THESE. DOCTEUR en ELECTRONIQUE

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1 N d ordre : 4 THESE Présentée à L UNIVERSITE des SCIENCES et TECHNOLOGIE de LILLE (LILLE ) pour l obtenton du grade de DOCTEUR en ELECTRONIQUE Par Samuel LEMAN (Ingéneur de l école Polytech Llle) le 3 novembre 9 Contrbuton à la Résoluton de Problèmes de Compatblté Electromagnétque par le Formalsme des Crcuts Electrques de KRON Membres du jury : Rapporteurs : Mr Alan REINEIX Drecteur de Recherche CNRS Xlm, Lmoges Mr Jean-Marc DIENOT Professeur IUT de Tarbes Examnateurs : Mme Odle PICON Professeur ESYCOM, Marne la Vallée Mr Phlpe BESNIER Chargé de Recherches HDR CNRS INSA de Rennes Mr Marco KLINGLER Expert CEM PSA-Peugeot Ctroen, Vélzy Drecteur de Thèse : Mr Bernard DEMOULIN Professeur émérte USTL, IEMN/Telce, Vlleuneuve d Ascq Invtés : Mr Patrck HOFFMANN Ingéneur Centre d Etudes de Gramat, Gramat Mr Olver MAURICE Ingéneur GERAC, Trappes

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3 A mes parents, Mon frère, Ma sœur, Mélode. 3

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5 Remercements Ces travaux, fnancés par la Délégaton Générale pour l Armement (DGA), ont été réalsés au sen du groupe TELICE (Télécommuncatons, Interférences et Compatblté Electromagnétque) du laboratore IEMN (Insttut d électronque, de Mcroélectronque et de Nanotechnologe) de l Unversté de Llle, et en collaboraton et avec l appu d un nombre mportant de personnes que je tens partculèrement à remercer. Je commencera naturellement par mon drecteur de thèse Monseur le Professeur émérte Bernard DEMOULIN, responsable CEM du groupe TELICE. Je le remerce pour sa grande dsponblté et pour la qualté de ses consels scentfques qu m ont à chaque fos apportées la base et la motvaton nécessare à l avancement de mes travaux de recherche. Je le remerce d autant plus qu l me fat l mmense honneur de drger la dernère thèse de sa carrère s mpressonnante. Je remerce mon correspondant DGA, Monseur Patrck HOFFMANN, ngéneur au centre d étude de Gramat, pour la collaboraton très enrchssante que nous avons étable grâce à ses compétences, son dynamsme et à son charsme. Je tens ensute à exprmer ma grande reconnassance à Monseur Olver MAURICE, ngéneur au GERAC qu, en plus de m avor apporté de préceux consels scentfques sur la méthode de KRON, a toujours montré une grande dsponblté (même le week-end) et un grand enthousasme par rapport à l avancée de mes travaux. Je remerce très chaleureusement Monseur Alan REINEIX, drecteur de recherche CNRS au laboratore XLIM de Lmoges pour ses préceux consels scentfques, pour sa grande gentllesse et également pour avor accepté le traval de rapporteur malgré son emplo du temps très chargé. Mes remercements s adressent ensute à Monseur Jean-Marc DIENOT, professeur à l IUT de Tarbes, pour m avor fat l honneur de juger mon traval en qualté de rapporteur. Je remerce Madame Odle PICON, professeur à l'unversté de Marne la Vallée et Drectrce du laboratore ESYCOM, de présder le jury de thèse. Mes remercements vont également à Monseur Marco KLINGLER, expert en CEM chez PSA-Peugeot Ctroën à Vélzy et Monseur Phlppe BESNIER, chargé de recherches HDR à l INSA de Rennes qu ont tous deux acceptés d évaluer cette thèse en qualté d examnateurs. Ces tros années de thèse se sont prncpalement déroulées au sen du groupe TELICE de l IEMN. J en remerce donc sa nouvelle drectrce, le Professeur Martne LIENARD ans que son ancen drecteur, le Professeur Perre DEGAUQUE. Je remerce ensute tous les permanents de l équpe qu ont su apporter ben plus que de nombreux moments de détentes autour d un café. D abord, Monseur Lamne KONE sans qu les mesures expérmentales n auraent pas pu être auss précses et pour ses nombreux consels scentfques, mas auss Madame Sylve BARANOWSKI pour la relecture de ma thèse, Vrgne DEGARDIN, Perre LALY, Erc SIMON, Davy GAILLOT, Chrstan SEMET, Danel DEGARDIN et Emmanuelle GILLMANN. 5

6 Je remerce également les dfférents thésards et post-doc de l équpe qu ont tous contrbués à une ambance de traval sympathque et motvante : Youssef BOURI, Nedm BEN-SLIMEN, Hamd OUADDI, Abdou NASR, Tarrk HAMMI, Mchael MORELLE et pour fnr mon entraneur de sport partculer, Paul STEFANUT. Je remerce ensute les mécancens Jean-Claude et Chrstophe ans que Jocelyne qu a assuré la reprographe de cette thèse. Mes remercements s adressent mantenant aux nombreuses personnes qu se demandent encore ce que sgnfe l abrévaton CEM, mas qu ont largement contrbué à la réusste de ce traval en m encourageant tout au long de ces tros années de thèse et en me permettant notamment de surmonter certans moments dffcles. Je commence par remercer ma maman pour m avor légué sa passon pour la musque et pour son courage de m avor supporté pendant ces 6 années d étude! Merc également à Franços pour son courage extraordnare. Je remerce ensute mon papa pour m avor légué sa passon pour les scences, pour son ade préceuse et pour sa dsponblté permanente. J adresse également un grand merc à Domnque pour sa gentllesse et son ade préceuse. Pusqu l lt dans mes pensées, je n a pas beson d utlser de mots pour remercer Adren, mon frère jumeau également thésard à France Telecom. Au même ttre, je tens fnalement à remercer affectueusement ma pette sœur Mathlde. Mes remercements suvants s adressent à tous mes ams que je ne pourra cter sans en oubler une grande parte : Manu, Julen, Clément, Arnaud, Gauter, Prntz, Florne, Lootens, Delphne, Agathe, Franços, Gwen, Nora et ma belle sœur Amandne. Je remerce partculèrement Perrne pour son souten dans les moments les plus dffcles et forcément la menton spécale à Baron, mon célèbre acolyte! Mes derners remercements revennent enfn à celle qu, en plus de m avor accompagné dans les hauts et les bas de ces travaux de recherche, m a apporté d nnombrables nstants de bonheur tout au long de cette thèse. Merc Mélode. 6

7 Table des matères 7

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9 Table des matères Introducton générale Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes...9 I. Problème à résoudre... I. Poston des méthodes numérques applcables à un grand système...3 I.. Outls basés sur la résoluton numérque des équatons de Maxwell :..4 I... Outls basés sur la résoluton exacte des équatons...4 I... Outls basés sur des résolutons approchées des équatons...6 I.. Outl basé sur la théore des crcuts électrques équvalents...7 I... Concept d éléments localsés :...3 I... Formalsme des lgnes de transmsson...36 I..3 Descrpton topologque des couplages EM...43 I..3. Prncpe physque de l assemblage topologque...43 I..3. Consttuton du graphe topologque...44 I..3.3 Descrpton topologque d un réseau de câbles multconducteurs arborescents...47 I..3.4 Ondes progressves et rétrogrades...47 I..3.5 Les tubes...48 I..3.6 Les jonctons...49 I..3.7 L équaton B.L.T...5 I..3.8 Exemple de modélsaton par l équaton BLT...5 I.3 Lmtes de ces méthodes...5 I.4 Avantage de l analyse tensorelle des réseaux de G.Kron applquée à la CEM

10 Table des matères Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes...55 II. Analyse topologque des crcuts électrques...58 II. Descrptf des grandeurs manpulées...6 II.. Les objets et opérateurs...6 II.. Noton d algèbre tensorelle...66 II... Formes lnéares ou tenseur d ordre un...66 II... Formes blnéares ou tenseurs d ordre deux...68 II...3 Tenseurs d ordre supéreur...7 II...4 Opératons sur les tenseurs...7 II.3 Changement de base et changement d espace...7 II.3. Changement de base...73 II.3.. Transformaton d une base des malles vers une autre...73 II.3.. De l espace des malles vers l espace des moments...75 II.3. Changement d espace (Méthode de Kron)...77 II.3.. De l espace des branches vers l espace des malles...77 II.3.. De l espace des branches vers l espace des pares de nœuds...79 II.3..3 De l espace des malles vers l espace des réseaux...8 II.4 Interactons entre les réseaux...83 II.4. Interconnexons ou couplages en mode condut...83 II.4. Couplages multphysques entre réseaux...85 II.4.. Le couplage en champ électrque...86 II.4.. Le couplage en champ magnétque...88 II.4..3 Le couplage en champ lontan...9 II.4..4 Le couplage thermque...95 II.5 Résoluton globale des super-tenseurs...5 II.6 Condton de valdté de la méthode de Kron...6

11 Table des matères Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM...7 III. Modélsaton d une lgne de transmsson par la MKCE...9 III.. Modélsaton d un élément de lgne...9 III.. Connexon des éléments de lgne...3 III..3 Résultats expérmentaux et smulés de la réponse d une lgne de transmsson...5 III. Couplage par daphone entre deux lgnes parallèles...7 III.. Couplage électrque dans l espace des branches.... III.. Couplage magnétque dans l espace des malles... III..3 Smulaton et mesure de la réponse d un couplage par daphone...3 III.3 Analyse d un assemblage de câbles par la méthode de Kron...7 III.3. Etude de deux lgnes couplées de dmensons dfférentes...7 III.3. Etude d un réseau à tros lgnes de transmsson couplées...3 III.4 Analyse d un réseau de câbles en mode dfférentel...33 III.4. Une lgne de transmsson en mode dfférentel...33 III.4. Couplage par daphone en mode dfférentel...35 III.5 Inserton de l analyse modale dans la MKCE...37 III.5. Prncpes fondamentaux...38 III.5. Adaptaton au formalsme tensorel...39 III.5.3 Couplage par daphone smulé par la MKCE dans la base modale 4 III.6 Tratement des câbles blndés...43 III.6. Inserton des câbles blndés...44 III.6. Analyse d un blndage à perte par la MKCE...46 III.7 Resttuton du couplage exercé entre deux antennes...49 III.7. Couplage électrque entre deux monopoles...49 III.7.. Couplage fable...5 III.7.. Couplage fort...53 III.7. Interacton magnétque...55 III.7.. Couplage fable...56 III.7.. Couplage fort...56 III.8 Agresson d une lgne par un champ électromagnétque...57

12 Table des matères Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes...59 IV. Smulaton de deux antennes couplées va une cavté métallque...6 IV.. Descrpton géométrque du système couplé...6 IV.. Agencement topologque du système...63 IV..3 Mse en place de la connexon des sous-réseaux...69 IV..4 Mse en place de l nteracton E.M. des volumes topologques...7 IV..5 Confrontaton de la smulaton aux mesures...7 IV..6 Concluson...75 IV. Applcaton de la MKCE au couplage électrothermque...76 IV.. Analyse de la propagaton électrque...77 IV.. Analyse temporelle de la dffuson thermque...79 IV... Mse en place de l équaton de la chaleur...79 IV... Recherche des solutons analytques de référence...8 IV...3 Recherche d une analoge électrque avec la dffuson thermque...86 IV...4 Analyse numérque de la dffuson thermque par la MKCE...88 IV.3 Formulaton du couplage électrothermque par la MKCE...4 IV.3. Introducton du couplage par des fém sources équvalentes...7 IV.3. Présentaton de tros confguratons de smulaton... IV.3.. Réponse mpulsonnelle... IV.3.. Réponse à un échelon électrque...4 IV.3..3 Réponse de la trosème source...7 Concluson générale... Bblographe...7 Annexes...35

13 Introducton générale 3

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15 Introducton générale Depus un dem-sècle, l évoluton exponentelle des applcatons de l électrcté dans les domanes tant cvls que mltares, multple les équpements électrques sources d ondes électromagnétques. La cohabtaton dans un même envronnement de ces matérels électronques travallant avec des sgnaux de fortes ou de fables ampltudes et à des fréquences d utlsaton de plus en plus élevées, peut générer de nouveaux types de dysfonctonnements et des phénomènes d ncompatblté entre équpements. Prenons l exemple d un aéronef exposé à des agressons de dverses natures physques. Du pont de vue électromagnétque, ce peut être l llumnaton d un équpement sensble par un radar mltare ou cvl. Ce peut être également le foudroement de l apparel ndusant des courants transtores d ampltudes élevées sur son fuselage. Ce peut être dans un contexte mltare, une menace mcro-ondes provenant d armes électromagnétques. Ces agressons extéreures s ntrodusent par des mécansmes de conducton ou d nducton à travers les ouvertures spécfques de l aéronef : les câbles, les hublots, les jonts de portes, et plus récemment, les nouveaux matéraux compostes plus légers mas mons conducteurs, lassant pénétrer une parte du sgnal perturbateur. S ajoutent ensute toutes les nterférences nternes à l apparel comme les couplages entre lgnes de transmsson, entre les équpements électrques pollueurs, ou entre des apparels électronques portables. Se superpose enfn l nfluence de la casse métallque assmlable à une cavté électromagnétque résonante, plus communément appelée une cage de Faraday. Au delà de ces nterférences électrques, peuvent se cumuler des perturbatons de natures physques dfférentes telles que des couplages électrothermques. Le comportement d un équpement étant sensble à une varaton de température, certanes condtons clmatques peuvent avor un mpact sgnfcatf sur le contrôle ou la commande de l apparel. L usure prématurée de certans matéraux peut également être consdérée comme un facteur de perturbatons électrques supplémentares. Nous appellerons ce type de problème, l analyse multparamètre, multéchelle et multphysque de la Compatblté ElectroMagnétque (CEM). Il se caractérse en effet par des nteractons entre de nombreux paramètres, de dmensons varables comparées à la longueur d onde, et fasant partcper des phénomènes physques de natures dfférentes. En d autres termes, c est la CEM des systèmes complexes. Dans le domane des transports, les ndustrels sont partculèrement confrontés à ces problèmes de CEM des systèmes complexes. La msson des ngéneurs spécalstes consste à rechercher et développer des moyens expérmentaux et numérques toujours plus performants pour évaluer et matrser le comportement des ondes électromagnétques dans un envronnement de plus en plus complexe. Afn de rédure les coûts de développement d un tel produt, les ngéneurs utlsent en plus des maquettes radoélectrques, des logcels de smulaton numérque utlsés dés la phase de concepton de l apparel, permettant une analyse prédctve plus asée des perturbatons ndutes. Néanmons, l est encore actuellement extrêmement dffcle, avec les outls numérques dsponbles sur le marché, de résoudre totalement un tel système complexe. Gabrel KRON, ngéneur amércan, développa dans les années 93, une théore permettant d applquer l analyse tensorelle des réseaux à la résoluton des crcuts électrques. Comme nous le constatons dans d autres domanes physques dont le plus célèbre n est autre que la relatvté générale d Ensten, le calcul tensorel semble adapté aux stuatons de grande complexté. Cette méthode, prncpalement utlsée par G.KRON pour 5

16 Introducton générale modélser des machnes électrques état néanmons lmtée à cause des fables ressources nformatques dsponbles. Olver MAURICE, ngéneur CEM au GERAC, a récemment proposé d utlser cet outl mathématque tensorel afn de résoudre ces problèmes de CEM des systèmes complexes. La contrbuton apportée par ce traval de thèse consste à développer cette méthode orgnale pour montrer que l analyse tensorelle des réseaux électrques s adapte parfatement, au sen d un même outl, à l assocaton d un nombre élevé d nteractons ndépendamment matrsées par des modèles analytques ou numérques préexstants ou par des données ssues de mesures. Le chaptre I présente les dfférentes catégores d outls numérques dont dsposent les ngéneurs en CEM. Ce peut être des formules analytques, des méthodes numérques dtes 3D qu résolvent les équatons de Maxwell, des méthodes basées sur la théore des crcuts ou encore la méthode de résoluton topologque des couplages électromagnétques. Nous dscuterons des avantages et des lmtes d utlsaton de chacune de ces méthodes dans le cadre de l analyse des problèmes de CEM des systèmes complexes. La concluson de ce chaptre portera sur la proposton non pas d une nouvelle méthode de résoluton d un couplage partculer, mas d un outl global ayant la capacté de rassembler des méthodes adaptées à chacune des nteractons préalablement solées dans le grand système. Cet outl prendra comme désgnaton dans la sute du texte l abrévaton MKCE pour la Méthode de KRON applquée à la Compatblté Electromagnétque. Le chaptre II, est une ntroducton à la théore tensorelle des réseaux électrques développé par G.KRON que nous tentons de décrre sous le regard d un ngéneur CEM. Dans cette parte seront alors présentées les dfférentes transformatons de bases et d espaces tensorels attachées aux grandeurs d un crcut électrque. Ces transformatons permettront non seulement de rédure les systèmes d équatons, mas également d observer les nteractons de manère plus asée en prenant pour référence l espace tensorel le meux adapté à la stuaton. L espace des branches permettra par exemple de décrre les couplages électrques, l espace des malles accuellera plus faclement les couplages magnétques, quant à l espace des réseaux, l prendra en compte les nteractons en champ lontan. La concluson de cette parte donne des exemples de transformatons de bases et d espaces applquées à des couplages électromagnétques typquement rencontrés dans les systèmes complexes. Le chaptre III applque la MKCE drectement à des problèmes classques de CEM pour se famlarser avec la méthode et pour dsposer d une base de données de problèmes EM fréquemment rencontrés en CEM. La smulaton d une lgne de transmsson, d un couplage par daphone, d un assemblage de câble en mode commun et dfférentel, des câbles blndés et des couplages entre antennes, consttuera la base fondamentale pour la résoluton future des systèmes complexes. Chacun de ces couplages est transcrt par un schéma électrque équvalent, pus nséré dans le formalsme tensorel pour résoudre les équatons électrques. Les résultats de smulatons par la MKCE seront comparés à des mesures et des smulatons numérques présentées au chaptre I. La concluson du chaptre III utlse l espace tensorel des réseaux, partculèrement adapté à l étude de la CEM des grands systèmes, pour étuder l agresson d une lgne par un champ électromagnétque. Enfn, le chaptre IV propose deux applcatons pour la MKCE. Tout d abord, nous décrvons le système composé de pluseurs antennes couplées va une cavté métallque. L analyse des frontères topologques permet d soler l étude de chacune 6

17 Introducton générale des tros antennes de dmensons varables devant la longueur d onde ans que la cavté métallque résonante. Chacun des sous-systèmes est transcrt sous la forme de schémas électrques équvalents. Les nteractons condutes ou ndutes entre les sous-crcuts sont alors ntrodutes dans l espace tensorel adapté à la physque du phénomène. A partr de chaque modèle chos pour chacun des couplages du système, la MKCE permet de regrouper sous un même logcel toutes ces nteractons, rédusant ans le système complexe en un assemblage de smples sous-volumes nteragssant dans un même espace tensorel. La précson des résultats de smulaton par la MKCE, montrent que la méthode offre de nombreuses possbltés d analyses multparamètres et multéchelles. Pluseurs confguratons de couplages entre les antennes sont sélectonnées et la cavté prendra des dmensons varables. La dernère parte de ce chaptre IV, orente les travaux de recherche vers la smulaton des systèmes multphysques. Nous consdérons une expérence de pensée mettant en équaton la transformaton d un couplage d énerge électrque hautes fréquences en énerge thermque. Pour cela, nous chosssons une éprouvette coaxale remple d eau, contenant un conducteur central cylndrque et un conducteur extéreur en cuvre. Le crcut électrque équvalent à la propagaton des paramètres électrques le long de l éprouvette est dans un premer temps ms en place. Indépendamment de ces phénomènes électrques, un crcut électrque équvalent de la dffuson thermque dans l éprouvette sera obtenu à partr des équatons analytques thermques. L ntroducton des nteractons électrothermques entre les deux crcuts équvalents électrque et thermque, s adapte parfatement au formalsme de la MKCE. En njectant un sgnal électrque d ampltude convenable à l extrémté du câble rempl d eau, nous vsualsons une évoluton spatotemporelle de la température le long de l éprouvette. Fnalement, les résultats obtenus durant cette thèse offrent de nouvelles perspectves pour la résoluton de problèmes de CEM sur des systèmes complexes. Un des grands avantages de MKCE consste à lasser l ngéneur, lbre de chosr la méthode de smulaton de chacun des sous-systèmes qu lu semble la plus approprée au phénomène physque à décrre. La MKCE permet ensute d ntrodure faclement dans un espace prvlégé, les nteractons entre les sous-systèmes multparamètres, multéchelles et multphysques. 7

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19 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes 9

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21 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes I. Problème à résoudre La météorologe est un problème usuel de prévson du comportement de «grands systèmes». Comme pour les phénomènes électromagnétques (EM), l étude de l état de l atmosphère à un temps ultéreur et dans un envronnement physque complexe, est le résultat d une longue analyse des nteractons entre de nombreuses varables telles que la presson, la température ou la vélocté des vents. Pour cela, les météorologues utlsent des technques de prédcton comportementales allant des études expérmentales et théorques. La vsualsaton des courants atmosphérques par les satelltes permet de fxer les condtons ntales. Ensute, une comparason entre une analyse utlsant des théores de comportements thermodynamques et une analyse de type nterpolaton mathématque sur l évoluton des masses d ar, permet d attendre des prévsons plus ou mons robustes. Malgré l utlsaton de «théores exactes» ntrodutes grâce aux outls nformatques perfectonnés, la prédcton du temps qu l fera dans un mos à un endrot donné comportera toujours de grandes ncerttudes de par le nombre et la grande varablté des grandeurs physques mses en jeu. A une autre échelle de phénomènes, les ndustres et organsmes produsant ou utlsant des nstallatons électrques complexes sont contrants de prédre les dsfonctonnements nduts par des envronnements électromagnétques hostles. Les aéronefs, les automobles modernes et les armes sophstquées consttuent sans nul doute les systèmes les plus exposés à ces menaces. Pour résumer smplement les choses, tout système comportant des lgnes de transmsson de sgnaux nterconnectées avec des crcuts, et qu forment une archtecture complexe est soums à des phénomènes d nductons ndésrables qu l faut s efforcer de comprendre et d analyser. Dans notre contexte d étude, un système complexe est le support d échanges multples de données entre équpements ou composants électronques. Ces échanges se réalsent par l ntermédare de supports physques comme des lgnes de télécommuncaton ou par rayonnement, par le bas d antennes et émetteurs récepteurs embarqués. Les sources extéreures d agressons électromagnétques peuvent être naturelles comme la foudre, les décharges électrostatques ou ndustrelles comme les lgnes à hautes tensons, les émetteurs de télécommuncaton, les radars d aéroports, les caténares des voes ferrées. A cela, s ajoutent des sources plus ponctuelles à l nstar des alarmes électronques, téléphones mobles, assstants personnels ou émetteurs rado en tout genre. A ttre d exemple, les systèmes électronques embarqués dans une automoble dovent respecter des normes EM permettant le bon fonctonnement du véhcule. Les éléments électronques sont classés par ordre d mportance selon leur utlté. Les systèmes dédés à la sécurté comme le contrôle moteur, le frenage, l arbag, le régulateur de vtesse seront soums, par exemple à des tests de champ EM plus sévères que les systèmes destnés au confort comme la clmatsaton, les vtres électrques, l horloge, le radar de recul ou l ouverture des portes sans clef. Le traval de l ngéneur CEM consste à prédre, et trouver des solutons rédusant fortement les probabltés des dsfonctonnements électrques dues à ces rsques d nteractons. En règle générale, nous pouvons dssocer tros types de problèmes assocés à ces grands systèmes : l analyse multphysque, l analyse multparamètre et l analyse multéchelle. Ces tros concepts sont llustrés dans la Fg I..

22 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes Sources de perturbatons GPS Vtres électrques Radar de recul Daphone Ordnateur de bord Arbags Chauffage 5 m Fg I. : Machne CEM 45 nm L analyse multphysque fera ntervenr des outls de prédcton tenant compte de l évoluton des paramètres exprmés par des untés ou dmensons physques hétérogènes. Tel est le cas de la combnason des crcuts électrques avec l nducton produte par des ondes, auxquelles s ajoutent des phénomènes d orgne thermque et mécanque. Cette approche est actuellement localsée aux phénomènes électrques. Concrètement, dans l exemple du véhcule terrestre, nous avons beson de modélser la casse métallque de la voture assmlable à une cavté électromagnétque avec des ouvertures, dans laquelle le téléphone et d autres systèmes extéreurs sont des sources potentelles de perturbatons. A ces phénomènes de type champ rayonné, s ajoutent les perturbatons de mode condut sur les réseaux de câblage almentant les vtres électrques et le déclencheur de l arbag, le tout sous l nfluence des grandes varatons de température sub par un véhcule. Dans ce cas de fgure, tros types de physques cohabtent : les champs EM dans la cavté, les tensons et courants dans les crcuts ou lgnes électrques, et l nfluence des phénomènes thermques et mécanques pouvant dégrader l effcacté de certans blndages ou composants actfs. En plus du mélange des phénomènes physques, les multples nteractons ntervenant sur dvers composants localsés aux frontères d un système, exgent une analyse multparamètre. Dans la phase de concepton, l ngéneur CEM a beson d une grande souplesse d analyse paramétrque. Il pourra ans, par smulaton, ajouter un fltre ou un blndage sur les zones crtques pour optmser la protecton du produt fnal. L étude paramétrque par l outl numérque permettra par exemple de ratonalser l mplantaton des réseaux de câbles dans la casse de la voture en localsant les zones de champ EM de fable ampltude ou de couplages mondres. L ajout d un blndage en tresse sur un câble sensble ou sur un connecteur pourra être consdéré dès la phase de concepton du produt. Cet exemple llustre ben le beson de souplesse dans l analyse des systèmes complexes. Enfn, le trosème pont remarquable de l étude d un grand système résde dans l analyse multéchelle. Ce terme sgnfe que les nteractons EM se caractérsent par le rapport lant la longueur d onde des perturbatons aux dmensons des éléments géométrques du système. Ans, la longueur d onde des champs perturbateurs parvenant sur un véhcule automoble peut être très nféreure aux dmensons du câblage, comparable aux dmensons de la casse et supéreure aux dmensons des pstes consttuant les crcuts mprmés. Dans un tel contexte, les mécansmes de résonance se manfestent dfféremment selon le rapport dmenson / longueur d onde. Le concept d outl prédctf devra mpératvement tenr compte de cette partcularté physque.

23 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes L usage ntensf des outls nformatques et leurs prodgeux développements technologques offrent aujourd hu d ntéressantes opportuntés pour construre des logcels prédctfs fables. Reste cependant à résoudre la queston du len multphysque dont nous avons sgnalé l mportance en préambule de ce texte. Dfférentes approches sont à ce jour envsageables suvant qu on utlse des calculs numérques élaborés par des logcels du commerce, des théores analytques basées sur les formulatons des lgnes de transmsson ou plus smplement encore l assocaton des théores des crcuts électrques. Avant d harmonser ces sous ensembles dans la méthode de Kron qu forme le contenu prncpal de cette thèse, nous allons rappeler dans les paragraphes qu suvent les bases physques, les notatons et les champs d applcatons usuels de toute cette méthodologe. I. Poston des méthodes numérques applcables à un grand système On entend par outl numérque, un logcel réalsant le calcul d équatons dfférentelles dépourvues de solutons analytques smples. Tel est le cas des phénomènes de propagaton d ondes électromagnétques dans des envronnements qu nécesstent l applcaton de condtons aux lmtes laboreuses. Dans d autres stuatons, les équatons possèdent des solutons analytques dont la mse en œuvre nécesste l applcaton de règles algébrques relatvement lourdes. Tel est le cas des phénomènes d nductons rencontrés sur des fasceaux de câbles postonnés à proxmté de plans métallques ou autres références de masse. L extrême varablté des structures rencontrées en pratque va donc nécesster la mse en œuvre d nteractons entre ces dfférents outls. A cela, l faut ajouter que certans phénomènes échappent à la smulaton théorque, et qu l faut leur adjondre des données expérmentales. Ce cas de fgure offre alors un autre champ d nvestgaton où on dot mêler ces données expérmentales aux produts des outls précédemment spécfés. Les champs électromagnétques évoluant dans un envronnement pourront par exemple être représentés par un outl de type résoluton des équatons de Maxwell, présenté dans le paragraphe I... Pour prédre les phénomènes lés à la propagaton et aux couplages des sgnaux dans les lgnes de transmssons, nous emploerons plutôt des outls basés sur la théore des lgnes de transmsson présentée au paragraphe I... Pour cela, nous rappellerons au lecteur les los et les notatons des crcuts les plus élémentares qu seront utlsés tout le long de ce mémore de thèse. Fnalement, la parte I..4 nous donnera des nformatons sur la descrpton d un outl topologque adapté à l étude des couplages sur câbles. 3

24 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes I.. Outls basés sur la résoluton numérque des équatons de Maxwell : L approche théorque basée sur l électromagnétsme peut être dssocée entre des formulatons exactes ou approchées que nous présentons sommarement dans les paragraphes suvants [I.]-[I.]-[I.3]. I... Outls basés sur la résoluton exacte des équatons Les logcels de calcul résolvant les équatons de Maxwell en mallant l espace à consdérer, permettent prncpalement de détermner l évoluton du champ électromagnétque dans l envronnement et les courants nduts sur la surface d un objet. Ces outls sont généralement appelés méthodes trdmensonnelles ou 3D ou sous le terme anglophone full wave software. Deux types de méthode exstent pour la résoluton «exacte» des équatons de Maxwell, résolues dans ce cas en respectant exactement les expressons des équatons dfférentelles d orgne. La méthode dte «ntégrale» est utlsée par la méthode des moments (MoM) car elle résout les équatons de Maxwell sous leur forme ntégrale. Elle ne nécesste généralement pas de maller le volume de calcul total mas seulement les structures flares et les surfaces. Les méthodes dtes dfférentelles résolvent les équatons aux dérvées partelles (FDTD et FEM). Ce sont des méthodes dtes volumques car elles travallent généralement sur un volume englobant l objet à trater et fermés par des frontères absorbantes smulant l espace lbre. I... La méthode des Moments MoM La méthode des Moments MoM [I.] et [I.], est basée sur la résoluton d équatons ntégrales transformées en un système d équatons lnéares. La MoM est connue depus longtemps dans d autres dscplnes de la physque. En 95 déjà, Galerkn, un ngéneur mécancen d orgne russe propose une procédure numérque pour résoudre des équatons où l nconnue est une foncton. Plus tard, les mathématcens ont démontré que l approche Galerkn peut être étendue à d autres classes de problèmes portant le nom générque de méthode des moments. La MoM a été ntrodute pour la résoluton des problèmes lés aux antennes et à la dffuson électromagnétque à travers des paros métallques dans les années 96 par Harrngton. En électromagnétsme, elle s applque typquement à la formulaton ntégrale du champ électrque (Electrc Feld Integral Equaton) pour laquelle les nconnues sont la dstrbuton de courant crculant sur les conducteurs ou, dans le cas de structures planares multcouches, sur les rubans placés aux nterfaces. Le fondement de la MoM consste à proposer une soluton sous la forme d une somme de fonctons connues auxquelles sont assocés des coeffcents nconnus. Il s agt ensute d applquer une procédure de mnmsaton de l erreur résduelle pour générer un système matrcel et détermner les coeffcents nconnus. En bref, cette méthode unquement applcable au domane des fréquences, présente un ntérêt pour l analyse des couplages ntervenant en espace lbre (pas de frontère absorbante requse). Cette méthode harmonque a perms le développement de codes comme NEC, IE3D, FEKO ou WIPLD. 4

25 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes I... La méthode des éléments fns La méthode des éléments fns (FEM : Fnte Element Method) a connu un grand développement depus les années 97 et offre un large champ d applcaton dans de nombreux domanes de la physque. Les avantages de cette méthode provennent de sa capacté à s adapter à des structures de formes géométrques relatvement complexes. La méthode des éléments fns est une méthode rgoureuse, mas nécesste des temps de calcul mportants ans qu une grande ressource de mémore du calculateur. Il exste de nombreux ouvrages tratant du sujet. La décomposton en éléments smples de la géométre du système fat appel à des procédés de mallage de l espace et des objets pouvant, suvant le cas, prendre la forme de trangles pour les éléments surfacques ou de tétraèdres pour les volumes. A l ntéreur de chaque élément, la foncton nconnue est approxmée par un polynôme. Par un chox judceux des coeffcents, la FEM mpose automatquement les condtons de contnuté de la foncton d un élément à l autre. La FEM nécesste des condtons aux lmtes absorbantes pour lmter le domane de calcul (mallage) en présence des structures ouvertes sur l espace lbre. De nombreuses solutons ont été proposées, mas celle retenue dans la plupart des logcels est l utlsaton des couches parfatement adaptées (PML : Perfectly Matched Layer) publées par Bérenger. On donne à ttre d exemple un logcel utlsant cette technque : FEMLAB. I...3 La méthode des éléments fns de frontère La méthode BEM (Boundary Element Method) est une adaptaton des éléments fns dans le domane des fréquences et repose sur la formulaton ntégrale des équatons de Maxwell applquée à des malles caractérsant des éléments surfacques (généralement en forme trangulare). Un des avantages de cette méthode est la prse en compte des problèmes de rayonnement de manère ntrnsèque, c'est-à-dre sans condton approchée pour tronquer le domane spatal d étude autour de l objet étudé. De plus, le champ peut être calculé partout à l nfn ou à proxmté des surfaces de la structure. Le mallage surfacque permet d alléger les descrptons des systèmes complexes, mas la BEM demande des temps de calcul encore mportants. I...4 La méthode des dfférences fnes dans le domane temporel La méthode des dfférences fnes est basée sur la représentaton des équatons aux dérvées partelles sous la forme de dfférences fnes. La résoluton par nverson de matrce nous mène à une soluton dans le domane fréquentel alors qu un code tératf mènera à une soluton dans le domane temporel. Cette dernère est très utlsée pour obtenr des smulatons sur des larges bandes de fréquences notamment en CEM. On passe alors du domane temporel au domane harmonque par applcaton d une Transformée de Fourer. La méthode des dfférences fnes dans le domane temporel (Fnte Dfferences n Tme Doman) est utlsée entre autres par le logcel GORF. La géométre de l objet consdéré est dscrétsée par des technques de mallages paralléléppédques de dmensons proportonnelles à la longueur d onde mnmale d étude. Une fréquence élevée d étude mposera un mallage très fn de l objet et demandera un long temps de calcul. 5

26 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes I...5 La méthode TLM La méthode TLM (Transmsson-Lne Modelng Method) a été développée par Chrstos Chrstopoulos dans les années 97 [I.4]. Cette méthode consste en une dscrétsaton spatotemporelle des équatons de Maxwell. Une fos les équatons électromagnétques défnes, la propagaton des ondes dans l envronnement étudé s effectue par le bas d un réseau fctf de lgnes de transmsson orthogonales. Cette méthode drectement utlsable dans le domane temporel, est basée sur l analoge entre des grandeurs électrques et des grandeurs EM. L accès à la réponse en fréquence large bande demande un temps de calcul élevé. Le mallage est non conforme et ses dmensons sont proportonnelles à la longueur d onde mnmale d étude. I... Outls basés sur des résolutons approchées des équatons Les méthodes asymptotques sont basées sur des smplfcatons des équatons de Maxwell à l ade des hypothèses hautes fréquences. Cela permet de bonnes modélsatons d objets surdmensonnés devant la longueur d onde. D autres formulatons approchées provennent d une assmlaton des résolutons à la théore des lgnes ou aux crcuts électrques. I... Méthode du Lancer de rayons La méthode du lancer de rayon RTA (Ray Tracng Approach) applquée à la CEM dans les années 99, consste à assmler dans une source, un ensemble de rayons évoluant dans une cavté. L nteracton entre les rayons et l objet suvra les los de l optque géométrque. Les paros d une cavté EM ont généralement une conductvté élevée et par conséquent un ndce de réflexon proche de. Le nombre d mages pour attendre la convergence est très mportant. Pour cela, sot le coeffcent de réflexon dot être atténué, sot le nombre de réflexons sur les paros dot être arbtrarement lmté, ntrodusant ans des «pertes numérques». Cette méthode asymptotque temporelle permet d obtenr une étude en fréquences dscrètes, et unquement en hautes fréquences car l avantage de cette théore apparaît lorsque les condtons de l optque géométrque sont satsfates. Les temps de calcul restent encore une fos très lourds lorsque les systèmes sont complexes. I... La méthode PEEC La méthode PEEC (Partal Element Equvalent Crcut) est une technque qu transforme un objet trdmensonnel en un crcut électrque équvalent passf composé de résstances, nductances, capactés et mutuelles partelles, qu peut être complété avec des modèles des composants éventuellement connectés à la structure et être successvement analysé, sot dans le domane temporel, sot dans le domane des fréquences, à travers un smulateur électrque de type Spce. Cette méthode a été ntrodute par Albert E. Ruehl au centre de recherches d IBM T.J. Watson en 97 et a surtout un ntérêt de smulaton locale 6

27 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes de grands systèmes, notamment pour tenr compte des mpédances nternes des conducteurs et de la géométre transversale. Ce bref nventare montre qu une méthode de résoluton n est pas unverselle, ce qu sgnfe qu l faut, pour chaque cas de fgure, comparer les méthodes avec chacune leurs propres lmtes théorques. Ans, la prédcton de la tenson ndute perturbant le composant actf sensble d un crcut mprmé nstallé à bord d une automoble, demande l enchanement de pluseurs méthodes de calcul. Dans un premer temps, une des technques explorées précédemment permettra de calculer le champ en tout pont de la structure nterne du véhcule. S agssant du couplage de ce champ avec le réseau de câbles ou avec le crcut mprmé, d autres approches seraent envsageables. Nous pensons aux théores des crcuts usuelles ou aux théores des lgnes dont nous allons rapporter les bases phénoménologques ans que les prncpaux protocoles de notaton qu s avéreront très utles pour la poursute de cette thèse. I.. Outl basé sur la théore des crcuts électrques équvalents Pour stuer les champs d applcaton EM des outls numérques basés sur la représentaton en schéma électrque équvalent, nous prenons l exemple de la contrbuton des composants électronques non lnéares lors de l évaluaton de l ampltude des tensons ndutes provoquées par un événement électromagnétque. Une étude récente réalsée au laboratore Telce par S.Bazzol [I.5] a montré que des charges non lnéares dspersées aux extrémtés d un réseau de câbles, nfluent notablement sur l ampltude des tensons ndutes. A ces problèmes non lnéares s ajoutent de nombreuses perturbatons causées par le boter du système ou encore par l mpédance équvalente des entrées/sortes. Ces phénomènes parastes apparassent généralement à des fréquences élevées de l ordre du GHz. La Fg I. présente une lgne de transmsson connectée à un équpement électronque représenté à l échelle mcroscopque par une puce de slcum protégée par des dodes ntégrées à cette même puce. Lgne de transmsson Puce de slcum Bondng Broches du boter PCB Fg I. : Schéma d un boter électronque relé à une lgne de transmsson et à un composant électronque. La parte actve du composant est la puce de slcum composée de pattes métallques et de sem-conducteurs de dmensons nféreures au mcron. Cette puce est nstallée sur un 7

28 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes substrat d épasseur de 35 à 5 µm et de surface de à 5 mm. Cette puce est relée aux pstes du crcut mprmé par l ntermédare de broches métallques et de bondng (fls en or). Le tout est nstallé dans une résne consttuant le boter du composant. Le crcut mprmé est relé à des lgnes de transmsson pour connecter les dfférents équpements électronques consttuant le grand système. Cet exemple tradut typquement les concepts multéchelles, multphysques et multparamètres : Les dmensons des lgnes de transmsson peuvent attendre des centanes de mètres alors que la talle du composant actf et du boter sont de l ordre de quelques mcromètres. Deux types de physques cohabtent dans ce système : les courants et tensons se propageant dans les lgnes et puces et l agresson de type onde électromagnétque localsée au nveau des lgnes de transmsson. L aspect multparamètre est caractérsé par la présence de nombreux éléments localsés dont la fonctonnalté est varée, comme la lgne de transmsson, le boter et la puce de slcum. a. Etude des lgnes de transmsson multples L étude des lgnes de transmsson multples par des outls basés sur la théore des crcuts permettra une modélsaton smple et effcace des perturbatons condutes vers les équpements électronques. Nous dssocons deux types d analyse : la premère est basée sur la théore des lgnes et la résoluton se fat drectement par calcul des tensons et courants sur des éléments de lgnes (paragraphe I...). La deuxème est l analyse topologque pour l étude des couplages EM. Cette méthode présentée dans le paragraphe I..3 utlse les paramètres S pour résoudre l équaton B.L.T. b. Etude du boter Les constructeurs de ces composants proposent des modèles électrques équvalents pour représenter les comportements électrques du boter. Par exemple, les mpédances parastes sgnfcatves drectement lées aux dmensons des «bondng», des broches du boter ou des soudures permettront de défnr le comportement d une agresson EM de haute fréquence sur ces dfférents petts éléments. Le schéma électrque équvalent du boter suvant donne un exemple de modèle élaboré par les constructeurs de crcuts mprmés. Soudure Broche Bondng PCB R L R L Puce mcroélectronque C C C Fg I.3 : Schéma équvalent du boter 8

29 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes c. Les dodes de protecton Les protectons contre les agressons EM sont nombreuses. Elles sont généralement consttuées de pluseurs dodes connectées entre les lgnes de données et la masse, ans qu entre les lgnes de données et l almentaton et parfos entre l almentaton et la masse. VCC VCC clamp I/O GND clamp Foncton Power clamp GND Fg I.4 : Schéma équvalent des dodes de protecton S une agresson EM attent l entrée/sorte et dépasse le nveau de tenson VCC, la dode VCC clamp entre en conducton. Le sgnal perturbé dont les ampltudes dépassaent la tenson VCC va être écrêté à cette valeur maxmale VCC. De la même manère, la dode GND clamp entre en conducton lorsque la tenson du sgnal perturbé sur le port entrée/sorte est nféreure à la référence GND. Les perturbatons d ampltude seront alors écrêtées à ce nveau bas. Enfn, une trosème protecton est applquée entre VCC et la référence GND pour lmter d éventuelles perturbatons condutes va l almentaton ou le plan de référence. Le sgnal utle ne sera pas modfé alors que les perturbatons de trop fortes ampltudes dans la bande passante de fonctonnement des dodes seront écrêtées. Notons l mportance des effets non-lnéares ntroduts par ces dodes de protecton. En effet, dans le cas où une agresson EM est susceptble de mettre en conducton les dodes, des phénomènes transtores lés aux comportements des dodes suvent des los non-lnéares dont la contrbuton a pour effet de modfer temporarement les charges vues aux extrémtés des lgnes de propagaton. Ces phénomènes, néglgés dans les outls numérques actuels, complquent les prédctons des agressons EM ndutes. d. Etude des composants actfs. Enfn, les composants actfs assurant les fonctons électronques, généralement consttués de matéraux sem-conducteurs, ont un comportement capactf dans la majorté des cas. Les constructeurs de puces modélsent habtuellement ces structures par une capacté équvalente de l ordre de quelques pf mse en parallèle entre l entrée/sorte et la référence. On résume dans la fgure suvante les dfférentes étapes d étude d une connexon entre lgne de transmsson et composant. Ces sous blocs seront chacun modélsés par des outls basés sur la théore de type crcut électrque. 9

30 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes Boter Soudure Broche Bondng Dodes de protecton VCC µ électronque Lgne de transmsson C R C L C R L VCC clamp GND clamp C comp GND Fg I.5 : Schéma électrque équvalent du composant relé à une lgne de transmsson L analyse de ces blocs va fare ntervenr des concepts et des notatons fondamentaux d éléments localsés que nous rappelons dans la parte suvante I... Nous nssterons sur les modèles des composants non-lnéares, naturellement présents aux extrémtés des réseaux de câbles. I... Concept d éléments localsés : La théore des crcuts dont nous allons largement utlser les proprétés dans la poursute de la thèse, consttue un outl commode pour représenter les phénomènes de propagaton ntervenant sur les lgnes de transmsson. Afn d évter tout rsque de confuson, nous consacrerons les pages qu suvent à un descrptf des notatons adoptées pour décrre les prncpaux éléments rencontrés dans les crcuts. Le comportement des composants électrques est rég par la relaton lant le courant et la dfférence de potentel aux bornes de ces éléments. Le courant exprmé en ampère crcule dans un élément correspondant à la quantté de charge q (en coulomb) qu le traverse par unté de temps dt (en seconde). dq( t) ( t) (I.) dt La tenson aux bornes d un élément est produte par le passage de charges à travers cet élément tradusant une dfférence de potentel entre ses bornes. Les éléments de ce modèle sont essentellement des dpôles ou des quadrpôles. Nous traterons c le cas smple du dpôle. UV A -V B A B Fg I.6 : Caractérstque courant tenson d un dpôle Un dpôle caractérse deux types de relaton, sot une relaton de proportonnalté entre les courants le traversant et la tenson à laquelle l est soums, ou une relaton entre l un de ces paramètres et la dérvée du second rapportée à la varable temps. Ces relatons sont accessorement projetées dans l espace symbolque au moyen des proprétés ben connues de la transformée de Laplace. 3

31 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes S on s adresse à des sgnaux snusoïdaux entretenus, et foncton de la varable temps, les relatons précédentes feront ntervenr les tensons, les courants et les mpédances ou admttances représentés par des quanttés complexes. Dans le domane symbolque, comme dans le domane fréquentel, les symboles des courants et tensons seront portés en lettres majuscules, alors que les paramètres exprmés en foncton de la varable temps seront donnés sous une syntaxe mnuscule. Les composants fondamentaux sont présentés c-dessous. I... La résstance ou conductance Un dpôle élémentare dont les caractérstques courants-tensons sont relées par l équaton (I.) suvante, est une résstance de valeur R exprmée en ohm. avec u ( t) R. ( t) ou U ( p) R. I( p) p σ + jω, la varable complexe de Laplace (I.) Les expressons sont données dans les domanes temporels et fréquentels. De façon équvalente, la conductance G R - peut être défne par les relatons suvantes : ( t) G. u( t) ou ( p) G. u( p) (I.3) A u B R Fg I.7 : La résstance S R est constante au cours du temps, la résstance est lnéare et la courbe caractérstque tenson-courant est donnée Fg I.8.a. La Fg I.8.b représente un exemple de caractérstque de résstance non-lnéare. Fg I.8 : Caractérstque u et d une résstance lnéare (a) et non-lnéare (b) I... La capacté La charge q(t) est défne par la relaton suvante : t ( t). dt q() + q( t) ( t). dt (I.4) t 3

32 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes Exprmée d une autre manère, nous retrouvons l équaton (I.) dq( t) ( t) (I.5) dt Un dpôle élémentare défn par la relaton suvante est une capacté C, exprmée en farad (F). q ( t) Cu( t) (I.6) En général, C dépend du temps et de la charge q et de la tenson u. Dans le cas partculer où C est constant, la capacté est dte lnéare. u A B C Fg I.9 : La capacté Dans le cas général, en combnant les équatons (I.5) et (I.6), nous obtenons pour une capacté lnéare : t U() u( t) u() + d( t) ou U ( p) + I( p) (I.7) C p pc I...3 L nductance L ntégrale d une force électromotrce u(t) est appelée le flux Φ (t). t u( x) dx Φ() + Φ( t) u( x) dx et t u( t) dφ( t) dt (I.8) De la même manère que précédemment, un dpôle élémentare défn par la relaton (I.9) est une nductance L exprmée en henry (H). Φ ( t ) L. ( t) (I.9) A u B L Fg I. : L nductance 3

33 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes En général, L est une foncton dépendante de t et de Φ ou du dpôle. Dans le cas où l on consdère L constante, cette nductance est alors lnéare. En utlsant les équatons précédentes, nous obtenons dans ce cas, d( t) u( t) L ou U( p) pl. I( p) pli() dt (I.) L nductance est caractérsée par les grandeurs flux Φ et courant : Fg I. : Caractérstque Φ et d une nductance lnéare (a) et non-lnéare (b) La plupart des systèmes embarqués dans les grands systèmes ont naturellement des comportements électrques non-lnéares. Nous ctons à ttre d exemple les composants actfs comme les transstors ou les crcuts ntégrés, ou certans composants passfs comme la dode. Dans la prédcton des systèmes CEM complexes, la prse en compte «exacte» de ces éléments non-lnéares permettra de prendre en compte l nfluence de ces composants sur la perturbaton. I...4 La dode Les fonctons électronques non-lnéares utlsées quotdennement sont en majorté réalsées par des structures mcroélectronques à base de slcum. Le comportement de ces composants est drectement lé au phénomène physque se produsant entre deux structures crstallnes de slcum. La premère, dopée P (les trous) et la deuxème, dopée N (les électrons) forment une joncton PN consttuant le composant classque qu est la dode. Une joncton PN formée de deux volumes de slcum P et N sont collés l un à l autre formant une joncton métallque. Les porteurs génèrent alors un déséqulbre de part et d autre de la joncton métallque, ce qu entrane une dffuson à travers cette nterface. La dfférence de charge ans créée donne nassance à un champ électrque E de rétenton. La dffuson cesse lorsque ce derner est suffsant pour s opposer au déplacement des porteurs. Ce volume dans lequel les mpuretés ont été onsées est appelé Zone de Charge d Espace (ZCE). Le reste des substrats reste électrquement neutre. Les porteurs lbres se recombnent dans la ZCE. Cette zone ne possédant presque plus de porteurs lbres en fat une zone très peu conductrce. En dehors de cette zone, les deux dopages P et N sont à leur état ntal et possèdent une conductvté mportante. 33

34 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes Fg I. : Schéma de la dode La polarsaton d une joncton PN consste à mposer une dfférence de potentel entre les substrats N et P. La polarsaton est drecte lorsque le potentel du côté P est supéreur au côté N. Lorsque suffsamment de porteurs N et P sont njectés respectvement dans les substrats dopés N et P, la ZCE dmnue et à partr d une tenson de seul, la dode est dte passante. En polarsaton nverse, le potentel est plus fable du côté P que du côté N. Les porteurs njectés de chaque côté sont alors mnortares. La ZCE augmente et la dode est dte bloquée. La caractérstque non-lnéare courant tenson de la dode peut être exprmée sous forme analytque par la relaton lant la tenson V d aux bornes du dpôle et le courant I d le traversant. Vd Vt I d I ds e (I.) I ds est le courant nverse déal et V t est donné par la relaton suvante V t kt λ (I.) q Avec K la constante de Boltzmann (.38-3 J/ K), T la température ( K), q la charge de l électron (.6-9 C), λ, un coeffcent d émsson, foncton de la joncton. Fg I.3 : Caractérstques U/I de la dode 34

35 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes I...5 Les sources Les sources telles qu elles sont défnes c sont des représentatons de phénomènes physques que nous avons adaptés par commodtés. Nous présentons c-dessous les dfférents types de sources que l on pourra trouver dans la sute du mémore. Une source de tenson ndépendante est un dpôle délvrant à ses bornes une tenson mposée quel que sot le courant qu lu est applqué. D une manère duale, une source de courant ndépendante délvre un courant mposé, ndépendant de la tenson à ses bornes. Une source de tenson et une source de courant contnu délvrent des sgnaux constants en foncton du temps. u + ou Fg I.4 : Source de tenson Source de courant Les sources dépendantes de tenson ou de courant, sont drectement lées à une grandeur courant ou tenson caractérsant un autre élément d un réseau. Par exemple, la tenson u( t) α( t) représente la source de tenson dépendante du courant (t) traversant un autre dpôle du réseau. S le coeffcent α est lnéare, la source est lnéare. u(t)α (t) (t)αu (t) Fg I.5 : Source de tenson et de courant dépendantes Les sources snusoïdales englobent les sources délvrant des tensons ou courants complexes cosnusoïdales ou snusoïdales, de valeur effcace X, de pulsaton ω (ou de pérode Tπ/ω), et de phase φ. I...6 Les los classques des réseaux électrques Les composants électronques sont régs par les los classques des réseaux électrques. La lo d Ohm exprme la relaton entre tensons et courants. La tenson U aux bornes d'un conducteur ohmque est égale au produt de sa résstance R par l'ntensté I du courant qu le traverse. U R. I (I.3) La lo d'ohm s'applque aux conducteurs ohmques en courant contnu, mas auss en courants varables pour les dpôles ohmques purement résstfs. Dans les autres cas de dpôles, l équaton (I.3) n'est plus valable. La résstance sera alors remplacée par l mpédance complexe. Les los de Krchhoff exprment la conservaton de l énerge et de la charge dans un crcut électrque (lo des nœuds et des malles). 35

36 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes La lo des nœuds stpule que la somme algébrque des ntenstés des courants qu convergent vers un nœud est nulle. Autrement dt, la somme des courants rentrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortants. Cet axome est subordonné au fat que toutes les tensons possèdent la même orentaton, ce qu n est manfestement pas le cas sur la Fg I.6. Il est alors mportant de précser que le courant de malle est fxé dans le sens ndqué et que la somme algébrque dans la malle des forces électromotrces et des dfférences de potentel aux bornes des résstances, est nulle. La Fg I.6 llustre ces deux los de Krchhoff. e u 4 u 3 e e u e + u Fg I.6 : Lo des nœuds et lo des malles Les théorèmes de Thevenn, Norton, de superposton, de récprocté, de Mllman permettent d optmser la mse en équaton d un réseau électrque. Le traval de thèse utlsera abondamment toutes les bases théorques et notatons des composants et des relatons électrques défns précédemment. Les logcels comme Pspce, SABER ou PSIM sont par exemple adaptés pour l étude des composants non-lnéares (dode) dans le domane temporel. Ils explotent les los de Krchhoff dans une méthode numérque dte nodale. L étude des lgnes de transmsson à pertes et des éléments dspersfs sera, quant à elle plutôt résolue dans le domane des fréquences en utlsant par exemple le logcel Mcrowave Desgn System (HP). I... Formalsme des lgnes de transmsson Comme nous l avons vu dans la problématque d étude électromagnétque des grands systèmes, les réseaux de câbles présents dans les aéronefs, les automobles ou les armes jouent un rôle détermnant en CEM dans la détermnaton des nveaux de couplages. Une lgne parcourant une référence de masse peut fare offce d antenne réceptrce, condusant les agressons électromagnétques vers les composants électronques sensbles. Cette même lgne peut également être consdérée comme une antenne émettrce de perturbatons car les données transportées, qu l s agsse de sgnaux utles ou parastes, sont susceptbles de rayonner un champ dans son envronnement proche. Pour cette rason, la prédcton des comportements des lgnes de propagaton prend une place fondamentale dans l étude des couplages électromagnétques d un grand système. Nous appelons lgne de transmsson, un conducteur dsposé parallèlement à une référence de potentel qu peut être composée d un plan métallque ou de tout autre 36

37 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes conducteur. Lorsque la lgne satsfat les condtons de la propagaton transverse électromagnétque ou TEM, les calculs peuvent être menés analytquement ou au moyen de la résoluton des équatons des télégraphstes. La propagaton TEM sgnfe que l énerge électromagnétque rayonnée transversalement à la lgne est de fable ampltude au regard de l énerge transportée dans la drecton longtudnale. On marque cette condton mplctement satsfate dès que la longueur d onde du sgnal transverse est supéreure à l espacement h de la lgne rapportée au conducteur de référence. En pratque, on admet qu un rapport supéreur à dx est amplement suffsant. Sous ces condtons, le calcul de l nducton d une onde peut être réalsé moyennant les développements présentés dans la secton suvante [I.6]. h<<λ L L h<<λ Fg I.7 : Hypothèse sur les lgnes de transmsson I... Equaton des télégraphstes d une lgne monoflare Le schéma électrque d un pett tronçon de lgne de longueur dz supposé nféreur à la longueur d onde, est présenté sur la Fg I.8. x y z I(z) V(z) E H k dz z I(z) V s (z).dz R.dz L.dz I(z+dz) V(z) I s (z).dz G.dz C.dz V(z+dz) dz Fg I.8 : Schéma électrque équvalent d un élément de lgne de transmsson monoflare Rappelons que ce modèle est applcable pour un plan de référence nfn, de façon à utlser les proprétés de symétres. S l s agt d un conducteur autre qu un plan, le mécansme est plus complqué car l s y superpose une nducton de mode commun qu on ne peut résoudre qu à l ade d un calcul numérque. En général, les phénomènes de propagaton et de couplage sont caractérsés par les éléments lnéques réparts L et C, respectvement l nductance lnéque et la capacté lnéque du tronçon de lgne. Les pertes statques, les pertes par effet de peau et les pertes dans les délectrques sont représentées par la résstance lnéque R et la conductance lnéque G. Sous les hypothèses d une lgne sans perte, ces éléments peuvent être oms. 37

38 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes Les sources de tensons et de courants présentes sur un tronçon de câble peuvent llustrer une agresson EM localsée ou dstrbuée sur une parte de la lgne comme c est le cas de la Fg I.8. Les sources de tensons et de courants seront détermnées en effectuant une transformaton basée sur les los de l nducton entre les grandeurs physques électromagnétques (E et H) et électrques (V s et I s ) Les vecteurs E (en V.m - ) et H (en A.m - ) sont les champs électrques et magnétques ncdents au système conducteur plan de référence. Les grandeurs usuelles de la théore des crcuts électrques sont les tensons et courants sources V s (Volt) et I s (Ampère). La source de courant représente le couplage électrque pur pour une onde parvenant sous ncdence rasante par rapport au plan de masse, avec une drecton de propagaton perpendculare au conducteur et une polarsaton telle que le vecteur champ électrque E x sot normal au plan de référence. L nducton de charges postves et négatves créée sur les deux conducteurs, et sur un élément dz nfntésmal, est modélsée par la source de courant I s.dz que l on obtent par la formule analytque suvante : I s h jω C E. dx (I.4) x La source de tenson représente le couplage magnétque pur produt par l onde ncdente ayant une drecton de propagaton normale au plan de référence et une polarsaton telle que le champ magnétque sot perpendculare à la lgne et le champ électrque parallèle. Le champ magnétque H y génère un flux entre les deux conducteurs qu donne nassance à une force électromotrce modélsée par la source de tenson V s.dz que l on obtent par la formule analytque suvante : V s h H y. jωµ dx (I.5) Généralement, les couplages électrques et magnétques survennent de manère smultanée. L onde ncdente peut alors provenr de la manère présentée sur la Fg I.8 pour générer un couplage électromagnétque hybrde. Dans ce cas, les deux couplages ntervennent smultanément avec des valeurs de mêmes ordres de grandeurs. Les los de Krchhoff applquées au réseau de la Fg I.8 permettent d écrre les équatons des télégraphstes des courants et tensons le long de la lgne. V ( z) z Z. I( z) + V s ( z) (I.6) I ( z) Y. V ( z) + I z s ( z) (I.7) Z et Y sont respectvement les mpédances et admttances lnéques de l élément dz de la lgne et dépendent des éléments lnéques : Z R + jlω (I.8) 38

39 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes Y G + jcω (I.9) Les équatons de propagaton sont alors obtenues par dfférentaton des formules (I.6) et (I.7) et en les combnant. s V ( z) V ( z) Z. Y. V ( z) Z. I z z s I ( z) I ( z) Y. Z. I( z) Y. I z z s s ( z) ( z) (I.) (I.) On rappelle l équaton d onde en courant suvante : z v t avec v (I.) LC Les équatons (I.) et (I.) ont pour soluton les expressons suvantes avec V et V r les ondes progressves et rétrogrades. V γz γz ( z) Ve + Vre (I.3) I γz γz ( z) Ie + I re (I.4) La constante de propagaton γ de la lgne qu apparaît dans ces dernères équatons dépend des paramètres lnéques de la lgne : ( R + jlω)( G jcω) γ α + j β Z Y. +. (I.5) α (népers/m) représente l atténuaton de la lgne. La parte magnare β (rad/m) est la constante de phase. Enfn, l mpédance caractérstque Z c de la lgne est défne par : Z c V I Z Y R + jlω G + jcω (I.6) I... Résoluton modale des lgnes multflares La généralsaton du schéma de la lgne monoflare à un réseau de tros fasceaux multconducteur en parallèle aboutt au schéma électrque de la Fg I.9 auquel est assocé un système à tros équatons de propagaton. Pour smplfer les notatons, nous utlserons la forme matrcelle qu permettra notamment une bonne représentaton des dvers couplages électromagnétques fl à fl par l ntermédare de termes extra dagonaux apparassant dans les matrces mpédances et admttances lnéques. 39

40 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes I (z) V s (z).dz I (z+dz) V (z) I (z) I 3 (z) V (z) V 3 (z) V s (z).dz V 3s (z).dz [Z] I s (z).dz I s (z).dz I s 3 (z).dz [Y] I (z+dz) I 3 (z+dz) V (z+dz) V (z+dz) V 3 (z+dz) dz Fg I.9 : Schéma électrque équvalent d un élément de lgne de transmsson multconducteur L équaton (I.6) exprmant les tensons V (z) présentes sur chacun des tros conducteurs surmontant un plan de référence (Fg I.9), est réécrte sous la forme matrcelle. [ V ( z) ] z s [ Z ][. I ( z) ] + [ V ( z) ] (I.7) L équaton (I.7) exprmant les courants des tros conducteurs, prend la forme suvante : [ I( z) ] z s [ Y ][. V ( z) ] + [ I ( z) ] (I.8) Les vecteurs tensons et courants et les matrces [Z] et [Y] sont donc en tros dmensons. En dfférencant les équatons précédentes, nous obtenons les équatons d onde du système : [ V ( z) ] z [ I ( z) ] z s [ ][ ][ ] [ V ( z) ] s Z. Y. V ( z) [ Z ][. I ( z) ] z s [ ][ ][ ] [ I ( z) ] s Y. Z. I( z) [ Y ][. I ( z) ] z (I.9) (I.3) Dans ces expressons fgure le produt des matrces [Z].[Y] dont les coeffcents tradusent la propagaton sur ces n conducteurs. La résoluton des équatons (I.8) ou (I.9) nécesste de dstnguer deux stuatons physques suvant que les conducteurs soent contenus dans un mleu délectrque homogène ou qu'ls soent revêtus de ganes délectrques formant un espace hétérogène. I... Conducteurs contenus dans un mleu homogène Dans le premer cas, les courants et tensons détermnés sur chaque conducteur se propagent à des vtesses dentques. En conséquence, sur un groupe de n conducteurs de dmensons longtudnales nfnes se propageront n ondes progressves rapportées à une vtesse dentque v strctement égale à la vtesse de propagaton des ondes dans le mleu homogène. 4

41 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes En conséquence, le produt des matrces nductance et capacté est représenté par une matrce dagonale dont les coeffcents sont tous dentques et strctement égaux à l'nverse du carré de la vtesse de propagaton, sot avec [ ], la matrce dentté : (I.3) [ C ][. L] [ L][. C] [ ] v On en dédut alors les matrces [ γ ] des constantes de propagaton et [Z c ], des mpédances caractérstques par analoge drecte avec la lgne monoflare. [ γ ] [ Z ][ Y ] ([ R] + j[ L] ω).([ G] + j[ C] ω). (I.3) [ Z c ] [ Z ][. Y ] [ ][. Y ] [ γ ].[ Z ] γ (I.33) Dans le cas où les matrces caractérsant les pertes [R] et [G] ne sont pas dagonales, la résoluton se fat par réducton des valeurs propres. La résoluton des équatons de propagaton nous donne fnalement les équatons suvantes V n γz ( z) V ne (I.34) I γz n ( z) I ne (I.35) I... Conducteurs comprenant une gane délectrque Dans le cas d une lgne plongée dans un délectrque hétérogène, le produt des matrces nductance et capacté n est plus dagonal et ces matrces ne respectent plus la proprété de commutatvté, sot : v [ C][. L] [ L][. C] [. ] (I.36) La résoluton de l'équaton d'onde nécesste alors le passage aux solutons propres désgnées par la sute au moyen des vecteurs et matrces portés en lettres mnuscules, l équaton d onde dans la base propre s exprme alors dans le cas où le courant source est nul : d I dt d ( γ )( I ) ( Γ )( ) Le passage dans la base propre donne une matrce ( ) Γ purement dagonale dont les coeffcents découlent de la résoluton de l'équaton aux valeurs propres, sot: dt (I.37) 4

42 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes [ ] λ[ ] γ λ ( Γ )... λ... λ (I.38) Ans pour une lgne de dmenson nfne, les solutons consttuées des courants et tensons exprmés dans la base propre forment un ensemble de n ondes progressves, dont les vecteurs courants et tensons possèdent pour éléments : Mode n ( z) n v ( z) v n n e n Γ e nz Γ nz (I.39) Courants et tensons modaux sont alors relés par l'mpédance caractérstque modale z cn. v n zcnn (I.4) La détermnaton des mpédances caractérstques modales s obtent par la recherche des matrces (T ) et (T v ) effectuant le passage des bases orgnales aux bases propres, les ndces et v se rapportent respectvement aux courants, pus, aux tensons. ( I) ( T )( ) ( V ) ( T v )( v) (I.4) La seconde équaton des télégraphstes exprmée dans la base propre prend pour forme: di d jω( C)( V ) jω( c)( v) dz dz (I.4) De cette transformaton, on montre asément que la matrce capacté (c) exprmée dans la base propre devent purement dagonale, sot : ( c) ( T ) ( C)( ) (I.43) T v L'mpédance caractérstque attachée au mode n est donc le rapport lant la constante de propagaton Γ n du mode consdéré et de l admttance lnéque c n correspondante, sot : z cn Γn jcnω (I.44) Plus généralement, on peut adjondre au mode n la vtesse modale v n relée à la constante de propagaton par l'expresson usuelle: 4

43 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes n ω j v Γ (I.45) n L extenson de ce rasonnement amène à défnr des nductances modales (l) contenues dans l expresson duale de la relaton, sot: ( l) ( T ) ( L)( ) (I.46) v T Toutes ces proprétés se résument à une relaton extrêmement smple entre le produt des Γ : matrces nductance et capacté modales et la matrce ( ) ( Γ ) ( c)( l) ω ( T ) ( C)( L)( ) ω (I.47) T L mpédance caractérstque du mode n est donc donnée par la racne carrée du rapport de l nductance et de la capacté lnéques appartenant à ce mode, sot : l nn z cn (I.48) cnn Pour des lgnes multflares comportant plus de deux conducteurs la recherche des valeurs et vecteurs propres peut s effectuer à l ade de méthodes numérques approprées. Dans le cas partculer d une lgne bflare stuée à proxmté d une référence de potentel, la structure des modes propres se dssoce en un mode commun (ou mode homopolare) et un mode dfférentel. La théore des lgnes de transmsson est, à ce stade d étude, relatvement dffcle à applquer à des systèmes de câblage complexes. Pour cette rason, dans les années 99, J.P Parmanter [I.7] de l Onera a reprs les travaux sur la topologe nstaurés ans plus tôt par Carl E. Baum [I.8] de l Ar Force Research Laboratory, pour l applquer à l étude des couplages électromagnétques sur des réseaux de câblage complexes. Nous ntrodusons dans la parte suvante l analyse topologque des couplages électromagnétques. I..3 Descrpton topologque des couplages EM I..3. Prncpe physque de l assemblage topologque La démarche topologque est l analyse des nteractons EM rencontrées sur les dvers nveaux de pénétraton d une perturbaton électromagnétque. En effet, la présence de frontères plus ou mons perméables aux agressons électromagnétques amène à consdérer l organsaton d un grand système comme un assemblage de volumes topologques. Chaque volume est caractérsé par une frontère physque qu sera dans la plupart des cas, consttuée 43

44 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes par un élément de protecton, à savor un blndage, un fltre ou tout autre artfce nterposé dans la progresson de la perturbaton. Pour concrétser cette démarche, nous consdérons l llumnaton d un véhcule automoble par un champ électromagnétque comme le montre la Fg I.. Auto rado Arbags Fg I. : Exemple d agresson EM d un système On consdère le cas smplfé d une agresson EM générée par une premère antenne extéreure qu ndut une perturbaton sur une deuxème antenne qu peut être l antenne rado de la voture. A son tour, cette antenne va rayonner un champ EM à l ntéreur du véhcule qu sera à son tour capté par une trosème antenne consttuée par exemple de la lgne de transmsson du déclencheur de l arbag. Dans le pre des cas, s l agresson est assez mportante, s la casse de la voture se comporte comme une cavté résonante et s les lgnes de transmsson du déclencheur de l arbag sont dans des zones de champ EM fort dont le couplage est rendu effcace par des condtons de transmsson adéquates, l arbag pourrat se déclencher nopnément. A partr de ce rasonnement physque prélmnare, nous allons construre le dagramme topologque détallé dans la prochane secton. I..3. Consttuton du graphe topologque L nventare des dfférentes frontères ou protectons qu atténuent le champ électromagnétque vont consttuer des surfaces topologques qu délmtent des volumes évoqués en préambule. Nous ferons l hypothèse que ces volumes peuvent être tous ndépendants, cela sgnfe que l énerge qu a pénétré d un volume vers un autre est suffsamment atténuée pour néglger l nfluence de sa rétroacton. Il s agt en termnologe anglophone de l approche top down assocée à des hypothèses de couplages fables. L étude des volumes et surfaces du système condut à l établssement du dagramme topologque du problème. La Fg I. propose un découpage topologque du système. 44

45 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes V, V, V 3,5 V 3,4 S,;, V, Arbags V 3,3 Auto rado V 3, V 3, S,;, Fg I. : Découpage topologque Les sous volumes V 3, de nveaux topologques les plus bas donnent pour chaque sous-système une représentaton physque adaptée. V 3, correspond au volume représentatf du câblage de la voture, relé au crcut mprmé commandant le déclencheur de l arbag. Pour modélser V 3,, nous chosrons par exemple la théore des crcuts pour représenter les composants actfs de l arbag. La théore des lgnes multples pourra quant à elle permettre de smuler une parte du réseau de câble. Le volume V 3, est la structure métallque de la voture. Les agressons électromagnétques ntrodutes dans ce volume, génèreront des zones d ampltude élevées drectement lées aux dmensons et aux longueurs d onde des perturbatons. Pour cela nous pourrons par exemple chosr un outl de type full wave comme la FDTD qu présente l avantage de ben caractérser des structures géométrques complexes. V 3,3 représente le récepteur rado comprenant la parte du câblage présente dans la casse de l automoble relant les crcuts actfs de l autorado et l antenne présente à l extéreur du véhcule. Les phénomènes physques assocés sont du même ordre que le volume V 3,. V 3,4 et V 3,5 sont respectvement l antenne rado extéreure de la voture et l antenne source des perturbatons, toutes deux surdmensonnées devant la longueur d onde. Les couplages électromagnétques en champ lontan entre ces deux antennes peuvent être caractérsés analytquement dans le volume topologque V,. Les tros sous volumes présents à l ntéreur de la casse du véhcule, V 3, à V 3,3 sont regroupés dans le volume V,. Les nteractons entre tous les volumes V 3, sont de type couplages EM. Fnalement, le volume V, connecte les deux sous volumes V, par l ntermédare du couplage par conducton entre les deux antennes ntéreure et extéreure de la voture. De manère smplfée, on représente ces volumes et surfaces à l ade d un dagramme topologque llustré Fg I.. S,;, S,;, S S,;3,3,;3, S,;3, S S,;3,5,;3,4 Fg I. : Dagramme topologque du système. 45

46 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes Le problème global est ans rédut à pluseurs problèmes partels lmtés aux volumes topologques notés dans la fgure V,j. représente le nveau de blndage du volume et j le numéro d dentfcaton de ce volume parm les autres volumes de même nveau de blndage. Les surfaces S,j ;k,l dentfées sur la Fg I., caractérsent les frontères topologques du système, c est-à-dre que les nveaux des sgnaux transms à travers cette paro sont néglgeables. Les surfaces topologques S, ;, et S, ;, décrvent la frontère topologque entre l ntéreur et l extéreur de l habtacle du véhcule. Le transfert d énerge entre ces deux zones sera localsé et analysé selon la forme de l nteracton : Ce peut-être le couplage en mode condut par l antenne rado, ou les couplages électromagnétques en mode rayonné s nfltrant par les ouvertures de la casse. Entre les quatre antennes et la cavté, l exste des nteractons EM représentées de manère plus avantageuse par un graphe topologque présenté dans la Fg I.3 suvante : V, V, V, V 3, V 3, V 3,3 V 3,4 V 3,5 Fg I.3 : Graphe topologque du système complexe. Dans celu-c, on smplfe le système complexe en prvlégant certans axes de pénétraton de l énerge EM afn de résoudre le problème dans son ensemble. Le graphe topologque tradut les nteractons EM entre les dfférents volumes topologques. A chaque volume, on assoce un nœud du graphe, à chaque surface délmtant deux volumes topologques, on assoce une arrête relant les deux nœuds correspondant aux volumes. On a chos de représenter les nteractons entre la lgne connectée à l arbag et la cavté vde ; la cavté et la parte ntéreure de l antenne connectée à la rado, et enfn le couplage exstant entre les deux antennes présentes à l extéreur du véhcule. Cette représentaton arborescente permet d agencer plus faclement les nteractons de la structure mas permet surtout de se prêter parfatement à une descrpton nformatque, contrarement au dagramme. A ce stade de l étude, on peut fare appel à toutes les théores des graphes pour smplfer la représentaton du système. L avantage de la méthode topologque est déjà clar à ce stade. Chaque sous-volume peut être représenté ndépendamment de ses vosns. Le volume V 3, pourrat à plus grande échelle, représenter le réseau de câblage enter du véhcule et être modélsé par un outl adapté. Sachant que les réseaux de câbles jouent un rôle majeur dans la descrpton topologque de tout grand système, J.P.Parmanter a ms en place dans les années quatre vngt dx un formalsme permettant l étude de ces réseaux de câbles au moyen des paramètres S dont nous allons brèvement rappeler le contexte théorque. 46

47 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes I..3.3 Descrpton topologque d un réseau de câbles multconducteurs arborescents La descrpton topologque d un réseau de câbles multconducteurs arborescents s effectue en assocant à chaque branche du réseau un «tube» et sur chaque bfurcaton auss élémentare sot-elle, une «joncton», llustrés dans le réseau de la fgure suvante. Ces deux nouveaux termes seront détallés dans les paragraphes suvants. Joncton 3 W (z) W (zl) Tube Joncton W (z L) Tube Joncton W (z ) Tube 3 Joncton 4 Fg I.4 : Descrpton topologque d un réseau comportant une bfurcaton Chaque tube comportera deux ondes W et W j dont les drectons de propagaton seront opposées, les ondes seront relées aux courants et tensons physques défns sur chacun des conducteurs composant le tube. La propagaton d une onde sur le tube sera assocée à une matrce propagaton ( Γ ) alors que le transfert des ondes au nveau des jonctons stuées aux deux extrémtés d un tube demandera l applcaton des condtons aux lmtes mposées aux paramètres S également attachés aux proprétés de propagaton des ondes. Ondes, paramètres S et matrce de propagaton ( Γ ) seront fnalement fusonnés pour fare l équaton B.L.T. défne au paragraphe..3.7, dont la résoluton fournra l ampltude des courants et tensons présentes sur les jonctons du réseau. I..3.4 Ondes progressves et rétrogrades L objectf est de calculer les tensons et courants localsés aux extrémtés des lgnes de propagaton que l on représentera par les vecteurs nconnus [V(z)] et [I(z)]. L adopton d un formalsme spécfque est ndspensable pour l analyse d un réseau de câblage par les paramètres S. Pour cela, nous utlserons un changement de varable pour manpuler des grandeurs de type «onde» se propageant en sens contrares que l on nommera onde progressve W, ou [V(z)] + et rétrograde W j, ou [V(z)] -. On les défnt par les expressons suvantes : W + (I.49) [V(z)] [ V ( z)] + [ Z c ( z)].[ I ( z)] W j [V(z)] [ V ( z)] [ Z ( z)].[ I( z)] (I.5) c A chaque joncton, sera attrbuée une matrce des paramètres S rensegnant le comportement des ondes réfléches ou transmses pour chaque conducteur. Les équatons dfférentelles (I.7) et (I.8) sont reprses en effectuant les changements de varables. Nous obtenons les équatons de Krchhoff en ondes : 47

48 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes [V(z)] z [V(z)] z s γ [ V ( z)] (I.5) + + [ ].[V(z)] + [ ].[V(z)] + s γ [ V ( z)] (I.5) L équaton de Krchhoff en ondes des courants s obtent de la même manère et sera dentque aux expressons précédentes. Un deuxème changement de varable z z-l permet pour l onde rétrograde d être consdérée comme une deuxème onde progressve mas de drecton de propagaton opposée partant d une extrémté de la lgne. V(z) + V(zL) + V(z L) - V(z )- zl z Fg I.5 : Ondes progressves et rétrogrades z z L En consdérant seulement les ondes de tenson progressves que l on notera W(z), nous obtenons les solutons des équatons précédentes (I.5) et (I.5) : [ γ ] L [ W ( z L)] [ V ( z L)] + e.[ V ( z )] + + e [ γ ] L [ W ( z' L)] [ V ( z' L)] + e.[ V ( z' )] + + e L L [ γ ].( L z) [ γ ].( L z').[ V.[ V s s ( z)] +. dz ( z')]. dz' + (I.53) (I.54) Ces expressons contennent un terme représentatf de la propagaton des ondes sur les conducteurs et un deuxème terme caractérsant la propagaton d une onde source [ V s ( z)] +. Ces changements de varables vont permettre une représentaton convvale en utlsant des «tubes» pour la propagaton des sgnaux, et des «jonctons» pour les connexons entre lgnes et pour défnr les charges lnéares aux extrémtés. I..3.5 Les tubes Nous posons la relaton lant les ondes progressves et rétrogrades à un pont d abscsse z en foncton des tensons et courants présents sur les conducteurs du fasceau. [ W ( z)] [ V ( z)] + [ Zc].[ I( z)]' (I.55) La fgure suvante llustre la noton de tube. 48

49 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes W (z) W (zl) Joncton Tube Joncton W (z L) W (z ) Fg I.6 : Ondes se propageant sur un tube Les ondes progressves sont les ondes sortantes des jonctons. Ces ondes sont toujours repérées par une coordonnée (z ou z c) nulle. Nous noterons donc : [ [ V ( z )] ()] [ V ( z' )] W ( z ) W ( z' ) + W (I.56) La matrce gamma de propagaton dans le tube sera défne de la manère suvante : [ γ ]. e Γ] () [ [ γ ]. L L e () (I.57) Le len avec les expressons des équatons (I.53) et (I.54) permet de défnr la matrce des ondes sources suvante : [ W s ] L L e e [ γ ].( L z) [ γ ].( L z').[ V.[ V s ( z)] +. dz ( z' )] +. dz' s (I.58) En généralsant les équatons (I.55) et (I.56), la propagaton d une onde sur un tube s écrt donc sous la forme suvante : s [ W ( L)] [ Γ ].[ W ()] + [ W ] (I.59) Dans le cas où les lgnes sont mmergées dans un délectrque hétérogène, une transformaton dans la base modale permettra de dagonalser la matrce de propagaton γ. Les ondes W(z) seront alors détermnées dans la base modale. On retrouvera ensute par retour dans la base réelle les valeurs des tensons et courants aux nveaux de chaque joncton. I..3.6 Les jonctons Dans un réseau topologque, on trouve classquement deux types de jonctons. Les jonctons dtes déales, permettent de connecter des tubes entre eux pour caractérser par exemple des bfurcatons ou des connexons entre câbles. La joncton de la Fg I.4 est déale. Les jonctons termnales,, et 4 de la Fg I.4, permettront de défnr les éléments lnéares présents aux extrémtés des lgnes. Nous nsstons sur le fat que la caractérsaton des jonctons par les paramètres S exge des hypothèses lnéares sur les éléments électronques localsés aux extrémtés. Ce peut être des résstances, des nductances ou des capactés relant 49

50 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes les conducteurs du tube à la référence de masse (propagaton en mode commun) ou à un conducteur de référence (propagaton en mode dfférentel). Une joncton n est défnssable par la relaton lant les ondes entrantes et sortantes de cette joncton n drectement lée par sa matrce [S] n. [ W ()] [ S].[ W ( L)] (I.6) n n n Les termes de cette matrce S peuvent également être caractérsés à partr des matrces mpédance [Z n ] (ou admttance [Y n ]) d une joncton n et de la matrce des mpédances [Z c ] (ou admttances [Y c ]) caractérstques des conducteurs. [ S] n [ W ()] [ W ( L)] [ V ( z)] [ Z [ V ( z)] + [ Z c ( z)].[ I( z)] ( z)].[ I( z)] [ Zn ] [ Zc( z) ] [ Z ] + [ Z ( z) ] n c (I.6) n n c I..3.7 L équaton B.L.T Les équatons caractérstques des tubes (éq (I.59)) et des jonctons (éq (I.6)), sont généralsées à l ensemble du réseau. Pour cela, les vecteurs et matrces précédemment dentfés, devendront les éléments consttuant des «super-vecteurs» ou des «supermatrces». Fnalement, la combnason des deux équatons obtenues condut à l équaton BLT, où l nconnue est le super-vecteur d ondes sortantes [W()]. ([ ] [ S ][ Γ] )[ W ( ) ] [ S][ ] (I.6) Le terme BLT se réfère aux tros auteurs d un artcle dans lequel cette équaton apparaît : C.E. Baum, T.K. Lu et F. Tesche. La parte gauche de l équaton est une caractérstque ntrnsèque des couplages propres au réseau, tant sur les lgnes que sur les jonctons. La parte drote caractérse les couplages externes sur l ensemble du réseau. Les «super-vecteurs» courants et tensons sont ensute smplement exprmés en foncton de W ( ), W ( L) (ondes entrantes sur une joncton à la poston zl) et la matrce mpédance caractérstque [Z c ]. Cette méthode a perms la créaton du logcel CRYPTE. Basée sur les paramètres S, elle offre une bonne modélsaton des modes commun et dfférentel, prend en compte les pertes des lgnes et donne une bonne réponse en fréquence. Son utlsaton est relatvement smple et demande un temps de calcul rasonnable. Il reste néanmons le problème de la smulaton d mpédance non lnéare. L outl suggère également de connaître les paramètres prmares R, L, C et G et les mpédances de couplage entre les câbles parcourant un grand système. Sot les modèles de la théore des lgnes sont suffsants pour modélser ces sous volumes, sot des mesures localsées sont nécessares pour obtenr les paramètres S. W S 5

51 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes I..3.8 Exemple de modélsaton par l équaton BLT Dans sa thèse, Marc Olvas Carron a développé l analyse et la modélsaton du canal de propagaton d un véhcule par l équaton BLT [I.9]. La cohabtaton des systèmes électrques dans un véhcule moderne est llustrée Fg I.7 : Fg I.7 : Réseau topologque du câblage d une voture On dstngue tros types de protocoles de télécommuncaton : CAN, LIN et MOST. Le CAN (Controller Area Network) est un bus de communcaton peu couteux développé dans les années 8 pour des applcatons d électronques embarquées dans les automobles. Le débt maxmal d utlsaton est de Mbt/s brut. Ce protocole permet de reler le calculateur central (Central Body Controller) et les autres calculateurs comme celu du coffre, des feux de crosement, de l ABS ou de la drecton assstée. Le support physque de transmsson des données s effectue par des pares dfférentelles torsadées. Le LIN (Local Interconnect Network) est un standard plus récent développé en 999 basé sur la communcaton multplexée à bas coût pour l automoble. Le débt du LIN ne dépasse pas kbt/s. Il permet la transmsson des ordres reçus par les calculateurs vers les dfférents actonneurs. Le support physque de transport des sgnaux est le fl smple référé au plan de masse de la voture. Enfn, le MOST (Meda Orented Systems Transport), n a aucun ntérêt dans le cadre de cette thèse car ce protocole est basé sur un bus en fbre optque. Il est utlsé pour les applcatons nécesstant des débts supéreurs à Mbt/s. Notons également dans le contexte de la CEM, la présence de protocole de communcaton sans fl comme le Bluetooth, utlsé pour le contrôle de la presson des pneus ou pour les péages automatques. Ben que cet outl apporte une ade mportante à l analyse et à la prédcton des couplages EM nternes, la smulaton d un grand système tel un avon actuel n est pas encore envsageable. Fnalement, que ce sot un outl numérque basé sur la résoluton des équatons de Maxwell de type full wave ou 3D, que ce sot des méthodes dérvées d approxmatons des équatons de Maxwell, que ce sot une méthode basée sur la théore des lgnes de transmsson ou sur l analyse par les paramètres S, chacune de ces méthodes numérques offre des avantages spécfques à un phénomène physque partculer. Actuellement des méthodes 5

52 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes hybrdes combnant les ponts forts de dfférentes méthodes numérques sont en cours de développement. I.3 Lmtes de ces méthodes Les avantages et nconvénents de toutes ces méthodes sont résumés dans le tableau caprès. Méthodes FDTD TLM FEM BEM RTA SOP PEEC BLT Gamme fréquentelle Théores crcuts BF BF BF BF HF HF BF BF BF Réponse fréquentelle Large bande Large bande Dscrète Dscrète Dscrète Dscrète Large bande Large Bande Large Bande Géométre complexe Temps de calcul Faclté d utlsaton Etudes des couplages dans cavtés Etudes des couplages sur câbles Tableau : Caractérstques des méthodes de smulaton Fnalement, chacune des méthodes répertorées dans ce tableau, offre de bons résultats de prédcton EM pour l étude d un phénomène spécfque. En reprenant l exemple d un grand système comme la voture de la Fg I., nous pouvons dssocer l analyse de ce grand système en utlsant les méthodes les meux adaptées rappelées dans le tableau précédent. Pour l étude des composants non-lnéares connectés au réseau de câbles par l ntermédare d un boter, nous pensons par exemple utlser la théore des crcuts. Les équatons des dodes de protecton seront tratées également par la théore des crcuts dans le domane temporel, pus avec l ade d une Transformée de Fourer, les solutons du système global seront données dans le domane fréquentel. Les aspects multparamètre et multéchelle apparassent ben dans cet exemple. En effet, on peut smplement ajouter l effet d un fltre ou d une dode dans le schéma électrque équvalent et étuder l effet des dmensons varant de quelques centmètres pour les connexons flares à quelques mcromètres pour les composants actfs. Le réseau de câblage global de la voture sera modélsé effcacement par la théore des lgnes de transmsson multples ou par l analyse topologque des couplages EM par les paramètres S. La dstrbuton des champs EM dans une cavté possédant une géométre relatvement complexe comme la casse du véhcule, sera modélsée par un outl de type full wave comme la FDTD, ou la FEM. Le mallage de l envronnement, permet d obtenr de bonnes 5

53 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes prédctons du comportement des champs mas avec une mse en œuvre lourde et des temps de calcul parfos un peu long. Enfn, les technques numérques basées sur la smulaton des processus au nveau élémentare, ne peuvent prendre en compte l exstence de proprétés unquement au nveau des grandes échelles. Ces comportements macroscopques ne transparassent qu au travers de macromodèles. Face à la problématque des grands systèmes, à savor la prévson EM allant les tros concepts multparamètre, multphysque et multéchelle, nous proposons, non pas encore une nouvelle méthode permettant d optmser la modélsaton d un type de système en partculer, mas plutôt un outl général réutlsant les modèles performants préexstants et à même de permettre l utlsaton des modèles aux dfférentes échelles de descrptons. Pour harmonser ces outls, nous utlserons une nterface mathématque commune : l analyse tensorelle des réseaux électrques nstaurée dans les années 93 par G.Kron [I.]. I.4 Avantage de l analyse tensorelle des réseaux de G.Kron applquée à la CEM De manère smlare à J.P. Parmanter [I.7] qu a utlsé la théore de la topologe de C.E. Baum [I.8] pour l analyse des couplages EM, Olver Maurce [I.] a récemment adapté la méthode de G.Kron pour l étude nnovante de la CEM des grands systèmes actuels. Cette méthode est basée sur l approche topologque des grands systèmes, dans laquelle les multples couplages électromagnétques se rédusent à l nteracton entre de nombreux crcuts électrques équvalents composés de résstances, nductances et capactés lées à des fém représentatves du contexte d nterférence électromagnétque. L avantage prncpal de cette méthode est la résoluton de la théore des crcuts par l outl tensorel qu permettra la smplfcaton des équatons et une approche physque plus souple. Concrètement, reprenons l exemple précédent avec les systèmes électronques que l on peut trouver dans les véhcules modernes. La premère étape pour prédre le comportement des champs électromagnétques dans ce système complexe est l analyse topologque que l on a présentée dans la parte I..3.. Les dagrammes et graphes topologques permettront une bonne vsualsaton du problème. L ngéneur CEM dot se représenter les dfférents phénomènes physques cohabtant dans l envronnement hostle. L analyse topologque permettra donc d soler des sous-volumes représentables par des modèles électrques équvalents. Pour n mporte quel outl numérque auss performant sot-t-l, s la représentaton physque est mal comprse ou mal modélsée, la prévson sera forcément fausse. Pour cela, nous nssterons sur la deuxème étape que sera l analyse physque des phénomènes ms en jeu. Chacun des sous volumes de la voture sera représenté par un modèle électrque équvalent. Dans l éventualté du développement d un logcel nformatque, l pourrat exster une base de données regroupant dfférents sous systèmes couramment employés en CEM. Dans le cas où la théore devent trop complquée à mettre en œuvre, l ngéneur pourra avor recours à une mesure localsée. Ensute, l faut représenter les dfférents types de couplages exstants entre les sous volumes. Il peut s agr d un couplage par conducton ou d un couplage en mode rayonné entre des crcuts électrques représentatfs de phénomènes physques varés. 53

54 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes Cela peut être l nteracton multphysque entre un champ EM et une antenne dans laquelle traversent des courants et tensons, ou l nteracton entre un composant actf et un crcut électrque équvalent au comportement thermque du véhcule. L utlsaton d espaces tensorels dfférents choss parm les éléments consttuant les crcuts électrques (malles, branches, moments), permettra une mse en équaton souple des nteractons multphysques entre les sous-réseaux. Une fos les nteractons représentées, la résoluton du système d équaton tensorelle s effectuera dans l espace le meux adapté, pour retrouver les courants perturbés aux nveaux des systèmes électronques du véhcule. Le traval de thèse propose fnalement une méthode d analyse orgnale permettant une approche mxte basée sur un outl mathématque convval. L outl présenté cherche donc à exploter tous les autres types de réalsatons partelles provenant de dvers outls numérques, partculèrement basées sur l analyse topologque et la théore des crcuts, mas auss utlsant tous les types de modèles dsponbles (codes EM 3D «full wave», expérmentatons, formules analytques, ). A cela, l analyse tensorelle des réseaux électrques permettra une mse en équaton souple du système complexe. Cette méthode permettra une vson plus proche de la physque et d appréhender, plus clarement qu une approche 3D, les nteractons entre les dvers éléments. 54

55 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes 55

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57 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes La problématque CEM des grands systèmes actuels, est fnalement ben résumée à travers les tros concepts multparamètre, multphysque et multéchelle. Dans ce contexte, l ntérêt de développer un outl général permettant l utlsaton souple de méthodes numérques exstantes coordonnées par un formalsme mathématque convval, permettra aux ngéneurs CEM, une plus grande souplesse pour la compréhenson et pour la modélsaton de ces grands systèmes. Pour attendre cet objectf, un mnmum d hypothèses ou approxmatons sera consdéré quant à la prse en compte des multples phénomènes physques (d ordre électrque, thermque ou mécanque ). Pour répondre à ce beson, Olver Maurce a applqué l analyse tensorelle des réseaux électrques nstaurée par G.Kron en 99 [II.] à [II.5], à la CEM des systèmes complexes. Ce chaptre est destné à la présentaton générale de cette méthode appelée MKME (Modfed Kron s Method for ElectroMagnetc Compatblty). La démarche utlsée pour la résoluton d un système complexe par la MKCE (Méthode de Kron applquée à la Compatblté Electromagnétque), est sommarement résumée cdessous. L exemple utlsé est toujours le véhcule de la Fg.II. du chaptre I.. La premère étape consste en l analyse globale du système. L ngéneur dot comprendre et analyser chacune des nteractons possbles dans le grand système. Dans l exemple de la voture, nous dssocons l analyse des réseaux de câbles, les systèmes électronques présents aux extrémtés des lasons flares, l effet thermque sur les composants mcroélectronques, le comportement des champs EM dans la casse de la voture. Selon les fonctons des dfférents systèmes, l ngéneur défnra des nveaux de rsques et des précsons de calcul dfférents selon les normes CEM à respecter.. Une fos que les phénomènes lés au comportement EM du système sont localsés, le graphe topologque met en ordre les sous volumes et leurs connexons respectves. La forme arborescente du graphe facltera le tratement nformatque des données. 3. Les sous volumes topologques sont ensute représentés par des schémas électrques équvalents gnorant dans un premer temps les multples nteractons entre eux. Cette étape est détermnante pour la précson des résultats qu sont avant tout basés sur l analyse physque de chaque sous volume à travers un réseau électrque. 4. Chacun de ces schémas électrques équvalents sera ms en équaton par la théore tensorelle des réseaux électrques, basée sur l observaton de ces systèmes dans un espace prédéfn adapté. Nous parlerons d espaces tensorels lorsque les grandeurs prncpales manpulées dans cet espace sont des tenseurs. L objectf est fnalement de permettre une melleure représentaton physque de chacun des sous-systèmes. Nous obtendrons fnalement des famlles de tenseurs covarants et contravarants rattachées à chacun des sous-réseaux dans des espaces tensorels adaptés au contexte physque d étude. 5. L outl tensorel permettra alors de mettre en jeu les nteractons entre les sousréseaux à travers des opérateurs mpédances décrvant les multples couplages. Ils seront ensute ntroduts dans des «supers-tenseurs» caractérsant le système global. Le terme «super-tenseur» est symbolque et non mathématque. 57

58 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes 6. L analyse tensorelle permet d établr l équaton tensorelle du problème mas ne dt pas comment la résoudre. La résoluton du système d équatons permettra alors de prédre le comportement des composants électronques face à une agresson EM. Nous présenterons dans ce chaptre les prncpes fondamentaux de la MKCE en nsstant sur l analyse tensorelle des réseaux qu consttue la base mathématque de cet outl. Les références [II.6] [II.7] [II.8] sont des ouvrages qu présentent mathématquement l outl tensorel. L ntroducton de M. DENIS-PAPIN et A.KAUFMANN [II.6], résume clarement l ntérêt du formalsme de Kron applqué à des réseaux complexes. «Face à une multtude de méthodes partculères permettant chacune la mse en équaton d un système physque spécfque représentable par des réseaux électrques équvalents, le calcul tensorel permet une systématsaton qu, non seulement a la proprété de s applquer à n mporte quel système quel que sot sa complexté, mas offre également un examen méthodque des crcuts, de les décomposer en éléments smples, de les superposer ou de les nterconnecter. Fnalement, l analyse tensorelle se révèle être un moyen général de synthèse et d analyse des réseaux.» II. Analyse topologque des crcuts électrques De la même manère que l approche topologque pour l étude des couplages électromagnétques de J.P. Parmanter (chaptre I), le grand système est représenté par un dagramme et un graphe topologque représentatfs du caractère géométrque et des perturbatons électromagnétques ms en jeu entre les dfférents éléments. Selon la fonctonnalté, l utlsaton et l envronnement EM de celu-c, le graphe comportera des couplages de dfférentes natures dont l ngéneur prendra son d étuder la pertnence. Ce graphe réunt toutes les nteractons multphysques entre les éléments du système. Il permet pour l ngéneur d llustrer dans un même schéma, tous les problèmes lés à la CEM des grands systèmes. Il pourra par exemple chosr ou non d omettre une perturbaton pour évaluer son effet vs-à-vs du système global. Ensute, chaque sous volume sera représenté par un schéma électrque équvalent, tradut par les concepts de la théore des graphes. Nous dessnerons alors un nouveau graphe llustré Fg.II., dans lequel les nveaux d nteractons sont les nœuds physques, les branches, les malles, les réseaux, les cordes, les nœuds vrtuels et les moments. 58

59 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes Nœud physque Nœud vrtuel Corde Malle Moment Réseau Branche Fg.II. : Eléments de graphe d nteracton Unvers Dans ce graphe cohabtent tros réseaux relés par des cordes représentant des nteractons multphysques. Nous détallons les éléments consttutfs de ce graphe. Une branche matéralse la connexon entre deux nœuds physques assocés avec une orentaton spécfque et véhculant l nformaton. Des exemples présentés dans la sute du texte montreront qu une branche peut matéralser des connexons de natures dfférentes comme des câbles ou des lasons hertzennes. La base de la constructon des tenseurs manpulés se stue dans l espace qu content toutes les branches du problème traté. Comme dans la théore des graphes classques, un nœud physque est une extrémté de branche portant une charge ou un potentel. De manère plus générale, on peut vor ce nœud physque comme une frontère entre des éléments de natures dverses. Dans ce cas les nœuds seront par exemple porteurs d nformaton de charge, de masse ou de température. Une malle est un ensemble de branches formant une crculaton fermée. Une malle est au mnmum consttuée de deux branches et de deux nœuds. La forme des malles est quelconque et sera donc lée à sa surface. L nformaton véhculée dans la malle est l ensemble des sgnaux électrques présent sur ses branches. Un réseau est un ensemble de branches connectées par des nœuds. Il est composé au mnmum de deux nœuds physques et de deux branches et l représente un élément de volume défn dans le graphe topologque. Une corde est une lason entre deux objets d un graphe. Elle matéralse des couplages multphysques entre les dfférents réseaux. Ces cordes peuvent par exemple modélser un couplage par champ électrque entre deux branches ou un couplage en champ magnétque rayonné entre deux malles. Les nœuds vrtuels stuent les ponts de connexon entre deux réseaux. Ce peut être dans le cas de deux malles, deux nœuds dsposés à l ntéreur des malles. Dans le cas où le couplage ntervent entre deux branches, le nœud est placé au centre des branches. Le moment, est le produt d un flux de courant de malle par la surface de cette malle. L ensemble des réseaux peut alors se comporter comme un ensemble de moments vu à une certane dstance, et se comporter comme des sources ponctuelles d ondes EM. Pour mettre en équaton un graphe comme celu-c, chacun des réseaux sera étudé dans un espace adapté au contexte électromagnétque du système. Tout d abord, l espace des branches noté B, peut être caractérsé sot par les dfférences de potentel entre les extrémtés de chacune des branches des réseaux, sot caractérsé par le flux de courant crculant dans chacune des branches des réseaux. 59

60 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes L espace des nœuds est défn par l ensemble des courants entrant et sortant des N nœuds d un réseau. L espace des malles noté M, prend cette fos comme référence les flux de crculaton fermée d un ensemble de branche. L espace des pares de nœuds noté P, est défn par les dfférences de potentels exstantes entre deux nœuds d un réseau. Les pares de nœuds d un réseau seront étables de manère à décrre chaque ddp de l espace des branches. Un flux crculant sur une malle de surface S, revent à manpuler un moment. L ensemble des moments ans décrt forme alors l espace des moments noté Mom. A partr de cet espace, nous ntrodurons enfn l espace des réseaux qu assmle l nteracton en champ lontan entre sous-réseaux, comme le couplage entre deux sources ponctuelles rayonnantes. Dans ces dfférents nveaux d espaces, sègent des nteractons physques précses. Par exemple dans l espace des nœuds, nous pourrons reporter les actons des forces de Newton. Les champs électrques agront plutôt dans l espace des branches comme une dfférence de potentel ndute entre les deux nœuds aux extrémtés de la branche. Le champ magnétque sera plutôt ntrodut dans l espace des malles entre les flux de courants de crculatons fermés. Enfn, l ensemble des réseaux va consttuer l unvers représentant le système global. Dans d autres cas, ce super-réseau pourra s ntrodure dans un hyper-réseau plus grand encore. De manère générale, l exste une relaton topologque lant les dmensons des espaces décrts précédemment, sot le nombre M de malles, le nombre B de branches, le nombre N des nœuds et R le nombre de réseaux. De la même manère, l exste une relaton lant le nombre P de pares de nœuds, le nombre N de nœuds et le nombre de réseaux R : M B N + R et P N R (II.) Cette approche topologque permettra de mettre en équaton les phénomènes physques caractérstques des sous-systèmes. Nous allons mantenant ntrodure l outl mathématque pour connecter ces sous-systèmes en manpulant les équatons dans les dvers espaces présentés dans cette parte. Nous nvtons le lecteur à prendre connassance des bases théorques et des notatons couramment utlsées du calcul tensorel, essentelles pour la bonne compréhenson de la sute du mémore en se référant à l annexe I. II. Descrptf des grandeurs manpulées Pour mettre en équaton un graphe d nteracton comme celu de la Fg.II., l faut lster les données dans des tableaux que l on appellera auss objets, organsés en matrce. Nous ntrodurons pour cela les deux types d objets de nature dfférentes : les objets de type flux et de type effort. Ces objets seront consdérés comme des tenseurs lorsque nous ntrodurons les transformatons de base de référence ou les transformatons entre les espaces topologques présentés dans le paragraphe précédent. 6

61 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes II.. Les objets et opérateurs Un objet peut être dans ce contexte, un tenseur, un vecteur, une matrce ou smplement un tableau de données selon ses proprétés de mse en forme. Il exste deux types d objets se dfférencant par la nature physque des éléments qu ls représentent : l objet de type effort et de type flux. Prenons l exemple du graphe de la Fg.II. : m 3 b 3 N m I N 3 b 4 u 4 m 3 I 3 N N 3 b b b b U I b b 3 u N U u 4 u b 4 u 3 N 3 N b 5 5 N u 5 b 5 Fg.II. : Graphe d nteracton des courants et des ddp Comme le présente la fgure, le graphe d nteracton peut être caractérsé par les courants dans la fgure à gauche ou par les ddp dans la fgure à drote. Dans le premer cas, le réseau est décrt dans les espaces des courants de branches et des courants de malles. Dans le second cas, l est caractérsé dans les espaces des ddp de branches et des pares de nœuds. Les deux graphes dentques de la Fg.II. llustrent donc cnq espaces de dmensons dfférentes. L espace des réseaux est de dmenson R, l espace des nœuds sera de N3 dmensons et l espace des courants de branche de dmenson B5. En utlsant l équaton (II.), on obtent faclement la dmenson de l espace des courants de malle MB+R-N3 malles et pour l espace des pares de nœuds PN-R. Entre chaque nœud ou dans chaque branche, une force développera des travaux correspondant à des objets de type efforts. Ces objets efforts sont des ensembles de valeurs dépendant du temps et lés aux énerges potentelles. Sot u le vecteur correspondant à ces valeurs. Ce vecteur est représenté dans une base {b } de l espace B. On note u, les composantes du co-vecteur effort avec l ndce stué en bas dans l espace des branches. Les composantes de ce co-vecteur sont appelées covarantes (vor annexe I et [II.8]). B u u b ou avec la conventon d Ensten : u u b (II.) Dans le contexte d étude des réseaux électrques, les composantes de l objet effort dans l espace des branches sont les dfférences de potentel présentes aux bornes de chacune des branches b du graphe. L effort u dans la Fg.II. représente la dfférence de potentel entre les deux nœuds aux extrémtés de la branche b. On note que la poston des ndces dans la Fg.II. n est pas lée à la conventon chose pour précser la varance d un «être mathématque». 6

62 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes De manère duale, les objets flux sont lés aux énerges cnétques. Dans chaque branche du réseau, est défne une composante contravarante (vor annexe I) de flux notée avec un ndce placé en haut, rattachée à un vecteur contravarant dans la base duale notée avec un ndce nféreur {b }. r B b ou avec la conventon d Ensten : r b (II.3) Nous assmlerons ce flux au courant crculant dans une branche du graphe. Les flux sont donc supportés par les branches et ont une drecton lée à l orentaton des vecteurs de base untare b chose préalablement par l ngéneur. Dans la Fg.II., sont représentés cnq flux dans l espace des branches et tros flux dans l espace des malles. Le flux parcourant la branche b est par exemple dentfé au courant. Dans l espace des malles, le courant noté I 3 représente le flux de la malle 3. Notons pour la sute de la thèse que la conventon de notaton adoptée sur les tenseurs dfférence l espace des branches de l espace des malles par l utlsaton de lettres mnuscules dans le premer cas et de lettres majuscules dans le second cas. Dans le contexte électromagnétque l objet noté -flux sera un vecteur d ndce colonne représentatf des B courants crculant dans l espace des branches ou des M malles du réseau dans l espace des malles. Le nombre de courants dentfés représentera la dmenson de son espace. A cet objet -flux sera assocé l objet -effort de même dmenson. Prenons l exemple du graphe de la Fg.II.. L espace topologque des branches (, b, b3, b4, b5 ) b est de cnq dmensons. Dans cet espace, nous pouvons défnr le vecteur des courants dont les composantes représentent les cnq courants de branche. L ndce des lgnes l est stué en haut car l objet est un flux et les composantes de ce vecteur sont contravarantes. l (II.4) De manère smlare, dans le même espace des branches, nous défnssons le vecteur des dfférences de potentel (ddp) dont les cnq composantes représentent les ddp attachées aux cnq branches correspondantes. L ndce des colonnes est cette fos stué en bas car les composantes de ce vecteur sont covarantes. ( u u u u ) u c (II.5) 3 4 u5 Fnalement, nous ntrodusons un derner objet de type effort, également appelé de type source. Ce vecteur est composé de cnq forces électromotrces (fém) e k, présentes sur chacune des branches. 6

63 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes ( e e e e ) e k (II.6) 3 4 e5 Fnalement, les composantes covarantes et contravarantes rattachées à une branche ou à une pare de nœuds, développent un traval engendrant à chaque nstant une pussance nstantanée exprmée en watt relée au symbole de Kronecker δ (annexe I). Dans tout réseau électrque, cette pussance dot être un nvarant, c'est-à-dre que quelle que sot la base de référence dans laquelle le vecteur est défn, celu-c restera nchangé. r u. u e. e u.. δ k k (II.7) j j Avec δ δ δ δ s j j j j j δ δ δ δ s j j j (II.8) Ces efforts et ces flux sont relés par un opérateur métrque fondamental, transformant un flux en un effort. Il est appelé opérateur mpédance. Son nverse est l opérateur admttance. L équaton (II.9) présente la relaton entre flux et efforts dans l espace des courants de branches dans le premer cas et dans l espace des ddp des branches dans le second. e k sont les k forces électromotrces sources présentent sur les k branches et s p sont les p courants sources crculant sur ces branches. u k k kp p ( ) p p kp e z et s y ( u ) (II.9) Flux, effort, opérateur mpédance et admttance sur une branche du réseau de la Fg.II. sont llustrés en Fg.II.3 : k s p e k p + z kp p y kp u k u k Fg.II.3 : Une branche d un réseau L opérateur mpédance z kp est, comme le montre la poston des ndces, un tenseur deux fos covarant représenté par une matrce de dmenson carrée lée au nombre de branches consdérées dans le réseau de la Fg.II. (B5). De la même manère, l opérateur admttance y kp content des composantes deux fos contravarante et sera de même dmenson que l opérateur mpédance. Ces notons tensorelles seront plus largement décrtes dans le paragraphe suvant. L objectf c est smplement d ntrodure les objets avec la notaton tensorelle ou matrcelle que nous utlserons tout le long de cette thèse. 63

64 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes z kp z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z y kp y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y (II.) Les éléments présents sur la dagonale de cette matrce représentent les mpédances ou admttances propres de chaque branche. Les termes extra-dagonaux représentent les mpédances ou admttances de couplages mutuels entre les branches du réseau. Par exemple, z 4 est l mpédance mutuelle entre les branches b 4 vers b. Prenons le cas de l espace des courants de branche, sot le premer schéma de la p Fg.II.3. Nous exprmons les quatre grandeurs précédentesu, E, I et Z, mas cette fos dans l espace des courants de malles en respectant donc la notaton des lettres majuscules. Dans cet espace des malles, nous applquons la lo de Krchhoff : la somme des ddp dans une malle est nulle. Fnalement, quel que sot la malle, U k ce qu rédut le nombre de grandeurs à manpuler. En plus de cette proprété mportante, remarquons que le nombre de branches est toujours supéreur au nombre de malles (Equaton (II.)). Pour ces deux rasons, la résoluton des équatons rédutes dans l espace des malles permettra une résoluton des systèmes d équatons plus effcace et plus rapde. Avec l exemple de la Fg.II., nous obtenons le vecteur de l équaton (II.) qu est contravarant à tros dmensons dans l espace des tros courants de malles : k k kp I p I I I 3 (II.) Le vecteur des sources de l espace des courants de branche e k (avec k,,..,5) est transposable dans l espace des courants de malle à travers le vecteur des sources E k (avec k,,3) représentant les tros fém présentes dans les malles m, m et m 3 : ( E E ) E k (II.) E3 Enfn, l opérateur mpédance Z kp est la matrce à tros dmensons représentant les mpédances dans l espace des tros malles. La matrce des admttances est formée de la même manère. Z Z Z3 Z kp Z Z Z 3 (II.3) Z3 Z3 Z33 Ces tros matrces sont fnalement relées par les expressons suvantes dans l espace des malles représentées sous la forme matrcelle pus tensorelle : 64

65 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes ( E ) ( Z )(. I ) (II.4) E. p k Z kp I (II.5) Prenons mantenant le schéma de drote de la Fg.II.. Les cnq ddp de l espace des branches peuvent être transformées dans l espace des pares de nœuds : de manère duale au cas de l espace des malles, nous pouvons défnr le réseau par les expressons suvantes. SI p est le vecteur des sources de courants : SI p I I (II.6) La matrce des admttances est notéey kp : Y kp Y Y Y Y (II.7) Fnalement, le vecteur nconnu des ddp dans l espace des pares de nœuds s écrt dans l expresson suvante : Ces grandeurs sont relées par l expresson suvante : U k ( U U ) (II.8) p pk SI Y U k (II.9) Nous venons de présenter quatre espaces topologques dfférents : l espace des ddp de branches, l espace des pares de nœuds, l espace des courants de branches et l espace des courants de malles. Ms à part la préférence de l ngéneur utlsant la méthode tensorelle des réseaux, l espace le meux adapté au système pour résoudre les équatons sera le système de plus pette dmenson. On aura alors : S M<P, l espace des malles sera plus avantageux S M>P, l espace des pares de nœuds sera plus avantageux. Une fos ces objets et opérateurs décrts sous la forme générale de matrces et dans des espaces dfférents, nous assmlerons ces matrces à des tenseurs. Avant de rappeler certanes notons de l algèbre tensorelle applqué à notre contexte d étude, l est mportant de fxer les conventons de notaton utlsées pour conserver les sgnfcatons physques des objets manpulés. Le lecteur trouvera dans l annexe I des éléments de théore de calcul tensorel. 65

66 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes II.. Noton d algèbre tensorelle L objectf est mantenant d utlser l algèbre tensorelle pour manpuler les vecteurs défns dans les dfférents espaces présentés dans les paragraphes précédents. Les formes lnéares d un vecteur permettront d ntrodure les tenseurs contravarants et covarants d ordre. Les formes blnéares ntroduront les tenseurs d ordre deux, et de manère générale, les formes multlnéares applquées à un couple de pluseurs vecteurs permettront de décrre des tenseurs d ordre supéreur. Parallèlement, nous verrons comment ces tenseurs s adaptent à la physque des réseaux électrques. II... Formes lnéares ou tenseur d ordre un II... Tenseur une fos contravarant Reprenons l exemple de l espace vectorel des branches B de la Fg.II. de dmenson B5. Les courants sont représentés par le vecteur que l on représente dans deux bases dfférentes appartenant à l espace des branches que l on note base {b } et la seconde, la base {b }. La défnton d un tenseur prend nassance dans l applcaton de formes lnéares adjontes dans notre contexte, au vecteur. Nous noterons cette forme lnéare applquée sur ce vecteur f ( ). On parlera de tenseur d ordre lorsqu on applque une forme lnéare à un vecteur et que cette forme est conservée lors d un changement de base. Cette forme lnéare concernera chacun des vecteurs untares de l ensemble de la base {b }. B b ( ) f ( b ) Un nouveau vecteur résultant de l applcaton ( ) f (II.) f sera généré. Rappelons qu une forme lnéare défne sur un espace vectorel B a la structure d un espace vectorel B, appelé espace dual de B. Au leu de dre que nous travallons sur un vecteur dans l espace B ou sur un vecteur dans l espace B, on dra plutôt que le vecteur est respectvement contravarant ou covarant. Dans notre cas, l applcaton f sur le vecteur covarant contravarantes, donnera un vecteur de base contravarant composantes covarantes dans la base duale B. b assocé aux composantes b assocé aux nouvelles f ( ) f ( b ) b ' (II.) Plus concrètement, la transformaton du vecteur sera par conventon vu dans l espace vectorel B pour respecter les conventons de notatons généralement utlsées dans l analyse 66

67 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes tensorelle. Pour cela, nous ntrodusons le tenseur covarant a qu n est ren d autre que la représentaton du vecteur untare b dans la base duale : ( ) a f (II.) b On obtent fnalement la transformaton du tenseur abusvement appelé contravarant : ( ) ' ' f a avec la conventon d Ensten : f ( ) a (II.3) L opérateur lnéare forme un tenseur covarant de dmenson un dont les coeffcents a consttuent les composantes qu on appelle accessorement tenseur du premer ordre. Par extenson de langage, les composantes du vecteur contravarant fgurant dans la relaton (II.) forment un tenseur nttulé mproprement tenseur une fos contravarant. II... Tenseur une fos covarant Nous construsons de la même manère qu au paragraphe précédent le tenseur une fos covarant. Consdérons le vecteur u défn par ses composantes covarantes u dans une base de vecteurs contravarant {b } appartenant à l espace des branches B. La forme lnéare applquée à ce vecteur donnera l expresson (II.4) : u B u b ( u) u f ( b ) f (II.4) Cette applcaton lnéare donnera un nouveau vecteur u lé à la relaton (II.5) dans l espace dual B : u f ( u) u f ( b ) u b ' (II.5) En posant ( b ) a f (II.6) Nous obtenons l expresson fnale décrvant le tenseur covarant u : u ( ) ' f u a u avec la conventon d Ensten : u ' f ( u ) a u (II.7) 67

68 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes II... Formes blnéares ou tenseurs d ordre deux Il exste quatre types de tenseurs d ordre deux. Selon que l on applque la forme blnéare à un couple de deux vecteurs une fos covarant ou une fos contravarant ou une assocaton des deux. Il exste donc pour les tenseurs d ordre deux : le tenseur deux fos covarant, le tenseur deux fos contravarant pus les deux tenseurs mxtes, une fos covarant et une fos contravarant. II... Tenseurs du second ordre deux fos covarants Nous chosssons dans cette parte d ntrodure la forme blnéare par le couple de deux tenseurs une fos contravarants. A cette forme blnéare, on donnera le nom de tenseur du second ordre deux fos covarant. Sot deux vecteurs et I qu, dans le contexte de l étude des réseaux électrques, sont deux vecteurs une fos contravarants appartenant à deux espaces vectorels que nous chosrons dans un premer temps dentques comme par exemple l espace des branches B à cnq dmensons dans lesquels nous chosssons deux bases {b } et {b j}. On aura : B b et I B j I j b j (II.8) L applcaton d une forme blnéare dans B B est désgnée par l opérateur f satsfasant les proprétés de lnéartés et de dstrbutvtés, sot : f ( +, I) f ( f ( m, I) mf (, I), I) + f (, I) (II.9) Ces relatons sont ben sûr applcables de la même manère pour le vecteur I. On obtent fnalement la forme blnéare suvante : f B j ' (, I) I. f ( b, bj ) (II.3), j On obtent fnalement en défnssant le tenseur deux fos covarant a j : ' a j f ( b, b j ) f, I) a B j ( j I (II.3), j Ce nouveau tenseur deux fos covarant a j comporte alors B coeffcents provenant des vecteurs et I. Dans le contexte de l étude des réseaux électrques, ce tenseur deux fos covarant s apparente fnalement à l opérateur mpédance z j. Ans, physquement, nous assmlons la pussance P 68

69 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes en Watt au scalare défn par la forme blnéare. Nous utlsons la conventon de notaton d Ensten : En posant B z j aj P, j z I j j (II.3) Imagnons mantenant que dans l espace des branches B, les vecteurs et I sont défns dans deux nouvelles bases {b } et {b j }. Les composantes des tenseurs et I j se transformeront alors en composantes et I j et les composantes du tenseur d ordre deux a j se transformeront en composantes a j. Rappelons de nouveau que ces objets sont en fat dentques, mas exprmés dans deux bases dfférentes. Dans un réseau électrque, la pussance dot être un nvarant, c'est-à-dre dot conserver sa valeur s l on change de repère on aura donc l expresson (II.33) : P z j I j z j ' j ' I ' (II.33) Cette équaton servra à établr les formules de transformaton de base ou d espace des tenseurs. La pussance est l nvarant de l espace de Kron. II... Autres tenseurs du second ordre : deux fos contravarants et mxtes De la même manère, nous applquons la forme blnéare f à un couple de deux vecteurs cette fos covarants u et U dans l espace dual des branches B B et dans deux bases {b } et {b j }. B u u b et U B j U b' j (II.34) La forme blnéare s écrt : B B j' j f ( u, U ) u U. f ( b, b ) a. u U (II.35), j j Après avor dentfé, le tenseur a j deux fos contravarant à l opérateur admttance y j, on retrouve fnalement la pussance P., j j En posant j j j y a y uu j P (II.36) Sans rentrer dans les détals, les composantes du tenseur mxte sont défnes par la forme blnéare d un vecteur une fos covarant avec un vecteur une fos contravarant. Sot les tenseurs u dans l espace B et dans l espace B, on obtent les relatons suvantes : 69

70 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes u B u b et B j j bj (II.37) La forme blnéare s écrt : f B B j u. f ( b, b j ) j ( u, ) a j. u (II.38), j, j Nous obtenons donc les composantes a j du tenseur mxte d ordre deux décrt dans l expresson (II.38). La forme blnéare du second tenseur mxte s écrt : f u B B j u. f ( b j, b ) a j (, ) j. (II.39), j, j Nous obtenons donc les composantes a du second tenseur mxte d ordre deux. j u II...3 Tenseurs d ordre supéreur Les tenseurs d ordre supéreur prennent nassance à partr de l applcaton de transformatons multlnéares de pluseurs vecteurs. Nous chosssons une forme trlnéare f (, I, φ) assocée à un nombre réel ndépendant de la base chose, à partr des tros vecteurs contravarants (ou appartenant à l espace B) suvants :, I et φ. Cette forme trlnéare sera construte par le produt tensorel de la foncton blnéare h et de la foncton lnéare g. En utlsant la conventon d Ensten, Sot h., I et φ B j (, I) aj I et k g( φ ). φ f (, I, j k φ ) h(, I). g( φ) ajbk. I φ ajk. b k j k I φ (II.4) Nous obtenons alors un tenseur d ordre tros, tros fos covarant. Les dmensons d ordre supéreur à deux ne peuvent plus être représentées par une smple matrce. Dans notre exemple de tenseur à tros dmensons, a peut être représenté par une hyper matrce représentable par un volume cubque : jk k j k a jk j Fg.II.4 : Hypermatrce de dmenson 3 7

71 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes Nous verrons comment utlser un tenseur d ordre supéreur comme le tenseur d ordre tros a jk, pour résoudre un problème multphysque de compatblté Electromagnétque d un système complexe. j Dans ce cas, le vecteur contravarantφ pourrat éventuellement représenter un flux de chaleur que l on exprmera en Watt. Le tenseur d ordre tros contendrat alors les nformatons multphysques lées aux phénomènes électrques, électromagnétques et thermques. On pourrat alors par extenson, ajouter l effet mécanque aux autres grandeurs physques en utlsant une forme multlnéare générant alors un tenseur d ordre quatre. Dans le contexte d étude des réseaux électrques, nous utlsons, pour l nstant, des tenseurs d ordres deux au maxmum. k Pour résumer smplement, par abus de langage, le vecteur courant sera donc assmlé à un tenseur une fos contravarant, le vecteur des fém e k sera un tenseur une fos covarant, l opérateur mpédance z kp sera un tenseur deux fos covarant et l opérateur kp admttance y, un tenseur deux fos contravarant. II...4 Opératons sur les tenseurs L annexe I présente les prncpales opératons applquées aux tenseurs. Nous rappelons pour s accorder au contexte de la thèse le concept du produt contracté entre deux tenseurs. Prenons l exemple du produt vectorel du tenseur deux fos covarant des mpédances z j défn dans l expresson (II.3) et du tenseur une fos contravarant I k défn dans l expresson (II.3). Le produt tensorel donnera le tenseur u deux fos covarant et une fos contravarant dont les composantes sont exprmées avec la notaton d Ensten c-dessous : u. k k j zj I (II.4) Dans le cas où l ndce supéreur k est égal à l ndce nféreur j, nous obtenons le tenseur contracté de u par rapport à j et k. Le tenseur du trosème ordre tenseur une fos covarant comme le montre l expresson suvante : k u j se contracte alors en S kj, u u u (II.4) k j j j Nous retrouvons fnalement les composantes d un tenseur de type effort relées aux tensons de branches dans le contexte de la thèse. Remplaçons mantenant dans l expresson (II.43) le produt tensorel du tenseur deux fos covarants (mpédances) et du tenseur une fos contravarant (courants) par le tenseur contracté une fos covarant u (tensons). Nous obtenons alors un nombre réel nvarant représentant physquement une pussance. 7

72 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes j P zj I P u (II.43) Cette dernère relaton permettra naturellement de présenter au paragraphe suvant, les changements de bases et d espaces. II.3 Changement de base et changement d espace L utlsaton orgnale des proprétés de l analyse tensorelle pour décrre des réseaux électrques va permettre une mse en équaton smplfée des problèmes CEM survenant sur des systèmes complexes. Nous verrons qu au delà des changements de bases de référence, l est également possble d effectuer des changements d espaces tratant, dans notre cas, de problèmes multphysques, multparamètres et multéchelles. Le premer paragraphe présente certans changements de bases dans un réseau électrque. On pourra ans modfer le mode de représentaton en modfant par exemple, le référentel des courants de malles vers un référentel basé sur les moments. Le système sera alors vu comme un vecteur de moments décrvant le comportement des courants de malles évoluant sur des surfaces S. Dans ce cas, cette base accuellera plus smplement certans phénomènes physques. Nous amélorons alors la compréhenson physque des nteractons et smplfons les équatons du système. Ces changements de bases se caractérsent par une matrce de connexon carrée. Concrètement, l n y a aucune modfcaton concernant les dmensons de la base de référence. Nous étuderons deux changements de bases : le passage entre deux bases dfférentes appartenant à un même espace et le passage entre les malles et les moments. Le deuxème paragraphe présente les changements d espaces qu permettront par exemple de transformer les paramètres électrques d un réseau de l espace des branches vers l espace des malles. Les objets flux et efforts seront alors décrts dans un espace représentant un assemblage de pluseurs branches. Dans ce cas, les dmensons du nouvel espace des malles seront modfées. Dans l exemple de la Fg.II., on passe d un système à cnq dmensons à un système rédut à tros dmensons. La matrce des relatons lnéares entre ces deux espaces ne sera plus une matrce carrée, on l appellera matrce de connectvté. De nouvelles proprétés propres à chaque espace pourront alors apparaître ou dsparaître en foncton des los et proprétés attachées à chaque espace. Tel est le cas lors de l annulaton des ddp attachées à chaque branche lorsque l on passe d un espace des branches à un espace des malles. Dans un second temps, nous présenterons la transformaton de l espace des branches vers l espace des pares de nœuds. 7

73 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes II.3. Changement de base Deux exemples de changements de bases sont donnés. Le premer paragraphe présente un exemple de transformaton entre deux bases de malles. On pourra étendre cette descrpton à la transformaton entre deux bases de branches ou deux bases des moments. Le deuxème paragraphe permettra d ntrodure l ntérêt de l espace des moments en présentant le cas d une transformaton entre la base des malles et la base des moments. II.3.. Transformaton d une base des malles vers une autre Illustrons le changement de base à l ade d un exemple dans l espace des courants de malles. On pourra ben évdemment défnr ces changements de bases dans n mporte quel autre espace topologque. Dans la Fg.II.5, nous avons chos arbtrarement deux repères dfférents respectant l hypothèse que les crculatons fermées des courants passent au mons une fos par chacune des branches du réseau. m I m I I m m I 3 3 m I m m m I 3 3 Fg.II.5 : Chox des courants de malle Pour détermner les équatons de transformatons tensorelles de changement de bases, nous exprmons smplement les courants de malles I k du premer réseau en foncton des courants I k du second. I I I I I 3 I +I 3 (II.44) Ou écrt sous la forme matrcelle : I I I 3 I' I' I ' 3 sot I I I 3 I' C. I ' I ' 3 (II.45) C est la matrce carrée de changement de base. (Cette matrce n est pas un tenseur). 73

74 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes La pussance nstantanée du réseau est nvarante donc on peut écrre que le produt contracté entre les composantes sources et les composantes de courants dans l espace des deux malles de la Fg.II.5 sont constantes. E j s j. I E' s. I ' j,s,,,m (II.46) L équaton (II.47) permet fnalement d obtenr systématquement les tenseurs des fém E j dans la nouvelle base à partr de l ancen vecteur E s et de la matrce de changement de bases C que l on a transcrt sous forme d un tenseur mxte C de dmenson carrée. De la même manère, les mpédances Z j dans la nouvelle base sont obtenues à partr de Z kl et k duale C, comme llustré dans l équaton (II.48) : s j l C j et sa forme E ' C. E j,s,,,m (II.47) j j s j s k l ( C ). Z ( C ) Z '.,j,k,l,,,m (II.48) kl j Nous venons donc de donner les expressons permettant le changement de bases d un réseau électrque. La représentaton tensorelle présente l avantage d automatser et de systématser ces transformatons. Les ponts présents dans les deux expressons précédentes permettent de déplacer un ndce et changer l organsaton de l objet tout en gardant la nature de celu-c. Dans ce cas, représente un tenseur de type effort organsé en lgne, dentque à la transposée de équvalent à la transposée du tenseur k C. E s. k E s C est Imagnons que les fém sources et les mpédances attachées à la premère base (m, m, m 3 ) sont les suvantes : ( E E ) E s et E3 Z Z Z3 Z kl Z Z Z 3 (II.49) Z 3 Z 3 Z 33 En applquant les expressons (II.47) et (II.48) aux deux tenseurs de l équaton (II.49), nous trouvons dans la nouvelle base (m, m, m 3 ) : E E t t E' j ( C) ( E) E ( E + E3 ) (II.5) E3 E3 74

75 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes Z ' Z ' j j t ( C) ( Z )( C) Z Z + Z Z 3 3 Z Z + Z Z 3 3 Z Z Z + Z + Z + Z Z Z Z + Z 3 33 Z3 Z 3 Z 33 Z Z Z Z (II.5) II.3.. De l espace des malles vers l espace des moments Sot deux réseaux comportant chacun une seule malle, dans lesquels évoluent les courants de malle J et J sur les surfaces de malle S et S. Les deux moments m et m sont alors représentés dans la Fg.II.6 : J J S S m m Fg.II.6 : Espace des malles et espace des moments L espace des moments sera l espace adapté pour représenter des nteractons lontanes entre des sous-réseaux électrques. S l on consdère par exemple le couplage entre deux antennes boucles écartées d une dstance très grande, les antennes pourront chacune consdérer l autre système comme une source rayonnante. On va alors transformer la foncton de propagaton du champ en couplage par mutuelle nducton dans l espace des malles. Le champ magnétque B w et le moment source m q sont relés par une foncton du type : q B αωqm (II.5) ω αωq est une foncton comportant entre autres des potentels retardés et des atténuatons et est généralement exprmée dans le domane des fréquences. q ω Le moment m est relé au flux de courant J par l expresson (II.53) : m q S q J ω ω (II.53) La dérvée dans le domane temporel du moment est marquée comme en mécanque par un pont au dessus des lettres : & m q S q J ω & ω (II.54) 75

76 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes Comme le représente l ndce placé en haut, le moment est un -flux. Il est de même q type que les flux de malles. Les composantes de la matrce de changement de base S ω représentent les surfaces de chacune des malles du réseau. Il y a autant de moment que de flux, la matrce S est donc carrée et nversble, l expresson (II.54) représente donc ben un changement de base. Un moment d un réseau émetteur produt sur une malle du réseau récepteur élogné, une fém ndute représentée dans l expresson suvante avec le champ rotatonnel B : ω E p S & ω p Bω avec q B & qm& ω α ω (II.55) Fasons mantenant ntervenr la défnton de la mutuelle nducton entre flux de malle source et fém ndute dans la malle réceptrce : E M J& p t tp (II.56) En utlsant les équatons (II.55) et (II.56), nous obtenons, M ωq p M tpj & S p M J& S tp S α S et ω ω ωq q q ω t αωq ω t αωq q m& q S J& M p tp p S ω t αω q S q p (II.57) Cette dernère équaton représente donc le changement de base d une foncton caractérstque de la propagaton du champ vers une foncton prenant pour nature physque une mpédance mutuelle de couplage entre deux malles de deux réseaux élognés. D autre part, nous avons montré dans le paragraphe II.. que l espace des malles permet de rédure le système d équatons par rapport à l espace des branches. L exemple chos montre que l on passe d un système à cnq dmensons dans l espace des branches à un système à tros dmensons dans l espace des malles. La caractérsaton du système drectement dans l espace des malles est relatvement complquée. Pour cela G.Kron dans les années 93, a prouvé que les matrces de changements de bases précédemment décrtes, s applquent d une manère smlare dans le cas du passage systématque des tensons et courants de branches aux tensons et courants de malles permettant ans une mse en équaton plus facle. C est sur ce pont que l orgnalté de la méthode de Kron prend un ntérêt dans le contexte de la thèse. Les changements d espaces topologques permettront une manpulaton souple de l ensemble des équatons d un système complexe caractérsé par les tros concepts multphysque, multparamètre et multéchelle. 76

77 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes II.3. Changement d espace (Méthode de Kron) Pour ntrodure la méthode de Kron, le support mathématque prncpal pour l étude des grands systèmes, nous commencerons par présenter les matrces de connectvtés permettant le passage entre l espace des branches et l espace des malles. Les tenseurs fém et mpédance d un réseau seront décrts smplement dans l espace des branches, pus en utlsant les matrces de connectvtés, ces deux tenseurs seront drectement transposés dans l espace des courants de malle. Ensute, dans la deuxème parte, nous transposerons ce changement d espaces au cas de l espace des branches et de l espace des pares de nœuds. Les dverses nteractons pourront alors être mses en jeu dans l espace le meux adapté. L équaton (II.64) permettra fnalement de retrouver les courants de chaque malle du système. II.3.. De l espace des branches vers l espace des malles Toute l ngénosté de la méthode de Kron résde dans la manère de se transporter dans un espace topologque adapté à la représentaton d un phénomène physque par les réseaux électrques. L espace des branches permet de caractérser smplement n mporte quel réseau auss complqué sot-l. Nous préférerons par contre résoudre les équatons dans l espace des malles offrant ans des proprétés avantageuses pour le calcul. Consdérons le réseau électrque très smple suvant dont les caractères topologques sont : B3, N, R et MB+R-N pour montrer comment s emploe la méthode de Kron. b b 3 b m Z 3 m I I I I + Z I I + Z 33 3 e e e 3 + Fg.II.7 : Espace des branches et espace des malles Sote α, α et z αβ avec α, β,,..., B, les fém, courants et mpédances dans l espace des branches et E, l espace des malles. I et Z j avec, j,,..., M, les fém, courants et mpédances dans G.Kron a démontré qu l exste une matrce de connexon notée C permettant de mettre en relaton les dfférents paramètres électrques dans les deux espaces des branches et des malles : 77

78 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes S C I α et,,..., M Cela entrane que α α avec,,..., B Z j E α C eα avec α,,..., B et,,..., M et α β C z C avec α, β,,..., B et, j,,..., M αβ j (II.58) Ces mêmes équatons peuvent être écrtes sous la forme matrcelle de la façon suvante : ( ) ( C)( I ) entraîne : ( E ) ( e)( C) ou ( C ) t ( e) t t ( Z ) ( C) ( z)( C) ( C) t est la matrce transposée de ( C ) (II.59) Applquons les expressons précédentes à l exemple de la Fg.II.7 : 3 I I I + I + I + I sot 3 I I (II.6) Nous dentfons la matrce de connexon C de dmenson deux colonnes et tros lgnes. On trouve alors à partr de la matrce de connexon transposée C t et le vecteur transposé des fém (e a ) t dans l espace des branches, le vecteur fém transposé dans l espace des malles (E ) t. E E e e e 3 (II.6) De la même manère, la matrce mpédance est transformée dans l espace des malles : Z Z z z Z Z + z + z 3 z z z z 3 z z z3 z + z z + z 3 33 z z z 3 z + z 3 z3 z3 z 33 z3 + z3 (II.6) Les coeffcents de la dagonale représentent les mpédances propres d une branche ou de la malle consdérée. z est l mpédance propre de la branche. Z est l mpédance propre de la malle. Les coeffcents extra-dagonaux sont les mpédances de couplage entre deux branches ou entre deux malles. Par exemple z 3 est l mpédance de couplage entre la branche 3 et la branche. Z est l mpédance de couplage entre les malles et. 78

79 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes La lo de Krchhoff applquée dans l espace des branches donne la relaton entre la matrce des mpédances, les objets de type flux, de type effort et de type source, sot les courants de branche, les ddp et les fém de branches : u. p k ek zkp (II.63) Dans l espace des malles, comme nous l avons déjà précsé dans l équaton (II.5), la lo de Krchhoff permet d écrre l équaton du réseau : E Z I p k kp (II.64) Grace aux expressons (II.6), (II.6) et (II.6), nous connassons drectement les paramètres de l espace des malles à partr des données récoltées dans l espace des branches. L équaton (II.64) nous donne fnalement l évoluton des courants de malle dans tout le réseau. Il sufft pour cela, d nverser la matrce mpédance de malle Z par les méthodes usuelles du calcul matrcel, pus de la multpler par la matrce E. Comme l a été présenté dans le paragraphe II.., l sera parfos préférable de résoudre les équatons du système non pas dans l espace des malles mas dans l espace des pares de nœuds. Dans le paragraphe suvant, les matrces de connexons permettent de transformer des tenseurs admttances et sources de courants d un espace des ddp de branches vers un tenseur des pares de nœuds. k kp II.3.. De l espace des branches vers l espace des pares de nœuds Nous chosssons le réseau électrque de la Fg.II.8 pour défnr les transformatons entre les espaces des branches et des pares de nœuds (llustré par des trats bleus épas). u N b b 3 b N U u u 3 y y y 33 u u 3 y u U 3 N Fg.II.8 : Espace des branches et espace des pares de nœuds N Le caractère topologque du schéma est rappelé : R B3 et N Ce qu entrane : PN-R- (II.65) 79

80 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes L espace des pares de nœuds est chos arbtrarement par l ngéneur sur un réseau dans lequel le nombre de malles est nul, c'est-à-dre ne possédant aucun crcut fermé. Sot α le tenseur contravarant des sources de courants, u β le tenseur covarant des αβ ddp, y le tenseur deux fos contravarant des admttances et j w le tenseur contravarant des courants de branche. Ces tenseurs sont représentés dans l espace des ddp de branches B avecα β,..., B. B3 dans l exemple proposé dans la Fg.II.8. Ces grandeurs sont relées par la relaton suvante dans l espace des ddp de branches : j avec α β,.., B. (II.66) α α αβ y uβ α Dans l espace des pares de nœuds P llustré en bleu sur la Fg.II.8, j. On défnt alors les tenseurs sources de courant, ddp et admttances entre chacune des pares de nœuds arbtrarement choses suvantes relés par la relaton (II.67): I. avec j,.., P. (II.67) j Y U j On peut alors démontrer que : u j β Cβ U j avec β,.., B et j,.., P (II.68) Entrane : et Y j I α C α avec,.., B αβ j C y Cβ α et,.., P (II.69) α avec α β,.., B et j,.., P (II.7) En exprmant u β en foncton de U j, nous obtenons la matrce de connexon C : u u u 3 U U U ( ) C (II.7) On calcule ensute les courants sources I dans l espace des pares de nœuds (espace à une seule dmenson pour cet exemple) : I α C α I 3 + (II.7) Et en applquant l expresson (II.7) : 8

81 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes S j, les termes 3 y y y 3 y y y y (II.73) y y y ( ) j y de la dagonale de la matrce sont les admttances propres à la branche. j Lorsque j, les termes extradagonaux y représentent les admttances mutuelles de couplages entre les branches, on obtent alors dans l espace des pares de nœuds la matrce admttance de dmenson un en applquant smplement l expresson (II.7) : Y j t C y C donne sous la notaton matrcelle ( Y ) ( C) ( y)( C) Y αβ α j β ( y + y y ) + ( y + y y ) + ( y + y y ) (II.74) Il ne reste plus qu à exprmer les nconnues U en foncton des courants sources et admttance dans l espace des pares de nœuds : U j Y I (II.75) j Dans l exemple, le réseau se rédut alors à un vecteur à une seule dmenson. 3 U ( + ) ( 3 ) ( 3 ) ( y + y y + y + y y + y + y y ) (II.76) II.3..3 De l espace des malles vers l espace des réseaux L espace des moments a été défn dans la parte changement de base au paragraphe II.3... Dans l hypothèse où pluseurs sous-réseaux nteragssent en champ lontan, nous représenterons dans un espace appelé espace des réseaux, les nteractons entre sous-réseaux comme des couplages entre des sources ponctuelles rayonnantes repérées dans un espace géométrque (x,y,z). z m m x y α ab Fg.II.9 : Espace des réseaux Nous rappelons que le moment est défn par la relaton suvante : m S ω J a a ω (II.77) 8

82 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes A chaque courant de malle correspond un moment dans l espace des moments caractérsés par la matrce de connexon S des surfaces des malles. Chaque sous-réseau est mantenant défn par un seul vecteur moment dans l espace des réseaux défn à partr des courants et des surfaces de malle. Consdérons ce vecteur moment appartenant à la base {u } de l espace des réseaux R. Nous obtenons avec la conventon de notaton d Ensten : m. a u.η a m (II.78) u est l ensemble des vecteurs de base covarant appartenant à l espace géométrque (x,y,z). η est la matrce non carrée de connexon de l espace des moments à l espace des réseaux. Nous obtenons donc les composantes du vecteur moment une fos contravarant dans l espace des réseaux m : m '.m a ηa (II.79) Nous présenterons l espace des réseaux plus en détal dans la parte couplages en champ lontan du paragraphe II Nous démontrerons alors comment passer de l espace des réseaux à l espace des malles par l ntermédare de la matrce de connexon de changement d espace η entre l espace des réseaux et des moments, et de la matrce de changement de base S pour retourner enfn dans l espace des courants de malle. Nous obtendrons alors la relaton (II.8) dans laquelle la matrceα défnt les couplages entre sous-réseaux dans l espace des réseaux. La matrce M sera consttuée des mpédances mutuelles dans l espace des courants de malle. M tp S S (II.8) q b a ω t ηq α abη ω p Nous résumons dans le tableau suvant les dfférents espaces que nous venons d ntrodure. Espaces des Schéma électrque Relaton tensorelle Formule de transformaton ddp de branche u N pares de nœud b b 3 b U u u 3 N α α αβ j y uβ Y j Uj Y I C α courants de branche p I. u e z. α j αβ j Cα y Cβ courants de malle b b 3 b k k Z m m 3 J I I m E j kp C C E Z. I k kp α eα z α αβ C β j p M tp moments m S m a S a S ω J m ω ω t αω q J S S q p M réseaux m m tp α ab η a m ' a.m S q b a ω t ηq α abη ω S p Nous venons de montrer que les changements de bases permettent dfférentes possbltés pour observer, représenter ou étuder un réseau électrque. D autre part, les changements d espaces permettent dans certans cas de rédure consdérablement les équatons d un système complexe. 8

83 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes En plus de ces avantages, nous montrerons dans le paragraphe suvant que la démarche d analyse tensorelle consttue un atout majeur dans la représentaton des nteractons multples et complexes entre sous-réseaux. II.4 Interactons entre les réseaux Nous montrerons dans le premer paragraphe comment réalser smplement les couplages de mode condut entre les sous-réseaux. Concrètement, nous connectons physquement deux sous-réseaux grâce à une matrce d nterconnexon F. Dans le second paragraphe, nous présenterons un autre type d nteracton, cette fos caractérsée par les tenseurs de types mpédances mutuelles qu permettront de représenter des couplages en mode rayonné multphysques, multéchelles et multparamètres entre sousréseaux. Nous chosssons d étuder, dfférents phénomènes physques ntervenant typquement dans les problèmes CEM des systèmes complexes, à savor le couplage électrque, le couplage magnétque, le couplage thermque et le couplage mécanque. Chacun de ces couplages sera alors représenté par les composantes des tenseurs des mpédances, et dans l espace topologque le meux adapté. II.4. Interconnexons ou couplages en mode condut Les agressons électromagnétques sont généralement condutes par des torons de câbles ou par des antennes. Pour cette rason, ce paragraphe est consacré à la modélsaton des connexons physques matéralsées par un contact ou par un court-crcut entre deux sousréseaux topologques comme l llustre le véhcule de la Fg. I. traté au chaptre I. Un exemple très smple permettra de comprendre comment connecter deux sous-réseaux entre eux avec l outl tensorel. Pour cela consdérons deux malles ndépendantes à connecter. N sous-réseaux dentques sont dsposés côte à côte et deux autres réseaux sont dsposés aux extrémtés comme llustrés Fg.II.. Pour l exemple, nous chosrons N. Fg.II. : Crcut non connecté Chacune des extrémtés des réseaux est court-crcutée pour effectuer la connexon de type court-crcut. Le prncpe est smple, les courants des malles et seront égalés de sorte que les deux malles comporteront des courants dentques J et J mposés par les malles et et orentés dans le même sens. De ce fat, le réseau fnal se rédura à une malle J dans laquelle on fusonne les courts-crcuts adjacents pour matéralser la connexon entre deux malles vosne. Ce procédé est étendu à l ensemble des N sous-réseaux comme l llustre la Fg.II.. 83

84 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes Fg.II. : Crcut connecté La transformaton de la Fg.II. à la Fg.II. s opère de manère systématque par le formalsme tensorel. Les matrces mpédances et fém du réseau non connecté sont données dans l équaton (II.8). [Z ] et [Z ] sont les matrces mpédances dans l espace des malles des réseaux non connectés de la Fg.II.. Z R [ Z ] [ Z ] R L es [] E Matrces du système non connecté (II.8) [] Nous cherchons à détermner de manère systématque les tenseurs du nouveau système connecté Fg.II.. Pour cela, nous défnssons une matrce d nterconnexon (F) à partr des courants de malle du réseau non connecté de la Fg.II. noté J, que nous relons aux courants de malle noté J du système connecté de la Fg.II.. A ttre d exemple, on pose le système d équaton relant les courants de ces deux systèmes : J.J +.J +.J 3 J.J +.J +.J 3 J 3.J +.J +.J 3 J 4.J +.J +.J 3 ( J ) ( F)( J ') J 5.J +.J +.J 3 J 6.J +.J +.J 3 (II.8) Dans l équaton matrcelle placée à drote de l équaton (II.8), ( F ) est appelée la matrce d nterconnexon. Pour le cas partculer du crcut de la Fg.II., elle comporte un assemblage de uns et de zéros llustrée dans l équaton (II.83). ( F ) (II.83) Il a été démontré que les matrces mpédance et fém de la Fg.II. du nouveau système connecté, peuvent être détermnées de manère systématque par les relatons matrcelles suvantes [II.6] : t t ( Z' ) ( F ) ( Z )( F ) ( E ) ( F ) ( E) ' (II.84) 84

85 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes En applquant ces formules, on obtent fnalement les matrces mpédance et fém du système connecté : Z ' R + Z + Y Y Y + Z + Y Y Y Y + Y R L es E ' Matrces du système connecté (II.85) II.4. Couplages multphysques entre réseaux De par les proprétés fondamentales respectvement lées à chaque espace d un réseau (espaces des nœuds, des branches, des malles ou des moments), les couplages seront de natures dfférentes. Nous dfférencons les proprétés des champs selon leurs drectons longtudnales ou transversales. Les champs de vecteurs longtudnaux, parce qu ls sont parallèles à la drecton de propagaton, développent une force axale, comme les forces électrostatques de Coulomb (pour le couplage électrque) ou la force de la gravté. Ce peut être auss un champ thermque provenant d un flux traversant une résstance dans l espace des branches, ce peut être un champ dérvant d un gradent de potentel dans le cas du stockage d énerge dans une capacté ou de transport d énerge avec une nductance de branche. Ces champs longtudnaux seront donc portés par l espace des branches. Les nteractons en champs magnétques seront quant-à elles représentées dans l espace des malles à travers des mutuelles. Les nteractons fasant ntervenr des champs perpendculares à la drecton de propagaton, ne pourront pas être portées par les branches ou les malles mas par des cordes. Le champ électrque lontan, modélsé par la dérvée temporelle du potentel vecteur de la jauge de Coulomb, ou les nteractons en champ magnétque lontan, dérvées du potentel vecteur de la jauge de Lorentz seront portés par ces cordes. Les nteractons de type mécanque agront drectement sur les nœuds d un réseau. Les transformatons d espaces de G.Kron permettront d utlser l espace topologque appropré au contexte des couplages. Dans les paragraphes suvants, nous présenterons dfférents types de couplages dans le but de montrer quel sera l espace topologque optmal pour représenter une nteracton. Le premer paragraphe décrt les couplages en champ électrque dans l espace des courants de branches. Le couplage en champ magnétque sera quant à lu représenté dans l espace des courants de malles. Les couplages en champ lontan prendront place dans l espace des moments et l espace des réseaux, les couplages mécanques dans l espace des nœuds et les couplages thermques dans l espace des branches. 85

86 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes II.4.. Le couplage en champ électrque Nous présentons le cas du couplage en champ électrque qu llustre typquement l nteracton de l espace des branches. Le couplage en champ électrque transverse s obtent à partr de l équaton de Maxwell-Gauss : dv ( E) ρ. ε (II.86) La dvergence du champ électrque s exprme sous la forme ntégrale en utlsant le théorème de Green-Ostrogradsk. Le flux du vecteur champ électrque à travers une surface fermée est alors égal à l'ntégrale de la dvergence de ce vecteur sur le volume délmté par cette surface. D autre part, la verson ntégrale du théorème de Gauss nous donne l expresson du flux φ : Théorème de Green-Ostrogradsk. Théorème de Gauss : E. ds S S q E. ds ε V Φ ρ dv ε e (II.87) On suppose que la surface de flux du champ est assez pette pour que le champ y sot constant. En dérvant pour fare apparaître le courant, on obtent en foncton du flux Φ : q Φ e.ε j Φe ωε (II.88) Dans le cas du couplage électrque sur une lgne, on retrouve une source de courant qu rapporte fnalement l nfluence électrostatque du champ sur la lgne. En nsérant la source de courant précédemment obtenue en parallèle à un condensateur, on retrouve avec les proprétés de Thêvenn et Norton, un générateur de tenson en sére avec la capacté : e V h jωε Φ e jωε Φ e he jωc jωε S (II.89) La dfférence de potentel ndute par la force de Coulomb est fnalement obtenue par ntégraton du traval du champ sur la hauteur h de la lgne. Dans le cas d un couplage par daphone, la source de courant fat alors partcper la capacté lnéque de couplage C et la tenson applquée à la lgne émettrce du champ électrque ans que la dmenson longtudnale L. V est la tenson source applquée sur la source de la premère lgne. jc (II.9) ωv L 86

87 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes Le couplage par daphone sera décrt en détal au chaptre III. Prenons l exemple d une antenne de type monopole, d mpédance équvalente Z ant, almentée par une source e d mpédance nterne R. Cette antenne génère un champ électrque dans son envronnement proche qu est capté par un élément de lgne de longueur dz, llustré dans la Fg.II.. h ant ZL e R I h L V Fg.II. : Exemple de couplage électrque La source de courant, engendrée par nfluence électrostatque sur l élément de la lgne, est remplacée par une mpédance mutuelle Z ce réalsant ans, le couplage entre les deux sousréseaux. 4 Zant I 3 R e Z ce I(z) L.dz 3 R.dz I(z+dz) V(z+dz) V(z) I I s (z).dz I C.dz dz Fg.II.3 : Schéma équvalent d un couplage électrque sur une lgne Plutôt que de représenter la source de courant dans un tenseur source I s, une mpédance mutuelle caractérsant le couplage électrque est couplée à la capacté lnéque C.dz. Cette capacté est en parallèle dans le crcut. C est pour cette rason que le couplage électrque ntervendra dans l espace des branches et non pas dans l espace des malles. Ecrvons les tenseurs mpédances dans les deux espaces des branches et des malles : La matrce de connexon C de Kron permet le passage de l espace des branches vers l espace des malles : 3 4 I I I I + I I + I + I + I + I 3 + I + I sot C (II.9) Ecrvons la matrce mpédance z dans l espace des branches, dans un premer temps sans fare ntervenr la matrce m E des mpédances de couplage électrque Z CE. 87

88 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes R + jlω z' jcω R + Z ant et ZCE m E (II.9) ZCE La matrce mpédance dans l espace des branches avec les couplages : z z' + (II.93) m E Le couplage dans l espace des branches apparaît entre les termes m 4, sot entre les branches et 4. Dans l espace des malles, en utlsant la matrce C et la matrce z, nous obtenons automatquement la matrce mpédance Z dans l espace des malles en utlsant l équaton k l Z ' C. z. C avec (,j,k,l,,,m) : (II.6) ( ) ( ) j kl j R + Z' jlω + jcω jcω Z CE jcω jcω Z CE R Z CE Z CE + Z ant (II.94) Regardons les postons des mpédances de couplages Z CE dans cette matrce. Elles sont dsposées de manère à coupler les malles et 3 mas auss les malles et 3. Cela vent du fat que la capacté est assocée smultanément aux deux courants de malles I et I. Pour cette rason, le couplage électrque sera plus facle à représenter dans l espace des branches. II.4.. Le couplage en champ magnétque Pour llustrer le couplage en champ magnétque que l on assocera à l espace topologque des malles, nous chosssons l nteracton entre une boucle magnétque et un élément de lgne présentés c-dessous : 88

89 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes ZL I h L e R V Fg.II.4 : Exemple de couplage magnétque 4 Zant I 3 R + e I(z) e(z).dz Z cm L.dz 3 R.dz I(z+dz) V(z+dz) V(z) I I C.dz dz Fg.II.5 : Schéma équvalent d un couplage magnétque sur une lgne Les lgnes de champ magnétque traversent la surface de l élément de la lgne pour produre un flux de champ magnétque φ : φ B.dS S (II.95) En utlsant A, le potentel vecteur du champ B, on trouve par le théorème de Stockes la relaton (II.96) : φ S rot A. ds A. dl dl (II.96) Le potentel vecteur A généré par un crcut lnéque et parcouru par un courant I s écrt : A µ dl I 4 r π C (II.97) Le flux s écrt donc en solant le courant I par : µ dl. dl φ I (II.98). I 4π r L C C Dans cette expresson (II.98) apparaît le terme nductance mutuelle L. 89

90 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes Sot un crcut électrque fermé, suvant la lo de Faraday, le couplage en champ magnétque ndut une fém équvalente drectement lée aux varatons de flux φ de champ magnétque : dφ e (II.99) dt On obtent avec une transformée de Laplace, l expresson de la source de couplage équvalente e dans le domane fréquentel : e j S. B& ω. (II.) Dans le cas du couplage par daphone entre deux lgnes de longueur L, la fém équvalente s écrt sous la forme suvante : e ω (II.) j L I L Par défnton, le champ magnétque génère une tenson développée aux bornes de la self nducton de la malle dans laquelle la fém est couplée. La tenson totale est obtenue par sommaton de la tenson développée aux bornes de l nductance sommée à la valeur de la fém. Les effets nductfs dus aux crculatons fermées des courants, nous suggèrent donc de travaller dans l espace des malles. Plutôt que de modélser le couplage par une fém source, nous utlsons l mpédance mutuelle Z CM. La mutuelle sera donc portée sur une corde relant les deux nœuds vrtuels dsposés au centre des malles des deux sous-réseaux comme le montre la Fg.II.6. Le couplage ntervent donc entre ces deux malles et non pas entre des branches. Z cm Fg.II.6 : Couplage entre malles Dans le cas de réseaux plus complexes, s l on avat utlsé l espace des branches pour représenter le couplage magnétque, pluseurs malles auraent pu être exctées. Cette représentaton permet donc un couplage exclusvement entre malles. De la même manère que pour le couplage électrque, nous écrvons les matrces mpédances dans l espace des branches pus dans l espace des malles pour fare ntervenr les couplages entre malles. La matrce de connexon est ben sûr la même que dans le paragraphe précédent. 9

91 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes R + jlω z' jcω R + Z ant (II.) Dans l espace des malles nous obtenons donc la matrce suvante qu ne prend pas en compte l effet du couplage magnétque Z M présent dans la matrce des mpédances mutuelles de couplages des malles : R + Z' jlω + jcω jcω jcω jcω R + Z ant et Z M M CM (II.3) Z M Fnalement, la matrce mpédance des deux réseaux relés par un couplage magnétque s écrt de la manère suvante : Z Z' + M CM R + jlω + jcω jcω Z M jcω jcω R Z M + Z ant (II.4) On peut de cette manère, addtonner à la matrce mpédance du système, les matrces représentant les nombreuses nteractons de nature physques dfférentes du système complexe. La matrce mpédance fnale obtenue dans l espace des malles sera alors représentatve du système global. II.4..3 Le couplage en champ lontan Lorsque deux sous-réseaux sont suffsamment élognés, on dt qu ls sont en nteracton en champ lontan. Dans ce cas, un réseau consttué de M malles est vu par un autre sous-réseau comme une source ponctuelle émettrce unque. Dans un premer temps, comme nous l avons vu précédemment, nous pouvons utlser une transformaton de base, c'est-à-dre que le nombre de moments est égal au nombre de malles, pour ntrodure l analoge entre les équatons de propagaton de champ utlsées couramment par les antennstes, et le couplage par mutuelle nducton dans l espace des malles. A cette proprété ntéressante, nous ajoutons une transformaton supplémentare de type changement d espace. L objectf est de rédure les nteractons en champ lontan à un seul vecteur prncpal. Pour cela, nous travallerons dans l espace des réseaux. 9

92 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes Dans l exemple présenté dans la Fg.II.7, les sous-réseaux sont choss arbtrarement mas pourraent par exemple représenter des systèmes électronques embarqués dans un véhcule nteragssant entre eux par des couplages en champ lontan. Le premer sous-volume V comporte tros malles, le deuxème V deux, et le trosème V 3 une seule malle. Les couplages en champ lontan sont représentés par les termesα tradusant la propagaton de l énerge entre les sous volumes. j Ces sous-réseaux sont localsés dans l espace à tros dmensons x, y, z. V α 3 V 3 J 4 J 5 J 6 z V α 3 x y α J J J 3 Fg.II.7 : Interactons en champ lontan Chacun des sous-réseaux topologques sera représenté ndépendamment par sa matrce des fém et mpédance dans l espace des malles. Comme nous l avons vu précédemment, le moment est défn par l expresson lant les courants de malles à leurs surfaces respectves contenues dans la matrce S. m a S a J ω ω (II.5) p Les termes de S correspondent aux surfaces S ω des mallesω,p. Dans l exemple, ω,,.., 6 et p,,6. Les matrces des surfaces de chaque réseau sont carrées. Le nombre de moments est égal au nombre de malles du système. a Dans l exemple de la Fg.II.7, les matrces S des a sous-réseaux s écrvent de la manère suvante : S 4 S 4 S S, 5 3 S S5 3 ( S ) ( ) ( ) ( S ) ( ) ( S ) ( ) 3 ( ) ( ) ( S ) 3 6 S et S [ S ] 6 (II.6) Mantenant, nous défnssons un autre vecteur moment qu prendra pour référence l espace des réseaux. Dans l exemple de la Fg.II.7, ce moment sera un vecteur une fos contravarant à tros composantes. 9

93 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes Ces moments ne sont ben évdemment pas dsposés suvant un même plan dans le repère x, y, z. Nous devons donc tenr compte de la géométre du système lors de la contracton de l espace des moments vers l espace des réseaux. Pour cela, une matrce dans laquelle apparassent les angles formés entre un vecteur normal à une malle de référence, et les vecteurs normaux à leurs malles respectves, complétera la matrce des surfaces. L nfluence de la poston des malles est prse en compte grâce au snus de l angle formé par le vecteur uω normal à la malleω et le vecteur champ magnétque B comme le montre l exemple de la Fg.II.8 : x θ u ω B y B Fg.II.8 : Descrpton du champ magnétque dans l espace géométrque La matrce de connexon contractant l espace des moments vers l espace des réseaux ( ) η prendra alors la forme suvante : η ω a ω ( θ ) sn (II.7) a uω est le vecteur normal au momentω généré par le courant de malleω, comme llustré Fg.II.8. Le vecteur des moments sera alors défn par l expresson (II.8) dans l espace des réseaux : m. u. ω m a ω η (II.8) a Applquée à l exemple, la matrce de connexon non carrée de dmenson 3 6 comportant les snus des anglesθ ω a (ω, 6 moments dans l espace des moments et a,,3 moments dans l espace des réseaux), est de la forme suvante : η ω a sn( θ ) sn( θ ) sn( θ3 ) sn( θ ) sn( θ ) sn( θ6 ) (II.9) Vu de lon, un sous-réseau verra un autre sous-réseau comme une source ponctuelle ou comme une assocaton de flux rassemblés en un seul moment dans l espace des réseaux. Le couplage en champ lontan s effectuera alors par une translaton du moment. 93

94 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes m α 3 m 3 z x y α m α 3 Fg.II.9 : Interactons dans l espace des moments Consdérons dans l exemple que les malles des sous-réseaux se comportent comme des antennes boucles. Le champ magnétque est donc donné à une dstance R de la boucle émettrce par l expresson suvante [II.9] : B θ πjs sn( θ ) e µ λ R ( jkr) ( jkr) π e J. S.sn( θ ). µ λ R S J..sn( θ ). α (II.) Ou écrt sous la forme tensorelle avec ω ou p malles et a ou b sous-volumes : p ω a a ω Bb J. S p.sn( θω ) αba α ba. ηω. m (II.) Au pont géométrque où vent d être défn le champ magnétque, se trouve une malle d un autre réseau dans laquelle la varaton de champ génère une fém donnée par la relaton (II.): e η avec s,q,..,m et b,..,r (II.) q b s S s q t Bb En remplaçant B b par son expresson, on obtent : e s S q b s q t a ω q b a ω p ( α ( η ) m ) S η α η S J η.. (II.3) ba ω s q ba On veut njecter cette expresson drectement dans le formalsme de Kron par l ntermédare d une mutuelle dans l espace des malles. Dans les équatons précédentes, le termeα défnt la propagaton des a ou b champs ba magnétques B générés par p courants de malle J p défns sur les surfaces desω ou p malles S nclnées d un angle θ par rapport à la malle de référence. ω p a ω Applquée à notre cas, la propagaton des champs magnétques créés par chacun des tros sous-réseaux générera une matrce à tros dmensonsαba tradusant les nteractons entre les tros sous-volumes (ab,,3) : ω α α3 α ba α α 3 (II.4) α 3 α3 p t 94

95 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes 95 Pour résoudre les équatons du système, nous avons beson de transposer ce couplage de l espace des moments vers l espace des malles sous forme d un couplage par mutuelle sp M ( 6,,..., s p q ω malles). L équaton (II.8) rappelée c-dessous permet d obtenr systématquement la matrce mutuelle dans l espace des malles avec ( ) η, la matrce de connexon totale de l équaton (II.9): ω η ω α η p a ba b q q s sp S S M Sot : S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S M sp η α η η α η η η α η α η η η α η α η η η α η α η η η α η α η η η α η α η η η α η α η η α η η α η η α η η α η η α η η α η η α η η α η (II.5) La matrce S de changement de base et la matrce η de changement d espace ne sont pas des tenseurs. Remarquons que la matrce ω p S est de dmenson 6*6, a ω η de dmenson 6*3 et la matrce ab α, de dmenson 3*3. Grâce à cette expresson, nous rédusons le système d un espace des courants de malles à sx dmensons à un espace des réseaux à tros dmensons pour défnr les nteractons en champ lontan entre ces tros sous-réseaux. Cette matrce des couplages en champ lontan, est défne automatquement dans l espace des malles, et sera addtonnée à une super-matrce mpédance sp Z contenant la descrpton des tros sous volumes ndépendants dans l espace des malles : sp sp couplé M Z Z + (II.6) Le couplage en champ lontan défn par les équatons des antennstes est faclement ntrodut dans le formalsme de Kron et permet de rédure les équatons du système. II.4..4 Le couplage thermque Tous les composants électronques dégagent de la chaleur (effet Joule par exemple). Toute cette quantté de chaleur devra être condute hors des câbles ou hors des jonctons des sem-conducteurs vers le mleu extéreur qu est l ar ambant. S les flux de chaleur sont mal évacués, les varatons de températures seront mportantes. Les solants thermques vellront alors de manère prématurée et dans le pre des cas, ces hautes températures détruront les composants sem-conducteurs. L étude de la conducton thermque permettra alors de prévor et de localser les échanges thermques qu peuvent parfos modfer de manère sgnfcatve les mpédances présentes aux extrémtés des réseaux de câbles des grands systèmes. On pourra alors prévor d assocer à certans composants électronques sensbles, un radateur de dmenson adaptée.

96 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes Ce couplage de nature physque dfférente, montrera comment prédre par la méthode de Kron, des problèmes multphysques généralement rencontrés dans la CEM des grands systèmes. II Equaton de dffuson de la chaleur La pussance P est njectée sous forme d un flux de chaleur vers un matérau qu vot alors sa température augmenter. En d autres termes, ce matérau consomme la pussance P. La pussance restante non consommée par le matérau est dégagée vers l extéreur à travers la pussance P : m,c p, θ θ S θ P P P y z x dx Fg.II. : Conducton thermque La température θ d un mleu exprmée en K, de masse m en kg et de chaleur θ x, y, z, t. massque C p en J.kg - K -, est foncton de l espace spato-temporel : ( ) On défnt le vecteur champ thermque T exprmé en foncton des dérvés des températures θ selon les drectons de dffuson de la chaleur x, y ou z : T θ ( ) x θ grad θ (II.7) y θ z L écart de température entre θ et θ caractérsant deux mleux est proportonnel au champ thermque crculant sur une lgne de longueur l: θ θ T.dl (II.8) l Pour obtenr les équatons de conducton thermque, comme pour les équatons de propagaton des tensons et courants sur un crcut électrque, nous établssons le blan de pussance. La pussance transmse du matérau vers l extéreur (mleu ) est proportonnelle au champ thermque traversant la surface S. Le coeffcent de proportonnalté λ appelé la conductvté thermque est exprmée en W. K -.m. 96

97 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes P λ T. ds (II.9) S L énerge W nécessare pour élever la température d un matérau est proportonnelle à sa masse m et à la chaleur massque Cp : W mc dθ (II.) p De cette énerge, on retrouve la pussance que l on assmlera par la sute au flux de chaleur présent dans le matérau, que l on peut donc écrre sous la forme ntégrale trple du volume du matérau de masse volumque µ : P dw dt mc p dθ dt V µ C p dθ dv dt (II.) Le blan des pussances permet d écrre : P P + (II.) P ce qu entrane, en remplaçant l ntégrale de surface par l ntégrale sur le volume : P P V V µ C µ C p p dθ dv dt dθ dv dt + λ λ S V T. ds dv ( grad ( θ )). dv (II.3) Après ntégraton, nous obtenons suvant l axe des x : λs µ C S dx( θ( t) θ( t) ) ( θ( x) θ ( x) ) (II.4) dt dx P p. dθ λs µ C S. dx ( θ( x) θ ( x) ) (II.5) dt dx P p Cette équaton lant la pussance et la varaton de température ressemble fortement à l équaton de propagaton électrque. Nous ferons alors une analoge avec les équatons de propagaton électrque lant les courants et les dfférences de potentels. II Analoge entre équatons de dffuson thermque et de propagaton électrque Sot la capacté thermque C th exprmée en J/ K et la résstance thermque du mleu R th en K/W : 97

98 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes C µ C S dx et th p. R th dx (II.6) λ S On obtent l équaton thermque drectement dentfable à un réseau électrque. dθ P Cth ( θ( x) θ( x) ) (II.7) dt R th La température θ joue le rôle de potentel électrque et la pussance sera dentfée à la crculaton de courant : P P θ R C th th θ Fg.II. : Réseau thermque dθ Consdérons le cas du régme permanent. Dans ce cas,. Il ne reste plus que la dt résstance thermque dans le schéma électrque équvalent. Le blan de pussance nous donne l équaton smplfée suvante : P ( θ( x) θ( x) ) (II.8) R th II Applcaton de l analyse tensorelle sur un réseau thermque smple Examnons mantenant comment s écrt un système thermque sous la forme d un système d équatons tensorelles. Les relatons de dffuson thermque peuvent être défnes dans l espace géométrque cartésen à tros dmensons ou, dans le contexte de la thèse, dans les espaces relés aux réseaux électrques présentés au chaptre I comme les espaces des nœuds, des branches, des malles, des moments, des pares de nœuds ou des réseaux. Nous verrons fnalement qu à partr de l nvarant qu est l énerge thermque du système, nous pouvons construre un tenseur d ordre supéreur dans lequel ntervendront les nteractons multphysques entre grandeurs électrques et grandeurs thermques. Dans l espace cartésen représenté dans la Fg.II., l utlsaton de l analyse tensorelle applquée aux effets thermques permet généralement de tradure l effet ansotrope d un mleu conducteur de chaleur. Un matérau consttué de couches, ne condura pas la chaleur de manère smlare dans toutes les drectons de dffuson. Pour cela, on utlse la relaton plus générale qu consdère R th comme un tenseur du second ordre. 98

99 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes Dans le cas où l on consdère les tros drectons, la pussance peut être représentée par un tenseur une fos contravarant, la dfférence de température par un tenseur une fos covarant et la résstance thermque pourrat être fnalement assmlée à un tenseur d ordre deux de dmensons 3*3. θ R th.p exprmé sous la forme tensorelle : Avec dans l espace cartésen et dans la base ( e e, e ) θ R j x, : ( θ θ θ ) x R R P P j P P 3 y R 33 y z z R. P j θ j (II.9) (II.3) Dans l exemple de la Fg.II., nous avons chos l étude de la dffuson de la chaleur unquement selon la drecton Ox. Les dérvées partelles de la température selon y et z sont nulles. Dans ce cas, R th, le coeffcent de proportonnalté est un scalare, nous ne tradurons pas l effet ansotropque du mleu conducteur de chaleur. Le réseau de la Fg.II. permet une mse en équaton semblable à l étude des réseaux électrques en prenant pour référence les espaces des nœuds, des branches, des malles, des moments, des pares de nœuds ou des réseaux. Les tenseurs précédemment nommés prendront alors pour références ces espaces. La varance sera nchangée mas les dmensons vareront selon l espace consdéré. Pour le réseau très smple de la Fg.II. en régme permanent, nous écrvons les équatons dans l espace des courants de malle. Notons que ce réseau comporte autant de courants de branche p que de courants de malle P. P P P P θ R th Fg.II. : Réseau thermque défn dans l espace des courants de branche et courants de malle Nous avons donc dans l espace des malles : θ Avec : j θ R j. P (II.3) ( θ) θ θ θ (II.3) 99

100 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes R j ( R th ) P j ( P ) Nous nous ntéressons mantenant à un couplage multphysque très smple composé d un crcut électrque avec une fém source e chargée sur sa résstance nterne R, almentant une charge Z dépendante de la température. Entre le composant représenté par la charge Z et l ar ambant, un matérau conducteur de la chaleur est caractérsé par sa résstance thermque R th. Pour représenter ces échanges thermques, nous effectuerons un couplage multphysque dans l espace des branches. Sur la Fg.II.3, θ représente la température de l ar ambant et θ est la température de la charge Z, par exemple au nveau de la joncton d un composant semconducteur. e P 3 u J R Z u P θ R th θ Fg.II.3 : Couplage entre deux sous-réseaux multphysques La pussance électrque P e délvrée par le composant électronque est relée au courant le traversant et à la ddp à ses bornes : P. j e U I (II.33) L mpédance thermo-électrque convertssant l énerge électrque en énerge thermque est généralement exprmée par la relaton suvante : ( + α θ ) Z. (II.34) Z On trouve dans cette relaton le coeffcent α de résstance de température exprmé en K -. L expresson (II.34) s écrra donc : P e ( + α θ )( I ) Z (II.35). De même on peut écrre que la pussance thermque présentée dans l équaton (II.9) s écrt de la manère suvante : P th θ. R avec R R ( + ) th (II.36) th th β. Cette fos, la résstance thermque dépend du courant traversant l mpédance et du coeffcent β exprmé en (A - ) que nous appellerons coeffcent résstance de courant.

101 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes En consdérant le prncpe de la conservaton de l énerge, la pussance électrque réelle et la pussance thermque sont égales : P e P th (II.37) Cette pussance P th sera relée au flux de chaleur qu prendra par exemple nassance entre la joncton d une dode et le mleu ambant va le boter de la dode. Cette pussance est assmlée dans le sous-réseau de drote comme de type flux et prendra alors comme notaton tensorelle dans l espace des malles : j j θ R. P (II.38) Nous défnssons donc les tenseurs multphysques des efforts e, des flux f j et des mpédances z j de la Fg.II.3 dans l espace des branches : Le tenseur des efforts sources : f (II.39) 3 p ( ) Et fnalement le tenseur mpédance : ( ) ( e ) ( e θ ) (II.4) R z Z (II.4) R th Les nteractons multphysques entre ces deux sous-réseaux peuvent être caractérsées par l ajout d une source de pussance dans le deuxème sous-réseau s l on cherche la température dégagée par la charge. A l nverse, s l on connaît la température sur le composant, nous pouvons ntrodure dans le smulateur, l effet du flux de chaleur sur l mpédance de la charge électrque du réseau électrque par l ntermédare d une fém source ntrodute dans le sous-réseau électrque. Ces éléments sources seront fnalement supprmés pour être drectement traduts dans la matrce des mpédances multphysques par l ntermédare d une matrce de couplage mutuelle multphysque : m X (II.4) Y ( ) Comme le montre cette matrce, les coeffcents extra dagonaux X et Y représentent le couplage thermoélectrque entre les deux sous-réseaux de nature physque dfférente.

102 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes Dans le premer cas, nous connassons la température du composant électrque ans que la température de l ar ambant. On cherche donc à prévor le comportement de l mpédance soumse à ce flux de chaleur. En prenant pour référence la deuxème branche de l espace des courants de branche, nous écrvons l expresson suvante : Et 3 (. + Z. X p ) e + (II.43) u. u ( Z. + Z α θ ) (II.44). e est la fém de la branche qu est égale à zéro dans la Fg.II.3, u est la ddp aux bornes de cette deuxème branche. X est le terme de couplage multphysque que l on cherche. En dentfant les équatons (II.43) et (II.44), nous obtenons : Z. Xp 3 α θ. (II.45) Z. Xu En exprmant u en foncton de e et R et ( +α. θ ) du terme de couplage multphysque : α θ. (II.46) Z on obtent fnalement l expresson Z u e. Z ( + α. θ ). R entrane X R. α. θ (II.47) ( + α. θ ) e Ce coeffcent de couplage est exprmé en [ ][. ] 3 conserver l unté d une fém lors du produt X.p : [ Ω][. V ].[ V ][. A] [ V ] Ω V et permet dans l équaton (II.47) de ( ) Consdérons mantenant le cas où la pussance dégagée est connue, et nous calculons la température produte par le composant sur un pont du matérau. En se postonnant sur la branche tros de l espace des courants de branche, nous obtenons l équaton suvante lée au réseau thermque : 3 (. + Y. + R p ) θ θ (II.48) th. De la même manère, nous obtenons l expresson du terme de couplage Y : 3 Y. th β p R... R.. p3 Y th β ( ) p u Z Z 3 ( e ) R (II.49)

103 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes Z.( e ) R. exprmée en [ ] V.[ A] th β Y R Ces relatons n utlsent pas les conventons d ndce utlsées par le calcul tensorel. La matrce des mpédances des branches s écrt fnalement de la manère suvante : z z+m ( ') R z Z X (II.5) Y R th La transformaton dans l espace des malles est réalsée par la matrce de connexon obtenue en exprmant les flux de branche en foncton des flux de malle : C (II.5) ( ) On obtent fnalement dans l espace des flux de malle en utlsant les expressons (II.39), (II.4), (II.5) et (II.5) les matrces suvantes : e R + Z ( E ) ( Z ) Y R et ( ) th ' P X J I (II.5) II Tenseurs d ordres supéreurs et problèmes multphysques Nous proposons enfn une autre alternatve quant à la représentaton des nteractons multphysques par le calcul tensorel. Pour cela, consdérons l nvarant électrque p qu n est ren d autre que la pussance électrque que l on exprme sous la forme suvante : p. j I zj I (II.53) Dans un second temps, consdérons l nvarant thermque représenté par l énerge : w m. C dθ (II.54) p En exprmant d θ en foncton de la pussance qu n est que la dérvée temporelle de l énerge, nous obtenons : d θ R. th p (II.55) 3

104 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes A ce moment, d θ et R th sont des scalares. Pour consdérer les dfférents couplages thermques applqués à chacune des branches d un réseau électrque, nous consdérons mantenant R th comme un tenseur une fos covarant et d θ également comme un tenseur une fos covarant : dθ R p (II.56) k k. Ce qu entrane en égalant les pussances électrques et thermques : S δ d θ k Rk. I. zj.. Rk. I. zj d θ k I j (. I ) k j k Ω on a : k ( j ) dθ k j δ R I. z. I Ω j k ( I. zj. I ). Rk Ω j k ( I. zj. I ). Ω. R j k ( I. zj Rk. I ) Ω k j ( I z R. I ) δ. δ k δ. δ Ω. j k (II.57) δ est un nvarant et représente un scalare égal à un. En effectuant le produt tensorel des tenseurs z j et R k, nous obtenons alors un tenseur d ordre tros, tros fos covarant noté a jk : Ou, k j δ Ω I ajk I (II.58) I a I. Ω j k δ jk (II.59) Dans un même tenseur d ordre tros, seront alors confrontées les caractérstques multphysques d un système. Nous démontrons le caractère tensorel de a jk en partant de l équaton (II.6), j k ( I a I ) Ω δ. (II.6) jk On obtent : et I jk ajk B avec B jk j k I Ω (II.6) Supposons que a jk se transforme par changement de base en a lmn. Nous savons que I, I j k et Ω sont tous les tros des tenseurs une fos contravarants. B jk sont donc des tenseurs respectvement une fos covarants et deux fos contravarants. et 4

105 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes Pusque est un tenseur, nous pouvons écrre par défnton du changement de base d un tenseur une fos covarant : x ' l l (II.6) y jk De même, pour le tenseur B : m n mn jk y y B' B. (II.63) j k x x Ou nversement, B jk k x x ' (II.64) n y y j mn B. m On a ensute en utlsant les équatons précédentes : a' lmn ' l B' a' mn lmn a jk jk B' B a B' mn jk mn x y l x y l x y x y j m l x y k n (II.65) En dentfant, on reconnaît fnalement le caractère tensorel de la grandeur a : j k x x x a' lmn ajk l m n (II.66) y y y ajk est donc ben un tenseur tros fos covarant. II.5 Résoluton globale des super-tenseurs Dans ce chaptre, nous venons de vor comment les grandeurs flux, efforts, sources et opérateurs mpédances sont défnes dans chacun des espaces tensorels rappelés dans le tableau récaptulatf. Nous avons vu qu l est relatvement smple de passer d un espace ou d une base à un ou une autre. L analyse topologque d un grand système a perms de dssocer des sous-réseaux plus smples à caractérser ndépendamment. Une fos les nteractons multphysques entre toutes ces enttés détermnées, l faut résoudre les équatons du système. Avant cela, chosssons l espace le meux adapté pour résoudre les équatons tensorelles comportant le mons d équatons possbles. Il sufft d applquer les relatons topologques, ou tout smplement d utlser l espace dans lequel nous sommes le plus à l ase avec la représentaton physque du système. 5

106 Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes Effort, source, flux et mpédance (ou admttance) seront alors détermnés dans l espace des courants de malle ou dans l espace des pares de nœud. L nverson de la matrce mpédance permettra de trouver tous les courants de malle du système. Dans l autre cas, l nverson de la matrce admttance nous donnera toutes les ddp entre pares de nœud : j j I e ou u (II.67) Z Y j S beson, nous pouvons alors retrouver ces solutons dans d autres espaces. En prenant l exemple d une résoluton dans l espace des malles I et en applquant la formule de changement d espace, nous retrouvons les courants de l espace des branches α. j C I α α (II.68) Avant de conclure ce chaptre II, nous nous attarderons sur les condtons de valdtés de la méthode de Kron telle qu elle état défne à l époque de G.Kron et telle qu elle est utlsée actuellement. II.6 Condton de valdté de la méthode de Kron D un pont de vue théorque, la prncpale restrcton de la méthode de G.Kron, telle qu elle état utlsée vers 95, concerne la modélsaton des phénomènes de propagaton par des crcuts localsés. En effet, les papers publés en 944, 948 et 968 [II.] à [II.5], montrent que l auteur de cette méthode utlsat des éléments localsés pour représenter les malles géométrques d un système. Tel est le cas du paper equvalent Crcut of the Feld Equatons of Maxwell [II.4]. L envronnement en tros dmensons est découpé en petts éléments géométrques devant la longueur d onde. Chacun de ces volumes est homogène. Les comportements des champs électrques E et magnétques H sont alors dentfés à des grandeurs de tensons et courants se propageant à travers des crcuts formant des sphères dans lesquels fgurent des éléments localsés de type résstance R, capacté C et nductance L, représentatfs du mleu de propagaton. Cette méthode donnera par la sute la méthode TLM (Transmsson-Lne Modelng Method). L analyse tensorelle des réseaux permet alors de mettre smplement en équaton ces grands crcuts électrques ncluant les phénomènes de propagaton. Cela pour dre que la prncpale condton d utlsaton de la méthode de Kron telle qu elle état défne à l époque, exgeat une représentaton des phénomènes de propagaton par des éléments électrques dstrbués. Le dscple de G.Kron, F. H. Brann, a élarg les condtons de valdté de cette méthode en consdérant que les phénomènes de propagaton peuvent être drectement ntroduts dans un seul élément électrque. Tel est le cas dans le modèle électrque de Brann d une lgne de propagaton. Les effets de la propagaton des champs électromagnétques sont ntroduts dans des fém dsposées aux extrémtés de la lgne sous forme analytque. Nous verrons plus en détal dans le chaptre suvant les dfférentes possbltés de représentaton des phénomènes de propagaton. 6

107 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM 7

108 8

109 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM Dans le chaptre précédent, nous avons présenté comment, à partr d un réseau électrque complexe, les équatons de propagaton des courants ou des tensons peuvent être résolues par le calcul tensorel en utlsant la MKCE (Méthode de Kron applquée à la Compatblté Electromagnétque). Nous avons observé qu l exste dfférents volumes topologques caractérsant pour chacun d eux une nteracton multphysque spécfque. Cela peut être un couplage par conducton, un couplage nductf ou capactf, un couplage en champ électromagnétque, mas également un couplage thermque agssant drectement sur les mpédances électrques du réseau. Ce chaptre III fera le len entre l outl mathématque tensorel des crcuts électrques et le beson exprmé par les ngéneurs CEM désrant prévor les comportements électromagnétques survenant sur des grands systèmes. Nous suvrons dans l organsaton de cette parte, la démarche présentée au chaptre I de l analyse topologque d un grand système. Nous commencerons ans par présenter l étude relatvement smple d une lgne de transmsson en mode commun. Une fos décrte, nous dsposerons une seconde lgne parallèlement à la premère pour décrre le couplage par daphone dans ce nouveau formalsme. De la même manère, nous défnrons ensute un couplage par daphone entre deux lgnes en mode dfférentel. L analyse modale s adaptant parfatement au formalsme de G.Kron, permettra de tradure plus rgoureusement les réseaux de câbles multflares enrobés de ganes délectrques. On pourra alors prédre le comportement électromagnétque d un réseau de câbles. Nous nous attarderons ensute sur la prévson de l mpédance de transfert caractérsant le blndage EM d un câble. Après l étude des lgnes de transmsson vues comme des sources ou des récepteurs de perturbatons, nous étuderons les systèmes couramment utlsés pour émettre et recevor des sgnaux électromagnétques. L antenne monopole et l antenne boucle sont les deux exemples choss pour tradure sous le formalsme de Kron ces couplages en champ EM smples. Dans le chaptre IV, ces émetteurs et récepteurs seront ntroduts dans une cavté électromagnétque surdmensonnée devant la longueur d onde pour montrer l effcacté de la méthode tensorelle sur des systèmes de plus en plus complqués. III. Modélsaton d une lgne de transmsson par la MKCE Contrarement au calcul tradtonnel pratqué par la théore des lgnes dont la résoluton mène à des formules analytques dffclement explotables, la réducton à des crcuts élémentares comme cela est préconsé dans la méthode de Kron, nécesste le recours à un calcul par éléments fns. Cela peut apparaître dans un premer temps comme une complcaton mas présente par la sute l avantage de pouvor fusonner beaucoup plus faclement la lgne avec d autres paramètres de l envronnement. III.. Modélsaton d un élément de lgne Nous rappelons le schéma électrque représentant un élément de lgne soums à un champ EM décrt au chaptre I : 9

110 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM x y z I(z) V(z) H E k z z V(z) I(z) V s (z). z L. z I(z + z) R. z G. z I s (z). z V(z + z ) C. z Fg.III. z : Schéma électrque équvalent d un élément de lgne de transmsson monoflare Les phénomènes de propagaton ntroduts sur cette lgne reconsttuée ne sont fdèlement reproduts qu à condton que la longueur d onde demeure supéreure à la dmenson de chaque sous-tronçon z. La théore des crcuts suppose une transmsson nstantanée de l entrée à la sorte de chaque quadrpôle élémentare. Cela sgnfe que la lgne de transmsson ne peut être correctement reprodute par ce calcul qu à condton que chaque élément de crcut corresponde à un élément de lgne sur lequel le temps de propagaton est ben nféreur à la pérode de la source des sgnaux harmonques. Autrement dt, la dmenson de ce pett tronçon z de lgne dot demeurer nféreure à la longueur d onde, sot : λ v z 4 4 f (III.) La fréquence de résonance f d un sgnal supporté par un élément de lgne de transmsson z, apparaît lorsque la condton donnée dans l équaton (III.) est satsfate. λ est la longueur d onde du sgnal en mètre et v la célérté en m.s -. Pour tenr compte des phénomènes de propagaton des ondes jusqu à la fréquence maxmale d étude f max chose, l faut donc respecter pour chaque élément de longueur l négalté suvante : v z < (III.) 4 f max La longueur totale de la lgne L est drectement proportonnelle au nombre n z des souséléments et de cet élément z. L n. z (III.3) Nous obtenons donc un découpage mnmal de la lgne en n z sous-éléments : z

111 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM n z 4 f max L (III.4) v z Autrement dt, le rapport sans dmenson dot être nféreur à pour représenter λ 4 correctement ces phénomènes de propagaton. Il est mportant de fxer le nombre n z d éléments de lgne pusque les dmensons de toutes les matrces et tenseurs que nous allons générer par la sute dans le logcel dépendront drectement de cette grandeur n z. Introdusons mantenant un élément de lgne par le formalsme de Kron. Nous court-crcutons les extrémtés du réseau pour pouvor représenter les courants de malle I et I. V s (z).dz (z) I z I s (z).dz (z) y I 3 (z) dz Fg.III. : Courant de branche et courant de malle Les sources de tenson et de courant V s et I s sont ssues des couplages électromagnétques engendrés sur la lgne. Dans ce paragraphe, fasons l hypothèse que la lgne n est soumse à aucun couplage en champ électromagnétque, ces sources sont donc nulles. L mpédance lnéque Z(R+jLw) tradut les effets des pertes ohmques dans le conducteur avec la résstance lnéque R en Ω. m et l nductance lnéque propre de la lgne L en H.m -. L admttance lnéque Y(G+jCw) correspond à la capacté lnéque en F.m - et G la conductance lnéque de la lgne due aux pertes éventuelles engendrées dans le délectrque en Ω. m. Nous défnssons dans les deux espaces tensorels des branches et des malles les deux tenseurs contravarants d ordre un et I j auxquels nous assocons les tenseurs deux fos covarants mpédances z ab et Z ab, respectvement dans les espaces des branches et des malles. Le tenseur covarant d ordre un représente les fém notées en mnuscules e a dans l espace des branches et en majuscules Eµ dans l espace des malles. Dans l espace des branches, notons dans l équaton (III.5), la présence du tenseur v a correspondant à la dfférence de potentel entre deux nœuds de chaque branche. Dans l espace des malles, la somme des potentels des branches consttuant une malle est nulle, d où la dsparton de ce tenseur lors de la transformaton d espace. Les fém et ddp sont exprmées en Volt, les mpédances en Ohm et les courants en Ampère. L écrture ndcelle avec la conventon d Ensten sur les ndces muets est utlsée pour écrre la relaton tensorelle décrvant le système dans l espace des branches :

112 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM e b a va z' ab avec ( ) z y e ( z ') ( ) (III.5) 3 Dans la plupart des cas, la transformaton de ces tenseurs vers l espace des malles n est pas ntutve. Comme nous l avons présenté dans le chaptre précédent, la matrce de connexon C de G.Kron permet d obtenr ces nouveaux tenseurs, et cela quelle que sot la complexté du crcut électrque. Rappelons que cette matrce de connexon s obtent très faclement en exprmant les courants de branche en foncton des courants de malle : 3 I I I + I I + I C (III.6) En utlsant les expressons défnes au chaptre précédent, nous retrouvons les tenseurs fém et mpédances dans l espace des malles : b C b I υ υ b,,,b et υ,,,m a E e a Cµ a µυ Cµ z' ab entraîne : µ a,,,b et µ,,,m Z' C a,b,,,b et µ,υ,,,m b υ (III.7) Ces mêmes équatons peuvent être écrtes sous la forme matrcelle de la façon suvante : ( ) ( C)(. I ) entraîne : t ( E ) ( e)( C) et ( Z' ) ( C) ( Z )( C) ( C) t est la matrce transposée de ( C ) (III.8) Nous obtenons alors les tenseurs dans l espace des malles suvants : E avec ( E ) et ( Z ) υ µ Z' µυ I Z + ' Y Y (III.9) Y Y Le passage entre les deux espaces engendre une réducton des dmensons des matrces. L espace des branches est représenté par des matrces à tros dmensons tands que le même système est représenté par des matrces à deux dmensons dans l espace des malles. Nous avons contracté le système d équatons tout en gardant l ntégralté des données de ce pett élément de lgne. En suvant la démarche adoptée par l analyse topologque, nous allons mantenant utlser le concept d nterconnexon entre sous-réseaux pour modélser une lgne de transmsson par éléments fns.

113 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM III.. Connexon des éléments de lgne Comme nous l avons décrt au chaptre précédent, applquons l nterconnexon des sous-réseaux par l analyse tensorelle pour connecter les éléments de lgne que l on vent de décrre dans la Fg.III.. n z sous-réseaux dentques sont donc juxtaposés et deux nouveaux réseaux sont dsposés aux extrémtés comme llustré dans la Fg.III.3. Ces derners représentent, à gauche le générateur comportant une fém source e et sa résstance nterne R, et à drote, la charge R L du système connectée à l extrémté de la lgne. La mse en cascade des n z crcuts élémentares de la Fg.III.3 permet de reconsttuer une lgne de transmsson. Pour llustrer avec un exemple smple, nous chosrons n z sous-réseaux. Nous travallons dans l espace des courants de malle. z.dz z.dz e R I I y.dz I 3 I 4 I 4 y.dz I 5 R L I 6 I 6 R L n z sous réseaux Fg.III.3 : Crcut non connecté Chacune des extrémtés des réseaux est court-crcutée pour pratquer l nterconnexon entre les courants de malle. La méthode est la suvante : les courants de malle I et I orentés dans le même sens et contgus, sont mutuellement fusonnés. De cette façon, on rédut le réseau à une seule malle I. Ce procédé est étendu à l ensemble des n z sous-réseaux comme l llustre la Fg.III.4. Z Z e R I Y I R Y I 3 L Fg.III.4 : Crcut connecté La transformaton de la Fg.III.3 vers la Fg.III.4 s opère de manère systématque par la MKCE. Les matrces mpédances et fém du réseau non connecté sont données dans l équaton (III.). Les n z sous-éléments fns de lgne ntroduts dans la Fg.III., seront représentés par les deux matrces mpédances dans l espace des malles notées [Z ] et [Z ]. Les composantes de ces matrces sont données dans l équaton (III.9) en secton précédente. En revenant sur le réseau non encore connecté de la Fg.III.3, la matrce mpédance assocée se rédut au remplssage réalsé dans l équaton (III.). Dans cette matrce, on retrouve la résstance nterne de la source R et la résstance de charge R L ans que les matrces [Z ] et [Z ] se rapportant aux deux éléments de lgne dessnés sur la Fg.III.3. [ Z ] R [ Z ] [ Z ] R L es [ ] [] E t Matrces du système non connecté (III.) [] 3

114 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM Nous cherchons à détermner de manère systématque les tenseurs du nouveau système connecté de la Fg.III.4. Pour cela, nous défnssons une matrce d nterconnexon F à partr des courants de malle notés I du réseau non connecté de la Fg.III.3, que nous relons aux courants de malle notés I du système connecté de la Fg.III.4. A ttre d exemple, on pose le système d équatons relant les courants de ces deux systèmes : I.I +.I +.I 3 I.I +.I +.I 3 I 3.I +.I +.I 3 I 4.I +.I +.I 3 ( I ) ( F)( I ') I 5.I +.I +.I 3 I 6.I +.I +.I 3 (III.) Dans l équaton matrcelle placée à drote de l équaton (III.), ( F ) est appelée la matrce d nterconnexon. Pour le cas partculer du crcut de la Fg.III.4, elle comporte un assemblage de uns et de zéros llustré dans l équaton (III.). ( F ) (III.) Il a été démontré que les tenseurs mpédances et fém de la Fg.III.4 du système connecté, peuvent être détermnés de manère systématque par les relatons tensorelles suvantes : a E µ e a Fµ ' et Z' µυ F z' a µ ab F b υ t t Ou ( Z' ) ( F ) ( Z )( F ) ( E' ) ( F ) ( E) (III.3) En applquant ces formules, on obtent fnalement les tenseurs mpédance et fém du système connecté : R ' Z + Z + Y Y Y + Z + Y Y Y Y + Y R L e ' E t Tenseurs du système connecté (III.4) L nverson du tenseur mpédance de l espace des malles Z multplé au tenseur des fém de l espace des malles E donnera fnalement l ensemble des courants de malle du système : ' ' I E j (III.5) Zj 4

115 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM III..3 Résultats expérmentaux et smulés de la réponse d une lgne de transmsson Consdérons une lgne de transmsson de longueur L 44cm, de d mm de damètre, dsposée à une hauteur du plan de masse h.5cm. Une source de tenson comportant une résstance nterne de 5 Ohm génère un sgnal que l on récupère à l extrémté de la lgne chargée sur Z L 5 Ω. ZL VL I h V L Fg.III.5 : Exctaton d une lgne de transmsson A l ade du logcel de calcul Matlab, nous réalsons une foncton notée [Z,E]lgne(f,N,L,e,h,a,R,R,R ) fgurant en annexe II, donnant en sorte, les tenseurs mpédance Z et fém E de cette lgne dans l espace des malles en foncton des entrées que sont la bande passante f d étude de ce système et les caractérstques géométrques que l on énumère : -le nombre n z d éléments de lgne à juxtaposer, -la longueur de la lgne L, -la valeur de la fém source e, -la hauteur de la lgne h par rapport au plan de masse, -le damètre du conducteur noté a, -la résstvté du cuvre R o -les valeurs des mpédances des charges aux extrémtés notées Z et Z L dans l annexe II. Les tenseurs Z et E calculés par cette foncton dans l espace des malles, permettent de calculer drectement les courants de malle I sur tout le réseau en utlsant l équaton (III.5). La foncton calcule dans un premer temps les mpédances z et admttances y d un élément de lgne dz à partr des paramètres prmares R, L, C, et G. Les paramètres prmares peuvent toutefos être drectement nsérés en données dans la foncton. La matrce de connexon C d un sous-réseau de la Fg.III. à tros courants de branche et deux courants de malle permet de transporter le problème dans l espace des malles dès la phase de couplage par conducton. La matrce d nterconnexon F sera alors générée dans l espace des malles. La dmenson de cette matrce dépendra du nombre de sous-réseaux n z choss. Ensute, dans le cas où les sources sont ndépendantes de la fréquence, nous défnrons le tenseur covarant des fém sources d un sous-réseau de la Fg.III. dans l espace des branches. Par une smple multplcaton des matrces e et C, nous obtendrons la matrce E dans l espace des malles. Nous créons alors la super-matrce des fém foncton du nombre de sous-réseaux n z chos. Nous utlserons les formules d nterconnexon pour obtenr alors la matrce des sources du système fnal. Enfn, pour chaque fréquence désrée, nous générons la matrce des mpédances dans l espace des branches d un sous-réseau de la Fg.III.. La matrce de connexon C transportera la matrce des mpédances dans l espace des malles de ce même pett sous- 5

116 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM réseau. n z matrces mpédance seront alors postonnées sur la dagonale de la super-matrce des mpédances du système non connecté pour fnalement obtenr par smple multplcaton matrcelle avec F, la super-matrce des mpédances du système connecté dans l espace des courants de malle. Il sufft alors pour chaque fréquence d nverser cette matrce et de la multpler par la matrce des sources pour obtenr les courants de malle du crcut fnal. La réponse fréquentelle de la lgne à une coordonnée est alors affchée. Nous obtenons pour le système de la Fg.III.5, le rapport des tensons aux extrémtés de la lgne présenté dans la Fg.III.6. En bleu, nous avons chos n z 4 sous-réseaux, en vert n z 9, en rouge n z et enfn en jaune, n z 5 sous-réseaux. V L V en db n z 4 n z 9 n z n z 5 Fg.III.6 : Smulaton par la méthode de Kron d une lgne de transmsson En utlsant l équaton lant le nombre n z de sous-éléments à la fréquence et la longueur de la lgne, nous retrouvons le domane de valdté fréquentelle de chaque courbe en foncton du nombre de sous-réseaux : z λ L f. max nz. v ou n v f z. max (III.6) 4. L n z z avec (fmax GHz) λ f max GHz 9.6.5GHz.7 3.4GHz GHz z Pour une smulaton correcte de la lgne, le rapport dot être nféreur à,5. λ Ce n est pas le cas de la premère lgne du tableau pour nz 4 cellules. La résoluton est mauvase lorsque les fréquences de l ordre de GHz sont attentes (Fg.III.6). V La smulaton de la phase du rapport L montre que le rapport est auss sensble sur la V λz phase que sur le module. 6

117 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM n z 4 n z n z 9 n z 5 Fg.III.7 : Phase Nous retrouvons une mauvase résoluton pour les fréquences de l ordre de GHz lorsque n 4. z III. Couplage par daphone entre deux lgnes parallèles Dsposons mantenant deux lgnes de transmsson parallèlement au dessus d un plan de masse comme llustré dans la Fg.III.8. Nous respectons l hypothèse quas statque λ >> L. Un courant njecté dans la lgne émettrce notée parcourt le conducteur pour retourner vers la source par le plan de masse. Ce courant provoque alors un champ magnétque qu engendre dans le conducteur, un flux magnétque. Lorsque le courant est anmé de varatons harmonques en foncton de la varable temps, les varatons de flux engendrent sur le conducteur une fém ndute évoluant proportonnellement à la fréquence lorsque λ >> L. S on applque une tenson V sur la lgne émettrce, un champ électrque prend nassance. Ce champ, par nfluence électrostatque, provoque des charges ndutes sur le conducteur. Lorsque V subt des varatons harmonques, ces charges ndutes donnent leu à un courant ndut sur la lgne devenant proportonnel à la fréquence. L affablssement de la daphone est le rapport des tensons mesurées aux bornes de ces deux lgnes V /V. I d h ZL ZL VL V V Z h L Fg.III.8 : Couplage par daphone. Pour satsfare les hypothèses de la théore des lgnes de transmsson, nous respectons les condtons suvantes : h, d << L (III.7) h, 7

118 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM λ >> h, h, d (l hypothèse quas statque) λ est la longueur d onde en mètre et s exprme en foncton de la vtesse v de propagaton des v sgnaux et de la fréquence : λ. f Sous ces hypothèses, les paramètres lnéques de couplage sont obtenus par les relatons analytques suvantes correspondant respectvement à l nductance lnéque des lgnes pour L et pour L ; L et L, supposées dentques dans la sute de la thèse, sont les nductances lnéques caractérsant le couplage magnétque ntrodut entre les deux lgnes. µ 4h µ L ln H/m π d 4h L ln H/m π d µ D L L ln H/m avec D d + 4hh π d L L ( L ) matrce nductance L L (III.8) Dans l hypothèse de conducteurs contenus dans l ar, les coeffcents de la matrce capacté se dédusent asément par nverson de la matrce nductance. L applcaton de la théore des lgnes de transmsson à des conducteurs mmergés dans l ar nous donne la relaton suvante : ( C) ε ( L) µ (III.9) En admettant que le couplage n est pas trop mportant, nous pouvons établr les condtons suvantes : d > L << L L (III.) h,h Alors, les coeffcents C et C s assmlent aux capactés propres des lgnes et. Les coeffcents négatfs C et C supposées dentques dans la sute de la thèse, caractérsent le couplage électrque ntrodut entre les deux lgnes. πε πε C F/m C F/m 4h 4h ln ln d d 4D (III.) ln d C C πε F/m 4h 4h ln ln d d d et d sont les damètres des conducteurs et exprmés en mètre. L mpédance caractérstque de la lgne Z c s écrt de la manère suvante : 8

119 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM L Z c (III.) C Dans la logque de l étude topologque d un système, la modélsaton du couplage par daphone avec la MKCE, utlsera tout smplement deux fos la sous-foncton smulant une lgne de transmsson, à laquelle nous ajouterons les phénomènes de couplages électromagnétques. En entrée de la foncton daphone_(lgne lgne), nous trouverons deux sousfonctons lgnes donnant en sorte les tenseurs de l espace des malles mpédance Z et fém E. A ces données présentées dans le paragraphe précédent, sera ajoutée la dstance séparant les deux conducteurs d permettant de calculer les mpédances de couplage. Les deux tenseurs représentatfs des deux lgnes ndépendantes notés sous la forme matrcelle (Z ) et (Z ), sont établs dans l expresson (III.4), dans l espace des courants de malle. Nous les dsposerons sur les éléments dagonaux d un super-tenseur noté Z dans l espace des malles : ( ) ( Z' ) ( ) ( ) ( ) Z ' Z (III.3) Le tenseur des fém sources sera établ de manère smlare au tenseur des mpédances dans l espace des malles de l équaton (III.4) : ( ) ( E' ) ( ) E ' E daphone (III.4) Dans notre exemple, les composantes du tenseur E sont toutes nulles car aucune source n est présente sur la lgne. Le tenseur des couplages électrques sera défn dans l espace des courants de branche et sera noté en lettre mnuscule z CE. Ce tenseur devra ensute être exprmé dans l espace des malles lors de la résoluton globale du système. Pour cela nous utlserons la matrce de connexon C de G.Kron pour trouver smplement le tenseur des mpédances de couplage électrque de l espace des malles qu sera noté en lettre majuscule Z CE. Ces deux tenseurs des couplages électrques respectvement dans l espace des branches et des malles seront défns précsément dans le paragraphe III... t ( Z ) ( C) ( z )( C) CE CE (III.5) Le tenseur des couplages magnétques noté en lettre majuscule Z CM sera drectement établ dans l espace des courants de malle. Ce tenseur sera largement décrt dans le paragraphe III... Fnalement, le super-tenseur des mpédances du système appelé Z daphone, prendra la forme de l équaton (III.6) dans l espace des malles et sous l écrture matrcelle : ( Z ) ( Z ) + ( Z ) + ( Z ) daphone (III.6) CM CE 9

120 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM III.. Couplage électrque dans l espace des branches. Dans le cas d un couplage électrque, la lgne émettrce est ouverte en extrémté. Sous cette confguraton, comme l l a été démontré dans le paragraphe II.4.. présentant les couplages électrques, le courant engendré dans la lgne émettrce est trop fable pour ntrodure un couplage magnétque sgnfcatf. Par contre, la tenson V applquée par la source à l entrée de la lgne crée une nducton électrque rapportée par une source de courant dans le crcut équvalent de la lgne. Cette source de courant équvalente I est défne en foncton de la capacté lnéque de couplage C, de la tenson applquée sur la lgne émettrce V et de la longueur L de la lgne. I jcωv L (III.7) Il sera plus commode de fare ntervenr ce couplage par une mpédance mutuelle évoluant dans l espace des branches en fasant ntervenr la capacté lnéque de couplage C à la place de la source de courant I de l expresson (III.7). Un terme d mpédance de couplage électrque prendra donc nassance entre les capactés propres des lgnes de transmsson comme le montre la Fg.III.9 : z 3 z 5 e R y 4 y R L /(jwc /(jwc ) ) R z z y y Fg.III.9 : Couplage électrque R L. Ce couplage électrque est représenté dans l espace des branches grâce à un tenseur dont les composantes deux fos covarantes représentent les mpédances capactves relant les deux sous-réseaux. Le tenseur de ces couplages électrques dans l espace des branches est noté sous forme matrcelle ( z CE ) ( CE ) caractérse les couplages en drecton de la lgne et ( ). Celu-c est décomposé en deux sous-matrces. La matrce CE modélse les couplages en drecton de la lgne. Ces matrces prennent pour espace de référence les courants de branche annotés sur la Fg.III.9. Pour alléger l llustraton de la Fg.III.9, apparaît unquement la capacté de couplage C égale à la capacté C. ( CE ) ( CE ) jwc jwc jwc jwc (III.8) ( ) z CE ( ) ( CE ) ( CE ) ( )

121 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM L élément de couplage électrque matéralsé par l mpédance jwc est postonné sur la eme colonne et la 7 eme lgne du tenseur z CE. Cela correspond au couplage entre les deux branches traversées par les courants et 7. Pour résoudre les équatons du système, les dfférents tenseurs dovent être défns dans un espace unque. Le tenseur des couplages électrques est donc transformé dans l espace des malles de la manère présentée dans l équaton (III.6). Il est alors désgné par la lettre majuscule Z CE comme nous l avons dt dans l ntroducton de ce paragraphe. (C ) et (C ) sont les matrces de transformaton entre les espaces des branches et des malles pour les lgnes et respectvement, ces matrces ne sont pas des tenseurs. La supermatrce (C) de transformaton du système global s exprme en dsposant ces deux matrces des deux sous-systèmes sur la dagonale. Les relatons tensorelles défnes par G.Kron permettent alors d obtenr smplement les nouvelles composantes du tenseur mpédance de couplage électrque Z CE dans l espace des malles. Dans l expresson suvante Z en lettre majuscule correspond aux composantes du tenseur couplage électrque dans l espace des malles et z en lettre mnuscule correspond aux composantes du tenseur dans l espace des branches. ac bβ Z bβ ( ) ( ) C C a b c β ( C ) ( C ) ( ) ( ) ( ) C C z C ( b, β,,..., M ) et ( a, c,,..., B ) en notaton ac tensorelle ou t CE C zce C en notaton matrcelle. ( Z ) ( ) ( )( ) (III.9) Le couplage électrque est représenté dans la MKCE par le tenseur des mpédances dans l espace des courants de malle que l on retrouve sous la forme matrcelle ( ) CE l équaton (III.9). Z défn bβ Z dans III.. Couplage magnétque dans l espace des malles Par le rasonnement dual à celu adopté précédemment, lorsque l mpédance connectée en sorte de la lgne émettrce présente un court-crcut, la dsposton est propce à la génératon d un couplage magnétque. L mpédance de fable valeur présentée par l entrée de la lgne connectée sur la source produt un courant ntense, grâce à la partcpaton de l mpédance nterne du générateur, la tenson en entrée de lgne sera de fable ampltude. En s appuyant sur le rasonnement établ au chaptre précédent II.4.. tratant des couplages magnétques, nous ntrodusons le schéma équvalent de la lgne réceptrce avec la fém e qu est relée à l nductance lnéque de couplage L ans qu au courant I njecté par la source sur la lgne émettrce.

122 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM e jlωi L (III.3) Pour smplfer la Fg.III., comme L L, nous chosssons la premère notaton pour annoter les nductances lnéques de couplage et de rétro-couplages. Il est plus commode de manpuler l nductance lnéque L plutôt que la fém e de couplage présente dans la Fg.III. pour prédre les couplages magnétques entre les deux lgnes. Z Z e I R Y I Y I 3 R L jwl jwl Z I 4 Y R I 5 Z Y I 6 R L Fg.III. : Couplage magnétque. Les nductances mutuelles défnes dans l espace des malles sont ntrodutes dans les deux tenseurs CM et CM, représentant, comme dans le paragraphe précédent, le couplage sur la premère lgne, pus le couplage sur la deuxème lgne. A leur tour, ces tenseurs sont réparts dans le tenseur fnal noté Z CM, toujours dans l espace des malles et pour l ensemble du système «daphone». Nous écrvons ces derners tenseurs de couplage sous la forme matrcelle dans l équaton (III.3). ( CM ) jωl jωl ( ) Z CM ( CM ) ( ) ( CM ) ( ) ( ) CM jωl jωl (III.3) Fnalement, nous calculons le tenseur fnal des mpédances ncluant les deux types de couplage électromagnétques dans l espace des malles : ( Z ) daphone ( Z ) ( Z ) + ( Z ) + ( Z ) daphone ( Z' ) ( ) ( ) ( Z ') + CM Sot, CM ( ) ( ) ( CM ) ( ) + CE t ( L) ( ) ( CE ) ( L) ( CE ) ( ) (III.3) Les courants de malle sont fnalement obtenus par l équaton écrte sous la forme matrcelle (III.33) dans l espace des courants de malle : ( I ) ( ).( ) Z daphone E daphone (III.33) Dans cet exemple, le passage entre l espace des branches et des malles permet de rédure les dmensons du système d équatons de dx dmensons dans l espace des branches à sx dmensons dans l espace des malles.

123 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM III..3 Smulaton et mesure de la réponse d un couplage par daphone Consdérons le système llustré par la Fg.III.8 composé de deux lgnes de L 44 cm de longueur, de d mm de damètre, dstantes l une de l autre de d 5 cm, et du plan de masse de h h.5 cm. Les deux lgnes émettrce et réceptrce sont chargées sur 5 Ohm à leurs deux extrémtés. Ces grandeurs géométrques permettent de calculer les mpédances caractérstques des lgnes analytquement à l ade des équatons (III.8) et (III.) : L Z c et C Z Z c Z 76Ω c c L C (III.34) Dans cette confguraton de charges, les couplages électrque et magnétque ntervennent à parts relatvement égales. Il faut donc adopter un crcut équvalent dans lequel apparat l effet du couplage électrque dans l espace des branches avec la capacté mutuelle C, ans que le couplage magnétque dans l espace des malles avec l nductance mutuelle L. La mesure du paramètre S est réalsée grâce à un analyseur de réseau vectorel qu nous donne accès à l ampltude et la phase. En consdérant les charges aux extrémtés égales R R L 5 Ω, nous trouvons la relaton entre S et le rapport de tenson entre la sorte et l entrée du système : V S (III.35) e Une tenson V est applquée à une des extrémtés de la premère lgne chargée sur 5 Ω aux deux extrémtés. On relève la tenson V sur la lgne réceptrce. Cette mesure sera alors confrontée à deux méthodes de smulaton numérques : la smulaton par le logcel CRYPTE (Résoluton de l équaton BLT ntrodute au chaptre I) et la méthode de Kron. Comme nous l avons présenté au chaptre I, paragraphe I..3, les matrces «ondes» exprmées en foncton des tensons et courants de jonctons seront calculées, à partr de la super-matrce de propagaton ( γ ) dans les tubes et de la super-matrce des paramètres S (S) des jonctons en résolvant l équaton B.L.T. La smulaton par la méthode de Kron permet de fare varer souplement des paramètres géométrques ou électrques du système pour trouver la confguraton géométrque ou la confguraton de charge optmale pour transmettre correctement des données et dmnuer les perturbatons entre les lgnes. Les résultats de la Fg.III., montrent la confrontaton entre la mesure et la smulaton par l équaton BLT ou par la MKCE. z La valeur du rapport est chose à.6. Pour une fréquence d étude maxmale de.5 λ GHz nous obtenons avec ces hypothèses n z 9 sous-éléments. 3

124 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM V V en db khz MHz GHz Fg.III. : Résultats comparatfs Les temps de smulaton sont de l ordre de secondes pour les deux méthodes de smulaton. Tros zones sont à dstnguer dans ce couplage par daphone : La premère zone en basses fréquences (en dessous de khz) tradut l effet résstf du plan de masse. En effet, à de fables fréquences, l mpédance des lgnes de transmsson devent de même grandeur que la fable valeur de la résstance du plan de masse. On relève alors une tenson constante proportonnelle à la résstance du plan de masse. La résoluton par l équaton B.L.T ne tent pas compte de cet effet alors qu avec la MKCE nous avons ajouté une résstance correspondante aux effets du plan de masse qu augmente le nveau d ampltude de la courbe bleue de la MKCE. La deuxème zone lnéare proportonnelle à la fréquence en db/dec (comprse entre khz et MHz) correspond aux effets nductfs et capactfs décrts précédemment. La trosème zone stuée au-delà de MHz transcrt le double effet de la propagaton dans les conducteurs et des résonances et antrésonances lées aux phénomènes de réflexons successves. Les fréquences de résonance provoquées par la propagaton apparassent lorsque les dmensons des lgnes sont proches de la longueur d onde. La premère fréquence d antrésonance apparaît lorsque λ L, c'est-à-dre pour une fréquence de 34MHz. La désadaptaton de la lgne génère des fréquences de résonance et d antrésonance supplémentares que l on détallera lors de la dscusson sur l effcacté de la MKCE au sujet des smulatons de lgnes ayant des condtons de charges crtques présentées dans cette même parte. Dans le cas de la Fg.III., la premère fréquence d antrésonance générée par les réflexons v successves, est telle que F n 7MHz. 4L Nous retrouverons ce mélange de fréquences de résonance et d antrésonance dans la Fg.III. représentant la phase du rapport V V des tensons smulées sur la même bande fréquentelle par la MKCE avec le même nombre de cellule n z 9. Une premère parte constante à -9 llustre l effet capactf de la lgne. Le passage par zéro de la phase nous ndque les fréquences de résonance de la tenson sur la charge R. ( V V ) Re ϕ arctg (III.36) Im( V V ) 4

125 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM Fg.III. : Phase L exemple relatvement smple que nous venons de présenter montre la possblté d utlser la MKCE applquée à des problèmes de CEM. En effet, grâce à cet outl, l sera facle de transposer cette analyse au cas d un couplage plus complexe ou plus réalste, comportant de nombreuses lgnes couplées pouvant être non homogènes ou présentant des mperfectons. Les extrémtés des conducteurs pourront par exemple être chargées de manère à étuder le comportement des charges non lnéares dans le domane temporel. Chosssons mantenant un cas partculer mettant à l épreuve la MKCE lorsque les condtons de charges aux extrémtés des lgnes sont crtques. Consdérons le même couplage llustré dans la Fg.III.8. Les dmensons sont nchangées, par contre, les charges de la lgne réceptrce sont choses de manère à excter des fréquences de résonance partculères : R 5 Ω, R L 5 Ω, R Ω et R L. 8 Ω. La lgne est donc court-crcutée au nveau de la résstance R et nous supposons que sur l autre extrémté de la lgne, la grande valeur de la résstance R L smule un crcut ouvert. Théorquement, le courant relevé sur la charge R de la deuxème lgne présentera des fréquences de résonance d ampltude nfne car aucune charge aux extrémtés de la lgne ne dsspe l énerge. Par contre, la prse en compte du rétro-couplage entre les deux lgnes permet d atténuer ces résonances partculères. La courbe de la Fg.III.3 llustre les courants crculant dans la résstance R sous ces deux condtons de charges pour le même système composé de n z 9 cellules. Fg.III.3 : Courant ssu du couplage par daphone 5

126 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM L ampltude de la courbe en trat plen rouge ndque que les phénomènes de rétrocouplage sont effectvement prs en compte dans la MKCE. Au delà de cette vérfcaton, l écart mportant de 5 db entre les ampltudes des courants en basses fréquences montre que la courbe en trat plen rouge représente ben la lgne en crcut ouvert. Les fréquences de résonance dues aux réflexons successves sont données en foncton des coeffcents de réflexon de la lgne et de l mpédance caractérstque Z c. R Z c RL Z c L ρ et ρ L avec Z c 76Ω (III.37) R + Z R + Z C c L c Les fréquences de résonance se caractérsent par des valeurs sngulères de la tenson sur la lgne. On retrouvera l étude détallée de ces réflexons multples dans l ouvrage de Bernard Démouln [III.] ou dans la thèse de Sébasten Bazzol [I.5] dans laquelle on retrouve p.3 l expresson analytque de la tenson V L écrte sous la forme d une sute géométrque convergente avec V ncdente, la tenson représentant l onde ncdente suvant Oz. V L Vncdente ( + ρ ) γ L L ( ρ. ρ e ) (III.38) L Avec jϕ ρ e la forme complexe du coeffcent de réflexon en z ρ. j L ρ ρ. e ϕ la forme complexe du coeffcent de réflexon en zl L L (III.39) Les valeurs sngulères s obtennent donc en mposant la condton suvante : L (. ρ L e ) γ ρ, ou encore. L ρ ρ L e γ (III.4) En consdérant une lgne sans pertes, la constante de propagatonγ se smplfe et permet d obtenr les fréquences de résonance telles que : et π γ j β j d où λ v F n (n + ) s ρ. ρ L < 4L v F n n 4L s ρ. ρ L > (III.4) Les pertes dans la lgne caractérsées par le coeffcent α dans la constante de propagaton, sont supposées avor un effet unquement sur l ampltude des fréquences de résonance et non pas sur les valeurs des fréquences elles mêmes. Les charges dsspatves aux extrémtés étant de nature réelle, la condton d annulaton de l équaton (III.38) sera lée au sgne du produt ρ.ρl. Les résultats sont présentés dans le tableau c-dessous : 6

127 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM F res ρ. ρ L < n F ρ. ρ L > n F. ρ L F ant-res n F ρ Aucune réflexon Aucune réflexon n F Nous retrouvons effectvement dans la Fg.III.3 en trat plen rouge le cas v ρ. ρ L <, dont les fréquences d antrésonance prennent pour valeur F n n 4L 34MHz s n. Lorsque ρ, le courant llustré par la courbe volette en pontllé présente des. ρ L > fréquences d antrésonances telles que F 7MHz. v F n (n + ), sot pour la premère antrésonance 4L Ce derner exemple montre que les phénomènes de propagaton et de réflexon des ondes sont très ben modélsés par la MKCE. L ntérêt majeur de la MKCE apparaît lorsque de nombreux sous-réseaux entrent en nteractons. C est le cas à une plus pette échelle lorsque nous avons réutlsé deux sousfonctons «lgnes» pour smuler un couplage par daphone. Nous poursuvons l étude des nteractons sur deux exemples plus complexes ntervenant sur des petts réseaux de lgnes, en respectant encore l ordre de l analyse topologque établ au chaptre I. III.3 Analyse d un assemblage de câbles par la méthode de Kron Rappelons que les prncpaux problèmes de CEM rencontrés dans des grands systèmes font ntervenr des perturbatons localsées sur des torons de câbles. Pour cela, nous montrons dans cette parte que le formalsme tensorel peut être utlsé pour la smulaton de perturbatons entre des câbles comportant dfférentes confguratons géométrques. Deux exemples permettront d llustrer l étude de ce «grand système» par la MKCE. III.3. Etude de deux lgnes couplées de dmensons dfférentes Le paragraphe précédent nous donne les matrces mpédance et fém dans l espace des malles de problèmes classques comme la modélsaton d une lgne de transmsson ou d un couplage par daphone entre deux lgnes de longueurs dentques. L objectf est de réutlser ces sous-fonctons que l on a préalablement stockées dans une base de données, pour smuler un système de câblage plus réalste mettant par exemple en œuvre des lgnes de transmsson comportant des bfurcatons ou des zones non homogènes. Une super-matrce mpédance accuellera les sous-matrces représentant les fonctons smples réutlsées. 7

128 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM L exemple chos montrera la souplesse d assemblage des sous-systèmes avec la MKCE. R VL I d h R 4 V R V R 3 h L Fg.III.4 : Présentaton du système Une lgne perturbatrce de longueur L,5 m surmonte un plan de masse à une hauteur h 7,5 cm. Une seconde lgne, supposée passve, de longueur L,5 m est dsposée parallèlement à la premère lgne à une dstance d de 6 cm et à une hauteur par rapport au plan de masse de h 7,5cm. La lgne émettrce sera chargée sur R 5 Ω au nveau de l njecton de la source de tenson, et court-crcutée à son autre extrémté R Ω. La lgne sera en court-crcut en R 3 et en crcut ouvert à son autre extrémté en R 4 afn de générer des résonances de fortes ampltudes. L analyse topologque du système montre une décomposton en deux sous-volumes : Le premer sous-volume est le couplage par daphone entre deux lgnes de longueurs dentques. Le deuxème sous-volume correspond à une lgne de transmsson au-dessus d un plan de masse. Ces deux sous-volumes seront connectés par une connexon électrque réalsant un contact parfat en utlsant le formalsme tensorel des réseaux électrques. Ces deux sous-volumes ont déjà été défns dans la parte précédente par les deux sous-fonctons «lgne 3» et «daphone». La foncton daphone rappelle elle-même deux sous-fonctons «lgne» et «lgne» comme l llustre le graphe topologque du système : Réseau Daphone Lgne Lgne Lgne 3 Fg.III.5 : Graphe topologque du système Dans l annexe II, nous avons déjà construt les sous-fonctons daphone et lgne. Nous réutlsons ces fonctons en changeant les paramètres prmares des tros lgnes. Il ne reste fnalement plus qu à réalser le couplage par contact entre la sous-foncton daphone et la lgne 3. Dans le paragraphe suvant, nous décrrons comment générer la matrce d nterconnexon (F) permettant ce couplage par conducton. Prenons pour llustrer n z éléments de lgne pour les tros lgnes ndépendantes représentées sur la base de la Fg.III.6. Dessnons les crcuts électrques équvalents des 8

129 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM sous-systèmes daphone et lgne 3 en précsant les courants de référence choss drectement dans l espace des malles : Z 3 Z 3 Z Z e I R Y I Y I 3 R L R 3 I 7 Y 3 I 8 Y I 9 3 R L3 (L) t.(z CE ).(L)+(Z CM ) (L) t.(z CE ).(L)+(Z CM ) Z I 4 Y R I 5 Z Y I 6 R L Fg.III.6 : Schéma équvalent des lgnes couplées Les tenseurs des mpédances donnés dans les équatons (III.) et (III.3) sont dsposés sur les éléments dagonaux d une super-matrce (Z). (Z ) correspond à la matrce mpédance du système daphone et (Z ) correspond à la matrce décrvant le sous-système lgne de transmsson. Le tenseur E des fém sera créé de manère smlare : ( Z ) ( ) ( Z ) ( ) ( Z ) et ( ) (( E ) ( E )) E (III.4) Les extrémtés des lgnes à connecter sont chargées sur des courts-crcuts pour effectuer le couplage par conducton. Les charges R L et R 3 sont donc mses à zéro. La matrce d nterconnexon ( F ) permettra de calculer les nouvelles matrces mpédances et fém du système connecté de la Fg.III.4. Elle s obtent en exprmant les courants de malle du réseau non connecté de la Fg.III.6 en foncton des courants de malle du nouveau système connecté. La structure de cette matrce sera rectangulare. Dans le cas llustré Fg.III.6, nous obtenons une matrce 9 lgnes et 8 colonnes (une seule connexon) : ( F ) (III.43) Le couplage apparaît dans la matrce (F) sur la trosème colonne entre les lgnes représentant les courants I 3 et I 7. Les expressons matrcelles suvantes donnent les nouvelles matrces du système connecté dans l espace des malles : t t ( E systems ) ( F ) ( E) ( Z systems ) ( F ) ( Z )( F ) (III.44) Remarquons que le tenseur fém une fos covarant E comporte k lgnes et une colonne. Après la transformaton d espace, nous obtenons grâce à la matrce d nterconnexon ( F ), le tenseur E de dmenson (k-) lgnes et une colonne. systems 9

130 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM De même, pour le tenseur deux fos covarant Z de dmenson (k*k) qu se transforme en tenseur Z de dmensons ((k-)*(k-)). systems L nverson de la matrce mpédance nous donne enfn les (k-) courants de malle du système connecté : Z E (III.45) ( ) ( ) ( ) J systems systems Une sonde de courant permet de mesurer, à l extrémté de la lgne émettrce, le courant I qu sera comparé à la smulaton par la MKCE : Sonde de courant R VL I d h R 4 V R V R 3 h L Fg.III.7 : Mesure du courant crculant dans la lgne émettrce Fg.III.8 : Comparason mesure / smulaton du courant I Les nveaux d ampltude du courant sont relevés dans une bande de fréquences s étalant de à 5 MHz. Les fréquences de résonance dues à la propagaton dans le conducteur sont llustrées sur la courbe Fg.III.8. On retrouve effectvement la fréquence d antrésonance fondamentale n λ F avec n (équaton (III.4)) pour une longueur L d une lgne en court-crcut de.5 4 m de longueur à F 3MHz. Les fréquences d antrésonance et de résonance d ordre 3

131 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM v supéreur apparassent respectvement à des fréquences telles que F n (n + ) et 4L v F n n. 4L avec n, un nombre enter. Les lgnes et sont couplées par daphone sur une longueur de.5 m. La lgne émettrce en court-crcut, est propce à la génératon d un fort courant qu produra un champ magnétque dans son envronnement proche ndusant un sgnal sur la deuxème lgne en crcut ouvert. Le rétro-couplage de type électrque sur la lgne ndura une perturbaton sur le courant I. La courbe de la Fg.III.8 présente en effet à ces fréquences des pcs parastes de résonance tradusant les effets de la lgne passve fortement désadaptée. La souplesse d entrée des données à l échelle du logcel est telle que l on peut fare varer faclement les grandeurs géométrques et électrques à savor les longueurs des lgnes, les dstances les séparant, les connexons et bfurcatons ou les charges aux extrémtés. En plus de cette souplesse nterne, la foncton s adaptera faclement à un envronnement électromagnétque plus complexe. De cette manère, tout en gardant la possblté de fare varer un paramètre localsé comme une résstance de charge ou la hauteur d un conducteur par rapport à son plan de masse, nous pouvons smuler des systèmes de plus en plus complexes en utlsant smplement ces sous-fonctons ben maîtrsées. III.3. Etude d un réseau à tros lgnes de transmsson couplées L objectf de ce paragraphe est de fare une comparason entre la mesure, la smulaton par l équaton BLT effectuée par J.P Parmenter dans sa thèse, et la méthode de Kron d un nouveau réseau de câbles llustré dans la Fg.III.9 : Z L Z L 3 Z 3L 4 Z 5 Z 3 6 Fg.III.9 : Système de lgne multflare Ce système est consttué d une lgne multflare de 44 cm de longueur, composée de tros fls dstants entre eux de d 5cm et d 3 cm. Les hauteurs h des tros conducteurs par rapport au plan de masse sont de h,5 cm. Les damètres des conducteurs sont de d mm. Les extrémtés des fls sont chargées par des résstances de 5 Ω relées à la référence de masse. Les lgnes et sont relées par un court-crcut au nveau des ports et et les lgnes et 3 sont relées par les ports 5 et 6 comme l llustre la Fg.III.9. Une fém source est localsée sur le port 4. Nous mesurons et smulons le rapport des tensons présentes sur les ports, 4, 5 et 3 sur une gamme de fréquence de khz à GHz. A partr des paramètres prmares R, L, C et G, que le logcel calcule drectement grâce aux grandeurs géométrques et électrques qu lu ont été fournes, les tros lgnes sont 3

132 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM construtes de manère ndépendante en utlsant tros sous-fonctons lgne. Les deux types de couplages électromagnétques entre ces lgnes sont ntroduts dans les espaces des branches et des malles. Les sous-réseaux représentatfs des charges aux extrémtés sont ajoutés dans les supers tenseurs fém et mpédances, pus à l ade d une matrce d nterconnexon (F), les courants llustrés en pontllés rouges sur la Fg.III. sont connectés en égalant les courants suvants : I 4 I ; I I 7 ; I 3 I 3 et I 6 I 5. Z Z e I Z Y I Y I 3 I 3 Z L (L) t.(z CE ).(L)+(Z CM ) (L) t.(z CE ).(L)+(Z CM ) I 4 I Z I Z I 4 Z Y I 5 Y I 6 (L) t.(z CE ).(L)+(Z CM ) (L) t.(z CE ).(L)+(Z CM ) Z L I 5 Z 3 I Z 3 Z 3 I 7 Y 3 I 8 Y 3 I 9 Z L3 Fg.III. : Schéma équvalent d un réseau multflare Le code de la smulaton «réseau de 3 lgnes couplées» est fourn en annexe II. Il tradut ce schéma électrque équvalent sous forme d un super-tenseur mpédance et d un super-tenseur des fém sources. La fréquence maxmale attente dans les mesures est de GHz. Nous chosssons donc n z, le nombre de sous-réseaux utlsés pour représenter chaque lgne sous la méthode de Kron, tel que : 4. f. L n z max v z S f max GHz, n z 6 ou <. 5 λ (III.46) Les fgures suvantes donnent les mesures à gauche, et les prévsons à drote des rapports des tensons aux bornes des ports 4,, 5 et 3. S (db) ,E-,E+,E+,E+,E+3 V/V4 V3/V4 V5/V4 V4 en S Fréq (MHz) Fg.III. : Résultats comparatfs La bonne adéquaton entre la smulaton par la méthode de Kron et la mesure montre que les paramètres prmares R, L, C et G ne sont pas entachés d erreurs. 3

133 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM Dans certans cas, pour rédure les tensons et courants parastes survenant sur une lgne de transmsson, les ngéneurs CEM utlsent des lasons flares sur lesquelles crculent des sgnaux en mode dfférentel. Dans ce cas, le courant de retour s effectue par un second conducteur alors que jusqu c, nous avons chos des systèmes de lgne avec une référence commune de potentel. La prochane secton se consacrera au cas où les sgnaux sont propagés sur deux conducteurs suvant ce mode dfférentel. Comme précédemment, ces conducteurs seront nstallés au dessus d un plan de masse. III.4 Analyse d un réseau de câbles en mode dfférentel Nous commencerons par modélser une lgne de transmsson en mode dfférentel en nous appuyant sur la sous-foncton daphone en mode commun, à laquelle nous ajouterons une deuxème sous-foncton précsant les condtons aux lmtes du mode dfférentel de la lgne. Nous smulerons alors naturellement un couplage entre quatre fls représentant mantenant un couplage par daphone entre deux lgnes de transmsson en mode dfférentel. III.4. Une lgne de transmsson en mode dfférentel V dl I d I d Z Z L L Z L Z Z V d Z Fg.III. : Une lgne en mode dfférentel En mposant les charges relées à la masse, à une grande valeur d mpédance (arbtrarement, nous chosssons. 8 Ω ), la source connectée à son mpédance nterne, génèrera entre les deux conducteurs un sgnal se propageant en mode dfférentel. Les deux charges de mode dfférentel Z et Z L sont fxées à 5 Ω. Les deux lgnes sont à une dstance du plan de masse de.5cm, les longueurs des deux lgnes sont de 44cm et la dstance séparant les deux lgnes est d 5cm. Le damètre des conducteurs est toujours de mm. Expérmentalement, l n est pas s smple de générer un sgnal de mode dfférentel entre deux conducteurs. Il faut pour cela s affranchr des problèmes lés au plan de masse des apparels de mesures, nous utlserons des transformateurs couramment appelés Balun (BALanced (équlbré, balancé) et UNbalanced (déséqulbré, non balancé)). En ce qu concerne la smulaton de la foncton que nous appelons «lgne en mode dfférentel», nous entrerons dans le logcel les caractérstques géométrques et électrques des deux lgnes couplées. Nous mposons une haute mpédance à chacune des charges relées à la masse pour smuler le mode dfférentel. Z et Z L sont fxées à 5 Ω. La foncton daphone en mode commun nous donnera alors les mpédances et fém que l on note c ( ) daphone Z et ( E ) daphone. Nous donnerons également en entrée de la foncton les 33

134 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM valeurs des mpédances de charges ( ) ext ( ) ext Z et ( Z ) et les valeurs des fém sources ( ) ext E et E présentes aux extrémtés de la lgne en mode dfférentel. Le schéma électrque équvalent de la Fg.III.3 présente la décomposton de ce système en ces tros crcuts électrques qu sont, pour l nstant non connectés. ext Z Z Z I Y I Y I 3 Z L I 7 Z Z I 8 3 (L) t.(z (L) t CE ).(L)+(Z CM ).(Z CE ).(L)+(Z CM ) I I 9 Z L Z I L4 I Z I 4 Y I 5 Z Y I 6 Fg.III.3 : Schéma équvalent du modèle d une lgne en mode dfférentel Les deux matrces assocées à ce schéma sont données dans l équaton (III.47) : [ Z ] [ ] [ ] daphone [ Z ] [ ] [ Zext] [ ] [ ] [ ] [ ] et [ ] Zext [ E ] daphone E [ Eext ] [ ] (III.47) Eext Les courants en pontllés rouge qu on peut apercevor dans la Fg.III.3 permettent de connecter par contacts électrques les tros crcuts électrques. Pour cela, nous utlserons la matrce d nterconnexon (F) afn d égaler les courants I I 7, I 9 I 4 ; I 3 I et I 6 I. Dans l exemple de la Fg.III.3, n z éléments par lgnes, la matrce (F) est alors donnée dans l équaton (III.48) : [ F ] (III.48) On retrouve comme l est présenté au chaptre II équaton (II.84), les tenseurs mpédances et fém du nouveau système connecté : t t ( Z' ) ( F ) ( Z )( F ) ( E ) ( F ) ( E) ' (III.49) En nversant le tenseur Z et en multplant ce derner au tenseur E, nous retrouvons tous les courants de malle du réseau électrque. La foncton «lgne en mode dfférentel» est donnée dans l annexe II. Le rapport des tensons aux extrémtés de la lgne en mode dfférentel est donné dans la Fg.III.4 jusqu à une fréquence de GHz. Il faudra donc au mnmum n z 6 sous-éléments : 34

135 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM 4. f. L n z max v z S f max GHz n z 6 ou <. 5 λ (III.5) Fg.III.4 : Rapport d ampltude de la lgne Fg.III.5 : Phase Le couplage par daphone entre deux lgnes de mode dfférentel fera ntervenr deux fos la sous-foncton de ce paragraphe. III.4. Couplage par daphone en mode dfférentel Consdérons mantenant le système de deux lgnes de transmsson dsposées de la manère suvante : V dl V dl I d I d Z Z L L Z L Z Z 34L 3L Z 4L Z Z V d Z Z 3 Z 34 V d Z 4 I d I d Fg.III.6 : Couplage par daphone en mode dfférentel 35

136 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM Pour résoudre ce problème par la MKCE, nous utlserons deux sous-fonctons «lgne en mode dfférentel» qu, nous l avons vu dans le paragraphe précédent, sont équvalentes à la foncton daphone du mode commun : Daphone mode dfférentel Daphone mode commun Daphone mode commun Lgne Lgne Lgne 3 Fg.III.7 : Graphe topologque du système Lgne 4 Il ne restera plus qu à ajouter les couplages nductfs et capactfs dans les espaces des branches et des malles entre les lgnes et 3 ; et 4 ; et 3 ; et 4 pour obtenr la smulaton du couplage par daphone entre ces deux lgnes en mode dfférentel. Le schéma électrque équvalent est donné dans la Fg.III.8 : Z Z Z Z I Y I Y I 3 Z L I 3 (L) t.(z (L) t CE ).(L)+(Z CM ).(Z CE ).(L)+(Z CM ) I 4 Z L Z 3 Z I 4 Y I 5 Z Y I 6 Z L Z 3 (L) t.(z CE ).(L)+(Z CM ) (L) t.(z CE ).(L)+(Z CM ) Z 3 Z 34 Z I 7 Y 3 I 8 Y 3 I 9 5 Z L3 I 5 (L) t.(z (L) t CE ).(L)+(Z CM ).(Z CE ).(L)+(Z CM ) I 6 Z 34L Z 7 Z I 4 Y4 I Z 4 Y I 4 Z L4 Fg.III.8 : Schéma équvalent du couplage par daphone en mode dfférentel La sous-foncton de prévson de la daphone entre ces lgnes est décrte en annexe II. Deux lgnes en mode dfférentel de 44 cm de longueur sont dsposées à,5 cm de hauteur du plan de masse. Chacun des quatre conducteurs a un damètre mm. Les dstances entre ces 4 fls sont : dd3d345 cm. Les charges sont fxées de manère à générer le mode dfférentel : R R L R R L R 3 R 4 R L3 R L4. 8 Ω et R R L R 34 R 34L 5 Ω. Nous exctons la premère lgne en mode dfférentel par une fém de V, comme llustré dans la Fg.III.6. Les tensons sur les quatre dernères charges sont alors smulées : 36

137 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM Fg.III.9 : Smulaton des rapports des tensons de mode dfférentel Fg.III.3 : Phase Le passage par zéro des courbes de phase donne les fréquences de résonance et d antrésonance de ce couplage par daphone entre deux lgnes en mode dfférentel. Dans le paragraphe suvant, nous approfondssons l analyse d un couplage par daphone entre n lgnes en adoptant la MKCE au cas de la propagaton multmodale. En effet, nous observerons que l analyse modale s adapte parfatement au formalsme tensorel des réseaux et permettra une smplfcaton des équatons du système des lgnes couplées et une melleure représentaton physque. III.5 Inserton de l analyse modale dans la MKCE La plupart des câbles présents dans l ndustre, comportent des ganes délectrques permettant d soler le câble des perturbatons provoquées par contact, par corroson ou par vellssement. Dans ce cas, les ondes électromagnétques ne se propagent plus de la même manère sur les câbles. Pour smuler correctement des nteractons électromagnétques entre des lgnes de transmsson enrobées de gane délectrque, nous ne pouvons plus utlser les los habtuelles. L analyse modale permet de contourner ce problème. 37

138 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM La méthode consste en une transformaton de la base orgnale ou réelle formée par les courants crculant dans n conducteurs, vers la base modale consttuée par les courants des n modes de propagaton. A partr de là, nous pourrons, dans le formalsme de Kron, créer une nouvelle base que l on appellera base modale, dans laquelle nous calculerons plus rgoureusement les nteractons électromagnétques entre ces lgnes comportant des ganes délectrques. Ensute, ces couplages électromagnétques seront transformés automatquement dans l espace des courants de malle en vue d une résoluton globale d un grand système. Nous verrons en quo l analyse modale permet de tradure plus rgoureusement les phénomènes physques et pourquo la MKCE s adapte s faclement à ce modèle. III.5. Prncpes fondamentaux Les prncpes fondamentaux de l analyse modale ont été ntroduts dans le chaptre I paragraphe I... Résoluton modale des lgnes multflares. Nous rappelons smplement dans les équatons suvantes, les relatons permettant d obtenr les matrces de changement de bases entre les bases réelles et modales pus, les formules de transformaton entre les mpédances et admttances de la base de référence orgnale vers la base modale. Le système de notaton dfférence la base modale par l utlsaton de lettres mnuscules et la base réelle par des lettres majuscules. L équaton du second ordre de propagaton du courant, présentée dans le chaptre I, est réécrte c-dessous : (A ) n est pas dagonal. Sot ( ) ( )( I ) d I γ (III.5) dt Posons (A ) (Y)(Z) Γ la matrce dagonale obtenue par la transformaton lnéare produte par les matrces de passage (T ) telle que : ( ) ( T ) ( A )( T ) Γ (III.5) D une manère duale, s nous exprmons l équaton dfférentelle (III.5) en gardant comme varable la tenson, nous ntrodusons une matrce (A v ) défne par (A v )(Z)(Y) non dagonale. La matrce dagonale ( Γ ) peut être exprmée en foncton des matrces de passage (T v ) telle que : Γ ( T ) ( A )( T (III.53) ( ) ) v v De par les expressons (III.5) et (III.53), nous comprenons que les matrces de transformaton T et T v sont formées respectvement des vecteurs propres de (A ) et de (A v ). Les matrces de transformaton T et Tv sont alors fonctons des courants de la base orgnale et des courants de la base modale : v 38

139 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM ( I) ( T )( ) ( V ) ( T v )( v) (III.54) Notons ( T ) ( T ) pour smplfer les notatons : ( T t v ) ( T ) ( T ) t (III.55) Les mpédances et admttances dans la nouvelle base modale sont alors obtenues à partr des matrces de transformaton suvantes : ( t ( z) ( T) ( Z)( T) (III.56) t ( T) ) y ) ( T) ( Y) (III.57) Ces formules correspondent à des transformatons lnéares permettant de passer d une base à une autre. On utlsera les conventons de notaton du calcul tensorel pour pratquer des transformatons lnéares, rédut c à des matrces. III.5. Adaptaton au formalsme tensorel Comme l a été démontré dans le chaptre I, les vecteurs courants et tensons de l expresson (III.54) peuvent être assmlés à des tenseurs du premer ordre. Ans, le vecteur des courants de la base orgnale I s exprme sous une forme lnéare du vecteur que l on écrt comme sut : ( ) I f (III.58) On a alors l expresson de la transformaton du tenseur abusvement appelé contravarant : I f ( ) a avec la conventon d Ensten : I f ( ) a (III.59) L opérateur lnéare forme un tenseur covarant de dmenson un dont les coeffcents a consttuent les composantes d un tenseur du premer ordre. Consdérons I et, abusvement appelés les tenseurs une fos contravarant respectvement dans la base orgnale et dans la base modale. Ces deux tenseurs sont donc lés par la matrce de transformaton défne dans l expresson (III.6) : I T α α. (III.6) Dans cette expresson, l est mportant de comprendre que I et α sont deux tenseurs une fos contravarant et que T α sont les composantes d une matrce et non d un tenseur. 39

140 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM L usage du terme abusvement contravarant vent de la proprété exposée dans l équaton (III.59). On peut écrre de la même manère la relaton lant les deux tenseurs dans les bases orgnales et modales U et u α, une fos covarant : U (III.6). u α Tα Les matrces des mpédances et admttances seront consdérées comme des tenseurs provenant de formes blnéares, sot une foncton deux fos lnéares présentée au paragraphe II..., permettant la transformaton de la base orgnale vers la base modale : z T. Z. T (III.6) j α αβ β j y j T α. Y αβ. T β j (III.63) Un couplage par daphone llustrera l utlsaton de l analyse modale avec la méthode de Kron. III.5.3 Couplage par daphone smulé par la MKCE dans la base modale Dans l exemple suvant, nous présentons le cas partculer de deux conducteurs surmontant un plan de masse, cec pour ntrodure smplement l analyse modale dans le formalsme de G.Kron. On pourra généralser cette étude à un toron à n conducteurs. Plutôt que de consdérer les courants classques I et I parcourant les lgnes respectves et comme référence tradtonnelle, nous chosrons de travaller dans une nouvelle base consttuée des courants de mode commun c (courants passant par la masse) et de mode dfférentel d (courants traversant un conducteur et revenant par le deuxème conducteur en parallèle). Fg.III.3 : Représentaton modale de deux conducteurs surmontant un plan de masse. La Fg.III.3 présente en (a) la structure courants et tensons dans la base orgnale, pus, en (b) la structure du premer mode propre appelé mode dfférentel et (c) le second mode propre llustré par le mode commun. C-dessous, est représentée une coupe transversale du crcut électrque équvalent d un couplage entre deux conducteurs dans la base orgnale à gauche pus dans la base modale à drote : 4

141 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM I Z z Y V Z Z Y Y I Z ( T ) y v z z z y y Y V y v dz dz Z Z Y Y ( Z ) ( ) z Z Z T Y y ( z ) ( y ) Y Y y ( ) Base orgnale Base modale z Fg.III.3 : Transformaton de base Dans la nouvelle base modale, les matrces (z) et (y) sont dagonales. Les couplages électrques et magnétques sont alors prs en compte sur les éléments propres des deux modes commun et dfférentel. Dans un premer temps, la matrce de transformaton T est obtenue en calculant les vecteurs propres de la matrce (A ) (Y)(Z) : λ λ T (III.64) ( ) λ λ En applquant alors drectement les formules (III.6) et (III.63) de transformaton de bases, nous obtenons les matrces y et z dans la base modale. Les matrces des charges aux extrémtés (r ) et (r L ) sont transformées dans la nouvelle base modale par les relatons suvantes : r ( T t t T ) ( R )( ) et r ( T ) ( R )( T ) L R RL R et R L R RL L (III.65) De la même manère, les fém sont transformées dans la nouvelle base modale par les relatons suvantes : e e t c ( T ) ( el ) e ed (III.66) A partr de ces paramètres, deux sous-fonctons lgnes permettront d obtenr les matrces mpédances et fém dans l espace des malles et dans la base modale. Il n y aura alors beson d aucun couplage entre ces deux lgnes. 4

142 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM Z Z z c z c e l R J (L) t.(z CE ).(L)+(Z CM ) Y J Y J 3 R L (L) t.(z CE ).(L)+(Z CM ) Matrce de transformaton de base (T) e c j R y c j y c j 3 R Z J R 4 Z Y J 5 Y J 6 R L e d R 3 j 4 z d z d y d j 5 y j 6 R d 4 Base orgnale Base modale Fg.III.33 : Schéma électrque équvalent de deux lgnes couplées par daphone La base modale permet d élmner vrtuellement les lasons de type couplages électrque et magnétque entre les courants de branche et de malle. Dans la base modale, les couplages entre lgnes apparassent dans les paramètres lnéques. Les expressons sont alors smplfées car l étape de calcul dans la base des branches est évtée. Les deux matrces Z c (à ne pas confondre avec l mpédance caractérstque) pour la propagaton du mode commun et Z d pour le mode dfférentel, ans obtenues, sont alors nsérées dans une super-matrce mpédance fnale Z. Le super-vecteur des fém sera construt de la même manère : ( z) ( zc ) ( ) ( ) ( z ) d et ( ) (( ) ( )) e e c e d (III.67) Fnalement, les courants de malle dans la base modale sont calculés en nversant la matrce mpédance modale. ( j ) ( z).( e) (III.68) Pour revenr dans la base réelle, l faut connaître la super-matrce de transformaton de bases dans l espace des malles. On donne comme exemple la super-matrce (ST) pour le réseau à 6 malles de la Fg.III.33 avec λ j les composantes de la matrce des vecteurs propres. λ λ λ λ λ λ ST (III.69) λ λ λ λ λ λ ( ) Attenton, lors de la créaton de la matrce (ST), les courants entre les bases orgnales et modales dovent correspondre. La premère colonne de (ST) fat le len entre le courant de malle j avec le courant de malle j 4 dans la base modale pour revenr à la numérotaton des courants de la Fg.III.33. Les courants de malle (J) dans la base orgnale sont enfn obtenus à partr de la matrce (ST) et de la matrce des courants (j) de la base modale : 4

143 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM ( J ) ( ST )( j) (III.7) Reprenons à ttre d exemple, les confguratons du couplage par daphone étudé précédemment et comparons les courbes avec les mêmes valeurs ntales des paramètres électrques (L) et (C) dans la base orgnale. Les résultats sont quasment dentques. Notons de légères dfférences en hautes fréquences. Par contre nous relevons des temps de smulatons beaucoup plus fables :,s de smulaton pour le calcul dans la base orgnale contre.9 s dans la base modale pour ponts calculés dans la bande de fréquence khz à GHz. Fg.III.34 : Comparason de la smulaton d un couplage par daphone dans la base orgnale et dans la base modale Des résultats comparatfs entre résultats expérmentaux et smulés par l analyse modale sous le formalsme de Kron seront présentés dans le cas d un couplage à n z conducteurs et dans un mleu délectrque non homogène. Nous avons analysé dfférentes approches pour modélser des lgnes de transmsson couplées par la méthode de Kron. Afn de protéger les systèmes électronques embarqués, les ndustrels ont l habtude d utlser des blndages électromagnétques généralement dsposés au nveau des réseaux de câbles. Dans la parte suvante, nous analyserons dfférentes confguratons de blndages EM de câbles par la méthode de Kron. III.6 Tratement des câbles blndés Une des technques couramment utlsée pour rédure l émssvté d un système et amélorer sa susceptblté électromagnétque est de l soler en le protégeant par des blndages métallques. L mperfecton des blndages EM ou leur mauvas usage génère des tensons parastes sur les équpements dsposés aux extrémtés des câbles. Tros mécansmes dfférents en sont responsables : les défauts d étanchété des encentes métallques, les contacts entre les blndages et la masse, et les mperfectons des blndages. Nous proposons de nous focalser sur l étude des mperfectons de deux types de blndage : homogènes et en tresses. 43

144 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM La Fg.III.35 présente l exemple de deux équpements électronques nstallés dans des botes métallques, relés par un conducteur nstallé dans un blndage. E Blndage de l équpement Blndage de l équpement H I Blndage h ZL V L Fg.III.35 : Lgne dans un blndage Nous dentferons dans un premer temps les phénomènes physques lés aux caractérstques géométrques des blndages et au matérau qu le compose. Nous étuderons ensute les perturbatons engendrées sur une lgne protégée par un blndage comportant naturellement des pertes. III.6. Inserton des câbles blndés Le champ électromagnétque va de la même manère que des lgnes de transmsson couplées, ndure un courant sur le blndage et une dfférence de potentel entre celu-c et le plan de masse. S par hypothèse, nous consdérons un blndage parfat sans perte, cela sgnfe que le champ ne pénètre pas à travers le blndage. Aucune tenson paraste n apparaîtra entre le conducteur et la masse de l équpement. En réalté, le courant paraste généré sur la surface extéreure du blndage produt un champ électrque à l ntéreur du blndage. L ntégrale de ce champ sur la longueur de la lgne produt alors une dfférence de potentel paraste entre le conducteur central et le blndage. Pour représenter le couplage entre le blndage et le conducteur central, nous utlserons, comme dans la théore des lgnes couplées, une mpédance ou une admttance de couplage mutuel couramment appelée mpédance ou admttance de transfert notée Z t ou Y t. On présente sur la Fg.III.36 un schéma permettant de mesurer l mpédance ou l admttance de transfert. I c Z cl Z L Z c V c e V p I p L Z Fg.III.36 : Mesure de l mpédance de transfert 44

145 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM Un courant paraste est ntrodut sur le blndage du système de la Fg.III.36 par une fém e équvalente accompagnée de son mpédance nterne Z. Le blndage est donc relé à ses extrémtés par cette source accompagnée de son mpédance nterne Z, et par un court crcut à l autre extrémté : Z L. Le conducteur central est court-crcuté sur le blndage : Z cl. On contrôle alors le courant paraste I p crculant dans le blndage et on mesure la tenson V c entre le conducteur et le blndage. Cette tenson qu apparaît sur la charge Z c est due à l mperfecton du blndage parcouru par le courant I p. L mpédance de transfert Zt en Ω.m - est alors lée à ces dernères grandeurs par la relaton suvante : S Z Z c 5 Ω et Z L Z cl Ω alors Vc Zt (III.7) I L p S le blndage comporte une ouverture, l admttance de transfert Y t s obtent par la confguraton duale de la précédente : S la charge Z L relant le blndage au plan de masse est assmlable à un crcut ouvert (charge mportante fxée arbtrarement à. 8 Ω ), alors le courant I p sera très fable. Le couplage sera alors très majortarement capactf. En courtcrcutant l extrémté du conducteur central avec le blndage Z cl Ω, un courant I c apparatra dans le conducteur. L admttance de transfert sera alors exprmée comme c-dessous : S Z Z c 5 Ω et Z L. 8 Ω et Z cl Ω alors Ic Yt (III.7) V L p En basses fréquences et pour les matéraux non ferromagnétques, Zt n est ren d autre que la résstance lnéque R du blndage. En hautes fréquences, des phénomènes de propagaton et de couplages électromagnétques s ajoutent à la résstance lnéque. Les blndages composés de tubes métallques dépourvus d ouverture se prêtent ben à la smulaton théorque à cause de leur caractère homogène. Ans, Shelkunoff [III.] et [III.3] a établ l expresson analytque de l mpédance de transfert du tube homogène dont on retrouve plus lon l expresson (III.74). Les blndages consttués de brns de cuvres homogènes tressés feront eux, en plus des phénomènes de dffuson, ntervenr des phénomènes de dffracton et d nducton que l on pourra approxmer par les formules de Vance [III.4]- [III.5], Halme [III.6], Tyn [III.7], Kley [III.8], Kaden, Lanoz et Démouln [III.]. Le modèle de Tyn, propose l approxmaton de l mpédance de transfert Z T suvante : Z Z + jwl + ( + j) wl (III.73) T R T S L mpédance de transfert Z R d un tube plen d épasseur d est donnée par la formule de Shelkunoff tradusant le couplage par dffuson : Z R d R ( + j) / δ Rgs (III.74) sh [ d ( + j) / δ ] R 45

146 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM Avec l épasseur de peau δ donnée c-dessous en mètre : δ (III.75) πf. µ. σ µ est la perméablté magnétque en H/m et σ est la conductvté électrque du matérau conducteur en S/m. La résstance en basses fréquences R gs est défne en foncton de cnq paramètres prmares de la tresse m fasceaux, n brns de cuvre dans un fasceau, le damètre d d un brn, l angle de tresseα etσ la conductvté du cuvre (s la tresse est en cuvre) : R 4 (III.76) σmnd π cosα σgo cosα π D d gs Les ouvertures de la tresse vont ntrodure par dffracton un nouveau couplage magnétque représenté par la grandeur L t. Cette nductance de couplage peut à son tour être décomposée en deux éléments : Lt Ml + Lg Ml : nductance de couplage magnétque à travers les trous, développée par Halme et Vance. Lg : Inductance entre les deux motés de tresse entrelacées, développée par Tyn. Nous obtenons fnalement l expresson de l nductance prédsant les dffractons des ondes électromagnétques à travers les ouvertures de la tresse : µ τ π 3. H LT.875 (( cosα)( G) e ) cos(kα ) m 6 n (III.77) Fnalement, Kaden ntrodut les effets de l mpédance de surface dans le modèle des blndages grâce à l nductance de peau notée L s. Ces effets de surface sont faclement repérables sur les graphques car le terme wls est proportonnel à la racne de la fréquence fasant donc apparaître une pente en db/dec sur l évoluton de l mpédance de transfert. τ 3.3 H wls π G (cosα )( G) e cos(kα) (III.78) πσδ Dm πg Ces formules donnent une bonne approxmaton de l mpédance de transfert dans le cas où nous sommes en présence de brns en cuvre homogène. Mantenant que les équatons théorques ont été décrtes, nous allons ntrodure toutes ces mpédances de couplage dans les termes des supers-tenseurs décrvant les crcuts électrques équvalents de pluseurs lgnes blndées. m III.6. Analyse d un blndage à perte par la MKCE L mpédance de transfert Zt défne précédemment peut être assmlée à une mpédance de couplage de type magnétque entre deux sous-réseaux électrques. 46

147 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM Nous proposons le schéma électrque équvalent suvant [III.9] : R I R nt I 3 l nt C I 5 Conducteur central I 7 R e I Z s.nt Z l ext s.ext Z t Blndage I 8 R 3 I 4 I C 6 e R pm Plan de masse Fg.III.37 : Schéma équvalent de l mpédance de transfert R 4 Les deux sous-réseaux aux extrémtés représentent les mpédances de charges et sources présentes aux extrémtés du conducteur et du blndage. Le sous-réseau central provent de la théore des lgnes couplées. Le conducteur central est modélsé par le crcut du haut avec la résstance nterne R nt du conducteur, l nductance propre L nt et la capacté propre C par rapport à la surface nterne du blndage. La référence de potentel est donc le blndage, apparassant dans le crcut électrque à travers l mpédance de surface Z s.nt. Le crcut du bas correspond à la modélsaton du blndage par rapport au plan de masse. On retrouve les paramètres électrques prmares classques, sot L ext l nductance propre, C e la capacté propre; Z s ext est l mpédance de surface du blndage extéreur. R pm caractérse la résstance du plan de masse. Nous utlsons l expresson approchée (III.79) pour l mpédance de transfert d un blndage non tressé : µ 4h µ D e l ext ln lnt ln π D π d kd Zt R + Zs + snh( kd) Avec : Zs s δ >> e R R HF jl w Zs ( + j) s δ << e ρ R HF πdδ t ρ R et πde ( + j) k δ (III.79) n z sous-réseau élémentare a été chos dans l exemple de la Fg.III.37 pour l mplémentaton de ce problème de protecton EM par la MKCE. Dans un premer temps, chacun des tros sous-réseaux est défn dans l espace des malles pus, ces sous-réseaux seront connectés comme le montre la Fg.III.38 grâce à la matrce d nterconnexon (F). Une fos connecté, nous retrouvons le schéma électrque dans l espace des malles : 47

148 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM R nt l nt Conducteur central R I C I 3 R e Z s.nt Z l ext s.ext Z t Blndage R 3 I I 4 C e R 4 R pm Plan de masse Fg.III.38 : Schéma électrque connecté dans l espace des malles Les matrces mpédance et fém permettent fnalement d obtenr les courants de malle. Pour llustrer, prenons l exemple d un blndage homogène avec pertes, placé au dessus d un plan de masse, et protégeant un conducteur. La longueur de la lgne de transmsson est de m, la hauteur du câble blndé par rapport au plan de masse est de h.5 cm, le damètre du conducteur prncpal est de d mm, le damètre du blndage de D cm et l épasseur du blndage de 47 µm. L mpédance de transfert est obtenue sot par mesure drecte, sot par la MKCE dont le code fgure en annexe II. Nous représentons la tenson V c sur 5 Ω entre le conducteur central et le blndage à z, lorsqu une source e de V est applquée entre le blndage et la masse. Les mpédances de charge aux extrémtés sont : R 5 Ω, R 5 Ω, R 3 5 Ω et R 4 5 Ω. Le nombre de sous-réseaux ms en cascade est de n z 5 pour représenter correctement les phénomènes de propagaton jusque GHz : 4 f max. L n z 4 (III.8) v Le temps de smulaton pour ponts est de,5 secondes. khz khz khz MHz 3MHz Fg.III.39 : Tenson paraste smulée entre le conducteur central et le blndage Cette courbe présente smultanément pluseurs phénomènes de blndage EM. Cnq zones dstnguées sur la Fg.III.39, peuvent être analysées séparément : De khz à khz la résstance R gs du blndage prédomne. 48

149 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM De khz à khz les effets de peau du blndage (Shelkunoff) ntrodut par l mpédance Z R, dmnuent la tenson paraste. De khz à MHz la pente en db/dec décrt les effets d mpédance de surface Z s. De MHz à 3 MHz la pente en db/dec décrt l effet de l mpédance de transfert jwl t. Enfn, les résonances tradusent les phénomènes de propagaton et de couplage entre le conducteur et le blndage de m. Les résonances apparassent pour des longueurs d onde et des longueurs de lgne de même ordre. Après avor tradut par la méthode de Kron les sous-fonctons permettant de décrre un réseau complexe de câbles, nous ntrodurons dans le paragraphe suvant des sous-fonctons décrvant le comportement électromagnétque de dfférentes antennes smples. III.7 Resttuton du couplage exercé entre deux antennes Dans cette parte seront présentés par l analyse tensorelle des réseaux, deux types de couplages électromagnétques par des antennes. Nous dstnguerons d abord les nteractons électrques entre deux antennes monopoles, et en deuxème parte les nteractons magnétques entre deux antennes boucles. III.7. Couplage électrque entre deux monopoles Une antenne monopole est consttuée d une tge cylndrque de hauteur h ant sensble au champ électrque E z orenté parallèlement au conducteur. Les monopoles seront sousdmensonnés par rapport à la longueur d onde. Cette hypothèse permet alors d adapter le schéma électrque équvalent de la Fg.III.4 avec la fém E ndute sur le conducteur, la résstance de charge R et la capacté C nterne du monopole. E z C h ant E J R V R R V R Fg.III.4 : Schéma équvalent d une antenne monopole réceptrce En estmant que la dstrbuton du champ E z est unforme, la fém E ndute sur l antenne s exprme par : λ >> h E. E. z h (III.8) 49

150 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM La tenson V R obtenue sur la charge R est donc drectement proportonnelle au champ électrque E z transms vers cette antenne. L applcaton de la théore des mages électrques et les développements proposés sur une antenne bconque permettent d attrbuer à C l expresson analytque suvante dans laquelle a représente le rayon du conducteur [III.] : πε C h h (III.8) ln a La tenson V R sur la charge prend alors la forme suvante : V R jωc R jωc EZ h E + j ω CR + jωcr R (III.83) Une fos le modèle électrque équvalent du monopole défn, le système est résolu par la MKCE. Dans le cas où l antenne est grande devant la longueur d onde, les phénomènes de propagaton apparassent. S l envronnement de l antenne est smple à défnr, nous pourrons utlser des formules analytques pour obtenr l mpédance de ces monopoles. Snon, la capacté C peut être dédute de la mesure du coeffcent S pratqué à l ade d un analyseur de réseau. Sur la Fg.III.4 est annoté le courant de malle J. Ce réseau très smple est caractérsé par les matrces mpédance et fém drectement dans l espace des malles : ( Z ) ( R + ) ( ) ( ) ant jωc E ant (III.84) E Le champ E z généré par un monopole peut être caractérsé par les formules analytques que l on retrouve par la résoluton des équatons de Maxwell. Il faut pour cela respecter les hypothèses suvantes : Le damètre du conducteur dot être ben nféreur à la longueur de l antenne et la poston de l observateur dot être grande devant la dmenson du conducteur, sot : r >> h ant (III.85) Dans ce cas, un champ électromagnétque est généré par la crculaton de courant dans le conducteur confondu avec un repère sphérque ( r,θ,ϕ). Les solutons aboutssent à deux composantes de champ électrque orthogonales, l une que l on note E r car elle est orentée suvant l axe radal r et l autre E car elle est drgée vers la drecton polareθ. Une θ composante magnétque H orthogonale aux composantes de champ électrque est orentée ϕ suvant la drecton angulareϕ. Elles prennent pour expressons analytques les équatons rgoureuses suvantes : E θ E r I. h.cosθ + 3 4πjωε r I. h.sn θ 3 4πjωε r γr ( γr) e γr [ + γr + ( γr) ] e (III.86) (III.87) 5

151 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM H ϕ I. h.sn θ γr ( + γr) e (III.88) 4πr La constante de propagaton γ des ondes EM dans l ar est exprmée en foncton de la source snusoïdale qu excte le conducteur avec une pulsatonω. ω π γ jk j j (III.89) c λ La composante de champ électrque suvant l axe z, sera alors exprmée comme sut : E z Er + E θ (III.9) Selon que la dstance r de l observateur est très nféreure ou très supéreure à la longueur d onde, nous smplferons les expressons (III.86), (III.87) et (III.88) pour obtenr les champs de proxmté ou les champs lontans du monopole. Consdérons mantenant deux antennes monopoles couplées llustrées Fg.III.4. Les tges sont de longueurs dfférentes et espacées de d 9 cm. Couplage fable h ant Couplage fort h ant e R d R ant Fg.III.4 : Couplage fable et fort entre deux antennes monopoles On dstngue alors deux cas de fgure selon que l on consdère un couplage fable ou un couplage fort. Le couplage fable, fera ntervenr une fém équvalente tradusant l effet du premer monopole sur le second. Aucune perturbaton du monopole vers le monopole ne sera prse en compte comme l llustre le schéma électrque équvalent de la Fg.III.4. Dans le cas du couplage fort, le rétro-couplage dot être prs en compte. L nteracton entre deux réseaux appelés «monopoles» sera alors matéralsée par une capacté de couplage dans le crcut électrque entre deux branches des deux monopoles dstncts comme le montre la Fg.III.43. 5

152 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM III.7.. Couplage fable Nous retrouvons dans la Fg.III.4, le schéma électrque équvalent du couplage fable entre un monopole émetteur et un autre récepteur. La fém source e accompagnée de la résstance nterne R du générateur excte le premer monopole caractérsé smplement par sa capacté équvalente C ant. Le second monopole récepteur est alors excté par la fém E résultante du couplage électrque entre ces deux antennes. On retrouve ensute la capacté équvalente de cette deuxème antenne C ant chargée sur une résstance R. E sera drectement proportonnel au champ électrque E z de l équaton (III.9) et à sa hauteur h exprmée dans l équaton (III.8). E. Er + Eθ. h (III.9) C ant e E R J J C ant R Fg.III.4 : Couplage fable Nous donnons les tenseurs mpédances et fém dans l espace des malles de ce couplage fable sous forme matrcelle. ( Z) R + j ant ω Cant ( ) ( ) R + jωc E e E (III.9) Dans ce paragraphe, le couplage est caractérsé par le tenseur des sources E. Il est tout à fat smlare de représenter l nteracton électrque dans le tenseur des mpédances. Nous remplaçons pour cela le terme source E dans le tenseur E, par un terme d mpédance de couplage électrque noté dans le tenseur Z de la manère présentée dans l équaton (III.93). ( Z) R + j C jωc ME jωc ME ant ω ant ( ) ( e ) R + jωc E (III.93) Le tenseur des courants de malles J et J est enfn obtenu par la relaton suvante : ( J ) ( Z ).( E) (III.94) 5

153 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM III.7.. Couplage fort Le schéma équvalent du couplage fort reprend les deux crcuts R,C correspondant aux antennes monopoles comme le montre la Fg.III.43 : 3 C CE e J 4 5 J J 3 C ant R C ant R Fg.III.43 : Interacton électrque entre deux antennes monopoles L nteracton électrque entre ces deux antennes est modélsée dans le réseau par une mpédance /(jwc C.E ) de couplage électrque plutôt que deux fém E tradusant l échange d énerge entre les deux antennes à travers le champ électrque E Z. Ce chox permet de globalser toutes les nteractons sur la même super-matrce mpédance tout en restant dans le domane fréquentel pour les calculs. La capacté C CE est ajoutée dans la branche parcourue par le courant 3. Les tros courants de malles sont choss comme le montre la Fg.III.43. Notons qu l est possble de fare ntervenr cette capacté C CE de couplage sur les coeffcents extradagonaux du tenseur des mpédances de l espace des courants de branche entre et 4. Le réseau électrque aurat alors une branche ou une malle de mons. La capacté C CE peut être évaluée pour les basses fréquences par l expresson (III.95) de l mpédance mutuelle entre deux monopoles [III.]. h C. E d c..ln a avec d, la dstance entre les deux monopoles. C (III.95) En hautes fréquences, nous proposons d utlser la formule analytque suvante consultable dans l ouvrage de C A.Balans [II.9]: η Rm [ C ( u ) C ( u) C ( u )] 8 π η X m [ S ( u ) S ( u) S ( u )] 8π Avec u kd, u k( d + l + l) et u k( d + l l) Z Rm + X m Avec S (x) et C (x) les fonctons snus et cosnus ntégrales. d est la dstance entre deux monopoles et k le nombre d onde. (III.96) 53

154 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM 54 L mpédance /(jwc CE ) du crcut est alors remplacée par l mpédance Z de l équaton (III.96). Dans ce cas, apparassent les fréquences de résonance lées à la propagaton des ondes. Dans d autres cas où la confguraton du monopole est complexe, nous pourrons fare une mesure localsée à l ade d un analyseur de réseau pour obtenr l mpédance équvalente de ce couplage. La matrce mpédance de branche du réseau électrque est donnée par rapport à la numérotaton des courants de branche : R C j C j C j R Z ant CE ant ω ω ω (III.97) La connectvté est smple à obtenr en exprmant les courants de malle en foncton des courants de branche. L (III.98) Dans l espace des malles nous obtenons alors le tenseur Z : ant ant ant ant CE ant ant ant ant C j R C j C j C j C j C j C j C j C j R Z ω ω ω ω ω ω ω ω ω (III.99) Le tenseur des fém sources E peut drectement être établ dans l espace des malles : ( ) ( ) e E (III.) Les courants de malles nconnus s obtennent alors smplement par l équaton (III.). ( ) ( ) ( ) E Z J. (III.) Le courant J, crculant sur la deuxème malle, caractérse l échange d énerge entre les deux monopoles.

155 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM III.7. Interacton magnétque Les antennes sensbles au champ magnétque utlsent les proprétés de l nducton sur les boucles. jwl B E H E J R R Fg.III.44 : Une antenne boucle et son schéma électrque équvalent Une boucle de surface S, est soumse à une onde électromagnétque polarsée conformément aux ndcatons portées sur la Fg.III.44. L onde parvent sous ncdence rasante, elle possède une composante magnétque H perpendculare au plan contenant la spre. La charge R correspond à l mpédance d entrée de l antenne réceptrce. Lorsque le damètre D de la spre est très supéreur à la longueur d onde, nous adoptons le schéma électrque équvalent présenté sur la même Fg.III.44. La source E caractérse la fém ndute par le flux engendré par la composante magnétque. L B est l nductance nterne de l antenne. Lorsque la dstrbuton du champ magnétque est unforme sur la surface S, la fém ndute s exprme : D >> λ E j H. ωµ. S (III.) Nous cherchons mantenant à modélser les couplages en champ magnétque entre deux antennes boucles. Comme pour le couplage électrque, nous dssocons les couplages fables des couplages forts présentés dans la Fg.III.45 : Couplage fable Couplage fort e R R d Fg.III.45 : Couplage fable et fort entre deux antennes boucles. Dans le premer cas, nous retrouverons une fém tradusant le couplage magnétque drect de l antenne vers l antenne. Dans le second cas, une mpédance de couplage mutuelle sera ntrodute dans le super-tenseur des mpédances. 55

156 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM III.7.. Couplage fable De la même manère que le couplage électrque fable, le champ magnétque génère une fém ndute E représentée sur le schéma équvalent Fg.III.46 : jwl ant e E J jwl ant J R R Fg.III.46 : Schéma équvalent d un couplage magnétque fable Les tenseurs mpédances et fém sources prennent alors respectvement dans l espace des malles la forme de l expresson (III.3) ou l expresson de la forme (III.4). R + jω Lant ( ) Z ( ) ( e E ) R + jωl ant R + jω Lant ( ) Z ( ) ( e ) jωc MM R + jωl ant Les courants s obtennent alors smplement ( J ) ( Z ).( E ) E (III.3) E (III.4) (III.5) III.7.. Couplage fort La crculaton des courants dans chacune des deux malles va générer un champ magnétque que l on peut caractérser par des formules analytques, des mesures ou d autres outls de prédcton. La Fg.III.47 propose un schéma équvalent pour ce pett système dans lequel on trouve l nductance mutuelle de couplage M C,M tradusant l effet du couplage magnétque fort. e jwm CM J J R R jwlant jwlant Fg.III.47 : Interacton magnétque entre deux antennes boucles La matrce mpédance est facle à caractérser drectement dans l espace des malles : Z R + jω. L jω. M CM ant R jω. M + CM jω. L ant et ( ) ( ) E (III.6) e 56

157 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM La représentaton par l analyse tensorelle du système physque permet une modélsaton souple grâce à la super-matrce mpédance. Avant d aborder le chaptre IV, dans lequel nous présenterons deux systèmes caractérstques de l étude des grands systèmes, nous proposons brèvement dans ce derner paragraphe une démarche possble pour l étude de l agresson d une lgne par une antenne par la MKCE. III.8 Agresson d une lgne par un champ électromagnétque Imagnons mantenant une lgne passve, agressée par un champ électromagnétque lontan, généré par exemple par une antenne. Nous retendrons deux possbltés pour la smulaton de ce problème. Dans un premer temps, nous pourrons magner l ntroducton de sources localsées drectement dans le réseau représentatf des petts éléments de la lgne. Pour cela, l sufft de reprendre les équatons présentées au paragraphe III. en consdérant chacune des fém des sous-réseaux que l on retrouvera dans le tenseur des fém du système. La deuxème dée consste à représenter ndépendamment les deux sous-systèmes. L antenne sera caractérsée par la sous-foncton du paragraphe III.7 et la lgne de transmsson par la sous-foncton du paragraphe I. Le couplage entre ces deux sous-réseaux sera par hypothèse de type nteracton en champ lontan. Nous utlserons alors l espace des réseaux pour représenter ce couplage. h ant ZL e R I h L V Fg.III.48 : Interacton en champ lontan Les couplages entre les deux sous-réseaux ntervennent dans une matrce notée ( ) α de couplage en champ lontan de dmenson *. On retrouve cette matrce de couplage dans le paragraphe II.4..3 lée à la matrce des couplages mutuels dans l espace des malles : M tp S S (III.7) q b a ω t ηq α abη ω p Nous rappelons que le passage de la base des moments vers la base des malles s effectue par l ntermédare de la matrce de connexon des surfaces des malles (S). Le passage entre l espace des moments et l espace des réseaux est prs en charge par la matrce 57

158 Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM de connexon ( η ). On retrouve ces matrces de transformaton de bases et d espaces dans l expresson (III.7) qu donne l mpédance mutuelle M tp dans l espace des malles en foncton du tenseur des couplages α ab dans l espace des réseaux. Le système se résume donc aux deux tenseurs des mpédances et fém dans l espace des malles de l expresson (III.8) : Z ( Z ant ) ( M ) ( ) ( ) M Z lgne et ( ) ( ) ( ) E E ant E lgne (III.8) L analyse de ces systèmes de plus en plus complqués permet de conclure sur tros ponts mportants llustrant l ntérêt de l utlsaton de la MKCE au proft de l étude des grands systèmes : - rédure l étude d un grand système à l étude de phénomènes basques par le concept de séparaton topologque et d nterconnexon pour amélorer la compréhenson des nteractons survenant sur un grand système, - rédure les temps de calcul et amélorer l observaton des nteractons grâce au concept des tenseurs utlsés comme outl mathématque global, - modélser des phénomènes multéchelles, multparamètres ou multphysques par une analyse en schéma électrque équvalent. C est sur ce derner pont que le derner chaptre IV portera en proposant l étude de deux systèmes caractérstques des tros aspects multéchelles, multparamètres et multphysques. 58

159 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes 59

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161 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes Dans ce chaptre, nous proposons de mettre en applcaton la MKCE à des stuatons concrètes llustrées par des couplages dans une cavté électromagnétque, et une smulaton fasant ntervenr des paramètres thermques. En effet, dans de nombreux problèmes de CEM, on se trouve confronté à des couplages réalsés entre une source et des éléments sensbles contenus dans une cavté métallque. Tel est le cas par exemple d un aéronef soums à l agresson d un fasceau d ondes dont la pénétraton peut engendrer des tensons ndutes sur des câbles ou équpements nstallés dans l apparel. Un scénaro analogue se retrouve dans les automobles où la casse métallque s apparente également à une cavté. Le premer paragraphe de ce chaptre quatre sera donc consacré à la mse en place d un calcul de couplages entre deux antennes communquant va le couplage pratqué dans une cavté résonante. Ce modèle relatvement smplfé, se prête tout à fat ben à la réalsaton de mesures que nous confronterons avec les modèles théorques de la MKCE. Le second paragraphe est tourné vers une applcaton de cette théore où ntervendront des paramètres physques hétérogènes. Nous prendrons en compte les effets combnés de la propagaton des ondes électromagnétques couplées à la dffuson de la chaleur dans un matérau. Dans un souc de smplfcaton, l analyse portera sur une structure undmensonnelle composée d un câble coaxal agencé d un solant dsspatf et responsable des phénomènes de propagaton et de dffuson évoqués précédemment. IV. Smulaton de deux antennes couplées va une cavté métallque IV.. Descrpton géométrque du système couplé Le système décrt dans la Fg.IV., comporte une cavté métallque de forme paralléléppédque dont la hauteur c est très nféreure aux autres dmensons a et b. Cette dsproporton dmensonnelle a été chose de manère à produre des modes de résonance qu s apparentent aux phénomènes rencontrés dans une cavté bdmensonnelle, c'est-à-dre un gude d onde de secton rectangulare mas de dmenson longtudnale nfne. Un pett monopole électrque appelé antenne permet d excter la cavté va une source consttuée par la voe d émsson d un analyseur de réseau. Une seconde antenne de dmenson ben plus grande que la précédente notée antenne est dsposée de telle manère qu une pette fracton de ce monopole pénètre dans la cavté et que la parte la plus mportante émerge de celle-c. Un trosème monopole noté antenne 3 est dstant de d de l antenne. Ce monopole stué au-dessus d un plan de masse métallque est connecté à la voe de récepton de l analyseur de réseau. Ce dspostf llustre typquement un mécansme de couplage complexe pusque l énerge électrque produte par l antenne, engendre un couplage drect sur l antenne et un couplage ndrect va le champ emmagasné dans la cavté résonante. Le courant ndut sur la parte extéreure de l antenne produt un rayonnement dont le couplage avec l antenne 3 engendre une pussance ndute sur le récepteur. Précsons que l étude sur une bande suffsante de fréquences permet à ces dfférents consttuants géométrques d être de dmensons très nféreurs, comparables ou très supéreurs à la longueur d onde. 6

162 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes Comme le montre la Fg.IV., les deux antennes et sont dsposées perpendcularement au plan Oxy suvant les coordonnées (x,y) dans la cavté. d Antenna Antenna Antenna 3 c a O z x y b Fg.IV. Network analyser : Présentaton du système Les dmensons de la cavté sont les suvantes : a 4 cm, b 8 cm et c 3.8 cm << λ. Les postons des monopoles sont respectvement telles que en cm : (x,y ) (;4), (x,y ) (;) et (x,y ) (;3) et d 9 cm. La gamme de fréquence consdérée s étendra de MHz à GHz, donnant ans une longueur d onde mnmale de 5 cm. L antenne de cm de longueur vérfe les hypothèses de pette dmenson devant la longueur d onde ( l << λ ). Par contre, les dmensons des conducteurs et 3 sont choses à 9 cm pour fare apparaître les phénomènes de propagaton. La cavté de forme paralléléppédque de dmensons a, b, c possède une profondeur très nféreure à la longueur d onde. Ce chox partculer des dmensons facltera l analyse des couplages dans la cavté, en consdérant nvarant le champ électrque suvant la dmenson c. Le coeffcent de transmsson S smulé entre les monopoles et 3 sera confronté aux mesures pratquées à l analyseur de réseau. Les fréquences de résonance consdérées de la cavté sont données par la relaton (IV.), suvant les tros dmensons de la cavté a, b et c : f mnp v m a n b + + p c (IV.) auxquelles seront mélangées les fréquences de résonance générées par les monopoles de grandes talles devant la longueur d onde. Les ampltudes mesurées seront lées aux coeffcents de couplage entre les antennes et la cavté, et aux valeurs des mpédances propres et fém des tros monopoles. La fréquence mnmale d exctaton d un mode de résonance dépendant de la dmenson c, apparaît lorsque mn et p, sot : v f,, 3. 95GHz (IV.) c Nous chosssons de smuler une fréquence maxmale de GHz, afn d mposer le coeffcent p à zéro. 6

163 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes IV.. Agencement topologque du système On procédera préalablement à l analyse topologque des couplages EM contenus dans des zones volumques ndépendantes. On établt les frontères successves délmtées par des surfaces llustrées dans les graphes topologques de la Fg.IV.. V, V V,, V 3, V 3,3 V 3,4 V 3,5 Fg.IV. V 3, : Graphe topologque du système complexe. Compte tenu du descrptf énoncé en IV--, le dspostf se subdvse en cnq soussystèmes llustrés sur la base de la forme arborescente du graphe topologque : le monopole émetteur décrt dans la Fg.IV. par le volume V 3,, et la cavté électromagnétque vde par le volume V 3,. Le monopole est dvsé en deux partes : un premer conducteur noté contenu dans la cavté apparaît dans le volume V 3,3, pus en espace lbre, un deuxème conducteur noté fgure dans le volume V 3,4. Enfn, le trosème monopole consttue le volume V 3,5. Ce graphe dot donc être convert en un assemblage de crcuts électrques équvalents compatbles avec les conventons de présentaton de la MKCE. Il faut dans un premer temps analyser le caractère géométrque des sous-systèmes pour détermner s les dmensons des antennes ou des fentes dans la cavté, sont grandes devant la longueur d onde d étude. Dans ce cas, les hypothèses quas-statques ne sont plus vérfées et nous devons prendre en compte les phénomènes de propagaton dans le modèle. Le pont suvant porte sur les dmensons homogènes de l ensemble des paramètres électrques lors des nteractons entre sous-réseaux. Les nteractons entre le sous-réseau de la cavté (V 3, ) et les volumes représentant les monopoles et (V 3, et V 3,3 ) llustreront l aspect multparamètres lors de la connexon des grandeurs de type crcuts électrques avec des varables de type champs électromagnétques. Nous proposons le schéma équvalent des cnq sous-systèmes couplés dans la Fg.IV.3. Imagnons dans un premer temps l absence des dvers couplages représentés par les matrces des mpédances mutuelles Z C,E de couplage entre les monopoles et 3. Nous analysons alors les cnq sous-volumes classques de manère ndépendante. L analyse tensorelle des réseaux électrques permettra la mse en équaton du système. 63

164 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes I C ant I I 3 I 4 I 5 I 6 J J 3 J 4 J 5 C ant I 7 I 9 e R J Monopole [ ] N I 7 I 8 I 9 I I J 6 I I 3 J R m,n J 7 J 9 J 8 I 4 I 5 I 6 J J 3 J J L m,n [ ] C m J 9 [ ] N 3 J 4 I 8 R J 5 R J 5 Monopole Zant J 6 Monopole Z C,E ant3 J 7 Monopole 3 V 3, Cavté V jωm 3 3, V 3,3 V 3,4 V 3,5 Fg.IV.3 Z R 3 : Schéma électrque équvalent du système global non connecté. Sur ce schéma, on dstngue cnq sous-volumes V 3,. Le premer comporte une fém e et une résstance R attachées à la source connectée au monopole émetteur. Le trosème volume V 3,3 sole la résstance R applquée à l extrémté du second monopole à l extéreur de la cavté (noté antenne ). Le second volume V 3, comporte N résonateurs smulant N modes de résonance de la cavté vde [IV.], [IV.] et [IV.3]. Pour tenr compte de la présence des monopoles dans la cavté, on porte en parallèle sur chaque résonateur les capactés C ant et C ant des antennes et dont les dmensons géométrques sont nécessarement très nféreures à la longueur d onde. Le quatrème volume V 3,4 correspond à la parte supéreure du monopole, stué à l extéreur de la cavté (noté antenne ). Le cnquème volume V 3,5 représente l antenne réceptrce 3. Pour ces deux derners monopoles, les hypothèses quas-statques ne sont pas vérfées, c'està-dre que les dmensons des conducteurs peuvent être grandes devant la longueur d onde. L antenne peut être modélsée par une mesure de l mpédance propre de ce monopole rapporté par l mpédance Z ant. De la même manère, l antenne 3 peut être modélsée par l mpédance propre de ce conducteur par l mpédance Z ant3 dans la Fg.IV.3 et par la résstance R 3 de charge de l antenne 3. D une manère générale, nous donnons les équatons classques d un réseau électrque prenant pour référence les courants I de branche dans l équaton (IV.3). ( V ) ( E ) ( Z )( I ) b (IV.3) b b b La matrce des tensons ( V b ) représente les dfférences de potentel entre deux nœuds ou aux bornes des branches du crcut électrque. La matrce des fém ( ) b éléments sources présents sur chacune des branches. La matrce mpédance ( ) b E content les Z caractérse les mpédances de chaque branche et les nteractons entre celles-c dans l espace des courants de branche défn par la matrce ( I b ). Nous donnons l équaton d un même réseau électrque mas cette fos, prenant pour référence les courants de malle ntroduts par la matrce ( J m ). Dans une malle, la somme des ddp est nulle, ce qu nous ramène à l équaton smplfée suvante avec la matrce mpédance dans E : l espace des malles ( ) m Z et la matrce fém dans l espace des malles ( ) m 64

165 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes ( ) ( Z )( J ) E (IV.4) m m m Dans le déroulement du rasonnement emprunté à la MKCE, les projectons des courants sur l espace des branches ou l espace des malles matéralsées par les équatons (IV.3) et (IV.4) permettront de formuler globalement la topologe décrte Fg.IV. pour aboutr à la résoluton d un système d équatons dont les courants en dfférents ponts des crcuts de la Fg.IV.3 forment la soluton. Tout d abord, les matrces fém et mpédance seront caractérsées dans l espace des branches pus, les nconnues que sont les courants de malle J m, seront obtenues par la résoluton de l équaton (IV.4). Pour cela, nous défnssons les tenseurs des dfférents sous-systèmes de la Fg.IV.3. Les cnq sous-réseaux non connectés, sont représentés à travers cnq tenseurs mpédances deux fos covarants, et cnq tenseurs fém covarants. Ils sont projetés dans l espace des branches référencés aux vecteurs courants contravarants I, pus dans l espace des malles attachés aux vecteurs courants contravarants J. Ces courants seront préalablement défns d une manère arbtrare, respectant généralement une logque lée à l étude topologque du système. Les relatons de connectvté mse en place dans la théore développée par G. Kron permettent de défnr les transformatons de l espace des branches vers l espace des malles. Cette transformaton s effectue par le bas de la matrce de connexon L. Fnalement, les cnq matrces mpédances projetées dans l espace des malles consttueront une super matrce mpédance creuse décrvant le système global dépourvu de toutes nteractons. Le vecteur des fém sera consttué de quatre composantes nulles, la composante restante s dentfant à la fém de la source. ( E ) ( E ) ( E3 ) ( E ) E ( ) 4 E5 Z ( Z ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Z ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Z ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Z4 Z 5 ( J) ( J) ( J3) ( J ) J ( ) 4 J5 (IV.5) Les matrces (Z ), (Z 3 ), (Z 4 ) et (Z 5 ) caractérsant l mpédance des monopoles dans l espace des malles sont smples à détermner : R ( Z ) ( R ) ( ) Z 3 R R ( ) ( ) Z Z ( Z ) ( R + Z ) 4 ant R 5 3 ant 3 (IV.6) La matrce (Z ) sera composée de coeffcents relatant la structure de chaque résonateur. La cavté EM sera représentée par une assocaton de crcuts électrques résonants basée sur les travaux de M. Cauterman [IV.] et [IV.], décrt succnctement dans le paragraphe suvant. De par les dmensons de la cavté, l onde E.M. njectée par l antenne source génère des ondes de mode Transverse Magnétque exctant unquement les composantes non nulles de champ Hx, Hy et Ez. 65

166 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes 66 Pour résoudre les problèmes lés aux condtons aux lmtes de la cavté, nous résolvons les équatons de Maxwell en utlsant la foncton de Green présentée dans (IV.7) [IV.4] : J j E k E rot rot r r r ωµ ) ( (équaton de Helmholtz) ) ( ) ( J rot H k H rot rot r r r Foncton de Green ') ( ) ( ') ( ) ( r r roti G k G rot rot r r I G k G rot rot m m e e δ δ r r r r r r En respectant les deux condtons aux lmtes suvantes: e G n r r sur les paros et ) (. Gm rot n n Gm r r r r sur les paros (IV.7) nous obtenons l expresson du champ électrque E en un pont (x,y,z) de la cavté en foncton du courant I njecté sur le monopole source de hauteur h ant orenté dans la drecton de l axe z. m, n et p représentent le mode de résonance excté dans la cavté. c k ω est le nombre d onde [IV.5] et [IV.6]. ( ) ( ) ( ) ( ) / / /..,, m n p ant p m n c p b n a m k abc k h I j z y x E π π π ωµ ε ε ε r + x c z p c z p b y n b y n a x m a x m c p a m y c z p c z p b y n b y n a x m a x m c p b n z c z p c z p b y n b y n a x m a x m b n a m r r r ) / ) cos( / ) sn( / ) sn( / ) sn( / ) sn( / cos( ) / ) cos( / ) sn( / ) sn( / ) cos( / ) sn( / sn( ) / ) cos( / ) cos( / ) sn( / ) sn( / ) sn( / sn( π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π (IV.8) Les coeffcents p m n.. ε ε ε prendront respectvement pour valeur lorsque n ou m ou p, et lorsque n, m ou p est non nul. Rappelons que la dmenson c est très nféreure à la longueur d onde correspondant à la fréquence maxmale d étude de GHz. Cela permet la réducton de l expresson précédente en fxant p : ( ) ( ) / / ) / sn( ) / sn( ) / sn( ) / sn( 4 m n ant Z b n a m k b y n b y n a x m a x m abc h I j E π π π π π π ωµ (IV.9) Le champ E z de l équaton (IV.9) tent compte des 3 dmensons a, b, c de la cavté tout en supposant que le champ électrque est nvarant suvant l axe Oz, d où la réducton à une double somme suvant x et y. Parallèlement, l étude des crcuts électrques équvalents de N résonateurs L m,n, C m donne l équaton de passage entre le courant source I et la tenson obtenue sur l antenne

167 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes réceptrce. Cette tenson sera dentfée au produt du champ E Z sur la dmenson effectve de l antenne réceptrce h ant. Pour établr l équaton (IV.), nous respectons l hypothèse concernant la conductvté parfate des paros. La cavté est dans ce cas sans pertes. E z h I ant m max avec n max jω N m, n m n ω m, n L m, n C N ' m, n ω ω m m, n L m, n (IV.) Les sngulartés apparassant aux fréquences de résonance seront évtées grâce à l ntroducton des pertes matéralsées par le coeffcent de qualté de la cavté Q,. m n E avec z h I ant Q m, n m max n max jω N m, n N ' m, n L m, n m n ω j ω m, n Q m, n ηabckmn ( k x + k y ) R [ b( a + c) k + a( b + c) k ] w x y (IV.) Les nductances et capactés L m,n ; C m de chaque résonateur sont calculées par dentfcaton des équatons (IV.9) et (IV.). Nous dédusons les expressons des coeffcents de couplage N m,n entre l antenne émettrce et les paros de la cavté à l ade des coordonnées de l antenne (x,y ). Les coeffcents de couplage paros vers l antenne réceptrce N m,n sont détermnés à l ade des coordonnées (x,y ) de l antenne. La résstance R m,n smulant les pertes dans la cavté sera lée au coeffcent de qualté et à la capacté de la cavté par la relaton usuelle de la théore des crcuts. L mn 4µ hant. hant abc Qmn ( H) C ( ) m ε F Rmn (Ω) abck h. h Cω mn mπx sn a nπy.sn b N mn 4 ant ant ' mπ x sn a nπy.sn b N mn mn (IV.) avec : k x mπ a k y nπ b k k + k m, n, x y k x mπ a R w (IV.3) σδ Nous donnons à ttre ndcatf les valeurs de L, C et R pour le résonateur décrvant le premer mode de résonance de la cavté sot pour la fréquence de f,, 646MHz : L. 93nH C m 65. 5pF R 47kΩ N N '. 75 (IV.4) La transposton de ces réseaux électrques par la MKCE permettra une grande souplesse d analyse, tel est le cas de l exemple de la Fg.IV.4 où le crcut équvalent d un mode de résonance de la cavté est défn d abord dans l espace des branches, pus, une fos la matrce de connexon défne, les relatons tensorelles permettent de transformer la matrce mpédance dans le nouvel espace des malles. 67

168 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes I I 3 I4 I 6 I 5 Cant J J3 J 5 J 4 R m,n C C L m,n ant m,n Fg.IV.4 : Courants de branche et courants de malle pour un mode de résonance de la cavté L équaton (IV.5) exprme la matrce mpédance dans l espace des branches de la Fg.IV.4 : Z n j Cant ω R mn jω L mn (IV.5) jωc m jωc ant Les paramètres R mn, L mn, C m de chaque résonateur sont extrats des formules analytques étables par M. Cauterman [IV.] de l équaton (IV.). Les capactés des monopoles vérfant les hypothèses quas-statques, sont extrates des formules classques lant les dmensons du monopole à sa capacté propre notée C ant dans l équaton (IV.6). La capacté de ces monopoles est décomposée en deux partes : la capacté paraste ntrodute par un connecteur de type «N» postonné à l extéreur de la cavté, en parallèle avec la capacté du monopole de hauteur h cm ou h cm qu elle, est présente dans la cavté. Les capactés des tges C ant et C ant seront ntrodutes dans la matrce de l expresson (IV.5). Elles pourront, dans certans cas, modfer les fréquences de résonance des modes propres de la cavté. πε h C 4h ant. 8 pf C pf ant. 8 ln d Avec d.5 mm, le rayon du conducteur et h la hauteur du monopole. C ant (IV.6) La capacté paraste du connecteur N sera ntrodute dans l mpédance mutuelle de couplage entre les monopoles et et la cavté par l mpédance suvante : jω C CN avec la capacté propre du connecteur mesurée : C CN. 4 pf (IV.7) Avec la MKCE, nous défnssons la matrce de connexon C permettant le passage de la matrce mpédance Z n de l espace des branches vers la matrce Z n dans l espace des malles du réseau de la Fg.IV.4. En exprmant les courants de branche en foncton des courants de malle, nous retrouvons les coeffcents formant la matrce de connexon llustrée dans l équaton (IV.8) : 68

169 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes J J J J I J J J J I J J J J I J J J J I J J J J I C (IV.8) Les tenseurs Z n dans l espace des malles s exprment sous la conventon de notaton d Ensten : c n a b n L Z L Z ac b β β ' r c b a,...,,,,, β (IV.9) Le tenseur des mpédances du crcut d un mode de résonance de la Fg.IV.4, peut être représenté sous l écrture matrcelle de l expresson (IV.) : ( ) ' ant m m m m mn mn mn mn mn mn mn ant C j C j C j C j C j L j L j L j L j R R R R C j Z ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω (IV.) La matrce ( ) Z représentant les N modes de résonance de la cavté dans l espace des malles est consttuée de N matrces (Z ) de l équaton (IV.) dsposées sur la dagonale. ( ) ( ) ( ) ' ' ' Z n Z Z Z (IV.) L un des ntérêts du formalsme des malles s exprme partculèrement ben dans le mécansme de constructon de ces matrces. Nous verrons dans la parte suvante comment la MKCE prend en charge les dvers types d nteractons entre ces sous-volumes. Nous présenterons dans le paragraphe IV..3, le couplage par conducton entre les deux monopoles et qu consstera à dentfer les courants de malles J 5 et J 6 de la Fg.IV.3. Dans un second temps, les nteractons EM seront décrtes dans le formalsme tensorel, dans le paragraphe IV..4. IV..3 Mse en place de la connexon des sous-réseaux L analyse topologque ndque que le transfert d énerge entre les volumes V, et V, est caractérsé par un couplage par conducton au nveau des sous-volumes V 3,3 et V 3,4, c'est-àdre par la connexon entre les deux monopoles et qu sont, en réalté, une même antenne traversant deux sous-volumes topologques. L ntérêt majeur de l analyse tensorelle est de formuler faclement l nterconnexon matéralsée par la matrce ( ) F d nterconnexon entre deux sous-réseaux. Dans l exemple traté, cette matrce est défne à partr des courants de malle du réseau non connecté de la Fg.IV.5(a) en foncton des courants de malle du système connecté de la Fg.IV.5(b).

170 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes R R Z ant J J J 3 J J Z ant (a) Fg.IV.5 (b) : Schéma électrque équvalent des volumes V 3,3 et V 3,4 non connectés (a), pus connectés (b) Nous reconnassons dans les Fg.IV.5(a) et Fg.IV.5(b) le couplage par conducton entre les monopoles et, sot les volumes V 3,3 et V 3,4 de la Fg.IV.3. La capacté C ant de la parte nféreure de l antenne ntervent toujours dans les N résonateurs du volume V 3,. A ttre d exemple, on pose le système d équaton relant les courants J Fg.IV.5(a) aux courants décrvant un nouvel espace J de la Fg.IV.5(b). de la J.J +.J J.J +.J J 3.J +.J (IV.) On obtent la matrce d nterconnexon (F) dans laquelle apparassent les coeffcents des équatons (IV.). Les tros connexons sont matéralsées dans l équaton (IV.3), par la présence de deux consécutfs sur une même colonne : ( F ) (IV.3) Il a été démontré que les matrces mpédance et fém de la Fg.IV.5(b) du nouveau système connecté, peuvent être détermnées de manère systématque par les relatons matrcelles de l équaton (IV.4) : ( F ) t est la matrce transposée de ( ) t t ( Z ') ( F ) ( Z )( F ) ( E ) ( F ) ( E) ' (IV.4) F. En applquant ces formules, on obtent fnalement les matrces mpédance et fém du système connecté : ' ( ) Z ( ') R Z ant R R Cette matrce remplacera les matrces ( Z 3 ) et ( ) 4 E (IV.5) Z dans la super matrce de l équaton (IV.6). ( E ) ( ) [ ] E E [ Z ] ( E' ) ( E ) 5 ( Z ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Z ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Z' ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Z ) 5 (IV.6) 7

171 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes IV..4 Mse en place de l nteracton E.M. des volumes topologques Nous allons montrer grâce à cet exemple smple mas tout de même évolué, que la présentaton de l équaton (IV.6) peut être faclement étendue au cas général où l sera tenu compte des dverses nteractons électromagnétques. Nous commençons par la descrpton des couplages drects entre les monopoles en absence de tout élément métallque autre que leur plan de référence de masse. Le couplage entre les deux courants de malle des monopoles et de pettes dmensons devant la longueur d onde, peut être représenté par une mpédance du type jω M3. Cette mutuelle sera mesurée en espace lbre et en dessous de la premère fréquence de résonance de la cavté : M 3 5 ph pour c3.8 cm et M 3 9 ph pour c7.8 cm (IV.7) Les sous-matrces concernées par ces phénomènes de couplages drects vennent s nsérer sur les éléments extra-dagonaux de la super-matrce mpédance. Il s agt des termes (jωm 3 ) et (jωm 3 ). Le couplage électrque entre les antennes et 3, surdmensonnées devant la longueur d onde, est modélsé drectement dans l espace des malles en ajoutant une mpédance de couplage mutuel Z C,E comme le montre la Fg.IV.3. Dans notre exemple, l mpédance Z C,E est obtenue par une mesure d mpédance de transmsson avec un analyseur de réseau. Des formules analytques présentées dans l ouvrage «Antenna theory analyss and desgn» de Constantne A.Balans peuvent remplacer les mesures afn d obtenr des paramètres analytques pour les mpédances propres et les mpédances mutuelles de couplage des monopoles sous les hypothèses quas-statques non vérfées. Aux couplages E.M. drects, se superposent les couplages entre les antennes et la cavté. Les couplages des monopoles et avec la cavté seront réalsés par les matrces (N ) pour le couplage drect, et (N ) pour le rétro-couplage pour l émetteur, et les matrces (N 3 ) et (N 3 ) pour l antenne réceptrce. Dans ce schéma, chaque résonateur sera ndvdualsé. L mplantaton de ces sous-matrces dans [Z] s effectue par correspondance drecte avec la topologe des malles de la Fg.IV.3. Ces matrces contennent les coeffcents sans dmensons N m,n et N m,n trés de l expresson (IV.). A ces matrces sans dmensons, nous ntrodusons l mpédance paraste du connecteur N stué à l extéreur de la cavté, ntrodute dans le paragraphe précédent dans l expresson (IV.7). La capacté notée C N ans ajoutée n aura aucune nfluence sur les fréquences de résonance de la cavté défnes par les résonateurs R m,n, L m,n, C m. Par contre, elle permettra de modélser l augmentaton des nveaux d ampltude des perturbatons, générées par les connecteurs, présents sur les deux antennes et. La super-matrce mpédance des malles prendra alors la forme de l équaton (IV.8). 7

172 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes [ Z] N jωc [ E] ( E ) ( E ) ( E' ) ( E ) 5 ( Z ) ( jω. M ) ( ) CN N jωc 3 ( Z ) ( ) N CN N jωc 3 ( jω. M ) 3 ( Z' ) ( ZC, E ) jωccn ( ) ( ) ( Z ) ( Z ) C, E 3 CN 5 (IV.8) Les matrces fgurant dans l équaton (IV.6) apparassent sur la dagonale. Les matrces de couplage antennes paros apparassent sur les éléments Z (,) et Z (,) relant les volumes V 3, et V 3, ; Z (3,) et Z (,3) relent les volumes V 3, et V 3,3. Les matrces de couplage drect entre les volumes V 3, et V 3,3 concernent les coeffcents Z (,3) et Z (3,). Enfn, le couplage entre les deux monopoles et 3 à l extéreur de la cavté est rapporté par l mpédance mutuelle Z C,E confondus avec les coeffcents Z (4,3) et Z (3,4). Les sous-matrces régssant les couplages réalsés entre les monopoles et la cavté sont trées de l expresson (IV.). Les sous-matrces composant le couplage drect provennent de mesures pratquées au-dessous de la résonance fondamentale de la cavté. Fnalement, les courants de malles du système seront calculés par le produt à drote de l nverse de [Z] et du vecteur source [E] dans l équaton (IV.9). [ J ] [ Z ] [ E] (IV.9) Nous trouverons en annexe III la foncton «couplage entre monopoles va une cavté» sous le langage utlsé par Matlab. IV..5 Confrontaton de la smulaton aux mesures Les paramètres S drectement mesurés à l analyseur de réseau connectés sur les antennes et (Fg.IV.6) ou sur les antennes et 3 (Fg.IV.8) sont comparés aux smulatons. Dans un premer temps, nous avons chos une valeur de la trosème dmenson c3.8 cm (courbe en nor pontllé pour la mesure et rouge en trat plen pour la smulaton). Ensute, nous augmentons la valeur de c à 7.8 cm (courbe en vert pontllé pour la mesure et en trat plen bleu pour la smulaton) pour vsualser l effet de la trosème dmenson. Les paramètres S sont drectement déduts de la tenson smulée. En effet, les monopoles étant tous chargés sur 5 Ω, l expresson lant la tenson au paramètre S se rédut à l équaton suvante : S V c (IV.3) E Avec V c la tenson sur la charge de l antenne ou de l antenne 3 et E, la fém applquée sur le monopole. 7

173 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes Smulaton c7.8cm Fg.IV.6 :Comparason mesure smulaton du paramètre S entre les monopoles et Plage fréquentelle Temps de smulaton Nb de modes résonants Nb de ponts calculés : 5 MHz-GHz :.5 s : 5 modes : ponts L antenne réceptrce collecte certans modes de résonance de la cavté exctée par l antenne émettrce. Sur la Fg.IV.6, on reconnaît cnq modes. Le modèle nous ndque les valeurs des fréquences de résonance et des coeffcents de couplage des cnq premers modes coïncdant avec les maxmums des courbes de la Fg.IV.6 : Mode (,) à 646 MHz Mode (3,) à. GHz Mode (,3) à.65 GHz Mode (5,) à.869 GHz Mode (3,3) à.94ghz N et N.75 N- et N -.75 N- et N.73 N et N.75 N et N -.73 D autres résonances de la cavté localsées au dessous de GHz, ne sont pas exctées de par la poston des antennes et. Cette proprété est a rattacher aux zéros des coeffcents N et/ou N. L accrossement de la trosème dmenson a un mpact partel sur les résonateurs en modfant sensblement les nductances L mn, capacté C m et résstance R mn. Les fréquences de résonance restent nchangées, par contre les nveaux d ampltude dmnuent. L antrésonance observée à GHz est légèrement transposée vers les basses fréquences à cause de l augmentaton de l mpédance mutuelle entre les monopoles et dans la cavté. Sur la Fg.IV.7, des mesures et smulatons ont été effectuées pour une valeur de c3.8 cm mas sur une bande fréquentelle de à 4 GHz. 73

174 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes Fg.IV.7 : Résultat comparatf mesure/smulaton du volume V, en HF Plage fréquentelle Temps de smulaton estmé par Matlab Nb de modes résonants estmés Nb de ponts calculés : GHz-4GHz : 38 s : modes : ponts On retrouve comme précédemment une assez bonne concordance avec la smulaton pratquée par la MKCE. Toutefos, on observe à la fréquence de 3,4 GHz une mportante dscordance qu on peut reler à l accrossement de la dmenson c chose c à 3,8 cm. En effet, on peut montrer grâce à l expresson (IV.9) étable au début, que la fréquence de 3,4 GHz correspond à la résonance fondamentale du volume paralléléppédque. L approxmaton du modèle bdmensonnelle de la cavté adoptée dans notre résonnement est donc localement volée. Nous ajoutons mantenant par l ntermédare des supers-matrces, l nfluence de la parte supéreure de l antenne rayonnant vers le mleu extéreur dans lequel est nstallée la trosème antenne réceptrce. La Fg.IV.8 compare donc la mesure et la smulaton du système complet, comprenant la trosème antenne. Une fém de V est applquée sur le sous-réseaux de l antenne et la tenson aux bornes de l antenne 3 est calculée. Le passage nstantané au paramètre S permet la comparason avec la mesure. Fg.IV.8 : Comparason mesure smulaton du paramètre S entre les monopoles et 3 74

175 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes Plage fréquentelle Temps de smulaton Nb de modes résonants Nb de ponts calculés : 5 MHz-GHz :.9 s : 5 modes : ponts Le temps de calcul augmente légèrement de par l ntroducton des volumes V 3,4 et V 3,5. Nous reconnassons les fréquences de résonance de la cavté de la Fg.IV.6, mélangées avec les fréquences de résonance des monopoles et 3. La premère fréquence de résonance des deux monopoles et 3 de hauteur hh h 3 9 cm est asément obtenue par l expresson suvante avec v la célérté dans le mleu. v f 394MHz (IV.3) 4h Les fréquences de résonance d ordre supéreur apparassent classquement à f, 3 f et 4 f comme le montre la Fg.IV.8. L ampltude des résonances ne dépasse pas -4 db. Avec une perturbaton de V njectée à l entrée du système, une tenson maxmum de 5 mv est récupérée en sorte. S la source de perturbaton est produte par le monopole 3, l antenne dans la cavté reçot alors le même sgnal llustré Fg.IV.8. Le système est récproque. IV..6 Concluson La représentaton en crcuts électrques équvalents de la cavté E.M. permet une smulaton précse de ce système couplé relatvement complexe. L utlsaton d une super matrce mpédance permet de transcrre les dfférents phénomènes physques décrts plus haut. La smulaton a perms de fare apparaître le glssement des fréquences de résonance en foncton des paramètres géométrques h ant et c respectvement les hauteurs des antennes et 3 et la trosème dmenson de la cavté. A partr d exemples smples, nous avons montré comment la MKCE peut s adapter à la résoluton de problèmes de CEM multéchelles et multparamètres. S nous connassons les crcuts électrques équvalents de chacun des phénomènes physques de manère ndépendante, l est relatvement smple de construre le crcut équvalent du système total en utlsant le formalsme de la MKCE. Fnalement, la prncpale dffculté résde dans la représentaton réalste de chacun des sousvolumes générés par l analyse topologque. C est pour cela que nous préférons consacrer la dernère parte de la thèse à la présentaton du trosème adjectf caractérstque de la smulaton des grands systèmes : l analyse multphysque, plutôt que de résoudre un problème encore plus complexe. 75

176 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes IV. Applcaton de la MKCE au couplage électrothermque La propagaton dans le cerveau des ondes électromagnétques générées par les téléphones portables, donne leu à de multples études et smulatons numérques vsant notamment à estmer les effets thermques des rayonnements des ondes EM sur le corps human. Dans ce contexte actuel, nous trouvons ntéressant de proposer l étude d un couplage électrothermque pour montrer que la MKCE consttue un formalsme qu se prête ben à la fuson de paramètres multphysques. Pour cela, nous consdérerons une expérence de pensée qu permettra la mse en équaton du couplage d énerge électrque hautes fréquences en énerge thermque. Consdérons l éprouvette coaxale llustrée dans la Fg.IV.9 comprenant un conducteur central cylndrque et un conducteur extéreur relé d une part à une source HF de fém e et de résstance nterne R et d autre part, à une mpédance de charge que nous supposerons adaptée sur l mpédance caractérstque de cette lgne de propagaton. L éprouvette content de l eau. Cependant, et pour évter tout contact électrque et thermque avec les conducteurs, ces derners seront revêtus d un écran parfat, c'est-à-dre ncapable de transmettre une pussance thermque ans qu un courant de conducton. I(x) e R y I(x) E H O Z c Isolant thermque z x Fg.IV.9 x : Analyse multphysque sur un câble coaxal Le processus de couplage électrothermque va donc entraner la conjugason de deux phénomènes physques. La source HF produt dans l éprouvette une tenson électrque V(x) foncton de la varable d espace longtudnale x. La tenson produt un champ électrque radal E dans le lqude qu actve des oscllatons dpolares entretenues des molécules d eau. Il en résulte une dsspaton d énerge thermque entranant une modfcaton de la température de l eau. Sachant que la dsspaton d énerge électrque engendre une atténuaton de la tenson au cours de la propagaton de l onde TEM suvant la drecton x, et qu en même temps la producton de chaleur de l eau s accompagne d une dffuson thermque également parallèle à la drecton x, nous sommes donc confrontés à la résoluton d un couplage entre l équaton de propagaton des ondes TEM et l équaton de la chaleur. Nous proposons de mettre en œuvre cette résoluton en adoptant le formalsme de la MKCE. Auparavant, nous rappellerons les prncpaux paramètres physques utles à la mse en place des équatons des télégraphstes et de l équaton de la chaleur. On attachera à la lgne de propagaton, l nductance lnéque L et la capacté lnéque C. La résstance lnéque R provent des dsspatons thermques dans les conducteurs dont on néglge par la sute la contrbuton. La conductance lnéque G va smuler la source qu engendre la dsspaton thermque évoquée plus haut. 76

177 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes Les paramètres thermques utles à la mse en place de l équaton de dffuson de la chaleur comprennent la chaleur massque de l eau C p, sa conductvté thermque λ ans que sa masse volumque ρ. Dans le paragraphe IV.., nous procéderons à l analyse de la propagaton du mode TEM entretenu dans l éprouvette par une source harmonque de pulsatonω. Dans le paragraphe IV.., nous procéderons à la démonstraton de l équaton de dffuson thermque pus nous en calculerons les solutons. Nous passerons ensute à la recherche d une analoge permettant de rédure la dffuson thermque à un assemblage de crcuts électrques équvalents. Pour conclure ce préambule, nous devons sgnaler que la mse en œuvre des phénomènes transtores électrques est naturellement ben plus rapde que le transtore thermque. Pour cette rason, nous ferons l hypothèse que la propagaton de l onde TEM sur la lgne est consdérée en régme permanent alors que les phénomènes thermques seront exprmés par des équatons aux dérvées partelles spatotemporelles. IV.. Analyse de la propagaton électrque L étude de la propagaton des sgnaux électrques sur une lgne de transmsson dans le domane des fréquences a largement été présentée dans la thèse. Ans, un élément x de ce câble peut être modélsé par la théore des lgnes donnant le schéma électrque équvalent de la Fg.IV. : I(x) L R I(x + x) V(x) G C V(x + x) y x z x Fg.IV. : Elément de lgne L équaton des télégraphstes de ce sous-réseau est obtenue en écrvant les relatons de Krchhoff en régme snusoïdal : V ( x) ( R + x I ( x) ( G + x jωl) I ( x) jωc) V ( x) (IV.3) (IV.33) En dérvant par rapport à x les expressons (IV.3) et (IV.33), nous obtenons les équatons des télégraphstes : V ( x) γ. V ( x) x Avec la constante de propagaton γ I ( x) γ x ou. I( x) (IV.34) γ Z.Y avec Z R + jωl et Y G + jωc (IV.35) 77

178 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes Les solutons de l équaton (IV.34) s écrvent en consdérant unquement l onde ncdente car la lgne est adaptée : V γx ( x) V () e (IV.36) Avec γ α + jβ (IV.37) α est la constante d atténuaton de la lgne et β la constante de phase. γ ( R + jlω)( G + jcω) ( R. G L. Cω ) + j( R. Cω + G. Lω) (IV.38) La fgure suvante rappelle le schéma équvalent de la lgne électrque présenté dans le chaptre précédent (paragraphe III.). Le nombre de cellules est fxé à n x. Z e Z e e R I I I3 Y e Y e R L Fg.IV. : Schéma électrque équvalent d une lgne de transmsson électrque Les expressons analytques suvantes se rapportent aux paramètres électrques lnéques R,L,C, et G d un câble coaxal classque [IV.7] et [IV.8] : R + Ω / m πσ Cuδ a b µ b L log H / m π a πε C F / m b log a πε G. ω.tan( ψ ) S / m b log a σ H ψ O tan l angle de perte de notre matérau ωε δ : l épasseur de peau en mètre ωµσ Cu avec ( ) (IV.39) a et b correspondent respectvement aux damètres du conducteur et du blndage : a 5mm b cm (IV.4) Les paramètres caractérsant respectvement le cuvre et l eau salée sont donnés dans les équatons (IV.4) et (IV.4) : 78

179 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes σ Cu S/m (IV.4) 3 σ H O 56. S / m ou σ S m H O 5 / 7 µ µ 4π. ε ε rε 9 ( 36 ). ε π et ε 78 r (IV.4) Les charges aux extrémtés du câble sont choses telles que : R R Ω (IV.43) L Le paragraphe suvant ntrodut l étude des phénomènes thermques évoluant dans le câble coaxal consdéré comme un tube rempl d eau salée. IV.. Analyse temporelle de la dffuson thermque On examnera tout d abord la dffuson de la chaleur engendrée dans le câble coaxal par une source de température nstallée à une extrémté. En supposant la pussance thermque unformément dstrbuée sur la secton drote du coaxal, cela équvaut à résoudre l équaton de la chaleur (IV.44) portée au-dessous [IV.9], [IV.] et [II.8]. T x ρ C p λ T t (IV.44) Dans cette équaton aux dérvées partelles, T représente l évoluton de la température en foncton de la varable longtudnale x, t est la varable temps, ρ est la masse volumque de l eau ntrodute dans le tube, C p est le coeffcent de chaleur massque et λ est le coeffcent de conductvté thermque de l eau. L équaton sera tout d abord résolue analytquement afn de dsposer des solutons de références qu permettent de valder la résoluton numérque étable sur l usage d une chaîne de crcuts électrques équvalents. Dans une seconde phase l sera tenu compte d un apport d énerge thermque produt par les phénomènes électrques. A ce stade, l sera donc ndspensable de coupler les équatons électromagnétques à l équaton thermque. Le formalsme de Kron sera alors plenement exploté pour résoudre ce problème élémentare multphysque. IV... Mse en place de l équaton de la chaleur Pour les besons de la démonstraton, on forme tout d abord l hypothèse que la source de chaleur est localsée à une extrémté du matérau cylndrque. C'est-à-dre au pont de coordonnée x de la Fg.IV.. Cette extrémté sera portée à la température T alors que l extrémté opposée stuée en xl est mantenue à la température ambante T. 79

180 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes y P T P T Isolant thermque z x x Fg.IV. : Propagaton de la chaleur dans le tube Consdérons un élément de matérau de surface S et de dmenson longtudnale x, comme ndqué en Fg.IV.. La dffuson thermque engendre sur cet élément un gradent de température dont l orentaton détermnée par la seule drecton x se caractérse par la dfférence T de température enregstrée entre x et x + x. S T(x,t) représente la température en foncton de la varable spatale x et de la varable temporelle t, T s exprme de la manère suvante : T T ( x, t) T ( x + x, t) (IV.45) L usage du théorème des accrossements fns donne pour le second terme de l équaton (IV.45) : En conséquence T T ( x + x, t) T ( x, t) + x (IV.46) x T prend pour forme approchée : T T x (IV.47) x Consdérons la foncton g(x,t) défne c-dessous, représentatve du gradent thermque T g( x, t) (IV.48) x S la quantté de chaleur Q pénètre dans l élément de matérau durant l ntervalle de temps t, Q sera proportonnelle à la surface du matérau S, ans qu au produt du gradent thermque, de la conductvté thermque de la matère et de l élément de temps t d où : Q S. g( x, t) λ. t (IV.49) Q S on forme le rapport, on obtent une grandeur physque homogène à une pussance t qu on désgne par le symbole P et qu on appelle par la sute le flux thermque. Q P λ. S. g( x, t) (IV.5) t 8

181 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes L énerge Q sera accumulée dans l élément x du matérau, on peut donc écrre que Q se résume au produt de la masse m du matérau, de la chaleur massque C p et de l écart T de température observé entre les deux faces de l élément x, sot : Q m. C. T (IV.5) La masse élémentare s exprme alors m ρ. S. x (IV.5) p Equaton dans laquelle ρ représente la masse volumque du matérau. S on forme le rapport Q sur l ntervalle de temps t et qu on fusonne les relatons (IV.5) et (IV.5), on retrouve le flux thermque qu on note pour la crconstance P : Q T P ρ. S. C p. x (IV.53) t t S on fat tendre t vers zéro, l équaton (IV.53) fat apparaître la dérvée partelle de la foncton T(x,t) par rapport à la varable temps t. T P ρ. S. C p. x (IV.54) t La quantté P n est autre que la dfférence entre le flux thermque entrant sur la face postonnée en x de l élément et sortant de la face localsée en x + x. L équaton (IV.54) prend alors pour forme strctement équvalente : P P( x, t) P( x + x, t) (IV.55) L équaton (IV.55) peut s écrre autrement après nserton de la défnton du flux thermque ssu de l expresson (IV.5), sot : ( g( x, t) g( x + x, )) P λ. S. t (IV.56) Après usage du théorème des accrossements fns, cette équaton devent : g P λ. S. x (IV.57) x Après dentfcaton des équatons (IV.54) et (IV.57), l élément surface S, d où : x est élmné, ans que la T g ρ. C p. λ. (IV.58) t x Un retour sur la défnton du gradent thermque étable dans l équaton (IV.48), mène fnalement à l équaton de la chaleur dont la foncton T(x,t) est soluton. 8

182 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes T T λ. ρ. C. (IV.59) p x t S on dvse les deux termes de cette équaton par le paramètre λ, on parvent à la forme classque de l équaton de la chaleur. T x ρ. C p λ T. t (IV.6) IV... Recherche des solutons analytques de référence Par commodté, l équaton (IV.6) sera présentée sous la forme compactée dans laquelle le coeffcent γ est caractérstque du mleu de dffuson thermque et englobe smultanément la contrbuton de la conductvté thermque λ, de la chaleur massque C p et de la masse volumque ρ du matérau. T T. γ (IV.6) x t γ C p ρ λ (IV.6) L équaton peut être résolue par la méthode de séparaton des varables en posant : T ( x, t) T ( x). T ( t) (IV.63) x Le calcul des dérvées contenues dans l équaton (IV.6) mène alors aux expressons (IV.64) : t T x T x x T t et T t T t t Tx (IV.64) Après nserton dans l équaton (IV.6), on parvent à une expresson comportant les notatons allégées des dérvées, sot : T x Tt γ T T (IV.65) t x Après dvson par T(x,t), on obtent une séparaton en deux membres contenant respectvement T t (t) et T x (x). Tx T x T T t γ (IV.66) t 8

183 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes Chaque membre de l équaton (IV.66) correspond à une constante nconnue que nous appelonsω, sot : Tx T x ω et T T t γ ω t (IV.67) On parvent alors à deux équatons dfférentelles ordnares transcrtes sous leurs formes usuelles dans l équaton (IV.68) : d T dx x dtt ω ω T et + T t dt γ + x (IV.68) La soluton T x (x) est celle d une équaton dfférentelle ncomplète du second ordre, sot : T x ( x) A.cos( ω. x) + B.sn( ω. x) (IV.69) La soluton T t (t) est celle d une équaton dfférentelle du premer ordre donnant une foncton exponentelle décrossante : T ( t) C. e t ω t γ (IV.7) La détermnaton des constantes nconnues A, B, C et du coeffcentω dot s effectuer pour les condtons aux lmtes de températures applquées aux extrémtés du matérau, c'est-à-dre en x et en xl. Pour détermnerω, nous prenons les condtons aux lmtes mposées au matérau pour la température ambante T avant applcaton de la source de chaleur, sot T x ( ) T et T ( L T x, ce qu mène au système de l équaton (IV.7). ) A T A. cos( ωl ) + B.sn( ωl ) T (IV.7) Nous aboutssons à un système ndétermné, dont les solutons non nulles ne sont justfées que s on annule le détermnant, sot : sn( ω L ) ωl nπ avec n Ν (IV.7) De l équaton (IV.7), on dédut que le coeffcent ω n appartent à un spectre de valeurs propres nfnment étendu : nπ ω (IV.73) n L Pour détermner les constantes nconnues A et B, on dot rechercher l expresson analytque de T(x,t) pour le régme établ, c'est-à-dre lorsque la varable t tend vers l nfn. Après avor calculé la dérvée premère de T t (t) par rapport à t, on se rend compte que celle-c 83

184 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes s annule pour t prenant une valeur nfnment grande. En conséquence, on parvent à l équaton dfférentelle suvante : d T dx (IV.74) Cette équaton possède pour solutons trvales : T x ( x) c. x + d (IV.75) Sachant que les condtons aux lmtes mposées à la température aux deux extrémtés du matérau lorsque t sont telles que : T (, t) T et ( L, t) T T (IV.76) On trouve les valeurs des constantes c et d suvantes : T T c et d T (IV.77) L Expressons desquelles on dédut asément la soluton du régme permanent désgné pour la crconstance par le symbole T p (x). x T p ( x) ( T T ) + T (IV.78) L En revenant à la forme générale des solutons T x (x) présentée dans l équaton (IV.69) et du fat que le coeffcent ω n forme un spectre nfn de valeurs propres, une remarque mportante est à formuler : Nous savons que ces condtons mposent aux constantes A et B une nfnté de valeurs ndexées sur l ordre des valeurs propres. D autre part, nous savons que les condtons ntales mposent à la température la valeur T détermnée par la soluton partculère T p (x) au pont d analyse x. En conséquence, la constante A qu pondère la foncton cosnus ne peut être que nulle. De ces consdératons, on trouve que la soluton complète se consttue de la superposton de T p (x) et d une sére comportant le produt des coeffcents B n et C n comme ndqué dans l équaton (IV.79) : T ( x, t) T p ( x) + n n n n ωn t γ B C sn( ω x). e (IV.79) Après fuson des constantes B n et C n, dans une seule constante D n, on parvent à la soluton défntve dans laquelle l faut extrare les valeurs de D n : T ( x, t) ( T T ) x L + T + n n n ωn t γ D sn( ω x). e (IV.8) 84

185 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes nπ avec ω n L En effet, l équaton (IV.8) s apparente à une sére de Fourer dont la présentaton analytque sera allégée s nous l exprmons à l nstant ntal t, sot : x T ω (IV.8) T ( x,) T ( T T ) + T + D n sn( n x) L n Pour alléger l écrture de cette foncton, nous assmlerons le membre de drote de l équaton (IV.8), à la notaton smplfée f(x), n x D sn( ω nx) ( T T ) + T T f ( x) (IV.8) L n Le calcul des coeffcents de Fourer D n sera entreprs par le protocole usuel exposé par les ntégrales de l expresson (IV.83) : D n L L L f ( x).sn( ω nx). dx f ( x)sn( ωn x). dx (IV.83) L L Après ntégraton par parte, nous trouvons : ( T T ) D n. nπ (IV.84) En guse d applcaton, on donne les paramètres thermques de l eau [IV.9] : Cp 486J. Kg.6W. m λ (IV.85) ρ 998Kg. m. K 3. K 7 La constante de dffuson est alors λ,4.. Les températures présentes aux γ ρ C p extrémtés sont arbtrarement choses telles que T C et T C. Pour cnq valeurs de poston du tube de 44 cm nous obtenons les courbes temporelles T(t) décrvant respectvement de haut en bas l évoluton de la température à l abscsse x, x L /4, x 3.L /4, x 4 3.L /4 et x 5 L m. La premère courbe évolue à une ampltude constante de C et la cnquème à l ampltude constante correspondant à la température ambante T. 85

186 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes Fg.IV.3 : Dffuson temporelle de la température Représentons mantenant la température T(x) en foncton de la dmenson longtudnale. Pour cnq valeurs de temps comprses entre et T 78 heures sot. 5 secondes, nous obtenons respectvement de haut en bas les courbes pour t, t T ω /, t 3 5. T ω /, t 4 5. T ω /, t 5 T ω. Le chox de la fenêtre temporelle T ω sera présenté dans le paragraphe II dédé à cette étude. ω Fg.IV.4 : Dffuson longtudnale de la température dans le tube Lorsque t s approche de T ω 78 heures, nous pouvons consdérer que le régme permanent est attent. La température est alors dstrbuée lnéarement entre les deux températures fxées aux extrémtés T C et T C sur les 44 cm du tube. Les deux courbes de dffuson obtenues ont été comparées et valdées avec les résultats fourns en bblographe [IV.9] pour des confguratons géométrques et d exctatons dfférentes. IV...3 Recherche d une analoge électrque avec la dffuson thermque Nous venons de montrer que la dffuson thermque état caractérsée par deux paramètres fondamentaux, la conductvté thermque λ et la chaleur massque C p. La conductvté thermque caractérse l apttude du matérau à dffuser la chaleur alors que la chaleur massque matéralse son apttude à l accumulaton de la chaleur. Revenons sur l équaton (IV.5) relant le flux thermque P au gradent thermque g(x,t). Nous savons que la dffuson de la température T entre les deux faces du matérau est relée au gradent thermque par l équaton (IV.47) que nous formulons sous l expresson équvalente suvante : 86

187 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes T T T ( x, t) T ( x + x, t) x g( x, t). x (IV.86) x De l équaton (IV.5), on extrat g(x,t), sot : Apres nserton dans l équaton (IV.86), on trouve : g( x, t) P( x, t) (IV.87) λ. S x T T ( x, t) T ( x + x, t). P( x, t) (IV.88) λ. S L analoge avec les paramètres électrques est alors mmédate car on peut fare correspondre à l équaton (IV.88), l expresson électrque (IV.89) : V ( x, t) V ( x + x, t) R. x. I( x, t) (IV.89) En conséquence, on dédut de (IV.88) et (IV.89) que T(x,t) est l analogue d une tenson électrque, que P(x,t) est l analogue d un courant et que le rapport est l analogue d une λ.s résstance lnéque. T ( x, t) V ( x, t) P( x, t) I( x, t) λ.s R (IV.9) Pour cette rason, sera désgnée résstance thermque lnéque avec pour symbole R λ.s th. R th (IV.9) λ.s La seconde équaton thermque étable en (IV.53), peut être converte en analogue électrque en étendant les conventons (IV.9) adoptées : T P ρ. S. x. C p t V I C. x. (IV.9) t En effet, P est ben l analogue d une dfférence de courants pusque : P P( x, t) P( x + x, t) I I( x, t) I( x + x, t) (IV.93) L élément C fgurant dans l équaton (IV.9) est donc ben l analogue d une capacté lnéque que nous pouvons assmler à la capacté d accumulaton thermque lnéque du matérau à laquelle on jont le symbole C th. 87

188 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes C ρ. C S (IV.94) th p. Des équatons (IV.89) et (IV.9) on dédut le crcut électrque équvalent de l élément matérau, sot : x du I(x, t) R I(x + x, t ) P(x, t) R th P(x + x, t ) V (x, t) C V (x + x, t ) T (x, t) C th T (x + x, t ) x x Fg.IV.5 : Schéma équvalent thermque Avec les paramètres suvants : R R. x R R. x C C. x C C. x th th th th (IV.95) IV...4 Analyse numérque de la dffuson thermque par la MKCE IV...4. Chox de la méthode numérque approprée à la résoluton de notre problème Contrarement à la résoluton des équatons aux lgnes de transmsson tratée dans les partes antéreures de notre thèse, le problème thermque demande la converson des solutons numérques sur la base de deux varables hétérogènes : l espace x et le temps t. Ces condtons sgnfent qu l faut résoudre l équaton de la chaleur par une méthode de dfférences fnes dans le domane temporel (FDTD). Un autre chox consste à transporter l équaton dans le crcut électrque équvalent établ en secton précédente et dont on trouve la consttuton en Fg.IV.5. Une alternatve au calcul drect dans le domane temporel peut toutefos s effectuer en procédant à la projecton des fonctons P(x,t) et T(x,t) dans le domane des fréquences au moyen de l applcaton de la transformée de Fourer drecte sot : P jωt ( x, ) TF[ P( x, t)] P( x, t) e dt ω (IV.96) T jωt ( x, ) TF[ T ( x, t)] T ( x, t) e dt ω (IV.97) Les équatons (IV.96) et (IV.97) supposent que P(x,t) et T(x,t) représentent des fonctons causales de la varable temps t. 88

189 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes D autre part, et pour évter les confusons de notaton, la pulsaton et la fréquence rattachées aux transformatons (IV.96) et (IV.97) seront respectvement désgnées par les symboles ω et υ. ω πυ (IV.98) Ces condtons sgnfent que la pulsaton et la fréquence attachées au phénomène électromagnétque s adresseront par la sute à des symboles dfférents de ceux adoptés dans l équaton (IV.98). Nous proposons d utlser la notatonω pour la pulsaton, et de mantenr pour la fréquence, le symbole f, sot : ω πf (IV.99) Dans ce contexte, le crcut équvalent de l élément de matérau spectral prend donc la nouvelle descrpton de la Fg.IV.6 : x projeté dans le domane P(x,ω) P(x + x, ω ) R th T (x,ω) Y th T (x + x, ω ) x Fg.IV.6 : Schéma équvalent thermque dans le domane spectral L admttance thermque Yth fgurant dans ce schéma est relée à la capacté thermque Cth de l élément par l équaton (IV.) : Yth j. C th ω (IV.) Précsons que l équaton de la chaleur exprmée dans le domane spectral prend dans ce cas la forme analytque portée c-dessous : d T dx jωγ T (IV.) En pratque la résoluton va demander l usage de la transformée de Fourer numérque dont la prochane secton rappellera les prncpales proprétés et règles d emplo. IV...4. TFD Paramétrage du tratement numérque au moyen de la La transformée de Fourer dscrète ou TFD, consste à procéder à l échantllonnage des fonctons sur la varable temps. Dans l équaton (IV.) le symbole T (t) représente la 89

190 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes température échantllonnée que nous pouvons écrre sous l expresson analytque contenant pour base des fonctons mesure de Drac. N k T( t) T( k. T ) δ ( t k. ) (IV.) e T e Le paramètre T e représente la pérode d échantllonnage, autrement dt T e est l ntervalle de temps qu défnt la résoluton des fonctons qu seront tratées par la TFD. Dans la confguraton adoptée dans l équaton (IV.), la foncton échantllon comporte N échantllons. Cela sgnfe que ces N échantllons seront unformément réparts sur une fenêtre temporelle T w dont la durée n est autre que le produt de N et T e, sot : T N. (IV.3) w T e La transformée de Fourer dscrète consttue l analogue numérque du calcul de l ntégrale (IV.97). La TFD va donc donner nassance à un spectre échantllonné, dont un élément quelconque d ordre n prend la forme analytque décrte par l équaton (IV.4). T( nf N ) T (. ) k k T e e nk jπ N (IV.4) Le paramètre F représente la fréquence fondamentale détermnée par l nverse de la fenêtre T w défne précédemment, d où : F (IV.5) T N. w T e Contrarement aux défntons ntales (IV.96) et (IV.97), qu produsent un spectre contnu, la TFD resttue un spectre de raes espacées de F. Il peut être montré que le spectre calculé par la TFD (équaton (IV.4)) représente une foncton pérodque, dont la pérode de répétton fe est détermnée par la fréquence d échantllonnage, c'est-à-dre l nverse de la pérode d échantllonnage, sot : f e (IV.6) T e Sachant que le spectre de Fourer le de manère ndssocable fréquences postves et fréquences négatves, on trouve que cette proprété jonte à la condton de pérodcté énoncée précédemment lmte naturellement l étendue du spectre numérque à l ntervalle fe fe, connecté en ndce d échantllon et sur la base des N données + construtes précédemment, cela veut dre que l on couvre l ntervalle N N +. Lors des applcatons envsagées par la sute, la température assgnée à l extéreur du matérau et stuée en x, sera défne par un échelon dont la Fg.IV.7 reprodut les prncpales caractérstques. 9

191 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes T(,t) T Fg.IV.7 : Échelon température Cette foncton prend la descrpton analytque présentée c-dessous : T ω t t < T (, t) > T(, t) T t (IV.7) T représente l écart postf de température rapporté à la température ambante, sot pour reprendre les notatons adoptées plus haut : T (IV.8) T T Le calcul de la TFD demande le respect de quelques règles. En effet, étant lmté par la fenêtre T ω, l ntervalle de temps prescrt par l équaton (IV.4) provoque une troncature génératrce d artefacts qu affectent profondément le spectre. Le calcul engendre une erreur systématque. Pour compenser ce phénomène, on ajoute à la foncton échelon, une foncton rampe de Ncholson N ω (t) llustrée par la Fg.IV.8, dont la descrpton analytque est la suvante : t < ( t) N ω N t ( t) T t T ω ω Tω t > T ω Nω ( t) T (IV.9) N ω (t) T ω t T Fg.IV.8 : Rampe de Ncholson La foncton réellement tratée par la TFD sera donc T N (,t) exprmée par la somme algébrque de (IV.7) et (IV.9) sot : 9

192 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes T N (, t) T (, t) + N ( t) (IV.) Sous ces condtons, l peut être montré que le résultat du calcul du spectre n est nullement altéré par la troncature pusque la foncton (IV.) demeure nulle aux temps supéreurs àt ω. ω IV Crtère de chox des paramètres T e et T ω En règle générale, la détermnaton de la pérode d échantllonnage est fxée par la borne physque du spectre de la foncton concernée. S agssant de l échelon présenté Fg.IV.7, le calcul analytque de l ntégrale (IV.97) mène au résultat suvant : T( x, ω) T e T dt jω jωt (IV.) Converte sur une échelle vertcale logarthmque, la foncton (IV.) mène à un spectre caractérsé par une pente négatve unforme de - db par décade. Autrement dt, l n est pas possble d attrbuer une borne au spectre de l échelon. Cette constataton est tout à fat logque pusque nous avons affare à une foncton sngulère dont le temps de montée est nfnment pett. Devant l mpossblté de défnr Te sur le crtère spectral du sgnal exctateur, on dot se tourner vers la résoluton qu sera pratquée plus spécalement vers la consttuton de la cellule élémentare de dmenson x. Le schéma de la Fg.IV.6 montre que nous avons affare à l assemblage d une résstance et d une admttance capactve qu donne à ce crcut le comportement d un fltre passe bas de constante de temps τ telle que : τ R. (IV.) th C th Au crcut tel qu l est présenté Fg.IV.6, peut donc s adjondre la foncton de transfert H (υ ) défne comme sut : T( x + x, υ) H ( υ) T ( x, υ) υ + j f c (IV.3) Relaton dans laquelle f c s apparente à la fréquence de coupure du fltre, sot : f c (IV.4) π τ Le spectre en sorte de cette cellule sera donc naturellement borné par f c. Le bon sens physque ncte donc à localser la borne de la foncton échelonnée au-dessus de f c sot : f e >> f c (IV.5) 9

193 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes Rappelons que symbole f s. f e s nttule accessorement fréquence de Shannon qu on désgne par le fe f s (IV.6) S on adopte la règle du dxème, cela sgnfe que f s entre dans le crtère énoncé c-dessous : f. (IV.7) s f c Quant au crtère de chox de la durée assgnée à la fenêtret ω, le rasonnement est beaucoup plus subjectf que le précédent. En effet, l dot être tenu compte de la constante de temps détermnée par la connassance préalable de la réponse thermque du matérau. La soluton analytque de référence montre que cette constante de temps s accroît avec l élognement par rapport à l orgne du repère Ox, pont d applcaton de la source de chaleur. Sachant qu en extrémté xl, la soluton est nulle car elle est mposée par la température ambante T. On fxera l analyse sur un pont stué à proxmté de l extrémté où la réponse thermque donne une ampltude T encore décelable menant au profl de la Fg.IV.9 : T(L,t) L T L τ T ω Fg.IV.9 : Réponse thermque t La durée T ω de la fenêtre dot donc être chose un peu supéreure à l apprécaton de la valeur deτ. Sous le respect de cette condton, le résultat formulé par le calcul de la TFD nverse de T ( L ω, ω) peut être comparé à la rampe de Ncholson suvant le protocole de l équaton (IV.8) : T ( L, t) T ( L, t) N ( t) (IV.8) ω ω Equaton dans laquelle ω [ T ( L, ω) ] T ( L, t) TFD (IV.9) ω 93

194 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes N N N ω ω ω ( t) t ( t) T ω ( t) T T L L t < t T t > T ω ω (IV.) La valeur numérque de TL peut être dédute par la pratque d tératon ou par la soluton analytque formée pour le régme permanent. Il est mportant de précser que le calcul des TFD drecte et nverse se réalse au moyen d algorthmes dsponbles dans des logcels du commerce. En règle générale, le nombre d échantllon N chos est une pussance de deux, toutefos, l usage des logcels modernes pratquent une nterpolaton qu n exge pas le respect absolu de cette règle. Les crtères défnssant les chox de T e et T ω étant mantenant fxés, l convent de défnr le chox de l élément x attaché aux cellules élémentares reprodusant la chane thermque. IV Crtère de chox du paramètre x La pérode x mposée au découpage du matérau peut-être évaluée sur des crtères de convergence que nous pouvons trer des solutons de l équaton de la chaleur converte dans le domane spectral. Il s agt de l équaton (IV.6) posée ntalement, que nous décdons de présenter sous une forme meux adaptée à la poursute du calcul, sot : d T dx Γ T ρc ρc p Γ ω (IV.) λ λ p avec j ω ( + j) Dans cette équaton, le coeffcent Γ représente un nombre complexe que nous présentons sous la conventon (IV.) : α + jβ Γ avec ρc p ω α β (IV.) λ Cette équaton dfférentelle possède pour soluton : T Γx Γx ( x, ω ) Ae + Be (IV.3) S nous avons affare à un matérau nfnment étendu dans la drecton Ox, la constante B présente dans la soluton (IV.3) serat dentquement nulle. On obtent dans ce cas une dffuson pure exprmée par la foncton portée c-dessous : T Γx ( x, ω ) Ae (IV.4) Après avor entré les paramètres α et β, cette soluton devent : T α x jβx ( x, ω) Ae. e (IV.5) 94

195 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes En adoptant le langage des ondes, α équvaut à un coeffcent d atténuaton lnéque et β à un nombre d onde. Un retour sur les expressons deα et β ntrodutes dans l équaton (IV.) montre que l onde thermque entretenue obét à une propagaton dspersve pusque le nombre d onde β dépend de la pulsaton ω qu serat mposée à une source thermque à varaton temporelle snusoïdale. Malgré cette restrcton, nous utlserons les proprétés tradtonnelles de la propagaton des ondes pour trouver les crtères de chox de l élément x. Dans ce but, nous allons ntrodure la longueur de dffuson D th et la longueur d onde thermque λth défnes grâce aux relatons d équvalences suvantes : D th et α π β (IV.6) λ th Paramètres auxquels on peut jondre les descrptons analytques contenues dans (IV.7) : λ D th et λth πdth (IV.7) ρ ω C p La soluton (IV.5) prend alors pour dénomnaton en consdérant α et β de (IV.6) : T ( x, ω) Ae x Dth. e x jπ λth (IV.8) Sachant qu on peut également présenter (IV.8) sous la forme polare avec les conventons d écrtures portées c-dessous, T ( x, ω) jϕ ( x, ω) T ( x, ω) e (IV.9) on attrbue au module et à la phase de cette foncton les valeurs (IV.3) : T x D ( x, ω ) Ae th et x ϕ( x, ω) π (IV.3) λ th L examen de ces deux relatons montre tout de sute que le chox du crtère x relève de consdératons purement phénoménologques. Nous voyons que fare coïncder x avec la longueur de dffuson mène pour le module et pour la phase aux valeurs numérques suvantes : S x Dth alors T ( Dth, ω ).36. A et ϕ( D th, ω) (IV.3) 95

196 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes Ce crtère est nacceptable car la foncton T ( x, ω) a beaucoup trop varé dans l ntervalle [ x] pour que le calcul basé sur l tératon des crcuts devenne fable. S on chost pour crtère le dxème de la longueur de dffuson sot : Les données précédentes devennent D th x (IV.3) T ( Dth, ω ). 9A et ϕ( D, ω). (IV.33) th Nous entrons alors dans les zones d approxmaton du premer ordre des développements lmtés des fonctons exponentelles et des fonctons crculares ce qu semble assez satsfasant sur le plan formel. Reste mantenant à dédure la valeur absolue de x : un retour sur l équaton (IV.7) montre que la longueur de dffuson est nversement proportonnelle à la racne carrée de la pulsatonω. Nous avons montré en secton précédente que le tratement par TFD amenat pour valeur maxmale du spectre du transtore thermque la fréquence de Shannon f s. L élément de longueur x prend donc pour valeur absolue (IV.34) :.λ x πρ C f (IV.34) p s Résumons, les condtons auxquelles nous venons d aboutr : n x L avec x T ω τ τ Te. n x x.λ πρ C f p s (IV.35) La fréquence de Shannon s exprme de la manère suvante : fe. nx fs (IV.36). T τ e La fréquence de Shannon est drectement proportonnelle au nombre de cellules n x. Nous mposerons alors sot T e pour obtenr le nombre d échantllon n x ou nversement, nous mposerons n x pour détermner T e selon l applcaton souhatée. Dans notre cas, nous mposerons n x en foncton de l endrot où l on souhate connaître la température. S l on veut la température au pont xl /4, nous chosrons n x 4, s nous désrons connaître la température au pont xl /, nous chosrons n x. 96

197 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes Avant de conclure cette parte dédée à l analyse physque de la dffuson thermque, nous apportons quelques précsons sur les condtons mposées aux extrémtés des n x cellules juxtaposées. Comme nous l avons dt précédemment, la source de chaleur apportée au système sera caractérsée par la fém notée T porteuse de la sgnature spectrale de l échelon température. La chaleur fourne n aura pas d autre possblté que de dffuser dans le tube thermquement solé en drecton de l autre extrémté. En ce pont xl, nous avons supposé que la chaleur état parfatement évacuée vers l extéreur de l éprouvette, ce qu sgnfe que la température à ce pont de l espace prendra la valeur de la température ambante T. Imposer T à l extrémté du tube, revent à dre que la dfférence de température est nulle entre l extrémté du tube et le mleu extéreur. Le crcut équvalent analogue à ce phénomène mplque l applcaton d un court crcut entre la lgne et la référence mposant à la fos une dfférence de température nulle et une pussance thermque totalement transmse vers le mleu extéreur. Le schéma équvalent thermque est présenté dans la Fg.IV. en consdérant n x cellules. R th R th T P P C th P 3 C th +T Fg.IV. : Crcut thermque équvalent +T Imagnons mantenant que la dsspaton de la chaleur par rayonnement n est pas totale. C est le cas par exemple d un radateur consttué de plaques métallques utlsé pour l évacuaton de la chaleur par rayonnement. Dans ce cas, une résstance équvalente de rayonnement, proportonnelle aux dmensons et aux caractérstques thermques du matérau pourra remplacer le court-crcut de l extrémté drote dans la Fg.IV.. Nous venons de présenter les prncpaux phénomènes physques attachés au crcut thermque de la Fg.IV.. La pérode d échantllonnaget e, la fenêtre d étude T ω et l ncrément spatal x respecteront les consdératons physques apportées dans les paragraphes précédents. Avant d mplémenter le crcut équvalent de la Fg.IV. par la MKCE, nous souhatons attrer l attenton du lecteur en notant l mportance de l étude prélmnare des phénomènes physques apportés dans cette parte qu est ndspensable à la bonne réusste des smulatons et cela, quelque sot le système auss smple ou complexe sot-l. IV Implémentaton du système sous la MKCE De manère smlare à l mplémentaton d une lgne de propagaton électrque sous la MKCE présentée dans le paragraphe IV.., nous chercherons dans un premer temps pour chaque sous-réseau les tenseurs des efforts notés T une fos covarant ans que l équvalent électrque du tenseur des mpédances que l on appellera tenseur des opérateurs notéξ j. Ces tenseurs seront défns d abord dans l espace des pussances thermques de branche, pus dans l espace des flux thermques de malle. L nterconnexon de toutes ces cellules se fera à l ade 97

198 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes de la matrce d nterconnexon, que l on a notée dans le chaptre précédent (F). L nverse du tenseur des opérateurs multplé par le tenseur des températures nous donnera fnalement toutes les pussances thermques de malle du crcut équvalent. En exprmant les flux de branches notés p à p 3 en lettre mnuscule en foncton des flux de malles notés en majuscule P et P dans la Fg.IV., nous obtenons la matrce mantenant ben connue de connexon de G.Kron notée C dans l équaton (IV.37) : R th p p 3 p P C th P Fg.IV. : Une cellule R. C th th ( C ) (IV.37) On trouve drectement dans l espace des malles le tenseur des efforts thermques une fos covarants T, le tenseur opérateur deux fos covarants que l on note ξj et le tenseur une fos contravarant des flux P j. Il sufft mantenant de juxtaposer n x cellules de la Fg.IV. auxquelles nous ajoutons deux sous-réseaux caractérsant les condtons mposées aux extrémtés de la lgne thermque, à savor la source de température notée T ajoutée à la température ambante + T et le courtcrcut à l extrémté opposée. Nous chosssons de numéroter les flux thermques dans l espace des malles de la manère présentée dans la Fg.IV. : R th R th T P P P3 P4 C P5 th P 6 C C th +T +T n x sous réseaux Fg.IV. : Crcut équvalent non connecté Tros supers-tenseurs T, ξj et P j respectvement donnés dans les équatons (IV.38), (IV.39) et (IV.4) sont chacun dssocés en quatre tenseurs caractérsant respectvement de gauche à drote dans la Fg.IV., la source de chaleur, la premère cellule R. th Cth suve de la seconde cellule dentque et enfn la cellule formée par un court-crcut. T (( Tr ) ( Tr ) ( Tr 3 ) ( Tr 4 )) Avec ( T r ) T et ( T r 4 ) T ( T ) ( T ) ( ) r r 3 (IV.38) 98

199 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes ξ r ξ r3 ξ R ( ξ r) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ξ r ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ξ r3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ξ ) th Avec :. x + jωcth. x jωc. x th et ξ ξ r r4 r 4 jωc jωc th. x. x th (IV.39) Le tenseur nconnu des flux content les pussances thermques de chaque malle de la Fg.IV. : ( Pr ) ( Pr ) ( Pr 3 ) ( P ) P (IV.4) r 4 L étape suvante consste à connecter pour l exemple de la Fg.IV. les quatre cellules drectement dans l espace des malles afn de retrouver le schéma électrque de la Fg.IV.. Pour cela, nous exprmons les flux P j de malles du crcut non connecté Fg.IV. en foncton des flux P j de malle du crcut connecté de la Fg.IV.. Ans, à partr des sx flux de malles du réseau non connecté, nous obtenons un système à tros flux de malle tradusant le comportement de la lgne. Cette transformaton s effectue par le bas de la matrce d nterconnexon (F) présentée au chaptre II dont les dmensons rappellent le nombre d nconnu de chacun des deux réseaux. ( F ) (IV.4) Les expressons (IV.4) donnent les formules de transformaton entre les deux crcuts non connecté et connecté d abord dans la notaton tensorelle pus dans la notaton matrcelle. Le nouveau crcut connecté est repéré par la présence du symbole prme. a T µ T a Fµ ' et ξ ' F a µυ µ ξ ab F b υ t Ou ( T ') ( F ) ( T ) et ( ξ ') ( F ) t ( ξ )( F ) (IV.4) Ces tros supers-tenseurs sont relés par la relaton exprmée sous la forme tensorelle dans l équaton (IV.43) dans l espace des malles : 99

200 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes T. j ξj P (IV.43) Les algorthmes de calcul sont largement détallés dans l annexe III. IV Résultats de la TFD du sgnal orgnal Avant de présenter les résultats, nous donnons les valeurs numérques choses pour les smulatons : Tout d abord nous fxons le nombre n x 4 cellules afn de smuler convenablement quatre postons dfférentes le long du tube. τ R. est drectement lée au paramètre thermque de l eau chos pour l exemple. th C th 6 τ R. C th th,35. secondes (sot 375 heures) (IV.44) La TFD applquée à la somme algébrque des sgnaux échelon et rampe de Ncholson des Fg.IV.7 et Fg.IV.8, permettent d obtenr le spectre de la source thermque T à ntrodure dans le crcut thermque de la Fg.IV.. Le détal du code de la TFD numérque programmé sous Matlab est donné en annexe III. La Fg.IV.3 présente en échelle logarthmque horzontale et vertcale, la parte postve du spectre de la température T (, υ) pour tros pérodes d échantllonnage dfférentes T e assocées aux tros fenêtres T ω suvantes : T ω τ et Te τ en rouge nx T ω 4τ et Te τ en vert pontllé 4. n x T ω τ et Te τ en bleu. n x T(, υ ) Fg.IV.3 : Spectre de la température υ Le spectre correspondant aux fréquences négatves n apparaît pas dans l llustraton en échelle logarthmque. Cependant, nous précsons que dans le logcel, cette parte du sgnal est évdemment mplquée dans le crcut équvalent.

201 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes L allure générale de ces tros spectres tradut ben la TFD d un sgnal échelon (IV.). Les pentes négatves unformes de ces tros spectres sont de - db/décade comme le rappelle l équaton (IV.45). T T(, ω) jω (IV.45) D autre part, les tros courbes sont bornées par des ntervalles dfférents drectement lées aux paramètres de la fenêtre d observaton T ω et de la pérode d échantllonnage T e. Ans, le paramètre T ω lmte les basses valeurs du spectre, alors que T e lmte les valeurs supéreures du spectre. Pour le cas crtque llustré par la courbe rouge Fg.IV.3 défn sur un fable ntervalle, la valeur maxmale du spectre est proportonnelle à la pérode d échantllonnage, sot : υ (IV.46) 6 max fs / / 4 3. Te Alors que la valeur mnmale dépend de T ω : υ 7 mn / 4.8. Tω (IV.47) Lorsque la fenêtre d observaton augmentet ω τ et la pérode d échantllonnage Te τ dmnue, les lmtes du spectre prennent pour valeurs :. n x υ f et 5 max s / / 4 3. Te υ 8 mn / 4.8. Tω (IV.48) Le paragraphe suvant présente la sgnature spectrale de la température à la sorte du crcut équvalent dans les deux cas llustrés en trat plen sur la Fg.IV.3 pour montrer l nfluence des paramètres temporels sur la qualté des résultats. Nous chosssons les mêmes caractérstques thermques du matérau présentées dans le paragraphe IV... décrvant la résoluton analytque de la dffuson thermque dans un tube rempl d eau : Cp 486J. Kg.6W. m λ (IV.49) ρ 998Kg. m. K 3. K Les sources de températures aux extrémtés du crcut de la Fg.IV. sont telles que T décrt un vecteur de N valeurs correspondant au spectre de la température pour les deux cas suvant :

202 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes et T ω τ et T e τ (IV.5) T ω τ et T τ e (IV.5) Nous chosssons pour les deux cas n x 4 de manère à obtenr quatre cellules pour représenter la température à la premère poston. Dans les Fg.IV.4 et Fg.IV.5, sont représentées les spectres des sgnaux calculés en sorte du crcut équvalent pour les quatre postons spatales suvantes x 4.L, x 4.L, x 4 3.L, et xl ou autrement dt pour les,, 3 et 4 éme cellules R. C. La Fg.IV.4 correspond à la condton chose pour les sources thermques de l équaton (IV.5) tands que la Fg.IV.5 utlse l hypothèse de l équaton (IV.5). T ( x, υ ) T (, υ ) T ( L 4, υ ) T (. L 4, υ ) T ( 3. L 4, υ ) Fg.IV.4 : Spectre de mauvase résoluton de la température en sorte du système υ T ( x, υ ) T (, υ ) T ( L 4, υ ) T (. L 4, υ ) T ( 3. L 4, υ ) Fg.IV.5 : Spectre de bonne résoluton de la température en sorte du système Nous observons naturellement qu au plus la température est calculée lon de la source, au plus la pussance (sot la surface générée par les courbes) dmnue. L algorthme de la TFD nverse sur ces quatre derners sgnaux permet de retrouver smplement l évoluton temporelle du sgnal. Il ne restera alors qu à soustrare à ces derners sgnaux la rampe de Ncholson N(t) pour obtenr l évoluton des températures dans le domane temporel. υ

203 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes Les courbes des Fg.IV.6 et Fg.IV.7, confrontent l évoluton temporelle de la température smulée par les expressons analytques du paragraphe IV..., et par la MKCE llustrée respectvement en trat pontllé et en trat plen pour les cnq postons spatales respectvement de haut en bas suvantes : x.l, x 4.L x 4.L, x 4 3.L, et xl. Fg.IV.6, les condtons mposées à la source thermque T ω et T e respectent les condtons de l expresson (IV.5), la Fg.IV.7 tent compte des condtons de l expresson (IV.5). t en s Fg.IV.6 : Réponse temporelle de mauvase résoluton de la température en sorte du système Fg.IV.7 : Réponse temporelle de bonne résoluton de la température en sorte du système Les deux courbes pour x et xl, sont ndépendantes du temps. Elles respectent les condtons que nous avons mposées aux extrémtés du système. La chaleur apportée au système sous forme d une source de température de T 8 C est ajoutée à la température ambante T C pour donner la courbe du haut d ampltude C. A l extrémté L du tube l ampltude de la courbe correspond à la température ambante T fxée à C. Les tros courbes évoluant suvant une forme exponentelle tendent respectvement de haut en bas vers les températures suvantes : 3

204 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes 3. T + T 55 C 4. T + T 4 C. T + T 4 65 C, Les résultats présentés sur la premère courbe Fg.IV.6 révèlent une représentaton grossère de la dffuson thermque causée par une mauvase approxmaton de la fenêtre d observaton T ω et de la pérode d échantllonnage T e de la source thermque. En respectant les condtons étables dans l équaton (IV.5), nous obtenons dans la Fg.IV.7, une très bonne résoluton. Les deux paragraphes IV. et IV. trataent respectvement de l analyse ndépendante des phénomènes électrques pus des phénomènes thermques. Nous présentons dans le paragraphe IV.3, la formulaton de l nteracton électrothermque entre ces deux soussystèmes. Nous aurons alors montré l ntérêt d utlser la MKCE pour résoudre des systèmes multphysques. IV.3 Formulaton du couplage électrothermque par la MKCE Nous consdérons dans cette parte l étude du système orgnal rappelé dans la Fg.IV.8. Par une expérence de pensée, nous admettons que les courants et tensons électrques dans le câble génèrent une onde TEM se propageant suvant x. Par hypothèse, la source de perturbatons thermques du système provent unquement de la polarsaton par le champ électrque des molécules d eau, provoquant ans l échauffement du matérau suvant la même drecton x. Cela sgnfe que la température dsspée par effet joule dans le conducteur prncpal est néglgée. I(x) e R y I(x) E H O Z c Isolant thermque z x x Fg.IV.8 : Analyse multphysque sur un câble coaxal La source de perturbaton thermque est c dstrbuée tout le long du câble, c'est-à-dre que pour chaque élément de longueur x, les pertes dans le délectrque accumulées dans la conductance électrque équvalente engendrent une source de pussance thermque qu pourra être mse en parallèle à la capacté thermque équvalente dans le crcut thermque. 4

205 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes Dans ce cas précs, nous proposons d utlser la MKCE pour manpuler souplement ces grandeurs multphysques. Cet outl sera ms à l épreuve en applquant à la source e stuée à L, dfférentes formes de sgnaux temporels fréquemment rencontrés. Comme nous le consellons au chaptre I, nous dssocons le système multphysque de la Fg.IV.8 en deux sous-volumes topologques. Notons que le terme «découpage topologque» n est alors plus vrament appropré. En effet, la dstncton entre les sousvolumes s opère non plus sur la géométre du système mas sur les deux phénomènes physques évoluant en nteractons dans ce même système. Le premer sous-volume correspond donc à la propagaton électrque suvant la drecton x du câble coaxal, tands que le second sous-volume caractérse la dffuson de la chaleur suvant la même drecton x de ce même câble. Ces deux phénomènes physques ont été représentés dans les paragraphes précédents de manère ndépendante par l assocaton d éléments électrques équvalents R, L, C et G. En ncluant le couplage électrothermque à ces deux modèles, nous smulerons l échange énergétque de la manère llustrée schématquement dans la Fg.IV.9 : Propagaton électrque Analyse électrothermque Dffuson thermque Fg.IV.9 : Découpage topologque du câble coaxal Avant d entrer dans les détals de l algorthme, l est nécessare de rappeler que les phénomènes électrques sont évdemment consdérés en régme permanent devant les phénomènes thermques qu sont beaucoup plus lents. Dans le modèle électrque équvalent du couplage électrothermque, l élément t de temps crtque pour une bonne résoluton sera obtenu à partr des caractérstques thermques. Les ncréments t et x seront choss en foncton de l évoluton temporelle, spatale ou spatotemporelle de la température que l on veut smuler. En effet, s l on désre représenter unquement la température T(L,t) en foncton du temps à un pont L fxé, nous nous efforcerons de chosr t suffsamment pett pour obtenr une bonne résoluton temporelle. Dans le cas où l on désre représenter la température en foncton de la varable x à un temps t donné T(x,t ), nous chosrons un ncrément de temps t plus grand pour alléger les calculs mas nous chosrons x suffsamment pett pour représenter correctement la propagaton et la dffuson spatale. Dans le derner cas, l objectf est de représenter sur un même graphque l évoluton spatotemporelle de la température T(x,t). Dans ce cas, l est alors nécessare de chosr les deux ncréments t et x suffsamment petts pour représenter correctement le sgnal fnal sur un graphe en 3D. Evdemment, ce derner cas de fgure demande beaucoup plus de ressource de calcul. Enfn, notons que la foncton de transfert que nous allons établr dans ce paragraphe, exge en entrée du système des grandeurs exprmées sous la forme spectrale. Pour cela, les paramètres électrques ou thermques d entrées exprmés dans le domane temporel, seront transformés en utlsant les algorthmes de la TFD. En sorte, nous retrouverons l allure des sgnaux dans le domane temporel en applquant la TFD nverse. Cela sera détallé dans le paragraphe suvant. 5

206 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes Pour présenter l mplémentaton du système sous la MKCE, nous avons chos pour alléger les llustratons, un nombre n x cellules suvant la dmenson x. Nous réunssons alors dans la même fgure les deux crcuts électrques et thermques équvalents défns dans les paragraphes IV.. et IV... Z e Z e e I Y R e I Y I3 e R L R th R th P 4 C P 5 P6 th C th T amb Fg.IV.3 : Couplage électrothermque T amb Comme l a été dt dans les paragraphes concernés, les deux modèles électrque et thermque choss sont représentés ndépendamment par les tros tenseurs courants, fém et mpédances pour la lgne électrque et pussances, dfférences de température et opérateurs pour la lgne thermque. Ces tenseurs défns dans l espace des malles sont représentés sous la forme de matrces que l on rappelle dans les équatons (IV.5) et (IV.53) : Z ' e R I ( I ) I ( e ) ( e ) e 3 I + Z e + Y Y e e Y e Ye + Z e + Ye Y e Y e + R L Ye (IV.5) P 4 5 ( P ) P ( e ) ( ) th 6 P Rth + jω Cth jω Cth ' ζ th + Rth + jω Cth jω Cth jω C jω Cth th jω C jω C th th (IV.53) De la même manère que le couplage par daphone, ces sx tenseurs sont regroupés en tros catégores dans tros supers-tenseurs nommés tenseur des flux f j, tenseur des efforts e et tenseur des opérateurs ξj llustrés dans les équatons suvantes dans l espace des malles : 6

207 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes ( f ) ( I ) ( P) I I 3 I 4 P 5 P 6 P (IV.54) Le tenseur des efforts sources : ( e) (( e ) ( e )) ( ) (IV.55) e th Et fnalement le tenseur des opérateurs : e ( ξ ) ( Z e ) ( ) ( ) ( ζ ) th (IV.56) Avant d ntrodure l nteracton électrothermque proprement dte, dscutons du type de modèle de couplage chos pour une adaptaton smple à la MKCE. Comme nous l avons observé au cours de ce manuscrt, la MKCE offre de nombreuses possbltés vs-à-vs de la représentaton d un couplage. En partculer, comme nous l avons abordé, suvant la nature physque de l nteracton, la modélsaton peut s opérer à l ade d une mpédance dans l espace des branches (couplage électrque), dans l espace des malles (couplage magnétque) ou des réseaux (couplage en champ lontan). De par la nature physque du couplage électrothermque, l sera asé de trouver une source de courant équvalente tradusant le transfert d énerge électrque en énerge thermque. C est pour cela que nous décdons d utlser pour smuler l nteracton non plus le tenseur des opérateurs, mas le tenseur des fém sources dans l espace tensorel adapté. Ce modèle est attrant de par sa souplesse de mse en œuvre sous la MKCE. La prncpale caractérstque de ce modèle suppose que le couplage est unlatéral, c'est-à-dre qu l exste par exemple une nfluence entre la propagaton électrque et la dffuson de la chaleur dans le câble mas qu nversement, la dffuson thermque n a aucune nfluence sur la propagaton électrque. IV.3. Introducton du couplage par des fém sources équvalentes Le len de proportonnalté drect entre les phénomènes électrques et thermques concerne les grandeurs de types pussances. La source de perturbaton thermque est drectement dentfable à la pussance électrque actve traversant la conductance. P th P e (IV.57) Pour cela, comme l est llustré dans la Fg.IV.3 pour un élément x de la lgne, l nteracton électrothermque peut être matéralsée grâce à la source de pussance thermque P th dsposée en parallèle à la capacté thermque C : th 7

208 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes V(x) I(x) Z e I C e G e I(x + x) I V(x + x) P(x) R th P(x + x) P 3 T(x) T(x + x) C th P th P 4 T amb Fg.IV.3 : Source de pussance thermque équvalente P th s exprme dans l équaton (IV.58) en foncton du courant de branche noté dans la Fg.IV.3, crculant dans la conductance. Ge P / th G e (IV.58) Pour adapter le modèle du crcut équvalent sous le formalsme de G.Kron, nous applquons la transformaton de Norton-Thévenn à cette source de pussance en parallèle avec la capacté thermque Cth afn d obtenr des sources de type fém. Dans ce cas, la source de type flux est équvalente à une source de type effort dsposée en sére avec la capacté thermque comme l llustre la Fg.IV.3. A A E th C th P th E th + P th C th P th B E th. C th E B th P th / C Fg.IV.3 : Converson entre un crcut de Norton (à gauche) et de Thévenn (à drote) L effort thermque E th équvalent s exprme en foncton de la pussance thermque source P th et de la capacté thermque Cth que l on retrouve dans l expresson de drote de la Fg.IV.3. Ces sources thermques sont alors dstrbuées sur les n x cellules représentatves du câble coaxal comme le montre l exemple à deux cellules c-dessous : th 8

209 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes e + e I Z e Z e Y e Y e R I I3 I 3 R L V(x) R th + E th R th + P 4 P5 P 5 P 6 C th E th C th P 6 T amb Fg.IV.33 : Couplage électrothermque équvalent T amb Les nteractons électrothermques sont alors smplement prses en charges dans la MKCE grâce au tenseur des efforts e dans lequel des termes possédant des dmensons assmlables à des varatons de températures seront dsposés sur chacune des branches concernées par le couplage. A l ade des matrces de connexon (C) et d nterconnexon (F) de la lgne thermque défnes dans les équatons (IV.37) et (IV.4) nous obtenons drectement le tenseur des efforts donné dans l expresson (IV.59) dans l espace des sx courants de malle. ( e) ( e E ( E E ) E ) (IV.59) th th th th Les autres tenseurs flux f j et des opérateursζ j sont nchangés : ( I ) ( ) ( ) f et ( ξ ) P ( Z e ) ( ) ( ) ( ζ ) th (IV.6) Les valeurs spectrales des flux de malle s obtendront grâce à la multplcaton à drote de la matrce nverse des opérateurs par le vecteur des efforts. ( f ) ( ).( e) ζ (IV.6) Un retour à l espace des branches permet d obtenr chacune des pussances des branches contenant C de la Fg.IV.33. th En multplant ces pussances thermques de branches P thb par l opérateur thermque nous obtenons les varatons de température dstrbuées le long du câble : jω Cth, T Pthb jω C th (IV.6) Nous pourrons également envsager l étude nverse du comportement de la propagaton de la tenson électrque sur un câble coaxal perturbé par une augmentaton de la température du mleu. Dans ce cas, des sources de perturbatons thermoélectrques seraent dstrbuées le long de la lgne électrque sur les branches contenant les admttances électrques Y. e 9

210 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes IV.3. Présentaton de tros confguratons de smulaton Afn de présenter la robustesse du modèle, nous chosssons tros confguratons se dfférencant par la nature des sgnaux électrques sources njectés dans le câble coaxal ou par les proprétés de propagaton électrque du système. Les tros sgnaux sources appelés w(t) pour rappeler le terme anglophone wndow, correspondent aux sgnaux enveloppes d une snusoïde de fréquence f. La premère source électrque notée w ( t) est une mpulson temporelle de courte durée d ampltude V. La seconde source électrque notée w ( t) est un échelon temporel d ampltude V. La trosème source électrque sera dentque à la premère w 3( t) w ( t). C est la lgne électrque proprement dte qu sera légèrement modfée par l nserton de pertes électrques supplémentares. De cette manère, le courant se propageant le long du conducteur central est atténué et modfera la dstrbuton des sources de chaleur. Dans chacun de ces tros cas, les éléments de longueur x et de temps examnés de manère à obtenr une résoluton convenable. t seront IV.3.. Réponse mpulsonnelle Nous présentons dans la Fg.IV.34, la foncton mpulson w ( t) d ampltude V, de durée T ech smulé sous Matlab. w ( t ) V T T ω ech Fg.IV.34 : Impulson source sous Matlab t w ( t) est générée dans la sous-foncton nommée sourcetfd en annexe IV. Elle prend la descrpton analytque détallée dans l expresson (IV.63) : t < w (, t) < t < T ech w (, t) V T ech < t < w (, t) (IV.63) Ce sgnal électrque temporel dot être préalablement transporté dans le domane spectral pour être njecté dans la foncton de transfert caractérsée précédemment. La sousfoncton sourcetdf fournra en sorte le spectre de l échelon de la Fg.IV.34. [ w t) ] W ( ) ( f TF (IV.64)

211 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes Comme nous l avons analysé dans le paragraphe IV...4. dédé au paramétrage du tratement numérque au moyen de la TFD, nous chosssons la pérode d échantllonnage T e, la fenêtre temporelle T ω du sgnal pus l ncrément x correspondant à la longueur d un élément du câble coaxal. Le crtère de chox de T e sera lé à la constante de temps du crcut équvalent thermque de manère à résoudre convenablement les phénomènes transtores thermques : τ T e (IV.65) Le crtère de chox concernant T ω, la fenêtre temporelle d étude, devra correspondre à une valeur supéreure à la constante de temps du crcut thermque : T τ (IV.66) ω. Nous chosssons la durée T ech comme une fracton det ω. T ech 4 (IV.67) T ω La réponse que nous souhatons obtenr est le comportement de la température à un pont x du câble en foncton du temps. Dans le cas où nous désrons connaître cette température aux ponts d abscsse x L 4, x L, x 3. L 4 ou x L, l ncrément spatal x sera smplement chos de manère à connaître ces quatre températures sur chacune des quatre cellules R C : th th L avec n 4 cellules (IV.68) x n x x Toutes les valeurs numérques des paramètres électrques et thermques sont dentques aux études prélmnares réalsées ndépendamment sur les deux systèmes, ms à part la fém source de la lgne électrque que nous avons chose suffsamment grande pour produre une dsspaton thermque suffsante. V 5V (IV.69) Dans la sous-foncton que nous appelons lgneel dans l annexe IV, les paramètres prmares électrques R, L, C et G de la lgne sont calculés analytquement par l équaton (IV.39). Les paramètres thermques sont donnés par les expressons (IV.85), (IV.9) et (IV.94). Dans la foncton sourcetfd donnée en annexe IV, la TFD applquée à l mpulson w ( t), prend la forme d un snus cardnal représenté par la foncton W ( x, f ) sur la courbe bleue de la Fg.IV.35. Ce derner sgnal est alors njecté en entrée de la sous-foncton lgneel. Nous retrouvons la tenson aux bornes de l admttance électrque de la lgne à l abscsse xl sur la courbe rose nommée W ( x L, ). f

212 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes W en volt W ( x, f ) R W ( x L, f ) e R L W ( x, ) W ( x L, ) f f f f(hz) Fg.IV.35 : Spectre de l échelon source Les pertes électrques étant très fables, nous retrouvons naturellement une atténuaton d un facteur d ampltude de deux entre le spectre de la fém électrque source njectée à l abscsse x et le spectre de la tenson smulée à l abscsse xl du câble. Les pcs d ampltudes observés apparassent aux fréquences lées à la durée de l mpulson telles que : f res n. T exemple : pour n : 7 f Hz res 3. (IV.7) 6.(3,35. ) ech La pussance électrque P e (f) dsspée par un élément de lgne, est exprmée en foncton de la conductance G et de la tenson V(f) la traversant : P e ( f ) V ( f ). G (IV.7) De cette manère, nous obtenons en sorte de la premère sous-foncton lgne-électrque, les n x spectres de la pussance électrque P e ( n x. x, f ) dstrbuée sur le câble. Ces n x sources de pussances électrques sont dentfées aux n x sources de pussances thermques Pth ( nx x, f ). Pth ( nx x, f ) P e ( n x. x, f ) (IV.7) Elles sont alors transformées grâce à la transformaton Norton-Thévenn par n x fém Eth ( nx x, f ) équvalentes dsposées en séres par rapport aux capactés thermques C th dstrbuées tout le long de la lgne thermque comme llustré Fg.IV.33. Reste alors à donner en entrée de la foncton calculant la réponse de la lgne thermque nommée en annexe IV lgne-thermque, les fém équvalentes Eth ( nx x, f ) qu occuperont les termes du tenseur des efforts sources. En sorte de cette foncton, nous obtenons les deux tenseurs des malles des efforts et des opérateurs dans le domane spectral. En nversant le tenseur opérateur que l on multple au tenseur des efforts, nous trouvons le tenseur des flux de malles sur les n x cellules comme présenté dans l équaton (IV.6). La TFD nverse permet fnalement de retrouver le sgnal dans le domane temporel. Les températures aux quatre ponts du câble coaxal sont données dans la Fg.IV.36 :

213 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes T ( C) T ( x L, t ) T ( x L 4, t ) T ( x 3. L 4, t ) T ( x L, t ) T ω T ech Fg.IV.36 : Réponse temporelle en température t (s) Comme nous pouvons le constater, la température maxmale attente est localsée au mleu du câble en x llustrée par la courbe rouge nommée T ( x L, t). Les deux L varatons de températures aux ponts x L 4 et x 3. L 4 tracées en bleu et en vert, sont dentques, ce qu est tout à fat naturel de par la symétre des condtons mposées par la température ambante aux deux extrémtés du câble. En effet, pour une même fréquence, les sources dstrbuées le long de la lgne thermque ont des valeurs dentques et les deux courtscrcuts annulant la varaton de température aux deux extrémtés du câble mposent une symétre parfate au système. La varaton de température au pont x L est llustrée par la courbe rose nommée T ( x L, t ). Le court-crcut mpose naturellement une varaton de température T nulle. La pérode d échantllonnage T e et la durée du sgnal T ω choses permettent effectvement une bonne représentaton des phénomènes thermques transtores. Les artefacts de calcul observés sur la courbe rose d ampltude constante C, résultent du replement des spectres provoqués par les fronts montant et descendant supposés nstantanés sur l échelon de la Fg.IV.34. Pour conclure, les ampltudes des varatons de température montrent qu en nflgeant à ce câble des sgnaux électrques de pussances avosnant les 5 KW pendant une durée de 8 heures, le système peut attendre des températures de l ordre de C. Pour un temps t fxé en régme permanent ou en régme transtore, l étude de l évoluton de la température en foncton de x, exge de représenter un nombre de ponts spatal plus mportant. Nous chosrons néanmons un nombre rasonnable de cellules de manère à ne pas dépasser des temps de calcul de l ordre de quelques mnutes. n cellules (IV.73) x Ensute, l faut défnr à quel nstant t on représente l évoluton spatale de la température. En chosssant : n n 4 (IV.74) le temps t prendra comme valeur t t 3

214 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes t n. t t nt 4. t Tω 4 Tech (IV.75) De cette manère, comme le montre l évoluton temporelle de la température de Fg.IV.36, nous aurons attent l ampltude thermque du régme permanent à n mporte quel pont du câble. Après à 3 mnutes de smulaton sous ces condtons, le logcel Matlab renvoe la réponse temporelle de la température en foncton de la dmenson spatale x llustrée dans la Fg.IV.37 : T ( x L, t ) T ( x 3. L 4, t ) T ( x L 4, t ) L / 3. 6cm Fg.IV.37 : Température le long du câble coaxal L 44cm Nous retrouvons les ampltudes des températures en régme établ noté sur la Fg.IV.36 : -T x L / 4) 83 C ( -T x L / ) 4 C ( -T ( x 3. L / 4) 83 C La courbe tend vers la température ambante de C aux deux extrémtés du tube. En s appuyant sur le crcut équvalent de la Fg.IV.33, nous constatons que l ampltude à l extrémté gauche de 46 C correspond à la température au pont xl /n x sot xl /. Dans le paragraphe suvant, le système multphysque est mantenant soums à un échelon électrque d ampltude V. IV.3.. Réponse à un échelon électrque Au code de calcul de la parte précédente, nous modfons la sous-foncton sourcetfd pour obtenr la réponse d un échelon électrque. Comme l est présenté dans le paragraphe IV...4. sur le paramétrage du tratement numérque au moyen de la TFD, nous utlserons la rampe de Ncholson pour trater numérquement le sgnal source. La transformée de Fourer d un sgnal non lmté dans le temps est en effet problématque pusque elle fat ntervenr une sommaton jusqu à l nfn. 4

215 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes Nous fxons donc une lmte temporelle à l échelon noté w ( t), ndquée par le temps T ω que nous chosrons judceusement. La foncton w ( ) prend la descrpton analytque présentée c-dessous : t t < w (, t) > w (, t V t ) (IV.76) La fenêtre temporelle T ω provoque une troncature génératrce d artefacts qu affectent profondément le spectre. Pour compenser ce phénomène, on ajoute donc à la foncton échelon, la foncton rampe de Ncholson N ω (t) llustrée par la Fg.IV.38, dont la descrpton analytque est la suvante : t < ( t) N ω N t ( t) V t T ω ω Tω t > T ω Nω ( t) V N ω (t ) (IV.77) T ω t V Fg.IV.38 : Rampe de Ncholson La foncton réellement tratée par la TFD sera donc w N (, t) exprmée par la somme algébrque de (IV.7) et (IV.9), sot : w N ( ω t, t) w (, t) + N ( ) (IV.78) Sous ces condtons, l peut être montré que le résultat du calcul du spectre n est nullement altéré par la troncature pusque la foncton (IV.78) demeure nulle aux temps supéreurs àt ω. De la même manère que précédemment, les phénomènes transtores thermques détermneront le chox des paramètres T ω et T e. Le chox du nombre n x de cellules est nchangé. et et τ T e (IV.79) T τ (IV.8) ω. 5

216 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes x nx.l avec n x 4 (IV.8) La TFD de la source w N (, ) permet alors de présenter à l extrémté du système t multphysque, la source sous sa forme spectrale notée W N (, f ). C est le rôle de la sousfoncton sourcetfd détallée dans l annexe IV. Les Fg.IV.39 et Fg.IV.4 présentent respectvement l échelon w (, t) pus le spectre W N, f ) TF[ w N (, )] smulé par le logcel Matlab. ( t w (, t ) Fg.IV.39 : Echelon source T ω t W N ( x, f ) W (, N x L f ) f Fg.IV.4 : TFD de l échelon addtonné à la rampe de Ncholson Pour chaque fréquence, la sous-foncton appelée lgne-électrque comportant en entrée le spectre source électrque W N (, f ), renvoe en sorte les tenseurs mpédances et fém permettant d obtenr tous les courants de malle du crcut équvalent de la lgne électrque. Les courants de branche traversant les conductances électrques G sont solés dans un vecteur à n x dmensons, afn de calculer par l expresson (IV.7) la pussance thermque délvrée par la pussance ndute par le champ électrque local dans le matérau chauffé. Les pussances thermque P th sont alors consdérées comme les paramètres d entrées de la trosème sous-foncton que nous appelons lgne-thermque, dont le détal du code se trouve en annexe IV. En sorte de cette dernère sous-foncton, nous retrouvons alors les tenseurs opérateurs et efforts permettant d accéder, aux flux de malles correspondant aux pussances thermques dffusées dans le matérau. 6

217 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes Une TFD nverse permet de retrouver ce derner sgnal dans le domne temporel. Nous n oublerons pas d y soustrare la rampe de Ncholson notée n c en annexe IV pour retrouver le sgnal temporel réel. Les varatons de températures aux n x ponts du câble coaxal sont alors affchées sur la Fg.IV.4 : T ( C) T ( x L, t ) T ( x L 4, t ) T ( x 3. L 4, t ) T ( x L, t ) T ω t (s) (s) Fg.IV.4 : Réponse temporelle de la température à l échelon électrque source Les ampltudes attentes en régme permanent par la température aux quatre ponts dstncts du câble, sont dentques aux ampltudes obtenues par la source d mpulson à ces mêmes ponts. La rampe de Ncholson permet ben de supprmer les artefacts de calcul. La réponse de la température en foncton de la varable spatale x, à un nstant t fxé de manère à ce que le système sot consdéré en régme établ, prend la forme strctement dentque du graphque llustré Fg.IV.37. Le paragraphe suvant présente une trosème confguraton d nteracton électrothermque qu oblgera une étude spécfque de l ncrément spatal x. IV.3..3 Réponse de la trosème source La trosème source électrque est une mpulson dentque à celle présentée dans la Fg.IV.34 du paragraphe précédent. w t) w ( ) (IV.8) 3( t Nous supposons dans ce derner cas que la propagaton des ondes TEM sur le système est fortement atténuée. L allure de la tenson en régme permanent, le long du conducteur central est notée en nore Ψ (x) sur la Fg.IV.4 : 7

218 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes V Ψ eq (x) Ψ ( x) L /8 L /4 L / L x Fg.IV.4 : Evoluton de la tenson sur le câble coaxal Dans ce cas, la tenson évolue selon la dmenson spatale x. Il faudra, pour prendre en compte cette atténuaton électrque, augmenter fortement le nombre n x de cellules. Pour smplfer les calculs, nous supposons que la propagaton du sgnal électrque sur le câble se lmte à la forme llustrée par la courbe rose pontllée notée Ψ (x) sur la Fg.IV.4. Ans, en fxant un nombre de cellules n x 8, seule la premère cellule de la lgne thermque est exctée comme le montre le crcut multphysque équvalent de la Fg.IV.43 dans lequel sont unquement représentées deux cellules au leu de hut pour alléger le dessn : eq e + I Z e Z e Y e Y e R I I3 I 3 R L V(x) R th + R th R ray E th P 4 P5 P 5 P 6 C th C th P 6 R ray T amb Fg.IV.43 : Crcut électrothermque équvalent T amb Le lecteur s apercevra alors que le système ans obtenu est précsément l exemple chos dans le paragraphe IV... En effet, le système revent à smuler l évoluton thermque d un tube chauffé à l une de ses extrémtés et dont la chaleur est unquement dsspée à l extrémté opposée du câble. Les résstances équvalentes de rayonnement thermque aux extrémtés du câble nommées R ray et R ray sur la Fg.IV.43 modélsent ces pertes par rayonnement : R et R (IV.83) Ray Ray La charge nfne R ray mposera une pussance thermque nulle à l extrémté gauche du câble alors que R ray mposera une varaton de température nulle à l extrémté drote. De cette manère, l énerge thermque est parfatement transmse au mleu extéreur et unquement à l extrémté drote du câble coaxal. Nous présentons dans la courbe suvante l évoluton temporelle de la température pour quatre postons équdstantes le long du câble excté par l mpulson électrque w ( ). 3 t 8

219 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes T ( x L 4, t ) T ( x L, t ) T ( x 3. L 4, t ) T ( x L, t ) T ω 5 T ω 4 T ω Fg.IV.44 : Réponse temporelle de la température t Comme nous le constatons sur la Fg.IV.44, le régme permanent est attent à un tempst ω / 4. Les températures sont alors répartes de manère unforme comme le montre la courbe en pontllé bleu de la Fg.IV.45 qu llustre la dstrbuton rectlgne de la température selon la dmenson longtudnale x. La température au temps T ω / 5 correspond au régme transtore thermque représenté selon l évoluton spatale par la courbe volette en trat plen. n T ( x, t t t ) 4 n T ( x, t t t ) 5 L / 8 L / 4 L / cm L 44cm Fg.IV.45 : Réponse spatale de la température Nous retrouvons sur les deux courbes Fg.IV.44 et Fg.IV.45 pour le cas du régme établ de la courbe pontllée, les températures suvantes : - T8.3 C pour xl /4cm, - T6.6 C pour xl /cm, - T4. C pour x3.l /433cm. Les températures obtenues pour le régme transtore, sont naturellement plus fables : C pour xl /4cm, C pour xl /cm, -.7 C pour x3.l /433cm. 9

220 Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes Une fos les modèles électrothermques ben défns, l devent smple d analyser le comportement d une grandeur électrque, électromagnétque ou thermque tout en modfant n mporte quel paramètre ms en jeu dans les dfférents couplages. La MKCE, dont on veut montrer dans cette thèse l effcacté face à l étude de problèmes de CEM sur des systèmes complexes, semble ben adaptée non seulement pour la smulaton des phénomènes multéchelles et multparamètres, mas également pour des problèmes multphysques.

221 Concluson générale

222

223 Concluson générale Tant dans les domanes cvls que mltares, la cohabtaton des équpements électronques au sen d un système complexe, requert le développement de nouveaux outls logcels d analyse du comportement des ondes électromagnétques au sen d un apparel. Les paramètres responsables de ces perturbatons entre équpements électronques sont de plus en plus nombreux, ntervennent entre des matérels de dfférentes dmensons devant la longueur d onde, et provennent de phénomènes physques de nature dfférentes. La Méthode de Kron adaptée à la Compatblté Electromagnétque (MKCE) que nous proposons dans cette thèse, n a pas l ambton de produre un logcel unversel mas plus modestement, d unr plus faclement les smulatons des phénomènes produts par dfférents outls. En effet, l utlsaton d outls logcels dans ce domane fera toujours appel aux compétences de l ngéneur. Seule l expérence permet de chosr au meux le smulateur numérque adapté aux besons, de modélser correctement le problème, d nterpréter les résultats numérques et fnalement trer les conclusons sur le domane de valdté de toutes tâches prédctves. L objectf de ces tros années de recherche a été de développer la MKCE pour essayer d accompagner l ngéneur CEM dans cette démarche dffcle. L usage de la théore tensorelle des crcuts semblat tout à fat ben appropré à la résoluton de ce type de problème. En effet, les crcuts électrques utlsent un langage pussant tant dans leur représentaton schématque que dans leur formulaton algébrque. Cette faclté apparente n efface toutefos pas une dffculté majeure rencontrée lors de la converson d un phénomène quel qu l sot en un crcut équvalent. La progresson de notre traval de thèse a donc conssté, par ordre crossant de dffcultés, d établr ce len fondamental. Dans le premer chaptre, nous avons analysé pluseurs méthodes numérques susceptbles de répondre aux exgences de l analyse CEM des systèmes complexes. Nous retenons prncpalement que les codes 3D basés sur la résoluton numérque des équatons de Maxwell, donnent d excellents résultats pour l analyse du comportement des champs électromagnétques dans des cavtés de géométre complexe, mas utlsent des ressources de calcul très mportantes. La descrpton topologque des couplages EM par la résoluton de l équaton BLT offre de larges possbltés pour les couplages entre réseaux de câbles, néanmons, elle ne permet pas d ntégrer les composants non-lnéares. L ntérêt majeur de la MKCE est d exploter conjontement les performances de ces méthodes numérques pour les assembler en vue de résoudre des problèmes complexes. Le deuxème chaptre présente l outl mathématque tensorel abordé du pont de vue de l électrcen. Les efforts, les flux et les opérateurs décrvent le modèle électrque équvalent. Ces termes prennent place dans des matrces de dmensons varant en foncton du nombre de branches du crcut. Les courants de branche forment alors la référence de l espace tensorel des courants de branche. De la même manère, les espaces tensorels des malles, des pares de nœuds, des moments et des réseaux, permettent de caractérser le même crcut électrque, mas sous une descrpton algébrque dfférente. La transformaton entre tous ces espaces est assurée grâce aux matrces de connexon C. Une fos les crcuts défns dans l espace tensorel appropré, les couplages sont ntroduts à l ade de matrces ou tenseurs spécfques. Ce peut-être la matrce d nterconnexon F s l s agt d un couplage par conducton, mas ce peut être également un tenseur d mpédances de couplages mutuels s l s agt d un couplage par rayonnement électromagnétque. Une fos ces tenseurs détermnés dans l espace tensorel adapté aux couplages réels, l sufft de résoudre une smple équaton tensorelle pour obtenr le tenseur nconnu. 3

224 Concluson générale En respectant la logque de l analyse topologque d un système électrque, l outl tensorel a été exploté dans le chaptre III, afn de montrer l enchanement de problèmes de dffcultés crossantes. Les perturbatons électromagnétques sont prncpalement condutes par les réseaux de câbles, une grande parte de ce chaptre en est donc consacrée. L applcaton de l outl tensorel assocé à la théore des lgnes, permet de modélser une lgne de transmsson pus un couplage par daphone. En reprenant ces deux modèles connus, la smulaton d un réseau de câble est asée. Les systèmes ont été testés par la MKCE pour des confguratons partculères telles que les couplages entre câbles en mode commun et en mode dfférentel. La comparason avec les résultats des mesures sur bancs d essas, témogne de la robustesse de la méthode. Pour dsposer des modèles de couplages entre lgnes de transmsson dsposées dans des mleux comprenant des ganes délectrques, nous avons adapté l analyse modale à l outl tensorel. Le tratement des blndages électromagnétques des câbles a nécessté la représentaton à référence unque de masse suggérée par B. Démouln et A.P.J. Van Deursen [III.9]. Les résultats montrent les dfférents phénomènes de dffuson, de dffracton et d nducton générés par les mperfectons des blndages électromagnétques. En concluson de ce chaptre, nous proposons la modélsaton par la MKCE d un couplage entre deux antennes électrques pus entre deux antennes magnétques. Le derner exemple d nteractons fat partcper un couplage en champ lontan entre une antenne source et une lgne de transmsson afn d mager les possbltés multples de ces champs d applcaton. Les fonctons construtes dans ce chaptre III, et développées en annexe III, consttuent une bblothèque des couplages électromagnétques les plus typques utles à la résoluton des systèmes de CEM. Le chaptre IV présente les applcatons de la MKCE aux systèmes complexes. Le premer exemple est consttué d un couplage entre des antennes monopoles va une cavté électromagnétque. L analyse topologque dssoce l analyse de ce système en cnq sousvolumes. Deux d entre eux désgnent les crcuts électrques équvalents des monopoles de pettes dmensons alors que deux autres sont surdmensonnés devant la longueur d onde. Le derner sous-volume correspondant à la cavté résonante est représenté par le modèle électrque orgnal magné par M. Cauterman [IV.]. Il s agt de représenter chaque mode de résonance excté par les monopoles présents dans la cavté, par des crcuts électrques résonants de type R, L, C. Ces paramètres électrques sont obtenus par dentfcaton des expressons analytques du comportement du champ électrque dans une cavté, à la théore des crcuts résonants. La comparason entre la MKCE et des mesures effectuées sur une bote métallque pour dfférentes confguratons, montre l effcacté d adaptaton de la méthode aux problèmes de CEM multparamètres et multéchelles. En plus de ces deux crtères d analyse, l est ntéressant d nclure dans un même logcel des phénomènes de nature multphysque. Les deux derners paragraphes de cette thèse présentent donc un système composé d une éprouvette assmlable, par expérence de pensée, à un câble coaxal dont le délectrque possède les caractérstques de l eau. Dans ce cas de fgure, le système est dssocé en l étude ndépendante de la propagaton des sgnaux électrques et de la dffuson des sgnaux thermques. Une fos les deux crcuts équvalents établs, les couplages électrothermques sont nsérés entre les deux sous-systèmes dans l espace tensorel adapté. Les résultats de smulaton montrent alors les varatons spatotemporelles de températures engendrées par la crculaton d un courant électrque dans l éprouvette. De par la nature transtore des phénomènes thermques, nous avons montré que la MKCE s adapte parfatement aux smulatons dans le domane temporel, offrant ans de nouveaux horzons en terme d analyse CEM des systèmes complexes. 4

225 Concluson générale Les perspectves d évoluton de la MKCE sont certanement prometteuses. S son apparton est déjà effectve dans l ndustre des transports, d autres secteurs d actvtés pourraent avantageusement trer part de ce formalsme. Cette approche ne pourra toutefos attendre son nveau de maturté qu auprès d une analyse fondamentale lant le concept de tenseur au géne logcel. De l expérence acquse durant la préparaton de cette thèse, nous avons le sentment que la formulaton tensorelle abordée par les mathématcens donnerat à ce sujet un éclarage orgnal ouvrant la vox à la réalsaton de logcels CEM de nouvelle génératon. 5

226 6

227 Bblographe 7

228 8

229 Bblographe Chaptre I [I.] [I.] [I.3] [I.4] [I.5] [I.6] [I.7] [I.8] [I.9] Perre Degauque & Joël Hameln, «Compatblté Electromagnétque bruts et perturbatons radoélectrques», DUNOD, 99 Perre Degauque & Ahmed Zeddam, «Compatblté Electromagnétque, Tome et, Des concepts de base aux applcatons», Hermés, Lavoser, 7. Frédérc Hoëppe, «Analyse du Comportement Electromagnétque des Chambres Réverbérantes à Brassage de Modes par l Utlsaton de Smulatons Numérque», Thèse de Doctorat, Unversté des Scences et Technques de Llle, décembre. Chrstos Chrstopoulos, The Transmsson-Lne Modelng Method TLM, IEEE/OUP Seres on Electromagnetc Wave Theory, 995 Sébasten Bazol, «Caractérsaton et Smulaton de la Susceptblté des Crcuts Intégrés face aux Rsques d'inductons engendrées par des Mcro-ondes de Forte Pussance.», Thèse de Doctorat, Unversté des Scences et Technques de Llle, octobre 5. Clayton R. Paul Analyss of Multconductor Transmsson Lnes, Wley, 994. J.P. Parmanter, «Approche topologque pour l étude des couplages électromagnétques», Thèse de Doctorat, Unversté des Scences et Technologes de Llle, décembre 99. Carl E. Baum, Notes On EMP And Related Subjects, Interacton Notes (EMP 3), Dsc of - Notes , June. Marc Olvas Carron, «Communcatons sur le réseau d énerge électrque d un véhcule : modélsaton et analyse du canal de propagaton», Thèse de Doctorat, Unversté des Scences et Technques de Llle, jullet 6. [I.] Gabrel Kron, Tensor Analyss of Networks, New York : Wley, 939. [I.] O. Maurce, «La compatblté électromagnétque des systèmes complexes», Lavoser, 7. 9

230 Bblographe [I.] Bernhard Keser, D.Sc.EE Prncples of Electromagnetc Compatblty, Artech ISBN: , 983. [I.3] Alan Charoy Compatblté électromagnétque, éme édton Dunod, 4. Chaptre II [II.] Gabrel Kron, Four Abstract Reference Frames of an Electrc Network, IEEE Transactons on Power apparatus and Systems. VOL. PAS-87, No.3, March, 968. [II.] Gabrel Kron, A Method of Solvng Very Large Physcal Systems n Easy Stages, Proceedngs of the I-R-E, pp.68- Aprl 954. [II.3] Gabrel Kron, A qet of prncples to nterconnect the solutons of physcal systems, Jour. Appl. Phys., vol. 4, pp ; August, 953. [II.4] Gabrel Kron, Equvalent Crcut of the Feld Equatons of Maxwell-I, Proceedngs of the I-R-E, pp , may 944. [II.5] Gabrel Kron, Invsble Dual (n-)-networks Induced by Electrc l-networks, IEEE Transactons on Crcut Theory, pp , December 965. [II.6] M. Dens-Papn & A. Kaufmann, «Cours de calcul Tensorel», Albn Mchel, 966. [II.7] André Angot, «Compléments de Mathématques», 6 eme édton Masson&CIE, 97. [II.8] J. Bass «Cours de Mathématques», Tome I, 4éme édton Masson&Ce, 97. [II.9] Constantne A. Balans Antenna Theory analyss and desgn, Second edton Wley,

231 Bblographe [II.] Yannck Poré, «Étude de la C.E.M. des Almentatons à Découpage pour Systèmes Embarqués - Concepton et Optmsaton des Structures de Fltres d Entrée», Thèse de Doctorat, INSA de Rennes, décembre 7. Chaptre III [III.] Bernard Démouln «Intaton à la Compatblté Electromagnétque», Volume I &II, Edton septembre 4. [III.] S.A. Schelkunoff «La théore électromagnétque des lgnes de transmsson coaxales et des écrans cylndrques», Bell Syst. Tech, New-York, Octobre 954. [III.3] S.A Schelkunoff «The electromagnetc theory of coaxal transmsson lnes and cylndrcal shelds» Oct 934, Bell Syst. Tech vol.3.pp [III.4] E.F. Vance «Sheldng Effectveness of Braded Wre Shelds», IEEE Transactons on EMC, May 975. [III.5] E.F. Vance «Couplng to Shelded cables.» FL Kreger 987 [III.6] L. Halme «Lne transmsson and Electromagnetc Screenng.» Helsnk, Fnland : 98 [III.7] M. Tyn «The transfer mpedance of coaxal cables wth braded outer conductor» EMC Symp pp.4-49 [III.8] Thomas Kley «Optmzed Sngle-Braded Cable Shelds» IEEE, VOL. 35.No FEBRUARY 993 [III.9] B. Démouln, A.P.J. Van Deursen «Deux approches pour établr le len entre la notaton usuelle d Impédance de Transfert et le Formalsme des Lgnes Couplées», Proc. e Colloque Internatonal & Exposton sur la CEM (CEM). (pp. 98-3). Clermont-Ferrand. 3

232 Bblographe [III.] Fred Gardol, Jacques Nerynck Traté d Electrcté, Electromagnétsme, Presses polytechnques et unverstares romandes, volume III, 4. [III.] André Vander Vorst Transmsson, Propagaton et rayonnement, Thrd edton Mc Graw Hll,. [III.] Fred E. Gardol Lossy Transmsson Lnes, Artech House Boston.London ISBN: X, 987. [III.3] Gullaume Andreu, «Elaboraton et Applcaton d une Méthode de Fasceau Equvalent pour l Etude des Couplages Electromagnétques sur Réseaux de Câblages Automobles», Thèse de Doctorat, Unversté des Scences et Technques de Llle, décembre 6. [III.4]Laurent Paletta «Démarche Topologque pour l Etude des Couplages EM sur des Systèmes de Câblages Industrels de Grande Dmenson», Thèse de Doctorat, Unversté Pars XI ORSAY, septembre 998. [III.5] Cécle Poudroux «Etude de l Incdence des Paramètres Prmares des Lgnes Couplées sur la Précson de Prédcton de l Ampltude des Parastes Induts sur des Torons Multflares.», Thèse de Doctorat, Unversté des Scences et Technques de Llle, septembre 99. Chaptre IV [IV.] M. Cauterman, «Les chambres réverbérantes, une affare de crcut», Document nterne, Jun 5. [IV.] M. Cauterman, «Du fonctonnement des chambres réverbérantes», Sémnare de Recherche DRE et TELICE, Llle, jullet 5. [IV.3] S. Bazzol, S. Baranowsk, M.Cauterman, B.Démouln, «Smulaton d'une cavté D par l'assemblage de résonateurs RLC», 44-45, 3e colloque Internatonal et Exposton sur la Compatblté Electromagnétque (CEM 6), St Malo, avrl 6. [IV.4] Fred e. Gardol, «Introducton to mcrowaves», Artech house,984. 3

233 Bblographe [IV.5] Frederck M.Tesche, Mchel V.lanoz, Tobjorn Karlsson EMC Analyss Methods and Computatonal models, Edtons John Wley & sons, nc, p.45, 997. [IV.6] R.E. Colln Feld Theory of Guded Waves, IEEE/OUP Seres on Electromagnetc Wave Theory, 99. [IV.7] Sdney Frankel Multconductor Transmsson Lne Analyss Artech ISBN: , 977. [IV.8] P.Grvet, «Physque des lgnes de haute fréquence et d ultra-haute fréquence», Tome I, édtons Masson & Ce, 969. [IV.9] Phlppe Roux Cours de thermque, Source nternet : 6 [IV.] U.Hlger, L.Le, S. Fre, M.Rudolph Modelng of Electrcal Ignters of Vehcle Occupant Restrant Systems for EMC Smmulatons, Proc, th Int. Zurch Symposum on EMC, pp 69-7, Zurch 9. [IV.] Mounr Rf, «Modélsaton du Couplage Electromagnétque produt par des Champs Transtores sur des Structures Flares et des Pstes de Crcuts Imprmés Connectées à des Composants Non-Lnéares», Thèse de Doctorat, Unversté Mohammed V de Rabat, octobre 996. [IV.] John D. Kraus & Ronald J.Marhefka, Antennas for all Applcatons, Thrd edton Mc Graw Hll,. [IV.3] Warren L.Studzman & Gary A. Thele Antenna theory and desgn, Second edton Wley, 998. [IV.4] D.A.Hll "Electronc strrng for reverberaton chambers", IEEE Trans on EMC, Nov. 94. [IV.5] Hubert H. Grault Électrochme physque et analytque, Édton:, 7. 33

234 Bblographe Invtées : Communcatons de l auteur S. LEMAN, M. EGOT, L. KONE, B. DEMOULIN, " Les CRBM : Prncpe physque et améloratons récentes ", Congrès Médterranéen des Télécommuncatons, Tanger, Maroc, au 4 mars 8. Colloques nternatonaux : LEMAN S., KONE L., DENIAU V., BARANOWSKI S., DEMOULIN B. Improvement of the reverberaton chamber performances below the startng frequency", Progress In Electromagnetcs Research Symposum, PIERS 7, Prague, Czech Republc, august 7-3, 7. LEMAN S., DEMOULIN B., MAURICE O., "Smple example for testng the tensoral analyss of electrcal networks appled to EMC", Symposum on Embedded EMC, emc, Rouen, France, october 8-9, paper 4C, 7. B. DEMOULIN, C. ALBU, S. LEMAN, L. KONE, S. BARANOWSKI, «Utlsaton Conjonte du Brassage Mécanque et du Brassage Fréquentel de Modes pour Localser la «Startng Frequency» d une Chambre Réverbérante», TELECOM 9 & 6ème JFMMA, Agadr, MAROC, March -3, 9. Colloques natonaux : S. LEMAN, L. KONE, V. DENIAU, S. BARANOWSKI, et B. DEMOULIN, «Améloraton des performances d une chambre réverbérante à brassage de modes en dessous de la fréquence mnmale.» GDR Ondes, Bordeaux au 3 novembre 7. S.LEMAN, B.DEMOULIN, O.MAURICE, M.CAUTERMAN, P.HOFFMANN, " Smulaton d une cavté EM par réducton de crcuts électrques couplés formant une super matrce mpédance." (CEM-8), Pars, France, -3 Ma 8. Prx du melleur paper scentfque. Physcal Journal : S.LEMAN, B.DEMOULIN, O.MAURICE, M.CAUTERMAN, P.HOFFMANN, Use of the crcut approach to solve large EMC problems Revue : Comptes Rendus de l Académe des Scences Physque (9) pp.7 8 (do:.6/j.crhy.9..6). Prx : Prx du «melleur artcle doctorant» décerné le 8 ma 8 au Congrés CEM8 à Pars pour les travaux de recherche sur la «Smulaton d une cavté EM par réducton de crcuts électrques couplés formant une super matrce mpédance.» 34

235 Annexe I : Eléments de théore de calcul tensorel 35

236 36

237 Annexe I : Eléments de théore de calcul tensorel Le calcul tensorel sat meux la physque que le physcen lu-même. (P. LANGEVIN). Le calcul tensorel est vrament le cadre psychologque de la pensée relatvste. C est un nstrument mathématque qu crée la scence physque contemporane comme le mcroscope crée la mcrobologe. Pas de connassances nouvelles sans la maîtrse de cet nstrument mathématque nouveau. (G. BACHELARD) L nvarance des los de la physque par changement de référentel est apparue comme un prncpe très général, qu s applque à tous les domanes de la physque, de la mécanque à l électromagnétsme. De part la multtude de méthodes de modélsaton de système physque représentable par des réseaux électrques, le calcul tensorel permet une systématsaton de résolutons des équatons d un système quel que sot leurs complextés, mas auss permet une analyse topologque de sous systèmes pour une analyse méthodque. Les systèmes sont décomposés et analysés en éléments smples pus assemblés par dverses nteractons. Cette annexe est consacrée à la présentaton de notons élémentares sur l algèbre tensorelle qu sera l outl mathématque prncpal pour résoudre des problèmes de Compatblté Electromagnétque de systèmes complexes. Avant de se lancer dans les défntons et proprétés du calcul tensorel, nous allons tout de sute ntrodure les notatons ndcelles, couramment utlsées dans ce domane. Nous admettrons jusqu à présent que cette représentaton est la meux adaptée. A.I.) Ecrture ndcelle Nous défnssons dans cette parte la notaton ndcelle permettant de smplfer l écrture des relatons tensorelles. Au leu d employer des varables ou des foncton, des lettres x,y,z,t, nous utlsons une même lettre affectée d un ndce numérque placée en haut ou en bas sot x, x, x 3, x 4 ou x, x, x 3, x 4. Cette écrture permettra de condenser consdérablement ce genre d expressons : a x a x a x a x a x u u u 3 u 4 4 dx + dx + dx + dx 3 4 x x x x α n β n α β A αβ x y α x y β j A x y x y j + A x y u dx x x y j +... (A.I.) La conventon d Ensten. Nous rencontrerons très souvent en calcul tensorel des expressons mathématques, où un même ndce occupe à la fos une poston supéreure et une poston nféreure. C est dans ce contexte qu apparaît l ntérêt de la conventon d Ensten. 37

238 Annexe I : Eléments de théore de calcul tensorel Cette notaton consste à supprmer le sgne de sommaton. L ndce sur lequel se fat la sommaton porte le nom d ndce muet. Nous donnons quelques exemples de cette notaton : Z n k a k b3 devent k a b µυ Lµ Z ab Lυ devent ab a b k k 3 Z µυ L a µ Z L b ab υ (A.I.) Cette conventon s applque de la manère suvante lorsqu l s agt de «dérvées partelles» : n n S x S x S x + S x S x k k + k +... n k x y x y x y x y devent k x y Cette condensaton d écrture permet d alléger consdérablement les formules. (A.I.3) Nous ntrodusons mantenant le symbole de Kronecker : δ pour j j (A.I.4) δ j pour j Les ndces peuvent s écrre en haut, en bas ou d une façon mxte, suvant les besons sans que la sgnfcaton sot modfée : δ δ j δ j j (A.I.5) A.I.) Défntons - Espace vectorel affne - Espace métrque Nous défnssons rapdement le mot Espace : On appelle «espace à n dmensons» l ensemble des ponts tels que V, défn par ses r coordonnées V, V,, V r. L dée d espace est lée à celle du ou des systèmes de référence, par rapport auxquels les n coordonnées sont défnes. Les généralsatons mathématques ont perms de passer du domane usuel à 3 dmensons à un domane «abstrat» à plus de 3 dmensons. Par exemple, en électrcté, les réseaux dont les courants de malle (par exemple) sont prs comme coordonnées, nécesstent l emplo d un espace abstrat ayant autant de dmensons que le nombre de courants de malle ndépendants. e e,...,, Consdérons un espace à r dmensons. Nous pouvons alors défnr r vecteurs de base e r, défnssant chacun une unté de longueur propre à chacun des axes. Sot le vecteur V quelconque de coordonnées V, V,, V r. Le vecteur V est alors caractérsé par la somme géométrque suvante : V V e + V e V e V r r k k (A.I.6) k Dans le cas où l est mpossble de comparer les longueurs e e,...,, e er, nous drons que l espace à r dmensons consdéré est un espace vectorel affne. Dans le cas contrare, où l on 38

239 Annexe I : Eléments de théore de calcul tensorel peut trouver un étalon de longueur qu sot comparable à toutes les longueurs e,...,, e er, nous drons qu l s agt d un espace métrque. En consdérant l espace affne, les vecteurs de base peuvent être choss arbtrarement, ce qu nous lasse alors la possblté d une étude plus générale. Lors de l ntroducton de noton de dstance, nous nous placerons dans l espace métrque. A ttre d exemple, un espace vectorel affne à 3 dmensons peut être tracé pour représenter les surfaces des dagrammes thermodynamques. Il n y a évdemment aucun étalon de mesure commun entre la presson, le volume et la température absolue, et la dstance entre deux ponts. A.I.3) Changement de systèmes de coordonnées Soent E E,...,, E r e,...,, e er les vecteurs de base d un premer système de référence et les vecteurs de base d un nouveau système. S nous désgnons par α la projecton parallèlement à l'hyperplan défn par les autres axes, k M du vecteur de base E M (nouveau système) sur le vecteur de base e k (ancen système), nous avons les r équatons : E E E M r α e α e α e r M k α e k α e r k k α e M k r α e k r α e r r M r r α e r k k α e... k... k k r k α α e Ou écrt d une manère smplfée par la conventon de Ensten : E M α e (k,m,,., r) k M k k M k e k (A.I.7) α... α M... α r α α α k... k M... k r α α α r... r M... r r (A.I.8) Le tableau des coeffcents est la matrce α de la transformaton lnéare. 39

240 Annexe I : Eléments de théore de calcul tensorel Les équatons nous donnent les nouveaux vecteurs de base E M en foncton des ancens vecteurs de base e k. Inversement, les ancens vecteurs de base peuvent être exprmés en foncton des nouveaux. Cela revent à résoudre le système par rapport à nous donne r équatons de la forme : e,...,, e er. Cette résoluton effectuée e e e M r β E β E β E r M k β E k β E r M k k β E k r β E k r β E r r M r r β E r k k β E Ou écrt d une manère smplfée : k k k r β k k M β E k E k (A.I.9) e k β E (k,m,,., r) M k M La matrce β de cette transformaton lnéare est égale à α. Les relatons entre les composantes α et β s exprment de la manère suvante : α cofacteurβ j j β j det β j detα j cofacteurα j (A.I.) Consdérons la somme du produt de k M α M β j (A.I.) M Cette somme sera égale à l unté s k est égal à j et nulle s k est dfférent de j. Ces changements de coordonnés se rapportant à des systèmes d axes rectlgnes, supposent que α et β soent des constantes. j j Nous supposons mantenant que la transformaton s effectue suvant des axes de références curvlgnes quelconques défns par le système d équatons suvants : x x 3 x x x x 3 3 ( y, y, y ) 3 ( y, y, y ) 3 ( y, y, y ) (A.I.) 4

241 Annexe I : Eléments de théore de calcul tensorel e' e' 3 y x 3 y o y 3 e' e 3 x e o e x Fg.A.I. : Changement de systèmes de cordonnées Le pont O du nouveau repère est fxé en donnant des valeurs partculère à y,y, y 3. Par ce pont passera alors une courbe curvlgne d axe O y tel que y cst, y 3 cst et y sera alors la seule varable. Idem pour O y et O y 3. Un déplacement nfnment pett dy j dsposé tangentellement le long des axes curvlgnes y permet de retrouver les relatons d un repère d axes rectlgnes. Ans, les nouveaux vecteurs de base E des axes rectlgnes peuvent être écrts : ' j e β α j ' '. E j ou E j j. e Et pour les composantes dy j :,j,,3 (A.I.3) dx.dy j α j ou dy.dx j β j,j,,3 (A.I.4) Dans ce cas, les coeffcents α et β ne sont plus des constantes mas des fonctons des coordonnées du pont consdéré. On écrra alors avec les dfférentelles totales, la foncton suvante et sa foncton récproque: x dx. y j dy j ou récproquement,j,,3 y x j j dy. dx (A.I.5) Pou un axe de coordonnées curvlgnes quelconque à tros dmensons, les coeffcents de transformaton seront alors donnés par les relatons suvantes : x y y x j j α j j et β,j,,3 (A.I.6) A.I.4) La varance (Vecteurs covarants, vecteurs contravarants) Nous venons de défnr les formules de transformatons des vecteurs de base qu sont 4

242 Annexe I : Eléments de théore de calcul tensorel e β α j ' '. E j ou E j j. e Ou dans un repère curvlgne, e y x j '. E j,j,,3 (A.I.7) x y ' ou E j. e,j,,3 (A.I.8) j Tout vecteur qu, quand on change de système de base, se transforme suvant les règles de transformaton des vecteurs de base est dt vecteur covarant. Pour caractérser cette proprété, l ndce des coordonnées est placé en bas. Sot un vecteur dont les r composantes sont A A,..., A, a,...,, a ar dans l ancen système de coordonnées et r dans le nouveau. S ce vecteur est covarant, les formules de transformaton sont : A L x y y x k L a L k, ak A k L k,l,,,r (A.I.9) Nous ntrodusons mantenant une autre forme de varance, opposée à covarant : Sot un vecteur dont les composantes sont X, X,..., X r x, x,..., x r dans l ancen système de coordonnées et dans le nouveau. En utlsant les formules de transformaton des vecteurs de base, nous avons : y x L k k L x ek x E k L X EL k,l,,,r (A.I.) Donc, on obtent les composantes des vecteurs X L contravarantes : X y x L L k x k, x x y ou récproquement x k défnes comme k k L X L k,l,,,r (A.I.) Ce sont les formules de transformaton nverses de celles des vecteurs de base. La contravarance s ndque par un ndce supéreur, la covarance par un ndce nféreur. A.I.5) Les tenseurs Une quantté scalare est un tenseur d ordre zéro et ne possède qu une composante. Un vecteur est un tenseur du premer ordre et possède r composantes. Ce tenseur peut être sot covarant, ses composantes sont alors désgnées par t k, sot contravarant, ses composantes sont alors désgnées par t k. Les éléments d un tenseur du second ordre peuvent être dsposés suvant un tableau carré. Plus lon, nous verrons les dfférences essentelles qu exstent entre un tenseur et une matrce. Souvent, pour ndquer que les éléments contenus dans ce tableau carré sont ceux d un tenseur, on place le tableau entre parenthèses : 4

243 Annexe I : Eléments de théore de calcul tensorel t... t... tr t k... t k t k r r t... r t... r tr k t. Ou plus smplement ( ) (A.I.) Un tenseur du trosème ordre a r 3 composantes, qu peuvent se placer dans un cube. Il exste 4 types de tenseurs du trosème ordre : kl k t, t l, t kl, t kl (A.I.3) Une composante quelconque du tenseur le plus général s écrra k k... k t m... (A.I.4) n avec n ndces covarants et m ndces contravarants. La somme m+n est l ordre du tenseur, qu aura r p composantes. La défnton du tenseur va nous être donnée par les formules de transformaton. Sot k k... k t m... une composante quelconque d un tenseur d ordre p, m fos contravarant et n n fos covarant, dans un système d axes de coordonnées. Sot L L... L T J m J... J la composante précédente dans un nouveau système d axes. n La transformaton de la composante t en composante T se fera par la formule suvante : kk... km k km J J n t... α n L... αl β m... β T n J... L ou dans un repère curvlgne : k km J k k k x x y y... m t... n L Lm y y x x J... L L... L J... J J n n T m n L... L J... J m n (A.I.5) La présence de n ndces covarants et m ndces contravarants provoque l nterventon de n facteurs en β et m facteurs en α. La transformaton nverse sera : L Lm L L y y x x... m TJ... J n... k km J x x y y... k n k... km... t J... (A.I.6) n n S le passage de t à T ne se fat pas par les formules c-dessus, t n est pas un tenseur. A ttre d exemple, une force (en mécanque par exemple) ou un champ électrque (E k ) sont des tenseurs d ordre covarants. Une grandeur physque de type flux comme un courant électrque (I k ) par exemple, est un tenseur d ordre contravarant. 43

244 Annexe I : Eléments de théore de calcul tensorel 44 En revanche, les grandeurs k M α ou M k y x ; et k M β ou M k x y ne sont pas des tenseurs. Ce sont smplement des éléments d une matrce de transformaton. Nous donnerons dans un paragraphe suvant une méthode pour détermner s des matrces sont des tenseurs. A.I.6) Formes matrcelles des formules de changement de coordonnées Pour smplfer la représentaton des formules de transformaton des tenseurs, nous ntrodusons la forme matrcelle pour les tenseurs du premer et du deuxème ordre que nous allons rencontrer la plupart du temps dans nos applcatons de réseaux électrques. Pour un vecteur covarant, nous avons la formule de transformaton suvante : k L k L t y x T k,l,,,r (A.I.7) L ndce k de sommaton correspond à l ndce des colonnes pour L k y x et des lgnes pour t. Le produt du vecteur t par la matrce L k y x nous donne alors l expresson suvante : r r r r r r r r t t t y x y x y x y x y x y x y x y x y x T T T ' (A.I.8) Sot en écrture smplfée avec la matrce transposée y x : [T] y x [t] (tenseur covarant) (A.I.9) De la même manère nous défnssons l expresson matrcelle pour un vecteur contravarant de valence dont on rappelle la formule de transformaton : L L k k t x y T k,l,,,r (A.I.3) La forme matrcelle de l équaton précédente prendra alors la forme suvante :

245 Annexe I : Eléments de théore de calcul tensorel 45 r r r r r r r r t t t x y x y x y x y x y x y x y x y x y T T T (A.I.3) Sot en écrture smplfée : [T] x y [t] (tenseur contravarant) (A.I.3) Prenons mantenant les tros cas possbles d un tenseur d ordre. Le tenseur deux fos covarants est défn par les transformatons suvantes : k M k L LM t y x y x T j,k,l,m,,,r (A.I.33) Nous obtenons faclement avec les défntons ndcelles l écrture matrcelle suvante : [ ] [ ] Lk k L A t y x (A.I.34) [ ] [ ] M k Lk LM y x A T (A.I.35) d où la forme matrcelle suvante : [T] [ ] y x t y x (tenseur deux fos covarant) (A.I.36) De la même manère, pour un tenseur deux fos contravarant, k k M L LM t x y x y T j,k,l,m,,,r (A.I.37) On trouve : T [ ] x y t x y (tenseur deux fos contravarant) (A.I.38) Enfn, pour le tenseur mxte, k L M k L M t x y y x T j,k,l,m,,,r (A.I.39) nous obtenons :

246 Annexe I : Eléments de théore de calcul tensorel x y [T] [ t] y x (tenseur mxte) (A.I.4) Cette parte nous permet de ben fare la dstncton entre les deux mots «tenseur» et «matrce». Ce sont deux notons dfférentes à ne pas confondre. -Un tenseur est une foncton du pont dont les composantes se transforment selon une règle ben défne. Un tenseur peut être représenté par une matrce. -Une matrce est un tableau de grandeurs défnssant un système lnéare. Tous les tenseurs de valence nféreure ou égale à peuvent s écrre au moyen des matrces, mas toutes les matrces ne sont pas des tenseurs. A.I.7) Symétre et antsymétre Nous présentons rapdement les proprétés de deux types de tenseurs pour l ordre : k tenseur deux fos contravarant t, tenseur deux fos covarant t k. Ils seront symétrques s Et antsymétrques s k t k t t k ou t k t k - t k ou t k - t k Ce caractère de symétre ou d antsymétre est un caractère propre au tenseur, qu se conserve lors d un changement d axes. Il est smple de démontrer alors que cela est généralsable pour des tenseurs d ordre plus élevé par rapport à deux ndces (ou plus) oblgatorement de même varance. A.I.8) Opératon sur les tenseurs a) Addton de deux tenseurs alors : L adton entre deux tenseurs est possble lorsqu ls sont de même varance. On obtent t r + s k m b) Contracton d un tenseur (A.I.4) k m k m Comme son nom l ndque, la contracton d un tenseur permet de former un nouveau tenseur d ordre nféreur de untés par rapport à un premer tenseur comportant des ndces covarants et contravarants. Cela est possble en égalant les deux ndces covarant et contravarant pour mposer la condton que ces deux ndces aent toujours la même valeur en effectuant la sommaton sur la valeur commune de ces deux ndces. t k m Dans l exemple qu sut le tenseur est contracté en mposant la condton m et en fasant la somme sur la valeur commune on obtent c k en adoptant la notaton de la conventon d Ensten: c k t k (A.I.4) 46

247 Annexe I : Eléments de théore de calcul tensorel c k est un élément d un tenseur contravarant. En effet, en écrvant la formule de transformaton du tenseur k t : T JL N J L m y y x k t k N,k,m,J,L,M,,,r (A.I.43) x x y On égal les deux coeffcents J et N : Donc, J L m L JL y y x k C TJ t k J (A.I.44) x x y x J y J km m J m δ J (symbole de Kronecker) (A.I.45) J y x L L L JL y k y k C TJ t k c (A.I.46) k x x J k Cette démonstraton se généralse mmédatement aux tenseurs d ordre plus élevé. k c) Multplcaton Soent deux composantes de deux tenseurs quelconque, le tenseur produt sera de la forme suvante : p r s (A.I.47) kj mn k m j n d) Multplcaton contractée On applque les résultats défns précédemment en b) et c) : p r s,j,k,m,n,,,r (A.I.48) kj mn k m j n La contracton est réalsée sur les deux ndces n et k c p,j,k,m,,,r (A.I.49) j m kj mk Une deuxème contracton sur les ndces j et m nous donne les composantes d un vecteur contravarant a : j a cm,j,m,,,r (A.I.5) 47

248 Annexe I : Eléments de théore de calcul tensorel A.I.9) Reconnassance du caractère tensorel Sot une grandeur t(, k,m) représentée par un ensemble de r 3 composantes dépendant de 3 ndces, k et m varant de à r. Nous cherchons s l ensemble des composantes est un tenseur et, s c est le cas, quelle est sa varance. Pour cela, on cherche à former des produts contractés entre cette grandeur et 3 vecteurs u, v, w (car 3 ndces). S on trouve que le produt contracté est un nvarant dans les changements d axes, t est un tenseur. Dans l exemple suvant, on suppose que le produt contracté suvant est un nvarant. m t (, k, m) u vk w (A.I.5) km Le tenseur t est donc fos covarant et fos contravarant. k t m. A.I.) Introducton à l espace de Remann Nous venons de rappeler les éléments généraux de calcul tensorel dans le cas général. Pour applquer l analyse tensorel à des cas physques, nous nous placerons dans un espace vectorel métrque, c'est-à-dre que nous fxons à tous les vecteurs de base une commune mesure. Le cas le plus smple est l espace euclden. En partant d un repère orthogonal, dont les vecteurs de base ont tous un même module égal à une unté chose arbtrarement, on peut construre une nfnté d autres repères rectlgnes ou curvlgnes, au moyen d un changement de coordonnées, au cours duquel toute longueur dot rester nvarante. La plus mportante des extensons données à la géométre eucldenne est celle qu se rapporte aux «espaces de Remann». En effet, tous les phénomènes physques qu se produsent dans les mleux où leur récprocté est admse peuvent être placés dans un tel espace. Nous donnons dans cette annexe une défnton très smplste et encourageons le lecteur à se référer aux ouvrages classques de calcul tensorel. Défnton: Un "espace de Remann" est une varété à laquelle nous avons attaché une métrque. Cela sgnfe que, dans chaque parte de la varété, représentée analytquement au moyen d'un système de coordonnées u, nous nous sommes donnés une forme dfférentelle quadratque : j ds g du du qu consttue la métrque de l'espace. j Les coeffcents g j ne sont pas entèrement arbtrares et dovent vérfer les condtons suvantes : C. Les composantes sont symétrques g j g j. C. Le détermnant de la matrce [ g j ] est dfférent de zéro. C3. La forme dfférentelle de l'élément lnéare, et par conséquent le concept de dstance défn par les g, est nvarantes vs-à-vs de tout changement de coordonnées. j 48

249 Annexe I : Eléments de théore de calcul tensorel C4. Toutes les dérvées partelles d'ordre deux des g j exstent et sont contnues donc de classe C. Un espace de Remann est donc un espace de ponts, chacun étant repéré par un système de n coordonnées u, doté d'une métrque quelconque telle que la forme dfférentelle de l'élément lnéare vérfant les condtons précédentes. Cette métrque est dte dès lors "métrque remannenne". 49

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251 Annexes II, III et IV : Contacter S.LEMAN [email protected] 5

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254 RESUME L analyse de la Compatblté ElectroMagnétque (CEM) des systèmes complexes consste à prévor le comportement EM d apparels électronques mmergés dans un envronnement où ntervennent des nteractons de natures très varées. Ce peut être des phénomènes multphysques où se combnent des couplages EM et thermques; l peut auss s agr d archtectures multéchelles comportant des composants de dmensons dsproportonnées devant la longueur d onde; ces nteractons peuvent auss concerner des confguratons multparamètres lorsque pluseurs éléments ntervennent smultanément dans le calcul des perturbatons EM. La thèse a conssté en la mse en place d une méthode qu semble ben adaptée à la résoluton de ces problèmes de CEM complexes. L outl développé s appue sur l utlsaton de l analyse tensorelle des réseaux électrques nstaurée par G. KRON et qu on envsage étendre à la CEM des systèmes complexes. Le rasonnement consste à fusonner dfférents outls numérques de smulatons exstants, au moyen d une méthodologe basée sur l assmlaton d un grand système à un assemblage de crcuts électrques équvalents. Crcuts auxquels nous pourrons assocer la résoluton d une équaton contenant un super-tenseur mpédance ans que des tenseurs fém et courants dont l faut s efforcer de détermner les règles de constructon. A ttre d llustraton, le couplage EM entre câbles, le blndage des lgnes, les antennes et une cavté EM ont été smulé par le formalsme de KRON pour permettre la mse en forme d une bblothèque de sous-fonctons réutlsables pour l étude de systèmes plus complexes. La comparason entre la méthode de KRON et des mesures de couplages entre antennes effectuées sur une cavté métallque pour dfférentes confguratons, montre l effcacté d adaptaton de la méthode aux problèmes de CEM multparamètres et multéchelles. Enfn, la smulaton d un couplage électrothermque fasant nteragr la propagaton d un sgnal électrque avec la dffuson de la chaleur sur une éprouvette coaxale remple d un matérau conducteur électrque et thermque, semble ouvrr des perspectves de réalsaton de logcel de CEM de nouvelle génératon. TITLE : Contrbuton to Solvng Electromagnetc Compatblty Problems wth the Electrcal Crcut Formalsm of KRON. ABSTRACT Analyss of the Electromagnetc Compatblty (EMC) of so-called complex systems conssts of predctng voltage nduced on electronc crcuts submtted to varous EM couplngs. Such phenomena may consst of couplngs between EM and Thermal parameters, or they may concern couplngs throughout systems of varous szes wth respect to the wavelength and the behavour of the system. These nteractons may also depend on many parameters lke dmenson, physcal data and so on. Ths thess s amed at developng a method well-suted to resolvng the problems posed by the EMC of complex systems. Ths method reduces these couplngs to a crcut assembly wth a combnaton of nductance, capactance and resstance, voltage source and current source. The man advantage of the methodology wll be to use the formalsm of electrcal networks developed by G. KRON, whch conssts of solvng the crcut theory by means of the nverson of a large matrx sze. In the scope of ths work, EM couplng between cables, shelded cables, antennas, and an EM cavty were smulated wth KRON s formalsm to establsh a lbrary of subroutnes to use to solve complex EMC problems. The comparson between KRON s method and measurements of the couplng between antennas nsde an EM cavty under varous confguratons shows the effcency of the method for EMC problems concernng systems of varable szes and large numbers of parameters. Fnally, we proposed to study the smulaton of an electrothermal system whch conssts of both the electrcal propagaton and thermal dffuson nsde a coaxal system flled wth a thermally and electrcally conducng materal. Ths study seems to open new possbltes for the development of a new generaton of EMC tool. MOTS CLES : Compatblté ElectroMagnétque - Méthode de KRON applquée à la CEM (MKCE) - Smulatons numérques Cavté EM - Grands Systèmes - multparamètres multéchelles multphysques Analyse topologque - couplage électrothermque. 54