Chapitre 1 Fonctions de plusieurs variables

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1 Chaptre 1 Fonctons de pluseurs varables 1 Fonctons de pluseurs varables 1. L are de la couronne c-contre est : A = πr 2 πs 2. Autrement dt, A = f R, S) avec f, la foncton de 2 varables : f, ) = π 2 π 2 R S 2. Une foncton réelle de n varables réelles, f, est une lo, une règle, un procédé, qu assoce à certans n-uples 1, 2,..., n ) de nombres réels un certan nombre réel noté f 1, 2,..., n ). Le nombre f 1, 2,..., n ) s appelle l mage de 1, 2,..., n ). L ensemble des n-uples qu ont une mage s appelle le domane de défnton de f. Quand on a une formule, cette formule sert de nom à la foncton. Eemples : f, ) = sn + ) g, ) = sn h, ) = sn Il faut fare attenton au nom des varables, on ne peut pas se contenter de parler de la foncton snus! 3. our certanes fonctons, l arrve que la varable sot un pont. Eemple : La foncton qu assoce à chaque pont du terrtore sa température : S est un pont stué en France, et T sa température, on a une foncton φ telle que : T = φ) 4. Quand la varable est un pont, on se ramène à des fonctons de 2 ou 3 varables selon que le pont se déplace dans le plan 2D) ou dans l espace 3D). our cela, l sufft de remplacer le pont par ses coordonnées. Il a pluseurs façons de procéder. 1

2 2D n chost un repère orthonormé,, j ). Les coordonnées cartésennes, ) du pont sont défnes par : = + j j Au leu de T = φ), on a T = f, ) avec une foncton de 2 varables. Les coordonnées polares du pont sont les nombres ρ et θ de la fgure c-contre. ρ Au leu de T = φ), on a T = Hρ, θ) avec une foncton de 2 varables. θ ρ, θ), ) = ρ cos θ = ρ sn θ, ) ρ, θ) ρ = cos θ = sn θ = D n chost un repère orthonormé,, j, k ). Les coordonnées cartésennes,, z) du pont sont défnes par : = + j + z k z est l abscsse, k j est l ordonnée, z est la cote. Les coordonnées sphérques r, ϕ, θ) du pont sont défnes par : ϕ est l azmut, θ est la colattude. = r cos ϕ sn θ = r sn ϕ sn θ z = r cos θ k ϕ θ r j 2

3 Les coordonnées clndrques r, θ, z) du pont sont défnes par : z r est le raon clndrque, θ est l azmut. z est la cote. = r cos θ = r sn θ k θ r j 2 Contnuté Dérvablté 1. our parler de lmte, ou de contnuté, l faut vor ce qu remplace les ntervalles quand on a pluseurs varables. a b n peut adopter deu ponts de vue. Un ntervalle, c est l ensemble des : qu varent entre 2 valeurs données, dont la dstance à un pont donné ne dépasse pas une valeur donnée. En 2D, ce qu remplace les ntervalles, c est : d c ou b a b a En 3D, ce sera des paralléléppèdes on dt des pavés) ou des sphères on dt des boules), et ans de sute en dmenson supéreure. n remarque que les pavés contennent des boules et que les boules contennent des pavés. C est pourquo on peut se servr ndfféremment des pavés ou des boules. En pratque, on utlse davantage les pavés car les calculs sont plus facles. 2. Défntons : n dt que X = 1, 2,..., n ) tend vers A = a 1, a 2,..., a n ) quand le nombre δ = sup { 1 a 1, 2 a 2,..., n a n } tend vers 0. n dt que L = lm X A f 1, 2,..., n ) s, quelque sot ε > 0, l este α > 0 tel que δ < α entraîne f 1, 2,..., n ) L < ε. n dt que f est contnue au pont a 1, a 2,..., a n ) s : f a 1, a 2,..., a n ) = lm X A f 1, 2,..., n ) 3

4 Théorème : Une somme de fonctons contnues est contnue. Un produt de fonctons contnues est contnue. Quand le dénomnateur ne s annule pas, un quotent de fonctons contnues est contnue. La foncton composée de fonctons contnues est contnue. rncpe de contnuté : Les fonctons représentées par des formules mettant en jeu les fonctons de référence combnées par des sommes, produts, quotents, fonctons composées sont contnues sur leur domane de défnton. Eemple : sn + ) cos 5 ) 2 est contnue sur R La lettre K désgne un pavé fermé ou une boule fermée). Théorème : Une foncton contnue sur K admet un mamum et un mnmum sur K. Une foncton contnue qu prend des valeurs de sgnes dfférents sur K, s annule sur K. Une foncton contnue qu prend, sur K, des valeurs u et v, prend auss sur K, toutes les valeurs comprses entre u et v. 4. Quand on a une foncton de pluseurs varables, la foncton obtenue en fasant varer une seule des varables et en regardant toutes les autres comme des constantes, s appelle une foncton partelle. Une foncton de n varables possède n fonctons partelles. Notaton : Au leu de changer de nom de la foncton, on garde f, en se contentant d ndquer en ndce le numéro de la varable moble. Eemple : f 2 1, 2, 3,..., n ) est la foncton dans laquelle seule 2 vare, alors que 1, 3,..., n sont consdérées comme des constantes. 5. Défnton : n appelle dérvée partelle de f par rapport à p la dérvée de f p 1, 2, 3,..., n ) par rapport à p. n la note : f p 1, 3,..., n ) ou f p 1, 3,..., n ) Eemple : f 1, 2, 3 ) = f 1 1, 2, 3 ) = f 1 1, 2, 3 ) = f 2 1, 2, 3 ) = f 2 1, 2, 3 ) = f 3 1, 2, 3 ) = f 3 1, 2, 3 ) = roprétés : n a les formules habtuelles pour les dérvées d une somme, d une combnason lnéare, d un produt, d un quotent. La nouveauté vent des fonctons composées. 4

5 Avec une foncton f 1,..., n ) de n varables, et n fonctons u 1 1,.., p ),..., u n 1,.., p ) de p varables, on fabrque la foncton composée de f par les u : g 1,.., p ) = f u 1 1,.., p ),......, u n 1,.., p ) ) Rappel : our des fonctons de 1 varable : g) = f u) ) g ) = u ) f u) ) g 1,.., p ) = u 1 1,.., p ) f 1 u1 1,.., p ),......, u n 1,.., p ) ) + u 2 1,.., p ) f 2 u1 1,.., p ),......, u n 1,.., p ) ) u n 1,.., p ) f n u1 1,.., p ),......, u n 1,.., p ) ) Méthode pour dérver par rapport à la varable on va la chercher partout où elle se trouve, à chaque fos, on dérve comme pour une foncton composée d une varable, on ajoute les résultats trouvés. Eemple : Calcul de g, ) avec g, ) = sn + 2 ) e +2. sn + 2 ) e +2 2 cos + 2 ) e +2 sn + 2 ) e +2 sn + 2 ) 2 e +2 g, ) = 2 cos + 2 ) e +2 + sn + 2 ) 2 e +2 3 Formule de Talor 1. À leur tour, les dérvées partelles peuvent être dérvées. Notaton : q Théorème de Schwarz : Quand [ ] f 1, 3,..., n ) = p 2 f q p 1, 3,..., n ) s p q, 2 f 2 p 1, 3,..., n ) s p = q. 2 f 2 f et sont contnues, elles sont égales. q p p q rncpe de dérvablté : Les fonctons représentées par des formules mettant en jeu les fonctons de référence combnées par des sommes, produts, quotents, fonctons composées sont ndéfnment dérvables à l ntéreur de leur domane de défnton. 5

6 Eemple : f 1, 2, 3 ) = f 1 1, 2, 3 ) = f 2 1 1, 2, 3 ) = f 2 1, 2, 3 ) = f 1 2 1, 2, 3 ) = Avec k dérvatons successves, on obtent une dérvée partelle d ordre k. our noter ces dérvées, on écrt k f au numérateur, avec k le nombre de dérvatons effectuées, et l on regroupe les du dénomnateur en ne tenant pas compte de l ordre dans lequel ces dérvatons sont fates. Eemple : n dérve successvement une foncton f par rapport à 1, à 2, à 1, à 1. Autrement dt, on calcule : ))) f 1 La dérvée partelle d ordre 4 qu en résulte est notée 4 f Il s agt de généralser : f a + h) = f a) + f a)h m! f m) a)h m + h m εh). Ic, ε désgne toute foncton telle que lm H 0 εh) = 0. n note H = sup{ h 1,..., h n }. S f est contnue : f a 1 + h 1,..., a n + h n ) = f a 1,..., a n ) + εh) Formule de Talor à l ordre 1) : S f a des dérvées partelles contnues : f a 1 + h 1,..., a n + h n ) = f a 1,..., a n ) + D une façon générale, la formule de Talor à l ordre m s écrt : f a 1,..., a n ) h f a 1,..., a n ) h n 1 n f a 1 + h 1,..., a n + h n ) = f a 1,..., a n ) + termes d ordre 1 + termes d ordre termes d ordre m + H m εh) + H εh) Méthode pour obtenr les termes d ordre k : n développe n ) k ce qu donne une somme de termes de la forme C α 1 1 α n n avec C enter, et α α n = k. Ensute, on remplace chacun des termes C α 1 1 α n n par C k f k! α 1 1 a α n 1,..., a n ) hα 1 1 hα n n n 6

7 MVA006 Applcatons de l Analse a` la G eom etre Cours n 1 Jacques V elu CNAM) f a + h, b + k) = Eemple : f, ) = a b2 + 7a3 + b2 + 21a2 ) h + 2ab k + 21a h2 + 2b hk + a k2 + 7h3 + hk2 n v erfe pour les termes d ordre 2 : 2 + )2 = f a, b) h2 = 21a h f a, b) hk = 2b hk f a, b) k2 = a k2 2 2 Fonctons de 2 varables 1. our les fonctons de 2 varables, c est la surface repr esentatve qu remplace la courbe repr esentatve des fonctons de 1 varable. n dessne d abord le domane de d efnton de la foncton dans le plan z = 0, pus, au dessus du pont M de coordonn ees, ) de ce domane, on place le pont de coordonn ees :,, f, ). z=f,) M Quand M parcourt le domane de d efnton, parcourt la surface repr esentatve : 2. Les fonctons les plus smples sont les fonctons affnes : f, ) = a + b + c. Leurs surfaces repr esentatves sont les plans non vertcau. 7

8 3. Le problème, c est qu on ne sat pas dessner les surfaces sur une feulle de paper... alors, on utlse les courbes de nveau. 8