Éléments de cours de Probabilités

Transcription

1 Élémets de cours de Probabilités Licece de mathématiques Uiversité de Versailles Sait-Queti Jea-Fraçois Marckert Table des matières I. Itroductio 1 1. U peu d histoire Modélisatio et problèmes métaphysiques II. Espace de Probabilité fii et déombrable 3 1. Espace et mesure de probabilité Équiprobabilité a. Combiaiso et aragemets Foctios géératrices de déombremet a. Méthode géérale b. U exemple Idépedace d évéemets et probabilité coditioelle Espaces discrets a. Variables aléatoires discrètes b. Lois images c. Espérace, variace et momets d. Espérace d ue foctio d ue variable aléatoire e. Iégalité de Markov et de Bieaymé-Tchebichev Exemples de lois discrètes Famille de variables aléatoires Foctios géératrices de probabilité Variace et covariace III. Espaces de probabilités gééraux axiomatique de Kolmogorov : Variables aléatoires, espérace Lois de probabilité Variables aléatoires admettat ue desité

2 5. Exemples de lois admettat ue desité Foctio de répartitio a. Défiitio et premières propriétés b. Foctio de répartitio et desité Calcul de la loi d ue variable aléatoire a. Grâce à la foctio de répartitio b. Grâce au calcul de l espérace Lois joites Idépedaces Chagemet de variables Simulatios de variables aléatoires La foctio caractéristique a. Covolée b. Trasformée de Laplace IV. Théorèmes limites e probabilité Lemmes de Borel-Catelli Covergece e probabilité a. Loi faible des grads ombres Covergece presque sûre Covergece das L p Covergece e loi. Caractérisatios Critères gééraux de covergece e loi Théorème de la limite cetrale Hiérarchie des covergeces V. ANNEXES : Rappels d itégratio et de théorie des esembles Tribus et mesures Itégratio Quelques élémets sur les mesures sur R a. Décompositios des mesures réelles b. Applicatio aux mesures de probabilité

3 I. Itroductio Das cette itroductio ous allos commecer par ous poser les questios suivates, aïves au premier abord : - Que sot les probabilités? - Peut-o cocrètemet utiliser les résultats probabilistes das la vie de tous les jours? Si oui, quelle cofiace peut-o accorder aux résultats obteus? Bie etedu, ous e répodos pas vraimet à ces questios. 1. U peu d histoire O date souvet le début du calcul des probabilités aux premiers travaux de Pascal et Fermat (qui correspodaiet à ce sujet durat l aée 1654). Il va sas dire que les questios ayat traits au hasard (ou à certaies tetatives de le mesurer ) sot ettemet atérieures à cette époque ; les philosophes grecs s occupaiet de toutes les questios imagiables et doc bie sûr des problèmes de hasard et de détermiisme. Au début du 18ème siècle, la famille Beroulli d ue part et de Moivre d autre part réaliset de ombreuses avacées. E particulier, o doit à la première, la loi des grads ombres et au secod le théorème de la limite cetrale (pour ue somme de variables de Beroulli) retrouvée par Laplace 80 as plus tard. Puis, de ombreux scietifiques apportet des pierres à l édifice : Bayes, Leibiz... Il fallut attedre le début du 20 eme siècle pour lacer des fodemets mathématiques solides à la théorie des probabilités avec Poicaré, Borel et surtout Kolmogorov. Aujourd hui, la recherche e probabilité est très active et de ombreux résultats sot publiés chaque aée. L utilisatio des outils probabilistes et statistiques das toutes les scieces témoiget de l efficacité et de l importace de ces disciplies. 2. Modélisatio et problèmes métaphysiques Les problèmes posés à la costructio de la théorie des probabilités sot grossièremet de deux ordres : o veut se servir des calculs que l o fait e probabilité das la vraie vie. o e peut pas faire de mathématiques sas ue axiomatique claire et rigoureuse. E particulier, o e peut pas (décemmet) costruire des mathématiques e utilisat ue otio de hasard alors que l existece et ue défiitio de celui-ci sot sujets à discussio (et doet du travail aux philosophes depuis toujours). Aisi, par exemple, o pourrait avoir evie de défiir la probabilité d u évéemet (peser à la probabilité que la face supérieure d u dé doé tombe sur 6), comme la proportio asymptotique de résultats favorables par rapport au ombre d expérieces effectuées (la proportio asymptotique de 6 obteue). Il est clair que ceci pose de ombreux problèmes : par exemple, commet prouver que cette proportio coverge? Et même si elle coverge, commet vérifier que la proportio limite e chage pas si o refait ue suite d expérieces? Ou ecore, commet lacer u dé u ombre ifii de fois?! Le tour de force de Kolmogorov a été d utiliser les travaux tout jeues de la théorie de la mesure afi de costruire ue axiomatique cohérete et puissate. La probabilité des évéemets est perçue a priori : les résultats asymptotiques (dits fréquetistes comme la loi des grads ombres par exemple) devieet des théorèmes et e sot doc pas des défiitios comme o pourrait s y attedre. 1

4 Aisi, les probabilités fot parties des mathématiques. Ses théorèmes (résultats) sot iférés logiquemet sur l axiomatique de Kolmogorov et aisi, les théorèmes établis e probabilité possèdet le même statut que tous les autres résultats mathématiques. O isiste au passage sur le fait que la théorie des probabilités e suppose e aucue faço l existece du hasard, i ecore mois quelque propriété qu il pourrait avoir. Ceci est pas du tout u détail. Das la théorie des probabilités o défiit la probabilité d u évéemet élémetaire sas parler du tout d ue suite d expérieces. Maiteat, parlos u peu des applicatios des probabilités. Les probabilités et les statistiques sot utilisées das toutes les scieces. Commet alors détermier la probabilité d u évéemet réel? Comme o l a déjà plus ou mois laissé etedre, la questio est mal posée (c est-à-dire qu il existe pas de boes réposes à cette questio). Aisi, e pratique, o cherche u modèle probabiliste e accord (le plus possible) avec le phéomèe observé. Par exemple, si ue pièce e ous semble pas suspecte, o dira que la probabilité qu elle tombe sur pile est 1/2. Si 100 lacés doet 75 piles, o sera poussé à proposer u autre modèle. De ombreux problèmes itervieet lors de la modélisatio et sas trop retrer das les détails, il est importat de se redre compte que ce poit est le seul qui est vraimet toujours discutable : ue fois la modélisatio faite, il s agit de mathématiques et doc plus rie est discutable. Cosidéros ce derier exemple : o veut modéliser le jeu du loto ; o dit qu u tirage est u sous esemble à 7 élémets de Ω = {1,..., 49}. Pour des raisos de symétries o doe à toute partie A à 7 élémets das Ω, P(A) = 1/C49 7. Souvet, e probabilité, o suppose que les tirages sot idépedats de semaies e semaies. Il faut se redre compte que l o e pourra jamais prouver ceci (à cet pour cet de certitude). Pour e fiir avec ce petit paragraphe qui peut doer ue idée pessimiste de ce que l o peut faire avec les probabilités il est bo de réflechir au échages etre la partie mathématique et la partie applicatio des probabilités. Bie etedu, le but des probabilités est aussi de modéliser des problèmes ayat traits au hasard. Le hasard ourrit d ue part les otios probabilistes (c est-à-dire, otre coceptio du hasard ous pousse à défiir certaies otios, par exemple les otios d idépedace ou de probabilité coditioelle sot exactemet les otios ituitives) d autre part, e retour, le calcul des probabilités permet de devier le comportemet de certais phéomèes aléatoires. L efficacité des probabilités das les applicatios valide que les modélisatios choisies sot tout à fait coveables et costituet, si ce est ue image parfaite de la réalité, ue boe approximatio de celle-ci. 2

5 II. Espace de Probabilité fii et déombrable 1. Espace et mesure de probabilité Défiitio : O appelle espace de probabilité fii u esemble quelcoque de cardial fii (o l appelle égalemet espace d état, ou uivers). O le ote habituellemet Ω. Das la pratique, o imagie que les élémets de Ω sot les résultats possibles d ue expériece aléatoire. O appelle évéemet toute partie de Ω ; les atomes de Ω sot appelés évéemets élémetaires. Exemples : a) Pour le jeu de pile ou face o predra Ω = {p, f} ou Ω = {0, 1}. b) Pour ue suite de 10 lacers d ue pièce, o predra Ω = {p, f} 10, l esemble des 10 uplets composés de p et de f. c) Nombre de lacers d ue pièce avat qu elle e tombe sur pile Ω = N (o peut ajouter + à cet esemble si o le souhaite). d) Durée de la prochaie commuicatio téléphoique à la cabie du coi de la rue Ω = R +. Les esembles (c) et (d) e sot pas de cardiaux fiis. O traitera ces esembles ultérieuremet. O pourra remarquer que Ω peut très bie e pas être u esemble de ombres. Ue questio dérageate se pose : das l exemple (a) o pourrait avoir evie d ajouter {t} à Ω pour la trache de la pièce ou ce gere de chose. E fait, o peut mettre à peu près importe quoi das Ω, ce est pas bie importat. Ce qui est importat c est la mesure de probabilité que l o met sur lui (si o met ue probabilité telle que P({t}) = 0, tout se passe comme si {t} apparteait pas à Ω. Défiitio : Ue mesure de probabilité sur Ω est ue mesure (positive) sur l espace mesurable ( Ω, P(Ω) ) de masse totale 1, où P(Ω) désige l esemble des parties de Ω (P(Ω) est ue tribu). Notos P ue telle mesure. P est défiie de P(Ω) das [0, 1] et o doit avoir, pour tout A et B élémets de P(Ω), P(Ω) = 1, P(A B) = P(A) + P(B) si A et B sot disjoits. (1) Remarquos que l additivité ici suffit car le cardial de Ω est supposé fii (si Ω est pas fii, P doit être σ-additif). Exercice 1 : Motrer que si P est ue probabilité sur Ω (de cardial fii), alors pour tout A et B das P(Ω), o a P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), P( ) = 0, P(A c ) = 1 P(A), P(A) P(A B) + P(B c ) Exemples de mesures de probabilité (correspodats aux exemples vus plus haut) : 3

6 a) P({p}) = P({f}) = 1/2. Il s agit de la mesure P = 1 2 (δ p + δ f ) (où δ est la mesure de Dirac). b) O peut muir cet esemble de la probabilité uiforme, c est-à-dire que chacu des 2 10 évéemets élémetaires de Ω ot même probabilité 2 10 (il s agit de la mesure P = 2 10 ω Ω δ ω). Remarque 1 (A propos des mesures de probabilité discrète et des masses de Dirac). O rappelle tout d abord que la mesure de Dirac δ a est défiie par : pour tout esemble A o a : { 1 si a A δ a (A) = 0 sio Cosidéros la mesure P qui doe la masse 1/6 à chacu des élémets de Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ue petite vérificatio motre que P = 6 i=1 1 6 δ i (par exemple ( 6 1 ) 6 6 δ 1 i ({1, 3}) = 6 δ i({1, 3}) = 2/6). Cette expressio des probabilités à l aide de i=1 i=1 la théorie de la mesure (passée sous silece das les cours atérieurs) est fodametale. Elle permet de traiter das u même cadre les probabilités discrètes et cotiues (comme o le verra par la suite). Das u deuxième temps, o verra que la plupart des résultats de la théorie des probabilités sot e quelques sortes des résultats de la théorie de l itégratio. 2. Équiprobabilité O est toujours das le cas où card(ω) < +. Propositio 1 L applicatio P : P(Ω) [0, 1] A P(A) = card(a) card(ω) est ue probabilité sur Ω (preuve laissée e exercice) appelée équiprobabilité sur Ω. Coaître la probabilité d u évéemet quelcoque se réduit doc à calculer le cardial de A. Preuve : Il s agit de la mesure P = 1 card(ω) ω Ω δ ω. a. Combiaiso et aragemets U k-uplet d élémets de A est ue liste ordoée de k élémets de A (c est-à-dire, u élémet de A k ) Exemple : couple= 2-uplets. Le poit de coordoée (1,2) est différet de celui de coordoée (2,1). Arragemets Soit B = {b 1,, b }. O ote U k = {k uplets composé d élémets différets de B} (plus formellemet, U k = {x = (x 1,..., x k ) A k t.q. i j = x i x j }. U k est appelé esemble des arragemets de k élémets de B. Puisque #B =, le ombre de tels arragemets est doé par : #U k = A k =! ( k)! pour 0, 0 k. (2) 4

7 A =!, A0 = 1 Preuve de (2) : U k-uplet est la doée de k élémets ordoés. O peut choisir le premier de faços, le deuxième de 1 faços,..., le kème de ( k + 1) faços. Exemple : ombre de tiercés das l ordre avec 20 chevaux. L ordre d arrivée (4,7,12) est différet de l ordre (7,12,4). Il y a doc A 3 20 = = 6840 ordres possibles. Combiaisos O ote SE k = {sous-esembles de B à k élémets} SE k = { {x 1,..., x k }, ( l, x l B ) }, i j = x i x j Alors #SE k = C k = Ak k! =! ( k)!k! pour 0, 0 k (3) Preuve de (3) : Le ombre de k-uplets est A k. Pour chaque sous-esemble de k élémets de B o peut fabriquer k! k-uplets différets. Aisi #SE k = A k /k!. Exemple : Nombre de grilles différetes au loto : o choisit 6 uméros parmi 49. Le choix est u esemble de 6 élémets parmi {1,, 49} ; c est-à-dire choisir {1, 5, 10, 15, 16, 42} ou {1, 5, 10, 15, 42, 16} c est cocher les mêmes cases et c est doc la même chose. Aisi le ombre de choix est C49 6 = 49!/(43!6!) = Propriété 1 Pour tout 0 Pour tout 0 C p C p A p = C p pour tout 0 p = C p Cp 1 pour tout 1 p 1 = A p 1 1 pour tout 1 p 1 2 = k=0 C k et C k ( 1)k = 0 k=0 Preuve laissée e exercice. 3. Foctios géératrices de déombremet O itroduit ue méthode très utilisée (car très puissate) par les combiatoristes pour déombrer des objets complexes. Certais lecteurs trouverot peut-être plus profitable de regarder d abord la partie (b) qui suit, afi d avoir u exemple. a. Méthode géérale Ce qui suit sort du livre de P. Flajolet et R. Sedgewick que l o peut télécharger depuis le site ouèbe de Philippe Flajolet. O appelle classe de structures combiatoires ou plus simplemet classe u esemble fii ou déombrable sur lequel ue foctio taille est défiie ; la taille d u élémet est u ombre etier positif (ou ul). Soit A ue classe et a u élémet de A. O ote a la taille de a. O ote A la partie de A composée des objets de taille. O ote a = card(a ). O suppose que tous les a 5

8 sot fiis. La suite (a ) est appelée suite de déombremet (ou de comptage) de A. La foctio géératrice ordiaire (FGO) ou de déombremet de la classe A est la série etière A(z) = 0 a z. (Il e faudra pas cofodre cette FGO avec la foctio géératrice de probabilité itroduite u peu plus loi). Notez bie que le fait que cette série coverge pour certais z est secodaire. Si elle coverge, o pourra s e servir comme d ue foctio, sio, o pourra voir A(z) comme ue série formelle, c est-à-dire u vecteur de logueur ifiie sur lequel o pourra quad même faire certaies opératios (additios, mutliplicatios, dérivatios...). A(z) possède ue secode écriture qu il est bo d avoir à l esprit pour des raisos qui apparaitrot plus tard : A(z) = α A z α ; o voit bie que le coefficiet de z das cette derière somme est justemet a. Défiitio : classe Si Φ est ue costructio biaire qui associe à deux classes B et C ue ouvelle A = Φ(B, C) de sorte que chaque a e dépede que d u ombre fii de b k et de c j, o dit que Φ est admissible. Das ce cas, il existe u opérateur bie défii Ψ tel que A(z) = Ψ(B(z), C(z)). Le produit cartésie : Supposos par exemple que A soit le produit cartésie B C, c est à dire que A est l esemble des couples de type (β, γ) avec β B et γ C ; supposos ecore que la taille de l élémet α = (β, γ) soit α A = β B + γ C, alors o a a = b k c k k=0 ce qui se traduit d ue part par le fait que le produit cartésie est admissible et d autre par sur les FGO par A(z) = B(z)C(z). Uio de deux esembles : Soiet B et C deux classes disjoites muies de la même foctio taille ; A = B C est admissible et o a A(z) = B(z) + C(z). Esemble des listes fiies : Soit C ue classe ; o ote S(C) l esemble des listes fiies (ordoées) d élémets (o écessairemet différets) de C : S(C) = {ε} C (C C) (C C C) Le symbole ε désige u élémet de taille 0 dot o se sert parfois pour décrire u élémet ul ou la liste vide. Ici o autorise la liste vide. La FGO de A = S(C) s exprime e foctio de celle de C : A(z) = 1 + C(z) + C 2 (z) + C 3 1 (z) + = 1 C(z). 6

9 b. U exemple O appelle arbre biaire u arbre ordoé das lequel tous les oeuds ot 0 ou 2 fils. Sur le dessi ci-cotre, les quatres arbres biaires sot différets. O défiit la taille d u arbre biaire t comme état simplemet so ombre de oeuds (o la ote t ). Sur le dessi ci-cotre, les quatre arbres sot différets, le premier est de taille 1, les deux suivats de taille 5, et le derier de taille 9. O se pose la questio suivate : combie y a-t-il d arbres biaires de taille? O ote doc C la classe des arbres biaires, C la classe des arbres biaires ayat oeuds, et c = card C. Nous cherchos à calculer c (pour tout ), et pour cela, ous allos décomposer les arbres biaires. Preos u arbre t ; ous voyos que deux cas se présetet : soit t est réduit à u oeud, soit t est u oeud qui possède deux sous arbres qui sot eux même des arbres biaires. Il viet j 1 c 0 = 0, c 1 = 1 et pour j 2, c j = c i c j 1 i. La raiso de la derière égalité est la suivate : u arbre de taille j peut être représeté par le couple des deux sous arbres de t. La taille du sous arbre de gauche état i, il y a c i arbres gauches possibles et alors, le sous arbre droit peut être de c j 1 i maières. La classe C possède ue décompositio récursive : C = u + u C C (4) où u represete u arbre de taille 1 (u oeud isolé). O peut voir maiteat que i=1 C(z) = z + zc 2 (z); (5) pour voir cela, il faut cosidérer ceci : c j = j 1 i=1 c ic j 1 i = j 1 i=0 c ic j 1 i. Cette derière somme est le coefficiet de z j 1 das la série C(z) 2 (le produit de Cauchy des coefficiets doe le coefficiet du produit), doc de z j das zc(z) 2. Il reste à extraire les coefficiets de C(z) solutio de (5). O a zc 2 (z) C(z) + z = 0. C est solutio d ue équatio de degré 2 ; o trouve C(z) = 1 ± 1 4z 2. 2z Le développemet e série etière de la solutio que l o cherche e possède que des coefficiets positifs. O a doc C croissate partout et doc e 0 + et doc C(z) = 1 1 4z 2. 2z Il reste à extraire les coefficiets. Pour cela o utilise la formule de Taylor (o dérive...). Tout calcul fait, o obtiet c = 0 pour pair et c 2+1 = C2 /( + 1) pour impair. C 2 /( + 1) est commuémet appelé, le ème ombre de Catala. Remarque 2 Les deux formules (4) et (5) doivet paraître étoates (au lecteur o habitué... des beautés de la combiatoire). L équatio (5) qui traduit sous forme de série géératrice la décompositio combiatoire (4) de la structure des arbres biaires lui ressemble à s y mépredre. Ce est pas dû à l exemple traité et cette ressemblace est tout à fait géérique (et les combiatoristes passet de la première à la deuxième e quelques secodes). 7

10 Exercice 2 : (difficile) : 1) O appelle compositio de, ue liste fiie ordoée (x i ) 1 i k où k est u etier, les x i sot des etiers positifs o uls de somme. Deux compositios (x i ) i et (x i ) i sot dites différetes si il existe u idice j tel que x j x j. Combie y a-t-il de compositios de? (o utlisera u raisoemet par série géératrice). 2) Soit u etier o ul. O appelle partitio de, ue suite fiie (x 1,..., x k ) telle que i < j etraîe x i x j et telle que tous les x i sot strictemet positifs et telle que x i =. O ote c le ombre de partitios de. Prouver que la série géératrice des c est C(x) = k x k. 4. Idépedace d évéemets et probabilité coditioelle Les probabilités coditioelles ot pour but d évaluer le chagemet de probabilité dû à l acquisitio d iformatios. Par exemple, si l o dispose d u dé juste, la probabilité d obteir u 1 est 1/6. Si quelqu u lace le dé pour ous et ous doe l iformatio suivate : le résultat est impair. O peut écarter les évéemets {2, 4, 6} et e déduire que maiteat, le résultat est 1 avec probabilité 1/3. Formalisos tout cela... Défiitio : Soit (Ω, P(Ω), P) u espace probabilisé et B P(Ω) tel que P(B) > 0 ; soit A u élémet de P(Ω). La probabilité coditioelle de A sachat B est défiie par : P(A B) = P B (A) = P(A B). (6) P(B) O a doc : P(A B) = P(A) P(B A) Le théorème suivat est importat : il explique commet et pourquoi la probabilité coditioelle à l évéemet B est bie ue probabilité qui vérifiera doc toutes les propriétés propres aux probabilités établies plus haut. Propositio 2 Soit (Ω, P(Ω), P) u espace probabilisé et B P(Ω) tel que P(B) > 0. L applicatio est ue probabilité sur Ω. P B : P(Ω) [0, 1] A P B (A) Preuve : O a immédiatemet P B ( ) = 0, P B (Ω) = 1. Soit C et D de P(Ω) tels que C D =. P((C D) B) P B (C D) = P(B) = P( (C B) (D B) ) P(B) 8

11 ces 2 esembles (au umérateur) sot disjoits, doc P(C B) P(D B) P B (C D) = + P(B) P(B) = P B (C) + P B (D) La σ-additivité (que l o doit motrer sur les espaces de probabilité o fiis) se motre de la même maière. La formule des probabilités coditioelles correspod tout à fait au chagemet de probabilité ituitif. Le référet est plus Ω mais B. Aisi (6) traduit le fait que les cas possibles sot das B ; la probabilité de B sachat B vaut doc 1. Formule des probabilités totales. Soit (Ω, P(Ω), P) u espace probabilisé et A 1, A k ue partitio de Ω, c est-à-dire : O a, pour tout A P(Ω) k A i = Ω et i, j, i j = A i A j =. i=1 P(A) = P(A Ω) = P(A ( Si pour tout i, P(A i ) > 0, o a de plus : k A i )) = i=1 k P(A A i ) i=1 P(A) = k P(A A i )P(A i ) i=1 Formule de Bayes Sous les mêmes hypothèses. si o a de plus P(A) > 0, alors : P(A j A) = P(A j A) P(A) = P(A A j)p(a j ) k i=1 P(A A i)p(a i ) La formule de Bayes est utilisée pour retourer des probabilités coditioelles. Défiitio : Soit (Ω, P(Ω), Ω) u espace probabilisé. O dit que deux évéemets A et B sot idépedats si P(A B) = P(A)P(B). O ote A B. L idépedace est ue otio primordiale e probabilité comme o va le voir par la suite. Si A et B sot idépedats, par (6) o a : P(A B) = P(A B) P(B) = P(A) P(B) P(B) = P(A). (Ceci bie sûr si P(B) 0.) L iterprétatio est la suivate : si A et B sot idépedats, savoir que B est réalisé e chage pas la probabilité de la réalisatio de A. 9

12 Das la vraie vie, l idépedace d évéemets est souvet ue questio cruciale ; e médecie par exemple, à cause de l effet placebo, o se pose souvet la questio de savoir si la guériso est idépedate ou o de la prise d u médicamet. Plus ou mois hoêtemet, o peut affirmer qu ue persoe superstieuse se distigue d ue o-superstitieuse e ce qu elle perçoit de la dépedace etre deux évéemets, là où la secode e voit pas. Exercice 3 : a) Motrer que Ω est idépedat de tout évéemet. Motrer la même chose pour. b) Motrer que si A B alors A c B, A B c et A c B c. 5. Espaces discrets O suppose ici que le cardial de Ω est au plus déombrable. Deux cas sot possibles : card(ω) < + ce qui ous ramèe au cas fii. card(ω) = + ; das ce cas, il existe ue bijectio de Ω das N. Aisi, les élémets de Ω sot umérotables par les etiers. Ue probabilité sur Ω est ue mesure de masse totale 1 (sur la tribu P(Ω)) ; il est importat maiteat de rappeler que P (e plus des coditios (1) page 3) est, comme toute mesure, σ- additive, c est-à-dire, pour toute suite (A ) d élémets de P(Ω) disjoits deux à deux, P( A ) = P(A ). La σ-additivité assure que P est bie coue si o coaît P({ω}) pour tout ω Ω (o appelle les élémets ω de probabilité o ulle, les atomes de P). De plus, o peut voir que, A P(Ω), P(A) = ω A P(ω). E fait, la mesure P est ecore ue somme de masses de Dirac podérées que l o peut exprimer comme suit : P = ω Ω P({ω}) δ ω. a. Variables aléatoires discrètes Les variables aléatoires sot des objets cetraux e théorie des probabilités. Elles jouet le même rôle que les foctios e aalyse. Défiitio : Soit (Ω, P(Ω), P) u espace de probabilité. O appelle variable aléatoire réelle toute applicatio mesurable X de (Ω, P(Ω)) das (R, B(R)). E fait, il s agit ici de la défiitio géérale de variables aléatoires ; il est clair que si l o pred P(Ω) comme tribu sur Ω toute applicatio de Ω das R est mesurable (quelle que soit la tribu cosidérée sur R ; e effet demader X 1 (B) P(Ω) est équivalet à e rie demader). Ce e sera plus le cas dès que l espace Ω sera plus grad ou o mui de la tribu P(Ω) (voir chapitre sur les espaces de probabilités gééraux). Remarque : Ue variable aléatoire est pas ue foctio aléatoire!! Ce qui est aléatoire (si o a evie de faire ce gere d iterprétatio), c est so argumet. 10

13 b. Lois images Défiitio : Soit X ue variable aléatoire réelle sur u espace (Ω, A, P). X iduit sur R ue ouvelle mesure, otée P X, dite loi image de P par X. Elle est défiie pour tout élémet A de B(R) par : P X (A) = P ( X 1 (A) ) = P ( {ω, X(ω) A} ). Notos Ω X l esemble image de Ω par X (c est-à-dire Ω X = {X(ω), ω Ω}). Puisque Ω est au plus déombrable, Ω X aussi. La mesure P X e fait, e charge que Ω X et o a : Aisi, si A Ω X = alors P X (A) = 0. P X (Ω X ) = P ( X 1 (Ω X ) ) = P(Ω) = 1. Défiitio : La mesure P X est appelée loi de X. O utilise, etre autres, les otatios suivates : P X ({a}) = P(X = a) = P({ω, X(ω) = a}), P X ([a, + [) = P(X a) = P({ω, X(ω) a}) Deux exemples de v.a. et de loi image : a) Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = P(Ω), P({i}) = 1/6 i Ω. Soit X : Ω R t.q. X(ω) = ω(3 ω) pour tout ω Ω b) Ω = N, A = P(Ω), P({i}) = 1/2 i, Soit Y : Ω R t.q. Y (ω) = ω 2. Les deux applicatios X et Y sot des variables aléatoires. Das le cas (a), o peut imagier u jeu de dé (à u joueur). Si le dé tombe sur la face i le joueur gage la somme i(3 i). Das le cas (b), P({i}) est la probabilité qu il soit écessaire de lacer i fois ue pièce avat de tomber sur face. X(ω) est le carré de ce ombre de coups. Lois images des deux exemples Das le cas (a), X(1) = 2, X(2) = 2, X(3) = 0, X(4) = 4, X(5) = 10, X(6) = 18. Aisi Ω X = {2, 0, 4, 10, 18}. O a alors P X ({2}) = P(X = 2) = P({ω, X(ω) = 2}) = P({1, 2}) = 2/6. E utilisat le même gere de décompositio o trouve P(X = 0) = P(X = 4) = P(X = 10) = P(X = 18) = 1/6. Das le cas (b), P Y e charge que les etiers qui sot des carrés d etier. O a, pour i etier, P Y ({i 2 }) = P(Y = i 2 ) = P({ω, Y (ω) = i 2 }) = P({i}) = 1/2 i et P(Y = i) = 0 si i est pas u carré d etier. Remarque 3 (À propos de la termiologie loi image ) Das l exemple (a), la mesure sur Ω, P s écrit : P = 6 i=1 1 6 δ i et P X = 6 i=1 1 6 δ X(i) Das le cas (b), P = i 1 2 i δ i et P Y = i 1 2 i δ Y (i) = i 1 2 i δ i 2 11

14 c. Espérace, variace et momets Défiitio : Soiet X ue variable aléatoire réelle et k u etier positif ; o dit que X admet u momet d ordre k si X(ω) k P({ω}) < +. ω Ω Das ce cas, le momet d ordre k, oté m k est défii par m k = X(ω) k P({ω}) = E(X k ); ω Ω O peut remarquer que la covergece ou o de cette somme e déped pas de l ordre de sommatio (c est ue coséquece de la théorie de l itégratio de Lebesgue). Lorsque X possède u momet d ordre 1, o appelle moyee de X (ou espérace mathématique de X), la quatité (qui est alors bie défiie) E(X) = ω Ω X(ω) P({ω}) = m 1. O somme alors par paquets, e utilisat la relatio suivate : ω Ω, X(ω) vaut u et u seul x i ). O a E(X) = ( {x i }(X(ω)) )X(ω) P({ω}) = ω Ω o trouve : x i Ω X E(X) = x i Ω X ( ω Ω et pour tout a et b réels, si X et Y admettet des momets d ordre 1, x i Ω X {x i }(X(ω)) = 1 (car ) {x i }(X(ω)) X(ω) P({ω}) x i Ω X x i P(X = x i ). (7) E(aX + by ) = a E(X) + b E(Y ). (8) O a juste besoi de la liéarité de la somme. Il est itéressat de remarquer que la formule (8) est vraie même si les variables X et Y sot o idépedates (cette otio est défiie plus loi). Exercice 4 : a) Soiet p et q deux etiers tels que 0 < p < q. Motrer que si X admet u momet d ordre q alors il admet aussi u momet d ordre p b) Doer ue v.a. X telle que X possède u momet d ordre p mais pas d ordre q. Défiitio : Lorsque X possède u momet d ordre 2, o appelle variace de X la quatité Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2. L écart type de X, oté σ(x) est la quatité σ(x) = Var(X). 12

15 Ue idetité souvet utilisée (et dot la preuve est laissée e exercice) est la suivate Var(X) = E((X E(X)) 2 ). Cette formule motre bie que la variace est la moyee des écarts quadratiques de la variable X à sa moyee. Plus la variace est grade, plus X est dispersée pour cette mesure. Propriété 2 (i) Pour tout a et b réels, et X v.a. admettat u momet d ordre 2 Var(aX + b) = a 2 Var(X). (ii) Soit X ue variable admettat u momet d ordre 2. La foctio a f(a) = E((X a) 2 ) admet u miimum uique pour a = E(X) ; ce miimum vaut Var(X). Preuve : La preuve de (i) est laissée e exercice. Voyos (ii). E((X a) 2 ) = E((X E(X) + E(X) a) 2 ) = E((X E(X)) 2 + E((E(X) a) 2 ) + 2E((X E(X)))(E(X) a) = Var(X) + E((E(X) a) 2 ) car E((X E(X))) = 0. Puisque E((E(X) a) 2 ) = (E(X) a) 2 0 et e vaut 0 que si a = E(X) o a le résultat aocé. Exercice 5 : O dit qu ue v.a. X est costate s il existe u réel c tel que P(X = c) = 1. Motrer ( Var(X) = 0 ) ( X est costate. ) d. Espérace d ue foctio d ue variable aléatoire Soit X ue variable aléatoire réelle et Φ ue foctio de R das R, alors il est aisé de vérifier, que das le cas discret (où Ω est mui de la tribu P(Ω)), Φ X est ue variable aléatoire ; de plus si Φ(X(ω)) P({ω}) < + ω Ω l espérace mathématique de la variable aléatoire Φ(X) est doée par E(Φ(X)) = ω Ω Φ(X(ω)) P({ω}) = = Φ(x)P(X = x) x Ω X yp(φ(x) = y). y Ω Φ(X) Ces trois formules permettet de calculer E(Φ(X)) à trois iveaux : sur Ω (avec P), sur Ω X (avec P X ) sur Ω ΦX avec P ΦX. 13

16 e. Iégalité de Markov et de Bieaymé-Tchebichev Propriété 3 (Iégalité de Markov) Soit X ue variable aléatoire positive sur Ω. Pour tout x R +, o a : P(X x) E(X) x Preuve : E(X) = X(ω)P(ω) ω Ω X(ω)P(ω) x P(ω) = x P(X x). {ω X(ω) x} {ω X(ω) x} Aisi, o voit que lorsque X a ue moyee, la queue de distributio de la variable X (la foctio x P(X x)) est au plus de l ordre de 1/x. Pour prouver que la queue de distributio est plus petite ecore, o peut utiliser les momets de X d ordre supérieur ; par exemple, si X est positive et possède u momet d ordre 6 (si E(X 6 ) < + ) alors P(X x) = P(X 6 x 6 ) Markov E(X 6 ) x 6 ; o voit maiteat que la queue de distributio est au plus de l ordre de x 6. Si E(e X ) + o peut motrer (cette fois ceci est valable même si X est pas positive) que P(X x) = P(e X e x ) E(eX ) e x. Cette fois la queue de distributio est expoetiellemet petite. Ces deux exemples d utilisatio de l iégalité de Markov motret que bie souvet, l iégalité de Markov e doe pas ue boe majoratio. Elle motre aussi qu il y a u lie profod etre l existece de momets d ordre k et le comportemet de la queue de distributio. Iégalité de Bieaymé-Tchebichev Propriété 4 (Iégalité de Bieaymé-Tchebichev) Soit X ue variable aléatoire réelle possédat u momet d ordre 2 et x > 0 : P( X E(X) x) Var(X) x 2. (9) Cette iégalité motre l itérêt de la variace pour mesurer la dispersio d ue v.a.. Preuve : P( X E(X) x) = P( X E(X) 2 x 2 ) Markov L iégalité de BT peut se reformuler comme suit : E( X E(X) 2 ) x 2 P(X / [E(X) x, E(X) + x]) Var(X) x 2. = Var(X) x 2. 14

17 6. Exemples de lois discrètes X est ue variable de Beroulli de paramètre p, pour p [0, 1], o ote X B(p), si P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p. O a immédiatemet, E(X) = p, Var(X) = p(1 p). X est ue variable biomiale de paramètre et p, pour N et p [0, 1], o ote X B(, p), si X est la somme de variables de Beroulli B(p) idépedates. O obtiet par u petit déombremet, P(X = k) = C k pk (1 p) k pour tout k {0,..., } et E(X) = p, Var(X) = p(1 p). X suit la loi uiforme sur {1,..., }, pour N, o ote X U{1,..., }, si P(X = k) = 1/ pour tout k {1,..., }. O a E(X) = ( + 1)/2, Var(X) = ( 2 1)/12. O dit que X suit ue loi de Poisso de paramètre λ, pour λ > 0, o ote X P(λ), si la loi de X est doée par P(X = k) = λk e λ pour k N. k! O a E(X) = Var(X) = λ. O dit que X suit ue loi géométrique (ou de Pascal) de paramètre p, pour p ]0, 1], o ote X G(p), si P(X = k) = p(1 p) k 1 pour tout k N. O a E(X) = 1/p, Var(X) = (1 p)/p 2. 15

18 Remarque 4 Sur la costructio d ue variable géométrique par ue suite ifiie d expérieces (o pourra passer cette partie das ue première lecture) Souvet, o voit apparaître la loi géométrique comme le temps d apparitio d u évéemet das ue suite d expérieces aléatoires. Par exemple, si o lace ue pièce dot la probabilité de tomber sur pile est p, sur face 1 p, et si les lacers sot idépedats, le ombre de lacers écessaires pour l apparitio de pile est ue variable aléatoire dot la loi est G(p). Si o peut rapidemet l admettre, o peut éamois se demader das quel espace de probabilité o a travaillé pour calculer cela. Il s agit bie sûr de l espace Ω = {pile, face} N ou Ω = {0, 1} N l esemble des suites ifiies de 0 et de 1 (correspodat aux suites de pile-face). ω, u élémet de Ω est ue suite ifiie ω = (ω 1, ω 2,... ). Ce qui ous itéresse, c est A k = {ω if{j ω j = 1} = k}, l esemble des suites dot le premier rag d apparitio d u 1 est k. Il reste doc à défiir ue tribu A sur Ω et ue mesure P sur cette tribu cohérete avec ce que l o veut faire. O voudrait par exemple, que la probabilité d avoir ue suite commeçat par 1, 0, 1, 0, 0 soit p 2 (1 p 3 ). Eh bie, e fait ceci est relativemet difficile à faire. Si p vaut 1/2 (ou ratioel), pour costruire P, o peut trasporter la mesure de Lebesgue de [0, 1] aisi que la tribu des Lebesgue-mesurables ; o procède comme suit : o idetifie l élémet (ω 1, ω 2, ω 3,... ) de Ω avec le ombre de [0, 1] dot l écriture e base 2 est 0, ω 1 ω 2 ω 3... (o a comme d habitude u problème à cause du fait que certais ombres possèdet deux écritures e base 2, mais ils sot déombrables et o géats). Notos T : Ω [0, 1] cette applicatio. O muit Ω de la tribu redat mesurable T (c est à dire o pred comme tribu sur Ω les esembles T 1 (A) où A parcours l esemble des Lebesguemesurables de [0, 1]). O trasporte égalemet la mesure de Lebesgue λ comme d habitude : P = λ T. De cette maière P(A k ) = λ{x = 0, x 1... x k 1 1x k+1... ; avec x i = 0 pour i < k, x i {0, 1} pour i > k} = 2 k. (Si p est ratioel p = /m o écrit les ombres e base m, et o regarde cette fois les décimales iférieures à ). Si p est pas ratioel, ou si o observe ue première réalisatio das ue suite d expérieces dot la probabilité chage à chaque fois, tout se complique. O utilise u théorème de Kolmogorov qui dit, e gros, que l o peut costruire u espace de probabilité (et ue mesure doc) sur u espace produit ifii si les mesures des cylidres sot cosistates, pour ue certaie otio de cosistace (ceci est expliqué das le livre de Loéve). 7. Famille de variables aléatoires Défiitio : Soiet (X 1,..., X ) ue famille de variables aléatoires défiies sur u même espace (Ω, P(Ω)) et à valeurs das E 1 E. Les variables X 1,..., X sot dites idépedates si, pour tout (x 1,..., x ) E 1 E, P(X 1 = x 1,..., X = x ) = Si X et Y sot idépedates, o ote X Y. P(X i = x i ). i=1 16

19 Remarque 5 les virgules das le membre de gauche doivet être lues et ou itersectio. L idépedace des variables aléatoires deux à deux implique pas l idépedace. O trouvera des propriétés importates des v.a. idépedates das la propositio 10 page 32 ; la défiitio de v.a. idépedates das le cas gééral est doée page 30. Propositio 3 Les variables aléatoires (X 1,..., X ) sot idépedates si et seulemet si pour toute foctio borée f i : E i R E(f 1 (X 1 )... f (X )) = E(f i (X i )) (10) i=1 Preuve : Tout d abord, o voit qu e preat f i = Maiteat, supposos les X i idépedats. {xi } o obtiet que (10) implique l idépedace. E(f 1 (X 1 )... f (X )) = ( ) f i (X i (ω)) P({ω}) ω Ω i=1 = ( )( ) {(x 1,...,x )}(X 1 (ω),..., X (ω)) f i (X i (ω)) P({ω}) ω Ω E 1 E i=1 ( ) = f i (x i ) P(X 1 (ω) = x 1,..., X (ω) = x ) = = E 1 E i=1 E 1 E i=1 E(f i (X i )) i=1 ( ) f i (x i )P(X i (ω) = x i ) où il faut compredre la somme sur E 1 E par somme pour tout (x 1,..., x ) E 1 E. Explicatio : d aprés le théorème de Fubii, puisque les foctios état borées (sur des espaces fiis), o a ( ) ω Ω i=1 f i(x i (ω)) P({ω}) i=1 f i < +. O peut doc itervertir les siges sas craites. La première lige est la défiitio de l espérace ; das la deuxième lige, la première parethèse das le membre de droite vaut 1 ; das la troisième, o a classé les ω e foctio des valeurs X i (ω) ; das la quatrième, o a fait jouer l idépedace ; das la ciquième, puisque les variables sot séparées, o a iterverti le sige et. Corollaire 1 Si X et Y sot deux variables aléatoires idépedates admettat des momets d ordre 2 alors Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ). Preuve : Var(X + Y ) = E((X + Y ) 2 ) (E(X + Y )) 2 = Var(X) + Var(Y ) + 2E(XY ) 2E(X)E(Y ) 17

20 Il reste à motrer que E(XY ) = E(X)E(Y ). O e peut pas coclure tout de suite car x x est pas borée. Mais o sait que X et Y ot des momets d ordre 2 et doc d ordre 1. Doc E(XY ) = xyp(x = x, Y = y) = xyp(x = x)p(y = y) = xp(x = x) yp(y = y) = E(X)E(Y ) L applicatio de Fubii ici est loisible grâce, comme o l a dit, au fait que x P(X = x) < + et y P(Y = y) < + ; 8. Foctios géératrices de probabilité Défiitio : Soit X ue variable aléatoire à valeurs das N. O appelle foctio géératrice de probabilité (ou série géératrice), la série etière G X (s) = E(s X ) = + s P(X = ) = + =0 =0 s P X (). Cette série etière a u rayo de covergece supérieur à 1 car G X (1) = 1. Propositio 4 La série géératrice caractérise etièremet la loi de X Preuve : Il suffit d extraire ses coefficiets pour retrouver la loi de X. De même, o voit facilemet que E(X) = G X (1), et E(X 2 ) = G X (1) + G X (1); o predra garde au fait que ces quatités peuvet valoir + (habituellemet, o dit plutôt que E(X) = lim 1 G X (s)). La grade utilisatio des foctios géératrices proviet surtout de la propriété suivate (utilisée e cojoctio avec la Propositio 4) : Propositio 5 Si X et Y sot deux variables aléatoires idépedates (à valeurs das N) alors G X+Y = G X G Y sur [ 1, 1] Preuve : Soit s das [ 1, 1]. G X+Y (s) = E(s X+Y ) = E(s X s Y ) = E(s X )E(s Y ) = G X (s)g Y (s). Seule la troisième égalité pose problème. O utilise la Propositio 3 avec f 1 (x) = f 2 (x) = s x (s [ 1, 1] est fixé ici, et x est das N). Les f i sot bie borées (sur N), et comme X et Y sot idépedates, o peut coclure. 18

21 Exemples de foctios géératrices Si B est ue variable de Beroulli B(p), o a G B (s) = 1 p + ps pour s R. Ue variable X de loi biomiale B(, p) est égale e loi à la somme de copies idépedates de Beroulli B(p) ; aisi G X (s) = (1 p + ps) pour s R. Pour Y suivat ue loi de Poisso P(λ), o trouve G Y (s) = E(s Y ) = + k=0 s k λk e λ k! = e λ+λs pour s R. Il est vraimet aisé grâce à ce derier poit et à la propositio 5 de motrer que la somme de deux variables aléatoires idépedates suivat des lois de Poisso de paramètres respectifs λ et µ suit ue loi de Poisso P(λ + µ). Si X suit ue loi géométrique de paramètre p, o a G X (s) = + k=1 p(1 p) k 1 s k = ps 1 (1 p)s pour s (1 p) Variace et covariace Défiitio : Soiet X et Y deux variables possédat des momets d ordre 2, la covariace de X et de Y est la quatité cov(x, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ). Il est clair que cov(x, Y ) = cov(y, X) ; o peut voir égalemet que cov(x, X) = Var(X). O a aussi cov(x, Y ) = E ( (X E(X))(Y E(Y )) ), ce que l o vérifie aisémet e développat le secod membre de cette formule. Cette deuxième formule motre que cov(x, Y ) est positive lorsque X et Y ot tedace à être e même temps du même côté de leur moyee. Propriété 5 Si X et Y sot idépedates et possèdet u momet d ordre 2, alors cov(x, Y ) = 0 (la réciproque est fausse). Si X et Y ot des momets d ordre 2, Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2 cov(x, Y ). La première propriété proviet du fait que si X et Y sot idépedates alors E ( (X E(X))(Y E(Y )) ) = E(X E(X))E(Y E(Y )). Pour la deuxième, o écrit, Var(X + Y ) = E((X + Y ) 2 ) (E(X + Y )) 2 = E(X 2 ) + E(Y 2 ) + 2E(XY ) E(X) 2 E(Y ) 2 2E(X)E(Y ). 19

22 III. Espaces de probabilités gééraux O itroduit ici l axiomatique de Kolmogorov qui est relativemet simple (après avoir fait le cours d itégratio) et tout ce que l o a déjà dit. Mais il e faut pas si tromper : avat Kolmogorov, o e faisait pas des probabilités comme maiteat. D autre part, d u poit de vue métaphysique (ou e tout cas, pour compredre les rapports etre probabilité mathématique et la coceptio ituitive des probabilités comme mesure de hasard), la costructio de Kolmogorov est très importate. 1. axiomatique de Kolmogorov : Ω est u esemble mui d ue tribu A. O appelle mesure de probabilité sur (Ω, A) ue mesure P de masse totale 1. Quelques remarques - Il est fait comme aocé plus haut aucue allusio au hasard ou à ue suite quelcoque d expérieces pour défiir la probabilité d u évéemet (u évéemet A est u élémet de la tribu, sa probabilité est la mesure de A). - La probabilité d u évéemet (que l o peut iterpréter comme sa masse) est défiie das u espace mesurable Ω. Lorsque l o modélise ue expériece aléatoire, o défiit u espace Ω que l o muit esuite d ue probabilité P. Cette modélisatio est ue idéalisatio de la réalité. 2. Variables aléatoires, espérace O gééralise ici, les défiitios et théorèmes du chapitre sur les espaces discrets. Défiitio : Soit (E, E) u espace mesurable. Ue applicatio mesurable de (Ω, A) das (E, E) est appelée variable aléatoire (c est-à-dire, X est ue v.a. si B E, X 1 (B) A). Das ce cours, E sera presque toujours R d (avec d = 1 le plus souvet) ; la tribu E sera le plus souvet la tribu boréliee sur R d (ou celle des Lebesgue mesurables). Loi image Défiitio : Soit X ue variable aléatoire réelle sur u espace (Ω, A, P) et à valeur das (E, E). X iduit sur l espace mesurable (E, E) ue ouvelle mesure, otée P X, dite loi image de P par X. Elle est défiie sur tout élémet B de E par : P X (B) = P ( X 1 (B) ) = P ( {ω X(ω) B} ). (11) Ici, la écessité pour X d être mesurable est criate!! Sas cela, X 1 (B) e serait pas écessairemet das A, domaie où la mesure P est défiie. O peut motrer aisémet que P X est bie défiie et est bie ue probabilité sur (E, E), c està-dire ue mesure de masse totale 1. Grâce à la mesure P X o défiit ue otio d itégrale que l o appelle espérace : E(f(X)) = f(x) d P X (x) = f(x(ω)) d P(ω) E 20 Ω

23 (voir cours d itégratio). Si la quatité Ω X(ω) d P(ω), (12) est fiie, o appelle espérace mathématique de X (ou momet d ordre 1, ou moyee), la quatité E(X) = X(ω) d P(ω) Ω qui est alors aussi défiie et fiie. (Il arrive que l o dise que l espérace de X soit + ou ; mais sas (12), il est possible que l espérace e coverge pas das R). O a, pour B das E, P({ω X(ω) B}) = B(X(ω))d P(ω) = E( B(X)) = P X (B) = B(x)d P X (x) = d P X (x). Ω Remarque 6 (sur l apparitio des tribus) Comme rappelé plus haut, ue probabilité est ue mesure. Comme telle, elle est ue applicatio défiie sur ue tribu de Ω et o pas sur Ω directemet. Sur des esembles déombrables, ue mesure est etièremet détermiée par sa valeur sur les atomes. E gééral, lorsque Ω est discret, o pred comme tribu P(Ω). Aisi, das ce cas, tous les évéemets sot mesurables et P leur attribue doc ue mesure. Regardos maiteat ce qui se passerait si la tribu sur Ω déombrable e coteait pas tous les atomes, (c est-àdire si elle était différete de P(Ω)). La mesurabilité d ue variable aléatoire X écessite que X 1 ({a}) soit das la tribu (pour tout a de R). Ue simple aalyse motre que X doit être costate sur les élémets miimaux de la tribu. Si o cosidère u élémet miimal A de la tribu o réduit à u poit (A existe par hypothèse) P attribue ue probabilité à A mais pas à ses élémets. Tout cela ous motre que distiguer les atomes costituat les élémets miimaux est pas raisoable. Quitte à costruire des classes d équivalece ( apparteir à u même élémet miimal ) o peut doc cosidérer, das le cas des espaces déombrables que la tribu est P(Ω) sas perdre vraimet e gééralité. Maiteat, cosidéros la mesure de Lebesgue λ sur [0, 1]. C est visiblemet ue mesure de probabilité. Mais, comme vu das le cours d itégratio, λ agit sur la tribu des Lebesgue-mesurables qui est différete de P([0, 1]) (car il existe des esembles o Lebesguemesurables). D autre part, la mesure de Lebesgue attribue u poids 0 à tous les élémets de Ω. O voit doc clairemet, que tout ce qui se passait das le cas discret tombe à l eau : coaître la mesure sur tous les élémets de Ω e permet pas de recostituer la mesure et d autre part, il y a aucu moye d étedre la mesure de Lebesgue sur toutes les parties de [0, 1]. Il s esuit qu il va exister des évéemets dot o e pourra pas défiir la probabilité. O se cotetera doc ici des esembles que l o peut mesurer (et qui sot déjà bie ombreux) : les borélies de R + (ou les Lebesgue-mesurables, si o veut). Ce qui se passe das le cas où la probabilité est la mesure de Lebesgue sur [0, 1] va se passer de maière idetique (la mesure agira pas sur P(Ω) mais seulemet sur ue sous tribu) dès que la mesure e chargera pas qu u ombre déombrable de poits ; c est le cas par exemple dès que la mesure admet ue desité. 3. Lois de probabilité Le théorème de décompositio des mesures (voir aexe) prévoit que chaque mesure peut s exprimer sous la forme d ue somme de trois mesures étragères : E B 21

24 ue mesure (discrète) chargeat u ombre déombrable de poits. ue mesure admettat ue desité par rapport à la mesure de Lebesgue. ue mesure chargeat u Lebesgue-égligeable mais e chargeat pas les poits. Das ce cours o e cosidère que les mesures du premier et deuxième type ; u exemple de mesure du troisième type est doé e aexe. Les mesures du premier type sot des sommes de masses de Dirac podérées (par des poids positifs de somme 1). Celle du secod type sot du type µ = gλ où g est ue foctio mesurable, positive, d itégrale 1 par rapport à la mesure de Lebesgue λ. La foctio g est appelée desité de probabilité. Défiitio : Soit P ue probabilité sur (R, B(R)). O dit que P admet ue desité si il existe ue foctio g positive, mesurable, d itégrale 1 (cotre la mesure de Lebesgue) telle que P = gλ c est-à-dire, si P admet la représetatio suivate : pour tout borélie B, P(B) = g(x) dλ(x) = B R g(x) B(x) dλ(x). O voit que si g est d itégrale 1 et positive, P est bie ue mesure de probabilité. D après Rado- Nicodym et le théorème de décompositio de Lebesgue, la coditio pour que P admette ue desité est qu elle soit absolumet cotiue par rapport à la mesure de Lebesgue. Lemme 1 Si g et g sot deux foctios mesurables telles que P = gλ = gλ alors g = g, λ presque partout. Preuve : Supposos que g et g diffèret sur A, borélie o égligeable. Soiet A + = {x, g(x) > g(x)} et A = {x, g(x) < g(x)}. Alors, l u des deux esembles A + ou A est pas égligeable. Quitte à reommer g et g o peut supposer que λ(a + ) > 0. Mais A + = A + avec A+ = {x, g(x) g(x) + 1/}. Par suite, il existe, tel que λ{a + } > 0. Mais A + g(x) dλ(x) > A + g(x) dλ(x) ce qui prouve que les deux mesures gλ et gλ diffèret (puisqu elles diffèret sur A + ). 4. Variables aléatoires admettat ue desité Défiitio : Soit (Ω, A, P) u espace de probabilité et X ue variable aléatoire réelle (à valeurs das (R, B(R))). O dit que X admet pour desité f (o devrait dire, pour être cosistat que P X a pour desité f par rapport à la mesure de Lebesgue) si P X = fλ. O calcule alors la probabilité d u évéemet par P X (A) = P(X A) = 22 A f(x)dx.

25 PSfrag replacemets a b Par exemple, si A = [a, b], P(X [a, b]) = b a f(x)dx. Si X admet f pour desité, o a E(X) = X(ω)dP(ω) = xdp X (x) = et pour h mesurable Ω E(h(X)) = R R h(x)dp X (x) = R R x f(x) dx h(x) f(x) dx. O rappelle que ces quatités sot défiies si elles coverget absolumet. O a, par exemple E(X 2 ) = x 2 f(x) dx 5. Exemples de lois admettat ue desité R Loi uiforme : O dit que X suit la loi uiforme sur [0, 1] si la desité de X est f(x) = [0,1] (x) ; o ote X U[0, 1]. O a E(X) = 1/2, Var(X) = 1/12. O dit que Y suit la loi uiforme sur [a, b] si sa desité est f(x) = [a,b] (x). O a E(Y ) = (a + b)/2 b a et Var(Y ) = (b a) 2 /12 Loi ormale : O dit que X suit la loi ormale de paramètres (m, σ 2 ), pour (m, σ 2 ) R R +, o ote N (m, σ 2 ) si la desité de X est ( exp 1 x m ) ) 2 2( σ f m,σ 2(x) = 2πσ 2 O a E(X) = m, Var(X) = σ 2. Loi expoetielle : O dit que X suit la loi expotielle de paramètre a (avec a > 0) si la desité de X est f a (x) = a exp( ax) R +(x); o ote X E(a). O a E(X) = 1/a, Var(X) = 1/a 2. Loi de Cauchy : O dit que X suit la loi de Cauchy de paramètre c > 0, o ote X C(c) si la desité de X est f c (x) = 1 c π c 2 + x 2. Ue variable de Cauchy e possède pas de moyee (et doc pas de variace). 23

26 6. Foctio de répartitio a. Défiitio et premières propriétés Défiitio : Soit X ue variable aléatoire das (R, B(R)). La foctio est appelée foctio de répartitio de X. R [0, 1] x F X (x) = P(X x) = P X (], x]) La foctio de répartitio de X e déped que de la loi de X puisque F X (x) = P X (], x]). U exercice classique d itégratio motre que la réciproque est égalemet vraie : si o coaît la foctio de répartitio de X, o peut calculer P X (]a, b]) pour tout a et b, puis, puisque les itervalles du type ]a, b] egedret les borélies, o peut recostituer P X grâce à F X (e fait, les esembles du type ], x] formet u π-système de Dyki). Propriété 6 Soit X ue variable réelle. a) F X est croissate et o a lim F X(x) = 1, lim F X(x) = 0. x + x b) F X est cotiue à droite. La limite à gauche de F X e x est F X (x ) = P X (], x[). O a P X ({x}) = F X (x) F X (x ). Preuve : La croissace de F X est évidete. Soit A =], ], A est ue suite croissate d esembles. Comme A = R, o a lim P X (A ) = P X (R) = 1. Doc, puisque F X est croissate et que F X () 1 o a lim F X(x) = 1. Faisos tedre maiteat vers. A est + x + décroissate vers. Doc, F X () = P X (], ]) 0. O coclut e utilisat ecore la croissace de F X. Soit x u poit de R. Motros la cotiuité à droite e x. Soit x ue suite de réels covergeat vers x et tels que, x > x. Supposos que (x ) décroit vers x. La suite d esembles ], x ] est décroissate vers ], x] et o a doc (d après les complémets), P(], x ]) P(], x]), autremet dit, F X (x ) F X (x). Si cette fois x ted vers x, mais x < x, x croissate, la suite d esembles ], x ] est croissate vers ], x[ et doc P(], x ]) P(], x[), d où la coclusio. Pour fiir, o voit que P X ({x}) = P(], x]) P(], x[). Remarque 7 Das la preuve, pour motrer la cotiuité à gauche et l existece d ue limite à droite, o a supposé que la suite (x ) était croissate das le premier cas et décroissate das le deuxième. O avait bie le droit : e effet, si y ted vers x avec y > x (sas supposer que la suite y décroit vers x), la suite (ỹ ) défiie pour tout par ỹ = sup{y j, j } est ue suite décroissate à qui o peut appliquer ce qui viet d être dit. Doc F X (ỹ ) F X (x). Par ailleurs, F X (ỹ ) F X (y ) F X (x) doc F X (y ) coverge aussi vers F X (x). Aisi, pour démotrer la cotiuité à droite (resp. à gauche) o peut toujours supposer que la suite x que l o cosidère est décroissate (resp. croissate). Par ailleurs, cette propriété e tiet pas à la croissace de F X comme pourrait le laisser croire cette preuve. 24