Arithmétique. Divisibilité. PGCD et PPCM. Division euclidienne. [ édité le 24 septembre 2016 Enoncés 1

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1 [ édté le 24 septembre 206 Eocés Arthmétque Exercce 7 [ 025 ] [Correcto] O cosdère la sute (ϕ ) N défe par Dvsblté Exercce [ 087 ] [Correcto] Résoudre das Z les équatos suvates : (a) x x + 3 b) x + 2 x (a) Motrer (b) E dédure ϕ 0 = 0, ϕ = et N, ϕ +2 = ϕ + + ϕ N, ϕ + ϕ ϕ 2 = ( ) N, ϕ ϕ + = Exercce 2 [ 088 ] [Correcto] Résoudre das Z 2 les équatos suvates : (a) xy = 3x + 2y (b) x + y = 5 (c) x 2 y 2 4x 2y = 5 Exercce 3 [ 0055 ] [Correcto] Sot A u esemble de + 2 eters dstcts tous féreurs ou égaux à 2. Motrer qu l exste deux élémets de A tels que l u dvse l autre. Exercce 4 [ ] [Correcto] Pour N, o désge par N le ombre de dvseurs postfs de et par P leur produt. Quelle relato exste-t-l etre, N et P? Dvso eucldee Exercce 5 [ 089 ] [Correcto] Soet a Z et b N, o ote q le quotet de la dvso eucldee de a par b. Détermer pour tout N, le quotet de la dvso eucldee de (ab ) par b +. Exercce 6 [ 098 ] [Correcto] (a) Motrer que s r est le reste de la dvso eucldee de a N par b N alors 2 r est le reste de la dvso eucldee de 2 a par 2 b. (b) Motrer que pgcd(2 a, 2 b ) = 2 pgcd(a,b). (c) Motrer (d) E dédure N, m N, ϕ +m = ϕ m ϕ + + ϕ m ϕ m, N, pgcd(ϕ, ϕ m+ ) = pgcd(ϕ, ϕ m ) pus pgcd(ϕ m, ϕ ) = pgcd(ϕ, ϕ r ) où r est le reste de la dvso eucldee de m par. (e) Coclure PGCD et PPCM pgcd(ϕ m, ϕ ) = ϕ pgcd(m,) Exercce 8 [ 095 ] [Correcto] Détermer le pgcd et les coeffcets de l égalté de Bézout ( ) des eters a et b suvats : (a) a = 33 et b = 24 (b) a = 37 et b = 27 (c) a = 270 et b = 05. Exercce 9 [ 096 ] [Correcto] Soet a, b, d Z. Motrer l équvalece : ( u, v Z, au + bv = d) pgcd(a, b) d Exercce 0 [ 097 ] [Correcto] Motrer que le pgcd de et e peut être que, 2, 3 ou 6.

2 [ édté le 24 septembre 206 Eocés 2 Exercce [ 099 ] [Correcto] Soet d, m N. Doer ue codto écessare et suffsate pour que le système { pgcd(x, y) = d possède u couple (x, y) N 2 soluto. Exercce 2 [ 0200 ] [Correcto] Résoudre das N 2 l équato : Exercce 3 [ 020 ] [Correcto] Résoudre das N 2 les systèmes : (a) { pgcd(x, y) = 5 ppcm(x, y) = 60 Nombres premers etre eux ppcm(x, y) = m pgcd(x, y) + ppcm(x, y) = x + y (b) { x + y = 00 pgcd(x, y) = 0 Exercce 4 [ 0202 ] [Correcto] Soet a et b premers etre eux. Motrer que a (a + b) = b (a + b) = pus (a + b) ab =. Exercce 5 [ 0203 ] [Correcto] Soet a, b Z. (a) O suppose a b =. Motrer que (a + b) ab =. (b) O revet au cas gééral. Calculer pgcd(a + b, ppcm(a, b)). Exercce 6 [ 0204 ] [Correcto] Motrer que pour tout N o a : (a) ( 2 + ) (2 + ) = (b) ( ) ( + ) = Exercce 7 [ 0205 ] [Correcto] Motrer que pour tout eter N, + et 2 + sot premers etre eux. E dédure ( ) 2 + Exercce 8 [ 0206 ] [Correcto] Soet a et b premers etre eux et c Z. Motrer que pgcd(a, bc) = pgcd(a, c). Exercce 9 [ 0207 ] [Correcto] Soet a et b deux eters premers etre eux o uls. Notre but est de détermer tous les couples (u, v) Z 2 tels que au + bv =. (a) Justfer l exstece d au mos u couple soluto (u 0, v 0 ). (b) Motrer que tout autre couple soluto est de la forme (u 0 + kb, v 0 ka) avec k Z. (c) Coclure. Exercce 20 [ 0208 ] [Correcto] (a) Pour N, motrer qu l exste u couple uque (a, b ) N 2 tel que ( + 2) = a + b 2 (b) Calculer a 2 2b 2. (c) E dédure que a et b sot premers etre eux. Exercce 2 [ 0209 ] [Correcto] Soet a et b deux eters relatfs premers etre eux et d N u dvseur de ab. Motrer!(d, d 2 ) N 2, d = d d 2, d a et d 2 b Exercce 22 [ 020 ] [Correcto] O ote D() l esemble des dvseurs postfs d u eter Z. Soet a, b Z premers etre eux et ϕ: D(a) D(b) N défe par ϕ(k, l) = kl. Motrer que ϕ réalse ue bjecto de D(a) D(b) vers D(ab). Exercce 23 [ ] [Correcto] Sot N. Motrer que les eters a =.! + pour {,..., + } sot deux à deux premers etre eux.

3 [ édté le 24 septembre 206 Eocés 3 Nombres premers Exercce 24 [ ] [Correcto] Soet 2 et N la somme de eters mpars cosécutfs. Motrer que N est pas u ombre premer. Exercce 25 [ 029 ] [Correcto] Motrer que les ombres suvats sot composés : (a) avec N (b) avec Z. Exercce 26 [ ] [Correcto] Sot u aturel o ul. Motrer qu l exste toujours u ombre premer strctemet comprs etre et! + 2. Exercce 27 [ 0224 ] [Correcto] Justfer l exstece de 000 eters cosécutfs sas ombres premers. Exercce 28 [ ] [Correcto] Sot p u ombre premer, p 5. Motrer que p 2 est dvsble par 24. Exercce 29 [ ] [Correcto] O suppose que est u eter 2 tel que 2 est premer. Motrer que est ombre premer. Exercce 30 [ 0220 ] [Correcto] Soet a et p deux eters supéreurs à 2. Motrer que s a p est premer alors a = 2 et p est premer. Exercce 3 [ ] [Correcto] Soet des eters a > et > 0. Motrer que s a + est premer alors est ue pussace de 2. Exercce 32 [ 0335 ] [Correcto] Soet a, b N \ {0, } et N. O suppose que a + b est u ombre premer. Motrer que est ue pussace de 2. Exercce 33 [ 0223 ] [Correcto] Sot E = {4k k N }. (a) Motrer que pour tout E, l exste p P E tel que p. (b) E dédure qu l y a ue fté de ombre premer p tel que p = mod 4. Exercce 34 [ ] [Correcto] Motrer qu l exste ue fté de ombres premers de la forme Exercce 35 [ ] [Correcto] Sot, pour N, F = (a) Motrer, s (, m) N 2 avec m, que F F m =. (b) Retrouver à l ade du a) le fat que l esemble des ombres premers est f. Études arthmétques Exercce 36 [ 0225 ] [Correcto] Sot N, motrer Q m N, = m 2 E dédure que 2 Q et 3 Q Exercce 37 [ 02 ] [Correcto] Soet a et b deux eters relatfs tels que a 2 b 2. Motrer que a b. Exercce 38 [ 022 ] [Correcto] Sot x Q. O suppose qu l exste N tel que x Z. Motrer que x Z. Exercce 39 [ 023 ] [Correcto] Soet a, b N. O suppose qu l exste m, premers etre eux tels que a m = b. Motrer qu l exste c N tel que a = c et b = c m.

4 [ édté le 24 septembre 206 Eocés 4 Exercce 40 [ 024 ] [Correcto] O dvse u cercle e arcs égaux et o jot les pots de dvso de p e p jusqu à ce qu o revee au pot de départ. Quel est le ombre de côtés du polygoe costrut? Exercce 4 [ ] [Correcto] O étude l équato algébrque (E): x + a x + + a x + a 0 = 0 d coue x et où les coeffcets a 0, a,..., a sot supposés eters. Motrer que les solutos réelles de (E) sot etères ou rratoelles. Exercce 42 [ 0368 ] [Correcto] O ote d() le ombre de dvseurs postfs de N. Détermer u équvalet de d(k) représetat la moyee du ombre de dvseurs postfs des eters féreurs à. Exercce 43 [ 0227 ] [Correcto] Sot N \ {0, }. Motrer que est le produt de ses dvseurs o trvaux s, et seulemet s, = p 3 avec p P ou = p p 2 avec p, p 2 P dstcts. Exercce 44 [ 0228 ] [Correcto] Soet p P et α N. Détermer les dvseurs postfs de p α. Exercce 45 [ 0229 ] [Correcto] Sot N \ {0, } et = N pα k k sa décomposto prmare. Quel est le ombre de dvseurs postfs de? Exercce 46 [ 0230 ] [Correcto] Sot N \ {0, } dot la décomposto prmare est = N = p α O ote d() le ombre de dvseurs supéreurs ou égaux à de et σ() la somme de ceux-c. Motrer N N p α + d() = (α + ) et σ() = p = Exercce 47 [ 023 ] [Correcto] Sot σ: Z N qu à Z assoce la somme de dvseurs postfs de. (a) Sot p P et α N. Calculer σ(p α ). (b) Soet a, b Z premers etre eux. Motrer que tout dvseur postf d du produt ab s écrt de maère uque d = d d 2 avec d et d 2 dvseurs postfs de a et b. (c) E dédure que s a et b sot premers etre eux alors σ(ab) = σ(a)σ(b). (d) Exprmer σ() e focto de la décomposto prmare de. Exercce 48 [ ] [Correcto] [Théorème d Aubry] Sot N u eter strctemet postf. O suppose que le cercle d équato x 2 + y 2 = N possède u pot ratoel (x 0, y 0 ). O trodut (x 0, y 0 ) u pot eter obteu par arrod de (x 0, y 0 ). E étudat l tersecto du cercle avec la drote jogat (x 0, y 0 ) et (x 0, y 0 ), motrer que le cercle cotet u pot eter (x, y ). Valuato p-adque Exercce 49 [ 0226 ] [Correcto] Pour p P et Z, o ote v p () l exposat de la plus grade pussace de p dvsat. (a) Motrer que v 2 ( 000!) = 994. (b) Plus gééralemet, calculer v p (!). O rappelle que px x R, = x p Exercce 50 [ ] [Correcto] O ote P l esemble des ombres premers. Pour tout eter > 0, o ote v p () l exposat de p das la décomposto de e facteurs premers. O ote x la parte etère de x. O ote π(x) le ombre de ombres premers au plus égaux à x. =

5 [ édté le 24 septembre 206 Eocés 5 (a) Motrer que v p (!) = + p. k (b) Motrer que ( ) 2 dvse l(2) p P;p 2 p l p (c) Motrer que ( ) 2 (2) π(2). (d) Motrer que x l x = O(π(x)) quad x +. (a) O suppose qu l exste u facteur premer q de N de la forme Établr (2p... p r ) (q ) mod q (b) Coclure e explotat le pett théorème de Fermat. Pett théorème de Fermat Exercce 5 [ 0222 ] [Correcto] Sot p u ombre premer. (a) Motrer (b) E dédure que k {, 2,..., p }, p Z, p mod p ( ) p k Exercce 52 [ ] [Correcto] Sot 2 u eter. O suppose a {,..., }, a [] Motrer que est u ombre premer Exercce 53 [ ] [Correcto] [Nombres de Carmchael] Sot u eter supéreur à 2. O suppose que pour tout facteur premer p de, p 2 e dvse pas mas p dvse. Établr a Z, a a [] Exercce 54 [ ] [Correcto] O désre établr qu l exste ue fté de ombres premers de la forme 4 +. Pour cela o rasoe par l absurde et o suppose que ceux-c sot e ombre f et o les umérote pour former la lste p,..., p r. O pose alors N = (2p... p r ) 2 +

6 [ édté le 24 septembre 206 Correctos 6 Correctos Exercce : [éocé] (a) x = est pas soluto. Pour x : x x + 3 x+3 x = + 4 x Z x D(4) = {, 2, 4,, 2, 4} As S = {2, 3, 5, 0,, 3}. (b) x = 2 est pas soluto. Pour x 2 : x + 2 x x2 +2 x+2 = x x+2 Z x + 2 D(6) = {, 2, 3, 6,, 2, 3, 6}. As S = {, 0,, 4, 3, 4, 5, 8}. Exercce 2 : [éocé] (a) O a xy = 3x + 2y (x 2)(y 3) = 6 E détallat les dvseurs de 6 possbles, o obtet (b) Pour x, y Z, S = {(3, 9), (4, 6), (5, 5), (8, 4), (, 3), (0, 0), (, ), ( 4, 2)} x + y = 5 5x + 5y = xy (x 5)(y 5) = 25 E détallat les dvseurs de 25 possbles, o obtet (c) O a et doc S = {(6, 30), (0, 0), (30, 6), (4, 20), ( 20, 4)} x 2 y 2 4x 2y = 5 (x 2) 2 (y + ) 2 = 8 x 2 y 2 4x 2y = 5 (x y 3)(x + y ) = 8 E détallat les dvseurs de 8 possbles et sachat { { x y 3 = a x = a+b x + y = b y = b a 2 o obtet S = {(5, 0), (5, 2), (, 0), (, 2)} Exercce 3 : [éocé] Les eters m comprs etre et 2 peuvet s écrre m = 2 k p avec p mpar comprs etre et 2. Il y a exactemet eters mpars possble etre et 2. Pour les + eters cosdérés, l y e a doc au mos 2 pour lesquels la valeur de p est la même. Ils s écrvet 2 k p et 2 l p. Le plus pett des deux dvse l autre. Exercce 4 : [éocé] E assocat das P 2 = P P chaque dvseur d avec celu qu lu est cojugué /d, o obtet u produt de N termes égaux à. As P 2 = N Exercce 5 : [éocé] a = bq + r avec 0 r < b. ab = (bq + r + )b = qb + + b (r + ). Or 0 b (r + ) < b + doc la relato c-dessus est la dvso eucldee de ab par b +. Le quotet de celle-c est doc q. Exercce 6 : [éocé] (a) O aa = bq + r avec 0 r < b. 2 a = 2 bq+r = 2 bq+r 2 r + 2 r = (2 b )( + 2 b b(q ) )2 r + 2 r avec 0 2 r < 2 b. (b) Posos a 0 = a, a = b et défssos a 2,..., a m comme par l algorthme d Euclde avec a m = pgcd(a m, a m 2 ). O a pgcd(2 a, 2 b ) = pgcd(2 a 0, 2 a ) = pgcd(2 a, 2 a 2 ) =... = pgcd(2 a m, 2 0 ) = 2 Exercce 7 : [éocé] (a) Par récurrece sur N : Pour = : ϕ 2 ϕ 0 ϕ 2 = 0 = : ok. Supposos la proprété étable au rag. ϕ +2 ϕ ϕ 2 + = (ϕ + ϕ + )ϕ ϕ + (ϕ + ϕ ) = ϕ 2 ϕ + ϕ = HR ( ) = ( ) + Récurrece étable.

7 [ édté le 24 septembre 206 Correctos 7 (b) Par l égalté de Bézout o obtet que ϕ ϕ + = pusque la relato précédete permet d écrre uϕ + vϕ + = avec u, v Z. (c) Par récurrece sur m N Pour m = : ϕ + = ϕ ϕ + + ϕ 0 ϕ car ϕ = et ϕ 0 = 0. Supposos la proprété étable au rag (d) ϕ +m+ = ϕ (+)+m = HR ϕ m ϕ +2 +ϕ m ϕ + = ϕ m ϕ + +ϕ m ϕ +ϕ m ϕ + = ϕ m+ ϕ + +ϕ m ϕ Récurrece étable. pgcd(ϕ m+, ϕ ) = pgcd(ϕ m ϕ + ϕ m ϕ, ϕ ) = pgcd(ϕ m ϕ, ϕ ) = pgcd(ϕ m, ϕ ) car ϕ ϕ =. Par récurrece o obtet que q Nϕ m ϕ = ϕ m+q ϕ O e dédut alors pgcd(ϕ m, ϕ ) = pgcd(ϕ, ϕ r ) car o peut écrre m = q + r avec q N. (e) Suvos l algorthme d Euclde calculat pgcd(m, ) : a 0 = m, a =, a 0 = a q + a 2, a = a 2 q 2 + a 3,..., a p = a p q p + 0 avec a p = pgcd(m, ) Or pgcd(ϕ, ϕ m ) = pgcd(ϕ a0, ϕ a ) = pgcd(ϕ a, ϕ a2 ) =... = pgcd(ϕ ap, ϕ 0 ) = ϕ ap car ϕ 0 = 0. As pgcd(ϕ m, ϕ ) = ϕ pgcd(m,). Exercce 8 : [éocé] (a) pgcd(a, b) = 3 et 3a 4b = 3. (b) pgcd(a, b) = et b 8a = (c) pgcd(a, b) = 5 et 2a 5b = 5 Exercce 9 : [éocé] ( = ) Supposos d = au + bv avec u, v Z. pgcd(a, b) a et pgcd(a, b) b doc pgcd(a, b) au + bv = d. ( = ) Supposos pgcd(a, b) d. O peut écrre d = k pgcd(a, b) avec k Z. Par l égalté de Bézout, l exste u 0, v 0 Z tels que et o a alors avec u = ku 0 et v = kv 0 Z au 0 + bv 0 = pgcd(a, b) d = au + bv Exercce 0 : [éocé] 3 (2 + 4) 2 (3 + 3) = 6 doc pgcd(2 + 4, 3 + 3) 6. Exercce : [éocé] S le système possède ue soluto alors d m est ue codto écessare. Iversemet s d m alors x = d et y = m doe u couple (x, y) N 2 soluto. Exercce 2 : [éocé] Sot (x, y) N 2 u couple soluto. Posos δ = pgcd(x, y). O peut écrre x = δx et y = δy avec x y = L équato devet : + x y = x + y (x )(y ) = 0 x = ou y = As (x, y) est de la forme (δ, δk) ou (δk, δ) avec k N. Iversemet ces couples sot solutos. Exercce 3 : [éocé] (a) Sot (x, y) soluto. pgcd(x, y) = 5 doc x = 5x et y = 5y avec x, y N premers etre eux. ppcm(x, y) = 5x y = 60 doc x y = 2 d où (x, y ) {(, 2), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (2, )}. Les couples (2, 6) et (6, 2) sot à élmer car 2 et 6 e sot pas premers etre eux. Falemet, (x, y) {(5, 60), (5, 20), (20, 5), (60, 5)}. Iversemet : ok. Falemet S = {(5, 60), (5, 20), (20, 5), (60, 5)}. (b) Sot (x, y) soluto. pgcd(x, y) = 0 doc x = 0x et y = 0y avec x, y N premers etre eux. x + y = 0(x + y ) = 00 doc x + y = 0. Sachat x y =, l reste (x, y ) {(, 9), (3, 7), (7, 3), (9, )} pus (x, y) {(0, 90), (30, 70), (70, 30), (90, 0)}. Iversemet : ok. Falemet S = {(0, 90), (30, 70), (70, 30), (90, 0)}.

8 [ édté le 24 septembre 206 Correctos 8 Exercce 4 : [éocé] Posos d = pgcd(a, a + b). O a d a et d (a + b) alors d b = (a + b) a doc d pgcd(a, b) = pus d =. De même pgcd(b, a + b) =. As a (a + b) = b (a + b) = et par sute ab (a + b) =. Exercce 5 : [éocé] (a) pgcd(a, a + b) = pgcd(a, b) et pgcd(b, a + b) = pgcd(a, b) =. As (a + b) a = et (a + b) b = doc (a + b) ab =. (b) Posos δ = pgcd(a, b). O peut écrre a = δa et b = δb avec a b =. pgcd(a + b, ppcm(a, b)) = δ pgcd(a + b, ppcm(a, b )) = δ Exercce 6 : [éocé] (a) 2 + = ( + ). (2 + ) 2 = doc (2 + ) =. 2 ( + ) (2 + ) = doc (2 + ) ( + ) = Par produt (2 + ) ( 2 + ) =. (b) = (3 + 2). ( + ) = doc ( + ) =. 3 ( + ) (3 + 2) = doc (3 + 2) ( + ) =. Par produt ( ) ( + ) =. Exercce 7 : [éocé] 2 ( + ) (2 + ) = doc ( + ) (2 + ) =. O a ( ) 2 + = 2 + ( ) doc Pusque ( 2+ + ) Z, o a or ( + ) (2 + ) = doc ( ) ( ) ( + ) = (2 + ) + ( ) 2 ( + ) (2 + ) ( + ) ( ) 2 Exercce 8 : [éocé] Posos d = pgcd(a, bc) et δ = pgcd(a, c). O δ a et δ c doc δ bc pus δ d. Iversemet d a et d bc. Or d b = car d a et a b =. Doc d c pus d δ. Par double dvsblté d = δ. Exercce 9 : [éocé] (a) Théorème de Bézout. (b) Sot (u, v) Z 2 u couple soluto. O a au + bv = = au 0 + bv 0 doc a(u u 0 ) = b(v 0 v) O a a b(v 0 v) or a b = doc a v 0 v. As k Z tel que v = v 0 ka et alors a(u u 0 ) = b(v 0 v) doe a(u u 0 ) = abk pus u = u 0 + kb (sachat a 0). (c) Iversemet les couples de la forme c-dessus sot solutos. Exercce 20 : [éocé] (a) Ucté : S (a, b ) et (α, β ) sot solutos alors doc S b β alors ce qu est absurde. O e dédut b = β pus a = α Exstece : Par la formule du bôme a + b 2 = α + β 2 (b β ) 2 = (α a ) 2 = α a b β Q ( + 2) = k=0 ( ) 2 k k E séparat les termes d dces pars de ceux d dces mpars, o a avec a = E(/2) p=0 ( + 2) = a + b 2 ( ) 2 p et b = 2p E(( )/2) p=0 ) 2p + ( 2 p

9 [ édté le 24 septembre 206 Correctos 9 (b) O a ( ) a 2 2b 2 = (a + b 2) a b 2 Or e repreat les calculs qu précèdet ( 2) = a b 2 doc a 2 2b 2 = ( + 2) ( 2) = ( ) (c) La relato qu précède permet d écrre a u + b v = avec u, v Z O e dédut que a et b sot premers etre eux. Pusque d est premer et dvseur de j ou de!, l est écessaremet féreur à et doc assurémet dvseur de!. Or d dvse auss a =.! + et doc d dvse. C est absurde. Exercce 24 : [éocé] Notos 2p + le premer ombre mpar sommé. O a N = (2k + 2p + ) = ( + 2p) k=0 avec 2 et + 2p 2. As N est composé. Exercce 2 : [éocé] Ucté : S (d, d 2 ) est soluto alors pgcd(d, a) = pgcd(d d 2, a) Or d 2 a = car d 2 b et a b =, doc pgcd(d d 2, a) = pgcd(d, a) = d car d a. De même d 2 = pgcd(d, b) d où l ucté. Exstece : Posos d = pgcd(d, a) et d 2 = pgcd(d, b). O a d a et d 2 b. d a et d 2 b doc d d 2 = car a b =. d d, d 2 d et d d 2 = doc d d 2 d. Iversemet : Par l égalté de Bézout o peut écrre d = u d + v a et d 2 = u 2 d + v 2 b doc d d d 2 = Ud + v v 2 ab car d ab. Exercce 22 : [éocé] S k a et l b alors kl ab. As ϕ(d(a) D(b)) D(ab). Sot d D(ab). Posos k = pgcd(d, a) et l = pgcd(d, b). O a k D(a), l D(b) et k l = car a b =. Comme k d, l d et k l = o a kl d. De plus k = du + av et l = du + bv doc kl = du + abv d où d kl et falemet d = kl. As ϕ(d(a) D(b)) = D(ab). Sot (k, l) D(a) D(b) et (k, l ) D(a) D(b). S ϕ(k, l) = ϕ(k, l ) alors kl = k l. Comme k k l et k l = o a k k. De même k k doc k = k. De même l = l. As ϕ est jectve et falemet ϕ réalse ue bjecto de D(a) D(b) vers D(ab). Exercce 23 : [éocé] Par l absurde, supposos que a et a j (avec, j {,..., + }) e soet pas premers etre eux. Cosdéros d u dvseur premer commu à a et a j. L eter d est dvseur de a a j doc de ( j).!. Exercce 25 : [éocé] (a) = (+) 4 4 = ((+) 2 2 )((+) ) = (2+)( ). Cet eter est composé pour N car et (b) = ( 2 + 4) = ( )( ). De plus les équatos = 0, ou et = 0, ou ot pas de solutos car toutes de dscrmat égatf. Par coséquet est composée. Exercce 26 : [éocé] Cosdéros l eter! +. Celu-c est dvsble par u ombre premer p féreur à! +. S ce ombre premer p est auss féreur à alors l dvse! (car apparaît comme l u des facteurs de ce produt) et doc l dvse auss = (! + )!. Cec est absurde et doc le ombre premer e questo est au mos égal à +. Falemet, l est strctemet comprs etre et! + 2. Exercce 27 : [éocé] Cosdéros les x k = 00! + k avec 2 k 00. Ce sot 000 eters cosécutfs. Pour tout 2 k 00, o a k (00)! doc k x k avec 2 k < x k doc x k P. Exercce 28 : [éocé] O peut factorser p 2 = (p )(p + )

10 [ édté le 24 septembre 206 Correctos 0 p est mpar doc les ombres p et p + sot deux eters pars cosécutfs, l u est dvsble par 2, l autre par 4. As 8 p 2 Les eters p, p, p + sot cosécutfs, l u est dvsble par 3, ce e peut être p car p 5 premer. As 3 p 2 Ef, 3 et 8 état premers etre eux Exercce 29 : [éocé] S = ab avec a, b N alors 24 p 2 2 = (2 a )( + 2 a a(b ) ) doc 2 a 2 d où 2 a = ou 2 a = 2 ce qu mplque a = ou a =. As e possède que des dvseurs trvaux, l est premer. Exercce 30 : [éocé] Supposos que a p premer. Comme a p = (a )( + a + + a p ) o a a = ou + a + + a p =. Or p 2 et a 0 doc + a + + a p. Par coséquet a = 2. Motros mateat que p est premer. S d p alors o peut écrre p = cd pus a p = (a d ) c. S d p alors c 2 pus par le résultat précédet o obtet a d = 2 pus d =. As les seuls dvseurs de p sot et lu-même. Falemet p est premer. Exercce 3 : [éocé] O peut écrre O a alors = 2 k (2p + ) a + = b 2p+ ( ) 2p+ = ( b ( ) ) 2p b k ( ) 2p k = (b + )c avec b = a 2k. O e dédut que b + a +, or a + est supposé premer et b + > doc b + = a + pus = 2 k. k=0 Exercce 32 : [éocé] O peut écrre = 2 k (2p + ) avec k, p N et l ejeu est d établr p = 0. Posos α = a 2k et β = b 2k. O a a + b = α 2p+ + β 2p+ = α 2p+ ( β 2p+ ) O peut alors factorser par α ( β) = α + β et pusque a + b est u ombre premer, o e dédut que α + β = ou α + β = a + b. Pusque α, β, le cas α + β = est à exclure et pusque α a et β b, le cas α + β = a + b etraîe α = a et β = b Pusque a 2, l égalté α = a = α 2p+ etraîe p = 0 et falemet est ue pussace de 2. Exercce 33 : [éocé] (a) est mpar, l est doc pas dvsble par 2. S tous les ombres premers p dvsat sot tels que p = mod 4 alors = mod 4 et doc E (b) Supposos qu l y at qu u ombre f de ombres premers p p 2... p. Cosdéros = 4p p 2... p E Il exste p P E tel que p mas p p p 2... p doc p. Absurde. Exercce 34 : [éocé] Par l absurde, supposos qu l y at qu u ombre f de ombres premers de la forme O peut trodure le ombre N égal au produt de ceux-c. Cosdéros alors l eter 4N. 4N est mpar doc 2 e le dvse pas. S tous les facteurs premers de 4N sot égaux à modulo 4 alors 4N [4] ce qu est absurde. L u au mos des facteurs premers de 4N est alors de la forme et celu-c apparaît doc das le produt N. Ce facteur premer dvse alors les ombres 4N et N, l dvse doc, c est absurde! Exercce 35 : [éocé]

11 [ édté le 24 septembre 206 Correctos (a) Qutte à échager, supposos < m. O remarque que (F ) 2m = F m E développat cette relato par la formule du bôme, o parvet à ue relato de la forme F m + vf = 2 avec v Z car les coeffcets bomaux sot des eters. O e dédut que pgcd(f, F m ) = ou 2. Pusque F et F m e sot pas tous deux pars, ls sot premers etre eux. (b) Les F sot e ombre f et possèdet des facteurs premers dstcts, l exste doc ue fté de ombres premers. Exercce 36 : [éocé] ( = ) ok ( = ) S Q alors o peut écrre = p q avec p q =. O a alors q 2 = p 2 doc p 2 De plus q 2 = p 2 et p 2 q 2 = doe p 2. Par double dvsblté = p 2. 2, 3 e sot des carrés d u eter, doc 2 Q et 3 Q. Exercce 37 : [éocé] Supposos a 2 b 2. Posos d = pgcd(a, b). O a d 2 = pgcd(a, b) 2 = pgcd(a 2, b 2 ) = a 2 doc d = a pus a b. Exercce 38 : [éocé] O peut écrre x = p q avec p Z, q N et p q =. x = k Z doe q k = p. p q = doc p q =. Pusque q p o a q (par Gauss). Par sute q = et doc q = et x = p Z. Exercce 39 : [éocé] Il exste u, v Z tel que mu + v =. Aalyse : S c covet alors c = c mu+v = b u a v. A pror c Q. Sythèse : Sot c = b u a v. O a c = b u a v = a mu a v = a et de même c m = b. Pusque le ombre ratoel c possède ue pussace etère, c Z. Exercce 40 : [éocé] Le ombre de côté du polygoe costrut est le plus pett eter k N tel que kp. Posos δ = pgcd(, p). O peut écrre = δ et p = δp avec p =. kp kp.e. k. As k = = /δ. Exercce 4 : [éocé] Supposos x = p/q ue race ratoelle de l équato (E) avec p et q premers etre eux. E rédusat au même déomateur, o obtet p + a qp + + a pq + a 0 q = 0 Pusque q dvse a qp + + a pq + a 0 q, o obtet que q dvse p. Or p et q sot premers etre eux doc écessaremet q = et doc x = p Z. As les races ratoelles de (E) sot etères. Exercce 42 : [éocé] O peut écrre et e permutat les deux sommes d(k) = d(k) = d k d= k A d avec A d l esemble des multples de d qu sot féreurs à. O a évdemmet et doc Pusque o obtet l ecadremet Card A d = E(/d) d(k) = d d= d= ( ) E d x < E (x) x d(k) d= d

12 [ édté le 24 septembre 206 Correctos 2 Sachat qu l est cou que o obtet d l d(k) l Exercce 43 : [éocé] ( = ) clar ( = ) est dvsble par u ombre premer p et e peut lu être égal. O peut doc écrre = pd avec < d <. S d est premer alors o obtet la secode forme. So, l e peut qu être dvsble par p (car q d mplque que est u multple de pqd car est produt de ses dvseurs o trvaux). Le ombre d est alors de la forme d = p k. k = et k 3 sot à exclure pusque est le produt de ses dvseurs o trvaux. Il reste d = p 2 et alors = p 3 Exercce 44 : [éocé] Sot d Dv(p α ) N. Notos β la plus grade pussace de p telle que p β d. O peut écrre d = p β k avec p k. Pusque p k et p P o a p k =. Or k p α doc, par Gauss : k. Par sute d = p β avec β N. De plus d p α doc p β p α pus β α. Iversemet : ok. Exercce 45 : [éocé] Les dvseurs postfs sot les d = N pβ k k avec k N, 0 β k α k. Le chox des β k codusat à des dvseurs dstcts, l y a exactemet N (α k + ) dvseurs postfs de. Exercce 46 : [éocé] Sot d N dvseur de. Tout dvseur premer de d est auss dvseur de et c est doc l u des p,..., p N. Par sute, o peut écrre d = N = pβ avec β N. p β d doc p β d où β α. As d est de la forme d = N = pβ avec pour tout {,..., N}, 0 β α. Iversemet de tels ombres sot be dvseurs de. Il y a autat de ombres de cette forme dstcts que de chox pour les β,..., β N.Pour β, l y a α + chox possbles, au total d() = N = (α + ). De plus Par sommato géométrque Exercce 47 : [éocé] σ() = α α 2 β =0 β 2 =0 α = β =0 p β σ() =... α N β N =0 α 2 β 2 =0 N = p β pβ pβ N N p β 2 2 α N... p α + p (a) Dv(p α ) N = {, p, p 2,..., p α} doc σ(p α ) = pα+ p. (b) Sot d Dv(ab) N. Posos d = pgcd(d, a) et d 2 = pgcd(d, b). O a d Dv(a) N et d 2 Dv(b) N. Pusque a b = o a d d 2 =. Or d d et d 2 d doc d d 2 d. d = du + av et d 2 = du 2 + bv 2 doc d d 2 = dk + abv v 2 d où d d d 2. Falemet d = d d 2. Supposos d = δ δ 2 avec δ Dv(a) N et δ 2 Dv(b) N. O a d δ δ 2 et d δ 2 = doc d δ et de même δ d pus d = δ. De même d 2 = δ 2. (c) σ(ab) = d ab d = d a d 2 b d d 2 = ( ) ( ) d a d d 2 b d b = σ(a)σ(b). (d) S = p α... pα N N alors σ() = N = p α + p. Exercce 48 : [éocé] S le couple (x 0, y 0 ) est eter la cocluso est etedue. So, o peut écrre β N =0 p β N N x 0 = p 0 /d 0 et y 0 = q 0 /d 0 avec p 0, q 0 Z et d 0 N \ {0, } Cosdéros alors u couple eter (x 0, y 0 ) obteu par arrod de (x 0, y 0 ). O a D 2 = (x 0 x 0 )2 + (y 0 y 0 )2 /4 + /4

13 [ édté le 24 septembre 206 Correctos 3 La drote jogat os deux couples peut être paramétrée par { x = x 0 + λ(x 0 x 0 ) y = y 0 + λ(y 0 y 0 ) avec λ R Cette drote coupe le cercle e (x 0, y 0 ) pour λ = et recoupe ecore celu-c e (x, y ) obteu pour λ = (x 0 )2 + (y 0 )2 N 2 D 2 Pusque D 2 = N 2 2(x 0 x 0 + y 0y 0 ) + (x 0 )2 + (y 0 )2 = d d 0 avec d N et d < d 0 car D 2 <. Le ombre λ est doc de la forme d 0 k/d avec k eter et les coordoées (x, y ) sot alors de la forme x = p /d et y = q /d avec p, q Z et d N, d < d 0 S d =, le processus s arrête, so l sufft de répéter l opérato jusqu à obteto d u couple eter. Exercce 49 : [éocé] (a) v 2 ( 000!) = v 2 (500!) car 000! = ! k avec k produt de ombres mpars. v 2 ( 000!) = = 994. (b) E solat les multples de p das le produt décrvat p!, o obtet ( ) v p (!) = + v p! p p pus or avec x = /p 2 doe v p (!) = + p /p p px = x p /p = p ( ) /p + v p! p p 2 pus falemet avec Exercce 50 : [éocé] v p (!) = p p 2 p k k = l l p (a) Pour k suffsammet grad /p k = 0, la somme évoquée exste doc car elle e comporte qu u ombre f de termes o uls.! = 2..., parm les eters allat de à, l y e a exactemet /p dvsbles par p, /p 2 dvsbles par p 2, etc... doc (b) O a Pour tout p P, or 2x 2 x = 0 ou doc v p (!) = ( ) (2)! v p = (!) 2 + p k ( ) 2 = (2)! (!) 2 ( ) 2 2 p k p k ( ) 2 2 Card { k N / 2 p k > 0 } p k p k l(2) l p De plus les ombres premers dvseurs de ( ) 2 = (2)! sot dvseurs d u eter (!) 2 féreur à 2 (lemme d Euclde) et sot doc eux-mêmes féreur à 2. Il e découle ( ) 2 l(2) p l p p P;p 2 car toutes les pussaces de ombres premers terveat das la décomposto de ( 2 ) l(2) dvset p P;p 2 p l p. Notos qu e fat ce produt désge ppcm(, 2,..., 2)

14 [ édté le 24 septembre 206 Correctos 4 (c) O a ( ) 2 p P;p 2 (d) E passat au logarthme : p [ l(2) ] l p 2 l k 2 p P;p 2 p l(2) l p p P;p 2 l k π(2) l(2) À l ade d ue comparaso tégrale o obtet doc doc Par sute pus O e dédut Ajoutos 2 l(t) dt l + l k 2 l k (+) l(t) dt l k ( + ) l( + ) l k = l + O(l ) (2) = (2) π(2) l k = 2 l(2) 2 2( l ) + O(l ) 2 l k 2 l k l(2)(2) 2 l 2 = O(π(2)) x l x 2 x/2 l 2 x/2 par calculs et π(x) π(2 x/2 ) car π(x) et π(2 x/2 ) e dfféret qu au plus d ue uté et π(x) +. Falemet, ue certae satsfacto. Exercce 5 : [éocé] (a) O a doc ( ) p = p ( ) p k k k ( ) ( ) p p k = p k k Par sute p k ( p k). Or p est premer et k < p doc k p = pus p ( p k) e vertu du théorème de Gauss. (b) Par récurrece fe sur {0,,..., p } Pour = 0 : ok Supposos la proprété étable au rag {0,,..., p 2} Par la formule du bôme car pour k p. p ( ) p ( + ) p = p + k + + k ( ) p 0 k mod p Récurrece étable. Pour tout Z, l exste r {0,,..., p } tel que r p r p r mod p mod p [ p ] et Exercce 52 : [éocé] Pour tout a {,..., }, a est premer avec. E effet, u dvseur commu à a et est dvseur de a et doc de. O e dédut que est premer pusque premer avec chaque aturel strctemet féreur à lu-même. Exercce 53 : [éocé] Par hypothèse, o peut écrre = p p 2... p r avec p,..., p r ombres premers deux à deux dstcts. Sot a Z. Cosdéros {,..., r}. S p e dvse pas a, le pett théorème de Fermat assure a p [ ] p. Pusque p dvse, o a ecore a [ ] p et doc a [ ] a p S p dvse a alors p dvse auss a et doc a [ ] 0 a p.

15 [ édté le 24 septembre 206 Correctos 5 Ef, chaque p dvsat a a et les p état deux à deux premers etre eux, = p... p r dvse a a et falemet a a []. La récproque de ce résultat est vrae. Ce résultat motre que le pett théorème de Fermat e caractérse pas les ombres premers. Les ombres o premers satsfasat le pett théorème de Fermat, sot les ombres de Carmchael. Le plus pett d etre eux est 56, le suvat 05. Exercce 54 : [éocé] (a) Pusque q dvse N, o a (2p... p r ) 2 mod q O peut écrre le ombre premer q sous la forme et alors (2p... p r ) (q ) [ (2p... p r ) 2] 2+ ( ) 2+ mod q (b) Par le pett théorème de Fermat, o a auss (2p... p r ) (q ) mod q et pusque et e sot pas cogrus modulo q, o obtet ue absurdté. La décomposto e facteurs premers de N, e fat doc terver aucu ombre premer de la forme Les facteurs premers de N e peuvet doc qu être 2 et ceux de la forme 4 +. Ceux-c dvset alors 2p... p r et doc, par opératos, ls dvset auss. C est absurde. Notos qu o peut démotrer, plus smplemet, qu l exste auss ue fté de ombres premers de la forme