Sujets des projets (version 0) Informatique de Base MM009 Université Pierre et Marie Curie

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1 Sujets des projets (verson 0) Informatque de Base MM009 Unversté Perre et Mare Cure F. Hecht, X. Claeys, G. vergez Master I / sesson 1/S1, 2015/2016 Table des matères 1 Sujet : Recherche rapde d un trangle contenant un pont dans un mallage Projet 1 (promenade) Projet Sujet : Algorthme de Mallage de Delaunay Méthode optmsaton Structure de données Projet 3 : Algorthme 3 / Modéle M Projet 4 : Algorthme 3 / Modéle M Projet 5 : Algorthme 3/ Modéle M Projet 6 : Algorthme 4 / Modéle M Projet 7 : Algorthme 4 / Modéle M Projet 8 : Algorthme 4/ Modéle M Vsualsaton et optmsaton de mallage Projet Projet 10 : Optmsaton d un trajet sur une topographe quelconque Dscrétsaton et graphe Détermnaton du plus court chemn But du projet Projet 11 : Problème du voyageur de commerce Soluton ntale Méthodes d améloraton Le projet Sujet : Résoluton d une EDP par la méthode des dfférences fns et vsualsaton Projet 12/ UMFPACK Projet 13/ SuperLU Sujet 15 : Découpe d un cube en tétraèdre et vsualsaton 14 8 Annexe : Structure des fchers mallage 15 1

2 Projet Informatque de Base, MM009 2 Introducton Pour tous le projet, l faut fare un rapport sous une forme de pages web au format html d une qunzane de pages ou d un document Latex. Les Rapports et Programmes et un fcher explcaton sont a envoyer par mèl à malto: frederc.hecht@umpc.fr, et à malto:claeys@ann.jusseu.fr. Tous ces fchers sont à envoyer dans une archve tar compressé de nom : votrenom-mm009.tar.gz Ces projets sont a réalser par bnôme pour les étudants de M1, le chox des projets est fate par les ensegnants, une fos le bnôme déclarer. 1 Sujet : Recherche rapde d un trangle contenant un pont dans un mallage Un mallage conforme formé d un ensemble de n T trangles T h telle que l ntersecton de 2 trangles dstncts sot une arête commune, un sommet commun ou ren, où les l ensemble des n S sommets de T h est noté S h. FIGURE 1 exemple de mallage Le but est d écrre un algorthme de recherche d un trangle K dans un mallage convexe T h contenant un pont (x,y) en O(log 2 (n T )). 1.1 Projet 1 (promenade) Algorthme 1 Partant du trangle K, Pour les 3 arêtes (a,b ), = 0,1,2 du trangle K, tournant dans le sens trgonométrque, calculer l are des 3 trangles (a,b, p). S les tros ares sont postves alors p K (stop), snon nous chosrons comme nouveau trangle K l un des trangles adjacents à l une des arête assocée à une are négatve (les ambguïtés sont levées aléatorement). 1. Construre une classe mallage formée d un tableau de sommets et d un tableau de trangles, qu lt le fcher mallage. 2. Construre une méthode dans la classe mallage donnant le trangle K adjacent d un trangle K opposé à son sommet {0,1,2}. La complexté de cette foncton dot être constante après ben sur une unque ntalsaton en O(n T ) ou O(n T log 2 (n T )). Pour cela vous pourrez utlser le chaptre chaîne et chaînage. 3. Programmez l algorthme 1 en partant d un trangle quelconque (ajoutez une nouvelle méthode de la classe mallage). 4. Pus trouver pour chaque sommet d un autre mallage donné du même domane, le trangle le contenant. Afn de brser la complexté algorthmque, l faut utlser l asserton suvante : les sommets d un trangle sont proche car les trangles sont petts.

3 Projet Informatque de Base, MM Projet 2 Programmaton d une méthode pour trouver, rapdement un trangle proche d un pont donné en O(log(n)) Pour cela nous utlserons, un arbre quaternare pour stocker les sommets dans mallages comme sut : Algorthme 2 Sot B 0 une bote carre contenant tous les ponts du mallage. On applque la procédure récursve suvante à B 0. Sot B α la bote ndexée par α qu est une chaîne de 0,1,2 ou 3 (exemple α = ) la longueur de la chaîne est note l(α). procedure applqué à la bote B α : la bote B α content mons de 5 ponts, on les stockes dans la bote et on a fn, snon on découpe la bote B α en 4 sous botes égale noté B α0,b α1,b α2,b α3 (on stocke les 4 ponteurs vers ces botes dans la bote), et on applque la procédure au 4 nouvelles botes. Remarque : pour smplfer la programmaton de l arbre quaternare, on peut construre une applcaton qu transforme le pont de IR 2 en ponts à coordonnées entères en construsant une applcaton affne A qu transforme par exemple B 0 en [0,2 31 [ 2. Dans ce cas, les coordonnées entères permettent de lmter la profondeur de l arbre à 32 nveaux, et d utlser les opérateurs enters en nombre bnare du C comme &,, ^. Quelque remarque : décomposton bnare, sot un nombre enter l peut s écrre comme b k 2k, avec b k {0,1} et b k est appelé le k eme bt de. ( 1 << n) est égal à 2 n pour n = 0,...,31 ( & ( 1 << n)) est vra s le n eme bt de est égal à 1 pour n = 0,...,31 (( >> n) & 1) est égal à b n le n eme bt de. La numérotaton du découpage en 4 botes d un nveau k sera numéroté par N d : (b,b j ) {0,1} 2 {0,1,2,3} : N d (b,b j ) = b + 2b j. La bote b α (s elle exste) de nveau n contenant un pont de coordonnées (x,y) aura pour α = c 1...c n avec c k = N d (b 32 k,bj 32 k ) pour k = 1,..,n où les coordonnées entères assocées sont (, j) = A(x,y) et où b 32 k (resp. b j 32 k ) est le (32-k) eme bt de (resp j). L algorthme est : 1. Construre une classe mallage formé d un tableau de sommets et d un tableau de trangle, qu lt le fcher mallage. 2. Construre l arbre quaternare contenant les barycentres des trangles du mallage. 3. Trouver la bote non vde la plus pett B α(p) de l arbre contenant un pont p. 4. Nous chosrons comme trangle de départ K, l un des trangles assocées l un des barycentres de la bote B α(p). 5. Construre une méthode dans la classe mallage donnant le trangle K adjacent d un trangle K opposé à son sommet {0,1,2}. La complexté de cette foncton dot être constante après ben sur une unque ntalsaton en O(n T ) ou O(n T log 2 (n T )). Pour cela vous pourrez utlser le chaptre chaîne et chaînage. 6. Programmez l algorthme 1 en partant du trangle K s. 2 Sujet : Algorthme de Mallage de Delaunay But : générer la trangulaton de Delaunay, d un ensemble de,n p ponts de [0,1] 2 crées aléatorement. Volà deux algorthmes

4 Projet Informatque de Base, MM009 4 Algorthme 3 1. Trer les x avec l ordre σ par rapport à la norme de x. Cette ordre est telle que le pont courant x σ() sot à l extéreur du convexfé des ponts précédents {x σ( j) / j < }. 2. Ajouter les ponts x σ() un à un suvant l ordre σ pré-défn par l étape 1. Les ponts ajoutés sont toujours à l extéreur du mallage courant. Donc on peut créer un nouveau mallage du convexfé. Pour cela, l sufft de construre pour chaque arête (x a,x b ) frontères orenté (le convexe est à gauche de l arête), le trangle (x a,x σ(),x b ) s (det(x b x σ(),x a x σ() > 0 (cad. la arête (x a,x b ) est vsble du pont x σ (). 3. Pour rendre le mallage de Delaunay, l sufft d applquer la méthode optmsaton du mallage autour du ponts x σ () en rendant toutes les motfs formés de 2 trangles contenant le pont x σ () de Delaunay, et cela pour tous les ponts x k () du mallage juste après son nserton. FIGURE 2 Répresentaton graphque de l algorthme 3 Algorthme 4 1. Generer un mallage formé d un trangle, qu contendra tous les ponts du mallage future. 2. Ajouter les ponts N p un à un suvant un ordre aléatore. Les ponts ajoutés sont toujours dans un ou deux trangles. Trouvez ces trangles en utlsant l algorthme 1 et pus découpez le trangle en 3 trangle ou le quadrangle en 4 trangles. 3. Pour rendre le mallage de Delaunay, l sufft d applquer la méthode optmsaton du mallage autour du ponts x k en rendant toutes les motfs formés de 2 trangles contenant le pont x k de Delaunay, et cela pour tous les ponts x k du mallage juste après son nserton. 2.1 Méthode optmsaton Nous ferons un d échange de dagonale [s a,s b ] dans un quadrlatère convexe de coordonnées s 1,s a,s 2,s b (tournant dans le sens trgonométrque) s le crtère de la boule vde n est pas vérfé comme dans la fgure 4. Le Crtère de la boule vde dans un quadrlatère convexe s 1,s a,s 2,s b en [s 1,s 2 ] est équvalent à l négalté angulare (proprété des angles nscrts dans un cercle) : ŝ 1 s a s b < ŝ 1 s 2 s b ce qu équvalent au le crtère d échange de dagonale optmsé det( s2 s 1, s2 s b ) ou (.,.) est produt scalare de IR 2. ( sa s 1, sa s b ) > det( sa s 1, sa s b ) ( s2 s 1, s2 s b ), (1)

5 Projet Informatque de Base, MM009 5 FIGURE 3 Répresentaton graphque de l algorthme 4, où tous les ponts sont ms dans un rectangle. b b a a FIGURE 4 Échange de dagonale d un quadrlatère convexe selon le crtère de la boule vde 2.2 Structure de données Pour programmer ces algorthmes, l faut modélser sot : M-1) un trangle et connatre ses vosns, de plus, l est nécessare d avor la lste des arêtes frontères dans l algorthme 3, pour cela nous ntroduront un trangle fctf qu a un sommet à l nfn pour chaque arête frontère, et la arete frontere seront juste l ensemble de d arête des trangles tournant autour du sommet fctf. La classe Trangle pourra être du type (cette classe n est pas testé, donc un l a des erreurs) et ce ne sont que des ndcatons. class Trangle; class Sommet : publc R2 { Trqngle * t; // ponteur sur un trangle contenant se sommet...

6 Projet Informatque de Base, MM009 6 class Trangle { Sommet *sommets[3]; // tableau de tros ponteurs de type Sommet Trangle *tadj[3]; // tableau de tros ponteurs de type Trangle char nuatadj[3]; // numero des arete dans les trangle adj publc: Trangle(){ // constructeur par défaut vde... bool EstFctf () // s l un de sommet est un ponteur null { return! (sommets[0] && sommets[2] &1 sommets[3]) ;}... prvate: Trangle(const Trangle &); // nterdt la constructon par cope vod operator=(const Trangle &); // nterdt l affectaton par cope // fn de la class Trangle class Trangulaton { publc: nt nt,nv; nt ntmaxmal,nvmaxmal; Sommet *sommets; // alloue a nvmaxmal Trangle *trangles; // alloue a ntmaxmal Trangle & operator[](nt ) const {return trangles[checkt()];} Sommet & operator()(nt ) const {return sommets[checks()];} nlne Trangulaton(nt nvx) : ntmaxmal(nvx*2), nvmaxmal(nvx), nt(0),nv(0) {}... vod swap(trangle &t,nt arete); vod DecoupeEn3Trangle(Trangle &t,sommet * v); vod DecoupeEn4Trangle(Trangle &t,sommet * v); vod Optm(Trangle &t,nt som);... // vola quelque foncton utle prvate: Trangulaton(const Trangulaton &); // nterdt la constructon par cope vod operator=(const Trangulaton &); // nterdt l affectaton par cope M-2) Les sommets et la lste de sommets vosns tournant dans le sens trgonométrque ; nlne R Angle(Sommet *b,sommet *b);

7 Projet Informatque de Base, MM009 7 class SommetetAngle{ publc: Sommet *v; R angle a; SommetetAngle(Sommet *vv,sommet *from) : v(vv),a(angle(*from,*vv)){} bool operator<(const SommetetAngle & A) const { return a< A.a;)} typedef set< SommetetAngle> LSommet; typedef LSommet::terator LSterator; class Sommet: publc R2 { publc: nt num; // le numero du sommet pour debug LSommet l; // la lste des sommets vosn // tournant autour du sommet dans le sns trg // remarque, cela défn ben sur mplctement les arêtes Sommet() : R2(),num(-1), l() {} vod Set(R xx,r yy,nt n) {x= xx;y=yy;num=n;} LSterator Trouver(Sommet * pe); vod Erase(Sommet * e) ; vod Insert(Sommet * e) ; nt Delaunay(); vod gnuplot(ostream & f,nt debug=0); frend ostream & operator«(ostream & f, const Sommet & A); vod show(ostream &f) ; prvate: Sommet(const Sommet &); vod operator=(const Sommet &); // pas de cope nlne R Angle(Sommet *a,sommet *b) { R2 (AB(*a,*b); return atan2(ab.y,ab.x); } class Trangulaton { publc: nt nvmaxmal; // nombre maxmal de sommet nt nv; Sommet *sommets; Arete *aretes; lst<sommet *> thebord; Trangulaton(nt nvmax) ; // nt operator()(const Sommet & v) const {return CheckS(&v - sommets);} nt operator()(const Sommet * v) const {return CheckS(v - sommets);} Sommet & operator()(nt ){ return sommets[checks()];} // to check the bound nt CheckS(nt ) const { ASSERTION(>=0 && < nv); return ;} vod gnuplot(const strng &flename,nt debug=0); vod gnuplotfrontere(const strng &flebame); vod wrte(const strng & ); prvate: Trangulaton(const Trangulaton &); // pas de constructon par cope vod operator=(const Trangulaton &); // pas affectaton par copy vod IntBord(); vod InsertVertex(nt ); vod BuldMesh(); vod BuldVertex();

8 Projet Informatque de Base, MM009 8 M-3) une arête du mallage et ces 4 arêtes vosnes comme sur la fgure suvante class Arete { Sommet *sommets[2]; // tableau de tros ponteurs de type Sommet Arete * adj[2][2] // tableau des 2x2 aretes adjactente // adj[][j] est pour : sommet 0 ou 1 et j: 0) avant : 1) apres en tournant publc: Arete(){ // constructeur par défaut vde Sommet & operator[](nt ) const { ASSERTION(>=0 && <2); return * sommets[];} // évaluaton du ponteur -> retourne un sommet vod Set(... ) {... } prvate: Arete(const Arete &); // nterdt la constructon par cope vod operator=(const Arete &); // nterdt l affectaton par cope // fn de la class Arete class Trangulaton { publc: nt ne,nv; nt nemaxmal,nvmaxmal; Sommet *sommets; // alloue a nvmaxmal Arete *aretes; // alloue a ntmaxmal Arete & operator[](nt ) const {return Arete[CheckA()];} Sommet & operator()(nt ) const {return sommets[checks()];} nlne Trangulaton(nt nvx) : nemaxmal(nvx*3), nvmaxmal(nvx), nt(0),nv(0) sommets(new Sommet[nvmaxmal]), aretes(new Arete[nemaxmal]) {}... prvate: Trangulaton(const Trangulaton &); // nterdt la constructon par cope vod operator=(const Trangulaton &); // nterdt l affectaton par cope Avec l une de c est donné, l est possble de contrure une fcher mallage. Dans ces 6 projets suvant, une étude de la complexté des algorthmes est demandée et une vérfcaton numérque est souhaté. Une opton de vsualsaton pas à pas pour comprendre de déroulement du programme est mpératve. Pour fnr, l faut écrre un fcher mallage du type decrt dans l annexe 8.

9 Projet Informatque de Base, MM Projet 3 : Algorthme 3 / Modéle M-1 Défnr des classe trangle, Sommet, Trangulaton qu permettent de retrouver les 3 trangles adjacent a un trangles en O(1) opératon. 2.4 Projet 4 : Algorthme 3 / Modéle M-2 Défnr des classe Sommet, Trangulaton tel que pour chaque sommet, l sot possble de trouver l arête suvante ou précédant en tournant autour de sommet en O(1) opératon. Remarque, les trangles ne seront connus que «vrtuellement» (construt au vol) à partr d un angle et d un sommet. Pour évter les doublons de trangles, l sufft de remarquer qu un trangle à toujours un sommet de plus pett numéro et donc de construt le trangle que s le numéro du sommet est plus pett que les autres. Pus a la fn reconstrure les trangles pour un fcher mallage.msh. 2.5 Projet 5 : Algorthme 3/ Modéle M-3 Défnr des classes Arete, Sommet, Trangulaton tel que pour chaque arête, l on connaîtra les 4 arêtes vosnes. Remarque, les trangles ne seront connus que «vrtuellement» (construt au vol) à partr d une arête et d une orentaton. Pour évter les doublons de trangles, l sufft de remarquer est formé de 3 arêtes et comme précédemment, l sufft de construt le trangle que s le numéro d arête est plus pett que les autres pour évter les doublons. Pus a la fn reconstrure les trangles pour un fcher mallage.msh. 2.6 Projet 6 : Algorthme 4 / Modéle M-1 Défnr des classe trangle, Sommet, Trangulaton qu permettent de retrouver les 3 trangles adjacent a un trangles en O(1) opératon. 2.7 Projet 7 : Algorthme 4 / Modéle M-2 Défnr des classe Sommet, Trangulaton tel que pour chaque sommet, l sot possble de trouver l arête suvante ou précédant en tournant autour de sommet en O(1) opératon. Remarque, les trangles ne seront connus que «vrtuellement» (construt au vol) à partr d un angle et d un sommet. Pour évter les doublons de trangles, l sufft de remarquer qu un trangle à toujours un sommet de plus pett numéro et donc de construt le trangle que s le numéro du sommet est plus pett que les autres. remarque : l faut quelque peut changer l algorthme de promenade 1 car nous avons pas de trangles mas des sommets Algorthme 5 Partant d un sommet s, trouver les 2 arêtes concécutve (s,a) et (s,b) du sommet s (où a et b sont les 2 autres sommets des arêtes), tournant dans le sens trgonométrque, tel que les ares sgnées des 2 trangles A = are(a, p, s) et B = are(b, s, p) sot postve. Sot l are du trangle C = are(a,b,s) s C est négatf ou nul alors le pont est à l extereur, s C A B est postf alors on a trouver le trangle snon chosr aléatorement le nouveau pont s entre les ponts a et b et contnuer. Pus à la fn reconstrure les trangles pour un fcher mallage.msh. 2.8 Projet 8 : Algorthme 4/ Modéle M-3 Défnr des classes trangle, Arete, Trangulaton tel que pour chaque arête, l on connaîtra les 4 arêtes vosne. Remarque, les trangles ne seront connus que «vrtuellement» (construt au vol) à partr d une arête et d une orentaton. Pour évter les doublons de trangles, l sufft de remarquer est formé de 3 arêtes et comme précédemment, l sufft de construt le trangle que s le numéro d arête est plus pett que les autres pour évter les doublons. remarque : l faut quelque peut changer l algorthme de promenade 1 car non avons pas de trangles mas seulement des arêtes :

10 Projet Informatque de Base, MM Algorthme 6 Partant d une arête e de sommet (a,b). On peut supposer que p est a gauche de (a,b) pour cela échangé a et b s l are sgnée du trangle (a,b, p) est négatve. Sot (a,c1) et (b,c1) les deux arêtes du coté de p. S c1 c1 alors le pont p est extereur, snon c1 = c2 que l on notera c alors l arête est nterne, l faut chosr l arête suvante dans le trangle (a,b,c) s nécessare avec le même méthode que dans l algorthme 1. Pus a la fn reconstrure les trangles pour un fcher mallage.msh. 3 Vsualsaton et optmsaton de mallage Le but de ce projet de vsualser une foncton f du carré ] 1,1[ 2 à valeur dans IR avec une précson de ε donnée. Il faut donc construre un mallage telle que l erreur L 2 sur chaque trangle du mallage sot nféreure à ε. L algorthme de raffnement de mallage est très smple : l consste à couper les trangles d erreur trop grand en deux partes égales par rapport à une des 3 arêtes en chosssant l arête qu générera l erreur mnmal. Donc l algorthme est : 1. nsérer les trangle avec une erreur trop grande la queue 2. tant que la queue n est pas vde fare : (a) Prendre le trangle de la queue et découper le trangle en deux en chosssant la bonne arête, et ajouter les nouveaux trangles dans la queue s nécessare. L erreur sur un trangle K sera défne par : E K = f Π K ( f ) 2 K Où Π K ( f ) est la projecton L 2 (K) de f sur l espaces P 1 (K) des fonctons polynomes de degre 1 de K a valeur dans R, c est-à-dre : Π K ( f ) f = 0; (Π K ( f ) f )x = 0 (Π K ( f ) f )y = 0 K K Et vous utlserez des formules d ntegraton pour évaluer les ntégrales qu sont défnes dans org/abs/math/ Several new quadrature formulas for polynomal ntegraton n the trangle de Mark A. Taylor, Beth A. Wngate, Len P. Bos. les sources sont dans Remarque sur les formules ntégraton sur un trangle K = (A,B,C) sot F K la transformaton affne de ˆK = ((0,0),(1,0),(0,1)) dans K qu est défn par : F K : ( ˆx,ŷ) (1 ˆx ŷ)a + ˆxB + ŷc Les N ponts {ẑ 1,ẑ 2,...,ẑ N } défn sur le trangle ˆK ry les pods assocés {w 1,w 2,...,w N } sont défns dans le fcher coords.txt pour une formule ntegraton à l ordre d. La formule de quadrature sur K est défn par K g K 2 N j=1 w j g(f K (ẑ )), Cette formule est exact pour les fonctons g qu sont des polynômes de degré d. 3.1 Projet 9 Programmer l algorthme precédent pour vsualser les fonctons f 1 (x,y) = x 2 + y 2 f 2 (x,y) = x 2 + y 3 +tanh(5sn(2(y + x)) avec la bblothèque GLUT où le paramètre ε peut être changé nteractvement, et ben sur l dot être possble d affcher ou non le mallage, et la foncton sera défn va une chane de caractères et sera évalué avec nterpréteur de formule du cours. K

11 Projet Informatque de Base, MM Projet 10 : Optmsaton d un trajet sur une topographe quelconque Le prncpe est d optmser le trajet d un véhcule se déplaçant d un pont à un autre sur un terran ayant une topographe quelconque. Cette optmsaton devra être réalsée en mnmsant deux quanttés : la dstance entre le pont de départ et le pont d arrvée et la pente (postve et négatve) du trajet. Il faudra donc trouver le chemn optmal pour que le véhcule at le mons de dstance à parcourr et qu l at le mons à monter et descendre possble. 4.1 Dscrétsaton et graphe Sot Ω = [a,b] [c,d] R 2 le domane dans lequel le véhcule pourra évoluer. Sot la foncton f : Ω R assocant à un pont X = (x,y) son alttude f (X). La premère étape est la dscrétsaton de Ω. On se donne deux enters N x et N y et on défnt les ponts X j = (x,y j ) avec = 1,...,N x et j = 1,...,N y. S on note x = (b a)/(n x 1) et y = (d c)/(n y 1), on chosra N x et N y tels que x y. Les ponts (X j ), j sont les sommets du graphe assocé à Ω (on notera X l ensemble des sommets (X j ), j du graphe). On défnt ensute l ensemble A des arêtes du graphe. Pour cela, on se donne un réel δ > max( x, y). Les arêtes du graphe sont défnes par les segments σ Xn X m = (X n,x m ) 1 n,m Nx N y vérfant 0 < X n X m δ. Voc deux exemples de graphes obtenus suvant dfférentes valeurs de δ. y δ y δ x max( x, y) < δ < x 2 + y 2 x x 2 + y 2 δ < 2mn( x, y) La dernère étape pour la constructon du graphe est d affecter une valeur à chacune des arêtes. Sot l arête σ Xn X m relant les ponts X n et X m. La valeur c Xn X m (ou le coût) assocée à cette arête sera une foncton qu dépendra à la fos de la dstance X n X m ans que la valeur absolue de la pente f (X m ) f (X n ) / X n X m. Le coût c Xn X m pour aller de X m à X n (ou ben de manère équvalente de X n à X m ) par l arête σ Xn X m sera d autant plus grand que la dstance entre X m et X n sera mportante et que la valeur absolue de la pente sera grande. Par exemple, on pourrat défnr le coût ans : c Xn X m = α X n X m max( x, y) + (1 α) f (X m) f (X n ), 0 α 1. X n X m 4.2 Détermnaton du plus court chemn Sot A X le pont de départ du véhcule et B X son pont d arrvée. On défnt un chemn C allant de A à B comme une sute de sommets de X C = {A = X 0,X 1,X 2,...,X p 1,X p = B} tels que pour tout n = 0,..., p 1 on at σ Xn X n+1 A, c est-à-dre que tout segment (X n,x n+1 ) corresponde à une arête du graphe. On assoce au chemn C son coût : c C = p n=0 c X n X n +1. Le problème d optmsaton du trajet du véhcule revent donc à trouver le chemn allant de A à B dont le coût est le plus fable. Ce chemn est appelé le plus court chemn. Pour le détermner, on utlsera l algorthme de Djkstra. Sot R l ensemble des sommets restant à vster et P l ensemble des sommets déjà parcourus. On défnt auss d(x) comme le coût du plus court chemn relant X à A et p(x) le prédécesseur de X dans le plus court chemn le relant à A. L algorthme de Djkstra : Intalsaton : R = X \ {A}, P = {A}, d(a) = 0, d(x) = c AX s σ AX A et d(x) = + snon. Tant que B / P, Fare :

12 Projet Informatque de Base, MM Trouver X le sommet réalsant le mnmum de d(.) sur R. Ajouter X à l ensemble P. Enlever X à l ensemble R. Pour tout Y R tel que σ XY A, Fare : S d(x) + c XY < d(y ) Alors d(y ) = d(x) + c XY, p(y ) = X ; Fn S. Pour obtenr le plus court chemn relant A et B, l sufft alors de chemner à l envers : on regarde B, pus on sauvegarde son prédécesseur p(b), pus le prédécesseur de son prédécesseur p(p(b)),... jusqu à arrver à A. 4.3 But du projet Le but de ce projet est donc de réalser un programme utlsant GLUT permettant d affcher dans une fenêtre graphque où les sommets du graphe correspondront aux pxels de la fenêtre, dont la couleur sera donnée par la valeur de la topographe en chacuns de ces ponts. On devra pouvor vsualser en outre le plus court chemn entre deux ponts de la fenêtre obtenu par l algorthme de Djkstra. Enfn, les ponts de départ et d arrvée et dfférents paramètres de la constructon du graphe devront pouvor être modfés. Par exemple, dfférentes topographes pourront être utlsées (collnes, vallées, labyrnthes,...), la valeur de δ pourra changer et le calcul du coût par arête pourra être chos de manère à prvléger la dstance, la pente, ou les deux, en prenant par exemple une combnason convexe de ces quanttés dont la pondératon pourra être modfée par l utlsateur. Attenton, la geston de la mémore devra être partculèrement sognée, pour ne pas avor à stocker des nformatons nutles (matrces creuses...). La foncton f sera défn va une chane de caractères et sera évalué avec nterpréteur de formule du cours. 5 Projet 11 : Problème du voyageur de commerce Données : n vlles numérotées 1,2,...,n Sot d j le coût (c ce sera la dstance) entre les vlles et j. On cherche le tour de coût mnmum qu passe une fos et une seule par toutes les vlles (cycle hamltonen). Pour les tests, on trera aléatorement suvant une lo unforme les postons des vlles dans un carré S (x,y j ) sont les coordonnées de et j d j = (x x j ) 2 + (y y j ) 2 (dstance eucldenne) Algorthme à tester 5.1 Soluton ntale A1 Prendre les vlles dans l ordre 1,2,...,n A2 Partr d une vlle et chosr la plus proche pus la plus proche etc... S (1) et (k) sont les premères et dernères vlles, refermer le chemn en ajoutant l arc (k,1). A3 Partr de 3 vlles ( {1,2,3} par exemple). Supposons à une tératon qu on at les vlles ( 1, 2,..., k ) formant un cycle. Chosr une vlle j non encore étudée et la placer entre 2 vlles r, r + 1 successves du crcut actuel (1 r < k) ou ( k, 1 ) de la manère la mons coûteuse. A4 Construre l arbre de pods mnmum et parcourr 2 fos cet arbre pus enlever les vlles parcourues 2 fos ce qu donne en fat [ ] 5.2 Méthodes d améloraton B1 Echange de 2 arcs sur la soluton actuelle (vor schma) Soent 2 arcs e = (,+1), f = ( j, j +1) non consécutfs utlsés par la soluton courante H (c.a.d.) les 4 ndces, j, + 1, j + 1 sont dstncts). La nouvelle soluton H 1 consste à prendre j comme sommet suvant de, de parcourr les sommets ( j 1, j 2, ) pus d aller en j + 1 et de compléter la tournée comme dans la soluton H. Le coût C(H 1 ) de H 1 se dédut de celu de C(H) de H en ajoutant le coût des arcs (, j)( + 1, j + 1) et en retrant le coût des arcs (, + 1)( j, j + 1). On dra que H 1 amélore H s C(H 1 ) < C(H).

13 Projet Informatque de Base, MM S H 1 amélore H, remplacer H par H 1 et rechercher une nouvelle améloraton S aucune améloraton n est possble à partr de H 1 pour tous les chox possbles de 2 arcs e et f de H, fournr H comme soluton de l algorthme. B2 Enlever une vlle d une soluton actuelle et la replacer par un endrot plus ntéressant entre ( j, j + 1), c està-dre les arcs ( 1,), (, + 1) et j, j + 1 sont supprmés et les arcs ( 1, + 1), ( j,) et (, j + 1) sont créés. Pour fare cette transformaton, l faut que deux arcs (, + 1), ( j, j + 1) n est aucun sommet en commun ( c est à dre que les 4 ndces, + 1, j, j + 1 sont dstncts) utlsés par la soluton actuelle H l l l+2. j 8 FIGURE 5 fgure A3 +1 fgure A4. j-1 j+1.. j FIGURE 6 Améloraton fgure B1 j j+1 j j FIGURE 7 Améloraton B2 5.3 Le projet programmer les quatre ntalsatons et le deux méthodes d améloraton, fate une analyse smple de la complexté des algorthmes.

14 Projet Informatque de Base, MM Sujet : Résoluton d une EDP par la méthode des dfférences fns et vsualsaton Le but est de résoudre numérquement l équaton suvante : Trouver u une foncton régulère de Ω =]0,1[ 2 dans R tel que u = f, dans Ω (2) et telle que u sot nulle sur le bord du carré Ω et où l opérateur est défn par u = 2 u x u y 2. Pour cela nous utlserons une méthode aux dfférences fns. Nous allons calculé une approxmaton de la foncton u aux ponts x n,m, noté u n,m, où les ponts x n,m sont (h 1 n,h 2 m) avec h 1 = 1/N et h 2 = 1/M, pour n = 0,...,N, et m = 0,...,M. Le schéma aux dfférences fns pour approcher par d au pont nterne x n,m (c est-à-dre n dfférent de 0 ou N et m dfférent de 0 ou M), c est à dre : (n,m) {1,...,N 1} m = {1,...,M 1} d u n,m = u n 1,m + u n+1,m 2u n,m h u n,m 1 + u n,m 1 2u n,m h 2 2 Remarque u n,m est connue et nulle sur les pont du bord, c est-à-dre n {0,N} ou m {0,M}. 6.1 Projet 12/ UMFPACK = f (x n,m ). Le projet est de numéroté les nconnues du systèmes lnéare, pour construre la matrce creuse du système lnéare (où l on ne stocke que les éléments non nuls) Il exste pluseurs bblothèque sur le tole (WEB) pour résoudre de grand système lnéare creux. Vous utlserez le logcel UMFPACK, qu l faut trouver, compler, tester, valder. Afn de valder programme problème, l faut trouver des solutons du problème (2), le plus smple de de construre une soluton manufacture, c est à dre chosr un foncton analytque φ nulle sur le bord de Ω, et de calculer f = φ. Pour, fnr, vous utlserez la bblothèque GLUT, pour vsualser la représentaton 3D de votre soluton. Il faut tester votre programme, pour une famlle de N,M allant 5 à 100, fare des courbes de temps calcul, etc Projet 13/ SuperLU Le projet est de numéroté les nconnues du systèmes lnéare, pour construre la matrce creuse du système lnéare (où l on ne stocke que les éléments non nuls) Il exste pluseurs bblothèque sur le tole (WEB) pour résoudre de grand système lnéare creux. Vous utlserez le logcel SuperLU, qu l faut trouver, compler, tester, valder. Afn de valder programme problème, l faut trouver des solutons du problème (2), le plus smple de de construre une soluton manufacture, c est à dre chosr un foncton analytque φ nulle sur le bord de Ω, et de calculer f = φ. Pour, fnr, vous utlserez la bblothèque GLUT, pour vsualser la représentaton 3D de votre soluton. Il faut tester votre programme, pour une famlle de N,M allant 5 à 100, fare des courbes de temps calcul, etc... 7 Sujet 15 : Découpe d un cube en tétraèdre et vsualsaton Le but est très smple, trouver les 74 découpes du cube en tétraèdres, et vsualser ces découpes avec OpenGL/GLUT. Les découpes sont des parttons du cube telle que : 1. les sommets des tétraèdres sont des sommets du cube. 2. le mallage est conforme, c est à dre que l ntersecton de deux tétraèdres dfférents (supposés fermés) est sot (a) une face commune aux 2 tétraèdres (b) une arête commune aux 2 tétraèdres (c) un sommet commun aux 2 tétraèdres (d) l ensemble vde. Pour ce fare, l est conseller de construre l ensemble de tétraèdre possble, et de décrre les relatons de compatblté entre les faces. Queston bonus, fare la même chose en dmenson 4 (dur).

15 Projet Informatque de Base, MM Annexe : Structure des fchers mallage We can read from Fg. 8 and mesh_sample.msh as n Table 1 where n v s the number of vertces, n t number of trangles and n s the number of edges on boundary. For each vertex q, = 1,,n v, we denote by (q x,q y) the x-coordnate and y-coordnate. Each trangle T k,k = 1,,10 have three vertces q k 1, q k 2, q k 3 that are orented n counterclockwse. The boundary conssts of 10 lnes L, = 1,,10 whose tps are q 1, q 2. In the left fgure, we have the followng. n v = 14, n t = 16, n s = 10 q 1 = ( , )... q 14 = ( , ) The vertces of T 1 are q 9, q 12, q The vertces of T 16 are q 9, q 10, q 6. The edge of 1st sde L 1 are q 6, q The edge of 10th sde L 10 are q 10, q 6. FIGURE 8 mesh by buldmesh(c(10)) Contents of fle Explanaton n v n t n e q 1 x q 1 y boundary label= q 2 x q 2 y boundary label= q 14 x q 14 y boundary label= regon label= regon label= regon label= boundary label= boundary label= boundary label=1 TABLE 1 The structure of mesh_sample.msh