RÉSUMÉ n 14 : ARITHMÉTIQUE DÉNOMBREMENT

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Rémi Després
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1 RÉSUMÉ 14 : ARITHMÉTIQUE DÉNOMBREMENT MULTIPLES ET DIVISEURS Pour pouvoir itroduire la otio de divisio euclidiee, de PGCD et PPCM, o utilise la propriété (admise) suivate : P1 a)toute partie o vide H de admet u plus petit élémet Cela sigifie qu il existe u etier aturel h tel que h H H : h b)toute partie o vide H ' et majorée de admet u plus grad élémet Cela sigifie qu il existe u etier aturel h ' tel que h' H' H ': h' E1 Soit * Motrer que les ombres et 15 4 e sot pas simultaémet etiers D1 Soiet a et b deux etiers aturels O dit que b divise a, ou que b est u diviseur de a, ou que a est u multiple de b, s il existe k tel que a k b O ote alors ba Cela reviet à écrire, lorsque b 0, que a b est u etier aturel E Motrer que pour tout *, divise ( 1) 1 E3 Trouver tous les etiers strictemet positifs tels que P a)l esemble des diviseurs de 0 est b)l esemble des multiples de 0 est {0} DIVISION EUCLIDIENNE P3 Soit ( ab, ) * Il existe u uique couple (, ) qr tel que a b q r 0 r b D a b q r s'appelle le dividede s'appelle le diviseur s'appelle le quotiet s'appelle le reste de la divisio euclidiee de a par b P4 Le reste de la divisio euclidiee de a par b est ul si et seulemet si a est u multiple de b Page 1 sur 6

D3 Soit ( ab, ) * * PGCD ET PPCM DE DEUX ENTIERS NATURELS a)l esemble des diviseurs commus (das * ) à a et b admet u plus grad élémet, oté PGCD( ab, ) ou a b C est le plus grad commu diviseur à a et

c)deux etiers aturels o uls a et b sot dits premiers etre eux si l o a PGCD( ab, ) 1 P5 O a ( a, b) * * : PGCD( a, b) PGCD( b, a) et PPCM( a, b) PPC M( b, a) E4 Trouver tous les etiers strictemet

2 D3 Soit ( ab, ) * * PGCD ET PPCM DE DEUX ENTIERS NATURELS a)l esemble des diviseurs commus (das * ) à a et b admet u plus grad élémet, oté PGCD( ab, ) ou a b C est le plus grad commu diviseur à a et b O pose par covetio a * : PGCD( a, 0) PGCD(0, a) a b)l esemble des multiples commus (das * ) à a et b admet u plus petit élémet, oté PPCM( ab, ) ou a b C est le plus petit commu multiple à a et b c)deux etiers aturels o uls a et b sot dits premiers etre eux si l o a PGCD( ab, ) 1 P5 O a ( a, b) * * : PGCD( a, b) PGCD( b, a) et PPCM( a, b) PPC M( b, a) E4 Trouver tous les etiers strictemet positifs x et y tels que PGCD( xy, ) 5 PPCM( xy, ) 60 ALGORITHME D EUCLIDE P6 Soiet a et b deux etiers aturels o uls q et r deux etiers aturels tels qu e a b q r O a alors PGCD( a, b) PGCD( b, r) D4 C est le théorème d Euclide Algorithme d Euclide : méthode pratique O cosidère ( ab, ) * * avec a b O pose r 0 a et r 1 b Si k *, o costruit rk 1 comme le reste de la divisio euclidiee de rk 1 par r k O a doc rk 0 Cela permet d écrire PGCD( rk 1, rk ) PGCD( rk, rk 1) r r q r 0 rk 1 rk k 1 k k k 1 La suite ( r k ) est ue suite strictemet décroissate d etiers aturels Il existe doc u rag * tel que r 0 O a alors PGCD( r 1, r ) PGCD( r 1,0) r 1 La suite PGCD( rk, rk 1) état costate, o a PGCD( r 1, r) PGCD( r0, r1 ), c'est-à-dire PGCD( a, b) r 1 Le PGCD de a et b est doc le derier reste o ul obteu par l algorithme d Euclide Page sur 6

P7 Soiet a et b deux élémets de * Il existe u couple uv tel que u a v b PGCD( a, b) (, ) D5 C est le théorème de Bézout Exemple : recherche des etiers ( uv, ) tels que PGCD(731,04) 731u 04v 731 04

3 P7 Soiet a et b deux élémets de * Il existe u couple uv tel que u a v b PGCD( a, b) (, ) D5 C est le théorème de Bézout Exemple : recherche des etiers ( uv, ) tels que PGCD(731,04) 731u 04v O utilise l' algorithme d'euclide : O a doc PGCD(731,04) (119 85) O remote les calculs : 119 (04 119) ( ) O a doc PGCD(731,04) ( 5) Cela doe u 5 et v 18 P8 Soiet a et b deux élémets de * U etier aturel o ul divise à la fois a et b si et seulemet si divise PGCD( ab, ) P9 Soiet a et b deux élémets de * a et b sot premiers etre eux si et seulemet s il existe u couple uv tel que u a v b 1 (, ) E5 1 )Motrer que pour tout )Motrer que l o a 1 a b, il existe deux etiers aturels a et b tels que 1 a b 3 )Calculer a b E déduire que a et b sot premiers etre eux P10 Soiet a, b et c trois élémets de * Si PGCD( ab, ) 1, alors ac a b c D6 C est le théorème de Gauss Page 3 sur 6

$E6 Trouver tous les etiers aturels x et y tels que 13x5y 4 E7 Soit * 1 )Motrer que 1 et 1 sot premiers etre eux )E déduire que 1 NOMBRES PREMIERS D7 Soit u élémet de \{0,1} O dit que est u ombre$

4 E6 Trouver tous les etiers aturels x et y tels que 13x5y 4 E7 Soit * 1 )Motrer que 1 et 1 sot premiers etre eux )E déduire que 1 NOMBRES PREMIERS D7 Soit u élémet de \{0,1} O dit que est u ombre premier si les seuls diviseurs das * de sot 1 et P11 Tout etier s écrit de maière uique (à l ordre près) comme produit de ombres premiers P1 Il existe ue ifiité de ombres premiers P13 Soiet a et b deux etiers aturels o uls 1 O ote a p p p 1 et b p p p les décompositios respectives de a et b e produit de ombres 1 1 premiers, avec k et k pour tout k, les p k état des ombres premiers disticts deux à deux a) b divise a si et seulemet si k k pour tout k {1,,, } b)o a mi 1, 1 mi, mi, 1 PGCD( a, b) p p p et max 1, 1 max, max, 1 PPCM( a, b) p p p c)o a PGCD( a, b) PPCM( a, b) a b E8 1 )Motrer que tout ombre ratioel strictemet positif r s écrit sous la forme p r avec pq, etiers strictemet q positifs tels que PGCD( pq, ) 1 p q s appelle alors la forme irréductible de r )Motrer que est u ombre irratioel 3 )O cosidère l équatio ( E) : x x x 8x 1x 16 0 Motrer que les solutios réelles de ( E ) sot soit etières, soit irratioelles CRIBLE D ERATOSTHÈNE Das le tableau ci-dessous, o a barré les multiples de (hormis ), les multiples de 3 (hormis 3), les multiples de 5 (hormis 5), etc Les ombres o barrés (cerclés das le tableau ci-dessous), sot les ombres premiers Page 4 sur 6

5 ENSEMBLES FINIS ET CARDINAUX D8 a)o dit qu u esemble A est fii s il possède u ombre fii d élémets b)o appelle alors cardial de A le ombre d élémets de cet esemble, ce que l o ote card( A ) P14 Si A est ue partie d u esemble fii E, (c est-à dire si A E ) alors o a l équivalece card( A) card( E) A E P15 Si A est u esemble fii B est u esemble fii alors A B est u esemble fii et o a : card( A B) card( A) card( B) card( A B) P16 Si A est u esemble fii B est u esemble fii alors A B est u esemble fii et o a : card( AB) card( A)card( B) P17 Si A est ue partie d u esemble fii E, alors o a card E \ A card( E) card( A) A et B sot deux esembles fiis de même cardial fii P18 Si, alors o a les équivaleces suivates : f : A B est ue applicatio f : A B est bijective f : A B est ijective f : A B est surjective P19 Soiet p et deux etiers aturels o uls A et B deux esembles fiis tels que card( A) p et card( B) a)il existe exactemet p applicatios f : A B b)il existe exactemet p p uplets d élémets de B D9 Ces p uplets sot appelés p listes de B P0 Soiet p et deux etiers tels que 1 p A et B deux esembles fiis tels que card( A) p et card( B) a)il existe b)il existe! ( p)!! ( p)! applicatios ijectives f : A B p uplets d élémets disticts deux à deux de B c)il existe exactemet! bijectios de B sur B D10 Ces bijectios sot appelées permutatios de B P1 Si p et sot des etiers aturels tels que 0 p, alors u esemble B de cardial admet exactemet parties possédat p élémets p D11 Ces parties sot appelées p combiaisos de B Page 5 sur 6

6 P U esemble B de cardial possède exactemet parties (y compris l esemble vide et B lui-même) E9 Combie y a-t-il d aagrammes du mot TARATATA? E10 E faisat u calcul de déombremet, détermier la valeur du coefficiet du terme ( x y 3 z) 1? 7 3 x y z obteu e développat E11 Ciq cartes d u jeu de ciquate deux cartes sot servies à u joueur de poker 1 )Combie y-a-t il de mais possibles? )Combie de ces mais comportet exactemet u as? 3 )Combie de ces mais e comportet aucu as? 4 )Combie de ces mais comportet au mois u as? FIN DU RÉSUMÉ Page 6 sur 6

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