Le football et ses trajectoires

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1 Le footll et ses trjectoires Guillume Dupeux Croline Cohen, Anne Le Goff, Dvid Quéré et Christophe Clnet LdHyX, MR CNRS 7646, École polytechnique, Pliseu, et PMMH, MR CNRS 7636, ESPCI, 1 rue Vuquelin, 755 Pris Cette rticle nlyse l origine physique et l forme des différentes trjectoires d un llon de footll. En l sence de grvité et d ir, celle-ci est une droite. Avec grvité, l droite s incurve vers l prole gliléenne. L érodynmique enrichit ces deux comportements clssiques et fit pprître des zigzgs, des proles tronquées et des spirles. Les jeux de lles nous ccompgnent depuis u moins 35 ns [1]. Ils font prtie de notre évolution et nous les retrouvons sur tous les continents : Tsu Chu en Chine, Kemri u Jpon, Episkiros en Grèce, Pok tok en Amérique du Sud. ne de leurs versions contemporines est le footll. Il se prtique à deux équipes de onze joueurs, vec un llon rond de 45 g et 22 cm de dimètre (fig. 1), et sur un terrin d une centine de mètres, dont les dimensions précises sont indiquées sur l figure 1. Les études sur l physique du footll portent principlement sur l mécnique Lrgeur : mximum 9 m - minimum 45 m et l sttistique. Les pionniers en sttistique sont Reep et Benjmin [2], qui étudient l proilité de perdre le llon en fonction du nomre de psses. Cette étude est à l origine du jeu long prtiqué pr certines équipes, à commencer pr l Norvège lorsque Chrles Reep deviendr conseiller technique de l équipe ntionle. Côté mécnique, on s est intéressé essentiellement ux trjectoires et ux impcts [3]. Nous discutons ici les différents types de trjectoires et leur origine physique. Nous discutons les propriétés de ces différentes trjectoires et les phses de jeu qui permettent de les oserver. Longueur : mximum 12 m - minimum 9 m Ryon : 9,15 m 9,15 m 11 m 16,5 m 5,5 m Ryon : 1 m 9,15 m 16,5 m 7,32 m 5,5 m 1. Présenttion du footll. () Julni, llon offi ciel de l coupe du monde 21 : msse M = 45 g et ryon R = 11 cm. () Le terrin et ses dimensions. 1 Reflets de l Physique n 28 Article disponile sur le site ou

2 4Avncées de l recherche Michel Bryn. Penlty à 11 mètres. Digrmme de phse Deux forces déterminent l trjectoire du llon : son poids F G et l force érodynmique F A. Dns cette dernière, il est d usge de distinguer deux composntes, l une lignée vec l vitesse (trînée F D ) et l utre perpendiculire (portnce F L ). Nous suivons cet usge qui permet, comme nous le verrons, d isoler l effet de l rottion du llon. Ainsi, l éqution générle de l trjectoire devient : M d/dt = F G + F D + F L (1). Dns cette éqution, M est l msse du llon et l vitesse de son centre d inertie. L origine physique et l expression des forces F D et F L sont détillées dns l encdré p. 12. Nous llons nlyser l éqution (1) en identifint différents régimes crctérisés, chcun, pr une trjectoire prticulière. Pour cel, nous mesurons l importnce reltive des forces vec deux nomres sns dimension : D r = F D /F G et S p = F L /F D. Sur l figure 2, nous utilisons ces deux nomres pour définir le digrmme de phse des différentes trjectoires. Lorsque l grvité domine (D r << 1), on oserve des trjectoires proliques : c est le régime des touches ou des los (p. 13). À l inverse (D r >> 1) et en l sence de rottion (S p << 1), les trjectoires sont rectilignes ou en zigzg (p. 12). Enfin, lorsque l érodynmique domine et que le llon tourne (D r >> 1, S p >> 1), les trjectoires se courent, comme dns les fmeux coup frncs de Michel Pltini, et se rpprochent de spirles, comme dns celui de Roerto Crlos (pp ). S p = F L /F D 1 Action imge 1 D r = F D /F G 2. Digrmme de phse des différentes trjectoires oservées u footll. () Lorsque l grvité domine (D r << 1), les trjectoires sont proliques. C est le régime des touches, illustré ici pr Rory Delp, joueur irlndis connu pour fire des touches ussi longues que des corners. () À plus grnde vitesse et en l sence de rottion (D r >> 1, S p << 1), on oserve des trjectoires rectilignes, en zigzg, voire en proles tronquées. Ce régime est illustré ici pr Clrence Seedorf, footlleur néerlndis connu pour l puissnce de ses tirs. (c) Enfi n, lorsque l érodynmique domine et que le llon tourne (D r >> 1, S p >> 1), on oserve des trjectoires courées, comme dns les fmeux coups frncs de Pltini ou ici de Roerto Crlos. c Cludio Vill / Getty Imges Europe Press Assocition Reflets de l Physique n 28 11

3 Lignes droites et zigzgs On s intéresse ici ux grosses frppes sns rottion, où D r >> 1 et S p << 1. Dns cette limite, seule l force de trînée F D ~ ρr 2 influence l trjectoire du llon. Ici, ρ 1,2 kg/m 3 est l msse volumique de l ir, tndis que R =,11 m est le ryon du llon et s vitesse. Cette force érodynmique devient supérieure u poids u-delà de l vitesse critique * 2 m/s. Le tleu de l pge 14 indique des vitesses enregistrées en mtch lors de grosses frppes. Ces vitesses sont supérieures à 38 m/s, ce qui correspond ien u domine érodynmique. F D étnt lignée vec l vitesse, on déduit de l éqution (1) que l trjectoire est une droite. De fçon plus précise, cette éqution s intègre et l on montre que l vitesse décroît exponentiellement vec l scisse curviligne s suivnt l loi (s) = exp(-s/ ), étnt l longueur crctéristique de freinge : 7 (ρ s /ρ) R (2). Dns l éqution (2), ρ s = 81 kg/m 3 est l msse volumique du llon et le fcteur 7 est l vleur donnée pr le clcul pour nos gmmes de vitesses et de tilles. L longueur est insi de l ordre de 5 m pour le footll. Tnt que (s) > * (typiquement jusqu à s ~ ), les grosses frppes sont donc sensées suivre des lignes droites. On présente sur l figure 3 des trjectoires de llon oservées pr Hong et l. [4] pour 28 m/s : l écoulement d ir utour du llon est visulisé en recouvrnt l lle d une poudre de tétrchlorure de titne. Dns ces clichés, les petites ouffées révèlent l structure tourillonnire complexe à l vl du llon et montrent que l trjectoire reste effectivement une qusiligne droite (), mis qu elle peut prfois zigzguer utour de cette droite (). On oserve ussi sur l figure 3 que l tille du zigzg est grnde comprée à l distnce qui sépre deux vortex. Cette séprtion d échelles indique que l origine du zigzg (ussi oservé u volley et u sell) n est ps un simple couplge entre le llon et les tourillons émis dns son sillge. Son origine physique est encore déttue, mis il semle que l trnsition turulente de l couche limite joue un rôle essentiel [3]. 3. Trjectoires de llons de footll oservées pr Hong et l. pour 28 m/s [4]. () ligne droite ; () zigzg. Sur ces clichés, le llon v de droite à guche. 4Les forces érodynmiques Origine physique de l trînée Lorsque le llon se déplce à l vitesse dns de l ir, l forme de l écoulement n est ps symétrique entre l vnt et l rrière. Plus précisément, on voit des tourillons derrière le llon, mis ps devnt (fig. ). Ainsi, l ir qui est initilement u repos se retrouve en mouvement près le pssge du llon. Il est ccéléré, et cette ccélértion est à l origine de l force de trînée. De fçon plus précise, on peut estimer cette force en considérnt l mise en mouvement de l ir chssé pr le llon, lorsqu il se déplce d un dimètre 2R. L msse d ir déplcée lors de ce mouvement est contenue dns le cercle en pointillés (fig. ). Cette msse m, de l ordre de ρr 3 (où ρ est l msse volumique de l ir), psse d une vitesse nulle à (Δ ) sur un temps Δt ~ R/. L vrition de quntité de mouvement pr unité de temps, mδ /Δt, conduit à l expression de l force de trînée F D ρ R 2 2. Origine physique de l portnce Lorsque le llon tourne vec l vitesse ngulire, les tourillons qui sont émis n ont plus l même intensité : celui qui est entrîné pr l rottion tourne plus vite, tndis que l utre est rlenti (fig. ). Cet effet implique que l ir est plus ccéléré d un côté que de l utre, ce qui fit pprître une force perpendiculire à l écoulement, dite «force de Mgnus». Pour trouver son expression, on risonne comme précédemment, en considérnt cette fois l vrition de vitesse dns l direction perpendiculire à l écoulement : Δ ~ R, d où F L ~ mδ /Δt ~ ρr 3. R F D Écoulement de l ir utour d un llon se déplçnt à une vitesse, () sns rottion, () vec rottion. R F L F D 12 Reflets de l Physique n 28

4 L Déggements. () Les déggements des grdiens de ut (ici, Steve Mndnd) dépssent en générl de peu le milieu de terrin, et sont crctérisés pr une coure en cloche fortement symétrique pr rpport à leur pogée. () Trjectoires du llon vec grvité et freinge érodynmique (trit plein) et vec l grvité seule (pointillés). L vitesse initile est = 45 m/s, l ngle initil est 45 pour le trit épis et 37 pour l trjectoire l plus longue (trit mince). Pour ces deux cs, = 54 m. (Source de l photo : ) x (m) Lorsque l distnce prcourue pr le llon est supérieure à l distnce de freinge, l vitesse du llon diminue et l grvité ne peut plus être négligée dès lors que devient inférieure à *. Cette sitution se rencontre lors des déggements des grdiens de ut (fig. 4). Dns cette limite, nous vons intégré numériquement l éqution (1), en prennt en compte FD et FG = Mg. Les trjectoires otenues pour deux ngles initiux différents vec = 54 m et = 45 m/s sont présentées sur l figure 4. On oserve sur cette figure un écrt importnt vec l prole gliléenne : qund on tteint l longueur, l inertie du llon ne compte plus, si ien qu il retome presque verticlement. On voit ussi que l ngle qui mximise l distnce n est plus 45 mis 37. Cet ngle optiml vrie vec et. 4Avncées de l recherche 5 L spirle Pnormic Michel Bryn Nous retenons des deux sections précédentes que, dns l limite des grndes vitesses ( >> *), l grvité peut être négligée, et l trjectoire est rectiligne sur des distnces petites devnt. Ceci est vri en l sence de rottion. Avec rottion, le llon suit ussi l force de Mgnus F ~ ρr3, où est le vecteur rotl 11 m m tion. Cette2 force, perpendiculire à l vitesse, dévie le llon de l ligne droite. Plus précisément, l courure locle de l trjectoire C(s) évolue suivnt l éqution M2C(s) = FL. En utilisnt l expression de FL et en prennt en compte l décroissnce exponentielle de l vitesse, cette éqution indique que l courure de l trjectoire ugmente à prtir de l impct suivnt l loi : C(s) ~ (ρ/ρs) (/) exp(s/ ) (3). Cette trjectoire été étudiée en détil 11 m 2 m pr Dupeux et l. [5],35etmnous ne discutons ici que ses implictions pour le footll. L éqution (3) montre que l trjectoire est une spirle dont l courure initile C ~ ρ/ρs ugmente exponentiellement sur l longueur de freinge. Nous discutons sur l figure 5 l possiilité d oserver cette spirle dns le cs de trois coups de pied rrêtés. À l échelle du penlty (fig. 5), l distnce de 11 m est 2 m 35 m petite comprée à l tille de l spirle, et c seul le déut rectiligne de l trjectoire est oservle. Pour un coup frnc ux 18 m 5. Trois types de coups de pied rrêtés. () Penlty à 11 m ; () coup frnc «ux 18 mètres» ; (c) coup frnc lointin. (fig. 5), le cœur de l spirle n est ps Press Assocition Proles et proles tronquées y (m) Reflets de l Physique n 28 13

5 5 D = 35 m α 12-5 δ,8 m 4 m Coup frnc de Roerto Crlos, tiré contre l Frnce en On détille ici le coup frnc présenté sur l figure 5c. L trjectoire leue est clculée à prtir de l éqution (3), vec = 38 m/s et = 88 rd/s. L trjectoire violette est le cercle de courure C, et le trit pointillé vert indique l trjectoire rectiligne. ccessile, mis l trjectoire est courée et on peut l estimer pr un cercle de courure C. Pour un coup frnc lointin (fig. 5c), l trjectoire courée dévie du cercle et l ugmenttion de courure devient oservle. Selon nous, cette ugmenttion est à l origine de l trjectoire surprennte oservée lors du coup frnc de Roerto Crlos tiré contre l Frnce en 1997 [6]. Ce coup frnc est schémtisé sur l figure 6 : il est tiré des 35 mètres à une vitesse = 38 m/s et un ngle initil α de l ordre de 12. Du fit de l rottion ( 88 rd/s 15 tours pr seconde), l trjectoire du llon s incurve et finit pr entrer dns le ut sns que le grdien ouge (coure leue). Sns rottion, le llon sortirit de 4 mètres (pointillés). Avec une trjectoire circulire, le llon mnque l cge de 8 centimètres (tirets violets). Du fit de l spirle, le llon s écrte de l trjectoire circulire dns les derniers mètres qui le séprent du poteu et finit pr entrer, à l surprise générle. Dns le cs du coup frnc de Roerto Crlos, l xe de rottion est verticl et le llon dévie horizontlement vers l guche, ce qui lui permet de contourner le mur. n utre type de coup frnc est celui où le tireur décide de fire psser le llon pr-dessus le mur et de le fire plonger ensuite. Pour cel, il choisit un xe de rottion horizontl et fit tourner le llon de telle sorte que son sommet ille vers l vnt (tel un lift u ping-pong). Ce type de coup frnc est rre, cr il demnde un petit pied, suffismment petit pour psser sous le llon et le rosser. n des derniers grnds mîtres cples de réliser ce geste est Juninho Pernmucno [7]. Conclusion Grvité et érodynmique sont responsles de l diversité des trjectoires du llon de footll. À file vitesse (touche, lo), l grvité domine et seule l prole gliléenne est oservée. À forte vitesse (penlty, coup frnc, tir tendu), l érodynmique devient prépondérnte et l trjectoire se met à dépendre de l rottion du llon. Sns rottion, celui-ci v tout droit ou zigzgue, suivnt l nture lminire ou turulente de s couche limite. Cette trjectoire qusi rectiligne perdure, jusqu à ce que le llon soit suffismment rlenti pour que l grvité le fsse tomer, donnnt lieu à des proles tronquées. Le dernier régime est celui des llons en rottion qui conduit à des cercles, voire à des morceux de spirle lorsque l distnce prcourue est suffisment grnde. Vitesses de llon enregistrées lors de grosses frppes. Joueur (m/s) Mtch Dvid Hirst 51 Sheffield / Arsenl (16/9/96) Dvid Beckhm 44 Mnchester td / Chelse (22/2/97) Dvid Trézéguet 43 Monco / Mnchester td (19/3/98) Richie Humphreys 42,8 Sheffield / Aston Vill (17/8/96) Mtt Le Tissier 39 Southmpton / Newcstle (18/1/97) Aln Sherer 38,3 Newcstle / Leicester (2/2/97) Roerto Crlos 38,1 Brésil / Frnce (3/6/97) Références 1 W.D. Hill, M. Blke et J.E. Clrk, Bll court design dtes ck 3,4 yers, Nture 392 (1998) C. Reep et B. Benjmin, Skill nd Chnce in Assocition Footll, Journl of the Royl Sttisticl Society, Series A (Generl) 131 (1968) A. Armenti (ed.), The physics of sports, AIP-Press, Springer-Verlg (1992). 4 S. Hong, C. Chung, M. Nkym et T. Asi, nstedy Aerodynmic Force on Knucklell in Soccer, Procedi Engineering 2 (21) G. Dupeux, A. Le Goff, D. Quéré et C. Clnet, The spinning ll spirl, New Journl of Physics 12 (21) Reflets de l Physique n 28

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