SÉRIES NUMÉRIQUES. Ex1 : Déterminer la nature des séries suivantes en utilisant des théorèmes de comparaison ou la règle de d Alembert : n.

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1 SÉRIES NUMÉRIQUES Séries à ermes osiifs : Ex : Déermier la are des séries sivaes e ilisa des héorèmes de comaraiso o la règle de d Alember : a) f) 3 b) 3 a [a>0] g) c) l( ) l d) l e) h) 0 i) e j)!!! ) ( 3 )! l) a a 0, 0 m) e e ) o) cos ) (l ) q) Ex : O cosidère la série de erme gééral Arc cos ) Jsifier q o e écrire le déveloeme limié : cos( ) ) E dédire l éqivalece : ~ 3) Déermier la are de e de Ex3 : Formle de Sirlig :! ~ e Alicaio : or, o ose, où es réel! ) À arir de la formle de Sirlig, rover, or eda vers +, le déveloeme : l(! ) l ( ) E dédire déveloeme or l( ), is éqivale simle de ) Déermier les valers de or lesqelles : a) ( ) coverge b) coverge

2 Ex4 : ) Jsifier l ecadreme : N,, l d l l d [Idicaio : iliser le fai qe la focio l es croissae sr 0, ] ) E dédire qe : N,, l d l(! ) l d 3) Calcler e rimiive de l Rerover le déveloeme : l(!) l ( ) Sommes e séries élescoiqes (o resqe) rodis ifiis : Ex5 : Déermier la are de chace des séries sivaes Si elle coverge, calcler sa somme ; si elle diverge, calcler la somme arielle a rag : a) l b) 0 ( ) c) ( ) 3 d) l 3 Ex6 : ) Déermier rois cosaes,, elles qe : N, ( )( )( 3) ) Calcler ( )( )( 0 3 ) 3 Ex7 : E ara de l ecadreme : morer qe la série Ex8 : O ose P N *, ( ) ( ), coverge e doer ecadreme de e S l ) E facorisa, morer qe S l ) E dédire lim P, q o oe Ex9 : Soi, E dédire 0 Démorer qe : N, lim cos 0 0 cos, c es-à-dire cos 0 si( ) si

3 Sommes e séries géomériqes : Ex0 : Por z, démorer soigeseme les iégaliés : a) z 0 z b) z z = 0 Ex :O s iéresse à la série si( x ), où x es réel qelcoqe 4 O oe S la somme arielle de rag de cee série ) Vérifier qe S es la arie imagiaire de T ix e 4 ) Morer qe T es e somme géomériqe e jsifier la covergece de e 4 3) Éablir la formle : si( x ) 4 si x 4 7 8cos x ix i Ex :) Soi z ex Vérifier qe z z z z z z 0 7 ) O ose S z z z e dédire S e T T z z z Morer qe S T e ST E Ex3 :) Soi 0, Vérifier qe : N *, ( ) ( ) (*) ) Par iégraio de (*) sr 0,, morer qe : ( ) l R, où R es e iégrale à réciser (mais as à calcler) 3) Démorer qe lim R 0 E dédire qe la série de erme gééral ( ) e rover la formle de Leibiz : l 3 4 ( ) coverge Séries alerées : Ex4 :) Jsifier raideme la covergece de la série de erme gééral ) Por, o ose ( ) ( ) ( ) a) Vérifier qe es bie e série alerée mais qe 3 Q es-ce qe vos e ovez doc as dire sr?

4 b) Morer qe : ( ) ( ) (*) c) E édia la are des 4 séries do les ermes géérax aaraisse das la arie ( ) droie de (*), morer qe diverge [e ora o a bie ~ ] Ex5 :Soi la focio g( : x l x défiie sr R Morer qe ) x * '( x a même sige qe x ) x l x E dédire le ses de variaio de sr R * ( Alicaio : jsifier la covergece de la série ) Ex6 :Soi 0 E ilisa les réslas sr les séries de Riema (alerées o o), morer qe la série de erme gééral ( ) l coverge or e diverge or 0 Ex7 :) Morer qe la série de erme gééral ( ) ( ) es covergee ( ) ) O adme la formle de Leibiz ve à ex 4 : l Calcler ( ) ( ) Exercices ls sbils : Ex8 :Soi ( ) e sie réelle ) O sose qe la série coverge absolme Morer qe coverge ) O sose qe la série coverge a) Démorer l iégalié sivae : ( a,b ) R, b) E dédire qe coverge ab a b 3) O sose qe coverge absolme Morer qe coverge 4) Doer exemle de sie réelle ( ) elle qe coverge e diverge Ex9 :Soi ( ) 0 e sie réelle elle qe : 0, N Démorer qe les séries, l( ) e l( ) so oes rois covergees o oes rois divergees

5 Ex0 :Soie ( ) 0 e (v ) 0 dex sies à ermes osiifs reliées ar : v, N ) Morer qe, si coverge, alors v coverge ) Démorer la réciroqe de l'imlicaio récédee Ex :Soi ( ) 0 e sie de réels osiifs O ose, or o 0, w 0 ( ) Vérifier qe :, w w v ) Morer qe : 0, v w 0 ) e v w 3) Morer qe ( w ) es e sie covergee [o oera sa limie] Q e dédisez-vos sr la série v? 4) Démorer l éqivalece sivae : v l( 0 ) diverge 5) Jsifier qe coverge si e seleme si l( ) coverge E dédire qe : v 0 diverge Ex : ( ) es e sie osiive e décroissae e, or, o ose v ( ) Calcl rélimiaire : vérifier qe v O sose maiea qe es e série covergee ) Morer qe v coverge égaleme ) E dédire qe ( ) es e sie covergee, is morer q'elle ed vers 0 3) Exrimer Alicaio : calcler v e focio de ( )( )( a ) [où a es eier ]

6 Ex3 : [adaé de TPE 06] éa e cosae, o cosidère e sie réelle ( ) défiie ar 0 e, or N *, ) Jsifier qe 0, N * E dédire le ses de variaio de ( ) ) O ose v l Calcler e focio de la cosae C elle qe v v 3) E dédire la are de la série de erme gééral v v e de la sie de erme gééral v 4) Exrimer e focio de e de limv éqivale simle de E dédire la are e ( ) des séries, ~ C Ex4 :O cosidère e sie ( ) 0 défiie ar so remier erme 0 e ar la relaio de récrrece : N *, ( ) ) Déermier le ses de variaio de ( ), is morer e raisoa ar l absrde qe ( ) ed vers + ) Por o diverge, simlifier la somme arielle 3) Morer qe E dédire la are de la série E dédire qe la série Ex5 :Soi l a( a )( a )( a ), où a es e cosae sriceme osiive e a! ) Simlifier ~ C( a ) ; e dédire l exisece e le calcl d e cosae C ( a ) elle qe, saf or e valer a 0 de a qe vos réciserez ) Doer la are de la série l E dédire la are des sies (l ) e ( )