Contribution à l Identification et la Commande Floue d une Classe de Systèmes Non Linéaires

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1 UNIVERSIE SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH FACULE des SCIENCES DHAR EL MEHRAZ de FES Laboratore d Electronque, Sgnaux-Systèmes et d Informatque U.F.R : Automatque et Analyse des systèmes Contrbuton à l Identfcaton et la Commande Floue d une Classe de Systèmes Non Lnéares HÈSE présentée le 7/06/009 pour l obtenton du DOCORA NAIONAL Spécalté : Automatque Sgnaux et Systèmes par Hamd Ouakka devant le Jury composé par : Présdent : HMAMED Abdelazz PES- Faculté des Scences. DM. Fès Drecteur de hèse : BOUMHIDI Ismal PES- Faculté des Scences. DM. Fès Rapporteurs : BOUZOUBA Khald PES- Faculté des Scences. DM. Fès SBAI El Hassan PES-Ecole Supéreure de echnologe, Meknès Examnateurs : ERRAHIMI Fatma PES- Faculté des Scences et echnques de Fès ROUKHE Ahmed PES-Faculté des Scences Meknès QJIDAA Hassan PES- Faculté des Scences. DM. Fès

2 Remercements L ensemble des travaux présentés dans ce mémore a été effectué au laboratore d Electronque, Sgnaux-Systèmes et d Informatque de la Faculté des Scences Dhar El Mahraz de Fès. Mes sncères remercements à Monseur El Hassan SBAI Professeur à l école supéreure de technologe de Meknès, et Monseur Khald BOUZOUBA Professeur à la Faculté des Scences Dhar El Mahraz de Fès d avor prs le temps de juger ce traval et de m avor fat l honneur d être rapporteurs de ma thèse. J adresse mes sncères remercements à Abdelazz HMAMED, Drecteur du laboratore L.E.S.S.I à la Faculté des Scences Dhar El Mahraz de Fès, d avor accepté d examner ce traval et de présder le jury. oute ma profonde grattude va également à Madame Fatma ERRAHIMI Professeur à la Faculté des Scences et echnques de Fès, à Monseur Hassan QJIDAA Professeur à la Faculté des Scences Dhar El Mahraz de Fès et Monseur Ahmed ROUKHE Professeur à la Faculté des Scences de Meknès, pour l ntérêt qu ls ont témogné à l égard de ce traval et d avor accepté de partcper au jury de thèse. Je tens à exprmer ma reconnassance au Professeur Ismal BOUMHIDI en tant que drecteur de thèse pour m avor accuell au sen de son équpe, pour ses drectves scentfques, pédagogques et même personnelles pour lesquelles je lu sus hautement redevable. De même, je lu sus extrêmement reconnassant pour son souten human et moral et son ade préceuse à la rédacton de ce manuscrt de thèse. Enfn, je tens tout partculèrement à remercer Monseur Moha OUAMANE, pour ces encouragements, son ade, sa dsponblté et chaleur humane.

3 Je déde cette thèse à mes parents. à ma femme Bouchra. à mes enfants Zakarae, Youssef et Asmae. à mes frères et soeurs. à mon grand am DODO et sa famlle à tous mes ams.

4 able des matères Introducton générale 7 Etat de l art sur la Modélsaton et Commande floue des systèmes non lnéares 0. Introducton Concepts de base de la logque floue Varables lngustques et ensembles flous Fonctons d appartenances Opératons sur les ensembles flous Les règles floues Descrpton et structure d une commande par la logque floue Interface de fuzzfcaton Interface d nférence floue Interface de défuzzfcaton Modélsaton floue Concept de la classfcaton floue Matrce de données Partton floue Algorthmes de classfcaton floue Algorthme des c-moyennes floues(fcm) Algorthme de Gustafson-Kessel(GK) Constructon de modèles S à partr des données Sélecton de la structure Classfcaton des données Génératon des fonctons d appartenance des antécédents.. 5 3

5 Obtenton des paramètres des conséquents Modèle flou de akag-sugeno Concepton d une commande floue Commande adaptatve Commande par l approche mode de glssement Concluson Identfcaton des Systèmes Non Lnéares à base de Modèles de type S 35. Introducton Identfcaton d un système MIMO Représentaton des systèmes MISO Identfcaton hors lgne du modèle flou Adaptaton en lgne du modèle flou Smulaton Méthodes de valdaton d une structure optmale Algorthmes d optmsaton Indces d évaluaton de la qualté d une partton Valdaton numérque du modèle flou Identfcaton optmale des modèles akag-sugeno Formulaton de la méthode proposée Approxmaton des données par foncton polynomale Extracton du nombre globale de classes Détermnaton du nombre optmal de classes Smulatons et résultats Concluson Commande Floue d une Classe de Systèmes Non Lnéares Introducton Modélsaton floue de akag-sugeno Synthèse de la lo de commande pour un système SISO Cas non adaptatf Cas adaptatf Synthèse de la lo de commande pour un système MISO

6 3.4. Descrpton du modèle flou Synthèse de la lo de commande Synthèse d une lo de commande décentralsée Problématque Contrôleur adaptatf flou drect Contrôleur adaptatf flou ndrect Régulateur PI combné à l approche mode glssant Formulaton du problème Structure de la lo de commande Concepton du Régulateur PI Résultats de smulatons Cas du système SISO Cas d un Système MISO Cas d un grand système Cas du régulateur PI combné à l approche mode glssant Concluson Concluson générale 83 Bblographe 85 5

7 Abrévatons FCM : Algorthme de classfcaton des c-moyennes floues ( Fuzzy c-means) GK : Algorthme de classfcaton de Gustafson-kessel S : akag-sugeno SISO : Mono entrée Mono sorte (Sngle Input Sngle Output) MISO : Mult entrées Mono sorte (Multple Input Sngle Output) MIMO : Mult entrées Mult sortes (Multple Input Multple Output) PI : Proportonnel ntégral PC : Coeffcent de partton (Partton coeffcent) CE : Coeffcent d entrope de partton ( classfcaton entropy) VAF : Comptablsaton en pourcentage de la varance (Varance Accountng For) FMID : Bote à outls Modélsaton et Identfcaton floue (Fuzzy Modellng and Identfcaton toolbox) ANFIS : Système adaptatf d nférence neuro-floue (Adaptve neuro-fuzzy nfernece system) 6

8 Introducton générale Contrarement à l automatque lnéare, l automatque non lnéare ne dspose pas de solutons unverselles n pour l analyse des systèmes n pour la concepton de leurs contrôleurs. L analyse et la commande de ces systèmes ne sont pas, toujours, des tâches facles. La plupart des travaux exstants dans la lttérature proposent des approches qu sont, généralement, lmtées à des formes ben partculères de systèmes [Chaou et al., 000, 00]. De plus, les performances assurées sont, souvent, au prx de la complexté du schéma de commande et du développement théorque utlsé. La plupart des approches de commande non lnéares exgent la dsponblté d un modèle mathématque du système. Les performances assurées, seront drectement lées à l exacttude du modèle utlsé. En automatque, pour décrre le comportement d un système, une hypothèse communément fate est la lnéarté du système, car les technques d analyse des modèles lnéares, ont été largement développées dans la lttérature. Cependant, l hypothèse de lnéarté n est vérfée que dans une plage de fonctonnement restrente autour d un pont d équlbre du système. Alors, les performances du modèle se dégradent dès qu on s en élogne et la recherche d un modèle plus adapté et notamment non lnéare devent nécessare. La structure mathématque qu pusse reméder à l nconvénent cté c-dessus, tout en gardant la smplcté mathématque des modèles lnéares, est l approche dte mult-modèle ; c est une représentaton pouvant être obtenue sot drectement à partr d un modèle mathématque non lnéare par transformaton drecte d un modèle affne [Morère, 000] ou par lnéarsaton autour de dfférents ponts de fonctonnement [Murray-Smth et Johansen, 999], sot à partr des données entrées sortes d un système physque [Gasso, 000]. Les systèmes flous, basés sur la théore de la logque floue, ont été utlsés comme alternatve pour construre de telles structures mult-modèles. Ils présentent l avantage de tolérer l ncerttude du modèle et compensent son effet [Guesm et al., 005; Pagès et Hajjaj, 005], de trater les non lnéartés sans aucune hypothèse sur leur nature, de modélser pus compenser les nteractons entre les boucles et de rédure l effet des perturbatons externes. Leur qualté 7

9 d approxmateurs unversels a été démontrée, notamment pour les applcatons en commande et en dentfcaton floue [Jan et Dubes, 988; Wang et Mendel, 99]. On dstngue deux classes prncpales de modèles flous : les modèles flous de Mamdan [Mamdan et Asslan, 975] et ceux de akag-sugeno (S)[Sugeno et Kang, 988; akag et Sugeno, 985]. Ils dffèrent au nveau de la concluson. La complexté du système est rédute par les algorthmes de classfcaton floue qu procèdent en une premère phase à la décomposton de l espace de données en un nombre de sous ensembles de données, pus chaque groupe de données est approxmé par un modèle lnéare à l ades des technques d dentfcaton exstantes dans la lttérature [Bezdek et al., 987][Abony et al., 00][Gustafson et Kessel, 978][Ghat et Geva, 989]. L nconvénent majeur de cet approche est l optmsaton du nombre de classes. La structure de la base de règles floues est un facteur mportant qu affecte la performance de la modélsaton. Lorsque le nombre de règles est grand, la précson est bonne mas le modèle flou devent complexe. Ce mémore est structuré en tros chaptres. Le premer chaptre est à caractère bblographque, l présente les bases de la logque floue, allant du concept des ensembles flous aux prncpe de fuzzfcaton et déffuzfcaton en passant par la méthode d nférence ans que la structure des fonctons d appartenance pour le cas monovarable et multvarable. La modélsaton type S d un système non lnéare ans que son extenson au cas multvarable ont été auss décrtes dans ce chaptre. Nous termnons par la descrpton d un schéma général du contrôleur flou. Le second chaptre présente deux stratéges de modélsaton d un système non lnéare par la technque de S en tenant compte de tous les effets perturbateurs : La premère concerne un système multvarable, l exctaton rche est chose d abord aléatorement, ensute carré, l étude a été fate en boucle ouverte. Les résultats de smulaton obtenus montrent une bonne poursute de sortes réelles aux modèles flous correspondants. La deuxème approche proposée consste à optmser le nombre de classes sans passer par les méthodes tératves classques qu nécesstent en plus des hypothèses restrctves d un temps et charge de calcul élevés. La technque proposée est prncpalement basée sur l approxmaton des données par une foncton polynomale approchée, accompagnée d un algorthme d optmsaton, facle à mettre en oeuvre est condusant au même nombre de classes que l approche classque. L effcacté de l approche proposée est testée sur un exemple de smulaton. Nous proposons dans le rosème chaptre quatre de stratéges de commande. La premère est destnée à commander les systèmes mono entrée mono sorte (SISO) ; elle est basée sur la combnason de l approche de lnéarsaton entrée sorte aux mécansmes de la logque floue. Dans un premer volet, la lo de commande est drectement détermnée 8

10 à partr des paramètres du modèle flou, cette commande s est avérée dégradée en terme de poursute ce qu nous a amené à adapter les paramètres du modèle afn de suvre le système dans son évoluton. La deuxème approche est une extenson du cas monovarable au cas multvarable. Ce derner est décomposé en un ensemble de sous systèmes MISO, afn d évter la charge lourde des calculs et de faclter l applcablté. Chaque sous système MISO est décrt par un ensemble de modèles locaux lnéares. Notons que la modélsaton est effectuée en deux étapes : Hors lgne pour détermner la structure du modèle flou. En lgne pour détermner récursvement les paramètres du modèle. Cette technque nous a perms de compenser faclement le couplage crosé. La trosème approche concerne les grands systèmes, en dépt des nterconnexons, la technque proposée trate les deux cas de commande drect et ndrect. Chaque sous systèmes est supposé nconnu, l est modélsé en utlsant la technque de Mamdan. Pour l approche drecte la concluson est fate sur la commande et ses paramètres sont ensute adaptés par l approche de Lyapunov. Pour l approche ndrecte la concluson est fate sur le modèle, suv de l adaptaton des paramètres et par la sute la synthèse de la commande. Pour chacune de ces deux approches, la stratége de commande consste à composer la commande de tros termes : un terme de poursute, résultat du mécansme flou ; un autre destné à compenser les nterconnexons et un derner pour rédure les erreurs de modélsaton. la dernère consste à combner le régulateur PI, la commande mode de glssement et la technque de la logque floue. Cette stratége a perms d élmner le phénomène de rétcence et d assurer la convergence asymptotque de l erreur de poursute. La surface de glssement sera décrte par des ensembles flous et selon la prémsse de règle, une lo de commande, sot le régulateur PI ou la commande par mode de glssement est actvée. Les paramètres de ce contrôleur sont détermnés par l approche de Lyapunov de sorte à mantenr la stablté. Les approches proposées sont testées sur dfférents exemples de smulatons. Les résultats obtenus montrent une grande effcacté en terme de poursute et de convergence. 9

11 Chaptre Etat de l art sur la Modélsaton et Commande floue des systèmes non lnéares. Introducton Le développement de modèles mathématques des systèmes est un sujet central dans pluseurs dscplnes des scences et de l ngénere. radtonnellement, la modélsaton est vue comme la double conjoncton entre la compréhenson de la nature et du comportement d un système ans que le tratement mathématque appropré qu condut à l obtenton d un modèle utlsable. Néanmons, le beson d une forte compréhenson des éléments physques de base, comme c est le cas des systèmes à dynamques nconnues ou partellement connues, consttue une grande restrcton au nveau pratque. Dans ce cas, le système étudé peut être représenté en utlsant une structure générale qu approxme son comportement. Le problème de modélsaton consste alors à proposer la structure approprée pour l approxmateur et d estmer les paramètres du modèle. Cette dernère étape se fat généralement en utlsant le crtère des mondres carrées avec normalsaton et projecton des données. Dans le sens de meux maîtrser les nformatons mprécses, la logque floue a été ntrodute de sorte à formalser les méthodes humanes de rasonnement en utlsant des bases de règles et varables lngustques pour la représentaton de connassances [Zadeh, 973]. La commande floue a été une des grandes applcatons de la logque floue, dans le sens de surmonter tous les problèmes relatfs aux non lnéartés, perturbatons externes et aux nteractons entre les dfférentes boucles lorsqu l s agt des systèmes multvarables ou des systèmes nterconnectés. La plupart des applcatons développées reposent sur l expertse de l opérateur human. On dstngue ans, deux types de systèmes flous ; le système flou de akag-sugeno et celu de Mamdan. Le premer est à concluson numérque et le second est à concluson symbolque, ce 0

12 .. Concepts de base de la logque floue qu nécesste d autres approches pour ressortr l nformaton. L applcaton de l un ou l autre de ces systèmes flous permet de transformer l étude et la commande d un système non lnéare en systèmes plus smples, de forme lnéare dans le cas de la modélsaton S. Notons toutefos, que dans le cadre de la classfcaton floue des données expérmentales, dfférentes méthodes tératves ont été présentées, avec lesquelles nous allons comparer l approche proposée dans ce domane. Les étapes de classfcaton, de modélsaton et d estmaton paramétrque tennent compte de tous les effets perturbateurs, et mènent généralement à des modèles lnéares à paramètres connus ce qu facltera la mse en place d une los de commande robuste vs à vs des erreurs de modélsaton, des ncerttudes paramétrques et des perturbatons non modélsables telle que l approche mode glssant combné au régulateur PI et les concepts de logque floue abordée dans ce mémore.. Concepts de base de la logque floue La plupart des systèmes non lnéares sont modélsables sous des hypothèses parfos très restrctves. Ces hypothèses, rendent dffcles la mse en oeuvre des schémas de commande résultants et leur applcaton. Il est donc nécessare de prendre en compte toutes les nformatons mprécses et ncertanes relatves au système. La théore des sous ensembles flous développée par Lotf A. Zadeh en 965, a perms de trater les mprécsons et les ncerttudes. De nombreuses applcatons sont alors développées dans dvers domanes, là où aucun modèle détermnste n exste ou n est possble d obtenr. L avantage d un système flou est que seules les connassances du comportement du procédé à commander sont suffsantes pour la synthèse de la lo de commande, et ls soulèvent un large ntérêt, tant théorque que pratque, dans l dentfcaton est la commande des processus complexes et non lnéares. Cela est dû essentellement à tros trats prncpaux : Le premer est que les systèmes flous permettent une smple ncluson d nformatons qualtatves dans la concepton du contrôleur ; Le second est que les systèmes flous n exgent pas l exstence d un modèle analytque du processus à contrôler, et peu d nformaton est suffsant pour mettre en oeuvre la boucle de commande ; Le trosème est que les systèmes flous sont des systèmes non lnéares et de ce fat plus adaptés à la commande des processus non lnéares.

13 .. Varables lngustques et ensembles flous.. Concepts de base de la logque floue La descrpton mprécse d une certane stuaton, d un phénomène ou d une grandeur physque ne peut se fare que par des expressons relatves ou floues. Ces dfférentes classes d expressons floues dtes ensembles flous forment ce qu on appelle des varables lngustques. Afn de pouvor trater numérquement ces varables lngustques qu sont normalsées généralement sur un ntervalle ben détermné appelé unvers de dscours, l faut les soumettre à une défnton mathématque à base de fonctons d appartenance qu montrent le degré de vérfcaton de ces varables lngustques relatvement aux dfférents sous ensembles flous de la même classe. La fgure (Fg..) montre un exemple de varable lngustque assocée au concept de température, représentée par les sous ensembles flous où les termes lngustques sont défns par : {frode, moyenne, chaude} sur l unvers de dscours représenté par les températures comprses dans l ntervalle [0,70 ]. FIGURE. Exemple d ensembles flous pour la varable température Une varable lngustque permet donc, d une part de synthétser l nformaton manpulée grâce aux sous ensembles flous, et d autre part de représenter des concepts mprécs tels que l homme en manpule quotdennement. La détermnaton de la forme et de la poston de ces sous ensembles flous sont défns a pror par des experts du domane afn qu ls représentent exactement leurs connassances. Cependant, l n est pas toujours possble d obtenr une telle expertse, que ce sot à cause de la complexté du problème ou ben parce que les experts sont trop rares vor nexstants. Dans ces condtons, des algorthmes peuvent être ms en œuvre pour extrare automatquement les sous ensembles flous. Une expertse du résultat peut éventuellement être fate par la sute afn de détermner la sgnfcaton des sous ensembles flous obtenus.

14 .. Concepts de base de la logque floue.. Fonctons d appartenances Une foncton d appartenance d un ensemble flou A défne sur l unvers de dscours X, notée µ A (x) tel que x X, est une courbe qu défnt comment chaque pont dans l unvers de dscours est tracé avec une valeur d appartenance comprse dans l ntervalle [0, ] [Mendel, 000; Meuner, 995] : µ A (x) : X [0,] x µ A (x) La valeur µ A (x) mesure l appartenance ou le degré avec lequel un élément x appartent à l ensemble A. Il n y a pas de règle précse pour la défnton de foncton d appartenance. Alors, chaque ensemble flou peut être représenté par sa foncton d appartenance. Les fonctons d appartenance peuvent être symétrques, régulèrement dstrbuées ou avor une dstrbuton non unforme. En général, la forme des fonctons d appartenance dépend de l applcaton et de la grandeur à modélser et peuvent avor dfférentes formes : Foncton trangulare µ(x) = a x a b b x b c s x [a,b] s x [b,c] Foncton gaussenne ( ) x m µ(x,m,σ) = e σ m : centre de la gaussenne σ : sa largeur Foncton trapézoïdale µ(x) = a x a b s x [a,b] s x [b,c] d x c d s x [b,d] 3

15 ..3 Opératons sur les ensembles flous.. Concepts de base de la logque floue Supposons que A et B sont deux ensembles flous défns dans un unvers de dscours X par les fonctons d appartenance µ A et µ B. On peut défnr des opératons telles que l égalté, l ncluson, l ntersecton, l unon et le complément grâce à des opératons sur les fonctons d appartenance. Egalté : A et B sont dts égaux, proprété que l on note A = B, s leurs fonctons d appartenance prennent la même valeur en tout pont de X : x X µ A (x) = µ B (x) Incluson : A est dt nclus dans B, proprété que l on note A B, s tout élément x de X qu appartent à A appartent auss à B : x X µ A (x) µ B (x) Intersecton : L ntersecton de A et B, que l on note A B, est l ensemble flou consttué des éléments de X affectés du plus pett des deux degrés d appartenance µ A et µ B : x X µ A B (x) = mn(µ A (x), µ B (x)) Unon : L unon de A et B, que l on note A B, est l ensemble flou consttué des éléments de X affectés du plus grand des deux degrés d appartenance µ A et µ B : x X µ A B (x) = max(µ A (x), µ B (x)) Dans ces défntons, mn et max désgnent, respectvement, l opérateur de calcul du mnmum et du maxmum des deux valeurs. Complément : Le complément de A, que l on note Ā, est l ensemble flou de X consttué des éléments x lu appartenant d autant plus qu ls appartennent peu à A : x X µā(x) = µ A (x)..4 Les règles floues Une règle floue R : S x est A Alors y est B est une relaton entre deux propostons floues ayant chacune un rôle partculer. La premère (x est A) est appelée prémsse de la règle alors que la seconde (y est B) est la concluson. 4

16 .. Concepts de base de la logque floue Dans le cas de propostons floues élémentares, la prémsse et la concluson sont défnes à partr de deux varables lngustques A et B décrvant les connassances relatves aux unvers de dscours X A et X B de manère à prendre en compte l mprécson relatve aux modaltés de A et B. Une proposton floue élémentare est souvent nsuffsante pour représenter l ensemble des nformatons à manpuler. Pluseurs propostons floues peuvent alors être combnées pour enrchr et détaller la représentaton. La relaton R entre la prémsse et la concluson de la règle est détermnée par une mplcaton floue dont le degré de vérté est défn par une foncton d appartenance µ R qu dépend du degré de vérté µ A et µ B de chacune des deux propostons élémentares. Les mplcatons les plus courantes permettant la détermnaton de la foncton d appartenance résultante décrvant la proposton floue R sont donnés par : l mplcaton de Mamdan : l mplcaton de Larsen : µ R (x,y) = mn(µ A (x), µ B (y)) µ R (x,y) = µ A (x).µ B (y) (.) x X A et y X B..5 Descrpton et structure d une commande par la logque floue Contrarement aux technques de réglage classque, le réglage par la logque floue n utlse pas des formules ou des relatons mathématques ben détermnées ou précses [Zeng et Sngh, 995]. Mas, l manpule des nférences avec pluseurs règles floues à base des opérateurs flous E, OU, ALORS,.... FIGURE. Structure nterne d un contrôleur flou. On peut dstnguer tros partes prncpales consttuant la structure d un régulateur flou : une nterface de Fuzzfcaton, un mécansme d Inférence, 5

17 .. Concepts de base de la logque floue et une nterface de Défuzzfcaton La fgure (Fg..) représente, à ttre d llustraton, la structure d un régulateur flou à une entrée x et une sorte u...5. Interface de fuzzfcaton La fuzzfcaton proprement dte consste à défnr des fonctons d appartenance pour les dfférentes varables lngustques. Cec a pour but la converson d une grandeur physque en une lngustque. Il s agt d une projecton de la varable physque sur les ensembles flous caractérsant cette varable. Cette opératon permet d avor une mesure précse sur le degré d appartenance de la varable d entrée à chaque ensemble flou. D une autre manère, l entrée x vare dans l unvers de dscours qu est partagé en un nombre fn d ensembles flous de telle sorte que dans chaque zone l y at une stuaton domnante. Afn de faclter le tratement numérque et l utlsaton des ces ensembles, on les décrt par les fonctons d appartenance. Elles admettent comme argument la poston de x dans l unvers de dscours, et comme sorte le degré d appartenance de x à la stuaton décrte par la foncton...5. Interface d nférence floue L nterface d nférence est formée de deux blocs : La base de regèles, composé d un ensemble de relatons lant les varables d entrées aux varables de sortes du système à régler. Chaque relaton est composée d une condton précédée du symbole S appelée prémsse, et d une concluson (acton, décson, opératon ou commande) précédée du symbole Alors. Le moteur d nférence réalse le tratement numérque des règles d nférence, décrtes par des opérateurs flous, pour obtenr la sorte lngustque ou floue du régulateur. Cette opératon est fate par dfférentes méthodes, on cte prncpalement : La méthode d nférence max-mn : L opérateur E est réalsé par la formaton du mnmum, l opérateur OU est réalsé par la formaton du maxmum, et l mplcaton (ALORS) est réalsée par la formaton du mnmum. La méthode d nférence max-produt : L opérateur E est réalsé par la formaton du produt, l opérateur OU est réalsé par la formaton du maxmum, et l mplcaton (ALORS) est réalsée par la formaton du produt. La méthode d nférence somme-prod : On réalse au nveau de la condton, l opérateur OU par la formaton de la somme (valeur moyenne), et l opérateur E par la formaton du produt. Pour la concluson, l opérateur ALORS est réalsé par un produt. 6

18 .3. Modélsaton floue..5.3 Interface de défuzzfcaton La transformaton d une nformaton floue en une nformaton détermnée est la défuzzfcaton (concrétsaton). Pendant cette étape se fat la déducton de la grandeur de sorte numérque à partr de l nférence floue. Il s agt de calculer, à partr des degrés d appartenance à tous les ensembles flous des varables d entrées et des ensembles flous de la varable de sorte, une valeur numérque de la varable de sorte en utlsant un ensemble de règles. Parm les stratéges de défuzzfcaton, on cte la méthode du centre de gravté, la méthode du maxmum et la méthode de la moyenne des maxmums. La technque du maxmum : elle est la plus smple. Elle consste à ne consdérer, pour chaque sorte, que la règle présentant le maxmum de valdté. Cette règle, gnore les règles secondares qu peuvent néanmons être mportantes pour le fonctonnement et la stablté du système. Elle est par conséquent peu employée. La technque de la moyenne des maxmums : elle consdère, comme valeur de sorte, la moyenne de toutes les valeurs pour lesquelles la foncton d appartenance ssues de l nférence est maxmale. La technque du centre de gravté : plus performante, elle consste à tracer, sur un même dagramme représentant les ensembles flous de sorte, les dfférentes zones correspondantes à chacune des règles et à calculer le centre de gravté de la zone consoldée. La méthode de défuzzfcaton la plus mentonnée dans la lttérature est celle de la détermnaton de l abscsse u Gr du centre de gravté de la foncton d appartenance résultante µ r (u). Nous avons ntrodut les notons de base de la théore des ensembles flous et de la logque floue. Nous pouvons dre que la logque floue ouvre des possbltés remarquables d explotaton des connassances des experts. Les applcatons utlsant la logque floue sont facles à réalser et à utlser. Dans le cas des stuatons plus complexes, la capacté de l être human à produre une représentaton et une descrpton de ces systèmes est devenue prmordales. C est ans que de nouvelles méthodologes ont été développées combnant la logque floue, les technques de modélsatons et les approches de commandes..3 Modélsaton floue Le développement de modèles mathématques pour les systèmes non lnares est un sujet central dans pluseurs dscplnes des scences et de l ngénere. radtonnellement, la modélsaton est vue comme la double conjoncton entre la compréhenson de la nature et du comportement d un système ans que le tratement mathématque appropré qu condusent à l obtenton 7

19 .3. Modélsaton floue d un modèle utlsable. Le beson d une forte compréhenson des éléments physques de base consttue une grande restrcton au nveau pratque quand on est confronté aux systèmes complexes ou mal connus. En effet, la mse en équatons des los qu gouvernent de tels systèmes condut généralement à un modèle de connassance trop complexe et une mse en oeuvre délcate. Dans ce cas, le recours à des technques de modélsaton élaborées à partr des mesures d entrée/sorte recuelles sur le système s mpose. L dentfcaton et la modélsaton floues à partr de données expérmentales sont des outls effcaces pour approxmer les systèmes non lnéares. Parm les modèles largement utlsés, nous trouvons ceux de akag-sugeno (S) [akag et Sugeno, 985][Angelov et Flev, 004]. L une des technques utlsées pour construre ces modèles est la classfcaton floue [Bezdek et Dunn, 975][Babuska et Verbruggen, 995] combnée aux technques des mondres carrés [Abony et al., 00]. Dans cette secton, nous allons présenter le prncpe de la classfcaton floue ans que les dfférents algorthmes assocés, la méthode de constructon des modèles de akag-sugeno à partr des données et un tour d horzon des approches de valdaton de la qualté de classfcaton et de la performance de la modélsaton..3. Concept de la classfcaton floue Lorsque la connassance de l expert n est pas dsponble, l dentfcaton d une structure dot être fate à partr des données. Une méthode de classfcaton floue peut alors permettre de parttonner l espace des données en pluseurs classes. Chacune de ces classes ou régons floues est caractérsée par un vecteur appelé centre de classe. L appartenance des données à un groupe est basé sur la vérfcaton d un degré de smltude. Habtuellement, l est calculé en utlsant une mesure approprée de dstance qu quantfe la dstance entre les données, représentées comme des ponts dans l espace caractérstque, et les centres des groupes. L utlsaton d un algorthme de classfcaton floue a l avantage essentel de permettre la génératon automatque des fonctons d appartenance ou des régons floues à partr des données. Elles sont construtes, en mnmsant une foncton coût. Parm les technques de classfcaton floue les plus utlsées, les méthodes d apprentssage supervsées et non supervsées. Ces dernères ne demandent aucune connassance a pror sur la structure des données [Babuska, 998]. Leur prncpal nconvénent est la nécessté d ntalser les algorthmes par un nombre de classe, paramètre d entrée, qu dot être estmé et fxé à pror [Frgu et Krshnapuram, 996]. Ce paramètre joue un rôle mportant dans la réalsaton d une classfcaton optmale. 8

20 .3. Modélsaton floue.3.. Matrce de données Dans les méthodes de classfcaton floue, les données sont typquement des observatons (mesures) ssues d un certan processus physque. Chaque k-ème observaton consttue un vecteur noté par Z k = [z k,z k,...,z nk ], avec K N, z k R n, ou N représente le nombre des observatons et n correspond au nombre de varables mesurées. Un ensemble de N observatons est dénoté par Z = {z k, k =,,...,N} et l est représenté comme étant une matrce donnée par : z z... z N z Z = z... z N (.).... z n z n... z nn Z sera appelée la matrce de données..3.. Partton floue Les algorthmes de classfcaton floue vsent à réalser un parttonnement d un ensemble de données en établssant une partton floue des observatons en un certan nombre de classes. La noton de partton floue, qu s est avérée d une grande utlté pour le développement des technques floues de classfcaton, a été ntrodute par Ruspn [Rupsn, 969]. Au sens de Ruspn (partton floue strcte), une c-partton floue d un ensemble Z peut être obtenue en défnssant des c sous-ensembles flous de Z tel que la somme des degrés d appartenance pour chaque observaton de Z sot untare. En fat, on assoce à chaque observaton z k Z, un vecteur de degrés d appartenance aux dfférentes classes. La juxtaposton de ces vecteurs pour l ensemble des N observatons de Z amène à la défnton d une matrce d appartenance U (de dmenson c N ) où l élément µ k représente le coeffcent d appartenance de l observaton z k à la classe, =,...,c. Cette matrce établt une relaton d ordre floue et tradut l dée d une partton floue en c classes. La matrce d appartenance U = [µ k ] est également appelée matrce de partton floue et respecte les proprétés suvantes : µ µ... µ j... µ N µ µ... µ j... µ N U = µ µ... µ j... µ N µ c µ c... µ c j... µ cn (.3) 9

21 .3. Modélsaton floue. la -ème lgne de U, U = (µ, µ,..., µ n ) content les n degrés d appartenance au -ème sous ensemble flou,. la j-ème colonne U j = (µ j, µ j,..., µ c j ) content les c degrés d appartenance du j-ème élément de Z au c sous ensembles flous, 3. la somme de tous les degrés d appartenance d une donnée z k quelconque étant égale à, la somme de tous les éléments d une même colonne vaut par conséquent : c = µ k =, k {,,...,N}, (.4) FIGURE.3 Prncpe de la classfcaton floue Dans la fgure (Fg..3), l ensemble de données est parttonné en deux classes de centres v et v. La matrce de partton rassemble les degrés d appartenance des dfférents ponts aux deux classes. La donnée z k est à une dstance d(z k,v ) de la premère classe et à d(z k,v ) de la deuxème. Du fat que d(z k,v ) < d(z k,v ), le degré d appartenance µ k sera donc supéreur à µ k..3. Algorthmes de classfcaton floue Ces algorthmes ont comme paramètre d entrée le nombre de classe. Ils partagent l ensemble de N objets en c groupes, la smlarté à l ntéreur d un même groupe est élevée, mas fable entre les dfférentes classes. Pour ce fare, ces algorthmes tèrent en deux étapes, d abord ls 0

22 .3. Modélsaton floue calculent les centres des groupes et ensute ls assgnent chaque objet au centre le plus proche. Chaque classe est caractérsée par le centre et par ses éléments. Les algorthmes de classfcaton flou optmsent tératvement un crtère de classfcaton afn d établr une partton floue d un ensemble de données en un certan nombre de classes. Le groupement des données est fat à partr d une phase d apprentssage en utlsant une mesure de smltude par l ntermédare de technques de classfcaton. Dans cette secton, nous allons présenter les deux méthodes les plus utlsées dans le domane de l dentfcaton de structure des systèmes : les FCM (C-moyenne floue) classques développés par Bezdek [Bezdek, 98] et l algorthme proposé par Gustafson-Kessel (GK) [Gustafson et Kessel, 978]. La premère méthode permet la détecton de classes hypersphérques, tands que la deuxème détecte des classes hyperellpsoïdales, typquement meux adaptées à la géométre des observatons..3.. Algorthme des c-moyennes floues(fcm) L algorthme (FCM), ssu des travaux de Dunn [Dunn, 974] et améloré plus tard par Bezdek [Bezdek, 98]], consttue une référence parm les dfférentes méthodes de classfcaton floue basées sur la mnmsaton de la foncton objectf de la forme : J FCM (Z;U,V ) = où Z est l ensemble des données, c N = k= (µ k ) m D ka (.5) U = [µ k ] est la matrce de partton floue (de dmenson c x N ), V = [v,v,...,v c ] est le vecteur de centre de classes qu dot être détermné, avec v R n centre de la -ème classe, < < c. D ka = z k v A = (z k v ) A(z k v ), c, k N est une norme de dstance quadratque dans l espace consdéré, qu défnt la mesure de dstance entre l observaton z k et le centre v au sens de la métrque ndute par A. m [, ]est un facteur qu désgne le degré de flou de la partton. Dans l équaton (.5), la mesure de non-smlarté exprmée par le terme J FCM (Z;U,V ) est la somme des carrés des dstances entre chaque vecteur de données z k et le centre v de la classe correspondante. L effet de cette dstance est pondéré par le degré d actvaton (µ k m) correspondant au vecteur de données z k. La valeur de la foncton coût J FCM (Z;U,V ) peut être vue comme une mesure de la varance totale de z k par rapport aux centres v.

23 .3. Modélsaton floue La mnmsaton de la foncton objectve (.5) nous donne : µ k = c j= ( D ka D jka ) m c, k N (.6) Le prncpe de l algorthme est donné par : v = N k= (µ k) m z k N k= (µ k) m c (.7) Etant donné l ensemble de données Z, chosr un nombre de classe < c < N, l exposant m >, la tolérance d arrêt ε > 0 et la matrce de norme A. Intalser aléatorement la matrce de partton U : Répéter pour l = 0,,,... Etape :Calculer les centres des classes : v l = N k= N k= ( ) µ (l) m k zk ( µ (l) k ) m c Etape :Calculer les dstances : ( D ka = z k v (l) ) A ( z k v (l) ) c, k N Etape 3 :Mettre à jour la matrce de partton : S D ka > 0 pour c, k N µ (l) k = ( c j= D ka D jka ) m Autrement Jusqu à µ (l) k U (l) U (l ) < ε = 0 s D ka < 0, et µ (l) k [0,] avec c = µ(l) k = La forme des classes est détermnée par le chox de la matrce A dans l équaton. Le chox partculer A = I, ndut la norme Eucldenne standard : D ka = (z k v ) (z k v ) (.8)

24 .3. Modélsaton floue dans ce cas les classes détectées ont des formes sphérques..3.. Algorthme de Gustafson-Kessel(GK) En 979, Gustafson et Kessel [Gustafson et Kessel, 978] ont généralsé l algorthme FCM en employant une norme de dstance adaptatve dans le but de détecter des classes de dfférentes formes géométrques dans un ensemble de données. Dans ce cas, chaque classe possède sa propre matrce de norme, ce qu entraîne : D ka = z k v A = (z k v ) A (z k v ) (.9) On suppose que la matrce A vérfe l hypothèse : où ρ est fxé pour chaque classe. A = ρ,ρ > 0 (.0) Dans ce cas, l optmsaton de (.5) nous donne l expresson suvante pour A : A = [ρ det(f )] n F (.) où F est la matrce de covarance floue de la -ème classe donnée par : ce qu nous mène à l algorthme de (GK) suvant : F = N k= (µ k) m (z k v )(z k v ) N k= (µ k) m (.) Etant donné l ensemble de données Z, chosr un nombre c de classes < c < N, l exposant m >, la tolérance d arrêt ε > 0 et la matrce de norme A. Intalser aléatorement la matrce de partton U : Répéter pour l =,,... Etape :Calculer les centres des classes : v l = N k= N k= ( ) µ (l ) m k zk ( µ (l ) k ) m c Etape :Calculer les matrces de covarances des classes : 3

25 .3. Modélsaton floue F = N k= ( µ l k Etape 3 :Calculer les dstances : ( ) D ka = z k v (l) [ ) m (zk v (l) N k= (µ k) m ]( (ρ det(f )) n F )(z k v (l) z k v (l) ) ) c c, k N Etape 4 :Mettre à jour la matrce de partton : S D ka > 0 pour c, k N µ (l) k = c j= ( D ka D jka ) m Autrement µ (l) k = 0, s D ka < 0, et µ (l) k [0,] avec c = µ (l) k = Jusqu à U (l) U (l ) ε L avantage de l algorthme de GK par rapport à l algorthme FCM est sa capacté de détecter des classes possédant des formes et des orentatons dfférentes dans un seul ensemble de données comme le montre la fgure (Fg..4). FIGURE.4 (a) Classe sphérque détectable par les algorthmes FCM et GK, (b) Classe Ellptque détectable seulement par l algorthme GK 4

26 .3.3 Constructon de modèles S à partr des données.3. Modélsaton floue Dans le cadre de la modélsaton floue des systèmes, l ntérêt porte sur l obtenton des modèles akag-sugeno qu permettent une décomposton d un système non lnéare en un ensemble de sous systèmes lnéares. Nous abordons ans une descrpton d une méthodologe générale pour la constructon des modèles flous du type S, en mettant l accent sur les besons communs qu sont : la génératon des fonctons d appartenance et l obtenton des paramètres des conséquents Sélecton de la structure L objectf de cette étape est la détermnaton des entrées et sortes prépondérantes par rapport au but fnal de la modélsaton. Quand l s agt de l dentfcaton des systèmes dynamques, l faut chosr la structure et l ordre du modèle dynamque. Pour le cas des systèmes non lnéares, cela s effectuera en deux étapes : Une étude hors lgne pour détermner le modèle lnéare. Une étude en lgne pour adapter les paramètres du modèle Classfcaton des données La sélecton de la structure condut à un problème de régresson non lnéare statque, qu est alors approxmée par une collecton de sous modèles lnéares locaux. La localsaton et les paramètres des sous modèles sont établs en parttonnant les données dsponbles en classes. Chacune des classes défne une régon floue dans laquelle le système peut être approxmé localement par un sous modèle lnéare. Dans le cas des algorthmes (FCM), l estmaton des paramètres des sous modèles lnéares affnes fat part du processus de classfcaton. Par contre, dans le cas de l algorthme de GK, l obtenton des paramètres des conséquents du modèle S correspondant est fate lors d une étape postéreure au processus de la classfcaton. D autre part, l faut remarquer auss que pour ces algorthmes, l utlsateur dot défnr à l avance le nombre c de classe. Ce nombre reste constant pendant toute la durée d exécuton de l algorthme Génératon des fonctons d appartenance des antécédents Les fonctons d appartenance des antécédents peuvent être obtenues en calculant les degrés d appartenance drectement dans l espace produt des varables de l antécédent. Elles peuvent auss être extrates à partr de la matrce de partton floue U en applquant le mécansme de projecton sur ces varables. 5

27 .3. Modélsaton floue FIGURE.5 Illustraton du mécansme de projecton Génératon par projecton Le prncpe de cette méthode est de projeter pour chaque règle, les ensembles flous défns pont par pont dans la matrce de partton floue U sur les varables ndvduelles des antécédents. On projette donc la matrce de partton floue sur chacun des axes des varables (.e., sur les régresseurs). La fgure(fg..5) llustre le mécansme de projecton d un ensemble flou A de dmenson, sur les deux axes des antécédents x et x. Génératon par Paramétrsaton Une défnton pont par pont de l ensemble flou A j est obtenue en projetant la -ème lgne µ de la matrce de partton floue U sur la varable x j de l antécédent. Afn d obtenr un modèle dans un but de prédcton ou de commande, les fonctons d appartenance de l antécédent dovent être exprmées sous une forme qu permet le calcul des degrés d appartenance, même pour des données d entrée non contenues dans l ensemble des données Z. Cela est réalsé en approxmant la foncton d appartenance défne pont par pont par une foncton paramétrque approprée [Babuska, 998]. La fgure (Fg..6) montre le mécansme de projecton pour la cas d un ensemble de données parttonné en deux classes de centres v et v. 6

28 .3. Modélsaton floue FIGURE.6 Approxmaton des données projetées par une foncton d appartenance paramétrque Obtenton des paramètres des conséquents Les paramètres des conséquents peuvent être établs par la technque des mondres carrés, en utlsant comme facteurs de pondératon des données les degrés d appartenance de la matrce de partton floue U ssus du processus de classfcaton. Cette approche condut à une formulaton de c problèmes ndépendants de type mondres carrés pondérés dans laquelle les degrés d appartenance exprment l mportance de la pare de données (x k,y k ) par rapport à chaque -ème sous modèle lnéare local y = a + d, avec c. Les données d dentfcaton entrée-sorte Z k = [z k,y k], avec k N, et les degrés d appartenance µ k de la matrce de partton floue sont regroupés dans les matrces suvantes : X = x x., y = y y., W = µ µ (.3) x N y N µ N Les paramètres des conséquents a et d appartenant à la règle correspondant à la -ème classe sont concaténés dans un seul vecteur de paramètres θ, donné par : θ = [a,d ] (.4) 7

29 .3. Modélsaton floue Afn de faclter le calcul, la matrce de régresson X est augmentée en ajoutant un vecteurcolonne untare, selon l expresson : X e = [X,] (.5) S les colonnes de X e sont lnéarement ndépendantes et µ k > 0 pour k N, alors la soluton des mondres carrés de y = X e θ +ε, où la k-ème pare de données (x k,y k ) est pondérée par µ k, est donnée fnalement par l expresson : θ = ( X e W X e ) X e W y (.6) Les paramètres a et d sont donnés respectvement par : a = [θ,θ,...,θ p ], d = θ p+ (.7).3.4 Modèle flou de akag-sugeno Le modèle flou akag et Sugeno (S) [akag et Sugeno, 985] est structuré comme une nterpolaton de systèmes lnéares. Il est prouvé que les modèles flous S sont des approxmateurs unversels [Buckley, 99][Castro, 995]. Le modèle de S est, comme celu de Mamdan, construt à partr d une base de règles «S... Alors...», dans laquelle s la prémsse est toujours exprmée lngustquement, le conséquent utlse des varables numérques plutôt que des varables lngustques. Le conséquent peut s exprmer par exemple, sous la forme d une constante, d un polynôme ou de manère plus générale d une foncton ou d une équaton dfférentelle dépendant des varables assocées à l antécédent. D une manère générale, un modèle de type S est basé sur une collecton des règles R du type : R : S x est A Alors y = f (x) =,...,r (.8) où R dénote la -ème règle du modèle et r est le nombre de règles que content la base de règles. x R p est la varable d entrée (antécédent) et y R est la varable de sorte (conséquent). A est le sous-ensemble flou de l antécédent de la -ème règle, défne, dans ce cas, par une foncton d appartenance multvarable de la forme : µ A (x) : R p [0,] (.9) Comme dans le modèle lngustque, la proposton de l antécédent «x est A» est normalement exprmée comme une combnason logque de propostons smples avec des sous- 8

30 .3. Modélsaton floue ensembles flous undmensonnels défns pour les composants ndvduels du vecteur x, usuellement dans la forme conjonctve suvante : R : S x est A et x est A et... et x p est A p Alors y = f (x) =,...,r (.0) ypquement les fonctons f sont choses comme des fonctons paramétrées approprées, avec la même structure pour chaque règle où seuls les paramètres varent. Une forme de paramétrsaton souvent utlsée est la forme affne, donnée par : y = a x + d (.) où a R p est un vecteur de paramètres et d est un scalare. Ce modèle est appelé le modèle affne S. Les conclusons des règles dans ce modèle sont alors des hyperplans (sous-espaces lnéares p-dmensonnels) dans l espace R p+. Ans, en modélsaton floue des systèmes, l antécédent de chaque règle défnt une régon floue de valdté pour le sous modèle correspondant du conséquent. Le modèle global est composé par la concaténaton des modèles locaux (lnéares) et peut être vue comme une approxmaton par morceaux d une surface non lnéare correspondant à la sorte du système. Avant de pouvor nférer la sorte, l faut calculer d abord le degré d accomplssement ω (x) de l antécédent. Pour les règles avec des sous-ensembles flous multvarables dans l antécédent, le degré d accomplssement est smplement égal au degré d appartenance de l entrée multdmensonnelle x ; c est-à-dre ω = µ A (x). Quand des relatons logques sont utlsées, le degré d accomplssement de l antécédent est calculé comme une combnason des degrés d appartenance des propostons ndvduelles en utlsant les opérateurs de la logque floue. Dans la modélsaton S, l obtenton de la sorte du modèle est réalsée à partr d une combnason des opératons d nférence et de défuzzfcaton. La sorte fnale se calcule comme la moyenne des sortes correspondants aux règles R, pondérées par le degré d accomplssement normalsé, selon l expresson [akag et Sugeno, 985] : y = r = ω (x)y r = ω En notant µ le degré d accomplssement normalsé conformément à l expresson : (.) µ = ω (x)y r = ω (.3) le modèle affne S, avec une structure commune du conséquent, peut être exprmé comme 9

31 .3. Modélsaton floue un modèle lnéare avec des paramètres dépendants des entrées : y = ( r = µ (x)a )x + r = µ (x)d = a (x) + d(x) (.4) Dans le cas des modèles dynamques affnes akag-sugeno en temps dscret sous la forme non lnéare Auto-Régressve avec entrée exogène (NARX), la relaton entre les valeurs précédentes des entrées et sortes avec la sorte prédte ŷ(k + ) est étable de la manère suvante : ŷ(k + ) = f (y(k),...,y(k n y + ),u(k),...,u(k n u + )) (.5) où k dénote l nstant d échantllonnage, n y et n u sont des enters lés à l ordre du système. Une fos que la structure approprée est étable, la foncton f peut être approxmée en utlsant une régresson statque non lnéare, correspondant dans notre cas au modèle flou de type S. Dans le modèle NARX, Le vecteur de régresson est composé par un certan nombre d entrées et de sortes précédentes : x = [y(k),...,y(k n y + ),u(k),...,u(k n u + )] avec ŷ(k + ) est la sorte prédte. Pour le cas des systèmes avec retard pur entre l entrée et la sorte peut être drectement ncorporé sur le vecteur de régresson sous la forme donnée par : x = [y(k),...,y(k n y + ),u(k n d + ),...,u(k n d n u + )] où n d est une valeur entère du retard en nombre d échantllons. Par smplcté, nous prenons par la sute n d =. Dans ce cas, les règles du modèle dynamque S prennent la forme : R : S y(k) est A et y(k ) est A et... et y(k n y + ) est A ny et u(k) est B et u(k ) est B et... et u(k n u + ) est B ny Alors y (k + ) = n y j= a jy(k j + ) + n u j= b j u(k j + ) + d =,...,r (.6) La sorte globale du modèle est calculée à partr de l expresson : y(k + ) = r = ω (k)y (k + ) (.7) Dans laquelle ω (k) [0,] est le degré d accomplssement normalsé et r = ω (k) =. En plus de la représentaton des structures entrée-sorte les plus fréquentes, les modèles 30