Série d exercices Bobine et dipôle RL

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1 xercice 1 : Série d exercices Bobine e dipôle R On réalise un circui élecrique comporan une bobine d inducance e de résisance r, un conduceur ohmique de résisance R, un généraeur de ension de f.é.m. e inerrupeur K. On donne = 210 mh r =10 Ω R = 200 Ω 1) 2) a) Représener sur le schéma du circui de la figure 1, les branchemens à effecuer pour visualiser à l oscilloscope les ensions UAC e UBC? b) Quelles grandeurs visualisen les ensions UAC e UBC? a) Quelle es la ension aux bornes de la bobine? 1

2 b) ablir l équaion différenielle en i() au cours de l éablissemen du couran élecrique dans la bobine. 3) Donner en foncion de, R e r l expérience de la consane du emps. Calculer sa valeur en seconde. 4) a courbe de la figure 2 donne les variaions de l inensié i au cours du emps lors de l éablissemen du couran élecrique dans la bobine. Figure 2 n expliquan brièvemen la réponse, déduire du graphe : a) inensié maximale I0 du couran à la fin du régime ransioire. b) a dae à parir de laquelle le régime permanen s éabli. Déduire la f.é.m. du généraeur. 5) Soi l expression : i() = A(1 e ) xercice 2 : a) n exploian la courbe de la figure 2, donner l expression de A. b) Déduire l expression de la ension U() aux bornes de la bobine. c) Représener l allure de la ension U() au cours de l éablissemen du couran dans la bobine. Un circui élecrique compore en série : 2

3 - Un généraeur de ension de f.é.m. - Un résisor de résisance R - Un inerrupeur k. - Une bobine d inducance e de résisance r. A = 0, on ferme l inerrupeur k e à l aide d un oscilloscope branché, on obien les oscillogrammes de la figure 2. Figure 1 Figure 2 1) a) Quelles son les ensions visualisées sur les voies (1) e (2) de l oscilloscope? b) A quelles ensions corresponden les courbes (1) e (2)? c) Quelle ension perme de suivre l évaluaion de l inensié au cours du emps? 2) ablir l équaion différenielle en i() 3

4 3) a) Vérifier que i() = I 0 (1 e τ) es une soluion de l équaion différenielle. b) Quelle es l expression de la consane du emps τ de ce circui? c) Déerminer sa valeur graphiquemen. xercice 3 : On se propose d éudier l éablissemen du couran dans un dipôle série, comporan une bobine d inducance = 0,5 H e de résisance r e un conduceur ohmique de résisance R = 20 Ω, lorsque celui-ci es soumis à un échelon de ension de valeur = 6 V délivrée par un généraeur de ension idéale. Un oscilloscope à mémoire es branché comme l indique la figure 1. Figure 1 A l insan = 0, on ferme l inerrupeur K e on procède à l enregisremen. On obien l oscillogramme représené sur la figure 2. 4

5 1) Quelle grandeur élecrique peu êre déerminée à parie de la ension UR()? 2) a) xplique le reard de l éablissemen du couran dans le circui. b) Quel es le phénomène qui es à l origine de ce reard? 3) e circui éudié peu êre caracérisé par une consane de emps τ, qui perme d évaluer la durée nécessaire à l éablissemen du régime permanen dans ce circui. a) ablir l équaion différenielle en i() du dipôle R. b) ablir l expression de l inensié I0 du couran lorsque le régime permanen es éabli. c) Monrer que l expression de la ension UR en régime permanen es U R0 = R. d) Déduire la valeur de la résisance inerne r de la bobine. 4) Déerminer la valeur de la consane de emps τ. 5) Calculer la valeur de l énergie emmagasinée par la bobine à = s. xercice 4 : Pour éudier expérimenalemen la réponse d un dipôle R à un échelon de ension, on réalise un circui élecrique en associan en série : - Une bobine d inducance e de résisance r ; - Un résisor de résisance R ; - Un généraeur de force élecromorice = 6V. 5

6 évoluion de la ension au cours du emps de la ension aux bornes de la bobine es donnée par la relaion U b = r. i +. di On enregisre à l aide d un sysème d acquisiion informaisé, l inensié i du couran qui raverse la bobine lorsqu on ferme l inerrupeur K. e résula de l enregisremen es donné par la courbe ci-dessous : 1) a) Que peu-on dire de l effe de la bobine sur l éablissemen du couran? b) A parir de quelle dae le couran indui s annule dans la bobine? c) Quelle es la loi qui perme de déerminer le sens du couran indui? d) Comparer le sens du couran principal e celui du couran indui avan de s annuler. 6

7 2) a) Par applicaion de la loi des mailles, éablir l expression de l inensié I0 du couran en régime permanen en foncion des grandeurs, R e r. b) Monrer que la valeur de la résisance oale du circui es = 100 Ω. 3) a) Que caracérise la consane de emps τ? b) Déerminer graphiquemen la valeur de la consane de emps τ. 4) n déduire la valeur de. a) ablir l équaion différenielle en i(). b) Vérifier que i() = (1 e τ) es une soluion de cee équaion différenielle. 5) évoluion de la ension Ub aux bornes de la bobine ainsi que celle de la ension UR aux bornes du conduceur ohmique au cours du emps es donnée par le graphe cidessous. a) Idenifier les deux courbes. b) Pourquoi la courbe 2 ne end pas vers zéro lorsque end vers l infini? c) Déerminer les valeurs des résisances R e r. d) Représener l allure de la courbe donnan les variaions de la f.é.m. d auo-inducion «e» en foncion du emps. 7

8 Correcion de la série d exercices Bobine e dipôle R Correcion exercice 1 : a) b) UAC correspond à la ension. UBC correspond à la ension UR. 2) a) U = ri + di b) Appliquons la loi des mailles U + U R = 0 r. i +. di + R. i = di + ()i = di () + i = 8

9 3) τ = τ = = 10 3 s τ = 10 3 s 4) a) n régime permanen, l inensié du couran es maximale e consane I 0 = 60 ma b) n régime permanen, l inensié du couran devien consane. e régime permanen s éabli lorsque = 4 ms. c)d après l équaion différenielle : di () + i = Sachan qu en régime permanen, le couran es consan di = 0 () I 0 = () I 0 = = ( ) = 12,6 V 5) a) i() = A(1 e ) lim i() = lim A (1 e + + D où A = I 0 D après l équaion différenielle ) = A 9

10 di n régime permanen, le couran es consan D où b) D après la loi des mailles : () + i = di = 0 () I 0 = I 0 = A = U + U R = U = U R U () = Ri() Or i() = (1 e ) U () = R U () = (1 e ) R. R. + e R. R. U () = + e c) U () = U ( 0 ) = lim U () = lim +. r R. + e ( r + R) = = 12.6V + ( r + Re ) =. r = = 0.6V 210. r 10

11 Correcion exercice 2 : 1) a) a voie (1) perme de visualiser la ension aux bornes du résisor. a voie (2) perme de visualiser la ension aux bornes du généraeur. b) a courbe (a) correspond à la f.é.m. du généraeur car = consane. a courbe (b) correspond à la ension UR. c) a ension qui sui l évoluion de l inensié i() es UR car U R = R. i 2) Appliquons la loi des mailles. U R + U b = 0 U R + U b = 3) R. i + r. i +. di = ()i +. di = di a) équaion différenielle en i() es : () + i = 11

12 di () + i = Cee équaion différenielle du premier ordre avec second membre es de soluion i() = A(1 e τ) lim i() = lim A (1 e τ) = A + + Or i( )= consane car en régime permanen, le couran s éabli. D où A = I max = I 0 D où i() = I 0 (1 e τ) b) τ = c) τ es l abscisse du poin d inersecion de la angene à la courbe avec l asympoe Y = U0 D après la figure 2 τ = 3ms Correcion exercice 3 : 1) Nous savons que UR() = R. i() Donc, l inensié du couran élecrique peu êre déerminée à parir de la ension UR(). 2) a) a variaion du couran principal dans le circui d une valeur nulle à une valeur non nulle crée dans la bobine un couran indui, ce couran d après la loi de enz, 12

13 3) s oppose à la cause qui lui a donné naissance, c es-à-dire s oppose à l éablissemen du couran principal dans le circui. b) le phénomène qui es à l origine de ce reard es le phénomène d auo-inducion élecromagnéique. a) D après l équaion différenielle : Divisons par : U b + U R = 0 r. i +. di + R. i =. di + (). i = di () +. i = a) a soluion de cee équaion différenielle es de ype : Remplaçons i() e di() i() = A (1 e τ) di() di() = da d(a. e τ) = 0 + A τ e τ dans l équaion différenielle : A τ e τ + 1 τ e τ + Ae τ ( 1 τ A (1 e τ) = A A. e τ = ) +. A = es une consane. Ae τ. ( 1 ) es une foncion de emps. τ Ae τ. ( 1 τ ) = 0 e τ es une foncion non nulle. 13

14 1 τ = 0 (1). A = (2) D après (2) (). A = A = D après (1) 1 = 0 τ 1 = τ τ = D où i() = n régime permanen, I = consane = I0 lim i() = lim + + (1 e ) lim i() = + D où I 0 = b) U R = R. i (1 e ) n régime permanen : U R0 = R. I 0 = R. c) D après la courbe : U R = 5 V 14

15 Or U R0 = R. R. = U R0 R. r = R R = U R0 r = 4 Ω 20 = 4 Ω 4) τ = τ = 0, τ = 0,02 s 5) = 1. i()2 2 D après la figure 2, U R ( ) = 4 V i( ) = U R ( ) R = 4 = 0,2 A 20 = 1 2 0,5 0,22. = 0,01 J Correcion exercice 4 : 1) a) a bobine rearde l éablissemen du couran principal dans le circui. n effe, la variaion du couran principal d une valeur nulle à une valeur non nulle crée à l inérieur de la bobine un couran élecrique indui qui, d après la loi de enz, s oppose à la cause qui lui a donné naissance, c es-à-dire s oppose à l éablissemen du couran principal. b) e couran indui s annule en régime permanen à = 8 ms. c) a loi qui perme de déerminer le sens du couran indui es la loi de enz. d) A la fermeure de l inerrupeur, le couran principal augmene, le couran indui circule dans le sens conraire à celui du couran principal pour s opposer à cee augmenaion. 15

16 2) a) Applicaion de la loi des mailles : n régime permanen : I = I 0 = consane di = 0 (r + R). I 0 = I 0 = U b + U R = 0 U b + U R = r. i +. di + R. i = 3) c) I 0 = 60 ma I 0 = = 6 V = I 0 = 6 = 100 Ω a) a consane du emps τ caracérise la durée de l éablissemen du couran. b) 16

17 τ = 3 ms τ = = (). τ = = = 0,3 H 4) a) D après la loi des mailles : Divisons par : r. i +. di + R. i =. di + (). i = di () +. i = b) Cee équaion différenielle du premier ordre avec second membre es de soluion : Remplaçons i() e di() i() = A (1 e τ) di() = A τ e τ dans l équaion différenielle : 17

18 A τ e τ +. A (1 e τ ) = Ae τ ( 1 ) +. A = τ es une consane. A. e τ( 1 ) es une foncion de emps. τ. A = ()A = A = 5) i() = (1 e τ) a) i() = lim i() = lim + + (1 e τ) (1 e τ) 18

19 lim i() = + i(0) = 0 - a courbe 1 correspond à la ension aux bornes du résisor : UR(). D après la loi des mailles : U b + U R = Donc : U b = U R U b = R. i() U b = R. U b (0) = lim U b () = lim R. + + (1 e τ) lim U R. b () = + lim U r. b () = + (1 e τ) - a courbe 2 correspond à la ension aux bornes de la bobine : Ub(). b) U b () = r. i +. di n régime permanen, I = I 0 = consane. di = 0 U b = r. I 0 c) D après la courbe, en régime permanen : U b = r. I 0 = 0,6 V r = 0,

20 r = 10 Ω I 0 = R = I 0 r R = R = 90 Ω d) e = di a bobine es équivalene à un généraeur de f.é.m. «e» associé en série avec un résisor de résisance r. D après la loi des mailles : Sachan que U b = e + r. i U b + U R = e + r. i + R. i = e + (r + R). i = e = (r + R). i i() = e = (r + R). (1 e τ) (1 e τ) e =. (1 e τ) 20

21 e =. (1 e τ 1) e = e τ e(0) = lim e() =

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