Utilisation du solveur d Excel

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1 Cycle ICM : 1A Pôle nformatque Cours applcatons nformatques Auteur : Bertrand Jullen 22/12/04 Utlsaton du solveur d Excel Le but de ce TP est de famlarser les élèves avec la foncton Solveur d Excel, dans le cadre de la mse en œuvre de méthodes d optmsaton dont les prncpes ont été exposés dans le cours de recherche opératonnelle. Avant d aborder le premer exercce, l convent de lre attentvement le paragraphe Méthodologe qu ndque la condute à tenr pour résoudre les problèmes proposés. Tous font appel à la programmaton lnéare, en nombre réels pour les deux premers, en nombre enters pour le derner. Méthodologe Avant de se lancer dans l utlsaton du solveur, l est plus que vvement consellé de modélser le problème sous forme mathématque : 1. Défnr les varables X 1, X 2, X 3,, X n à détermner 2. Exprmer les contrantes lnéares que ces varables dovent respecter, de la forme : a x b a x c a x = d 3. Défnr la foncton économque, également lnéare, à optmser : Max (ou Mn) f x Une fos cette modélsaton achevée, l suffra de la transposer dans l envronnement Excel. Quelques prncpes smples dovent être observés : 1. La premère étape consste à préparer la feulle Excel. Outre les données qu dovent y fgurer (coeffcents et seconds membres des contrantes, coeffcents de la foncton économque), l convent d ajouter : Une cellule pour la valeur de chacune des varables X à détermner Une cellule pour la valeur du premer membre de chacune des contrantes Une cellule pour la valeur de la foncton économque La mse en page de la feulle est mportante, et on recommande d utlser celles des feulles à télécharger qu contennent les données des exercces à résoudre. En effet, elle est de nature à consdérablement smplfer l écrture des modèles. Une foncton ntégrée Excel est souvent utlsée pour calculer le premer membre des contrantes : l s agt de SOMMEPROD() qu permet

2 de fare un produt scalare vectorel ou matrcel. Voc un exemple d une telle mse en page. Il pourra être utle, avant de passer à la phase suvante, de tester l exacttude des formules en donnant des valeurs quelconques aux cellules à détermner. Fabrcaton d'allage Quantté C Cu Mn Stock Coût Ferralle 1 2,5 0 1, ,20 Ferralle , ,25 Ferralle 3 0 0, ,15 Ferralle ,22 Ferralle ,26 Ferralle 6 0 0,4 1, ,20 Ferralle 7 0 0, ,17 Mn 2 0,4 1,2 Max 3 0,6 1,65 Pods désré 5000 Pods Coût Cellules des varables à détermner Cellule foncton économque Cellules premers membres des contrantes 2. Une fos la feulle mse en forme, l faut fournr les donnés du problème qu vennent d être modélsées au solveur. Pour cela, on le lance (Menu «Outls / Solveur») et on spécfe successvement : Dans la cellule cble à défnr, l adresse de celle qu content la valeur de la foncton économque ; ne pas oubler de cocher la case qu correspond au sens de l optmsaton souhatée. Dans les cellules varables, la plage des adresses de celles qu ont été affectées aux varables Enfn dans la fenêtre qu leur est réservée, on peut ajouter successvement toutes les contrantes du problème en sélectonnant le bouton correspondant. Noter que ces

3 contrantes peuvent être exprmées sous la forme de plages de cellules ; cela permet par exemple d ndquer, en une seule contrante, que les cellules d une plage contenant les valeurs de premers membres (dont les adresses dovent fgurer dans «Cellule») dovent être respectvement nféreures ou égales aux cellules d une plage de cellules contenant les bornes du second («Contrante»). D où l mportance de la mse en page sgnalée précédemment. 3. Dernère étape avant le lancement du solveur, son paramétrage. Le bouton «Optons» permet d accéder à une fenêtre dans laquelle on sélectonne : «Modèle supposé lnéare», pour chosr un algorthme effcace dans la résoluton de tels problèmes, et «Supposé non négatf» pour mposer la non négatvté aux varables à détermner. Une fos revenu à la fenêtre prncpale, le bouton «Résoudre» permet d obtenr la soluton du problème.

4 Fabrcaton d'allages Une entreprse sdérurgque a reçu commande de cnq tonnes d'acer destné à la fabrcaton de carrosseres automobles. Les teneurs de cet acer en dfférents éléments chmques dovent se trouver dans les fourchettes suvantes : Elément chmque mnmale maxmale Carbone (C) 2% 3% Cuvre (Cu) 0,4% 0,6% Manganèse (Mn) 1,2% 1,65% Pour fabrquer cet acer, l'entreprse dspose de sept matères premères dont les teneurs, les quanttés dsponbles et les cours d'achat sont donnés dans le tableau suvant : Matère premère en C (%) en Cu (%) en Mn (%) Stock dsponble (kg) Coût ( /kg) Ferralle 1 2,5 0 1, ,20 Ferralle , ,25 Ferralle 3 0 0, ,15 Ferralle ,22 Ferralle ,26 Ferralle 6 0 0,4 1, ,2 Ferralle 7 0 0, ,17 Détermner les quanttés de ferralles à mélanger pour obtenr la commande souhatée par le clent au melleur coût. Modélsez le problème sous forme mathématque (caractérsez les varables à détermner, exprmez les contrantes qu'elles dovent vérfer et la foncton objectf qu'elles dovent optmser) sous la forme d'un programme lnéare (vellez à ce que la contrante sur les teneurs sot ben lnéare) Trouvez la soluton numérque de ce problème en utlsant le solveur Excel. Pour cela chargez le classeur Exercces.xls qu se trouve dans le répertore \\Nssel\work\ensegnants\Jullen\TpSolveur et complétez la feulle de l onglet Allage.

5 Logstque Il s'agt de lvrer un produt à tros clents européens (Clent 1, 2 et 3) d'une entreprse qu dspose de deux usnes de fabrcaton (Usne1 et 2). Le transport est assuré par un système logstque qu utlse un réseau de 5 plates-formes (PF1 à PF5). Les capactés de transport sur chacun des lens du réseau sont lmtées aux valeurs données dans le graphe suvant : Les quanttés de produt dsponbles en stock dans les usnes sont respectvement de 35 pour Usne 1 et 25 pour Usne 2. Les demandes des tros clents sont respectvement de 15 pour Clent 1 et pour Clent 2 et 20 pour Clent. Trouver un programme de transport qu satsfasse la demande des clents Modélsez le problème sous forme mathématque (caractérsez les varables à détermner, exprmez les contrantes qu'elles dovent vérfer et la foncton objectf qu'elles dovent optmser) sous la forme d'un programme lnéare. Le prncpe consste à ajouter deux sommets fctfs : une Source qu est connectée par un arc à chacune des 2 usnes auquel est affecté une «capacté» correspondant à la quantté en stock et un Puts sur lequel aboutt chacun des 3 clents par un arc dont la «capacté» est égale à sa demande. Il s agt alors d un problème de flot maxmal que l on peut modélser en ndquant que la quantté de produt qu transte sur chaque arc dot rester nféreure à sa capacté, que les flux sont conservés dans tous les sommets (sauf Source et Puts), et que la somme des flux arrvant au Puts dot être maxmale. Trouvez la soluton numérque de ce problème en utlsant le solveur Excel. Pour cela complétez la feulle de l onglet Logstque (sans prendre en compte le tableau des coûts). On veut mantenant satsfare la demande des clents au melleur coût global sachant que les coûts untares de fabrcaton sont de 12 dans l'usne 1 et de 10 dans l'usne 2 et que par alleurs les coûts untares de transport de sur le réseau sont donnés par le graphe suvant :

6 Il s agt alors d un problème de flot maxmal à coût mnmal. Pour le résoudre, on part de l exercce précédent en transformant sa foncton à optmser en contrante : on veut que le flot qu arrve au Puts sot être au mons égal à celu du problème précédent. Pus on écrt une nouvelle foncton économque à optmser qu porte sur les coûts logstques globaux (ndcaton : la foncton SOMMEPROD s étend aux matrces). Affectaton de personnel Chacune des sx machnes d'un ateler dot recevor un opérateur. Sx personnes ont été présélectonnées. Chacune d'elles a sub un test de productvté sur chaque machne, mesuré en pèces par heure : Productvté Machne 1 Machne 2 Machne 3 Machne 4 Machne 5 Machne 6 Opérateur Opérateur Opérateur Opérateur Opérateur Opérateur Comment affecter les opérateurs aux machnes (un opérateur par machne et une machne par opérateur) pour que le total de leurs productvtés sot la plus élevé possble? La modélsaton ne devrat plus poser de problèmes La seule partcularté c est que les varables à détermner, qu correspondent au tableau d affectaton, sont bnares : x j vaut 1 s l opérateur est affecté la machne j et 0 snon. On a donc un programme lnéare en nombres enters qu est matéralsé dans le solveur par une nouvelle contrante portant sur les varables à détermner (elles dovent être «bn»). Trouvez la soluton numérque de ce problème en utlsant le solveur Excel. Pour cela complétez la feulle de l onglet Affectaton.