Techniques de «dénombrement»

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1 Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci Techiques de «déombremet» I Autour du cardial I.1 Déombrer, c est mettre e bijectio avec 1, O appelle cardial d u esemble fii A, le ombre de ses élémets, oté Card A. Déombrer u esemble A, c est uméroter ses élémets a 1,..., a, ce qui reviet à écrire ue bijectio 1 de 1, sur A. Si A est ue partie d u esemble fii E, alors A est fii et Card A Card E. Si de plus Card A = Card E, alors A = E. Propositio 1 Soit E et F deux esembles et f : E F. Si f est ijective et F est fiie, alors E est fii et Card E Card F. Si f est surjective et E est fiie, alors F est fii et Card E Card F. Il existe ue bijectio de E das F ssi Card E = Card F. Propositio 2 Ue applicatio etre deux esembles de même cardial est bijective si et seulemet si elle est ijective, si et seulemet si elle est surjective. I.2 Foctio idicatrice d u esemble Défiitio 3 Soit A ue partie de E. O appelle foctio idicatrice de A, otée otée 1 A, la foctio de A das {0, 1} défiie par 1 A (x) = 1 si x A et 1 A (x) = 0 sio. Propositio 4 Soit A et B des parties de E. O a 1. 1 A = 1 1 A 2. 1 A B = 1 A 1 B 3. 1 A B = 1 A + 1 B 1 A B. I.3 Somme de cardiaux Propositio 5 (Formule du crible) Soit A et B deux parties d u esemble fii E. Alors Card(A B) = Card A + Card B Card(A B). Si C est ue partie de E, o a aussi Card(A B C) = Card A+Card B+Card C Card(A B) Card(A C) Card(B C)+Card(A B C). 1. L esemble 1, est aisi le modèle d esemble à élémets. Sur cette même idée, pour u esemble ifii, o dira qu u esemble est déombrable s il est e bijectio avec N, qui est otre esemble ifii «étalo». Les esembles Z,Q sot déombrables mais R e l est pas. L ifii de R est «beaucoup» plus grad que celui de N.

2 Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci Remarque : cette formule se gééralise pour des réuios de esembles, elle est hors-programme : ( ) Card A i = ( 1) k 1 k Card i=1 k=1 1 i 1 <i 2 < <i k j=1 A ij Lorsque les réuios sot deux à deux disjoites, la formule deviet très simple et sera u précieux outil de déombremet : Corollaire 6 (Cas des partitios) Soit E u esemble fii. Alors 1. Si A 1,..., A est ue partitio de E, c est-à-dire que si les parties A i sot deux à deux disjoites et leur réuio vaut E, alors 2. Si A est ue partie de E, o a Card E = Card A Card A. Card A = Card E Card A Remarque : si o dispose d ue relatio d équivalece sur u esemble E, les classes d équivalece costituet ue partitio de E. Exercice : parmi 40 secrétaires, 8 coaisset le russe, 15 l aglais et 9 l espagol. D autre part, 4 parlet l aglais et l espagol, 5 l aglais et le russe, 2 parlet le russe et l espagol et 2 parlet les 3 lagues. Combie de secrétaires e coaisset aucue de ces 3 lagues? O cherche Card(A E R) = Card(A E R) = 40 Card(A E R) Combie de secrétaires parlet espagol et aglais mais e parlet pas le russe? O cherche Card(A E R) = Card(A E) Card(A E R). I.4 Produit de cardiaux Propositio 7 (L outil des choix successifs) Soit A et B deux esembles fiis. O a Card(A B) = Card(A) Card(B). Aisi par récurrece, o a aussi Card(A 1 A k ) = Card(A 1 ) Card(A k ). Das des situatios de choix successifs, doc où il y a u ordre ou ue chroologie, o pourra aisi multiplier les ombres de choix, cette chroologie pouvat être représetée par u arbre. Exemples : le ombre de couples (garços,filles) possibles das la classe est le cardial de G F, qui vaut doc Card(G) Card(F).

3 Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci combie y-a-t-il d etiers à 3 chiffres pairs? O choisit d abord le premier chiffre qui doit être o ul, doc 9 possibilités, le deuxième 10 possibilités. Le derier chiffre doit être pair doc 5 possiblités. Au total, selo le pricipe des choix successifs, o a possibilités. Si Card E =, alors le ombre de parties de E vaut 2. E effet si E = {x 1,..., x }, se doer ue partie A de E, reviet à se doer boolées qui témoiget de la présece ou o das A des élemets x 1,..., x. O ote aisi b 1,..., b les boolées tels que b i = 1 si x i A et b i = 0 sio. Il y a 2 choix possibles pour chaque boolée, doc par pricipe des choix successifs, 2 choix possibles pour ces boolées. II II.1 Déombremet de collectios, attetio à l ordre U exemple itroductif Combie de tiercés possibles avec 14 chevaux au départ? 1. U tiercé das l ordre est u podium. Il y a 14 choix possibles pour le premier cheval, 13 pour le secod et 12 pour le troisième. Il y a doc tiercés das l ordre, selo le pricipe des choix successifs. 2. Des tiercés das le désordre, il y e a mois, e fait six fois mois. E effet, à partir de 3 chevaux, et e permutat leur ordre, o fabrique 3 2 = 6 tiercés das l ordre. Le ombre de tiercés das le désordre est doc = 14! ) = !3!. ( 14 3 Si o ote E l esemble des chevaux, o peut modéliser : u tiercé das l ordre par ue liste (a, b, c) d élemets de E deux-à-deux disticts, doc u élémet de E 3. u tiercé das le désordre par u sous-esemble {a, b, c} de E, doc u élémet de P(E). II.2 Notio de liste, l ordre compte Défiitio 8 O appelle p-liste de E u élémet de E p, c est-à-dire ue liste de p élémets de E. Le ombre de p-listes de E est doc Card(E p ) = Card(E) p. Si E = {a, b, c}, les 2-listes sot : (a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c). Ue p-liste d élémets disticts est aussi appelé u p-arragemet. U tiercé est doc u 3-arragemet. Les 2-arragemets de {a, b, c} sot : (a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b). Il est facile de déombrer les arragemets : Propositio 9 (Nombre d arragemets) Soit E u esemble à élémets. Le ombre de p-listes d élémets disticts de E vaut : ( 1) ( (p 1)) =! ( p)!.

4 Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci O e déduit : Propositio 10 (Déombremet d applicatios) Soit E et F deux esembles fiis avec Card E = p et Card F =. 1. Le ombre d applicatios de E das F est p. 2. Le ombre d applicatios ijectives de E das F est ( 1) ( (p 1)). 3. E particulier le ombre de bijectios de E das E est p!. Ces applicatios sot aussi appelées des permuatios de E. Remarques : L esemble des applicatios de E das F est parfois oté F E. Cette otatio proviet de so cardial qui vaut Card(F) Card(E). Il est beaucoup plus délicat de déombrer le ombre d applicatios surjectives. Trouver les aagrammes du mot «cheval» reviet à trouver les permutatios de l esemble {c, h, e, v, a, l}. Il y e a doc 6!. Et pour «chacal»? A découvrir e exercice. II.3 Notio de combiaiso, l ordre e compte pas Comme o l a vu avec l exemple du tiercé, si l o e s itéresse à l ordre des élémets, o utilise pas ue liste d éléméts mais u esemble d élémets. Défiitio 11 Ue p-combiaiso 2 d u esemble E est ue partie de E à p élémets. Exemples : les 2-combiaisos de {a, b, c} sot : {a, b}, {a, c}, {b, c}. u triôme (groupe de colle de trois élèves) est ue 3-combiaiso. E revache, u podium est pas ue 3-combiaiso car l ordre compte. Propositio 12 (Nombre de p-combiaisos) Soit E u esemble à élémets. Le ombre de parties de E à p élémets vaut Exemples : ( ) = p! ( p)!p!. Il y a ( ) 37 3 triômes possibles, mais podiums possibles. Il y a ( ) 49 6 grilles de lotos possibles. 2. Attetio au vocabulaire : pour u cadeas de vélo à 4 chiffres, o parle souvet de «boe combiaiso» pour trouver le code d ouverture qui est par exemple Du poit de vue mathématique, ce code représete ue 4-liste de chiffres(l ordre est primordial) et o pas ue 4-combiaiso.

5 Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci Savoir dire istataémet que ( ( ) ( ( ) 0) = 1, 1 =, 1) =, = 1. O peut aussi redémotrer que Card P(E) = 2 Card E. Si Card E =, o écrit P(E) comme la réuio disjoite des A k pour k variat de 0 à où A k est l esemble des parties de E à k élémets. O a alors par additivité du cardial, Card P(E) = k=0 Card A k = k=0 ( k) = 2. Exercice 1 O désire former u jury composé de 2 scietifiques et 3 littéraires. O peut choisir les membres du jury parmi 5 scietifiques et 7 littéraires. Combie de jury différets peut-o costituer? Et si l o impose que le scietifique Mr X doit obligatoiremet faire partie du jury? Et si deux littéraires doés e peuvet pas faire partie du même jury? Corrigé: O peut modéliser u jury par u couple (s, l) où s est u esemble de 2 scietifiques à choisir parmi 5 et l u esemble de 3 littéraires à choisir parmi 7. Par pricipe des choix successifs, ce ombre vaut ( ( ) 5 2) 7 3. Avec la cotraite de Mr X, le ombre de faços de choisir s est ( ( ) 1 1) 4 1, doc le ombre de jury est ( ) )( 1)( 3. O passe par l évèemet cotraire. Si ce couple de littéraires est préset das le jury, il e reste plus qu à choisir u littéraire parmi 5, le ombre de choix de l est doc ( ) 2 5 2)( 1. Aisi le ombre de jurys sas ce couple de littéraires est : ( )( ) ( ) )( 2 2 )( 5 1 O rappelle les propriétés des coefficiets biomiaux. Elles peuvet être redémotrées par le déombremet. Certaies preuves s e retrouvet même plus faciles et aturelles. Propositio 13 Soit k et das Z. O a : 1. Symétrie : ( ) ( ) k = k. 2. Triagle de Pascal : ( ) ( ) ( ) 1 k k = k. 3. Formule de Vadermode 3 : pour a, b et das N avec a + b, o a : k=0 ( )( ) a b = k k ( ) a + b. 3. Cette formule est pas au programme, mais d utilisatio courate e probabilités, et est à découvrir e exercice.

6 Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci II.4 Petit résumé Déombrer c est mettre e bijectio. Il est souvet utile de partitioer pour déombrer des plus petits paquets (pricipe d additivité). Il est parfois plus simple de déombrer le complémetaire de l esemble. Rappelos efi les différetes faços de choisir p objets das ue collectio qui e cotiet (o pred p ). type de choix ombre de modèle usuel modélisatio par ue applicatio choix f : 1, p 1, ordre et répétitio p p-liste f quelcoque! ordre et sas répétitio p! p-liste d élémets disticts f ijective ( sas ordre et sas répétitio p) partie à p élémets f strictemet croissate sas ordre et avec répétitio ( d u esemble à élémets +p 1 ) p loi des bosos f croissate Le derier type de choix est hors-programme et à découvrir évetuellemet e exercice.