Exercices corrigés pour le cours. Intégration 1

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1 Exercices corrigés pour le cours de Licece de Mathématiques Itégratio

2 2 INTEGATION, Feuille d exercices Exercice.. Soit f : Y ue applicatio. a. Motrer que pour toute famille (B i ) i I de parties de Y, f ( B i )= f (B i ), i I i I f ( i I B i )= i I f (B i ). b. Motrer que pour toute famille (A i ) i I de parties de, f( i I A i)= i I f(a i). c. Motrer que si f est ijective, f( i I A i)= i I f(a i). Motrer par u cotre-exemple que l égalité précédete est fausse e gééral. Corrigé. a. L assertio x f ( i I B i) sigifie f(x) i I B i qui équivaut à i I, f(x) B i i I, x f (B i ) x i I f (B i ). De même, x f ( i I B i) sigifie f(x) i I B i, qui équivaut à i I, f(x) B i i I, x f (B i ) x i I f (B i ). b. L assertio y f( i I A i) sigifie x i I A i tel que y = f(x), i.e. i I, x A i,y = f(x) i I,y f(a i ) y i I f (A i ). c. emarquos que A A = f(a) f(a ). Pour tout j I, o a doc f( i I A i) f(a j ) et par suite f( i I A i) i I f(a i). Si y i I f(a i), alors i I, x i A i, y = f(x i ), ce qui implique que pour i, j I, f(x i )=f(x j ). L ijectivité def doe par coséquet pour i, j I, x i = x j, et doc y = f(x) avec x i I A i, qed. Cosidéros l applicatio f : {, } {}, f() = f() =, et posos A i = {i}. Oaf(A A )=f( ) = f(a ) f(a )={}. Commetaire. O peut remarquer que, réciproquemet, si la propriété est vérifiée, alors f est ijective. E effet si x x 2 sot élémets de, comme = f( ) =f({x } {x 2 })=f({x }) f({x 2 })={f(x )} {f(x 2 )} o obtiet f(x ) f(x 2 ).

3 Exercice.2. Soit u esemble. Motrer qu il existe pas de surjectio de sur l esemble de ses parties P(). O pourra raisoer par l absurde et cosidérer pour f : P() l esemble A = {x, x / f(x)}. Corrigé. Suivos l idicatio. Si f était surjective, ous pourrios trouver a tel que A = f(a). Supposos d abord a A ; o obtiet a f(a) et par coséquet a/ A, ce qui cotredit otre hypothèse. Supposos maiteat que a/ A ; o obtiet a/ f(a) et par coséquet a A, ce qui cotredit otre hypothèse. Par coséquet, l élémet a appartiet i à A, i à so complémetaire, ce qui est impossible. Par suite, A e possède pas d atécédet par f, qui est doc o surjective. Commetaire. Nous avos démotré beaucoup plus que ce qui était demadé: si f est ue applicatio de das P(), l esemble A est pas das l image de f. Cet exemple est ue versio mathématique du paradoxe du meteur, cou depuis l atiquité : l homme qui dit je mes dit-il la vérité? Si c est le cas, alors il met et doc, e dit pas la vérité. Si e revache il met, c est qu il a dit vrai... Si l o reviet aux mathématiques, o s aperçoit qu ue coséquece de ce qui précède est le célèbre paradoxe de ussell: 2 il existe pas d esemble de tous les esembles. E effet si u tel uivers existait, il cotiedrait l esemble de ses parties et cette iclusio P() permettrait de costruire ue surjectio de sur P(). O pourrait égalemet cosidérer Y = {x, x / x}, et remarquer que si Y Y alors, par défiitio de Y, Y / Y. Si e revache Y / Y alors, par défiitio de Y, Y Y. Das les deux cas, o aboutit à ue cotradictio. Ceci exclut l existece d u esemble de tous les esembles. La première versio du paradoxe du meteur est attribuée à Eubulide, philosophe grec du IVe siècle avat J.C. 2 Bertrad ussell (872 97) est u logicie britaique, auteur d u moumetal traité de logique mathématique, Pricipia Mathematica, écrit e commu avec A.N.Whitehead (86 947) etre 9 et 93, au plus fort de la crise des fodemets des mathématiques, crise apparue e 92 avec le paradoxe sus-metioé. E 895, le mathématicie Georg Cator (845 98) avait créé lathéorie des esembles, u paradis dot persoe e doit pouvoir ous expulser selo le mot de David Hilbert. Sept aées plus tard, il fallait se redre àl évidece: de sérieuses difficultés apparaissaiet das la théorie de Cator, e particulier das la otio même d esemble. ussell était u persoage vraimet extraordiaire : prix Nobel de littérature e 95, il a passé la derière partie de so existece à combattre la productio d armes ucléaires et l ifluece du Tribual ussell sur la vie politique iteratioale fut cosidérable. Pour plus d iformatios sur B.ussell, revoyos aux sites Pour ue documetatio plus approfodie sur le paradoxe du meteur, o pourra cosulter qui cotiet égalemet ue remarquable bibliographie. Les sites fracophoes sur le sujet sot das l esemble, soit éloigés des mathématiques, soit uiquemet récréatifs. 3

4 4 De maière plus prosaïque, otos que la propriété de l exercice.2 est ue évidece pour les esembles fiis car, das ce cas, Card P() =2 Card et o voit facilemet que, pour etier, o a <2 ; o peut par exemple démotrer par récurrece sur que + 2. Exercice.3. Soit u esemble. O appelle partitio de toute famille (A i ) i I de parties o vides de, deux à deux disjoites, de réuio. Etat doée ue partitio de, motrer que la relatio xy défiie par il existe i I tel que x A i et y A i est ue relatio d équivalece sur. Motrer que toute relatio d équivalece sur peut s obteir de cette maière. Décrire les partitios de Z associées aux cogrueces modulo. Corrigé. La relatio est réflexive car = i I A i : si x, il existe i I tel que x A i et doc xx. La symétrie de est iscrite das sa défiitio, où x et y jouet le même rôle. Soiet x, y, z tels que xy et yz. Alors, il existe i, j I tels que x, y A i, y,z A j. Comme les A i sot deux à deux disjoits et y A i A j, il viet A i = A j et xz (trasitivité de la relatio). Si est ue relatio d équivalece sur, o peut cosidérer, l esemble quotiet Q, i.e. l esemble des classes d équivalece. O a Q = {C j } j J. Aucue des classes d équivalece est vide car C j est par défiitio la classe d équivalece d u élémet de. Par ailleurs = j J C j car si x, la classe d équivalece de x est l u des C j qui cotiet doc x. Deux classes distictes sot disjoites car si x j C j, x k C k,avecx j x k et z C j C k,oa x j z et zx k = x j x k = C j = C k. Soit u etier 2. La cogruece modulo est la relatio d équivalece sur Z doée par x y () x y Z (x y), i.e. divise x y. C est évidemmet ue relatio d équivalece, et l esemble quotiet est oté Z/Z. La partitio de Z associée à cette relatio est la famille à élémets A r = r + Z = {r + q} q Z, r. emarquos que la divisio euclidiee permet de démotrer ce fait: si m est u etier, il existe u uique couple d etiers (q, r) tel que m = q + r, r.

5 5 Commetaire. La relatio d équivalece précédete est compatible avec la structure d aeau de Z, i.e. si P : Z Z/Z associe à u etier sa classe d équivalece modulo, alors o peut défiir additio et multiplicatio sur Z/Z P (a) P (b) =P (a + b), P (a) P (b) =P (ab) et o vérifie facilemet que si a a (), b b (), les résultats sot ichagés. Le lecteur, certaiemet familier avec ces objets, pourra écrire la table de multiplicatio de Z/Z pour 2, vérifier que Z/Z est u corps si et seulemet si est u ombre premier, chercher les diviseurs de de Z/Z pour {4, 6, 8, 9, } et... lire u petit livre d arithmétique comme par exemple [Apo]. Exercice.4. Soit A u sous-esemble ifii de N. Motrer que A est équipotet à N. Motrer qu u esemble est déombrable s il existe ue ijectio de das N. Corrigé. Comme A est ifii, il est o vide, et comme N est bie ordoé, A possède u plus petit élémet a. Supposos costruits pour etier a < <a, tels que a j = mi ( A\{a k } k j ). Comme A est ifii, A\{a k } k est o vide et l o peut poser a + = mi ( A\{a k } k ). O dispose doc d ue suite strictemet croissate (a j ) j d élémets de A. Soit x A. Par défiitio de a,oaa x. L esemble {j N,j,a j x} est doc u sousesemble majoré o vide d etiers: c est u esemble fii et il possède doc u plus grad élémet m. O a doc, pour u etier m a < <a m x<a m+. Or, par défiitio, o a a m+ = mi ( A\{a k } k m ). Ceci implique x = am ; sio, o aurait a m <x<a m+ et x A\{a k } k m d où a m+ x<a m+, ce qui est impossible. Nous avos démotré que A = {a j } j et doc A est équipotet à N. Cosidéros u esemble déombrable, i.e. équipotet à ue partie de N. Soit est fii et il y a ue ijectio de das N, soit est ifii et est équipotet à ue partie A de N, elle-même ifiie dot ous veos de voir qu elle est équipotete à N. Commetaire. La otio d esemble bie ordoé joue u rôle importat das la démostratio précédete. U esemble E mui d ue relatio d ordre (relatio biaire réflexive, atisymétrique et trasitive) est dit bie ordoé si toute partie o vide possède u plus petit élémet. C est le cas de N, mui de la relatio d ordre habituelle. Ce est pas le cas de Z qui est pas mioré. E revache, toute partie miorée de Z est bie ordoée. Ce est pas le cas de Q + : l esemble mioré {x Q,x > } e possède pas de plus petit élémet. Ce est pas le cas de + : l esemble mioré ], ] e possède pas de plus

6 6 petit élémet. Toutefois, das les exemples précédets, l ordre est total, i.e. deux élémets x, y sot toujours comparables (o a x y ou bie y x). U bo ordre est toujours total (cosidérer l esemble {x, y}) et ous veos de voir que la réciproque est fausse e gééral. Par ailleurs u exemple simple et aturel d ordre o total est doé par la relatio suivate sur l esemble des matrices 2 2 symétriques (à coefficiets réels): ( ) ( ) a b a2 b 2 sigifie (a b c b 2 c 2 a )(c 2 c ) (b 2 b ) 2 et a 2 + c 2 a + c. 2 Nous laissos au lecteur le soi de vérifier qu il s agit bie d ue relatio d ordre et que les matrices ( ) ( ), e sot pas comparables. Exercice.5. Soit a b des réels et f :[a, b] ue suite de foctios cotiues. O suppose que pour tout x de [a, b], la suite f (x) ted vers e décroissat. Motrer que la suite f coverge uiformémet vers (lemme de Dii 3 ). Motrer que si g est ue suite de foctios cotiues positives sur [a, b] qui ted simplemet e croissat vers ue foctio cotiue g, alors b a g (t)dt b a g(t)dt. Corrigé. Il s agit d u exercice classique d aalyse. aisoos par l absurde e iat la covergece uiforme de la suite f. La suite umérique ω = sup x [a,b] f (x) e ted pas vers et il existe ɛ > et ue sous-suite (ω k ) k N tels que, pour tout k, o ait ω k >ɛ. Par coséquet, pour tout k, il existe x k [a, b] tel que f k (x k ) >ɛ. Grâce à la compacité de[a, b], o peut extraire ue sous-suite de la suite (x k ) k N qui coverge vers c [a, b]. Pour simplifier les otatios, supposos que la suite (x k ) k N coverge vers c. Puisque pour l, o a k+l > k, il viet f k (x k+l ) f k+l (x k+l ) >ɛ. Par cotiuité de la foctio f k, o trouve f k (c) ɛ >, ce qui cotredit la covergece vers de la suite f (c). Pour le derier poit, il suffit d appliquer le résultat précédet à la suite g g et d utiliser la majoratio triviale b a ( g(t) g (t) ) dt (b a) sup (g g )(x). x [a,b] 3 Ulisse Dii (845-98) est u mathématicie italie. O peut voir sa statue près de la Piazza dei Cavalieri, à Pise, près de la Scuola Normale Superiore dot il fut le directeur.

7 7 ϕ + ϕ 2/(+) 2/ la suite ϕ Commetaire. Le résultat est icorrect sas l hypothèse de mootoie décroissate: preez ϕ affie par morceaux sur [, ], ϕ ()=, ϕ (/) =, ϕ (t) =pourt 2/. La suite de foctios cotiues ϕ ted simplemet vers, pas uiformémet car sup ϕ =. De plus le résultat est icorrect sas l hypothèse de cotiuité: cosidérez ψ défiie sur [,] par ψ ()==ψ (t) pour t /, ψ (t) = t pour <t</. Pour tout t [, ], la suite ( ψ (t) ) ted vers e décroissat, éamois la covergece est pas uiforme car sup [,] ψ N =. ψ ψ + /(+) / la suite ψ

8 8 Exercice.6. O cosidère E = C ([, ], ) l espace des foctios cotiues défiies sur [,] à valeurs réelles. a. Motrer que E est complet pour la orme doée par f = sup x [,] f(x). b. Motrer que f = f(x) dx défiit ue orme sur E. Motrer que cette orme est pas équivalete àlaprécédete. Motrer que E mui de la orme est pas complet. Corrigé. Le (a) est u résultat classique dot ous doos tout de même la preuve complète. Soit (f ) ue suite de Cauchy das (E, ). Comme pour tout x [, ], la suite réelle ( f (x) ) N est de Cauchy, elle est covergete. Posos f(x) = lim f (x). O a f(x) f m (x) = lim f (x) f m (x) sup f f m = ɛ(m). m Comme la suite f est de Cauchy, lim m ɛ(m) =etf est limite uiforme des f. De plus, pour x, x [, ], N, oa f(x) f(x ) f(x) f (x) + f (x) f (x ) + f (x ) f(x ), et doc f(x) f(x ) 2 f f + f (x) f (x ), ce qui implique par cotiuité def lim sup x x f(x) f(x ) 2 f f, ceci pour tout, d où lim sup x x f(x) f(x ) lim 2 f f =, ce qui doe la cotiuité def. (b) Si f E, etf o idetiquemet ulle, il existe r> tel que l ouvert {x, f(x) >r} soit o vide. Cet ouvert cotiet doc u itervalle [a, b] avec a<b et par suite f (b a)r >. Les autres propriétés des ormes (positivité, homogééité, iégalité triagulaire) sot immédiates. Pour f E, oa f f. E revache, il existe pas de costate C telle que, pour tout f E, f C f. Sio e cosidérat la foctio ϕ de l exercice.5, o aurait, pour tout etier = ϕ C ϕ = C/, ce qui est impossible. De plus, la suite Φ défiie par pour x 2, Φ (x) = x 2 + pour 2 <x< 2, pour 2 x,

9 9 est de Cauchy pour : comme Φ est à valeurs das [, ], o a Φ +k Φ = 2 2 Φ +k (x) Φ (x) dx /. Néamois, il existe pas de foctio Φ E telle que lim Φ Φ = ; e effet, sio 2 /2 Φ(x) dx = Φ(x) dx = 2 /2 Φ (x) Φ(x) dx Φ Φ, Φ (x) Φ(x) dx Φ Φ. La secode iégalité implique que Φ = sur [/2,] tadis que la première implique, pour ɛ>et>/ɛ, 2 ɛ Φ(x) dx 2 Φ(x) dx Φ Φ, et doc Φ = sur [,/2[. Ceci est icompatible avec la cotiuité de Φ e /2. Φ /2-/ /2 la suite Φ

10 Exercice.7. a. Détermier les valeurs du paramètre réel α pour lesquelles b. Détermier les valeurs du paramètre réel α pour lesquelles + dx x α coverge. dx x α coverge. c. Motrer que la série harmoique (terme gééral /) diverge. Motrer que la suite doée par x = l est covergete (l désige le logarithme épérie). d. Motrer que, au ses des itégrales de iema impropres, + e. Motrer que si x x dx =+. Corrigé. Pour (a), α<; pour (b), α>. Pour (c), oécrit x = ( ) k+ k dt + dt + k t t = k+ k k Comme pour k, oa k + si x dx existe. x t k dt +l ( +. kt ) k+ k t k k+ dt kt k k+ kt dt k k 2 dt = k 2, la série de terme gééral k+ t k k kt dt est covergete. Comme lim l( + /) =, la suite x est covergete. Ceci implique que la série harmoique, égale à x +l, diverge e tedat vers +. (d) La foctio si x/x est cotiue sur (et vaut e ). O examie, pour A π/2, I(A) = A π/2 si t dt = t [ cos t t ] A π/2 A π/2 cos t A t 2 dt = A cos A π/2 cos t t 2 dt. Comme cos A et t 2 cos t t 2, le terme de droite coverge pour A +. (e) O a, pour A l A = A dx A x = cos(2x) A dx + x 2 si 2 x A dx x cos(2x) A dx +2 x si x dx, x et le membre de droite ted vers + avec A. Comme o peut démotrer comme e (d) que A x cos(2x)dx possède ue limite lorsque A +, o trouve le résultat. Commetaire. La limite de la suite (x )du(c) est coue sour le om de costate d Euler, et otée γ. Ue valeur approchée est

11 Cette costate reste assez mystérieuse; par exemple, o e sait pas si elle est irratioelle. Pour plus de détails, mathématiques et aecdotiques, o pourra cosulter le site Exercice.8. Motrer que l esemble des ombres réels est équipotet à celui des parties de N (o pourra utiliser les développemets dyadiques). Motrer que est o déombrable. Corrigé. D après l exercice.2, cela implique que e peut être équipotet à N. Par suite, e peut être déombrable, sio il serait équipotet à ue partie de N, écessairemet ifiie, et doc, d après l exercice.4, serait équipotet à N. L applicatio x x/( + x ) est bijective de sur ], [ qui est e bijectio avec ], [. De plus P(N) est équipotet à {, } N, qui désige l esemble des applicatios de N das {, } ; e effet, o cosidère, pour u esemble Φ:P() {, } A A, où A : {, } est défii par A (x) = { si x A, si x/ A. L applicatio Φ est ue bijectio : comme A = A ({}), A = B implique A = B. Par ailleurs, si ϕ : {, }, o a ϕ = A avec A = ϕ ({}). Il ous reste doc àdémotrer que {, } N est équipotet à], [. Soit x ], [. Posos, pour k etier, x k = E(2 k x) 2E(2 k x)=p k (x), où E(t) désige la partie etière de t caractérisée par E(t) Z et E(t) t<e(t)+, i.e. O a E(t) = max{ Z, t} = mi{ Z,t<+}. E(2 k x) 2 k x<e(2 k x)+ E(2 k x) 2 k x<e(2 k x)+ et par coséquet 2E(2 k x) 2 k x<2e(2 k x) + 2 ce qui implique Il viet k 2E(2 k x) E(2 k x) 2 k x<e(2 k x)+ 2E(2 k x)+2. x k = p k (x) =E(2 k x) 2E(2 k x) <E(2 k x)+ 2E(2 k x) 2, et comme x k est u etier tel que x k < 2, o trouve que x k {, }. Lasérie k est doc covergete. O remarque que, pour etier, x k 2 k = E(2 k x) 2E(2 k x) 2 k = E(2 k x) 2 k E(2 k x) 2 k k = k E(2 k x) 2 k k k k E(2 k x) 2 k = E(2 x) 2 E(x) =2 E(2 x). x k 2 k

12 2 Or o a vu que 2 E(2 x) x<2 E(2 x)+2, ce qui implique que lim 2 E(2 x)= x et doc x = x k 2 k k avec x k {, }. Nous avos doc costruit ue applicatio (développemet dyadique par défaut) Ψ :], [ {, } N x ( x k = p k (x) ). k Cette applicatio est ijective car si x, y ], [ vérifiet pour tout k, x k = y k, alors x = k x k2 k = k y k2 k = y. L applicatio Ψ est pas surjective (e.g. la suite ulle a pas d atécédet), éamois ous allos voir que le complémetaire de l image de Ψ est déombrable. Soit (x k ) k ue suite de, qui est i idetiquemet ulle, i idetiquemet égale àà partir d u certai rag. Posos = k x k 2 k. Oa<< k 2 k =. Alors x 2 x 2 + x k 2 k < x k = x 2 + 2, k 2 k 2 et par suite x 2 <x + et par coséquet E(2) =x et x = p (). O démotre de même que p k () =E(2 k ) 2E(2 k )=x k. E effet, supposos que pour u etier, o ait, k {,...,},x k = p k (). Alors, x k 2 k < x k 2 k + 2 k = x k 2 k +2, k + k + ce qui implique p k ()2 k + x + 2 < k +2 k k k + p k ()2 k + x i.e. i.e. i.e. 2 E(2 )+x + 2 <2 E(2 )+x E(2 )+x <2E(2 )+x + + x E(2 ) <x + +.

13 3 Il viet x + = E ( 2 + 2E(2 ) ) = E(2 + ) 2E(2 )=p + (), qed. Par suite, l applicatio Ψ est ijective et so image cotiet toutes les suites (x k ) k qui e sot i idetiquemet ulle i composées uiquemet de à partir d u certai rag. Par coséquet, Ψ est bijective de ], [ sur {, } N \D où D est u esemble déombrable. Motros pour termier que {, } N \D est équipotet à {, } N. O a, pour C équipotet à N disjoit de D das {, } N (ce qui existe car {, } N est o déombrable) {, } N = ( {, } N \D ) D= ( {, } N \(D C) ) ( D C ). Or D C est déombrable ifii doc équipotet à N et à C. Par suite {, } N est équipotet à ( {, } N \(D C) ) C= {, } N \D, qed. Commetaire. Cet exercice peut être u peu simplifié par le théorème de Schröder-- Berstei du problème. ci-dessous. Néamois, ce théorème est beaucoup plus difficile, puisqu il traite d ue situatio très géérale. Il ous a semblé plus simple de doer ue preuve de l exercice.8 idépedate du problème.. Si, Y sot des esembles, o dira que Card = Card Y si et Y sot équipotets, ceci sas défiir chacu des termes Card, Card Y. O ote habituellemet par ℵ le cardial de N: o écrira que Card E = ℵ si E est équipotet à N. Le fait que N N soit équipotet à N peut s écrire symboliquemet comme ℵ 2 = ℵ. Noter égalemet que si c désige le cardial de, ous avos démotré que c =2 ℵ. O a vu aussi que 2ℵ = ℵ + ℵ = ℵ, c+ ℵ = c. O peut égalemet démotrer que c 2 = c.c =(2 ℵ ) 2 =2 2ℵ =2 ℵ = c. L idetité x 2 = x est vérifiée pour tous les cardiaux ifiis, mais sa démostratio géérale requiert l utilisatio du théorème de Zor et est pas élémetaire. Les exercices costituet ue petite itroductio à l algèbre sur les cardiaux. Le lecteur plus curieux pourra cosulter le premier volume du traité de Bourbaki [Bou] aisi que d autres sources comme par exemple history/histtopics/begiigs of set theory.html Exercice.9. a. Soit u esemble et A,...,A ue partitio fiie de. Décrire la tribu egedrée par A,...,A. Quel est so ombre d élémets? b. Soit u esemble et (A k ) k N ue partitio de. Décrire la tribu egedrée par (A k ) k N. Motrer qu elle est équipotete à P(N).

14 4 Corrigé. a. Cosidéros T = { j J A j } J {,...,}. Pour tout j {,...,}, A j T et toute tribu à laquelle les A j appartieet doit coteir T ; de plus T est ue tribu, car stable par réuio, passage au complémetaire car les A j formet ue partitio de et doc ( j J A j ) c = j J ca j. E outre = j A j T. Comme les A j formet ue partitio de, ilyaue bijectio etre les sous-esembles J de {,...,} et T. Par suite Card T =2. b. Cosidéros T = { j J A j } J N. Pour tout j N, A j T et toute tribu à laquelle les A j appartieet doit coteir T ; de plus T est ue tribu, car stable par réuio, passage au complémetaire car les A j formet ue partitio de et doc ( ) c j J A j = j J ca j. E outre = j N A j T. Comme les A j formet ue partitio de, il y a ue bijectio etre les sous-esembles J de N et T : l applicatio P(N) J j J A j T est surjective par costructio de T. Elle est ijective car si J, K sot des parties de N telles que j J A j = k K A k o obtiet pour j J, A j = A j ( ) j J A j = Aj ( ) k K A k = si j / K. Comme A j, il viet J K et de même K J i.e. J = K. Par suite, o peut écrire symboliquemet que Card T = 2 ℵ, car ous avos démotré que T est équipotet à P(N). Exercice.. Soit u esemble et M ue tribu déombrable sur. a. Motrer que pour tout x, l itersectio A(x) des élémets de M qui cotieet x est ecore élémet de M. b. Motrer que pour x, x, soit A(x) A(x )=, soit A(x) =A(x ). c. Motrer que M est la tribu egedrée par ue partitio déombrable. E déduire e utilisat l exercice précédet que M est fiie. Corrigé. a. A(x) est ue itersectio déombrable (car M est déombrable) d élémets de M, et doc est élémet de M. b. Cosidéros x, x des élémets de. Si x A(x ), o a A(x) A(x ) et doc A(x) =A(x ) A(x). Par coséquet si x A(x )etx A(x), o obtiet A(x) =A(x ) A(x) =A(x ). Si x/ A(x ) alors A(x ) c est u élémet de M qui cotiet x et par suite A(x) A(x ) c, ce qui implique A(x) A(x )= (et le même résultat si x / A(x)).

15 5 c. Cosidéros l esemble N = {B, x, B = A(x)} : c est u sous-esemble de M et il est doc déombrable. Par ailleurs, d après la questio b, sib B N,oaB B =. E otat, avec D déombrable, N = {B k } k D, o trouve que N est ue partitio de. E effet, si (si =, M = { }) aucu B k est vide, B k B l = pour k l D et k D B k = car pour x, il existe k D, tel que A(x) =B k. La tribu M cotiet doc la tribu egedrée par N, qui est o déombrable si D est ifii d après l exercice.9. Par suite, D est fii aisi que la tribu egedrée par N. De plus si C M,oa C = x C A(x) car, pour x C, C A(x) etx A(x); par coséquet, C est réuio, écessairemet déombrable, d élémets de N. La tribu M est doc la tribu egedrée par N, qui est fiie. Exercice.. Motrer que la tribu des borélies sur est egedrée par les itervalles du type [a, + [. Même questio avec les itervalles du type ]a, + [. Même questio avec les itervalles du type ],a] et ceux du type ],a[. Corrigé. cf. otes de cours, sectio.2, après le lemme.2.4. Exercice.2. Soit (a ij ) i N,j N ue suite double d élémets de +. Motrer directemet que ( ) a ij = ( a ij ). i N j N j N i N Corrigé. cf. otes de cours, sectio.2, lemme.2.. Exercice.3. Doer u exemple d ue suite décroissate d esembles (A ) N tels que pour tout, A est ifii et N A =. Corrigé. A =[, + ). Exercice.4. Soiet (a ) N, (b ) N des suites de telles que (a,b ), (lim sup a, lim sup b ) / {(, + ), (+, )}.

16 6 Motrer que lim sup(a + b ) lim sup a + lim sup b. Doer u exemple de suites borées pour lesquelles l iégalité ci-dessus est stricte. Ecrire u éocé aalogue pour les lim if. Corrigé. cf. propositio.2. des otes de cours. Exercice.5. Soit (, M) u espace mesurable et f Motrer que l esemble : C ue suite de foctios mesurables. A = {x, la suite ( f (x) ) N est covergete} est élémet de M. Corrigé. O a e utilisat le critère de Cauchy, et par suite A = {x, ɛ Q ], ], N, N, k, f +k (x) f (x) ɛ} A = ɛ Q ],] [ N N ( N,k {x, f +k (x) f (x) ɛ}) ]. La mesurabilité des foctios f assure que l esemble {x, f +k (x) f (x) ɛ} est élémet de M (cf. théorème.2.5 das les otes de cours). L esemble A est doc ue itersectio déombrable de réuio déombrable d itersectio déombrable d élémets de M: c est u élémet de M.

17 7 INTÉGATION, Feuille d exercices 2 Exercice 2.. Motrer que la foctio suivate est discotiue sur Q et cotiue sur Q c : si x =, f(x) = /q si x = p/q, p Z,q N, fractio irréductible, si x irratioel. Corrigé. Soit x \Q et soit (x ) ue suite de limite x. O a f(x )==f(x ) si x / Q. O peut doc supposer que (x ) est ue suite de ombres ratioels o uls avec x = p /q, p Z,q N, fractio irréductible, f(x ) = /q. Pour obteir la cotiuité def e x, il ous suffit de démotrer que lim q =+. Si ce était pas le cas, o pourrait extraire de la suite d etiers (q ) ue suite borée et doc extraire ue suite statioaire (q j ) j, idetiquemet égale à u etier q. La suite d etiers p j = q j x j = qx j serait égalemet borée et o pourrait e extraire ue suite statioaire, idetiquemet égale à u etier p. Ue suite extraite de la suite (x ) serait doc costate égale à p/q ; or cette suite coverge vers x, ce qui doe x = p/q, ce qui est impossible car x / Q. De plus f est discotiue e tout poit ratioel, car si x Q, oaf(x ) > et, pour etier, f(x + 2/) = (car x + 2/ / Q). Commetaire. Q est ue réuio déombrable de fermés de, c est u F σ de (cf..5 des otes de cours). O peut démotrer (cf.[go], [GO2]) que l esemble des poits de discotiuité d ue foctio de das est u F σ et que, état doé D u F σ, il existe ue foctio de das dot l esemble des poits de discotiuité est exactemet D. Par ailleurs, le théorème de Baire (cf. e.g. problème.2, feuille ) implique que Q c est pas u F σ. Par coséquet, il existe pas de foctio cotiue sur Q, discotiue sur Q c. Exercice 2.2. Soit u borélie de et f : mootoe. Motrer que f est mesurable. Corrigé. cf..2 das les otes de cours, avat l éocé duthéorème.2.5. Exercice 2.3. Soiet (, M), (Y,N ) des espaces mesurables et T u espace métrique séparable mui de la tribu des borélies. Soiet u,...,u d des applicatios mesurables de das T et Φ:T d Y mesurable. Motrer que l applicatio Y x Φ ( u (x),...,u d (x) ) est mesurable. Corrigé. C est l éocé duthéorème.2.5 das les otes de cours.

18 8 Exercice 2.4. Soiet (, M) u espace mesurable et f : C ue applicatio mesurable. Motrer qu il existe ue foctio mesurable α : C avec α, telle que f = α f. Corrigé. cf. le lemme.2.6 das les otes de cours. Exercice 2.5. Soiet (, M) u espace mesurable et A. Motrer que l esemble M A = {M A} M M est ue tribu sur A, redat l ijectio caoique mesurable. Motrer que si e outre A M, M A = {M M,M A}. Corrigé. M A est stable par réuio déombrable, cotiet A = A, et est stable par passage au complémetaire car, e otat B c le complémetaire das, pour M M, (M A) c A =(M c A c ) A = M c A. L ijectio caoique ι est mesurable car, pour M M,oaι (M) =M A. Le derier poit est trivial. Exercice 2.6. Motrer que l additio des réels se prologe par cotiuité à + +. Motrer que la multiplicatio des réels e se prologe pas par cotiuité à + +. Motrer que si l o adopte la covetio = cette ouvelle multiplicatio est associative, commutative, avec élémet eutre et distributive par rapport à l additio. Soiet (, M) u espace mesurable, f et g des foctios mesurables de das +. Motrer que f +g est mesurable. Motrer que f g défii e adoptat la covetio = est mesurable. Corrigé. cf. la remarque.3.4 das les otes de cours. Exercice 2.7. Soit (, M,µ) u espace mesuré où µ est ue mesure positive, et (A ) N ue suite de M. Motrer que µ( N A ) N µ(a ). Motrer que µ(a A 2 )+µ(a A 2 )=µ(a )+µ(a 2 ), et gééraliser cette formule aux cas faisat iterveir u ombre fii d esembles A,...,A. Corrigé. Pour la première partie, cf. la remarque.4.3 des otes de cours. E outre, et par coséquet µ(a \A 2 )+µ(a 2 \A )+µ(a A 2 )=µ(a A 2 ) µ(a \A 2 )+µ(a A 2 )+µ(a 2 \A )+µ(a A 2 )=µ(a A 2 )+µ(a A 2 )

19 9 c est à dire Ceci doe, si µ(a A 2 ) < +, la formule µ(a )+µ(a 2 )=µ(a A 2 )+µ(a A 2 ). µ(a A 2 )=µ(a )+µ(a 2 ) µ(a A 2 ). O obtiet égalemet, e supposat µ(a A 2 A 3 ) < +, µ(a A 2 A 3 ) = µ(a )+µ(a 2 )+µ(a 3 ) µ(a A 2 ) µ(a A 3 ) µ(a 2 A 3 )+µ(a A 2 A 3 ). De maière géérale, o obtiet par récurrece sur, e supposat µ( j A j ) < +, (e2.7.) µ( j A j )= ( ) k+ µ(a i A i2 A ik ). k i <i 2 < <i k E effet, ous avos établi la formule (e2.7.) pour = 2. Cosidéros u etier 3et A,...,A mesurables de mesures fiies. Il viet µ( j A j )=µ( j A j A ) = µ( j A j )+µ(a ) µ ( j (A j A ) ) = ( ) k+ µ(a i A i2 A ik ) k + µ(a ) = k = k k ( ) k+ ( ) k+ ( ) k+ i <i 2 < <i k i <i 2 < <i k i <i 2 < <i k [i k ] ou bie [i k = avec k 2] i <i 2 < <i k µ ( A i A ik A ) µ(a i A i2 A ik )+µ(a ) µ(a i A i2 A ik ), Commetaire. Das l avat-derière somme, o cosidère les k-uplets i < <i k tels que i k aisi que ceux pour lesquels i k = et k 2; par suite il maque le k-uplet pour lequel k =eti k = : c est précisémet le terme µ(a ). qed. Exercice 2.8. Soit u esemble et µ la mesure de comptage défiie sur P() par µ(a) = CardA si A est fii, µ(a) = + sio. Motrer que (, P(),µ) est u espace mesuré.

20 2 Corrigé. Soit (A j ) j N ue suite de parties de, deux à deux disjoites. Si j N A j est u esemble fii, alors il existe N tel que A j = pour j>n; par suite j N A j = j N A j et les A j sot fiis deux à deux disjoits. O obtiet bie µ( j N A j ) = Card( j N A j )= j N Card(A j )= j N Card(A j )= j N µ(a j ). Si j N A j est u esemble ifii, o a µ( j N A j )=+. Vérifios que j N µ(a j)= +. Si l u des esembles A j est ifii, c est vrai. Si tous les A j sot fiis, o e peut avoir M = j N Card(A j) < +. E effet, cela impliquerait Card( j A j )= j Card(A j ) M, et par coséquet sup N Card( j A j ) M. Or, comme l esemble j N A j est ifii, la suite ( Card( j A j ) ) est pas majorée. N Exercice 2.9. Soit (, M) u espace mesurable et (µ k ) k N ue suite de mesures positives défiies sur M. Motrer que k µ k défiit ue mesure positive sur M. Corrigé. E posat, pour A M, µ(a) = k µ k(a), o voit que µ( ) =. Si (A ) N est ue suite de M d esembles deux à deux disjoits, o a, e utilisat le lemme.2., µ( N A )= µ k ( N A )= k N k N ( N ) µ k (A ) = N ( k N ) µ k (A ) = µ(a ), qed. N Commetaire. O pourra égalemet cosulter l exercice 2 du 4//998 das le paragraphe exames corrigés. Exercice 2.. Soit (, M,µ) u espace mesuré où µ est ue mesure positive telle que µ() =. O cosidère T = {A M,µ(A) =ouµ(a) =}. Motrer que T est ue tribu sur. Corrigé. cf. l exercice du 4//998 das le paragraphe exames corrigés. Exercice 2.. Soit (, M) u espace mesurable et (µ j ) j N ue suite de mesures positives défiies sur M. O suppose que pour tout A Met pour tout j N, µ j (A) µ j+ (A). Pour A M, o pose µ(a) = sup µ j (A). j N

21 2 a. Motrer que µ est ue mesure positive défiie sur M. b. O cosidère l espace mesurable (N, P(N)) et pour j N, A N, odéfiit ν j (A) = Card(A [j, + [)(CardE désige le ombre d élémets de E si E est fii, + sio). Motrer que ν j est ue mesure positive défiie sur P(N) telle que, pour tout A N, ν j (A) ν j+ (A). O pose ν(a) = if ν j(a). j N Motrer que ν(n) =+ et que pour tout k N, ν({k}) =. Edéduire que ν est pas ue mesure sur N. Corrigé. cf. l exercice 2 du 4//998 das le paragraphe exames corrigés. Exercice 2.2. Soit B la tribu de Borel sur et soit µ ue mesure positive défiie sur B telle que µ(k) < + pour K compact (o dira que µ est ue mesure boréliee sur ). Soit D = {a,µ({a}) > }. a. Soiet, l des etiers. O pose D,l = {a, a et µ({a}) /l}. Motrer que D,l est fii. Motrer que D est déombrable. b. O pose pour E B, λ(e) =µ(d E). Motrer que cela a u ses et que λ est ue mesure boréliee sur. Motrer que λ = a D µ({a})δ a, où δ a est la masse de Dirac e a (i.e. δ a (E) = E (a)). c. Motrer que µ = λ + ν où ν est ue mesure boréliee sur telle que pour tout x, ν({x}) =. Corrigé. cf. l exercice 2 du 2//999 das le paragraphe exames corrigés. Exercice 2.3. Soit (, M) u espace mesurable et soit (u ) N ue suite de foctios mesurables de das. Motrer que les esembles suivats sot mesurables A = {x, lim u (x) =+ }, + B = {x, la suite (u (x)) N est borée}. Corrigé. O a A = {x, m N, N N, N,u (x) m}, de sorte qu e posat A,m = {x, u (x) m}, ( ) il viet A = m N ( ) N N N A,m qui est mesurable car chaque A,m l est. De ( ) maière aalogue, o a B = {x, m N, N, u (x) m} = m N N B,m, avec B,m = {x, u (x) m}.

22 22 Exercice 2.4. Soiet, Y deux espaces métriques et soit f : Y, ue applicatio dot l esemble des poits de discotiuité est déombrable. Motrer que f est mesurable (, Y sot muis de leur tribu boréliee). Corrigé. Soit D l esemble des poits de discotiuité def. L applicatio F : \D Y défiie par F (x) =f(x) est cotiue. Soit V u ouvert de Y.Oa f (V )={x, f(x) V } = {x \D, f(x) V } ( f (V ) D ) = F (V ) ( f (V ) D ) = ( U (\D) ) ( f (V ) D ), où U est u ouvert de. Or D est mesurable comme réuio déombrable de poits. Par suite, U D c est mesurable. De plus, f (V ) D est déombrable, doc mesurable. Fialemet, f (V ) est mesurable et d après le lemme..4, f est mesurable. Exercice 2.5. Soit u esemble o vide et M la tribu egedrée par les parties {x} où x. a. Motrer que A Msi et seulemet si A est déombrable ou bie A c est déombrable. b. Si est pas déombrable, o pose pour A M µ(a) =, µ(a) =, si A est déombrable, si A est pas déombrable. Motrer que µ est ue mesure positive défiie sur M. Corrigé. Si A est ue partie déombrable de, A est réuio déombrable d esembles à u élémet et appartiet doc à M. Comme M est aussi stable par passage au complémetaire, o trouve égalemet que si A c est déombrable, A M. Cosidéros N = {A, A ou A c est déombrable}. Nous veos de démotrer que N M. Par ailleurs N est stable par passage au complémetaire, cotiet et toutes les parties àuélémet. Soit (A ) N ue suite d élémets de N. Si tous les A sot déombrables, alors N A est déombrable et doc est élémet de N. S il existe k N tel que A k soit o déombrable, alors A c k est déombrable et comme ( N A ) c = N A c A c k, o obtiet que ( N A ) c est déombrable et doc N A N. L esemble N est doc ue tribu qui cotiet toutes les parties àuélémet de. O obtiet doc que M N et par suite M = N. Ceci achève la démostratio de (a). O a µ( ) = ; soit (A ) N ue suite d élémets deux à deux disjoits de M. Si tous les A sot déombrables, alors N A est déombrable et µ( N A )== N µ(a ).

23 23 S il existe k N tel que A k soit o déombrable, alors A c k est déombrable et NA est o déombrable. Comme A c k k A, A est déombrable pour k et µ(a ) = pour k. Par suite µ( N A )==µ(a k )=µ(a k )+ µ(a )= µ(a ), N, k N qed. Exercice 2.6. Soit (, M) u espace mesurable et f,g : des applicatios mesurables. Motrer que les esembles suivats appartieet à M. A = {x, f(x) g(x)}, B = {x, f(x) <g(x)}, C = {x, f(x) =g(x)}. Corrigé. L applicatio x Φ(x) = ( f(x),g(x) ) est mesurable d après la démostratio du théorème.2.5. O a alors A =Φ (L) avec L = {(α, β),α β} qui est u fermé de. Oademême M = {(α, β),α<β}, B=Φ (M), N = {(α, β),α= β}, C=Φ (N), et M est ouvert, N est fermé. Exercice 2.7. U exercice de révisio o écessairemet superflu. Les amateurs de formules pourrot cosulter le site e respectat scrupuleusemet la typographie u peu étrage doée das Doer ue primitive de chacue des foctios suivates, e précisat l esemble de

24 24 défiitio. ta x cot x cos x si x arcsi x arccos x arcta x si 2 x si 3 x cos 2 x cos 3 x cos 2 x coth x si 2 x sih x cosh x tah x cosh x sih x cosh 2 x argshx argchx argthx argcothx x 2 + x2 + x 2 x2 x x 2 x x 2 + x 2 Corrigé. Si f est ue foctio cotiue sur u ouvert I de la droite réelle, o otera f(x)dx ue primitive de f sur I. Passos e revue quelques formules classiques avec les 33 iévitables. x α dx = x α+ α + pour α, I = (, + ) x dx = l x I = e zx dx = z e zx pour z, I = ta xdx = l cos x I = \( π 2 + πz) cot xdx = l si x I = \πz ta( cos x dx = l x 2 + π 4 ) I = \( π 2 + πz) ta( si x dx = l x 2 ) I = \πz arcsi xdx = x arcsi x + x 2 I = (, ) arccos xdx = x arccos x x 2 I = (, ) arcta xdx = x arcta x 2 l( + x2 ) I =

25 si 2 xdx = x 2 si(2x) I = 4 cos 2 xdx = x 2 + si(2x) I = 4 cos 2 x dx = ta x I = \( π 2 + πz) si 2 dx = cot x I = \πz x sih xdx = cosh x I = cosh xdx = sih x I = tah xdx = l cosh x I = coth xdx = l sih x I = cosh x dx = arcta(sih x) = 2 arcta(ex ) π I = 2 tah sih x dx = l x I = 2 cosh 2 dx = tah x I = x sih 2 dx = coth x I = x tah xdx = l(cosh x) I = coth xdx = l sih x I = dx = arcsi x I = (, ) x 2 x2 dx = l x + x 2 (=argch x pour x ) I = \(, ) x2 + dx = l(x + x 2 + ) = argshx I = x 2 dx = arcta x I = + x 2 dx = 2 l +x x (= argthxpour x < ) I = \{, } l xdx = x l x x I = (, + ) +x2 dx = x +x l(x + x 2 +) I = x2 dx = x x2 + arcsi x I = (, ) 2 2 x2 dx = x x2 2 2 l x + x 2 I = \(, ) 25

26 26 O a égalemet argshx dx= xargshx +x 2, argchx dx= xargchx x 2, sur x>, argthx dx= xargthx + 2 l( x2 ), sur x <, argcothx dx= xargcothx + 2 l(x2 ) sur x>. Pour le calcul de primitives de fractios ratioelles, o utilise la décompositio e élémets simples de première espèce (x α) m et de secode espèce (x 2 + α 2 ), x(x 2 + α 2 ). Pour le calcul d ue primitive de F (cos x, si x) où F est ue fractio ratioelle, o peut faire les chagemets de variable suivats. (i) u = si x, si la trasformatio x π x laisse ivariate la forme F (cos x, si x)dx. C est le cas par exemple de si 4 x cos 5 xdx car si 4 (π x) cos 5 (π x)d(π x) = si 4 x cos 5 xdx Ceci se gééralise sas difficulté au calcul de si k x cos 2l+ xdx avec k, l etiers. (ii) u = cos x, si la trasformatio x x laisse ivariate la forme F (cos x, si x)dx. C est le cas par exemple de si 5 x cos 7 xdx car si 5 ( x) cos 7 ( x)d( x) = si 5 x cos 7 xdx Ceci se gééralise au calcul de si 2k+ x cos l xdx avec k, l etiers. (iii) u = ta x, si la trasformatio x π+x laisse ivariate la forme F (cos x, si x)dx. C est le cas par exemple de si 4 x cos 6 xdx car si 4 (π + x) cos 6 (π + x)d(π + x) = si 4 x cos 6 xdx Ceci se gééralise au calcul de si 2k x cos 2l xdx avec k, l etiers. (iv) E derier ressort, o pourra toujours faire le chagemet u = ta x 2 ue fractio ratioelle e u. Cette méthode s éted au cas d ue fractio ratioelle de sih x, cosh x. Doos quelques exemples d itégrales dites abéliees de la forme (e2.7.) F ( x, ϕ(x) ) dx qui fourira où F est ue fractio ratioelle. O cherche par exemple (x, x 2 +)dx. O pose x = sih t et o obtiet (sih t, cosh t) cosh tdt, qui est l itégrale d ue fractio ratioelle e sih, cosh. Pour (x, x 2 )dx, o pose x = cosh t ; pour (x, x 2 )dx, o

27 pose x = si t. Par ailleurs, si o dispose d ue représetatio paramétrique uicursale du graphe de la foctio ϕ, c est à dire de fractios ratioelles α, β telle que t ( α(t),β(t) ) décrive le graphe, o se ramèe au calcul de F (α(t),β(t))α (t)dt 27 qui est l itégrale d ue fractio ratioelle. C est le cas par exemple de F (x, x /2 + x /3 )dx pour laquelle o a α(t) =t 6,β(t) =t 3 + t 2. O peut égalemet s itéresser au calcul de (e2.7.2) e zt P (t)dt, où z C et P est u polyôme. O peut d emblée chercher ue solutio du type e zt Q(t) où Q est u polyôme, ou bie itégrer par parties e remarquat pour z, e zt P (t)dt = z e zt P (t) z e zt P (t)dt, deg P < deg P. Bie etedu, il faudra aussi reteir que certaies itégrales peuvet se calculer sas qu il soit possible de détermier explicitemet ue primitive. L exemple le plus célèbre est sas coteste l itégrale de Gauss (e2.7.3) e ax2 dx = π /2 a /2, a C, e a. Pour obteir cette formule pour a C, e a>, il suffit de la démotrer pour a> et d utiliser le prologemet aalytique, puisque les deux membres sot holomorphes sur l ouvert {e a>}. Notos que la détermiatio pricipale du logarithme est défiie pour z C\ par l itégrale sur le segmet [,z] l z = et que exp(l z) =z par prologemet aalytique, l(exp z) =z pour Im z <π. O défiit z α = exp(α l z). Pour obteir (e2.7.) pour e a> il suffit doc de le démotrer pour a =, puisqu u chagemet de variable permet de s y rameer. Or, e utilisat la page VII.9 de [Bou], o obtiet + + e x2 dx =2 e x2 dx = e t t /2 dt = Γ(/2) = π /2. [,z] dξ ξ,

28 28 Il ous reste àdémotrer la formule pour a i. O se ramèe par u chagemet de variable àdémotrer + A e ix2 dx = lim e ix2 dx = π/2 A + 2 eiπ/4. Or pour ɛ>, o a + et comme, pour tout A>, π /2 + 2 eiπ/4 = lim ɛ + e (ɛ i)x2 dx = π/2 2 (ɛ i) /2 ɛ + π/2 2 eiπ/4, e (ɛ i)x2 dx = A e ix2 dx + + lim x xe (ɛ i)x2 dx ɛ + A et + x xe (ɛ i)x2 dx = A il viet et puisque o obtiet [ x e (ɛ i)x2 ( ɛ + i) 2 ] + A + + π /2 A x 2 e (ɛ i)x2 ( ɛ + i) 2 dx + = (2i 2ɛ) A e (ɛ i)a2 +( ɛ + i) 2 x 2 e (ɛ i)x2 dx, 2 eiπ/4 = π /2 A + A 2 eiπ/4 = lim A + O obtiet doc les itégrales de Fresel (e2.7.4) cos(x 2 )dx = + e ix2 dx (2i) A +(2i) x 2 e ix2 dx, + x 2 e ix2 dx x 2 dx = A, A A e ix2 dx = + A e ix2 dx, π 2 = si(x 2 )dx, et de maière géérale la formule pour b, (e2.7.5) e ibx2 dx = π /2 b /2 e i π 4 sig b. U autre calcul classique est celui de + si x (e2.7.6) x dx = π 2. Cette itégrale a déjà été étudiée das l exercice.7. Doos ue preuve courte de (e2.7.6). O itègre la foctio etière e iz /z sur le cotour suivat: A qed.

29 29 ε ε O obtiet si x π =2i ɛ x dx + e ieiθ π e iɛeiθ e iθ ieiθ dθ ɛe iθ iɛeiθ dθ. La troisième itégrale ted vers iπ lorsque ɛ ted vers. La valeur absolue de la secode itégrale est majorée par π e si θ dθ qui ted vers lorsque ted 4 vers l ifii, ce qui doe (e2.7.6). 4 O peut appliquer le théorème de covergece domiée pour obteir ceci mais c est excessif: il suffit de remarquer que 2θ si θ pour θ [,π/2] et π π π/2 π/2 e si θ dθ =2 e si θ dθ 2 e 2θ/π dθ π/.

30 3 INTEGATION, Feuille d exercices 3 Exercice 3.. Soit (, M,µ) u espace mesuré où µ est ue mesure positive. Soiet f : Y et g : Y Z deux applicatios. Motrer que (g f) (µ) =g ( f (µ) ). Corrigé. La mesure image f (µ) est défiie sur la tribu N = {B Y,f (B) M}e (.4.3) das les otes de cours par f (µ)(b) =µ ( f (B) ). La mesure image g ( f (µ) ) est défiie sur la tribu T = {C Z, g (C) N}= {C Z, f ( g (C) ) M}= {C Z, (g f) (C) M} par ( g f (µ) ) (C) =f (µ) ( g (C) ) ( = µ f ( g (B) )) = µ ( (g f) (C) ). Par coséquet les mesures g ( f (µ) ) et (g f) (µ) coïcidet sur la tribu T. Commetaire. Si ϕ : Y + est ue foctio mesurable (l image réciproque d u ouvert de + appartiet à N ), o a (e3..) Y ϕd ( f (µ) ) = (ϕ f)dµ. E effet cette formule est vérifiée pour ϕ étagée, car si ϕ = j m α j Bj, Y ϕd ( f (µ) ) = j m α j f (µ)(b j )= j m (o utilise ici Bj f= f (Bj ) ) = α j µ(f ( B j ) ) j m α j ( Bj f)dµ = (ϕ f)dµ. Le théorème de Beppo-Levi (théorème.6.) et le théorème d approximatio.3.3 permettet d obteir (e3..) pour ϕ mesurable à valeurs das +. Cette formule est égalemet valide pour ϕ L ( f (µ) ). Chageos u peu les otatios et cosidéros u espace de probabilité (Ω, A, P)(P est ue mesure positive et P (Ω) = ). Cosidéros ue variable aléatoire réelle, i.e. ue

31 3 applicatio mesurable de Ω à valeurs réelles. La loi de probabilité de la variable aléatoire est par défiitio la mesure image (P )défiie par (P )(I) =P ( (I) ) = P ( {ω Ω,(ω) I} ) souvet oté simplemet P ({ I}). Das u cas certaiemet déjà familier au lecteur, la variable pred u ombre fii de valeurs {x,...,x } avec des probabilités p,...,p (p j et j p j = ). La loi de est ue probabilité sur défiie par j p j δ xj. U autre cas assez stadard est celui où la loi de la variable aléatoire est doée par ue desité f (positive et d itégrale ) de sorte que P ({ I}) = f(x)dx. O pourra reveir au paragraphe.4 des otes de cours pour d autres exemples ( ). I Exercice 3.2. O ote B la tribu de Borel sur et o cosidère ue mesure positive µ défiie sur B et fiie sur les compacts. Pour a, odéfiit { µ([a, t[) si t>a, F a (t) = µ([t, a[) si t a. Motrer que F a est croissate et cotiue à gauche. Corrigé. Soiet s<tdes réels. Pour s>a,oa[a, s[ [a, t[ et doc F a (s) =µ([a, s[) µ([a, t[) = F a (t). Pour s a<t,oaf a (s) = µ([s, a[) µ([a, t[) = F a (t). Pour s<t a, oa[t, a[ [s, a[ et doc F a (s) = µ([s, a[) µ([t, a[) = F a (t). La foctio F a est doc croissate. Soit t tel que t >aet soit (t ) ue suite croissate de limite t.oa [a, t [= [a, t [ et e utilisat la propositio.4.2.(b), il viet F a (t )=µ([a, t [) = lim µ([a, t [) = lim F a(t ). Soit t tel que t a et soit (t ) ue suite croissate de limite t.oa [t,a[= [t,a[

32 32 et e utilisat la propositio.4.2.(c) et µ([t,a[) µ([t,a]) < +, il viet F a (t )= µ([t,a[) = lim µ([t,a[) = lim F a(t ). Exercice 3.3. Détermier l esemble des réels α, β, γ tels que u α (t) = tα e t ( + t /2 ) L ( + ), v β (t) = si t t β e t L ( + ), w γ (t) = l t t γ L ([, ]). Corrigé. α> : si cette coditio est vérifiée, u α appartiet à L ( + )etréciproquemet si u α L ( + ), alors u α L loc ( +) et doc t α L loc ( +), ce qui implique α>. β < 2 : si cette coditio est vérifiée, v β appartiet à L ( + ) car v β L ([r, + [) pour tout β et tout r>etv β (t) t β au voisiage de. éciproquemet si v β L ( + ), alors v β L loc ( +) et doc t β L loc ( +), ce qui implique β>, i.e. β<2. γ< : e utilisat la parité dew γ et e posat t =/x, o trouve que w γ L ([, ]) équivaut à x γ 2 l x L ([, + [) qui équivaut à γ 2 < i.e. γ<. Exercice 3.4. a. Calculer lim ( x ) dx. b. Soit z C tel que e z>. Motrer que ( lim x z x ) + dx = x z e x dx =Γ(z). Corrigé. Pour x, o a lim + ( x ) = e x (predre le logarithme). Par ailleurs, pour tout θ>, o a l( + θ) θ et par coséquet, pour x<,oa l ( x ) x et doc [,] (x) ( x ) e x, ce qui permet d utiliser le théorème de covergece domiée pour les questios (a) et (b). La répose à (a) est doc = Γ(). Exercice 3.5. Soit (, M,µ) u espace mesuré où µ est ue mesure positive et soit f : + ue foctio mesurable telle que fdµ < +. Motrer que pour tout ɛ>, il existe α> tel que pour tout A M, µ(a) <α implique fdµ<ɛ. A

33 Corrigé. Voir la correctio de l exercice 3 de l exame du 4//998 das le paragraphe exames corrigés. 33 Exercice 3.6. Soit m la mesure de Borel sur et ɛ>. Costruire u ouvert Ω dese das tel que m(ω) <ɛ. Corrigé. L esemble Q des ombres ratioels est équipotet à N. O peut cosidérer Q = {x } et défiir Ω= ]x ɛ2 2,x + ɛ2 2 [, qui est ouvert comme réuio d ouverts, dese car coteat Q et de mesure m(ω) ɛ2 = ɛ/2 <ɛ. Exercice 3.7. Soit (, M,µ) u espace mesuré où µ est ue mesure positive. Soit Φ : Y ue applicatio. E cosidérat la tribu image, la mesure image Φ (µ) et ue applicatio mesurable g : Y +, motrer que (g Φ)dµ = gd(φ (µ)) Corrigé. Voir la formule (e3..) ci-dessus. Y Exercice 3.8. Doer u exemple d ue suite (f ) N de C ([, ], + ) covergeat simplemet vers telle que f (x)dx +. Corrigé. Cosidérer la suite f = 2 ϕ où ϕ est défiie das l exercice.5. Exercice 3.9. Soit (, M,µ) u espace mesuré où µ est ue mesure positive. Soit f : + ue foctio mesurable. o dit que f est essetiellemet majorée s il existe M + tel que µ ( {x, f(x) >M} ) =. O pose alors { } essupf = if M +,µ({x, f(x) >M}) =.

34 34 a. Motrer qu ue foctio majorée par u réel M est essetiellemet majorée. Doer u exemple de foctio essetiellemet majorée à valeurs das + qui e soit pas majorée. b. Soit f : + ue foctio essetiellemet majorée. Motrer que f essupf, µ presque partout. c. Soiet f,g : + des foctios mesurables essetiellemet majorées. Motrer que f + g est essetiellemet majorée et que essup(f + g) essupf + essupg. Corrigé. Voir la défiitio et la remarque das les otes de cours. Exercice 3.. Soit u esemble. O appelle mesure extérieure sur ue applicatio telle que µ : P() + (i) µ( ) =, (ii) A B implique µ (A) µ (B) (mootoie), (iii) µ ( N A ) N µ (A ) (sous-additivité déombrable). Motrer que µ défiie sur P() par µ (A) = if { j N(b j a j )} où j N ]a j,b j [ parcourt les recouvremets ouverts de A, est ue mesure extérieure sur. Corrigé. Les propriétés (i) et(ii) sot immédiates. Motros (iii). Soiet (A ) N ue suite de parties de. O peut supposer que tous les µ (A ) sot fiis, sio (iii) est vérifié trivialemet. Soit ɛ >. Pour chaque N, o cosidère ue famille déombrable d itervalles ouverts borés (Ik ) k N telle que A k N I k, µ (A ) k N I k <µ (A )+ɛ2, où l o a oté Ik la logueur de l itervalle I k. O a alors N A,k N Ik et par coséquet µ ( ) N A Ik = ( Ik ) ( µ (A )+ɛ2 ) = ɛ + µ (A ), N N N,k N k N

35 35 ceci pour tout ɛ>, ce qui doe le résultat. Exercice 3.. Trouver ue suite de foctios e escalier f :[, ] + telle que lim f (x)dx = et telle que la suite (f (x)) N e coverge pour aucu x [, ]. Corrigé. Cosidéros pour k<metiers la foctio et posos F k,m (x) = [ k m, k+ m [(x) f = F, f = F,2, f 2 = F,2 f 3 = F,3, f 4 = F,3, f 5 = F 2,3... f m(m ) 2 = F,m,...,fm(m ) 2 +k = F k,m,...,fm(m ) 2 +m = F m,m... U simple dessi covaicra le lecteur que pour x fixé, la suite f (x) pred ue ifiité de fois les valeurs et, ce qui motre sa divergece. Néamois das la suite, ous ous sommes efforcés de doer les détails du problème de umérotatio auquel o doit faire face pour traiter exhaustivemet cette questio. La complexité apparete de la rédactio doe malheureusemet l impressio qu ue difficultéréelle est dissimulée das ce problème, ce qui est pas le cas. O remarque que la suite ( m(m ) 2 ) est strictemet croissate, vaut pour m =et m ted vers +. Par coséquet, pour tout etier, il existe u uique etier m tel que et par coséquet m (m ) 2 < m (m +) 2 = m (m ) 2 + k, avec k < m 2 2 = m. emarquos que lim + m =+ car m +> 2. Pour, posos f (x) =F k,m (x). O a f (x)dx = F k,m (x)dx =/m lorsque.

36 36 Soit x [, ]. Soit 3 tel que f (x) = : alors k m m (m ) 2 <+= m (m ) 2 x< +k m + k +< m (m ) 2 et si k <m, o a + m = m (m +), 2 ce qui doe m + = m et f + (x) =F +k,m (x) =. Si f (x) =etk = m, o x<et a m m += m (m ) 2 ce qui doe Par suite, + m = m (m +), et doc m + =+m,k + =, 2 f + (x) =F,+m (x) = car m car m 2. +m m (e3..) pour 3, f (x) == f + (x) =. Par ailleurs, pour x [, [ et, o a m x<m et par coséquet k = E(m x) {,...,m }. Cosidéros = m (m ) 2 + k m (m ) 2.Oa et par suite k m x<+k, k x< +k m m (e3..2) f (x) =F k,m (x) =, ce qui implique que la suite f (x) pred ue ifiité de fois la valeur. Comme elle pred aussi ue ifiité de fois la valeur à cause de (e3..2-), elle e peut coverger. Le cas x = se traite de maière aalogue. E utilisat des foctios affies par morceaux, o peut modifier l exemple ci-dessus de sorte que les foctios f soiet cotiues. Exercice 3.2. Soit (, M,µ) u espace mesuréoù µ est ue mesure positive et soit f : + ue suite de foctios mesurables. O suppose que cette suite est croissate et que sup N f dµ < +. Motrer que sup N f (x) est fii µ pp. Doer u éocé aalogue pour les séries de foctios mesurables à valeurs das +. Corrigé. Le théorème de Beppo-Levi (théorème.6.) assure que, avec f = sup N f fdµ = sup f dµ, N et par coséquet f est ue foctio mesurable de das + telle que fdµ < +.

37 et par coséquet f est ue foctio mesurable de das + telle que fdµ < +. Par suite, si N = {x, f(x) =+ }, o a pour tout etier aturel k kµ(n) fdµ fdµ < + N et la suite (kµ(n)) k N est majorée, ce qui implique µ(n) =. De même, si (u k ) k N est ue suite de foctios mesurables de das + telle que u k dµ < +, k alors la série k N u k(x) coverge µ-presque partout vers ue limite fiie. Le corollaire.6.2 implique ( ) u k dµ = u k dµ <= k N k et par coséquet, d après ce qui précède, la foctio k N u k(x) est fiie presque partout, qed. 37 Exercice 3.3. Soit (, M,µ) u espace mesuré où µ est ue mesure positive et f : C ue foctio de L (µ). O suppose que, pour tout E M, fdµ =. Motrer que f est ulle µ pp. E Corrigé. E particulier, pour E = {x, e f(x) }, il viet ( ) =e fdµ = (e f)dµ = {e f } e f = µ pp, E E et comme o a de même {e f } e f = presque partout il viet e f =, pp. O obtiet de maière aalogue Im f =,pp et le résultat. Exercice 3.4. Soit (, M,µ) u espace mesuré où µ est ue mesure positive et f : C ue foctio mesurable. a. Motrer que si f L (µ), alors La réciproque est-elle vraie? b. Motrer que si f L (µ), alors lim µ({ f }) =. 2 f 2 dµ < +. f