0 Rappels sur fonctions et graphes ( )

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1 Rappls sur foctios t graphs U foctio f défii sur u itrvall I d R prmt d fair corrspodr à tout élémt d I u, f das l pla mui d u rpèr. Ls rél. O appll graph d f l smbl ds poits ombrs f ( ) pour I sot ls valurs d f. U maimum d f st u rél égal à u valur d f, soit f ( ), t tll qu pour tout autr élémt d I, o ait f f ( ). O défiit d mêm la otio d miimum, t d maimum t miimum rlatifs. L istc d maimum t d miimum dépd d la foctio t d l itrvall. La dérivé d u foctio f u poit st la limit lorsqu td vrs du tau d accroissmt f f. C drir st l cofficit dirctur d la cord du graph joigat ls poits d abscisss t. O sait qu la dérivé d f, qu l o ot f st l cofficit dirctur d la tagt au graph d f. La dérivé prmt aussi d idiqur l ss d variatio d la foctio f par l étud d so sig, ll prmt par voi d coséquc d détrmir, s ils istt, ls trmums. O put grâc à cla calculr l équatio d la tagt au graph d f qui st doé par y = f + f Efi, o défiit sas pi ds dérivés d ordr supériur, t o rappll ls formuls usulls du calcul ds dérivés : u + v = u + v uv = u v + uv λ R λ = ( λu) = λu u u v uv = v v N = uov u v v = Ls foctios usulls d l aalys a) Ls foctios trigoométriqus. O rappll ici ls foctios sius, cosius t tagt, lurs graphs, l crcl trigoométriqu, t qulqus formuls t valurs à coaîtr pour ls ligs π π π π 3π π trigoométriqus d π, π,,,,,,. Cs foctios sot périodiqus, l sius t la tagt sot ds foctios impairs, tadis qu l cosius st impair.

2 Il st importat d savoir dssir sas trop réfléchir, t sas rcours à la calcultt graphiqu, ls graphs ds foctios trigoométriqus, lurs tagts, lurs trmums, lurs poits d iflio. O put rmarqur sur cs mpls qu il y a cocomitac tr ls faits suivats : Lorsqu la courb st au-dssus d touts ss tagts, la dérivé scod st positiv ou ull, t réciproqumt. Aisi, la dérivé scod d u foctio idiqu la covité ou la cocavité d u graph. Par voi d coséquc, u poit d iflio, qui st autr qu u poit où la courb travrs sa tagt, st aussi u poit où la dérivé scod s aul chagat d sig Cs phéomès sot vrais pour touts ls foctios qui ot au mois du dérivés succssivs, t l o put vérifir aussi qu u dérivé scod positiv impliqu qu l arc d courb st au-dssous d la cord qui l sous-td. b) La foctio logarithm épéri. La foctio l st défii sur fodamtal, qui la défiit, s résum à : * R +, t sa propriété Pour tout rél l = t l = >, O déduit évidmmt qu la foctio l st croissat, qu so graph st cocav, o l dssi avc ss propriétés t à l ifii. O rmarqu, si l o prd ds valurs d la foctio l, ou s il l o fait dssir l graph par u machi, so trêm mollss à l ifii. Cla s prim obsrvat qu la foctio l td vrs +, t c pour tout rél >. Il faut otr toutfois qu l graph d la foctio logarithm admt u asymptot vrtical d équatio =, mais pas d maimum, pas d asymptot horizotal puisqu ll td vrs + avc. Il ist u uiqu rél vérifiat l =, l istc résult du fait qu la foctio l vari d à + t l uicité résult d la strict mootoi. O sait qu, Atttio, la suit ds décimals st pas périodiqu! Efi, o déduit ds propriétés défiissat l la célèbr propriété algébriqu : Pour tous ls réls a t b strictmt positifs, o a l ab = l a + l b c) La foctio potill. La foctio p st défii sur R, t put s déduir d la foctio logarithm épéri comm sa foctio réciproqu, plus précisémt, l graph suggèr qu pour tout rél, il ist u uiqu rél y avc l y =. O pos alors p = y, t o déduit d la propriété l ab = l a + l b cll qui suit, tout aussi fodamtal : ( a + b) = ( a) ( b) p p p O costat ici qu la foctio potill s comport comm u tsio à R d la foctio p+ q p q N R défii par a pour u rél a doé, o a fft a = a a. Ctt propriété st à l origi d la déomiatio d la foctio potill t d sa otatio usull :

3 p = Et cci st pas u hasard, o a bi p = = Comm o l vérifira aisémt. L caractèr d foctio réciproqu d la foctio logarithm équivaut à la symétri ds graphs d cs du foctios par rapport à la prmièr bissctric, dès lors qu o dssi cs graphs das u rpèr orthoormal. O déduit évidmmt ds propriétés corrélativs, comm la croissac, la dérivé d la foctio potill : p p = la covité, la raidur d ctt foctio à l ifii, opposé à la mollss du logarithm, qui s prim s obsrvat qu la limit + d st +, qull qu soit la valur du rél positif. d) La foctio puissac. La foctio puissac st défii sur rlatio l =. O a évidmmt * R + pour tout rél par la = t ( ) =, si bi qu ctt foctio apparaît tout + β β aturllmt comm u prologmt d la foctio baal pour u tir. O déduit sas pi d cla qu la foctio st croissat si >, décroissat si <, t l o put étudir rcic sa covité. β β Efi, o otra qu pour < < β t <, o a <, t qu si <, o a <, c st comm ça, t ça s vérifi aisémt, t ça do d jolis graphiqus qu o put dssir das l mêm rpèr. Approimatio liéair a) Qu st-c qu u approimatio liéair? Pros u ds foctios étudiés ci-dssus, t traços, par mpl sur u machi graphiqu, l graph d la foctio potill au voisiag d =. Sur l mêm écra, dssios la tagt à c graph c poit, dot l équatio st y = +. Utilisat la foctio zoom d la machi, rgardos à la loup c qui s pass au voisiag du poit (, ) du graph. Progrssivmt, l écart tr la courb t la droit s stomp, jusqu à disparaîtr. Cla sigifi qu la tagt u poit à u graph st u bo approimatio d c graph (o put mêm démotrr qu c st la millur), t corrélativmt, qu la foctio tagt t = + st u bo approimatio d au voisiag d. Ctt approimatio st d autat millur qu st proch d. O pourra aisi écrir ls approimatios liéairs classiqus au voisiag d :

4 ( + ) l ta si qui sot courammt utilisés par ls physicis, particulièrmt la drièr pour résoudr l équatio du pdul. b) Du cas particulir simpls à traitr. Cocrat l approimatio + +, o put la démotrr facilmt par l calcul, obsrvat qu + + =, c qui idiqu par mpl qu si, o a , ou si l o préfèr (moi j préfèr) + +. C drir 8 8 cadrmt (qu l o put complétr cosidérat ds égatifs) dit à la fois la qualité d l approimatio, par mpl qu si,, o a : + +, 5 t qu l graph d + st situé (à droit, mais o put vérifir aussi cla à gauch) dssous d la tagt, c qui st coform au idicatios d la dérivé scod.. Approimatio du sius : O démotr qu, pour tout rél positif, o a l cadrmt si Il suffit pour cla d étudir ls foctios f t g défiis par f = +, 6 3 g = si + ls dérivat suffisammt. D ct cadrmt, o put déduir ds 6 approimatios d très bo qualité d si pour ds valurs d assz grads, par mpl, o voit qu 5 si 5 +, t u agl d u radia st pas u ptit agl! 6 6 c) Approimatio t calcul d l rrur das l cas gééral : Ls calculs précédts améliort l idé d approimatio liéair, d u part par l calcul d l rrur, d autr part das l scod cas, par la rchrch d u amélioratio d ladit rrur prat, o plus u approimatio liéair, mais u approimatio polyomial. L pricip st qu foctio qu l o sait pas calculr

5 (sius, logarithm, raci) put êtr approché par u foctio liéair ou polyôm calculabl avc ls moys ls plus élémtairs t avc u rrur qu o sait msurr. O put rcotrr ls trois situatios suivats, qui rlèvt touts du mêm pricip :. O s cott d approchr la foctio f par la valur cou d f a supposé voisi. Das c cas o put appliqur l iégalité ds accroissmts fiis qui dit : Soit f : I R, o suppos qu a R, t qu il ist u rél K tl qu pour tout rél t d I, o a f ( t) K. Alors, pour tout rél d I, o a f f a K a.. Das l cas d l approimatio liéair par la tagt, o dispos d u iégalité d Taylor qui prmt d affirmr : Soit f : I R, o suppos qu a R, t qu il ist u rél K tl qu pour tout rél t d I, o a K a f ( t) K. Alors, pour tout rél d I, o a f f ( a) f ( a)( a). O put comparr c résultat à c qui a été calculé «à la mai» pour D faço plus gééral, o put utilisr u iégalité d Taylor à u ordr supériur : Soit f : I R, o suppos qu a R, t qu il ist u rél K tl qu pour tout rél t d I, o a ( + ) f t K pour u tir doé. Alors, pour tout rél d I, o a ( ) ( ) ( ) f a a f a a K a f f ( a) f ( a)( a). O put!!! ( + ) comparr c résultat à c qui a été calculé «à la mai» pour la foctio sius avc a =, = 4. + L itérêt, là cor, st d poussr l dévloppmt d Taylor d la foctio f aussi loi qu écssair pour qu l rrur K a ( + )! + + a ombr a st ssiblmt ifériur à, alors ( + )! la dérivé f ( + ) rst «raisoabl» soit ptit, c qui dépd d K, mais aussi d, car si l dvit très vit très ptit, pourvu qu d) U rcic, pour s rassurr : Soit à dor u approimatio liéair itlligt d l(,7). O obsrv d abord qu l ombr,7 st proch d, o va doc proposr u approimatio liéair à partir d. L équatio d la tagt au graph d l st doé par : y = ( ) + l =

6 O rmarqura au passag qu ladit tagt pass par l origi, c qui fait u joli dssi, t o otra qu la foctio f défii par f = s appllra désormais la foctio liéair tagt à la foctio l. Aisi, o put cosidérr comm u bo approimatio d l (,7 ) l ombr,7 ; la qustio st d coaîtr la qualité d ctt approimatio, c qui put s fair grâc à l iégalité d Taylor. O obtit évidmmt : put affirmr qu,99 l (, 7),996 hi?, 7,8 l, 7 ma l,, aisi, o,7 i,7 [.7, ] < <. Ma machi idiqu l, 7 =,9935, c st bau N oubliz pas qu cs cours qui vot sot offrts dépaag ou complémt dispst ullmt d la présc physiqu au vrais cours : il s y dit forcémt ds choss différts, plus t mois, t prmttt u irrmplaçabl échag. N oubliz pas o plus l trésor istimabl qu rprést pour vous la BU. Srvz-vous sas modératio. Mrci d m sigalr, das l itérêt d tous, ls rrurs, ls poits difficils, voir icompréhsibls! P. Silici silici@uic.fr