2 t +t+ et. et on applique le principe de superposition , où (C 1,C 2 ) R 2. tet, où (C 1,C 2 ) R i = i 16 e2it =Re 1/??
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- Eveline Lacroix
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1 PCSI-PCSI DNSn 4 Corrigé 4-5 Eercice ENTRAINEMENT PERSONNEL R R Déerminer les soluions y: de chacune des équaions différenielles suivanes : y(). y +y +y=++e Soluion. (E c ): r +r+=, soluions complees, r =j= +i. Ainsi y h ()=e C cos +C sin (on noe y h pour la soluion de l équaion homogène). On applique le principe de superposiion. Pour y +y +y=, on cherche y p ()=a+b, on rouve y p ()=. Pour y +y +y=e, on pose y()=z()e, qui donne z +z +z= d où z()= e e y()=. Conclusion S= e C cos +C sin ++ e, où (C,C ) R. y 4y +y= sh(). Soluion. (E c ): r 4r+=(r )(r )=, deu soluions réelles, on a donc y h ()=C e +C e. On écri alors quesh()= e e e on applique le principe de superposiion. Pour y 4y +y= e, on pose y()=e, on obien z +z =, on choisi z ()= 4, d où z()= 4 e y p ()= e 4. Pour y 4y +y = e, on pose y()=e, on obien z z +4z =, on choisi z()= 48, d où y p ()= e 48. Conclusion S= C e +C e + e 4 e 48, où (C,C ) R. y y+5y=e. Soluion. (E c ):r r+5=, deu soluions complees, on ar =+i, ainsiy h ()=e (C cos()+c sin()). Puis on pose y()=z()e, pour obenir z +4z=. On a z()= 4 d où y p()= 4 e e S= e (C cos()+c sin())+ 4 e, où (C,C ) R 4. y +4y +4y=sin () Soluion. (E c ) : r +4r+4 = (r+), une racine double ainsi y h () = (C +C )e. Puis on linéarise sin ()= cos() e on applique le principe de superposiion. Pour y +4y +4y=, on a y p()= 8. Poury +4y +4y= cos(), on compleifie eny +4y +4y= ei e on pose y()=z()e i, ainsi z + (4+4i)z +8iz=. On choisiz()= 6i = i 6, puisy i i p()=re 6 ei =Re 6 (cos()+isin()) = /?? G H - L F, L
2 PCSI-PCSI DNSn 4 Corrigé 4-5 sin(). 6 Conclusion S= (C +C )e + 8 sin(), où (C,C ) R 6 5. y +y=e cos() Soluion. Oscillaeur harmonique, y h ()=C cos +C sin. Pour la soluion pariculière, on compleifie en y +y=e e i =e ( +i) e on pose y()=z()e ( +i) pour avoir z ( 4i)iz 4iz= d où z()= 4i = i 4 e y i i p()=re 4 e( +i) =Re 4 e (cos()+isin()) = e sin(). Ainsi 4 S= C cos +C sin e sin(), où (C,C ) R 4 6. y +4y +y= e Soluion. (E c ): r +4r+=, racines complees r = +i, d où y h ()=e (C cos()+c sin()). Puis on pose y() = z()e pour avoir z +z +z =. On pose alors z() = a +b+c pour avoir (a)+(a+b)+ a +b+c = soi a +(4a+b)+(a+b+c) =. On obien alors z()= 5 5 d où y p()= 5 5 e e S= e (C cos()+c sin())+ 5 e, où (C,C ) R 5 7. y +y +y=4sin() avec y()=y ()=. Soluion. (E c ):r +r+=, deu racines complees,r = + i d oùy h()=e C cos +C sin. Pour la soluion pariculière, on compleifie en y +y +y = 4e i e on pose y() = z()e i ce qui donne z +(+4i)z ( i)z=4. On choisi z()= 4 i = 4(+i). 5 Enfin y p ()=Im 4(+i) e i =Im 4(+i) (cos+isin) = 4 (sin+cos). On a donc S= e C cos +C sin 45 (sin+cos), où (C,C ) R Enfin, y()=c 8 5 == C = 8 5 y ()= e C cos +C sin +e C sin + C cos 4 5 (cos+sin) d où y ()= C + C 4 5 = C 8 5 = C = 6 5 y()=e 8 5 cos sin. Bref la soluion es 4 5 (sin+cos) /?? G H - L F, L
3 PCSI-PCSI DNSn 4 Corrigé y +y=e Soluion. Oscillaeur harmonique, y h ()=C cos+c sin. Sur I =],[, on cherche une soluion pariculière de y +y=e, on a facilemen y()= e. Sur I =],+ [, on cherche une soluion pariculière de y +y=e, on a facilemen y()= e. On cherche mainenan les soluions sur R. Analyse : Soi f une elle soluion. La foncionf es donc définie e deu fois dérivables surre es soluion de l équaion différenielle surr. En pariculier elle es soluion suri e suri. Il eise donc(c,c,c,c ) R4 els que f()=c cos+c sin+ e f()=c cos+c sin+ e si < si < On peu donc affirmer que f es bien dérivable deu fois sur R. La foncion f es coninue en =. Donc lim f()= lim f(). Or + Ainsi C =C e f()=c +. lim f()= lim C cos+c sin+ e =C + lim +f()= lim cos+c sin+ e +C =C + f() f() f() f() La foncion f es dérivable en = ainsi lim = lim + f() f() lim = lim C cos sin +C f() f() lim = lim + C cos +C sin + or + e =C + e =C + (on a uilisé les équivalens usuels pour les limies de cos, sin ). Ainsi C =C e f ()=C. Il rese la dérivabilié de f en =. Pour cela, précisons que l on f ()= C sin+c cos e f ()= C sin+(c )cos+ e f ()=C si < si < Puisque f f () f () f () f () (), on a lim = lim =f (), mais + f () f () lim = lim C sin (cos ) +C f () f () lim = lim + = lim C sin cos +C e = C + C sin+(c )cos+ e C + + e + cos /?? G H - L F, L
4 PCSI-PCSI DNSn 4 Corrigé 4-5 Mais e + cos = e + cos d où f () f () lim = C + + Ce qui n impose pas de condiion supplèmenaire sur C. De plus f ()= C +. Synhèse : On défini donc f par f()=c cos+c sin+ e si < f()=c cos+(c )sin+ e f()=c + si < avecc,c quelconques dansr. Alorsf es coninue, dérivable deu fois surravecf ()=C e f ()= C +. Elle es soluion de l équaion différenielle suri e sur I. Pour finief ()+f()==e d onc f es une soluion surrde l équaion différenielle. Eercice On considère l équaion différenielle (E) y ()+ + y()=. Parie I : éude sur],+ [. Pour m R, on noe f m la soluion de(e) sur],+ [ elle que f m ()=+ m e. Déerminer f m Soluion. Sur],+ [, l équaion différenielle es équivalene ày ()+ + esc sur],+ [, la soluion de l équaion homogène es + y()=kep d =Kep + y()=. Puisque + d =Kep ln = Ke où K R On uilise la variaion de la consane. On cherche y soluion de (E) sous la forme y() = K()e. On remplace dans(e) pour avoir K () e = K ()=e On choisik()=e (on a penser à la formeu e u ). Une soluion pariculière es doncy p ()=e e. La soluion générale de(e) es donc y()= +Ke = 4/?? G H - L F, L
5 PCSI-PCSI DNSn 4 Corrigé 4-5 Si on impose y()=+ m e, on a K=m. Ainsi f m ()= +me pour >. (a) Calculer, sans dériver la foncion f m, la valeur de f m(). Soluion. La foncion f m vérifie l équaion différenielle en =, ainsi f m()+ + f m ()= d où f m ()= + m = + m e e (b) Donner l équaion de la angene T m àc fm en = Soluion. L équaoin de la angene es donc y f m ()=f m()( ) y=f m()+f m () f m() ce qui donne T m :y= + m ++ m e e (c) Monrer que oues les droiest m, lorsquemparcourr, son concouranes en un poinaque l on précisera. Soluion. Analyse : Si oues les droies passen par le poin A, alors A es à l inersecion de deu d enre elles. e Pour m = (donc+m =) on a T m :y= e = Pour m = on a T m :. y= Les coordonnées de A vérifien donc = d où A=,. Synhèse : On vérifie que = +m e ++m e ce qui prouve que A T m ceci pour ou m R. (d) Déerminer la soluion g de(e) passan par le poin A. Soluion. On résou donc le problème de Cauchy y ()+ + y()= y = (E) es y()= +Ke. La condiion y = +Ke 9 8. La soluion générale de =, donne K= e Ainsi g()= e9 8 4 e 4 e9 4 8 = 4 (e) Déerminer la valeur m de m pour laquelle la angene en A au graphe de g es confondue avec T m. Soluion. La angene T g en A au graphe de g a pour équaion y g =g 5/?? G H - L F, L
6 PCSI-PCSI DNSn 4 Corrigé 4-5 Or g es soluion de(e) donc g + + Ainsi T g a pour équaion y= + m. e g = g = 6 = = 5 8. Or T m a pour équaion y= + m e + Analyse : Si les angenes son les mêmes alors la pene es la même donc + m e = m = e 4. Synhèse : on vérifie que l ordonnée à l origine es égalemen la même, i.e que+ m = e e e 8 = 5 ce qui es vrai. 8 (f) Déerminer le lieuhdes poins en lesquels les courbesc fm possède une angene horizonale. Soluion. Analyse : Sif m adme une angene horizonale au poinm d abscisse >alorsf m( )=. Avec l équaion différenielle, on en dédui que + f m ( )= f m ( )= +. Le poin M a donc pour coordonnées, +. Il es donc sur le graphe de la foncion ϕ:],+ [ R définie par ϕ()= +. Synhèse : Soi M un poin du graphe de ϕ donc de coordonnées, +. On considère alors le y ()+ + y()= problème de Cauchy :. On sai qu il eise une unique soluion à ce problème, y( )= + i.e un unique K R el que y()= +K e l équaion différenielle avec, on obien. Cee soluion coïncide avec f K e si on remplace dans f K ( )+ + f K ( )= f K ( )= car f K ( )= +. Ainsi M es un poin où une coubec fm adme une angene horizonale. Conclusion : le lieuhes le graphe de ϕ()= pour >. + (g) Déerminer le lieuddes poins en lesquels les courbesc fm possède une angene parallèle à la droiey=. Soluion. Analyse : Si f m adme une angene parallèle à la droie y= au poin M d abscisse > alors f m ( )=. Avec l équaion différenielle, on en dédui que+ + f m ( )= f m ( )=. Le poin M a donc pour coordonnées(,). Il es donc sur le demi-ae des abscisses posiifs sricemen. Synhèse : Soi M =(,). On considère alors le problème de Cauchy : y ()+ + y()=. y( )= On sai qu il eise une unique soluion à ce problème, i.e un unique K R el que y()= +K e 6/?? G H - L F, L
7 PCSI-PCSI DNSn 4 Corrigé 4-5 (ce K es ici facile à calculer, il vérifie +K e f K e si on remplace dans l équaion différenielle avec, on obien f K ( )+ + f K ( )= f K ( )= = K = e ). Cee soluion coïncide avec car f K ( )=. Ainsi M es un poin où une coubec fm adme une angene parallèle à la droie y=. Conclusion : le lieu D es le le demi-ae des abscisses posiifs sricemen.. Avec un logiciel (par eemplemaple ouscilab ouwww.desmos.com), racer simulanémen les graphes def m, g e T m. Sur un aure schéma, oujours à l aide du logiciel, racer les lieuhedaccompagnés de quelques courbes inégralesc fm. Soluion. A eser sur Parie II : éude surr. On pose h()= e. (a) Déerminer le développemen limié d ordreen = de de h(). Soluion. e = + + o 4 = o (b) Monrer que l on peu prolonger h en = en une foncion coninue e dérivable. Préciser la posiion de la courbec h par rappor à sa angene en ce poin. Soluion. On applique le cours. Si on pose h() = alors h es coninue, dérivable en = avec h ()=. L équaion de la angene en = es alors y= e h() = o = 9 8 qui change de signe. On a donc une infléion, la courbe localemen es au dessus de la angene si <, localemen en dessous si >.. Monrer que h es l unique soluion sur l inervalle R de l équaion différenielle(e). Soluion. Analyse : Si f es soluion sur R elle es soluion sur ],[ e sur ],+ [. La résoluion sur ],[ es idenique à celle sur],+ [. Il eise donc deu consanes K e K elles que f()= +K e La foncion f es coninue en = donc si < e f()= +K e si > Or si K =, on a +K e +K e lim f()= lim =f() +K e lim f()= lim =f() + + signe(+k ) (+ ) donc K =. De même en + d où K =. Ainsi f =h (on a monré l unicié). Synhèse: On a vu que h es coninue, dérivable sur R soluion de l équaion différenielle sur ],[ e sur ],+ [ e aussi encar on a posé h()=. Bref c es une soluion de(e) surr. 7/?? G H - L F, L
8 PCSI-PCSI DNSn 4 Corrigé 4-5 Eercice On se propose de résoudre, sur l inervalle], + [, l équaion différenielle suivane : Deu méhodes vous son proposées. (E) << y ()+y ()+y()=. (a) Monrer que l équaion homogène associée + >> ***** ère méhode (changemen de foncion) ***** (EH) << y ()+y ()+y()= >> possède une soluion sous la forme y()= a, où a es une consane que l on déerminera. Soluion. On remplace en uilisan y ()=a a, y ()=a(a ) a alors On choisi a= ; ainsi y()=..y ()+y ()+y()= a (a(a )+a+)=(a+) a (b) On pose, pour ou ],+ [ : f()= a g(). Monrer quef es soluion de(e) si, e seulemen sig (dérivée deg) es soluion de l équaion différenielle (F) suivane : (F) << y ()+y()= + >> Soluion. On pose donc f()= g() g()=f(). Ainsi f dérivable deu fois si e seulemen si g es dérivable deu fois e f ()= g () g() e f ()= g () g () + g(). On en dédui que f es soluion de(e) si e seulemen si > + g () g () g () + g() g ()+g ()= + y ()+y()= + où y()=g () ce qui prouve le résula demandé. g() + g() = + (c) Résoudre l équaion(f) sur l inervalle], + [. Soluion. Sur],+ [ l équaion(f) es équivalene à y ()+ y()= +. Puisque a()= es C sur ],+ [, les soluions de l équaion homogène son y()=kep d =Kep( ln)= K où K R. On applique la variaion de la consane, on cherche y sous la forme y()= K(), alors y ()+y()= + K () = + On choisi donc K()= 4 +ln, d où y()= K + 4 +ln où K R 8/?? G H - L F, L
9 PCSI-PCSI DNSn 4 Corrigé 4-5 (d) Conclure. Soluion. On a donc g ()= K + 4 +ln où K R ce qui donne par inégraion g()=k ln()+ () 8 +ln +K 4 où (K,K ) R. On doi mere une consane K, car il s agi d un calcul de primiive. En remarque, ln es du ype u u. Pour finir f()=k ln() + 8 +ln () 4 + K ***** nde méhode (changemen de variable) *****. Si y es une foncion deu fois dérivable sur],+ [, on défini la foncion z surrpar : auremen di R, z()=y(e ). ],+ [, y()=z(ln) (a) Monrer queyes soluion de(e) sur],+ [ si, e seulemen siz es soluion surrde l équaion différenielle(g) suivane (G) << z ()+z ()+z()=ch() >>. Soluion. Avan ouz es bien dérivable surren an que composée de foncions dérivables si e seulemen si y l es (c es bien un si e seulemen si, car si z es dérivable, alors y aussi). On a pour > y ()= z (ln) Ainsi y es soluion de(e) si e seulemen si >, z (ln) z (ln) e y ()= z (ln) z (ln) + z (ln) +z(ln)= + ce qui équivau à z (ln)+z (ln)+z(ln)= e ln +e ln Lorsque décri],+ [, le réel =ln décrir, on a donc ce qui es le résula demandé. (b) Résoudre cee équaion différenielle(g) sur R. R, z ()+z ()+z()=ch Soluion. L équaion homogène a pour équaion caracérisique r +r+=(r+). Les soluions son donc z()=(k +K )e On fracionne le second membre. On cherche une soluion pariculière de (G ): z ()+z ()+z()= e sous la forme z()=αe, ainsi 9/?? G H - L F, L
10 PCSI-PCSI DNSn 4 Corrigé 4-5 z ()+z ()+z()=4αe. Ainsi z ()= e 8 es une soluion pariculière(g ). Puis On cherche une soluion pariculière de(g ): z ()+z ()+z()= e en posan z()=u()e, on a alors z ()+z ()+z()=u ()e d où u ()= e on choisi u()= 4. Ainsi z ()= e es une soluion pariculière de(g ). Conclusion, Les soluions de(g) surrson donc z()=(k +K )e + e 8 + e 4 où (K,K ) R 4 (c) Conclure. Soluion. Puisque y()=z(ln), on a y()=(k ln+k )e ln + eln e ln 8 +(ln) 4 =K ln() + K + () 8 +ln 4 où (K,K ) R (ouf!) (d) Déerminer un équivalen simple en = de chaque soluion f() de l équaion (E) sur ],+ [. Ces soluions peuven-elles se prolonger en une foncion coninue en? Soluion. En =, on a ln () 4 =4 ln +, ln () 4 = 4 ln ln() e + ln () 4 = 4 ln +, ainsi le erme prédominan es ln (). On ne peu pas prolonger en. 4 + (e) Monrer que oues les soluions de(e) possède une droie asympoe commune au voisinage de +. Soluion. EN +, cee fois ci, ln() ln (), 4 + cela ne prouve rien). On cherche alors lim y() + 8 = lim K + que y= es une asympoe en+. 8, le prépndéran es donc + 8 (aenion ln() +K () +ln =, ce qui prouve 4 Eercice 4 Résoudre le sysème suivan d inconnue(,y,z) R en foncion du paramère réel m : +y z = +y+mz = +my+z = On précisera, dans chaque cas, la naure géomérique de l ensemble des soluions. Soluion. La marice augmenée es m m+ m L L L m 4 L L L L L (α )L m+ m +m+6 m /?? G H - L F, L
11 PCSI-PCSI DNSn 4 Corrigé 4-5 Mais m +m+6= (m+)(m ), on a donc rois cas. m+ Premier cas : m = e m =, ce qui donne z =, y = (m+)z = m+ m+ = m+ = z e = y+z= d où S=, m+,, la soluion es un poin de l espace. m+ Deuième cas : m=, le sysème devien il n y a donc pas de soluion,s=. Troisième cas : m=, le sysème devien + y z = y +z = = + y z = y +4z = = On eprime e y en foncion de z, ce qui donne y = 5z 4z z z = +z 5 4 où z R d où S= +z 5 4, z R es une droie paramérée par z /?? G H - L F, L
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