EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES MÉTHODE D EULER. Table des matières. 1. L exponentielle comme solution d une équation différentielle

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1 EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES MÉTHODE D EULER OLIVIER DEBARRE NICOLE BOPP Table des matières. L expoetielle comme solutio d ue éuatio différetielle 2. Caractérisatio de l expoetielle par ue éuatio foctioelle 4 3. Le logarithme épérie comme foctio réciproue de l expoetielle 5 4. Diverses caractérisatios des foctios logarithme 6 5. Costructio directe des foctios logarithme 8 6. La méthode d Euler. L expoetielle comme solutio d ue éuatio différetielle Ue des faços de défiir l expoetielle est de la costruire comme solutio d ue éuatio différetielle. Théorème. Il existe ue uiue foctio dérivable f : R R vérifiat f0) = et f = f. O otera cette foctio «exp». O l appelle la foctio expoetielle. Démostratio. O veut défiir fx) comme la limite de la suite + x ) défiie pour > x ). Le plus rapide même si ce est pas très aturel) est de motrer ue les deux suites u x) = + ) x et v x) = x ) = u x) défiies pour > x ) sot adjacetes. Lemme. Pour tout etier aturel et tout réel x >, o a + x) + x. Démostratio. O démotre le lemme par récurece sur. Pour = 0, il y a rie à motrer. Si + x) + x, o a, puisue + x est positif, + x) + + x) + x) = + x + x + x )x

2 2 OLIVIER DEBARRE NICOLE BOPP ce ui motre le lemme. Motros ue la suite u x)) est croissate. O a pour > x u + x) = + x ) = + x ) + x ) + x ) + = u x) + ) x + x + x ) par le lemme O e déduit ue la suite v x)) est décroissate puisue v x) = u x). De plus u x) ) v x) = x2 2 d où, e utilisat le lemme, toujours pour > x, x2 u x) v x) ce ui motre ue les deux suites u x)) et v x)) sot adjacetes. O ote fx) leur limite commue. O a bie f0) =. Pour étudier la dérivée de la foctio f, o étudie le taux d accroissemet fx+h) fx). O a, pour h < et > x +, h u x + h) = + x + h ) = + x ) h + ) + x + x ) + h + x ) par le lemme soit, e passat à la limite, fx + h) + h)fx). E remplaçat h par h, o obtiet fx h) h)fx) puis, e remplaçat x par x + h, o obtiet fx) h)fx + h), d où, pour h > 0, et pour h < 0, fx) fx) h fx + h) fx) h fx + h) fx) h fx) h fx)

3 EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES MÉTHODE D EULER 3 O obtiet e faisat tedre h vers 0 ue f est dérivable e x, de dérivée fx), et ceci termie la démostratio du théorème. Remarue. La valeur u x) est celle obteue e appliuat la méthode d Euler pour résoudre l éuatio idfféretielle y = y sur l itervalle d extrémités 0 et x e le subdivisat e parties égales voir 6). Propositio. Pour tous réels x et y, o a ) expx + y) = expx) expy) Démostratio. Fixos x et y. La dérivée de la foctio g : z expx + y z) expz) est g x) = exp x + y z) expz) + expx + y z) exp z) = expx + y z) expz) + expx + y z) expz) = 0 La foctio g est doc costate, égale à g0) = expx + y). O a doc expx + y z) expz) = expx + y) pour tous réels x, y et z. E faisat z = y, o obtiet la propositio. Propositio 2. Soit a u réel et soit g : R R ue foctio dérivable vérifiat g = ag. O a alors gx) = g0) expax) pour tout réel x. Démostratio. Posos hx) = gx) exp ax). O a h x) = g x) exp ax) agx) exp ax) = agx) exp ax) agx) exp ax) = 0 La foctio h est doc costate, égale à h0) = g0). Notatio expoetielle. Pour tout réel a > 0 et tout ratioel p/, l expressio a p/ est déjà défiie comme la racie ième de a p. O déduit facilemet de ) ue, pour tout etier et tout réel x, o a expx) = expx), puis, pour tout ratioel p/, expx) p = exppx) = exp p ) p )) x = exp x de sorte ue exp p x) est la racie ième de expx)p, c est-à-dire p ) exp x = expx) p/ O rappelle ue la racie ième d u réel positif x est défiie comme l uiue réel positif dot la puissace ième est x ; so existece découle du théorème des valeurs itermédiaires.

4 4 OLIVIER DEBARRE NICOLE BOPP E particulier, si o pose e = exp), o a exp p ) = ep/. O peut doc poser sas coflit e x = expx) pour tout réel x c est ue otatio). Remaruos ue l o a pas défii ici a x pour tout réel a > 0 et tout réel x. 2. Caractérisatio de l expoetielle par ue éuatio foctioelle O caractérise la foctio expoetielle par l éuatio foctioelle ). Théorème 2. Soit f : R R ue foctio o idetiuemet ulle, cotiue e 0 et vérifiat fx + y) = fx)fy) pour tous réels x et y. Il existe u réel a tel ue pour tout réel x. fx) = e ax La cotiuité de f e u poit est essetielle e fait, l itégrabilité de f suffit, comme le motre la démostratio ci-dessous). Cepedat, la costructio de foctios autres ue les expoetielles vérifiat ) est délicate elle fait appel à l axiome du choix). Démostratio. Le premier pas est de motrer ue f est dérivable. Remaruos tout d abord ue la cotiuité de f e 0 et la relatio ) etraîet la cotiuité de f sur tout R. D autre part, si f s aule e u poit x 0, o a fx) = fx x 0 )fx 0 ) = 0 pour tout x, ce ui cotredit l hypothèse. Doc f e s aule pas, et comme fx) = fx/2) 2, elle e pred ue des valeurs strictemet positives. O a e particulier fy) dy > 0. Comme f0) = 0 f0)2, o a aussi f0) =. Itégros etre 0 et la relatio ), où les deux membres sot cosidérés comme des foctios de y. O obtiet 0 fx + y) dy = fx) E faisat u chagemet de variables, o obtiet fx) = x+ x 0 fz) dz = fy) dy x+ 0 fy) dy fz) dz x fz) dz 0 0 fy) dy Comme l itégrale d ue foctio cotiue est ue foctio dérivable de ses bores, f est dérivable. E dérivat ) par rapport à y, puis e faisat y = 0, o obtiet 0 f x) = fx)f 0) La propositio 2 etraîe fx) = f0)e xf 0) = e xf 0).

5 EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES MÉTHODE D EULER 5 3. Le logarithme épérie comme foctio réciproue de l expoetielle La foctio exp est strictemet croissate, dérivable à dérivée strictemet positive, de limites 0 e et + e +. Elle admet ue foctio réciproue ]0, + [, ue l o appelle le logarithme épérie et ue l o ote «log», ou «l». Elle vérifie log) = 0, loge) =, logxy) = logx) + logy), e logx) = x pour tous réels x, y strictemet positifs. E dérivat e logx) = x, o obtiet log x)e logx) = c est-à-dire log x) =. x La costructio du logarithme présetée ci-dessus est idirecte : o a d abord costruit l expoetielle comme solutio d ue éuatio différetielle, puis o a défii le logarithme comme sa foctio réciproue. O peut aussi défiir directemet la foctio logarithme e posat logx) = pour tout x > 0, mais o a besoi pour cela de la théorie de l itégratio. Ispirés par la costructio de l expoetielle, o pourrait teter ue costructio directe du logarithme basée sur la méthode d Euler. Après tout, il vérifie aussi ue éuatio différetielle, à savoir log x) = /x. Si o subdivise l itervalle d extrémités et + x e parties égales, o obtiet des valeurs a j e + jx ui vérifiet x dy y a 0 = 0, a j+ = a j + x ) + jx c est-à-dire a j+ = a j + x, soit pour valeur e + x +jx u x) = x + x + x + + x + )x C est aussi ue somme de Riema.) Il s agit alors de motrer : a) ue pour tout x >, la suite u x)) >0 coverge vers ue limite ue l o ote f + x) ; b) ue la foctio f aisi défiie est dérivable, de dérivée /x. Pas si simple! O verra das le 5 ue costructio directe u peu techiue) ui e fait pas o plus appel à la théorie de l itégratio, basée sur la propriété logxy) = logx) + logy). Nous récapitulos à la fi du uméro suivat les diverses faços possibles d itroduire les foctios logarithmes.

6 6 OLIVIER DEBARRE NICOLE BOPP 4. Diverses caractérisatios des foctios logarithme O dira u ue foctio f : ]0, + [ R vérifie la relatio ) si fxy) = fx) + fy) pour tous x et y strictemet positifs. ) Théorème 3. Soit f : ]0, + [ R ue foctio o idetiuemet ulle. Les assertios suivates sot éuivaletes : i) f est dérivable sur ]0, + [, f) = 0 et il existe u réel λ 0 tel ue f x) = λ x ; ii) f est dérivable sur ]0, + [ et vérifie ) ; ii ) f est dérivable e x = et vérifie ) ; iii) f est cotiue sur ]0, + [ et vérifie ) ; iii ) f est cotiue e x = et vérifie ) ; iv) f est strictemet mootoe sur ]0, + [ et vérifie ). Démostratio. Remaruos tout d abord ue si f vérifie ) alors f) = 0. iii) iii ) Si f vérifie ) o a, pour x > 0 et h assez petit, fx + h) fx) = f + h x ) = f + h x ) f) Si la foctio f est cotiue e, elle est doc cotiue e tout poit x > 0 et la rćiproue est triviale. ii) ii ) Si f vérifie ) o a pour x > 0 et h assez petit fx + h) fx) h = x f + h x ) f) h x Si la foctio f est dérivable e, elle est doc dérivable e tout poit x > 0 et la réciproue est triviale.. i) ii) Das le cas où f vérifie ii), o obtiet, e faisat tedre h vers 0 das la relatio motrée ci-dessus, ue pour tout x > 0 o a f x) = f ) x ce ui motre bie, puisue f) = 0, ue f vérifie i) avec λ = f ). Réciprouemet si f vérifie i), cosidéros la foctio ϕ : x fxy) fx) fy) pour y > 0. La foctio ϕ ets dérivable et o a ϕ x) = y λ xy λ x 0 = 0 Par coséuet ϕ est ue costate ui déped a priori de y). Comme elle s aule e 0, o e déduit ue ϕ est idetiuemet ulle, c est-à-dire ue f vérifie la relatio ). ).

7 EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES MÉTHODE D EULER 7 ii) iii) Il s agit de motrer ue si f est cotiue et vérifie ), elle est dérivable. Pour cela, o itègre la relatio ) etre y = et y = 2 ; cette itégratio est bie défiie puisue les foctios y fx) + fy) et y fxy) sot cotiues. O obtiet aisi pour tout x > 0 2 fxy) dy = fx) + 2 fy) dy E utilisat le chagemet de variable u = xy, o peut écrire le premier membre de cette égalité sous la forme fu) du et o obtiet x 2x x 2x fx) = fu) du fy) dy x x O e déduit ue la foctio f est dérivable puisue le deuxième terme de cette égalité est ue costate et le premier dérivable par le théorême fodametal du calcul différetiel et itégral 2. iv) = iii) Supposos par exemple f strictemet croissate sur [0, + [. Comme f) = 0, o a fa) > 0 pour tout a >. Choisissos u tel a. Nous allos utiliser les deux propriétés suivates : la suite a ted vers 3 ; fa ) = fa), ui est coséuece de ). Motros ue f est cotiue e u poit x 0 > 0. Pour cela, o remarue si x > 0 est tel ue 2) a x a x 0 la croissace de f impliue Or les iégalités 2) sot éuivaletes à Soit ε > 0, et soit N tel ue 2 fa) fx) fx 0) fa) x 0 a ) x x0 x 0 a ) 0 < fa) < ε Défiissos η par ) η = mi x 0 a ), x0 a ) 2 O pourra remaruer ue l o a largemet utilisé les résultats de la théorie de l itégrale de Riema das cette démostratio. 3 Pour le démotrer sas utiliser les foctios expoetielle ou logarithme il suffit d utiliser le lemme et d écrire a = + a )) + a ).

8 8 OLIVIER DEBARRE NICOLE BOPP O déduit des iégalités ci-dessus x x 0 < η = fx) fx 0 ) < ε ce ui prouve la cotiuité de f e x 0. Das le cas où f est strictemet décroissate, il suffit de choisir a > tel ue fa) < 0 et de reverser les iégalités où iterviet la foctio f pour obteir le résultat. Pour coclure la démostratio du théorème, o remarue ue si ue foctio f vérifie i), sa dérivée a u sige costat et par coséuet elle est strictemet mootoe. Comme ous avos d autre part motré ue das ce cas f vérifie la relatio foctioelle ), ous e cocluos ue iv) est bie éuivalet aux autres assertios. Pour défiir le logarithme épérie plusieurs optios sot possibles : Chercher ue foctio vérifiat ) avec λ =. C est ce ui est fait e termiale. L existece d ue telle foctio se déduit de l existece d ue primitive pour ue foctio cotiue. Chercher ue foctio vérifiat 2), puis motrer ue 2)= ). Cela demade aussi d admettre l existece d ue primitive mais c est plus satisfaisat d u poit de vue historiue de partir de l éuatio foctioelle. O peut alors caractériser le logarithme épérie par λ = et parler aturellemet des autres logarithmes e particulier de celui de base 0. C est toutefois u peu restrictif de supposer a priori ue la foctio est dérivable. Chercher ue foctio vérifiat 3), puis motrer ue 3)= 2) et se rameer au cas précédet. Cela ous semble le plus itéressat pour ue leço de CAPES, bie u il faille cosidérer comme cous les résultats de la théorie de l itégratio. Le plus satisfaisat serait d être le mois restrictif possible sur les propriétés de la foctio et doc de chercher directemet ue foctio vérifiat 4) puis de motrer so existece sas utiliser la théorie de l itégratio. C est ce ui est fait au uméro suivat, mais la démostratio est sas doute trop difficile pour ue leço de CAPES. 5. Costructio directe des foctios logarithme O peut défiir directemet la foctio «log» de faço tout-à-fait élémetaire, sas faire appel à la théorie de l itégratio. O recherche simplemet les foctios f : ]0, + [ R ui vérifiet la relatio 3) fxy) = fx) + fy) pour tous réels strictemet positifs x et y. Au lieu, de supposer f cotiue, o va la supposer strictemet croissate.

9 EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES MÉTHODE D EULER 9 Propositio 3. Pour tout réel a >, il existe ue uiue foctio strictemet croissate f : ]0, + [ R telle ue a) fxy) = fx) + fy) pour tous réels strictemet positifs x et y ; b) fa) =. La foctio f aisi défiie est appelée «logarithme de base a», oté log a. Si a ]0, [, la foctio log /a vérifie l éuatio foctioelle et pred la valeur e a, ce ui justifie de la oter aussi log a. Elle est, bie sûr, décroissate. Démostratio. Supposos u ue telle foctio existe. O aura alors doc f) = 0, et f) = f ) = f) + f) fx ) = fx x) = fx ) + fx) = fx) par récurrece sur ). E particulier, fa ) = fa) = Pour costruire ue foctio f comme das l éocé de la propositio, o commece doc par comparer les ombres réels positifs aux puissaces de a. Lemme 2. Pour tout réel x > 0, il existe u etier relatif m tel ue a m x < a m+. Démostratio. Comme a >, o a lim + a = + et lim a = 0. Il existe doc u plus petit etier relatif m tel ue x < a m+. O a alors a m x, d où le lemme. Fixos u réel x > 0 et cosidéros la partie A x de R défiie par { p } A x = Q > 0 et ap x il faut remaruer ue a p x éuivaut à a kp x k pour tout etier k de sorte ue cette propriété déped de la fractio p seulemet, et pas du choix de p et ). La partie A x est ue partie majorée de R : si m est l etier doé par le lemme, c est-à-dire si a m x a m+, alors m + majore A x. E effet, si p A x, o a p m + puisue ap x a m+). Doc A x a ue bore supérieure das R. Remaruos ue si p A x, et ue f est ue foctio vérifiat les coditios de la propositio, o a a p x, doc p = fa p ) fx ) = fx) puisue f est croissate. O e déduit fx) sup A x. Iversemet, pour tout ε > 0, il existe u ratioel p tel ue sup A x + ε p > sup A x. O a alors p / A x, de sorte ue a p > x, et p = fa p ) > fx ) = fx) puisue f est strictemet croissate. O a doc fx) < p sup A x + ε, ceci pour tout ε.

10 0 OLIVIER DEBARRE NICOLE BOPP Cela motre déjà l uicité de la foctio f : si elle existe, o doit avoir fx) = sup A x pour tout x > 0. O défiit maiteat f aisi, et il faut vérifier u elle satisfait bie aux coditios de la propositio. Tout d abord, puisue a >, des etiers p et vérifiet a p a si et seulemet si p. Esuite, o a { p } { p } A a = Q ap a = Q p de sorte ue fa) = sup A a =. Remaruos ue, si a p x a p+r, alors p A x, de sorte ue fx) p. Esuite, pour tout p das A x, o a a p x, et a p x = x ) a p+r ) = a p+r) de sorte ue p p + r) et p p+r. O a doc p p+r fx). Motros maiteat ue cette foctio vérifie «l éuatio foctioelle» 3). Doos-ous des réels x et y. Pour tout etier, il existe par le lemme des etiers p et p tels ue a p x a p+, a p y < a p + de sorte ue a p+p xy) a p+p +2 Mais alors, o a par ce ui précède p fx) p +, p fy) p + E ajoutat les deux premières iégalités, o obtiet de sorte ue p + p, p + p fx) + fy) p + p + 2 fxy) p + p + 2 fxy) fx) fy) 2 ceci pour tout etier. Doc fxy) = fx) + fy). Motros à préset ue f est strictemet croissate. Comme elle trasforme multiplicatio e additio, il est aturel de cosidérer, si 0 < x < y, le rapport z = y >. x Comme lim + z A z et doc fz) = +, il existe u etier tel ue a < z. Alors > 0. Efi fy) = fzx) = fz) + fx) > fx) O a aisi fii la démostratio de la propositio.

11 EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES MÉTHODE D EULER Propositio 4. Si b > 0 et b, o a log a x = log a b)log b x). Démostratio. La foctio x log a x est bie défiie puisue b, doc log a b log a b 0 ; elle vérifie l éuatio foctioelle 3), elle est strictemet mootoe, et vaut e b. C est doc la foctio log b. Propositio 5. La foctio log a est cotiue sur ]0, + [. Démostratio. Il suffit de traiter le cas a >. Soit x 0 u poit de ]0, + [. Fixos u etier > 0. Le réel a vérifie log a a) = et a >, puisue a >. Soit x u réel strictemet positif tel ue x 0 a ) x x 0 x 0 a ) ; o a alors a x x 0 a d où, comme la foctio log a est croissate, log ax/x 0 ), soit ecore log a x) log a x 0 ). Ceci achève la démostratio de la propositio. La foctio log a est cotiue et strictemet mootoe, de sorte u elle possède ue foctio réciproue cotiue appelée «expoetielle de base a» et otée exp a, défiie sur tout R et preat toutes les valeurs strictemet positives. La boucle est aisi bouclée : o retrouve les foctios expoetielles comme foctios réciproues des foctios logarithmes. Cepedat, l expoetielle de base e) e joue pas de rôle particulier das cette approche, car o a pas étudié la dérivée de ces foctios. 6. La méthode d Euler Il s agit d ue méthode géérale pour costruire ue solutio approchée d ue éuatio différetielle. O se doe doc u itervalle I de R et u poit t 0 de I, aisi u ue foctio f : I R R, pour l istat simplemet supposée cotiue. O cherche à résoudre l éuatio 4) y = ft, y) avec coditio iitiale yt 0 ) = y 0. Cela iclut par exemple la recherche d ue primitive d ue foctio cotiue cas où f e déped pas de la deuxième variable). Pour approcher la valeur de y e t 0 + T avec par exemple T > 0), o subdivise l itervalle [t 0, t 0 +T ] coteu das I) e parties égales pour simplifier). O pose doc t j = t 0 + j T et o costruit ue foctio y cotiue affie par morceaux e posat y t) = y t j ) + t t j )y ) dt j ) = y t j ) + t t j )ft j, y t j )) pour t [t j, t j+ ]

12 2 OLIVIER DEBARRE NICOLE BOPP de sorte ue si o pose y,j = y t j ), o a y,j+ = y,j + T ft j, y,j ) Pour motrer ue la suite de foctios y ) coverge vers ue solutio de l éuatio 4), ous allos faire l hypothèse forte) 4 ue f est K-lipschitziee e chacue des variables, c est-à-dire ue l o a 5) fu, x ) fu, x) K u u + x x ) pour u, u [t 0, t 0 + T ] et x, x R. C est le cas si chacue des dérivées partielles de f existe et est borée sur [t 0, t 0 + T ] R. Elle est par exemple réalisée pour l éuatio y = y étudiée das le théorème et pour l éuatio y = /t ui peut servir à défiir le logarithme. Majoratio de ft, y t)). L iégalité 5) etraîe y,j+ y,j T K y,j y 0 + M) où M est u majorat de f sur [t 0, t 0 + T ] {y 0 }. O e déduit y,j+ y 0 + KT ) y,j y 0 + MT O a doc pour tout j {0,..., } l iégalité y,j+ y 0 a y,j y 0 + b, avec a = + KT MT et b =. O e déduit, par récurrece sur j, ) + KT y,j y 0 b aj a MT KT O a aisi boré uiformémet les valeurs de la foctio y e les poits t j. Cette foctio état affie etre ces poits, o se covaic facilemet ue cette majoratio est valable sur tout l itervalle [t 0, t 0 +T ]. Il apparaît das cette majoratio le terme ) + KT. O sait depuis u il est lui-même majoré 5 par e KT. O obtiet doc, pour tout t [t 0, t 0 + T ], et aussi la majoratio uiforme y t) y 0 M K ekt 6) ft, y t)) ft, y 0 ) + K y t) y 0 Me KT + ) 4 Il faut de toute faço faire ue hypothèse de ce gere si o veut être assuré u il existe ue solutio défiie sur l itervalle [t 0, t 0 +T ] tout etier, car ce est pas le cas e gééral. Par exemple, la solutio de l éuatio différetielle y = y 2 preat e 0 la valeur est la foctio yt) = t. Elle est défiie ue sur l itervalle [0, [. 5 Attetio de e pas tourer e rod das les raisoemets! Noter ue importe uelle majoratio suffit ici.

13 EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES MÉTHODE D EULER 3 La foctio y est ue solutio «approchée». O a, pour t ]t j, t j+ [, y t) ft, y t) = ft j, y,j ) ft, y t) Kt t j ) + K y,j y t) = Kt t j ) + Kt t j ) ft j, y,j ) K T + K T MeKT + ) par 6). E itégrat, o obtiet, pour t [t 0, t 0 + T ], y t) y 0 t t 0 fu, y u)) du KT + MeKT + ))t t 0 ) O e déduit ue si la suite de foctios y ) ou ue sous-suite) coverge uiformémet sur l itervalle [t 0, t 0 + T ] vers ue foctio y, celle-ci vérifie yt) = y 0 + t t 0 fu, yu)) du c est-à-dire yt 0 ) = y 0 cherchée. et, e dérivat, y t) = ft, yt)). C est bie la solutio La suite de foctios y 2 m) coverge uiformémet vers ue solutio. Nous choisissos cette sous-suite parce les subdivisios successives cosistet simplemet à diviser chaue itervalle e 2. Cela simplifie les otatios, et suffit à motrer l existece d ue solutio. Nous allos comparer, u etier état doé, les foctios y et y 2. Posos ε j = y t j ) y 2 t j ), avec t j = t 0 + j 2 T. O a ε 0 = 0 et ε 2j+ = y t 2j+ ) y 2 t 2j+ ) y t 2j ) + T 2 ft 2j, y t 2j )) y 2 t 2j ) T 2 ft 2j, y 2 t 2j )) ε 2j + T 2 ft 2j, y t 2j )) ft 2j, y 2 t 2j )) ε 2j + T 2 K y t 2j )) y 2 t 2j ) = + KT ) ε 2j 2

14 4 OLIVIER DEBARRE NICOLE BOPP De la même faço, ε 2j+2 = y t 2j+2 ) y 2 t 2j+2 ) y t 2j+ ) + T 2 ft 2j, y t 2j )) y 2 t 2j+ ) T 2 ft 2j+, y 2 t 2j+ )) ε 2j+ + T 2 ft 2j, y t 2j )) ft 2j+, y 2 t 2j+ )) ε 2j+ + T K t2j+ t 2j + K y t 2j ) y 2 t 2j+ ) ) 2 ε 2j+ + KT T y t 2j ) y t 2j+ ) + y t 2j+ ) y 2 t 2j+ ) ) = ε 2j+ + KT T T ) 2 ft 2j, y t 2j ) + ε 2j+ + KT ) ε 2j+ + KT 2 Me KT + ) + ) par 6) O a doc pour tout j {0,..., 2} l iégalité ε j+ aε j + b, avec a = + KT 2 b = KT 2 Me KT +)+). O e déduit comme plus haut 4 2 ε j b aj a KT 2 Me KT + ) + ) KT 2 O a aisi majoré uiformémet les différeces des valeurs des foctios y et y 2 e les poits t j. Ces foctios état affies etre ces poits, cette majoratio est valable sur tout l itervalle [t 0, t 0 + T ]. O obtiet doc, pour tout t [t 0, t 0 + T ], y t) y 2 t) T MeKT + ) + ) e KT 2 Le critère de Cauchy etraîe ue la suite de foctios y 2 m) coverge uiformémet sur l itervalle [t 0, t 0 + T ]. O a vu plus haut ue sa limite est bie solutio de l éuatio différetielle 4), avec coditio iitiale yt 0 ) = y 0. Olivier DEBARRE Istitut de Recherche Mathématiue Avacée UMR 750 UFR de Mathématiues et Iformatiue 7 rue Reé Descartes Uiversité Louis Pasteur Strasbourg Cedex Frace debarre@math.u-strasbg.fr KT 2 ) 2 et