BONJOUR et BIENVENUE

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1 BONJOUR et BIENVENUE Intervenants : Erc DAVALLE, Dr Ingéneur cvl EPFL Chef du Servce de l électrcté de la Vlle de Lausanne avec les assstants du LSMS

2 Semanes N Jour Mard Chaptres 7.0 et suvants Ttres Proprétés mécanques des matéraux Tracton plastque Jeud 5,4 Flexon plastque plane Flexon plastque plane 2 Programme des semanes à 4 Mard Torson unforme Jeud Torson unforme Contrantes dues à l'effort tranchant 3 4 Mard Contrantes dues à l'effort tranchant Jeud Contrantes dues à l'effort tranchant MS (V3) Formes ntégrales d'équlbre et cnématque - Travaux vrtuels Mard Énerge (forces et déformatons assocées) Déformaton des poutres soumses à la flexon smple Jeud 0.3 Déformaton des poutres soumses à la flexon smple 2

3 MS-7. Forme ntégrale de l équlbre et de la cnématque Travaux vrtuels 3

4 MS Ch. 7 : Travaux vrtuels Solde et ses condtons Forces extéreures Forces de volume Fondatons aux lmtes! Le temps n est pas consdéré : problèmes STATIQUES 4

5 Forme dfférentelle de l équlbre L équaton générale d équlbre de Cauchy (MS-2) : σ + b = ρ a L équaton d équlbre statque en volume (MS-2) : σ + b = 0 et σ = σ τ L équaton des condtons statques à la surface (MS-2) : nσ = t (sur A ) t σ Champ d autocontrante (sans forces extéreures) : = 0 σ = σ ( ) nσ = 0 5

6 Forme dfférentelle de la cnématque u u Le champ de déplacement u satsfat (MS-2) : ε = ( + ) 2 La symétre est évdente : ε = ε ( ) Les condtons aux lmtes de A u : u = u Champ compatble avec les appus en A u : ε = 2 u ( + u ) u = 0 sur A u! Respecter les condtons homogènes d appu 6

7 Forme ntégrale de l équlbre Pourquo? la résoluton de la forme dfférentelle est quas mpossble! des technques numérques sont requses et exstent la forme ntégrale se prête meux à l exercce de la résoluton on nclut les condtons aux lmtes dans la forme ntégrale (une seule équaton) la technque approchée utlsée c est celle dte des résdus pondérés σ + b = 0 n σ = t (sur A ) t w est un champ vectorel contnue et dérvable V σ ( + b) w(,,) x y z dv = scalare 0 Intégraton par partes u dv u v = v du 7

8 Forme ntégrale de l équlbre V σ σ ( + b ) w dv = ( w + b w ) dv = V Intégraton par partes 0 n σ = t ( σ σ w w n da dv ) + = b w dv x A V V 0 Or : σ w = σ 2 w + σ 2 w = σ 2 w ( + w ) 8

9 Forme ntégrale de l équlbre σ 2 ( w w + ) dv = b w dv + t w da V V A content en seule équaton toute la statque les condtons aux lmtes sont ncluses S on aoute le terme V ρ a w dv on a la forme ntégrale des équatons du mouvement 9

10 Passage forme dfférentelle - forme ntégrale de l équlbre (S): Forme dfférentelle dte forme forte (Strong Form) σ + b = ρ a = 0 n σ = t (sur A ) t Forme ntégrale dte forme fable (Weak Form) (W): 2 ( w w σ + ) dv = b w dv + t w da V V A On démontre mathématquement que les deux formes sont équvalentes (S) (W) 0

11 (a) Prncpe des déplacements vrtuels (travaux vrtuels) On consdère les équatons d équlbre statque

12 Prncpe des déplacements vrtuels (travaux vrtuels) 2 ( w w σ + ) dv = b w dv + t w da V V A S, w = δ u 2 ( δ u δ u σ + ) dv = bδu dv + tδu da V V A Foncton contnue et dérvable (nterprétaton physque) σ δε dv = b δu dv + t δu da V V A Prncpe des travaux vrtuels δw nt δwext 2

13 Prncpe des déplacements vrtuels (travaux vrtuels) W = b u dv + t u da δ δ δ ext V A Traval vrtuel des forces extéreures Statque réelle Cnématque vrtuelle Compatblté avec les appus 3

14 Prncpe des déplacements vrtuels (travaux vrtuels) δ W = σ δε nt V Traval vrtuel ntéreure dv Interprétaton physque Force normale ( σ dx dx )( δε dx ) = σ δε dv avec dv = dx dx dx

15 Prncpe des déplacements vrtuels (travaux vrtuels) δ W nt = δ W ext Condton nécessare et suffsante pour assurer l équlbre du solde L équlbre est exprmé sous forme ntégrale Les los physques n ntervennent pas! (pas un blan d énerges) S δu compatble avec les condtons d appus, alors on a: (0) t δu da = t δu da + t δu da = t δu da A A A A t u t 5

16 (b) Prncpe des forces vrtuelles (travaux vrtuels complémentares) On consdère les équatons cnématques 6

17 Forme ntégrale de la cnématque ε ε u u = ( + ) 2 ε 2 ( u u ) + w dv = u u ( + ) = 0 V 2 w = w ( w( xyz,, ) champ symétrque) 0 Comme précédemment, on ntègre par partes : w w dv n w u da u dv = ε ( ) ( ) V A V 0 7

18 Prncpe des forces vrtuelles (travaux vrtuels complémentares) S, w = δσ (nterprétaton physque) w w dv n w u da u dv = ε ( ) ( ) V A V avec δσ = δb n δσ = δt δσ ε dv = δt u da + δb u dv V A V 0 Autocontrantes vrtuelles Cnématque réelle Statque vrtuelle 8

19 Prncpe des forces vrtuelles (travaux vrtuels complémentares) δσ ε dv = δt u da + δb u dv V A V δw * nt = δw * ext Traval vrtuel complémentare ntéreur Traval vrtuel complémentare des forces extéreures 9

20 Blan a Prncpe des déplacements vrtuels (travaux vrtuels) σ δε dv = b u dv + t u da V V A Exprme l équlbre Forces et contrantes réelles Prncpe des forces vrtuelles (travaux vrtuels complémentares) δσ ε dv = δb u dv + δt u da V V A Exprme la compatblté cnématque Déplacements et déformatons réels Équatons sous la forme de produts scalares 20

21 Blan b Prncpe des déplacements vrtuels (travaux vrtuels) Prncpe des forces vrtuelles (travaux vrtuels complémentares) 2

22 Ch. 3 : Énerge Théorème de Clapeyron Pour un matérau élastque lnéare, l énerge potentelle de déformaton vaut (MS-4) : U = dv 2 σ ε V Selon le prncpe des déplacements vrtuels avec : ( δε, δu ) ( ε, u ) σ ε dv = b u dv + t u da V V A U = 2 ( b u dv + t u da ) V A Energe de déformaton 22

23 Théorème de récprocté de Bett Cas de charge Cas de charge 2 On démontre asément pour un matérau suvant la lo de Hooke que : V ' ' dv = σ ε V σ ε dv ' ' ' ' + = + V A V A b u dv t u da b u dv t u da t t 23

24 Théorème de récprocté de Bett Théorème de récprocté de Bett (TGC 2, sect. 3.3) F 2 d F d 2 d d 2 F F 2 Applcaton V = A C TT θ x v A A T = ' ' = Fd Fd Vv = Tθ v θ A ) S A C (centre de csallement), alors θ x A = x T x = (flexon smple sans torson) 2 ) alors v =0 et A C est auss le CENTRE DE TORSION T donc 0 CENTRE CENTRE de csallement de torson AXE AXE 24

25 Théorème de Maxwell (cas partculer de celu de Bett) Arc b encastré Force unté en A selon Δ A Force unté en B selon Δ B u + u AB + 0uBB = 0uAA BA Leu du déplacement (ou rotatons, ) Leu applcaton de la force (ou moments, ) u = AB u BA 25

26 Blan 2 Théorème de Clapeyron : U = 2 Fu Théorème de récprocté (Bett) : Fu ' = ' F u Théorème de Maxwell : u AB = u BA (noeuds AB et forces en AB) 26