THESE. DOCTEUR en ELECTRONIQUE

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1 N d ordre : 4 THESE Présentée à L UNIVERSITE des SCIENCES et TECHNOLOGIE de LILLE (LILLE ) pour l obtenton du grade de DOCTEUR en ELECTRONIQUE Par Samuel LEMAN (Ingéneur de l école Polytech Llle) le 3 novembre 9 Contrbuton à la Résoluton de Problèmes de Compatblté Electromagnétque par le Formalsme des Crcuts Electrques de KRON Membres du jury : Rapporteurs : Mr Alan REINEIX Drecteur de Recherche CNRS Xlm, Lmoges Mr Jean-Marc DIENOT Professeur IUT de Tarbes Examnateurs : Mme Odle PICON Professeur ESYCOM, Marne la Vallée Mr Phlpe BESNIER Chargé de Recherches HDR CNRS INSA de Rennes Mr Marco KLINGLER Expert CEM PSA-Peugeot Ctroen, Vélzy Drecteur de Thèse : Mr Bernard DEMOULIN Professeur émérte USTL, IEMN/Telce, Vlleuneuve d Ascq Invtés : Mr Patrck HOFFMANN Ingéneur Centre d Etudes de Gramat, Gramat Mr Olver MAURICE Ingéneur GERAC, Trappes

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3 A mes parents, Mon frère, Ma sœur, Mélode. 3

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5 Remercements Ces travaux, fnancés par la Délégaton Générale pour l Armement (DGA), ont été réalsés au sen du groupe TELICE (Télécommuncatons, Interférences et Compatblté Electromagnétque) du laboratore IEMN (Insttut d électronque, de Mcroélectronque et de Nanotechnologe) de l Unversté de Llle, et en collaboraton et avec l appu d un nombre mportant de personnes que je tens partculèrement à remercer. Je commencera naturellement par mon drecteur de thèse Monseur le Professeur émérte Bernard DEMOULIN, responsable CEM du groupe TELICE. Je le remerce pour sa grande dsponblté et pour la qualté de ses consels scentfques qu m ont à chaque fos apportées la base et la motvaton nécessare à l avancement de mes travaux de recherche. Je le remerce d autant plus qu l me fat l mmense honneur de drger la dernère thèse de sa carrère s mpressonnante. Je remerce mon correspondant DGA, Monseur Patrck HOFFMANN, ngéneur au centre d étude de Gramat, pour la collaboraton très enrchssante que nous avons étable grâce à ses compétences, son dynamsme et à son charsme. Je tens ensute à exprmer ma grande reconnassance à Monseur Olver MAURICE, ngéneur au GERAC qu, en plus de m avor apporté de préceux consels scentfques sur la méthode de KRON, a toujours montré une grande dsponblté (même le week-end) et un grand enthousasme par rapport à l avancée de mes travaux. Je remerce très chaleureusement Monseur Alan REINEIX, drecteur de recherche CNRS au laboratore XLIM de Lmoges pour ses préceux consels scentfques, pour sa grande gentllesse et également pour avor accepté le traval de rapporteur malgré son emplo du temps très chargé. Mes remercements s adressent ensute à Monseur Jean-Marc DIENOT, professeur à l IUT de Tarbes, pour m avor fat l honneur de juger mon traval en qualté de rapporteur. Je remerce Madame Odle PICON, professeur à l'unversté de Marne la Vallée et Drectrce du laboratore ESYCOM, de présder le jury de thèse. Mes remercements vont également à Monseur Marco KLINGLER, expert en CEM chez PSA-Peugeot Ctroën à Vélzy et Monseur Phlppe BESNIER, chargé de recherches HDR à l INSA de Rennes qu ont tous deux acceptés d évaluer cette thèse en qualté d examnateurs. Ces tros années de thèse se sont prncpalement déroulées au sen du groupe TELICE de l IEMN. J en remerce donc sa nouvelle drectrce, le Professeur Martne LIENARD ans que son ancen drecteur, le Professeur Perre DEGAUQUE. Je remerce ensute tous les permanents de l équpe qu ont su apporter ben plus que de nombreux moments de détentes autour d un café. D abord, Monseur Lamne KONE sans qu les mesures expérmentales n auraent pas pu être auss précses et pour ses nombreux consels scentfques, mas auss Madame Sylve BARANOWSKI pour la relecture de ma thèse, Vrgne DEGARDIN, Perre LALY, Erc SIMON, Davy GAILLOT, Chrstan SEMET, Danel DEGARDIN et Emmanuelle GILLMANN. 5

6 Je remerce également les dfférents thésards et post-doc de l équpe qu ont tous contrbués à une ambance de traval sympathque et motvante : Youssef BOURI, Nedm BEN-SLIMEN, Hamd OUADDI, Abdou NASR, Tarrk HAMMI, Mchael MORELLE et pour fnr mon entraneur de sport partculer, Paul STEFANUT. Je remerce ensute les mécancens Jean-Claude et Chrstophe ans que Jocelyne qu a assuré la reprographe de cette thèse. Mes remercements s adressent mantenant aux nombreuses personnes qu se demandent encore ce que sgnfe l abrévaton CEM, mas qu ont largement contrbué à la réusste de ce traval en m encourageant tout au long de ces tros années de thèse et en me permettant notamment de surmonter certans moments dffcles. Je commence par remercer ma maman pour m avor légué sa passon pour la musque et pour son courage de m avor supporté pendant ces 6 années d étude! Merc également à Franços pour son courage extraordnare. Je remerce ensute mon papa pour m avor légué sa passon pour les scences, pour son ade préceuse et pour sa dsponblté permanente. J adresse également un grand merc à Domnque pour sa gentllesse et son ade préceuse. Pusqu l lt dans mes pensées, je n a pas beson d utlser de mots pour remercer Adren, mon frère jumeau également thésard à France Telecom. Au même ttre, je tens fnalement à remercer affectueusement ma pette sœur Mathlde. Mes remercements suvants s adressent à tous mes ams que je ne pourra cter sans en oubler une grande parte : Manu, Julen, Clément, Arnaud, Gauter, Prntz, Florne, Lootens, Delphne, Agathe, Franços, Gwen, Nora et ma belle sœur Amandne. Je remerce partculèrement Perrne pour son souten dans les moments les plus dffcles et forcément la menton spécale à Baron, mon célèbre acolyte! Mes derners remercements revennent enfn à celle qu, en plus de m avor accompagné dans les hauts et les bas de ces travaux de recherche, m a apporté d nnombrables nstants de bonheur tout au long de cette thèse. Merc Mélode. 6

7 Table des matères 7

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9 Table des matères Introducton générale Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes...9 I. Problème à résoudre... I. Poston des méthodes numérques applcables à un grand système...3 I.. Outls basés sur la résoluton numérque des équatons de Maxwell :..4 I... Outls basés sur la résoluton exacte des équatons...4 I... Outls basés sur des résolutons approchées des équatons...6 I.. Outl basé sur la théore des crcuts électrques équvalents...7 I... Concept d éléments localsés :...3 I... Formalsme des lgnes de transmsson...36 I..3 Descrpton topologque des couplages EM...43 I..3. Prncpe physque de l assemblage topologque...43 I..3. Consttuton du graphe topologque...44 I..3.3 Descrpton topologque d un réseau de câbles multconducteurs arborescents...47 I..3.4 Ondes progressves et rétrogrades...47 I..3.5 Les tubes...48 I..3.6 Les jonctons...49 I..3.7 L équaton B.L.T...5 I..3.8 Exemple de modélsaton par l équaton BLT...5 I.3 Lmtes de ces méthodes...5 I.4 Avantage de l analyse tensorelle des réseaux de G.Kron applquée à la CEM

10 Table des matères Chaptre II : Prncpes fondamentaux de l analyse tensorelle des réseaux électrques applquée à la CEM des systèmes complexes...55 II. Analyse topologque des crcuts électrques...58 II. Descrptf des grandeurs manpulées...6 II.. Les objets et opérateurs...6 II.. Noton d algèbre tensorelle...66 II... Formes lnéares ou tenseur d ordre un...66 II... Formes blnéares ou tenseurs d ordre deux...68 II...3 Tenseurs d ordre supéreur...7 II...4 Opératons sur les tenseurs...7 II.3 Changement de base et changement d espace...7 II.3. Changement de base...73 II.3.. Transformaton d une base des malles vers une autre...73 II.3.. De l espace des malles vers l espace des moments...75 II.3. Changement d espace (Méthode de Kron)...77 II.3.. De l espace des branches vers l espace des malles...77 II.3.. De l espace des branches vers l espace des pares de nœuds...79 II.3..3 De l espace des malles vers l espace des réseaux...8 II.4 Interactons entre les réseaux...83 II.4. Interconnexons ou couplages en mode condut...83 II.4. Couplages multphysques entre réseaux...85 II.4.. Le couplage en champ électrque...86 II.4.. Le couplage en champ magnétque...88 II.4..3 Le couplage en champ lontan...9 II.4..4 Le couplage thermque...95 II.5 Résoluton globale des super-tenseurs...5 II.6 Condton de valdté de la méthode de Kron...6

11 Table des matères Chaptre III : Quantfcaton des nteractons EM...7 III. Modélsaton d une lgne de transmsson par la MKCE...9 III.. Modélsaton d un élément de lgne...9 III.. Connexon des éléments de lgne...3 III..3 Résultats expérmentaux et smulés de la réponse d une lgne de transmsson...5 III. Couplage par daphone entre deux lgnes parallèles...7 III.. Couplage électrque dans l espace des branches.... III.. Couplage magnétque dans l espace des malles... III..3 Smulaton et mesure de la réponse d un couplage par daphone...3 III.3 Analyse d un assemblage de câbles par la méthode de Kron...7 III.3. Etude de deux lgnes couplées de dmensons dfférentes...7 III.3. Etude d un réseau à tros lgnes de transmsson couplées...3 III.4 Analyse d un réseau de câbles en mode dfférentel...33 III.4. Une lgne de transmsson en mode dfférentel...33 III.4. Couplage par daphone en mode dfférentel...35 III.5 Inserton de l analyse modale dans la MKCE...37 III.5. Prncpes fondamentaux...38 III.5. Adaptaton au formalsme tensorel...39 III.5.3 Couplage par daphone smulé par la MKCE dans la base modale 4 III.6 Tratement des câbles blndés...43 III.6. Inserton des câbles blndés...44 III.6. Analyse d un blndage à perte par la MKCE...46 III.7 Resttuton du couplage exercé entre deux antennes...49 III.7. Couplage électrque entre deux monopoles...49 III.7.. Couplage fable...5 III.7.. Couplage fort...53 III.7. Interacton magnétque...55 III.7.. Couplage fable...56 III.7.. Couplage fort...56 III.8 Agresson d une lgne par un champ électromagnétque...57

12 Table des matères Chaptre IV : Applcaton de la MKCE à des systèmes complexes...59 IV. Smulaton de deux antennes couplées va une cavté métallque...6 IV.. Descrpton géométrque du système couplé...6 IV.. Agencement topologque du système...63 IV..3 Mse en place de la connexon des sous-réseaux...69 IV..4 Mse en place de l nteracton E.M. des volumes topologques...7 IV..5 Confrontaton de la smulaton aux mesures...7 IV..6 Concluson...75 IV. Applcaton de la MKCE au couplage électrothermque...76 IV.. Analyse de la propagaton électrque...77 IV.. Analyse temporelle de la dffuson thermque...79 IV... Mse en place de l équaton de la chaleur...79 IV... Recherche des solutons analytques de référence...8 IV...3 Recherche d une analoge électrque avec la dffuson thermque...86 IV...4 Analyse numérque de la dffuson thermque par la MKCE...88 IV.3 Formulaton du couplage électrothermque par la MKCE...4 IV.3. Introducton du couplage par des fém sources équvalentes...7 IV.3. Présentaton de tros confguratons de smulaton... IV.3.. Réponse mpulsonnelle... IV.3.. Réponse à un échelon électrque...4 IV.3..3 Réponse de la trosème source...7 Concluson générale... Bblographe...7 Annexes...35

13 Introducton générale 3

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15 Introducton générale Depus un dem-sècle, l évoluton exponentelle des applcatons de l électrcté dans les domanes tant cvls que mltares, multple les équpements électrques sources d ondes électromagnétques. La cohabtaton dans un même envronnement de ces matérels électronques travallant avec des sgnaux de fortes ou de fables ampltudes et à des fréquences d utlsaton de plus en plus élevées, peut générer de nouveaux types de dysfonctonnements et des phénomènes d ncompatblté entre équpements. Prenons l exemple d un aéronef exposé à des agressons de dverses natures physques. Du pont de vue électromagnétque, ce peut être l llumnaton d un équpement sensble par un radar mltare ou cvl. Ce peut être également le foudroement de l apparel ndusant des courants transtores d ampltudes élevées sur son fuselage. Ce peut être dans un contexte mltare, une menace mcro-ondes provenant d armes électromagnétques. Ces agressons extéreures s ntrodusent par des mécansmes de conducton ou d nducton à travers les ouvertures spécfques de l aéronef : les câbles, les hublots, les jonts de portes, et plus récemment, les nouveaux matéraux compostes plus légers mas mons conducteurs, lassant pénétrer une parte du sgnal perturbateur. S ajoutent ensute toutes les nterférences nternes à l apparel comme les couplages entre lgnes de transmsson, entre les équpements électrques pollueurs, ou entre des apparels électronques portables. Se superpose enfn l nfluence de la casse métallque assmlable à une cavté électromagnétque résonante, plus communément appelée une cage de Faraday. Au delà de ces nterférences électrques, peuvent se cumuler des perturbatons de natures physques dfférentes telles que des couplages électrothermques. Le comportement d un équpement étant sensble à une varaton de température, certanes condtons clmatques peuvent avor un mpact sgnfcatf sur le contrôle ou la commande de l apparel. L usure prématurée de certans matéraux peut également être consdérée comme un facteur de perturbatons électrques supplémentares. Nous appellerons ce type de problème, l analyse multparamètre, multéchelle et multphysque de la Compatblté ElectroMagnétque (CEM). Il se caractérse en effet par des nteractons entre de nombreux paramètres, de dmensons varables comparées à la longueur d onde, et fasant partcper des phénomènes physques de natures dfférentes. En d autres termes, c est la CEM des systèmes complexes. Dans le domane des transports, les ndustrels sont partculèrement confrontés à ces problèmes de CEM des systèmes complexes. La msson des ngéneurs spécalstes consste à rechercher et développer des moyens expérmentaux et numérques toujours plus performants pour évaluer et matrser le comportement des ondes électromagnétques dans un envronnement de plus en plus complexe. Afn de rédure les coûts de développement d un tel produt, les ngéneurs utlsent en plus des maquettes radoélectrques, des logcels de smulaton numérque utlsés dés la phase de concepton de l apparel, permettant une analyse prédctve plus asée des perturbatons ndutes. Néanmons, l est encore actuellement extrêmement dffcle, avec les outls numérques dsponbles sur le marché, de résoudre totalement un tel système complexe. Gabrel KRON, ngéneur amércan, développa dans les années 93, une théore permettant d applquer l analyse tensorelle des réseaux à la résoluton des crcuts électrques. Comme nous le constatons dans d autres domanes physques dont le plus célèbre n est autre que la relatvté générale d Ensten, le calcul tensorel semble adapté aux stuatons de grande complexté. Cette méthode, prncpalement utlsée par G.KRON pour 5

16 Introducton générale modélser des machnes électrques état néanmons lmtée à cause des fables ressources nformatques dsponbles. Olver MAURICE, ngéneur CEM au GERAC, a récemment proposé d utlser cet outl mathématque tensorel afn de résoudre ces problèmes de CEM des systèmes complexes. La contrbuton apportée par ce traval de thèse consste à développer cette méthode orgnale pour montrer que l analyse tensorelle des réseaux électrques s adapte parfatement, au sen d un même outl, à l assocaton d un nombre élevé d nteractons ndépendamment matrsées par des modèles analytques ou numérques préexstants ou par des données ssues de mesures. Le chaptre I présente les dfférentes catégores d outls numérques dont dsposent les ngéneurs en CEM. Ce peut être des formules analytques, des méthodes numérques dtes 3D qu résolvent les équatons de Maxwell, des méthodes basées sur la théore des crcuts ou encore la méthode de résoluton topologque des couplages électromagnétques. Nous dscuterons des avantages et des lmtes d utlsaton de chacune de ces méthodes dans le cadre de l analyse des problèmes de CEM des systèmes complexes. La concluson de ce chaptre portera sur la proposton non pas d une nouvelle méthode de résoluton d un couplage partculer, mas d un outl global ayant la capacté de rassembler des méthodes adaptées à chacune des nteractons préalablement solées dans le grand système. Cet outl prendra comme désgnaton dans la sute du texte l abrévaton MKCE pour la Méthode de KRON applquée à la Compatblté Electromagnétque. Le chaptre II, est une ntroducton à la théore tensorelle des réseaux électrques développé par G.KRON que nous tentons de décrre sous le regard d un ngéneur CEM. Dans cette parte seront alors présentées les dfférentes transformatons de bases et d espaces tensorels attachées aux grandeurs d un crcut électrque. Ces transformatons permettront non seulement de rédure les systèmes d équatons, mas également d observer les nteractons de manère plus asée en prenant pour référence l espace tensorel le meux adapté à la stuaton. L espace des branches permettra par exemple de décrre les couplages électrques, l espace des malles accuellera plus faclement les couplages magnétques, quant à l espace des réseaux, l prendra en compte les nteractons en champ lontan. La concluson de cette parte donne des exemples de transformatons de bases et d espaces applquées à des couplages électromagnétques typquement rencontrés dans les systèmes complexes. Le chaptre III applque la MKCE drectement à des problèmes classques de CEM pour se famlarser avec la méthode et pour dsposer d une base de données de problèmes EM fréquemment rencontrés en CEM. La smulaton d une lgne de transmsson, d un couplage par daphone, d un assemblage de câble en mode commun et dfférentel, des câbles blndés et des couplages entre antennes, consttuera la base fondamentale pour la résoluton future des systèmes complexes. Chacun de ces couplages est transcrt par un schéma électrque équvalent, pus nséré dans le formalsme tensorel pour résoudre les équatons électrques. Les résultats de smulatons par la MKCE seront comparés à des mesures et des smulatons numérques présentées au chaptre I. La concluson du chaptre III utlse l espace tensorel des réseaux, partculèrement adapté à l étude de la CEM des grands systèmes, pour étuder l agresson d une lgne par un champ électromagnétque. Enfn, le chaptre IV propose deux applcatons pour la MKCE. Tout d abord, nous décrvons le système composé de pluseurs antennes couplées va une cavté métallque. L analyse des frontères topologques permet d soler l étude de chacune 6

17 Introducton générale des tros antennes de dmensons varables devant la longueur d onde ans que la cavté métallque résonante. Chacun des sous-systèmes est transcrt sous la forme de schémas électrques équvalents. Les nteractons condutes ou ndutes entre les sous-crcuts sont alors ntrodutes dans l espace tensorel adapté à la physque du phénomène. A partr de chaque modèle chos pour chacun des couplages du système, la MKCE permet de regrouper sous un même logcel toutes ces nteractons, rédusant ans le système complexe en un assemblage de smples sous-volumes nteragssant dans un même espace tensorel. La précson des résultats de smulaton par la MKCE, montrent que la méthode offre de nombreuses possbltés d analyses multparamètres et multéchelles. Pluseurs confguratons de couplages entre les antennes sont sélectonnées et la cavté prendra des dmensons varables. La dernère parte de ce chaptre IV, orente les travaux de recherche vers la smulaton des systèmes multphysques. Nous consdérons une expérence de pensée mettant en équaton la transformaton d un couplage d énerge électrque hautes fréquences en énerge thermque. Pour cela, nous chosssons une éprouvette coaxale remple d eau, contenant un conducteur central cylndrque et un conducteur extéreur en cuvre. Le crcut électrque équvalent à la propagaton des paramètres électrques le long de l éprouvette est dans un premer temps ms en place. Indépendamment de ces phénomènes électrques, un crcut électrque équvalent de la dffuson thermque dans l éprouvette sera obtenu à partr des équatons analytques thermques. L ntroducton des nteractons électrothermques entre les deux crcuts équvalents électrque et thermque, s adapte parfatement au formalsme de la MKCE. En njectant un sgnal électrque d ampltude convenable à l extrémté du câble rempl d eau, nous vsualsons une évoluton spatotemporelle de la température le long de l éprouvette. Fnalement, les résultats obtenus durant cette thèse offrent de nouvelles perspectves pour la résoluton de problèmes de CEM sur des systèmes complexes. Un des grands avantages de MKCE consste à lasser l ngéneur, lbre de chosr la méthode de smulaton de chacun des sous-systèmes qu lu semble la plus approprée au phénomène physque à décrre. La MKCE permet ensute d ntrodure faclement dans un espace prvlégé, les nteractons entre les sous-systèmes multparamètres, multéchelles et multphysques. 7

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19 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes 9

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21 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes I. Problème à résoudre La météorologe est un problème usuel de prévson du comportement de «grands systèmes». Comme pour les phénomènes électromagnétques (EM), l étude de l état de l atmosphère à un temps ultéreur et dans un envronnement physque complexe, est le résultat d une longue analyse des nteractons entre de nombreuses varables telles que la presson, la température ou la vélocté des vents. Pour cela, les météorologues utlsent des technques de prédcton comportementales allant des études expérmentales et théorques. La vsualsaton des courants atmosphérques par les satelltes permet de fxer les condtons ntales. Ensute, une comparason entre une analyse utlsant des théores de comportements thermodynamques et une analyse de type nterpolaton mathématque sur l évoluton des masses d ar, permet d attendre des prévsons plus ou mons robustes. Malgré l utlsaton de «théores exactes» ntrodutes grâce aux outls nformatques perfectonnés, la prédcton du temps qu l fera dans un mos à un endrot donné comportera toujours de grandes ncerttudes de par le nombre et la grande varablté des grandeurs physques mses en jeu. A une autre échelle de phénomènes, les ndustres et organsmes produsant ou utlsant des nstallatons électrques complexes sont contrants de prédre les dsfonctonnements nduts par des envronnements électromagnétques hostles. Les aéronefs, les automobles modernes et les armes sophstquées consttuent sans nul doute les systèmes les plus exposés à ces menaces. Pour résumer smplement les choses, tout système comportant des lgnes de transmsson de sgnaux nterconnectées avec des crcuts, et qu forment une archtecture complexe est soums à des phénomènes d nductons ndésrables qu l faut s efforcer de comprendre et d analyser. Dans notre contexte d étude, un système complexe est le support d échanges multples de données entre équpements ou composants électronques. Ces échanges se réalsent par l ntermédare de supports physques comme des lgnes de télécommuncaton ou par rayonnement, par le bas d antennes et émetteurs récepteurs embarqués. Les sources extéreures d agressons électromagnétques peuvent être naturelles comme la foudre, les décharges électrostatques ou ndustrelles comme les lgnes à hautes tensons, les émetteurs de télécommuncaton, les radars d aéroports, les caténares des voes ferrées. A cela, s ajoutent des sources plus ponctuelles à l nstar des alarmes électronques, téléphones mobles, assstants personnels ou émetteurs rado en tout genre. A ttre d exemple, les systèmes électronques embarqués dans une automoble dovent respecter des normes EM permettant le bon fonctonnement du véhcule. Les éléments électronques sont classés par ordre d mportance selon leur utlté. Les systèmes dédés à la sécurté comme le contrôle moteur, le frenage, l arbag, le régulateur de vtesse seront soums, par exemple à des tests de champ EM plus sévères que les systèmes destnés au confort comme la clmatsaton, les vtres électrques, l horloge, le radar de recul ou l ouverture des portes sans clef. Le traval de l ngéneur CEM consste à prédre, et trouver des solutons rédusant fortement les probabltés des dsfonctonnements électrques dues à ces rsques d nteractons. En règle générale, nous pouvons dssocer tros types de problèmes assocés à ces grands systèmes : l analyse multphysque, l analyse multparamètre et l analyse multéchelle. Ces tros concepts sont llustrés dans la Fg I..

22 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes Sources de perturbatons GPS Vtres électrques Radar de recul Daphone Ordnateur de bord Arbags Chauffage 5 m Fg I. : Machne CEM 45 nm L analyse multphysque fera ntervenr des outls de prédcton tenant compte de l évoluton des paramètres exprmés par des untés ou dmensons physques hétérogènes. Tel est le cas de la combnason des crcuts électrques avec l nducton produte par des ondes, auxquelles s ajoutent des phénomènes d orgne thermque et mécanque. Cette approche est actuellement localsée aux phénomènes électrques. Concrètement, dans l exemple du véhcule terrestre, nous avons beson de modélser la casse métallque de la voture assmlable à une cavté électromagnétque avec des ouvertures, dans laquelle le téléphone et d autres systèmes extéreurs sont des sources potentelles de perturbatons. A ces phénomènes de type champ rayonné, s ajoutent les perturbatons de mode condut sur les réseaux de câblage almentant les vtres électrques et le déclencheur de l arbag, le tout sous l nfluence des grandes varatons de température sub par un véhcule. Dans ce cas de fgure, tros types de physques cohabtent : les champs EM dans la cavté, les tensons et courants dans les crcuts ou lgnes électrques, et l nfluence des phénomènes thermques et mécanques pouvant dégrader l effcacté de certans blndages ou composants actfs. En plus du mélange des phénomènes physques, les multples nteractons ntervenant sur dvers composants localsés aux frontères d un système, exgent une analyse multparamètre. Dans la phase de concepton, l ngéneur CEM a beson d une grande souplesse d analyse paramétrque. Il pourra ans, par smulaton, ajouter un fltre ou un blndage sur les zones crtques pour optmser la protecton du produt fnal. L étude paramétrque par l outl numérque permettra par exemple de ratonalser l mplantaton des réseaux de câbles dans la casse de la voture en localsant les zones de champ EM de fable ampltude ou de couplages mondres. L ajout d un blndage en tresse sur un câble sensble ou sur un connecteur pourra être consdéré dès la phase de concepton du produt. Cet exemple llustre ben le beson de souplesse dans l analyse des systèmes complexes. Enfn, le trosème pont remarquable de l étude d un grand système résde dans l analyse multéchelle. Ce terme sgnfe que les nteractons EM se caractérsent par le rapport lant la longueur d onde des perturbatons aux dmensons des éléments géométrques du système. Ans, la longueur d onde des champs perturbateurs parvenant sur un véhcule automoble peut être très nféreure aux dmensons du câblage, comparable aux dmensons de la casse et supéreure aux dmensons des pstes consttuant les crcuts mprmés. Dans un tel contexte, les mécansmes de résonance se manfestent dfféremment selon le rapport dmenson / longueur d onde. Le concept d outl prédctf devra mpératvement tenr compte de cette partcularté physque.

23 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes L usage ntensf des outls nformatques et leurs prodgeux développements technologques offrent aujourd hu d ntéressantes opportuntés pour construre des logcels prédctfs fables. Reste cependant à résoudre la queston du len multphysque dont nous avons sgnalé l mportance en préambule de ce texte. Dfférentes approches sont à ce jour envsageables suvant qu on utlse des calculs numérques élaborés par des logcels du commerce, des théores analytques basées sur les formulatons des lgnes de transmsson ou plus smplement encore l assocaton des théores des crcuts électrques. Avant d harmonser ces sous ensembles dans la méthode de Kron qu forme le contenu prncpal de cette thèse, nous allons rappeler dans les paragraphes qu suvent les bases physques, les notatons et les champs d applcatons usuels de toute cette méthodologe. I. Poston des méthodes numérques applcables à un grand système On entend par outl numérque, un logcel réalsant le calcul d équatons dfférentelles dépourvues de solutons analytques smples. Tel est le cas des phénomènes de propagaton d ondes électromagnétques dans des envronnements qu nécesstent l applcaton de condtons aux lmtes laboreuses. Dans d autres stuatons, les équatons possèdent des solutons analytques dont la mse en œuvre nécesste l applcaton de règles algébrques relatvement lourdes. Tel est le cas des phénomènes d nductons rencontrés sur des fasceaux de câbles postonnés à proxmté de plans métallques ou autres références de masse. L extrême varablté des structures rencontrées en pratque va donc nécesster la mse en œuvre d nteractons entre ces dfférents outls. A cela, l faut ajouter que certans phénomènes échappent à la smulaton théorque, et qu l faut leur adjondre des données expérmentales. Ce cas de fgure offre alors un autre champ d nvestgaton où on dot mêler ces données expérmentales aux produts des outls précédemment spécfés. Les champs électromagnétques évoluant dans un envronnement pourront par exemple être représentés par un outl de type résoluton des équatons de Maxwell, présenté dans le paragraphe I... Pour prédre les phénomènes lés à la propagaton et aux couplages des sgnaux dans les lgnes de transmssons, nous emploerons plutôt des outls basés sur la théore des lgnes de transmsson présentée au paragraphe I... Pour cela, nous rappellerons au lecteur les los et les notatons des crcuts les plus élémentares qu seront utlsés tout le long de ce mémore de thèse. Fnalement, la parte I..4 nous donnera des nformatons sur la descrpton d un outl topologque adapté à l étude des couplages sur câbles. 3

24 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes I.. Outls basés sur la résoluton numérque des équatons de Maxwell : L approche théorque basée sur l électromagnétsme peut être dssocée entre des formulatons exactes ou approchées que nous présentons sommarement dans les paragraphes suvants [I.]-[I.]-[I.3]. I... Outls basés sur la résoluton exacte des équatons Les logcels de calcul résolvant les équatons de Maxwell en mallant l espace à consdérer, permettent prncpalement de détermner l évoluton du champ électromagnétque dans l envronnement et les courants nduts sur la surface d un objet. Ces outls sont généralement appelés méthodes trdmensonnelles ou 3D ou sous le terme anglophone full wave software. Deux types de méthode exstent pour la résoluton «exacte» des équatons de Maxwell, résolues dans ce cas en respectant exactement les expressons des équatons dfférentelles d orgne. La méthode dte «ntégrale» est utlsée par la méthode des moments (MoM) car elle résout les équatons de Maxwell sous leur forme ntégrale. Elle ne nécesste généralement pas de maller le volume de calcul total mas seulement les structures flares et les surfaces. Les méthodes dtes dfférentelles résolvent les équatons aux dérvées partelles (FDTD et FEM). Ce sont des méthodes dtes volumques car elles travallent généralement sur un volume englobant l objet à trater et fermés par des frontères absorbantes smulant l espace lbre. I... La méthode des Moments MoM La méthode des Moments MoM [I.] et [I.], est basée sur la résoluton d équatons ntégrales transformées en un système d équatons lnéares. La MoM est connue depus longtemps dans d autres dscplnes de la physque. En 95 déjà, Galerkn, un ngéneur mécancen d orgne russe propose une procédure numérque pour résoudre des équatons où l nconnue est une foncton. Plus tard, les mathématcens ont démontré que l approche Galerkn peut être étendue à d autres classes de problèmes portant le nom générque de méthode des moments. La MoM a été ntrodute pour la résoluton des problèmes lés aux antennes et à la dffuson électromagnétque à travers des paros métallques dans les années 96 par Harrngton. En électromagnétsme, elle s applque typquement à la formulaton ntégrale du champ électrque (Electrc Feld Integral Equaton) pour laquelle les nconnues sont la dstrbuton de courant crculant sur les conducteurs ou, dans le cas de structures planares multcouches, sur les rubans placés aux nterfaces. Le fondement de la MoM consste à proposer une soluton sous la forme d une somme de fonctons connues auxquelles sont assocés des coeffcents nconnus. Il s agt ensute d applquer une procédure de mnmsaton de l erreur résduelle pour générer un système matrcel et détermner les coeffcents nconnus. En bref, cette méthode unquement applcable au domane des fréquences, présente un ntérêt pour l analyse des couplages ntervenant en espace lbre (pas de frontère absorbante requse). Cette méthode harmonque a perms le développement de codes comme NEC, IE3D, FEKO ou WIPLD. 4

25 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes I... La méthode des éléments fns La méthode des éléments fns (FEM : Fnte Element Method) a connu un grand développement depus les années 97 et offre un large champ d applcaton dans de nombreux domanes de la physque. Les avantages de cette méthode provennent de sa capacté à s adapter à des structures de formes géométrques relatvement complexes. La méthode des éléments fns est une méthode rgoureuse, mas nécesste des temps de calcul mportants ans qu une grande ressource de mémore du calculateur. Il exste de nombreux ouvrages tratant du sujet. La décomposton en éléments smples de la géométre du système fat appel à des procédés de mallage de l espace et des objets pouvant, suvant le cas, prendre la forme de trangles pour les éléments surfacques ou de tétraèdres pour les volumes. A l ntéreur de chaque élément, la foncton nconnue est approxmée par un polynôme. Par un chox judceux des coeffcents, la FEM mpose automatquement les condtons de contnuté de la foncton d un élément à l autre. La FEM nécesste des condtons aux lmtes absorbantes pour lmter le domane de calcul (mallage) en présence des structures ouvertes sur l espace lbre. De nombreuses solutons ont été proposées, mas celle retenue dans la plupart des logcels est l utlsaton des couches parfatement adaptées (PML : Perfectly Matched Layer) publées par Bérenger. On donne à ttre d exemple un logcel utlsant cette technque : FEMLAB. I...3 La méthode des éléments fns de frontère La méthode BEM (Boundary Element Method) est une adaptaton des éléments fns dans le domane des fréquences et repose sur la formulaton ntégrale des équatons de Maxwell applquée à des malles caractérsant des éléments surfacques (généralement en forme trangulare). Un des avantages de cette méthode est la prse en compte des problèmes de rayonnement de manère ntrnsèque, c'est-à-dre sans condton approchée pour tronquer le domane spatal d étude autour de l objet étudé. De plus, le champ peut être calculé partout à l nfn ou à proxmté des surfaces de la structure. Le mallage surfacque permet d alléger les descrptons des systèmes complexes, mas la BEM demande des temps de calcul encore mportants. I...4 La méthode des dfférences fnes dans le domane temporel La méthode des dfférences fnes est basée sur la représentaton des équatons aux dérvées partelles sous la forme de dfférences fnes. La résoluton par nverson de matrce nous mène à une soluton dans le domane fréquentel alors qu un code tératf mènera à une soluton dans le domane temporel. Cette dernère est très utlsée pour obtenr des smulatons sur des larges bandes de fréquences notamment en CEM. On passe alors du domane temporel au domane harmonque par applcaton d une Transformée de Fourer. La méthode des dfférences fnes dans le domane temporel (Fnte Dfferences n Tme Doman) est utlsée entre autres par le logcel GORF. La géométre de l objet consdéré est dscrétsée par des technques de mallages paralléléppédques de dmensons proportonnelles à la longueur d onde mnmale d étude. Une fréquence élevée d étude mposera un mallage très fn de l objet et demandera un long temps de calcul. 5

26 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes I...5 La méthode TLM La méthode TLM (Transmsson-Lne Modelng Method) a été développée par Chrstos Chrstopoulos dans les années 97 [I.4]. Cette méthode consste en une dscrétsaton spatotemporelle des équatons de Maxwell. Une fos les équatons électromagnétques défnes, la propagaton des ondes dans l envronnement étudé s effectue par le bas d un réseau fctf de lgnes de transmsson orthogonales. Cette méthode drectement utlsable dans le domane temporel, est basée sur l analoge entre des grandeurs électrques et des grandeurs EM. L accès à la réponse en fréquence large bande demande un temps de calcul élevé. Le mallage est non conforme et ses dmensons sont proportonnelles à la longueur d onde mnmale d étude. I... Outls basés sur des résolutons approchées des équatons Les méthodes asymptotques sont basées sur des smplfcatons des équatons de Maxwell à l ade des hypothèses hautes fréquences. Cela permet de bonnes modélsatons d objets surdmensonnés devant la longueur d onde. D autres formulatons approchées provennent d une assmlaton des résolutons à la théore des lgnes ou aux crcuts électrques. I... Méthode du Lancer de rayons La méthode du lancer de rayon RTA (Ray Tracng Approach) applquée à la CEM dans les années 99, consste à assmler dans une source, un ensemble de rayons évoluant dans une cavté. L nteracton entre les rayons et l objet suvra les los de l optque géométrque. Les paros d une cavté EM ont généralement une conductvté élevée et par conséquent un ndce de réflexon proche de. Le nombre d mages pour attendre la convergence est très mportant. Pour cela, sot le coeffcent de réflexon dot être atténué, sot le nombre de réflexons sur les paros dot être arbtrarement lmté, ntrodusant ans des «pertes numérques». Cette méthode asymptotque temporelle permet d obtenr une étude en fréquences dscrètes, et unquement en hautes fréquences car l avantage de cette théore apparaît lorsque les condtons de l optque géométrque sont satsfates. Les temps de calcul restent encore une fos très lourds lorsque les systèmes sont complexes. I... La méthode PEEC La méthode PEEC (Partal Element Equvalent Crcut) est une technque qu transforme un objet trdmensonnel en un crcut électrque équvalent passf composé de résstances, nductances, capactés et mutuelles partelles, qu peut être complété avec des modèles des composants éventuellement connectés à la structure et être successvement analysé, sot dans le domane temporel, sot dans le domane des fréquences, à travers un smulateur électrque de type Spce. Cette méthode a été ntrodute par Albert E. Ruehl au centre de recherches d IBM T.J. Watson en 97 et a surtout un ntérêt de smulaton locale 6

27 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes de grands systèmes, notamment pour tenr compte des mpédances nternes des conducteurs et de la géométre transversale. Ce bref nventare montre qu une méthode de résoluton n est pas unverselle, ce qu sgnfe qu l faut, pour chaque cas de fgure, comparer les méthodes avec chacune leurs propres lmtes théorques. Ans, la prédcton de la tenson ndute perturbant le composant actf sensble d un crcut mprmé nstallé à bord d une automoble, demande l enchanement de pluseurs méthodes de calcul. Dans un premer temps, une des technques explorées précédemment permettra de calculer le champ en tout pont de la structure nterne du véhcule. S agssant du couplage de ce champ avec le réseau de câbles ou avec le crcut mprmé, d autres approches seraent envsageables. Nous pensons aux théores des crcuts usuelles ou aux théores des lgnes dont nous allons rapporter les bases phénoménologques ans que les prncpaux protocoles de notaton qu s avéreront très utles pour la poursute de cette thèse. I.. Outl basé sur la théore des crcuts électrques équvalents Pour stuer les champs d applcaton EM des outls numérques basés sur la représentaton en schéma électrque équvalent, nous prenons l exemple de la contrbuton des composants électronques non lnéares lors de l évaluaton de l ampltude des tensons ndutes provoquées par un événement électromagnétque. Une étude récente réalsée au laboratore Telce par S.Bazzol [I.5] a montré que des charges non lnéares dspersées aux extrémtés d un réseau de câbles, nfluent notablement sur l ampltude des tensons ndutes. A ces problèmes non lnéares s ajoutent de nombreuses perturbatons causées par le boter du système ou encore par l mpédance équvalente des entrées/sortes. Ces phénomènes parastes apparassent généralement à des fréquences élevées de l ordre du GHz. La Fg I. présente une lgne de transmsson connectée à un équpement électronque représenté à l échelle mcroscopque par une puce de slcum protégée par des dodes ntégrées à cette même puce. Lgne de transmsson Puce de slcum Bondng Broches du boter PCB Fg I. : Schéma d un boter électronque relé à une lgne de transmsson et à un composant électronque. La parte actve du composant est la puce de slcum composée de pattes métallques et de sem-conducteurs de dmensons nféreures au mcron. Cette puce est nstallée sur un 7

28 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes substrat d épasseur de 35 à 5 µm et de surface de à 5 mm. Cette puce est relée aux pstes du crcut mprmé par l ntermédare de broches métallques et de bondng (fls en or). Le tout est nstallé dans une résne consttuant le boter du composant. Le crcut mprmé est relé à des lgnes de transmsson pour connecter les dfférents équpements électronques consttuant le grand système. Cet exemple tradut typquement les concepts multéchelles, multphysques et multparamètres : Les dmensons des lgnes de transmsson peuvent attendre des centanes de mètres alors que la talle du composant actf et du boter sont de l ordre de quelques mcromètres. Deux types de physques cohabtent dans ce système : les courants et tensons se propageant dans les lgnes et puces et l agresson de type onde électromagnétque localsée au nveau des lgnes de transmsson. L aspect multparamètre est caractérsé par la présence de nombreux éléments localsés dont la fonctonnalté est varée, comme la lgne de transmsson, le boter et la puce de slcum. a. Etude des lgnes de transmsson multples L étude des lgnes de transmsson multples par des outls basés sur la théore des crcuts permettra une modélsaton smple et effcace des perturbatons condutes vers les équpements électronques. Nous dssocons deux types d analyse : la premère est basée sur la théore des lgnes et la résoluton se fat drectement par calcul des tensons et courants sur des éléments de lgnes (paragraphe I...). La deuxème est l analyse topologque pour l étude des couplages EM. Cette méthode présentée dans le paragraphe I..3 utlse les paramètres S pour résoudre l équaton B.L.T. b. Etude du boter Les constructeurs de ces composants proposent des modèles électrques équvalents pour représenter les comportements électrques du boter. Par exemple, les mpédances parastes sgnfcatves drectement lées aux dmensons des «bondng», des broches du boter ou des soudures permettront de défnr le comportement d une agresson EM de haute fréquence sur ces dfférents petts éléments. Le schéma électrque équvalent du boter suvant donne un exemple de modèle élaboré par les constructeurs de crcuts mprmés. Soudure Broche Bondng PCB R L R L Puce mcroélectronque C C C Fg I.3 : Schéma équvalent du boter 8

29 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes c. Les dodes de protecton Les protectons contre les agressons EM sont nombreuses. Elles sont généralement consttuées de pluseurs dodes connectées entre les lgnes de données et la masse, ans qu entre les lgnes de données et l almentaton et parfos entre l almentaton et la masse. VCC VCC clamp I/O GND clamp Foncton Power clamp GND Fg I.4 : Schéma équvalent des dodes de protecton S une agresson EM attent l entrée/sorte et dépasse le nveau de tenson VCC, la dode VCC clamp entre en conducton. Le sgnal perturbé dont les ampltudes dépassaent la tenson VCC va être écrêté à cette valeur maxmale VCC. De la même manère, la dode GND clamp entre en conducton lorsque la tenson du sgnal perturbé sur le port entrée/sorte est nféreure à la référence GND. Les perturbatons d ampltude seront alors écrêtées à ce nveau bas. Enfn, une trosème protecton est applquée entre VCC et la référence GND pour lmter d éventuelles perturbatons condutes va l almentaton ou le plan de référence. Le sgnal utle ne sera pas modfé alors que les perturbatons de trop fortes ampltudes dans la bande passante de fonctonnement des dodes seront écrêtées. Notons l mportance des effets non-lnéares ntroduts par ces dodes de protecton. En effet, dans le cas où une agresson EM est susceptble de mettre en conducton les dodes, des phénomènes transtores lés aux comportements des dodes suvent des los non-lnéares dont la contrbuton a pour effet de modfer temporarement les charges vues aux extrémtés des lgnes de propagaton. Ces phénomènes, néglgés dans les outls numérques actuels, complquent les prédctons des agressons EM ndutes. d. Etude des composants actfs. Enfn, les composants actfs assurant les fonctons électronques, généralement consttués de matéraux sem-conducteurs, ont un comportement capactf dans la majorté des cas. Les constructeurs de puces modélsent habtuellement ces structures par une capacté équvalente de l ordre de quelques pf mse en parallèle entre l entrée/sorte et la référence. On résume dans la fgure suvante les dfférentes étapes d étude d une connexon entre lgne de transmsson et composant. Ces sous blocs seront chacun modélsés par des outls basés sur la théore de type crcut électrque. 9

30 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes Boter Soudure Broche Bondng Dodes de protecton VCC µ électronque Lgne de transmsson C R C L C R L VCC clamp GND clamp C comp GND Fg I.5 : Schéma électrque équvalent du composant relé à une lgne de transmsson L analyse de ces blocs va fare ntervenr des concepts et des notatons fondamentaux d éléments localsés que nous rappelons dans la parte suvante I... Nous nssterons sur les modèles des composants non-lnéares, naturellement présents aux extrémtés des réseaux de câbles. I... Concept d éléments localsés : La théore des crcuts dont nous allons largement utlser les proprétés dans la poursute de la thèse, consttue un outl commode pour représenter les phénomènes de propagaton ntervenant sur les lgnes de transmsson. Afn d évter tout rsque de confuson, nous consacrerons les pages qu suvent à un descrptf des notatons adoptées pour décrre les prncpaux éléments rencontrés dans les crcuts. Le comportement des composants électrques est rég par la relaton lant le courant et la dfférence de potentel aux bornes de ces éléments. Le courant exprmé en ampère crcule dans un élément correspondant à la quantté de charge q (en coulomb) qu le traverse par unté de temps dt (en seconde). dq( t) ( t) (I.) dt La tenson aux bornes d un élément est produte par le passage de charges à travers cet élément tradusant une dfférence de potentel entre ses bornes. Les éléments de ce modèle sont essentellement des dpôles ou des quadrpôles. Nous traterons c le cas smple du dpôle. UV A -V B A B Fg I.6 : Caractérstque courant tenson d un dpôle Un dpôle caractérse deux types de relaton, sot une relaton de proportonnalté entre les courants le traversant et la tenson à laquelle l est soums, ou une relaton entre l un de ces paramètres et la dérvée du second rapportée à la varable temps. Ces relatons sont accessorement projetées dans l espace symbolque au moyen des proprétés ben connues de la transformée de Laplace. 3

31 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes S on s adresse à des sgnaux snusoïdaux entretenus, et foncton de la varable temps, les relatons précédentes feront ntervenr les tensons, les courants et les mpédances ou admttances représentés par des quanttés complexes. Dans le domane symbolque, comme dans le domane fréquentel, les symboles des courants et tensons seront portés en lettres majuscules, alors que les paramètres exprmés en foncton de la varable temps seront donnés sous une syntaxe mnuscule. Les composants fondamentaux sont présentés c-dessous. I... La résstance ou conductance Un dpôle élémentare dont les caractérstques courants-tensons sont relées par l équaton (I.) suvante, est une résstance de valeur R exprmée en ohm. avec u ( t) R. ( t) ou U ( p) R. I( p) p σ + jω, la varable complexe de Laplace (I.) Les expressons sont données dans les domanes temporels et fréquentels. De façon équvalente, la conductance G R - peut être défne par les relatons suvantes : ( t) G. u( t) ou ( p) G. u( p) (I.3) A u B R Fg I.7 : La résstance S R est constante au cours du temps, la résstance est lnéare et la courbe caractérstque tenson-courant est donnée Fg I.8.a. La Fg I.8.b représente un exemple de caractérstque de résstance non-lnéare. Fg I.8 : Caractérstque u et d une résstance lnéare (a) et non-lnéare (b) I... La capacté La charge q(t) est défne par la relaton suvante : t ( t). dt q() + q( t) ( t). dt (I.4) t 3

32 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes Exprmée d une autre manère, nous retrouvons l équaton (I.) dq( t) ( t) (I.5) dt Un dpôle élémentare défn par la relaton suvante est une capacté C, exprmée en farad (F). q ( t) Cu( t) (I.6) En général, C dépend du temps et de la charge q et de la tenson u. Dans le cas partculer où C est constant, la capacté est dte lnéare. u A B C Fg I.9 : La capacté Dans le cas général, en combnant les équatons (I.5) et (I.6), nous obtenons pour une capacté lnéare : t U() u( t) u() + d( t) ou U ( p) + I( p) (I.7) C p pc I...3 L nductance L ntégrale d une force électromotrce u(t) est appelée le flux Φ (t). t u( x) dx Φ() + Φ( t) u( x) dx et t u( t) dφ( t) dt (I.8) De la même manère que précédemment, un dpôle élémentare défn par la relaton (I.9) est une nductance L exprmée en henry (H). Φ ( t ) L. ( t) (I.9) A u B L Fg I. : L nductance 3

33 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes En général, L est une foncton dépendante de t et de Φ ou du dpôle. Dans le cas où l on consdère L constante, cette nductance est alors lnéare. En utlsant les équatons précédentes, nous obtenons dans ce cas, d( t) u( t) L ou U( p) pl. I( p) pli() dt (I.) L nductance est caractérsée par les grandeurs flux Φ et courant : Fg I. : Caractérstque Φ et d une nductance lnéare (a) et non-lnéare (b) La plupart des systèmes embarqués dans les grands systèmes ont naturellement des comportements électrques non-lnéares. Nous ctons à ttre d exemple les composants actfs comme les transstors ou les crcuts ntégrés, ou certans composants passfs comme la dode. Dans la prédcton des systèmes CEM complexes, la prse en compte «exacte» de ces éléments non-lnéares permettra de prendre en compte l nfluence de ces composants sur la perturbaton. I...4 La dode Les fonctons électronques non-lnéares utlsées quotdennement sont en majorté réalsées par des structures mcroélectronques à base de slcum. Le comportement de ces composants est drectement lé au phénomène physque se produsant entre deux structures crstallnes de slcum. La premère, dopée P (les trous) et la deuxème, dopée N (les électrons) forment une joncton PN consttuant le composant classque qu est la dode. Une joncton PN formée de deux volumes de slcum P et N sont collés l un à l autre formant une joncton métallque. Les porteurs génèrent alors un déséqulbre de part et d autre de la joncton métallque, ce qu entrane une dffuson à travers cette nterface. La dfférence de charge ans créée donne nassance à un champ électrque E de rétenton. La dffuson cesse lorsque ce derner est suffsant pour s opposer au déplacement des porteurs. Ce volume dans lequel les mpuretés ont été onsées est appelé Zone de Charge d Espace (ZCE). Le reste des substrats reste électrquement neutre. Les porteurs lbres se recombnent dans la ZCE. Cette zone ne possédant presque plus de porteurs lbres en fat une zone très peu conductrce. En dehors de cette zone, les deux dopages P et N sont à leur état ntal et possèdent une conductvté mportante. 33

34 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes Fg I. : Schéma de la dode La polarsaton d une joncton PN consste à mposer une dfférence de potentel entre les substrats N et P. La polarsaton est drecte lorsque le potentel du côté P est supéreur au côté N. Lorsque suffsamment de porteurs N et P sont njectés respectvement dans les substrats dopés N et P, la ZCE dmnue et à partr d une tenson de seul, la dode est dte passante. En polarsaton nverse, le potentel est plus fable du côté P que du côté N. Les porteurs njectés de chaque côté sont alors mnortares. La ZCE augmente et la dode est dte bloquée. La caractérstque non-lnéare courant tenson de la dode peut être exprmée sous forme analytque par la relaton lant la tenson V d aux bornes du dpôle et le courant I d le traversant. Vd Vt I d I ds e (I.) I ds est le courant nverse déal et V t est donné par la relaton suvante V t kt λ (I.) q Avec K la constante de Boltzmann (.38-3 J/ K), T la température ( K), q la charge de l électron (.6-9 C), λ, un coeffcent d émsson, foncton de la joncton. Fg I.3 : Caractérstques U/I de la dode 34

35 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes I...5 Les sources Les sources telles qu elles sont défnes c sont des représentatons de phénomènes physques que nous avons adaptés par commodtés. Nous présentons c-dessous les dfférents types de sources que l on pourra trouver dans la sute du mémore. Une source de tenson ndépendante est un dpôle délvrant à ses bornes une tenson mposée quel que sot le courant qu lu est applqué. D une manère duale, une source de courant ndépendante délvre un courant mposé, ndépendant de la tenson à ses bornes. Une source de tenson et une source de courant contnu délvrent des sgnaux constants en foncton du temps. u + ou Fg I.4 : Source de tenson Source de courant Les sources dépendantes de tenson ou de courant, sont drectement lées à une grandeur courant ou tenson caractérsant un autre élément d un réseau. Par exemple, la tenson u( t) α( t) représente la source de tenson dépendante du courant (t) traversant un autre dpôle du réseau. S le coeffcent α est lnéare, la source est lnéare. u(t)α (t) (t)αu (t) Fg I.5 : Source de tenson et de courant dépendantes Les sources snusoïdales englobent les sources délvrant des tensons ou courants complexes cosnusoïdales ou snusoïdales, de valeur effcace X, de pulsaton ω (ou de pérode Tπ/ω), et de phase φ. I...6 Les los classques des réseaux électrques Les composants électronques sont régs par les los classques des réseaux électrques. La lo d Ohm exprme la relaton entre tensons et courants. La tenson U aux bornes d'un conducteur ohmque est égale au produt de sa résstance R par l'ntensté I du courant qu le traverse. U R. I (I.3) La lo d'ohm s'applque aux conducteurs ohmques en courant contnu, mas auss en courants varables pour les dpôles ohmques purement résstfs. Dans les autres cas de dpôles, l équaton (I.3) n'est plus valable. La résstance sera alors remplacée par l mpédance complexe. Les los de Krchhoff exprment la conservaton de l énerge et de la charge dans un crcut électrque (lo des nœuds et des malles). 35

36 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes La lo des nœuds stpule que la somme algébrque des ntenstés des courants qu convergent vers un nœud est nulle. Autrement dt, la somme des courants rentrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortants. Cet axome est subordonné au fat que toutes les tensons possèdent la même orentaton, ce qu n est manfestement pas le cas sur la Fg I.6. Il est alors mportant de précser que le courant de malle est fxé dans le sens ndqué et que la somme algébrque dans la malle des forces électromotrces et des dfférences de potentel aux bornes des résstances, est nulle. La Fg I.6 llustre ces deux los de Krchhoff. e u 4 u 3 e e u e + u Fg I.6 : Lo des nœuds et lo des malles Les théorèmes de Thevenn, Norton, de superposton, de récprocté, de Mllman permettent d optmser la mse en équaton d un réseau électrque. Le traval de thèse utlsera abondamment toutes les bases théorques et notatons des composants et des relatons électrques défns précédemment. Les logcels comme Pspce, SABER ou PSIM sont par exemple adaptés pour l étude des composants non-lnéares (dode) dans le domane temporel. Ils explotent les los de Krchhoff dans une méthode numérque dte nodale. L étude des lgnes de transmsson à pertes et des éléments dspersfs sera, quant à elle plutôt résolue dans le domane des fréquences en utlsant par exemple le logcel Mcrowave Desgn System (HP). I... Formalsme des lgnes de transmsson Comme nous l avons vu dans la problématque d étude électromagnétque des grands systèmes, les réseaux de câbles présents dans les aéronefs, les automobles ou les armes jouent un rôle détermnant en CEM dans la détermnaton des nveaux de couplages. Une lgne parcourant une référence de masse peut fare offce d antenne réceptrce, condusant les agressons électromagnétques vers les composants électronques sensbles. Cette même lgne peut également être consdérée comme une antenne émettrce de perturbatons car les données transportées, qu l s agsse de sgnaux utles ou parastes, sont susceptbles de rayonner un champ dans son envronnement proche. Pour cette rason, la prédcton des comportements des lgnes de propagaton prend une place fondamentale dans l étude des couplages électromagnétques d un grand système. Nous appelons lgne de transmsson, un conducteur dsposé parallèlement à une référence de potentel qu peut être composée d un plan métallque ou de tout autre 36

37 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes conducteur. Lorsque la lgne satsfat les condtons de la propagaton transverse électromagnétque ou TEM, les calculs peuvent être menés analytquement ou au moyen de la résoluton des équatons des télégraphstes. La propagaton TEM sgnfe que l énerge électromagnétque rayonnée transversalement à la lgne est de fable ampltude au regard de l énerge transportée dans la drecton longtudnale. On marque cette condton mplctement satsfate dès que la longueur d onde du sgnal transverse est supéreure à l espacement h de la lgne rapportée au conducteur de référence. En pratque, on admet qu un rapport supéreur à dx est amplement suffsant. Sous ces condtons, le calcul de l nducton d une onde peut être réalsé moyennant les développements présentés dans la secton suvante [I.6]. h<<λ L L h<<λ Fg I.7 : Hypothèse sur les lgnes de transmsson I... Equaton des télégraphstes d une lgne monoflare Le schéma électrque d un pett tronçon de lgne de longueur dz supposé nféreur à la longueur d onde, est présenté sur la Fg I.8. x y z I(z) V(z) E H k dz z I(z) V s (z).dz R.dz L.dz I(z+dz) V(z) I s (z).dz G.dz C.dz V(z+dz) dz Fg I.8 : Schéma électrque équvalent d un élément de lgne de transmsson monoflare Rappelons que ce modèle est applcable pour un plan de référence nfn, de façon à utlser les proprétés de symétres. S l s agt d un conducteur autre qu un plan, le mécansme est plus complqué car l s y superpose une nducton de mode commun qu on ne peut résoudre qu à l ade d un calcul numérque. En général, les phénomènes de propagaton et de couplage sont caractérsés par les éléments lnéques réparts L et C, respectvement l nductance lnéque et la capacté lnéque du tronçon de lgne. Les pertes statques, les pertes par effet de peau et les pertes dans les délectrques sont représentées par la résstance lnéque R et la conductance lnéque G. Sous les hypothèses d une lgne sans perte, ces éléments peuvent être oms. 37

38 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes Les sources de tensons et de courants présentes sur un tronçon de câble peuvent llustrer une agresson EM localsée ou dstrbuée sur une parte de la lgne comme c est le cas de la Fg I.8. Les sources de tensons et de courants seront détermnées en effectuant une transformaton basée sur les los de l nducton entre les grandeurs physques électromagnétques (E et H) et électrques (V s et I s ) Les vecteurs E (en V.m - ) et H (en A.m - ) sont les champs électrques et magnétques ncdents au système conducteur plan de référence. Les grandeurs usuelles de la théore des crcuts électrques sont les tensons et courants sources V s (Volt) et I s (Ampère). La source de courant représente le couplage électrque pur pour une onde parvenant sous ncdence rasante par rapport au plan de masse, avec une drecton de propagaton perpendculare au conducteur et une polarsaton telle que le vecteur champ électrque E x sot normal au plan de référence. L nducton de charges postves et négatves créée sur les deux conducteurs, et sur un élément dz nfntésmal, est modélsée par la source de courant I s.dz que l on obtent par la formule analytque suvante : I s h jω C E. dx (I.4) x La source de tenson représente le couplage magnétque pur produt par l onde ncdente ayant une drecton de propagaton normale au plan de référence et une polarsaton telle que le champ magnétque sot perpendculare à la lgne et le champ électrque parallèle. Le champ magnétque H y génère un flux entre les deux conducteurs qu donne nassance à une force électromotrce modélsée par la source de tenson V s.dz que l on obtent par la formule analytque suvante : V s h H y. jωµ dx (I.5) Généralement, les couplages électrques et magnétques survennent de manère smultanée. L onde ncdente peut alors provenr de la manère présentée sur la Fg I.8 pour générer un couplage électromagnétque hybrde. Dans ce cas, les deux couplages ntervennent smultanément avec des valeurs de mêmes ordres de grandeurs. Les los de Krchhoff applquées au réseau de la Fg I.8 permettent d écrre les équatons des télégraphstes des courants et tensons le long de la lgne. V ( z) z Z. I( z) + V s ( z) (I.6) I ( z) Y. V ( z) + I z s ( z) (I.7) Z et Y sont respectvement les mpédances et admttances lnéques de l élément dz de la lgne et dépendent des éléments lnéques : Z R + jlω (I.8) 38

39 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes Y G + jcω (I.9) Les équatons de propagaton sont alors obtenues par dfférentaton des formules (I.6) et (I.7) et en les combnant. s V ( z) V ( z) Z. Y. V ( z) Z. I z z s I ( z) I ( z) Y. Z. I( z) Y. I z z s s ( z) ( z) (I.) (I.) On rappelle l équaton d onde en courant suvante : z v t avec v (I.) LC Les équatons (I.) et (I.) ont pour soluton les expressons suvantes avec V et V r les ondes progressves et rétrogrades. V γz γz ( z) Ve + Vre (I.3) I γz γz ( z) Ie + I re (I.4) La constante de propagaton γ de la lgne qu apparaît dans ces dernères équatons dépend des paramètres lnéques de la lgne : ( R + jlω)( G jcω) γ α + j β Z Y. +. (I.5) α (népers/m) représente l atténuaton de la lgne. La parte magnare β (rad/m) est la constante de phase. Enfn, l mpédance caractérstque Z c de la lgne est défne par : Z c V I Z Y R + jlω G + jcω (I.6) I... Résoluton modale des lgnes multflares La généralsaton du schéma de la lgne monoflare à un réseau de tros fasceaux multconducteur en parallèle aboutt au schéma électrque de la Fg I.9 auquel est assocé un système à tros équatons de propagaton. Pour smplfer les notatons, nous utlserons la forme matrcelle qu permettra notamment une bonne représentaton des dvers couplages électromagnétques fl à fl par l ntermédare de termes extra dagonaux apparassant dans les matrces mpédances et admttances lnéques. 39

40 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes I (z) V s (z).dz I (z+dz) V (z) I (z) I 3 (z) V (z) V 3 (z) V s (z).dz V 3s (z).dz [Z] I s (z).dz I s (z).dz I s 3 (z).dz [Y] I (z+dz) I 3 (z+dz) V (z+dz) V (z+dz) V 3 (z+dz) dz Fg I.9 : Schéma électrque équvalent d un élément de lgne de transmsson multconducteur L équaton (I.6) exprmant les tensons V (z) présentes sur chacun des tros conducteurs surmontant un plan de référence (Fg I.9), est réécrte sous la forme matrcelle. [ V ( z) ] z s [ Z ][. I ( z) ] + [ V ( z) ] (I.7) L équaton (I.7) exprmant les courants des tros conducteurs, prend la forme suvante : [ I( z) ] z s [ Y ][. V ( z) ] + [ I ( z) ] (I.8) Les vecteurs tensons et courants et les matrces [Z] et [Y] sont donc en tros dmensons. En dfférencant les équatons précédentes, nous obtenons les équatons d onde du système : [ V ( z) ] z [ I ( z) ] z s [ ][ ][ ] [ V ( z) ] s Z. Y. V ( z) [ Z ][. I ( z) ] z s [ ][ ][ ] [ I ( z) ] s Y. Z. I( z) [ Y ][. I ( z) ] z (I.9) (I.3) Dans ces expressons fgure le produt des matrces [Z].[Y] dont les coeffcents tradusent la propagaton sur ces n conducteurs. La résoluton des équatons (I.8) ou (I.9) nécesste de dstnguer deux stuatons physques suvant que les conducteurs soent contenus dans un mleu délectrque homogène ou qu'ls soent revêtus de ganes délectrques formant un espace hétérogène. I... Conducteurs contenus dans un mleu homogène Dans le premer cas, les courants et tensons détermnés sur chaque conducteur se propagent à des vtesses dentques. En conséquence, sur un groupe de n conducteurs de dmensons longtudnales nfnes se propageront n ondes progressves rapportées à une vtesse dentque v strctement égale à la vtesse de propagaton des ondes dans le mleu homogène. 4

41 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes En conséquence, le produt des matrces nductance et capacté est représenté par une matrce dagonale dont les coeffcents sont tous dentques et strctement égaux à l'nverse du carré de la vtesse de propagaton, sot avec [ ], la matrce dentté : (I.3) [ C ][. L] [ L][. C] [ ] v On en dédut alors les matrces [ γ ] des constantes de propagaton et [Z c ], des mpédances caractérstques par analoge drecte avec la lgne monoflare. [ γ ] [ Z ][ Y ] ([ R] + j[ L] ω).([ G] + j[ C] ω). (I.3) [ Z c ] [ Z ][. Y ] [ ][. Y ] [ γ ].[ Z ] γ (I.33) Dans le cas où les matrces caractérsant les pertes [R] et [G] ne sont pas dagonales, la résoluton se fat par réducton des valeurs propres. La résoluton des équatons de propagaton nous donne fnalement les équatons suvantes V n γz ( z) V ne (I.34) I γz n ( z) I ne (I.35) I... Conducteurs comprenant une gane délectrque Dans le cas d une lgne plongée dans un délectrque hétérogène, le produt des matrces nductance et capacté n est plus dagonal et ces matrces ne respectent plus la proprété de commutatvté, sot : v [ C][. L] [ L][. C] [. ] (I.36) La résoluton de l'équaton d'onde nécesste alors le passage aux solutons propres désgnées par la sute au moyen des vecteurs et matrces portés en lettres mnuscules, l équaton d onde dans la base propre s exprme alors dans le cas où le courant source est nul : d I dt d ( γ )( I ) ( Γ )( ) Le passage dans la base propre donne une matrce ( ) Γ purement dagonale dont les coeffcents découlent de la résoluton de l'équaton aux valeurs propres, sot: dt (I.37) 4

42 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes [ ] λ[ ] γ λ ( Γ )... λ... λ (I.38) Ans pour une lgne de dmenson nfne, les solutons consttuées des courants et tensons exprmés dans la base propre forment un ensemble de n ondes progressves, dont les vecteurs courants et tensons possèdent pour éléments : Mode n ( z) n v ( z) v n n e n Γ e nz Γ nz (I.39) Courants et tensons modaux sont alors relés par l'mpédance caractérstque modale z cn. v n zcnn (I.4) La détermnaton des mpédances caractérstques modales s obtent par la recherche des matrces (T ) et (T v ) effectuant le passage des bases orgnales aux bases propres, les ndces et v se rapportent respectvement aux courants, pus, aux tensons. ( I) ( T )( ) ( V ) ( T v )( v) (I.4) La seconde équaton des télégraphstes exprmée dans la base propre prend pour forme: di d jω( C)( V ) jω( c)( v) dz dz (I.4) De cette transformaton, on montre asément que la matrce capacté (c) exprmée dans la base propre devent purement dagonale, sot : ( c) ( T ) ( C)( ) (I.43) T v L'mpédance caractérstque attachée au mode n est donc le rapport lant la constante de propagaton Γ n du mode consdéré et de l admttance lnéque c n correspondante, sot : z cn Γn jcnω (I.44) Plus généralement, on peut adjondre au mode n la vtesse modale v n relée à la constante de propagaton par l'expresson usuelle: 4

43 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes n ω j v Γ (I.45) n L extenson de ce rasonnement amène à défnr des nductances modales (l) contenues dans l expresson duale de la relaton, sot: ( l) ( T ) ( L)( ) (I.46) v T Toutes ces proprétés se résument à une relaton extrêmement smple entre le produt des Γ : matrces nductance et capacté modales et la matrce ( ) ( Γ ) ( c)( l) ω ( T ) ( C)( L)( ) ω (I.47) T L mpédance caractérstque du mode n est donc donnée par la racne carrée du rapport de l nductance et de la capacté lnéques appartenant à ce mode, sot : l nn z cn (I.48) cnn Pour des lgnes multflares comportant plus de deux conducteurs la recherche des valeurs et vecteurs propres peut s effectuer à l ade de méthodes numérques approprées. Dans le cas partculer d une lgne bflare stuée à proxmté d une référence de potentel, la structure des modes propres se dssoce en un mode commun (ou mode homopolare) et un mode dfférentel. La théore des lgnes de transmsson est, à ce stade d étude, relatvement dffcle à applquer à des systèmes de câblage complexes. Pour cette rason, dans les années 99, J.P Parmanter [I.7] de l Onera a reprs les travaux sur la topologe nstaurés ans plus tôt par Carl E. Baum [I.8] de l Ar Force Research Laboratory, pour l applquer à l étude des couplages électromagnétques sur des réseaux de câblage complexes. Nous ntrodusons dans la parte suvante l analyse topologque des couplages électromagnétques. I..3 Descrpton topologque des couplages EM I..3. Prncpe physque de l assemblage topologque La démarche topologque est l analyse des nteractons EM rencontrées sur les dvers nveaux de pénétraton d une perturbaton électromagnétque. En effet, la présence de frontères plus ou mons perméables aux agressons électromagnétques amène à consdérer l organsaton d un grand système comme un assemblage de volumes topologques. Chaque volume est caractérsé par une frontère physque qu sera dans la plupart des cas, consttuée 43

44 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes par un élément de protecton, à savor un blndage, un fltre ou tout autre artfce nterposé dans la progresson de la perturbaton. Pour concrétser cette démarche, nous consdérons l llumnaton d un véhcule automoble par un champ électromagnétque comme le montre la Fg I.. Auto rado Arbags Fg I. : Exemple d agresson EM d un système On consdère le cas smplfé d une agresson EM générée par une premère antenne extéreure qu ndut une perturbaton sur une deuxème antenne qu peut être l antenne rado de la voture. A son tour, cette antenne va rayonner un champ EM à l ntéreur du véhcule qu sera à son tour capté par une trosème antenne consttuée par exemple de la lgne de transmsson du déclencheur de l arbag. Dans le pre des cas, s l agresson est assez mportante, s la casse de la voture se comporte comme une cavté résonante et s les lgnes de transmsson du déclencheur de l arbag sont dans des zones de champ EM fort dont le couplage est rendu effcace par des condtons de transmsson adéquates, l arbag pourrat se déclencher nopnément. A partr de ce rasonnement physque prélmnare, nous allons construre le dagramme topologque détallé dans la prochane secton. I..3. Consttuton du graphe topologque L nventare des dfférentes frontères ou protectons qu atténuent le champ électromagnétque vont consttuer des surfaces topologques qu délmtent des volumes évoqués en préambule. Nous ferons l hypothèse que ces volumes peuvent être tous ndépendants, cela sgnfe que l énerge qu a pénétré d un volume vers un autre est suffsamment atténuée pour néglger l nfluence de sa rétroacton. Il s agt en termnologe anglophone de l approche top down assocée à des hypothèses de couplages fables. L étude des volumes et surfaces du système condut à l établssement du dagramme topologque du problème. La Fg I. propose un découpage topologque du système. 44

45 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes V, V, V 3,5 V 3,4 S,;, V, Arbags V 3,3 Auto rado V 3, V 3, S,;, Fg I. : Découpage topologque Les sous volumes V 3, de nveaux topologques les plus bas donnent pour chaque sous-système une représentaton physque adaptée. V 3, correspond au volume représentatf du câblage de la voture, relé au crcut mprmé commandant le déclencheur de l arbag. Pour modélser V 3,, nous chosrons par exemple la théore des crcuts pour représenter les composants actfs de l arbag. La théore des lgnes multples pourra quant à elle permettre de smuler une parte du réseau de câble. Le volume V 3, est la structure métallque de la voture. Les agressons électromagnétques ntrodutes dans ce volume, génèreront des zones d ampltude élevées drectement lées aux dmensons et aux longueurs d onde des perturbatons. Pour cela nous pourrons par exemple chosr un outl de type full wave comme la FDTD qu présente l avantage de ben caractérser des structures géométrques complexes. V 3,3 représente le récepteur rado comprenant la parte du câblage présente dans la casse de l automoble relant les crcuts actfs de l autorado et l antenne présente à l extéreur du véhcule. Les phénomènes physques assocés sont du même ordre que le volume V 3,. V 3,4 et V 3,5 sont respectvement l antenne rado extéreure de la voture et l antenne source des perturbatons, toutes deux surdmensonnées devant la longueur d onde. Les couplages électromagnétques en champ lontan entre ces deux antennes peuvent être caractérsés analytquement dans le volume topologque V,. Les tros sous volumes présents à l ntéreur de la casse du véhcule, V 3, à V 3,3 sont regroupés dans le volume V,. Les nteractons entre tous les volumes V 3, sont de type couplages EM. Fnalement, le volume V, connecte les deux sous volumes V, par l ntermédare du couplage par conducton entre les deux antennes ntéreure et extéreure de la voture. De manère smplfée, on représente ces volumes et surfaces à l ade d un dagramme topologque llustré Fg I.. S,;, S,;, S S,;3,3,;3, S,;3, S S,;3,5,;3,4 Fg I. : Dagramme topologque du système. 45

46 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes Le problème global est ans rédut à pluseurs problèmes partels lmtés aux volumes topologques notés dans la fgure V,j. représente le nveau de blndage du volume et j le numéro d dentfcaton de ce volume parm les autres volumes de même nveau de blndage. Les surfaces S,j ;k,l dentfées sur la Fg I., caractérsent les frontères topologques du système, c est-à-dre que les nveaux des sgnaux transms à travers cette paro sont néglgeables. Les surfaces topologques S, ;, et S, ;, décrvent la frontère topologque entre l ntéreur et l extéreur de l habtacle du véhcule. Le transfert d énerge entre ces deux zones sera localsé et analysé selon la forme de l nteracton : Ce peut-être le couplage en mode condut par l antenne rado, ou les couplages électromagnétques en mode rayonné s nfltrant par les ouvertures de la casse. Entre les quatre antennes et la cavté, l exste des nteractons EM représentées de manère plus avantageuse par un graphe topologque présenté dans la Fg I.3 suvante : V, V, V, V 3, V 3, V 3,3 V 3,4 V 3,5 Fg I.3 : Graphe topologque du système complexe. Dans celu-c, on smplfe le système complexe en prvlégant certans axes de pénétraton de l énerge EM afn de résoudre le problème dans son ensemble. Le graphe topologque tradut les nteractons EM entre les dfférents volumes topologques. A chaque volume, on assoce un nœud du graphe, à chaque surface délmtant deux volumes topologques, on assoce une arrête relant les deux nœuds correspondant aux volumes. On a chos de représenter les nteractons entre la lgne connectée à l arbag et la cavté vde ; la cavté et la parte ntéreure de l antenne connectée à la rado, et enfn le couplage exstant entre les deux antennes présentes à l extéreur du véhcule. Cette représentaton arborescente permet d agencer plus faclement les nteractons de la structure mas permet surtout de se prêter parfatement à une descrpton nformatque, contrarement au dagramme. A ce stade de l étude, on peut fare appel à toutes les théores des graphes pour smplfer la représentaton du système. L avantage de la méthode topologque est déjà clar à ce stade. Chaque sous-volume peut être représenté ndépendamment de ses vosns. Le volume V 3, pourrat à plus grande échelle, représenter le réseau de câblage enter du véhcule et être modélsé par un outl adapté. Sachant que les réseaux de câbles jouent un rôle majeur dans la descrpton topologque de tout grand système, J.P.Parmanter a ms en place dans les années quatre vngt dx un formalsme permettant l étude de ces réseaux de câbles au moyen des paramètres S dont nous allons brèvement rappeler le contexte théorque. 46

47 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes I..3.3 Descrpton topologque d un réseau de câbles multconducteurs arborescents La descrpton topologque d un réseau de câbles multconducteurs arborescents s effectue en assocant à chaque branche du réseau un «tube» et sur chaque bfurcaton auss élémentare sot-elle, une «joncton», llustrés dans le réseau de la fgure suvante. Ces deux nouveaux termes seront détallés dans les paragraphes suvants. Joncton 3 W (z) W (zl) Tube Joncton W (z L) Tube Joncton W (z ) Tube 3 Joncton 4 Fg I.4 : Descrpton topologque d un réseau comportant une bfurcaton Chaque tube comportera deux ondes W et W j dont les drectons de propagaton seront opposées, les ondes seront relées aux courants et tensons physques défns sur chacun des conducteurs composant le tube. La propagaton d une onde sur le tube sera assocée à une matrce propagaton ( Γ ) alors que le transfert des ondes au nveau des jonctons stuées aux deux extrémtés d un tube demandera l applcaton des condtons aux lmtes mposées aux paramètres S également attachés aux proprétés de propagaton des ondes. Ondes, paramètres S et matrce de propagaton ( Γ ) seront fnalement fusonnés pour fare l équaton B.L.T. défne au paragraphe..3.7, dont la résoluton fournra l ampltude des courants et tensons présentes sur les jonctons du réseau. I..3.4 Ondes progressves et rétrogrades L objectf est de calculer les tensons et courants localsés aux extrémtés des lgnes de propagaton que l on représentera par les vecteurs nconnus [V(z)] et [I(z)]. L adopton d un formalsme spécfque est ndspensable pour l analyse d un réseau de câblage par les paramètres S. Pour cela, nous utlserons un changement de varable pour manpuler des grandeurs de type «onde» se propageant en sens contrares que l on nommera onde progressve W, ou [V(z)] + et rétrograde W j, ou [V(z)] -. On les défnt par les expressons suvantes : W + (I.49) [V(z)] [ V ( z)] + [ Z c ( z)].[ I ( z)] W j [V(z)] [ V ( z)] [ Z ( z)].[ I( z)] (I.5) c A chaque joncton, sera attrbuée une matrce des paramètres S rensegnant le comportement des ondes réfléches ou transmses pour chaque conducteur. Les équatons dfférentelles (I.7) et (I.8) sont reprses en effectuant les changements de varables. Nous obtenons les équatons de Krchhoff en ondes : 47

48 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes [V(z)] z [V(z)] z s γ [ V ( z)] (I.5) + + [ ].[V(z)] + [ ].[V(z)] + s γ [ V ( z)] (I.5) L équaton de Krchhoff en ondes des courants s obtent de la même manère et sera dentque aux expressons précédentes. Un deuxème changement de varable z z-l permet pour l onde rétrograde d être consdérée comme une deuxème onde progressve mas de drecton de propagaton opposée partant d une extrémté de la lgne. V(z) + V(zL) + V(z L) - V(z )- zl z Fg I.5 : Ondes progressves et rétrogrades z z L En consdérant seulement les ondes de tenson progressves que l on notera W(z), nous obtenons les solutons des équatons précédentes (I.5) et (I.5) : [ γ ] L [ W ( z L)] [ V ( z L)] + e.[ V ( z )] + + e [ γ ] L [ W ( z' L)] [ V ( z' L)] + e.[ V ( z' )] + + e L L [ γ ].( L z) [ γ ].( L z').[ V.[ V s s ( z)] +. dz ( z')]. dz' + (I.53) (I.54) Ces expressons contennent un terme représentatf de la propagaton des ondes sur les conducteurs et un deuxème terme caractérsant la propagaton d une onde source [ V s ( z)] +. Ces changements de varables vont permettre une représentaton convvale en utlsant des «tubes» pour la propagaton des sgnaux, et des «jonctons» pour les connexons entre lgnes et pour défnr les charges lnéares aux extrémtés. I..3.5 Les tubes Nous posons la relaton lant les ondes progressves et rétrogrades à un pont d abscsse z en foncton des tensons et courants présents sur les conducteurs du fasceau. [ W ( z)] [ V ( z)] + [ Zc].[ I( z)]' (I.55) La fgure suvante llustre la noton de tube. 48

49 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes W (z) W (zl) Joncton Tube Joncton W (z L) W (z ) Fg I.6 : Ondes se propageant sur un tube Les ondes progressves sont les ondes sortantes des jonctons. Ces ondes sont toujours repérées par une coordonnée (z ou z c) nulle. Nous noterons donc : [ [ V ( z )] ()] [ V ( z' )] W ( z ) W ( z' ) + W (I.56) La matrce gamma de propagaton dans le tube sera défne de la manère suvante : [ γ ]. e Γ] () [ [ γ ]. L L e () (I.57) Le len avec les expressons des équatons (I.53) et (I.54) permet de défnr la matrce des ondes sources suvante : [ W s ] L L e e [ γ ].( L z) [ γ ].( L z').[ V.[ V s ( z)] +. dz ( z' )] +. dz' s (I.58) En généralsant les équatons (I.55) et (I.56), la propagaton d une onde sur un tube s écrt donc sous la forme suvante : s [ W ( L)] [ Γ ].[ W ()] + [ W ] (I.59) Dans le cas où les lgnes sont mmergées dans un délectrque hétérogène, une transformaton dans la base modale permettra de dagonalser la matrce de propagaton γ. Les ondes W(z) seront alors détermnées dans la base modale. On retrouvera ensute par retour dans la base réelle les valeurs des tensons et courants aux nveaux de chaque joncton. I..3.6 Les jonctons Dans un réseau topologque, on trouve classquement deux types de jonctons. Les jonctons dtes déales, permettent de connecter des tubes entre eux pour caractérser par exemple des bfurcatons ou des connexons entre câbles. La joncton de la Fg I.4 est déale. Les jonctons termnales,, et 4 de la Fg I.4, permettront de défnr les éléments lnéares présents aux extrémtés des lgnes. Nous nsstons sur le fat que la caractérsaton des jonctons par les paramètres S exge des hypothèses lnéares sur les éléments électronques localsés aux extrémtés. Ce peut être des résstances, des nductances ou des capactés relant 49

50 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes les conducteurs du tube à la référence de masse (propagaton en mode commun) ou à un conducteur de référence (propagaton en mode dfférentel). Une joncton n est défnssable par la relaton lant les ondes entrantes et sortantes de cette joncton n drectement lée par sa matrce [S] n. [ W ()] [ S].[ W ( L)] (I.6) n n n Les termes de cette matrce S peuvent également être caractérsés à partr des matrces mpédance [Z n ] (ou admttance [Y n ]) d une joncton n et de la matrce des mpédances [Z c ] (ou admttances [Y c ]) caractérstques des conducteurs. [ S] n [ W ()] [ W ( L)] [ V ( z)] [ Z [ V ( z)] + [ Z c ( z)].[ I( z)] ( z)].[ I( z)] [ Zn ] [ Zc( z) ] [ Z ] + [ Z ( z) ] n c (I.6) n n c I..3.7 L équaton B.L.T Les équatons caractérstques des tubes (éq (I.59)) et des jonctons (éq (I.6)), sont généralsées à l ensemble du réseau. Pour cela, les vecteurs et matrces précédemment dentfés, devendront les éléments consttuant des «super-vecteurs» ou des «supermatrces». Fnalement, la combnason des deux équatons obtenues condut à l équaton BLT, où l nconnue est le super-vecteur d ondes sortantes [W()]. ([ ] [ S ][ Γ] )[ W ( ) ] [ S][ ] (I.6) Le terme BLT se réfère aux tros auteurs d un artcle dans lequel cette équaton apparaît : C.E. Baum, T.K. Lu et F. Tesche. La parte gauche de l équaton est une caractérstque ntrnsèque des couplages propres au réseau, tant sur les lgnes que sur les jonctons. La parte drote caractérse les couplages externes sur l ensemble du réseau. Les «super-vecteurs» courants et tensons sont ensute smplement exprmés en foncton de W ( ), W ( L) (ondes entrantes sur une joncton à la poston zl) et la matrce mpédance caractérstque [Z c ]. Cette méthode a perms la créaton du logcel CRYPTE. Basée sur les paramètres S, elle offre une bonne modélsaton des modes commun et dfférentel, prend en compte les pertes des lgnes et donne une bonne réponse en fréquence. Son utlsaton est relatvement smple et demande un temps de calcul rasonnable. Il reste néanmons le problème de la smulaton d mpédance non lnéare. L outl suggère également de connaître les paramètres prmares R, L, C et G et les mpédances de couplage entre les câbles parcourant un grand système. Sot les modèles de la théore des lgnes sont suffsants pour modélser ces sous volumes, sot des mesures localsées sont nécessares pour obtenr les paramètres S. W S 5

51 Chaptre I : Etat de l art de l analyse de problèmes de CEM applqués aux grands systèmes I..3.8 Exemple de modélsaton par l équaton BLT Dans sa thèse, Marc Olvas Carron a développé l analyse et la modélsaton du canal de propagaton d un véhcule par l équaton BLT [I.9]. La cohabtaton des systèmes électrques dans un véhcule moderne est llustrée Fg I.7 : Fg I.7 : Réseau topologque du câblage d une voture On dstngue tros types de protocoles de télécommuncaton : CAN, LIN et MOST. Le CAN (Controller Area Network) est un bus de communcaton peu couteux développé dans les années 8 pour des applcatons d électronques embarquées dans les automobles. Le débt maxmal d utlsaton est de Mbt/s brut. Ce protocole permet de reler le calculateur central (Central Body Controller) et les autres calculateurs comme celu du coffre, des feux de crosement, de l ABS ou de la drecton assstée. Le support physque de transmsson des données s effectue par des pares dfférentelles torsadées. Le LIN (Local Interconnect Network) est un standard plus récent développé en 999 basé sur la communcaton multplexée à bas coût pour l automoble. Le débt du LIN ne dépasse pas kbt/s. Il permet la transmsson des ordres reçus par les calculateurs vers les dfférents actonneurs. Le support physque de transport des sgnaux est le fl smple référé au plan de masse de la voture. Enfn, le MOST (Meda Orented Systems Transport), n a aucun ntérêt dans le cadre de cette thèse car ce protocole est basé sur un bus en fbre optque. Il est utlsé pour les applcatons nécesstant des débts supéreurs à Mbt/s. Notons également dans le contexte de la CEM, la présence de protocole de communcaton sans fl comme le Bluetooth, utlsé pour le contrôle de la presson des pneus ou pour les péages automatques. Ben que cet outl apporte une ade mportante à l analyse et à la prédcton des couplages EM nternes, la smulaton d un grand système tel un avon actuel n est pas encore envsageable. Fnalement, que ce sot un outl numérque basé sur la résoluton des équatons de Maxwell de type full wave ou 3D, que ce sot des méthodes dérvées d approxmatons des équatons de Maxwell, que ce sot une méthode basée sur la théore des lgnes de transmsson ou sur l analyse par les paramètres S, chacune de ces méthodes numérques offre des avantages spécfques à un phénomène physque partculer. Actuellement des méthodes 5