EXERCICES DE. Serveur d'exercices 1/25

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1 Sceces.ch lgèbre Léare EXERCICES DE LGÈBRE LINÉIRE Serveur d'exercces /5

2 Sceces.ch lgèbre Léare EXERCICE. Nveau : Deuxème Cycle uteur : Rube Rcchuto (3..4) Mots Clés : Matrces à coeffcets das u aeau Éocé : Sot R u aeau commutatf utare et M ( R ) l'esemble des matrces carrées à coeffcets das R.. Motrer que pour toute matrce M ( R) l exste deux matrces B et C telles que B C det( ) I a,.., a sot les vecteurs coloes de la matrce et e (,...,,,,...,) t j = avec à la j-ème place alors vérfer que la matrce C = ( c j ) défe par cj = det( a,..., a, ej, a +,..., a) fat l'affare.]. Dédure de. que est versble ss det( ) est versble das. = = où I est la matrce detté. [Idcatos: s { } 5 3 X 4 X 3 3. Est-ce que les matrces suvates:, sot versbles das X + 3 X + 4 respectvemet / [ X ]? S ou, calculer leur verse. Soluto :. Sot C = ( c j ) défe comme das l'dcato et = ( a j ). Notos M = ( mj) : = C. O a, mj = akckj = ak det( a,..., ak, ej, ak +,..., a), k. Or pour j k k k j k + k a det( a,..., a, e, a,..., a ) est le détermat de la matrce que ous obteos e remplaçat la j-ème lge de par la -ème lge (développer le détermat de cette derère matrce par rapport à la j-ème lge pour le vor) par coséquet cette expresso est ulle (les lges et j sot detques). Pour = j, ak det( a,..., ak, ej, ak +,..., a) est le détermat de la matrce. s m j = k s j et m = det( ) s = j, e d'autres termes ous veos de motrer que j C = det( ) I. E cosdérat t (la matrce trasposée) ous obteos par le rasoemet précédet l'exstece d'ue matrce B telle que B= det( ) I et doc t t t ( ) det( ) B = B= I.. S est versble, alors = det( I) = det( ) = det( ) det( ) ce qu motre que det( ) est versble. Récproquemet, état doé que C = B= det( ) I o a ( det( ) ) ( det( ) ) C = B = I ce qu motre que est versble. t Serveur d'exercces /5

3 Sceces.ch lgèbre Léare det = 5 6 = est versble. L'verse de est 3 X 4 X 3. det = X 6 X + 9 = 3(mod) 5 X + 3 X + 4 X 4 X 3 3X 3X + L'verse de est. X + 3 X + 4 3X 3X + est versble. Serveur d'exercces 3/5

4 Sceces.ch lgèbre Léare EXERCICE. Nveau : Premer Cycle uteur : Rube Rcchuto (..5) Mots Clés :Valeurs propres et vecteurs propres Éocé : Détermer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrce Soluto : =. 3 4 Le polyôme caractérstque de est doé par X det( X I ) = det = X 5X. Les valeurs propres de sot les races 3 X de X 5X. O trouve λ =, λ =. Les vecteurs propres assocés à la λ x valeur propre λ sot les solutos du système = 3 λ 4. O trouve y ( λ ) x = y c'est-à-dre y = ( λ ) x. L'espace propre est doc x x =. De la même faço pour λ o trouve ( λ ) x. λ λ Serveur d'exercces 4/5

5 Sceces.ch lgèbre Léare EXERCICE 3. Nveau : Premer Cycle uteur : Rube Rcchuto (..5) Mots Clés : Dagoalsato Éocé : Dagoalser la matrce Soluto : = Le polyôme caractérstque de est doé par 3 X 6 4 X 6 4 det( X I) = det X = (3 X) X X X = X ( X + X ) = X( X )( X + ). Les races du polyôme caractérstque correspodat aux valeurs propres de sot: {,, }. Calculos les espaces propres. L'espace propre assocé à la valeur propre est x obteu e résolvat le système : y =. Nous obteos z = y, x = y z 3 D'où l'espace propre, 3 3. L'espace propre assocé à la valeur propre est obteu e 6 4 x résolvat le système : y =. Nous obteos z = y, x = y. D'où l'espace 3 5 4z propre,. L'espace propre assocé à la valeur propre - est obteu e résolvat le x système : y =. Nous obteos y = z, x= z. D'où l'espace propre, 3 5 z Serveur d'exercces 5/5

6 Sceces.ch lgèbre Léare. s das la base 3,,, la matrce de l'edomorphsme s'écrt, Ou dt autremet, 3 3 = Serveur d'exercces 6/5

7 Sceces.ch lgèbre Léare EXERCICE 4. Nveau : Premer Cycle uteur : Rube Rcchuto(..5) Mots Clés : Détermat de Vadermode, polyômes Éocé : Sot K u corps quelcoque et x,.., x K. O cosdère la matrce carrée suvate : x x x x x x M( x,.., x) = x x x. O déft V( x,.., x) = det( M( x,.., x)). Motrer que V( x,.., x) = ( xj x) V ( x,.., x). [Idcato : calculer le détermat de la j= matrce obteue à partr de M ( x,.., x ) e soustrayat à chaque coloe x fos la précédete.]. Dédure de. que V ( x,.., x ) = ( x x ) j = j= + pour. 3. Doer ue codto écessare et suffsate, portat sur les x, pour que la matrce M ( x,.., x ) sot versble. 4. E utlsat. motrer qu'l exste u uque polyôme de degré passat par les + pots ( x, y),..,( x+, y+ ) K K avec x xj pour j. Soluto :. l'ade de l'dcato ous obteos la matrce suvate, x x x( x x) x ( x x) qu a évdemet le même détermat x x x( x x) x ( x x) que M ( x,.., x ). E développat selo la premère lge ous obteos : V( x,.., x) = det( M( x,.., x)) = det( ) où x x x( x x) x ( x x) =. Sachat que le détermat est x x x( x x) x ( x x) Serveur d'exercces 7/5

8 Sceces.ch lgèbre Léare multléare ous obteos V x x = M x x = x x (,.., ) det( (,.., )) x x ( j ) det j= x x = ( x x ) V ( x,.., x ). j= j. Par récurrece sur. S =, V( x, x) = ( x x) et la proposto est vrae. Supposos l'affrmato démotrée pour. Par. o a + V+ ( x,.., x) = ( xj x) V( x,.., x+ ). Par hypothèse de récurrece, j= V ( x,.., x ) = ( x x ) d'où + j+ + = j= V+ ( x,.., x) = ( xj x) ( xj+ x+ ) = ( xj x) j= = j= + = j= + l'affrmato est vérfée pour +.. s 3. La matrce M ( x,.., x ) est versble ss so détermat est o ul c'est-à-dre ss V ( x,.., x ) = ( x x ), doc ss x xj pour j. j = j= + 4. Sot ( x, y),..,( x+, y+ ) K K + pots. La recherche d'u polyôme p( X) = a X de degré passat par ces + pots ous amèe à rechercher les = solutos des équatos ax j = yj pour j = +. C'est-à-dre x x x a y x x x a y =. Or par 3, la matrce de ce système est x a y x x versble. Par sute, l'affrmato de l'éocé est prouvée. Serveur d'exercces 8/5

9 Sceces.ch lgèbre Léare EXERCICE 5. Nveau : Premer Cycle uteur : Rube Rcchuto(..5) Mots Clés : Théorème de Cayley Éocé : O se propose de démotrer le théorème suvat: sot M ( K ) ue matrce carrée de dmeso à coeffcets das le corps K alors Car ( ) = où Car ( X ) est le polyôme caractérstque de.. Vérfer le théorème pour la matrce. Pour Soluto :. 5 3 m x K, cosdérer la famlle : = { x, x, x,..., x} { { k } } F avec m = max k xxx,,,..., x est lbre. Compléter (évetuellemet) la famlle F pour obter ue base de K. Exprmer la matrce de l'edomorphsme das cette ouvelle base et motrer que le polyôme caractérstque s'exprme comme produt de deux polyômes PX ( ) et QX ( ) avec Px= ( ). E dédure le théorème.. S X = o a Car ( X ) = det( X I ) = det = X 4X X = =. Doc Car ( ) = I = + =. 3 Nous allos motrer que pour tout x K, Car ( )( x ) =. Sot doc m famlle : { x, x, x,..., k F = x} avec m k { xxx x} Das ce cas m x m = a x avec = a K et x K, cosdéros la { } = max,,,..., est lbre. = I. Complétos s écessare la famlle F pour obter ue base B de K. Das la base B, la matrce de l'edomorphsme s'écrt, a B C a où B = est ue matrce m m et D est ue matrce D a m ( m) ( m). Le polyôme caractérstque de B est doé par Serveur d'exercces 9/5

10 Sceces.ch lgèbre Léare X a X a CarB ( X ) =. E développat par rapport à la derère coloe o vot X m que Car ( X ) = a X + X B = am m. De plus m Car ( ) x = a x + x =. Doc B = Car ( ) x = Car ( ) Car ( ) x = Car ( ) Car ( ) x = B D D B m Serveur d'exercces /5

11 Sceces.ch lgèbre Léare EXERCICE 6. Nveau : Premer Cycle uteur : Rube Rcchuto (..5) Mots Clés : Rag d'ue matrce Éocé : Détermer le rag de la matrce Soluto : O rappelle que les permutatos de lges ou de coloes e chaget pas le rag d'ue matrce. O peut auss remplacer ue lge (ou ue coloe) par ue combaso léare de lges (respectvemet de coloes) das laquelle cette derère tervet sas chager le rag. Das les lges qu suvet u symbole du type: 4 sgfe que l'o a remplacé la premère lge de la matrce par deux fos la premère mos la quatrème, tads qu'u C, symbole du type C sgfe que l'o a permuté la premère coloe avec la deuxème. O a: C, C / / et cette derère matrce est de rag 3. Serveur d'exercces /5

12 Sceces.ch lgèbre Léare EXERCICE 7. Nveau : Premer Cycle uteur : Rube Rcchuto (..5) Mots Clés : Classes de cojugaso des matrces Éocé : O dt que deux matrces B, M ( ) sot cojuguées s'l exste ue matrce versble S M ( ) telle que = SBS. Être cojugué est ue relato d'équvalece sur M ( ) dot les classes sot appelées classes de cojugaso. Motrer que toute matrce de M ( ) λ λ a b est cojuguée à exactemet ue des matrces suvates:,, λ λ. b a [Idcato : dstguer les cas dagoalsable, 'a qu'ue valeur propre de multplcté géométrque u et 'a aucue valeur propre réelle. Pour ce derer cas, regarder comme u élémet de M ( ).] Soluto : Sot M ( ). Tros cas peuvet se préseter. Premer cas : est dagoalsable. Deuxème cas : 'a qu'ue valeur propre de multplcté géométrque u. Trosème cas : 'a aucue valeur propre réelle. λ Das le premer cas, la matrce est cojuguée à ue matrce du type. λ Das le deuxème cas, sot λ la valeur propre de. Sot v u vecteur propre et w tel que λ a = v w. Das la base { vw, } la matrce s'écrt avec w= av+ bw, b ab,. Or état doé que λ est l'uque valeur propre de, o a forcémet b = λ. Le fat que λ sot de multplcté géométrque égale à u etraîe que a et par sute das la base v, w a la matrce s'écrt λ. λ Das le trosème cas, possède deux valeurs propres complexes cojuguées, otos-les λ = a+ b, λ = a b avec b. Sot v = v+ v u vecteur propre assocé à λ avec v, v. O a v = v+ v = λv = av bv + ( bv+ av) et doc a b v = av bv, v = bv+ av. Par sute, das la base { v, v } s'écrt. Il ous b a λ λ a b reste ecore à motrer que les matrces,, λ λ e sot pas cojuguées b a deux à deux. Mas cec est évdet car les tros cas que ous avos tratés s'excluet mutuellemet. Serveur d'exercces /5

13 Sceces.ch lgèbre Léare EXERCICE 8. Nveau : Premer Cycle uteur : Rube Rcchuto (..5) Mots Clés : Matrces Trgoalsables Éocé :. Motrer que das M ( ) l exste des matrces o dagoalsables.. Motrer que das M ( ) l exste des matrces o trgoalsables (o rappelle qu'ue matrce est trgoalsable s'l exste ue matrce versble S telle que SS est tragulare supéreure) 3. Motrer que das M ( ) toutes les matrces sot trgoalsables. [Idcato: procéder par récurrece sur e se rappelat que s M M ( ), M possède toujours ue valeur propre.] Soluto :. La matrce M ( ) 'est pas dagoalsable. E effet la dmeso de l'espace propre assocé à la valeur propre est et l 'y a pas d'autres valeurs propres. O e peut doc pas trouver de base formée de vecteurs propres.. Sot M =. Le polyôme caractérstque de M est PM ( X ) = X X + 5. Or PM ( X ) e possède aucue race réelle, par coséquet M 'a aucue valeur propre réelle et doc e peut être trgoalsable. 3. Par récurrece sur. S = l 'y a re à motrer. Supposos l'affrmato vérfée jusqu'à. Sot M M ( ) +. état algébrquemet clos, M possède ue valeur propre λ. Sot v u vecteur propre de valeur propre λ. Complétos v e ue base de + λ C. Das cette ouvelle base la matrce M s'écrt: SMS = où B M ( ) B et S est la matrce de chagemet de base. Par hypothèse de récurrece, l exste D M ( ) versble telle que DBD sot tragulare supéreure. s λ CD SMS = D est tragulare supéreure. D DBD Serveur d'exercces 3/5

14 Sceces.ch lgèbre Léare EXERCICE 9. Nveau : Premer Cycle uteur : Rube Rcchuto (..5) Mots Clés : Espace des sutes et équatos aux dfféreces Éocé : O cosdère l'espace vectorel des sutes à valeur das avec les opératos d'addto et de multplcato par u scalare suvates: ( a),( b),( a) + ( b) = ( a + b). λ, λ ( a ) = ( λa ). Sot l'applcato léare D : défe par ( a, a,...) ( a, a,...).. Sot = k k + λ avec = D D Motrer que le oyau de est de dmeso k.. O cosdère le polyôme caractérstque { },..., k j λ et D = DD... D j fos, k k = D = d et k. PX ( ) = X + λ X assocé à. Sot z z les races de P. Motrer que s z zjpour j alors { ( ),...,( z zk ) } est ue base de ker( ) avec ( z ) = (,,...) s z =. [Idcato : pour motrer que ( z ),...,( zk) sot léaremet dépedates écrre que λ( z) λk( zk) = et motrer qu'e preat =... k o tombe sur u système d'équatos déf par ue matrce k k de Vadermode]. 3. Détermer la sute de Fboacc a = ( a ), a défe par avec "codtos tales" a = a =. Da Da a=, Soluto : k k. Sot a = ( a ). k a ker( ) D a+ λd a =, a = λa + k + = =. s tout élémet de ker( ) est uquemet détermé par le chox de a,.., ak. Par sute k ker( ) K et doc dm(ker( )) = k. k k PX ( ) = X + λ X. Motros que a = ( z ) ker( ) = k k k k + k + k λ ( ) λ( ) λ ( ). = = =. Sot z ue race de. E effet a = D a + D a = z + z = a z + z = a P z = z z ces races et a = ( z ), k. Nous avos déjà motré que a ker( ) pour k. Motros que { a,.., a k} est ue base de ker( ). Il sufft pour cela de k motrer que a,.., a k sot léaremet dépedats. S λa = alors pour tout Supposos de plus que les races de P sot deux à deux dstctes. Notos { },..., k = Serveur d'exercces 4/5

15 Sceces.ch lgèbre Léare, k λz =. E preat =... k o obtet le système suvat, = λ z zk z = zk. Or la matrce M = est ue matrce de λ k k k z z k k k z z k Vadermode et ous savos que s les z sot dstcts deux à deux, ue telle matrce est versble. s λ = λ =... = λ k =. 3. = D D I. Le polyôme caractérstque assocé à est doc X X qu admet les races λ = et λ =. L'espace des solutos de l'équato Da Da a= est egedré par ( λ ),( λ ). La codto a = a = ous amèe à chercher, β tels que + β = λ+ βλ =. Nous devos doc résoudre le système : λ λ =. Les solutos sot β λ + 5 λ + 5 β a = λ λ = λ λ = =, = =. La sute de Fboacc est doée par ( ) ( ) ( ). Serveur d'exercces 5/5

16 Sceces.ch lgèbre Léare EXERCICE. Nveau : Premer Cycle uteur : Rube Rcchuto (..5) Mots Clés : Espace orthogoal Éocé : Sot m, deux eters. Sot = ( aj) M, m( ) ( est ue matrce à lges et m coloes à coeffcets das ). t. Motrer que ker( ) = Im( ) où. Dédure de. que dm(im( )) = dm(im( )). Soluto : t est la matrce trasposée de.. Notos a,..., a les vecteurs lges de la matrce. Sot m t m v. a v v = où a v.. est le produt scalare stadard sur. Par sute, dre que v ker( ) est équvalet à dre que v est orthogoal à l'espace egedré par a,.., a c'est-à-dre à Im( t ). Doc ker( ) = Im( t ).. Par le théorème de la dmeso o a, t m t t m= dmker( ) + dmim( ) = dm Im( ) + dmim( ). Or = Im( ) Im( ), t t doc m= dm Im( ) + dm Im( ) et e remplaçat das l'expresso précédete o t trouve dmim( ) = dmim( ). Serveur d'exercces 6/5

17 Sceces.ch lgèbre Léare EXERCICE. Nveau : Premer Cycle uteur : Rube Rcchuto (..5) Mots Clés : Polyômes et théorème de décomposto Éocé :. Sot K u corps, p, q K [ X] deux polyômes et u edomorphsme de l'espace vectorel K. Motrer que s p et q sot premers etre eux alors ker( p( ) q( )) = ker( p( )) ker( q( )). [Idcato : utlser le théorème de Bézout].. Das les mêmes codtos que. motrer que s p,..., p K [ X ] sot premers m deux à deux alors ker( p( )) = ker( p ( ))... ker( pm( )). = 3. Supposos K algébrquemet clos. Sot Car ( X ) = ( X λ )... ( X λ ) d le polyôme caractérstque de avec λ λ j s j, Cayley affrme que Car ( ) =, e dédure que ker( λ )... ker( λ ) d d d = m d =. Le théorème de K = (ce derer résultat costtue le théorème de décomposto). 4. Motrer que das 3. dm(ker( λ ) ) =. [Idcato : remarquer que dut par restrcto ue applcato léare :ker( λ ) ker( λ ) et que le polyôme caractérstque de est dm ker( λ ) ( X λ ) ]. Soluto :. S p et q sot premer etre eux alors l exste deux polyômes ax ( ), bx ( ) K [ X] tels que ax ( ) px ( ) + bxqx ( ) ( ) =. O a l'cluso évdete ker( p( )) + ker( q( )) ker( p( ) q( )). Motros que la somme das le membre de gauche est ue somme drecte. E effet x ker( p( )) ker( q( )) a( ) p( ) x+ b( ) q( ) x= x=. Pour fr s x ker( p ( ) q ( )), alors apx ( ) ( ) ker( q ( )) et bqx ( ) ( ) ker( p ( )) doc apx ( ) ( ) + bqx ( ) ( ) = x ker( p ( )) ker( q ( )). Doc ker( p( ) q( )) = ker( p( )) ker( q( )).. Par récurrece sur m. S m = l'affrmato découle de. Supposos l'affrmato vérfée pour m. Sot p,..., pm+ K [ X] premers deux à deux. lors p m + est m premer avec p ( ) et par hypothèse récurrece m+ = m. Toujours par hypothèse de récurrece ker( p ( )) = ker( p ( )) ker( p ( )) m+ = = Serveur d'exercces 7/5

18 Sceces.ch lgèbre Léare m ker( p ( )) = ker( p ( ))... ker( p ( )). Doc m = m+ p = p pm+. = ker( ( )) ker( ( ))... ker( ( )) 3. Car ( ) = etraîe ker( Car ( )) = K. S Car ( ) ( X = X λ )... ( X λd) d,. etraîe K = ker( λ )... ker( λ ) d d car les ( X λ ) sot premers deux à deux. 4. L'espace ker( λ ) est varat par. E effet s x ker( λ ) alors ( λ ) x = ( λ ) x = et doc x ker( λ ). Notos :ker( λ ) ker( λ ) la restrcto de à ker( λ ). La seule valeur propre de est λ. Par sute Car ( X ) = ( X λ ) d où d = dmker( λ ). Car ( X ) dvse Car ( ) X. Pour le vor l sufft de compléter ker( λ ) e ue B C base de K, das cette ouvelle base, la matrce de l'edomorphsme est D où B, CD, sot des matrces et B est la matrce de das ue base de ker( λ ), l s'esut que Car ( X) = Car ( X) Car ( X). Nous avos doc d. D'autre part d d d, doc d = = = = =. D Serveur d'exercces 8/5

19 Sceces.ch lgèbre Léare EXERCICE. Nveau : Premer Cycle uteur : Rube Rcchuto (..5) Mots Clés : Sutes exactes d'espaces vectorels Éocé :. Sot V,..., V espaces vectorels de dmeso fe sur u corps K quelcoque. O f cosdère la sute {} f f f V V V3... V {} où les f sot des applcatos léares et { } est l'espace vectorel rédut au seul élémet. O dt que cette sute est exacte s ker( f+ ) = Im( f),. Motrer que das ce cas f est jectve et f est surjectve et que ( ) dm( V ) =. 3. Motrer que la sute où = et Soluto : = ( ) est exacte.. ker( f ) Im( f ) { } = = = prouve que f est jectve. Im( f ) = ker( f) = V prouve que f est surjectve. Par le théorème de la dmeso, dm( V) = dmker( f ) + dmim( f ). s, ( ) dm( V) = ( ) dmker( f) + ( ) dmim( f) = = = = ( ) dmker( f) + ( ) dmker( f+ ). Cette derère expresso est égale à = = = f + f = f + ( + ) f = = = ( ) dm( V ) =. = ( ) dm ker( ) ( ) dm ker( ) dm ker( ) ( ) ( ) dm ker( ). Or dm ker( f ) = doc ce qu motre que Im( ) ker( ). De plus est ue matrce de rag doc dmim( ) = et est ue matrce de rag doc dm ker( ) =. s Im( ) = ker( ).. = ( ) = ( ) Serveur d'exercces 9/5

20 Sceces.ch lgèbre Léare EXERCICE 3. Nveau : Premer Cycle uteur : Rube Rcchuto (..5) Mots Clés : Polyôme caractérstque d'ue matrce versble Éocé : Sot M ( ) versble. Motrer que x \{}, Car ( x) det( ) x ( ) Car ( x ) = où Car ( X ) et Car ( X ) sot les polyômes caractérstques de et. Que peut-o e dédure sur les multplcté algébrques des valeurs propres de et Soluto :? S x, Car ( x) = det( xi) = det( ) det( ) det( xi ) = det( ) det( I x) = det( ) det( x( x I )) = det( ) x ( ) Car ( x ). Cette égalté motre etre autre que s λ est valeur propre de alors λ est valeur propre de avec même multplcté algébrque. Serveur d'exercces /5

21 Sceces.ch lgèbre Léare EXERCICE 4. Nveau : Premer Cycle uteur : Rube Rcchuto (..5) Mots Clés : Polyôme caractérstque Éocé : Quel est le polyôme caractérstque de la matrce M = ( mj ) avec mj = pour tout, j? Soluto : Sot v = ( v,..., v )' u vecteur propre de valeur propre λ. Notos s = v k, o a Mv = ( s, s,..., s)' = λv. Doc k =.., s = λvk et s λ, k =.., vk = s/ λ ce qu etraîe λ =. Pour ous avos doc deux valeurs propres, et. Le polyôme β caractérstque s'écrt comme, P ( X) = X ( X ). De plus v est u vecteur propre de valeur propre ss M v k = doc est de multplcté géométrque égale à as = et β =. Nous obteos doc P ( X) = X ( X ). M Serveur d'exercces /5

22 Sceces.ch lgèbre Léare EXERCICE 5. Nveau : Premer Cycle uteur : Rube Rcchuto (..5) Mots Clés : Espaces vectorels quotets Éocé : Sot V u K -espace vectorel et U V u sous-espace. O déft ue relato otée sur V de la maère suvate : x, y V, x y ss x y U.. Motrer que est ue relato d'équvalece.. Motrer que est compatble avec l'addto et la multplcato par u scalare c'està-dre : xx,, yy, V, λ K, s x x et y y alors x + y x + y et λx λx. 3. Notos V / U l'esemble des classes d'équvalece pour la relato. Dédure de. qu'e défssat les opératos : x + y = x+ y et λ x= λx où x et y désget les classes de x et y V, o mut V / U d'ue structure d'espace vectorel. 4. Motrer que s V est de dmeso fe alors V / U auss et dm( V / U) = dm( V) dm( U). [Idcato : cosdérer l'applcato léare π : V V / U, x x où x est la classe d'équvalece de x.] Soluto :. x x = x x ce qu prouve que est réflexve. S x y alors x y U et par sute y x U doc y x, est doc symétrque. x y et y z x z = x y+ y z U ce qu motre que est trastve. U U. S x x et y y alors x x U et y y U. Doc x + y x y = x x + y y U et λx λx = λ x x U, c'est-à-dre ( ) U U x + y x + y et λx λx. 3. Remarquos que grâce à. les opératos d'addto et de multplcato par u scalare sot be défes. O vérfe mmédatemet que V / U est u groupe pour l'addto avec comme élémet eutre et x comme opposé de x. O a x = x = x et le reste des proprétés est évdet 4. La projecto caoque π : V V / U, x x est léare, e effet, πλ ( x + µ y) = λ x+ µ y = λ x+ µ y = λπ ( x) + µπ( y). π est surjectve et par le théorème de la dmeso, dmv = dm V / U + dmker( π ). Or ker( π ) = U, doc dm V / U = dmv dmu. Serveur d'exercces /5

23 Sceces.ch lgèbre Léare EXERCICE 6. Nveau : Premer Cycle uteur : Rube Rcchuto (..5) Mots Clés : Polyôme caractérstque Éocé : Cosdéros les applcatos a : M( ), ( M ( ) est l'esemble des matrces à coeffcets das ) où a ( ) est le coeffcet de degré du polyôme caractérstque de. Motrer que pour toutes matrces B,, s B est versble, a ( B) = a ( B) pour tout. Soluto : O a CarB( X ) = det( B XI ) = det( B( B XI ) B ) = det( B XI) = CarB( X ). Le polyôme caractérstque de B est le même que celu de B, par sute a ( B) = a ( B). Remarque : o motre plus gééralemet que Car ( X ) = Car ( X ) pour toutes matrces B, M ( ). B B Serveur d'exercces 3/5

24 Sceces.ch lgèbre Léare EXERCICE 7. Nveau : Premer Cycle uteur : Rube Rcchuto (..5) Mots Clés : Formes bléares symétrques Éocé : Sot K u corps quelcoque, V u espace vectorel de dmeso fe sur K et β :V V K ue forme bléare symétrque.. Motrer que s K est de caractérstque e,.., e de V telle que β ( e, ej) = s j. [Idcato : procéder par récurrece sur dm( V ). Motrer qu'l exste x V tel que β ( xx, ) et qu'e otat x l'espace egedré par x o a V x x x = y V β ( x, y) =.] = où { } alors l exste ue base { }. Doer u exemple qu prouve qu'e caractérstque deux l'affrmato de. est fausse. 3. O déft le sous-espace H { x V y V, β ( x, y) } dégéérée s ( y V, β ( x, y) ) x H = {}. = =. O dt que β est o = =. Motrer que β est o dégéérée. Sot {,.., }. Sot r le cardal de l'esemble { } 4. O suppose K de caractérstque β ( e, e ) = s j j Motrer que l'esemble { ej j E} e e ue base de V telle que {,..., β (, ) } E = e e =. egedre H et que par coséquet dm( H) 5. S V = K, motrer que la forme bléare symétrque défe par x, y K, x y = xy est o dégéérée. = = r. 6. vec les mêmes otatos que das 5, o cosdère de plus la matrce défe par = ( aj), j, aj = β ( e, ej ) où {,.., e e } est la base caoque de K. Motrer que β ( x, y) = x y. E dédure que H = ker( ) et que par sute β est o dégéérée ss det( ) Détermer la dmeso de H das le cas où β : est défe par ((,, ),(,, )) β x x x y y y = x y + x y + x y Soluto :. S β = l 'y a re à motrer, supposos doc β. Démotros l'affrmato par récurrece sur = dm( V). S = l 'y a re à motrer. Supposos l'affrmato vérfée pour. Sot V u espace vectorel de dmeso +. Il exste u élémet x V tel que β ( xx, ) car so pour tout x, y V, = β ( x+ y, x+ y) = β ( x, y) et par coséquet β = (c'est c qu'o utlse le fat que K 'est pas de caractérstque ). Sot doc x u tel élémet. Cosdéros la forme léare f : V K défe par Serveur d'exercces 4/5

25 Sceces.ch lgèbre Léare f ( y) β ( x, y) ker( f) = y V β ( x, y) = est de dmeso = dm( V). De plus x / ker( f ), par sute V = x ker( f). Par hypothèse de récurrece l exste ue base x,.., x de ker( f ) avec β ( x, xj) = s j. x, x,.., x est doc la base cherchée. =. { }. Sot V = F l'espace vectorel de dmeso deux sur le corps F. Sot e, e les vecteurs de la base caoque. O déft β de la maère suvate : β ( e, e) = β( e, e) =, β( e, e) = β( e, e) =. V = {, e, e, e+ e} et o vot faclemet qu'l 'exste pas de base comme das. 3. Supposos β o dégéérée et sot x H alors pour tout y V, β ( x, y) = et par sute x =. Récproquemet s H = {} supposos que pour tout y V, β ( x, y) = alors x H et doc x =. 4. Notat { ej j E} l'espace egedré par { ej j E} { j } e j E H. Récproquemet, sot x H. x = λ e et = β( x, e ) = β( λe, e ) = λβ( e, e ) = λ β( e, e ) j j j j j j = = l est facle de vor que =. s pour j E /, β ( e, e ) et doc λ = par sute x est combaso léare d'élémets de j { ej j E} 5. Supposos que j j. O e dédut mmédatemet dm( H) = r. x K vérfe : y K, x y = x y =. Das ce cas e preat pour y les vecteurs de la base caoque o obtet, x =... = x = c'est-à-dre x =. 6. Sot =, avec x, y K. = = x = xe y= ye où ( y ) β( x, y) = β( xe, y e ) = x y β( e, e ) = x ( y) = x y j j j j = j= = j= = est la -ème composate du vecteur y. H = ker( ) e effet, y H z K, β ( z, y) = z K, z y = y =. β est o dégéérée ss H = ker( ) = {} doc ss det( ). 7. La matrce assocée à β das la base caoque est = est vsblemet de rag doc dmker( ) = dm( H) =. et cette matrce Serveur d'exercces 5/5