Leçon énergie en mécanique du point

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1 Leçon énegie en écnique du point Si le concept d énegie est signifint dns le lngge coun *, s définition en écnique n est ps iédite, elle nécessite d bod l définition du tvil éléentie foce scléisée p un déplceent qui quntifie les échnges d énegie. L non-consevtion de l énegie à cuse des fotteent fluides ou solide peut los donne lieu ou ps à des poblèes ynt une solution nlytique. L étude de l ingénieux dispositif qu est le pln dns un odèle consevtif peet d éclici les choses. L stbilité d une position d équilibe peut enfin ête étudiée de deux nièes difféentes soit en constuisnt l éqution du ouveent et en exinnt si celle-ci v conduie à une solution bonée ou bien en étudint si l nnultion de l déivée de l énegie potentielle coespond à un xiu ou un iniu. *définitions du Lousse : l physique pécise un vocbulie! uissnce physique de quelqu'un, qui lui peet d'gi et de égi : Ête sns énegie à l fin de l jounée. Volonté tendue ves une ction déteinée ; puissnce, vigueu, foce ole : L'énegie du désespoi. Elle efus vec l denièe énegie. esonne énegique, qui l volonté d'gi (sutout pluiel) : Rsseble les énegies. Vigueu pticulièe dns l nièe de s'expie : L'énegie du style. Chez Aistote, élité effective, p opposition à l élité possible (dunis). Gndeu cctéisnt un systèe physique, gdnt l êe vleu u cous de toutes les tnsfotions intenes du systèe (loi de consevtion) et expint s cpcité à odifie l'étt d'utes systèes vec lesquels il ente en intection. (Unité S le joule.) En svoi plus su Les deux peièes définitions cofondent énegie et puissnce, dns l ièe définition l vigueu coespondit plutot à l foce, dns l sixièe l science theodynique que nous étudieons plus td u son ot à die. ) Tvil et puissnce d une foce dom=vdt Tvil eçu p le point téiel sous l effet de l foce F dns un déplceent éléentie dom = OM -OM = OM(t+dt)-OM(t) = vdt A M(t) M(t+dt) F δw = F.dOM = F.vdt B L puissnce eçue p le point téiel sous l effet de l foce F à l instnt t utou du point M(t) est = δw/dt=f.v Si > l foce est dite otice sinon elle est dite ésistnte Si v F ou si M est iobile =, l foce ne tville ps Tvil d une foce u cous d un déplceent, c est une intégle cuviligne, une soe en suivnt une coube. W C AB B A F. dom ) Exeples de clculs de tvux de foces ) Foce de fotteent su un Quipe-Rennes ks à difféentes vitesses 9k/h ou k/h F = -. v² u

2 W 9 = -. ( 9 /36)². ( ) W = -. ( /36)². ( ) Dépend du chein ou de l nièe dont le chein été pcouu W 9 / W =(9/)²=8/ = 8/ = /6 = /3 gin 33% T 9 /T = (d/9)/(d/)=/9=/9=. pete % L u lieu de L h u lieu de h ) Enegie potentielle de pesnteu Fdz = W = - de E p = g z F(z) = -de p /dz u z B B B W F. dom W de E E ( B) E ( A) E ( A) E ( B ) AB A A A Une foce est dite consevtive si son tvil ne dépend que des points initiux et finux de l tjectoie et ps du tjet ente ces points ou de l nièe dont ce tjet été pcouu, un tvil éléentie de l foce s écit los sous l foe d une difféentielle on écit dep plutôt que dep pou une ison qui ppit plus loin ; On dit encoe que l foce déive d une énegie potentielle puisque l on peut écie F(z) = -de p /dz u z Un tvil fini de A à B d une foce consevtive coespond à l diinution d énegie potentielle de A à B ) Exeple de Tvil de deux foces de tension, poulie sns sse T - g = > T - g = = - < T T T = T -g = -3 =g/3 logique sse gv sse inete 3 T = g/3 = cst W = g d/3 Tvil de T : g d/3 tvil de T : - g d/3 tvil poids ; -g d tvil poids : gd )Tvil d une foce de ppel su une dei-oscilltion Enegie potentielle élstique X est l élongtion p ppot à l longueu à vide ( sutout ps l éct à l position d équilibe) X ² ² W kxdx k k E B E A E A E B E Xx x AB ( ) ( ) ( ) ( ) AB X F(X) = - de p /dx u x = - k X u x E p = ½ kx²

3 5) Exeple du pln ) Théoèe de l puissnce cinétique, théoèe de l énegie cinétique, théoèe de l énegie écnique ) Théoèes sclies dv dv dec Fi Fi v. Fi. v ( Fi ) théoèe de l puissnce cinétique dt dt dt i i i i E W ( F ) E ( B) E ( A) W ( F ) théoèe de l'énegie cinétique AB c AB i C C AB i i i si on suppose que cetines foces déivent d'une énegie potentielle, on dit ussi que ces foces sont consevtives E ( B) E ( A) W ( F ) W ( F ) E W ( F ) C C AB ci AB nc j AB p, i AB nc j i j i j E ( B) E ( A) W ( F ) vec E E E AB nc j c, i j i théoèe de l'énegie écnique ceci explique le - de W= - de et l dointion foce consevtive c'est l'énegie écnique qui est consevée si il n'y ps de dissiption ps de foces non_consevtives los l'énegie écnique est consevée ) oblèes non consevtifs enons un coefficient μ=.6 en dehos des éflexes quelle distnce pou feine depuis 3k/h 6k/h ou 9k/h? Quelle énegie dissipée pou une voitue de tonne? éthode énegétique et RFD 3) oblèes consevtifs Retou su le poblèe du pendule siple : L tension ne tville ps, le poids déive d une énegie potentielle Teplin : l éction ne tville ps, le poids déive d une énegie potentielle Un skieu glisse depuis un point A où s vitesse est nulle et où l côte est h su un teplin de pente p ppot à l hoizontle, en B il tteint une potion en c de cecle de yon R de telle fçon que les tngentes des deux potions se ccodent, puis il en essot en C pou fie un sut de potée à déteine Résoude les deux peièes phses du ouveent gâce à l RFD pou touve l vitesse en C Retouve v( C) p consevtion de l énegie Touve l potée, une éthode énegétique peet-elle A de l clcule? h R B C D potée Ressot copié énegie potentielle de pesnteu et énegie potentielle élstique Les éthodes énegétiques peettent de déteine l éqution du ouveent sns se soucie des foces que l on n u ps à pojete su des diections pependiculies ux ctions de contct pou les fie dispîte (l diection de pojection est l diection du ouveent)

4 V) Stbilité d une position d équilibe ) Foce de ppel et iniu d énegie potentielle On det qu'il existe un dévelopeent en séie du type suivnt dep d ² Ep E p ( x) Ep ( x ) ( x )( x x ) ( x )( x x )² dx! dx² ou chcun des tees successifs sont de plus en plus petits si p exeple x-x =.. >>.² >>. F( x) F( x de dep d ² E p ( x ) ( x )( x x ) dx dx dx² x dep x ) F( x ) ( x ) dx dep si xest une position d'équilibe F(x) F( x ) donc ( x ) dx donc F( x) d² Ep ( x)( x x) dx² si l position d'équilibe est stble, foce de ppel d² Ep ( x ) dx² l pente ugente de x à x Une foce de ppel coespond à un puits de potentiel dep d ² E p ( x), ( x) dx dx ² 3 l pente ugente qund on se déplce de l guche ves l doite dns le tou elle est tout d bod tès négtive puis oins négtive puis nulle en pssnt p l position d équilibe stble puis positive puis tès positive ) Appliction : Anneu ssique su une tige fixe etenu p un essot F.u =-k(-l ) g α α E = ½ k(-l )² + g z = ½ k(-l )² + g α F() = -de /d u osition d équilibe in de Ep = l g α / k > estt; > l:=.;:=;g:=;k:=/.5;lph:=i/; > Ep:=*g**(lph)+.5*k*(-l)**; L position d équilibe est stble, oscilltion : d²/dt² = - k ( - l ) g α - = A ( t+ ) vec = (k/) Ep := 5. (. ) > plot(ep,=...);

5 TD 3) Appliction : Modèle de olécule ditoique dns un ouveent linéie ou ende copte des popiétés d une olécule polie on ssiile celle-ci un systèe de deux points téiels A et B poteus espectiveent des chges +q=+ e et -q= - e, vec =.6 et e = +,6. -9 C L distnce AB = l vleu d équilibe = 3. - en l bsence de chps extéieus. L sse de A est -6 kg; celle de B étnt tès supéieue, on dett que B este fixe et confondu vec l oigine des coodonnées O. L énegie potentielle de A en pésence de B (énegie potentielle de l olécule) est donnée p : q² U () vec n de l ode de, désignnt une constnte positive. Le second n tee epésente l énegie potentielle électosttique, le peie end copte de l existence d une foce d oigine quntique épulsive (ipénétbilité des nuges électoniques des toes en ison du pincipe de uli) 9 9 On u F = - du/d coe vu dns le cous ) Véifie gphiqueent que l llue de U() coespond à un puits de potentiel et expie en fonction des données, n, q,. En déduie U() en fonction de, n, q, et. On dev onte : n n n n q² n los U( ) q²( ) Réponse : Les tees en / n et / tendent tous les deux ves l infini en et ves en l infini. Le tee en / n en ouge pointillé doine en = son infini est plus gnd, le tee en -/ en bleu plein doine en l infini il est oins petit en vleu bsolue. Ainsi l coube les deux copoteents syptotiques signlés su l figue suivnte : / n / / n / Elle développe nécessieent un puits de potentiel ente ses deux syptotes

6 q² n du U ( ) q² n ( ) q² n d du d los U () n n n n n n n n en = position d'équilibe n ( ) q² q² n q² n q² q² n n q q q q n n n ² ² ² ² ( ) n n n n n n n n n n n n du q² d q² d q² q² ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) d d d n n ² du q² on bien ( ) ( d n n q² ) ( ) ² ² ² E U ( ) U ( ) de l olécule en fonction de n,q, et ; expie E d ) Clcule l énegie de dissocition d en ev p olécule et en kilojoules p ole de olécules; coente l ode de gndeu obtenu. 3kJ/ol Reque : pou les olécules dont les distnces inte-toiques sont coutes on onte à 5kJ/ol. l'énegie de dissocition c'est l'énegie nécessie pou csse l olécule soit pou ene sns vitesse les toes à l'infini l'un de l'ute ( = ) depuis leu position ntuelle l position d'équilibe = celà coute l'énegie E d U ( étt finl) U ( étt initil) o U ( étt finl) n n n q² q² q² n et donc Ed U ( ) q²( ) q²( ) ( ) ( ) n n n n = 3. et n= q= e=.6*.6 C=.96 C C d'pès l'énoncé on donc E d J.7 J.6*. 6* J ' A / 5 / J p olécule c est N J J J ole de olécules kj ol c'est oins que les liisons fotes de l chiie qui sont à 5kJ/ol 3) Développe U() u voisinge de selon l foule que vous veez en ths plus td dns l nnée : du ( ) d² U ( ) du ( ) d² U ( ) U ( ) U ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... U ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d! d² d d² et onte que cette position d équilibe est stble, ce que l on justifie en exinnt le signe de l foce de ppel pou une sitution physique bitieent sélectionnée. On s ppuie su les clculs suivnts : ev du ( ) d du ( ) d ² U ( ) d du ( ) d d ² U ( ) d F( ) U ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d² d d d d² d du ( ) d² U ( ) ( ) ( ) d d² du ( ) d² U ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d² du ( ) d² U ( ) copte tenu de ce que est une position d'équilibe F( ) donc ( ) et F( ) ( ) ( ) d d² On onte qu il est nécessie que d ² U ( ) d ² U ( ) q² n ( ) soit positif ce qui est le cs puisque ( ) 3 d² d² n n n n n n 3 ( n ) n n n 3 d² U q² d q² d q² q² ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) d² d ² d n ( n ) n 3 3 d² U q² q² n ( ) ( ) d² du ² On bien une foce de ppel ves l position si on pose k= ( ) > on F = - k (- ) d²

7 Dns l execice pécédent on se plce u fond du puits de potentiel en ppoxint s foe p une pbole, sotons intennt du puits pou voi si on peut exploe l infini Discussion étt lié étt de diffusion dns le cs d un ouveent dil uniqueent U ( ) Les cs possibles pou E et les vleus de possibles ssociées sont : U( ) U( ) in x E ou des énegies voisines de Ein les positions in et x sont pesque syétiques utou de étts de diffusion exploe l infini sns vitesse ou vec vitesse U( ) U( )

8 TD ) Anneu ssique su cecle etenu p un essot fixé u cente Technique de linéistion. Existence et stbilité des positions d équilibe Une sselotte de sse, peut coulisse sns fotteents su un cecle igide de yon R. Ce cecle est situé dns un pln veticl A ce point téiel est fixée l une des extéités d un essot élstique sns sse de ideu k et de longueu à vide l, dont l ute extéité est ttchée u point A du cecle situé tout en hut. Le essot est toujous tendu on donc l inféieue à R.. ) Déonte que l ngle epésenté en bs de l figue une vleu double de celle de celui qui est epésenté en hut de l figue. On utilise les ngles inscits. ) Déonte que l ngle AM, BM est doit 3) On ipose à l sselotte de n occupe que des positions où le essot este tendu Clcule l vleu liite li telle que < li epésente le citèe pécédent. Reque : On sit que les élongtions ngulies ccessibles sont incluses dns l intevlle - est toujous positif. / ; + / en conséquence ) Explique intuitiveent à quoi l on peut s ttende pou l existence des positions d équilibe et leu stbilité. 5) On utilise les gndeus éduites sns diensions et pou expie l énegie potentielle l = R et g = kr A Note que et sont bien sns diension. Note que est copis ente et et que est positif O k Clcule l énegie potentielle du systèe soe de deux tees On pend l énegie potentielle de pesnteu nulle u bs du ceceu et l énegie potentielle élstique nulle losque le essot n est ps étié. B M On ppelle que ( )=. -. On obtiend une expession dns lquelle on pivilégie ( ) p ppot à sin( ) 6) En effectue l déivée peièe. Monte que l une des positions d équilibe n existe ps toujous 7) Discute l stbilité des deux positions d équilibe en testnt le signe de l déivée seconde de l énegie potentielle pou les positions d équilibe déteinées pécédeent. On onte que l position d équilibe non veticle est toujous stble losqu elle existe. Repli le tbleu suivnt : existence et stbilité des positions = existence et stbilité de l position = à - > -

9 Donne l éqution du ouveent utou des positions d équilibe en déivnt l consevtion de l énegie on pouit ussi pojete l éqution du ouveent su u θ l Ep k( l l)² gr k(r l) gr k R ²( ) gr ² sin ² R l l l gr k R gr kr gr kr R R R kr² E de d p ²( ) ² ² ²( ) ² ² ( ) ² kr² ( ) d kr ² ² ( ) ² d kr² ( )( sin ) ( sin ) kr² ( )(sin ) (sin ) les positions d'équilibe sont sin soit ou et ( ) soit qui n'existe que si soit si g coe = on voit vec plisi que l position d'équilibe éctée n'existe que si le essot est fot kr exinons intennt l stbilité des positions d'équilibe qui est décite p le signe de l déivée seconde en l position d'équilibe considéée ttention dns ce poblèe pou une fois on ne décive ps p ppot u teps is p ppot à l vible de ² p d kr² ( )(sin ) (sin ) d ( )(sin ) (sin ) kr² d ² d d kr² (sin )(sin ) ( c os )( ) sin (sin ) ( ) kr² sin ² c os ² sin ² ² kr² c os ² ² kr² ( ) ² de ² p en kr² ( ) kr²( ) d ² g l position d'équilibe veticle est stble si - soit si le essot est fible et que l position d'équilibe éctée n'esiste ps kr de ² p ² ² ² éctée kr² ( ) kr² ( ) kr² d ² ² ² kr² kr² g de ² p si ² éctée kr d ² l position d'équillibe éctée losqu'elle ppit, ppit en étnt stble

10 TD 5) Appliction ouveent à deux vibles oint obile à l intéieu d un cône Soit C un cône de soet O, d xe de évolution Oz confondu vec l veticle scendnte et de dei-ngle u soet. Dns un systèe de coodonnées cylindiques (, l éqution = z. tn,z) C est décit p Un point téiel M de sse epose sns fotteent su l sufce intene de C, il est donc souis à son poids = - g u z et à une ction de contct nole à C N = - N u + N sin u z N> M est initileent lncé du point C de coodonnées cylindiques =, =, z = /tn vec une vitesse hoizontle et tngente à C (othodile) z (d/dt) = (d /dt) = (dz/dt) = On pose = g / Expie l loi de l dynique en coodonnées cylindiques. ojete su l ligne de plus gnde pente du cône. En déduie que pou une vleu pticulièe c de que l on expie en fonction de tn et de, le ouveent de M peut ête ciculie et unifoe. R u u Dns toute l suite une vleu quelconque ) ojete l RFD su u pou étbli une éqution lint et d /dt. Quelle conséquence en tie-t-on pou l évolution de (t)? ntepéte O 3) On utilise ici le ésultt de l question. En expint l consevtion de l énegie écnique E de M, étbli une éqution difféentielle ne contennt que d/dt et. ) En écivnt que d/dt ² est toujous positif, en déduie une inéglité qui doit ête espectée. On note = ( c/ o)² une éthode gphique, déduie de cette éqution que este toujous copis ente deux liites. Qu est-ce que cel signifie physiqueent? L inéglité pécédente devient une églité si on d/dt =. L églité est los une éqution du toisièe degé en. Une cine évidente est = (condition initile), l siplifie en une éqution du second degé et l ésoude. On onte que l éqution du second degé n qu une seule cine physique / = (+ ( + 8 )) / ( )

11 6) Discute les ouveents possibles sns clcul. Linéise l éqution du ouveent utou de l position d équilibe d d ( ²) u ² u zuz dt dt R gu N u N sin u N z z d pojection su u ² ² toujous vi dt pojection su u ² N pojection su u z z g N sin g N sin tn pojection su U ligne de plus gnde pente descendnte ² ( sin ) z g ² ( sin ) g tn g ² cette denièe éqution onte que si le ouveent est ciculie c² ( sin ) g c² tn tn bndonnons intennt toutes ces équtions pou nous concente su l consevtion de l'énegie qui ne cvontient ps N et qui est une diff du peei ode Ec+Ep=cst v² gz ² ² g ( ² ² ²) g ² ² g tn tn tn ( ² ² ²) g ² ² g ( ² ²) g ² ² g tn tn tn tn d ² ² ² ( ² ) g dt ² tn c c ² g g g tn ² tn tn ² ² ² ² ² ² g ² ² tn g ² ² ² ² ² tn tn ² tn tn ² ² tn ² c c on pose R R R² cette inéglité liite les vleus possibles de ente deix cecles l'un de yon = l'ute de yon < ou > selon que l vitesse initile est inféieue ou supéieue à l vitesse de ciculistion R² R étnt clieent solution on fctoise ( R )( R² R ) 3 le yon de ce cecle fontièe s'obtient en écivnt R R R² R c > 6) oblèe DM 8 Mouveents d'une pticule en contct vec une cuvette pbolique, utilise le concept de oent cinétique qui se vu plus td. On désie étudie les ouveents possibles d'un point téiel M, de sse, sous l'ction du chp de pesnteu g, à l'intéieu d'une cvité fixe que l'on suppose solidie d'un éféentiel teeste R (O, e x, e y, e z ) supposé gliléen. L sufce extéieue de cette cvité est un pboloïde de évolution, d'xe veticl scendnt Oz, dont l'éqution en coodonnées cylindiques (,,z) est z = vec > (Figue A l). Cette sufce étnt pfiteent lisse, le point téiel M glisse sns fotteent su. Copte tenu de l syétie du poblèe, on utilise les coodonnées cylindiques de M, l bse de pojection étnt celle de R c (O, e, e, e z ) (Figue A l).

12 On suppose l liison uniltéle, c'est-à-die que les coodonnées. Moent cinétique et z de M stisfont à l'inéglité z /. ) Expie, dns l bse de R C, l vitesse de M p ppot à R. b) Quelle est l'expession, dns l bse de R C, du oent cinétique en O, L O, p ppot à R? En déduie s pojection selon l'xe Oz. LO OM v c) Monte que l éction R qu'exece su M est contenue dns le pln OH. En ppliqunt le théoèe du oent cinétique en O, sous foe vectoielle, conseve u cous du teps. Explicite cette eltion de consevtion en fonction de siplifie l'écitue, on désigne p L cette constnte. dl dt O OM i F i onte que l pojection de L O su Oz se et. Dns l suite, pou. Enegie ) Quelle est, en fonction des coodonnées et de leus déivées, l'expession de l'énegie cinétique E k de l pticule M p ppot à R? b) Justifie l'existence d'une énegie potentielle E p dont déivent les foces extéieues gissnt su M. Expie E p en fonction de en supposnt que E p () =. c) Que peut-on die de l'énegie écnique de M dns le chp de pesnteu? 3. Discussion généle du ouveent ) Déduie de ce qui pécède une éqution du peie ode, à une seule inconnue, de l foe : effective. G( ) E, ( ) E où G( ) est positif et sns diension et où E p,ef ( ) est une énegie potentielle p ef Explicite G( ) et E p,ef ( ).

13 b) Repésente vec soin le gphe E p,ef ( ). Monte que E p,ef ( ) psse p un iniu pou une vleu de que l'on expie en fonction de L,, et g, intensité du chp de pesnteu. c) Discute, à l'ide du gphe E p,ef ( ), l ntue du ouveent de M. En déduie que l tjectoie de M su est nécessieent tcée su une égion de liitée p deux cecles définis à l'ide des constntes du ouveent et des données du poblèe. On se contente d'indique quelle éqution il conviendit de ésoude pou déteine ces deux cecles.. Etude de quelques ouveents pticulies ) A quelle condition su L l tjectoie de M su est-elle une pbole éidienne? b) Déteine les conditions initiles uxquelles il fut stisfie pou que l tjectoie de M su soit un cecle hoizontl. c) Une petite petubtion écte légèeent l coodonnée de l vleu pou lquelle E p,ef ( ) est inil. Monte que = oscille vec une péiode que l'on clcule dns le cs où = et =. On ppelle que g = 9,8.s. 5. Rélistion du contct L foce de éction qu'exece su M s'écit : R = R e n, e n étnt le vecteu unitie poté p l nole intéieue à u point M. Ecie, sous foe vectoielle, l loi fondentle ppliquée u ouveent de M p ppot à R. En déduie, en pojetnt selon e n, que le contct ne peut ête opu. 6. L expéience onte que l bille se stbilise finleent u fond de l cuvette, quelles que soient les conditions initiles du ouveent. Coente à l' ide du gphe E p,ef ( ).

14 tie A - OM e z e z. v. e e e z c z donc z. 3 b - LO OM. v... LOz L. c L liison est pfite c le glisseent est sns fotteent. L éction est donc nole à l poi. De plus, le guide est invint p ottion, tous les plns de syétie contiennent l xe Oz. Coe l éction pptient à un de ces plns, le suppot de l éction coupe l xe Oz. d L M, ex. Les deux foces qui gissent su l sse sont l éction et le poids. Toutes les deux pptiennent à dt un pln de syétie du guide. Leu oent p ppot à O est nécessieent othogonl à l xe Oz. En conclusion, le oent des foces en O suivnt Oz est nul, le oent cinétique suivnt Oz se conseve, soit : LOz L. F HG E d OM k dt F HG.. b L éction ne tville ps. L seule contibution à l énegie potentielle est le poids : E p gz (+ Cte = ) = g c - E Cte c ucune foce non consevtive ne tville. 3 E F HG. g soit E L on obtient pou l énegie potentielle effective : E p, ef F HG. g. Coe E GF p ef HG K J, L g. b - ou une quntité d énegie écnique E, coespondnt ux conditions initiles, on voit est dns un étt lié et que les seuls ouveents sont copis ente et. E E p,ef = f ( ). que l bille possibles

15 de d p, ef L 3 g in F HG L g. Reque : On pouit s ttende à = coe position d équilibe. l fut ntuelleent considée le ouveent génél de l bille, en pticulie donc L p conséquent in. On touve et en ésolvnt l intégle peièe du ouveent vec, soit E( ) E p, ef. Si L, soit. On lâche l bille sns vitesse suivnt e. b l fut, et L o coe L g c éiode d oscilltion. F HG los g. On déive p ppot à l intégle peièe. Coe., on obtient, t G E p, b g ef. On se plce en donc et.. G E E E. p, ef p, ef p, ef Coe E p, ef b g soit.. G.. E p, ef 8g F HG 8g et G b g. Finleent, l éqution du ouveent est : F HG. A.N. : T, 75 s -. est un, E p, ef... On pose los. G g L. b g, vec L F HG g E p, ef on obtient pou,. G. b g. 5 d p dt v R c b g F R g ex... En pojection su l bse de Fenet suivnt e n, on obtient R g F, vec H e, n M K. l n y ps uptue de contct si l éction este positive. R v R c b g g. Tous les tees sont positifs, c est supéieu à /. Le contct n est jis opu. 6 Les fotteents font diinue l quntité d énegie écnique donc et. Qund, L donc, on etouve l bille on fond du pboloïde.

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17 7) etites oscilltions utou d une position d équilibe non tivile Considéons le systèe suivnt poutnt siple, il v donne lieu à des clculs déjà ssez louds ; un développeent liité utou de l position d équilibe est nécessie. L xe z est oienté ves le bs. l A B k,l k,l M z z z g k( l l )sin vec tn = sin l l d ² l l tn g k ( l )sin dt² l à l'équilibe g k( l )sin d ² l l en soustynt l tn k( l )sin k( l )sin dt² d ² l l on peut ensuite écie A= - l tn A k( l )sin k( l )sin A dt² A d² d et u voisinge de l'équilibe pou A petit l tn tn ( ). A dt² d l l d k( l )sin k( l ) sin sin ( ). A d d ( ). A d l l d² l l l. A k( l )sin k( l ) sin. A dt ² ² sin. A d² A l l l k( l)sin k( l ) tn A ² dt ² tn. A d² A l l k( l )sin kl ( ) tn A ² dt ² tn. A d² A l l k( l )sin kl ( tn. A ) tn A ² dt ² d² A l ² dt² ( )sin ( tn. ) tn ( tn. ) d² A l l k( l )sin kl ( tn tn ². A sin ) kl ( A A) ² dt ² d² A l kl ( tn ². A ) kl ( ) A kl ( tn ² ) A A kl ( ) ² ² dt² l k l kl A kl A A d² A d² A k l A kl A 3 ( ) ( ) ² dt ² ² dt ² On u bien noté que le tee en A² u été négligé devnt le tee en A Repise du poblèe p l énegie :

18 l Ep gz k( l l ) gl tn k( l ) dep d sin position d'équilibe gl kl ( ) gl kl ( ) d ² d ² ² g kl ( ) sin echeche de l'éqution du ouveent pou les petites oscilltions utou de l position d'équilibe dz l d tn C E +E =cst gl tn k( l ) cst l E ( ) cst dt dt l d tn ² dt A d² A² E ( ) E ( ) cst vec A d ² dt da d² A² l E ( ) E ( ) cst d ² da d² A de ² A da on déive p ppot u teps intennt l ( ) dt dt² d ² dt l d² A de ² ( ) A dt² d ² 3 de sin sin d ² E sin 3sin ² sin ² o gl kl ( ) gl 3 kl ( ) 6 d ² ² d ² 3 de ² sin 3sin ² sin ² ( ) gl kl ( ) 6 d ² 3 sin 3sin ² sin ² kl de ² ( ) gl ( ) d ² de ² ( ) d ² gl sin 3sin sin ² kl 3 3 vec donc g kl ( ) sin ( ) de ² sin 3sin ( ) kl ( ) sin l kl ( d ² 3 sin sin 3sin sin ² kl sin ² 3 de ² ( ) kl ( sin ) ( ) d ² de ² sin ² sin ² ( ) kl ( ) d ² de ² sin ( ) kl ( ) d ² 3sin sin ² 3 kl ( ) ² ² sin l A l kl ² ² ² d A de ² d A ( ) ( dt d dt d² A k d ² A k dt² dt² 3 3 ( sin ) A ( ) A ouf! ) A ) Dns l éqution du ouveent le dl doit ête ené à l ode pou l enegie potentielle il doit ête ené à l ode ( à l déivtion de l consevtion de l énegie pou obteni l éqution du ouveent un ode sute)

19 TD 8) pendule invesé vec essot de onte L tige de longueu l est sns sse le essot spile de onte exece un couple coespondnts à l énegie potentielle ½ C ². Etbli les positions d équilibe et leu stbilité. E C ² gl de C gl sin solution = et une solution telle que C gl sin à condition que C gl d gl C glsin c l pente de g l sin à l oigine est gl E C ² gl de ² d C gl sin =C-gl d ² d de ² ( ) C gl > qund l position d'équilibe éctée n'esiste ps ( essot fot) d ² de ² chechons si ( ) qund l position d'équilibe éctée existe soit qund C d ² on veut donc C-gl pou C gl sin vec C gl C si on pose = on veut onte que < vec sin et < gl i i ( ) =... sin( ) = i= i= (-) ( i)! i (-) (i )! i... i i (-) i (-) i sin (i )! (i )! i= i= i i (-) i (-) i i i ( ) - =.. (-) ( i)! (i )! i! i! i= i= i= qui est bien négtif c une séie ltenée est du signe de son peie tee gl

20 TD 9) Systèe à poulie Une sse M est suspendue à une poulie sns sse de yon R p un fil sns sse inextensible, le fil s enoulnt su l poulie. Une tige sns sse de longueu l solidie de l poulie est unie à son extéité d une sse. Décie les éventuelles positions d équilibe et leu stbilité. Touve l pulstion d oscilltion utou de l position d équilibe stble. On suppose que qund = les cotes des deux sses sont identiques et égles à R Ensuite z= l(- ) Z=-R l E = g ( l (- ) -MR ) M z Z de /d = g ( l sin los [, ] = - - MR) position d équilibe sin =MR/(l) à condition que MR/(l)< sinon ottion pepétuelle d²e /d ²=gl > si l position d équilibe est stble c est l position qui pptient à [, /] E C = ½ l²(d /dt)²+/ M ² (d /dt)² L consevtion de l énegie donne g ( l (- ) -MR )+(½ l²+ ½ M ²) (d /dt)²=cst Et s déivée donne g ( l (sin ) -MR)+( l²+ M ²) (d² /dt²)= On écit : sin = sin + ( - )selon un dl u peie ode g ( l [ ( - )])+( l²+ M ²) (d² /dt²)= c sin =MR/(l) On pose =( - ) g l + ( l²+ M ²) (d² /dt²)= Ainsi : ² = g l /( l²+ M ²) il fut pende < / pou voi > et une éqution honique

21 V) Rélistion d un oscillteu nhonique de ² p si p le plus gnd des hsds ( x ) étit nul ussi los il fudit pousse le développeent un cn plus loin dx² 3 dep d ² Ep d Ep 3 d E p E p ( x) Ep ( x ) ( x )( x x ) ( x )( x x )² ( x 3 )( x x ) ( x)( x x) dx! dx² 3! dx! dx 3 d Ep 3 d Ep Ep ( x ) ( x 3 )( x x ) ( x )( x x ) 3! dx! dx 3 dep d Ep d Ep 3 F( x) ( x 3 )( x x ) ( x )( x x ) dx dx 3! dx On bien F(x ) pou que l'on it une foce de ppel il fut qu'elle chnge de signe en x donc fonction ipie de (x-x ) 3 dep necessieent ( 3 x ) dx d Ep F x x et ensuite il fut toujous pou voi une foce de ppel que pou x>x ( ) ce qui ipose que dx ( ) is ce sont des cs ginux Une élistion possible seit un nneu coulissnt de sse etenu p un essot pependiculie dont l position d'équilibe coesponde u essot à vide L déonsttion du cctèe non honique iplique une pojection de l RFD su l xe des x et on lisse cel X pou l deuxièe ptie de l nnée. M =O M u x l A Reque : Si l>l on un puits de potentiel unique centé su x=, soit une position d équilibe stble Si l<l, on deux positions d équilibe stbles déclées à guche et à doite et un double puits de potentiel

22 En écnique des ilieux continus : un systèe téiel est dit en équilibe isosttique si les coposntes inconnues des éléents de éduction des toseus d ction écnique qui lui sont ppliquées peuvent ête déteinées à pti des seules équtions d équilibe. Dns le cs contie on dit que l équilibe est hypesttique.

23 V) endule isochone êe ux gndes oscilltions (utilise l notion d bscisse cuviligne hos poge) On se popose de déteine l éqution de l coube le long de lquelle un point téiel de sse, souis à son poids oscille sns fotteents de fçon isochone. Un tel oscillteu est un oscillteu honique. ou cel on epèe le point M p son bscisse cuviligne s. L bscisse cuviligne s=am est l distnce lgébique pcouue depuis l oigine A jusqu u point téiel M esuée en dévidnt un ète ubn le long de l coube. Si l coube est un cecle s = Rα z ) Monte en déivnt l intégle peièe du ouveent que l condition pou qu il en soit insi est que son énegie potentielle de pesnteu soit de l foe ½ ² s² ) En églnt gz et l expession pécédente clcule dz/ds puis dx/ds en, fonction de, g et s 3) Effectue le chngeent de vible sin ( /) = ² s /g pou obteni les expessions de dx/d et de dz/d en fonction de,,g,k ) ntége les deux équtions difféentielles obtenues à l question pécédente vec les conditions initiles à = bscisse et cotes sont nulles. 5) Quel est le no de l coube obtenue. Cite deux utes phénoènes où elle intevient. Coection : ² ² ² () ds g ds ds si ² s² gz los l consevtion de l'énegie gz cst donne ² s² cst ² ss ss s ² s dt dt gz dz ² s s gz s sds gdz coe ds dx² dz² ds² dx² dz² dx s² () et() (3) ds g² ² s ² () que l'on difféentie en sin (5) g g posons los ds d () ( ) et(5) donnent (3) ( ) et(5) donnent g g sin g g dz sin d d dx sin ² d d ² ² ² ² dx ds dz ds qui s'intègent coe z A dz ² s dz dx s² dx ds g g ds g² g sin d sin d ² ² ds M dx () sin z g cst x g cst ² ² g g x sin vec les C ² ² dz cette coube pétée est une cycloide elle est l coube décite p un point d'une oue et elle est ussi l bchistochone x ² sin

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25 Bchistochone Un skieu descend une pente enneigée de A à B. l pt de A vec une vitesse nulle. B n est ps situé su l ligne de plus gnde pente ptnt de A. L descente s effectue sns fotteent dissiptif, is le skieu peut odifie s diection en s inclinnt su l pente gâce à ses skis. Quelle tjectoie le skieu doit-il epunte pou iniise le teps de pcous? A x Z A y B B x On ésout dns un pln veticl, c est plus fcile à ésoude c est plus difficile à skie z

26 on doit iniise le teps de pcous de A à B T= B Bds dt on pense los u pincipe de Fet en optique qui A A v dit que l luièe pcout le tjet qui coespond u iniu de teps de popgtion de plus v² gz v gz donc c ef ef si on isonne en tee d'indice v = et n n c gz l loi de Desctes équivlente u pincipe de Fet s'écit los n.sini=cst=n A.sin i( A) =n B.sin i( B) cef dx dz cst dz cst dz cst dx gz dx² dz² dx z dx z cst z c iniistion du teps de pcous en optique : n.sin(i) = cst o l'indice n = est l'nlogue de l'invese de l vitesse v puisque c est une constnte l vitesse de l luièe dns le vide donc p sin(i) dx nlogie cst qui se éexpie coe cst.v ou coe : cst. v v dx dy +y' ou le poblèe écnique l consevtion de l'énegie donne.g.y =/..v soit v =.g.y, oigine en A On donc cst y soit y ou k est une constnte + y ' + y ' k² k² k² k²-y k donc +y'²= soit y'²= -= = donc y ' y y y y d'ou k dy y y dx pou expie cette solution on pis l'oigine en A [x( =)= y( =)=] Véifions que l cycloide définie p x =.k ( sin ) et y k ( ) est solution de cette éqution difféentielle soit que dy k² y dx y dy sin dx ( ) on : dx =.k ( ) d et d y. k sin d d'ute pt k² k ( ) k² k ( ) k² y y on doit donc véifie que : k ( ) k ( ) sin soit que sin² (- ) ( ² )(- ) ce qui est iédit puisque sin dx On eque que l coube possède un bec en A : = pou = [x( =)= y( =)=] dy On peut intennt éponde à l question posée pou déteine l constnte d'intégtion k ; Quelle cycloide donc quelle vleu de k peet d'tteinde le point B de coodonnées (X;Y) et quelle est l vleu de que nous ppeleons qui coespond à ce point ou éponde à cette question il suffit de pose le systèe de deux équtions à deux inconnues X=. k ( F sin F) Y=/. k ( F ) ou etk sont les inconnues que l'on peut déteine gce à X et Y F F

27 éliinie ppel : On considèe un nège de petits chevux qui toune à une vitesse ngulie constnte toune dns le sens tigonoétique défini p son ât.. Le nège Les petits chevux sont à une distnce R de l xe de ottion du nège. Monte que l vitesse d un des petits chevux M est donnée p V(M) = ^ OM où O est le cente de ottion et un vecteu de diection celle du ât et de vleu lgébique, l oienttion étnt celle de l veticle scendnte. Coube pétée Cycloïde : Reque θ et t ne sont en eltion linéie que si le ouveent du cde du vélo est ectiligne unifoe Une oue de yon et de cente C oule sns glisse su l xe Oz tout en estnt dns le pln veticl O,y,z. Soit M un point lié à l oue, situé su l ciconféence. On epèe l ngle (t) = (- u y, CM) dns le sens tigonoétique. A l instnt t =, M est confondu vec l oigine O. On donc (t = ) = L vitesse de C est constnte et égle à V(C) = V(C) u z. Avec V(C) > Soit los =. u x le vecteu ottion de l oue. ) L condition l oue ne glisse ps ipose une eltion ente et v(c) lquelle? En déduie que (t) > et est une fonction coissnte ) Déteine à l instnt t : ) L position M b) Le vecteu vitesse v de M 3) Expie los v(c) en fonction de et de C =R, étnt le point géoétique de contct de l oue vec le sol et véifie l cohéence vec le ésultt pécédent ) écise v(m) u voisinge de l oigine losque M est en contct vec l xe Oy en =. Gâce à un développeent liité clcule los dy/dz. On distingue = + qui coespond à t = + et = - qui coespond à t = - y y C M O x M C z R O C x R condition d'écseent du pneu v(c)=r que l ' on note v z vt Rsin t Rt Rsin t vt ( ) y R R t R et tngente veticle coposition des ouveents de tnsltion et de ottion

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