EXERCICES SUR LA FONCTION LOGARITHME Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako EXERCICE 1 :

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1 EXERCICES SUR LA FONCTION LOGARITHME Site MathsTICE de Adaa Traoré Lycée Techique Baako EXERCICE : ) Résoudre das R les équatios suivates : a) l( ) + l( + ) l (3 5) l ( 5) 0 b) l( ) + l (3 + ) l l( + ) + l( ) l5 + l3 c) l + + l 5 l6 l d) l ( ) l l 5 l 4 e) 6l + 7l 3 0 l 3 l l + 0 f) l ( ) l (3 4 3 ) l l( + ) + l( ) + l g) l l + l( + ) + l( + + ) + l(- + ) h) (l 7l (l 3l + 0 (4 + 5) i) log + log (3 log5 log + + log 0 ) Résoudre das R les iéquatios suivates : a) l ( 0 + 9) 3 9 l ( 3 7) l[ (3 - ] l b) l ( ) c) l >0 (l 5l l( + 5) + l( + 4) l( +3) d) l + l( + l( + 4) l(5 l + l 5 < 0 e) l 8 < l 3 l( 4 e ) < + l3 3 ) Résoudre das R les systèes suivats : a) + y 65 l + l y 6 l l 3l y 9 l + 5l y + y 5 l + l y l + l3 3 4 l( y ) 6 l 5 5 y b) l y l + y 9e 3 l + l y l y l 3 3 l l y 4 4 l + l y 0 + y 7 log + log y c) d) + y 9 log + log y + y 4e log + log y + l3 l( ) + 3l( y ) 0 l(si + l(cos l 3 l( ) l( y ) 4 (si + cos 3 + y 43 y 7 log + log y 4 l 4 l 3 y l( y ) log + + y 56 y + log 3log y y y + 7 log Eercices Logarithes Page sur 6 Adaa Traoré Professeur Lycée Techique

2 ) Calculer l( + si li 0 si EXERCICE ) Déterier les esebles de défiitios des foctios suivates : a) f ( + + l(3 ) b) f ( l( + 6 5) c) g ( l(3 6) + l( + 4) + d) g l ( l + 5 ( e) g ( + + l f) g ( l 3 + g) g ( l 6 h) p ( l i) q j) ( 3 + l 3 k) S( l + ) q) r L) T ( 3 + l( + 3 ) ) u( 3 l v 5 ( l 4l + 3 o) ( l f ( l(3 l f (0) 0 si 0 i p) r) g( l( l( 5 + 4) ) l f ( (0) + l f s) h( l( ) l( 8) 3 ) Soiet les foctios f : a f ( l et g : a ( l( + ) + a) Ecrire g ( e foctio de ( f b) Déterier les esebles de défiitio de f et de g c) à partir du tableau de variatio de f déduire celle de g EXERCICE 3 : A) O cosidère la foctio g défiie par g( l ) Etudier les variatios de g ) Calculer g() et e déduire le sige de g ( B) O cosidère la foctio f défiie par l f ( g ) Etudier les variatios de f ) Déotrer que la courbe (Cf ) adet la droite ( ) d équatio y +3 coe asyptote oblique Etudier la positio de (Cf ) par rapport à ( ) 3 ) Déterier les coordoées du poit A de (Cf ) où la tagete (T) à (Cf ) est parallèle à ( ) Doer ue équatio de cette tagete 4 ) Déotrer que l équatio f ( 0 adet ue solutio uique αε]0 ] puis ue solutio uique β das [3 4] 5 ) Tracer (Cf ) et ( ) das u repère orthooré d uité c 6 ) Déterier l aire A de la régio du pla liitée par ) (Cf la droite ( ) et les droites d équatios et 3 Eercices Logarithes Page sur 6 Adaa Traoré Professeur Lycée Techique

3 EXERCICE 4 : Soit la foctio uérique f défiie par f ( + l ) Déterier l eseble de défiitio de f Ecrire f ( sas valeur absolue Déterier les liites de f au bores de Df ) Calculer f ( ) et f () étudier le ses de variatio de f puis dresser so tableau de variatio 3 ) Déterier les coordoées des poits d itersectio de (Cf ) avec la droite (D) d équatio y 4 ) Motrer que l équatio f ( 0 adet ue solutio uique α ]0 ] 5 ) E déduire le sige de f ( das Df 6 ) Tracer sa courbe représetative (Cf ) das u repère orthooré d uité graphique c 7 ) Déterier e c² l aire A de la régio du pla liitée par (Cf ) la droite (D) et les droites d équatios et e EXERCICE 5 : Soit la foctio f défiie sur ]0 + [ par f ( + 3 l ) Peut-o prologer f par cotiuité au poit 0 0? Si oui déterier so prologeet g ) Déterier l itervalle I de défiitio de g 3 ) Etudier la cotiuité et la dérivabilité de g au poit ) a) Etudier le ses de variatio de g puis dresser so tableau de variatio b) Motrer que das [ ] g ( 0 adet ue solutio et ue seule α 5 ) Calculer g( li + puis iterpréter 6 ) Tracer la courbe représetative de g das u repère orthooré d uité c EXERCICE 6 : I) Soit f l applicatio de ] 5] das R défiie par : f ( + l( + ) O désige par (Cf ) la courbe représetative de la foctio f das le pla rapporté à u repère orthooré d uité c ) Etudier le ses de variatio de f et la liite de f quad ted vers ( ) Doer le tableau de variatio de f ) a) Calculer les iages par f des réels : 0, E doer ue valeur approchée à 0, près b) Déterier ue équatio de la tagete (T) à (Cf ) au poit d abscisse : 3 ) Costruire (T) et (Cf ) II) O appelle D l eseble des poits du pla dot les coordoées et y vérifiet : 0 5 y f ( A] ) f ' désige la foctio dérivée de f a) Etudier le ses de variatio de f ' et doer so tableau de variatio Eercices Logarithes Page 3 sur 6 Adaa Traoré Professeur Lycée Techique

4 5 b) E déduire, pour [0 5] : 0 f '( 6 ) E appliquat l iégalité des accroisseets fiis au seget [0 ], établir que : ( 5 f y ) a) Tracer la droite d équatio : b) Déduire de ce qui précède ue ajoratio de l aire de D B] O appelle A l aire de D, e c ) Eprier A à l aide d ue itégrale ) Doer la dérivée de la foctio g défiie par : ( ( + ) l ( + ) E déduire l ( + K ) d 5 0 g 3 ) Calculer A e doer ue valeur approchée à c près par défaut A] Soit g( + l ) Etudier la foctio g ) a) Calculer g () EXERCICE 7 : b) E utilisat le tableau de variatio de g, déduire que : g ( >0 ε]0[ B] Soit l f ( ) a) Préciser l eseble de défiitio Df de f b) Etudier les liites de f au bores de so eseble de défiitio g( f c) Calculer f '( et otrer que pour tout de Df : '( d) E déduire le sige de f '( puis dresser le tableau de variatio de f ) Soit (Cf ) la courbe de f das le pla rapporté au repère orthooré d uité graphique c Soit D la droite d équatio : + 3 y a) Doer suivat les valeurs de le sige de h( f ( ( + 3) et e déduire la positio de (Cf ) par rapport à D b) Soiet respectiveet M et N les poits de êe abscisse de (Cf ) et D Calculer la distace MN e foctio de Calculer li h( c) Costruire (Cf ) et D + 3 ) a) Calculer la dérivée de la foctio U défiie par U ( (l ² b) E déduire l aire A du doaie pla liité par (Cf ) la droite D et les droites d équatios : e² Eercices Logarithes Page 4 sur 6 Adaa Traoré Professeur Lycée Techique

5 Soit f la foctio défiie sur [0 + [ par EXERCICE 8: l( + f ( f (0) Soit (Cf ) sa courbe représetative das le pla ui d u repère orthooré ( O i j ) (Uité graphique : c) t + t ) a) Prouver que pour tout réel t 0 o a : ² b) E déduire que >0, l( + () ) Soit g la foctio défiie sur [0 + [ par a) Calculer g '( b) Prouver que pour tout obre réel 0 : g( l( + + ² 0 g '( 4 3 c) E déduire que pour tout obre réel 0 : 0 g ( () 3 ) Etude des variatios de f a) Calculer f '( pour >0 b) Etablir que pour 0 o a : g( l( + + Grâce à () établir le ses de variatio de f 4 ) a) Déterier la liite de f ( lorsque ted vers + b) à l aide de () otrer que pour 0 o a : 3 l( c) Motrer que l( + li 0 ² d) Soit T la tagete à (Cf ) e 0 0 puis et e déduire que l( + + ² + f '(0) E utilisat () otrer que (Cf ) est au-dessus de T pour ε IR + 5 ) Dresser le tableau de variatio de f Tracer (Cf ) et T das le êe repère Eercices Logarithes Page 5 sur 6 Adaa Traoré Professeur Lycée Techique

6 EXERCICE 9: Partie A : O cosidère la foctio g défiie sur ]0 + [ par : g ( l( + ) ² ² + ( ² ) g '( ( ² + ) a) Calculer la dérivée g de g Motrer que pour tout ε, )² b) Etudier le sige de g ( selo les valeurs de ) Déterier li g( puis li g( ) a) Dresser le tableau de variatio de g b) E déduire qu il eiste u uique obre réel α > 0 tel que g (α)0 Vérifier que 0,5< α < 0,6 4 ) Déduire des questios précédetes le sige de g ( sur]0 + [ Partie B : O cosidère la foctio f défiie sur]0 + [ par : f ( l( + ) si f 0 ² f (0) 0 O ote (Cf ) la courbe représetative de f das le pla rapporté à u repère orthooré d uité graphique 5c ) a) Motrer que pour tout ε]0 + [, o a f ( g ( b) E déduire les variatios de f sur ]0 + [ ) Calculer li f ( e déduire que li f ( 0 + ² 3 ) a) Motrer que li l( + ) b) Etudier la dérivabilité de f e 0 Préciser la tagete à la courbe (Cf ) e 0 4 ) a) Prouver que, pour tout éléet de [0,5 α] 0 f ( f (0,5) b) E déduire que, pour tout éléet de [0,5 α] : 0 f ( α) f (0,5) ( α 0,5) f '(0,5) puis que 0 f ( α) f (0,5) f 0 d) E déduire ue valeur approchée de f (α ) à 0 3 près 5 ) Dresser le tableau de variatios de f Tracer la courbe de f '(0,5) 6 ) Déterier l aire du doaie pla liité par la courbe de f, l ae des abscisses, les droites d équatios 0 et Eercices Logarithes Page 6 sur 6 Adaa Traoré Professeur Lycée Techique

7 EXERCICE 0: Partie A : O cosidère la foctio g défiie sur]0 + [par : + g( l + ) Etudier le ses de variatios de g ) a) Calculer g () et g () Motrer que l équatio g (0 adet ue solutio uique α das ] 0 + [ b) Trouver u ecadreet de α d aplitude 0-3 ) Déduire le sige de g ( sur ]0 + [ Partie B : O cosidère la foctio f défiie sur]0 + [ par : f ( ) l ² + O appelle (Cf ) la courbe représetative de f das u repère orthogoal d uité Graphique c ) Etudier les liites de f e 0 et e + puis iterpréter graphiqueet ces liites ( + ) ( ² + ² ) a) Motrer que, pour tout de]0 + [, f '( g( b) E déduire les variatios de f c) Motrer que, ( α) α(α + ) f et doer le tableau de variatio de f 3 ) Costruire la courbe (Cf ) de f Partie C :O se propose de trouver u ecadreet de l aire A de l eseble des poits M( y) tels que 3 0 y f ( l l f ( ² 3 l I d ) Motrer que, pour tout : ) a) Calculer b) E utilisat ue itégratio par parties, calculer l J d 3 ² 3 ) a) Déduire u ecadreet de K f ( d b) Eprier A e foctio de K, puis déduire ue valeur approchée de A e c 3 Eercices Logarithes Page 7 sur 6 Adaa Traoré Professeur Lycée Techique

8 O cosidère la foctio f défiie par EXERCICE : l f ( l ) Après avoir otré que, pour tout réel l, préciser l eseble de défiitio de la foctio f Déterier la liite de f ( lorsque ted vers ) Etudier les variatios de cette foctio e précisat évetuelleet les asyptotes 3 ) Costruire la représetatio graphique des variatios de la foctio f das le pla rapporté à u repère (O doera l équatio de la tagete au poit d abscisse ) EXERCICE : Soit la foctio P défiie par P ( ( + ) l( + ) h désige la foctio uérique défiie par : h( l(+ Etudier le ses de variatio de h et le sige de h( ) Quelle est l eseble de défiitio de P oté D P? Calculer : li P( li P( + O désige par F l applicatio de D { } vers R défiie par : F( ) 0 F( P( pour Etudier la dérivabilité de F e P 3 ) Quelle est la liite de P( quad ted vers 0? O désige par f l applicatio de D { } vers R défiie par : f (0) f ( F( P D P Pour ε { 0 } D 4 ) Etudier les variatios de f e utilisat e particulier la questio ) Costruire la courbe représetative de f P Eercices Logarithes Page 8 sur 6 Adaa Traoré Professeur Lycée Techique

9 EXERCICE 3: ) a) Etudier les variatios de la foctio f défiie sur [0 + [ par : ( + ) f ( l( + ( + ) b) Étudier les variatios de la foctio g défiie sur [0 + [ par : g ( l( + + c) Déduire des questios précédetes que, pour tout obre réel stricteet positif, + < l (+ < d) Déotrer que pour tout >0, ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) () < () ) a) Déduire de () et () que pour tout y > 0, < l ( ) + y y + < y b) Déduire de () et ()que pour tout z > 0, z < l z < z z 3 ) Utiliser l u de ces ecadreets pour ecadrer la das chaque cas suivat : a 0,5 a 0,8 a 0,98 a,0 a,5 EXERCICE 4: Le but de ce problèe est d étudier la foctio f défiie sur ]0 + [ par : f ( ( + l et costruire sa courbe représetative Cf das le pla ui d u repère orthooré d uité graphique : c ) Soit g la foctio défiie sur ]0 + [ par : g( ² + l a) Etudier le ses de variatio de g et ses liites e 0 et e + b) E déduire que l équatio g ( 0 adet ue solutio α et ue seule et que,30 α, 35 c) Etudier le sige de g ( ) a) Etudier les liites de f e 0 et e + b) Eprier f '( à l aide de g ( E déduire le ses de variatio de f 3 ) a) Motrer que la droite ( ) d équatio y est asyptote e + à la courbecf b) Déterier le poit d itersectio A de Cf et ( ) préciser la positio de Cf par rapport à la droite ( ) c) Costruire la courbe Cf et la droite ( ), e précisat la tagete e A à Cf Eercices Logarithes Page 9 sur 6 Adaa Traoré Professeur Lycée Techique

10 EXERCICE 5: 3 A) Soit la foctio g défiie sur R* par : g( + l ) Étudier les variatios de la foctio g sur R* Préciser la valeur de l etreu relatif de g ) Motrer que l équatio g ( 0 adet ue solutio uique α [ ] + 3) Doer u ecadreet α de par deu obres ratioels de la fore et 0 0 avec etier aturel 4) E déduire le sige de g ( sur R * B) Soit la foctio f défiie sur R* par : f ( Soit (Cf ) la courbe l O i j représetative de f das u repère orthooré ( ) ) Étudier les liites de f e e 0 et e + ) Calculer f '( puis e déduire le tableau de variatio de f 3) Déotrer que f ( α) 3α α 4) E utilisat l ecadreet de α trouvé au A) 3 ) otrer que : (α,6< f ) <, C) soit les poits M( y) et M ( y ) das le repère ( O i j ) où M est le syétrique de M par rapport à l ae des ordoées ) Déterier et y e foctio de et y ) Déotrer qu ue équatio de la courbe (Г) à laquelle appartiet M lorsque M l décrit la courbe (Cf ) est la suivate : y 3) Étudier la positio relative de (Г) par rapport à (Cf ) D) O cosidère u réel supérieur à Soit h la foctio défiie sur [+ [ par ( ) Déotrer que H défiie sur [+ [ par priitive de h ) O désige par A() l itégrale [ f ( ] l h + l H ( est ue d Calculer A() 3) Déterier si elle eiste la liite de A() quad ted vers + Eercices Logarithes Page 0 sur 6 Adaa Traoré Professeur Lycée Techique

11 EXERCICE 6: Soit la foctio uérique f de la variable réelle défiie par : f ( + + l + ) Etudier les liites de cette foctio au bores de so eseble de défiitio O appelle (Cf ) la courbe représetative de f das le pla ui d u repère orthooré Préciser les asyptotes à la courbe (Cf ) de f E particulier o établira l eistece d ue asyptote oblique (D) ) Etudier le ses de variatio de f puis dresser so tableau de variatio 3) Etudier la positio relative de (Cf ) par rapport à (D) 4) Costruire la courbe de f EXERCICE 7: A/ Soit la foctio uérique f de la variable réelle défiie par : f ( l 3 Déterier l eseble de défiitio de f Ecrire f( sas valeur absolue puis calculer les liites de f au bores de so eseble de défiitio 3 Etudier le ses de variatio de f puis dresser so tableau de variatio 4 Motrer que la droite d équatio est ae de syétrie de la courbe de f 5 Tracer la courbe représetative (Cf ) de f das le pla rapporté à u repère orthooré d uité c B/ Soit la foctio uérique f de la variable réelle défiie par : ( l et (0) 0 f ( f Etudier le sige de f '( Motrer que f est pas dérivable e 0 3 Quelle est la deie tagete e 0 0? 4 Doer l équatio de la tagete (T) e 0 e 5 Tracer la courbe (Cf) de f 6 Soit g la foctio défiie par g ( l ( l ) a) Calculer g '( et e déduire ue priitive de f b) Calculer l aire A(λ) de la portio du pla coprise etre (Cf) l ae des abscisses et les droites d équatios λ (0<λ<) 7 Calculer li A( λ) 0 λ Eercices Logarithes Page sur 6 Adaa Traoré Professeur Lycée Techique

12 EXERCICE 8: Pour réel o cosidère la faille de foctios f défiie par f ( + l + + pour étudier les variatios de f Déterier l eseble des valeurs de, oté V pour que f soir défiie sur 3 Motrer que les courbes ( C ) des foctios f passet par u poit fie A dot o déteriera les coordoées 4 Pour 0, o cosidère la foctio f 0 a) Etudier les variatios de la foctio f 0 b) Etudier la cotiuité et la dérivabilité de f 0 sur so eseble de défiitio 5 a) Motrer que la courbe ( C0 ) de f 0 adet deu poits d ifleio dot o doera leurs coordoées b) Etudier les braches ifiies de ( C 0 ) c) Tracer la courbe ( C 0 ) das le pla ui d u orthooré 6 Soit la foctio F défiie par : F ( + l ( + ) a) Quel est so doaie de défiitio? b) Motrer que l o a : F '( f 0 ( + + c) Soit h ue priitive de la foctio u telle que : U ( vérifiat + hʼ( U( et h (0) 0 h() E déduire ue priitive de la foctio f 0 4 (O otrera que : Fʼ( f 0 ( + U( ) Calculer e c l aire de la portio du pla liitée par la courbe C ) l ae des abscisses et les droites d équatios 0 et ( 0 7 Pour ε V, o cosidère la droite (D ) d équatio y + a) Motrer que pour tout de V et >0 l itersectio de ( C ) et (D ) cotiet toujours deu poits dot o doera les coordoées o les otera M et Mʼ b) Motrer que les poits M et Mʼ sot syétriques par rapport à u poit I c) Que se passe-t-il si o fait tedre vers 0? Eercices Logarithes Page sur 6 Adaa Traoré Professeur Lycée Techique

13 Partie A : EXERCICE 9: + O cosidère la foctio f défiie sur ]-+ [ par : f ( l( + Etudier les liites de f au bores de so eseble de défiitio Etudier les variatios de f et dresser so tableau de variatio 3 Déotrer que l équatio f ( 0 adet das ]+ [ ue solutio uique α Vérifier qu ue valeur approchée de α à 0 - près par défaut est 3,9 4 Préciser suivat les valeurs de, le sige de f ( Partie B : l( + t) t Soit g la foctio défiie sur ]0+ [ par : g( 0) 0 et g( t) si t f 0 Etudier la cotiuité puis la dérivabilité de g au poit t 0 Motrer que pour tout réel t stricteet positif o a : g '( t) f ( t) 3 a) Calculer la liite de g e + b) Dresser le tableau de variatio de g 4 Le pla est rapporté à u repère orthooré ( O i j ) O predra pour uités : c sur l ae des abscisses et 0 c sur l ae des ordoées Costruire la courbe (Γ) de g Partie C : Cette partie a pour objectif de déterier l aire A, e uités d aire, du doaie pla liité par l ae des abscisses, la courbe (Γ) et la droite d équatio : a) Déotrer que la foctio gdéfiie sur [0 + [ par : g ( l ( + est dérivable e 0 b) Soit φ la foctio défiie sur [0 + [ par ϕ ( l ( + dt 0 + t Motrer que φ est dérivable e tout poit de l itervalle [0 + [ et que φʼ( g( Déduisez des questios précédetes que : A l 0 + et K la foctio défiie sur l itervalle I t t dt t K ( θ ) ta et 0 π par : θ t h : a dt 0 + t a) Calculer ( ho k) ( θ ) b) Prouver que, pour tout θ ε I, ( ho k) '( θ ) 4 ta θ c) Ecrivez ta θ sous la fore (ta θ + ) puis déterier ue priitive de ( ho k) ' Doer l epressio de ( ho k) d) Calculer h() 4 Déduisez des résultats précédets la valeur eacte de A t t Eercices Logarithes Page 3 sur 6 Adaa Traoré Professeur Lycée Techique

14 EXERCICE 0: L objet du problèe est l étude de quelques propriétés des foctios f N* l défiies sur l itervalle ]0 + [ par : f ( La courbe représetative de f das le pla ui d u repère orthooré d uité c est otée (C ) A) Etude des variatios de f N* ) Soit, pour tout etier aturel o ul, la foctio g défiie sur ]0 + [ par g ( + l a) Etudier le ses de variatio de g et préciser ses liites e 0 et e + b) Motrer que l équatio g ( 0 adet ue solutio uique α et que α appartiet à [ 3] g ( ) a) Etablir que, pour ]0 + [ : f '( b) Déterier le sige de g ( et e déduire le ses de variatio de f 3 ) a) Déterier les liites de f e 0 et e + b) Motrer que la droite (D ), d équatio y est asyptote à la courbe (C ), puis étudier la positio de (C ) par rapport à (D ) sur l itervalle ] 0 + [ B) Etude des cas particuliers et ) α état le obre défiie e A) ) otrer que : Pour, α Pour, < α <,3 ) E utilisat les règles sur les iégalités et l ecadreet de α ci-dessus otrer que f ( α ),4 E utilisat le ses de variatio de f, otrer que f ( α ), 0 3 ) Doer les tableau de variatios de f et de f 4 ) Représeter das le êe repère les droites (D ) et (D ) puis les courbes (C ) et (C ) C) Etude des positios relatives des courbes (C ) ) Pour tout etier aturel, et pour tout réel de l itervalle ]0 + [, calculer la différece f ( f+ ( Calculer la liite de cette différece lorsque ted vers + l ) Soit d la foctio défiie sur ]0 + [ par d( + a) Etudier les variatios de d, préciser ses liites e 0 et e + b) Déduire de la questio précédete que l équatio d( 0 adet ue solutio uique β et que β appartiet à l itervalle ]0 [ c) Motrer que, pour tout etier aturel o ul, o a f ( β ) β 3 ) A l aide des résultats obteus das les questios C) ) et ), établir que toutes les courbes (C ) se coupet e u poit A que l o placera sur la figure Pour N *, préciser les positios relatives de (C ) et (C + ) Eercices Logarithes Page 4 sur 6 Adaa Traoré Professeur Lycée Techique

15 EXERCICE : + Soit la foctio f défiie par f ( ) + ) Déterier l eseble de défiitio Df de f ) Déotrer que pour tout de D f f ( > + 3 ) E déduire le sige de f ( sur D f 4 ) Etudier la foctio et tracer sa courbe représetative (C f ) 5 ) Soit g la foctio défiie par g ( l( + ) + a) résoudre l équatio ( l( 3 ) g b) Déotrer que g est ue foctio ipaire c) Etudier g et tracer sa courbe (Cg) d) Déotrer que g est ue bijectio de R vers R et que pour tout etier relatif, e + e g EXERCICE : Soit f la foctio uérique défiie sur l itervalle ]0+ [ par f ( l 4 4 ) Étudier les variatios de la foctio f ) Costruire la courbe (Cf) de f das u repère orthogoal d uités graphiques : 0c sur l ae des abscisses et 5c sur l ae des ordoées 3 ) O ote λ u réel stricteet positif a) A l aide d ue itégratio par parties, calculer l λ d b) E déduire la valeur de I ( λ) f ( d Doer ue iterprétatio graphique de ce λ résultat c) Déterier la liite l de I (λ) quad λ ted vers 0 + p 4 ) Pour tout etier aturel supérieure ou égal à o pose : S f p a) E utilisat le ses de variatio de f sur ]0 ] déotrer que, pour p etier aturel vérifiat p, o a : I S li S + 3 p + f p+ p I + f f ( d p f b) E déduire que : S f I S, puis que c) E déduire que : Eercices Logarithes Page 5 sur 6 Adaa Traoré Professeur Lycée Techique

16 EXERCICE 3 Ue etreprise fabrique u produit e quatité, epriée e illiers de toes Le coût total de fabricatio est doé par : ( + l( + ) pour [0 5] Les coûts sot epriés e illios de fracs A-/ Étude d ue foctio auiliaire O cosidère la foctio f défiie sur [0 5] par : ( + 9l( + ) ) Calculer f '( Vérifier que C T 9 9 f + ( )( + 4) f '( ( + ) ) Établir le tableau de variatio de f sur [0 5] 3 ) E déduire que f s aule sur [0 5] pour ue valeur uique l 4 ) Déterier des résultats précédets le sige de f sur [0 5] B-/ Étude d u coût oye C La foctio coût oye est défiie sur [0 5] par : C ( 9 l( + ) T C( + f ( '( ) Calculer C '( Vérifier que l o peut écrire C où f est la foctio auiliaire de la questio A-/ ) Étudier le ses de variatio de C sur ]0 5] 3 ) Pour quelle productio l etreprise a-t-elle u coût oye iial eprié e fracs par toes? Quel est ce coût? EXERCICE 4 : Ue etreprise fabrique des objets dot le coût de productio e fracs, de q objets est doé par la foctio C(q) 0 l(3q+) ) Déterier le coût de fabricatio de 5 objets, de 0 objets O arrodira le résultat au cetiètre près ) Quel est le obre d objets fabriqués sachat que le coût de productio s élève à 90,F? 3 ) Etudier les variatios de C et costruire sa courbe représetative (C) pour q variat de 0 à 50 4 ) Chaque objet est vedu à 3 F a) Eprier la foctio bééfice B e foctio de q b) Calculer B (5) B(0) puis B(40) c) E utilisat le graphique, déterier la quatité iiale d objets que doit vedre l etreprise pour être bééficiaire e supposat qu elle ved toute sa productio Eercices Logarithes Page 6 sur 6 Adaa Traoré Professeur Lycée Techique