Chapitre 3. Le théorème de Gauss

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1 Chpite Le théoème de Objectif emédiie. mploye le théoème de pou ésoude des poblèmes de distibutions de chges continues fin de détemine le chmp électiue. Le flux électiue Le chmp électiue poduit p des chges peut ête visulisé p les lignes de chmp électiue. Les lignes de chmp électiue obéissent ux ègles suivntes: 1. Les lignes de chmp électiue ptent des chges positives et se teminent su les chges négtives.. Les lignes de chmp électiue ne se coisent jmis.. Les lignes de chmp sont pllèles à l diection du chmp électiue en chue po. 4. Le nombe de lignes de chmp électiue p unité de sufce est popotionnel à l gndeu du chmp électiue en chue po. Le flux électiue donne une indiction du nombe de lignes de chmp électiue tvesnt une sufce. Pou un chmp électiue unifome, le flux électiue tvesnt une sufce pependiculie u chmp électiue se clcule simplement vec Φ A où Φ est le flux électiue en newtons mètes cés p coulomb, est le chmp électiue en newtons p coulomb et A est l sufce pependiculie en mètes cés. A Note: Le cs où un chmp électiue unifome tvese une sufce (plne) pependiculie illuste l sitution l plus simple pou le clcul du flux électiue.

2 Chpite : Le théoème de Pge C- Si l sufce n'est ps pependiculie u chmp électiue mis ue le chmp électiue est unifome, l pojection de l sufce dns un pln pependiculie u chmp électiue donne un flux électiue ui se clcule encoe simplement vec Φ A où Φ est le flux électiue en newtons mètes cés p coulomb, est le chmp électiue en newtons p coulomb et A est l pojection de l sufce su un pln pependiculie (u chmp électiue unifome) en mètes cés. A Note: Le nombe de lignes de chmp électiue tvesnt l pojection d'une sufce su un pln pependiculie (u chmp électiue unifome) est le même. Pou un chmp électiue unifome, le flux électiue A se clcule vec θ Φ A A cosθ où Φ est le flux électiue en newtons mètes cés p coulomb, est le vecteu chmp électiue en newtons p coulomb, A est le vecteu sufce en mètes cés, est le chmp électiue en newtons p coulomb, A est l sufce en mètes cés et θ est l'ngle ente et A en degés. Note: Le vecteu A est diigé pependiculiement à l sufce. 1. Un chmp électiue unifome de 4 10 newtons p coulomb tvese une sufce de 4 cm. ) Quel est le flux électiue tvesnt l sufce si l'ngle ente le chmp électiue et l nomle à l sufce est de 0? b) Quel est le flux électiue tvesnt l sufce si l'ngle ente le chmp électiue et l nomle à l sufce est de 0? c) Quel est le flux électiue tvesnt l sufce si l'ngle ente le chmp électiue et l nomle à l sufce est de 60?

3 Chpite : Le théoème de Pge C- d) Quel est le flux électiue tvesnt l sufce si l'ngle ente le chmp électiue et l nomle à l sufce est de 90? Démonsttion du théoème de Si le chmp électiue n'est ps unifome ou si l sufce n'est ps plne, le flux électiue se clcule vec Φ où Φ est le flux électiue en newtons mètes cés p coulomb, est le vecteu chmp électiue en newtons p coulomb et est le vecteu élément de sufce infinitésiml en mètes cés. θ Sufce de Cette égtion est souvent simplifiée p l géométie de l sufce ou l symétie du chmp. L sufce de est une sufce femée choisie pou ue l'ngle soit de 0 ou 90 ente et ptout à l sufce, insi on u 0 ou. P exemple, une pticule chgée poduit un chmp électiue dil utou d'elle. Dns ce cs, l sufce de est une sphèe vec l pticule u cente. Le chmp électiue à l sufce de l sphèe entount une pticule chgée est constnt, insi, le flux électiue net (pou une sufce femée) est ( Φ) net ( 4 π ) Sufce de Sufce de où ( Φ ) net est le flux électiue net en newtons mètes cés p coulomb, est le vecteu chmp électiue en newtons p coulomb, est le vecteu élément de sufce infinitésiml en mètes cés, est le chmp électiue en newtons p coulomb, est l élément de sufce infinitésiml en mètes cés et est le yon de l sufce de en mètes. À l'ide de l expession du chmp électiue pou une pticule chgée, on k ( Φ) net ( 4 π ( 4 π ) 4 π ε0 4 π ε0 ) ε 0

4 Chpite : Le théoème de Pge C-4 où est le chmp électiue en newtons p coulomb, k est l constnte de l loi de Coulomb (8, N m /C), est l chge à l éieu de l sufce de en coulombs, ε 0 est l pemittivité du vide (8, C /N m ), est le yon de l sufce de en mètes et ( Φ ) net est le flux électiue net en newtons mètes cés p coulomb. Ce denie ésultt, obtenu pou une sphèe entount une chge seule, est vlide pou n'impote uelle sufce femée entount une distibution de chge. Cette eltion s'ppelle théoème de. Le théoème de donne l eltion ente l chge totle à l'éieu d'une sufce femée et le flux électiue net (tvesnt cette sufce femée), soit Sufce de ε0 où est le vecteu chmp électiue en newtons p coulomb, est le vecteu élément de sufce infinitésiml en mètes cés, est l chge à l éieu de l sufce de en coulombs et ε 0 est l pemittivité du vide (8, C /N m ). Le théoème de set génélement à touve l'expession du chmp électiue ou le flux électiue.. Soit l distibution de chge et les sufces femées ci-joes vec les vleus de chge suivntes: µc, -0 µc, +5 µc et 4-15 µc. S 1 1 S 4 S ) Quel est le flux électiue tvesnt l sufce S 1? S 4 b) Quel est le flux électiue tvesnt l sufce S? c) Quel est le flux électiue tvesnt l sufce S? d) Quel est le flux électiue tvesnt l sufce S 4?. Soit un fil ectiligne de longueu infinie chgé unifomément. L densité linéie de chge du fil est λ C/m. Note: L sufce de pou un fil ectiligne est un cylinde femé vec le fil u cente. ) Quelle est l'expession du flux électiue poduit p une longueu l de fil? b) Quel est le flux électiue poduit p une longueu de 0 cm de fil?

5 Chpite : Le théoème de Pge C-5 c) Quelle est l'expession du chmp électiue à une distnce du fil? d) Quelle est l gndeu du chmp électiue à l distnce de 5 cm du fil? Les isolnts chgés Les chges sont immobiles à l'éieu d'un isolnt pfit; il peut y voi l pésence de chges et d'un chmp électiue à l'éieu d'un isolnt pfit en éuilibe électosttiue. Le théoème de pemet de clcule le chmp électiue pou les distibutions de chges ynt une géométie simple. L sufce de employée possède, comme vnt, l même symétie ue l distibution de chge. Pou une distibution de chge à symétie sphéiue, on emploie une sufce de de fome sphéiue dont le cente coïncide vec celui de l sphèe isolnte. Pou une sphèe isolnte ynt une densité volumiue de chge constnte, l densité volumiue de chge est los Q Q ρ V 4 π où ρ est l densité volumiue de chge en coulombs p mète cube, Q est l chge totle de l sphèe chgée en coulombs, V est le volume de l sphèe chgée en mètes cubes et est le yon de l sphèe chgée en mètes. L'expession du chmp électiue à l'extéieu de l sphèe isolnte est touvée à l'ide d'une sufce de ynt un yon plus gnd ue celui de l sphèe isolnte chgée. Sufce de Sufce Soit l isolnt de Sufce de A Q 4 π ε0 ( 4 π ) k Q Q ε0 où est le vecteu chmp électiue en newtons p coulomb, est le vecteu élément de sufce infinitésiml en mètes cés, est le chmp électiue en newtons p coulomb, A est l sufce en mètes cés, Q est l chge totle de l sphèe chgée en coulombs, ε 0 est l pemittivité du vide (8, C /N m ) est le yon de l sufce de en mètes et k est l constnte de l loi de Coulomb (8, N m /C). L'expession du chmp électiue à l'éieu de l sphèe isolnte est touvée à l'ide d'une sufce de ynt un yon plus petit ue celui de l sphèe isolnte chgée. >

6 Chpite : Le théoème de Pge C-6 L densité volumiue de chge set à détemine l untité de chge à l'éieu de l sufce de, soit 4 π ρ 4 Q π Q 4 π Sufce de l isolnt Sufce de < où est l chge à l éieu de l sufce de en coulombs, est le yon de l sufce de en mètes, ρ est l densité volumiue de chge en coulombs p mète cube, Q est l chge totle de l sphèe chgée en coulombs et est l yon de l sphèe chgée en mètes. Ainsi, on Sufce de A Q 4 π ε0 ( 4 π ) ε k Q 0 Q ε0 où est le vecteu chmp électiue en newtons p coulomb, est le vecteu élément de sufce infinitésiml en mètes cés, est le chmp électiue en newtons p coulomb, A est l sufce en mètes cés, est le yon de l sufce de en mètes, est l chge à l éieu de l sufce de en coulombs, ε 0 est l pemittivité du vide (8, C /N m ), Q est l chge totle de l sphèe en coulombs, est l yon de l sphèe en mètes et k est l constnte de l loi de Coulomb (8, N m /C). Pou, le chmp électiue clculé p l'une ou l'ute des expessions est le même. k Q k Q k Q 4. Soit une sphèe isolnte vec un yon de 1 cm et une densité volumiue de chge de 8 µc/m. ) Quelle est l chge totle de l sphèe isolnte? b) Quelle est l gndeu du chmp électiue à une distnce de 15 cm du cente de l sphèe?

7 Chpite : Le théoème de Pge C-7 c) Quelle est l chge à l'éieu d'une sufce de ynt un yon de 6 cm? d) Quelle est l gndeu du chmp électiue à une distnce de 6 cm du cente de l sphèe? 5. Soit un cylinde isolnt de longueu infinie vec un yon de 1 cm et une densité volumiue de chge de 8 µc/m. ) Quelle est l'expession du chmp électiue à l'extéieu du cylinde isolnt à l distnce de l'xe du cylinde? b) Quelle est l gndeu du chmp électiue à l'extéieu du cylinde en un po situé à 15 cm de l'xe du cylinde? c) Quelle est l'expession du chmp électiue à l'éieu du cylinde isolnt à l distnce de l'xe du cylinde? d) Quelle est l gndeu du chmp électiue à l'éieu du cylinde en un po situé à 6 cm de l'xe du cylinde? Les conducteus chgés Le chmp électiue à l'éieu d'un conducteu est nul si les chges sont immobiles. n effet, s'il y vit un chmp électiue dns le conducteu, les électons libes se déplceient. Donc, en électosttiue (losue les chges sont immobiles), le chmp électiue dns les conducteus est toujous nul. On monte ue le chmp électiue pès de l sufce d'un conducteu en éuilibe électosttiue est pependiculie à cette sufce. n effet, si le chmp électiue n'étit ps pependiculie à l sufce, il y uit une composnte pllèle à l sufce ui cuseit un déplcement des électons libes situés à l sufce du conducteu. Sufce de Sufce du conducteu On monte églement ue l'éieu du conducteu est neute et ue toute l chge se touve su l sufce du conducteu. n effet, en pennt une sufce de juste sous l sufce du conducteu, le flux électiue net devient nul (puisue le chmp électiue est nul dns un conducteu) et donc l untité nette de chges est nulle à l'éieu du conducteu. Dns le cs où il y uit une chge située dns une cvité isolée à l'éieu d'un conducteu, une chge de gndeu égle et opposée est induite su l fce éieue de l cvité fin ue l chge nette à l'éieu du conducteu soit encoe nulle. Q

8 Chpite : Le théoème de Pge C-8 Le théoème de set mennt à touve l'expession du chmp électiue pès de l sufce d'un conducteu. L sufce de choisie est un cylinde vec les extémités pllèles à l sufce du conducteu (l'une u-dessus et l'ute endessous). Le flux électiue tvese pependiculiement l'extémité extéieue du cylinde. Alos, on A Sufce du conducteu Sufce de ( ) Φ net σ A A ε0 σ ε0 où ( Φ ) net est le flux électiue net en newtons mètes cés p coulomb, est le chmp électiue en newtons p coulomb, A est l sufce en mètes cés, σ est l densité sufciue de chge en coulombs p mète cé et ε 0 est l pemittivité du vide (8, C /N m ). 6. Une sphèe conductice ynt un yon de 8 cm pote initilement une chge de 80 µc. P l suite, une chge ponctuelle de -0 µc est oduite u cente d'une cvité sphéiue ynt un yon de,5 cm à l'éieu de l sphèe. ) Quelle est l gndeu du chmp électiue pès de l sufce extéieue de l sphèe conductice? b) Quelle est l gndeu du chmp électiue pès de l sufce éieue de l sphèe conductice (dns l cvité)? c) Quelle est l chge totle su l sufce éieue de l cvité de l sphèe conductice? d) Quelle est l chge totle su l sufce extéieue de l sphèe conductice? 7. Un cylinde ceux et conducteu pote initilement une densité linéie de chge de 9 µc/m. Le yon du cylinde est de cm. P l suite, une tige mince ynt une densité linéie de chge de 5 µc/m est entièement glissée u cente du cylinde ceux. L tige et le cylinde ont, tous les deux, une longueu infinie. ) Quelle est l gndeu du chmp électiue pès de l sufce extéieue du cylinde vnt ue l tige chgée soit glissée à l'éieu? b) Quelle est l densité linéie de chge potée p l sufce extéieue du cylinde ceux pès ue l tige chgée soit glissée à l'éieu? c) Quelle est l gndeu du chmp électiue pès de l sufce extéieue du cylinde pès ue l tige chgée soit glissée à l'éieu? d) Quelle est l gndeu du chmp électiue à cm du cente du cylinde pès ue l tige chgée soit glissée à l'éieu?

9 Chpite : Le théoème de Pge C-9 Réponses 1. ) 1,6 N m /C b) 1,86 N m /C c) 0,8 N m /C d) 0 N m /C. ) 9, N m /C b) -, N m /C c) 0 N m /C d) -1, N m /C λ l k λ. ) Φ b) 11, N m /C c) d) N/C ε0 4. ) 57,91 nc b),16 10 N/C c) 7,8 nc d) 18,10 10 N/C ρ R ρ 5. ) b) 4,9 10 N/C c) d) 7,1 10 N/C ε 0 ε 0 6. ) 84, N/C b) 88, N/C c) +0 µc d) +60 µc 7. ) 5, N/C b) 14 µc/m c) 8, N/C d) 4, N/C Tous doits ésevés, Richd Fdette