Baccalauréat S Centres étrangers 10 juin 2016

Transcription

1 Baccalauréat S Cetres étragers 0 jui 206 Exercice I (4 poits) Pour chacue des quatre affirmatios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse, e justifiat la répose. il est attribué u poit par répose exacte correctemet justifiée. Ue répose o justifiée est pas prise e compte. ue absece de répose est pas péalisée.. Das ue boulagerie idustrielle, o prélève au hasard ue baguette de pai das la productio. O admet que la variable aléatoire exprimat sa masse, e gramme, suit la loi ormale d espérace 200 et d écart-type 0. ffirmatio La probabilité que la masse de la baguette soit supérieure à 87 g est supérieure à 0,9. 2. ffirmatio 2 L équatio x cos x = 0 admet ue uique solutio das l itervalle [ 0 ; π ]. 2 Das les questios 3. et 4., l espace est rapporté à u repère orthoormal et l o cosidère les droites D et D 2 qui admettet pour représetatios paramétriques respectives : 3. ffirmatio 3 x = +2t y = 2 3t z = 4t Les droites D et D 2 sot sécates. 4. ffirmatio 4, t R et La droite D est parallèle au pla d équatio x+ 2y+ z 3=0. x= 5t + 3 y = 2t z = t + 4, t R Exercice II (6 poits) Soit f ue foctio défiie sur l itervalle [0 ; ], cotiue et positive sur cet itervalle, et a ue réel tel que 0< a<. O ote : C la courbe représetative de la foctio f das u repère orthogoal : l aire du domaie pla limité par l axe des abscisses et la courbe C d ue part, les droites d équatios x= 0 et x= a d autre part. 2 l aire du domaie pla limité par l axe des abscisses et la courbe C d ue part, les droites d équatios x= a et x = d autre part. 2 a C x

2 Le but de cet exercice est de détermier, pour différetes foctios f, ue valeur du réel a vérifiat la coditio (E) : «les aires et 2 sot égales». O admet l existece d u tel réel a pour chacue des foctios cosidérées. Partie : Étude de quelques exemples. Vérifier que das les cas suivats, la coditio (E) est remplie pour u uique réel a et détermier sa valeur. a. f est ue foctio costate strictemet positive. b. f est défiie sur [0 ; ] par f (x)=x. 2. a. À l aide d itégrales, exprimer, e uités d aires, les aires et 2. b. O ote F ue primitive de la foctio f sur l itervalle [0 ; ]. Démotrer que si le réel a satisfait la coditio (E), alors F (a)= F (0)+F(). 2 La réciproque est-elle vraie? 3. Das cette questio, o evisage deux autres foctios particulières. a. La foctio f est défiie pour tout réel x de [0 ; ] par f (x)=e x. Vérifier que la coditio (E) est vérifiée pour u uique réel a et doer sa valeur. b. La foctio f défiie pour tout réel x de [0 ; ] par f (x) = (x+ 2) 2. Vérifier que la valeur a= 2 5 coviet. Partie B : Utilisatio d ue suite pour détermier ue valeur approchée de a Das cette partie, o cosidère la foctio f défiie pour tout réel x de [0 ; ] par f (x)=4 3x 2.. Démotrer que si a est u réel satisfaisat la coditio (E), alors a est solutio de l équatio : x = x Das la suite de l exercice, o admettra que cette équatio a ue uique solutio das l itervalle [0 ; ]. O ote a cette solutio. 2. O cosidère la foctio g défiie pour tout réel x de [0 ; ] par g (x)= x3 u 0 = 0 et, pour tout etier aturel, u + = g (u ). a. Calculer u. b. Démotrer que la foctio g est croissate sur l itervalle [0 ; ]. c. Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel, o a 0 u u +. d. Prouver que la suite (u ) est covergete. À l aide des opératios sur les limites, prouver que la limite est a et la suite (u ) défiie par : e. O admet que le réel a vérifie l iégalité 0<a u 0 < 0 9. Calculer u 0 à 0 8 près.

3 Exercice III (5 poits) U istitut effectue u sodage pour coaître, das ue populatio doée, la proportio de persoes qui sot favorables à u projet d améagemet du territoire. Pour cela, o iterroge u échatillo aléatoire de persoes de cette populatio, et l o pose ue questio à chaque persoe. Les trois parties sot relatives à cette même situatio, mais peuvet être traitées de maière idépedate. Partie : Nombre de persoes qui acceptet de répodre au sodage O admet das cette partie que la probabilité qu ue persoe iterrogée accepte de répodre à la questio est égale à 0,6.. L istitut de sodage iterroge 700 persoes. O ote X la variable aléatoire correspodat au ombre de persoes iterrogées qui acceptet de répodre à la questio posée. a. Quelle est la loi de la variable aléatoire X? Justifier la répose. b. Quelle est la meilleure approximatio de P(X 400) parmi les ombres suivats? 0,92 0,93 0,94 0, Combie de persoes l istitut doit-il iterroger au miimum pour garatir, avec ue probabilité supérieur à 0,9, que le ombre de persoes répodat au sodage soit supérieur ou égal à 400. Partie B : Proportio de persoes favorables au projet das la populatio Das cette partie, o suppose que persoes ot répodu à la questio, et o admet que ces persoes costituet u échatillo aléatoire de taille (où est u etier aturel supérieur à 50). Parmi ces persoes, 29 % sot favorables au projet d améagemet.. Doer u itervalle de cofiace, au iveau de cofiace de 95 %, de la proportio de persoes qui sot favorables au projet das la populatio totale. 2. Détermier la valeur miimale de l etier pour que l itervalle de cofiace, au iveau de cofiace de 95 %, ait ue amplitude iférieure ou égale à 0,04. Partie C : Correctio due à l isicérité de certaies réposes Das cette partie, o suppose que, parmi les persoes sodées qui ot accepté de répodre à la questio posée, 29 % affirmet qu elles sot favorables au projet. L istitut de sodage sait par ailleurs que la questio posée pouvat être gêate pour les persoes iterrogées, certaies d etre elles e sot pas sicères et répodet le cotraire de leur opiio véritable. isi, ue persoe qui se dit favorable peut : soit être e réalité favorable au projet si elle est sicère. soit être e réalité défavorable au projet si elle est pas sicère. Par expériece, l istitut estime à 5 % le taux de réposes o sicères parmi les persoes ayat répodu, et admet que ce taux est le même quelle que soit l opiio de la persoe iterrogée. Le but de cette partie est, à partir de ces doées, de détermier le taux réel de persoes favorables au projet, à l aide d u modèle probabiliste. O prélève au hasard la fiche d ue persoe ayat répodu, et o défiit : F l évèemet «la persoe est e réalité favorable au projet» ; F l évèemet «la persoe est e réalité défavorable au projet» ;

4 l évèemet «la persoe affirme qu elle est favorable au projet» ; l évèemet «la persoe affirme qu elle est défavorable au projet». isi, d après les doées, o a p()=0,29.. E iterprétat les doées de l éocé, idiquer les valeurs de P F () et P F (). 2. O pose x = P(F ). a. Reproduire sur la copie et compléter l arbre de probabilité ci-cotre. b. E déduire ue égalité vérifiée par x 3. Détermier, parmi les persoes ayat répodu au sodage, la proportio de celles qui sot réellemet favorables au projet. x x F F Exercice IV (5 poits) Cadidat/e/s ayat pas choisi la spécialité mathématique O veut modéliser das le pla la coquille d u autile à l aide d ue lige brisée e forme de spirale. O s itéresse à l aire délimitée par cette lige. O muit le pla d u repère orthoormal direct ( O ; u ; v ). Soit ( u etier supérieur ou égal à 2. Pour tout etier k allat de 0 à, o défiit les ombres complexes z k = + k ) e i 2kπ et o ote M k le poit d affixe z k. Das ce modèle, le pourtour du autile est la lige brisée reliat tous les poits M k avec 0 k. Par exemple, pour les etiers = 6, = 0 et = 20, o obtiet les figures ci-dessous. = 6 = 0 = Partie : Lige brisée formée à partir de sept poits ( Das cette partie, o suppose que = 6. isi, pour 0 k 6, o a z k = + k ) e i 2kπ Détermier la forme algébrique de z. 2. Vérifier que z 0 et z 6 sot des etiers que l o détermiera. 3. Calculer la logueur de la hauteur issue de M das le triagle OM 0 M puis établir que l aire de ce triagle est égale à

5 Partie B : Lige brisée formée à partir de + poits Das cette partie, est u etier supérieur ou égal à 2.. Pour tout etier k tel que 0 k, détermier la logueur OM k. 2. Pour k etier tel que 0 k, détermier ue mesure des agles ( E déduire ue mesure de l agle OM k ; OM k+ ). ( u ) ( ; OM k et u ; OM k+ ). 3. Pour k etier tel que 0 k (, démotrer que la logueur de la hauteur issue de M k+ das le triagle OM k M k+ est égale à + k+ ) 2π si. 4. O admet que l aire du triagle OM k M k+ est égale à a k = ( 2π 2 si + k )( + k+ ) et que l aire totale délimitée par la lige brisée est égale à = a 0 + a + + a. L algorithme suivat permet de calculer l aire lorsqu o etre l etier : VRIBLES TRITEMENT SORTIE est u ombre réel k est u etier est u etier Lire la valeur de pred la valeur 0 Pour k allat de 0 à - pred la valeur + 2 si ( 2π Fi Pour fficher ) ( + k )( + k+ ) O etre das l algorithme = 0 Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui illustre le foctioemet de l algorithme. k ,323 0,7,70,705 2,322 3,027 3,826 4, O admet que 2 = 0 et que la suite ( ) coverge et que lim + = 7π 3 7,3. Recopier et compléter les liges L6 et L3 de l algorithme ci-après qui permet de détermier le plus petit etier tel que 7,2. O e demade pas de détermier. L VRIBLES : est u ombre réel L2 k est u etier L3 est u etier L4 TRITEMENT : pred la valeur 2 L5 pred la valeur 0 L6 Tat que L7 pred la valeur + L8 pred la valeur 0 L9 Pour k allat de 0 à L0 Fi Pour L2 Fi Tat que L3 SORTIE : fficher... pred la valeur + 2 si ( 2π ) ( + k )( + k+ )

6 Exercice V (5 poits) Cadidat/e/s ayat choisi la spécialité mathématique Le but de cet exercice est d étudier, sur u exemple, ue méthode de chiffremet publiée e 929 par le mathématicie et cryptologue Lester Hill. Ce chiffremet repose sur la doée d ue matrice, coue uiquemet de l émetteur et du destiataire. 5 2 Das tout l exercice, o ote la matrice défiie par : =. 7 7 Partie Chiffremet de Hill Voici les différetes étapes de chiffremet pour u mot comportat u ombre pair de lettres : Étape Étape 2 O divise le mot e blocs de deux lettres cosécutives puis, pour chaque bloc, o effectue chacue des étapes suivates. O associe aux deux lettres du bloc les deux etiers x et x 2 tous deux compris etre 0 et 25, qui correspodet aux deux lettres das le même ordre, das le tableau suivat : B C D E F G H I J K L M y 2 N O P Q R S T U V W X Y Z x y Étape 3 O trasforme la matrice X = e la matrice Y = vérifiat Y = X. x 2 y ( 2 ) y r Étape 4 O trasforme la matrice Y = e la matrice R =, où r est le reste de la divisio euclidiee de y par 26 et r 2 celui de la divisio euclidiee de y 2 par 26. Étape 5 O associe aux etiers r et r 2 les deux lettres correspodates du tableau de l étape 2. Le bloc chiffré est le bloc obteu e juxtaposat ces deux lettres. Questio : utiliser la méthode de chiffremet exposée pour chiffrer le mot «HILL». Partie B - Quelques outils mathématiques écessaires au déchiffremet. Soit a u etier relatif premier avec 26. Démotrer qu il existe u etier relatif u tel que u a modulo O cosidère l algorithme suivat : VRIBLES : a,u, et r sot des ombres (a est aturel et premier avec 26) TRITEMENT : Lire a u pred la valeur 0, et r pred la valeur 0 Tat que r u pred la valeur u+ r pred la valeur du reste de la divisio euclidiee de u a par 26 Fi du Tat que SORTIE fficher u O etre la valeur a= 2 das cet algorithme. a. Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivat, jusqu à l arrêt de l algorithme. r 2

7 u r b. E déduire que 5 2 modulo O rappelle que est la matrice = et o ote I la matrice : I = 7 7 a. Calculer la matrice 2 2. b. E déduire la matrice B telle que B = 2I. c. Démotrer que si X = Y, alors 2X = BY Partie C - Déchiffremet O veut déchiffrer ) le mot VLUP. ( x O ote X = la matrice associée, selo le tableau de correspodace, à u bloc de deux lettres avat x 2 y 5 2 chiffremet, et Y = la matrice défiie par l égalité : Y = X = X. y Si r et r 2 sot les restes respectifs de y ( et y ) 2 das la divisio euclidiee par 26, le bloc de deux lettres après r chiffremet est associé à la matrice R =. r 2 { 2x = 7y 2y 2. Démotrer que : 2x 2 = 7y + 5y 2 { x 9r + 6r 2 modulo E utilisat la questio B.2., établir que : x 2 7r + 25r 2 modulo Déchiffrer le mot VLUP, associé aux matrices et. 5