] ; [.. Il est difficile d émettre ue cojecture au voisiage de.

34 . O étudie le sige de 9ˆ 9 - x x - - x - x x - soit - x -. et d se coupet au poit de coordoées ;. est e dessous de d ailleurs. O étudie le sige de D(x) = x x x - x - x x + + x x x Dx La courbe : y coupe la droite x d : y = x + aux poits de coordoées ( ; - et ( + ;. est au-dessus de d sur ] ; [ et sur ] ; + [. est e dessous de d sur ] ;- [ et sur ] + ; [. 7. Sur [ ; 7[, C f est au-dessus de C g. Sur ]7 ; + [, C f est e dessous de C g. 8 a. b., c. - d. e. f. 0 g. 0 h. 0 p 9 VARIABLES : x ombre ENTRÉES : saisir x TRAITEMENT : Si x < 0 Alors x pred la valeur x FiSi SORTIE : Afficher x 0 a. Les solutios sot et. b. Pas de solutio. c. Les solutios sot - et - d. Esemble des solutios : ] ; [ e. Esemble des solutios : [ 00 ; 00] f. Esemble des solutios : ] ; 0,0[» ]0,0 ; + [.. et et -. max(x ; x) = x.. f( ) = ; f(0) = ; f( ) = 0.. y 7. Si x alors x 0 soit 0 g(x). Si x alors 0 x + doc 0 f(x) par stricte croissace de la foctio racie carrée sur [0 ; + [. Doc pour x, g(x) 0 f(x).. f(x) g(x) = x -x - f(x) g(x) = x - x - = - x 9 x - x x - D avec D = x x -. Pour x >, x 0 et x > 0 doc D > 0.. Sur ] ; + [, f(x) g(x) a même sige que x + 9x, triôme de degré de racies et 7, égatif sauf etre ses racies. Doc : sur ] ; 7[, f(x) g(x) > 0 sur ]7 ; + [, f(x) g(x) < 0. Fialemet : C f et C g se coupet au poit de coordoées (7 ; ). 7 x f(x) = x + pour tout réel x car : pour tout x <, x + < 0 doc x + = x qui est bie f(x) das ce cas ; pour tout x, x + 0 doc x + = x + qui est égal à f(x) das ce cas.. Si x, d(x) = x ; si x, d(x) = x. Ou ecore d(x) = x. Chapitre. Étude de foctios

35 . y x Le coût total pour jouraux est doc, e euros, ,0. Le coût moye par joural pour jouraux vedus est doc 80 00, e euros.. Le coût moye par joural dimiue quad le ombre de jouraux imprimés augmete.. Œ * doc , 07, 0, 7. La productio miimale assurat u coût iférieur à 0,70 est de 7 jouraux imprimés.. Si a 0 et b 0 : a b = a b. De plus ab 0 doc ab = ab. Doc ab = a b. Si a et b 0 : a b = ( a) ( b) = ab De plus ab 0 doc ab = ab. O a aussi ab = a b. Si a 0 et b 0 : a b = a ( b) = ab. Or ab 0 doc ab = (ab). O a ecore ab = a b. Quitte à échager a et b o a traité le cas où a et b sot de siges opposés. Doc pour tous a et b réels, ab = a b.. Même pricipe. a. Strictemet croissate sur [0 ; + [. b. et c. Strictemet décroissate sur ] ; 0] et strictemet croissate sur [0 ; + [. d. Strictemet décroissate sur] ; 0[ et sur ]0 ; + [. 7 a. Strictemet croissate sur [0 ; + [. b. et c. Strictemet croissate sur ] ; 0] et strictemet décroissate sur [0 ; + [. d. Strictemet décroissate sur ] ; 0[ et sur ]0 ; + [. 8 a. Strictemet décroissate sur [0 ; + [. b. Strictemet décroissate sur ] ; 0] et strictemet croissate sur [0 ; + [. c. Strictemet croissate sur ] ; 0] et strictemet décrois sate sur [0 ; + [. d. Strictemet croissate sur ] ; 0[ et sur ]0 ; + [. 9 Pour u et v défiies sur par u(x) = x et v(x) = x, toutes deux strictemet croissates sur ] ; 0] et sur [0 ; + [, le produit uv est strictemet décroissat sur ] ; 0] mais strictemet croissat sur [0 ; + [. 0. Pour 0 jouraux imprimés, les frais ot été de 0 dot 80 de frais fixes. La part variable proportioelle aux ombre de jouraux imprimés est doc de 0 pour 0 jouraux doc de 0 euros pour 0 jouraux.. Par le théorème de Thalès das les triagles MOP et MAB, AB MA d où OP = x OP MO x x.. f est strictemet décroissate sur ]0 ; + [.. a. Voir fichier sur le site b. Il semble que f soit strictemet décroissate sur ]0 ; + [.. a. ABD est rectagle e D doc AB = AD + DB et CE = CD + DE par le théorème de Pythagore. b. AB + CE = (AD + DE ) + (CD + DB ) doc AB + CE = AE + BC par le théorème de Pythagore. c. AE = y ; BC = x ; CE = + (y x) (o peut tracer le projeté orthogoal H de C sur (AE) et raisoer das le triagle CHE ou itroduire u repère orthoormé). Doc + + (y x) = y + x soit xy = 0 ou y = pour x > 0. x. O a doc f(x) = pour x > 0. La foctio f est x strictemet décroissate sur ]0 ; + [.. MN = (x y) ; AN = y + 9 ; AM = x Par le théorème de Pythagore, MN = AM + AN doc xy = 9.. f(x) = - 9 pour x > 0. x x 0 + x f(x) a. x b. x c. x d. x Œ] - ;- ]»[ ; [ e. x 0 f. x > 0

36 a. x ux 0 b. ux x - + ux 0 c. ux x + ux 0 0 ux a. Strictemet croissate sur [ ; + [. b. Strictemet décroissate sur ] ; ]. c. Strictemet décroissate sur ] ; 0] et strictemet croissate sur [ 0 ; + [. d. Strictemet décroissate sur ]0 ; + [. 7. a. x Œ] 0 ; 8 [ (ou [0 ; 8] si o admet u triagle rectagle aplati). b. p(x) = AB + AC + BC = 8 + x 8 - x p(x) = 8 + x -x p a doc même ses de variatio que u(x) = x x +. x 0 8 ux ux p(x) u où. Doc le miimum de p sur ] 0 ; 8[ est p() = 8 +. Il est atteit quad AB = AC = cm c est-à-dire quad le triagle rectagle ABC est isocèle e A O étudierait le ses de variatio de la foctio v qui à t associe v(t) = 0 7 t.. La foctio v est strictemet croissate sur [ 7 ; + [. La vitesse dimiue quad la température dimiue. 9. MM = CM CM MM = CB BM - CM MM = BM - La foctio f est doc défiie par f(x) = x - pour 0 x.. f est strictemet croissate sur [0 ; ].. O costate (par exemple à l aide de la calculatrice) que f() = ; o le vérifie par le calcul. De la stricte croissace de f, o déduit que f(x) x.. Pour que MM, il faut et il suffit que BM. 0 Soit u(x) = x + x + x ux ux 0 0. O trouve eviro, cm.. a. f(x) = x y x - x f(x) = x - 0x. b. f est strictemet décroissate sur ] ; ] et strictemet croissate sur [ ; + [. c. f atteit doc so miimum e. La distace de O à la droite d est f() = ª,. a. x + ux ux 0 0 Chapitre. Étude de foctios

37 b. x + b. x 0 + ux ux 0 0 ux ux c. x c. x + ux 0 0 ux 0 ux 0 0 ux d. x + ux 0 0 ux 0 0 x + 0x 0 0 x ŒI È avec I = Í ; Ã [ ; 8]. Î De plus la valeur maximale prise par y est obteue pour x = 0, : y ª 7,. d. x + u(x) 0 ux a. f est strictemet décroissate sur ] ; [ et sur ] ; + [. b. f est strictemet croissate sur ] ; [ et sur ] ; + [. c. f est strictemet croissate sur ] ; 0[ et strictemet décroissate sur ]0 ; + [. d. f est strictemet décroissate sur ]0 ; + [. a. f est strictemet décroissate sur ] ; [ et sur ] ; + [. b. f est strictemet croissate sur ] ; [ et sur ] ; + [. c. f est strictemet croissate sur ] ; 0[ et strictemet décroissate sur ]0 ; + [. d. f est strictemet croissate sur [0 ; + [. a. x 0 + ux ux 7 Leur ses de variatio idiquet que f et k e peuvet être associés qu aux graphiques b et c. Or f est pas défiie e et k est pas défiie e doc : f est associé au graphique c ; k est associé au graphique b. De même g est pas défiie e et h e doc parmi les graphiques restats : g est associé au graphique a h est associé au graphique d.

38 8. Par le théorème de Pythagore das le triagle AMN, MN = MA + AN = ( x) + ( y). Les cercles sot tagets doc la distace etre leurs cetres MN est égale à la somme de leur rayos : MN = x + y d où MN = (x + y).. ( x) + ( y) = (x + y) 8 x y = xy soit y(x + ) = x d où y = - x. x 8 x Or doc y = -. x x x. Cette foctio est strictemet décroissate sur [0 ; ]. 9 Avec Xcasfr : a. f(x) = +. f est strictemet décroissate sur x - ] ; [ et sur ] ; + [. b. f(x) = +. f est strictemet décroissate sur x ; - È et sur - È ÎÍ ; ÎÍ. 70. f(x) = x - 7 x 7. f(x) = -. O a doc a = et b = 7. x. f est strictemet croissate sur ] ; [ et sur ] ; + [. 7 a. f(x) = + pour tout x. Doc f est x - strictemet décroissate sur ] ; [ et sur ] ; + [. b. f(x) = + pour x. Doc f est strictemet x décroissate sur ] ; [ et sur ] ; + [. 7 a. Cas où u est strictemet croissate sur I et u(x) < 0 sur I : pour tous a et b de I, si a < b, alors u(a) < u(b) < 0 car u est strictemet croissate sur I et strictemet égative sur I. Doc ua ub par stricte décroissace de la foctio iverse sur ] ; 0[. Aisi est strictemet décroissate sur I. u b. Cas où u est strictemet décroissate sur I et u(x) > 0 sur I (ou u(x) < 0 sur I). O applique le résultat précédet à la foctio u : - u = u est strictemet décroissate sur I doc u est strictemet croissate sur I. 7 (A) Vrai (B) Faux (C) Vrai (D) Faux (E) Vrai 7. Soit u(x) = x + x +. x ux f(x) 0 0. x g(x). a. 0 y 9 0 x g b. Elles sot symétriques l ue de l autre par rapport à l axe des abscisses. E effet pour tout poit M(x ; f(x)) de C f, so symétrique M (x ; f(x)) appartiet à C g puisque g(x) = f(x), et iversemet.. M(x ; y) Œ C f y = -x x Ô y -x x Ì ÓÔ y 0 Ô x Ì - x y - 0 ÓÔ y 0 Or AM = (x ) + y = x x + + y, doc Ô AM 9 AM M(x ; y) Œ Cf Ì Ì ÓÔ y 0 Ó y 0 Par coséquet C f est le demi-cercle de cetre A et de rayo situé au-dessus de l axe des abscisses et est le demi-cercle de cetre Q et de rayo situé e dessous de l axe des abscisses. f Chapitre. Étude de foctios 7

39 7 L aire d u disque est proportioelle à l effectif qu il idique. Cet effectif est oté sur l axe horizotal. Soit r(x) le rayo et d(x) le diamètre du disque taget à l axe horizotal e x. Si r 0 est le rayo, et d 0 le diamètre, du disque représetat u effectif égal à, o a alors p r x x pr0 d où r(x) = r0 x et d(x) = d 0 x. O a doc ue courbe qui a la même allure que celle de la racie carrée. 7. Ceci viet du fait que pour x >, x x. Pour l Allemage et la Pologe : la populatio de l Allemage est eviro 8 millios d habitats, celle de la Pologe 8 millios. 8 ª, doc si les pays sot représetés proportioellemet à leur populatio, l Allemage a ue impor- 8 tace double de celle de la Pologe. Mais E fait 8 8 ª, ; si les pays sot représetés proportioellemet à la racie carrée de leur populatio, l Allemage a ue importace égale à ue fois et demi celle de la Pologe. So importace a doc bie été miimisée. De même pour tout autre pays de l UE de populatio p, e millios, où p < 8 :. p p p TRAVAIL PERSONNEL Pour les exercices 77 à 0 : voir corrigés e fi du mauel. APPROFONDISSEMENT 0. a. OM = a b et ON = b a. b. Soit K le milieu de [MN] : x k = a b ; y k = b a doc y K = x K et K appartiet à d. c. Si b a et b - a, O et K sot deux poits disticts de d, équidistats de M et N, disticts, doc d est la médiatrice de [MN], ce qui sigifie que M et N sot symétriques par rapport à d. Si a = b, M et N sot cofodus et appartieet à d doc ils sot symétriques par rapport à d. Si a - b, a 0, O = K, milieu de [MN]. M et N sot disticts et appartieet à d : y = x qui est orthogoale à d. Doc d est orthogoale à [MN] et coupe [MN] e so milieu. Doc M et N sot symétriques par rapport à d.. a. M(a ; a ) b. M ( a ; a) d après la questio. a a doc M appartiet à. c. N(a ; a ) avec a 0 doc so symétrique N par rapport à d a pour coordoées (a ; a). Comme a 0, a a doc N appartiet à. d. De. b. o déduit que la symétrique de par rapport à d est icluse das. De. c, o déduit que tout poit de a so symétrique das. Doc et sot symétriques par rapport à d. 0 Voir fichier dispoible sur le site (HM) et (BG) sot coplaaires (das le pla (ABG)) et o parallèles doc sécates.. a. ABGH est u rectagle de dimesios cm et cm. b. Par le théorème de Thalès das les triagles MBP et MAH : BP MB soit BP x x d où fx AH MA x x.. a. Il suffit de réduire le secod membre au même déomiateur. b. f est strictemet croissate sur [0 ; + [. c. Pour tout x > 0, x + > 0 doc > 0 et x f(x) <. d. Quad M s éloige de B, P s éloige de B sur [FG] mais atteit jamais G. 0. f est strictemet décroissate sur [0 ; ]. Partie A.. a. Les rectagles ot pour base et pour hauteurs respectives f(0,), f() et f(,). b. [ f0 f0, f f,. O ecadre A par les deux aires calculées précédemmet d où,9,.. a. Sur GeoGebra : 8

40 Partie B a. M(x ; y) appartiet à f si et seulemet si y = - x avec 0 x ce qui équivaut à x + y = avec 0 x et y 0 soit OM avec 0 x et y 0. Doc f est le quart du cercle de cetre 0 et de rayo situé das le premier quadrat. b. So aire est doc = pr p. O a doc ª, qui est cohéret avec les différets ecadremets trouvés. b. Les aires sot doées par : a = 0, [ f0, f0, f07, ºf7, ] b = 0, [ f0 f0, f0, f07, º f7, ] d où,8 A,.. Algorithme VARIABLES : a, b, k ombres INITIALISATION : a pred la valeur 0 b pred la valeur 0 TRAITEMENT : Pour k allat de à 999 a pred la valeur a + 0,00*f(k*0,00) b pred la valeur b + 0,00*f((k )*0,00) FiPour b pred la valeur b+0,00*f(0,999) SORTIES : Afficher a Afficher b b. Sur AlgoBox par exemple, e etrat la foctio f e F : 0. A(a ; a ; Bb ; b.. K a b ; a b ˆ.. a. a b a b a b b.. a bˆ a b a bˆ a b a b doc a bˆ a bˆ a b- a b - = a - b. Cette différece est positive ou ulle. O e déduit que a bˆ a bˆ. a b a b Doc car ces deux ombres sot positifs ou uls. 0. I = (0 ; ]. Voir fichier sur le site O cojecture que m =.. OB = OM + MB doc MB = x et MB = - x. fx OM. BC - x x. c.. a. f(x) = x - x - f(x) = x - x - car x 0. f(x) = x - x - x - x - b. f(x) = x - x x - x > 0. x + x = t + t avec t = x. t + t = (t t + ) = (t ) Par suite, t + t 0 pour tout réel t doc x + x 0 pour tout x. Chapitre. Étude de foctios 9

41 D où f(x) 0 pour tout x de I. c. O a doc f(x) pour tout x de I. De plus f(x) = -t - 0 avec t = x doc f. L aire maximale est doc atteite e x et est égale à. Remarque : o peut retrouver ce résultat géométriquemet car l aire de OB est le double de celle de OMB soit OB OH = OH où H est le projeté orthogoal de M sur [OB]. Elle est doc maximale quad OH est maximale. Si L est le milieu de [OB], ML = OB. c. y 0 8 Si H L, MHL état rectagle e H, MH < ML doc MH <. Si H = L, MH =. Doc MH est maximale quad H = L c est-à-dire quad OMB est isocèle e M (soit OM = et das ce cas l aire de OBC est égale à. 07. g est strictemet croissate sur [ ; + [.. a. Pour x 0, x < x + doc x gx par stricte croissace de la foctio racie carrée. La courbe f est doc e dessous de g. c. Les courbes semblet se cofodre.. f(0) = 0 ª, 7 et g(0) = ª, 8. L uité état cm, la distace etre les poits de f et g d abscisses 0 sur le papier est eviro 0, cm. O peut doc les distiguer. Pour les poits d abscisses 00 : 00 0 et 0 ª 0, 099, o e les distiguerait doc pas. Pour les poits d abscisses 00 : 00 ª, et 0 ª, 8 doc o e les distiguerait pas o plus. x - x x x. a. gx- fx x x gx- fx. x x b. g(x) f(x) > 0 doc f(x) < g(x). Pour x > 0, x x doc x x x 0 et < x x x soit g(x) f(x) < x. c. O est sûr de e plus distiguer les poits d abscisse x dès que x est tel que 00, soit x > 0 doc x x > À la distace p = m. 0r 0r a = doc p 0 - r r r. b. Elle est strictemet croissate sur ] ; + [ x d. Elle est située e dessous de la droite d équatio y = 0 puisque p < 0 pour tout r >.. D après la courbe, o va choisir ue mise au poit à 0 m pour qu elle soit valable pour importe quelle valeur de r aussi grade soit-elle. 09 O peut expérimeter sur u logiciel de géométrie. Soit x = AM et p(x) le périmètre de MNST. MN = NS = ST = TM = x 0 - x Doc p(x) = x 0 - x p(x) = x - 0 x 00 p a même ses de variatio que la foctio u défiie sur [0 ; 0] par u(x) = x 0x D où le tableau de variatio de p x 0 0 p(x) 0 0 Pour avoir u périmètre maximal, il faut placer M e A ou e B. Pour avoir u périmètre miimal, il faut placer M au milieu de [AB]. 0 O peut créer u programme sur u logiciel de calcul formel comme Xcas pour calculer cette somme. À la mai : - - Etc Doc e ajoutat membre à membre, o obtiet que cette somme est égale à 9. a. L écart e dimiue pas car augmeter u salaire t ˆ de t % reviet à la multiplier par 00 ce qui e chage pas le rapport. b. Si o augmete les salaires d u motat m, l écart deviet h m - f - m h- f. h m h m 0 0

42 O sait que h f > 0 doc h - f h- f et l écart h m h dimiue effectivemet. E cosidérat le ses de variatio de la foctio qui à m > 0 associe h - f, o peut même dire que plus m h m augmete, plus l écart dimiue.. Avec u logiciel, par exemple u tableur, o peut tirer aléatoiremet u grad ombre de valeurs de a et b, faire afficher les poits M(a ; b) correspodats aux cas où il y a des solutios. À la mai : Les équatios admettet toutes les deux des solutios si et seulemet si les deux discrimiats des triômes x ax + b et x bx + a sot positifs ou uls c est-àdire a b 0 et b a 0 ou ecore b a et b a car a et b sot positif ou uls. Les poits M(a ; b) sot doc situés e dessous de la courbe d équatio y x et au-dessus de celle d équatio y x. y x. Les coditios s écrivet ecore a b b a - 0 Ô Ì Ì. b ÓÔ - a 0 Ôb Ó a er cas : si a < 0 et b de sige quelcoque b a Ô Ì b a. Ô b Ó a e cas : si a > 0 et b de sige quelcoque b a b a Ô Ô Ì Ì Ôb Ó a Ô Ó b a Ôb a Ì Ô Ób - a ou b a O obtiet doc la zoe coloriée suivate : y x y = x y = y =. f() = a b, f() = a b, a b = et a b = reviet à a = b et a = b. Si a et b, (a ) = + b et (a ) = + b, soit a a + 7 = b et a a + = b d où a + 7 = a +. Soit = a, c est-à-dire a =. Si a = alors a = 0 = b d où b =. Si o pred a = et b =, f() = 0 = et f() = =, doc et sot échageables.. f() = a b, f(7) = a 7 b. a b = 7 et a 7 b =. a 7 = b et a = 7 b. Pour a 7 et b, (a 7) = b + et (a ) = b + 7, soit a a + 9 = b + et a 8a + = b + 7 d où a a + = a 8a + 9, c est-à-dire = a a =. Comme a 7, a = e coviet pas, doc et 7 e sot pas échageables.. a u b = v et u = a v b, b u et b v soit b sup( u ; v). a v = u b, a u = v b, u b v b = u v. ( u b v b) ( u b + v b) = (u + b) (v + b) = u v. Doc (u v) ( u b + v b) = u v. Comme u v, u b + v b =. Il e résulte u b et v b, c est-à-dire 0 u + b et 0 v + b. 0 v + b v b 0 de 0 u + b et v b 0 o tire u v. Comme u v est u etier o ul ; il e résulte : u v = ou u v = c est-à-dire v = u + ou v = u. x x Chapitre. Étude de foctios

43 Si v = u + : a u b = v et a v b = u a u b = u + et a u b = u. b = u et a = u + permettet d avoir les deux égalités et sup( u ; u ) = u = b. Doc tous les couples d etiers (u ; u + ) sot iterchageables. Si v = u : a u b = u et a u- b = u, a = u et b = u et sup( u ; u + ) = u + = b permettet d avoir les deux égalités et sup( u ; u + ) = u + = b. Doc tous les couples d etiers ( u ; u ) sot échageables.

44 Dérivatio Pour repredre cotact Les réposes exactes sot :. Le coefficiet directeur de la droite (AB) est -. - Celui de (AC) est La droite (BC) a pour équatio x, c est ue droite parallèle à (OJ). Elle a pas de coefficiet directeur.. a. y A J - - O I x - b. L équatio réduite de cette droite est y -x.. a. y J - - O I x - C b. L équatio réduite de cette droite est y x -. c. Pour tout h 0, h - h h -. h Chapitre. Dérivatio

45 y 7 d d d J d d O I x Droite d d d d d Coefficiet directeur 0 existe pas Équatio y = x y = x + y = y = x - x = Activité. Vitesse istataée. d, - d 9,, -, -, -, 9, 0, 9. Etre les istats t 0 = et t = + h la vitesse moyee de la bille est : d h - d, 9[ h - ], 9 h h h h - h = 9,, 9h.. a. Pour h = 0,, d 0, - d 9,, 9 0, 0, 09. 0, Pour h = 0,0, d 0, 0 - d 9,, 9 0, 0 9, 9. 00, b. La valeur limite à 0, près de d h - d quad h ted vers 0 est 9,. h c. La vitesse istataée de la bille à l istat t = est 9,. Activité. Tagete et ombre dérivé A. Aspect graphique. d. Le coefficiet directeur de cette droite est, f () =. e. La courbe et la droite sot presque cofodues après de ombreux zooms.. b. Voir fichier sur le site B. Aspect umérique. Par le calcul a. O choisit h très proche de 0.

46 b. A( ; ) et M( + h ; ( + h) ) doc le coefficiet directeur de AM est h - h h h. h - h Quad h ted vers 0, + h ted vers. c. La valeur doée par le logiciel est la même que celle obteue par le calcul : f ().. Étude d ue autre tagete a. f ( 0,) =. b. A( 0, ; 0,) et M( 0, + h ; ( 0, + h) ) doc le coefficiet directeur de AM est - 0, - 0, - h h - 0, h - - 0, h h - h c. Quad h ted vers 0, + h ted vers, o peut e déduire que le coefficiet directeur de la tagete à e A est.. Bila : pour tout réel a doé, o calcule f a h - f a fa h - fa. O fait tedre h vers 0 et cette limite si a h - a h elle existe est otée f a. C est le coefficiet directeur de la tagete à e Aa, fa. Activité. Foctio dérivée. b. a 0 f (a) 0 c. Cojecture : f a a pour tout a réel.. c. Pour f x x, ue expressio de f (a) semble être a. Pour aller plus loi f a a - a pour fx x - x - TP. Ue courbe de Bézier. P semble décrire ue portio de parabole quad t décrit [0 ; ]. Les droites (AC), (BC) et (MN) semblet être les tagetes à la courbe G aux poits A, B et P respectivemet.. Soit Mx ; y. ur t tac u ˆ t et AM xˆ y. AM AC uur t équivaut à x t et y t. Doc Mt ; t. Soit Nx ; y. t tcb ur u ˆ - t et CN ur u x - ˆ ur u ur u y -. CN t CB équivaut à x - t et y - -t d où Nt ; -t. Soit P x ; y ur uu tt - t ˆ ur uu x - tˆ ur uu tmn t-t - t et MP y - t. MP t MN équivaut à t = x t et t + t = y t. Aisi P t ;-t t. b. Pour tout t Œ [0 ; ], o pose x t. P t t ; - t d où Px ; - x x. Doc P décrit u arc de la parabole d équatio y - x x pour x Œ [0 ; ]. Chapitre. Dérivatio

47 c. O pose fx - x x. (AC) a pour équatio y x. La tagete T e A à la courbe d équatio y f 0x f 0 soit y x. Doc (AC) est la tagete à la courbe G au poit A. (CB) a pour équatio y -x. La tagete T à la courbe e B d équatio y f x - soit y - x +. Doc (BC) est la tagete à la courbe G au poit B. Mt ; t etnt ;-t doc - t - t -t doc (MN) a pour coefficiet directeur - t. t - t Or les coordoées de M vérifiet y - t x b d où b -t. (MN) a pour équatio y - t x - t. M, N, P sot aligés ; il suffit doc de motrer que le coefficiet directeur de la tagete à G au poit P est - t. O a f (x) = - x doc le coefficiet directeur de la tagete à G au poit P d abscisse x t est - t - t. Coclusio : (MN) est la tagete à G au poit P. TP. Arrodir les agles Soit la parabole d équatio y = ax + bx + c et f la foctio défiie sur par f(x) = ax + bx + c. A(9 ; 9) appartiet à doc 9 8a 9b c B( ; ) appartiet à doc a b c La droite (AO) est la tagete à e A ; so coefficiet directeur est doc f (9) = soit 8a b De même e B, le coefficiet directeur de (BC) est - doc f () = - soit a + b = - O peut détermier a et b à la mai à partir des équatios et puis détermier c e vérifiat la compatibilité des équatios et ou plus simplemet résoudre directemet avec u logiciel de calcul formel le système formé par les quatre équatios : 8a b Ô Ô a b - Ì Ô a b c Ô Ó 9 8a 9b c 7 8 Aisi a -, b et c -. 8 L arc de parabole qui relie A et B e évitat tout chagemet brutal de directio e A et B a pour équatio y - x 7 8 x - 8 avec x Œ 9 ;. TP. La méthode de Newto-Raphso A. a. O veut résoudre l équatio x 0. b. O sait que pour tout p Œ[ 0 ;, ] p p doc il est raisoable de égliger p par rapport à p. c. Pour x, < x < doc la solutio positive de x = 0 est comprise etre et. O pose x = + p avec 0 < p < aisi x 0 p 0 8p p 0. O églige p par rapport à p ; il viet alors 8p 0 d où p. Aisi ue approximatio de la solutio positive de x 0 est ou avec les otatios d Euler :. 7. b. La secode partie du texte ous doe comme approximatio de 0.

48 B.. a. L abscisse du poit d itersectio de avec l axe des abscisses est la solutio de fx 0 avec x 0 c est-àdire 0. b. La tagete T à au poit d abscisse a pour équatio y f x - f 8x -. c est-à-dire So itersectio avec l axe des abscisses est le poit de coordoées 8 ; 0 ; 0. O approxime la courbe par sa tagete au poit d abscisse et o résout l équatio 8x - 0à la place de x c. La tagete T à au poit d abscisse a pour équatio y 9x x - 0 x. 7 Le poit d itersectio de T et de l axe des abscisses a pour coordoées ; 0. O retrouve la secode approximatio de 0 doée das la partie A. 7 d. Pour obteir ue ouvelle valeur, o détermie ue équatio de la tagete T à au poit d abscisse et o trouve l abscisse du poit d itersectio de T et de l axe des abscisses.. Soit a u réel de [ ; ]. Ue équatio de la tagete T au poit d abscisse a est y f ax - a fa avec f a a. Aisi l abscisse du poit d itersectio de T et de l axe des abscisses est solutio de fa a - 0 a 0 f ax - a fa 0 qui équivaut à x a- a - car a 0. f a a a b. Les valeurs obteues avec la calculatrice sot, puis,7 puis,79. La valeur approchée de 0 doée par la calculatrice est,79. c. Algorithme Saisir a pred la valeur Pour k de jusque Faire a pred la valeur a/+0/a Afficher (a) FiPour TP. Avec des pliages B.. Les poits marqués semblet apparteir à ue parabole et les différets plis semblet représeter les tagetes à cette parabole. C.. H et F sot symétriques par rapport au pli. Le pli est doc la médiatrice de [FH] aisi FM = HM.. a. Le poit M a pour coordoées (a ; b). b. MH b et MF a 0 - b F. c. MH = MF équivaut à MH = MF c est-à-dire M - 0b00 a 0 O H 00 a D où b. 0 Coclusio : lorsque a décrit, M décrit la parabole d équatio y a a. a. Ue équatio de la tagete T à P e M est y x b. Le milieu I de [HF] a pour coordoées a ;. O costate que a a a - doc I appartiet à T a 0 Chapitre. Dérivatio 7

49 c. Pour tout M O, I est à égale distace de H et de F et M aussi. Doc (IM) est la médiatrice de [FH]. Or le pliage a été effectué sur la médiatrice de [FM]. T est doc la droite (IM) car I et M sot deux poits disticts de cette droite. Le pliage a bie été effectué selo T. Pour M = O c est évidet. TP. La foctio racie carrée e 0. Soit fx x pour x 0. Pour tout h > 0, f 0 h - f 0 h h. h h h h Pour h 0-, ª, 77 ; 0- Pour h 0-, 0 ; 0- Pour h 0-, ª,77 ; 0- Pour h 0-, 00 ; 0- Pour h 0-8, 000 ; 0-8 Pour h 0-0, Pour tout h > 0, 0 h équivaut à h 0 d où h (la foctio carrée est strictemet croissate sur [ ; [ 08 0 ). De même pour tout 0 0 h, et pour tout 0 h, h 000 h. Quad h ted vers 0, ce rapport deviet aussi grad que importe quelle valeur positive que l o veut. O dit qu il ted vers.. Les droites (OM) quad «M ted vers O» tedet vers l axe des ordoées. TP. La foctio valeur absolue e 0 A.. y x - Il y a ue «cassure» e 0, si l o fait tedre h vers 0 par la droite alors la demi-tagete à droite est la droite d équatio y = x et, par la gauche, la droite d équatio y = x.. Pour tout h > 0, f 0 h - f 0 h h. h h h Pour tout h < 0, f 0 h - f 0 h -h -. h h h. Quad h ted vers 0 e restat strictemet égatif, f 0 h - f 0 ted vers. h Quad h ted vers 0 e restat strictemet positif, f 0 h - f 0 ted vers. h 8

50 Il e peut pas y avoir de limite e 0, il y e a ue à droite et ue à gauche. Si la limite existe, elle est uique. La courbe admet doc ue tagete à droite d équatio y = x et ue tagete à gauche d équatio y = x au voisiage de 0 mais la foctio valeur absolue est pas dérivable e 0. B. Les calculatrices doet 0 comme ombre dérivé pour la foctio valeur absolue e 0. Elles se trompet! x h - x. a. est le taux de variatio de la foctio f etre x et x + h. C est le coefficiet directeur s il existe de la h droite (MN) avec Mx h ; x het Nx ; x. b. f x h - f x - h x h - x - h x h - x - h 0, x h - x - h x h- x - h x h - x h h h Xcas calcule le taux de variatio etre les poits M et N de la courbe situés de part et d autre de x à h près : Mx h ; x het Nx - h ; x - h. c. Les calculatrices évaluet la même quatité pour le calcul du ombre dérivé. Pour x = 0 et pour tout h > 0, f 0 h - f 0 - h h --h h h h h h De même, pour x = 0 et pour tout h < 0, f 0 h - f 0 - h h -- h h h 0 h h h h - - ( - ) h 0 h Doc pour tout h 0, f h f h 0. 0 h h d. Quad o e précise pas la valeur de h, Xcas choisi par défaut h = 0,00. Pour détermier le ombre dérivé d ue foctio f doée e u réel a doé, la machie évalue la quatité fa h - fa- h a h - a - h. Exercices SANS CRAYON, SANS CALCULATRICE Le coefficiet directeur de (OC) est -. Le coefficiet directeur de la droite est. Comme x B = x A +, o a y B = y A + =. r u ˆ est u vecteur directeur de (AB). A ( ; 0) r u ˆ et v r 0, ˆ sot des vecteurs directeurs de la droite d d équatio cartésiee x - y doc est pas solutio de - x x 0. 7 D La foctio f défiie par f( x) - x est strictemet décroissate sur [0 ; + [. 9 La foctio f défiie par fx - x sur ] -; ] est strictemet décroissate. 0 La foctio f défiie par fx x - sur [ ; [ est strictemet décroissate. f 0 f - - f 9 f x x - f x x x - y - x est ue équatio de la tagete à la courbe d équatio y = x x e so poit d abscisse 0. ENTRAÎNEMENT 7 Droite d d d d d d Coefficiet directeur 0 - existe pas Chapitre. Dérivatio 9

51 8 a. c. y A - 0 x - A y B m = B m = 0, b x - - y x - d. A B m = x - 9 a. Le poit P d abscisse a pour ordoée + = 9. Doc P ( ; 9). b. Q d abscisse,7 a pour ordoée + 0,7 =,8. Doc Q (,7 ;,8). c. R d abscisse, a pour ordoée 0, = 0,. Doc R (, ; 0,). 0. f() = = f( + h) = + 0h + h². f h - f 0h h - h h 0h h 0 h h. Quad h ted vers 0, f h - f ted vers 0 h doc f 0... a. Pour h > 0, d - h d 0 h h h. h h b. d - h d 0 ted vers quad h ted vers 0 doc h d 0. h 0h 00 h 0. d 0 h - d h h h h h h A y - - d0 h - d0 ted vers quad h ted vers 0. h Doc d 0. Aisi au temps t = 0 s, la vitesse istataée est d (0) =... Le ombre dérivé e a de la foctio f défiie par fx x - est : Pour a f h - f h doc f. h h Pour a f h - f h doc f. h h Pour a - f - h - f - h h h doc f -.. Cojecture : pour tout a réel, le ombre dérivé de f e a est.. Pour tout a réel, fa h - f a a h - - a - h. h h h Doc pour tout a réel, f a. a. f (a) = pour tout a réel. b. Pour tout a réel, f a h - f a ah h ah. h h Doc f a h - f a ted vers a quad h ted vers 0. h Doc f (a) = a pour tout a réel.. Pour tout x et y réels, x - yx xy y x x y xy - yx - xy - y x - y. a. h - 8 h- h h hh h. b. f h - f h - 8 hh h h h h h h f h - f ted vers quad h ted vers 0 doc h f.. a. f est le coefficiet directeur de la tagete à la courbe représetative de la foctio f au poit d abscisse. b. f. f - ; f - 0 ; f 0-. g 0 ; g - ; g - - ; g, 0. 7 f - ; f 0 ; f. 8 f a 0 pour a - ou a. 0

52 9 A y J. T A a pour équatio y f x - f x Doc T A : y x.. -. O I m = x 0 y y = x +, x y = + d est la tagete à la courbe d équatio y x - x. A J C D E y = x + B O I x y = x. T A a pour équatio y f() = f () (x ), c està-dire y = (x ) + = x.. y = x y y = x a. No dérivable e ; b. dérivable e. A O x. T A a pour équatio y f x - f- x -. Doc T A : y -x... Cojecture : f a a pour tout a réel.. Pour tout a réel, a h a h - fa h - f a a a h h ah h h h a h fa h - f a ted vers a quad h ted vers 0 doc h f (a) = a +. Chapitre. Dérivatio

53 7. O utilise f (0) =, f () = et f () =. Ce sot les coefficiets directeurs respectifs des tagetes ; o obtiet doc : d. y A y A 0 x m = C m = E m = 7 8 a. f ( ) = 0 b. f () = c. f () = d. f () = a. y A 0 x 0 x 0. a. Voir sur le site b. L abscisse de B semble être le double de l abscisse de A.. a. Pour tout a réel, fa h - f a a h - a ah h a h h h h qui ted vers a quad h ted vers 0. Doc f a a pour tout a réel. Le sommet de la parabole d équatio y x est S( 0 ; 0 ) doc la parallèle à T A passat par S a pour équatio y ax. Les coordoées du poit d itersectio de et de y x Ô cette parallèle vérifiet le système Ì ÓÔ y ax Doc Ba ; a aisi la cojecture est démotrée. b. O place le poit B de la parabole dot l abscisse est le double de celle de A. O trace la droite (SB) où S est le sommet de la parabole. O costruit la parallèle à (SB) passat par A. Cette droite est alors la tagete à e A. Voir corrigé page du mauel Math x re S.. y = x b. A y 0 8 O A A P 0 x y = x y = x + c. y 0 A x. a. Ue équatio de la tagete à H e A ( ; ) est y - ˆ - x - soit y = x +. b. Cette tagete coupe l axe des abscisses au poit ( ; 0).. a. Ue équatio de la tagete à H e A a ; ˆ a est y - ˆ - x a a a -, soit y - a x. a b. Cette tagete coupe l axe des abscisses e P(a ; 0).

54 c. Le projeté orthogoal A de A sur l axe des abscisses a pour coordoées (a ; 0), P est doc tel que A soit le milieu de [OP]. d. Si o cherche à tracer la tagete à H e u poit A, o costruit le poit A projeté orthogoal de A sur l axe des abscisses, puis le poit P symétrique de O par rapport à A. La tagete est alors la droite (AP).. a. Pour tout a réel, fa h - f a a h - a a h ah h h h h a ah h qui ted vers a quad h ted vers 0. Doc f a a pour tout a réel. L équatio a a deux solutios : - et doc la courbe d équatio y x a deux tagetes de coefficiets directeurs aux poits d abscisses - et. L équatio a - a pas de solutio réelle doc la courbe d équatio y x a pas de tagete de coefficiet directeur. Pour tout a, f a h - f a a h. h O peut détermier à partir de quelle valeur de etier aturel, a0- -( a0- ) 0, , Ce qui équivaut à et qui doe =. Aisi, pour a =, a 0-0-, c. f est dérivable sur ] 0 ; [ et f x) - x. x d. f est dérivable sur car x + > 0 pour tout x réel et - x f x x. a. f est dérivable sur et f x 8x. b. f est dérivable sur et f x x x. c. f est dérivable sur \{ 0 } et f x - x. d. f est dérivable sur et f x x - x 7 a. f est dérivable sur ] 0 ; [ et f x x x - b. f est dérivable sur \{ - } et f x x c. f est dérivable sur \{ - } et f x x d. f est dérivable sur ]-;- [»]- ; [»] ; [ et - x f x - x -. x - Pour l exercice c. : o peut par exemple avec Xcasfr utiliser la commade pour défiir la foctio f. Avec la commade, calculer sa dérivée. Il y a plus qu à modifier la foctio et relacer les mêmes commades pour obteir les dérivées des autres foctios. Voir corrigé page du mauel Math x re S. Voir corrigé page du mauel Math x re S. 7 Voir corrigé page du mauel Math x re S. 8 a. f est dérivable sur et f x. b. f est dérivable sur et f x x. x c. f est dérivable sur et f x -. d. f est dérivable sur et f x x x - 9 Voir corrigé page du mauel Math x re S. 0 Voir corrigé page du mauel Math x re S. Voir corrigé page du mauel Math x re S. a. f est dérivable sur et f x x b. f est dérivable pour tout x et f x x -... a. La parabole d équatio y = x x + a pour sommet le poit S( ; ). b. La tagete à la parabole au poit S a pour équatio y =.. La parabole d équatio y ax bx c, avec a 0, a pour sommet le poit S d abscisse b. a Soit f la foctio défiie par fx ax bx c. f est dérivable pour tout x réel et f x ax b. Doc la tagete à la parabole d équatio y ax bxc e so sommet d abscisse b a pour coefficiet directeur a f b a 0. La tagete est doc bie horizotale. Chapitre. Dérivatio

55 7. y y = x + x. Soit f la foctio défiie par fx x x et dérivable pour tout x réel. f (x) = x + doc f () =. De même g est la foctio défiie par g(x) = x + x et dérivable pour tout x réel. g (x) = x + doc g ()=. Les tagetes au poit A( ; ) aux courbes et ot A même coefficiet directeur g () = f () = doc elles sot cofodues. 8 d(t) (e m) 00 8 A O x y = x + x y. A(x ; y) Œ C C x x Ì Óy -x x - x Ì - x 0 Óy x x x y. Posos f(x) = x + x et g(x) = x + x. f (x) = x + doc f () =. g (x) = x + doc g () =. Les tagetes e A aux courbes C et C ot même coefficiet directeur ; elles sot doc cofodues. Ou :. 0 t (e s) 0 v(0) = 0 m s, v() = m s. E A, la tagete à la courbe a pour coefficiet directeur m s. 9 y y = x x + x. A est u poit d itersectio de et sigifie que les coordoées de A vérifiet le système O x y x Ô x y x Ô x Ì Ì ÓÔ y -x x - x ÓÔ x - x x - Ô y x Ì x x Ì ÓÔ x - 0 Ó y Le seul poit d itersectio de et est A( ; ). y = x x + x y = x

56 . f est défiie pour tout x.. A (0 ; ) car f 0 -. x - x -. f est dérivable pour tout x et f x x - doc f 0 -. La tagete T A a pour équatio y -x -. x. fx--x - x - Si x < et x 0, f(x) < x doc la courbe est e dessous de sa tagete e A. Si x >, f(x) > x doc la courbe est au-dessus de sa tagete e A. x = 0 correspod au poit d itersectio de la courbe et de sa tagete. 0. T : y = x.. E développat (x ) (x + x ), o trouve après simplificatio x x +.. f(x) (x ) = x x + = (x ) (x + x ) = (x ) (x + ). Si x <, f(x) - (x ) < 0, la courbe est e dessous de la tagete T. Si x > - f(x) - (x - ) > 0, la courbe est au-dessus de la tagete T. x. T : y - 7. Si x >, est au-dessus de T. Si x <, est e dessous de T. x = correspod au poit d itersectio de la courbe et de sa tagete.. Le coût margial de la -ième uité est f- f. - doc le taux de variatio etre et + est f - f ª f Doc f - f ª f.. À l istat t e miutes, le rayo de la plaque est r(t) = + 0,0t. L aire de la plaque est doée par at rt 0, 0t. Lorsque le diamètre est de mm, le rayo est r(t) = mm doc t = 0 mi. La vitesse istataée d augmetatio de l aire est doée par a (t) = 0, ( 00, t) Pour t 0, o obtiet a 0 ª 8, mm mi-. Posos f(x) = x x + et g(x) = x x +. f() = 0, g() = 0 doc P et P passet par le poit A( ; 0). f (x) = x doc f () = ; g (x) = x doc g () =. La tagete T e A à P a pour coefficiet directeur ; doc le poit B( ; ) est aussi sur la tagete T. La tagete T e A à P a pour coefficiet directeur ; doc le poit C( ; ) est sur T. AB =, AC = et BC =. Comme BC = AB + AC, ABC est u triagle rectagle e A. Par suite, T et T sot orthogoales.. u o ; v o ; f oui.. (A) vrai ; (B) Faux voir pour u cotre-exemple. 7. Vrai. Faux. fx x x x coviet aussi.. Pour que la courbe représetative de la foctio f dérivable sur, admette pour tagete e so poit d abscisse 0 la droite d équatio y = x il suffit que f(x) = x x +. Travail persoel Pour les exercices 9 à 89 : voir corrigés e fi de mauel. APPROFONDISSEMENT 90. E utilisat les résultats obteus au chapitre, o obtiet les tableaux de variatio suivats : x 0 + fx + + x + gx x + hx + + Chapitre. Dérivatio

57 . a. f() =, g() = et h() = doc A( ; ) est bie u poit commu aux trois courbes. b. f (x) = x, g (x) = x +, h (x) = x +. f () = g () = h () =. O e déduit que les tagetes e A aux courbes C, C et C ot le même coefficiet directeur, doc les trois courbes admettet la même tagete e A.. Ue équatio de T est : y = + (x ), soit ecore y = x. f(x) x = (x ), comme f(x) x 0 pour tout x, C est au-dessus de T. g(x) x = (x ), comme g(x) x 0 pour tout x, C est au-dessus de T. h(x) x = (x ), comme h(x) x 0 pour tout x, C est e dessous de T.. y y = x + y = x + x + O A y = x y = x + x. f x x. E ˆ ;, C admet ue tagete parallèle à y = x d équatio y x. g x x 0. E 0 ; ˆ, C admet ue tagete parallèle à y = x d équatio y x. h x x. E ˆ ;, C admet ue tagete parallèle à y = x d équatio y x. Voir figure ci-dessus pour la suite de la répose. 9. Cojecture : o peut tracer deux tagetes à passat par S( ; ).. Pour tout a réel, la tagete à passat par le poit Aa; a a pour équatio y ax - a a soit y ax - a.. Le poit S appartiet à la tagete à e A si et seulemet les coordoées de S vérifiet l équatio y ax - a. D où l équatio - a- a a - a- 0 - a- a ou a. x Coclusio : les tagetes à aux poits d abscisses - et passet par le poit S( ; ). a a 9. y - - x0 x0 (x x 0 ) c est-à-dire y ax a -. x0 x0 aa a. a. b - x0 c est-à-dire b x0 - ax0 aa 0, x0 l icoue état x 0 et l équatio est à résoudre das * car x 0 0. b. Le discrimiat est Δ = a aab = a(a ab), a > 0. Si a < ab ( Δ < 0), il y a doc pas de tagete issue de P à (H a ). Si a = ab ( Δ = 0), il y a ue seule solutio a a x0 b b a. Si ab < a ( Δ > 0), il y a deux valeurs distictes de x 0 solutios, doc deux tagetes à H a issues de P. a c. a ab b P est sur H a a. Das le cas où ab < a : a a > 0, ab a b P est e dessous de H a a et das le demi-pla de frotière (Oy) situé à droite de (Oy) ; a a < 0, ab a b P est au-dessus de H a a et das le demi-pla de frotière (Oy) situé à gauche de (Oy) ; a = 0, P est sur (Oy) et il y a deux tagetes issues de P à H a. Remarque : ceci est aussi vrai pour tout poit P de (Ox). Coclusio : L esemble des poits P d où o peut meer ue seule tagete à H a est H a. L esemble des poits P d où o peut meer deux tagetes distictes à H a est la partie du pla comprise etre les deux braches d hyperbole (partie o hachurée) sas l hyperbole. B 0 P A y y = x Régio du pla où il y a pas de tagete à H a issue de P. x

58 9. Format de la couverture :,8 ; format d ue feuille A :,.. a. Si 0 < x, fx ; si x >, f(x) = x. b. x T g y 0 y = x y = x + y = x x. a. f est pas dérivable e, elle va admettre ue dérivée à droite et ue dérivée à gauche. b. Sur [ ; ], f(x) = x = d(x) ; doc d est dérivable sur [ ; ] et "x Œ [ ; ], d (x) = doc d () =. Ue équatio de T d est y = (x ), ou ecore y = x +. c. Sur [0, ; ], gx fx ; doc g est dérivable x sur [0, ; ] et "x Œ [0, ; ], g x - doc g () =. x Ue équatio de T g est : y = (x ), ou ecore y = x +. d. Les droites T g et T d e coïcidat pas, f est pas dérivable e. O dira éamois que f est dérivable à droite e de dérivée f d et à gauche e de dérivée f g Pour tout x -, x 0. La foctio f les mêmes variatios que la foctio x a x. f est strictemet croissate pour tout x -.. a. u est dérivable comme produit de foctios dérivables sur I et o obtiet u x f x f x pour tout x ŒI. b. Pour tout x Œ I, ux x doc u x. Aisi f x pour tout x ŒI. fx x La tagete à au poit d abscisse 0 a pour coefficiet directeur f 0 et passe par le poit de coordoée (0 ; ) ; elle a pour équatio y x. y A 0 7 x 9. a. Pour a et a h apparteat à D et h o ul, - fa h- fa ua h ua h h ua ua h ua ua h ua ua h h ua - ua h ua ua h h ua - ua h b. u est dérivable e dérivable e a et h ted vers - u a quad h ted vers 0. De plus, ua h ted vers ua quad h ted vers 0. fa h - fa u a ted vers quad h ted vers 0 h ua u a aisi f a ua. Coclusio : la foctio f est dérivable sur D et u x f x pour tout x de D. ux. Avec les hypothèses de la propriété 7, il viet d après. que pour tout x de D, f défiie par f x vx est v dérivable et f x- x v x. La foctio défiie par u x u x sur D est alors u vx vx produit de deux foctios dérivables sur D et sa dérivée est v x u x v- u x - u x x u x v x v x vx vx pour tout x de D. 9 O cherche ue foctio f dérivable sur dot l expressio est de la forme f x ax bx cx d. A (0 ; 0) appartiet à doe d 0. Doc f x ax bx cx. B ( ; ) appartiet à doe - 7a 9b c Le coefficiet directeur de la tagete e A à est doé par f 0 c et le coefficiet directeur de (AC) est ; il viet alors c. Le coefficiet directeur de la tagete e B à C est doé par f 7a b c et le coefficiet directeur de (BD) est ; il viet alors 7a b c. O peut, par exemple, résoudre le système obteu avec Xcasfr. La foctio f défiie par fx x - x x est la seule foctio dot l expressio est de la forme f x ax bx cx d qui vérifie les cotraites. Chapitre. Dérivatio 7

59 97. Le volume e litres d ue sphère de rayo R est pr où R est e décimètres. À l istat t, le volume de l air coteu par le ballo est égal au volume d air débité par la pompe e t miutes doc prt 90t. R max 9. tmax p p ª, 07 mi a. Si R est dérivable sur [0 ; t max ], t R(t) est dérivable comme produit de deux foctios dérivables et t R(t) = R(t) R(t) l est aussi pour les mêmes raisos. E repreat le résultat de l exercice 8, o trouve f (t) = R(t) R (t). 90t 8t t b. f t, doc f t 8. p p c. E idetifiat les résultats des questios a et b, o trouve : 8 8 R trt, c est-à-dire R t p prt. d. t R(t) est ue foctio croissate positive lorsqu o gofle le ballo, doc t R(t) est croissate. O e déduit que t 8 p Rt est ue foctio décroissate, doc R est ue foctio décroissate du rayo. 98 A. Méthode des rectagles. y C G H D 0 A B 7 x. L aire du petit rectagle est b- a a. L aire du grad rectagle est b- ab. Doc o obtiet b- a a Aire b- ab. La logueur de l ecadremet est - b- ab -b- aa b- a b - a b a b a.. Pour a et b, ( - ) Aire ( - ) 8. La logueur de l ecadremet est 8 -. B. Méthode des trapèzes. Pour tout m réel, le poit de P d abscisse m a pour coordoées m ; m. Le coefficiet directeur de la tagete à P au poit d abscisse m est m doc la tagete a pour équatio y mx - m m soit y mx - m. Pour tout m réel et tout réel x, x -mx - m ( x - m) 0 doc la courbe P est au-dessus de cette tagete. b a. a. L aire du trapèze AGHB est b- a. b. Par découpage et recollemet, le petit triagle rectagle d hypotéuse CF a la même aire que le petit triagle rectagle d hypotéuse FD. Doc le trapèze ABDC a la même aire que le rectagle de base [AB] et de hauteur [EF]. c. F est le milieu de [CD]. Doc F a b a b ; ( ) aisi l aire de ABDC est a b b- a. d. L aire du trapèze ABHG est doée par a b b- a. O trouve alors a b a b b-aa b-a; la logueur de cet ecadremet est alors a b a b b- a- b- a a b - a - ab- b ˆ b- a b- ab- a b- a e. Pour a = et b =, o obtiet 8 A 0 qui a pour logueur. Cet ecadremet est plus fi que l autre. C. Algorithme et programmatio a. Pour les rectagles variables a, b, PR, GR, k du type ombre Début PR pred la valeur 0 ; GR pred la valeur 0 ; pour k de jusque 0 faire a pred la valeur + 0, (k ) ; b pred la valeur + 0, k ; PR pred la valeur PR + (b a) a ; GR pred la valeur GR + (b a) b ; Fipour ; Afficher (PR A GR ; Fi 8

60 b. Pour les trapèzes variables a, b, PT, GT, k du type ombre Début PT pred la valeur 0 ; GT pred la valeur 0 ; pour k de jusque 0 faire a pred la valeur + 0, (k ) ; b pred la valeur + 0, k ; PT pred la valeur PT + a b ( b- a) ; GT pred la valeur GT + a b b- a; Fipour ; Afficher (PT A GT ; c. Les rectagles avec Xcasfr Les trapèzes avec Xcasfr c 99 Posos fx ax b x -. c f est dérivable sur \ {} et f x a- x -. «y = f(x) passe par A( ; )» sigifie f() =. «La courbe admet e A ue tagete horizotale» sigifie f () = 0. «La courbe admet e B( ; f()) ue tagete parallèle à la droite y = x +» sigifie f () =. a b c Ô c O obtiet doc le système Ì Ô a - 0 Ô Ó a- c. Cette tagete coupe l axe des abscisses e B(a ; 0) et l axe des ordoées e C(0 ; a ). L aire du triagle OBC quad A décrit H est égale à OB OC. 0 Pour tout a réel o ul, la tagete à la parabole au poit d abscisse a a pour équatio y ax - a a. La tagete à la parabole au poit d abscisse - a a pour équatio y - a x a a E utilisat par exemple la commade résoudre de Xcasfr : Le poit E itersectio de ces deux droites a pour coordoées a - ; - doc E appartiet à la droite a d équatio y -. Motros qu il la décrit itégralemet. Soit b u réel tel que E (b ; - ) a - a - ab- a- b b 0 a a a a b b ou a b - b b a Doc il existe a réel o ul tel que b = a -. a 0 Le trai est représeté par le poit T de coordoée (t ; t ). Le poit M ( ; 0) appartiet à la tagete à la parabole d équatio y = x au poit d abscisse t. Le coefficiet directeur de la tagete est doé par le ombre dérivé e t soit t et o cherche pour quelle(s) valeur(s) de t il est égal au coefficiet directeur de la t droite (MT) pour t soit t -. t D où t qui a pour solutio t 0 ou t. t - t = 0 correspod au trai qui est à la gare. Lorsque le trai est au poit de coordoé ( ; ), ses phares éclairet directemet la maiso. Il est alors à ue distace d = - ( - 0) 7 ª, km de la maiso. c a Ce qui est équivalet à Ô-a Ì Ô b - a- c ÓÔ doc a =, b = 7 et c =. 00 Pour tout a réel o ul, la tagete à l hyperbole e A d abscisse a a pour équatio y - a x. a Chapitre. Dérivatio 9

61 0 a. y B m B M 0 M 0 m y = x + y =,8 J O I d = 7 x O trace la parabole d équatio y = x + sur [ ; ] et par le poit B(0 ; ), o mèe la tagete à l arc de parabole situé das le demi-pla de frotière (Oy), à droite de (Oy). Cette tagete coupe la droite d équatio y =,8 au poit A dot l abscisse par lecture graphique est égale à, ce qui doe d ª 7 m. r r b. Das le repère O; i, j (cf. schéma), B(0 ; ) et A(,80 ; d + ). A J O I La distace miimale où peut se placer Alexis pour voir le haut du bâto correspod à la positio du poit A telle que la droite (AB) soit tagete à la parabole e M 0. Appelos (x 0 ; y 0 ) les coordoées de M 0. Ue équatio de la tagete e M 0 est : y = y 0 x 0 (x x 0 ) soit ecore y - x0 - x0x x0 x0 - x0 x. Cette tagete passera par B(0 ; ) si et seulemet si x 0, soit x 0 = ou x 0 =. Das ce cas de figure, o choisit x 0 =. La droite (AB) aura doc pour équatio y = x. O obtiet alors d = 7, m e écrivat que les coordoées de A vérifiet,8 = (d + ). A 0

62 Ses de variatio d ue foctio Pour repredre cotact Les réposes exactes sot : f ( ) = 0 f () = f (0) = f () = 0. a. f est dérivable sur et f x x - x b. f est dérivable sur ] 0 ; [ et f x. x c. f est dérivable sur ]-; 0[»] 0 ; [ et f x-. x 7 d. f est dérivable sur ]-;- [»]-; [ et f x x.. a. No b. h- h 0 c. h h d. No. Sur l itervalle [ ; ], h admet pour miimum atteit pour x =.. h admet pour maximum atteit pour x = ou x = sur [ ; ]. a. fx xx -x - : la forme factorisée. x x b. fx x Activité. Dérivée et variatio avec GeoGebra. c. f a est le coefficiet directeur de la tagete à la courbe représetative de f au poit d abscisse a.. f 0 ; f ; f 0. a. i. f (a) = 0 pour a ª-, ou a ª-09,. ii. f (a) > 0 pour a -, ou a -09,. iii. f (a) < 0 pour -, a -09,. b. x - -, - 09, Sige de f x 0-0 Chapitre. Ses de variatio d ue foctio

63 c. x - -, - 09, Sige de f x 0-0 Variatios de f ª, ª-, d. Les variatios de f sot déduites du sige de sa dérivée f.. Voir activité. Pour aller plus loi a. f est dérivable comme foctio polyôme défiie sur. b. L ordoée du poit M peut être lue grâce à la courbe G mais c est aussi la pete de la tagete à au poit A. c. Sur u itervalle où la courbe G est e dessous de l axe des abscisses, la foctio f est décroissate. Activité. Dérivée et ses de variatio. x 0 f (a) 0. f (0) < 0 et f () > 0 ; le sige de f (a) est celui du coefficiet directeur de la tagete.. a, 0,, f (a) > 0 > 0 < 0 < 0 > 0 > 0. a. f (a) > 0 pour a [ ; [ ] ; ], f (a) < 0 pour a ] ; [. b. a f (a) a. a f 0, b. Si f (a) > 0 sur u itervalle, f semble strictemet croissate sur cet itervalle car les tagetes ot des coefficiets directeurs positifs. Si f (a) < 0 sur u itervalle, f semble strictemet décroissate sur cet itervalle car les tagetes ot des coefficiets directeurs égatifs.. x + g Activité. Extremum et dérivée A.. a. Première courbe : maximum pour a =, miimum global pour a =. Deuxième courbe : maximum pour a = 0, miimum pour a = (o e tiet pas compte des extrema locaux). Pour toutes ces valeurs de a, le ombre dérivé semble ul. b. Si la courbe d ue foctio f admet u extremum global e a, alors f (a) = 0.. a. et b. La cojecture e foctioe pas pour les extrema situés aux extrémités de la courbe, par exemple sur la première figure le miimum est atteit e x = et le ombre dérivé e ce poit vaut eviro.

64 B.. La réciproque serait : si f (a) = 0 alors la courbe admet u extremum au poit d abscisse a.. Premier cotre-exemple : les cas de la questio. a. Deuxième cotre-exemple : o peut avoir u extremum local ; das la première figure de la questio, la courbe admet u miimum local e x = (avec u ombre dérivé ul). Troisième cotre-exemple : f(x) = x, f (x) = x doc f (0) = 0 mais le poit O est i u maximum, i u miimum pour la courbe de f. TP. U volume maximal. Cojecture : le volume maximal semble être cm Le poit M de [AB] est tel que AM = cm. B.. V(x) = AM AN AP, or AM = AN = x et AP = EP = x d où V(x) = x ( x) = x + x.. V = x + x = x(x ).. et. x 0 V (x) V 0. Le volume est maximal pour x = et vaut alors cm.. V(x) 0 /0 du volume du cube 0 0 a b x 7. Volume du cube = = cm, traços la droite d équatio y =,. Par lecture graphique : a ª, et b ª,. V(x) sera supérieur ou égal à, cm pour, x, eviro. Pour aller plus loi D après la questio B., o sait que x 0 V (x) V 0 0 Le volume du cube est cm. Doc l équatio V(x) =, possède deux solutios das [0 ; ] E effet V est strictemet croissate et sas rupture sur [0 ; ] et V0, V. Aisi V(x) =, possède ue solutio das [0 ; ]. De même V est strictemet décroissate et sas rupture sur [ ; ] et V, V aisi V(x) =, possède ue solutio das [ ; ]. Chapitre. Ses de variatio d ue foctio

65 Avec la calculatrice, La solutio a de V(x) =, est a ª,9 à 0 près das l itervalle [0 ; ]. De même, La solutio b de V(x) =, est b ª, à 0 près das l itervalle [ ; ]. O e déduit le tableau suivat : x 0 a b f(x) 0,, 0 O e déduit que pour tout x Œ[ a ; b ], le volume V(x) est supérieur ou égal au dixième du volume du cube. TP. Distace d u poit à ue courbe A. La distace DM est miimale lorsque M( ; ). - - B.. Pour tout x réel, DM x x - x - x x x 8 x 9.. a. Pour que d( x) soit miimale il faut que d x 0 car d est défiie et dérivable sur. b. d est dérivable sur. D où d x x -8x x -8 x -x - x 8.. x -x 8 est u triôme du secod degré dot le discrimiat est Doc x -x 8 est du sige de 0. Aisi étudier le sige de d x équivaut à étudier le sige de x -. Et l équatio d x 0 a qu ue seule solutio : x. D où : x - Sige de d x - 0 Variatios de d d() =

66 D après la propriété 8 page du mauel, DM a les mêmes variatios que d. Aisi la distace DM est miimale lorsque d(x) est miimale, c est-à-dire pour x. Le poit M 0 qui réalise la distace miimale a pour coordoées ( ; f()) soit M 0 ( ; ). u. Le vecteur DM 0 ˆ est u vecteur directeur de la droite (DM 0 ). La tagete T à e M 0 a pour coefficiet directeur f -. Doc u vecteur directeur de la tagete T est O remarque alors que T et (DM 0 ) sot perpediculaires. ˆ. TP. Faire sauter les bouchos distace totale. a. Nombre de voitures d logueur de la voiture écart l b. d = v. t, o pred t = 00 s doc d = 00 v. d 00v c. Débit ombre de voitures par heure l l d. D après les doées, = L + Cv + t R v, e trasférat cette doée das l équatio obteue e c, o obtiet la formule de l éocé.. a. v max = 0 km. h = m. h, or ue heure vaut 00 s doc : v max m s m. h v È b. Dv 0 00 sur ; 007, v v Î Í (déomiateur o ul). 000, 07v v -0, v 00v D v 007, v v 00 - v 007, v v Le déomiateur état strictemet positif, le sige de D (v) déped du umérateur. 00 Nv vˆ 00 vˆ ˆ 0 ˆ - v 7 v 7. 0 v ª Œ È Î Í ˆ et, ; 7 9 d où : 0 v 0 7 D (v) + 0 D 0 a 9 avec a ª 79 et b ª 989. c. Utilisatio de la calculatrice par les élèves. b d. Le débit maximal est atteit pour v 0 7 m. s, c est-à-dire 0 00 km. h soit km. h d où v ª 7 km. h. ˆ e. vmax, D ª 989 (voitures) km. h 00 correspod à 90 m. s, c est-à-dire m. s or D() = Chapitre. Ses de variatio d ue foctio

67 7-989 L augmetatio de débit est de 00 %, c est-à-dire eviro %. 989 f. D est décroissate pour v > 7 km. h (ce qui sur autoroute arrive assez souvet), doc mois o roule vite, plus le débit est importat. TP. Avec u logiciel de calcul formel A. Il faut distiguer deux cas MŒAB et Mœ[ AB). Pour a, AM x 0, -. Si MŒAB, BM x - et f x x x. Si Mœ[ AB, BM x et f x x x.. si MŒAB D où le tableau de variatio de f : x 0 Sige de f x - 0 Variatios de f Si MœAB, D où le tableau de variatio de f : x 0 Sige de f x Variatios de f. Coclusio : lorsque M est au milieu de [AB], le produit AM BM est miimal. B.. Si MŒAB, BM x - et fx x x - Si Mœ[ AB, BM x et f x xx. Si MŒAB

68 D où le tableau de variatio de f : x 0 - Sige de f x Variatios de f 7 Si MœAB, x 0 Sige de f x Variatios de f 7. Coclusio : le produit est miimal lorsque M a pour abscisse (- ou. C.. Si MŒAB, BM x - a et f x x x - a si Mœ[ AB, BM a x et f x xx a. Si MŒAB Chapitre. Ses de variatio d ue foctio 7

69 D où x 0 Sige de f x Variatios de f + a Si MœAB, a x 0 pour tout x 0 et pour tout a 0. - x ax - est u triôme du secod degré dot le discrimiat est a -. Si a, l équatio - x ax - = 0 admet deux solutios a - a et a - a. Et : x 0 a - a a a - a Sige de f x Variatios de f a a a a a Si a, l équatio - x ax - 0 a ue solutio. x 0 a Sige de f x - 0 Variatios de f Si a, l équatio - x ax - 0 a pas de solutio réelle. x 0 a Sige de f x - 0 Variatios de f a a Coclusio : Si a >, le poit M qui red le produit miimal a pour abscisse a - a ou a - a. Si a, le poit M red le produit miimal a pour abscisse a. 8

70 TP. Étudier ue foctio ratioelle. La logueur MN est miimale lorsque l abscisse de T est eviro 0,7.. a. AT = AB et ABM et ATM sot deux triagles rectagles e B et T respectivemet. AM est l hypotéuse des deux triagles doc d après le théorème de Pythagore, TM = AM AT = AM AB = BM aisi TM = BM = x. b. De même o motre que DN = NT = y doc MN x y car M, T, N sot aligés. c. Das le triagle MCN rectagle e C, NC = - y et MC = - x doc d après le théorème de Pythagore, MN = NC + MC - x - y O obtiet alors MN x y - x - y d où xy - x - y. x D où y - car 0 x doc x 0. x x Doc MN x y x. x d. fx, défiie et dérivable sur [0 ; ], et x x x - f x. x Nx x x - x - x - x. Sige de N(x) : x N(x) Variatio de f : x 0 - f - TP. La casserole la mois chère Soit h la hauteur de la casserole, l aire de la casserole est égale à : pr + prh. r h Comme V = pr V h, o tire h p r. Doc l aire de la casserole e foctio de r est égale à : pr V V Posos f r pr alors f r pr - r R pr - V. r V Pour 0 r, f (r) < 0 ; p V Pour r, f (r) = 0. p V. r Chapitre. Ses de variatio d ue foctio 9

71 V Pour r, f (r) > 0. p D où le tableau de variatio suivat : r 0 V + p f (r) 0 + f(r) V V p La casserole la plus écoomique est celle dot l aire est égale à V pour r = V V prh p r r r h pour r 0. p p Das la pratique, la hauteur de la casserole est supérieure à so rayo. TP7. Algorithme de descete A.. La foctio f utilisée a pour expressio f x x - x x - x. V p.. Le programme retoure la valeur.09 qui semble être la valeur pour laquelle la foctio admet u miimum.. La e lige permet de réordoer x0 et x e les permutat si x0 > x.. a. variable état état état x0 x g(x0) g(x), xm - - g(xm) b. À la lige, o vérifie que le ombre dérivé e x0 est égatif, que celui e x est positif et que les coefficiets directeur sot plus grads que eps = 0 9. O veut dot que la foctio f soit décroissate au voisiage de x0, croissate au voisiage de x et que les tagetes e x0 et x e soiet pas horizotales. Il faut, pour que le programme foctioe, ue valeur de x0 choisie das u itervalle où la foctio f est décroissate et ue valeur de x choisie das u itervalle où la foctio f est croissate.. À la lige, le programme regarde la plus forte pete etre celle de la tagete e x0 et celle de la tagete e x. 7 70

72 Puisqu o est etré das la boucle «tatque», g(x0) 0. Si la pete la plus forte est e x0, o avace de de la logueur de l itervalle [x0 ; x] a partir de x0 et o attribue cette valeur à xm. Si la pete la plus forte est e x, o recule de de la logueur de l itervalle [x0 ; x] a partir de x et o attribue cette valeur à xm.. O regarde la pete de la tagete au poit d abscisse xm si elle est positif, o remplace x par xm, s il est égatif, o remplace x0 par xm. O reste aisi das les coditios d etrée das la boucle. 7. Si les petes des tagetes e x0 et x sot presque horizotales, le programme retoure la moyee des valeurs x0 et x. C est ue valeur approchée de la valeur pour laquelle la foctio f admet u miimum. B. Attetio il faut alors choisir ue autre foctio pour le tester. Sas rie modifier, rechercher u maximum pour f équivaut à rechercher u miimum pour f. Exercices SANS CRAYON ET SANS CALCULATRICE g x x x h x x k x x f x x d où f x 0 a pour solutio -. x - x 0 x Œ] -;- [»] ; [. g est dérivable pour tout x réel, et g x9x 0 doc g est strictemet croissate sur. 7 a. x x - x x - ; b. x - x - x - 8x c. x x x 7x 8 Soit fx x x - x défiie sur [ 0 ; [ et dérivable sur ] 0 ; [. f x 0 x - doc f, est le coefficiet x directeur de la tagete à la courbe d équatio y x x - x au poit A ;. 9 (AB) est orthogoale à (AC) e A - x 0 x. 0 - x y 0 cos t si t d où si t doc si t ou si t -. Or cost - et t Œ[ ; ] p p doc si t -. EX EY - EX - et V Y - VX, 8. ENTRAÎNEMENT. La dérivée s aule fois pour x =, x = et x =.. f ( ) > 0 ; f () < 0.. f ( ) < 0 < f ( ) ; f ( ) < 0 < f (). Voir le corrigé page du mauel Math x.. f est défiie sur ]-;- [»]-; [.. O e peut pas comparer f( ) et f(0). f() > f( 0,) O e peut pas comparer f( ) et f().. f (x) 0 pour tout x Œ-- ] ; [. De même sur ]- ; [. 7 Voir le corrigé page du mauel Math x. 8 a pour dérivée d, foctio dérivable sur *, il faut ue dérivée positive sur ] ; 0[ et positive sur ]0 ; + [. Chapitre. Ses de variatio d ue foctio 7

73 a pour dérivée b, foctio dérivable sur *, il faut ue dérivée égative sur ] ; 0[ et sur ]0 ; + [. a pour dérivée a, foctio dérivable sur, il faut ue dérivée positive sur ] ; 0[, égative sur ]0 ; + [ et s aulat e 0. Par élimiatio, a pour dérivée c! 9 a. f (x) = x. x 0 + f (x) f b. f (x) = x. x f (x) 0 + f + 0 Voir le corrigé page du mauel Math x. a. f- x x -x f x-x -x -xx or pour tout x réel, x + > 0 doc f (x) est du sige de x d où x f (x) + 0 f(x) x b. f- x x f x-x 8x -xx x - d où : x f (x) f(x) 0 a. f x x - ) 0, f. x 0 sur - x + f (x) + + f x - b. f x x x 0 f (x) x x - x x - a. f x. x - x - x f (x) f b. - x f x - x. x x f (x) f a. f x 0 x - x - x x -, + f (x) 0 + f(x) x - - b. f x - x - x - x - x - x -. x f (x) f + a. f x - x = x 8 x 7 x x f (x) f(x) - x - b. f x pour tout x 0. x D où x 0 f (x) f f(x) m 7

74 m f( ) ª- 0,. Voir le corrigé page du mauel Math x. 7 a. E utilisat les résultats du chapitre : x - f(x) 8 b. Pour tout x, fx - x Doc f(x) = + u x + avec u(x) = - x. x + u(x) = - x 0 u x - x f(x) 8 a. O étudie u fx x - x = u x avec u x x - x. Pour tout x réel, u(x) > 0. D où x + ux x - x f(x) b. La foctio racie carrée est strictemet croissate sur [0 ; + [ doc la foctio f défiie par fx x est strictemet croissate sur [0 ; + [. 9. a. et b. Sur l écra de la calculatrice, la courbe semble correspodre à ue foctio strictemet croissate sur È - Î Í È ; et sur ; Î Í, elle semble costate È sur ;. Î Í. a. f x x - x ; f x 0, D d où ˆ - - 7ˆ f x x x. O obtiet le tableau de variatio suivat : x 7 f (x) f a b c a -, b, c et d b. Les valeurs des extrema locaux état très proches, elles apparaisset pas à l écra. c. Pour «voir» les extrema locaux, o peut choisir y mi = 0,9, y max =,. 0 Voir le corrigé page du mauel Math x.. a. ; b. ; c. 0 ; d. ; e.. m Nombre de solutios. a Œ ] 8 ; [ car f( 8) f( ) < 0. b Œ ] ; 0[ car f( ) f(0) < 0. L existece de a et b e peut être correctemet justifiée qu e utilisat le théorème des valeurs itermédiaires qui est au programme de termiale.. x 8 a b 0 f(x) g x x - D où x - - g (x) g(x). a. g( ) = et g() =. Doc, pour tout x Œ- ;, - g( x). b. g() = et g( ) =. Doc pour tout x Œ- ;, - gx.. Pour m Œ- [ ;- [»] ; ], l équatio g(x) = m admet exactemet solutio.. Pour tout x réel, f x x x -. De plus x - x x -x x x x - f x. Doc f x x -x.. Pour tout x réel, x 0 doc étudier le sige de f x reviet à étudier le sige de x. d Chapitre. Ses de variatio d ue foctio 7

75 D où x - + f (x) 0 + f(x). f( ) = 8 et f() = doc l équatio f(x) = 0 a exactemet solutios : ue das l itervalle [ ; ], ue das l itervalle [ ; ]. Pour a = 0 et b = le programme affiche rie, il e trouve pas la solutio car f() = f(0) =. La coditio fb fa 0 est pas vérifiée. f. Pour s assurer de trouver la solutio voulue, il faut lui doer des valeurs de a et b telles que [a ; b] soit u itervalle sur lequel, la foctio f est mootoe et coteat la solutio c est-à-dire tel que b fa 0. A. Avec la calculatrice.. Pour tout m < -, l équatio f x m a pas de solutios. Pour m =, l équatio f(x) = m a ue seule solutio. Pour m >, l équatio f(x) = m a deux solutios : ue plus petite que et ue plus grade que.. a. f est dérivable sur comme foctio polyôme et f x x - x xx -. D où : x - 0 f (x) f (x) b. f( 0) = 9 98 et f(0) = 0. c. Pour tout x Œ- 0 ; 0, f est strictemet croissate et f-0 0 f 0. Pour tout x Œ0 ;, f est strictemet décroissate et f 0 f. 0 Pour tout x Œ ; 0, f est strictemet croissate et f 0 f0. Doc l équatio f(x) = 0 possède solutios ue das [ 0 ; 0[, ue das [0 ; ] et ue das ] ; 0].. a. Lorsque fb fa 0, fb et fa sot de sige cotraires. b. a b est la moyee de a et b ; c est «le milieu de a et b». c. Cet algorithme recherche les solutios de l équatio f(x) = 0 e preat e etrée deux valeurs, a et b telle que f(a) et f(b) soiet de siges cotraires ce qui assure que pour ue foctio polyôme qui est défiie pour tout x réel, ue solutio existe. d. Voir sur le site e. Pour a = 0 et b = 0, Xcasfr ous retoure : a =,7097 et b =,7087. Pour a = 0 et b =, Xcas ous retoure : a = 0,70et b = 0, Par lecture graphique, 0 est l arrodi par défaut à l uité de la solutio de f(x) = 0.. La solutio de f(x) = 0 à 0, près par défaut est 0,.. La solutio de f(x) = 0 à 0,0 près par défaut est 0,9. B. Algorithme. Pour que deux atécédets ecadret la solutio il faut que leurs images soiet de siges cotraires.. VARIABLES : x0, k ombres ENTRÉES : saisir x0 TRAITEMENT : Pour k de jusque 8 faire Si f(x0) 0 alors Tatque f(x0) f(x0) + 0 k > 0 faire x0 pred la valeur x0 + 0 k FiTatque FiSi FiPour Sortie Afficher x0 7

76 . O peut par exemple résoudre avec u logiciel de calcul formel l équatio f(x) = 0.. Les arrodis à l uité par défaut des solutios sot, et 0. O peut par exemple avec Xcasfr utiliser cet algorithme avec x0 qui pred à tour de rôle les valeurs précédetes. V x est u triôme du secod degré, il e résulte que : Pour 0 x, V x 0. Pour x, V x 0. D où x 0 V (x) + 0 V(x) a. La droite d équatio y = 00 coupe la courbe e deux poits disticts. Doc il y a deux valeurs de x qui permettet de fabriquer des boîtes de lait de 0, litre. b. V est strictemet croissate sur [0 ; ] et, ª 88 et V(, ) ª 7, , 9 doc, x,. V( 0) 0 00 Les deux valeurs de x sot doc égales à, cm à 0 - près et 0 cm. Le fabriquat choisira x = 0 cm car la surface e carto de la boîte a alors pour aire 00 cm, alors que pour x =,, l aire est de 87, cm. Les valeurs approchées des solutios de g(x) = 0 obteues sot doc,0988 ; 0, et 0,98. 8 Pour tout a, b, créels avec a 0 et pour tout x réel, g est dérivable et g x ax b. Si a 0, x ax b est ue foctio affie strictemet croissate qui s aule e - b a d où 7. Pour tout x Œ0 ;, AB x EF x 0, comme AB EF, ous obteos AB - x. AD 0 - x - x Le volume est alors V x AB AE AD x - x pour tout x Œ0 ;.. Vx x - 0 x 0 x V x x -0 x 0 x - x - x - - b a g (x) 0 + g(x) b g- a + Chapitre. Ses de variatio d ue foctio 7

77 Si a 0, x ax b est ue foctio affie strictemet décroissate qui s aule e - b a d où x - - b a g (x) + 0 g(x) b g - a + U est doc strictemet décroissate sur [0 ; 0] et strictemet croissate sur [0 ; 00]. D où le tableau de variatio suivat : x 0 + U (x) ,9 U Maxima aux poits ( ; ) (local) et ( ; ) (global). Miima aux poits ( ;,) (global), (0 ; ) (local) et (8 ; ) (local).. a. f (x) = 0 pour x =, x = 0, x = et x =. b. No, pour x =, il y a pas d extremum S y = x x 80 y = Voir le corrigé page du mauel Math x. Voir le corrigé page du mauel Math x. x -. f x est défiie sur ] ; + [ et dérivable sur ] ; + [ et f x. x - x - x - x - Pour tout x, x - 0doc f x est du sige de x - x - qui est u triôme de degré deux factorisé d où : x - x - ( x - ) Doc pour tout x >, x + f (x) 0 + f(x). est le miimum de f sur ] ; + [ atteit pour x. f e possède pas d extremum local i de maximum. A.. a. U est dérivable sur [0 ; 00] comme somme de foctios dérivables : x a x - 0 et x a 900. x 900 x x - 0x 0 U x -. x x x Das I, U (x) = 0 x = 0. Pour tout x das I x 0 0 x doc U (x) est du sige de x 0, d où : pour 0 x < 0, U (x) < 0 ; pour 0 < x 00, U (x) > 0. b. D après le tableau de variatio, le coût uitaire de productio est le plus bas pour ue fabricatio jouralière de 0 objets. Il est alors de 0. Le bééfice de l etreprise est alors de : = 00.. Graphiquemet, U(x) = 80 pour x ª ou x ª 78. La courbe se situe e dessous de la droite d équatio Y = 80 pour < x < 78. L etreprise doit doc fabriquer etre et 78 objets pour avoir u coût uitaire de productio iférieur à 80. B.. B(x) = 00x. U(x) = 00x (x 0x + 900) = x + 0x B est dérivable sur [0 ; 00] car c est u triôme. B (x) = x B (x) = 0 x =, d où : pour 0 x <, B (x) > 0 ; pour < x 00, B (x) < 0. Doc B est strictemet croissate sur [0 ; ] et strictemet décroissate sur [ ; 00]. D où le tableau de variatio suivat : x 0 00 B (x) B D après ce tableau, le bééfice est doc maximal pour ue productio jouralière de objets. Il est alors égal à 00. Remarque : o peut remarquer que le bééfice maximal est pas atteit pour le coût uitaire miimal.. BD est le diamètre du troc circulaire doc BD =. 7

78 BCD est u triagle rectagle e C et BC = h et CD = doc d après le théorème de Pythagore, BD = BC + CD d où h doc h -.. E multipliat par, il viet h -.. Soit f- x x x pour x 0. a. f est dérivable pour tout x 0, ˆ ˆ f x-x - - x x ˆ ˆ -x - x D où x 0 g (x) + 0 g(x) b. Pour que la poutre résiste le mieux, il faut maximiser h, ce qui équivaut à maximiser - pour 0. D après. a. pour que la poutre résiste le mieux à la flexio, doit être égale à. Comme d après. h -, ici h h. - 8 d où. cos a, avec 0 p a, il e résulte que a ª, 7à 0, degré près. Voir le corrigé page du mauel Math x.. A- k ; ket B k ; k.. a. Pour tout x 0, et k 0, Mx ; x, N- x ; x et Cx ; k doc l aire du rectagle CMNC est -. Ak x NM CM x k - x x xk Pour tout k 0, A k est dérivable et pour tout x 0, Ak - x x k ˆ k ˆ k = - x - x. Aisi k x 0 Ak x + 0 k k Ak x 0 + k b. L aire de CMNC est maximale pour x =. c. Quad k décrit ]0 ; + [, les poits C, tels que l aire de k CMNC soit maximale, ot pour coordoées C k ; ˆ ; k aisi les coordoées de C vérifiet k ˆ Doc C décrit la partie de la parabole d équatio y avec x 0.. x 7. V = x y, comme x y = ous e déduisos y x.. y L aire totale de la boîte est égale à : xy + x. Doc : Sx x x x. x x x -. S x x- x x x x-x x. x x. a. Pour x > 0 ; x x > 0 doc S (x) est du x sige de x. Il e résulte le tableau de variatio suivat sur ]0 ; + [ : x 0 + S (x) S b. D après le tableau de variatio, la boîte est d aire miimale pour x =. Ce qui fait de la boîte u cube de dm de côté, avec u volume costat de dm. 8. O a = h + r (théorème de Pythagore) et r > 0 doc r - h - h.. h Œ [0 ; ] car h = ( h)( + h) doit être positif. V prh p - h) h - ph 7hp.. V est dérivable sur [0 ; ] et V h -ph 7p p7 - h p 7 - h 7 h d où le tableau de variatio suivat. h 0 7 V (h) + 0 V V 0 7 ª 8, 7 ª 0π ª 0, V 7 0 Chapitre. Ses de variatio d ue foctio 77

79 . a. h ª 87 cm. h 87, b. cosa ª doc aª, 7 9. O r Il suffit d appliquer le théorème de Pythagore. O trouve r = h = h.. h e peut pas être supérieur au rayo de la sphère, puisque le cylidre est iscrit das la demi-sphère. Il e résulte 0 h.. a. V = pr h = p( h )h = ph ph b. Soit f la foctio défiie sur [0 ; ] par f(h) = ph ph. f est ue foctio polyôme doc dérivable sur [0 ; ]. f (h) = ph + p = p( h ) Il e résulte que : pour 0 h, f h pour h f h 0 ; pour f h 0 h car h Œ[ 0; ]. D où ce tableau de variatio : h 0 f (h) + 0 f(h) 0 B h 8p Le volume maximal est doc égal à 8p et il est atteit pour h = cm ou r = cm. 0. L aire semble maximale lorsque M est le milieu de [OD].. a. x Œ0; R. b. L aire A x AM MB or MB = OB OM d après le théorème de Pythagore das le triagle OMB rectagle e M. D où MB = R -x - R Rx - x aisi Ax x Rx- x Rx - x car x 0.. f défiie par f x Rx -x sur [ 0 ; R ] est dérivable et f x Rx - x x R - x. Pour tout x Œ0 ; R, x 0 doc f (x) est du sige de R - x. 0 D où : x 0 R f x + 0 f x 0 7R Pour tout x Œ0 ; R, fx 0 doc la foctio qui a x associe fx Ax a les mêmes variatios que f.. O obtiet alors le maximum de A sur [0 ; R] qui est 7R R R atteit pour x. a. Vrai b. Faux a. Ue coditio écessaire pour que f admette u maximum e u réel a est que f a 0. b. Ue coditio suffisate pour que f a 0 est que f admette u extremum e a.. O étudie la foctio défiie par x - x f x. x - x. La dérivée de f est - x - f x g x - x - x - x La commade «g :=foctio_derivee(f)» retoure la dérivée de f et l affecte à la variable g. «factoriser(g(x))» permet d obteir la forme factorisée de g(x) = f (x). Et «resoudre(g(x)=0,x)» retoure les valeurs pour lesquelles la dérivée s aule. D où x - - f (x) f(x) - B.. Voir au-dessus.. a. Pour tout x, x - x f- x - x - x x - x - x -x x -x x - x - x Or pour tout x, x - x 0 car le discrimiat du triôme x - x est - 0. R 0 78

80 De plus pour tout x 0, x doc pour tout x < 0, f- x 0 f x. b. Pour tout x, x - 0 doc f- x 0 f x.. Coclusio : - aisi f admet pour maximum atteit pour x = et pour miimum - atteit pour x = -. Travail persoel Pour les exercices à 7 : voir corrigés e fi de mauel. APPROFONDISSEMENT. Comme S (x) a le sige de u(x), ous e déduisos le tableau de variatio de S : x ª, S (x) S 0 ª S(,). La valeur de x qui red S miimale est la solutio de u(x) = 0, doc, à 0 - près par défaut. L aire miimale d ue dose est alors voisie de,7 cm. 7 y A 7. y O W M x x B x x y y. x. a. Sx x xy xy ˆ x xy x x x x. x x 9 - b. Sx 8x - 8, x x comme 8 0 x le sige de S (x) est celui de x a. u (x) = x doc u (x) > 0 sur [ ; ] d où le tableau de variatio suivat : x ª, u (x) + u(x) 7 b. U est dérivable et strictemet croissate sur [ ; ]. 7 7 u - et u, doc l équatio u(x) = 0 admet ue solutio uique das [ ; ]. u(,) =,, u(,) = 0,, u(,7) = 0, doc u(x) = 0 admet pour solutio à 0 près, ou tout ombre compris etre, et,7. c. x ª, u (x) a. C : (x ) + y =. b. De. a. o obtiet y = (x ) = x + x. x + x = x( x) doc x + x 0 pour 0 x. Il e résulte y x - x ou y - x - x. Comme l ordoée de A est positive, o obtiet y x - x. OM AB. a. Sx OM MA x x - x. b. x x - x x x - x car pour x Œ[0 ; ], x x - x 0 et pour a 0 et b 0, a = b a = b. x (x x ) = x + x =.. a. f est dérivable sur [0 ; ] car c est ue foctio polyôme. Pour tout x das [0 ; ], f (x) = x + x = x ( x) d où : pour 0 < x <, f (x) > 0 ; pour < x, f (x) < 0. f (x) = 0 x = 0 ou x =. Doc f est strictemet croissate sur [0 ; ] et strictemet décroissate sur [ ; ], d où le tableau de variatio suivat : x 0 f (x) f(x) 0 b. S(x) = f(x) =. Doc S(x) = a deux solutios, l ue das l itervalle [0 ; ] et l autre das l itervalle [ ; ], d après le tableau de variatio de. a. 7 0 Chapitre. Ses de variatio d ue foctio 79

81 c. x + x = pour x = (il suffit das [0 ; ] d essayer les valeurs etières et ). d. f(,) ª 8,, f(,7) ª, doc, < x <,7. f(,) ª 7, f(,) ª,7, f(,7) ª,, f(,8) ª,9 doc,7 < x <,8. O peut doc predre comme valeur approchée à 0 près de l autre solutio,8 ou toute valeur comprise etre,7 et,8. d 7. h est dérivable pour tout x - et c a cx d-ax b c ad - bc h x cx d cx d. d. Pour tout x -, cx d 0 doc h x est du c sige de ad - bc ; aisi : si ad - bc 0, h est strictemet croissate sur d -- ; È c ÎÍ et sur d - È c ; ÎÍ ; si ad - bc 0, h est strictemet décroissate sur d -; - È et sur d - È c ÎÍ c ; ÎÍ.. Pour tout x -, k est dérivable et k x 0 x ( x ) Doc k est strictemet croissate sur ]-;-[ et sur ]- ; [ a. Pour tout x -, k x x. b. O peut remarquer que b c. La foctio affie défiie par ux x est strictemet croissate et s aule pour x -. 9 Doc la foctio g défiie par g x pour tout u x x - est strictemet décroissate sur ]-;-[ et sur ]- ; [. 9 Aisi la foctio k défiie par k x - pour tout u x x - est strictemet croissate sur ]-;-[ et sur ]- ; [. 77. L aire est croissate pour x 8, puis décroissate pour 8, x.. (AD + AB) = doc AD + AB =. Il e résulte AD = AB. Comme AB AD, AD + AB AB doc AB d où AB. AD = AB et AD 0 doc AB. Coclusio : e posat x = AB, ous obteos AD = x et x.. AN = AD + DN = ( x) + DN.. fdca = fcab car les agles sot alteres-iteres avec (AD) // (BC). Par symétrie, fcab = fcab. Aisi le triagle ANC est isocèle e N car gcan = fnca.. De o a AN = AD + DN et de. b. AN = x DN, doc : (x-dn) = AD + DN = ( x) + DN. Soit x xdn + DN = x x + +DN d où xdn = x +. O e déduit x = xdn comme x Œ [ ; ], 7 x 0, doc DN = -. x 7ˆ - x - AD DN x. A( x) ˆ ( - x) - x x. x a. A est dérivable sur [0 ; ] comme somme de foctio dérivable. ˆ - x ˆ A x x x 7 x. A (x) est du sige de 7 x. Sur [ ; ], 7 = x x =. D où : pour x <, A (x) > 0 ; pour < x, A (x) < 0. A est strictemet croissate sur [ ; ] et strictemet décroissate sur [ ; ]. D où ce tableau de variatio : x A (x) + 0 ( ) A(x) 0 ª,8 A ª, 8. b. y 08-7 S y = x c. D après le tableau de variatio, l aire est maximale pour x = et elle est égale à a. Par lecture graphique, A(x) x Œ[8 ; 9]. b. Ax x 0 c'est-à-dire : x - x 0 x 0. x Comme x > 0 cela reviet à < x + 0x 0 soit ( x + 7x 7) 0. Il suffit doc que x + 7x 7 0 avec x > 0. D ; x 7x 7 0 x 9 ou

82 x Pour x Œ [8 ; 9], x + 7x 7 est de sige opposé à celui de, coefficiet de x. Doc : x + 7x 7 0 x Œ [8 ; 9]. Coclusio : A(x) x Œ [8 ; 9]. 78 A. L aire totale des deux triagles est décroissate puis croissate, elle a u miimum quad M décrit [AB]. B.. A 0 8. Lorsque M est e A, l aire totale est la moitié de celle du carré ABCD. A 8. Lorsque M est e B, AM est la diagoale du carré doc l aire totale est la moitié de celle du carré ABCD.. Pour 0 h, la hauteur issue de I das le triagle AMI est h. Doc la hauteur issue de I das le triagle DIC est - h. O applique la propriété de Thalès das DIQ et IPM puis das DIC et IAM car (DC) // (AM). 0 D A d où IM ID I Q C h P M B x IP et IM IQ ID AM CD Doc IP AM h x d où IQ CD - h O obtiet alors x h x - hx h x x h x. A x x h - h x x x ˆ - x x x ˆ ( x ) x x x pour tout 0 h. Or h = 0 x 0 et A 0 8 ; h = x et A 8. x Doc pour tout x Œ0 ;, A x. x. A est dérivable sur [0 ; ] comme quotiet de deux foctios dérivables sur [0 ; ] et car x 0sur [0 ; ]. x 8x - A x x A (x) est du sige de x + 8x qui est u triôme du secod degré dot les racies sot : - - et - D où pour x Œ0 ;, x 0 - A x 0 + A x Pour x -, l aire totale est miimale et elle est égale à, à 0,0 près par excès. C.. La somme des aires de DCI, AIM, IMB est la moitié de l aire du carré ABCD qui est doc costate.. La somme des aires de DCI, AIM et IMB est costate et est égale à 8, les aires se compeset doc, si l ue est maximale, la somme des autres est miimale. E effet otos A(x) la somme des aires DCI et AIM et B(x) l aire de IMB. O a doc A(x) + B(x) = 8. D où B(x) = 8 A(x) aisi B(x) a les variatios iverses de A(x). Ce qui implique que lorsque A(x) est miimale, B(x) est maximale.. a. MB = x, l aire du triagle MBI est B(x) = MB h x x x x sur [0 ; ]. x x x 8x - b. B (x) = - x d où x 0 - B x + 0 B x 0 -. Pour x = -, l aire de IMB est maximale et est égale à -. De plus, l aire de IBM est alors doée par h - h (- ) d où - aisi h - doc AI h -. Or la diagoale AC = et CD = doc I est le poit d itersectio du cercle de cetre C et de rayo CD avec la diagoale [AC]. 79 A.. La base de la boîte est carrée doc L d où L h 90.. O doit avoir 0 h 0 doc L L h 0 L et o obtiet 90 0 L d où l o tire L. 0 Chapitre. Ses de variatio d ue foctio 8

83 De plus, la logueur e pouvat dépasser 0, o obtiet aisi L 0.. V h L L or d après la questio. L h 90 doc h 90 - L. d où l o tire V 90L - L. Étudios la foctio V : L a 90L - L sur [ ; 0]. V est dérivable et V L-L 80L L0 -L. Aisi o obtiet : L 0 0 V L + 0 V L Doc le volume maximal est atteit pour L = l = 0 et h La boîte est alors cubique de logueur L = 0 cm. B.. O a L h 90 doc 90 - L- h doc V L h L h 90 - L- h 90Lh- Lh- Lh.. a. Pour ue hauteur h fixée, la foctio V h défiie par Vh L 90 Lh - Lh - Lh est dérivable et Vh L 90h- Lh- h. D où 90 - h L 0 0 Vh L + 0 Vh L h Vh Doc V h admet u maximum quad L = 90 - h c est-àdire quad L 90- h. b. Pour ue hauteur h fixée, la boîte de volume maximal a pour dimesios 90 - h - - L et h 90 h L h - h. La boîte a ue fois ecore ue base carrée.. Pour ue hauteur fixée, la boîte de volume maximal que l o peut evoyer par la poste à l iteratioal a ue base carrée. Or ue boîte à base carrée a u volume maximal lorsque c est u cube. Doc la boîte de volume maximal est cubique de logueur 0 cm. 80. Lorsque k >, le périmètre de la base du côe est pr pr ce qui est impossible. Lorsque k =, le périmètre de la base du côe est égal à celui du disque : il y a doc pas de côe mais u disque. 0 0 La hauteur du côe est obteue e appliquat le théorème de Pythagore à ue sectio verticale du côe d où h + r = R ce qui doe h R - r. O a de plus r kr doc h R - kr R - k car R > 0.. Le volume du côe est pr pkr pr V k h R - k k - k. a. Pour tout k, V k 0 la foctio carrée est strictemet croissate sur [0 ; + [ doc pour tout k, la foctio V et la foctio V ot même ses de variatio. b. V (k) = [V(k)] pr pr ˆ = k k k k - ˆ -. V est ue foctio dérivable pour tout k Œ[ 0 ; ] et V (k) = pr k k p R ˆ k k - ˆ -. Le sige de V (k) est le même que celui de - k - k k D où pour tout k Œ0 ;, k 0 V k + 0 V k Vk p R pr 9 c. Le volume maximal est obteu pour k, la hauteur du côe est alors R - R. Le volume du côe est pr. 9 Pour aller plus loi Il reste u secteur agulaire de rayo R dot la logueur ˆ de l arc est p - R. Le périmètre de la base du côe est alors p - doc le rayo r de cette base est r = - ˆ R. O utilise les résultats précédets avec k = -. La hauteur du côe est alors h = R V - ˆ 8-8 Rp avec Xcas. ˆ R ˆ - - R. 8

84 b. y f g 0-0 x 8. Le discrimiat du triôme du secod degré x - x - 9 est 9 > 0. Doc les solutios de l équatio x - x sot - - et aisi le sige de x x 9 est doé par le tableau suivat : x - - sige de x x a. Les variatios de gx x - x- 9 sur sot doées par : x - g x - D après les résultats établis au chapitre. b. La foctio g possède u miimum atteit pour x =. c. g y x Pour obteir la courbe représetative de f, o trace le symétrique par rapport à l axe des abscisses de toute la partie de la courbe représetative de g qui se trouve sous l axe des abscisses. c. x - - f(x) 0 0 d. La foctio f possède u miimum 0 atteit pour x - ou x. Elle possède u maximum local sur l itervalle ] - ; [ atteit pour x. 8. O cherche u polyôme P de degré tel que P( ) = 9, P() = 8 et dot la dérivée P s aule e x = et x =. Soit P x ax bx cx d avec a 0. (a, b, c, d) vérifiet le système : P( -) 9 ÔP- 8 Ì ce qui doe avec Xcasfr : ÔP - 0 Ô ÓP 0-0. a. Ô gx pour tout xœ- ] ; - ]»[ ; [ fx Ì - gx pour tout x Œ] - ; [ Ó Ô O a alors P x x - x -x.. La feêtre xmi= ; xmax= ; ymi= 9 ; ymax=0 coviet. Chapitre. Ses de variatio d ue foctio 8

85 8 Lorsque l o place u capital c à itérêts composés à u taux auel t sur as, le capital de départ est multiplié par ( + t) la première aée. Le iveau capital est lui-même multiplié par ( + t) et aisi de suite jusqu à la quizième aée. Le capital accumulé au bout de as est alors c t. La questio est doc de savoir s il est possible de choisir t tel que c t c. Ce qui équivaut à résoudre l équatio t. Posos t x. L équatio à résoudre est alors x. La foctio qui à f : x Æ x est ue foctio dérivable sur et f x x > 0 pour tout x 0 et f 0 0. Aisi f est strictemet croissate sur. De plus f et f()= 78. f f 78 doc l équatio x admet ue uique solutio comprise etre et. Résolvos x - 0 e utilisat l algorithme écrit à l exercice. Ô y ax Ì avec y 0 ÓÔ ( a ) x ax Ô y ax Ì a avec y 0 ÓÔ x ax 0 a Il viet alors que x = 0 et y = ou x - a et y = - a - a a a. Doc M - a - a ˆ ; or il faut y 0. a a O sait que a 0 doc - a 0 si a. Coclusio : pour 0 a, M - a - a ˆ ; et pour a a a, M existe pas. Pour tout a tel que 0 a, l aire T du trapèze OAMN est doée par AO MN ON a a a T a - ˆ a a a Étudios les variatios de T à l aide de Xcas : O obtiet alors ue valeur approchée de la solutio de x qui est x ª,07. Aisi avec u taux t ª 0,07 7, %, le capital aura doublé au bout de as. 8 B - M N - 0, y, 0, A C a = 0, 0 0,, x La droite d a pour équatio y ax. Le demi-cercle a pour équatio x y avec y 0. M est le poit d itersectio de la droite et du demicercle lorsqu il existe. Doc les coordoées de M vérifiet le système Ô y ax Ô y ax Ì avec y 0 avec ÓÔ x y Ì y 0 x ÓÔ ax O obtiet aisi le tableau de variatio suivat : a 0 T a + 0 T a T L aire du trapèze est maximale lorsque a, et l aire maximale est égale à 8. 8 Posos a la logueur du côté du carré. Le périmètre du carré est a et celui de l hexagoe régulier 00 - a. Doc le côté de l hexagoe régulier a pour logueur 00 - a c. L aire du carré est a et celle de l hexagoe régulier est c c. ˆ 8

86 E effet o peut partager l hexagoe e triagles équilatéraux de côté c et de hauteur c. a -00a 0 Aisi l aire de l hexagoe est ha. La somme des aires est alors a a Sa a a - 00a 0 La foctio S est ue foctio polyôme du secod degré 00 0 qui admet u miimum pour a ( ) d après les résultats établis au chapitre. 8 Pour tout L, le volume de la poutre est V(L) = Lc. Notos S le sommet du côe et H le pied de sa hauteur. O remarque que H est le milieu de [MN]. I est le milieu de [AC]. d SI AI D après la propriété de Thalès d où - L SH MH - L doc d. De plus d V L L c. O obtiet alors le volume - L ˆ L - L 0 V est ue foctio dérivable sur [0 ; ] et L - 00L V ( L) 0 V (L) = L- L 0 - D où L 0 V (L) + 0 V(L) V( ) Le volume maximal de la poutre est 0 m 7 logueur L de la poutre est.. lorsque la Chapitre. Ses de variatio d ue foctio 8

87 Notio de suite umérique Pour repredre cotact Les réposes exactes sot : Avec les calculs. a qui peut s écrire aussi 9. b. qui s écrit aussi 9.. a. b. c. 0. a.,7 0 b., 0 8. À la calculatrice : Doc 0 >.. a. Par, ; par,08 ; par,00. b. Par 0,8 ; par 0,9 ; par 0,997. Avec le tableur.,. 887 Avec l algorithmique L algorithme calcule successivemet 0, 00, 0, 00, 0, 00, 0, 00, 0, 700 et affiche 700, soit L algorithme calcule 00,,, c est-à-dire 00, 0. Avec des substitutios a. f() = 9 b. f( a) = ( a) = a c. f(a + ) = (a + ) d. f(x ) = (x ) 8

88 Activité. Choisir u graphique Il s agit d ue situatio discrète où la variable e pred que des valeurs etières doc le graphique de gauche est le graphique qui représete la foctio qui au ombre de places associe le prix. La courbe présete sur l autre graphique met e évidece l évolutio du prix. Il e s agit pas de la courbe représetat la foctio e jeu. Activité. Notio de suite A. Des règles de costructio. Liste a : o passe d u terme au suivat e ajoutat. Liste b : o passe d u terme au suivat e multipliat par. Liste c : o écrit la liste des carrés des etiers successifs o uls. Liste d : à partir du e terme, chaque terme est la somme des deux termes précédets.. Liste a : ; ; 8 ;. Liste b : 8 ; ; ; 0. Liste c : ; 8 ; 00 ;. Liste d : ; 89 ; ;.. Le 8 e terme de la : Liste a : + 7 = ou + 7. Liste b : 0 7 = 07, ou 7 = 07. Liste c : 8 =. Liste d : il faut écrire les termes u par u après : 77 ; 0 ; 987 ; 97 ; 8 est le 8 e terme.. O peut prévoir le 00 e terme de la : Liste a : + 99 = 98. Liste b : 99. Liste c : 00 = Mais pas le 00 e terme de la liste d. B. Ue otatio. Liste a : u 7 = ; liste b : u 7 = 8 ; liste c : u 7 = ; liste d : u 7 =. Le 00 e terme est u 99.. v 0 = 0 = 0 ; v = ; v = ; v = 9 ; v = ; v = ; v = 8 ; v 7 = sot les huit premiers termes de cette liste. Activité. Écrire ue formule de récurrece. Étape Nombre de segmets Logueur d u segmet Logueur totale 8 8. a. E A : =A+ ; e B : =B* ; e C : =C/ b. E A8 : =A7+ ; e B8 : =B7* ; e C8 : =C7/ Cela correspod à l étape 7. Chapitre. Notio de suite umérique 87

89 c. E A7 : =A+ ; e B7 : =B* ; e C7 : =C/. Cela correspod à l étape.. a. L étape suivate est l étape +. b. Nombre de segmets : s +. Logueur d u segmet : l. c. s s ; l l Activité. Somme d etiers cosécutifs. a. = 0 petits carrés. b. S représete le ombre de carrés colorés e bleu plus focé, ou e bleu plus clair. O a doc S = 0 soit S =.. S 7 = a. S = b. S =. TP. La suite de Syracuse. Les dix premiers termes sot : u = a = u 0 u 8 u u 8 u u 7 u 8 u 9 u 0 Il semble que l o retrouve toujours la séquece ; ; qui se répète. Pour a = c est ecore le cas : ; ; 7 ; ; ; ; 0 ; 0 ; 0 ; ; ; 8 ; ; ; ; ; ; Pour 8 égalemet : 8 ; ; 7 ; ; ; puis la même liste que la précédete. 88

90 . a. VARIABLES : a ombre ENTRÉES : Saisir a TRAITEMENT et SORTIES : Tat que a Faire Si a est pair Alors a pred la valeur a/ Sio a pred la valeur a + FiSi Afficher a FiTatque b. Voir les programmes sur le site. Pour a =, o obtiet la liste ; ; ; ; 8 ; ; ; ; Pour a =, o obtiet : ; ; ; ; ; 8 ; ; ; ; c. Ce programme e s arrêtera pas si o obtiet pas das la liste.. a. VARIABLES : a, ombres ENTRÉES : Saisir a INITIALISATION : pred la valeur TRAITEMENT et SORTIES : Tat que a Faire Si a est pair Alors a pred la valeur a/ Sio a pred la valeur a + FiSi Afficher a pred la valeur + FiTatque Afficher «la durée du vol est», b. Pour a =, la durée du vol est. Le plus grad etier atteit pedat le vol est 0. c. Pour a = 7, la durée du vol est et le plus grad etier atteit est 9. TP. Découvrir u algorithme Pour les questios et, o pourra répartir le travail das la classe.. Pour 9, l algorithme produit l affichage de. Pour, o obtiet. Pour, o obtiet. Pour, o obtiet. Pour 9, o obtiet 7. Pour 00, o obtiet 0. Il semble que l o obtiet la racie carrée du ombre choisi.. Pour 0, o obtiet. Pour 8, o obtiet. Pour 7, o obtiet. Pour 9, o obtiet. Pour 0, o obtiet 7. Pour 0, o obtiet 0. Il semble que l algorithme affiche le plus grad etier dot le carré est iférieur ou égal au ombre etré, ou ecore la partie etière de la racie carrée du ombre etré.. a. + = ; + + = 9 ; = ; =. Chapitre. Notio de suite umérique 89

91 b. O cojecture que cette somme est u carré parfait. c. Le premier terme est, la raiso est. Cette somme est doc égale à : + ( + ) + ( + ) + ( + ) + + [ + (p )] = p + [ (p )] soit p + (p )p = p. d. Soit l etier etré das l algorithme. O soustrait à la somme premiers etiers impairs cosécutifs tat que cette différece reste positive ou ulle. Si p désige le ombre d etiers impairs elevés, p est doc le plus grad etier tel que la somme des p premiers etiers impairs soit iférieure ou égale à c est-à-dire p. Autremet dit p est le plus grad etier tel que p c est-à-dire que p est la partie etière de. L algorithme affiche bie la partie etière de. Remarque Soit l etier etré. C est l aire d u carré de côte. L algorithme s illustre géométriquemet e terme d aire de la faço suivate, par exemple pour = 7 : Pour aller plus loi VARIABLES :, p etiers ENTRÉE : Saisir INITIALISATION : p pred la valeur 0 TRAITEMENT : Tat que p + Faire pred la valeur (p + ) p pred la valeur p + FiTatque SORTIE : Afficher p Programmes : voir sur le site TP. U paeau triagulaire. Pour u paeau de côté : Le ombre de triagles composat le triagle itérieur est la somme des premiers etiers impairs de à + =. + ( + ) + ( + ) + + ( + ) = + ( ) = = 0 Le ombre de triagles composat le paeau est la somme des premiers etiers impairs, de à + = 9. La bordure est doc composée, par différece de = 0 petits carreaux.. Soit le côté d u paeau. Il faut que. Le ombre de carreaux à l itérieur est égal à la somme des ( ) premiers etiers impairs de à + ( ). Le ombre de carreaux à l itérieur est doc + ( + ) + ( + ) + + [ + ( )] = + [ ( )] = + ( ) ( ) = + 9 Le ombre de carreaux à l extérieur est la somme des premiers etiers impairs ce qui doe. Doc la bordure comporte ( + 9) = 9 petits triagles. O cherche doc u etier tel que + 9 = 9 soit : + 8 = 0. Les solutios de cette équatio sot - et qui e sot pas des etiers. Il est doc impossible que le ombre de triagles à l itérieur soit égal au ombre de triagles e bordure. 90

92 TP. Tracé d autoroute ou de voie ferrée. Les agles q, q º, q état proportioels aux logueurs l, l, º il existe u coefficiet de proportioalité k tel 0 que : q0 kl ; q kl, º q k( ) l Par coséquet q q 0 pour tout 0 et doc q q - 0 pour tout. O e déduit que q q q - 0 pour tout doc la suite (q est ue suite arithmétique de premier terme et de raiso q 0.. Le virage egedré par la courbe e étapes correspod à u agle par rapport à la directio iitiale égal à q0 qºq - soit q 0 q 0 q 0 q º 0. a O doit doc predre q 0.. a. q 0 0,. Les agles suivats sot doc q,, q 8,, q,, q, q,, º, q9. 0 b. Voir fichier sur le site. TP. Ue suite de carrés À l étape, o a ajouté carrés dot les côtés sot égaux à fois le côté du carré précédet. L aire de chaque ouveau carré est doc la moitié de l aire du carré précédet. La suite des aires des carrés ajoutés à chaque étape est doc ue suite géométrique de raiso. À l étape,, l aire de la figure est doc égale à : + º ˆ - = + º ˆ - - ˆ [ ] = + - ˆ - ˆ - O e trouvera doc pas d étape où l aire de la figure soit supérieure à. TP. Les tours de Haoï. U coup.. Dessi : Dessi : La re et la derière étape correspodet au déplacemet de deux rodelles doc écessite coups (par la questio ). L étape itermédiaire écessite le déplacemet d ue seule rodelle doc coup. Il faut doc + + = 7 coups.. Les re et derière étapes cosistet e le déplacemet de rodelles écessitat u coups au miimum. L étape itermédiaire se fait e coup. Doc u + = u +. B.. O etre la suite défiie par u = et u + = u + pour tout. Sur u tableur, o obtiet par exemple,87e + 9 c est-à-dire, a. v + = u + + = u + = v. La suite (v ) est doc géométrique de raiso. So premier terme est v = u + =. b. v = v = Doc u = v =.. Il faudrait eviro secodes soit eviro,8 0 aées (comptées avec jours), soit plus de 7 fois l âge estimé de la Terre (eviro, milliards d aée). Chapitre. Notio de suite umérique 9

93 TP7. Se souveir de la divisio euclidiee A.. u d q r a. Il semble que la suite (q ) soit arithmétique de raiso et la suite (r ) arithmétique de raiso. b. Il semble doc que pour, o ait q = + ( ) = et r = + ( ) = +.. Calculos d q + r : ( + ) ( ) + + = = 8 + = u De plus état u etier, et + est aussi u etier. Ayat, et r doc q et r sot des etiers positifs. Vérifios que r < d : d r = + ( + ) = > 0 doc r < d. O a aisi démotré que les expressios de q et r sot bie celle cojecturées à la questio. b. B. Voir le site Sur u tableur o obtiet par exemple :. La suite (r ) est pas arithmétique.. 70 r

94 . Il semble qu il y ait deux sous-suites arithmétiques d après le graphique. E reveat aux valeurs obteues, o peut cojecturer que la suite des termes de rags pairs est ue suite arithmétique de raiso et de premier terme r = et celle des termes de rags impairs à partir du rag est ue suite arithmétique de raiso avec u = 8. O cojecture que r = + et pour +, r + = 8 + ( ) = +.. Il semble que la suite (q ) soit arithmétique de raiso avec q = et que la suite (q + ) soit arithmétique de raiso à partir du rag avec q = 7 (o peut aussi cojecturer que pour les rags impairs à partir de, q = r ). Autremet dit : q = + ( ) = et pour +, q + = 7 + ( ) = +.. O vérifie que q et r sot des etiers positifs et que r < d puis que pour, d q + r = u : ( ) () + + = + = () () + ce qui est bie égal à d. et pour +, d + q + + r + = u + : ( + ) ( + ) + + = et d + = ( + ) ( + ) + = Exercices SANS CRAYON, SANS CALCULATRICE S( ; 9) f (x) = x G est strictemet croissate sur ] ; [ et sur ] ; + [. r u ˆ - r ˆ 7 Cercle de cetre ;- et de rayo. 8 a. - p b. p 9 Vrai 0 E(X) =, E(X) = 8 ; V(X) =, , 0 (soit 0) ENTRAÎNEMENT a. Par ue suite. b. Par ue foctio défiie sur +. c. O peut modéliser par ue suite e e cosidérat que les relevés effectués à des istats doés au cours de l aée. Cepedat la variable temps état cotiue, o cosidérera plus souvet ue foctio dot o coaît seulemet quelques valeurs par des relevés. d. Par ue suite. 7. u(0) = 0 0 ; u, u, u, u.. u Sur la courbe représetative de la foctio racie carrée. 8. u(0) = 0 ; u() = ; u ; u ; u.. u Chapitre. Notio de suite umérique 9

95 . Sur la courbe représetat la foctio f défiie par x f(x) = x. 9. v( + ) = ( + ) = ; v( ) = ( ) = 7 ; v() + = + + = + ; v() = + =. v + ; v - ; v + ; v 0 u 0 u u u u u 0 a. 9 7 b c. 8 0 d. - 0 u 0 u u u u u 00 a. 0 ª,.0 0 b.,0 ª,0 ª, ª, ª, c d. (v ) est représetée par des ; (w ) représetée v et w. u = - 0 pour tout 0. Doc u < pour tout 0. a. u + = ( + ) + = + u = ( ) + = b. u + = ( + ) + ( + ) = + + u = ( ) + ( ) = + c. u + = ( ) + = ( ) ; u - = ( ) = ( ) d. u + = ; u = 7 v + = ( + ) + ( + ) = + + ; v = () + () = + ; v + = ( + ) + ( + ) = a. u + = u + + b. u + = u 9 u u u u u a. 8 b. c. 0,, 77, 97 8, 0 u u u u u a. 8 b. 0 8 c La suite (v ) défiie par v = pour 0. Éocé : «Calculer les 0 premiers termes de la suite défiie par u = pour et les représeter graphiquemet.». u u u u a b.. a. u = u pour tout. b. u = u + pour tout. c. u = u + pour tout.. a. u + = u, pour tout 0. b. u + = u + ( + ) pour tout 0. c. u + = u pour tout 0. a. Algorithme :. Tous les termes calculés sot iférieurs à. VARIABLES : u, ombres INITIALISATION : pred la valeur 0 u pred la valeur TRAITEMENT : Pour k de à 0 faire u pred la valeur u - FiPour SORTIE : Afficher u 9

96 O obtiet u 0 ª, b. O adapte l algorithme et o obtiet u 0 = a. u 0 ª 0,9998 b. u 0 ª, u = ; u = ; u = ; u =. a. Algorithme VARIABLES : k, u, p ombres ENTRÉE : Saisir k INITIALISATION : u pred la valeur 0 TRAITEMENT : Pour p de à k Faire u pred la valeur u + p FiPour SORTIE : Afficher u b. Voir sur le site c. u 00 ª, a. u + = u + b. O etre la suite avec u = et o obtiet, par exemple sur Casio Graph + : 0 a. Raiso =, premier terme = 0. b. Raiso =, ; premier terme =. a. u = b. u = + ( ) = c. u = + ( ) = d. u = a. Oui de raiso. b. No c. Oui de raiso. d. No a. Oui de raiso. b. Oui de raiso. c. No Ces poits sot situés sur la droite d équatio y = x -. a. u 0 = et raiso = ; u + = u + pour tout 0 ; u = + pour tout 0 b. u = et raiso ; u + = u pour tout ; u = ( ) = + pour tout. c. Raiso égale à. De u =, o déduit que le premier terme u est u =.. Par exemple : F 0 F F F F F Somme O cojecture que la somme des six premiers termes est égale au quadruple du e terme.. La somme est : S = F 0 + F + F + F + F + F avec F = F + F 0 F = F + F = F + F 0 F = F + F = F + F 0 F = F + F = F + F 0 Par coséquet : S = 8F 0 + F = (F 0 + F ) = F 7 u =, u =, u =, u =. 8 u 0 = 0 9 u 0 = + 9 = 89 u + = u + pour tout ; u = - pour tout.. d + = d La suite est arithmétique de raiso 00.. d = d = Au bout de semaies. 7. Les suites (b ) et (t ) sot des suites arithmétiques de raisos respectives et.. b = b + ( ) = + ( ) = + t = t + ( ) = + ( ) = +. t = = 08. O utilise alors b 08 = 8 billes. 8. d + = d 8 par éocé doc la suite (d ) est arithmétique de raiso 8.. d = d 0 8 = 00 8 d 0. C est e 00 + = 0 que le village sera touché. Chapitre. Notio de suite umérique 9

97 9 O peut décomposer le trapèze coloré e bleu e u rectagle de côtés de mesures et +, et u triagle rectagle dot les côtés de l agle droit mesuret et. Doc u = ( + ) +. u + u = doc la suite (u ) est arithmétique de raiso. 0 a. termes b. termes c. 7 termes d. 0 termes 9 0 a. A = 780 b. B = ( ) = 0 c. C = Le ombre de tuyaux aisi empilés est : a = b =. O résout l équatio soit + 7 = 0. Les solutios de cette équatio sot 7 et. Il faudra doc tuyaux sur la première ragée.. La suite est arithmétique de raiso.. r = r + ( ) =. Pour ragées, o a besoi de r + r + r = + ( + ) + ( + ) + + ( + ) = + ( ) = + ( = + = = Remarque : o aurait pu aussi utiliser la méthode de la démostratio de la propriété page : S = S = D où S = 0 et S = =.. E euros, p = 0 ; p =. p + = p +. (p ) est ue suite arithmétique de raiso doc p = p 0 + = Au bout de 0 as, la prime est p 0 = 0, e euros.. Le motat total e euros est doé par p 0 + p + + p 0 = 00 + (00 + ) + (00 + ) (00 + 0) = 00 + = 70.. u = - -,. a. S =, - º S -, = -. D où T = -. b. T + T = - pour tout doc (T ) est arithmétique de raiso -.. Il y a différetes faços de déombrer les cartes format ce château. Par exemple : Le ombre de cartes d u château à iveaux est la somme des ombres de cartes de chaque ragée, = ( + ) et de cartes mises horizotalemet, ( ) = -. Il y a doc ( + ) + - cartes das u château de iveaux.. O résout 00 soit Le triôme est positif sauf etre ses racies qui sot eviro 9, et 8,8. Comme est u etier aturel o ul, si et seulemet 8. Doc le plus grad château que l o peut costruire avec 00 cartes comporte 8 iveaux. 7. S = T = k. S = Â k ; T = Â k k k0 k0 8. Le calcul des premiers termes permet de cojecturer que u =.. Après avoir ajouté et simplifié, o obtiet u = u 0 + [ ( )] u = * -. 9 a. termes u 0 u u u u u a. 8 b. 8 c. d. 8 9

98 0 a. v = - doc v 0 = 9 = 7 b. v = ( ) = ( ) doc v 0 =. c. v = 0 ( ) -0 doc v 0 = 0 0 = 0 ª 90, a. Oui, de raiso. b. No.. p 0 = 8,0 ; p = 8,0,0 = 8,8 ª 88, c. Oui de raiso. d. Oui de raiso. et p = 8,8,0 = 8,8 ª 8,.. p + = p,0. La suite (p ) est géométrique de raiso,0.. p = 8,0,0 doc le prix de l article e 0 est, e euros, p ª 9,.. C + = C,0. Le capital au bout de as est, e euros, C = C 0,0 ª 7 908,. La capital aura augmeté de 0 % quad il sera égal à Ceci se produira au cours de la e aée car 00,0 0 ª 9,9 et 00,0 ª 0 00,.. a. P = P 0,0 = 8,0 (e millios d habitats) b. P 00 ª 7,9 millios d habitats.. Soit a le ombre d habitats (e millios) que l agriculture peut ourrir l aée D après ce modèle, (a ) est ue suite arithmétique de raiso 0, et premier terme a 0 = 0. E 900, l agriculture pourrait doc ourrir a 00 = 0 + 0, 00 = 0 millios d habitats.. D après ce modèle, la situatio devait deveir critique à partir de l aée c est-à-dire à partir de 90.. Heures Populatio bactérie A a + a a + /a , Heures Populatio bactérie A a + a a + /a 0 00, ,8887 9,90 9 0, ,0807. O peut modéliser la situatio par ue suite géométrique de premier terme et par exemple de raiso,.. Au bout de h, o peut prévoir si l évolutio cotiue aisi ue populatio de 0 000, ª 8 bactéries. a. - - b c ˆ ˆ - = ˆ 0 7 ª, 7 a. ( +,0 +,0 + +,0 9 ) = 0 0 -, = 0(,0 0 ) ª 99, 0-0, b. ( + ( 0,8) + ( 0,8) + + ( 0,8) 9 ) = , ª, --0, 8 8 La part prise par Alexis est 0 ˆ º ˆ ˆ º ˆ - ˆ 0-0 = - ˆ 9 À la 8 e géératio, le ombre d acêtres iscrits sera : = ( ) = c est-à-dire ( 8 ) = 0. À la -ième géératio, il y aura = - - acêtres iscrits - sur l arbre. 9 ˆ Chapitre. Notio de suite umérique 97

99 70. p = 00,0 = 0 ; p = p,0 = 08,0 p + = p,0 pour tout 0.. p = 00,0. p 0 ª,8 7 Soit a la plus petite gradeur. L affirmatio d Archimède se traduit par : a + a + a + + a + a = ( i) Or a + a + a + a = a - a - - Doc a + a + a + a + a = a. Or ( a) = a, doc l égalité est bie vérifiée. 7 Le ombre total de grais de blé demadés est : c est-à-dire - ª 80, Ceci correspod à eviro 7,.0 kg de blé c est-à-dire millios de toes de blé, soit plus de 00 fois la productio modiale de blé e S = S = ( ) ( ) = 0 0 Ou ecore S = 0 ( ) = soit S = 0 ( 9 ) = 0 0. T = ºº = 0 - ˆ ˆ k7 k Â. S = k S = º 7 - k0 T = Â - k0 7. k = u u - 0 0, 0,7 0,7 0,8. a. Il semble que - pour. u - b. O cojecture doc que u = - soit u. O vérifie sur le tableur pour les premiers termes. u. a. v + = u u - u b. v + v = - u u - - u u - - u u u - pour tout. O e déduit que la suite (v ) est arithmétique de raiso. c. O a doc pour tout. v = v + ( ) ( ) = ( ) = O e déduit que u = - pour tout. 7. u v La suite (v ) semble être géométrique. Démotros-le : v + = u + = (u ) = 0 u = ( u ) doc v + = v pour tout 0. La suite (v ) est doc géométrique de raiso.. v = doc u = pour tout a. C = ( ),0 = 0 79,0 C = (C 0),0 ª 0 77,7 b. C + = (C 0),0 = C,0 0,8. a. u + = C + 0 = C,0 0,8 u + =,0 (C 0) =,0u pour tout 0. La suite (u ) est doc géométrique de raiso,0. c. u = u 0,0 = 9 80,0 d où C = 9 80, Le capital aura au mois doublé au bout de 9 as. 77 Das le cas a, chaque salle a ue clé qui permet d e ouvrir la porte alors que das le cas b, il s agit d ue même clé, u passe, qui ouvre toutes les portes de toutes les salles (ou qui ouvre la porte de chaque salle). 78 Ce raisoemet est faux car + est pas costat et varie avec. 79. E B o atted l affichage de 0. 98

100 . a. Sur OpeOffice Calc ou Excel, o obtiet : Pour l élève A Pour l élève B b. Il semble que la formule = A^ + soit iterprétée comme =(-A)^ + ; différets tests e chageat les ombres etrés das A cofirmet cette hypothèse. c. Soit o etre la formule de l élève B soit o met des parethèses e etrat = - (A^) + 80 Le ombre de trasistors doublat tous les deux as, o peut modéliser cette situatio à l aide d ue suite géométrique. Le graphique motre pourtat u aligemet évoquat davatage ue suite arithmétique. E fait l échelle de l axe des ordoées est pas régulière : chaque graduatio idique u ombre 0 fois plus grad que la précédete. Ce type d échelle permet de représeter sur u même graphique de faço lisible des poits d ordoée 000 aussi bie que mais les aligemets e peuvet plus s iterpréter e termes de foctio affie ou suite géométrique. Travail persoel Pour les exercices 8 à 0 : voir corrigés e fi du mauel et site. APPROFONDISSEMENT 0. a. OA k = OA + (k ) = k doc L k = p x k b. L k+ L k = pk arithmétique de raiso p.. a. S = p ( ) = p 8 p xk = p ; (L k ) est ue suite S = p p 8 = p 8 ; S = p ( ) p = p 8 b. S k = p (k ) p (k - ) = p 8 + (k ) p. D ue part S + S + + S est égale à l aire du demi-disque de diamètre [OA ] c est-à-dire p p ˆ. 8 S + S + + S = p p p ˆ p p 8 8 º 8 - ˆ = p 8. u 0 v + = u u - u u u - v + v = -. u - u - u - La suite (v ) est arithmétique de raiso.. v = + doc u = a. Il semble que pour u 0 = 0, o ait u = 0 pour tout. b. Il semble que pour u 0 =, o ait u = pour tout. Das les deux cas la suite semble costate. u u u u a. v + = v u u u -. - u La suite (v ) est géométrique de raiso. b. v = ˆ. Or (u ) v = u v doc u (v ) = v et u = v - car v pour tout. ˆ D où u = ˆ A. Les ciq premiers termes sot : ; 0 ; ; ; 9. b. Cette suite est i arithmétique i géométrique.. a. v 0 = ; v = ; v = ; v =. b. v + = u + + u = +. Doc v + v = et la suite (v ) est arithmétique de raiso.. a. v 0 + v + + v = = b. v 0 + v + + v = u u 0. O e déduit que u = u Ô u 09. Ì ÓÔ v u Ô Ì Ôv ÓÔ v u d. a. d -. 8 u Ô 9 Ì Ô 0 v ÓÔ 9 b. d d ˆ ˆ 0.. a. s 0 =, s =, s =. b. s + = u + v = s pour tout etier, doc la suite (s ) est ue suite costate. Comme s 0 =, s = pour tout etier. Chapitre. Notio de suite umérique 99

101 . u et v sot tels que v u = ˆ et u + v =, doc e sommat ces deux relatios, o trouve v ˆ, puis u = v = ˆ.. u0 uº u º fois - ˆ ˆ º ˆ ˆ - ˆ - - ˆ - ˆ v0 v v º º º fois ˆ ˆ - ˆ u = ; u = ; u = ; u = ; u =.. a. S = 0( ) = S = b. T = 0 ( ) = 0 S + doc T = a. T + S + = = u b. u = c. u = u = ˆ. = pour s écrit avec u chiffre, u chiffre et évetuellemet des zéros. La somme de ces chiffres est égale à doc c est u multiple de. De ce fait 0 est u etier doc u est u carré parfait pour tout.. a.. b. Pour passer de P à P +, o «rajoute» trois côtés costitués de ( + ) poits doc u + = u a. v = + pour tout, doc (v ) est ue suite arithmétique de raiso. b. v + v + + v = ( ) - - c. v + v + + v = (u u ) + (u u ) + + (u u ) = u u. Doc u V p.. a. V k pk - pk pk k. b. V = V 0 + V + + V k + + V, où k Œ [ ; ].. p p ) d où º º fois º = ( + ) + ( ) + ( ).. O e déduit que : = È -- ÎÍ [ - - ]. a. Les premiers termes sot 0 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; etc. b. Il semble que l o obtiee les etiers cosécutifs, chacu état répété ue fois à partir de. c. Il semble que u = et u + = + a. v 0 u 0 ; v u ; 0 v u ; v u b. La suite (v ) semble être arithmétique de raiso. v + v = u + u = + u + u v + v = + ( + u ) u. v + v = pour tout 0. c. v = v 0 + = pour tout de.. O a doc bie u = pour tout de

102 Alors u + = + u = + = + pour tout de.. c = ; c = ( carrés de côté et carré de côté ) ; c = (9 carrés de côté, carrés de côté et carré de côté ).. Le quadrillage de côté + comporte : ( + ) + = + carrés de côté ( lige et ue coloe) de plus que le quadrillage de côté. + ( ) = carrés de côté de plus. [ + (p )] + [ (p )] = p + carrés de côté p ( p ) de plus. carré de côté + b. c + = c ( + ).. a ( + ) = + ( + ) + + ( + ) = + + b. c + = c ( + ) doc c + = c + ( + ).. a. Algorithme VARIABLES : k, c, p ombres ENTRÉES : saisir k INITIALISATION : c pred la valeur 0 TRAITEMENT : Pour p de à k faire FiPour SORTIE : Afficher c c pred la valeur c + p b. Il y a 9 carrés das u quadrillage de côté 0. f est dérivable sur doc la tagete à e M a pour équatio y = f () (x ) + f(). f () = > 0 pour. f Doc x = f x = car. - x + x = pour tout, doc la suite (x ) est arithmétique de raiso. O peut réaliser ue feuille de calcul sur u tableur pour répodre aux deux questios qui sot umériques et examier combie de cubes o ajoute avec u iveau supplémetaire. O peut aussi établir ue formule géérale. Pour iveaux : la coloe cetrale comporte cubes. chacue des quatre braches comporte que brache comporte ( ) cubes soit - cubes. Il y a doc - - cubes pour iveaux. Pour 00 iveaux, o a doc cubes. Avec 0 cubes : 0 si et seulemet si 79. O aura doc u empilemet de 79 iveaux au plus. 7 D ue étape à la suivate, chaque triagle bleu est remplacé par triagles : bleus et blac. Doc le ombre de triagles bleus est multiplié par, et le ombre de triagles blacs augmete d u ombre égal à celui du ombre de triagles bleus existats. Soit b le ombre de triagles bleus et c le ombre de triagles blacs à l étape. O a doc b =, b + = b pour tout. c = 0, c + = c + b pour tout. O peut esuite utiliser u tableur ou u autre logiciel pour trouver c 00 ª 80,.. Soit a la part de l aire du triagle iitial ecore colorée e bleu à l étape. O a a =. À chaque étape, l aire d u triagle bleu est u euvième de celle d u triagle bleu à l étape précédete. Doc a = b ˆ ˆ - 9 ˆ - -. La part du triagle de départ ecore colorée e bleu à l étape 00 est doc eviro Appelos so âge et N l âge qu il avait lorsqu il a pas pu fêter so aiversaire, les 999 bougies représetet N + + N, d où : -N 999. O a doc + ( N) = 0, le discrimiat de cette équatio est D = N. D doit être u carré parfait, c est-à-dire D = p où p est tel que - p Œ. Chapitre. Notio de suite umérique 0

103 E cherchat avec la calculatrice, o trouve N = 7 et = = N = 8 doerait N = 8,87 ce qui est pas etier N = 9 doerait N = 8, et = ce qui est impossible car doit être plus γρανδ que N. E supposat que l Émir Hifik reste d âge «raisoable» pour u humai, la seule solutio est doc N = 7 et =. 9. a. Lige Nombre de termes Premier er impair e impair e impair terme = 0 + = + 7 = + À la ( )-ième lige, le ombre d impairs déjà iscrits est : ( ) = -. Le premier terme de la -ième lige est doc le - ˆ -ième impair, qui vaut : - -. Doc, le premier terme de la ( + )-ième lige est ( + ) +, le derier terme de la -ième lige est (( + ) + ) = ( + ). b. La somme des termes de la -ième lige représete la somme des termes de termes cosécutifs d ue suite arithmétique de raiso, de premier terme ( ) + et de derier terme ( + ), doc cette - - somme vaut :.. La somme S de tous les termes du tableau, jusqu à la -ième lige icluse, représete la somme de ( ) termes cosécutifs d ue suite arithmétique de premier terme et de derier terme ( + ), - ˆ doc S. Par ailleurs S = e sommat les résultats obteus e additioat les termes situés sur ue même lige. Doc È º Î Í º. 0

104 Comportemet d ue suite Pour repredre cotact Les réposes exactes sot : a. u 0 = ; u =. b. u + = ( + ) + ( + ) = + pour tout <,999 < 0 < + 0 < + 0. a. x =,0000 ; x =,000 ; x = + 0. b. x = 0,00 ; x = 0,00 ; x = 0,009.. a. Supérieur à. b. Supérieur à. c. Iférieur à. d. Iférieur à pour < + soit = 0 ; ; et supérieur à pour.. 0, x 0,. a. ; 0,8 ; 0,8 ; 0,8 ; 0,8. b. 0,8 < 0,8 < 0,8 < 0,8 <. a. ;,0 ;,0 ;,0 ;,0 b. <,0 <,0 <,0 <,0. a. ; ; ; 8 ;. b. 8 < < < < a p ; ; ; q q q p b. 0 0 = 0 ; 0 0 ; ; 0 0. v = ; raiso = 0,. L algorithme affiche : 97,98 pour S et pour. Chapitre. Comportemet d ue suite 0

105 Activité. Évolutio de populatios. a. La populatio décroît jusqu à presque s éteidre. b. La populatio augmete, et même de plus e plus. c. La populatio augmete puis dimiue et cotiue aisi de fluctuer tout e semblat se stabiliser aux aletours de aimaux. d. La populatio augmete assez rapidemet puis semble deveir pratiquemet costate à aimaux. e. La populatio est alterativemet iférieure à et supérieure à , et semble se stabiliser à eviro aimaux. f. La populatio varie de faço périodique, sas dépasser aimaux.. a. O pourrait prévoir ue populatio qui augmeterait sas limite et de plus e plus vite. Ceci est guère réaliste pour des problèmes de territoire et de ressources. b. La populatio semble se stabiliser das les cas c, d, e autour de aimaux, et das le cas a où elle s éteit. Activité. Limite ifiie d ue suite A.. u 0 = 00 ; u 00 = ; u a. u 00 0 ; u 000 ; u b. Tous les poits de la représetatio graphique sot au-dessus de la droite d équatio y = 00 (respectivemet y = 000, y = 0 0 ) dès que 0 (respectivemet ; 0 0 ).. u M M. Si 0 désige le plus petit etier supérieur ou égal à M, alors u M 0. B.. Le premier idice tel que u 0 est =. Les termes suivats e sot pas tous supérieurs à 0.. si doc 8 si 8 et + 8 si 8. Doc pour 8, o a u 8 0. Remarque : la coditio 8 est ue coditio suffisate, o écessaire. O remarque que, pour 7, o a déjà u 0.. O est sûr que u 00 pour tout 08 ; et que u 0 0 pour tout De même, u M dès que M 8. La suite (u ) a pour limite +. Activité. Limite fiie d ue suite. L aire de la partie colorée e plus à chaque étape est la moitié de celle colorée e plus à l étape précédete. Doc (a ) est ue suite géométrique de raiso.. Voir sur le site a. La suite (a ) semble tedre vers 0 quad deviet grad. b. Pour p = 7, a p < 0,0. Pour obteir les termes suivats, o divise ce ombre positif par plusieurs fois de suite ; doc ces termes sot iférieurs à a p et doc iférieurs à 0,0. c. O aura a < 0,000 dès que ; a < 0 8 dès que 7 ; a < 0 dès que 0.. a. Sur le tableur, il semble que quad deviet grad, t deviee égal à. b. t q > 0,99 pour q = 7. Comme o ajoute à t u ombre positif pour obteir le terme suivat, les termes vot e augmetat et serot doc tous supérieurs à t q pour q et doc a fortiori supérieurs à 0,99. c. t > 0,9999 dès que ; t > 0, dès que 7. 0

106 d. a = et (a ) est géométrique de raiso doc a = a ˆ t = a + a + + a = ˆ º ˆ. - ˆ. Alors o a t = et pour, t = - ˆ = ˆ - e. O e peut pas trouver d etier tel que t =. Le tableur affiche car t est très proche de, au poit que compte teu du ombre de décimales utilisées, le tableur e peut afficher d autre valeur approchée de t que. Activité. Comportemet de la suite (q ) Partie A.. et. Voir site Il semble que la suite soit croissate pour q >, décroissate pour 0 < q <. Pour q < 0, elle semble être i croissate i décroissate. Elle est costate pour q = 0 et q =. Partie B.. a. Il semble que la suite tede vers 0. b. E coloe C, o teste si u < e où e est le ombre etré e cellule D, autremet dit si e 0). c. Pour =, la suite état décroissate, tous les termes suivats sot iférieurs à 0,. d. u < 0,00 pour u 0,0000 pour. e. Pour q = 0, : u < 0, pour ; u < 0,00 pour ; u < 0,0000 pour. f. Pour q = 0,9 la suite est i croissate i décroissate. u < 0, pour ; u < 0,0 pour ; u < 0,0000 pour 0. Pour q = 0, la suite est i croissate i décroissate. u < 0, pour ; u < 0,0 pour ; u < 0,0000 pour 8.. Pour q > a. O cojecture que la suite est croissate et que ses termes devieet très grads. b. O etre e C la formule : = SI(B>M ; «oui» ; «o») c. Pour q =, u M pour = 7 puis pour tous les termes suivats chaque terme, positif, état multiplié par u ombre supérieur à pour passer au suivat, la suite (u ) est croissate. d. u 000 pour 0. u 0 0 pour e. Pour q =, u 00 pour 9 u 000 pour 7 u 0 0 pour. La suite semble être i croissate, i décroissate, et osciller d u ombre positif à u ombre égatif. Les valeurs absolues des termes devieet aussi grades que l o veut mais la suite e semble pas avoir de limite. Chapitre. Comportemet d ue suite 0

107 Activité. Représeter graphiquemet ue suite récurrete A.. b. A a pour abscisse u. c. O costruit le poit de la courbe d abscisse u, so ordoée est u. O costruit le poit A de d de même ordoée u que le poit précédet. So abscisse est u.. y u u u u u 0 0 x «L escalier» se prologerait mais sas dépasser le poit d itersectio de la courbe et de la droite d équatio y = x.. O peut cojecturer que la suite est décroissate et qu elle a pour limite B.. y v 0 v v v v 0 x. La suite (v ) semble être croissate et avoir pour limite. C.. a 0 ª 0, ; a ª, ; a 8, ; a ª,. Cette suite semble croissate. Elle semble avoir pour limite l abscisse du poit d itersectio de la courbe représetat g et de la droite d équatio y = x, soit d après l écra de calculatrice eviro, ou,. Pour aller plus loi gx x doc g(x) = x - x ce qui équivaut pour x - à x x = 0. x Les solutios de cette équatio sot - (égative) et + (positive). La limite cojecturée serait doc égale à. O vérifie que ª, à 0,0 près. 0

108 TP. U algorithme pour Obélix. Étape : Étape : Étape : Étape : la partie grise la plus sombre(correspodat au vert sur le mauel) représete du gâteau. Doc v = Étape : o ajoute le quart de la partie blache de l étape. La part e vert (ici gris sombre) représete. Doc v = ˆ. Étape : o ajoute à ouveau de la partie blache de l étape. À chaque étape la partie blache est divisée par. O ajoute doc ˆ. Doc v = ˆ ˆ.. À chaque étape, la partie blache est divisée par. Soit b la part e blac à l étape. La suite (b ) est doc géométrique de raiso, de premier terme b = doc b = ˆ. La partie «verte» à l étape est obteue e ajoutat les quarts des parties blaches successives doc v = ˆ º ˆ v = - ˆ - ˆ ˆ -. v ª à % près si et seulemet si 0,0 v 00, Comme v ceci reviet à chercher tel que - 00, v soit 00 ˆ, ou ecore 00 ˆ,. O trouve à la calculatrice que dès l étape, la part «verte» représete le tiers du gâteau à % près. La limite de la suite semble être. TP. Le carré de Sierpiski. La suite (A ) est croissate.. A = 9 et A = ˆ Pour passer de A à A +, o ajoute à l aire A déjà colorée u euvième de celle qui e l était pas.. a. u + = A - A - u La suite (u ) est géométrique de raiso b. u = u ˆ - 9 avec u = A = 8 9 Doc u = - ˆ 8 et A 9 = u + = - ˆ 8. 9 Chapitre. Comportemet d ue suite 07

109 c. Avec la calculatrice ou u logiciel, o trouve que A dépasse 0,9 pour la première fois à la vigtième étape. De plus, la suite (A ) est croissate. Doc au mois 90 % du carré iitial est coloré e rouge à partir de la vigtième étape. d. De même, o a plus de 9 % du carré iitial coloré e rouge à partir de la e étape et plus de 99 % du carré iitial coloré e rouge à partir de la 0 e étape. TP. Elle court, elle court Qui? La rumeur! Partie A. Le ombre de persoes mises au courat das l itervalle de temps ] ; + ] est proportioel à p doc il existe u réel a tel que le ombre de persoes mises au courat das l itervalle de temps ] ; + ] soit égal à ap. p + est le ombre de persoes au courat de la rumeur au bout de + heures ; il s agit des persoes déjà au courat au bout de heures, dot le ombre est p et du ombre de persoes mises au courat das l itervalle de temps ] ; + ], dot le ombre est ap. O a doc p + = p + ap = ( + a)p.. p 0 = 00 et p = 0 par éocé. Doc + a =, d où a =,. La suite (p ) est ue suite géométrique de raiso + a =, doc p = p 0, = 00,. Partie B. Le ombre de persoes qui appreet la ouvelle das l itervalle de temps ] ; + ] est proportioel au ombre de persoes qui e savet rie au bout de heures, dot le ombre est q. Doc il existe u réel b tel que le ombre de persoes qui appreet la ouvelle das l itervalle de temps ] ; + ] soit égal à b(0 000 q ). O e déduit que q + = q + b(0 000 q ).. q 0 = 00 et q = 0 doc 0 = 00 + b d où b = O a doc q + = q q soit q + = 000 q. Partie C 0 % de la ville Avec le modèle : p 000 pour la première fois pour =. Avec le modèle : q 000 pour la première fois pour =. Avec le modèle : r 000 pour la première fois pour =. 9 % de la ville Avec le modèle : p 9 00 pour la première fois pour =. Avec le modèle : q 9 00 pour la première fois pour = 9. Avec le modèle : r 9 00 pour la première fois pour = 9. Toute la ville Avec le modèle : au cours de la e heure. Avec le modèle : à partir de = 0, u tableur affiche q = Avec le modèle : à partir de = 8, le tableur affiche r = E rouge, la suite (p ) ; e bleu, la suite (q ) et e vert la suite (r ).. Das le modèle, la rumeur se répad de telle sorte qu au bout de 000 jours, la ville est pas ecore etièremet touchée, das le modèle, la rumeur se répad d abord très vite et e dix heures elle a presque touché toute la ville, puis elle se répad très letemet sas que la ville soit etièremet touchée ; das le modèle la rumeur se répad de telle sorte qu au bout de trois jours la ville est pas ecore etièremet touchée. Le modèle le plus réaliste semble être le modèle. TP. Datatio au carboe. a. La masse de carboe qui reste après 00 as soit cetaies d aées est m 0 ˆ, ª 9, g. 00 b. La suite (m ) est géométrique de raiso, 0, 988. Doc m 00 = m 0 0,

110 c. 0 < 0,988 < doc la suite (0,988 ) est décroissate. Comme m 0 > 0, la suite (m ) est décroissate. d. Voir graphique ci-dessous.. Avec la table de valeurs ou le graphique, o détermie pour quelle valeur de o a m ª m 0 = g. t / est l abscisse du poit d ordoée 0, sur le graphique. La demi-vie du carboe est comprise etre 700 et 800 as. b. Au bout de t / la masse de carboe est égale à m 0 0, t t, = 0, 988. Au bout de t / la masse iitiale de carboe est doc divisée par. kt De même, au bout de k t / la masse de carboe a été multipliée par : 0, 988 Au bout de k t /, la masse de carboe a été divisée par k.. a. O ote m la masse de carboe restat. Algorithme VARIABLES :, m ombres ENTRÉES : Saisir q INITIALISATION : pred la valeur 0 TRAITEMENT : Tatque 0 0,988 > m Faire pred la valeur + FiTatque SORTIE : Afficher «Etre»,, «et»,, «cetaies d aées» t = m 0 doc t, t k = 0, 988. Par coséquet, k ˆ. k b. Voir sur le site c. Le programme doe ue datatio etre 90 et 9 cetaies d aées c est-à-dire etre et 9 00 aées. Chapitre. Comportemet d ue suite 09

111 q f f d. Algorithme VARIABLES :, m ombres ENTRÉES : Saisir q INITIALISATION : pred la valeur 0 TRAITEMENT et SORTIE : Tatque 0 0,988 > m Faire pred la valeur + FiTatque Si 00 Alors Afficher «pas de datatio» Sio Afficher «Etre»,, «et»,, «cetaies d aées» FiSi. O cojecture d après le graphique par exemple, que la suite (m ) a pour limite 0 car il semble que la masse deviee quasi ulle (e fait aussi proche de 0 que l o veut) à coditio d attedre assez logtemps. TP. Ue suite de carrés avec GeoGebra Partie A.. EF, FG, GH et HE sot les hypotéuses de triagles rectagles de côtés de logueur c et doc ils sot égaux à c -.. EF = FG = GH = HE doc EFGH est u losage. Les triagles rectagles EBF, FCG, GDH, HAE sot superposables doc BEF AHE. (O peut aussi utiliser la trigoométrie et motrer que cos qbef cos fahe.) Or das AHE, fahe 90 - AEH doc qbef 90 - faeh soit fbef AEH f 90. O e déduit que ffeh Le losage EFGH est doc u carré.. L aire de EFGH est (c ) + = c c +. Or c = a doc l aire de EFGH est a a +. Partie B. Voir sur le site b. O cojecture que la suite des aires des carrés est décroissate et a pour limite. Partie C.. Géométriquemet, la suite (a ) est décroissate.. a. De la questio A.. o déduit que a + = a a + pour. O a doc pour tout, a + = a a + = a -. b. O sait que a = c >. Pour, a + = a - doc a + 0 et par suite, a +. Fialemet a + pour tout 0. Autremet dit, pour tout, a. O a doc a a pour tout. Et par coséquet, a - a -. De plus o a motré que a pour, doc fialemet pour tout, 0 a - a -. Par croissace de la foctio carré sur [0 ; + [, o e déduit que pour tout, a - a - autremet dit a + (a ).. a. De 0 a < 0, o déduit par stricte croissace de la foctio carré sur [0 ; + [, que (a ) < 0. D où, par les iégalités démotrées e questio, 0 a < 0. De même 0 a < 0. b. O cherche tel que 0 a 0 0. De 0 0 a < 0 o déduit que 0 a < 0 8 puis que 0 a < 0. Il suffit de predre 0 = pour avoir a ª à 0 0 près (et même à 0 près). La suite (a ) état décroissate et tous ses termes état supérieurs à, o e déduit que pour tout, 0 a < a Le début de l écriture décimale de a pour est doc :, (0 zéros après la virgule). 0

112 TP. Empiler des cubes jusqu où? Partie A. Voir sur le site O obtiet ue pile de hauteur au mois m pour =, de hauteur au mois 8 m pour = 7. Pour sur le tableur, o obtiet pas de pile d au mois m ou m. Partie B.. Pour tout, h + = h +.. Algorithme VARIABLES :, h, s ombres ENTRÉE : Saisir h INITIALISATION : pred la valeur s pred la valeur TRAITEMENT : Tatque s < h Faire pred la valeur + s pred la valeur s + / FiTaque SORTIE : Afficher. Le programme doe ue pile de hauteur au mois m pour =.. Et avec u peu de patiece, ue pile de hauteur au mois m pour = 8 97 et m pour = Partie C h = ; h = ; h 8 = 7 8. Doc h h = 7. h 8 h = h h 8 = º est ue somme de 8 termes tous supérieurs ou égaux à 9. Doc h h 8 8 soit h h 8. O a doc : h h ; h 8 h ; h h 8 E ajoutat ces trois iégalités membre à membre o obtiet h h.. De même h h = º est ue somme de termes tous supérieurs ou égaux à doc h h. Chapitre. Comportemet d ue suite

113 O a alors h h ; h 8 h ; ; h h - - E ajoutat membre à membre ces iégalités, o obtiet h - h -.. O cherche u etier p tel que h p. Or ( ) 9. Doc h9 - h. La pile pourra doc dépasser la Tour Eiffel. Il suffit de predre = 9. Comme ( ) peut deveir aussi grad que l o veut et que h que la suite (h ) a pour limite +. Exercices o peut peser - SANS CRAYON, SANS CALCULATRICE f () = - Faux Faux Strictemet croissate sur [ ; + [. 0,0 7 Les réels x de ] 0, ; 0,[. 8 si t = 9 Oui 0 t = - No ( ; ) 8 9 a. Espérace : 0 ; variace : ENTRAÎNEMENT. et. u u u 7 u u u u u U Cette suite est croissate car pour tout 0, + > fi car la foctio racie carrée est strictemet croissate. Doc u + u pour tout de. 7 a. u + u par croissace de la foctio carré doc la suite (u ) est croissate. b. La suite est croissate (par croissace de la foctio affie x x - ou par étude du sige de u + u ). c. La suite est décroissate par décroissace sur [ ; + [ de la foctio x ou par étapes : x + > fi fi. d. La suite est croissate (soit par croissace de la foctio x - sur [0 ; + [ soit par étapes : x Pour 0, + > fi fi d où - - soit u + > u. 8 a. et figure ; b. et figure ; c. et figure ; d. et figure. 9 a. Suite décroissate b. Suite croissate c. Suite croissate d. Suite décroissate 0 a. u = ; la suite est croissate car, pour tout de, < + et > 0 doc : u u mais aussi u > u. a. La suite est croissate car pour tout de, + > doc + > puis u + > u. b. De même o motre que la suite est croissate.

114 a. u + u = - 0 pour tout de. Doc la suite (u ) est croissate (ou écrire u = ). b. u + u = - - > 0 pour doc la suite est croissate (ou comparer u u à car u > 0). c. La suite est croissate (par croissace de la foctio x x - sur [0 ; + [ ou par u + u = + > 0 pour tout 0). d. u + u = pour. La suite est croissate (ou comparer u u à car u > 0). a. Pour tout 0, u + > u doc la suite est croissate. b. Pour tout, + 0 doc u + u et la suite est décroissate.. u 0 = ; u = 8 ; u = ; u = ; u = 8 et u =.. La suite est i croissate i décroissate compte teu de la questio. E revache u + u = + doc u + u 0 pour. La suite (u ) est décroissate à partir du rag. u v. Tableau ci-cotre. 0. La suite (v ) semble géométrique de raiso. Démotros-le : Pour tout 0, v + = u v + = u v + = ( u ) = v. Doc (v ) est géométrique de raiso.. v = v 0 = doc u = v =.. Pour tout 0, + > doc + > doc u + < u. (ou u + u = + = ( ) < 0). La suite (u ) est décroissate. O peut trasformer u e +. La suite est décroissate : Pour, + > fi u D où puis u > u +. (o peut aussi calculer u + u, évetuellemet avec u logiciel de calcul formel : 7. Pour tout 0, u + u = - - est toujours positif doc la suite (u ) est croissate. O peut aussi trasformer u :. u Comme + est positif, u 0 u ( + ) Doc pour tout 0, o a bie u.., u, +, Doc u est compris etre, et pour supérieur ou égal à. 8.! = ;! = ;! = ;! =.. La suite est croissate car u + = u ( + ) où pour tout, u > 0 et + doc u + u.. Par exemple avec u tableur e utilisat la foctio FACT, o obtiet 0 = 9.. Pour tout 0, u u 0 car la suite (u ) est croissate doc u 0 0. Pour tout 9 o a doc! a. Chapitre. Comportemet d ue suite

115 b. La suite est pas mootoe compte teu de ses premiers termes.. a. a pour racies et +. Le triôme est positif sauf etre ses racies. Doc pour etier aturel, + > 0 si et seulemet si. b. u + u = - u + u - Par la questio a, u + u > 0 pour. La suite est doc croissate à partir du rag.. a. 0 = 8 coviet. b. Du fait de la croissace de la suite à partir du rag, pour 8, u u doc u I = I 0 ( 0,) = 0,78 I 0. a. I = 0,78 I pour tout. b. La suite (I ) état géométrique de raiso 0,78, o a I = I 0 0,78. c. 0 < 0,78 < doc la suite (0,78 ) est décroissate. Comme I 0 est positif, (I ) est elle aussi décroissate.. a. p = La suite état décroissate, pour tout, I I doc I 0, I 0. b. À la calculatrice ou avec u logiciel, o trouve qu il faut traverser au maximum plaques pour garder au mois % de l itesité etrate.. O a a 0 = 000 ; a = a = 0, et a = a + 0 = 0. b 0 = 00 ; b = 00, = 0 ; b = 0, = 8. c 0 = 00 ; c = 00 0, = 800 ; c = c 0, = 00.. O peut comparer les évolutios à l aide d u tableur par exemple. u Le ombre d aboés augmete das chaque ville. O peut e effet démotrer que les suites (a ) et (b ) sot croissates : (a ) est arithmétique de raiso positive 0 ; (b ) est géométrique de raiso, > et b 0 est positif. Pour (c ), o l admettra. Au bout de 0 as, c est das la ville B qu il y aura le plus d aboés alors que le ombre d aboés das la ville C semble stager. Sur u tableur, c semble être égal à 000 à partir d u certai rag. O remarque que : c = c 0, c + = 0,8c 00 = 0,8(c 000). La suite (c 000) est doc géométrique de raiso 0,8 doc c 000 = (c 0 000) 0,8 d où c = ,8. O e déduit que c < 000 pour tout 0. O peut aussi cojecturer que (c ) a pour limite a. La suite (u ) est croissate par croissace de la foctio carré sur [0 ; + [ et par propriété la suite (v ) est croissate car, >. b. Pour = 0, =, u < v et pour 0, u v. O cojecture que pour tout, u v. c. d. Pour 9 00, u v. La cojecture précédete est ifirmée.. a. O cojecture de même que pour tout, u w a b c

116 b. Algorithme : VARIABLES : ombre INITIALISATION : pred la valeur 0 TRAITEMENT : Tat que >,0 Faire pred la valeur + FiTatque SORTIE : Afficher E programmat cet algorithme o obtiet k = c est-à-dire que le premier etier k supérieur à tel que w k > u k est k =.. a. T + = T 0,8 pour 0. b. (T ) est ue suite géométrique de raiso 0,8 doc T = T 0 (0,8) soit T = 00 (0,8). c. T < la première fois pour =, doc les truites aurot disparu au bout de as.. a. De l aée à l aée +, la populatio de T truites à l hectare dimiue de 0 % et est augmeté de 00 truites par hectare doc T + = 0,8T b. Le ombre de truites semble augmeter et se stabiliser à presque 000 truites. c. u + = T = 0,8 T doc u + = 0,8u pour tout 0. La suite (u ) est doc géométrique de raiso 0,8. d. u = u 0 0,8 = 800 0,8 e. T = u = ,8 O e déduit que la suite (T ) est croissate (par exemple : pour tout 0, o a 0,8 + < 0,8 doc T + > T ). Doc T T 0 pour tout 0. La disparitio est erayée. O remarque de plus que T 000 pour tout de.. a. Le -ième secteur représete ˆ du disque iitial. b. L aire totale des premiers secteurs représete ue part du disque égale à - ˆ º ˆ ˆ ˆ - ˆ -. À la calculatrice ou au tableur o obtiet - ˆ > 0,9 pour = la première fois. La suite ˆ ˆ état décroissate, la suite ˆ ˆ est croissate. Il faut doc tracer au mois secteurs pour couvrir au mois 90 % du disque. De même il faut couvrir au mois secteurs pour couvrir au mois 9 % du disque, et au mois 7 secteurs pour couvrir au mois 99 % du disque.. La suite des aires des secteurs semble avoir pour limite 0. La somme des aires des secteurs semble avoir pour limite. Par u raisoemet aalogue à celui de l exercice, o motre que l aire totale des premiers secteurs du disque représete ue part de l aire du disque égale à ˆ º ˆ - ˆ - - ˆ ˆ O cojecture comme limite à l aide d ue calculatrice ou d u tableur. Les aires sot exprimées e m. La suite (a ) est géométrique de raiso,08 doc a = a,08 - avec a = 0. À la calculatrice ou au tableur o trouve que le éuphar couvre u étag : de 000 m, le e jour (a ª 0 m ) ; de m, le 9 e jour (a 9 ª 0 89 m ) ; de m, le e jour (a ª 0 0 m ). O pourrait aussi écrire u programme qui demade ue valeur M et revoie le plus petit etier tel que a > M. 7. L aire de ATN est NT AH où H est le projeté orthogoal de A sur (NT). Comme, AH = et NT = y T = doc a = - = Il semble qu elle ait pour limite. Chapitre. Comportemet d ue suite

117 . a. Comme > 0, 0 doc a pour tout. 0,9 < a 0,9 < 0, < 0,0 doc 0,9 < a À partir du rag o a doc 0,9 < a < 0,. b. De même 0,999 < a 0, a. (u ) peut sembler tedre vers +, mais o peut avoir u doute compte teu de la croissace lete. Das ce cas, o peut vérifier que u pred bie des valeurs aussi grades que l o veut, fixées à l avace, pour émettre ue cojecture. Pour aller plus loi O peut aussi motrer de faço géérale que si M 0 est u réel doé, u M dès que M. b. (u ) semble avoir pour limite 0. c. (u ) semble avoir pour limite. d. (u ) a pas de limite, preat toujours alterativemet les valeurs et a. La suite (u ) est géométrique de raiso 8, 0, b. u = u 0 0,97. La suite (0,97 ) est décroissate car 0 < 0,97 < et comme u 0 > 0, u + < u pour tout de doc la suite (u ) est aussi décroissate. c. À l aide d ue calculatrice ou d u tableur o trouve que u < u 0 c est-à-dire 0,97 < 0, pour la première fois pour = 8 (u 8 ª, ). La demi-vie de l iode est d eviro 8 jours.. La suite doat le ombre de oyaux est ue suite géométrique de raiso - t doc o cherche le 00 t ˆ premier etier tel que Algorithme VARIABLES : t, ombres ENTRÉE : Saisir t INITIALISATION : pred la valeur 0 t ˆ TRAITEMENT : Tat que 0, 00 Faire pred la valeur + FiTaque SORTIE : Afficher. b. La demi-vie de l iridium radioactif est 7 jours. La demi-vie du cobalt 0 est 9 jours soit eviro, as. 0. L évéemet A : «obteir au mois u» a pour cotraire «obteir aucu». Le dé état supposé bie équilibré, la probabilité lors d u lacer de e pas avoir de est égale à. O répète de faço idetique et idépedate le lacer d u dé plusieurs fois. La probabilité de A est alors obteue à l aide d u arbre simplifié : PA = ˆ (chapitre 8). Doc p = P(A) = ˆ.. La suite ˆ ˆ est décroissate car 0 < < doc ˆ ˆ et par coséquet - ˆ - ˆ La suite (p ) est doc croissate. Plus le ombre de lacers augmete, plus la probabilité d obteir au mois u augmete.. a. À l aide de la calculatrice ou d u tableur o trouve que le premier etier tel que p 0, est 0 =. b. Car la suite (p ) est croissate.. E utilisat ue calculatrice ou u tableur et le ses de variatio de (p ), o obtiet : p 0, pour ; p 0,8 pour 9 ; p 0,9 pour 7 ; p 0,99 pour. Ayat cas à traiter, o aurait aussi pu créer u programme qui demade u ombre a etre 0 et et revoie le premier etier tel que p a.. À l aide d u arbre (chapitre 8), o détermie la probabilité de l évéemet A : «obteir», P(A) = ˆ.. a. La probabilité de l évéemet B : «obteir au mois ue fois sur lacers» est égale à P(B) où B : «e jamais obteir sur lacers». La probabilité de e pas obteir sur u lacer est ˆ. Par u arbre simplifié, o obtiet P(B) = - ˆ ˆ doc P(B) = - ˆ ˆ. b. La suite - ˆ ˆ ˆ (p ) est croissate.. est décroissate doc la suite

118 La croissace état «assez lete», o a itérêt à utiliser u tableur ou à écrire u programme pour trouver que p 0,99 pour = 99 la première fois. Comme la suite (p ) est croissate, p 0,99 pour 99. Il faut doc au mois 99 lacers pour que la probabilité d avoir au mois u soit supérieure à 0,99.. La suite (L ) est croissate de par sa costructio.. Les logueurs sot exprimées e cm. L = p ; L = p + p p ; L = p p + p = p.. D u arc de cercle au suivat, le diamètre augmete de, doc la logueur de l arc augmete de p. O e déduit que, e cm, L = p p pº p p.. O cherche tel que p 00. Solutio : o résout l iéquatio p. Le triôme est positif sauf etre ses racies s il e a Ses racies sot p, égative, et p ª 79,. Doc L > 00 si et seulemet si 8. Solutio : o utilise ue calculatrice ou u tableur pour trouver le premier etier tel que L > 00 ; il s agit de = 8. La croissace de la suite (L ) permet de coclure que L > 00 si et seulemet si km = 0 0 m = cm doc 0 km = 0 cm. O cherche doc ici à avoir L > 0. La résolutio de l iéquatio coduit à > p ª 797, soit L > 0 km si et seulemet si Ue recherche au tableur ou à l aide d u programme est à ouveau possible, avec recours au ses de variatio de la suite pour coclure. Pour aller plus loi O doit ici résoudre l iéquatio p M soit + M p 0. Le discrimiat du triôme + M p est D 8M p. Comme M > 0, D doc ce triôme a deux racies : 8M 8M -- - p qui est égative et p. Or D fi D par stricte croissace de la foctio 8M - racie carrée doc + D > 0 et la racie p est positive. Doc L M si et seulemet si l etier est supérieur 8M - ou égal à p. O e déduit que L est aussi grad que l o veut, à coditio de predre suffisammet grad. Autremet dit que la suite (L ) a pour limite +.. O peut peser que la limite de la suite (L ) est la mesure de AB e cm, soit 8.. L = p ; L = (p) = ; L = p.. D ue étape à la suivate, le diamètre des arcs de cercle est divisé par. Doc la suite des diamètres est ue suite géométrique de raiso. Soit d le diamètre d u petit arc de cercle du -ième chemi ( ). O a d = 8 et d = d ˆ - doc d = 8 ˆ -. Le ombre de chemis d ue étape à la suivate est multiplié par. Le premier chemi e coteat qu u seul arc, le -ième chemi est la réuio de arcs de cercles ( ). Doc L = 8 ˆ - p p. La suite (L ) est doc costate ; tous ses termes sot égaux à p. Elle a doc pour limite p. Les logueurs sot exprimées e cm.. a. a 0 = OA 0 = par éocé. Das le triagle OA 0 A, rectagle e A, o a b 0 = A 0 A = OA 0 si p = a 0 =. b. Pour tout 0, das le triagle OA A + rectagle e A +, OA + = OA cos p soit a + = a. La suite (a ) est doc géométrique de raiso. ˆ ˆ O a doc a = a 0.. c. Pour tout 0, das le triagle OA A + rectagle e A +, A A + = OA si p Chapitre. Comportemet d ue suite 7

119 d où b = a et par coséquet b = ˆ. La suite (a ) est décroissate car 0 < et > 0. Avec ue calculatrice ou u tableur, o trouve que le premier etier tel que a < est =. Par décroissace de la suite (a ), o e déduit que A est à mois de cm de O à partir de =. De même A est à mois de mm de O à partir de = 9.. a. L = b 0 + b + + b L = [ ˆ ˆ.. ] =. - Or ˆ ˆ ˆ - - Doc L = ˆ - ˆ ˆ ou ecore L = - ˆ ˆ. b. O trouve à la calculatrice ou au tableur que le premier etier tel que : L > 0 est = ; L > 0 est =. O a l impressio e observat les termes pour de «grades valeurs de» que L e dépasse même pas,. Démotros-le : ª, 9,. Or L < doc L <, pour tout de. La logueur de la spirale e peut pas dépasser 0 cm. c. La suite a pas pour limite +.. Les deux suites sot décroissates... Ils semble que les deux suites aiet pour limite 0 et que, pour > 0, o ait v > u, la suite (v ) tedat doc mois vite vers 0 que la suite (u ).. a. O trouve 0 =. b. O suppose que q et que v q < u q c est-à-dire que 0, 9q. q E multipliat par 0,9 o obtiet v q+ < 09, q. De plus 09, u 09, q q q q 09, q 09, q 09, 0, q 9 q Comme q, o a bie 09, u q q. Fialemet pour q tel que v q < u q o a v q+ < 09, u q q. c. De la questio b o déduit que si v q < u q pour u etier q, o a aussi v q+ < u q+. Comme v < u, o a aussi v < u doc aussi v < u et petit à petit o arrivera à v 00 < u 00 puis à v < u O cojecture que la suite est croissate et qu elle ted vers + d après ces premiers termes.. u + = 0 0 u.! O etre cette relatio de récurrece sur ue calculatrice avec u = 0. O obtiet u 00 ª suite (U ) suite (V ) Ceci cotredit la cojecture cocerat le ses de variatio de la suite (u ) : la suite est pas croissate. Quat à la limite, o peut plutôt émettre ue ouvelle cojecture doat 0 comme limite évetuelle. 8

120 O peut écrire u programme permettat d obteir importe quel terme de la suite pour explorer d autres valeurs de u. (Voir sur le site 7. La suite est défiie par u 0 = et u + = f(u ) où f(x) = x. Autremet dit u + = u.. La suite (u ) est doc ue suite géométrique de raiso doc u = u 0. =.. O cojecture que cette suite est croissate et a pour limite +.. Comme >, par propriété la suite ( ) est croissate.. a. 0 = 0 > 0. b. 0 > 0 fi 0 > 0 doc 0 = 0 coviet. 0 > 0 fi 70 > 0 fi 70 > 0 0 doc 0 = 70 coviet. 0 > 0 fi 00 > 0 0 doc 0 = 00 coviet. 8 a. La suite semble décroissate et de limite. c. La suite semble décroissate et de limite. f 0 y = x - x + y = x u u u u 0 d. La suite semble croissate et de limite +. f 9 8 f y = x 7 y = x + y = x y = x - x + u u u u 0 0 b. La suite semble croissate et de limite. f y = x y = x u 0 0 u u u 9. Pour tout 0, + > fi f fcar la foctio f est croissate sur [0 ; + [. Doc la suite (f()) 0 est croissate. La réciproque est : «Si la suite (f()) 0 est croissate alors la foctio f est croissate sur [0 ; + [.» Chapitre. Comportemet d ue suite 9

121 Cotre exemple : f La foctio représetée par la courbe ci-dessus est pas croissate. La suite () 0 représetée par les poits sur le graphique est croissate. 0 Faux. O peut predre comme cotre-exemple la suite (u ) défiie par u + = f(u ) avec f(x) = 0,x + et u 0 = 8 représetée ci-dessous. f u u u u Le tableur permet de cojecturer que la suite est décroissate et semble avoir ue limite proche de, d après les premiers termes doés. O sait cepedat que le comportemet de la suite peut totalemet chager esuite (voir par exemple l exercice page 7). La copie d écra de calculatrice permet de représeter sur l axe des abscisses les premiers termes de la suite metalemet et d imagier commet se poursuivrait la costructio. O y cojecture que la suite sera bie décroissate du fait de la positio relative des courbes, sas chagemet de comportemet à partir d u certai rag. O y cojecture aussi que la suite a pour limite l abscisse du poit d itersectio de la courbe et de la droite d équatio y = x. Ceci permet de calculer la valeur exacte de cette limite évetuelle comme solutio de l équatio ˆ 0, x x x. ˆ 0, x x x x x x. x x Les solutios sot doc - et. La limite cojecturée à l écra est doc. O vérifie que, TRAVAIL PERSONNEL Pour les exercices à 9 : voir corrigés e fi de mauel. APPROFONDISSEMENT 70. x = ; x = x, ; x = x - -,.. Voir sur le site O peut cojecturer que les termes x de rag pair ot pour limite et ceux de rag impair ot pour limite doc l idécis va fiir par aller idéfiimet du voisiage du poit d abscisse à celui du poit d abscisse, e état aussi proche que l o veut de ces deux poits, ue fois sur deux. 7. La suite semble être croissate et avoir pour limite. f y = 0,x + y = x u 0 u u u f a a a a a.. a. v + = u + = u - vpour tout 0. La suite (v ) est doc géométrique de raiso. b. v = v 0 ˆ - ˆ pour tout 0. Doc u = v + = - ˆ pour tout 0. c. La suite ˆ ˆ est décroissate. O e déduit que la suite (u ) est croissate. 7 Partie A.. La foctio f est ue foctio ratioelle dérivable sur + avec f (x) = doc f (x) > 0 sur [0 ; + [. x 0

122 La foctio f est doc strictemet croissate sur [0 ; + [.. À l aide de la calculatrice o cojecture que la suite (f()) a pour limite.. a. u = f() doc u = De plus - doc pour tout 0, u = -. b.,999 < u <, <. Pour 0, 0 doc - <. D autre part, 999-0, O e déduit que,999 < u < à partir de = 000. Partie B.. O cojecture que la suite est décroissate et qu elle a ue limite proche de,. f 0 y = x y = f(x) u u u u 0 v -. a. w + = v v v v - v - - v - v Doc pour tout 0 v v v v w + w = -. v v v La suite (w ) est doc ue suite arithmétique de raiso. b. w = w 0 + = + c. O a doc + = v v - d où v - soit v car + 0. O a doc v = d. Pour tout 0, + > + > 0 doc puis c est-à-dire v + < v. La suite (v ) est décroissate. e. Il est évidet que v > pour tout 0. f. O peut chercher si v peut être aussi proche de que l o veut à coditio de predre assez grad sur des exemples umériques, par exemple : < v <,00 pour 0, 00 soit 000 ou de faço géérale : soit e > 0, aussi petit que l o veut, alors < v < + e e e -. O peut doc bie redre v aussi proche de que l o veut. 7. Voir sur le site a. c + est la logueur de l hypotéuse d u triagle rectagle dot les côtés de l agle droit ot pour logueurs c et c. Doc c ˆ + = c c ˆ = 0 c. D où c 0 c. b. La suite (c ) est ue suite géométrique de raiso 0 doc c = c 0ˆ 0 0 ˆ. c. À la calculatrice ou au tableur o trouve que 0ˆ < 0,00 pour la première fois pour = 0. De plus la suite (c ) est décroissate car 0 < Doc c < 0,00 à partir de = 0.. a. L = c0 c c º c - doc L = [ ˆ ] º - ˆ 0. 0 L = - ˆ. 0 - b. À la calculatrice ou au tableur, la limite évetuelle de la suite (L ) semble être eviro,9. O peut cojecturer ue valeur exacte pour cette limite de Chapitre. Comportemet d ue suite

123 7. u = ; u = =, ; u = 9 ª, ; u = 0 ª,.. u + = u + doc u + > u pour tout. La suite (u ) est doc strictemet croissate.. a. k - k k - k Pour k, 0 < k < k doc 0 < (k )k < k et par coséquet k - k k. O e déduit que k k - - k. b. E écrivat les iégalités () pour k variat de à o obtiet : - - º - - Doc e sommat membre à membre u -- d où u <. c. O déduit de la questio b. que pour tout, u <. La suite e peut doc pas tedre vers + car u e peut predre de valeur supérieure à. d. p ª, à 0 près. e. O peut etrer sur la calculatrice la suite (u ) par u = et u + = u +. Avec la table de valeurs, o trouve que u >, pour la première fois pour =. La suite état croissate o aura doc u >, à partir de =. De même u >, à partir de = 0. O peut aussi créer u programme sur la calculatrice qui fait afficher la première valeur telle que u > m où m est u réel doé. 7. u + = u + doc u + > u pour tout. La suite (u ) est croissate. k - k k k. a. k - k k k k - k. k k Or k + > k > 0 doc par croissace de la foctio racie carrée, k k d où k k k 0 et par coséquet k k k. O a doc k - k d où k k - k. k O somme membre à membre les iégalités suivates : O obtiet : u > - et a fortiori u -. Pour avoir u > M il suffit d avoir - M soit > ( + M -. Tous les termes u tels que > M M sot tels que u > M. C est ue coditio suffisate, il est possible qu il y ait d autres termes pour plus petits qui soiet eux aussi supérieurs à M. O e déduit que l o peut avoir u aussi grad que l o veut à coditio de predre suffisammet grad. Autremet dit la suite (u ) a pour limite +. Ô V V - 0, V 0, R 09, V 0, R 7. Ì ÓÔ R R - 0, R 0,V 0, V 0, 8R. a. La somme V + R doe la populatio totale du pays, ici 0 millios d habitats. Doc V + R est costate, et pour tout das, V + R = 0. b. V + + R + = 0,9V + 0,V + 0,R + 0,8R = V + R. Doc, pour tout, S + = S. La suite (S ) est doc costate. S 0 = V 0 + R 0 = 0. Coclusio : Pour tout das, S = 0. Ô V 09, V 00, - V 07, V c. Ì ÓÔ R 00, -R 0, 8R 0, 7R. a. Pour tout das, W + = V + 0 = 0,7V + 0 = 0,7V 8 = 0,7(V 0), d où W + = 0,7W. Doc (W ) est la suite géométrique de raiso 0,7 et de premier terme : W 0 = V 0 0 = 0 0 = 0. Il e résulte, pour tout das, W = ( 0) 0,7. b. W = V 0 V = W + 0 = 0 0 0,7. R = 0 V = ,7. c. La suite (0,7 ) est décroissate puisque 0 < 0,7 <. O e déduit que la suite (V ) est croissate et que la suite (R ) est décroissate.. VR 0-0 0, , ,,. V 9 0,7 0,0 9. R 0,7 0, 7.

124 77 Partie A.. u = ; p =, =, ; a u u; p p, a a.. Cela reste ecore vrai de l étape à l étape +, chaque triagle blac à l étape + ayat u côté de logueur égale à la moitié de la logueur d u côté d u triagle blac de l étape. Chaque triagle blac géère trois autres triagles blacs.. (u ) est la suite géométrique de raiso et de premier terme u = ; d où u = u =. (p ) est la suite géométrique de raiso et de premier terme p =, d où p = 9 ˆ - ˆ p. (a ) est la suite géométrique de raiso et de premier 9 terme a, d où a ˆ ˆ Partie B.. P = u p.. P u p - ˆ 9 ˆ ˆ,., doc lim,. Il e résulte P Æ Æ lim.. (,) > 00 (car m = 00 cm et le triagle équilatéral de départ a pour côté cm), cela reviet à 00, 9. 0, 0,. Partie C.. O cojecture que (S ) a pour limite l aire du triagle iitial e cm, c est-à-dire 9.. a. A u a - 9 ˆ ˆ.. Soit A,. ˆ 0 7 b. (A ) est ue suite géométrique de raiso 0,7 et de 9 premier terme A, doc: S A - 0, 7 9-0, 7-0, 7 9-0, 7 (et o 9-0, 7 comme idiqué das certaies versio du mauel élève). < 0,7 < doc lim 07, 0 ; il e résulte lim S Æ 9 Æ ; 9 est l aire du triagle équilatéral de côté. Doc la cojecture est exacte. c. S 09, 9-0, 7 0, 9. Soit 0,7 < 0,0. 78 Soit c le ombre de côtés du polygoe obteu à l étape, l la logueur de ce côté pour 0 (le début état l étape 0). D ue étape à la suivate, la logueur d u côté est divisé par doc la suite (l ) est géométrique de raiso avec l 0 =. D ue étape à la suivate, le ombre de côtés est multiplié par doc (c ) est ue suite géométrique de raiso avec c 0 =. Le périmètre p à l étape est p = c l. Efi l aire à l étape + est égale à l aire à l étape augmetée des aires des c triagles équilatéraux de côté l + qui ot été ajoutés. O motre que l aire d u triagle équilatéral de côté x est x. O peut alors programmer le calcul des termes de ces suites sur u tableur par exemple (voir sur le site www. didiermathx.com). O a 00 km = 0 m. O lit sur le tableur que p > 00 km pour = 9 par exemple et l aire totale est iférieure à 0,7 m. O pourra esuite cojecturer la limite de (p ) et celle de (a ) à l aide du tableur. 79 Soit b, c et d le prix à payer e euros pour photos respectivemet à l agece B, à l agece C et à l agece D ( ). Exprimos b, c, d. Suite (b ) : Chapitre. Comportemet d ue suite

125 Pour 0, b = 0, Pour 00, b = 0, 0 + 0, ( 0) doc b = 0, + Pour 0, b = 0, 0 + 0, 0 + 0,8 ( 00) Doc b = 0,8 +. Suite (c ) : Pour 9, c = 0,. Pour 0 9, c = 0,. Pour 0 99, c = 0,. Pour 00, c = 0,. Suite (d ) : d =,90 + 0, O peut par exemple les représeter graphiquemet pour les comparer puis vérifier les résultats par le calcul À l agece B, l augmetatio des prix se fait de faço cotiue, et cette augmetatio est de mois e mois rapide au fur et à mesure que le ombre de photos augmete. Au cotraire, à l agece C, le prix augmete pas écessairemet avec le ombre de photos! Le chagemet de trache s accompage d ue baisse c b d des prix. Aisi 0 photos, voire même 0 photos coûtet mois cher que 9 photos. Efi à l agece D les prix augmetet de faço régulière e foctio du ombre de photos. Pour u petit ombre de photos, photos au plus, l agece C est la mois chère, juste devat l agece B. De photos à 99 photos, l agece D est mois chère. Efi, pour plus de 00 photos, c est l agece C qui est la plus itéressate. 80 Les logueurs sot exprimées e cm. Les agles marqués e rouge sur la figure sot égaux à l agle a : par exemple vab0a0 est complémetaire de voa0b0 das le triagle rectagle A B 0 A 0 et a va0ob0 est complémetaire lui aussi de l agle voa 0 B 0 das le triagle rectagle OA 0 B 0. Doc vab0a0 a. Alors A B 0 = A 0 B 0 cos a das le triagle A B 0 A 0 puis A B = A B 0 cos a das le triagle B 0 A B. Etc. La suite des logueurs des segmets format la lige brisée A 0 B 0 A B est ue suite géométrique de raiso cos a. OB0 Das le triagle OA 0 B 0, cos a 08,. OA0 La logueur L de cette lige brisée est L = A 0 B 0 ( + 0,8 + 0, ,8 ) L = A 0 B - 0, , 8 A 0 B 0 = 00 - par le théorème de Pythagore das le triagle OA 0 B 0 doc L = 0( 0,8 + ). L > 0 pour = et doc pour par croissace de la suite (L ). L > pour ; L 00 est impossible car L < 0 pour tout.

126 Statistique 7 descriptive Pour repredre cotact Les réposes exactes sot : Nombre téléphoes achetés 0 Effectifs 7 9 Effectifs cumulés 0 a. Me = b. Moyee =, c. Q = Q = Q Q = d. Au mois la moitié de ces élèves ot pas acheté plus de téléphoes portables. E moyee, chaque élève a acheté, téléphoes portables. Le quart au mois des élèves de cette classe a acheté au plus u téléphoe portable. Les trois quarts au mois de ces élèves ot acheté téléphoes au plus. a. Vrai b. Faux c. Faux d. Vrai Réposes a. et d. Activité. Diagramme e boîte A.. Q est la valeur de la série des températures ordoées telle que % au mois des valeurs de la série lui soiet iférieures ou égales. Pour Q, il suffit de remplacer % par 7 %. Me est la valeur cetrale de la série, puisque celle-ci compte u ombre impair de valeurs.. a. Le diagramme correspodat à la série (R) est celui du haut (sa «moustache» commece à 0,). O lit : Q =, Me =, Q =,8 Max = L étedue est la logueur du diagramme (moustaches comprises). L écart iterquartile Q Q est la largeur de la boîte. b. Mi = 9,8 ; Q = 0,8 ; Me =, ; Q =,8 ; Max =,. B.. Mi = ; Q =,9 ; Me =, ; Q =,9 ; Max =,. Chapitre 7. Statistique descriptive

127 .. À Marigae, la plus basse des températures auelles sur la période est supérieure, de degré Celsius au mois, aux températures les plus élevées de Rees et Strasbourg. La moitié des températures auelles de Strasbourg sot iférieures à 7 % des températures de Rees. Activité. Mesurer ue dispersio. Moyee Médiae Série A 0 Série B 0 Ces idicateurs doet la tedace cetrale de chaque série. Ils sot ici égaux pour A et B. Pourtat les différeces sautet aux yeux : la série A est plus homogèe, mois dispersée, que la série B.. a. Série A : e = ; Q Q =. Série B : e = ; Q Q = 9. b. Das la série A, remplacer Mi = 7 et Max = par Mi = et Max = 8 : aurait pas eu d icidece sur la moyee car la somme des poits attribués e chage pas ; aurait pas eu d icidece sur la médiae puisque la valeur cetrale e chage pas ; aurait eu ue icidece sur l étedue qui passe de à! aurait pas eu d icidece sur Q, i sur Q, et doc pas sur Q Q. Seule l étedue est sesible aux valeurs de Mi et Max.. a. La moyee des écarts (etre ote et moyee) est ulle car la somme de ces écarts est ulle ˆ Âxi - xâxi - x 0. i i b. Série A : e A ª,87 e B > e A Série B : e B ª,88 La dispersio des otes autour de leur moyee est plus forte pour B que pour A. c. Pour A : V A ª,7 s A ª, Pour B : V B ª,0 s B ª, Ces calculs cofirmet la plus grade dispersio des otes par rapport à leur moyee, pour la série B. Activité. Miimiser ue dispersio. m =, V =,. a. f t t 0 t t t 0 ÈÎ t - t, t -,, b. f(t) est miimale pour t =, c est-à-dire pour t = m. Le miimum de f est alors V =,.

128 Activité. Le symbole S. A B = = C = = 0 0. S Â T Âl -0 k. U = V k l TP. Qualité de l air A.. a. e 00 : Moyee =, Médiae =, e 007 : Moyee =,77 Médiae =,9 Chaque idicateur motre que la tedace cetrale des moyees auelles des cocetratios e SO a baissé etre 00 et 007 das ces régios de Frace. b. E 00, la moitié des régios ot ue moyee auelle de cocetratio e SO iférieure ou égale à, μg/m. E 007, la moitié des régios se situet sous,9 μg/m. L affirmatio est doc vraie. c. E 00 : e =,7 Q Q =,8 E 007 : e = 8, Q Q =, Ces deux idicateurs reseiget sur la dispersio des moyees auelles des régios e 00 et 007. Cette dispersio s est réduite etre 00 et a. Les idicateurs utiles à la costructio des diagrammes e boîte demadés état les suivats : Mi A Me Q Max 00,,9,,, ,,,9, 8,7 La commade GEOGEBRA : BoîteMoustaches [,,.,.9,.,.,.7] doe le diagramme e boîte axé sur la droite d équatio y = et de demi-épaisseur, associé à la série des cocetratios auelles e SO des régios de Frace, e 00. E procédat de même avec l autre série (007) o obtiet : B.. Pour les PM 0, o a : mi Q Me Q Max 00, 9,,,9 0, 007,,7 8,77 9,0,8 d où Me Q Q e 00,,, 007 8,77,7 0,, mais aussi Moyee 00, 007 8,9 Chapitre 7. Statistique descriptive 7

129 Etre 00 et 007, o observe égalemet la baisse des idicateurs de tedace cetrale (médiae et moyee) des cocetratios e PM 0, aisi que celle des idicateurs de dispersio (étedue et écart iterquartile). Les cocetratios e PM 0 sot doc deveues plus faibles et plus homogèes etre 00 et Les diagrammes e boîte amèet les mêmes commetaires pour les cocetratios e ozoe. TP. Salaires moyes par régio e 007. a. Mi = 0 8 b. Max = 09 c. Me = 0 d. Moyee = 77. Q est la valeur de la série ordoée des salaires ets moyes qui occupe la 0 e place. O a doc Q = 0. Q est supérieur ou égal à 7 % des salaires de ces régios. Comme le salaire de la Haute-Normadie est lui-même supérieur à Q, l affirmatio est vraie.. e = Q Q = No, l étedue d ue série e pred e compte que les deux valeurs extrêmes Mi et Max, dot elle doe l écart. L écart iterquartile porte sur la moitié cetrale des valeurs, dot elle doe, e quelque sorte, l étedue. Ce secod idicateur apporte ue iformatio plus fie et plus sigificative sur la dispersio des valeurs de la série.. Coaître le salaire et auel moye e Poitou-Charetes, où il est miimal, et e Ile-de-Frace, où il est maximal, e permet pas d e déduire le salaire et auel miimal ou maximal e Frace. Coaître la série ordoée des salaires ets auels des régios permet de savoir quelle régio est «cetrale» das ce classemet mais pas quel salarié est «cetral» das l esemble ordoé des salaires e Frace. Coaître la moyee des salaires ets par régio e permet d e déduire la moyee des salaires ets e Frace que si le ombre de salariés par régio est cou. Et ce est pas le cas. TP. U effet de structure A. Pour Mosieur Forti, les doées sot les suivates : Etreprise Forti Salaire S S < S < S < Effectif 7 E preat les cetres des classes, il obtiet :, 7,, Moyee des salaires chez Forti = 70 ª, milliers d euros ª euros. Etreprise Dupré 0, 0, 0, De même, moyee des salaires chez Dupré = 70 ª,09 milliers d euros ª 09 euros. Mosieur Forti a raiso. Pour Mosieur Dupré, le salaire moye des femmes est 9 das so etreprise et 80 chez mosieur Forti. Celui des hommes est 700 chez lui et 80 chez mosieur Forti. Mosieur Dupré a doc égalemet raiso. Explicatio Il est exact que la moyee des salaires est supérieure, tat pour les femmes que pour les hommes, chez mosieur Dupré. Mais l etreprise de Mosieur Forti compte ue majorité d hommes, cotrairemet à celle de Mosieur Dupré. Comme les hommes gaget e moyee plus que les femmes, la structure avatage l etreprise de Mosieur Forti et la comparaiso des salaires sas distictio de sexe lui redeviet favorable. B.. Le pourcetage brut global des reçus est (0 0, + 0 0, , ,9) % soit, %.. Par exemple, la répartitio (0 ; 0 ; 0 ; 0) doe u pourcetage brut global de 77,9 %. 8

130 TP. L Europe des + = 7 A.. a. m =,07 s =,08 m =,7 s =,08 b., 07, 7 m 7 m 7 = 98,7. a. s Série Moyee m Écart type s m F,07,08 0, F,7,08 0, F7 98,7,9 0, b. E 007, le PIB moye par habitat des pays de l UE était,07 SPA. Celui des pays de l UE etrés das l UE e 00 et 007 était, 7 SPA, soit eviro la moitié du PIB moye par habitat des pays qu ils ot rejoit. c. Le classemet des trois séries das l ordre croissat de leur dispersio mesurée par s est : F, F, F7. m B.. Série Q Me Q Q Q F 0 0 F 77 F Les PIB médias des trois séries sot assez proches de leurs PIB moyes et se classet das le même ordre. Les écart iterquartiles des trois séries se raget aussi das le même ordre que leurs écart type ou ecore que leurs coefficiets de variatio. Il y a doc aucu désaccord avec les observatios faites e partie A.. a. De bas e haut, les diagrammes e boîte représetet les séries F, F et F7. b. O peut, par exemple, observer que : 7 % des pays de l UE 7 ot u PIB par habitat supérieur au PIB de la moitié des pays de l UE. 7 % des pays de l UE ot u PIB iférieur au plus petit PIB des pays de l UE. Tous les PIB des pays de l UE sot iférieurs à la moitié des pays de l UE 7. Exercices SANS CRAYON, SANS CALCULATRICE La parabole d équatio y = x + x + das u repère du pla a pour sommet S( ; ). La parabole d équatio y = (x ) (x + ) c est-àdire y = x x a pour sommet S( ; 8). Le coefficiet directeur de la tagete à la courbe qui représete f : x x x + au poit d abscisse 0 est f (0). Or f (x) = x et doc f (0) =. Pour x, f (x) = - x. d et d ot pour équatios réduites, respectivemet, y x et y - x. Comme -, d et d e sot pas parallèles. La droite (AB) avec A(0 ; ) et B( ; ) a pour coefficiet directeur a - et pour ordoée à l ori gie b =. D où (AB) : y = x +. p 7 O p p 8 si(a) = si a cos a = p x p - p ˆ - Autre méthode (si la relatio si a = si a cos a a pas ecore été vue). cos a Ô p Ì équivaut à a - k p ; k Œ. Ô si a - Ó Ô pˆ D où si a = si - si ˆ - p p -. Chapitre 7. Statistique descriptive 9

131 9 La relatio cos t = cos t doe cos 7 t ˆ Par lecture graphique, la série des 00 poids est la suivate : x i N i i a. La médiae est la moyee des valeurs de la série de rags 00 et 0 ; d où Me =. b. Le premier quartile est la valeur de la série, de rag 0 ; d où Q = 0. c. Le troisième quartile est la valeur de la série, de rag 0 ; d où Q =. d. Q Q = ENTRAÎNEMENT. x i i N i La médiae de cette série est la moyee des valeurs de rags 0 et 0 ; la valeur de rag 0 est et celle de rag 0 est 7. D où Me =,. Comme 0 0,, le premier quartile de cette série est la valeur de rag 0 ; o a doc Q =. Comme 0 907,, le troisième quartile de cette série est la valeur de rag 908 ; o a doc Q = 7.. La moitié des élèves ot mois de as et demi. Au mois u quart des élèves ot au plus as. Au mois les trois quarts des élèves sot âgés de 7 as au plus.. Q Me Q 7 8, 9 7 0, 8. a. Avec ue TI8 Stats Q Me Q 7 8,,, 9, 7, 0, 8 b. À vous de voir! Mais c est bie le cas avec la TI8 Stats. c. Avec le tableur, o obtiet : Q Me Q 7,, 8,7,, 9 7 0,, 7,7. 7 est le premier quartile Q de la série des patrimoies des foyers fraçais, e euros, e 00.. Par lecture graphique, eviro 0 % des foyers ot u patrimoie iférieur ou égal à , d où Me = De même, eviro 7 % des foyers ot u patrimoie iférieur ou égal à ; d où Q = Par ailleurs, o lit Mi = 0 et selo l éocé o pred Max = D où le diagramme e boîte suivat : Les % des foyers les plus riches possèdet au mois euros. Les 0 % des foyers les plus riches possèdet au mois euros. a. C b. A et D c. E d. E e. B f. A et D g. A et E h. B i. A et D j. A, C et E. a. Me est la e valeur de la série ordoée ; Me =. Q et Q sot les 7 e et 9 e valeurs de cette série ; Q = 0 et Q =. b. 9 8 c. La moyee trimestrielle de la classe «jaue» est.. a. 9 8 b. C est faux. Il y a que %, eviro, des élèves qui ot ue ote comprise etre 0 et. C est vrai, car Q =. La ote médiae de la série de la classe «jaue» est. Or Q =. Il y a doc au mois 7 % des élèves de la classe «rouge» ayat ue ote iférieures ou égale à la ote médiae de la classe «jaue». L affirmatio est 0

132 doc vraie car s il y e a au mois 7 %, il y e a a fortiori au mois 0 %. 0.. a. Après avoir ordoé les valeurs de la série, o obtiet : Mi =,8 ; Q =, ; Me =, ; Q =, et Max = 7,9. b. [Q,I ; Q +,I] = [, ; 7,] Il y a valeurs aberrates sur les 0, soit % de valeurs aberrates.. a b. La dispersio des masses de caoutchouc est beaucoup plus grade das le cotrôle réalisé sur la machie A, bie que ce cotrôle porte sur u échatillo de taille modeste (0 mesures). Comparer les trois diagrammes e semble pas pertiet, vu la grade différece existat etre la taille de l échatillo A et celle des échatillos B et C. c. La machie C est plus régulière que B car l étedue et l écart iterquartile sot plus petits pour C que pour B. 7 Le score moye est 0,7 et l écart type des scores est 8,. 8 E preat, pour les calculs, les cetres des classes et les effectifs associés, o obtiet les estimatios suivates : Moyee = 7,0 (as) Écart type =,0 (as) 9 Cotrairemet à la moyee, la médiae e peut se calculer «par paquets». La moyee sur les 0, , copies est m 0,. 80. Ue estimatio de la moyee des femmes est 7, 7, 0, 9 º 8 0, 9 m F 00 m F ª,97 as E procédat de même, m H ª 9,07 as.. a. Sur la populatio totale,, , m 79 m ª 0, as b. Directemet : 7, 8, 0, º 8 89, m 00 m ª 0, as O costate, à 0 près, que m = m.. Le prix de vete moye au m a été : Pour le quartier A ª 8, e 008 ; ª, e 009. Pour le quartier B ª 700, e 008 ; ª, e Etre 008 et 009, le prix de vete moye au m a baissé de : 0, % eviro das le quartier A ;, % eviro das le quartier B.. O peut peser que le prix de vete moye au m a baissé sur l esemble de ces deux quartiers, c est-à-dire sur la ville.. E regroupat les vetes das les deux quartiers, o obtiet : Aée 008 Prix au m Nombre de vetes das la ville Chapitre 7. Statistique descriptive

133 Aée 009 Prix au m Nombre de vetes das la ville 90 0 E 008, le prix de vete moye au m, sur la ville, a été de : m 0 m ª Et e 009 : m ª 9. D où ue augmetatio du prix moye au m d eviro, %. Il y a paradoxe car l évolutio du prix de vete moye au m sur la ville paraît cotraire à celle costatée sur chaque quartier de la ville. Cela s explique par la répartitio différete des bies vedus das les deux catégories de prix : 00 et 000, etre 008 et 009 : par quartier, la proportio des vetes à 000 le m, a baissé ; sur l esemble de la ville, la proportio des vetes à 000 le m, a augmeté, tirat aisi la moyee vers le haut.. Avec la modificatio proposée, le prix de vete moye du m par quartier e chage pas, alors que sur la ville toute etière, le prix de vete moye du m augmete de faço importate. E effet, la modificatio effectuée ayat etraîé le doublemet des vetes à 000 le m sur l esemble des la ville, pour l aée 009, l augmetatio du prix de vete moye etre 008 et 009 sur la ville est ecore plus flagrat. E calculat m = 0, et s ª, o obtiet [m s ; m + s] = [0, ;,]. Il y a barquettes sur les 0 dot le poids appartiet à cet itervalle, soit 7 % et o 80 % au mois, comme exigé. Ce lot e sera pas accepté.. E preat les cetres des classes, o obtiet : x ª,9 ; s ª 0,9.. Les coditios a. et b. sot satisfaites. [x s ; x + s] = [,7 ;,7] La prise e compte des classes du tableau iitial motre que 9 % de l effectif figure das cet itervalle. La coditio c. est satisfaite et la productio est cosidérée «boe».. O obtiet Âge moye Écart type 90,, ,, 000 9,0, Âge moye Écart type 00 0,8, 00,9,89 00,9,0. L âge moye de la populatio e cesse d augmeter et cela se poursuit das les projectios. Parallèlemet, la dispersio des âges autour de leur moyee augmete.. a. S = S = = 0 b. S = = 0 c. S = S =. a. S Âi i b. S Â k c. S Â 0 - k. a. d(x) = (x x) + (x x) + (x x) = ( + + ) x ( x + x + x ) x + x + x + x b. La foctio d est de la forme ax + bx + c avec a > 0 ; sa courbe est ue parabole et la foctio admet u b miimum pour x - c est-à-dire pour a x x x x soit ecore pour x = x. r Â i i - i r r ˆ i i i i - r ˆ Â Â i Â i. a. d x x x d x x x x ix b. d(x) est bie de la forme ax + bx + c avec a i, r r i b - x, c x. Â i i i Â i i i c. Comme à la questio.b., la foctio d admet u miimum pour x soit pour x = x. b -, soit x a r i r i i x 7. La surface agricole moyee des exploitatios est,7 ha e 000 et ha e 00.. L écart type des surfaces agricoles est, ha e 000 et 7, ha e 00. O observe que la surface moyee a augmeté etre 000 et 00 et que la dispersio des surfaces autour de leur moyee s est aussi accrue. Â Â i i i, r Â

134 8. Le tableur doe : re ivestiture Frace États-Uis Âge moye,,0 Âge média. O obtiet de même Étedue Écart iterquartile Écart type Frace 7 8 États-Uis 7 7,. Diagrammes e boîte. La comparaiso des idicateurs et des diagrammes e boîte motre que l âge de première ivestiture des présidets est mois élevé aux États-Uis qu e Frace et que la dispersio des âges autour de leurs idicateurs de tedace cetrale (médiae et moyee) est plus grade e Frace qu aux États-Uis. Pour exemple, la moitié cetrale des âges de re ivestiture se situe etre et 8 aux États-Uis, et etre et as e Frace. 9. O a (m, s) = (, ;,) et (Me, I) = (7 ; ).. E excluat les présidets fraçais dot la durée de foctio a pas dépassé a, o obtiet : (m, s ) = (7, ;,8) ; (ME, I ) = (7 ; ). O observe que le couple (moyee, écart type) est sesible aux valeurs extrêmes de la série et que ce est pas le cas ici pour le couple (médiae, écart iterquartile). Mais attetio, si modifier des valeurs extrêmes ifluece pas du tout la médiae et l écart iterquartile, supprimer des valeurs à ue extrémité peut «décaler» Q, Me et Q et e pas être eutre sur le couple (Me, I). Exemple ( ; ; ; ; ; 7 ; 9 ; 0) doe (Me, I) = (, ; ) ; ( ; ; 7 ; 9 ; 0) doe (Me, I) = (7 ; ). 0. a. Tireur A : e A = 00 ; m A =,8. Tireur B : e B = 00 ; m B =,8. Ces deux idicateurs e peuvet doc pas départager les tireurs. b. Le tireur A semble le plus régulier avec des résultats plus homogèes, mois dispersés.. a. Tireur A : Me = 0 ; Q = 0 ; Q = 0 d où I = 0. Tireur B : Me = 0 ; Q = 0 ; Q = 00 d où I = 90. La comparaiso des écarts iterquartiles cofirme l impressio exprimée. b. s A ª,7 et s B ª 9,. Les écarts des résultats autour de leur moyee sot plus faibles pour A, ce qui va ecore das le même ses.. m Me Q Q I s Série A,9 7, 9, Série B, 8 8,7. a. Priorité à la ote moyee : A b. Priorité à la ote médiae : B c. Priorité à la dispersio autour de la ote moyee la plus faible : A d. Priorité à ue moitié cetrale des otes la plus large : A.. a. O a m A > m B et s A < s B. Le groupe A est celui qui a la meilleure moyee et qui est le plus homogèe. Cette comparaiso coduit au classemet A ; B. b. O a Me A < Me B et I A > I B. La ote médiae du groupe B est légèremet plus élevée que celle du groupe A et la moitié cetrale des otes du groupe B est plus regroupée autour de sa médiae que celle du groupe A. Cette comparaiso peut coduire au classemet B ; A. Le salaire moye pour u travail à temps complet après appretissage ( 08 ) e red pas compte des disparités liées au iveau de qualificatio. Les diagrammes révèlet les iformatios suivates : le salaire miimal est le même, quel que soit le iveau de qualificatio, soit eviro 800 à 900 euros ; il faut atteidre les deux plus hauts iveaux de qualificatio (III et I ou II) pour que le salaire média commece à augmeter sesiblemet et dépasse 00 euros ; das les iveaux de qualificatio I et II, les trois quarts des salaires se situet au-dessus de ce que perçoivet 7 % des salariés de qualificatio iférieure ; das l ordre croissat des iveaux de qualificatio les salaires vot de à ; de à, ; de à, ; de à puis de à. TRAVAIL PERSONNEL Pour les exercices à : voir corrigés e fi du mauel. Chapitre 7. Statistique descriptive

135 APPROFONDISSEMENT. a. k + l b. m x x º x k y y º y l k l c. x + x + + x k = kx de même y + y + + y l = ly d. D où m kx l y. k l. a. N = p b. S x x º x c. x P Â x i i i P Âi i p x- x x - x x - x. a. V Èx x x Nx V N Í Î -x x x x p V x - x x x x x x x N N V x x x x - x N V x x x - x N r Â. V ixi - x N i r r r È N ÍÂx i i Âxx i i Âx i Îi i i r r r x i i Â i x i i xâ x Â N i i N in r Âx i i N i x x r Âx i i N i x V - V - V - V -. a. =ALEA() revoyat au hasard u ombre décimal compris etre 0 et ( o compris), =00 ALEA()+ revoie u décimal compris etre et 0 (0 o compris) d où =ENT(00 ALEA()+) revoie u etier puis au hasard etre et 00. L istructio simule doc la sortie d u lorsque le ombre etier pris au hasard etre et 00 est iférieur ou égal à 8 et la sortie d u «0» das le cas cotraire. Das cette simulatio, l évéemet U se réalise doc lorsque le apparaît, avec la probabilité 0,8. b. L istructio =SOMME(A:A00)/00 portée e cellule A0 fait afficher la fréquece de U sur l échatillo de taille 00 simulé. L appui sur la touche F9 permet d observer la fluctuatio d échatilloage. c. L écart type des fréqueces de U sur 0 échatillos de taille 00 mesure la dispersio des fréqueces autour de leur moyee.. a. b.. Avec les résultats précédets, o a : s = 0,0 S = 0,0 et s 0, 0. Et pour vous? Remplacer mesures par moyees de k mesures permet d obteir ue dispersio des résultats plus faible et doc ue meilleur fiabilité de ceux-ci. Par exemple, si k =, l écart type des mesures se trouve divisé par presque. A.. a. b.. B. a.

136 b. Tat que S < k N/0 Faire j pred la valeur j+ S pred la valeur S + Liste(j) Fi Tat que Afficher que le décile D k est égal à Liste(j) Fi Pour Tat que la coditio est réalisée, o passe à la doée suivate et o augmete l effectif cumulé de l effectif de cette ouvelle doée. O sort de la boucle quad o a atteit le k-ième décile. L étedue des séries et leur écart iterquartile dimiuet lorsque la taille des échatillos augmete. c. La fluctuatio des fréqueces s attéue au fur et à mesure que la taille des échatillos augmete. d. Sur 0 échatillos, les fréqueces f 00 observées restet comprises etre 0,0 et 0,, approximativemet. O peut cojecturer que l o aura «etre 0 et chaces sur 00» d obteir S = 0 e laçat trois dés. C.. Le tableur doe a. m = 0,09 m 00 = 0, m 00 = 0, b. s = 0,0 s 00 = 0,0 s 00 = 0,0. La dimiutio des écarts types de s à s 00 puis s 00 viet cofirmer que la dispersio des fréqueces autour de leur moyee est de plus e plus faible, lorsque la taille des échatillos augmete. Oui, la cojecture est pas remise e cause et o peut peser que la probabilité d obteir S = 0 e laçat trois dés sera assez voisie de m 00 = 0,. 7 O suppose les doées x i ragées e ordre croissat das ue liste ommée liste et les effectifs i correspodats ragés das ue liste ommée liste. Algorithme La variable N pred pour valeur la somme des ombres coteus das la liste La variable S pred la re valeur de la liste otée liste[] j pred la valeur Pour k allat de à 9 Commetaires N est l effectif total O stockera das la variable S les effectifs cumulés successifs J est la variable doat le rag das la liste K désigera le uméro du décile obteu 8 Me Q Q I = Q Q Mesure de d, 0, Mesure de D,9 0,. Moyee Écart type Mesure de d,008 0,09 Mesure de D,98 0,0. Pour d, [Me I ; Me + I] = [,9 ;,] [m s ; m + s] = [,9 ;,00] [Me I ; Me + I] = [,9 ;,] [m s ; m + s] = [,88 ;,089] a. Pour le service qualité rodelles ot u diamètre d o coforme (c està-dire apparteat pas à [,9 ;,]). rodelles ot u diamètre D o coforme (c està-dire apparteat pas à [,9 ;,]). Le ombre de rejets peut doc varier etre et rodelles sur les 0. D où u pourcetage de rejets compris etre, % et %. Pour le service fabricatio 7 rodelles ot u diamètre d e dehors de [,9 ;,00]. rodelles ot u diamètre D e dehors de [,88 ;,089]. Le ombre de rejets peut varier etre et 8 rodelles sur les 0. D où u pourcetage de rejets compris etre 0 % et,7 %. b. Le test le mois cotraigat est celui du service qualité.. a. No puisque la moyee est pas prise e compte par l écart iterquartile. b. Les écarts des mesures par rapport à leur moyee sot plus importats pour les diamètres extérieurs que pour les diamètres itérieurs. Chapitre 7. Statistique descriptive

137 c. sd m d ª 0, 08 et s m D D ª 0, 009. La série des diamètres itérieurs a ue dispersio relative plus forte que celle des diamètres extérieurs. 9. O a obteu à l exercice 8 : Pour d : m =,008 et s = 0,09. Pour D : m =,98 et s = 0,0. O e déduit, Pour d : J = [,8 ;,9]. Pour D : J = [,777 ;,9]. Le ombre de mesures de d apparteat pas à J est. Le ombre de mesures de D apparteat pas à J est.. a. N p b. x k œ [m s ; m + s] a pour égatio x k Œ [m s ; m + s] qui s écrit ecore m s x k m + s ou s x k m + s c est-à-dire xk - m s Il e résulte l équivalece : x k œ [m s ; m + s] xk - m s. c. Comme, pour chaque x k tel que p + k N, o a xk - m s ou ecore (x k m) > s, o obtiet e sommat ces N p iégalités : N xk - m Â Â s N kp kp N Â k kp Mais comme s N xk m Â - N k N Ns xk m Â - k d où Ns N xk m Â - () kp Soit ecore x - m N - p s V, o e déduit De et o déduit : Ns > (N p) s. d. Cela doe ecore ps > Ns d où p N. Il e résulte bie que le ombre de valeurs de la série apparteat à J représete plus de 7 % des valeurs de la série. 0.. Les idicateurs des deux séries sot assez semblables mais certaies différeces existet : la série est plus symétrique (moyee et médiae très proches, médiae au cetre de [Q, Q ]) ; le ombre moye est le ombre média de buts marqués sot plus grads e a. b. 8 0, =,8 ; 8 0,9 =,. d et d 9 sot sot doc les valeurs de la série de rags et. Pour : d = ; d 9 = 0. Pour : d = 8 ; d 9 = 0. c Les résultats sot e accord avec les premières observatios. Mais e limitat les moustaches d u diagramme e boîte aux déciles, o particularise des valeurs extrêmes qui peuvet être isolées, voire aberrates, et o doe plus de pertiece à la représetatio de 80 % des valeurs de la série. b aées cosidérées b aées avec eige b jours de eige b moye de jours de eige par aée b moye de jours de eige par aée avec eige Aées Aées E tout ,0 7,9 7,7, 9,78 0,0 Les doées e permettet pas d apprécier l évolutio du ombre d aées à eige i celle du ombre de jours de eige, d aée e aée sur le siècle. Elles icitet à comparer la situatio sur les deux périodes de 900 à 98 et de 99 à 997 :

138 si u hiver est eigeux dès qu il compte au mois u jour de eige, o peut dire que l affirmatio est fausse ( aées eigeuses puis 7, sur les deux demisiècles) ; si u hiver est d autat eigeux que so ombre de jours de eige est importat, o peut cosidérer l affirmatio vraie (8,0 jours de eige e moyee par aée, puis 7,9, pour les deux demi-siècles) ; si o limite l étude aux hivers avec eige, l affirmatio est ecore vraie (, jours de eige e moyee par aée eigeuse, puis 9,78, pour les deux demi-siècles). Pour étayer ce derier aspect, o peut costruire et comparer les «boites à moustaches» représetat le ombre de jours eigeux par aée durat la première moitié du siècle et durat la secode moitié, e Frace. Ces diagrammes motret le décalage existat etre les idicateurs Q = 7 ; Me =, Q =, pour la première période et Q = ; Me =, Q = pour la secode, qui cofirme qu effectivemet, les hivers sot de mois e mois eigeux d ue période à l autre (mais pas d ue aée à l autre). Par exemple, o peut remarquer que les trois quarts eviro des aées eigeuses du premier demi-siècle ot préseté au mois 7 jours de eige, cotre seulemet das le secod demi-siècle. E coclusio, o peut dire que d ue part l iformatio est trop globale pour permettre ue étude chroologique et que d autre part le titre de l article est suffisammet imprécis pour qu o puisse y adhérer ou pas, e foctio de l iterprétatio que l o e fait.. Q est la plus petite valeur de la série telle que % au mois des valeurs de la série lui soiet iférieures ou égales. Pour Q, D et D 9, o remplace % par 7 %, 0 % et 90 %, respectivemet.. Dire que la médiae des salaires auels ets, e euros, das la Foctio Publique d État, e 007, est 8 chez les femmes, c est dire que 0 % eviro de ces salaires sot iférieurs à 8, les autres 0 % se situat au-dessus. Dire que le troisième décile D des salaires auels ets, e euros, das la Foctio Publique d État, e 007, est chez les hommes, c est dire que 0 % eviro de ces salaires sot iférieurs à, les autres 70 % se situat au-dessus. Le rapport iterdécile D 9 /D met e évidece l écart etre le haut et le bas de la distributio des salaires. Dire qu il est égal à, pour les femmes, c est dire que le plus petit salaire figurat parmi les 0 % des salaires les plus hauts vaut plus de deux fois le salaire le plus élevé figurat parmi les 0 % des salaires les plus bas. Plus ce ombre est élevé, plus la distributio est iégalitaire.. Comme D Q D et D 7 Q D 8 o e déduit : Pour les femmes : 9 97 Q Q 9 99 Pour les hommes : 0 97 Q 7 Q 80. La comparaiso des déciles motret u décalage évidet de salaires e faveur des hommes. Par exemple : le salaire média pour les hommes est supérieur de 000 euros par a à celui des femmes ; 80 % des femmes de la foctio publique d État ot u salaire auel iférieur à euros cotre % eviro pour les hommes. Le calcul des écarts relatifs des déciles des salaires hommes/femmes doe : D- DF ª, % D F Pour les autres déciles, de D à D 9, o obtiet :,9 % ;, % ; 8, % ; 9,9 % ;, % ;,7 % ;, % ; 9, %. O peut observer que les écarts relatifs hommes/ femmes sot tous positifs, doc toujours à l avatage des hommes et que l écart relatif est d autat plus grad que le salaire est élevé.. Les cotraites sot : =, e = Max Mi = 7, Me =, Q Q = 9, D =, D 9 = 7, Moy = 0 et s <. Rag Valeur 7 Mi D Moyee = Q Me Ue solutio : ; ; ; ; ; ; 0 ; ; ; ; ; ; ; ; 7 ; 8. Q = Q + 9 D 9 Max = Mi + 7 Chapitre 7. Statistique descriptive 7

139 Probabilités 8 Pour repredre cotact Les réposes exactes sot : Les dix issues de l expériece état équiprobables (tirage d ue boule, au hasard), o a : 7 PV 0, et PR 07,. 0 0 O choisit le modèle de l équiprobabilité sur l esemble des issues. 8. PA 0,. PB 0,.. A : «e pas obteir u trèfle». PA PA 0, 7.. a. A«B : «obteir le roi de trèfle». A» B : «obteir u roi ou u trèfle». b. PA «B 0, 0 c. PA» B PA PB PA «B = 0, + 0, 0,0 = 0, A et B e sot pas icompatibles car A«B est pas l évéemet impossible.. La somme des fréqueces est égale à. Le ombre maquat est doc 0,8 = 0,9.. Le salaire moye est m = 080 0, + 0 0, , ,. m =, euros.. *ALEA()+ revoie u ombre décimal puis au hasard das l itervalle [ ; 7[. ENT(*ALEA()+) revoie u ombre etier au hasard compris etre et.. E cellule B s affiche le ombre de obteus sur les 000 tirages au hasard d u etier compris etre et.. 0, P 0, 0, P F. P(«Obteir PILE») = = 0, P(«Obteir PILE puis FACE») = = 0, 0, F 0, 0, P P(«Obteir u seul PILE») = = 0, F 8

140 Activité. Variable aléatoire et loi de probabilité. a. W est l esemble des cartes. b. Le tirage d ue carte se faisat au hasard, o choisit la loi équirépartie sur W. c. PA 0,. a. Le tirage d ue «figure» rapporte = 0 si ce est pas u cœur, et = si c est u cœur. Le tirage d u as rapporte 0 = si ce est pas u cœur, et 0 = si c est u cœur. Le tirage d ue carte autre qu ue figure ou qu u as rapporte 0 = qu il s agisse d u cœur, ou o. b. X(«huit de cœur») =. X(«roi de pique») = 0. X est ue foctio défiie sur Q et preat ses valeurs das. c. L évéemet «X =» est autre que l évéemet A. P(X = ) = P(A) = d. P(X = 0) = P(«Obteir ue figure pas à cœur») = 9 P(X = ) = P(«Obteir ue figure, à cœur ou u as, pas à cœur) = P(X = ) = P («Obteir l as de cœur») = e. x i 0 P i f. Â p i i 9 Cela est pas étoat car les évéemets «X =», «X = 0», «X =» et «X =» ot pour réuio Ω et sot icompatibles deux à deux. Activité. Moyee observée et moyee théorique A.. Les valeurs prises par X sot les etiers 0,,,, et.. =ENT(*ALEA()+) revoie u etier au hasard parmi,,,, et. =ABS(C-B) revoie la valeur absolue de la différece des =NB.SI($D$:$D$00;F F cotiet la valeur 0. Cette istructio revoie doc le ombre de 0 obteus parmi les valeurs de X obteues par simulatio. =F H+F H+F H revoie la moyee des valeurs de X obteues sur les lacers simulés. +F H+F H+F7 H7. À vous! B.. a. R B b. Les résultats figurat das les cases du tableau état équiprobables, o a : P(X = 0) = 0 8 ; P(X = ) = ; P(X = ) = ; P(X = ) = ; P(X = ) = ; P(X = ) =. Chapitre 8. Probabilités 9

141 O peut observer que la distributio des fréqueces observées sur lacers et les probabilités calculées das le modèle sot très voisies. Le phéomèe observé est la faible fluctuatio des fréqueces fouries par u échatillo de grade taille (ici 0 000) autour des valeurs théoriques que sot les probabilités.. La fluctuatio de la moyee des valeurs prises par X sur lacers simulés est très faible et viet cofirmer la validité du modèle choisi. Comme répose à la questio iitialemet posée, o peut dire que sur u grad ombre de lacers de deux dés, o peut s attedre à ce que la moyee des écarts etre les uméros sortis soit voisie de,9. Lorsqu o dispose d u tel modèle, il est doc plus écessaire de recourir à l expérimetatio ou à la simulatio pour répodre à la questio. Activité. Répéter des expérieces idépedates A. La fréquece de R est 0,09. Celle de S est 0,7. B.. A A A A A A. Le chemi représetat l évéemet R est celui du haut, soit AA. Si o multiplie les probabilités portées par les braches de ce chemi, o obtiet ª 0,078 qui paraît e accord avec la fréquece de l évéemet «obteir deux six», égale à 0,09 sur cet échatillo, mais qui fluctue d u échatillo à l autre.. L évéemet S «obteir u seul six» est représeté par les deux chemis AA et AA. E repreat la règle dégagée à la questio, o aurait PAA et P AA d où, compte teu de l icompatibilité de AA et AA, PS 0 soit P(S) ª 0,778 qui est à ouveau e accord avec la fréquece observée de 0,7. C. Si X est la variable aléatoire associat à deux lacers du dé le ombre des six obteus, o a G = X. Or d après la questio B, la loi de X est coue : x i 0 PX = x i 0 Celle de G s e déduit : y i 0 PG = y i 0 0

142 TP. Familles ombreuses O peut simuler sur u tableur les aissaces successives de quatre efats, u grad ombre de fois, et s itéresser aux fréqueces de «filles et garços» et de «efats du même sexe et le quatrième de l autre sexe» sur l échatillo obteu. O peut aussi chercher à associer u modèle de probabilité à l expériece cosistat à répéter, fois, la aissace d u efat, avec équiprobabilité des sexes. U arbre peut aider à cela : Chacu des chemis colorés e rouge réalise l évéemet «filles et garços». La probabilité d u tel chemi est, soit. O e déduit P(«filles et garços») = 0, 7. Il existe, de même, chemis réalisat «filles et garço» et chemis réalisat «fille et garços». La probabilité d u tel chemi état ecore. D où P («filles et garço» ou «fille et garços») = 8 0,. Coclusio : das ue famille de efats prise au hasard, il est plus probable d avoir u déséquilibre de type / ou / plutôt que d avoir u équilibre de type /. TP. La promeade de l escargot A.. a. Promeades sas ouveau passage par A : ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB. Promeades s achevat e A : ABCA, ABDA, ACBA, ACDA, ADBA, ADCA. Promeades avec passage e A ( e sommet) : ABAB, ABAC, ABAD, ACAB, ACAC, ACAD, ADAB, ADAC, ADAD. b. O choisit la loi équirépartie sur l esemble W de ces issues. c. P(E) = = 7 ª 0,8 P(F) = 9 = 7 ª 0,9. T pred les valeurs, et. F G F G F G F G F G F G F G F G F G F G F G F G F G F G F G P(T = ) = P(F) = 7 P(T = ) = P(E) = 7 P(T = ) = = 7 B.. T pred les valeurs,,,.. No, le ombre de promeades est trop importat ici.. a. O iitialise ue variable temps à 0. O tire au hasard parmi,, le premier sommet autre que A et o le rage das ue variable posit. Tat que posit 0 et temps <, o tire au hasard u sommet autre que celui où se trouve l escargot, o augmete la variable temps de. Si l escargot est e A, o affiche «temps de retour» temps. Sio, o affiche «pas de retour e A». b. La pricipale différece cosiste das l utilisatio d ue boucle «Tat que» pour le programme Scilab et d ue boucle «Répéter jusqu à». Ceci modifie les iitialisatios puisque l o etre forcémet das la boucle «Répéter jusqu à» et le choix d u premier sommet peut figurer au même titre que les suivats à l itérieur de la boucle. Chapitre 8. Probabilités

143 Au cotraire la boucle «Tatque» écessite de traiter le premier trajet e amot pour que la coditio d etrée das la boucle puisse être testée.. Voir fichier sur le site O obtiet par exemple les temps de retour suivats : ; ; ; ; ; ; 9 ; ; ; 9 de moyee.. a. Il faut ajouter ue boucle qui permet de répéter 000 fois le programme déjà etré. b. O crée deux compteurs, N qui est icrémeté de à chaque marche e reveat pas e A, et R qui cumule les temps de retour des marches reveat e A. Le temps de retour moye sur les marches reveat e A sera doé par R/( 000 N). O peut aussi elever les istructios qui coceret la liste des sommets et so affichage. Voir les fichiers sur le site. O obtiet par exemple u temps de retour moye égal à,9 et aucu o-retour e A. TP. Désitégratio radioactive A.. La formule «ombre aléatoire + 0,07» revoie au hasard u ombre décimal apparteat à l itervalle [0,07 ;,07[. La partie etière de ce décimal est 0 lorsqu il appartiet à [0,07 ; [ et lorsqu il appartiet à [ ;,07[. O obtiet doc 0 avec ue probabilité égale à - 0, 07 09, et avec ue probabilité égale à 07, - 007,. Si la désitégratio d u oyau est codée et sa o désitégratio 0, la formule proposée simule bie la désitégratio d u oyau das ue uité de temps.. a. VARIABLES : d, k, T ombres INITIALISATION : d, T, k preet la valeur 0 TRAITEMENT : Tat que d et k < 00 Faire k pred la valeur k + d pred la valeur Et (Alea() + 0,07) Si d = alors T pred la valeur k FiSi FiTatque SORTIE : Afficher «Temps d attete =» T b. Voir sur le site O relève par exemple les dix temps d attete suivat : 7, 0,,,,,,,,. E refaisat d autres simulatios, o remarque qu e gééral o obtiet pas 0, et qu il est même très rare d obteir des temps d attete supérieurs à 0 uités de temps, c est-à-dire que le oyau se désitègre presque sûremet das ces 00 uités de temps.. a. O répète 0 fois l algorithme précédet et o itroduit ue variable S qui somme les temps d attete obteus, puis o calcule le temps d attete moye comme S/0. b. Voir sur le site O observe des temps d attete moyes qui fluctuet e restat à peu près etre et 7, le plus souvet compris etre et. VARIABLES : d, k, T, S, m ombres INITIALISATION : S pred la valeur 0 TRAITEMENT : Pour j allat de à 0 Faire d, T, S preet la valeur 0 Tat que d et k < 00 Faire k pred la valeur k + d pred la valeur Et (Alea() + 0,07) Si d = alors T pred la valeur k FiSi FiTatque S pred la valeur S + T FiPour m pred la valeur S/0 SORTIE : Afficher «Temps moye =» m

144 B.. a. P(T = 0) = ( 0,07) 00 = 0,9 00 b. P(T = ) = 0,07 ; P(T = ) = 0,9 0,07. P(T = 0) = (0,9) 9 0,07 P(T = 00) = (0,9) 99 0,07 c. P(T = k) = (0,9) k 0,07 pour k d. ET - Â k 09, k 007, k Sur ue calculatrice ou u tableur, o obtiet E(T) ª,8. Les temps d attete moyes observés e partie A sur des échatillos de 0 oyaux fluctuet mais restet assez voisis de E(T).. a. T pred toutes les valeurs etières de 0 à. P(T = 0) = 0,9 P(T = k) = 0,9 k 0,07 pour k. E(T) = k 0,9 k 0,07 = 0,07 k 0,9 k Â k b. pe(t) = (0,07) k 0,9 k Â k Â k Pour = 00, pe(t) ª 0,99 = 0, pe(t) ª 0,9998 = 00, pe(t) ª Cojecture : pour assez grad, ET ª P Pour aller plus loi 09, k- 007, 09, 007-0,, 9 09, Â - 0, 9 k Exercices SANS CRAYON, SANS CALCULATRICE a. - - b. - - ˆ 7 7 a. b. 8 8 a. f () = b. y = (x + ) + ; y = x +. c. x = d. f (x) > 0 lorsque x < ; f (x) < 0 lorsque x >. No, o peut avoir x 0 f x f x f Il faudrait que f (x) chage de sige pour x =, pour que f admette u extremum e. d : y = x + et d : y x sot orthogoales car le produit de leurs coefficiets directeur est aa - ˆ -. 7pˆ si - si si - 7pˆ p p 7 f(x) = x + x + 8 x + fx 9 8 u 0 = u + 9r ; u 0 = + 8 = = = = 0 = 07 0 E(Y) = E(X) = V(Y) = 9V(Y) =, Chapitre 8. Probabilités

145 ENTRAÎNEMENT. Les six issues état équiprobables, PV ; P B ; P R.. a. G peut predre les valeurs ; ;. b. (G = ) est l évéemet V. P(G = ) = P(V) =. c. x i P i. a. Le ombre d issues est =. b. Comme les dés sot équilibrés, les couples sot équiprobables. O choisit doc la loi équirépartie sur l esemble des issues.. a. (S = ) = {RV ; RV ; RV} b. P(S = ) =. x i 7 8 P i. a. FFF, FFG, FGF, FGG, GFF, GFG, GGF, GGG. b. P(FFG) = 8. a. X pred les valeurs 0,, et. b. (X = ) = {FGG ; GFG ; GGF} c. P(X = ) = 8 d. x i 0 P i X pred les valeurs, et. E effet, ZÉRO UN DEUX TROIS QUATRE CINQ SIX SEPT HUIT NEUF DIX. Y = X y i 0 P i Les valeurs prises par G sot : 0, =,0 0, =,0 0, =,0 0, =,0 0, =,0 0, =,0 x i,,,,,, P i x i P i O a p p p p k et doc p = k, p = k, p = k, p = k. O a de plus : p + p + p + p = c est-à-dire k + k + k + k = d où k = 0. Il e résulte : p ; p 0 ; p 0 ; p P(X ) = P(X = ) + P(X = ) = 0,. P(X > ) = P(X = ) = 0, P (X ) = P(X = ) + P(X = ) = 0, P(X < ) = P(X ) = 0,. 8. (0, + ) = 0,. E(X) = 0, + 0, + 0, = 0, V(X) = ( 0,) 0, + ( 0,) 0, + ( 0,) 0, =,7 σ(x) ª,0 9 E(X) = E(Y) = 0, V(X) =, V(Y) =, Pour chaque jeu, l espérace de gai est égal à 0,0 euro. Chaque jeu est doc favorable au joueur. Mais V(Y) > V(X) motre que les gais sot plus dispersés autour de la moyee das le jeu de Yves. Le jeu de Yves comporte doc plus de risque que celui de Xavier. 0 U ONE Deux TWO Trois THREE Quatre FOUR Ciq FIVE Six SIX. y i 0 P i z i 0 P i

146 . E(Y) = 0 E(Z) = ª 0, Le jeu de Ya est équitable car E(Y) = 0. Celui de Zoé est défavorable au joueur car E(Z) < 0. Plus précisémet, sur u grad ombre de parties, le joueur doit s attedre à perdre cetimes d euro e moyee par partie. O pourra doc coseiller à u joueur de choisir plutôt le jeu de Ya.. O défiit l esemble ommé rouge formée des boules R, R, R, R et l esemble ommé verte formée des boules V, V, V, V. O tire au hasard u élémet a de l esemble «rouge» et u élémet b de l esemble «verte». O ajoute les uméros des deux boules tirées et o affiche la somme.. Il faut ajouter ue boucle pour répéter le tirage et le calcul de S et ue variable, ommée total, qui cumule les valeurs de S obteues puis calculer la moyee ommé moy : O obtiet pour deux simulatios de 00 lacers : O peut supposer que le gai moye est eviro.. E(S) = 80 = Cette valeur théorique de S que l o peut s attedre à obteir e moyee sur u grad ombre de lacers de deux dés est e accord avec celle obteue par simulatio à la questio.. Les valeurs prises par L sot x et y, avec P(L = x) = et P (L = y) =. Les valeurs prises par K sot x et y, avec P(K = x) = et P(K = y) =.. E(L) = x y E(K) = y x. Le jeu est équitable pour Kévi si o a E(K) = 0, c est-à-dire si x = y. Das ce cas le jeu est aussi équitable pour Léa.. g i 0 PG = g i E(G) = 0 = 0,. Il suffit d augmeter d ue uité le uméro d ue boule dot la probabilité de sortie est 0. Par exemple, si le uméro deviet le uméro, o aura E(G) = 0 et le jeu sera équitable.. Tim Tom a. P billet gagat = 0, P billet gagat = 0, b. c. P gager au mois = 0,0 P gager au mois 0 = 0,0 P gager au mois = 0, P gager au mois 0 = 0. a. E(X) = 0 E(Y) = 0 E(X) = E(Y) = 0 Ces deux tombolas sot des jeux équitables. b. V(X) = 70 V(Y) = 7, σ(x) ª,8 σ(y) ª, Comme σ(x) est plus de quatre fois supérieurs à σ(y), la dispersio des gais autour de leur moyee O est plus importate avec le jeu de Tim. O coseillera doc à Eva de choisir Tom. Ô P J P R. Par proportioalité, o a Ì ÓÔ PV P R ailleurs P(J) + P(V) + P(R) =. et par D où P(R) = soit P(R) = et P(J) =, P(V) =.. a. E(G) = x + 0, + ( ) = x b. Le jeu est équitable si E(G) = 0 c est-à-dire si x =.. E(X) = 0 ª 0,8 m. m Comme m > 0, o e peut avoir E(X) = 0 pour aucue valeur de m, et doc le jeu e peut être équitable. Il est déformable au joueur. 7.. x i m 0 m m P i 8 Chapitre 8. Probabilités

147 L échatillo simulé fourit : ue fréquece de «c t 0» égale à 0,, u gai moye égal à,0 euro.. a. Le tableau suivat permet d obteir les produits possibles et le ombre d issues coduisat à chaque produit. c t d où la loi de probabilité Produit x i Probabilité P i O vérifie : ÂP i. b. X pred les valeurs 0 = et 0 =. P(X = ) = P(«c t 0») 9 0, 7 8 P(X = ) = 0,7 = 0, O a déjà obteu P(«c t 0») = 0,7 Par ailleurs E(X) = 0,7 + ( ) 0, E(X) =,0 euro.. a. Observé sur l échatillo Calculé das le modèle F = 0, P(«c t 0») = 0,7 M =,0 euro EX =,0 euro b. No, Arthur devrait cosidérer qu il perdrait e moyee,0 euro par partie, s il jouait u grad ombre de fois. Sauf à être très «joueur», il devrait reocer. 8. Le positioemet du premier jeto peut se faire de 9 faços différetes. Celui du secod jeto peut alors se faire de 8 faços différetes. Le ombre de positioemets est doc 9 8 = 7. Les choix se faisat au hasard, les 7 issues sot équiprobables. La loi de probabilité reteue sur ces 7 positioemets est la loi équirépartie.. a. X pred les valeurs 0 ; ;. P(X = 0) = P(X = ) = 7 7 P(X = ) = 7 7 Justificatio détaillée L évéemet X = se réalise lorsque le jeto se place sur ue case grisée et le jeto sur ue case blache, OU ENCORE, lorsque le jeto se place sur ue case blache et le jeto sur ue case grisée. Le ombre de ces positioemets favorables est + =. D où P(X = ) = 0,. 7 E résumé x i 0 P i b. Comme Y = X o e déduit que les valeurs prises par Y sot, et 0, avec les probabilités précédetes. y i 0 P j 8. EX ª 07, EY ª, Si o positioe u grad ombre de fois au hasard deux jetos sur le damier, le ombre de cases grisées recouvertes par u jeto sera e moyee de 0,7 et celui des cases blaches, e moyee, de,. 9 a. S = b. S = c. S = ˆ + ˆ + ˆ + ˆ + ˆ + ˆ. d. S = ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + (7 7 + ) Remarque : o aurait aussi pu remarquer que : S = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + (7 ). Calculs : voir les deux copies d écra ci-dessous. Calculs effectués sur TI pour a. et c. sur Casio pour b. et d.

148 0. a. S = ( + ) + ( + ) + + (0 0 + ) S = ( ) ( ) + ( ) 0 Â k 0 Â S = k - k 0 k 0 Â k b. Â k = k = ( ) 0 Â = k k Â º 00. k 0 fois S - 00 S = Avec le tableur :. X pred les valeurs x, x,, x r avec les probabilités p, p,, p r. r VX Âx -EX i pi i X + b pred les valeurs x + b, x + b,, x r + b, avec les mêmes probabilités p, p,, p r. r Â V(X + b) = x b-ex b p i Mais E(X + b) = E(X) + b i r Â D où V(X + b) = x b-ex - b p i r Â i = x - EX p i i = V(X) Ce résultat était prévisible car la variace mesure les écarts des valeurs autour de leur moyee. Comme les valeurs et la moyee augmetet e même temps de b, les écarts sot ichagés et doc la variace aussi. i i i r. VX Â pi xi -EX i r VX Â p ÈÎ x i i - xiex EX i r Â r i i Â i i i = px - EX px i r EX Â r ( p i i = px Â i i - EXEX EX i r = px Â i i - EX EX i r Â = px i i i EX -. Lois de probabilité de X et Y x i P i E(X) = - E(Y) = Das les deux stratégies de jeu, il faut s attedre à perdre e moyee - euro par partie. 7. ˆ VX VX sx ª 7 VY - - ˆ V(Y) ª,08 σ(y) ª,8 L écart type de Y est près de fois plus grad que celui de X. Cela red compte de la grade dispersio des valeurs prises par Y autour de leur moyee.. Les «doubles» de / à / sot au ombre de. Les «simples» peuvet être déombrés à l aide d u tableau : / / / / / / / / / / / / / / / y i P i 7 Il y a «simples». Le ombre total de domios est doc. 7 Chapitre 8. Probabilités 7

149 . a. Cette fois ecore, u tableau aide à détermier les gais et à déombrer les issues y coduisat. Gais Les issues état équiprobables, o a : P(X = ) = P(X = ) = P(X = ) = P(X = ) = P(X = ) = P(X = ) = b. Avec ue mise de m euros, le gai est Y = X m. 00 E(X) = ª 7, et doc E(Y) = E(X) m =,7 m. Le jeu est le plus équitable si l espérace de gai (itégrat la mise) est le plus proche de 0. O predra doc m = euros. c. V(X) = ˆ - ˆ V(X) = - ˆ V(X) = 980 d où V(X) = 980 V(X) ª,9 Ce ombre doe ue moyee des écarts etre les valeurs prises par X et leur moyee E(X). Â. Il suffit de motrer que PX i x i. Or PX Â x i Â. k i k Mais Â est la somme de termes cosécutifs de la k k suite géométrique de er terme 8 et de raiso 8. D après - ˆ le cours (chapitre ), Â k k - ˆ -. D où PX - ˆ Â x i. i. a. Ce programme calcule l espérace de X. b. VARIABLES :, X, S, k, p ombres ENTRÉES : Saisir INITIALISATION : X pred la valeur 0 p pred la valeur S pred la valeur 0 TRAITEMENT : Pour k allat de à Faire X pred la valeur X + p pred la valeur p 0, S pred la valeur S + px FiPour S pred la valeur S + p( + ) SORTIE : Afficher S. a. Voir sur le site b. Pour = 0 o obtiet comme espérace.. a. Pour calculer l écart type de X, si o utilise la formule doée das la défiitio page 0 du mauel, o a besoi de coaitre l espérace de X. Il faut doc ajouter ue partie à l algorithme précédet, après le calcul de E(X). O crée ue variable Sdiff qui calcule Â pixi - EX. i VARIABLES :, X, S, k, p, Sdiff, écart ombres ENTRÉES : Saisir INITIALISATION : X pred la valeur 0 p pred la valeur S pred la valeur 0 Sdiff pred la valeur 0 TRAITEMENT : Pour k allat de à Faire X pred la valeur X + p pred la valeur p 0, S pred la valeur S + px FiPour S pred la valeur S + p( + ) X pred la valeur 0 p pred la valeur Pour k allat de à Faire X pred la valeur X + p pred la valeur p 0, Sdiff pred la valeur Sdiff + p(x - S)² FiPour Sdiff pred la valeur Sdiff + p( + - S)² écart pred la valeur Sdiff SORTIE : Afficher «Espérace :» S Afficher «Écart type :» écart 8

150 Ue autre solutio est d utiliser l autre formule de la variace : V(X) = px i i - EX e créat ue ouvelle variable Â i Scarres pour calculer p i x Â i et de retirer E(X) à la fi. i VARIABLES :, X, S, k, p, Scarres, écart ombres ENTRÉES : Saisir INITIALISATION : X pred la valeur 0 P pred la valeur S pred la valeur 0 Scarres pred la valeur 0 TRAITEMENT : Pour k allat de à Faire X pred la valeur X + P pred la valeur p 0, S pred la valeur S + px Scarres pred al valeur Scarres + px² FiPour S pred la valeur S + p( + ) Scarres pred la valeur Scarres+p( + )² écart pred la valeur Scarres - S SORTIE : Afficher «Espérace :» S Afficher «Écart type :» écart p(e ) = p({ppp}) = 8. O vérifie que leur somme est 8 8 =.. pa = p («avoir aucu PILE») = p(e 0 ) = 8 d où p(a ) = pa = 7 8. p(a ) = p («avoir aucu PILE ou u seul PILE») = p(e 0 ) + p(e ) = 8 8 a. p({ppp, PFP, PPF, PFF}) = 8 Remarque : cela reviet à cosidérer que la pièce est lacée ue seule fois et à calculer la probabilité que ce lacer amèe «PILE». b. p({fpp, FPF}) = 8 c. p({ffp}) = 8 d. p({fff}) = 8 O peut vérifier que ces évéemets, qui sot icompatibles à et dot la réuio doe W, ot des probabilités dot la somme est. b. Pour = 0, o obtiet u écart type égal à,.. Quad deviet grad, les logiciels affiche toujours comme espérace. O peut supposer que E(X) a pour limite quad ted vers +.. a. Issue P F P F P F P F P F P F P P P P P P F P F P P F F F P P F P F F F P F F F F b. L esemble des issues est W = {PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF} La pièce état supposée bie équilibrée, les 8 issues sot équiprobables. La loi est la loi équirépartie sur W.. p(e 0 ) = p({fff}) = 8 p(e ) = p({pff, FPF, FFP}) = 8 p(e ) = p({ppf, PFP, FPP}) = 8 7. Chapitre 8. Probabilités 9

151 Le modèle de probabilité de cette expériece est la loi équirépartie sur l esemble W de ces = issues.. a. p(a) = p({,,, }) =. b. À l aide de l arbre o peut déombrer issues réalisat «deux des trois chiffres sot différets». Ce sot :,,,,,,,, avec deux fois le uméro. Et autat avec deux fois le uméro, deux fois le uméro, deux fois le uméro. D où p(b) = 9. c. Il y a issues s écrivat avec les uméros, et. Ce sot :,,,,,. Il y e a autat s écrivat avec les uméros,, ; et, respectivemet. D où issues réalisat l évéemet C et doc p(c) =. O peut vérifier que les évéemets A, B et C qui sot disjoits à et dot la réuio est W, ot des probabilités dot la somme est. 8. Pour chaque questio, selo que la répose est exacte ou iexacte, la ote attribuée est + ou. Note globale 0 D où la loi de probabilité de X : x i 0 PX = x i E(X) = E(X) =, 8 V(X) = 9 0 9, = 9, =,7 d où s(x) ª, =ALEA() revoie u décimal au hasard de l itervalle [0 ; [ et doc =ALEA()+0, revoie u décimal au hasard de l itervalle [0, ;,[. =ENT(ALEA()+0,) revoie doc tatôt 0 (lorsque le décimal est das [0, ; [), tatôt (lorsque le décimal est das [ ;,[). O obtiet doc 0 ou avec ue probabilité égale à 0, et 0, respectivemet. b. O peut coder par 0 la sortie d ue boule rouge et par celle d ue boule verte. L istructio =ENT(ALEA()+0,) simule doc la sortie d ue boule prise au hasard das l ure. c. Sur l échatillo simulé précédemmet, le gai moye est égal à,78 poits.. a. Gai associé 0, 0, R V 0, 0, 0, 0, R V R V b. Si X est la variable aléatoire associat à chaque issue le gai e poits correspodat, sa loi de probabilité est doée par : x i 90 PX = x i 0,8 0, E(X) = 90 0,8 + 0, E(X) =, Sur u très grad ombre de tirages avec remise de deux boules de l ure, o peut s attedre à avoir u gai moye par tirage égal à, poits. 0 Illustros la situatio par u arbre : er dé e dé Gai (mise icluse) S S S S S S 0

152 S état l issue «le uméro du joueur sort» et S l issue cotraire.. a. La loi de probabilité de X s e déduit : x i PX = x i 0 b. E(X) = 0, s(x) ª,9 c. Sur u grad ombre de parties o peut s attedre à perdre e moyee cetimes d euro par partie. Pour que le jeu soit équitable, il faudrait fixer la mise à,7 euro. Le ouveau gai serait X = X + 0, et o aurait doc E(X ) = E(X) + 0, = 0.. a. La loi de probabilité de Y serait : y i PY = y i 0 E(Y) = ª 0, euro s(y) ª, b. Das ce cas, le jeu deviet favorable au joueur avec u gai moye par partie estimé à cetimes d euro. L orgaisateur perdrait doc e moyee cetimes d euro par partie. Cela explique qu il ait abadoé cette idée. Quat à l écart type, il est passé de,9 à,, traduisat le «resserremet» des gais autour de leur moyee.. a. La loi de probabilité de Z est doée par : z i PZ = z i 0 E(Z) = 0, s(z) ª,88 b. Das ce cas, le jeu est plus défavorable au joueur que das la situatio iitiale, avec ue perte moyee par partie de 0 cetimes d euros, sur u grad ombre de parties. L écart type a, lui, beaucoup augmeté, traduisat la plus grade dispersio des gais autour de la moyee. Classemet : selo le gai moye du joueur : stratégies,, ; selo le degré de risque (du plus petit écart type au plus grad) : stratégies,,. A.. a b 9 B B B A A B 8 A A B Les 9 issues état équiprobables, p («Aa l emporte sur Brice») = 9 Brice a doc plus de chaces de gager que Aa das cette recotre.. c b 7 C C C B C C 9 B B B Carole est favorisée das ue recotre avec Brice, car p («Carole l emporte face à Brice») = 9.. a. D après les questios et : Brice l emporte sur Aa avec ue probabilité de 9 > 0,. Carole l emporte sur Brice avec ue probabilité de 9 > 0,. O peut cojecturer que Carole l emportera sur Aa avec ue probabilité dépassat 0,. b. c a 7 C C C A A C 8 A A A p («Carole l emporte sur Aa») = 9 Paradoxalemet, c est Carole qui a le plus de chaces de l emporter face à Aa. B.. No. Aa Brice Carole Vaiqueur C C C B C C B B B A A C A A C B B B A A A A A A B B B Chapitre 8. Probabilités

153 Tous les chemis état équiprobables (de probabilité 7 ) o a : p («Aa l emporte») = 0 7 p («Brice l emporte») = 0 7 p («Carole l emporte») = 7 7. a. E s aidat évetuellemet d arbres simplifiés tels que : / S / E / S / E / E / S où S est l issue «la porte s ouvre» et E l issue cotraire / E / E / E / S o obtiet : P(X = ) = 9 P(X = ) = ˆ ˆ P(X = 0) = P(X = ) = b. Pour k : k- ˆ P(X = k) = c. P(X = ) = P («la porte s ouvre au e essai ou la porte e s ouvre pas lors des essais») ˆ P(X = ) = ˆ La somme se justifie par l icompatibilité des deux situatios. Â. a. Il s agit de vérifier que PX k. k Sur ue calculatrice ou u tableur, o obtiet bie - ˆ ˆ Â k ˆ. k b. EX k- ˆ Â k k ˆ ˆ Sur ue calculatrice ou u tableur, o obtiet E(X) ª à 0 près. Le cocierge doit s attedre à faire essais, e moyee, avec sa stratégie. ˆ. Avec u arbre simplifié : a. 0,9 A 0,9 A 0,9 A 0,9 A logueur du chemi : 0 o obtiet : p («l archer atteit 0 fois la cible») = 0,9 0 ª 0, b. p («l archer atteit au mois ue fois la cible») = p («l archer atteit jamais la cible») = 0, 0 = 0 0 ª???. p = 0,9.. VARIABLES : ombre INITIALISATION : pred la valeur 0 TRAITEMENT : Tat que 0,9 0,0 Faire pred la valeur + Fitatque SORTIE : Afficher O obtiet =. a. L arbre simplifié : 0, V 0, V 0, V 0, V 0, V avec p(v) = 0 = 0, doe p («l automobiliste se 0 présete ciq fois au vert») = (0,) ª 0,078. b. p («l automobiliste arrive au mois ue fois quad le feu est orage») = p («l automobiliste arrive jamais quad le feu est orage») = ( 0 ) = 0,9 ª 0,0. Notos A et B les issues «la lettre tirée est pas i» et «la lettre tirée est pas z», respectivemet. L évéemet (Y = 0) s illustre par l arbre simplifié suivat : A A A A A logueur du chemi : avec P(A) = 8 = 0,7. D où P(Y = 0) = 0,7 ª 0,0. De même P(Z = 0) = (P(A)) = ( 8 ) Notos C l évéemet A «B. O a P(C) = 8 = 0,. 7 = ˆ 8 = 0,87 ª 0,. L évéemet (Y = 0 et Z = 0) correspod au chemi : 0, C 0, C 0, C 0, C logueur du chemi :

154 et a doc comme probabilité : P(Y = 0 et Z = 0) = (0,) ª 0,0009. O peut alors déduire P(Y = 0 ou Z = 0) = P(Y = 0) + P(Z = 0) P(Y = 0 et Z = 0) = 0,7 + 0,87 0, ª 0,7.. a. (X ) = (X = ) ou (X = ) ou (X = ). (X > 7) = (X = 8) ou (X = 9). X = (X > ) = (X = ) ou (X = ) ou (X = ) ou (X = 7) ou (X = 8) ou (X = 9) X 7 = (X 7) = (X = ) ou (X = ) ou (X = ) ou (X = ) ou (X = ) ou (X = ) ou (X = 7) b. P( X 7) = P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) + P(X = 7) P(X 7) P(X ) = [P(X = ) + P(X = ) + + P(X = 7)] [P(X = ) + P(X = ) + P(X = )] = P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) + P(X = 7) O a doc : P( X 7) = P(X 7) P(X ). a. Pour a < b 9, (X b) = (X < a) ou (a X b). Comme (X < a) et (a X b) sot icompatibles, o a : P(X b) = P(X < a) + P(a X b) c est-à-dire P(a X b) = P(X b) P(X < a). b. Comme X e pred que des valeurs etières, l évéemet (X < a) équivaut à (X a ). D où l égalité attedue. 7 O étudie le ombre de obteu e laçat 0 fois u dé. Cette expériece est répétée 00 fois. Le 00 e terme de la liste doe le ombre moye de obteu sur ces 00 expérieces. 8. E cellule B, o simule le lacer d u dé supposé équilibré et o affiche si le six sort, et 0 sio. E cellules C, D et E o fait afficher lorsqu u six apparaît, si aucu e s est affiché précédemmet et o fait afficher 0 dès qu u s est affiché précédemmet ou lorsqu u uméro autre que le six apparaît. Aisi, si u apparaît, il apparaît qu ue fois et idique le rag du premier six obteu. E cellule F, l istructio revoie le rag du premier six si celui-ci est apparu et 0 si le six est pas sorti.. Sur l échatillo de taille 000 simulé sur tableur, le rag moye (temps d attete moye) du premier est,9.. Rag du er E costruisat u arbre simplifié (où l o s arrête dès le premier obteu). Si o ote R le rag du premier, e coveat que R = 0 lorsqu aucu apparaît, o obtiet la loi de probabilité suivate : k 0 PR = k ˆ d où le rag moye : E(R) = ª,8. Travail persoel ˆ 0 ˆ Pour les exercices 9 à : voir corrigés e fi du mauel. APPROFONDISSEMENT Y X- s m Par propriété : EY EX - m EX - m s s Comme E(X) = m, o a bie E(Y) = 0. Par propriété : s Y s sx- m Mais comme s > 0 et s(x m) = s(x) o obtiet s Y s s. Chapitre 8. Probabilités

155 . Il existe = couples (a, b) possibles, d où équatios de la forme ax + bx + = 0. Les couples (a, b) s obteat avec la même probabilité les équatios s obtieet de faço équiprobable.. (E) a pour discrimiat D = b a. U tableau carré permet de visualiser les valeurs de D possibles et le ombre de couples y coduisat : b a Le ombre X de solutios peut être 0, ou. P(X = 0) = P(D < 0) = 9 P(X = ) = P(D = 0) = P(X = ) = P(D > 0) = U tableau peut aider à visualiser la répartitio e % des différets cas : A A B B A et B % A seulemet % B seulemet % Ni A i B 90 % Se déduit des autres pourcetages. Les valeurs prises par X sot : 90 ; ; ; P(X = 90) = P(«aucu défaut») = 0,9 P(X = 00) = P(«défaut A, seul») = 0,0 P(X = 00) = P(«défaut B seul») = 0,0 P(X = 00) = P(«défauts A et B») = 0,0. E(X) = 97 euros. Cela représete le prix et moye d u objet, sur u grad ombre d objets produits et évetuellemet réparés.. Le prix de vete permettat de réaliser u bééfice moye de 00 par objet est : = 07. A.. a. À l aide d u arbre (ou d u tableau), amorcé, tel que suivat. O déombre = issues chacue de probabilité. Le modèle reteu est doc la loi équirépartie sur l esemble W des couples possibles de boules. R R N N Note globale R R N N b. Le ombre de chemis réalisat l évéemet «obteir boules de couleurs différetes» est ( ) pour les chemis de type RN et ( ) pour ceux de type NR, soit 0 ( ) e tout. - Il e résulte P (A) = 0. x -. P (A) = f() avec f(x) = 0 x. x -x - x Pour x, f (x) = 0. x - x 0 x 0 x0 - x f (x) = 0 x x x 0 + f x + 0 f 0 P (A) est doc maximal lorsque = 0, c est-à-dire lorsque l ure cotiet boules rouges et boules oires. Cette probabilité est alors égale à 0,. B.. U arbre amorcé ou «imagié» compred ( ) chemis, d où issues. Les choix de la re boule, puis les choix de la e boule se faisat au hasard, les issues sot équiprobables. Le modèle reteu est doc à ouveau la loi équirépartie, mais sur u esemble W qui comporte ici issues.. a. Lors des deux tirages d ue boule, avec remise (Partie A), o déombrait 0( ) issues favorables à la réalisatio de l évéemet A. Ce ombre est ichagé, ici, das le cas de deux tirages sas remise, car la boule o remise ifluece pas le ombre de boules de l autre couleur. O a doc ecore ici 0( ) issues réalisat l évéemet A. b. P (A) = a. X pred les valeurs et.

156 P(X = ) = P (A) = P(X = ) = P (A) = D où E(X) = 0 - È Î Í - = = b. Le jeu est équitable lorsque E(X) = 0 c est-à-dire lorsque + 0 = 0. Or D = 9 00 = = 9 x + x 0 a doc pour racies et. E coclusio, le jeu est équitable das deux situatios : = ( rouges et oire) ; = ( rouges et 0 oires). 7 A.. O devrait avoir ˆ P(X = ) = - º sous réserve que ce ombre soit positif.. Lorsque =, - et la loi de probabilité de X est doée par : k PX = k 8 Lorsque =, - - et la loi de probabilité de X est : k PX = k Lorsque =, et doc o e peut défiir ue loi de probabilité de X sous cette forme. Lorsque, -Â 0. k k Plus gééralemet, o peut doc dire que la répose à la questio posée est positive uiquemet pour = et =. B.. O obtiet : 0 Â 0, 9777 k k 00 k Â 0, k Â 0, 97 k k. E admettat que Â 0 k k, pour tout Œ,, o peut répodre positivemet à la questio posée : pour tout, il existe ue loi de probabilité de la forme : k PX = k Â k k. E utilisat les foctios de sommatio des logiciels : VARIABLES :, S, p ombres ENTRÉE : Saisir TRAITEMENT : p pred la valeur S pred la valeur p + SORTIE : Afficher S Â k k Â k k Sas utiliser les foctios de sommatio des logiciels : VARIABLES :, S, p ombres ENTRÉE : Saisir Iitialisatio : p pred la valeur TRAITEMENT : S pred la valeur 0 Pour k allat de à Faire p pred la valeur p - k S pred la valeur S + k FiPour S pred la valeur S + p SORTIE : Afficher S 8. P(X = k) état positif pour chaque k, 0 k, il suffit de vérifier que PX k. Calculos déjà Â k Â k0 PX k Â k pq k- La suite (pq k ) état géométrique de raiso q, o a : q pqk- - Â p = q (car q = p). k - q Il e résulte : Â PX k PX 0 - q = q + q =. k0 - Â k. a. E(X) = 0 P(X = 0) + kpq k. Chapitre 8. Probabilités

157 E(X) = P kq k - Â k Or si o pose f(x) = + x + x + + x alors f (x) = + x + + x. O a doc E(X) = pf (q). x b. Pour x Œ ]0 ; [, fx - car + x + x + + x - x est la somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique de raiso x. c. f (x) = - x - x - - x - - x = - x x - x - x = - x x - x = - - xx - x d. E(X) = p - - qq p E(X) = - p - p ÈÎ p e. ( + p) ( p) = q + pq Comme 0 < q <, lim q Æ Il reste à cojecturer lim Æ 0. q. Avec u tableur, par exemple, le calcul de q pour différetes valeurs de q etre 0 et et pour de grades valeurs de doe les résultats suivats : Cela suffit pour répodre égativemet à la questio posée. b. re questio e questio e questio E E E E E E O peut adopter la loi équirépartie sur l esemble W des 8 issues correspodat à ces 8 chemis.. a. X pred les valeurs 0,,,. P(X = 0) = P({EEE}) = 8 P(X = ) = P({EEE, E EE, EE E}) = 8 P(X = ) = P({EEE, EE E, E EE}) = 8 P(X = ) = P({EEE}) = 8 b. E(X) = E E E E E E E E E(X) = O cojecture lim q 0 pour 0 < q <, et doc Æ esuite lim Ex. Æ p 9. a. L évéemet «0 répose exacte» peut se représeter par le chemi E E E où E sigifie «la répose est exacte» et E so cotraire. L évéemet «répose exacte» se représete par chemis selo le rag de la répose exacte. E E E E E E E E E Tous ces chemis se réalisat a priori avec les mêmes chaces (répose au hasard répétée trois fois), il e paraît pas réaliste de teir les évéemets «0 répose exacte» et «répose exacte» pour équiprobables. V(X) = V(X) = - s(x) =. a. S pred les valeurs,,, 9. k 9 PX = k 8 8 b. E(S) = E(S) = Sur u grad ombre de QCM, Maxime obtiedrait e moyee poits sur 9 par QCM.. a. S = X + ( X) ( ) S = X b. E(S) = E(X ) = E(X) 8 8

158 Comme o avait E(X) =, o retrouve bie (grâce à ce lie) E(S) =. c. S = X + ( X) ( ) S = X 9 E(S ) = E(X) 9 = 0 Avec ce ouveau barême, e répodat totalemet au hasard à u grad ombre de QCM, Maxime obtiedrait e moyee 0 poit sur A.. Choix a b c d e Probabilité. Le choix d ue lige se faisat au hasard, o a : P(L ) = P(L ) = P(L ) =. Mais selo la procédure adoptée, «choisir L» et «cocher a» «choisir L» et «cocher b ou cocher c» «choisir L» et «cocher d ou cocher e» sot des évéemets qui coïcidet et qui ot doc même probabilité. Il e résulte P a = P b + P c = P d + P e =. Par ailleurs, le choix d ue case parmi b et c, aisi que celui d ue case parmi d et e se faisat au hasard, o a : P b = P c et P d = P e E combiat, o obtiet : P a = ; P b = P c = ; P d = P e =. D où la loi de probabilité : Case a b c d e Probabilité. O obtiet de même, pour Zoé : Case a b c d e Probabilité B.. E teat compte du coût de la partie :, o obtiet les lois de probabilité suivates : x i 9 PX = x i y i 9 PY = y i z i 9 PZ = z i. E(X) = 0 E(Y) = 0, E(Z) =, Ces espéraces doet les gais algébriques moyes, selo les trois stratégies, sur u grad ombre de parties jouées. Avec cette grille, c est la stratégie de Zoé qui s avère la plus itéressate. 7 Soit le ombre de lacers de ce dé. Soit X la variable aléatoire doat le ombre de fois où u uméro supérieur ou égal à est obteu. Première étape Calculos P = P(X ). P = P(X = 0) L évéemet X = 0 correspod au chemi A A A A logueur où A est l évéemet «u ombre iférieur à sort», dot la probabilité est. O a alors P(X = 0) = ˆ et doc P = ˆ. Secode étape Cherchos tel que P > 0,999. Sur u tableur o obtiet : Il apparaît que P dépasse 0,999 dès que 8. 7 Soit X et Y les variables aléatoires doat les gais algébriques associés à ue partie das l u et l autre jeu. X pred les valeurs,,, 0,, avec des probabilités égales à. Y pred les valeurs,,, 0,. E désigat par a et b les uméros affichés par le er dé et le e dé, o a : P(Y = ) = P(Max(a, b) = ) = P({(, )}) = P(Y = ) = P(Max(a, b) = ) = P({(, ) ; (, ) ; (, )}) = P(Y = ) = P(Max(a, b) = ) = P({(, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, )}) = Chapitre 8. Probabilités 7

159 P(Y = ) = P(Max(a, b) = ) = P({(, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, )}) 7 Exemple de simulatios (sur Xcas) : = 7 P(Y = 0) = P(Max(a, b) = ) = P({(, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, )}) = 9 P(Y = ) = P(Max(a, b) = ) = P({(, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, )}) = O vérifie que Â k- PY k Calcul de EX et EY E(X) = , euro E(Y) = ª - 9 0, euro Le jeu le plus favorable au joueur est le premier jeu, avec ue perte moyee par partie jouée estimée à 0 cetimes d euro. Calcul de sx et sy UX ˆ - V(X) = 9 - d où s(x) = VX ª,7 euro VY ˆ ª 97, d où s(y) ª,0 euro Les gais du jeu sot plus dispersés autour de leur moyee que ceux du jeu. O peut cosidérer que le jeu comporte plus de risque que le jeu. Si Léo veut miimiser le risque, il choisira le jeu, tout e sachat que ce est pas le jeu le plus favorable au joueur. S il veut privilégier le gai moye, il choisira le jeu. O obtiet u ombre moye de pas e gééral compris etre et 7. 7 Soit X le gai du joueur sas teir compte de la mise. X pred les valeurs,, 8,, k, k+, et P(X = k ) = ˆ k- ˆ k D où E(X) = º k k º c est-à-dire E(X) = L espérace de gai est doc ifime, mais la mise égale au ombre de coups joués peut l être égalemet! Ces coditios sot très dissuasives et Laplace se demade quel être raisoable accepterait d y participer. Pourtat ue simulatio sur tableur motre que «Croix» e tarde jamais à se produire. Pour exemple, il faut appuyer de très ombreuses fois sur F9 pour obteir «Croix» pour la re fois après le 8 e lacer. Si o calcule la probabilité d obteir Croix lors des 8 premiers lacers, o obtiet : p ª 0, qui cofirme bie que le risque est pas aussi grad qu o pourrait le peser. 7 Lors de l étude du comportemet d u tel moteur au cours d u vol, otos E l issue : «le moteur tombe e pae». 8

160 U biréacteur e termie pas so vol si ses deux moteurs tombet e pae. Cet évéemet correspod au chemi p E p E et doc sa probabilité est p. U quadriréacteur e termie pas so vol si ou moteurs coaisset ue pae au cours du vol. Cet évéemet correspod aux chemis suivats : p E p E p E p E p E p E p E p E p E p E p E p E p E p E p E p E p E p E p E p E Sa probabilité est doc : ( p) p + p. U biréacteur a ue probabilité plus grade d achever so vol qu u quadriréacteur si o a : p ( p) p p c est-à-dire p ( p) p + p p [ p + ( p) p ] 0 p + p 0 ( p) (p ) 0 Comme p < (fort heureusemet!) cela reviet à p 0. Soit p. E coclusio, u biréacteur se révèle plus fiable qu u quadriréacteur si la probabilité p de pae d u moteur est telle que p. Comme o est e droit d espérer que 0 < p < (e fait p est de l ordre de 0 ), il est plus pertiet d affirmer qu u quadriréacteur est plus fiable qu u biréacteur. Chapitre 8. Probabilités 9

161 Loi biomiale 9 Échatilloage Pour repredre cotact Les réposes exactes sot : P P F P F F P F F a. P («PILE») = 8 b. P («PILE») = 8 c. P («au mois ue FACE») = P («aucue FACE») = P («PILE») = P F P F P E C : 0, C : 0, C : 0,7 d où e C : 0,9. 0,9 est la fréquece cumulée associée à la valeur, c est-à-dire la fréquece d obteir u résultat iférieur ou égal à. D après ue propriété du cours de Secode (voir Math x de page ), la fréquece f de «boule rouge» sur u È échatillo de taille 00 appartiet à l itervalle I - Î Í , ;, 00 [ 0, ; 0, ], avec ue probabilité au mois égale à 0,9.. a. x œ [ ; 9] ou ecore : x Œ] ; [» ]9 ; + [. b. x Œ [0 ; [» ]9 ; 00]. k Œ [0 ; 0]» [0 ; 00] 0

162 . Sur les 00 lacers, la fréquece de l évéemet «obteir u uméro iférieur ou égal à» est égale à 0,.. Au mois 0 % des lacers. 0 % des lacers ot ameé u résultat iférieur ou égal à. 70 % des lacers ot ameé u résultat iférieur ou égal à. Par différece, 0 % des lacers ot ameé ou. Visuellemet, sur le graphique, il suffit de lire l amplitude des fréqueces cumulées correspodat à l itervalle ] ; ]. O obtiet 0,7 0, = 0,. Activité. La loi du ombre de succès A. E : «la flèche tombe das la zoe rouge». PE -PS B.. a. S S E S E S E S S S E E E S E E S E b. P(SESE) = 8 P(ESSE) = 8 S E S E S E S E S E S E c. L évéemet «obteir deux succès» correspod à chemis de l arbre, tous de probabilité 8. D où P («obteir deux succès») = X pred les valeurs 0,,, et. D après la questio.c., P(X = ) = 8 7 P(X = 0) = P(EEEE) = 8 8 P(X = ) = P(X = ) = 8 8 P(X = ) = P(SSSS) = 8 Chapitre 9. Loi biomiale. Échatilloage

163 O présete souvet la loi de probabilité de X das u tableau : P(X =k) k O vérifie : Â k0 PX k. C.. P(Y = 0) = P(EEEEE) = ˆ P(Y = ) = P(SSSSS) = ˆ 8. a. U chemi réalisat l évéemet (Y = ) est SSEEE, de probabilité ˆ ˆ. 8 Tous les autres chemis réalisat l évéemet (Y = ) ot aussi pour probabilité. b. U chemi réalisat l évéemet (Y = ) doit recotrer : succès S lors des premières répétitios s il se termie par S ; succès S lors des premières répétitios s il se termie par E. Le ombre de chemis illustrat (Y = ) est doc égal au ombre de chemis réalisat X = ou X = lors de répétitios (partie B), soit + = 0. 8 c. P(Y = ) = 0 80 D.. Z pred les valeurs 0,,,, 0. 0 P(Z = 0) = ˆ 0 P(Z = 0) = ˆ. a. P(SSSSEEEEEE) = ˆ ˆ La probabilité d ue issue comportat «succès» et «échecs», quel qu e soit l ordre, est ecore ˆ ˆ. b. Il maque de coaître le ombre de chemis comportat S et E. c. P(Z = ) = 0 ˆ ˆ ˆ d. P(Z = ) = 0 ˆ ª 0,7 ˆ Activité. Sur les chemis de la plage. Chacu de ces trois chemis coduiset au poit L.. Est A N Sud R J S 0 L T 0 K M I

164 Chapitre 9. Loi biomiale. Échatilloage. Nombre de chemis meat à L = Nombre de chemis meat à S + Nombre de chemis meat à T. Explicatio : u chemi meat à L passe écessairemet par S ou par T (l u des deux seulemet). À partir de S ou de T, il e reste qu ue seule possibilité d achever le parcours jusqu e L.. a. ˆ est le ombre de chemis comportat S et E. C est le ombre de chemis meat de A à L. O lit ˆ au poit L et doc 0 ˆ. b. Sur les «obliques», o a : 0 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ c. ˆ ˆ ˆ d. ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ Activité. La plache de Galto. Case 0 chemi y coduisat : GGGG La Case 0 est atteite lorsque D est réalisée 0 fois. Case chemi y coduisat : DGGG, GDGG, GGDG, GGGD. Case atteite lorsque D est réalisée fois. Case chemi y coduisat : DDGG, DGDG, DGGD, GDDG, GDGD, GGDD. Case atteite lorsque D est réalisée fois. Case chemi y coduisat : DDDG, DDGD, DGDD, GDDD. Case atteite lorsque D est réalisée fois. Case chemi y coduisat : DDDD Case atteite lorsque D est réalisée fois.. a. Le parcours d ue bille sur cette plache de Galto est u schéma de épreuves de Beroulli, où l épreuve comporte les deux issues D (succès) et G (échec). Par défiitio, k ˆ est le ombre de chemis de l arbre représetat ce schéma de Beroulli, qui réaliset k succès lors des répétitios. C est doc aussi le ombre de chemis (ou trajets) de la bille comportat k passages à droite. b. D après la questio. o a : 0 ˆ ˆ ˆ ˆ,,,, ˆ.

165 ˆ c. est le ombre de trajets de la bille comportat seul passage à droite et doc meat à la case. ˆ est le ombre de trajets de la bille comportat passages à droite c est-à-dire meat à la case. ˆ Par symétrie de la plache de Galto, il existe autat de trajets coduisat à la case qu à la case. D où ˆ. ˆ d. Par symétrie, le ombre de chemis coduisat à la case 0 ou à la case est le même ; et c est. D où 0 ˆ. Par symétrie, le ombre de chemis coduisat à la case, ou à la case est le même ; o a doc déjà ˆ ˆ. ˆ est le ombre de chemis de logueur comportat u seul D, et doc quatre G. Il e existe, autat que de faços ˆ de positioer l issue D das l écriture du chemi. D où ˆ. ˆ Par symétrie, le ombre de chemis meat à la case, ou à la case, est le même. O a doc ˆ. Mais ˆ est le ombre de chemis de logueur S comportat D et doc G. E dressat la liste exhaustive de ces chemis, o e trouve 0. Ue autre démarche cosiste à déombrer les chemis qui se termiet par D (et qui doivet doc comporter u seul D lors des premières étapes) et ceux qui se termiet par G (et qui doivet doc comporter deux D lors des ˆ premières étapes). Cela représete e tout 0 ˆ chemis. D où ˆ 0 ˆ.. a. X pred les valeurs 0,,,, et. ˆ P(X = 0) = P («la bille pred u chemi comportat 0 D») = 0 ˆ ˆ P(X = ) = P («la bille pred u chemi comportat D») = ˆ ˆ P(X = ) = P («la bille pred u chemi comportat D») = ˆ ˆ P(X = ) = P («la bille pred u chemi comportat D») = ˆ ˆ P(X = ) = P («la bille pred u chemi comportat D») = ˆ ˆ P(X = ) = P («la bille pred u chemi comportat D») = ˆ Représetatio graphique : ˆ b. X pred les valeurs 0,,,, 0. Comme das le cas =, o a maiteat : P(X = k) = k ˆ. 0

166 X suit la loi biomiale de paramètres = 0 et p. 0 0ˆ P(X = 8) = 8 ˆ ª,99 0 0ˆ P(X = 0) = 0 ˆ ª 0,7088 0ˆ P(X = 8) = 8 ˆ ª 7, Activité. Espérace de la loi biomiale Sur u tableur Voir la copie d écra ci-dessous. Sur ue calculatrice et/ou u logiciel Algorithme VARIABLES :, p, k, S ombres ENTRÉES : saisir, saisir p INITIALISATION : s pred la valeur 0 TRAITEMENT : Pour k de à Faire S pred la valeur s + k P(X = k) // où X suit la loi biomiale de paramètres et p FiPour SORTIE : Afficher S Avec ue calculatrice TI 8 Plus Avec ue calculatrice Casio Graph + Avec Xcas.fr Avec Scilab Activité. Échatilloage A.. La formule =ENT(ALEA()+0,) revoie le ombre 0 (quad ALEA() appartiet à [0 ; 0,8[ et revoie le ombre (quad ALEA() appartiet à [0,8 ; [). Cette formule permet doc de simuler le triage aléatoire d ue persoe das la populatio, qui sera favorable à Z avec la probabilité 0, (sortie du ) ou o favorable à Z avec la probabilité 0,8 (sortie du 0). Chapitre 9. Loi biomiale. Échatilloage

167 . a. b. Les fréqueces fluctuet d u échatillo à l autre.. a. Il suffit de revoyer «vrai» lorsque la fréquece fourie par l échatillo appartiet à [0, ; 0,], puis de compter les «vrai». Sur ces 00 échatillos, 9 d etre eux fourisset ue fréquece d opiio favorable à Z. b. E appuyat sur F9, o simule d autres séries de 00 échatillos où la fréquece des avis favorables à Z est presque toujours supérieure à 0,9. O retrouve ici le résultat de secode : Das ue populatio où la proportio d électeurs favorables à Z est 0,, la fréquece observée d électeurs favorables È à Z sur u échatillo aléatoire de taille 00 appartiet à l itervalle , ;, Î Í 00 avec ue probabilité au mois égale à 0,9. Remarque : les coditios et 0, p 0,8 sot bie satisfaites ici. B.. a. Cette expériece cosiste à répéter 00 fois, de faço idépedate, l épreuve (de Beroulli) suivate : «o prélève au hasard ue persoe das la populatio». Les deux issues de cette épreuve sot : La persoe est favorable à Z (succès, de probabilité 0,). La persoe est pas favorable à Z (échec, de probabilité 0,8). Cette expériece est doc bie u schéma de Beroulli. b. La variable aléatoire X qui compte le ombre de succès obteus lors de la réalisatio de ce schéma de Beroulli suit, selo le cours, la loi biomiale de paramètres = 00 et p = 0,.. a. b. Voir la copie d écra ci-dessous : O remarquera que P( X ) s écrit ecore P( < X < ) puisque X e pred que des valeurs etières. X. a. O a F. 00 b. P(X < ) ª 0,08 P( X ) ª 0,9 et P(X > ) ª 0,07 devieet P(F < 0,) ª 0,08 P(0, F 0,) ª 0,9 et P(F > 0,) ª 0,07 O retrouve ici que la fréquece des persoes favorables à Z sur u échatillo de taille 00 a ue probabilité au mois égale à 0,9 de se trouver das l itervalle (de fluctuatio) I = [0, ; 0,].. Si la fréquece observée sur le sodage se situe e dehors de l itervalle I, o peut rejeter l affirmatio de Mosieur Z. Pourtat, le «hasard» permet à cette fréquece de se situer e dehors de I avec ue probabilité égale à 0,9 = 0,0. Le risque pris de se tromper e rejetat l affirmatio de Z est doc de, %, qui est iférieur à %.

168 TP. Hasard et QCM A.. a. «Répodre au hasard à ue questio du QCM» est ue épreuve aléatoire comportat deux issues : «la répose est exacte» et «la répose est iexacte». Si l o choisit pour succès, oté S, l issue «la répose est exacte», o est e présece d ue épreuve de Beroulli dot le paramètre est p = P(S) =. b. La répétitio, 0 fois, de faço idépedate, d ue même épreuve de Beroulli de paramètres = 0 et p =.. a. X pred toutes les valeurs etières etre et. b. PX PSSS S æææ 0 fois ˆ 0 Pour k 0, P(X = k) = PE ES,,, où l issue E «échec» se réalise k fois avat que iterviee le succès S. Il e résulte P(X = k) = (0,7) k (0,). O peut observer que la loi de X est pas ue loi biomiale. Cela était prévisible, puisque X e compte pas les succès, mais doe le rag du premier succès.. a. Ici, la ote attribuée coïcide avec le ombre de réposes exactes obteues par le cadidat. Y suit la loi biomiale B ( ; p) avec = 0 et p = 0,. Les valeurs de P(Y = k) à 0 près obteues sur u tableur sot les suivates : b. P(Y = 0) ª 0 0 Â c. P(Y > ) = P(Y = k) 0,08 k d. La ote la plus probable est, avec ue probabilité supérieure à 0,8. e. D après ue propriété du cours, E(Y) = p = 0 0, =,. E moyee, sur u grad ombre de QCM remplis au hasard, le cadidat obtiedrait,.. a. Comme le ombre de réposes exactes est doé par Y, le ombre de réposes iexactes est 0 Y. La ote obteue avec le ouveau barème est doc doée par Z = Y 0,(0 Y) Z =, Y b. P(Z < 0) = P(, Y < 0) = P(Y < ), = P(Y ) = P(Y = 0) + P(Y = ) ª 0, P(Z ) = P(, Y ) = P(Y 7 ), = P(Y ) 0 Â = PY k k ª 0,00 Remarque : le cadidat a fois mois de chaces d obteir la moyee avec ce barème qu avec le précédet! c. E(Z) = E(, Y ) =, E(Y) = Chapitre 9. Loi biomiale. Échatilloage 7

169 E moyee, sur u grad ombre de QCM, u cadidat répodat au hasard obtiedrait pour ote, avec ce ouveau barème (cotre, auparavat). L objectif est pleiemet atteit. B.. Désigos par D l évéemet : «le cadidat obtiet 0» et par D so évéemet cotraire. O a : P = p («aucu cadidat obtiet la ote 0») c est-à-dire P DD,, º, = P. ææææ Æ logueur Les cadidats répodat au hasard à ce QCM, idépedammet les us des autres, il e résulte : P = [P(D)] ª ( 0 ) ª 0, E calculat P, pour, sur u tableur, o obtiet : O aura doc P > 0 pour 0. TP. Aurez-vous votre place das le vol 7?. a. L expériece cosiste à étudier les comportemets de acheteurs d u billet sur le vol 7, e les supposat idépedats. Pour u acheteur, deux issues sot possibles : l acheteur se présete à l embarquemet avec ue probabilité p = 0,9 ; l acheteur e s y présete pas avec ue probabilité p = 0,0. O est doc e présece d u schéma de Beroulli de paramètres et p = 0,9. La variable aléatoire X qui doe le ombre d acheteurs se présetat à l embarquemet (c est-à-dire qui compte le ombre de succès) suit la loi biomiale de paramètres et p = 0,9. ˆ Aisi, pour tout etier k tel que 0 k, P(X = k) = k 0,9k 0,0 k. b. O doe ci-dessous ue amorce du tableau demadé.. a. G = 00 0,8 00( X ) G = X b. E(X ) = 0,9 d où E(G ) = E(X ) E(G ) = 9, c. O suppose que = 0. E(G 0 ) = 9, 0 = 9 90 et E(X 0 ) = 0,9 0 =. Das ce cas, la compagie peut espérer obteir u chiffre d affaires égal à 9 90 euros et voir se préseter persoes à l embarquemet. D après le tableau, P(X 0 = ) ª 0, et o peut remarquer que P(X 0 = k) pred sa valeur maximale lorsque k =. Lorsque = 0, le cas où persoes sur les 0 se présetet à l embarquemet est le cas le plus probable. 8

170 . a. O obtiet : b. P(X 0 > 0) ª 0,890 ; P(X 70 > 0) ª. c. O cherche la plus grade valeur de telle que P(X > 0) < 0,. D après le tableau précédet, la valeur de cherchée est. TP. Méthode du poolage A.. Pour u groupe H i de trois prélèvemets, le test de H i est égatif lorsque chacu des trois prélèvemets est égatif. La probabilité que le prélèvemet d u idividu de cette populatio soit positif état p par hypothèse, elle est doc égale à p pour qu il soit égatif. «H i est égatif» est l évéemet correspodat au chemi de l arbre suivat : Prélévemet Prélévemet Prélévemet - p - p - p N N où N est l issue «égatif» pour u prélèvemet. Il e résulte que la probabilité que le test de H i soit égatif est bie ( p).. Il y a 0 groupes qui se comportet idépedammet les us des autres. U groupe peut avoir u test égatif avec la probabilité ( p) ou avoir u test positif avec la probabilité ( p). X est la variable aléatoire doat le ombre de groupes ayat u test égatif. X suit doc la loi biomiale de paramètres 0 et ( p). ˆ Aisi, pour 0 k 0, P(X = k) = k ( p)k ÈÎ k p. Par propriété, E(X) = 0 ( p).. Le ombre total de tests effectués est la somme du ombre de tests effectués sur les groupes, soit 0, et du ombre de tests effectués sur tous les prélèvemets des groupes dot le test s est révélé positif. Comme il y a X groupes de test égatif, il y a doc 0 X groupes de test positif. D où le ombre total de tests effectués : T = 0 + (0 X) = 80 X. O e déduit E(T) = 80 E(X) soit E(T) = 80 0 ( p) E(T) = 80 0 ( p).. a. E(T) ( p) ( p) 0 È Î Í p 0 ( p) 0 b. g(x) = ( x) pour x Œ[0 ; ]. g (x) = ( x) ( ) = ( x) x 0 g (x) + 0 g - Comme g(0) < 0, g() > 0 et g strictemet croissate sur [0 ; ], la courbe de g dot le tracé est «cotiu» traverse exactemet ue fois l axe des abscisses. L équatio g(x) = 0 admet doc ue solutio uique a sur [0 ; ]. Chapitre 9. Loi biomiale. Échatilloage 9

171 E tabulat sur ue calculatrice g(x) pour x variat de 0 à, avec u pas de 0,, o obtiet g(0,) ª 0,0097 g(0,) ª 0,7 et o e déduit 0, < a < 0,. Ue valeur approchée à 0, près est doc 0, ou ecore 0, (et ue valeur approchée à 0,0 près est 0,). c. La méthode du poolage est retable si E(T) 0 c est-à-dire si - - p 0. D après les résultats de la questio b. cela équivaut à p a. Autremet dit, la méthode de Poolage est retable lorsque la proportio de porteurs du parasite das la populatio e dépasse pas % eviro. B.. De même que das la partie A. X suit la loi biomiale de paramètres N et ( p).. T = N + N X - ˆ T = N + N X D où E(T) = N + N E(X) = N + N N - p ˆ È = N - - Î Í p. Comme N est doé et costat E(T) est miimal si et seulemet si + N ( p) est miimal.. Pour p = 0,, o cherche tel que f() = + 0,9 est miimal. Sur ue calculatrice, o peut visualiser la courbe de f : O peut aussi tabuler f() pour etier : Lorsque p = 0,, E(T) est miimale lorsque =. Pour p = 0,0, o cherche tel que g() = + 0,99 est miimal. À l aide d ue calculatrice ou d u tableur, o obtiet que E(T) est miimale lorsque =. Pour p = 0,00, o cherche tel que h() = + 0,999 est miimal. E(T) est miimale lorsque =. 70

172 Le poolage est retable si l o a E(T) N. Pour p = 0, et =, E(T) = N( + 0,9 ) = 0,99 N. O a bie E(T) < N. Pour p = 0,0 et =, E(T) = N( + 0,99 ) ª 0,9 N. O a bie E(T) < N. Pour p = 0,00 et =, E(T) = N( + 0,999 ) ª 0,08 N. O a ecore E(T) < N. TP. Affaire Castaeda cotre Partida. O suppose que les 870 jurés sot tirés au hasard das la populatio. La taille de la populatio est suffisammet grade pour assimiler ces tirages à des tirages avec remise. pour chaque juré, la probabilité qu il soit américai mexicai est p = 0,79. Das ce cotexte, la variable aléatoire X qui doe le ombre de jurés américais mexicais figurat parmi les 870 jurés suit la loi biomiale B (870 ; 0,79).. Sous l hypothèse de tirage au hasard des 870 jurés, le ombre attedu de jurés américais mexicais est doé par E(X) = 870 0,79 ª 88.. σ(x) = 870 0, 79 0, 09 ª,99 Le ombre attedu de jurés américais mexicais est 88, alors que le ombre observé est 9. La différece est égale à 9, soit eviro 9 écart types. Cette différece état, de loi, très supérieure à ou écart types, o est e droit de s étoer du ombre observé de jurés d origie mexicaie.. P(X = 9) = 870 ˆ 9 0,799 0,09 ª, 0 La probabilité que le hasard ait ameé 9 jurés américais mexicais parmi les 870 jurés supposés tirés au hasard est effectivemet voisie de 0.. No, o e peut que douter que la costitutio du jury ait résulté du seul hasard, compte teu de l écart très importat etre le ombre de jurés mexicais attedu et observé et de la probabilité proche de 0 que le hasard ait produit cela. TP. Itervalle de fluctuatio Chapitre 9. Loi biomiale. Échatilloage 7

173 TP. Iquiétude à Wobur. a. U garço de Wobur recesé e 970 appartiet à la populatio des garços des États-Uis, où la populatio de leucémies est p = 0,000. Or das cette populatio, si o prélève u échatillo de 99 idividus (prélèvemet que l o peut cosidérer avec remise compte teu de la taille de la populatio des États-Uis très grade e regard de celle de l échatillo), o réalise u schéma de Beroulli de paramètres = 99 et p = 0,00. Les calculs que l o fera das ce modèle serot à cofroter à la réalité. b. La variable aléatoire X doat le ombre de leucémies déclarées das l échatillo prélevé suit la loi biomiale B ( 99 ; 0,000). c. À l aide d u tableur, o cherche les plus petits etiers a et b tels que P(X a) > 0,0 et P(X b) 0,97. L itervalle de fluctuatio de F = X au seuil de 9 % est alors Èa b ; ; ;, Î Í È Î Í d. La fréquece des leucémies chez les garços de Wobur est e réalité égale à 0,00. Elle appartiet doc pas à l itervalle de fluctuatio de F. O peut cosidérer l écart sigificatif et rejeter l hypothèse selo laquelle le hasard seul aurait coduit à cette fréquece observée de leucémies chez les garços de Wobur. E rejetat cette hypothèse, o assume u risque égal à % de se tromper. L avis doé pourrait être : «Au risque % de se tromper, la fréquece des leucémies à Wobur chez les garços est aormalemet élevée et la cause doit être recherchée».. E procédat de même chez les filles, o obtiet : È 0 L itervalle de fluctuatio de F au seuil de 9 %, est ici : Í ; 0 ; 0, Î La fréquece des leucémies observée chez les filles de Wobur est 0,000. Elle appartiet à l itervalle de fluctuatio de F. L avis doé peut être que l écart etre la fréquece des leucémies chez les filles à Wobur et aux États-Uis est pas sigificatif. Il y a doc pas lieu de cosidérer que la fréquece des leucémies chez les filles de Wobur est «aormale». Pour la totalité des efats, o obtiet : È 0 L itervalle de fluctuatio au seuil de 9 % est cette fois : Í ; 0, ; 0, 0008 Î

174 La fréquece observée sur l esemble des efats, soit 0,000, appartiet pas à cet itervalle. Comme pour les garços seuls, l avis pourra être : «l écart est sigificatif et au risque d erreur % o cosidère que la fréquece des leucémies chez efats de Wobur est aormale». TP7. Mesure de radioactivité. La copie d écra ci-dessous motre le début de la plage doat 00 comptages des coups de bruit de fod pedat 000 cetièmes de secode (soit 0 secodes).. Sur la copie d écra ci-dessous, la moyee des 00 comptages est 0,8. D autres simulatios obteues e appuyat sur la touche F9 doet des moyees proches de 0.. O peut détermier à l aide du tableur le ombre de comptages supérieurs ou égaux à 7. E appuyat sur la touche F9 o obtiet,, 0, 0, 9,,, No, u comptage supérieur ou égal à 7 est pas exceptioel.. Le comptage de bruits de fod pedat 000 cetièmes de secode cosiste à compter combie de fois apparaît u bruit de fod lors des 000 périodes successives et idépedates de cetième de secode. O sait que lors d ue telle période, u bruit de fod se produit avec ue probabilité p = 0,0. O est doc e présece d u schéma de Beroulli de paramètres = 000 et p = 0,0. La variable aléatoire X qui compte le ombre de bruits de fod pedat 000 périodes suit la loi biomiale B ( 000 ; 0,0)... a. Le plus petit N tel que P(X N) > 0,9 est 9. O cosidère doc qu il y a radioactivité à partir d u comptage de 0 coups. b. E reveat aux simulatios, o détermie avec le tableur combie de comptages, sur les 00 réalisés, sot iférieurs ou égaux à 9. E appuyat sur la touche F9, o obtiet successivemet 97 (voir la copie d écra), 9, 98, 9, 9, 98, 9, O vérifie aisi cocrètemet qu eviro 9 % des comptages sot iférieurs ou égaux à 9. c. 9 % eviro des comptages sot iférieurs ou égaux à 9. U comptage de 7 est doc pas «sigificatif». D ailleurs, d après l éocé, o cosidère qu il y a radioactivité à partir de 0 coups. d. D après la questio, P(X > 0) = P(X 0) ª 0,998 = 0,00. Das la modélisatio des comptages de bruit de fod, par la loi biomiale, % eviro des comptages sot supérieurs à 0. Or ces comptages serot cosidérés radioactifs d après le critère reteu. O commet doc ue erreur d applicatio das % des cas eviro. Chapitre 9. Loi biomiale. Échatilloage 7

175 EXERCICES D = ; x = ou x =. Oui No, o peut avoir : x f (x) + 0 f x f (x) + 0 f f admet u maximum e et doc f( ) < f( ). U 0 = U 0 + 0r = = = - - ( + 99) = p pˆ p 8 cos cos p - cos 7p 7pˆ p si - si - si p cos p cosp - 9 (x ) + (y + ) = 0 (x ) + (y + ) = 0 D où le cetre W ( ; ). M( ; ) Œ C=0 0 C - D : x + y = 0 et D : ax y + = 0 ot pour uru- ˆ uru ˆ vecteurs directeurs u et u a. uru uru D ^ D équivaut à u u 0 c est-à-dire + a = 0 D où a =. f() r r u v Le joueur gage avec la probabilité 0, et perd avec la probabilité 0,. Cela sous-eted que le joueur e gage, i e perd rie (gai ul) avec la probabilité 0,. Cette expériece a doc issues. Ce est pas ue épreuve de Beroulli et la loi du gai X doée par : k 0 P(X = k) 0, 0, 0, est pas ue loi de Beroulli.. a. L expériece cosiste à lacer u dé équilibré et à observer si u multiple de sort. Si l o cosidère les issues M «obteir u multiple de» et M so cotraire, il s agit d ue épreuve de Beroulli, dot le modèle de probabilité est : issue M M probabilité b. E effet pm p; ª 0,.. a. O répète fois, de faço idépedate, l épreuve de Beroulli précédete. Il s agit d u schéma de Beroulli de paramètres = et p =. M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M Ces chemis réaliset M 7

176 L évéemet M est représeté par chemis de l arbre. La probabilité de chaque chemi est 8 8 D'où p M ª 0, E coclusio, o obtiet plus facilemet u multiple de e u lacer que deux multiples de e quatre lacers. ˆ. est le ombre de chemis réalisat succès S das l arbre représetat u schéma de épreuves de Beroulli. Il existe chemis comportat u seul succès, codés par : SSSSSS, SSSSSS, SSSSSS, SSSSSS, SSSSSS, SSSSSS. ˆ D'où.. Par propriété, o a : 7 ˆ ˆ ˆ.. Par propriété, o a : 7 ˆ 7 7 ˆ 7- ˆ. 7 ˆ ˆ. Il s agit des plus grads «k parmi». 8. a. b PILE 0 b FACE 0 abscisse b. Le promeeur se retrouve au poit d abscisse lorsque l expériece cosistat à lacer fois la pièce équilibrée, de faço idépedate, réalise l évéemet «obteir PILE». Das l arbre représetat ce schéma de Beroulli, le ombre de chemis réalisat «PILE» est égal à ˆ 0.. a. Par u tableau semblable au précédet, o obtiet les abscisses suivates : 0, 8,,,, 0,,,, 8, 0 qui correspodet das cet ordre à «obteir k PILE» pour k variat de 0 à 0. Les ombres de promeades coduisat à ces poits coïcidet avec les ombres de chemis de l arbre qui réaliset «obteir k PILE». Ce sot doc successivemet et das l ordre des 0ˆ 0ˆ 0ˆ 0 abscisses : 0 º ˆ,,,, 0 dot les valeurs sot doées das le tableau ci-dessous. 9. S ˆ 0 ˆ S ˆ 0 ˆ ˆ S ˆ 0 ˆ ˆ ˆ 8 ˆ 0 ˆ ˆ S ˆ ˆ. S ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ D après la propriété P, o a : ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ E substituat ˆ ˆ ˆ ˆ 0 à 0 et à, tous égaux à, o obtiet : È ˆ S ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ÎÍ S S.. a. S k Â 0 ˆ k ˆ S ˆ k k ˆ Â 0 S ˆ 0 ˆ ˆ Â k k ˆ D'après P, k ˆ k - ˆ k pour tout k, k. Chapitre 9. Loi biomiale. Échatilloage 7

177 d où S ˆ È ˆ k - ˆ Â Í k k ÎÍ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ S Â k - 0 k Â k - ˆ k - ˆ Â ˆ k k ˆ S 0 0 k ˆ Â k - ˆ ˆ Â or k0 k ˆ Â k0 k ˆ ˆ ˆ et Â Â 0 k k k. k0 D où S + = S. 0. U forage coduit à ue appe de pétrole (succès) avec la probabilité 0, ou à u échec avec la probabilité 0,9. C est ue épreuve de Beroulli.. a. Si l o suppose les 9 forages idépedats les us des autres, il s agit d u schéma de Beroulli de paramètre = 9 et p = 0,. b. P(obteir au mois u succès) = P( obteir aucu succès). Das l arbre représetat ce schéma de Beroulli, il existe qu u chemi réalisat «obteir aucu succès». O peut le coder SSSSSSSSS et sa probabilité est P(«obteir 0 succès») = (0,9) 9 D où P(«obteir au mois u succès») = 0,9 9 ª 0,.. a. X qui compte les succès das ce schéma de Beroulli suit la loi biomiale B (9 ; 0,). 9ˆ Pour 0 k 9, PX k 0, k 09, 9 -k. k b. Le calcul de P(X = k) peut être obteu sas ou avec la formule LOI.BINOMIALE( ). c. E(X) = p = 9 0, = 0,9 E moyee, sur u grad ombre de répétitios de 9 forages, o peut s attedre à avoir près d u «forage gagat». L observatio de 000 résistaces peut être cosidérée comme l observatio d ue résistace, répétée 000 fois de faço idépedate, ayat pour issues le succès S «la résistace est défectueuse» et l échec S «la résistace est pas défectueuse». Remarque : le succès est l issue à laquelle o s itéresse ; il est pas écessairemet positif ou favorable! Das ce schéma de Beroulli de paramètres = 000 et p = 0, la variable aléatoire X, qui compte le ombre de succès, suit la loi biomiale : B( 000 ; 0 ).. a. PX ˆ ª 0, 089 b. P(X ) = P(X = 0) + P(X = ) + P(X = ) ª 0,0 c. P(X ) = P(X < ) = P(X = 0) P(X = ) ª 0,999 Remarque : les résultats ot été obteus sur u tableau. Voir ci-dessous.. E(X) = p = = Das u lot de 000 résistaces, o peut s attedre e moyee à résistaces défectueuses. Le joueur A peut jouer etre et matchs selo la qualificatio ou o de so équipe lors des e, e, 8 e, quart, demi. O cosidère que les matchs sot joués idépedammet les us des autres. U arbre (au mois metal ou simplifié) peut aider à illustrer la situatio, e codat par V ue victoire et D ue défaite : Soit X le ombre de matchs joués. PX PD PX PVD 9 PX PVVD ˆ 7 ˆ 8 P X P VVVD 8 PX PVVVVD ˆ PX PVVVVV ˆ X e suit pas la loi biomiale. Mise e garde : Ce est pas parce qu u match à deux issues : Victoire et Défaite, et qu o répète ce match u certai ombre de fois qu o doit «focer» sur la loi biomiale. 7

178 . L expériece cosiste à iterroger au hasard fois u élève de faço idépedate. Pour chaque tirage au hasard, il y a deux issues : «fille» et «garço» de probabilités respectives et. Il s agit d u schéma de Beroulli et si o pred pour succès l issue «fille», X suit la loi biomiale B ; ˆ.. Ici, = 0. PX 0ˆ ˆ ˆ ª 0, 090 PX -PX -PX 0-PX PX PX - k 0-k Â k0 0ˆ k ˆ ˆ ª O peut aussi utiliser sur le tableur : Pour P(X = ) = loi.biomiale ( ; 0 ; / ; 0) Pour P(X ) = P(X ) = loi.biomiale ( ; 0 ; / ; ) Voir la copie d écra ci-dessous : 0, 980. Ici est quelcoque, et o recherche à partir de quelle valeur 0 de o a P(X = 0) < 0,00. Or PX 0 P G, G, G, º, G æææææ PG ˆ logueur et ˆ Comme la suite ( ) est croissate, comme = 79 et 7 = 87, la coditio > 000 équivaut à 7. Coclusio : il faut cosidérer l iterrogatio d u élève sur 7 jours cosécutifs, au mois, pour que la probabilité de iterroger aucue fille soit iférieure à 0,00. Le lacer, 0 fois de suite, d ue pièce de moaie bie équilibrée est u schéma de Beroulli où FACE est le succès, de probabilité. Si X est la variable aléatoire qui doe le ombre de FACE obteus, X suit la loi biomiale B 0 ; ˆ. ˆ PX ˆ 0 ˆ Le gai du joueur, preat e compte la mise, défiit ue variable aléatoire Y dot la loi est : k P(Y = k) ˆ. EY EY ª-, Ce jeu est pas équitable car u joueur perd e moyee plus de euros pas partie. O e jouera à ce jeu que si o aime le goût du risque, car si o peut gager 000 à ce jeu (avec ue très faible probabilité), il fait compredre, qu e moyee sur u grad ombre de parties o serait perdat à ce jeu.. Avec ue mise de, la loi de probabilité du gai algébrique Z du joueur serait : k 000 P(Z = k) ˆ ˆ EZ ª 0, 887 E jouat u grad ombre de fois à ce jeu, u joueur gage e moyee près de 89 cetimes d euro par partie! L orgaisateur e devrait pas tarder à être e difficulté et il e maitiedra ce jeu que s il e revoit les règles. Si m est la mise à ce jeu, la loi de probabilité du gai algébrique T est doée par : k m 000 P(T = k) ˆ ET - m m m - m ET 0 m 0 m ª 89, E fixat la mise à,89 euros, l espérace de gai du joueur est ulle et le jeu est équitable. Les euf parties où A et B s affrotet, représetet u schéma de Beroulli de paramètres = 9 et p = 0,, si l o pred pour succès «B gage la partie». Remarque : X doat le ombre de parties gagées par B, le choix du succès «B gage» plutôt que «A gage» est judicieux.. X suit la loi biomiale B (9 ; 0,). Chapitre 9. Loi biomiale. Échatilloage 77

179 . P(B gage le touroi) = P(X = ) + P(X = ) + P(X = 7) 9 9ˆ + P(X = 8) + P(X = 9) = 0 k 0 9-k Â 0 7 k,, ª, k. Sur u tableur, o obtiet les diagrammes e bâtos de la loi biomiale B (0 ; p) pour p = 0, ; p = 0, ; p = 0, ; p = 0,7 ; p = 0,9.. Si X suit la loi B (0 ; p) : o a V(X) = 0p( p) V(X) = 0p + 0p La foctio f : p 0p + 0p a pour variatios E programmat cet algorithme (ou e utilisat u tableur), o obtiet =. Programme TI 8 Plus p 0 f 0 0 Programme Casio Graph + La variace V(X) est maximale lorsque p = et dimiue lorsque p s éloige de. L écart type de X est G(X) = Vx ( ) or la foctio f varie de la même faço que la foctio positive f. p 0 f 0. O peut vérifier cela sur les représetatios graphiques de la questio : la série est d autat plus dispersée que p est voisi de. De plus, o observe que la courbe représetat la loi de probabilité B (0 ; p) est d autat plus cetrée et symétrique que p est proche de. 7 Soit X la variable qui compte le ombre de obteus sur lacers. O cherche à avoir P(X ) > 0,9 où X suit la loi biomiale de paramètres et. Comme P(X ) = P(X ), o peut écrire l algorithme suivat : VARIABLES : ombre INITIALISATION : pred la valeur TRAITEMENT : Tat que P(X ) 0,9 faire/où X suit la loi biomiale pred la valeur + Fitatque SORTIES : Afficher 0 Programme Xcasfr Avec Scilab 8. O demade la valeur de p puis o crée ue variable x qui pred la valeur 0 avec la probabilité p et la valeur avec la probabilité p : VARIABLES : p, x ombres ENTRÉE : saisir p TRAITEMENT : x pred la valeur Et(alea()+p) // Et désige la partie etière et alea() u tirage d u ombre pseudo-aléatoire etre 0 et SORTIES : Afficher x. a. Il faut répéter l expériece fois après avoir demadé la valeur de, et créer u compteur X pour compter le ombre de succès. Pour compter le ombre de succès, il suffit d ajouter les valeurs de x obteues lors de la boucle puisque x vaut pour u succès et 0 pour u échec. 78

180 VARIABLES :, p, x, X, k ombres ENTRÉE : Saisir p Saisir INITIALISATION : X pred la valeur 0 TRAITEMENT : Pour k de à x pred la valeur Et(alea()+p) X pred la valeur X + x FiPour SORTIES : Afficher X b. Voir fichier sur le site Il faut doc répéter le schéma de Beroulli N fois et obteir la somme des valeurs prises par X pour obteir la moyee m e divisat cette somme par N. VARIABLES : N,, p, x, X, k ombres ENTRÉES : Saisir p Saisir Saisir N INITIALISATION : M pred la valeur 0 TRAITEMENT : Pour j de à N X pred la valeur 0 Pour k de à m = M/N SORTIES : Afficher m x pred la valeur Et(alea()+p) X pred la valeur X + x FiPour M pred la valeur M + X FiPour Quad N deviet grad, la moyee affichée est très proche de l espérace de la loi B ( ; p) soit p. Programmes : voir sur le site 9. La recotre des feux tricolores o sychroisés, doc foctioat idépedammet les us des autres, costitue u schéma de Beroulli de paramètres = et p =, lorsqu o pred pour succès «le feu est vert». X suit doc la loi B ; ˆ.. a. Le temps mis par l élève pour se redre au lycée d sas être raleti par les feux est t 0, h soit v miutes. S il recotre X feux verts et doc X feux orages ou rouges, l élève mettra ( X), = 9,X miutes de plus. O a doc T = + (9,X) T =,X b. E(T) =,E(X) Or, X suivat la loi biomiale B ; ˆ, o a EX. D où E(T) =. E moyee, sur ce parcours, l élève mettra miutes pour se redre au lycée.. a. E partat 7 miutes avat le début des cours, l élève peut espérer arriver miutes e avace. Autremet dit, sur u grad ombre de jours de lycée, l élève aura e moyee miutes d avace. b. L élève arrive e retard lorsque T > 7. Or P(T > 7) = P(,X > 7) = P(,X ) = P(X ) La calculatrice ou le tableur doe P(X ) ª 0, et doc P(T > 7) ª 0,. 0 L étude de l existece ou o d u cotrôle lors de 0 trajets peut se modéliser par u schéma de Beroulli où le succès «u cotrôle a lieu» a pour probabilité p. Le ombre de cotrôles, subis par Théo lors de ses 0 trajets défiit ue variable aléatoire X qui suit la loi biomiale B (0 ; p).. p = 0,0 a. PX PX 0PX ) PX 0ˆ Â 00 0, k 09, 0-k k k ª 0, 77 b. Sur les 0 trajets, si X désige le ombre de cotrôles, 0 X désige le ombre de trajets sas cotrôle. Comme Théo fraude à chaque trajet, le gai algébrique qu il réalise est doé par Z = 0(0 X) 00X soit Z = 00 0X. E(Z) = 00 0E(X) or E(X) = p = 0 0,0 = d où E(Z) = 00 0 = 80.. a. E fraudat systématiquemet sur 0 trajets, Théo réalise u gai moye de 80 euros. La fraude systématique est doc favorable à Théo. b. Si p est la probabilité que Théo soit cotrôlé lors d u trajet, X suit la loi biomiale B (0 ; p) et doc E(X) = 0p. Comme Z = 00 0X o e déduit E(Z) = 00 0E(X). E(Z) = 00 00p La fraude systématique est défavorable pour Théo si o a : E(Z) < 0. C est-à-dire 00( p) < 0 soit ecore p >. Chapitre 9. Loi biomiale. Échatilloage 79

181 E coclusio, si la probabilité d être cotrôlé lors d u trajet est supérieure à, alors la fraude systématique est défavorable au tricheur. È. L itervalle cherché est a b ; Î Í avec = 00, a et b plus petits etiers tels que P(X a) > 0,0 et P(X b) 0,97. Das la table fourie o recueille a = et b = 8. D où l itervalle de fluctuatio au seuil de 9 % de la fréquece des persoes fidèles à «Clovis» : I = [0, ; 0,8].. La fréquece observée sur cet échatillo appartiet pas à I. Cela peut iciter le directeur de marketig à rejeter l hypothèse selo laquelle 7 % des cliets sot satisfaits de la marque, avec u risque de se tromper de %. Autres programmes : voir fichiers sur le site www. didiermathx.com Preos par exemple =. Sous l hypothèse d ue proportio de gauchers égale à %, le ombre X de gauchers figurat das u échatillo de taille prélevé au hasard das la populatio modiale suit la loi biomiale B ( ; 0,). L itervalle de fluctuatio au seuil de 9 % de la fréquece F = X sur u échatillo de taille est alors È a b ; Î Í avec a et b, les plus petits etiers tels que P(X a) > 0,0 et P(X b) 0,97. Voir corrigé das le mauel élèves page 9. VARIABLES :, p, a, b, k, ombres ENTRÉE : Saisir ; Saisir p INITIALISATION : k pred la valeur TRAITEMENT et SORTIES : Tatque P(X k) 0.0 faire k pred la valeur k + Fitatque a pred a valeur k/ Afficher («a =»), a Tatque P(X k) < 0,97 faire k pred la valeur k + Fitatque b pred la valeur k/ Afficher («b =»), b Programme Casio Graph + Das cet extrait de tableau, o peut relever a = et b = 8, d où l itervalle de fluctuatio à 9 % de la fréquece de «gaucher» sur u échatillo de taille : I È 8 Î Í ; 0, 08 ; 0, 8 Remarque : Cette démarche est adaptée au cas =. Il s agit bie sûr de l adapter avec la valeur de qui correspod à l effectif réel de la classe.. Tout déped, bie sûr, du ombre de gauchers obteu das la classe. Étudios deux exemples : la classe compte 0 gaucher alors la fréquece de gauchers das la classe est 0 0 et comme 0 œi, o peut rejeter l hypothèse que la classe est représetative de la proportio de gauchers das le mode, avec u risque de se tromper de %. la classe compte gauchers alors la fréquece de gauchers das la classe est 0, 7, qui appartiet à I. Il y a pas lieu, das ce cas, de rejeter l hypothèse que la classe est représetative de la proportio de gauchers das le mode. Ce jour de 00, la proportio de patiets ifectés sur les persoes hospitalisées est égale à ,. 80

182 Ue étude sur 9 00 patiets peut se modéliser par u schéma de Beroulli de paramètres = 9 00 et p = 0,0, e preat comme «succès» l issue «le patiet est atteit d ue IN». Le ombre X de patiets atteits sur u tel échatillo suit la loi biomiale B(9 00 ; 0,0). La recherche des plus petits etiers a et b tels que P(X a) > 0,0 et P(X b) 0,97 permet, sur u tableau, d obteir l itervalle de fluctuatio à 9 % de la X fréquece F de patiets atteits sur u 9 00 échatillo de 9 00 patiets hospitalisés. Sur ce tableau partiel o lit a = 9 et b = 00. D où l itervalle de fluctuatio de F, à 9 % : 9 00 I 9 È Î Í 9 00 ; 9 00, ;, Or, sur u échatillo des 9 00 patiets hospitalisés des Pays de Loire, la fréquece de ceux atteits par ue 90 maladie IN est f 0, La fréquece observée apparteat à I 9, o e peut pas cosidérer, au seuil de 9 %, que la différece etre f = 0,079 et p = 0,0 est sigificative. Remarque : Si l o s était fixé u seuil de 90 % (e assumat doc 0 % de risque d erreur), o aurait obteu a = 90 et b = 00. La coclusio aurait été idetique. O suppose que l o dispose d ue pièce bie équilibrée.. C est à vous de le dire!. P(X 0) = P(X < 0) = P(X 9) La formule = loi.biomiale (9 ; 000 ; 0, ; ) doe, sur u tableur, P(X 9) = 0,9898 d où P(X 0) = 0,00. Étiez-vous das le vrai?. a. E(X) = p = 000 0, = 00 GX p - p 0 ª, 8 b. [m s, m + s] = [8, ;,] Ce sera u itervalle de fluctuatio de X au seuil de 9 % si o a P(9 X ) 0,9. Or P(9 X ) = P(X ) P(X 8). La répose est doc affirmative. 7 L itervalle de fluctuatio d ue fréquece, au seuil de 00 % serait l itervalle [0 ; ]. Avec u risque 0 % de se tromper, o affirmerait alors que la fréquece appartiet à [0 ; ]! Cette évidece a bie sûr aucu itérêt. 8 Notos I 9 et I 99 des itervalles de fluctuatio d ue fréquece, aux seuils respectifs de 9 % et 99 %. Par défiitio de l itervalle de fluctuatio à u seuil fixé, o peut affirmer que lorsqu o prélève u échatillo de taille das ue populatio où la proportio d u caractère est p, la fréquece de ce caractère sur cet échatillo appartiet à I 9 avec ue probabilité supérieure ou égale à 0,9 et à I 99 avec ue probabilité supérieure ou égale à 0,99. Cosidéros u échatillo de taille de cette populatio et otos f la fréquece du caractère fourie par cet échatillo. Comme I 9 I 99, trois cas peuvet se préseter : er cas : fœi 9 et doc fœi 99. L iformatio fœi 9 paraît plus itéressate : même e assumat u risque d erreur de %, o e peut teir l écart etre f et p pour sigificatif et doc o e peut pas rejeter l hypothèse selo laquelle l échatillo est représetatif de la populatio relativemet au caractère étudié. e cas : fœi 9 mais fœi 99. L iformatio fœi 9 paraît plus itéressate : au risque %, o peut cosidérer l écart etre f et p sigificatif et rejeter l hypothèse Dire qu au risque %, o e peut pas rejeter l hypothèse sas pouvoir affirmer qu elle est valide, présete mois d itérêt. e cas : fœi 9 et fœi 99. Il vaut mieux teir l écart sigificatif et rejeter l hypothèse au risque % de se tromper qu au risque % de se tromper. L iformatio fœi 99 est doc préférable. 9 Chaque aée, pedat 00 as, «vous avez ue chace sur cet de tomber sur la balle», c est-à-dire ici ue probabilité de que surviee ue crue das 00 Chapitre 9. Loi biomiale. Échatilloage 8

183 l aée. Le modèle suggéré est u schéma de Beroulli, avec = 00 et p =, où le succès est «il surviet ue 00 crue». Le ombre d aées où surviet ue crue das le siècle défiit ue variable aléatoire X qui suit la loi ˆ biomiale B 00 ;. 00. a. PX 0 00 ˆ 00 ˆ 99 ˆ , ª 0, ˆ ˆ 00 ˆ PX 00 0, ª 0, 70 PX 0, , ª 0, 7 PX -PX ª 0, b. EX p E moyee sur plusieurs siècles, o peut s attedre à avoir crue par siècle à Paris. Le modèle paraît pertiet puisqu il s agit d ue Crue ceteale! c. Pour dédramatiser, o pourrait dire : qu o a autat de chaces d avoir ue crue ceteale (exactemet) das le siècle, que e pas e avoir (probabilité 0,7 pour chaque évéemet). qu o a eviro ue chace sur quatre, seulemet, d e coaître plus d ue das le siècle. Pour aller das le ses alarmiste, o pourrait dire : qu o a près de deux chaces sur trois de coaître au mois ue crue das le siècle (P(X > ) ª 0,70 + 0, = 0,) ; qu o a eviro ue chace sur trois seulemet de e pas coaître de crue das le siècle.. a. Le modèle, qui découle des propos du coloel, est tel que la surveue d ue crue pedat ue aée e déped pas de la situatio de l aée précédete et iflue pas sur l aée suivate. La probabilité de coaître ue crue après 90 aées sas crue est doc égale à 00. La probabilité de coaître ue crue (il faut compredre «au mois ue crue») durat les 0 derières aées du siècle est doée par la loi biomiale B ˆ 00 ;. 00 Si Y est le ombre de crues surveat durat ces 0 aées, PY -PY ˆ 0 ˆ 00 9 ˆ 00-0, 999 ª 0, 08. b. Pas du tout, das ce modèle, il y a pas d effet de «compesatio» qui augmeterait la probabilité de surveue d ue crue e foctio du temps écoulé sas crue. 99 Travail persoel Pour les exercices 0 à : voir corrigés e fi de mauel. APPROFONDISSEMENT 7 Désigos par X, respectivemet X, la variable aléatoire doat le ombre de tirs au but réussis par u joueur lors de la re série de buts, respectivemet lors de la e série de buts, à l etraîemet. X et X suivet par hypothèse la loi de probabilité suivate : k P k 0, 0, 0,. a. P(X = 0) = P(X = et X = ) L évéemet X = 0 peut se représeter par le chemi (arbre très simplifié) suivat : 0, 0, X X S agissat d ue même expériece («série de tirs au but») répétée deux fois, o a : P(X = et X = ) = 0, 0, = 0,0 E coclusio, P(X = 0) = 0,0. b. X peut predre les valeurs :, 7, 8, 9 et 0. PX PX etx 0, 09 PX 7 PX etx PX etx 0, 0, 0, 0, 0, PX 8 PX et X PX et X PX et X 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 00, 07, PX 9 PX etx PX etx 0, 0, 0, 0, 0, PX 0 PX etx 0, 0, 00, D où le tableau doat la loi de X : k P(X = k) 0,09 0, 0,7 0, 0,0 0 O vérifie que Â PX k. 0 k EX Â kpx k k 0,, 9, 8, 0, 78, Remarque : o a X = X + X avec E(X ) = E(X ) =,9. O costate que E(X + X ) = E(X ) + E(X ). Mais cette propriété est pas coue e re S.. P(X 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 0) = 0,7 + 0, + 0,0 = 0, 8

184 . La répétitio, 0 fois, d ue séace d etraîemet où le succès «X 8», a pour probabilité 0, est u schéma de Beroulli de paramètres = 0 et p = 0,. La variable aléatoire Y qui compte le ombre de succès obteus par u joueur au cours des 0 etraîemets suit doc la loi B (0 ; 0,). a. PY ˆ 0, , , 90 ª 8, 0- ª 0 à0- près b. PY ˆ 0 0, 09, ª 0, 0 c. PY -PY 0-0, 90 ª 0, ª à0- près. Soit le ombre d etraîemets et Y le ombre de succès obteus. Y suit, de même, la loi B ( ; 0,). PY -PY 0 ˆ ,, -0,9 O aura 0,9 > 0,99 lorsque 0,9 < 0,0 E tabulat la suite (0,9 ) sur ue calculatrice, o obtiet. Il faut doc avoir au mois etraîemets pour que la probabilité que le joueur ait au mois u succès (au mois 8 tirs réussis sur les 0) soit supérieure à 0, S Â k 0. a. A I k R B C D E J T K S L ˆ est le ombre de chemis réalisat u seul choix : directio «Sud». Poit associé : B. ˆ est le ombre de chemis réalisat deux choix de directio ; dot u seul «Sud». Poit associé : C = R. M N ˆ De même pour avec choix de directio dot u seul «Sud». Poit D. ˆ De même pour : poit E = S. b. U chemi coduisat de A à L passe obligatoiremet soit par B, soit par C, soit par D, soit par E. Mais à partir de B, C, D ou E il existe qu ue possibilité de prologer le chemi jusqu à L. Aisi, le ombre de chemis coduisat de A à L est égal à la somme des ombres de chemis coduisat de A à B, de A à C, de A à D et de A à E. Ce ombre de chemis de A à L est doc égal à ˆ ˆ ˆ ˆ c est-à-dire à S. c. S est le ombre de chemis coduisat de A à L, c est-à-dire réalisat choix de directio, dot «Sud» exactemet. ˆ D où S =.. a. O peut cojecturer : ˆ S Preuve : d après la propriété P, o a : ˆ ˆ ˆ ˆ - ˆ - ˆ - ˆ - ˆ - ˆ M M M ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ E ajoutat membre à membre puis e simplifiat, o obtiet ˆ ˆ - ˆ º ˆ ˆ ˆ Â k k ˆ et doc S. b. S Â k k Chapitre 9. Loi biomiale. Échatilloage 8

185 9. Lorsqu o répète fois le lacer du dé pour s itéresser à la sortie de PILE, o réalise u schéma de Beroulli. La variable aléatoire qui idique le ombre de PILE ˆ obteus suit alors la loi biomiale B ;. Aisi : X suit la loi B 0 ; ˆ ; Y et Z suivet la même loi : B ; ˆ.. PX ˆ 0 ˆ ª 0 0 0,, 0, 0 0,. PY ˆ ˆ ª 0 0,, 0, 0, PZ ˆ ˆ ª 0 0,, 0, 0, L expériece cosistat à répéter 0 lacers peut être cosidérée comme celle cosistat à répéter fois ciq lacers du dé. L évéemet (Y = et Z = ) se représete alors par ue brache d arbre de la forme : Y Z dot la probabilité est PY etz PY PZ ˆ ˆ 0, 0, ˆ 0, 0 ˆ ˆ car.. a. PE PY etz ˆ 00, b. PE 0 PY 0 etz ˆ 00 0, PE PY et Z ˆ 0, 0 PE PY etz ˆ 00, PE PY etz ˆ 0, 0 ˆ PE PY etz 0 0, 0. L évéemet X = est la réuio des évéemets icompatibles : E 0, E, E, E, E et E. D où PX PE k Â k0 Â k0 ˆ 0 0 k,. Mais d après la questio : 0ˆ PX 0 0,. ˆ 0 O a doc : Â 0 0, 0 ˆ k k 0, 0 0 ˆ c'est-à-dire 0, k ˆ 0 0 Â 0, k0 ˆ Â 0ˆ d'où k. k0. Das l éocé, o remplace 0 par et par. Questio : X, Y et Z suivet respectivemet les lois B ( ; 0,), B ( ; 0,) et B ( ; 0,). Questio : PX ˆ 0, 0, ˆ 0, Questio : Soit E k «Y = k et Z = k» avec 0 k. P(E k ) = P(Y = k) P(Z = k) ˆ PE k ˆ k 0, - k 0, ˆ PE k k 0, d'après la propriété P. Questio : (X = ) est la réuio disjoite des évéemets E 0, E,, E. Â D où PX PE k0 - ˆ Â 0,. k0 k Mais d après la questio : PX Il e résulte : ˆ 0,. Â k0 k ˆ k ˆ. 8

186 0 I. =. a. À vous de le dire! b. PT PSSSS 0 8 ˆ ª, e otat S l issue «le six sort» et S so cotraire. PL -PT ˆ ª, e remarquat que T et L sot des évéemets cotraires.. a. Le ombre de lacers peut être,, ou. Au bout de lacers, il y a obligatoiremet u vaiqueur. X e preat pas toutes les valeurs comprises etre 0 et, X e peut pas suivre ue loi biomiale B ( ; p). PX PS PX PSS PX PSS S ˆ PX PSSSS ou SSSS ˆ ˆ k P(X = k) 0 7 b. EX Â kpx k ª k, E moyee, il faut, lacers pour avoir u vaiqueur. La répétitio, 0 fois, d ue partie comportat deux issues : T «la tortue gage» et L «le lièvre gage» : c est u schéma de Beroulli où T peut être choisi comme succès, de probabilité P ˆ ª 0, 8. Le ombre X de victoires de la tortue suit doc la loi B (0 ; p). 0ˆ PX P P 0 - ª, PX -PX -PX 0-PX 0ˆ - P0 0ˆ 0 -P - P -P ª 0, 98 II.. PT PSSSSSSº S ˆ. logueur æææææ 0 9 Le jeu est favorable à la tortue si o a ˆ. E tabulat ˆ sur ue calculatrice, o trouve.. le ombre de parties X remportées par la tortue das ue série de 0 parties suit la loi biomiale B(0 ; p ) où p = ˆ. EX 0 ˆ EX 09, 0 09 ˆ, ˆ 009, Ue calculatrice ou u tableur doe.. a. Le tirage de jetos avec remise, avec, pour chaque jeto obteu, deux issues : «oir» et «pas oir» costitue u schéma de Beroulli dot le succès «oir» a ue probabilité égale à. La variable aléatoire N qui compte le ombre de succès ˆ suit alors la loi B ;. Mais si les issues reteues pour chaque boule tirée sot «rouge» et «pas rouge», la variable aléatoire R qui ˆ compte le ombre de succès «rouge» suit la loi B ;. b. EN eter. VN etvr. 9. a. E choisissat cette fois comme succès «oir ou ˆ rouge», S suit la loi B ;. ES etvs b. S = N + R c. EN R ES Ô O a bie EN ER Ô EN R EN ER Ô VN R VS Ô L'égalité 'est pas vérifiée. VN VR Ô 9 Ô Remarque : pour variables aléatoires X et Y défiies sur u même uivers W, l égalité E(X + Y) = E(X) + E(Y) est toujours vrai, mais cette propriété est pas coue e re S. Par cotre, l égalité V(X + Y) = V(X) + V(Y) est vraie que si X et Y sot des variables aléatoires idépedates ; et ce est pas le cas ici. Cette otio est pas o plus coue e re S. Chapitre 9. Loi biomiale. Échatilloage 8

187 . a. L élève répod au hasard à chacue des 0 questios, de faço idépedate. Pour chaque questio l issue «boe répose» a pour probabilité. Cette expériece costitue u schéma de Beroulli et la variable aléatoire X qui doe le ombre de succès «boe répose» suit la loi B 0 ; ˆ. b. et c. O lit a = et b =, d où l itervalle I È Î Í ; 0, ; 0, a. La plus petite valeur de k telle que P(X k) 0,9 est k = 0. d. La probabilité, pour u élève répodat au hasard, d avoir mois de réposes exactes est supérieure à 0,9. Cela sigifie que le hasard seul e permet à l élève d obteir au mois réposes exactes qu avec ue probabilité iférieure à 0,0. O peut alors rejeter l hypothèse selo laquelle l élève répod au hasard à partir de réposes exactes, avec u risque d erreur d eviro %.. a.. a. Sous cette hypothèse, le ombre X de défauts «gais poctuels» suit la loi biomiale B (0 ; 0,). b. U itervalle de fluctuatio à 9 % de la fréquece du défaut sur u échatillo de taille 0 est de la forme È a b ; Î Í0 0 avec a et b, plus petits etiers tels que : P(X a) > 0,0 et P(X b) 0,97. b. O peut observer que la fréquece des rejets fluctue e restat proche de %.. a. P X ˆ X ŒI P ˆ,, 0 P X PX ) -PX PX ) - PX ª 0, 98-0, 08 ª 0, 97 b. Il y aura rejet de l hypothèse «la proportio de 0 % est ecore valide» si la fréquece des défauts costatée sur u échatillo prélevé, appartiet pas à I. Cela se produit avec la probabilité 0,97 = 0,09. Le taux de risque d u rejet à tort est doc d eviro, %. Ceci est e accord avec la théorie qui metioe que la probabilité que la fréquece soit das la zoe de rejet est %.. 0 N 00. Le choix au hasard de chacu des 00 lycées etre salle A et salle B, idépedammet les us des autres, est u schéma de Beroulli dot le succès peut être «Salle A» de probabilité 0,. La variable aléatoire X idiquat le ombre de lycées ayat choisi la salle A suit la loi B (00 ; 0,). 8

188 . X élèves faisat le choix de la salle A, (00 X) élèves fot le choix de la salle B. Il faut alors que les coditios X N et 00 X N se réaliset avec ue probabilité supérieure ou égale à 0,9. Cela s écrit : P(X N et 00 X N) 0,9 ou ecore : P(00 N X N) 0,9.. P(00 N X N) = P( N) P(X < 00 N) = P(X N) P(X 99 N) O peut lire sur ce tableau que la valeur miimale de N est 8.. a. O suppose que le graphologue se prooce 0 fois au hasard, de faço idépedate, sur les 0 exemples proposés. Si X doe le ombre d idetificatios réussies, X suit la loi B (0 ; 0,). Lisa accepte l affirmatio du graphologue si o a X 8. P(X 8) = P(X < 8) = P(X 7) Sur ue calculatrice ou u tableur, o obtiet P(X 8) ª 0,000. b. O suppose que le graphologue dit vrai et qu il se prooce 0 fois, de faço idépedate, sur les 0 exemples proposés, avec ue probabilité de réussite égale à 0,9 pour chaque aalyse. Le ombre Y d idetificatios réussies suit la loi B (0 ; 0,9). Lisa refuse l affirmatio du graphologue si o a Y 7. or P(Y 7) ª 0,. Le test de Lisa peut l ameer à commettre ue erreur de jugemet avec ue probabilité égale à 0, , = 0,, soit das presque u tiers des cas!. O fait à ouveau l hypothèse que le graphologue dit vrai. Das ce modèle (voir questio.b.) le ombre Y d idetificatio réussies suit la loi B (0 ; 0,9). Cherchos le plus grad etier k tel que P(Y k) < 0,0 pour détermier ue zoe de rejet au risque %. Le tableur doe : où o lit k =. E rejetat l hypothèse (réussite du graphologue das 90 % des cas) dès que le ombre d idetificatios réussies est iférieur ou égal à, Lisa aurait u risque de se tromper iférieur à %. Elle ferait aisi preuve de plus de tolérace et surtout predrait cette fois e compte la fluctuatio aturelle due au hasard. Comparos les probabilités : P d obteir au mois u e lacers d u dé ; P d obteir au mois deux e lacers de deux dés. P -Pobteir aucu e lacers d'u dé -PSSSSoù S est l'issue "obteir le " - ˆ P ª 0, 8 P = P(obteir aucu «double» e lacers de deux dés) Notos T l issue «obteir u double e laçat deux dés». O a PT PSS ˆ. P - P TTº T - ˆ æææ fois P ª 0,9 O a e effet P > 0, et P < 0,. Alors quelle erreur commet M. de Méré? Si X est le ombre de obteus e lacers d u dé, X suit la loi B ;. Si Y est le ombre de «double» obteus e lacers de deux dés, Y suit la loi B ; ˆ. O a alors E(X) = ª 0,7 et E(Y) = ª 0,7. Das chaque expériece, o obtiet respectivemet e moyee sur u grad ombre de parties, 0,7 fois le e lacers d u dé et 0,7 fois le «double» e lacers. Les espéraces sot effectivemet égales, mais pas les probabilités des évéemets cosidérés. C est cette cofusio qui a iduit M. de Méré e erreur. 7 Esemble étudié Taille échatillo Proportio de gauchers Populatio modiale % Meilleurs joueurs de Teis de Table Fleurettistes et épéistes Vaiqueurs e fleuret ou épée 0 etre % et % 000,7 % 9, % Chapitre 9. Loi biomiale. Échatilloage 87

189 Preos pour hypothèse que la proportio de gauchers est %. Détermios u itervalle de fluctuatio au seuil de 9 % (seuil le plus courat) de la fréquece de «gaucher» das u échatillo puis au hasard das la populatio, ayat pour taille 0 puis 000 puis 9 et voyos si les fréqueces observées sur les trois échatillos doés appartieet ou o à l itervalle de fluctuatio correspodat à la taille.. Pour u échatillo de taille 0, la fréquece de «gaucher» est doée par F = X où X est le ombre 0 de gauchers. X suit la loi biomiale B (0 ; 0,). U tableur doe : Les plus petits etiers a et b tels que P(X a) 0,0 et P(X b) > 0,97 sot a = et b =. D où l itervalle de fluctuatio cherché : I È Î Í ; 00, ; 0,. 0 0 Or sur l échatillo particulier des 0 meilleurs joueurs de teis de table, la fréquece de gauchers est dite comprise etre % et %. Cette fréquece appartiet pas à I et o peut doc rejeter, au risque %, l hypothèse que la proportio de gauchers das le mode s applique à cet échatillo. Les écarts etre % et % ou plus sot doc ici sigificatifs.. Pour u échatillo de taille 000, sous la même hypothèse et doc das le même modèle de probabilité o obtiet de même : O a cette fois a = 0 et b = d où l itervalle de fluctuatio cherché J È Î Í 0 ; 0, ; 0, Or, la fréquece observée sur l échatillo des 000 fleurettistes et épéistes est,7 %. La différece est cette fois ecore sigificative et le rejet de l hypothèse au risque % e découle.. Pour u échatillo de taille 9, o obtiet cette fois O obtiet a = 0 et b = d où l itervalle K È 0 Î Í ; 0; 0,. 9 9 Ue ouvelle fois, la fréquece observée de 0, y appartiet pas et la décisio sera idetique aux précédetes. 8. X peut predre les valeurs,, et. PX PAA ˆ où A est l issue «l as sort» lors d u lacer du dé, que l o répète fois. P(X = ) = P(obteir u as lors des premiers lacers et obteir u as). Or «obteir u as exactemet lors de lacers du dé» a pour probabilité ˆ ˆ ˆ selo la loi B ( ; ). D où PX ˆ ˆ ˆ. P(X = ) = P(obteir u as lors des premiers lacers et obteir u as) = ˆ ˆ ˆ P(X = ) = P(obteir u as lors des premiers lacers et obteir u as) + P(obteir u seul as lors de lacers) + P(obteir aucu as lors de lacers) ˆ = ˆ ˆ + ˆ ˆ ˆ 0 ˆ + 0 ˆ ˆ D où la loi de probabilité de X : k P(X = k)

190 O peut vérifier que Â kpx k k. EX Â kpx k k ª 8, E moyee, à ce jour, le ombre de lacers effectués est,8. 9 Faisos l hypothèse que la proportio «ormale» de garços, soit P = 0 ª 0, s applique aussi 0 aux aissaces eregistrées à Laval e 00. Quel est l itervalle de fluctuatio à 9 % de la fréquece de aissaces de garços sur u échatillo de taille 98 sous cette hypothèse? Le ombre X de garços sur cet échatillo suit la loi B ( 98 ; 0,). U itervalle de fluctuatio à 9 % de la fréquece des È a b garços est Í ; Î98 98 où a et b sot les plus petits etiers tels que P(X a) 0,0 et P(X b) > 0,97. U tableau doe : a = 97 et b = 00 d où l itervalle cherché : I È Î Í ; 0, 90 ; 0, Comme la fréquece de «garços» observée à Laval e 97 00, soit f ª 0, 9, appartiet à I, o e peut 98 rejeter, au risque %, l hypothèse que la situatio décrite à Laval est «ormale». O peut doc décider, avec u risque de % de se tromper, que l écart etre f = 0,9 et p = 0, est pas sigificatif (le hasard pouvat, à lui seul, expliquer cela). schéma de Beroulli où le succès est «le disque présete u défaut», de probabilité 0,0. U itervalle de fluctuatio à 9 % de la fréquece des défauts calculée sur u échatillo de taille 00 est È a b de la forme ; Î Í00 00 avec a et b les plus petits etiers tels que P(X a) 0,0 et P(X b) > 0,97 où X suit la loi B (00 ; 0,0). U tableur doe : L itervalle de fluctuatio à 9 % cherché est doc 0 I 9 È Î Í 00 ; 00, ;,. Or la fréquece observée des défauts sur l échatillo 0 testé e f 0, Comme fœi 9, o peut décider, au risque % de e pas rejeter l affirmatio du fabricat. O peut se demader si la coclusio serait la même, au risque 0 %. U itervalle de fluctuatio à 90 % de la fréquece des défauts sur u échatillo de taille 00 est doé par È c d ; Î Í00 00 avec c et d plus petits etiers tels que P(X c) 0,0 et P(X d) > 0,9. Le tableau précédet doe c = et d = 9, d où 9 I 90 È Î Í 00 ; 00, ;,. À ce iveau de risque, fœi 90, et o peut décider de rejeter l affirmatio du fabricat, avec u risque de se tromper de 0 %. 70 Sous l hypothèse «% des disques présetet u défaut», l observatio u à u de 00 disques est u Chapitre 9. Loi biomiale. Échatilloage 89

191 Vecteurs 0 et droites du pla Pour repredre cotact Les réposes exactes sot : ur u ˆ. AB - et M( ;).. a. CD ur uu ˆ - et EF uru 0 ˆ -. b. Pour (CD) : -, pas de coefficiet directeur pour (EF). c. (CD) : y - x et (EF) : x. d. M appartiet à (CD). ur u ur u ˆ e. BD DE - doc B, D et E sot aligés.. a. Vrai b. Vrai c. Faux d. Faux e. Faux. a. et (B) ; b. et (E) ; c. et (C) ; d. et (A) ; e. et (D). Activité. Droites parallèles Poits aligés ur u ˆ ur u - ˆ. AB et AC o coliéaires. -. CD ur uu 8 ˆ 7 y -. 7ˆ 99 y - y 0. Activité. Esembles de poits A. Voir fichier sur le site B.. a. E : x y 0 b. y -x - c. Coefficiet directeur : et ordoée à l origie :.. a. E : x + = 0 x -. E est ue droite parallèle à l axe des ordoées. 90

192 . E : x + y + = 0 y x - Coefficiet directeur : et ordoée à l origie : -.. E : y - 0 y. Coefficiet directeur : 0 et ordoée à l origie :. Pour aller plus loi Voir la démostratio de la propriété 9. Activité. Opératios sur les vecteurs ur u uru ur u A E. AT AJ, AE uru uru ur u. AI AJ, AE F B G H J T I D C Activité. Décomposer u vecteur ur u uur. CE CDDE uru ur u uru CF CBBF ur u uur. CE CD CB uru ur u CF CB E CD ur u ur u uur F A. CE CB CD CE ur u uru. CE et CF sot coliéaires et C, D, E sot aligés. D B C Activité. U problème ouvert. OM OA OB équivaut à : OAMB est u parallélogramme. ur uu uur uur. ON OE OF équivaut à : OENF est u parallélogramme. N F B d M d E O A Chapitre 0. Vecteurs et droites du pla 9

193 TP. Deux méthodes pour u aligemet ur u ur u. a. A, B et C e sot pas aligés doc AB et AC e sot pas coliéaires. b. D ;0 ˆ ; E(0 ; ) ; F ˆ ;. ur u ˆ c. DE - ; ur u ˆ et DF - ;. C - - ˆ - 0 doc D, E et F sot aligés. F ur u uur uur uur ur u uur ur u uur uur. a. DE DA AE - AB AC et DF DA AB AE - AB AC. ur u ur u DE DF doc D, E et F sot aligés. A D B ur u uur uur ur u ur u uu r. Avec la relatio vectorielle DE - AB AC o peut retrouver les coordoées de DE das le repère A; AB, AC. ur u De même pour DF. E TP. Démotrer : «il existe u uique» ur u ur u ur u uur. a. P ŒAB doc AP et AB sot coliéaires doc il existe u réel x tel que AP x AB. De même pour Q. b. APMQ est u parallélogramme car ses côtés sot parallèles deux à deux. uur uur c. AM xab yac uur uur ur u uur ur u uur. a. AM xab y AC = x AB y AC doc x - x AB ( y - y) AC. ur u y - y uur b. Si x x, x - x 0 et AB AC doc A, B et C sot aligés ce qui est e cotradictio avec les doées. x ur u - x r ur u r O e déduit que x = x et y - yac 0. Or AC 0 doc y y = 0 et y = y. Le couple (x ; y) est doc uique. TP. Poits aligés?. Voir fichier sur le site Il semble que les trois poits soiet aligés pour a = 0 ou a = 0,. ur u uur. O se place das le repère (A ; AB, AC). ur u uru P(a ; 0) ; Q(0 ; a) ; R( a ; + a) doc PQ a ;- a et PR( a ; + a). P, Q et R sot aligés si et seulemet si a( a) = 0 si et seulemet si a = 0 ou a =. TP. Ue droite et u pla das l espace. O est le milieu de [BD] doc O Œ(SBD). S J est le milieu de [SO] doc J Œ(SBD). K est u poit de [SD] doc K Œ(SBD). K. a. [SO] est perpediculaire à [BD] et passe par so milieu doc le triagle SDB est J isocèle e O. b. B( ; 0) ; S(0 ; ) ; D( ; 0) ; J 0 ; ˆ ; K ˆ - ;. uru ˆ c. BJ - ; et BK ur u ˆ - ; sot coliéaires doc B, J et K sot aligés. D O B. a. Ue droite peut être icluse das le pla, strictemet parallèle au pla ou sécate au pla. K Œ(BJ) doc K Œ(BJC) et K Œ(SD) doc K appartiet à l itersectio de (SD) et (BJC) doc (SD) est pas strictemet parallèle à (BJC). D autre part, D appartiet pas à (BJC) car les poits D, B, C, J e sot pas coplaaires doc (SD) est pas icluse das (BJC). O e déduit que (SD) est sécate à (BJC) e K. 9

194 TP. À la baque A.. a. 0x + 0y = 80 soit x + y = 8. b. Poits de d à coordoées etières : (0 ; ), ( ; ) ; ( ; ) ; ( ; ), (8 ; 0). c. Le distributeur peut délivrer 80 avec : aucu billet de 0 et billets de 0 ; billets de 0 et billets de 0 ; billets de 0 et billets de 0 ; billets de 0 et billet de 0 ; 8 billets de 0 et aucu billet de 0.. a. Si le cliet retire la somme maximale, x et y vérifiet 0x + 0y = 00 soit x + y 0 = 0 qui est bie ue équatio cartésiee de droite. b. Le poit d ordoée ulle de cette droite a pour coordoées (0 ; 0). Le vecteur u r - ˆ est le vecteur directeur d ordoée de cette droite. (0 ; 0 + ) soit (8 ; ) ; (8 ; + ) soit ( ; ) ; ( ; + ) soit ( ; ) ; ( ; + ) soit ( ; ) sot des coordoées de poits de d. De même, (0 ; ), (8 ; ), ( ; 7), ( ; 8), ( ; 9), (0 ; 0), (8 ; ), ( ;), ( ; ), ( ; ), (0 ;) sot des coordoées de poits de d. c. O e déduit faços différetes pour distribuer la somme de 00 avec des billets de 0 et de 0. d. D 80 et D 00 ot le même vecteur directeur u r - ˆ doc ces deux droites sot parallèles.. 0 et 0 sot des multiples de 0 mais pas doc le distributeur e peut pas délivrer.. a. Soit s la somme retirée par le cliet. s = 0x + 0y = 0(x + y) avec x + y etier aturel puisque x et y le sot, doc s est u multiple de 0 (compris etre 0 et 00 car, de plus, la somme délivrée e peut dépasser 00 ). c. Par lecture graphique, les couples d etiers qui permettet d obteir ue somme de 00 sot : (0 ; 0), (8 ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), (0 ; ). Et ceux qui permettet d obteir ue somme de 00 : (0 ; 0), (8 ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), (0 ; ), (8 ; ), ( ; 7), ( ; 8), ( ; 9), (0 ; 0). B.. L algorithme fait predre à x toutes les valeurs etières iférieures à s 0. Pour chaque valeur de x, il fait predre à y toutes les valeurs etières iférieures à s 0. Il teste pour chaque couple (x ; y) si 0x + 0y = s. Si oui, il affiche le couple solutio et, au fial, le ombre de couples solutios. L algorithme teste d abord si s est bie etier, c est-à-dire si s est bie u multiple de 0. 0 s Si oui, il doe ue première solutio 0 ; 0 ˆ puis il elève à x et ajoute à y tat que y reste iférieur ou égal à s 0 (cf. méthode vue graphiquemet das le A. b.).. Voir fichier sur le site Chapitre 0. Vecteurs et droites du pla 9

195 Exercices SANS CRAYON, SANS CALCULATRICE ur uu a. AD DO AO ur uu r b. OA OC 0 ur uu uur a. AD BC AD BC ur u b. AB CO DO ur u uur a. DC DA DB ur u r b. BC OB OA 0 Les coefficiets directeurs sot respectivemet : «- ; 0 ; existe pas». uru ur u uru b. EF EA EC doc EAFC est u parallélogramme doc les diagoales [EF] et [AC] ot le même milieu B. ur uu uur ur u uur AG AE EG DC doc AGCD est u parallélogramme, doc ses diagoales [GD] et [AC] ot le même milieu B. uru ur u uur LC -CL DC ur uu uur AK AB D L C x y = 0 r u ˆ 7 A( ; 0) B(0 ; ) 8 A( ; ) B(8 ; ) 9 Répose c. 0 a. ; - b. Pas de racies c. 0 ; d. f est strictemet croissate sur - È ; ÎÍ. a. ABCD est u parallélogramme doc ur u uur ur uu uur AB DC et AD BC. D A B A ur ur uur I est le milieu de [BC] doc BI IC BC. A est le symétrique de A par rapport à B doc B est le ur u milieu de [AA ] d où AB BA AA. ur u uur ur u ur u b. AB DC et AB BA doc DC BA. Par suite DCA B est u parallélogramme et doc le milieu I de [BC] est aussi le milieu de [A D]. a. I C E D A K B ur u uur Or ABCD est u parallélogramme doc AB DC. ur uu u ru Par suite AK LC et doc AKCL est u parallélogramme.. ( 9) ( ) = = 0 doc u r et v r sot coliéaires. ( 9) ˆ - = 8 = ; 0 doc v r et w ur e sot pas coliéaires. 8 = - = 0, doc u r et v r sot coliéaires , doc v r et w ur e sot pas coliéaires. ur u 9ˆ uur ˆ 7 a. AB AC, ; 9 = ; 0 doc A, B et C e sot pas aligés. b. AD ur uu 7 ˆ 9 7 = 7 7 = 0 doc A, B, D sot aligés. ur EA uru 0 ˆ ˆ 8 a. EF GH -, - ; 0 ( ) + =. ur DC ur EC B C 0 doc (EF) et (GH) e sot pas parallèles. ur u x 8ˆ b. GL - (EF) et (GL) sot parallèles si et seulemet si 0 ( ) ( ) (x + 8) = 0 si et seulemet si x. G F 9

196 9 VARIABLES : x, y, x, y ENTRÉES : Saisir x, y, x, y TRAITEMENT ET SORTIES : Si xy yx = 0 alors Afficher «les vecteurs sot coliéaires» Sio afficher «les vecteurs e sot pas coliéaires» 0 a. u r - v r b. u r v r r r c. u - v d. u r - v r. Das le repère (A, B, D) : G ; 0 ˆ, E( ; ), F(0 ; ). ur u ˆ - uru EG - ˆ uru ur u EF, ; EF EG, doc G, E et F sot aligés.. H Œ (DC) doc H(x H ; ) ; H Œ (EF) doc EF uru - ˆ ur u x et EH H - ˆ sot coliéaires c est-à-dire (x H ) = 0 soit x H =. DH ur uu ˆ ur uu d où DH AB uur. 0 E. Voir ci-cotre.. Das le repère (A, B, C) ur u ur u Ô xe - BC CE soit Ì ÓÔ ye - E( ; ) ; ur u uur AF AC doc F 0 ; ˆ A ; ur uu uur uur uur uur uur AG AB BG AB AB AB doc G( ; 0). uru ˆ ur u EF ˆ, EG - -. ur u uru EG EF doc E, F, G sot aligés.. Das le repère (A, B, C) du pla (ABC) : ˆ B( ; 0), K ˆ ur u - ur u ;, C(0 ; ). BK - ˆ, BC ; ur u ur u BC BK doc B, K, C sot aligés. ur u ˆ. AB -, r ur u u r AB et v - u r sot trois vecteurs directeurs de la droite (AB). B C F G ur. AB u ˆ - u r ˆ - ; r ur u u et AB e sot pas coliéaires doc B œ d.. a. d a pour équatio y x doc r ˆ u 7 est u vecteur directeur de d. 7 r 7 7u ˆ est aussi u vecteur directeur de d et A(0 ; ) est u poit de d. y d J A v r + O I x. De même, d a pour vecteur directeur u r ˆ - ou r ˆ u - et passe par le poit A( ; ). 7. b. d : y = x +.. v r ˆ est u autre vecteur directeur de d, doc d a + 7 ue équatio réduite de la forme : y = x + b. A( ; ) Œ d doc = + b soit b = -. 8 Das chaque cas, le coefficiet directeur est : a. - - b. - - c. - d. 8 9 a doc A( ; ) Œ d. b. - 7 ; 0 doc B œ d doc C Œ d. c. ˆ - 7 y E + 7 = 0 y E = 7. d. x F 7 0 x F = Le programme teste si le poit M(x M ; y M ) appartiet ou o à la droite d équatio ax + by + c = 0. Chapitre 0. Vecteurs et droites du pla 9

197 . Voir exercice 9. a. d : A ( ; ) ; u r ˆ. b. d : A ( ; 0) ; u r - ˆ. c. d : A ˆ - ; 0 ; u r 0ˆ. d. d : A ( ; -) ; u r - ˆ. d : () x + y = 0 d : () x + y + = 0 d : () x y + = 0 d : () x y = 0 r u et r sot des vecteurs directeurs de la droite d équatio : x + y 7 = 0.. d : x + y = 0. d : x y 7 = 0. d : x y + = 0. d : x + = 0 ur u 9ˆ a. AB doc u r ˆ est u vecteur directeur de d. d : x y + = 0. ur u ˆ b. AB - doc u r - ˆ est u vecteur directeur de d. d : x + y = 0. ur u - 8, ˆ c. AB doc r u ˆ 0 0 est u vecteur directeur de d. d : y = soit y = 0. ur u 8 ˆ d. AB - doc u r - ˆ est u vecteur directeur de d. d : x + y = 0. a. Soit D la droite passat par A et parallèle à d. r u ˆ est u vecteur directeur de d doc est aussi u vecteur directeur de la droite D. Voir exercice résolu page du mauel. D : x - y b. Avec la même méthode : D : x - y a. d : x y = 0 b. x + y = 0 c. x = 0 d. y + = 0 8. Équatio réduite de (AB) : x A x B, doc (AB) est sécate à l axe des ordoées et admet ue équatio de la forme y = mx + p avec m = y B - y A 8 - xb - xa ; A( ; ) Œ d doc = - p soit p =. (AB) a pour équatio réduite : y = x. Équatio réduite de (CD) : y = - x - (même méthode). Équatio réduite de (BD) : x B = x D = doc (DB) est parallèle à l axe des ordoées et a pour équatio x =.. Équatios cartésiees des droites précédetes e utilisat les vecteurs coliéaires : M(x ; y) Œ (AB) AM x ˆ ur u ˆ y - et AB sot coliéaires. (x + ) (y ) = 0 x y + 8 = 0. De même (CD) : x + y + = 0 et (BD) : x = 0.. y = x y = x + 8 x y + 8 = 0 ; y = - x - y = x x + y + = 0 ; x = x = 0. 9 Cet algorithme calcule les coefficiets a, b, c d ue équatio cartésiee de la droite passat par A(x A ; y A ) et de vecteur directeur u r x uˆ. y 0 VARIABLES : x A, y A, x B, y B, a, b, c ombres. ENTRÉES : Saisir x A, y A, x B, y B TRAITEMENT : a pred la valeur y B y A b pred la valeur x B + x A c pred la valeur a x A + by A u SORTIE : Afficher «l équatio est ax + by + c = 0» avec «a =», a, «b =»,b, «c =», c. a. Oui, u r - ˆ. b. No c. No d. Oui, u r - ˆ. e. Oui, u r - ˆ. f. Oui, u r ˆ 0.. a. CD ur uu ur u et AB sot coliéaires doc les droites (CD) et (AB) sot parallèles et ABCD est u trapèze. ur uu x b. CD D ˆ ur u 8 ˆ et AB yd - ur uu uur Ô xd 8 CD AB Ì d où D( ; ). ÓÔ yd -. a. d : x + y = 0. + = 0 d où B( ; ) Œ d. = 0 d où D( ; ) Œ d. 9

198 b. M(x ; y) Œ (AC) AM x ˆ ur u - ˆ y - et AC - sot coliéaires (x + ) + (y ) = 0 x y + 0 = 0. r c. u - ˆ ur u ˆ vecteur directeur de d et AC vecteur directeur de (AC) e sot pas coliéaires (puisque 0). Comme d = (BD), o e déduit que les droites (BD) et (AC) sot sécates. d. Les coordoées de leur poit d itersectio E Ô x y - 0 vérifiet le système : Ì d où E( ; 8). ÓÔ x - y 0 0. a. K(0 ; ) et L( ; ). b. LK uru ˆ et LE uru ˆ 0 ; LE uru LK uru doc L, K et E sot aligés (et de plus K est le milieu de [LE]).. Pour aller plus loi a. (AD) : 8x + y = 0 ; (BC) : x 7y + 0 = 0 ; F ˆ - ;. ˆ b. LF uru et LK uru ˆ 0 ; 0 0 doc F Œ (LK). Comme E Œ (LK), o a bie E, F, L et K aligés.. a. u r - 9ˆ vecteur directeur de d et u r - ˆ vecteur directeur de d sot coliéaires ( 9 + = 0), doc d et d sot parallèles. b. u r et u r ˆ vecteur directeur de d e sot pas coliéaires ( 9 0), doc d et d e sot pas parallèles. - ˆ r c. u est u vecteur directeur de d doc r r v u de coordoées - ˆ e est u autre. r r u v ; u r et v r sot coliéaires et doc d et d sot parallèles.. a. A(0 ; ) Œ d ; 0 + ( ) 0 doc A œ d et par suite, d et d e sot pas cofodues. b. 0-0 doc A Œ d. d et d sot parallèles et ot u poit commu A doc d et d sot cofodues.. A( ; ), B ; ˆ. ˆ. K ; soit K ; ˆ.. (AB) : x + y = 0.. u r - ˆ vecteur directeur de (AB) est coliéaire i à uru ˆ uru 0 ˆ OI 0, i à OJ doc (AB) coupe les axes du repère. Soit P le poit d itersectio de (AB) avec l axe (OI) : P( ; 0) et Q le poit d itersectio de (AB) avec l axe (OJ) : Q 0 ; ˆ. ˆ 0 0. Le milieu de [PQ] a pour coordoées : ; soit ; ˆ qui sot les coordoées de K milieu de [AB]. Doc [AB] et [PQ] ot le même milieu. d : x + my + = 0. a. v r - mˆ ur - mˆ est u vecteur directeur de d doc w e est u autre. Pour m =, u r ˆ est u vecteur directeur de d. b. A( ; ) Œ d + m + = 0 m = -. c. U ur ˆ est u vecteur directeur de d : x y = 0. r d est parallèle à d - mˆ v et U ur ˆ sot coliéaires m = 0 m -. d. d parallèle à (OI) v r - mˆ uru ˆ et OI 0 sot coliéaires. Or m 0 = ; 0 doc v r uru et OI e sot jamais coliéaires. Il existe pas de valeur de m telle que d soit parallèle à l axe des abscisses. e. d parallèle à (OJ) v r - mˆ uru 0 ˆ et OJ sot coliéaires m = 0. f. 0 + m 0 + = ; 0 doc O(0 ; 0) œ d. Il existe pas de valeur de m telle que d passe par l origie du repère. g. J(0 ; ) Œ d 0 + m + = 0 m -. Soit C le milieu de [AB], B le milieu de [AC] et A le milieu de [BC]. ˆ 7 ˆ C ( ; ), B 0 ; -, A ; -. (CC ) : x + y + 9 = 0. (BB ) : x + 8y + = 0. Chapitre 0. Vecteurs et droites du pla 97

199 Les coordoées du poit d itersectio G de (CC ) et Ô x y 9 0 de (BB ) vérifiet le système Ì. ÓÔ x 8 y 0 O trouve après résolutio G 7ˆ ; -. AG ur uu - ˆ - ˆ ur uu et AA 7 ; AG AA doc G Œ (AA ) et doc les trois médiaes (CC ), (BB ) et (AA ) sot cocourates e G 7ˆ ; Voir fichier sur le site Il semble que les droites (EF), (GH) et (AC) soiet soit parallèles, soit cocourates.. a. Das le repère (A, B, D), M(x ; y), H(x ; 0), E(0 ; y), F(x ; ), G( ; y). Remarque : comme M est à l itérieur du parallélogramme ABCD, o a 0 x et 0 y. uru x ˆ x - ˆ b. EF GH - y, - y. (EF) et (GH) sot parallèles si et seulemet si EF uru et GH ur uu sot coliéaires si et seulemet si xy ( y) (x ) = 0 si et seulemet si x + y = 0. c. L esemble des poits M(x ; y) tels que (EF) et (GH) soiet parallèles est doc l esemble des poits M tels que x + y = 0 avec 0 x et 0 y c est-àdire le segmet [DB].. Quad (EF) et (GH) sot parallèles, o a x + y = 0 soit x = y. O a alors EF uru xˆ ur u ˆ uru uur x. Comme AC, EF x AC et doc (AC) est parallèle à (EF) (et à (GH)). uru ur u ur u uur 8 a. EF EG EH b. NM NS NU ur uu uur uur ur u ur u uru uru c. CGHF CG CB CE d. PN PF PE ur u u ru uur e. - BA BM BE BM BN f. NM NH NG ur u uur ur u uur 9. AP AB AD CS AB AD ur u uur uru uur GT -AB AD PE -AB -AD ur u uur ur u uur. AP CH - TM CS CH - TM ur u uur uru uur GT - CH - TM PE - CH TM ur u uuu r ur u 0 a. Das A ; AB, AD : AL AD doc L(0 ; ) ; ur u uur AP AB AD doc P( ; ) ; ur uu uur AH AB AD doc H( ; ) ; ur u uur CU -AB AD doc CU ur u - ˆ ; uru uur EP AB AD doc EP uru ˆ ; ur u uur ur u ˆ DF AB - AD doc DF -. ur uu uur b. Das D ; DG, DL : L(0 ; ) ; ur u uur uur DP DH HP DG DL doc P ; ˆ ; ur uu DH DG doc H ˆ ; 0 ; ur u uur CU CD DU - DG DL doc CU ur u ˆ - ; uru uru uru uur EP EF FP DG DL doc EP uru ˆ ; ur u uur uur ur u ˆ DF DH HF DG -DL doc DF. - ur uu uuu r c. Das M ; ML, MC : L( ; 0) ; ur uu MP - ML doc P( ; 0) ; ur uu uur MH MP PH - ML MC doc H( ; ) ; ur u CU CDDU ML - MC doc CU ur u ˆ - ; uru uru uru EP EF FP -ML - MC doc EP uru - ˆ - ; ur u uur ur u - ˆ DF DH HF - ML MC doc DF. a. O(0 ; 0) ; C(0 ; ) ; D(0 ; ) ; E( ; ) ; F( ; ) ; G( ; ). ur uu 0 ˆ b. OC ; CD ur uu 0ˆ ; CE ur u ˆ - ; ED ur u - ˆ ; FG ur u ˆ -. ur u ur u ur u uru uru ur u. KD BC BA et EK EB BC.. Comme E est le symétrique de A par rapport à B, o uru ur u uru ur u ur u uur a EB BA d où EK BA BC KD et doc K est le milieu de [DE]. r uru uur uru uur uur ur u IJ IA AB BJ - AB AB BC r uur ur u IJ AB BC uru ur u uur uur uur uur LK LD DC CK AD DC - DC uru uur LK AD DC ur u uur Or ur u ABCD est u r parallélogramme uru doc AB DC et BC AD, d où IJ LK et doc IJKL est u parallélogramme. 98

200 . R T K L ur u uru ur u ur u ur u uru. TR TS TK KR TK KS ur u uru r Or K est le milieu de [RS] doc KR KS 0, ur u uru ur u d où TR TS TK. ur u ur u uru uru ur u uru uru ur u uru. HL = HT TS SL = TR TS TS TR TS. ur u ur u uru ur u ur u. HL TR TS TK TK d où (HL) est parallèle à (TK). S ur uu uur uur. MN MA AN AB - AC et ur u uur uru uur uur ur NP NA AB BP - AB AB BA u u u AC r ur u ur u uur NP = - AB AC ur uu uur ur uu ur u b. O e déduit MN - NP doc MN et NP sot coliéaires doc M, N et P sot aligés. ˆ. a. K 0 ; - ; L ; 0 ˆ. uur AM AB BM ur u ur u uur AB BA AC AB ur u + AC ur u doc M ˆ ;. ˆ ˆ uru b. KL et KM ur uu et - 0 doc K, M et L sot aligés. uru ur u ur u uur uur. a. KL KA AL AB AC. ur uu uur uur b. KM KA AB BM ur u uur ur u AC AB BC ur u uur AB AC uru uur uur c. KL AB AC et ur uu uur uur KM AB AC doc uru uru ur uu KL KM doc KL et KM sot coliéaires doc K, L, M sot aligés. H 7. a. D 0 ; ; E ; 0 ; F( ; ). ˆ ur u ur u - ˆ b. DE et DF et ur u ur u doc DE et DF sot coliéaires et D, E et F aligés. ur u uur uur uur. DE DA AE AB - AC et ur u uur uru uur uur ur u ur u DF DA AB BF - AC AB BA AC ur u ur u uur ur u ur u DF = -AB AC doc DF - DE doc D, E et F sot aligés.. a. Das ACI, D est le milieu de [AC], E est u poit de (CI) et (ED) est parallèle à (IC) doc E est le milieu de [AI]. b. E milieu de [AI] doc EI = AE = AB et AI = AE = AB. O e déduit que BI = BA AI = AB = EI. Comme de plus B, I, E sot aligés, I est le milieu de [BE]. c. Das BFE, C est le milieu de [BF] et I est le milieu de [EB] doc (CI) et (EF) sot parallèles. Comme (CI) et (ED) sot aussi parallèles, (EF) et (ED) sot parallèles et doc E, F et D sot aligés. 8 re méthode : das le repère (A, B, C), T(0 ; 8 ) ; ˆ ˆ U ; 0 ; V ; doc ur TU u et ur TV u doc 8 8 ur u uur TV TU doc T, U, V sot aligés. e méthode : o décompose ur TU u et ur TV u ur u ur u e foctio de AB et AC. ur u uur uur uur TU TA AU AC AB 8 ur u uur uur uur 9 uur uur uur et TV TA AC CV AC CA AB 8 ur u ur u uur TV = AC AB. O coclut de même. 8 ; 9 re méthode : das le repère (A, B, C), T ; 0 ˆ U 0 ; ˆ ; V ˆ ; doc ur TU u - ˆ et ur TV u - ur u ur u doc TU TV doc T, U, V sot aligés. e méthode : o décompose ur TU u et ur TV u ur u ur u e foctio de AB et AC. ur u uur uur uur uur uur TU TA AC CU AC - AB ur u uur uur ur u uur uur uur et TV TA AB BV - AB CA AB Chapitre 0. Vecteurs et droites du pla 99

201 ur u ur u uu r TV = - AC AB. O coclut de même. 0. Exprimos DM et DN ur uu ur u ur uu e foctio de AB et AD. uur DM DA AM AB - AD ur uu uur uur uur DN DC CN AB - AD doc DM DN doc D, M et N sot aligés.. O motre de même que DM DN.. a. Voir sur le site b. O motre de même que DM a DN doc D, M et N sot toujours aligés.... Voir sur le site Il semble que (BM) et (DN) soiet parallèles.. Das (A, B, D), B( ; 0), M(0 ; a), D(0 ; ) ; N 0 a ; ˆ BM ur uu - ˆ a et DN ur uu ˆ ur uu a doc BM DN -a - doc (BM) et (DN) sot parallèles.. Il semble que (CP) soit aussi parallèle à (DM) et (CN). P est le symétrique de A par rapport au milieu E de [MN]. E( a ; a ur u ur u ) et AP AE doc P( a ; a). ur u - aˆ ur u CP a doc CP - a DN doc (CP) est aussi a - parallèle à (DN). Remarque : si a =, les droites sot cofodues.. Ces six poits sot das le pla (AJD). uru uru. b. IG - AD AJ uru uru u ru ur uu uru IK ID DK AD DA AJ - AD AJ uru uru c. IK IG doc IK uru et IG uru sot coliéaires.. K est doc u poit de (IG). Comme K est u poit de (BCD), K est u poit commu à (IG) et (BCD). Comme (IG) est pas icluse das (BCD), (IG) est sécate à (BCD) e K.. Exprimos ID uru et IE ur ur u ur uu e foctio de AB et AD : uru uru uur ID IA AD - AB AD ur uur uru uur uur uur IE - AB AJ - AB AB BD ur u = - AB AD ur uru IE ID doc I, E et D sot aligés. ur uu uur ur u ur u. Exprimos DK et DF e foctio de DC et DB : ur uu uur uur ur u uur uur ur uu uur DK DC BD et DF DC DB doc DK DF doc D, F et K sot aligés.. a. Les droites (IE) et (FK) e sot pas cofodues et ot u poit commu, D, doc elles sot doc sécates. b. Par suite elles sot coplaaires et doc I, E, F, K (et D) aussi.. a. P : «Si le poit M x M ; y M appartiet à la droite d alors xm - ym 7 0». P : «Si xm - ym 7 0 alors le poit M xm ; ym appartiet à la droite d». b. P est la réciproque de P et P est la réciproque de P.. P : pour que xm - ym 7 0 il suffit que le poit M xm ; ym appartiet à la droite d. Pour que le poit M xm; ym appartiee à la droite d, il faut que xm - ym 7 0. P : o itervertit les propositios.. P : xm - ym 7 0 est ue coditio écessaire pour que le poit M xm; ym appartiee à la droite d. Le poit M xm; ym appartiet à la droite d est ue coditio suffisate pour que xm - ym 7 0. P : o itervertit les propositios.. Si le poit M xm; ym appartiet pas à la droite d alors xm - ym 7 0. Cette cotraposée est vraie.. Si x - y 7 0 alors le poit M x ; y M M appartiet pas à la droite d. Cette cotraposée est vraie.. xa - ya doc A œ d. O a utilisé la cotraposée de la propositio du. Cette méthode doe ue équatio cartésiee de d mais il faudrait modifier la secode phrase pour avoir ue démostratio exacte d u poit de vue logique. Il faut écrire : v r - bˆ a est u vecteur directeur de la droite d équatio ax by c 0 doc o peut choisir b = et a =. Les «doc» suivats sot des «équivaut à». 7 Cas : soit o décompose PR uru et PD ur u ur u ur u e foctio de AB et BC e utilisat la relatio de Chasles. Soit o détermie les coordoées de P, Q et R das u repère du pla, par exemple (A, B, D). Cas : mêmes méthodes. M M 00

202 Travail persoel Pour les exercices 8 à 87 : voir corrigés e fi du mauel. APPROFONDISSEMENT 88. Voir sur le site Il semble que toutes les droites d m passet par le poit I( ; ). E effet, pour tout réel m, m- - m m 0.. a. d m passe par A( ; ) m- -- m m 0 - m 0 m b. u r m ˆ m m - est u vecteur directeur de d m. d m a pour vecteur directeur u r ˆ - u r et u r m sot coliéaires m- m 0 m. ur u 89. b. Das (A ; AB, AD, I ; 0 ˆ ; L 0 ; ˆ. ur uu uur BQ BD avec B( ; 0) et D(0 ; ) doc Q( ; ). IQ uru ˆ -, IL ur - ˆ et - 0. Doc I, L et Q sot aligés. ur u. Das (C ; CB, CD, J ; 0, K 0 ;, Q( ; ). ur u ˆ - JQ, JK uru - ˆ et - 0 doc Q, J et K sot aligés.. Le poit Q appartiet à (IL) et à (JK) et ces deux droites état pas cofodues, elles sot sécates et doc I, L, J et K sot coplaaires. ur u ur uu 90 a. A, B et D e sot pas ur u aligés doc AB et AD e sot pas coliéaires et A ; AB, AD est u repère. b. A(0 ; 0) ; B( ; 0) ; CD(0 ; ) ; I ; 0 ˆ. c. C(a ; ) et J a ; ˆ. d. (BC) : x - ay - 0. a car ABCD est pas u parallélogramme et M0 ; - a. ˆ uru e. MI, IJ r a - ˆ et a a - - a doc M, I et J sot aligés. f. (BD) : x y - 0 et (AC) : x - ay 0. a K a ; (a > 0 car ABCD est u trapèze). a a - ˆ g. IK uru ( a ), IJ r a - ˆ et a a - a - a a - 0 doc I, J et K sot aligés. 9. u r - bˆ a est u vecteurs directeur de d et r - b ˆ u a est u vecteurs directeur de d. d et d sot parallèles si et seulemet si u r et u r sot coliéaires si et seulemet si ab -a b 0 si et seulemet si (a, b) et (a, b ) sot proportioels.. a. Algorithme : VARIABLES : a, b, a, b ENTRÉE : Saisir a, b, a, b TRAITEMENT et SORTIE : Si ab a b = 0 Alors Afficher «Les droites sot parallèles» Sio Afficher «Les droites e sot pas parallèles» FiSi b. et c. Voir sur le site a. Das le cas où d et d sot parallèles, (a, b) et (a, b ) sot proportioels et il existe u réel k tel que a = ka et b = kb (ou a = ka et b = kb ). Soit Ax A ; y A u poit de d. A Œ d a x b y c 0 A A kax kby c 0 k- c c 0 c kc A A (a, b, c) et (a, b, c ) sot proportioels. b. Algorithme : VARIABLES : a, b, c, a, b, c ENTRÉE : Saisir : a, b, c, a, b, c TRAITEMENT et SORTIE : Si ab a b = 0 Alors Si ac a c = 0 Alors Afficher «Les droites sot cofodues» Sio Afficher «Les droites sot strictemet parallèles» FiSi Sio Afficher «Les droites e sot pas parallèles» FiSi 9. Voir sur le site ur uu uur r a. GA GB GC 0 Chapitre 0. Vecteurs et droites du pla 0

203 ur uu uur AG GB GC ur uu AG GA A B GA A C ur uu ur uu AG GA AA ) AG AA. b. A et A état fixés, il existe u uique poit G tel que ur uu AG AA doc il existe u uique poit G tel que ur uu u ur r GA GB GC 0.. Il semble que C, C et G soiet aligés. ur uu. a. O motre de même que CG CC doc C, C et G sot aligés. b. Même méthode. c. (AA ), (BB ) et (CC ) sot les médiaes du triagle ABC. O a motré qu elles sot cocourates e u poit G appelé cetre de gravité du triagle. 9. a. Voir le site ur uu b. AH AO OH OB OC uuuu r uuuu r uuuu r OA A B OA A C OA c. O est le cetre du cercle circoscrit à ABC et A est le milieu de [BC] doc (OA ) est la médiatrice de [BC] doc (OA ) ^ (BC). Or AH ur uu uuuu r et OA sot coliéaires doc (AH) // (OA ) et doc (AH) ^ (BC). ur u ur u d. De même BH OB et CH OC doc (BH) ^ (AC) et (CH) ^ (AB). e. (AH), (BH) et (CH) sot doc les trois hauteurs du triagle ABC et elles se coupet e u poit (appelé orthocetre de ABC). ur uu. OH OA OB OC ur uu uur u r OG GA OG GB OG GC OG uu Les poits O, G et H sot aligés. (La droite (OG) est appelée droite d Euler.) 9. Figure sur le site. Il semble que I, J et M soiet aligés.. a. A(0 ; 0) ; B( ; 0) ; D(0 ; ). (BD) : x y - 0 doc M(m ; m). ur uu b. MK CM doc K(m ; m). I(0 ; m) et J(m ; 0). c. IJ r m - ˆ m - et IMuru mˆ m doc I, J et M sot aligés. 9 Le maège. a. À l istat t où Jea attrape le pompo e A, celui-ci a effectué x tours et comme chaque tour du pompo dure 7 s, o a : t = 7x. Pour aller de H e A, Jea met s soit 9 secodes 8 (e effet, Jea met s pour faire u tour et la logueur de l arc de cercle de H à A est égale à de la logueur 8 d u tour). Doc pour Jea, o a t = y + 9. O obtiet doc 7x = y + 9 soit 7x y = 9. b. 7x 0 0 x 00/7 soit x car x etier. y y 9/ soit y car y etier. d. Algorithme permettat de trouver toutes les valeurs de x et y répodat au problème : VARIABLES : x, y, bsol INITIALISATION : x pred la valeur ; bsol pred la valeur 0. TRAITEMENT : Tat que x, y pred la valeur Tat que y, Si 7x y = 9 alors Afficher «b de tours du pompo», x, «b de tours de Jea», y bsol pred la valeur bsol+ Fi du si y pred la valeur y + Fi du tat que x pred la valeur x + Fi du tat que SORTIE : Afficher «b de couples solutios, b sol. Programmes écrits avec différets lagages : voir site e lige. e. Coclusio : seuls les couples (9 ; ) et ( ; ) sot solutios de l équatio (E) avec x et y etiers aturels, x et y. er cas : le pompo a effectué 9 tours lorsque Jea l attrape et Jea e a effectué après être passé ue première fois e A. 7 9 = (ou + 9 = ) 0 =, et 0, 0 = d où s = mi s., 0 Jea peut attraper le pompo au bout de mi et s. e cas : le pompo a effectué tours lorsque Jea l attrape et Jea e a effectué après être passé ue première fois e A. 7 = (ou + 9 = ). 0 = 9, et 0, 0 = d où s = 9 mi s. 9, 0 Jea peut aussi attraper le pompo au bout de 9 mi et s. ur u uuu r 9 re méthode : das le repère A; AB, AD, o a K ; 0 et L(0 ; ) doc KL uru ˆ - et CK ur u ˆ - CK ur u sot coliéaires et C, K, L sot aligés. ur u ur u ur u e uur méthode : CK CB BK AB - AD et uru doc KL et 0

204 ur u ur u ur u ur u uur CL CB BA AL -AB AD ur u uur doc CL - CK doc C, K, L sot aligés. ur u uuu r 97 re méthode : das le repère A; AB, AD, o a : A ( ; 0) ; B ( ; ) ; C ( ; ) et D (0 ; ). u - ˆ u - ˆ Doc A B et D C doc A B C D est u parallé lo gramme. u uur ur u e méthode : A B AB BB -AB BC u uuuu r ur uu uur ur u et D C DD DC = AD CD -AB BC doc A B C D est u parallélogramme. 98 Das u repère, o pose : A a ; ˆ a et B b ; ˆ b avec a 0, b 0, a b. Le milieu de [AB] a pour coordoées ; a b a bˆ ab. O détermie ue équatio cartésiee de (AB). ur u b- aˆ AB doc : - b a ˆ (AB) : - 0 b a x a b a y ˆ - a. (AB) : x aby - b- a 0. O e déduit : P 0; a b ˆ ab et Qa b ;0 doc le milieu a b a bˆ de [PQ] a pour coordoées ; ab. 99. Solutio e géométrie o repérée M est sur la diagoale (IJ) du carré OIAJ car M est équidistat des côtés [AJ] et [OJ]. Les droites (IM) et (IJ) sot doc cofodues. J Q O T Les droites (IJ) et (OP) sot sécates car P est pas das le même demi-pla de frotière (IJ) que O. Désigos par T leur poit d itersectio. Par la symétrie S orthogoale d axe (IJ), O a pour image A et P a pour image Q, doc l image de la droite (OP) par S est la droite (AQ). L image de T par S est doc située sur la droite (AQ), or T état situé sur l axe (IJ) de S est ivariat par S, doc T est aussi sur (AQ). Les droites (OP), (AQ) et (IM) sot doc cocourates e T. P M A I Solutio e géométrie repérée Cosidéros le repère (O ; I, J). Das ce repère, O(0 ; 0), I( ; 0), J(0 ; ), A( ; ), M(a ; b) ; P(a ; ) et Q(0 ; b). 0 < a < et 0 < b <, car P et Q sot disticts des sommets. (OP) : y = a x ; (IM) : y = b a - x b a - ; (AQ) : y = ( b) x + b. Les droites (OP) et (AQ) sot sécates au poit T de ab b coordoées a ab ; ˆ - - a ab. a + ab = b( a) et 0 < b( a) < car 0 < a < et 0 < b < doc a + ab 0. E reportat les coordoées de T das l équatio de la droite (IM) : b ab b b ab a a ab a - ˆ - a - - a ab b a - ˆ b - -, doc T est situé sur a a ab - a ab la droite (IM). Les droites (IM), (OP) et (AQ) sot doc cocourates e T.. Das la solutio doée e. e géométrie repérée, ous utilisos uiquemet que : (O ; I, J) est u repère du pla et que OIAJ et PMQJ sot des parallélogrammes, doc le résultat reste vrai. 00 Voir la figure sur le site. Il semble que A parcourt ue hyperbole. d est pas parallèle aux axes du repère doc il existe u ˆ réel o ul m tel que le vecteur de coordoées m soit u vecteur directeur de d. De plus, d passe par A( ; ) doc : d : y - - mx - 0 soit d : mx - y - m 0. O e déduit P(0 ; m) et Q m - m ; ˆ 0. Le milieu M m - - mˆ de [PQ] a pour coordoées ; m. u A est le symétrique de A par rapport à M doc MA AM ˆ d où A - - m ; m doc y A = doc A appartiet à x A l hyperbole d équatio x. 0 Soit x le ombre de femmes et y le ombre d hommes. x et y sot des etiers aturels tels que x 9 y 000. «Des hommes et des femmes, mois ombreuses» doc x et y x d où y (puisque y est etier) x L égalité x 9 y 000 doe y. 9 Chapitre 0. Vecteurs et droites du pla 0

205 Comme x, et y etier, o a : y. Mais x y, x etier et y, doc x 0. Algorithme permettat de trouver les valeurs de x et y répodat à la questio : VARIABLES : x, y, bsol INITIALISATION : x pred la valeur, bsol pred la valeur 0. TRAITEMENT : Tat que x 0, y pred la valeur x + Tat que y, Si x + 9y = 000, alors Afficher «b de femmes», x, «b d hommes», y bsol pred la valeur bsol + Fi du si y pred la valeur y + Fi du tat que x pred la valeur x + Fi du tat que SORTIE : Afficher «ombre de couples solutios», bsol Programmes écrits avec différets lagages : voir sur le site e lige. O trouve x = 7 et y =. U seul couple solutio (7 ; ). Il y avait 7 femmes et hommes ce soir-là à l auberge. 0. a. A(0 ; ), u r ˆ. b. A(0 ; ), u r ˆ. c. A - ˆ ; 0, u r 0 ˆ.. A( ; ), u r ˆ -. d : y - -- x 0. d : x y 0. ur u uur ur uu uur ur u uur 0 a. NB CN et NA NB BA CN BM. ur u uur uur uur 8 uur b. CX CN NX CN NA CN BM CM ur uu 8 CB uur BM CN uur BM 0

206 Trigoométrie Pour repredre cotact Les réposes exactes sot : a. Logueur respective des arcs II, IJ, IB, IC, IA, JE, B B, orietés das le ses positif : p, p, p, p, p, p, p. b. Poit image sur le cercle de p, p, p p,, p : I, J, B, C, A (das l ordre). c. Logueur respective des arcs IA, IF, B F, EB, CF, orietés das le ses égatif : p p 7 p 7,,, p, p. d. Poit image sur le cercle de - p, - p, - p, - p p, - : J, A, B, F, J (das l ordre). Réels qui appartieet à l itervalle p ;p: p p p,, ; à l itervalle ]-p; p ]: p p p p p,-,-,, ; à l itervalle [ 0 ; p [ : p p p p p p,,,,,. a. Logueur c du côté d u carré de diagoale de logueur : c + c = soit c = ; c. Hauteur h d u triagle équilatéral de côté : ˆ h soit h = ; h. b. Das le repère orthoormé (O ; I, J) du pla, cos p est l abscisse de B ; si p est l ordoée de B. De plus [OB] est la diagoale d u carré et OB =. Comme les coordoées de B sot positives, cos p et si p sot égaux à la logueur du côté d u carré de diagoale. D où cos p et si p =. c. Das le repère orthoormé (O ; I, J), cos p est l abscisse de C ; si p est l ordoée de C. De plus, comme OIC est équilatéral et que les coordoées de C sot positives, o a : cos p = OI = et si p (hauteur d u triagle équilatéral de côté ). Das le repère orthoormé (O ; I, J), cos p est l abscisse de A ; si p est l ordoée de A. E utilisat le triagle équilatéral OAJ, o obtiet de même cos p et si p. Les boes réposes sot a. et b. Chapitre. Trigoométrie 0

207 Activité. Sur le cercle trigoométrique A. Avec les otatios de la figure ci-dessous : F E D J C B A K O I F A E D L C B a. Les poits respectivemet associés aux réels 0, p, p, - p, p, - p sot I, K, I, K, K, K. b. Les poits respectivemet associés aux réels p p p p 7,,-,, p sot J, L, L, J, L. c. Les poits respectivemet associés aux réels p, p, p,- p, p 7p p,, sot B, C, A, C, E, F, J. B.. a. Deux réels positifs d image M : p et p 9p p ; d image M : 7 p 7p p et p ; d image M : p p p et p ; d image M : p p p et p. b. Deux réels égatifs d images M : - 7 7p p et - - p - ; d image M : - p p et - 9 p ; d image M : - p et - p ; d image M : - p et -. p c. U réel de ] p ; p] d image M : p ; d image M : - p ; d image M : - p ; d image M : p. d. U réel de [ 0 ; p] d image M : p ; d image M : 7 p ; d image M : p ; d image M : p.. 9 p p 7p p p p p ; p ; p p p p p p p p p ; p p p p p 7p p ; - -p doc M est le poit image de tous les réels 9p 7 7, p, p, - p, - p, - p. p ; Activité. Ue ouvelle uité de mesure des agles. Voir figure ci-cotre.. Les logueurs respectives des arcs IJ, II, IA, IB, IC sot p p p p, p,,,. J C B A pioj = 90 ; pioi = 80 ; qioa = 0 ; qiob = ; qioc = 0. Ces logueurs d arcs et mesures des agles au cetre sot proportioelles. I O I. pioj = p radias ; pioi = p radias ; qioa = p radias ; qiob = p radias ; qioc = p radias. 0

208 Activité. Agles associés. a. Voir première figure ci-cotre. J b. M ( x ; y) ; M (x ; y) ; M ( x ; y). c. Le poit image du réel t est M, celui de t + p est M et celui de p-t est M. d. D où cos - t cos ( t) ; si - t-si( t) cos t p -cos ( t) ; si t p-si( t) M K M O M 0 I M cos p-t -cos ( t) ; si p-t si ( t). L. a. Voir secode figure ci-cotre. p b. Cojectures : M (y ; x) ; cos si - ˆ t () t ; p si ( ) - ˆ t cos t. K J O M N M 0 I Activité. Comparer cos (t) et cos t L. t cos t cos (t) p p p 0 - p p 0 Pour les valeurs de t du tableau, o remarque que cost cos t.. a. Voir fichier sur le site b. Les poits M (cos t ; cos (t)) semblet apparteir à la parabole d équatio y = x. Cojecture : cos (t) = cos t. c. La relatio est bie vraie pour les valeurs de cos t et de cos (t) du tableau du. t cos t p p p 0 - p p Travaux pratiques TP. Équatios trigoométriques J M A. Équatio cos x = a. a. Voir figure ci-cotre. uru b. OI, OM p p uru u OI, OM - p ( p). Doc les solutios das ] p ; p] de l équatio cos x sot p et p. p I 0, O - p 0, M Chapitre. Trigoométrie 07

209 p Ô x k p c. Les solutios das de l équatio cos x sot les réels x tels que Ô Ì ou ( k Œ ). Ô p Ôx - k p Ó. a. De même, o place sur le cercle trigoométrique les poits N et N d abscisse -. uru OI, ON p uru uuuu r p OI, ON - p p. Doc les solutios das ] p ; p] de l équatio cos x - sot p p et et p Ô x k p Ô les solutios das les réels x tels que Ì ou ( k Œ ). Ô p Ôx - k p Ó b. Les solutios das [0 ; p[ sot doc p p et - p. p. a. cos x doc les équatios cos x =, et cos x = ot pas de solutios. b. a. J M. a. Voir figure ci-cotre. b. Les solutios das de l équatio cos x = 0, sot x q k p Ô les réels x tels que Ì ou ( k Œ ). Ô Ó x -q k p c. Das [0 ; p[, les solutios sot q et q p. q ª, 8 et q p ª, 9. 0, O 0, - q q I M B. Équatio si x = a. a. Voir figure ci-cotre. b. Les solutios das ] p ; p] de l équatio si x sot p et p p p et les solutios das sot les p Ô x k p Ô réels x tels que Ì ou ( k Œ ). Ô p Ôx p - k p Ó J P P 0, p- p p O 0, J I. a. Voir figure ci-cotre. Les solutios das ] p ; p] de l équatio si x - sot p et -. p O - p I Das, ce sot les réels x tels que - p - Q Q 08

210 p Ô x - k p Ô Ì ou ( k Œ ). Ô p Ôx - k p Ó b. p p p et - p p p p p. Les solutios das [0 ; p[ sot et. x a k p Ô. a. Les solutios das de l équatio si x = 0, sot les réels x tels que : Ì ou ( k Œ ). Ó Ôx p-a k p b. Solutios das ] p ; p] : a et p-a avec a ª 0, 07 et p- a ª, 89. x a k p Ô. Das : si x - 0, Ì ou ( k Œ) Ô Ó x p -a k p où a est la solutio de cette équatio qui appartiet à l itervalle p p - ;. Das ] π ; π], les solutios sot a et p -a - p avec a ª-0, 0 et p -a - p -a - p ª -, 90. Pour aller plus loi. O pose X = x. L équatio si x = s écrit si X =. D après B., les solutios de l équatio si X = sot les réels X p p p Ô X k p Ô x k p Ô x k p Ô tels que : Ì ou ( k Œ ). D où si x = Ô Ô Ì ou ( k Œ ) soit Ì ou ( k Œ ). Ô p Ô p Ô p ÔX p - k p Ô x p - k p Ôx k p Ó Ó Ó Les solutios das [0 ; p[ sot : p p p,, p, p p c est-à-dire p p p 7,,, p.. Posos X = x - p p. L équatio cos x - s écrit cos X =. D après A.. les solutios das de l équatio cosx p Ô X k p Ô sot les réels X tels que Ì ou ( k Œ ). Ô p ÔX - k p Ó p p 7p Ô x - k p Ô x k p D où cos (x p Ô Ô Ì ou ( k Œ ) soit Ì ou ( k Œ ). Ô p p Ô p Ôx - - k p Ôx - k p Ó Ó Les solutios das ] p ; p] sot : 7 p p et -. TP. Charge d ue batterie u(t) = si t.. u(t) E > 0 sit - 0 sit sit. La charge a lieu que si u(t) E > 0 c est-à-dire si sit. Chapitre. Trigoométrie 09

211 . a. Les images des solutios de l iéquatio sit sot les poits de l arc PP parcouru das le ses direct avec P image de p et P image de. p J P P O p p I b. Doc la charge s effectue lorsque t Œ p p ; È. ÎÍ TP. Lacer du javelot A.. Comme v 0 0 et cos a 0 (car a Œ È 0 ; p È x ), o a t ÎÍ Î Í v0 cosa et doc y g x x - v h v0 ( 0 si a) 0. cos a v0 cosa g G appartiet bie à la courbe d équatio : y - x sia x h v 0. 0 cos a cosa. O recoaît l équatio d ue parabole. B.. a. Lorsque l objet retombe à terre les coordoées de G sot x = OP (avec OP > 0, distace) et y = 0 doc OP est g la solutio positive de l équatio : - x sia x h 0 v0 0. cos a cosa O pose a = v 0. L équatio précédete s écrit : - sia x x h 0 g 0. acos a cosa b. re méthode : a Œ È 0 ; p È doc cos a > 0 et si a 0. De plus, si ÎÍ Î Í h a 0 0 doc si a si h a 0 0. a a h ˆ Comme a > 0, o a bie : a(cos a) si a a. si 0 a 0 h ˆ O vérifie esuite que a(cos a) sia a si 0 a est solutio de l équatio du a. et o coclut. e méthode : L équatio du a. est ue équatio du secod degré. O calcule le discrimiat D : D siaˆ - ˆ - h cosa cos 0 a a D siaˆ h0 = h0 si a cosa acos a cosa a D0 doc l équatio a deux solutios. sia - - D OP est la solutio positive d où OP = cosa ˆ - acosa h ˆ OP a(cos ) si a - si ˆ 0 a a cosa cos a a 0

212 h ˆ OP a(cos a) sia si a 0 a. O suppose h 0 0. a. Das ce cas, OP = a(cos a) sia si a v0. Or si a > 0 doc OP = a cos asia = a si (a soit OP sia. g Pour v 0 fixée, comme g est ue costate, OP est maximale lorsque si(a) est maximal c est-à-dire lorsque si(a) = soit pour a = 90 c est-à-dire a =. C. O suppose que h 0 m.. a. Fichier sur tableur : voir sur le site b. =A*PI()/80 d. Avec la valeur de h 0 placée e cellule B, la formule à etrer e C est : =((C$)^)/9,8*COS($B)*(SIN($B)+RACINE((SIN($B))^+(*9,8*$B$/((C$)^)))). a. Voir fichier tableur sur le site Pour h 0 = m, l agle (à près) permettat d obteir ue portée maximale pour v 0 = m.s est. Cet agle est aussi de pour chacue des vitesses iitiales du tableau. b. Pour v 0 7 ms. -, o obtiet ue portée de même ordre de gradeur que celle du lacer de Barbora Spotakova. c. Voir deuxième fichier tableur sur le site Pour v 0, ms. - et a = 8, o a OP ª 7, m. Pour v 0, ms. - et a = 9, o a aussi OP ª 7, m. d. Pour v 0, ms. - et a = 9, o a OP ª 7,9 m (7,9 > 7,). Exercices SANS CRAYON, NI CALCULATRICE x y = 0 S ˆ ; Avec l axe (Oy) : A (0 ; ) Avec l axe (Ox) : Δ < 0 doc pas de poit d itersectio avec (Ox). f ( ) = Même taille moyee que filles de m et garços de m 70. Or la moyee de 0 avec u effectif de et 7 avec u effectif de est doc, par trasformatio affie, la moyee cherchée est m + 0 m 0 soit m 7. p est la seule mesure qui est pas pricipale. 7 8 ; ; 0 ; 0. 8 p 9 ; p p p ; ; cost 0 t = p p k avec k Œ. cost t = k p avec k Œ. p sit - t = - k p avec k Œ. ur u ur u p ur uu uur 0 AC, AE p ; CD, CA - 7p ( ) p ; ur uu uur p CD, CE ur u uur p p ; BD, AB - p. cosa- p -cos a ; si7pa-sia ; p ˆ cos - si a - a. ENTRAÎNEMENT a. K, J, A, C. b. L, C, B. a. D, E, F. b. K, D, E. a. p ; p p p ; -. b.. a. L et p ; K et p ; L et p b. C et p ; B et p ; I et 0. c. F et p p ; B et ; A et p. d. D et - p p ; L et ; K et p. Chapitre. Trigoométrie

213 a. p ; - p p ;. b. 0 ; p ; p. p c. ; - p 9p p p p ;. d. ; - ;. 7. a. IK b. IJ c. AC. a. KD b. KI c. C B p p 8 a. È ; ÎÍ. b. È - p ÎÍ 0 7 ; et 0 È ÎÍ È» p ; p. Î Í c. p p ; - ; p» 0 et È0 ; 7 p ÎÍ. d. È p p - ÎÍ ; et È 0 ; p Èp ; pè ÎÍ». ÎÍ ÎÍ e. p p p p p ;- È ; p È ;» et. ÎÍ ÎÍ f. p p p ; - È ; p» et È p p ; ÎÍ ÎÍ. 9 a. b. 7 c. 7 d. e. 0 f. g. 0 h. 00 f. 0, ; ; 7, ;, ; 0, ; 7,. a. p p g. p b. p c. 0 p 9 h. 9 p 80. a. pr b. pr, p R d. p e. p 8. a. U radia est la mesure d u agle qui itercepte u arc de logueur sur u cercle de rayo. b. U agle de p itercepte u arc de pr doc o obtiet le tableau de proportioalité suivat : Agle au cetre p a Logueur de l arc pr L d où L = ar. c. Pour a p, o a L = pr et pour a p, L = p R. Das u cercle de rayo R, la logueur d u arc d agle au cetre radia est R. p p doc M est sur l arc BC. a. p b. p c. p d. p e. p a. - p ; - p ; p p p ; p. b. - ; ; p. c. p ; 0 ; 0. d. - p p p ; ;. a. p b. p c. p d. p f. p 7 a. p 8. A b. - p p D c. p p p B d. p e. 0 f. p E ur uu uur uur ur uu uur p. AD, AC -AC, ADp doc AD, AC p. ur u uur p De même, AC, AB- p. ur uu uur uur uur uur AD, AB AD, AC AC, ABp doc ur uu uur p AD, AB p. ur uu uur uur uur ur u. AD, AE AD, AB AB, AEp doc ur uu uur AD, AE 0p : doc A, D et E sot aligés. 9. DFA est isocèle de sommet A et p p p gfad - doc gdfa p ur u ur u p et FD, FA p.. BFE est isocèle de sommet B et qebf p doc qbfe p uru uru p et FB, FE p. ur u uru ur u ur u ur u uru uru uru. FD, FE,,, = FD FA FA FB FB FE p p p = p p doc D, E et F sot aligés. 0 a. p et p ; b. p et p p p ; c. - et. Das p; p : a. p et p ; b. p et ; p c. - p p et. Das 0; p : a. p et p p ; b. et p p p ; c. et. a. - p p et. p p b. t - k p ou t k p avec k Œ. p p a. t - k p ou t k p avec k Œ. b. t p k p avec k Œ. c. Cette équatio a pas de solutio car - - p p d. t k p ou t k p avec k Œ. p p e. t - k p ou t - k p avec k Œ. f. t k p avec k Œ. C

214 Das p; p : a. È p p ; b. p ÎÍ c. p p p ; - È ; p ÎÍ». Das 0; p : a. È0 ; p È p ; pè ÎÍ» b. ÎÍ ÎÍ c. p p ; È ÎÍ. p ; È ÎÍ p ; pè ÎÍ Das p; p : a. p p p p p ; - È - ; È ; p» ÎÍ» ÎÍ b. p p p ; - È ; p» c. p ; p È p ; p ÎÍ ÎÍ» Das 0; p : a. È 7 0 ; p È p ; p È p ; pè ÎÍ» ÎÍ» ÎÍ ÎÍ p p b. È ; c. È0 ÎÍ ; pè p ; pè ÎÍ ÎÍ» ÎÍ.. si. sii doc i ª.. Si i 90, sii L, doc i L ª 9. Si i i L, alors si i > si i L [car i et i L sot des agles compris etre 0 et 90 (voir le cercle trigoométrique)]. Doc si i > si i L soit si i > si 90 ou ecore si i > ce qui est impossible. Il y a plus réfractio. p p 7. t - k p ou t k p avec k Œ. p p. t - k 9 ou t p k p avec k Œ. 9 p 8 a. cost p cos t t t k p p p ou t -t k p avec k Œ t k p p p ou t - k avec k Œ. p b. cost si t cost cos( - t) p p t - t k p ou t- t k p avec k Œ p p t k ou t p k p avec k Œ. c. cost - p cos t p p p t - t k p p p ou t - -t - k p avec k Œ p p p t k p ou t k avec k Œ. p d. cost sit cost cos - t p p t - t k p ou t - t k p avec k Œ p t k p avec k Œ. 9 a. O pose X si t et o résout X - X 0. D doc X et X. si t - sit 0 sit ou sit. Das p ; p, les solutios sot p ; p et. p b. O pose X cos t et o résout X - X 0. D doc X et X. cos t - cost 0 cost ou cost. Das p; p, les solutios sot p et p. 0. a. Poit M. b. si a 0, et sia 0 doc si a 0,. c. a ª 0,. a. Poit N. b. si a 0, et sia 0doc si a -0,. c. a ª-0, a. cos a - 08, b. cos a 08,. E(0) = E ˆ Ep) = 0. E(t) = cos t cos t + cos t = 0 E utilisat les formules des agles associés (propriété 7), o trouve : a. cost b. sit c. cost si pˆ - -a ; si 8 pˆ 7 7 -a ; pˆ p pˆ cos cos - 7 a.. si p 0 - p p et 0 doc si p 0 -. p p 0 -. cos( - ) et si - - ; cos p - et si p 0 - ; p p pˆ p 0 - cos cos - si 0 p p pˆ p et si si - cos 0. p p pˆ b. cos cos p p pˆ et si si. i - Chapitre. Trigoométrie

215 cosp p pˆ p cos si - - p p - et si cos. 7. cos (t) = cos t = 7 ˆ cos t + si t = doc si t = cos 8 t = Or t Œ È 0 ; p doc si t > 0 et si t = 8. ÎÍ 9 si (t) = si t cos t = 9 p 8 a. cosa cos p b. cos p cos 8 = doc cos p. 8 p si p cos = - 8 doc si p 8 -. or cos p 0 8 or si p E utilisat les formules d additio et e simplifiat, o trouve : pˆ pˆ si t si t si t x cos x 0. cos ˆ car x Œ È 0 ; p. ÎÍ. VARIABLES : c, x, ombres. ENTRÉES : Saisir TRAITEMENT : x pred la valeur p, c pred la valeur Pour i = à x pred la valeur x, c pred la valeur c FiPour SORTIE : Afficher «cos», x, «=»,c pˆ. cos t - cost sit pˆ et si t - sit cost -. pˆ. a. cost sit cos t - p t k p avec k Œ. pˆ b. cost - sit si t - - p t - k p avec k Œ.. cosacosb - siasib or cosacosb - siasib cosab doc cosab. a et b sot das È 0 p ; ÎÍ doc ab Œ È p p 0 ; doc ab ÎÍ.. a. Oui b. No c. No d. Oui. cost cos t -. a. t Œ[ 0 ; p[ b. t p et doc t p.. a. t Œ- ] p ; 0] b. t - p et doc t - p. p. t k p et t k p avec k Œ.. pˆ ˆ cos t - cost sit cost si t. pˆ. cost sit cos t - pˆ cos t - t k p et t p k p avec k Œ. ˆ. Das OAA, h dsi - d p q cos q ˆ et das O AA, h d si - d p q cos q p ˆ Das OAA, OA d cos - si q d q p ˆ et OA a O A a d cos - q a d siq.. d d cos q cosq. cosq. dsi q a d si q = a d siq cosq doc dsiq cosq - dcos q si q acos q acosq doc dsi( q - q ) acosq doc d. si( q - q ) acosqcosq O e déduit h si( q - q ).. Vraie. «Si si x alors p k p k Œ.» La réciproque de la propositio P est fausse. «Si si x alors x p k p pour toute valeur de k das.» La cotraposée de la propositio P est exacte.

216 f 7. Pour que cos x = uur. Pour que AM, AB 0, il suffit que x = p. p, il faut que les poits A, M, B soiet aligés.. Pour que si x 0, il suffit que x Œ [0 ; p]. ur u uur. Pour que AB, AC p p, il faut que le triagle ABC soit rectagle e A. 8 Alicia trouve ue solutio de l équatio. Bastie obtiet ue valeur e degré de l agle de cosius 0,. Carolie trouve les deux poits du cercle trigoométrique qui sot les images des solutios. cos x x p k p p ou x - k p avec k Œ. 9 Avec x 7 p 7, a, E a et a E a 0, 7p p doc p - p. Avec x p, a, E a et a E a 0, p p doc p - p. Avec x - p 7, a, E - a et a E a 0, p p doc p - p -. Cet algorithme semble calculer la mesure pricipale d u agle. Ea est u etier doc x, x - Ea p et x - [ E a ] p sot des mesures du même agle orieté. Si a Ea 0,, comme E( a) a, E a ae a 0, x doc 0 a- Ea 0, doc 0 a 0 p - E, doc 0 x - Ea p p doc 0 p p. Si a E a 0,, comme a E a, E a 0, a E a doc 0, a-ea x doc 0, - - a 0 p E doc p x -E a p 0 doc pp 0. Travail persoel Pour les exercices 0 à 88 : voir corrigés e fi de mauel. APPROFONDISSEMENT 89. Das OLM, d 70, 8-70 soit d ª 0, km. 70 Das OLM, cos gmol doc la logueur de 70, 8 70 ˆ l arc NL est 70 cos , 8 ª, km soit eviro 0 m d écart avec d.. La logueur de l arc LB est 0 0,0 soit 0,99 à m près. 0, 99 Doc la mesure e radia de hlob est. Soit M le 70 poit le plus bas sur la paroi du Mote Cito visible du OL poit M. Das OLM, OM ª 70, 877 km cos OLB doc o peut voir les poits situés etre 877 m et 70 m sur les parois du Mote Cito à partir du sommet du Mot Chauve. 90 A. Voir le site : il semble que E soit la demi droite ]IC). ur u B.. E costruisat u représetat de AB d origie I, ur uur p o a IC, AB ( p ). - uru uur Œ IM, AB - uru ur ur uur,, - p uru ur p p, - -. M E p p IM IC IC AB p uru ur IM IC p IM, IC 0 p IM uru et IC ur sot coliéaires et de même ses MŒ] IC). 9 a. E est la demi-droite ]BA). b. E est la demi-droite ]BA ) où A est le symétrique de A par rapport à B. c. E est la droite (AB) privée du segmet [AB]. d. E est le cercle de diamètre [AB] privé de A et B. 9. sit -si t sit cos t = cost cos t. 9. re méthode : o pose AB = a et AM = x. CMN est isocèle quelque soit la positio de M car CM = CN = a + (a x). De plus MN = x, o e déduit que CMN est équilatéral si et seulemet si a + (a x) = x. C est-à-dire x + ax a = 0. Da doc x -a-a < 0 ou x -aa Œ[ 0; a]. Doc CMN est équilatéral si et seulemetx a( -. ) e méthode : posos AB = a et MN = b et désigos par I le milieu de [MN]. MCN triagle équilatéral équivaut à : (AC) médiatrice de [MN] (car AM = AN et CM = CN) et AC = CI + IA = b b. Comme AC = a ous obteos : Chapitre. Trigoométrie

217 c est-à-dire b = a a = b d où AM = b (car AIM triagle rectagle isocèle e I) a a - soit AM = a -. BM = a AM = a a( ) = a( ). p p p. Das ce cas, gbcm - et das BCM, p BM a - a( - ) ta =, BC a p CB a cos et CM a( - ) ( - ) pˆ p BM a - a( -) - cos si CM a( - ) ( -). 9. D après la calculatrice, a ª, à 0,0 près.. a. t Œ Èp p ÎÍ ; b. cosa cos a- - - et cos a cos a ˆ - = cos a c. cos a cos a a a k p ou a -a k p avec k Œ a k p ou a k p - avec k Œ. Or doc a Œ È p p ÎÍ ;. O e déduit que a. p 9. x p est ue solutio évidete.. cos x si x cos x si x p p pˆ cos cos x si si x cos x -. De plus x Œ È 0; p p doc x - Œ - ÎÍ È p p ;, doc la seule ÎÍ p solutio est x - 0 soit x p.. L équatio est équivalete à X + Y =. De plus cos x si x pour tout x, doc X Y. O obtiet doc l équatio X - X soit X - X 0c est-à-dire X - 0. O e déduit que X et Y soit cos x et si x puis que x p puisque x ŒÈ 0 ; p. ÎÍ. cos x si x cos x cos xsi x si x si x. Puisque x Œ È p 0 ;, cos x > 0 et si x > 0 doc ÎÍ cos x +si x > 0. O a doc : (E) cos x si x six. Or x Œ È p 0 ; doc x Œ0 ;p. ÎÍ O e déduit : si x x p x p.. Les trois démarches permettet de résoudre l équatio sur È0 ; p mais seule la troisième e permet ÎÍ pas de la résoudre sur. 9. si 8t sitcos t sitcos tcos t 8si t 8si t 8si t 8sit cos t cos t cos t cos t cos t cos t. 8si t 8p pˆ si si p p p p. cos cos cos p 8si 8si p 7 7 p - si - p 7 8si a. Das ABD rectagle e B, AB = si b, BD = cos b. Das ACD rectagle e C, AC = si a, DC = cos a. b. fcdb a- b, fcbo est l agle au cetre iterceptat le même arc que l agle iscrit fcdb doc fcob ( a- b ). Soit I le milieu du segmet [BC]. BOC est isocèle e O doc (OI) est bissectrice de fbdo et OIC rectagle e O. O déduit que scoi a- b et IC = OC si(a b) doc BC = OCsi(a b) = si(a b). c. AB CD BC AD AC BD doc sibcos a sia- b siacos b doc si(a b) = si a cos b si b cos a. 98. Le petagoe ABCDE est régulier doc ur uu OA, OB p ur uu p, OA, OC p p, ur uu OA, OD p ur uu uur p et OA, OE 8 p p. p pˆ p pˆ. A0,, B cos ; si, C cos ; si, p pˆ 8p 8pˆ D cos ; si, E cos ; si ur p p p 8pˆ cos cos cos cos V p p p 8p si si si c o s

218 h h d f p 8pˆ ur uu uur cos cos. OB OE doc p 8p si si p p ˆ ur uu uur cos cosp- OB OE doc p p si sip- ur uu uur ˆ OB OEcos p ur uu ur u ur uu doc OB + OE est coliéaire à OA. 0 ur uu ˆ De même, OC ODcos p ur uu ur uu doc OC + OD est 0 ur uu ur uur coliéaire ur à OA. Or, ur uu V OA OB OC OD OE doc V est coliéaire à OA.. a. V ur ur uu ur uu ur uu ur uu est coliéaire à OA et à OB. Or OA et OB e sot ur uu p pas coliéaires car OA, OB p, doc V ur 0. r b. La première coordoée de V ur est ulle doc p p p 8p cos cos cos cos 0 doc p p p p cos cos cosp - cos p - 0 p p doc cos cos 0. p. a. cos cos p - p doc p cos cos - 0 doc p p cos cos - 0. b. D0 doc les solutios de x + x = 0 sot x = - et x = - -. Or p p Œ[ 0 ; ] p p - doc cos Œ [ 0 ; ] doc cos. 99 A. Voir sur le site B. cos hamb coshamh - hbmh cos hamh cos BMH h si hamh si BMH MH MH AH BH cos AMB AM BM AM BM x, 0 0, 0, x, 8 x,. La foctio à itroduire das la calculatrice est cos - ( x, 0, 0, 0. x, 8 x,. E choisissat comme feêtre, par exemple 0 x 00 et 0 y 0, o obtiet u agle maximum égal à 8,7 à 0,0 près pour ue distace HM égale à 8,79 m à 0,0 m près. C.. O est le cetre du cercle circoscrit à ABM doc O est sur la médiatrice de [AB]. (OI) et (MH) sot perpediculaires à (AB) et doc à (HI). O e déduit que OIHM est u trapèze rectagle de bases OI et MH et doc OM IH. De plus, OA et OM sot deux rayos du cercle doc OA = OM et OA IH.. hamb AOB h car l agle iscrit hamb itercepte le même arc que l agle au cetre faob et daoi AOB car das le triagle AOB isocèle de sommet O, (OI) est la bissectrice de faob. O e déduit que hamb AOI. AI Das AOI rectagle e I, sidaoi AB OA AB OA doc si hamb. OA. hamb est maximum quad si hamb est maximum. Or AB est costat doc AB est maximum quad OA OA est miimum. O a motré que OA IH doc OA est miimum quad OA = IH = HB + BI =,0 +,80 = 9., O a alors si hamb 0 ce qui doe hamb 8,7 à 8 0,0 près. De plus, OM = OA = IH doc das ce cas, OIHM est u rectagle et HM = OI = OA - AI = 9 -, 8 =, soit 8,79 m à 0,0 m près. PRENDRE DES INITIATIVES 00 Évreux : latitude 9 0 N et logitude 08 E. Motauba : latitude 0 N et logitude 0 E. Rayo de la terre : 7 km. O peut doc cosidérer qu Évreux et Motauba sot sur le même méridie et que l écart de latitude est soit p p radias. 80 Logueur de l arc de cercle (e passat par surface) : p 7 ª, 97 km. Logueur du trajet souterrai e lige droite : 7 si, ª, 798 km. Il y a mois d u kilomètre d écart. 0 Égalité sur les périmètres (e preat l agle e radias) : b + ba = a. Égalité sur les aires : ab a. ab De la première égalité, o déduit a et e remplaçat das la deuxième, o obtiet ab a b et doc 8a a ce qui équivaut à - a 0 soit a. E repreat l équatio sur les périmètres, o obtiet b = a. Chapitre. Trigoométrie 7

219 Efi, o vérifie qu avec a et b = a le secteur agulaire et le carré ot le même périmètre et la même aire. 0 cosa b c cosa bcos c - sia bsi c cos acos b cos c - si a si bcos c -si acos bsi c - cos asi b sic Or a + b + c > 0 doc a + b + c = p. 0 re méthode : Par costructio, H = AB = AB = BF + h. Das OBF triagle rectagle e F, BF H - h ta a. OF OF FB H h Das OFB rectagle e F, ta b. H - h H h OF OF D où OF taa tab. Par suite (H - htab H hta a soit (H - h si b si a H h ou ecore cos b cos a (H - hsib cos a H hcos b sia D où Hsib cosa- Hcosb sia hsib cosa hcosb si a, soit Hsib -a h si b a. sib a Or b a puisque h 0, doc H h sib - a e méthode : sia b siacosb sib cosa sib - a sib cosa - siacosb BF OF BF OF BO BO OB OB BF OF BF OF - OB OB BO BO OF( BF B F) OFB F - BF H H si( a b) d ou H h. h h sib - a 0 Das APF, AF cos et dapf. Das PIQ, dipq 0-7, IQ si 7 et dpqi 90-7 Das RCQ, hcrq 90-7 doc QC cos 7 et hqcr. Das HRM, hhrm 0- doc HM cos. O e déduit AM cos si 7 cos 7 cos soit AM ª 8, m. A I P 0 ENGLISH CORNER 0 a. p ; p ; p. F 90 Q R 0 C G H M b. 0 ; 0 ; 80 p ;. 0 a. AB cos p = b. L aire et l agle au cetre sot proportioels doc l aire du badge est p AB p cm. c. La logueur de l arc BC est p AB p doc le périmètre du badge est p pcm. 8

220 Produit scalaire Pour repredre cotact Les réposes exactes sot : AB + AC = + = = BC doc ABC rectagle e A.. a. + = doc A appartiet pas à cette droite. b. + 9 = doc A appartiet pas à cette droite.. a. u r - ˆ b. u r ˆ c. u r ˆ d. u r - ˆ. a. + c = 0 c = b. + c = 0 c = 8 ˆ a. x 7, b. ( y + ) ˆ c. t ˆ d. z +. a. 0 b. c. d. e.. a. FL = FG si ( ) =,0 à 0,0 cm près. b. Aire (FGH) = FL = si( ) =,09 à 0,0 cm près. ur u ur u ur uu a. AC = AB + AD ur u ur u ur uu b. DB = AB AD Activité. Défaut d orthogoalité f. c. BO ur uu = BC ur u + BA ur u. OA + OB = + = 7 et AB = + 9 =. OA + OB AB doc OAB est pas u triagle rectagle e O.. a. (OMN rectagle e O) OM + ON = MN D où (OMN rectagle e O) OM + ON MN = 0. b. OM + ON MN = (x + y ) + (x + y ) [(x x) + (y y) ] = (xx + yy ) c. D où (OMN rectagle e O) xx + yy = 0 g. h. ur u d. DE = AB ur u ur u BC i. Activité. Norme d u vecteur r r. u = AB = et v = AD =.. E mesurat sur la figure, o obtiet AC = 7, cm à 0, cm près, doc u r v r = 7, à 0, près. Comme u r + v r = 8, u r v r u r + v r. Chapitre. Produit scalaire 9

221 . Cette relatio reste vraie pour tous vecteurs r u et r v du pla, lorsqu o pred poits A, B et C du pla o a AC AB + BC, l égalité ayat lieu que lorsque B est situé sur le segmet [AC]. Activité. Orthogoalité et cofiguratio. (AB) ^ d car d est tagete e B à G et [AB] est u diamètre de G ; (AC) ^ (BC) car C est situé sur G de diamètre [AB] avec C A et C B ; (OJ) ^ (AC) car (OJ) // (BC), (OJ) état la droite passat par les milieux O et J des côtés [AB] et [AC] du triagle ABC.. a. A b. B c. C d. C e. J f. J Activité. Observatio sur u logiciel A. Sige du produit scalaire. Cojecture : si o désige ur u par ur u d la perpediculaire e A à la droite (AB), lorsque C est das le même demi-pla ouvert que B par rapport à d, AB. AC > 0 lorsque C est pas das le même demi-pla ouvert que B par rapport à d. ur u ur u ur u ur u AB AC < 0, lorsque C est sur d, AB AC = 0. ur u ur u Si A = B ou A = C, AB AC = 0. B. Vers ue ouvelle expressio. Cojecture : C état situé sur la droite (AB) : ur u ur u si C est situé sur la demi-droite [AB) : AB AC AB AC, ur u ur u si C est pas situé sur la demi droite [AB) : AB AC - AB AC. uur. a. AC AB ur u ur u b. Cojecture : les poits C tels que AB AC est la droite perpediculaire à (AB) e C. ur u ur u c. Cojecture : l esemble des poits C tels que AB AC - est la droite perpediculaire à (AB) passat par le poit u uur C tel que AC - AB.. Bila ur u ur u ur u ur uu a. AB AC et AB AD -. ur u ur u uur b. Pour A B, si o désige par C le projeté orthogoal de C sur la droite (AB), AB AC AB AC Activité. Combie d iformatios pour u triagle?. Si o e commuique que les logueurs de deux côtés, o peut avoir u triagle bie différet selo : les logueurs des trois côtés ; les logueurs de deux côtés et la mesure de l agle compris etre ces deux côtés ; la logueur d u côté et les mesures des deux agles adjacets à ce côté. Remarque : cela reviet à cosidérer les cas d isométrie des triagles et pour chaque cas il y a au miimum trois iformatios. TP. U esemble de poits das u repère. Observatio c. Cojecture : E est la réuio des deux diagoales, privée des sommets du carré.. Démostratio a. DM x ˆ ur uu - xˆ y - et HK y. b. DM uuu r ur uu HK = x( x) + y(y ) = y x y + x Soit DM uuu r ur uu HK = (y x) (y + x ) DM uuu r ur uu HK = 0 (y x) (y + x ) = 0 C AB = et AC = A B 0

222 c. (y x) (y + x ) = 0 y = x ou y = x + y = x est ue équatio de la droite (AC). y = x + est ue équatio de la droite (BD). Comme M est à l itérieur du carré, il e résulte que E est la réuio des deux diagoales du carré, privée des sommets du carré. TP. U problème d orthogoalité. Cojecture : D est la diagoale [AC] du carré privée des poits A et C. ur u. Cosidéros le repère orthoormé du pla (A ; AB, AD. Das ce repère, M(x ; y) avec 0 < x < et 0 < y < ; H(x ; 0) ; K( ; y) et O ( ur uu ; (HOK rectagle e O) OH OK 0 ur uu OH OK 0 (x ˆ + (- - ˆ y = 0 C est-à-dire y = x. La droite d équatio y = x est la droite (AC). D est doc l esemble des poits de la droite (AC) à l itérieur du carré, c est-à-dire la diagoale [AC] privée de A et C. Autre démostratio. Aalyse Si HOK est rectagle e O alors [HK] hypotéuse des triagles rectagles HOK, et HBK est le diamètre du cercle passat par O, M (car le milieu de [HK] est le cetre du rectagle MHBK), H, B, K. Il e résulte que le milieu I de [HK] est tel que IO = IB, doc I est sur la médiatrice d de [OB], d est parallèle à (AC), car (AC) ^ (OB). d coupe [AB] e so milieu P et [BC] e so milieu Q (d droite des milieux das le triagle ABO parallèle à (OA) et droite des milieux das le triagle OBC parallèle à (OC)). Le poit M est tel que I est le milieu de [BM], doc la droite (PI) passat par les milieux P et I des côtés [BM] et [BA] du triagle ABM est parallèle à (AM). Or la seule droite passat par A et parallèle à la droite (PI) qui est la droite d, est la droite (AC). Doc M est situé sur la droite (AC) à l itérieur du carré, doc sur la diagoale [AC] privée de A et C. Sythèse Si M est u poit de la diagoale [AC] à l itérieur du carré, alors le milieu I de [BM] est le cetre du rectagle MHBK et la droite (PI) qui passet par les milieux P et I des côtés [BA] et [BM] est parallèle à (AM), doc à (AC). Or la seule droite passat par P et parallèle à (AC) est la droite (PQ) médiatrice de [OB]. Il e résulte IO = IB et comme I est aussi le cetre du rectagle MHBK IB = IH = IK. Nous obteos alors IO = IH = IK, O est doc situé sur le cercle de diamètre [HK], distict de H et K (car O est à l itérieur du carré et H et K sot sur les côtés du carré) doc HOK est u triagle rectagle e O. Pour aller plus loi ur u E se plaçat das le repère orthoormé (A ; AB, AD, HOK est u triagle rectagle e O si et seulemet si les coordoées (x ; y) das ce repère sot telles que y = x. Alors OH ˆ = x - + = + y - ˆ = OK Doc OH = OK et le triagle HOK rectagle e O est aussi isocèle. Remarque Si HOK est isocèle e O, il est pas écessairemet rectagle e O. E effet OH = OK ˆ x - + = + y - ˆ ˆ ˆ C est-à-dire : x - = y - Ôx - y - ˆ ˆ Ô x - = y - Ìou Ô ˆ x - - y - D C ÓÔ C est-à-dire y = x ou y = x +. Doc M est sur la diagoale [AC] ou sur la diagoale [BD], à l itérieur du carré. Or, d après., HOK est rectagle e O si et seulemet si M est sur la diagoale [AC] privée de A et C. Il e résulte que si M est sur [BD] et distict de O, à l itérieur du carré, HOK est isocèle e O, mais est pas rectagle e O. A M H O K B Chapitre. Produit scalaire

223 TP. Choisir ue expressio du produit scalaire uru uru ur u uur uur EC AG = EB BCAB BG uru ur u uur uur uru uur ur u uur EB BCAB BG = EB AB BC BG uru uur ur u uur EB AB BC BG = EB AB + BC BG EB AB + BC BG = EB AB + AB EB = 0 uru Doc EC AG = 0 et (EC) est doc la hauteur issue de E das le triagle AEG. Pour aller plus loi Ue démostratio e géométrie repérée ur u E preat (A ; AB, AD comme repère orthoormé du pla. uru Das ce repère B( ; 0), C( ; ), E(a ; 0) avec a > et G( ; a ). EC AG = ( a) + (a ) = 0. Doc les droites (EC) et (AG) sot perpediculaires et (EC) est la hauteur issue de E das le triagle AEG. Ue autre démostratio e géométrie o repérée. (AC) // (BF) car gbac = febf =. (BF) ^ (EG) doc (AC) ^ (EG). (AC) est alors la hauteur issue de A das le triagle AEG, comme (GC) est la hauteur issue de G. C état le poit d itersectio de ces deux hauteurs, il est l orthocetre du triagle AEG. Il e résulte que (EC) est la troisième hauteur du triagle AEG. TP. Ifographie : tracer u cercle. a. Graphique : E ; graphique : SE. b. E (x p + ; y p ) ; SE (x p + ; y p ) ; M (x p + ; y p. c. d = OM r Si d < 0 alors OM < r, le poit M est doc à l itérieur du cercle, o choisit E. Si d > 0 alors OM > r ; le poit M est doc à l extérieur du cercle, o choisit SE..a. b. x d y y 0 0,00 8,7 0,00,7 0,00 0,7 0,00,7 0,00, 9,00,7 9,00 7 8,7 9,00 8, 8,00 9,7 8,00 0, 7,00,7 7,00,,00 9,,00,,00 0 x

224 TP. Calculs de distaces et d agles e chimie. a. ACD état u triagle équilatéral de côté a, la médiae (AJ) est aussi la hauteur issue de A. A Doc AJ = AC JC = a. b. Das le triagle équilatéral BCD de côté a, la médiae (BJ) est aussi la hauteur issue de B. Doc BJ = a. C J D. J AJB est u triagle isocèle e J car d après. a. et. b. JA = JB ; comme I est le milieu de [AB], la médiae (JI) est aussi hauteur doc JI = JA AI = a a a -. O O état le milieu de [IJ], o obtiet OI = IJ a. 8. O état sur la médiatrice (IJ) de [AB], OB = OA = OI + IA = a a = a. 8 8 Il e résulte OB = OA = a. A I B E appliquat la formule d Al-Kashi das le triagle AOB, AB = OA + OB OA OB cos(gaob). Comme OA = OB, AB = OA OA cos(gaob) D où cos(gaob) =. Comme 0 < (gaob) < 80 gaob = 09 à près. TP. Ue équatio à la maière de Descartes. (E) : z = az + b z = a a b. (E) : z = 8z + z = 8z + z 8z = 0 Le discrimiat est égal à 08. Cette équatio admet deux solutios das : 8 08 et. Descartes doe la solutio positive +. O peut remarquer que a + b est égal au discrimiat 08. Et que : a a b = a a b. a. Voir figure ci-cotre. = b. MO = MN + NO = MN + LN = MN + a O MN = LM = + LN = b a + ˆ = a b Doc MO = a a b. ur uu ur uu ur uu ur u c. MO MP = (MN + NO) (MN + NP) N milieu de [OP] doc NO ur uu ur u = NP. N L P M Chapitre. Produit scalaire

225 ur uu ur u ur uu ur u D où MO MP = (MN NP) (MN + NP). Soit MO MP = MN NP. NP = NL. Doc MN NP = MN LN = LM = b. Soit MO MP = b. uur ur u MO PO = MO PO car MO et PO sot coliéaires et de même ses. PO = PN = LN = a uur = a. Doc MO PO = a MO. uuu r uuu r uuu r ur uu ur u uur MO = MO MO = MO (MP + PO). D où MO = MO MP + MO PO = b + amo Il e résulte que MO est solutio de l équatio z = az + b. TP7. Géopositioemet A. La trilatératio. a. Voir figure ci-cotre. b. Si o a que deux distaces PA et PB par exemple et que A, B P et B e sot pas aligés, le cercle de cetre A et de rayo B AP et le cercle de cetre B et de rayo BP se coupet e u secod poit P et doc P est pas détermié de maière P uique. Il faut doc predre ue troisième distace CP. Si A, B et C e A O sot pas aligés et si les trois cercles de cetre A et de rayo AP, de cetre B et de rayo BP et de cetre C et de rayo CP A ot u poit commu P, celui-ci est uique (c est le cas de la C figure e a.).. Cercle A de cetre A et de rayo AP = : (x + ) + y =. C Cercle B de cetre B et de rayo BP = 0 : (x 8) + (y 0) = 00 Cercle C de cetre C et de rayo CP = : (x ) + (y + ) =. O commece par détermier les coordoées des poits d itersectio des cercles A et B, à l aide des équatios de ces deux cercles. Le poit P commu aux trois cercles est commu à A et B, c est doc u des deux poits d itersectio de A et B. Doc le poit P commu aux trois cercles est parmi les deux poits d itersectio de A et B celui dot les coordoées vérifiet l équatio de C. a. Le résultat obteu avec le logiciel Xcas doe les coordoées (80/ ; 7/) et (0 ; ) des deux poits d itersectio du cercle de cetre A( ; 0) et de rayo avec le cercle de cetre B(8 ; 0) et de rayo 0 b. (0 ) + ( + ) = + 8 =, doc le poit de coordoées (0 ; ) appartiet au cercle de cetre C et de rayo. Comme il est aussi situé sur les cercles de cetre A et de rayo et de cetre B et de rayo 0, il e résulte que le poit P commu aux trois cercles est le poit de coordoées (0 ; ). B. La triagulatio. hanb = 80 (7 + 0 ) = E appliquat la formule des sius das le triagle ABN : si 0 si 7 si. AN BN 8, Doc AN = si 0, 8 =,,. si BN = si 7, 8,8 si. Soit H le projeté orthogoal de N sur la droite (AB), la distace du poit N à la droite (AB) est égale à NH. NH AN si 7 doc NH =, si 7,. A N H B

226 Exercices SANS CRAYON, SANS CALCULATRICE f (x) = x x 7 ( ; 7) g est décroissate sur [0 ; + [ car x Æ x est croissate sur [0 ; + [. g est croissate sur ] ; + [ car : - x = x - et x Æ est décroissate sur ] ; + [. x - a. p 7 p 8 cos p 7 9 b. p c. p ou - si 0 cos(t) = cos (t) 7 0 p ˆ 7. No, mais u r ˆ - e est u. cos(0 ) = 8 cos(0 ) = ENTRAÎNEMENT a. 8 b et. d. p e. p 8. a. u r ( v r ) = ( ) + ( ) = 7 ( u r rv ) = ( + 0) = 7 b. (u r v r ) w ur = ( ) + ( ) = 9 u r w ur v r w ur = ( ) = 9. w ur = ( u r v r ) = ( ) + ( ) = 0 9 a. (u r + v r ) (u r + v r ) = u r + u r rv + v r = = 0 b. (u r v r ) ( u r v r ) = u r 9 u r rv + v r = + = 7 0 Voir corrigé e fi de mauel. a. x = 0 x = b. x x = 0 x = ou x = -.. BA ur u BC ur u = + = 0 doc ABC est u triagle rectagle e B. ur u ˆ ur u ˆ ur u ur u. AB - et DC - doc AB = DC, il e résulte que ABCD est u parallélogramme et d après a. il a u agle droit. ABCD est doc u rectagle. ur u - ˆ AB, CD ur uu - ˆ -, AC ur u ˆ ur u ˆ et DB. ur u ur u ur u ur uu AC = DB et AB CD = 0, ACBD est doc u parallélogramme dot les diagoales sot perpediculaires, c est doc u losage ce est pas u carré car il aurait fallu que les diagoales soiet aussi de même logueur or AB = et CD = 0. Pour du r - ˆ, pour d u r ˆ.. u r ru = = 0 doc d ^ d. uru - bˆ. La droite d a pour vecteur directeur a uru et - b ˆ la droite d le vecteur a.. uru uru d et d sot perpediculaires si et seulemet si = 0 soit bb + aa = 0.. Algorithme VARIABLES : a, b, a, b ombres ENTRÉES : saisir a ; saisir b ; saisir a ; saisir b. TRAITEMENT et SORTIES : Si aa + bb = 0 lors Afficher «Droites perpediculaires» Sio Afficher «Droites o perpediculaires» FiSi. u r ˆ vecteur directeur de d et u r ˆ - vecteur directeur de d r. r u ru = = 0 doc d ^ d. Chapitre. Produit scalaire

227 . u r ˆ m et u r ˆ m sot des vecteurs directeurs respectifs. d ^ d u r ru = 0 mm =. a. a = b. y = (x ), soit y = x a. (AI) et (AJ) sot perpediculaires et AI = AJ = doc (A ; I, J) est u repère orthoormé. b. A(0 ; 0) ; B( ; 0) ; C(0 ; ) ; R(0 ; ) ; S( ; 0) ; T( ; ). ur u ˆ c. AT et BR ur u - ˆ ur u ur u AT BR = + = 0. Doc (AT) est la hauteur issue de A das le triagle ARB. 8. a. b. Oui. Preos O e A, alors das le repère (O ; I, J) a. A(0 ; 0) ; B( ; 0), C( ; h) et D(0 ; h) avec h > 0. ur u ˆ b. AC h et BD ur u - ˆ h. ur u ur u AC BD = 0 h = 8 Avec h > 0 ous obteos h =. 9 a. AD ur uu ur u b. AC ur uu et AK. 0 Voir corrigé e fi de mauel. a. x y = 0 b. x y + 8 = 0. BC ur u - ˆ est u vecteur ormal à la hauteur issue de A, doc ue équatio de cette hauteur est : x + y = 0. ur u ˆ AC est u vecteur ormal à la hauteur issue de B, doc ue équatio de cette hauteur est : x + y = 0.. a. Les coordoées (x ; y) de H sot solutios du -x y système x y c est-à-dire - x 9y 8 x y ce qui reviet à D J A O 0 x Ô Ì Ô y Ó I E C d où H 0 ; ˆ. B ˆ b. CH ur u - ur u ˆ, AB -. - CH ur u ur u AB = + = 0, doc (CH) est la hauteur issue de C. O e déduit que les hauteurs du triagle ABC sot cocourates e H.. I milieu de [AB] ; I - - ˆ ur u ˆ ; et AB est u vecteur ormal à la médiatrice de [AB] doc x y = 0 est ue équatio cartésiee de la médiatrice de [AB].. De même : x y = 0 est ue équatio cartésiee de la médiatrice de [AC].. Le cetre du cercle circoscrit au triagle ABC est le poit d itersectio des deux médiatrices. Ses coordoées (x ; y) sot solutios du système x - y Ô Ì c est-à-dire x Ô Ì 8 x - y ÓÔ ÓÔ x - y x Ô 8 soit Ì Ôy -. Ó 8 Le cetre du cercle circoscrit au triagle ABC est doc W ˆ ; U poit M appartiet à la droite passat par A(x A ; y A ) et de vecteur ormal (x r ; y ) si et seulemet si AM r 0 soit (x xa ) x + (y y A ) y = 0 ce qui s écrit ecore x x + y y x A x y A y = 0. VARIABLES : x, y, xa, ya, c, ombres ENTRÉES : Saisir x ; saisir y ; saisir xa ; saisir ya TRAITEMENT : c pred la valeur x A x y A y SORTIE : Afficher «ue équatio est :», x, «x +», y, «y +», c Voir corrigé e fi de mauel.. A B P H O Q C

228 ur u - ˆ. La hauteur issue de C a pour vecteur ormal AB - doc ue équatio cartésiee de cette hauteur est : x + y = 0. Les coordoées de H sot telles que 0 + = 0, doc H est sur la hauteur issue de C, comme H a pour abscisse 0, H est aussi sur la hauteur (AO), doc H(0 ; ) est l orthocetre du triagle ABC.. La perpediculaire ur u D à (AB) passat par O a pour vecteur ormal AB et comme elle passe par O, ue équatio cartésiee de D est : x + y = 0. Le poit P état situé sur d a pour abscisse. Comme il est aussi situé sur D, so ordoée y est telle que : 9 + y = 0 soit y = 9 d où P( ; 9 ). De même, ue équatio cartésiee de la perpediculaire D à (AC) passat par O est : x y = 0, le poit Q état situé sur d a pour abscisse, comme il est aussi situé sur D so ordoée y =, doc Q( ; ).. PH ur u ˆ -, PQ ur u ˆ -, ( ) ( ) = 0 doc PH ur u et PQ ur u sot coliéaires et les poits P, H et Q sot aligés. A V B D U C. (DU) ^ (DV) et DU = DV = doc (D ; U, V) est u repère orthoormé.. DA = 9 = doc AD =, doc A(0 ; ), B( ; 0) et C( ; 0) das le repère (D ; U, V). ur u ˆ AC - est u vecteur ormal à (DH) droite passat par l origie, doc (DH) : x y = 0. ur u ˆ. AC - est u vecteur directeur de (AC). Doc (AC) : x y + = 0. Les coordoées (x ; y) de x - y 0 H sot solutios du système - x - y 0 8 x 9x -y 0 Ô c est-à-dire soit Ì. x y 8 Ô y Ó Doc H 8 ; ˆ et K ; 8 ˆ. K H ˆ ˆ ur uu AK et BH ur u. - 8 ur uu ur u AK BH = 0,9,9,8, = 0. Doc (AK) et (BH) sot orthogoales. 7. (x ) + (y + ) =. + (y + ) = y = + ou y =. Les deux poits de d abscisse ot doc pour coordoées ( ; + ) et ( ; ). 8 Voir corrigé e fi de mauel. 9. M(x ; y) ur est uu situé ur uu sur le cercle de diamètre [AB] si et seulemet si MA MB = 0 c est-à-dire (0 x) ( x) + (7 y) ( y) = 0, soit x + y x y + = 0.. La tagete T à au poit B est perpediculaire e ur u - ˆ B à (AB). Doc AB - 8 est u vecteur ormal à T, d où T : x 8y + = 0 soit x + y 8 = Soit M(x ; y) u poit du pla. AM x - ˆ y - ; AB ur u - ˆ -. M Œ (AB) (AM ur u et AB coliéaires) soit : (x ) ( ) (y ) ( ) = 0 c est-à-dire : x + y = 0. Ue équatio du cercle de cetre A et de rayo : (x ) + (y ) = ou ecore x + y x y = 0.. Les coordoées (x ; y) des poits d itersectio de la droite (AB) et du cercle sot solutios du système : - x y - Ì Ó x y - x - y - 0 x - y Ô c est-à-dire Ì Ô x - ˆ x - x ˆ x ÔÓ x - Ôy Soit Ì ce qui reviet à : ÓÔ 7 x - 8 x x ª 0, Ô 7 Ì Ô y ª ÓÔ 0, 7 x - ª - 00, Ô 7 ou Ì Ô y - ª - ÓÔ 0 0, 7 Chapitre. Produit scalaire 7

229 Voir corrigé e fi de mauel. a. x + y y = 0 x + y = 9 et de rayo. C est doc le cercle de cetre W 0 ; b. x + y x + 8 = 0 (x ) + y + = 0, or pour tout réel x et pour tout réel y(x ) + y + > 0, l esemble des poits M(x ; y) du pla tel que x + y x + 8 = 0 est doc vide. a. Ue droite (passat par les poits de coordoées (, ; 0) et ( ; )). b. La parabole d équatio y = x + x (sommet de coordoées (, ;,). c. La parabole d équatio y = x + (sommet de coordoées (0 ; )). d. x + y y = 0 x + (y ) =, c est doc le cercle de cetre W (0 ; ) et de rayo CA + CB = = 8 9 =. Doc C ; 9 ˆ appartiet à G.. MA + MB = (x ) + y + (x + ) + (y ) = c est-à-dire x + y + x y = 9 ce qui reviet à x + y - =. ˆ G est doc le cercle de cetre W ; et de rayo. Remarque : e utilisat le théorème de la médiae MA + MB = MI + AB =, avec I milieu de [AB] et AB ˆ =. Ce qui reviet à IM = et I ;, doc I = W et o retrouve le cercle G.. est le cercle de cetre W( ; ) et de rayo, est le cercle de cetre O et de rayo.. a. ( ) + ( ) = + = 0 doc E( ; ) est sur. + ( ) = doc F( ; ) est sur. E T b. O peut cojecturer que les deux cercles sot tagets extérieuremet.. a. (x ) + (y ) = 0 x + y x y + = 0 M(x ; y) appartiet aux deux cercles si et seulemet si x y - x - y 0 Ì x y Ó D où : x y + = 0 c est-à-dire x + y = 0. b. y = x + d où x + ( x + ) = soit (x ) = 0. Il e résulte que si les cercles ot u poit commu, ce poit est uique et a écessairemet pour abscisse et pour ordoée + =. Vérifios que ce poit T de coordoées ( ; ) est sur : ( ) + ( ) = + = 0, doc T est sur. Les deux cercles ayat e commu que ce poit T sot doc tagets e T. c. La droite d d équatio x + y = 0 passe par T( ; ) et a pour vecteur ormal r ˆ, OT ur uu ˆ WT ur uu - ˆ - doc ur uu r ur uu r OT = et WT =, la droite d : x + y = 0 est doc perpediculaire e T au rayo [OT] du cercle et au rayo [WT] du cercle. La droite d est doc tagete commue e T( ; ) aux deux cercles.. Algorithme VARIABLES : x, y, k, ombres TRAITEMENT : Pour k de à 000 Faire x pred la valeur alea() // alea() idique le tirage d u ombre pseudo aléatoire etre 0 et. y pred la valeur alea() Si y > Alors Afficher le poit de coordoées (x ; y) FiSi FiPour Programmes dispoibles sur le site O obtiet la partie du carré ABCD où A(0 ; 0), B( ; 0), C( ; ) et D(0 ; ) située à l extérieur du quart de cetre de cetre O et de rayo. ur u 7 AB = - 7 = 7 ur u ur u ur u ur u ur u ur u ur u 8 ur AB u ; AB ur u + AC = AB + AB uru + BC ur u =AB + ur u BC. ur Soit u E ur u tel que ur u AE ur u = AB et F tel que EF = BC, alors AF = AB + AC AB et BC état orthogoaux, AEF est doc u triagle rectagle e E D C F O 8 F A B E

230 ur u uur ur u AB AC = AF = AE EF = AB BC ur u uur ur u uur AB - AC = AB CA = CB ur u ur u uur doc AB - AC = CB ur u = BC. r 9 u = ; - u r = - u r = ; v r = ; r u + v r - ˆ doc u r v r = 0. ur u ur u 0 AB = AB = 9 ; AB AH = AB AH =, ; ur u ur u ur uu uur AL AB = AL AB = ; AK AL = AK AL =. Voir corrigé e fi de mauel.. a. La hauteur issue de A das le triagle ABS rectagle e A semble être (AK) les deux autres hauteurs das ABS sot SA et BA, la hauteur issue de A das le triagle ACR rectagle e A semble être (AL) les deux autres hauteurs sot CA et RA. ur u ur u ur uu uur ur uu uur b. AC + ur AR u = ur AK u r KC + AK KR, comme ur u ur u K est le ur uu milieu de [CR] KC CR 0, il e résulte AC + AR = AK, d où ur uu AK = AC ur u + AR ur u. c. BS uru ur u ur u = AB + AS ur uu uru d. AK BS = ( AC ur u + AR ur u ur u ur u ) ( AB + AS ) = AC ur u ur u AB AR ur u ur u AB + AC ur u ur u AS + AR ur u ur u ur u ur u ur u ur u AS, comme AC ^ AB et AR ^ AS, ur uu uru ous obteos AK BS = AR ur u ur u AB + AC ur u ur u AS. S état situé ur u sur ur u la demi-droite ur u ]AC) ur u et R sur la demidroite ]AB) AR AB = AR AB et AC AS = AC AS, d où ur uu uru AK BS = AR AB + AC AS. ur uu uru Or AC = AB et AR = AS doc AK BS = 0. Doc (AK) est la hauteur issue de A das le triagle ABS. ur u. AL = AB ur u + AS ur u ur u ur u ur u et CR = AC + AR. ur u ur u AL CR = AB ur u ur u AC + AB ur u ur u AR AS ur u ur u AC + AS ur u ur u AR = AB ur u ur u AR AS ur u ur u AC. = AB AR AS AC = 0 Doc (AL) est la hauteur issue de A das le triagle ACR.. Cosidéros le repère orthoormé (A ; B, C), alors A(0 ; 0), B( ; 0), C(0, ), R(a ; 0) avec a > 0 et S(0 ; a), K( a ; et L( ; a ur uu uru a AK BS = + a = 0 doc (AK) est la hauteur issue de A das le triagle ABS. ur u ur u a CR AL = a = 0, doc (AL) est la hauteur issue de A das le triagle ACR.. u r v r r = ab + ba = 0 ; u = v r = a b ur u ˆ. AB doc le vecteur v r - ˆ est orthogoal et de ur u même orme que AB. Le poit C(x C ; y C ) tel que BC ur u r v et le poit D(x D ; y D ) tel que AD ur uu r v sot tels que ABCD soit u carré. xc - xb xr Ô v - O obtiet Ì d où C(0 ; ) yc - yb yr v ÓÔ xd - xa xr Ô v - De même Ì d où D( ; ). yd - ya yr v ÓÔ. E suivat la même démarche que das la questio, e otat aˆ ur u b les coordoées de AB, o obtiet r- bˆ v a puis xc - xb xr Ô v -b Ô Ì d où x C x B - b yc - yb yr Ì v a y y a ÓÔ C B ÓÔ xd - xa xr Ô v -b Ô et Ì d où x D x A - b yd - ya yr Ì. v a y y a ÓÔ D A ÓÔ D où l algorithme suivat : VARIABLES : xa, ya, xb, yb, a, b, xc, yc, xd, yd ombres ENTRÉES : Saisir xa, ya, xb, yb TRAITEMENT : a pred la valeur xb xa b pred la valeur yb ya xc pred la valeur xb b yc pred la valeur yb + a xd pred la valeur xa b yd pred la valeur ya + a SORTIES : Afficher «Coordoées de C :», xc, «;», yc,»)» Afficher «Coordoées de D : (», xd, «;», yd,»)». Programmes sur le site D C K A E appliquat le théorème de Pythagore das les triagles rectagles e K : AB + CD = (KA + KB ) + (KC + KD ) BC + DA = (KB + KC ) + (KA + KD ) B Chapitre. Produit scalaire 9

231 D où AB + CD = BC + DA.. a. BC AB = (BC ur u BA ur u ) (BC ur u + BA ur u ur u ur u ur u = AC (BC + BA b. DA CD = (DA ur uu ur u ur uu ur u ur u ur uu ur u ur u ur uu ur u DC ) (DA + DC) = CA (DA + DC) = AC (DA + DC) Doc ur u BC ur u + DA ur u ur AB u ur uu CD ur = u (BC ur u AB ur u ) + (DA ur u CD ) = AC (BC + BA AC (DA + DC) = AC (BC DC + BA ur u DA ur uu ur u ur u ur u ur u ur u ) = AC (BD + BD) = AC BD c. Si AB + CD = BC + DA alors ur u ur u BC + DA AB CD = 0 doc d après. b. AC. BD = 0. ur u ur u soit AC BD = 0 et ous e déduisos (AC) perpediculaire à (BD). La réciproque est doc vraie.. U quadrilatère ABCD a ses diagoales (AC) et (BD) perpediculaires si et seulemet si AB + CD = BC + DA ur AB u ur AC u = (AB + AC BC ) = ( + 9) =. ( r r u v u r v r - - ) = ( r r u v -u r - v r ) = ( u r v r -u r - u r v r v r ) = ( r r r u v u u r v r v r - - ) = u r v r ur u r ur u r. E posat AB u et AC v (AB + AC BC ) = ur u uur uur uur ( AB AC - AC - AB ) = ( r r u v u r v r - - ) = u r v r (e appliquat le résultat de.) et u r v r ur u ur u = AB AC. ur u ur u. AB AC = ( + 9 ) = 9 ur u ur u CA CB = 9 - = 0 ur u ur u BA BC = ( + 9) = r r 7. u v u r - v r r r = (u v r r u - v = ( u r u r v r v r r r r r u - uv v = u r v r. D A B ur u uur ur u uur AB AD AC et AB - AD DB ur u AC = BD AC = BD uur AB AD - AB - AD = 0. ur u E appliquat, cela équivaut à AB AD 0 c est-àdire que les côtés [AB] et [AD] du parallélogramme sot perpediculaires. Doc si le parallélogramme ABCD est u rectagle, alors ses diagoales [AC] et [BD] sot de même logueur. C 8. u r v r = u r ku r r r = k uu = k ( u r = k u r r. v = ku r = k u r. u r v r = k u r = u r k u r Si k > 0, k u r = k u r = v r. Doc u r v r = u r v r. Si k < 0, k u r = ( k ) u r. Doc u r v r = u r v r. 9 Désigos par I, J et K les milieux respectifs des côtés [BC], [CA] et [AB]. AB + AC = AI + BC, soit 80 = AI +,. D où AI = K et AI =,8. I De même : B BA + BC = BJ + AC De même, CA + CB = CK + AB. D où CK =, d où BJ = 9,. 0 Soit I le milieu de [AB]. M E appliquat le théorème de la médiae : pour tout poit M du pla MA + MB = MI + AB, doc MA + MB = 0 équivaut à MI = c est-à-dire à A I B IM =. L esemble des poits M tels que MA + MB = 0 est doc le cercle de cetre I, milieu de [AB], et de rayo. Voir corrigé e fi de mauel.. D C Le cetre O du recta gle est le milieu de chacue des deux diagoales [AC] et O M [BD]. E appliquat A B le théorème de la médiae, pour tout poit M : MA + MC = MO + AC MB + MD = MO + BD ABCD état u rectagle, les diagoales [AC] et [BD] sot de même logueur, doc MA + MC = MB + MD.. De. o tire MD = MA + MC MB =. D où MD = 7,7. C A J 0

232 . Si ABC est u triagle isocèle e A, (AA ) est u axe de symétrie du triagle ABC et [CC ] est l image de [BB ] par la C B symétrie d axe (AA ). Doc BB = CC.. a. Si les médiaes B A C [BB ] et [CC ] du triagle ABC sot de même logueur alors le triagle ABC est isocèle e A. b. BB = (BA + BC AC ) CC = (CA + BC AB ) BB = CC BA + BC AC = CA + BC AB AB = AC AB AC Doc ABC est u triagle isocèle e A.. ABC est u triagle isocèle e A si et seulemet si les médiaes issues de B et C sot de même logueur. ur uu uru uru uru ur. MA MB = (MI IA uru MI uru IB ur uru ur = MI + MI IA IB+ IA IB ur uru Comme I est le milieu de [AB] IB - IA, doc ur uu MA MB = MI IA = MI AB ur uu. De. et de AB = o tire MA MB = MI = MI =. G est le cercle de cetre I et de rayo. ur u uur ur u ur u ur u a. AB AC b. AB AD = c. AB AE = 8 ur u ur u ur u ur u d. AB AF -8 e. AB AG - f. AB AH = 0 CD ur uu, EF uru et GH ur uu ot pour projectio orthogoale RP uru sur (AB) doc ur u ur u uru ur u ur u uru AB CD = AB EF = AB GH = AB RP = AB PR. 7 a. > 0 b. > 0 c. < 0 d. < 0 ur uu uur ur u 8 AH CH 0 ; AB AH = AH = 7 ur u uur ; BC CH =,. ur u ur u uur uur 9 a. AB AD 0 b. AB AC AB ur u uur c. AC BD 0 ur u uur ur u d. OF OA OF OH = OF = ur u uru e. AB BE = AB BE =, ur u f. GB GD GC GD -GC - A 70 B K A C ur u uur ur uu u ru ur u ur uu uur uru uur AB AC = AK KB AC = AK AC KB AC Comme KB uru ur u uru uur ur u uur ur uu et uu AC r sot orthogoaux, KB AC = 0 doc AB AC = AK AC. ur u uur ur u uur ur u uur ur u uur 7 CB CA = CB CK et CB CA =CH CA. ur u uur ur u uur Doc CB CK = CH CA. Comme les agles du triagle sot aigus, K est sur [BC] et H sur [AC], doc CB ur u et CK ur u sot coliéaires de même ses, de même pour CA ur u et CH ur u. ur u uur ur u uur Doc CB CK = CK CB et CH CA = CH CA. Il e résulte CH CA = CK CB. 7. Figure ci-cotre. C N. O cojecture que le M produit AM AN est costat. A B H. [AB] est u diamètre de G doc pour N sur G et N distict de B, ABN est u triagle rectagle e N. Remarque : la tagete e A à G est parallèle à (CH), comme d et (CH) sot sécates, d e peut pas être tagete e A à G, doc N est toujours distict de A.. Si N est distict de B, ABN est rectagle e N alors le projeté orthogoal de B sur (AM) est N, d où uur AM AN = AM AB. uur Si N = B alors AM AN = AM AB. H est le projeté orthogoal de M sur (AB) doc uur ur uu uur ur uu uur ur u uur AM AB = AH AB et AH AB = AC AB car H est le projeté orthogoal de C sur (AB). uur ur u uur Doc AM AB = AC AB.. ABC est u triagle rectagle e C doc C est le projeté orthogoal de B sur (AC), d où ur u uur ur u uur uur AC AB = AC AC AC = AC. Il e résulte que pour toute droite d uur ur u uur AM AN = AM AB = AC AB = AC AM et AN ur uu sot deux vecteurs coliéaires dot le produit scalaire est positif, doc AM AN = AM AN. 7. APB est u triagle rectagle e P, doc P est le projeté ur u orthogoal ur u de B sur la droite (AM) d où AB AM = AP AM ur uu ; de uuu même r ur u AQB est u triagle rectagle e Q d où BQ BM = BA BM Chapitre. Produit scalaire

233 ur u ur uu ur u ur u. AP AM + BQ BM = AB AM + BA BM ur u ur u = AB ur u AM AB BM ur u uur = AB AM -BM = AB AB ur u = AB = AB 7. A H B AH ur uu ur u ur uu ur u et AB sot coliéaires ; comme AH AB > 0, ils sot de même ses et AH ur uu ur u AB = AH AB. Doc AH =, et H est le milieu de [AB]. ur u ur u ur u uur. AB AM = AB AH HM = AB AH AB HM Comme AH ur uu ur u ur u ur u AB = 8, AB AM = 8 AB HM = 0. ur u. AB HM = 0 si et seulemet si M est sur la droite passat par H et perpediculaire à (AB). L esemble des poits M est doc la médiatrice de [AB]. A H B 7 a. b. 0 c. 0 7 a. b. 77 L agle etre les deux aiguilles est de 0 ( 0 ). Si o désige par d la distace etre les extrémités des aiguilles, e appliquat la formule d Al-Kashi d = cos(0 ) = 9, doc d = 9,8. ur u ur u 78 BA BC BC =, ur u ur u ur u ur u AB BC -BA BC =, ur u uur ur u uur BC CA -CB CA =, 79 a. = cos(gbac) doc gbac =. b. = cos(gbac) doc gbac = 0 80 Voir corrigé e fi de mauel. 8 A ur uu uur OA OE = cos (gaoe) = cos(gaoe) = gaoe = 0 Les poits E et F sot symétriques par rapport à (OA). ur u uur 8. AB AR = a a a cos (gbac) = ur u uur uur ur u uur uur uurur u uur uur AB AR - AP = AB AR - AB APAB AR - AP ur u uur uur uur AB AR - AB AP = a a = 0 ur u uur. Comme AR - AP = PR uru ur u uru, il e résulte AB PR 0 doc APR est u triagle rectagle e P. ur u uru ur u. E procédat de même BC BP -BQ = 0 = BC QP et ur u uur ur u uur CA CQ - CR = 0 = CA RQ Doc BQP est u triagle rectagle e Q et CRQ est u triagle rectagle e R. E appliquat le théorème de Pythagore das les triagles APR, BQP et CRQ : PR aˆ a = ˆ = a, de même PQ = a = QR, doc PR = RQ = QA. Le triagle PQR est doc équilatéral. 8 D A ur u ur u uur ˆ uur ˆ AE AF AB AD AD AB ur u Comme AB AD 0 ous obteos ur u ur u AD AB AE AF = = a AE a = a ˆ ˆ = a = AF ur u ur u Doc a = AE AF = a cos(feaf). Il e résulte cos (feaf) = et feaf =,9 à 0, près. F C E B E O F 8 Voir corrigé e fi de mauel. ur u uur uur 8 AC DK AB AD-AD AB ur u Comme AB AD 0 ous obteos ur u AC DK = AD + AB =,.

234 ur u ur u AC DK = AC DK cosac, DK = ur u, D où cosac, DK =., 7 ur u Et AC, DK =, à 0, près. 8 a. cos(0 ), b. D 7 cos ur u AC, DK C Remarque : o peut aussi se placer das u repère uru orthoormé (A ; I, J) avec AI = a AB ur u uru et AJ = h AD ur uu. Alors A(0 ; 0), B(a ; 0), C(a ; h) et D(0 ; h). 89 D C J A E B I Soit K le projeté orthogoal de C sur (AB) alors ur u uur uur BK = AH = et ABAC ABAK AB AK 7. ur u uur ur u uur c. AD = BA + BD BA BD = + AB AC ur u uur - D où AB AC = =. d. AC = BA + BC. BA. BC. cos(gabc ) doc AC = 8 cos( p ) = 7. ur u uur BC = AB + AC AB AC ur u uur 7 - Doc AB AC = = Voir corrigé e fi de mauel. 88 D A. Soit K le projeté orthogoal de C sur (AB). D A H C K C A K B ur uu uur AKCD est u rectagle d où AK AB. Il e résulte : ur u uur ur uu uur ur u AC BD = (AK KC) (BA AD = h a.. Les diagoales ur u (AC) uur et (BD) sot perpediculaires si et seulemet si : AC BD = 0. C est-à-dire h = a, comme h > 0 et a > 0 cela reviet à h = a. B K B uru Cosidéros le repère orthoormé (A ; I, J) avec AI = a AB ur u uru et AJ AD. b Das ce repère A(0 ; 0), B(a ; 0), C(a ; b), D(0 ; b), E a ; 0 ˆ ur u uur DE AC = a b - D où (DE) et (AC) sot perpediculaire si et seulemet si a - b = 0 c est-à-dire comme a > 0 et b > 0 : a = b. ur u ur u 90. AB AF = AB AF cos(fbaf) = AB AC cos( p + θ) = bc si θ ur u ur u p AC AE = AC AE cos ( + θ) = bc si θ. AB ur u AC uur = uru ur AI IB uru AI ur IC ur ur Comme I est le milieu de [BC], IB IC = 0 r. Doc AB ur u AC uur uru = AI.. E appliquat le résultat du. uru uru AI EF = AB ur u AC uur ur u ur u (AF - AE doc uru uru AI EF = ur u ur u ur u ur u ur u ur u uur ur u (AB AF AB AE + AC AF - AC AE) ur u ur u ur u ur u Comme AB AE 0 et AC AF = 0 car BAE et CAF sot des triagles rectagles e A. uru uru Il reste AI EF = ur u ur u ur u ur u (AB AF AC AE), or e., ous avos motré que : ur u ur u ur u ur u uru uru AB AF = bc si θ = AC AE, doc AI EF = 0, et (AI) est doc la hauteur issue de A das le triagle AEF. 9 Voir corrigé e fi de mauel. 9. Désigos par C le poit où se trouve le ballo (voir figure page suivate). Chapitre. Produit scalaire

235 A B AC = AD + DC =, + 8 = 90, BC = BD + DC = = 0 E appliquat la formule d Al-Kashi das le triagle ABC AB = CA + CB CA CB cos(gacb ) 70, 88 soit cos(gacb )= 0,9 90, x 0 d où gacb,. ur u ur u 9 = BA BC = BA BC cos(gabc ) Doc cos(gabc ) =. Doc gabc = 0. AC = BA + BC BA BC cos(gabc ) = D où AC = = AB, doc ABC est u triagle isocèle e A. 9 C D N AB = 0 AC = 8 BC = 7. E appliquat la formule d Al-Kashi das le triagle ABC : BC = AB + AC AB AC cos(fbac). Soit cos(fbac) = et fbac. 0 De même cos(gabc ) = 8 0 = 7 et gabc, ; 8 cos(gbca ) = et gbca 8,. (Ou ecore gbca 80 ( +, )).. a. AH siabc g d où AH = AB sigabc 7,9. AB b. L aire S du triagle ABC est égale à : BC AH = sigabc, doc S 7,8.. E appliquat le théorème de la médiae das le triagle ABC avec I milieu de [AC] : BA + BC = BI + AC D où BI = 8, et BI = 8, 7,. 9 C E O O OE = 0, EN = 80 et goen =, désigos par H le projeté orthogoal de N sur (OE), le trajet a augmeté de ON HN. E appliquat la formule d Al-Kashi das le triagle OEN : ON = EO + EF EO EN cos( ) = Doc ON = 0 et 0 8,09 Das le triagle EHN rectagle e H HN EN = si(ghen) = si( ) =. Doc HN = EN = 0,9. Et l augmetatio du trajet a été de : 0 0 8,8 km. 9 A I E H A B AB = 0 AC = 0 CE = 0 gbac = 80 gacb = gabc = gcea = gaob = 8 Les mesures des agles doées sur la figure ot été arrodies au degré.. E appliquat la formule des sius das le triagle ABC : si 80 si 0si 80 d où BC = 7. BC AB si. fcoe = 8 doc BCE e = 80 (8 + ) =. E appliquat la formule d Al-Kashi das le triagle BCE : BE = CB + CE CE CB cos(bce e ) D où BE 88 et BE 7.. Aire (ABC) = AB AC si (gbac) 77 Aire (CBE) = CB CE si BCE e 88 L aire du terrai est égale à : aire (ABC) + aire (CBE) 0 m B H C 97 AH est la diagoale du carré ADHE de côté a doc AH = a, BDH est u triagle rectagle e D doc

236 e e BH = BD + DH = a et BH = a. E appliquat la formule d Al-Kashi das le triagle AHB, AB = HA + HB HA HB cos(gahb). Doc cos(gahb) = et gahb,. 98 E appliquat le théorème de Pythagore das le triagle AEK rectagle e E et das le triagle GHK rectagle e H : AK = a = KG et KA = KG = a. ACG est u triagle rectagle e C doc AG = a. E appliquat la formule d Al-Kashi das le triagle AKG : AG = KA + KG KA KG cos (gakg). D où cos(gakg) = et (gakg) Soit a la logueur d ue arête d ue cube, ue grade diagoale du cube a pour logueur a (voir exercice 99). S est le milieu de chacue des grades diagoales du cube doc S Z = S Z = S Z = S Z = a. Les diagoales des faces du cube ot pour logueur a (voir exercice 99). Doc, e appliquat la formule d Al-Kashi das le triagle S ZS : S S = ZS + ZS Z S ZS cosszs D où a = a a cosszs e. Et cosszs e = doc SZS e 09,.. Les triagles S ZS, S ZS, S ZS, S ZS sot des triagles isocèles e Z dot les côtés sot de même logueur que das le triagle S ZS isocèle e Z, doc e appliquat la formule d Al-Kashi das ces triagles o obtiet : SZS e = Se ZS = Se ZS = SZS e = SZS 00 a. U ombre etier est u multiple de 0 si et seulemet si e écriture décimale le chiffre des uités est 0. b. U parallélogramme est u losage si et seulemet si ses diagoales sot perpediculaires. c. Trois poits A, B, C ur disticts u ur u sot aligés si et seulemet si les vecteurs AB et AC sot coliéaires. d. U poit M du pla est situé sur le segmet [AB] si est seulemet si : il existe u réel k, 0 k tel que AM uuu r ur u = kab. 0 B A A H Cosidéros u triagle ABC rectagle e A et H le projeté orthogoal de A sur (BC), alors CA = CB CH. Soit H le symétrique de H par rapport à C et A u poit sur la perpediculaire à (BC) e H tel que A H = AH, alors CH = CH et CA = CH + H A = CH + HA = CA. Doc, das le triagle BA C, CH CB = CH CB = CA = CA. BA C est pas u triagle rectagle e A car BA > BH > BC, doc A est pas sur le cercle de diamètre [BC] (das u cercle la logueur d ue corde est iférieure ou égale au diamètre du cercle). Remarque : de même si ous cosidéros le symétrique A de A par rapport à (BC), H est le projeté orthogoal de A sur (BC) et das le triagle BA C o rectagle e A CB CH = CA. 0. Si M appartiet à l esemble alors OM =. Si OM = alors M appartiet à l esemble.. Ã G et G Ã.. ( Ã G et G Ã ) = G. 0 Das le triagle ABC si ea = p, c est-à-dire si ABC est u triagle rectagle e A, la formule d Al-Kashi a = b + c bc cos ea, deviet a = b + c et o retrouve la relatio de Pythagore, qui est doc u cas particulier. De même si eb = p ou ec = p. 0 G F. ggfd = (80 ) = Et e appliquat la formule des sius das le triagle GFD : si si si d où GD =,8. GD GF si Das le triagle GED rectagle e E, x si DE = si(0 ),7. si La hauteur de la tour est doc de,7 m à 0, m près. C D E H A Chapitre. Produit scalaire

237 . L agle dot la mesure semble iutile est l agle EFD, mais sa mesure permet de croiser les deux visées (GD) et (FD) et doc de détermier le sommet de la tour avec plus de précisio. Travail persoel Pour les exercices 0 à 8 : voir corrigés e fi de mauel. APPROFONDISSEMENT 9 B P B A H. (AB) est tagete aux deux cercles.. OA - ˆ = ˆ = doc OA =, A est doc sur le cercle OP =, doc P est sur. - ˆ ur uu. OA doc d état parallèle à (OA) et a pour vecteur ormal r ˆ et comme elle passe par P, d x + y + = 0.. H - ˆ ; 0 ; C : (x + ) + y =.. Les coordoées (x ; y) de B et B sot solutios du y - x - Ô système Ì c est-à-dire x Ô y x 0 Ó y - x - Ô Ì Ôx 8x 0 Ó x - x - Ô Ô Ì ou Ì Ô y - Ô y ÓÔ ÓÔ Comme B a ue ordoée positive B - ˆ ; O. r ˆ est u vecteur ormal à d et à (OA) et ˆ ur u - AB = - r. - Doc PB uru ur u ur uu ur u AB = 0 et OA AB = 0 doc (AB) est tagete e B à et e A à. 0 Voir fichier XcasFr sur le site d a pour vecteur directeur u r ˆ, doc M est le symétrique u de M par rapport à d si et seulemet si r MM u 0 et le milieu de [MM ] appartiet à d c est-àdire Ì x x y y Ô ÓÔ x - xy - y 0. De. o tire ce qui reviet à. N x - y y - x x y x y x y y x O Q N M Pour aller plus loi M (x, y ) est le symétrique de M(x ; y) par rapport à la droite d : y = x si et seulemet si uu r MM u 0 où u r ˆ est u vecteur directeur de d et le milieu de [MM ] est sur d. M x - x y - y 0 Ô C est-à-dire Ìy y x x ÓÔ Ce qui reviet à x -0, x 08, y y 08, x 0, y Q

238 O A C H A. Le lieu de H est ue parabole. H est e A lorsque ABC est u triagle rectagle e A et e B lorsque ABC est u triagle rectagle e B. H e peut pas être e C car ABC e peut pas être u triagle rectagle e C, C état pas sur le cercle de diamètre [AB], IC > où I désige le milieu de [AB]. B.. a. x = a b. BC ur u a - ˆ est u vecteur ormal à la hauteur issue de A. Doc (a )x + y + a = 0 est ue équatio de la hauteur issue de A. c. H a pour abscisse a et e utilisat b. l ordoée y de H est telle que a a 8a + + y = 0 soit y = - a -.. a. H est situé sur la parabole d équatio x y = - x -. b. Oui, car a décrit IR.. D A. A( c ; 0), B(0 ; 0), C(0 ; c), D( c ; c), E(0 ; ), F( ; ), G( ; 0).. ( + c) + c = et ( + c) 0 + c = c doc (FC) a pour équatio y = ( + c)x + c.. Soit M(x ; y) u poit du pla, DG ur uu cˆ c et GM x - ˆ y. M est situé sur la droite (DG) si et seulemet si ( + c)y + c(x ) = 0 c est-à-dire : cx + ( + c) y c = 0.. Les coordoées (x ; y) de H sot solutios du système y - cx c cx c y -c 0 J B E C I H G F B C est-à-dire y - c x c cx c[ - c x c] - c 0 c Ô x Ce qui reviet à c c Ì Ô c y Ó c c Comme c > 0, + c + c > doc pour tout c > 0 : + c + c 0. c c ˆ Doc H, c c c c. BH ur u c ˆ c c et CG ur uu ˆ c - c. c c ur u c c Doc BH CG - 0. c c c c Les droites (BH) et (CG) sot doc orthogoales.. a. O b. 0, cm c. d : x y + = 0 doc r ˆ est u vecteur ormal à d, comme M( ; ) est sur d ous obteos d : x + y = 0. d. H est le poit d itersectio de d et d doc ses coordoées (x ; y) sot solutios du système : x - y - x 0, x y y, HM - 0,, - 0, r r r r. a. AM AH HM AH HM HM r HM et r r r état coliéaires HM HM. Doc HM AM r r. 0 ˆ c. A( ; ) est sur d. AM - et r ˆ - HM AM r r Pour aller plus loi Soit A(a ; b) u poit de d alors aa + bb = c. H M Chapitre. Produit scalaire 7

239 AM x0 - aˆ r y0 - b a ˆ b AM r ax0 by0 -aa bb ax0 by0 c doc AM r r ax0 by0 c a b. N M J P (OP) est parallèle à (BM), (OP) est aussi perpediculaire à (AM). A et M sot sur le cercle de cetre O doc OA = OM, et O est doc situé sur la médiatrice de [AM]. La médiatrice de [AM] est doc la perpediculaire à (AM) passat par O, c est-à-dire la droite (OP). c. Par la symétrie d axe (OP) médiatrice de [AM], O a pour image O, P a pour image et A a pour image M. L image de l agle goap est doc l agle gomp. Comme goap est u agle droit, il e résulte que gomp est aussi u agle droit, doc (OM) est perpediculaire à (MP). Il e résulte que (MP) est tagete e M au cercle de cetre O. A O B B M (MP) est tagete à.. a. M est sur si et seulemet si OM = c est-à-dire a + b =. b. BM ur uu a - ˆ b et come B( ; 0) est sur (BM) ue équatio de la droite (BM) est bx + ( a) y b = 0. N a pour abscisse et est situé sur (BM) doc so ordoée y est telle que b + ( a) y b = 0 doc b b ˆ comme a car M B y. D où N - - a ; - a b ˆ doc P milieu de [AN] a pour coordoées - - ; - a ur uu - - aˆ et MP ab OM aˆ - b. a - ab d. OM MP - a- a - a - Comme a + b = OM MP - a- a a - - a doc a - a OM MP - - a - a a a - a a - a - a - a d où OMMP 0. (MP) est doc tagete e M au cercle de cetre O.. a. Das le triagle BAN, O est le milieu de [AB] et P le milieu de [AN], doc d après le théorème de la droite des milieux : (OP) // (BM). b. [AB] état u diamètre du cercle et M u poit de distict de A et B, doc AMB est u triagle rectagle e M. Doc (BM) est perpediculaire à (AM). Comme C O A Désigos par (a ; b) les coordoées de M. Comme M est sur le cercle de cetre O et de rayo, a + b =. (OM) : bx ay = 0 et (AH) : x ay = 0 pour b c est-à-dire pour a 0. Nous obteos P a b ˆ ; - b - b. E utilisat u logiciel de géométrie, P semble décrire ue parabole de sommet de coordoées (0 ; ) qui a l axe de ordoées pour axe de symétrie. Ue équatio de cette parabole serait doc de la forme y = αx. P est situé sur cette parabole si et seulemet si a a ˆ b - b - - b C est-à-dire a a ˆ b - b pour b car α 0 - b b d où a - - b b a a a a ( - b) O peut vérifier que P est doc situé sur la parabole d équatio y = x - H D 8

240 g g Cette parabole passe par C( ; 0) et D( ; 0). Pour M = C c est-à-dire pour a = et b = 0 o obtiet M = C = H = P pour M = D c est-à-dire, pour a = et b = 0, M = D = H = P. Lorsque M est e A, H = O les droites (OM) et (AH) sot cofodues avec la droite (OA) et e sot doc pas sécates Pour tout poit P situé sur la parabole et P distict du sommet S(0 ; ) de cette parabole, la droite (OP) coupe e u poit M distict du poit B(0 ; ) dot l ordoée b est de même sige que celle de P. Le projeté orthogoal H de M sur l axe des abscisses est tel que le poit d itersectio des droites (AH) et (OM) sera u poit de la parabole sur la droite (OM) dot l ordoée est de même sige que M, c est-à-dire P. Doc G privée de S est le lieu de P. 7 Voir sur le site 8 A ur uu A. MA MB est costat, il e déped que du poit M et e déped pas de la droite passat par M et qui coupe le cercle e deux poits A et B. B. Démostratio. Pour M o situé sur le cercle et pour B distict de A et A, A BA est u triagle rectagle e B. Doc B est le projeté ur uu u orthogoal de A sur la droite (MA) et MA MA MA MB. ur uu u u MA MA MO OAMO OA uuuu r Comme O est le milieu de [AA ], OA - OA doc ur uu u MA MA MO OAMO - OA MO - r ur uu Doc MA MB MO - r. MO r e déped que de M et du cercle, doc e déped pas de la droite d qui coupe le cercle.. Si M est à l extérieur du cercle MO r > 0 doc p C (M) > 0. Si M est à l itérieur du cercle MO r < 0 doc p C (M) < 0. ur uu Si M est sur le cercle M = A ou M = B doc MA MB 0 et MO r = r r = 0. T C O M B H. Soit H le projeté orthogoal de A sur BC, ABC isocèle e A, H est le milieu de [BC]. ur u ur u ur u ur u BC BA BH BC BH BC 8 ur u uur. BC AC AB - AB AC ur u uur - Doc AB AC -. - ur u uur AB AC AB AC cos BAC cosbac d où cosgbac - il e résulte gbac, 8 97 à 0, près ur u ur u BC BA 8 doc cosgabc 8 Il e résulte cosgabc et gabc, à 0, près. Comme ABC est isocèle e A gbca, à 0, près. 9 A B O A M A ur uu Das ce cas A = B = T et MA MB MT MT Et comme MOT est u triagle rectagle e T MT = MO OT = MO r = p C (M). Remarque ur uu u : uu si r B uuuu = r A alors M, A, A sot aligés et MA MB MA MA MO - r M uru uur ur u 0. AICK est u parallélogramme car AI AB KC De même DLBJ est u parallélogramme. O e déduit que (AK) et (IC) d ue part, (OJ) et (BL) d autre part sot parallèles. Doc PQRS est bie u parallélogramme. ur u ru ur ur u ur u ur u. IC BL IB BC BA AL ur uur ur u ur uur ur u IB BA BC BA IB AL BC AL Or (IB) ur ^ u (AL) ru ur et ur (BC) u ^ (BA). ur u ur u Doc IC BL IB BA 0 0BC AL ur u ur uu uur ˆ AB BA BC AD - a a 0. Les droites (IC) et (BL) sot alors orthogoales. Doc les droites (PQ) et (PS) sot orthogoales. p C Chapitre. Produit scalaire 9

241 g Le parallélogramme PQRS est doc u rectagle. ur u uru ur u ur u ur u. a. BA BL BA BA AL ur u ur u uur ur u BA BA BA AL ur u ur u Comme (BA) et (AL) sot orthogoales, BA AL 0. ur u uru ur u Doc BA BL BA a. uru ur u IA uru uru ur u uru BA, doc IA BL BA BL a. b. P est le projeté orthogoal de I sur (BC), S est le projeté orthogoal de A sur (BC), doc PS uru est le projeté orthogoal de IA uru sur (B ; BC ur u ). O e déduit d après le théorème que uru uru uru uru uru uru uru uru BL IA BL PS doc IA BL PS BL. Comme PS uru uru et BL sot coliéaires de même ses, uru uru uru uru PS BL PS BL d où IA BL PS BL. c. Le triagle BAL est u triagle rectagle e A. Comme BA = a et AL a, o obtiet BL a a a. uru uru IA BL a O e déduit que PS a. BL a ur u ur ur u ur u ur ur u ur u. CB CI CB CB BI CB CB a uru ur ur u ur JB CI CB CI a. uru ur ur ur uu Puis, JB CI QP CI car QP est le projeté orthogoal de JB uru ur sur (C ; CI ). uru ur ur uu ur O a doc JB CI QP CI car QP et CI sot coliéaires de même ses. Comme CI uru ur a, o obtiet que QP JB CI CI a.. O obtiet que QP = PS ; doc PQRS est u carré. L aire de PQRS est ˆ a a et vaut doc u ciquième de l aire de ABCD. Remarque : Les triagles QCD, PBC, SBA, RAD ot même aire. Cette aire est la même que celle du carré PQRS. O peut doc aisi «diviser» l aire du carré ABCD e parts égales. uru ur u uur ur u uur uur. CF CB CA AFCA AB ur u uur ur u uur CAAB 0 et AF CA 0 doc ur u ur u uur uur uur uur ur u ur u CA AFCA AB CA CA AF AB. Doc CA CA AF AB = 0 d où AB AF Pour aller plus loi AC tagafc AF Comme gafc et ta gacb AB AC. ACB ous obteos AC doc AC = AF AB, d où AB. AC AF Pour predre des iitiatives U miimum A AF. AB AC M H E appliquat le théorème de la médiae au triagle AMB avec I milieu de [AB] et la médiae [MI], ous obteos : MA + MB = MI + AB Comme les poits A, B, I et la droite d sot fixes, MA MB est miimale si et seulemet MI est miimal, c est-àdire lorsque IM est miimal. Or la distace IM est miimale si et seulemet si M est le projeté orthogoal de I sur la droite d, c est-à-dire lorsque M est e H. U cavalier A I C B B C F A B uru ur u. BCF état u triagle rectagle e C, CF CB 0 Désigos par A, B et C les cois du patio, avec AB, BC et CA côtés respectifs des chambres d aires 90 m, 0 m et 0 m de la chambre d aire 90 m. 0

242 Il e résulte AB = 0, BC = 0 et CA =. A C H L aire S du patio est égale à AB CH avec CH = AC si(fbac) d où S = AB AC si(fbac). E appliquat la formule d Al-Kashi das le triagle ABC ous obteos : BC = AB + AC AB AC cos (fbac). D où cos(fbac) =, Puis si (fbac) = 9. Soit si(fbac) =. Nous obteos doc : S = m. Remarque : O peut aussi utiliser la formule de Héro (vue das l exercice ) avec ici : p =. S ˆ ˆ = = ˆ = ˆ = 0 D où S =. A D P O Désigos par A, B, C et D les sommets du rectagle avec PA = 0, PB = 0, PD = 0 et par O le milieu des diagoales [AC] et [BD]. La distace que l o cherche à calculer est PC. ˆ B B C E appliquat le théorème de la médiae e O das les triagles BPD et APC, ous obteos : PA + PC = PO + AC PB + PD = PO + BD Das u rectagle les diagoales sot de même logueur, doc : PA + PC = PB + PD Remarque : ce résultat est obteu pour tout rectagle ABCD et pour tout poit P à l itérieur du rectagle ABCD. Nous e déduisos : PC = PB + PD PA. Doc PC = = 0 7. Et 0 7 ª 87,9 à 0,0 près. Au cm près, le puits de pétrole se trouve doc à 87,9 m du quatrième coi. C K A Solutio ur uu ur uu ur uu HK = AK AH uru ur u ur u AI = AB + AC S H M [AI] orthogoal à [HK] si et seulemet si : uru ur uu AI HK = 0, c est-à-dire : ur u ur uu ur u ur uu ur u ur uu ur u ur uu AB AK AB AH+AC AK AC AH = 0. ur u ur uu ur u ur uu Soit AC AK AB AH = 0. Et AM uuu r BC ur u = (AH ur uu ur uu ur u ur u + AK ) (AC AB). AM uuu r BC ur u ur u ur uu ur u ur uu = 0 AC AK AB AH = 0 Coclusio : ur u ur uu ur u ur uu [AI] ^ [HK] AC AK AB AH = 0 ur u ur uu ur u ur uu uuu r ur u Et AC AK AB AH = 0 AM BC = 0 Il e résulte que [AI] et [HK] sot orthogoaux si et seulemet si M est le pied de la hauteur issue de A das le triagle ABC rectagle e A. Solutio E se rapportat au repère orthoormé (A ; r i, r j) avec r i = AB AB ur u et r j = AC AC ur u, A(0 ; 0), B(a ; 0) a b avec a > 0 ; C(0 ; b) avec b > 0, I ; ˆ et M(x ; y) avec bx + ay = ab car M est sur (BC). uru ur uu AI HK = 0 ax + by = 0 Les coordoées (x ; y) de M sot doc solutios du bx ay ab système : - ax by 0 I B Chapitre. Produit scalaire

243 ab a b c est-à-dire x = et y =. a b a b Et o peut remarquer que AM uuu r BC ur u = 0, M est doc le pied de la hauteur issue de A das le triagle ABC rectagle e A. M c est-à-dire 0 = MA 8MA cos(q ). b. De même : AB = MA + MB MA MBcos(80 q ) Soit = MA + 8MA cos(q ). c. E additioat les expressios obteues e a. et b. ous obteos : = MA puis AM =,,. 8 Soit ABC u triagle rectagle e A et I le cetre de so cercle iscrit avec IB = et IC = 0. A O B A Soit B le poit diamétralemet opposé à O sur le cercle C, alors (AB) est la médiatrice du segmet [MP], jmab = q et AMB est u triagle rectagle e M. BM = AB AM = (R) (,R) = 7 R D où BM = R 7 Doc : si q ˆ = BM AB = 7 et cos q ˆ = AM AB =, R R = si(q) = si q ˆ cos q ˆ = 7 8 et cos(q) = cos q ˆ = (remarque : cela coduit à 8 q ª 8,8 à 0, près). ENGLISH CORNER C E appliquat le théorème d Al-Kashi AC = BA + BC BA BC cos(gabc) Doc AC =, +,7, cos( ). Soit AC, au mètre près. 7 a. AC = MA + MC MA MC cos(q ) soit = MA + 8MA cos(q ) P A B B I qicb + qibc = gacb + gabc = gacb gabc = Doc qbic =. Il e résulte BC = IB + IC IB IC cos (qbic). Soit BC = 0 cos( ) = Doc BC =. 9 B A P Désigos par a le côté du carré. Avec Al-Kashi : = AP = a + BP abp cos(fabp) = a + a cos(fabp) 9 = PC = a + BP abp cos(fpbc) = a + a si(fabp) D où : (a + ) = a cos (gabp) et (a ) = a si (fabp). Il e résulte : (a + ) + (a ) = a. Soit a 0a + 7 = 0. a = + ou a = Comme a 0 a = ou a = -. Comme a la logueur de la diagoale du carré est supérieure à CP doc à, - e coviet pas. Coclusio : le carré a pour côté et par Al-Kashi o e déduit a = PA + PB PA PB cos (fapb), soit + = cos(fapb) d où cos(gapb) = - soit gapb =. C D C

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